anualidades (1)

INTEGRANTES:

NAYELI ISAI ROJAS FLORES.JOSE ISIDRO ROJAS MARTNEZ.RENE PREZ RAMREZ.ERIK JIMNEZ ALCNTARA .GERARDO RAMREZ BARRERA.ISRAEL MOLINA HERNNDEZ.

EQUIPO 4

INTRODUCCION:

En la practica, sobre todo en los crditos comerciales, es comn el financiamiento de activos a travs de una serie de pagos que tiene la caracterstica de ser iguales y peridicos.

Tales pagos iguales y peridicos se llaman anualidades, series uniformes o rentas uniformes. Son casos de anualidades las cuotas peridicas para el pago de un electrodomstico, de un vehculo, los sueldos mensuales, las cuotas de seguros, los pagos de arrendamientos, entre otros, siempre y cuando no cambien de valor durante algn tiempo.

En este capitulo abordaremos el estudio de las anualidades mas comunes, para su estudio calcularemos el valor presente equivalente a la anualidad, valor futuro equivalente, y el valor de la cuota igual y peridica y el numero de pagos o tiempo de negociacin.

Quien compra al fiado, Compra dobladoG. Fandio

Una anualidad es un conjunto de pagos peridicos que cumplen con las siguientes condiciones:

CONCEPTO DE ANUALIDAD.

CONDICIONES PARA QUE UNA SERIE DE PAGOS SEA UNA ANUALIDAD.

* Todos los pagos son de igual valor.* Todos los pagos se hacen a iguales intervalos de tiempo.* Todos los pagos son llevados a la misma tasa.* El nmero de pagos debe ser igual al nmero de periodos.

* PLAZO DE UNA ANUALIDAD: se define como el intervalo que va desde la fecha del primer abono hasta el trmino del perodo del pago anterior a la fecha del ultimo pago.Se identifica con la letra n.

* TASA DE INTERES: es la razn del inters devengado al capital, en la unidad de tiempo. Esta representada por i y esta dada en porcentaje, aunque en la prctica se utiliza su valor equivalente en decimal.

* TIEMPO: es el periodo de das, meses, bimestrales, trimestrales, semestrales y aos. ELEMENTOS DE UNA ANUALIDAD.

TIPOS DE ANUALIDADES

El valor presente representa el poder adquisitivo del dinero en la fecha inicial de la anualidad y se representa con las siglas VPA.Es un flujo de pagos (anualidades), donde se asume que los pagos se reinvierten a una determinada tasa de inters y se representa con la siglas VFA VALOR PRESENTE DE UNA ANUALIDAD SIMPLE

CONCEPTO ANUALIDAD SIMPLE Es cuando el periodo de pago coincide con la capitalizacin de los intereses.

FORMULA DE ANUALIDAD SIMPLE A VALOR PRESENTE.

-n VP=A 1-(1+i) i

NOMENCLATURA DE ANUALIDAD SIMPLE A VALOR PRESENTE

A = El pago peridico de una anualidadi = la tasa de inters por periodo de inters n = El numero de periodos de intersVP = Valor presente

FORMULA DE ANUALIDAD SIMPLE A VALOR FUTURO.

n VF=A (1+i) -1 i

NOMENCLATURA DE ANUALIDAD SIMPLE A VALOR FUTURO.

A = El pago peridico de una anualidadi = la tasa de inters por periodo de inters n = El numero de periodos de intersVF = El valor futuro de una anualidad

EJEMPLO 1Un hombre de negocios enva a su hijo a otra ciudad, y le asigna un presupuesto mensual de $800,000 para evitar frecuentes remesas de dinero, hace un solo deposito de una cuenta bancaria que devenga intereses del 3% mensual. Cuanto deber depositar para cubrir el presupuesto de un ao, si el primer retiro lo hace su hijo al termino del primer mes?

DATOS. A = $ 800,000 i = 0.03 mensual n = 12 meses VP = ?

-n VP=A 1-(1+i) i

DIAGRAMA

VP= ? 800,000 800,000

3% 3% 3% 3% 3% 3% 3% 3% 3% 3% 3% 3%

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

SOLUCION -n VP=A 1-(1+i) i VP = 800,000 1-(1.03)-12 0.03 VP = 800,000 (9.954003994) VP = 7,963,203.19

EJEMPLO 2

Una mina en explotacin tiene una produccin anual de $600,000 y se calcula que se agotara en 5 aos. Cul es el valor actual de la produccin si el rendimiento del dinero es de 11% anual?

DATOSA = $600 000n = 5 aosi = 11% anual VP = ? VP = A 1 (1+i) -n i

DIAGRAMA

VP= ? 600,000 600,000 600,000 600000 600000

11% 11% 11% 11% 11%

1 2 3 4 5

SOLUCIONVP = A 1 (1+i)-n iVP = 600000 1-(1+.11)-5 .11VP = 600000 1- 0.593451328 .11VP = 600000 .406548672 .11VP = 600000(3.695897018)

VP = 2,217,538.21

EJEMPLO 3

Cul ser el valor de un prstamo que nos haran el da de hoy para pagar con 9 letras de $3,500 cada una, de vencimiento escalonaros de un ao y al final de cada ao transcurrido a la fecha de operacin al 30% anual?

DATOS:

i = .30A = 3,500n = 9 aosVF = ?

VF = A 1 (1+i)n i

DIAGRAMA

3,500 3,500 3,5003,5003,500 3,500 3,500 3,500 3,500

30% 30% 30%30%30%30% 30% 30% 30% 1 2 3 4 5 6 7 8 9

VF= ?

SOLUCION:

VF = A (1+i)-n - 1 iVF = 3,500 (1.30)9 - 1 .30VF = 3,500 9.604499373 .30VF = 3,500 (32.01499791)

VF = 112,052.49

EJEMPLO 4

Que cantidad se acumulara en un semestre si se depositan $100,000 al finalizar cada mes en una cuenta de inversiones que rinde 6% anual convertible mensualmente?

DATOS

A = 100,000n = 6i = 0.06/12 =0.005VF = ?

VF = A (1+i)-n - 1 i

DIAGRAMA

100,00 100,000 100,000 100,000 100,000 100,000 6% 6% 6% 6% 6% 6%

1 2 3 4 5 6

VF= ?

SOLUCIONVF = A (1+i)-n - 1 iVF = 100,000 (1.005)6 -1 .005VF = 100000(.030377509) .005VF = 100000(6.075501879)

VF = 607,505.19

ANUALIDADES CIERTASSon aquellas cuyo fechas son fijas y se estipulan de antemano, su criterio es de tiempo.Por ejemplo: al realizar una compra a crdito se fija tanto la fecha en que se debe hacer el primer pago, como la fecha para efectuar el ltimo.

DIAGRAMA

FRMULA PARA CALCULAR EL VALOR PRESENTE

NOMECLATURAVP= Valor actual o presente A= Renta o pago por periodo i= Tasa de inters n= periodo de pago

EJ. 1Cul es el valor presente de una anualidad de $1,000 al final de cada 3 meses durante 5 aos, con un inters anual del 16% convertible trimestralmente?

DATOSVP= ? A= 1,000 i= 16%/4=0.04 n= 5 aos (4)=20

DIAGRAMA

SOLUCIN

EJ. 2Calcular el valor presente de una serie de pagos de $ 5.000,00 cada uno, efectuados ordinariamente y en forma semestral durante 7 aos y 6 meses al 16% anual con capitalizacin semestral.

DATOSVP= ? A= 5,000 i= 16%/2=0.08 n= 7.5 aos(2)=15

DIAGRAMA

SOLUCIN

EJ.3 Cuntos pagos de $607.96 al final del mes tendra que hacer un comprador de una televisin que cuesta $5,950 y acuerda pagar 24% de inters capitalizable mensualmente sobre el saldo?

DATOS VP= 5,950 i= .24/12=0.02 A= 607.96 n=?

DIAGRAMA

SOLUCINn = 11

FORMULA PARA CALCULAR EL VALOR FUTURO

NOMECLATURAVF= Valor Futuro A= Renta o pago por periodo i= Tasa de inters n= periodo de pago

EJ.3 Mario decide depositar $ 1,500 en una cuenta con un inters del 8%,dicha cantidad la consigna para cada cumpleaos de su hija. Calcular la suma que tendr a disposicin cuando ella tenga 18 aos.

DATOSVF = ? A= 1,500 i= 8% n= 18 aos

DIAGRAMA

SOLUCIN

EJ.4

Cul es el valor futuro de $20,000.00 semestrales depositados durante 4 aos y medio en una cuenta bancaria que rinde 12% capitalizable semestralmente?

DATOSVF= ? A= 20,000 i= 12%/2=0.06 n= 4.5(2)=9

DIAGRAMA

SOLUCIN

EJ. 5 Cunto debe invertir el Sr. Falcn al final de cada mes durante los primeros 7 aos en un fondo de ahorro que paga 13.5% convertible mensualmente con el objeto de acumula $ 100,000 al finalizar el ltimo depsito?

DATOS VF= 100,000 i= 13.5/12 n= 7 aos(12) A=?

DIAGRAMA

SOLUCIN

ANUALIDADES VENCIDASConcepto:

Las anualidades vencidas son aquellas que sus pagos ocurren al finalizar cada periodo, que pueden ser: quincenal, mensual, bimestral, trimestral, semestral, anual.

ANUALIDADES VENCIDASEl estudio de las anualidades vencidas es de mucha importancia en finanzas, entre otras razones por que es uno de los sistemas mas comunes en los crditos comerciales bancarios y de vivienda. Este sistema de pagos al finalizar un periodo antes dicho, permite que el financiador conozca el valor de la cuota.

DIAGRAMA DE FLUJOVP 0 Pagos A A A A A A

n perodos

1 2 3 4 n-1 VF ---------------------------------------- i ------------------------------------------

Simbologia:

VP= Valor presenteA= Pagos iguales en cada perodon= Nmero de perodosi= Tasa de intersVF= Valor futuro

El valor presente de una anualidad vencida lo podemos calcular utilizando la siguiente formula: -n VP=A 1-(1+i) iNomenclatura:VP= Valor PresenteA= Pagos iguales en cada perodoi= Tasa de intersn= Nmero de perodos

El valor futuro de una anualidad vencida la podemos calcular utilizando la siguiente formula: n VF=A (1+i) -1 iNomenclatura:VF= valor futuroA= Pagos iguales en cada perodoi= Tasa de intersn= Nmero de perodos

Ejemplo 1.

Un comerciante alquila un local para su negocio y acuerda pagar un servicio privado de vigilancia en $2,750 de renta vencida.Como deseara liberarse del compromiso mensual, decide proponer una renta anual. Si los intereses son del 15.6% anuales convertibles mensualmente Cunto debera ser la renta anual que debera pagar al inicio de cada ao?

Entonces los datos son:

VP = ?n = 12 mesesA = $2,750i = 15.6% anual capitalizable al mes

Formula:

VP=A1(1+i)-n i

Se realiza el diagrama de flujo de caja para visualizar los pagos:

? 2,750 2,750 2,750 2,750 2,750 2,750 2,750 2,750 2,750 2,750 2,750 2,750

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 ---------------------------------------.156/12--------------------------------------

Solucin: -n

VP=A 1-(1+i) i

-12

VP=2,750 1-(1+.156)

12

0.156

12

-12

VP=2,750 1-(1+.013)

0.013

VP=2,750 1-(0.8564197138)

0.013

VP=2,750 (0.1435802862)

0.013

VP=30,372.75

Ejemplo 2.

En un almacn se vende un mueble por $4,600 al contado o mediante pagos mensuales vencidos de $524.23; si el inters es del 29.4% convertible mensualmente Cuntos pagos se requieren hacer?


4,600 524.23 524.23 524.23 524.23 524.23 524.23 524.23 524.23 524.23 524.23

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? -----------------------------------------.294/12-------------------------------------


VP = $4,600A=$524.23i = 29.4% anual convertible mensualmente.n = ?

Formula:

VP=A1(1+i)-n i

Se requiere despejar el valor de n de la formula anterior:

-n

VP=A 1-(1+i) = VP i

-n

VP= 1-(1+i) A i

-n

iVP= 1-(1+i) A

-n

1- iVP= (1+i) A

-n

iVP Log 1- = Log (1+i)

A

iVP Log 1- =-nLog (1+i)

A

iVP Log 1-

An=- .

Log (1+i)

Solucin:

0.294 4,600

12 . Log 1-

n=- 524.23 .

0.294

Log (1+ )

12

Log (1- .2149819736)

n=- .

Log (1+ 0.0245 )

0.1051203704

n=- .

0.01051196274

n= 10

Por lo tanto deberan ser 10 pagos

Ejemplo 3.

Un trabajador debe pagar $90,000 dentro de 2 aos, para lo cual desea hacer 12 depsitos bimestrales en una cuenta de inversin que rinde 4.2% bimestral Cul debe ser el valor de los depsitos si el primer pago se hace dentro de un bimestre?

Entonces los datos son:n = 12i = 0.042 bimestralVF = $90,000A = ?Formula:

n

VF=A (1+i) -1 iDespejando A queda

i

n

A=VF(1+i) -1


90,000 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 -------------------------------------------.042 --------------------------------------

Solucin:

i

n

A=VF (1+i) -1

.042

12

A=90,000 (1+.042) -1

.042

A=90,000 (.6383724163)

A=90,000 (.06579231641)

A=5,921.31

El primer pago bimestral deber ser de 5,921.31

Solucin:

0.294 4,600

12 . Log 1-

n= - 524.23 .

0.294

Log (1+ )

12

Log (1- .2149819736)

n=- .

Log (1+ 0.0245 )

0.1051203704

n=- .

0.01051196274

n= 10

Por lo tanto deberan ser 10 pagos

Ejemplo 4.

Un trabajador deposita $250 en una cuenta de ahorros al FINAL de cada mes; si dicha cuenta paga 1.3% de inters mensual capitalizable al mes Cunto habr ahorrado al cabo de un ao?


VF= ?A = $250n = 12,i = 1.3% mensual capitalizable al mes

Cuando se cumplan los 12 periodos mensuales se cumple el ao; por lo cual la sustitucin de la ecuacin queda de la siguiente forma


250 250 250 250 250 250 250 250 250 250 250 ?

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 -------------------------------------------.013 -------------------------------------

Solucin:

n

VF=A (1+i) -1 i

12 VF=250 (1+0.013) - 1 0.013

VF=250 (1.167651776) - 1 0.013

VF= 41.91 0.013

VF= 3,224.07

ANUALIDADES DIFERIDASINTRODUCCINEn la actualidad estamos acostumbrados a promociones en tiendas departamentales, donde nos ofrecen mercanca, para pagar con mensualidades fijas durante 3 o 6 meses, realizando el primer pago tres meses despus de realizada la compra, o promociones en agencia de viajes que ofrecen paquete de viajes, con el eslogan viaje ahora y pague despus, situaciones como esta, desde el punto de vista de las matemticas financieras, se conocen como anualidades diferidas.

CONCEPTO:

La realizacin de los cobros o pagos se hacen tiempo despus de la formalizacin del contrato (se pospone). Ejemplo: se adquiere hoy un artculo a crdito para pagar en abonos mensuales, el primer pago habr de hacerse 6 meses despus de adquirida la mercanca.

DIAGRAMA DE FLUJO ANUALIDADES DIFERIDAS

Formula de valor presente:

1-(1 + i )-n VP= A-------------------( 1 + i ) -m I

NOMENCLATURA

VP= Valor presenteA= La renta o pago por periodoi= La tasa por periodo de capitalizacinn= nmero de pagosm= nmero de pagos diferidos

Ejemplo 1:

Calcula el valor actual de una renta semestral de $3,200 efectuada durante 6 aos, si el primer pago se debe realizar dentro de ao y medio, si consideramos una tasa de 32%capitalizable semestralmente.

DIAGRAMA DE FLUJO 0 1 2Periodos diferidos m=21 2 3 4 11 12 i= 0.16 semestral Pagos de $ 3,200

Datos:

VP=? A= 3200 i = 0.32 /2 = 0.16 n =6 (2) = 12 pagos semestrales durante 6 aos m = 2 semestres

Solucin: VP= 3200( 1 (1 + 0.16 ) -12 / 0.16 (1 + .16 ) -2 VP= 3200( 1- ( 1.16 ) -12 / 0.16 (1.16) -2 VP=3200( 1- (0.168462844) / 0.16 (0.743162901) VP=3200( 0.831537156) / 0.16 (0.743162901) VP=3200( 5.197107225)(0.743162901) VP= 12,359.35

Ejemplo 2:

Cul es el precio de contado de una recamara que se compr con pagos mensuales de $2,150 durante 24 meses, comenzando a pagarlos 6 meses despus de la entrega, con una tasa de inters de 19.2% anual capitalizable mensualmente?

DIAGRAMA DE FLUJOPeriodos diferidos m= 5 Pagos de 2,150 i= 0.016

Datos:

VP=? A = 2,150 i= 0.192/12= 0.016 n= 24 m= 5

Solucin:VP=2150(1 ( 1 + 0.016 ) 24/0.016 (1 + 0.016 ) -5VP=2150(1 (1.016) -24 /0.016 (1.016 ) -5VP=2150(1 (0.683204957)/0.016 (0.923701098)VP=2150(1 (0.316795043)/0.016 (0.923701098)VP=2150(19.79969019)(0.923701098)VP= $39,321.34 de contado

Frmula de valor futuro:

(1 +i) n - 1 VF= A ------------- i

Nomenclatura:VF= valor futuroA = es la rentai = es la tasa por periodo de capitalizacinn = es el nmero de pagos

Ejemplo 3: Una tienda departamental pone en el mes de mayo su plan de ventas compre ahora y pague hasta agosto. El sr. Gmez decidi aprovechar la fecha y adquirir tres trajes que le entregaron inmediatamente. Si acord pagar mediante 4 mensualidades de $975 cada una a partir de agosto, con un cargo de 18% anual convertible mensualmente, Cul es el precio que se tendra que haber pagado por sus trajes si se comprara en la misma fecha que se realizara el ltimo pago?

DIAGRAMA DE FLUJOM J J A S O N 4 PAGOS$975.00 c/ui= 0.015

Datos: VF=? A = $975 i = .18/12= 0.015 n= 4

Solucin VF= 975(1 + 0.015)4 1 / 0.015VF= 975(1.061363551 1) / 0.015VF= 975(.061363551/ 0.015)VF= 975(4.0909034)VF= 3, 988.63

Ejemplo 4:

Armando adquiri un equipo de cmputo, para lo cual le dieron la oportunidad de liquidar con 5 pagos mensuales de $2,700 cada uno, realizando el primero de ellos 6 meses despus de efectuada la compra. Si Armando liquidar su equipo con un solo pago el da que corresponde al ltimo pago con cunto pagar su deuda, considerando una tasa de inters de 18% anual compuesto mensualmente?

DIAGRAMA DE FLUJ00 1 2 3 4 5 6 7 8 9 105 PAGOSPagos de $2,700i= 0.015

Datos:

VF =?A =2700 i = 0.18 / 12=0.015 n = 5 pagos mensuales

Solucin: VF= 2700(1 + 0.015)5 -1 / 0.015VF =2700( 1.077284004 -1) / 0.015VF =2700(5.152266933VF= 13,911.12

Frmula para el clculo de n en valor presente:

Ejemplo 5:

Regina compr una videograbadora con valor de $2700, la cual acord pagar mediante pagos mensuales de $350.00 cada uno con un inters de 24% capitalizable mensualmente Cuntos pagos mensuales se deben realizar para liquidar la videograbadora, si el primero se realiza 3 meses despus de haberla adquirido?

DIAGRAMA DE FLUJOPeriodos diferidos m= 20 1 2 3 n? n?n1 n2 n3i= 0.02A= $350.00

Datos:

VP= 2700A= 350i= 0.24/12=0.02 mensualm= 2n= ?

Solucin:

log[1- 2700(0.02)/350(1+0.02)-2]n= - ---------------------------------------------- log(1+ 0.02)

log[1- (54/350(0.961168781)n= - --------------------------------------------------- log 1.02

log(1- 0.160518857)

n= - -------------------------------------------------- log 1.02

log(0.839481143) -0.075989054n= - ---------------------------- = - ------------------------- = - ( - 8.84 ) = 8.84 log 1.02 0.008600171762

Se requieres aproximadamente 9 pagos.

ANUALIDADES ANTICIPADASEs frecuente que los pagos peridicos se efecten al comienzo de cada perodo; tal es el caso de la renta de terrenos, edificios y oficinas, cuyo alquiler se paga a principio de perodo.

Existen variantes que se presentan segn el nmero de perodos de capitalizacin y el nmero de pagos en el ao.

DIAGRAMA DE ANUALIDAD ANTICIPADA

FRMULA PARA CALCULAR EL VALOR PRESENTE

NOMECLATURAVP= Valor presenteA= Renta o pago por periodo i= Tasa de inters n= periodo de pago

EJ1.Cul es el valor presente semestral adelantada equivalente a una anualidad mensual adelantada de $660, si el inters es de 22.52% anual convertible mensualmente?

DATOSVP = ? A= 660.00 n= 6 meses i= 22.52%/12=0.018766666

DIAGRAMA

SOLUCIN

EJ.2Para adquirir un automvil a crdito se debe pagar 48 abonos mensuales de $4,900 comenzamos en el momento de la entrega del vehculo. Si los inters que se cobran son a 15% convertibles cada mes Cul es el valor de contado de los pagos?

DATOS VP= ? A= 4,900 i= 15%/12 n= 48 abonos

DIAGRAMA

SOLUCIN

FRMULA PARA CALCULAR EL VALOR FUTURO

NOMECLATURAVF= Valor Futuro A= Renta o pago por periodo i= Tasa de inters n= periodo de pago

EJ.3Un arquitecto desea ahorrar $ 4,000 mensuales durante 5 aos. Si sus ahorros ganan 5.4% convertible mensualmente. cunto habr acumulado al mes siguientes del ltimo depsito?

DATOS A= 4,000 i = 5.4%/12 n= 5 aos *12 VF= ?

DIAGRAMA

SOLUCIN

EJ. 4 Una empresa debe cubrir el 23 de octubre un pagar que emiti. Para cumplir con su obligacin se depositaron $8,716.52 los das 23 de los meses de enero a septiembre en una cuenta que paga 0.6% mensual de inters. Si con lo acumulado en la cuenta se liquid el pagar. Cul era el valor de ste en su fecha de vencimiento?

DATOSA= 8,716.52n = 9 depsitosi = 0.6% VF = ?

DIAGRAMA

SOLUCIN Se considera que la fecha del primer pago fue el 23 de enero, desde esa fecha se tiene una anualidad anticipada de 9 pagos iguales.

EJ.5 Un profesionista desea reunir $300,000 en 5 aos para dedicar un tiempo a viajar. Si puede depositar cierta cantidad a 13.2% capitalizable al mes. cunto deber depositar cada mes con el objeto de reunir la cantidad deseada?

DATOS VF= 300,000 n= 5 aos*12= 60 i= 13.2%/12=0.011 A=?

DIAGRAMA

SOLUCIN

PAGO PERIDICO (FLUJO ANUAL EQUIVALENTE)

QU ES EL FLUJO ANUAL EQUIVALENTE? Se conoce como flujo anual equivalente (pago peridico) a aquel se realiza de manera peridica con intervalos iguales de tiempo.

CUNDO SE UTILIZA? El flujo anual equivalente lo utilizamos en cualquier momento de nuestras vidas ya sea al comprar una casa, o un auto, al adquirir un seguro de vida o hasta para pagar la renta de algn bien inmueble, etc.

PARA QU UTILIZAMOS EL FLUJO ANUAL EQUIVALENTE? SE UTILIZA PARTICULARMENTE PARA SABER EL VALOR DEL DINERO DURANTE TODO EL TIEMPO QUE SE CONTRATA LA OPERACIN.

FRMULA VALOR PRESENTE

NOMENCLATURAA= Renta o pago peridico

VP= Valor presente

i= tasas de inters

n= nmero de periodos de pago

FRMULA VALOR FUTURO

NOMENCLATURAA= Renta o pago peridico

VF= Valor futuro

i= tasa de inters

n= nmero periodos de pago

EJERCICIO 1 Un prstamo comercial de $1,000,000.00 se desea liquidar en 6 pagos trimestrales iguales, si la tasa de inters que se cobra es del 9% trimestral. Cul es el valor de cada uno de los pagos?

DATOS:

VP= 1,000,000

i= 9% trimestral

n= 6 trimestres

:

FRMULA

SOLUCIN

EJERCICIO 2 Reemplazar una serie de pagos uniformes de $100,00.00 al final de cada ao, durante 3 aos, por el equivalente en pagos mensuales vencidos, con una tasa de inters del 3% mensual.

Se calcula el valor presente de la anualidad para conocer el valor de la deuda inicial, puesto que la tasa de inters de la operacin est expresada en forma mensual y los pagos son anuales, es necesario calcular la tasa efectiva anual equivalente.

PRIMERO OBTENDREMOS EL VALOR PRESENTE DE LA ANUALIDAD DATOS:VP=?A= 100,000 n= 3i= 42.58%

FRMULA

SUSTITUCIN:

EL RESULTADO OBTENIDO ES EL VALOR PRESENTE EQUIVALENTE A LOS TRES PAGOS DE $100,000 EN LOS AOS 1, 2 Y 3. ESTE VALOR SE VA A REEMPLAZAR POR 36 PAGOS MENSUALES IGUALES

CONOCIDO EL VALOR PRESENTE: DATOS: A=?VP=153,827.14 i= 3%n= 36 pagos mensuales

FRMULA

SUSTITUCIN:

EJERCICIO 3

Cunto se debe depositar al final de cada mes, durante 2 aos, en una cuenta de ahorros que otorga una tasa del 4.5% mensual para reunir $100,000.00?

DATOS:

VF= 100,000

i= 4.5% mensual

n= 24 meses

FRMULA

SOLUCIN

EJERCICIO 4 Se obtiene un crdito hipotecario de $5,000,000.00 para pagarlo en 18 pagos de $50,000.00 c/u ms 2 pagos extras en los meses 6 y 12. Si la operacin financiera se realiza con una tasa de inters del 3% mensual. Cul ser el valor de los dos pagos extras?

X 5,000,000,0000126781112131718 mesesF.F.50,000 xSe elige el momento cero para plantear una ecuacin de valor, los pagos extras sonadicionales a los pagos mensuales de $50, 000

DATOS:

VP= 750,000

A= 10,500

n= 18,6,12

i= 4%

FRMULA

SOLUCIN

ANUALIDADES

FRMULA

NOMENCLATURA

A = Pago peridico.

i = Tasa de inters por periodos.

n = El nmero de intervalos.

VP = Valor Presente.

EJERCICIO 1.Una mina en explotacin tiene una produccin anual de $600,000 pesos y se calcula que se agotar en 5 aos.

Cul es el valor presente de la produccin si el rendimiento del dinero es del 11% anual?.

DATOS:A = $600, 000 (es la produccin anual o renta)

n = 5 aos (tiempo de explotacin de la mina)

i = 11% anual (tasa de inters por ao o periodo de explotacin)

VP = ? (valor actual de la produccin de los 5 aos)

DIAGRAMA DE TIEMPO VALOR. 0 1 2 3 4 5 R R R RVP= ?

SOLUCION:Primero se debe identificar que tipo de anualidad es:

* Es simple, por que la produccin es anual y la tasa de inters es anual.

* Es cierta, por que se conoce su duracin o tiempo de explotacin.

* Es vencida, por que se considera que la produccin se determina al final de cada ao.

* Y es inmediata, por que la primera produccin se recibir en el primer periodo de explotacin.

RESULTADOEl valor presente de la produccin de la mina en los 5 aos de explotacin.

VP= $2, 217, 538.21

FORMULA

NOMENCLATURA

A = Pago peridico.

i = La tasa de inters por periodos.

n = El nmero de intervalos

VP = Valor Presente.

FORMULA

NOMENCLATURA

A = Renta o pago.

i = La tasa de inters por periodos .

n = El numero de intervalos.

VF = Valor Futuro

EJERCICIO 2.Calcule el valor actual y futuro de la siguientes anualidades, simples, ciertas, vencidas e inmediatas.$20,000 semestrales durante 4 aos y medio al 10% capitalizable semestralmente.

B) $500,000 mensualmente durante 7 aos y 5 meses a una tasa anual del 8% capitalizable mensualmente.

VP= ?VF= ?

A) DATOSA= $20,000 (importe de la renta o pago peridico)

n= 4 aos y medio (2 semestres por ao)= 9 semestres

i= 10%/ 2 = 5%= 0.05

DIAGRAMA DE TIEMPO VALOR. 0 1 2 3 4 4.5 5 R R R R R VP= ?VF= ?

SOLUCION:VALOR PRESENTE.

SOLUCION:VALOR FUTURO.

RESULTADOVP= $142,156.4335

VF= $220, 531.2864

B) DATOSA= $500,000 (importe de la renta o pago peridico)

n= 7 aos 5 meses (12 meses por ao)= 89 meses

i= 8%/ 12 = 2% = 0.006666 3

DIAGRAMA DE TIEMPO VALOR. 0 1 2 3 4 5 6 7 R R R R R VP= ?VF= ?

SOLUCION:VALOR PRESENTE.

SOLUCION:VALOR FUTURO.

RESULTADOVP= $33,482,135.22

VF= $60,483,846.05

FORMULA

NOMENCLATURA

A = Pago peridico.



VF = Valor futuro.

FORMULA

NOMENCLATURA

M = Capital.


n = El numero de periodos.

EJERCICIO 3.

Calcule el valor actual de un terreno, con un inters del 15% con capitalizacin mensual, si se vendi con las siguientes condiciones:

* Se dio $40, 000 de enganche.

*Mensualidades vencidas por $2, 250 durante 4 aos 3 meses.

* Y un pago final de $25, 000 un mes despus de la ltima mensualidad.

DATOS:A = $2, 250 (renta o pago peridico para los 4 aos 3 mese).

n = 4 aos 3 meses = 51 meses (tiempo de explotacin de la mina).

i = 15% anual (tasa de nominal anual)/ 12 (capitalizaciones por ao).

INCOGNITA: X= enganche + VP + M

0 1 2 3 4 5 ...50 51 52 $2,250 $2,250 $2,250 $2,250 $2,250 $2,250 $25,000 ANUALIDAD$40,000 C1 CDIAGRAMA DE TIEMPO VALOR.Se selecciona como fecha focal el ao 0 y se formula la ecuacin de valores equivalentes.

SOLUCION:Al elaborar el diagrama tiempo valor se observa que hay 51 pagos iguales de $2, 250 cada uno, por lo que esta parte se resuelve con la formula del valor presente.

El enganche y el ultimo pago son diferentes, por lo que se aplica en esas cantidades la formula del valor actual a inters compuesto.

SOLUCION:

RESULTADOValor de Contado del Terreno.

$137, 576.89

FORMULA

NOMENCLATURA

A = Pago peridico.



VF = Valor Presente.

FORMULA

NOMENCLATURA

M = Capital.

i = la tasa de inters por periodos.

n = El numero de periodos.

EJERCICIO 4.En la compra de un automvil nuevo que cuesta $145, 000 al Licenciado Ugalde le reciben su automvil usado en $55, 000.Le convendra pagar el resto en 36 mensualidades vencidas de $3, 500 si lo mas que desea pagar de inters es del 2% mensual?

DATOS:A = $3,500 (es la produccin anual o renta)

n = 36 mensualidades

i = 2% anual (tasa de inters por ao o periodo de explotacin)

Enganche = $55, 000

INCOGNITA: X= enganche + VP + M

DIAGRAMA DE TIEMPO VALOR. 0 1 2 3 .36 meses 55,000 3,500 3,500. 3,500 3,500 3,500

SOLUCION:

RESULTADODe este resultado se aprecia que es mejor pagarlo con el plan de 36 mensualidades, pues si lo paga de contado, entonces perdera la diferencia es decir $789.05.

Diferencia: (145,000 144, 210.95)

X= $144, 210.95

FORMULA

NOMENCLATURAA = Pago peridico.


n = El numero de intervalos

VF = Valor futuro.

Ln=Logaritmo natural.

EJERCICIO 5. Cuantos pagos debe realizar Germn para llegar a acumular $30, 760.08 si se depositan $5, 000 mensuales con una tasa de inters del 12% compuesto mensualmente?

DIAGRAMA DE TIEMPO VALOR. 0 ? ? ? .? 5,000 5,000 5, 000. 5, 000 5, 000 $30, 760.08

DATOS.A = $5, 000

i = 12%

n = ?

VF = $30, 760.08

Ln=Logaritmo natural.

SOLUCION:1.2.

RESULTADOn= 6 meses

LO QUE APREND.En esta unidad, comprendimos la diferencia que existe entre los diferentes tipos de anualidades, simples, ciertas, vencidas, anticipadas.As mismo aprend a utilizar las herramientas para calcular el valor presente, valor futuro, nmero de intervalos y la renta o pago. Por tal motivo esto nos ayudara a interpretar resultados y al mismo tiempo comparar con otras situaciones financieras para la toma de decisiones.

Referencias Bibliogrficas:

Daz Mata, Alfredo, Aguilera Gmez, Vctor M. Inters simple en Matemticas Financieras, 4ta. Edicin, Mc Graw Hill, Mxico, 2007 2. Zbigniew, kozikowski, Matematicas Financieras: El Valor Del Dinero en el Tiempo, Mxico, Mc Graw Hill Interamericana, 2007.

3. Villalobos, Jos Luis, Inters simple en Matemticas Financieras, Grupo Editorial Iberoamrica, Mxico, 1993.

anualidades (1)

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