1 ELEKTROMAGNETIZMUS Doc. RNDr. Andrej TIRPK, CSc. Katedra rdiofyziky Fakulta matematiky, fyziky a informatiky Univerzita Komenskho Bratislava 2. opraven verzia Bratislava 2004 2Kniha bola odmenen prmiou Literrneho fondu SR za rok 1999 This textbook is a comprehensive introduction to the study of electromagnetic phenomena at the undergraduate level. The book is suitable to students of physics and electrical engineering at the universities, technological institutes, partly to students in non-technical branches of universities like the biology, medicine, agriculture, etc. It can also be useful to the postgraduate students, scientists and to all interested in modern approaches to the electromagnetic theory. Besides the classical parts of electromagnetism like the electrostatics, magnetostatics and electrodynamics the book deals with such modern subjects of electromagnetism like the superconductivity, Josephson effect, quantum Hall-effect, electron-spin resonance (ESR), nuclear magnetic resonance (NMR) as a modern tool of medical diagnostics. Various older and recent methods of the measurements of the velocity of the light are described. Special attention is paid to the magnetism of matter, modern magnetic materials and their applications. In the chapter dealing with electromagnetic waves the transfer of electromagnetic signals by transmission lines is described in some detail. The textbook involves the fundamentals of vector algebra and some differential operations on scalar and vector fields. Detailed explanation of concept of gradient, divergence and curl are also given. The essential mathematical prerequisites for the subjects discussed in this book are integral calculus, linear real and complex algebra. Some acquaintance with differential equations would be helpful, but not strictly essential. The textbook includes 326 selected and solved problems. Recenzenti: Prof. RNDr. Viktor Bezk, DrSc. Prof. Ing. Matej Rko, DrSc. Prv knin vydanie 1999 ISBN 80-88780-26-8 Oblku navrhol Doc. RNDr. Andrej Tirpk, CSc. a RNDr. Frantiek Kundracik, CSc. 1999 Doc. RNDr. Andrej Tirpk, Csc. Rukopis nepreiel jazykovou pravou 3 Vetkm mojim tudentom, minulm aj sasnm, ktor dvali mojej prci zmysel a robili z nej poteenie 4Uebnica "Elektromagnetizmus" vznikla z dvoch prin. Prvou je neustly nedostatok univerzitnch uebnc zkladnho kurzu fyziky, druhou prinou je mj sn nie neskromn nzor, e v priebehu viac ako dvadsa rokov prednky z elektromagnetizmu som nadobudol ist pohad na didaktick problmy predmetu. Tento pohad povaujem za pvodn, a na jeho zklade predkladm pojednanie o elektromagnetizme sn trochu netradin. Nzov "Elektromagnetizmus" uprednostujem pred doteraz pouvanm nzvom "Elektrina a magnetizmus" ktor je zastaral a neodra dnen chpanie elektromagnetickch javov v svojej vntornej nedelitenej jednote. lenenie textu je takmer klasick, teda tak, ktor sa rokmi z hadiska nvznosti vkladu, a tm aj zrozumitenosti dokonale osvedilo. Rozsah je limitovan mnostvom informci, ktor uite doke analyzova a tudent absorbova v rmci zkladnho kurzu fyziky prednanho na matematicko-fyziklnych, prrodovedeckch a technickch fakultch naich univerzt. Do textu z toho dvodu neboli zahrnut napr. elektrick meracie prstroje a meracie metdy (s vnimkou merania magnetickch pol), technolgia vroby elektrotechnickch a elektronickch siastok a pod. S nimi sa tudent oboznmi v praktickch cvieniach. Terie elektrickej vodivosti tuhch ltok, kvapaln a plynov s dnes samostatn vedn oblasti. Modern obvodov elektronika sa stala disciplnou silne poznaenou technologickmi problmami vroby integrovanch obvodov a jej vklad na niekokch stranch by bol nemon. Na druhej strane, do textu boli zahrnut niektor modern fyziklne javy, ktor posunuli nae poznanie sveta dopredu a zsadne ovplyvnili technick rozvoj. Takmi javmi s napr. jadrov magnetick rezonancia, supravodivos, kvantov Hallov jav, Josephsonov jav a in. Uebnica obsahuje 326 rieench loh. Jazyk uebnice nie je strohm rigidnm jazykom vedeckch trakttov a odbornch publikci, ale skr jazykom fyzika v laboratriu, na seminroch alebo prednkach. Chcem tm demontrova, e fyzika je humnna a pekn vedeck disciplna, a domnievam sa, e aj itateom-tudentom bude tento jazyk viac vyhovova. i sa mi to podarilo to nech u posdia pouvatelia uebnice! Aj pri vonejch jazykovch prstupoch som sa vak snail o maximlnu presnos formulci pri vyuit tch matematickch prostriedkov, ktormi mono tvori zkladn uebnicu elektromagnetizmu. Uebnica by nebola vznikla bez podpory a pomoci mojich spolupracovnkov a priateov. RNDr. Peter Kohaut cel text poas jeho vzniku priebene tal, upozoroval ma na jeho odborn a jazykov nedostatky a pomohol mi pri kreslen obrzkov. Patr mu za to moja najsrdenejia vaka. akujem i kolegom z Katedry rdiofyziky MFF UK doc. RNDr. Andrejovi Jaroeviovi, CSc., RNDr. Frantikovi Kundracikovi, CSc., a kolegovi doc. RNDr. Teodorovi Obertovi, CSc. z Katedry chemickej fyziky ChTF STU za ich ochotu k diskusim. Osobitn poakovanie patr recenzentom Prof. Ing. Matejovi Rkoovi, DrSc. a Prof. RNDr. Viktorovi Bezkovi, DrSc., ktorch pripomienky k textu pomohli podstatne zvi kvalitu mojej prce. ***** V elektronickej verzii tejto uebnice s predovetkm odstrnen zisten chyby, spresnen niektor formulcie, upresnen fyziklne kontanty poda najnovch dajov, rozren zoznam pouitch symbolov velin a ich jednotky v SI-sstave. akujem vetkm kolegom, ale predovetkm doc. RNDr. Frantikovi Kundracikovi, PhD. a Mgr. Mikulovi Prakovi za pomoc pri objavovan chb v ndeji, e ich poet bude postupne konvergova k nule. Mj 2004 5Obsah Zoznam symbolov velin a ich jednotky v SI-sstave 10 Tabuka fyziklnych kontnt 11 vod 13 1 Elektrick nboje 15 1.1 Zkladn vlastnosti elektrickch nbojov 15 1.2 Mikroskopick nosie elektrickch nbojov 16 1.3 Pojem bodovho nboja a hustoty nboja v klasickej elektrodynamike 19 2. Elektrostatika nbojov vo vkuu 21 2.1 Silov psobenie nbojov. Coulombov zkon 21 2.2 Elektrick pole. Intenzita elektrickho poa 25 2.3 Intenzita elektrickho poa nbojov spojito rozloench na iarach, plochch a v objeme 33 2.4 Gaussov zkon. Tok vektora plochou 42 2.5 Vpoet intenzt elektrickch pol s vyuitm Gaussovho zkona 48 2.6 Divergencia elektrickho poa. Gaussova veta 56 2.7 Divergencia vektorovho poa v pravouhlch sradniciach 60 2.8 Elektrick potencil 62 2.8.1 Prca v elektrostatickom poli 62 2.8.2 Vpoet potencilovch funkci rznych nbojovch rozloen 66 2.8.3 Gradient skalrnej funkcie. Vzah medzi intenzitou a potencilom elektrostatickho poa 76 2.9 Pole elektrostatickho diplu a vych multiplov 80 2.9.1 Bodov elektrostatick dipl 80 2.9.2 Energia diplu v elektrostatickom poli 85 2.9.3 Silov inky elektrostatickho poa na dipl 86 2.10 Multiplov rozklad potencilu 87 2.11 Potencil a pole elektrickej dvojvrstvy 89 2.12 Rotcia vektorovej funkcie. Diferencilne opertory pol 93 2.12.1 Rotcia elektrostatickho poa. Stokesova veta 93 2.12.2 Rotcia vektorovej funkcie v pravouhlch sradniciach 97 2.12.3 Diferencilne opertory vektorovch pol. Poissonova a Laplaceova rovnica 100 lohy 1 37 104 3 Elektrostatick pole za prtomnosti vodiov 109 3.1 Nabit vodi a jeho elektrostatick pole 109 3.2 Nenabit vodi v elektrostatickom poli 113 3.3 Experimentlny dkaz platnosti zkona prevrtench kvadrtov v elektrostatike 117 3.4 Vpoet elektrostatickch pol nbojov na vodioch 118 3.5 Kapacita vodiov a kondenztorov 122 3.6 Elektrick obvody s kondenztormi 128 3.7 Energia elektrostatickho poa. Energia nabitho kondenztora 135 3.7.1 Energia sstavy bodovch nbojov 135 3.7.2 Energia elektrostatickho poa 136 3.7.3 Elektrick energia nabitho kondenztora 137 lohy 38 64 139 64. Elektrostatick pole v dielektriku 144 4.1 Polarizcia dielektrika. Vektor polarizcie 144 4.2 Gaussov zkon v dielektriku 149 4.2.1 Vektor D 151 4.3 Permitivita a elektrick susceptibilita dielektrika 152 4.4 Dielektrick materily 155 4.5 Elektrick pole na rozhran dvoch prostred. Hranin podmienky 157 4.6 Energia elektrickho poa v dielektriku 159 4.7 Kondenztor s dielektrikom. Premeny energie v kondenztore a sily psobiace na dielektrikum 161 4.8 Mikrofyziklna podstata polarizcie dielektrika 167 4.8.1 Elektrnov polarizcia 167 4.8.2 Nepolrne plyny a kvapaliny. Clausiusov-Mossottiho vzah 170 4.8.3 Polrne ltky. Orientan polarizcia 172 lohy 65 96 177 5 Elektrick prd 183 5.1 Pohyb elektrickch nbojov. Elektrick prd 183 5.1.1 Vlastnosti elektrickch prdov. Klasifikcia prdov 183 5.1.2 Zkon zachovania elektrickho nboja. Rovnica spojitosti elektrickho prdu 188 5.1.3 Prv Kirchhoffov zkon (Kirchhoffov zkon pre prdy) 189 5.2 Ohmov zkon 190 5.2.1. Zklady terie vodivosti kovov a polovodiov 195 5.3 Elektromotorick naptie zdroja 198 5.4 Jednoduch elektrick obvod 199 5.5 Prenos energie v elektrickom obvode. Joulov zkon 203 5.6 Elektrick sie 207 5.6.1 Ohmov zkon pre as uzavretho obvodu 207 5.6.2 Druh Kirchhoffov zkon (Kirchhoffov zkon pre naptia) 209 5.7 Princpy analzy elektrickch siet 211 5.7.1 Wheatstonov most 211 5.7.2 Metda obvodovch prdov 213 5.7.3 Metda uzlovch potencilov 214 5.7.4 Dve vety z terie elektrickch siet 216 5.8 Elektrick prd v RC obvode. Prechodov jav v RC obvode 219 lohy 97 151 226 6 Magnetizmus elektrickch prdov 236 6.1 Magnetick pole elektrickho prdu 239 6.1.1 Magnetick silov psobenie dvoch bodovch nbojov vo vkuu 239 6.1.2 Magnetick pole prdu elektrickch nbojov 245 6.1.3 Biotov-Savartov-Laplaceov zkon 246 6.1.4 Magnetick indukcia v okol nekonene dlhho priameho prdovodia 247 6.1.5 Divergencia magnetickho poa. Neriedlovos magnetickho poa ako jedna z jeho zkladnch vlastnost 249 6.1.6 Amprov zkon. Rotcia magnetickho poa. Vrovos magnetickho poa ako jedna z jeho zkladnch vlastnost 253 6.1.7 Vektorov potencil 255 6.1.8 Vektorov potencil priameho nekonenho prdovodia 257 6.1.9 Vpoet niektorch dleitch magnetickch pol 260 6.2 Intenzita magnetickho poa 272 6.3 Maxwellov posuvn prd 274 6.4 Silov inky magnetickch pol na prdov obvody 277 6.4.1 Prdov sluka v magnetickom poli 278 76.4.2 Vzjomn silov psobenie elektrickch prdov. Defincia jednotky ampr (A) 281 6.5 Lorentzove transformcie elektromagnetickch pol 283 lohy 152 193 294 7 Elektromagnetick indukcia 303 7.1 Experimentlne zklady elektromagnetickej indukcie 303 7.2 Lenzov zkon 306 7.3 Teoretick princpy elektromagnetickej indukcie 307 7.4 Zkladn aplikcie zkona elektromagnetickej indukcie 310 7.5 Samoindukcia a vzjomn indukcia. Induknos a vzjomn induknos 314 7.5.1 Vpoet induknost a vzjomnch induknost 321 7.6 Vplyv sekundrneho prdu na pomery v primrnom obvode 326 7.7 Energetick vahy v obvode RL. Energia magnetickho poa 328 7.7.1. Hustota energie magnetickho poa 331 7.8 Elektrick prd v obvode RL. Prechodov jav v obvode RL 332 7.9 Prechodov jav v obvode RLC. Von kmity v obvode RLC 335 7.9.1. Kvalita kmitavho obvodu 343 lohy 194 223 346 8 Magnetizmus ltok 352 8.1 Magnetick vlastnosti atmov 353 8.2 Makroskopick teria magnetizmu ltok 358 8.2.1 Vektor magnetizcie 358 8.2.2 Amprov zkon pre ltkov prostredia 360 8.2.3 Vektor H 362 8.2.4 Magnetick pole na rozhran dvoch prostred. Hranin podmienky 366 8.3 Mikroskopick teria diamagnetizmu a paramagnetizmu 369 8.3.1 Diamagnetizmus 369 8.3.2 Paramagnetizmus 373 8.4 Fenomenologick teria feromagnetizmu 377 8.4.1 Hysterzna sluka 380 8.4.2 Magnetostrikcia a magnetoelastick jav 385 8.4.3 Klasifikcia a vroba feromagnetickch materilov 386 8.4.4 Permanentn magnety 389 8.4.5 Elektromagnety 391 8.4.6 Magnetick obvody 395 8.4.7 Experimentlne snmanie magnetizanch kriviek a hysterznej sluky 397 8.4.7.1 Balistick metda 397 8.4.7.2 Dynamick snmanie hysterznej sluky 399 8.5 Meranie magnetickch pol 399 8.5.1 Indukn metdy 399 8.5.2 Hallov jav 400 8.5.3 Kvantov Hallov jav 403 8.5.4 Jadrov magnetick rezonancia a elektrnov paramagnetick rezonancia 403 8.6 Supravodivos 409 8.6.1 Josephsonov jav 415 8.7 Maxwellove rovnice a klasick elektrodynamika 417 lohy 224 230 419 9 Striedav elektrick prdy 422 9.1 Charakteristiky striedavch elektrickch priebehov 422 9.2 Harmonick naptia a prdy 425 89.2.1 Harmonick naptia na prvkoch RLC obvodu 425 9.2.2 Harmonick prd v obvode RLC 427 9.2.3 Harmonick prd v obvodoch RC a RL 429 9.3 Vkon striedavho prdu 431 9.4 Symbolicko-komplexn metda analzy obvodov so striedavmi prdmi 434 9.5 Komplexn vkon 438 9.5.1 Objemov harmonick prdy v nedokonalch dielektrikch Stratov uhol dielektrika. Objemov hustota vkonu 440 9.6 Striedav elektrick siete. Pojem admitancie a susceptancie 443 9.6.1 Kirchhoffove zkony pre elektrick siete s harmonickmi prdmi 445 9.7 Vynten kmity v RLC obvodoch. Sriov a paraleln rezonancia 447 9.7.1 Sriov rezonann obvod 447 9.7.2 Paraleln rezonann obvod 453 9.7.3 Napjanie rezonannch obvodov a ich pouitie 458 9.8 Frekvenn filtre 459 9.8.1 Dolnofrekvenn R-C priepust 461 9.8.2 Hornofrekvenn R-C priepust 464 9.8.3 Psmov R-C priepust (Wienov deli) 465 9.8.4 Induktvne viazan obvody ako psmov filter 467 lohy 231 276 474 10 Pohyb nabitch astc v elektrickch a magnetickch poliach 486 10.1 Von nabit astica v elektrickom poli 486 10.2 Pohyb nabitch astc v statickch magnetickch poliach 490 10.3 Pohyb astc pod sasnm inkom elektrickch a magnetickch pol 494 10.3.1 Urchovanie nabitch astc. Cyklotrn 495 10.3.2 Hmotnostn spektrograf alebo separtor izotopov 499 lohy 277 292 500 11 Elektromagnetick vlny 505 11.1 Podstata elektromagnetickch vn 505 11.2 Vlnov rovnice 506 11.3 Rovinn elektromagnetick vlna 510 11.4 Tok vkonu v elektromagnetickej vlne. Poyntingov vektor 516 11.5 Povrchov jav (skin-efekt) 520 11.5.1 Jednorozmern rovinn prpad 520 11.5.2 Povrchov jav vo valcovom vodii 524 11.6 Zklady terie dlhch veden 528 11.6.1 Prdov a napov vlny na dvojvodiovch vedeniach 528 11.6.2 Impedancia na veden a koeficient odrazu 534 11.6.3 Bezstratov dlh vedenia 537 11.6.4 Stojat vlny na bezstratovch vedeniach 541 11.7 Meranie rchlosti svetla 545 lohy 293 326 551 Dodatok I: Strun prehad vektorovej analzy 556 Dodatok II: Sradnicov systmy 558 Niekoko literrnych prameov k predmetu "Elektromagnetizmus" 565 Rieenia loh 567 Register 704 9TABUKY Tabuka fyziklnych kontnt 11 Tabuka 1: Diplov momenty molekl 81 Tabuka 2: Niektor identity s nabla opertorom 103 Tabuka 3: Koeficient f pre doskov kondenztor 125 Tabuka 4: Typy dielektrk a ich permitivity 156 Tabuka 5: Permitivity a elektrick pevnos vybranch materilov 156 Tabuka 6: Sbor vzahov pre elektrick veliiny kondenztorov 166 Tabuka 7: Rezistivity a tepeln odporov koeficienty vybranch materilov 194 Tabuka 8: Koeficient k pre solenoid 322 Tabuka 9: Susceptibility vybranch materilov 366 Tabuka 10: Vzahy medzi magnetickmi veliinami 367 Tabuka 11: Magneticky mkk materily 388 Tabuka 12: Magneticky tvrd materily 388 Tabuka 13: Koncentrcie vodivostnch elektrnov pre niektor kovy 402 Tabuka 14: Niektor supravodiv prvky 410 Tabuka 15: Niektor supravodiv zliatiny 414 Tabuka 16: Najdleitejie vlastnosti komplexnch sel 436 Tabuka 17: Permitivita a stratov uhol materilov v striedavch poliach 442 Tabuka 18: Terminolgia striedavch prdov 446 Tabuka 19: Decibelov kla 463 Tabuka 20: Spektrum elektromagnetickch vn 507 Tabuka 21: Rchlos svetla vo vkuu 550 Tabuka 22: Diferencilne opercie na skalrnych a vektorovch poliach 564 Tabuka 23: Laplaceov opertor 565 10 Zoznam symbolov velin a ich jednotky v SI-sstave (Vektorov a komplexn veliiny s tlaen tunou kurzvou) Symbol Veliina Jednotka v SI-sstave A vektorov potencil Wb/m = T.m A prca J B vektor magnetickej indukcie T B susceptancia, imaginrna as admitancie S bei u Besselova (funkcia) imaginrna argumentu u ber u Besselova (funkcia) relna argumentu u C kapacita F kapacita na jednotku dky F/m c rchlos svetla vo vonom priestore (vo vkuu) m/s D vektor elektrickej indukcie C/m2 = A.s/m2 d dka vedenia m E vektor intenzity elektrickho poa V/m elektromotorick naptie zdroja V e elementrny nboj C = A.s e zklad prirodzench logaritmov F vektor sily N f frekvencia Hz G vodivos, relna as admitancie S vodivos na jednotku dky dvojvodiovho vedenia S/m H vektor intenzity magnetickho poa A/m I stly elektrick prd, amplitda prdu A Ief efektvna hodnota prdu I+, I amplitda postupujcej a odrazenej prdovej vlny A i okamit hodnota prdu A i, j, k jednotkov vektory pravouhlho sradnicovho systmu J, j prdov hustota, amplitda objemovej prdovej hustoty A/m2 Js amplitda plonej prdovej hustoty A/m j imaginrna jednotka K koeficient renia vlny m1 L induknos H induknos na jednotku dky dvojvodiovho vedenia H/m l dka m ln prirodzen logaritmus log dekadick logaritmus M vektor magnetizcie A/m moment dvojice sl N.m M vzjomn induknos H magnetomotorick naptie A, Az m magnetick moment A.m2 Np neper* jednotka tlmu *Np nie je SI jednotkou n poet koncentrcia m3 n0 jednotkov vektor normly P vektor elektrickej polarizcie C.m2 10a Symbol Veliina Jednotka v SI-sstave p elektrick diplov moment C.m P elektrick vkon W Pkompl komplexn vkon W p objemov hustota vkonu W.m3 okamit vkon W PSV pomer stojatej vlny Q integrlny elektrick nboj C = A.s kvalita rezonannho obvodu (faktor kvality) q elektrick nboj C = A.s R elektrick odpor (rezistancia), relna as impedancie odpor na jednotku dky dvojvodiovho vedenia /m r pomer stojatej vlny polomer m r, , z cylindrick (valcov) sradnice m, rad (), m r, , sfrick (guov) sradnice m, rad (), rad () S Poyntingov vektor W/m2 S plocha m2 T perida s absoltna teplota K t as s tg inite strt, tangens stratovho uhla dielektrika U, U0 stle naptie, amplitda naptia V Uef efektvna hodnota naptia V U+, U amplitda postupujcej a odrazenej napovej vlny V Vm skalrny magnetick potencil pre vektor B Wb/m = T.m vektor rchlosti m/s

f fzov rchlos vn m/s

g grupov (skupinov) rchlos m/s W elektromagnetick energia J = W.s welmag hustota energie elektromagnetickho poa J/m3 X reaktancia, imaginrna as impedancie x, y, z pravouhl (kartzske) sradnice m Y komplexn admitancia S komplexn admitancia na jednotku dky S/m Yv charakteristick admitancia vedenia S y komplexn konduktivita S/m Z komplexn impedancia komplexn impedancia na jednotku dky /m Z

, Z

charakteristick (vlnov) impedancie TEM-vn Z0 charakteristick impedancia neohranienho bezstratovho dielektrika Z00 charakteristick impedancia vonho priestoru zmin vzdialenos (kladn alebo zporn) uvaovanej roviny od minima stojatej vlny m koeficient tlmu (tlmenia) m1, dB/m fzov koeficient (fzov kontanta) rad/m, /m 0 fzov koeficient (fzov kontanta) v neohranienom dielektriku rad/m, /m koeficient renia m1, dB/m 10b Symbol Veliina Jednotka v SI-sstave konduktivita S/m magnetomechanick (gyromagnetick) pomer Hz/T = C/kg hbka vniku (skinov hbka) m stratov uhol dielektrika rad, 0 elektrick kontanta F/m permitivita F/m * komplexn permitivita F/m r relatvna permitivita innos uhol rad, teplota v Celsiovej stupnici C elektrick susceptibilita vlnov dka m kr kritick (medzn) vlnov dka m dka vlny vo vlnovode m 0 dka vlny vo vonom priestore (vo vkuu) m magnetick moment A.m2 permeabilita H/m 0 magnetick kontanta (permeabilita vonho priestoru) H/m r relatvna permeabilita kruhov kontanta, Ludolfovo slo koeficient odrazu U, I koeficient odrazu napovej alebo prdovej vlny rezistivita .m objemov hustota nboja C/m3 = A.s/m3 konduktivita S/m plon hustota nboja C/m2 = A.s/m2 asov kontanta s objem m3 magnetick indukn tok Wb uhol, fzov uhol rad, m skalrny magnetick potencil pre vektor H A magnetick susceptibilita , m3/kg, m3/kmol tok vektora E alebo D V.m, C priestorov uhol rad uhlov frekvencia rad/s 11 Tabuka fyziklnych kontnt1 Veliina Hodnota v SI sstave Rchlos svetla vo vonom priestore (vo vkuu) c 299 792 458 m.s1 (presne) Magnetick kontanta (permeabilita vkua) 0 4.107 H.m1 (z defincie) Elektrick kontanta (permitivita vkua) 0 = 1/(0c2) 8,854 187 817.1012 F.m1 Charakteristick impedancia vonho priestoru Z00 = 0 0 = 0c 376,73 Elementrny nboj e 1,602 176 462.1019 C (A.s) Elektrnvolt eV 1,602 176 462.1019 J Pokojov hmotnos elektrnu me 9,109 381 88.1031 kg Pokojov hmotnos protnu mp 1,672 621 58.1027 kg Pokojov energia elektrnu mec2 8,187 104.1014 J = 0,511.106 eV Pokojov energia protnu mpc2 1,503 277.1010 J = 0,938.109 eV Planckova kontanta h = 2 6,626 068 76.1034 J.s Bohrov polomer a0 = h2/(0c2e2me) 5,291 768 909.1011 m Bohrov magnetn B = e/(2me) 9,274 008 992.1024 A.m2 (J.T1) Jadrov magnetn J = e/(2mp) 5,050 783 182.1027 A.m2 (J.T1) Kvantum elektrickej vodivosti 0 = 2e2/h 7,748 091 694.105 S von Klitzingova kontanta 0 = h/e2 2,581 280 758.104 Kvantum induknho toku 0 = h/(2e) 2,067 833 637.1015 Wb Josephsonova kontanta KJ = 2e/h 4,835 978 979.1014 Hz.V1 Gravitan kontanta 6,673.1011 m3.kg1.s2 Avogadrova kontanta NA 6,022 141 99.1026 kmol1 Faradayova kontanta F 9,648 534 15.107 C.kmol1 Boltzmannova kontanta k 1,380 650 3.1023 J.K1 1 Kontanty boli aktualizovan poda CODATA Internationally recommended values of the Fundamental Physical Constants (1998) www.physics.nist.gov/constants 12 James Clerk MAXWELL (1831 Edinburgh 1879 Cambridge) 13 vod "Pravda je to, o obstoj v skke sksenosti" Albert Einstein: Ako vidm svet Predmet "Elektromagnetizmus" sa zaober tdiom sboru javov, ktor vznikaj ako dsledok pecifickho silovho psobenia medzi tm, o sme sa rozhodli nazva elektrick nboje. Silov psobenie elektrickch nbojov m dve strnky elektrick a magnetick. Vzhadom na neodmysliten sptos elektrickch a magnetickch javov a ich spolon podstatu je vhodnejie tento sbor javov nazva elektromagnetizmus, ako oddelene elektrina a magnetizmus. V kontexte fyziky zaujma elektromagnetizmus vrazne popredn postavenie, jednak pre svoje obrovsk praktick dsledky, ale tie preto, e predstavuje jednu z dleitch strnok poznania sveta, v ktorom ijeme. Modern, technicky vyspel spolonos tvor a vyuva technick prostriedky, ktorch podstata spova v zkonoch elektromagnetizmu. Predovetkm je to elektrick energetika. Dnes najrozrenejia a najistejia forma energie je elektrick energia, aj ke spsoby jej produkcie nie s vdy ekologicky najistejie. Na princpoch elektromagnetizmu je zaloen innos takch mdi, ako je telefn, rdio, televzia, zznam obrazu a zvuku a ich drtov alebo bezdrtov, prakticky okamit prenos na ubovon miesto na zemeguli alebo do blzkeho kozmickho priestoru. Pozemn, nmorn a vesmrna navigcia s nemysliten bez existencie elektromagnetizmu. V dvadsiatom storo bolo vymyslen, skontruovan a do nepredstavitenej dokonalosti doveden zariadenie, ktor spsobilo revolciu vo vede, v technike a v ekonomike elektronick pota. Mobiln telefny a internet poskytuj nebval monosti poskytovania a zskavania informci, o sa tka rchlosti aj objemu. Mono len kontatova, e pokrok civilizcie spolonosti je determinovan mierou vyuitia javov elektromagnetickho pvodu.Mono len kontatova, e pokrok civilizcie spolonosti je determinovan mierou vyuitia javov elektromagnetickho pvodu. Elektrick silov psobenia maj vak principilnej vznam, pretoe na nich je zaloen existencia nho materilneho sveta. Vieme, e ltky sa skladaj z atmov, a z molekl. Naskyt sa otzka, o dr atmy pohromade tak, e ltka je v konenom dsledku tuh alebo kvapaln? Chemici hovoria, e atmy v ltke s viazan chemickmi vzbami. no, ale tieto vzby s elektrickho pvodu. Medzi atmami ltky psobia aj praliv gravitan sily (gravitan interakcie), tie s vak v porovnan s elektrickmi silami (elektromagnetick interakcie) vemi slab, a tak ich pri interakcii astc mono v prvom priblen zanedba. Gravitan interakcie s zodpovedn za sily v makrosvete, s urujce pre vznik a existenciu hviezdnych systmov a galaxi. A nakoniec, aj na naej biologickej existencii s podpsan zkony elektromagnetizmu. Nervov vlkna s cestami, po ktorch sa ria elektrick signly od receptorov do 14mozgu, kde sa vyhodnocuj a s podnetom pre nau biologick a psychick aktivitu. V istom zmysle je udsk bytos ten najdmyselnej a najvekolepej elektronick mechanizmus pozostvajci z dokonalho informanho a potaovho systmu, ktor sa sotva niekedy podar umelo realizova. Veda o elektromagnetizme sa zaala rozvja asi pred 250-timi rokmi a dnes mono poveda, e je najucelenejou a najlepie prepracovanou oblasou fyziky. Bola budovan fenomenologicky bez toho, aby jej tvorcovia poznali atomrnu truktru ltok. Dnes sme fascinovan skutonosou, e tto teria je konzistentn s modernmi oblasami fyziky, ako je kvantov mechanika, kvantov teria tuhch ltok, a hlavne teria relativity, po zroden ktorej zaiatkom dvadsiateho storoia nebolo potrebn na stavbe elektromagnetizmu ni zsadnho opravova. Na budovan terie elektromagnetizmu sa podiealo mnoho vynikajcich uencov. Spomenieme len niekokch, ktorch men s nezmazatene spojen so zkladnmi zkonmi elektromagnetizmu: Charles Augustin de COULOMB (1736 1806) objavil a matematicky formuloval zkon o silovom psoben elektrickch nbojov; Andr Marie AMPRE (1775 1836) vykonal rozsiahle tdie o silovch inkoch elektrickho prdu; Hans Christian OERSTED (1777 1851) objavil silov psobenia elektrickho prdu na magnetku, m sa potvrdila jednota elektrickch a magnetickch javov; Michael FARADAY (1791 1867) objavil slvny zkon o elektromagnetickej indukcii; Karl Friedrich GAUSS (1777 1855) vykonal a publikoval priekopncke prce o vlastnostiach potencilovch pol (Gaussov zkon); Georg Simon OHM (1789 1854) objavil vzah medzi prdom a naptm v linernych vodioch; James Clerk MAXWELL (1831 1879) vytvoril unifikovan teria elektromagnetizmu aj s ohadom na optick javy, formuloval tyri zkladn zkony elektromagnetizmu Maxwellove rovnice; Hendrik Antoon LORENTZ (1853 1928) prispel podstatnou mierou k objasneniu Maxwellovej terie, k terii elektrnu a k terii relativity; Gustav Robert KIRCHHOFF (1824 1887) formuloval zkony o elektrickch sieach popri principilnejch zkonoch iarenia ierneho telesa; Heinrich HERTZ (1857 1894) experimentlne dokzal existenciu elektromagnetickch vn; Albert EINSTEIN (1879 1955) vypracoval pecilnu a veobecn teriu relativity. 151 ELEKTRICK NBOJE 1.1 ZKLADN VLASTNOSTI ELEKTRICKCH NBOJOV Zkladnm objektom a pojmom elektromagnetizmu, pvodcom vetkch elektromagnetickch silovch psoben, je elektrick nboj. Nem zmysel kls otzku o nboj je, pretoe na u nevieme odpove rovnako, ako na otzku o je hmota. Tieto pojmy s natoko principilne, e ich nememe vyjadri pomocou inch, menej zkladnch pojmov, preto meme hovori iba o vlastnostiach elektrickch nbojov. Zkladn vlastnosti elektrickch nbojov boli stanoven zo sksenost a z fyziklnych meran, a na zklade stavu sasnch poznatkov sme presveden, e s pravdiv. Tieto zkladn vlastnosti mono zhrn do nasledovnch vpoved: 1. V prrode existuj dva druhy elektrickho nboja nboje kladn, oznaujeme ich znamienkom "+", a nboje zporn, oznaujeme ich znamienkom "". Ak sa teles v naom okol javia ako elektricky neutrlne, neznamen to, e na nich nie s elektrick nboje, ale iba to, e nboje na nich s zkostlivo vykompenzovan, t. j. e je na nich rovnak mnostvo kladnho aj zpornho nboja. Nevykompenzovanos o i len zlomkov percenta by viedla k nepredstavitenm silm v telesch alebo medzi telesami. Pripsanie druhu znamienka elektrickm nbojom bolo historicky nhodn. Dnes vieme, e nositeom kladnho naboja je protn a nositeom zpornho nboja je elektrn. 2. Nboje psobia na seba silovo nboje rovnakho znamienka (shlasn) sa odpudzuj, nboje rzneho znamienka (neshlasn) sa priahuj. Tto skutonos bola znma u starm Grkom. Silov psobenie medzi nbojmi bolo kvantitatvne skman a v 18. storo lordom Henrym Cavendishom, ktor vak svoje pozorovania nepublikoval. O 13 rokov neskr v roku 1785 silov psobenie medzi nbojmi vo forme znmeho zkona zverejnil Ch. A. Coulomb. 3. Elektrick nboje s kvantovan. Existuje najmenie, nedeliten kvantum elektrickho nboja s absoltnou hodnotou e = 1,602 176 462.1019 C (A.s) Toto kvantum sa nazva elementrny nboj. Nositemi tohoto nboja s elementrne astice, priom protn m nboj +e a elektrn e. Von zlomky alebo neceloseln nsobky tohoto nboja neboli v prrode pozorovan. 4. Elektrick nboje sa zachovvaj. Zkon zachovania elektrickho nboja patr medzi zkladn prrodn zkony. Prleitostn zdanliv vymiznutie elektrickho nboja je zaprinen kompenzciou nboja jednho znamienka nbojom opanho znamienka. Celkov (kladn a zporn) nboj vesmru zostva kontantn a s najvou pravdepodobnosou nulov. Elektrick nboje s invariantn voi Lorentzovm transformcim, t. j. vekos 16elektrickho nboja nezvis od pohybovho stavu nboja. Tto dleit vlastnos elektrickch nbojov bola potvrden mnohmi experimentmi. 5. Elektrick nboje s viazan na materilne objekty elementrne astice. Aj ke v naich vahch budeme asto hovori o sprvan sa elektrickch nbojov, nesmieme strca zo zretea, e v skutonosti hovorme o sprvan sa elementrnych astc, molekl, alebo zloitejch hmotnch agregtov. O elementrnych asticiach ako nosioch elektrickch nbojov je pojednan v nasledujcom odseku. 1.2 MIKROSKOPICK NOSIE ELEKTRICKCH NBOJOV Mikroskopickmi nosimi elektrickch nbojov s nabit elementrne astice a iny, na ktorch me by kladn alebo zporn nboj. Tento nboj me by iba celoselnm nsobkom elementrneho nboja. Napriek vekmu experimentlnemu siliu sa doteraz nepodarilo objavi von astice s neceloselnm nbojom. Dnes je znmych asi 200 elementrnych astc a vek mnostvo inov, atmov a molekl. Vina astc po vzniku existuje ist, nie prli dlh as, po uplynut ktorho sa rozpadaj na in astice, t. j. astice maj konen dobu ivota. Vo vine prpadov je tto doba vemi krtka a predstavuje iba nepatrn zlomky sekundy. Niekoko astc m vak nekonen dobu ivota s to elektrn, protn a ich antiastice pozitrn a antiprotn. Protny sa podieaj na stavbe atmovch jadier, elektrny tvoria elektrnov obal atmu. Mono poveda, e prve tieto astice s pvodcami skoro vetkch elektromagnetickch javov. Na tvorbe atmovch jadier sa podieaj okrem protnov aj neutrny. Elektricky s neutrlne a ich doba ivota v atmovom jadre je nekonen. Mimo jadra ij asi 17 mint, potom sa rozpadn na protny, elektrny a antineutrno. Elektrick nboj inov je podmienen nedostatkom jednho alebo viac elektrnov v atme (kladn in katin), alebo naopak, prebytkom elektrnov (zporn in anin). Iny vznikaj obyajne rozpadom molekl alebo ionizciou atmu, t. j. stratou jednho alebo viac z jeho elektrnov. Elektrn. Elektrn je materilnym nosiom zpornho elementrneho nboja. Poda sasnch nzorov je elektrn bodovou beztruktrnou asticou, t. j. cel nboj elektrnu je sstreden v bode. Takto predstava je vntorne protireiv, pretoe energia elektrickho poa budenho bodovm nbojom je nekonen, a teda mala by by nekonen aj zotrvan hmota (hmotnos) bodovho elektrnu. To vak odporuje sksenosti, pretoe hmotnos elektrnu bola experimentom stanoven na hodnotu me = 9,109 381 88.1031 kg S touto protireivosou sa vak musme zmieri, pretoe neexistuje lepia a menej rozporn predstava o truktre (alebo o beztruktrnosti) elektrnu. Pri vpotoch sa nekonen energia elektrnu uvauje ako aditvna kontanta, ktor pri interakcich astc mono v konenom dsledku ignorova. Protn. Nositeom kladnho elementrneho nboja je protn astica pribline 1836-krt hmotnejia ako elektrn. Hmotnos protnu mp = 1,672 621 58.1027 kg 17 Obr. 1.1 Merania potvrdzuj, e na rozdiel od elektrnu, protn nie je bodov astica, ale e m efektvny priemer rdovo 1015 m. Taktie sa ukazuje, e elektrick nboj vo vntri protnu m svoju truktru. Experimentlne je dobre preskman rozloenie elektrickho nboja vo vntri protnu metdou, ktor na zaiatku dvadsiateho storoia pouil anglick fyzik Ernest Rutherford (1871 1937) na preskmanie truktry atmov. Metda spova v ostreovan protnov elektrnmi s vemi vekou energiou (niekoko GeV) a v pozorovan rozptylu elektrnov na protnoch. Vsledok tchto experimentov je prekvapiv a je zobrazen na obr. 1.1. Graf znzoruje zvislos sumrneho nboja protnu 4r2 v guovej vrstve jednotkovej hrbky polomeru r od stredu protnu. Z uvedenho grafu vidno, e prakticky cel nboj protnu je sstreden v guli s polomerom r0 < 1015 m. Po prvom maxime 4r2 nekles so vzdialenosou r monotnne, ale vykazuje ete jedno maximum. Obr. 1.2 18Neutrn. Podobn experimenty ako s protnmi boli uroben aj s rozptylom elektrnov na neutrnoch. Merania ukzali, e neutrn m tie svoju elektromagnetick truktru, a nie je bodovou, elektricky neutrlnou asticou. Rozloenie elektrickho nboja vo vntri neutrnu je graficky znzornen na obr. 1.2. Ukazuje sa, e neutrn, podobne ako protn, je objemovo nabit blzko jeho stredu je rozloen kladn elektrick nboj a alej od stredu nboj zporn. Plochy ohranien nad a pod osou r s rovnak, a teda mnostvo kladnho nboja v neutrne sa rovn mnostvu zpornho nboja. Objem, v ktorom s kladn a zporn nboje neutrnu uzavret, je prakticky rovnak ako u protnu. Je otzkou, ako sa m interpretova spojit rozloenie elektrickho nboja vo vntri protnu ak jeho nboj je elementrny. Plocha ohranien iarou a osou r na obr. 1.1 sa selne rovn nboju protnu a zarafovan plocha predstavuje nboj, ktor je uzavret vo vntri protnu v guovej vrstve s polomerom r a hrbkou dr. Je jasn, e tento nboj predstavuje iba mal as elementrneho nboja. Teda je namieste otzka, ak vznam m tvrdenie, e v danom objeme 4r2dr sa nachdza nboj men ako elementrny? Poda sasnch predstv terie elementrnych astc pozostvaj protny a neutrny z dvoch rznych bodovch objektov, ktor nes spolon nzov kvarky. Jeden z tchto kvarkov s nbojom +2e/3 sa nazva "up" (u), a druh s nbojom e/3 je "down" (d). Protn pozostva z dvoch kvarkov u a jednho kvarku d, take celkov nboj protnu je +e. Kvarky sa v objeme protnu pohybuj a hustota nboja v protne je takto mern dobe, za ktor kvarky v danom mieste zotrvvaj. Neutrn pozostva z dvoch kvarkov d a jednho kvarku u, take celkov nboj neutrnu sa rovn nule. Vysvetlenie spojitho rozloenia nboja v neutrne je analogick ako v protne. Von kvarky neboli v prrode pozorovan, ich existencia vak bola potvrden experimentmi na urchovaoch protibench zvzkov protnov a antiprotnov s energiami do 0,9 TeV. Experimentlne sa dokzalo, e kvark u m pokojov energiu mqc2 rdovo ~5 MeV a kvark d pokojov energiu ~10 MeV. Existencia kvarkov umouje vysvetli mnoh javy fyziky elementrnych astc.1 Dleitou charakteristikou elementrnych astc je ich moment hybnosti, alebo spin. Spin nemono vysvetova ako dsledok rotcie astc, pretoe pri rozumnch predpokladoch o rozmeroch astc by sa museli pripa oben rchlosti astc vyie ako rchlos svetla. Preto sa spin uvauje ako vntorn vlastnos astice. So spinom astice je spojen jej magnetick moment, ktor tie nemono vysvetli ako dsledok pohybu nboja a treba ho uvaova ako principilnu vlastnos astice. 1 Okrem uvedench kvarkov u a d boli po roku 1964 predpovedan a postupne objaven alie tyri kvarky: "strange" (s) s nbojom e/3 a s energiou 200 MeV; "charm" (c) [+2e/3, 1 500 MeV]; "bottom" (b) [e/3, 5 000 MeV]; "top" (t) [+2e/3, >100 000 MeV]. Posledn, t kvark, bol objaven v marci 1995. Tieto kvarky sa podieaj na stavbe exotickejch elementrnych astc ako napr. meznov. Mylienku o existencii kvarkov prv vyslovil americk teoretick fyzik Murray Gell-Mann, ktor v roku 1969 dostal za prce v terii elementrnych astc Nobelovu cenu. 191.3 POJEM BODOVHO NBOJA A HUSTOTY NBOJA V KLASICKEJ ELEKTRODYNAMIKE Pri vpote silovch psoben medzi elektrickmi nbojmi sa asto pracuje s pojmami "bodov nboj" alebo "hustota nboja". Pojem bodovho nboja bol v klasickej elektrodynamike zaveden v ase, ke kvantovanie nboja ete nebolo znme. Pod bodovm nbojom sa rozumel konen nboj lokalizovan v matematickom bode (teda nboj s nekonenou hustotou). Bodov nboj sa povaoval za uiton fikciu, ktor umouje analzu interakcie objemnejch nbojovch rozloen umiestnench v relatvne vekch vzjomnch vzdialenostiach. Poda dnench predstv bodov nboje v prrode existuj, je to u spomnan elektrn a jeho antiastica pozitrn. V naom texte budeme bodov nboje oznaova symbolmi q alebo Q. Popri bodovch nbojoch sa asto uvdza pojem hustoty elektrickho nboja, priom sa predpoklad, e nboj je v priestore rozloen spojito ako funkcia polohovho vektora r. Pre opis takho rozloenia zavdzame matematick funkciu (r) nazvan objemov hustota nboja dan limitnm pomerom nboja q v objeme , ak sa bli k nule, teda ( ) lim r = = 0q q dd (1.1) Pri tejto matematickej defincii objemovej hustoty nboja sa samozrejme nevyluuje, e v objeme sa me nachdza ubovone mal nboj, teda aj nboj men ako je elementrny. Nboje s vak kvantovan, a preto matematick pojem "nekonene mal nboj dq" mus fyzik interpretova ako vemi mal nboj, ktor vak ete stle predstavuje vek mnostvo elementrnych nbojov tak, aby akkovek mal zmeny potu nbojov bolo mon povaova za takmer spojit. Prsne vzat, relna objemov hustota nboja neme by matematicky spojitou funkciou polohy, v skutonosti je to funkcia, ktor od miesta k miestu vykonva jemn skoky. Obrazne povedan, nbojov rozloenie predstavuje vemi jemn kau. Okrem objemovej hustoty nbojov sa asto uvdza tie plon hustota nboja ( ) r =ddqS (1.2) kde dS je nekonene mal plon element uvaovanej plochy, na ktorom sa nachdza nekonene mal nboj dq, a nakoniec tie dkov hustota nboja na iare ( ) r =ddql (1.3) priom dl je nekonene krtky sek iary, na ktorom sa nachdza nekonene mal nboj dq. Ak je v objeme , na ploche S, resp. na iare l dan rozloenie nboja ako funkcie polohy (r), (r), resp. (r), potom celkov nboj v objeme, na ploche, resp. na iare je dan integrciou prslunch hustt nboja v danej oblasti, teda v objeme celkov nboj je 20 Q =

( ) r d (1.4) na ploche S Q SS=

( ) r d (1.5) a na iare l Q ll=

( ) r d (1.6) Zavedenie pojmu hustoty elektrickho nboja svis so veobecne platnm a vo fyzike iroko pouvanm princpom, poda ktorho vsledn fyziklne psobenie niekokch zdrojov nejakho systmu sa rovn stu (integrlu) psoben jednotlivch zdrojov. Tento princp sa nazva princpom superpozcie. Tak napr. vsledn sila psobiaca od niekokch nbojov sa rovn stu jednotlivch sl. 212 ELEKTROSTATIKA NBOJOV VO VKUU 2.1 SILOV PSOBENIE NBOJOV. COULOMBOV ZKON Pri tdiu elektromagnetickch javov je otzkou zsadnho vznamu silov psobenie medzi elektrickmi nbojmi. Toto silov psobenie je v skutocnosti velmi zloit, pretoe zvis od mnostva a pohybovho stavu nbojov, ktor s v interakcii, a aj od rozloenia nbojov v priestore. Jednoduch je iba prpad silovho psobenia dvoch bodovch nbojov (napr. nabitch elementrnych castc), ktor s vo zvolenom sradnicovom systme v pokoji a s umiestnen v istej vzjomnej vzdialenosti. Takto systm nezodpoved relnej situcii, pretoe nboje v pokoji sa v prrode nevyskytuj. Ak hovorme o nbojoch v pokoji, obycajne mme na mysli velk tatistick sbor elementrnych nbojov, ktor sce v nejakom objeme mu vykonvat fluktuacn tepeln pohyb, ale ich pocet v danom objeme sa nemen (napr. nboj na nabitej gulcke). Silov psobenie medzi dvoma bodovmi nbojmi skmal v polovici 18. storocia franczsky ucenec Charles Augustin de Coulomb. Coulomb vykonal mnostvo experimentov na zariaden nazvanom torzn vhy, na ktorch bodov nboje boli modelovan kovovmi nabitmi gulckami. Z jeho meran vyplynula skutocnost, e bodov nboje (nabit gulcky) psobia na seba silou, ktor je mern scinu nbojov a nepriamo mern tvorcu ich vzdialenosti. Sila je odpudiv, ak s nboje rovnakho znamienka a prtaliv, ak s znamienka opacnho, a psob pozdl spojnice nbojov. Silov psobenie splna tret Newtonov zkon, t. j. psobiace sily na jednotliv nboje s v absoltnej hodnote rovnak bez ohladu na velkost jednotlivch nbojov. Tieto experimentlne zisten skutocnosti mono vyjadrit v nasledovnej matematickej formulcii F kq qr=1 22 (2.1) kde F je sila psobiaca medzi nbojmi, q1 a q2 s velkosti nbojov, r je vzdialenost nbojov a k je rozmerov kontanta, ktor zvis od vberu sstavy jednotiek. V sstave fyziklnych jednotiek SI (Systme International dUnits) je jej cseln hodnota k = 8,987551786.109 kg.m3.s4.A2 (2.2) Hodnota kontanty k vyplynie z dalch naich vah. Z dvodov racionalizcie vztahov v elektrodynamike je vhodnejie kontantu k psat v tvare k =140 (2.3) 22kde 0 je univerzlna prrodn kontanta svisiaca s rchlostou svetla vo vkuu a nazva sa elektrick kontanta (star nzov permitivita vkua). Jej cseln hodnota je 0 = 8,854 187 818.1012 F.m1 (2.4) Sila je ale vektorov velicina, a preto vraz pre nu mus obsahovat aj informciu o smere jej psobenia. Ak je nboj q1 vo vektorovej vzdialenosti r12 od nboja q2 (pozri obr. 2.1), potom sila F12 psobiaca na nboj q1 od nboja q2 (nboje s zadan s prslunm znamienkom) je urcen vektorovm vztahom F r12 12=1401 2123q qr (2.5) Obr. 2.1 kde r12 je absoltna vzdialenost nbojov. Ak zavedieme jednotkov vektor r r12012 12= / r , potom vraz pre silu mono napsat v tvare F r12012014=q qr1 2122 (2.6a) Existuje ete jeden spsob zpisu Coulombovho zkona, pri ktorom sa polohy nbojov q1 a q2 zadaj polohovmi vektormi r1 a r2 vzhladom na nejak referencn bod 0 ako na obr. 2.2. V takom prpade r r r12 1 2,= r12 1 2= r r , a r r rr r120 1 21 2= take vraz (2.6a) mono prepsat na tvar ( )32 12 1 2 10 2 12 122 12 10124141r rr rr rr rr rF==q q q q (2.6b) Posledn vraz je najveobecnejm matematickm vyjadrenm Coulombovho zkona, ale aj najzloitejm, a preto ho budeme vyuvat iba vnimocne. Platnost zkona o silovom psoben bodovch nbojov overoval Coulomb prostriedkami, ktor mal v jeho dobe k dispozcii. Naa dvera k silovmu zkonu sa vak neme 23zakladat na experimentoch, pri ktorch je tako merat sily s presnostou vcou ako niekolko percent. Takto merania ns nemu presvedcit, e zvislost sily od vzdialenosti je skutocne kvadratick, teda e mocnitel je 2 a nie napr. 2,001. Neskr uvidme, e platnost Coulombovho zkona mono dokzat nepriamo experimentmi, podla ktorch mocnitel r sa rovn 2 s presnostou lepou ako 2.109. Obr. 2.2 Coulombov zkon ako zkladn experimentlny zkon elektrostatiky sa ukazuje ako mimoriadne vhodnm na stanovenie jednotkovho mnostva elektrickho nboja. Skutocne, ak vo vztahu (2.1) polome k = 1, potom za jednotkov meme vyhlsit tak dve mnostv elektrickho nboja, ktor v jednotkovej vzdialenosti psobia na seba jednotkovou silou. Tak bola urcen jednotka mnostva elektrickho nboja v sstave jednotiek cgs (Gaussovej sstave), ktor sa dnes v praxi nepouva, v ktorej jednotka nboja, a nsledne jednotka elektrickho prdu, nie je zkladnou, ale odvodenou jednotkou. Kede meranie sily medzi nbojmi (gulckami) je obtiane a zataen znacnou chybou, je v sstave fyziklnych jednotiek SI jednotka nboja urcen inm spsobom. V SI sstave je zkladnou elektrickou jednotkou jednotka elektrickho prdu ampr (A), ktor dokeme pohodlne merat zo silovch cinkov medzi prdmi. Kede elektrick prd I je definovan ako mnostvo elektrickho nboja q, ktor prejde prierezom vodica za jednotku casu t, teda I = q/t, mono jednotkov nboj definovat ako mnostvo nboja, ktor pri prde 1 A pretecie prierezom vodica za jednu sekundu (s). Toto jednotkov mnostvo nboja sa nazva coulomb (C). Teda 1 C = 1 A 1s = 1 A.s. Teraz je jasn pvod hodnoty kontanty k (2.2) vo vztahu (2.1). Dva bodov nboje, kad velkosti 1 C, umiestnen vo vzjomnej vzdialenosti 1 m psobia na seba obrovskou silou, ktor sa cselne (v newtonoch) rovn hodnote kontanty k, danej vyjadrenm (2.2). Cseln hodnota kontanty k alebo 0 sa vak stanovuje inm spsobom. V elektromagnetizme sa popri kontante 0 zavdza ete jedna univerzlna kontanta pola, a to magnetick kontanta 0 (star nzov permeabilita vkua). Jej hodnota 0 = 4.107 H/m (2.7) je dan definitoricky. Obidve kontanty pola svisia s rchlostou c svetla vo vkuu vztahom 24 1 0 0= c (2.8) ktor plynie z vlnovch rovnc elektromagnetickho pola. Z toho elektrick kontanta 0021=c (2.9) s cselnou hodnotou danou vyjadrenm (2.4). Presnost urcenia 0 je dan presnostou, s ktorou je v scasnosti znma rchlost svetla vo vkuu (pozri odsek 11.7). Ak je vo vzjomnom silovom psoben n nbojov, potom sila Fi psobiaca na vybran i-t nboj podla princpu superpozcie je dan vrazom F F F F F F Fi i i ii ii in ijjnj i = + + + + + + = = 1 2 -1 +1 ( )1 Skladanie sl od niekolkch nbojov rovnakho znamienka a rovnakej absoltnej hodnoty je v proporcionlnej mierke znzornen na obr. 2.3. Obr. 2.3 Jedna z u uvedench vlastnost elektrickch nbojov hovor o ich vzbe na materilne objekty, t. j. e nboje s vdy viazan na ist elementrne castice. Medzi casticami ako nositelmi elementrnych nbojov psobia okrem elektrickch aj gravitacn sily. Je otzka, akou mierou sa podielaj gravitacn sily v porovnan s elektrickmi silami na vzjomnom silovom psoben dvoch elementrnych castc. Ako prklad mono posdit silov psobenie medzi protnom a elektrnom v danej vzdialenosti, naprklad v klasickom atme vodka. Medzi uvedenmi casticami psob prtaliv sila, ktor je vsledkom superpozcie prtalivej elektrickej sily medzi dvoma neshlasnmi elementrnymi nbojmi a gravitacnej prtalivej sily medzi hmotnostami protnu a elektrnu. Ak uvime, e hmotnost protnu mp = 1,67.1027 kg, hmotnost elektrnu me = 9,11.1031 kg, elementrny nboj e = 1,602.1019 C, gravitacn kontanta = 6,67.1011 m3.kg1.s2 25a elektrick kontanta pola 0 = 8,854.1012 F.m1, potom pomer elektrickej sily Fe a gravitacnej Fg je FFem meg p e= 203942 2710 , . !!! Tento prklad svedc o tom, e elektrick sila medzi nabitmi elementrnymi casticami je mnohokrt vcia ako prtaliv sila medzi hmotnostami castc, a preto gravitacn psobenie medzi elementrnymi casticami mono vdy zanedbat. Uveden prklad potvrdzuje ete jednu skutocnost, e sily, ktor dria atmy pohromade, s sily elektrickho pvodu. V tejto svislosti je namieste otzka, co dr pohromade atmov jadr? Tie pozostvaj z neutrnov a protnov a medzi protnmi psobia siln elektrick odpudiv sily. Je zrejm, e ak sa pod cinkom takejto sily atmov jadr nerozletia, musia medzi ich stavebnmi kamenmi psobit ete in prtaliv sily, ktor musia byt silnejie ne odpudiv sily protnov. Tmito silami s jadrov sily, sily krtkeho dosahu, ovela vcie ako gravitacn a elektrick sily, ktor so vzdialenostou velmi rchlo klesaj. Jadrov sily s zodpovedn za konzistenciu a stabilitu atmovch jadier. Lahk jadr, ktor obsahuj rovnak pocet protnov a neutrnov, s relatvne stabiln. U takch jadier je stabilita zaisten vcm poctom neutrnov, ktor zmenuj odpudiv silu protnov tm, e "zrieduj" protny v jadre. Stabilita takch jadier je vak vratk. Velmi tak jadr s atmovm cslom vcm ako 83 s nestabiln a pri sebemenej excitcii sa rozpadaj. Sily medzi nuklenmi (protnmi a neutrnmi) v jadrch atmov s siln interakcie, zatial co sily medzi jadrom a elektrnmi v atme, prpadne sily medzi atmami v molekulch a v krytloch patria medzi elektromagnetick interakcie. Vo svete, ktor ns obklopuje, je elektrick silov psobenie podla Coulombovho zkona jedno z najdleitejch. Je zodpovedn za existenciu atmov, ale aj molekl, teda za existenciu ltok tak, ako ich v prrode poznme, so vetkmi ich mechanickmi vlastnostami. Tieto mechanick vlastnosti s v skutocnosti odrazom psobenia elektrickch sl medzi zkladnmi stavebnmi kamenmi ltky. Platnost Coulombovho zkona bola experimentlne overovan a potvrden v irokom rozsahu vzdialenost od rozmerov atmovho jadra (rdovo 1015 m) a do vzdialenosti rdovo 103 m a niet dvodov pochybovat, e plat aj pre vcie vzdialenosti. Na zklade uvedench skutocnost mono Coulombov zkon povaovat za jeden zo zkladnch experimentlnych zkonov elektromagnetizmu. 2.2 ELEKTRICK POLE. INTENZITA ELEKTRICKHO POA Vpocet silovho psobenia medzi bodovmi nbojmi je jednoduch, ak ide o interakciu dvoch nbojov. V systme viacerch nbojov potom mono vyuit princp superpozcie, ale loha sa stva zloitejou. Ete zloitejou je loha, ak na bodov nboj psob rozloenie nbojov, ktor meme povaovat za spojit. Je zrejm, e priamy vpocet je znacne staen, alebo aj nemon. Uvaujme ete raz systm n bodovch nbojov q1, q2, , qn, ktor silovo psobia na vybran nboj qj. Sila Fj psobiaca na nboj qj je podla Coulombovho zkona a princpu superpozcie 26 F Fj jiinj i = =1( ) (2.10) kde F r rjij ijiji jijijiq qrqqrj i = =

((( 14140303 ( ) (2.11) je sila, ktorou i-t nboj psob na j-t nboj. Vsledn sila psobiaca na j-t nboj je teda F F rj jiinjijiinjiqqrj i = =

((( =103=114( ) (2.12) a je dan scinom nboja qj a scinitela v hranatej ztvorke, ktor zvis iba od nbojov q1 a qn a ich vektorovch vzdialenost k nboju qj. Vraz v ztvorke je matematicky vektorov funkcia polohy (ako uvidme neskr v elektrodynamike, aj funkcia casu) a fyziklne predstavuje vektorov velicinu, ktor sa cselne a smerom rovn sile psobiacej na jednotkov kladn nboj qj velk 1 C. Tto vektorov velicinu nazvame intenzita elektrickho poa a oznacujeme ju symbolom E. Priestorov rozloenie veliciny E nazvame elektrick pole. Podla uvedench vah je formlne intenzita elektrickho pola dan podielom sily a nboja, na ktor sila psob, teda E F=q (2.13) Intenzita elektrickho pola je dleit fyziklna velicina, pre meranie ktorej treba urcit jednotku, najvhodnejie priamo zo vztahu (2.13). Vidme, e takou jednotkou je 1 N/C. Castejie sa vak intenzita elektrickho pola urcuje v ekvivalentnch jednotkch 1 V/m = 1 N/C, kde V (volt) je jednotka elektrickho potencilu, alebo elektrickho naptia. Rozmer jednotky intenzity elektrickho pola v sstave SI jednotiek je 1 Vm= 1 NC= 1 m. kg.s . A 3 1 Ak v nejakom bode priestoru intenzitu elektrickho pola poznme, potom sila psobiaca na nboj q v danom bode je vyjadren jednoduchm vrazom F = qE (2.14) Tento vztah medzi intenzitou elektrickho pola a silou, ktor v danom bode psob na elektrick nboj, je jednm zo zkladnch vztahov elektrostatiky. Prv, ne pristpime k vpoctu elektrostatickch pol rznych nbojovch rozloen, odpovieme na jednu kardinlnu otzku: Co je vlastne elektrick pole? Je to fyziklna realita alebo iba bezobsan pomocn pojem na popis silovch interakci medzi elektrickmi nbojmi. Podla spsobu jeho zavedenia sa toti mono domnievat, e elektrick pole je 27iba pomocn matematick funkcia, iba fikcia, ktor neodra nijak objektvnu realitu. Ak by to bola pravda, to by znamenalo, e elektrick silov psobenie je okamit psobenie nbojov na dialku, bez akejkolvek casti priestoru a casu. Takto nzor na problm sa veobecne povaoval za sprvny alebo aspon logick a do vybudovania elektromagnetickej terie, a v konecnom dsledku a do vybudovania terie relativity.1 Silov interakcie elektrickch nbojov sa vak uskutocnuj v priestore a v case, z coho plynie, e elektrick pole je nositelom energie. O tom sa mono presvedcit nasledovnm mylienkovm experimentom: Dva bodov nboje sa nachdzaj vo velkej vzjomnej vzdialenosti. Predstavme si, e jeden z nbojov v istom okamihu zmenil polohu, "uskocil". Ptame sa: za ak dobu to pocti druh nboj? Ak by sa informcia o zmene polohy nboja rila okamite s nekonecnou rchlostou, vtedy by sme mohli vyhlsit, e vzjomn interakcie nbojov s okamit v case, a teda sa dej bezprostredne, bez casti sprostredkovatela, ktorm je priestor a cas. Dnes vak vieme, e spomnan informcia o zmene polohy nboja sa ri konecnou rchlostou, konkrtne vo vkuu rchlostou svetla c. Teda prenos informcie sa uskutocn v priebehu doby t = l/c, kde l je vzdialenost medzi nbojmi. Pocas tejto doby informcia o "uskocen" nboja mus byt v niecom zakdovan, a tm niecm je realita, ktor nazvame elektrick pole. Na zdvodnenie existencie elektrickho pola netreba nm vak robit nijak mylienkov experimenty. Dnes nikto nepochybuje o relnej existencii elektromagnetickch vln, ktor sa iroko vyuvaj na prenos informci a o ktorch vieme, e sa ria konecnou rchlostou, vo vkuu rchlostou c. Prenos informci je mon iba prenosom energie, teda elektromagnetick vlny predstavuj toky energie. Elektromagnetickm a tm aj elektrickm poliam teda musme pripsat energiu, hybnost a dokonca aj moment hybnosti a povaovat ich za objektvnu realitu, pre ktor s splnen aj zkony zachovania. Treba si uvedomit, e ak by psobenie nbojov bolo bez casti priestoru a casu, neexistovali by elektromagnetick vlny. Interakcia elektrickch nbojov teda nie je bezprostredn, nie je to psobenie na dialku, ale psobenie prostrednctvom relneho elektrickho pola, ktor je energetickm prejavom nboja. Intenzita elektrickho poa n bodovch nbojov. V tomto odseku uvedieme niekolko prkladov na vpocet elektrostatickch pol rznych nbojovch zoskupen. Jednoduch je vpocet intenzity elektrickho pola skupiny bodovch nbojov, alebo pecilne jednho bodovho nboja v bode, v ktorom nele iadny in nboj. Intenzita systmu bodovch nbojov je dan vrazom v ztvorke vztahu (2.12), teda E r = 14031qriiiin= (2.15) Intenzita elektrickho poa bodovho nboja. Intenzita elektrickho pola od jedinho bodovho nboja q vo vektorovej vzdialenosti r E r =140qr3 (2.16) 1 Predstavu o bezprostrednom psoben nbojov na dialku zastval aj vznamn nemeck fyzik Wilhelm Eduard Weber (1804 1855) 28Z poslednch dvoch vztahov vidme, e pre intenzitu elektrickho pola, podobne ako pre elektrick sily, plat princp superpozcie, toti, e intenzita pola sboru bodovch nbojov sa rovn vektorovmu sctu intenzt jednotlivch bodovch nbojov. O elektrickom poli bodovho nboja zatial meme povedat iba to, e je to vektorov pole, ktor je radilne so stredom symetrie v mieste nboja, je priamo mern velkosti nboja a nepriamo mern druhej mocnine vzdialenosti od nboja, teda je funkciou 1/r2. V mieste nboja m pole singularitu, intenzita pola v absoltnej hodnote tam rastie nad vetky medze, a naopak, v nekonecne velkch vzdialenostiach od nboja intenzita kles k nule. Takto informciu nm poskytuje vraz (2.16). Intenzita elektrickho poa dvojice bodovch nbojov. Druhm dleitm systmom nbojov je dvojica bodovch nbojov q1 a q2 uloench v istej vzjomnej vzdialenosti d. Intenzita pola v lubovolnom bode priestoru je dan superpozciou pol dvoch nbojov a matematicky sctom dvoch vrazov typu (2.16). Ak s nboje lubovoln, bliie neurcen, me byt pole velmi zloit. Polia rznych dvojc maj vak niektor spolocn crty; v miestach nbojov polia vykazuj singularity (nekonecne velk absoltne hodnoty), v nekonecne pole zanik, pole m valcov (osov) symetriu okolo osi prechdzajcej nbojmi. Najjednoduchie pole vytvraj dvojice v absoltnej hodnote rovnako velkch nbojov, pricom obzvlt dleit je dvojica rovnako velkch nbojov opacnho znamienka, ktor nazvame elektrick dipl. Pole elektrickho diplu je vhodnejie analyzovat s vyuitm pojmu elektrickho potencilu, preto na tomto mieste posdime iba niektor zkladn crty tohto pola. Obr. 2.4 Na obr. 2.4 je dvojica nbojov +q a q vo vzjomnej vzdialenosti d = 2a. Os x pravouhlho sradnicovho systmu je toton s osou dvojice nbojov a os y prechdza symetricky medzi nbojmi. Urcme intenzitu elektrickho pola na dvoch miestach v bode M(x; 0) na osi x vo vzdialenosti x > a a vo zvolenom bode P(0; y) na osi y. Treba si vimnt, e pole je osovo symetrick, teda rovnak pole ako v bode P je v kadom bode na krunici s polomerom y leiacej v rovine kolmej na os x a so stredom na osi x. V bode M je intenzita elektrickho pola EM dan vektorovm sctom pol EM+ a EM od jednotlivch bodovch nbojov, teda 29 E E EM M M= ++ kde ( )E iMqx a+=+1420 a ( )E iMqx a= 1402 take ( ) ( )E iMqx a x a=+

((( =41 102 2 ( )= = |\

|.|4424 102 2203222axqx aqdxaxi i (2.17) Intenzita pola v bode M smeruje proti jednotkovmu vektoru i (do stredu sradnej sstavy). V symetrickom bode vo vzdialenosti x m intenzita elektrickho pola rovnak absoltnu hodnotu a smeruje v zpornom smere osi x. So zvcovanm absoltnej vzdialenosti x kles intenzita v absoltnej hodnote k nule. V bodoch, kde sdlia nboje, intenzita v absoltnej hodnote rastie nad vetky medze (singulrne body). V bodoch na osi x pre |x| < a m intenzita smer kladnej osi x a jej velkost je dan vrazom ( )Eq x aa xx = +202 22 22 (2.18) o com sa citatel me lahko presvedcit. V strede sradnicovej sstavy (x = 0, y = 0), symetricky medzi nbojmi Eqax =202 (2.19) teda intenzita predstavuje dvojnsobok intenzity pola bodovho nboja, co sa dalo ocakvat. Vimnime si teraz vlastnosti intenzity pola v bode P na osi y. Aj tam je intenzita pola EP dan superpozciou dvoch vektorov EP+ a EP, t. j. E E EP P P= ++ kde E EqrP P+ = =1402 a zloky tchto vektorov v smeroch os x a y v bode P s dan vrazmi 30 E EqrPx Px+ = =1402 cos E EqrPy Py+ = =1402 sin Vsledn intenzita v bode P je dan vektorom j i j i E E E 0 2 ) ( ) ( + = + + + = + = + + + +Px Py Py Px Px P P PE E E E E kde j je jednotkov vektor v smere osi y. Ako vidme z poslednho vrazu, pole v bode P m tie iba zloku x E EqraqrPx Px= = =+2 214 4202 3 cos =10 ( )=+=+|\

|.|qdy aqdyay44 102 23 203223 2/ / kde sme pri prave vyuili skutocnost, e a/r = cos a r y a = +2 2 Intenzita elektrickho pola v bode P je teda dan vektorom E iPqdyay=+|\

|.| 4 103223 2/ (2.20) a pre rastce y kles k nule. Pre y = 0, teda v strede symetrie (v zaciatku sradnicovho systmu) E i iP xEqa= =202 co je tak ist vsledok, ak sme dostali pri analze pola na osi dvojice nbojov [na osi diplu pozri vztah (2.19)]. Obzvlt dleit je pole vo velkej vzdialenosti od dvojice nbojov, teda vo vzdialenostiach ovela vcch ako je vzdialenost nbojov d = 2a. Takto dvojica nbojov pozorovan z velmi velkej vzdialenosti sa nazva bodov dipl. Intenzitu pola bodovho diplu na osiach x a y dostaneme tak, e vo vztahoch (2.17) a (2.20) sa 31povauje x, y a, take veliciny a2/x2 1 a a2/y2 1 meme zanedbat. Oznacme p = qd, potom E iMpx= 2403 (2.21a) E iPpy=403 (2.21b) Velicina p je absoltna hodnota diplovho momentu. Vidme, e intenzita pola vo velkej vzdialenosti na osi diplu (osi x) je v absoltnej hodnote dvakrt vcia ako intenzita v rovnako velkej vzdialenosti kolmo na os diplu (na osi y). Vzhladom na velk dleitost diplovho pola vrtime sa k nemu podrobne po zaveden pojmu elektrickho potencilu. Zatial si vimnime iba to, e diplov pole v porovnan s polom bodovho nboja je slab a kles s tretou mocninou vzdialenosti na rozdiel od pola bodovho nboja, ktor, ako vieme, kles s druhou mocninou vzdialenosti. V lubovolnch inch bodoch priestoru v okol dvojice nbojov je pole dan vektorovm sctom pol jednotlivch nbojov. Jeho matematick vyjadrenie me byt zloit a obycajne neposkytuje nzorn predstavu o priestorovom priebehu pola. Nzorn predstavu o poli mono zskat, ak ho nejakm spsobom graficky zobrazme. Podla u uvedench matematickch vyjadren je elektrick pole spojit vektorov funkcia polohy v priestore, v blzkosti bodovho nboja rastie nad vetky medze a smerom do nekonecna kles k nule. Tto funkciu by teda bolo mon znzornit pomocou nejakch ciar. Existuje viacero spsobov ako graficky zobrazit elektrick pole. Najrozrenej spsob zobrazenia pola je pomocou silociar. Silociary v priestore, kde existuje elektrick pole, s myslen orientovan ciary, ktor maj nasledovn vlastnosti: 1. V kadom bode pola m vektor intenzity smer dotycnice k silociare. Tto vlastnost implikuje skutocnost, e silociary sa nemu pretnat. 2. Silociary zacnaj na kladnch a koncia na zpornch nbojoch alebo v nekonecne. 3. Silociary znzornujeme tak, e ich pocet prenikajci jednotkov plochu je mern intenzite pola v danom bode. Tam, kde s silociary hustejie, je intenzita pola vcia, a tam kde s redie, je intenzita menia. Nie je celkom trivilne, e existuje sbor silociar, ktor maj uveden vlastnosti. Mono sa presvedcit, e ak by neplatil Coulombov zkon, takto sbor silociar by neexistoval. Netreba vak zabdat, e elektrick silociary s iba pomocn prostriedok na zobrazenie pola, e nijak relne ciary v priestore neexistuj. Na obr. 2.5 s znzornen silociary kladnho a zpornho bodovho nboja. Z kladnho nboja silociary radilne vychdzaj a strcaj sa v nekonecne. Na zpornom nboji maj silociary opacn smer. Na obr. 2.6 s silociary dvojice opacnch rovnako velkch nbojov, na obr. 2.7 s silociary dvojice rovnakch kladnch nbojov a napokon na obr. 2.8 silociary dvojice opacnch nbojov rznej velkosti. Vidme, e najm posledn silociary s elegantn a zobrazuj relatvne zloit, v priestore osovo symetrick pole. 32 Obr. 2.5 Obr. 2.6 Obr. 2.7 Obr. 2.8 332.3 INTENZITA ELEKTRICKHO POA NBOJOV SPOJITE ROZLOENCH NA IARACH, PLOCHCH A V OBJEME V praxi je elektrick nboj casto spojito rozloen na telesch rznych geometrickch foriem, pricom spojitost musme chpat v uvedenom zmysle rozloenia velkho mnostva elementrnych nbojov na objektoch konecnch rozmerov. Pod pojmom rozloen nboj tu rozumieme dodatocn nboj, ktor bol na teleso priveden alebo z neho odveden vo forme napr. istho poctu elektrnov. Bez tohoto dodatocnho nboja sa teleso jav ako elektricky nenabit, t. j. cinok nboja vetkch protnov je kompenzovan cinkom nboja presne rovnakho poctu elektrnov. Je samozrejm, e tto kompenzciu treba chpat v relatvne velkom objeme, v ktorom velk pocet kladnch a zpornch nbojov je rovnak. V blzkosti jednotlivch elementrnych nbojov v telese existuj siln loklne polia, ktor v dsledku chaotickho tepelnho pohybu maj fluktuacn charakter a ich priestorov a casov stredn hodnota sa rovn nule. Ak teda privedieme na teleso dodatocn nboj inc povedan, elektricky ho nabijeme zaujm tieto nboje na telese ist polohy zvisl od truktry a elektrickch vlastnost telesa. Na tomto mieste treba povedat, e v prrode sa vyskytujce ltky delme z hladiska ich zkladnch elektrickch vlastnost na: a) ltky elektricky nevodiv, nazvan nevodie, izolanty, prpadne dielektrik, b) ltky elektricky vodiv, alebo jednoducho vodie. Pojem "vodivost ltok" zavedieme neskr ako fyziklnu velicinu, na tomto mieste definujeme vodivost ako mieru volnosti pohybu nbojov v ltke. V nevodicoch, dielektrikch, sa priveden nboje nemu pohybovat, teda zotrvvaj na tch miestach, na ktor boli vonkajmi silami prinesen. Vo vodicoch sa nboje mu pohybovat, take priveden nboj si na vodivom telese njde sm miesto, na ktorom je ochotn stabilne zotrvat. Toto rozmiestnenie nbojov na vodivom telese je "kolektvne", po dohode s ostatnmi nbojmi. D sa ukzat, e rozloenie nbojov na vodivom telese zodpoved princpu najmenieho cinku nboje sa na vodivom telese rozloia tak, e energia ich elektrickho pola je minimlna (Thomsonova veta). Uveden triedenie ltok na vodiv a nevodiv je velmi hrub, pretoe v prrode v skutocnosti neexistuj idelne ltky, ktor by patrili do jednej alebo druhej skupiny. Vetky tuh ltky s viac-menej vodiv alebo nevodiv. Naviac, popri tuhch ltkach existuj aj ltky kvapaln a plynn, ktor maj svoje pecifick zvltnosti, najm plyny, ktor ked s ionizovan, predstavuj osobitn skupenstvo hmoty nazvan fyziklna plazma. Kede sa na tomto mieste nemienime zaoberat vntornou truktrou ltok, uspokojme sa s tmto hrubm triedenm, ktor potrebm elektrostatiky dostatocne vyhovuje. Ltkov nabit prostredie samo vplva na intenzitu elektrickho pola. Predbene si vak tento vplyv nebudeme vmat a vsledn elektrick pole budeme povaovat iba za pole dodatocnch, prinesench nbojov. Venujme sa teda spsobom vpoctu intenzity pola od rznych nbojovch rozloen. Vetky tieto vpocty s zaloen na platnosti princpu superpozcie a ved na integrciu prspevkov k intenzite od jednotlivch elementov nbojovho rozdelenia. Ako prv preskmame elektrick pole buden nbojom rozloenm na geometrickom tvare, podobnom matematickej ciare, ktor me modelovat napr. tenk vodiv nabit drt alebo nabit vlkno z umelej hmoty. Dlka nosica nboja (ciary) nech je l a me byt konecn alebo nekonecn. Na ciare je rozloen nboj s dlkovou hustotou , pricom me byt kontanta (kladn alebo zporn), ak je nboj na ciare rozloen rovnomerne, 34alebo velicina zvisl od polohy na ciare. V takom prpade je matematickou funkciou polohy, pricom poloha me byt dan rznym spsobom; najcastejie ako prieben bod v pravouhlch sradniciach (x0, y0, z0), teda vzdialenostou uvaovanho bodu na ciare od vhodne zvolenho zaciatku 0, pozri obr. 2.9, teda (r0). V tomto bode na ciare zvolme nekonecne krtky sek dl, na ktorom je celkov nekonecne mal nboj dQ(r0) = (r0)dl. Tento nboj m vo velkej vzdialenosti r vlastnosti bodovho nboja, teda bud nekonecne mal pole dE(r) mern dQ a klesajce ako funkcia 1/r2 so smerom pozdl vektora r. Pole dE(r) mono vyjadrit matematickmi vztahmi d ( )d ( ) ( )d( )( )d E r rr r r r r rr r= = = 14141400300300 003 Qr rl l (2.22) kde r = r r0 (pozri obr. 2.9). Vsledn intenzita pola od celej nabitej ciary je dan vektorovm sctom nekonecne malch prspevkov dE od jednotlivch nbojovch elementov pozdl celej ciary l. Matematicky je tento scet dan integrlom prspevkov (2.22), teda } =llrd) (a 41) (300r rr E (2.23) Obr. 2.9 Vztah (2.23) pre intenzitu elektrickho pola od nabitej priamky m iba formlny vznam, pretoe nevieme priamo poctat integrly z vektorovch funkci. Ak mme tastie, e polia od vetkch elementov maj rovnak smer, v takom prpade ide o obycajn integrciu, ale to je zriedkavost. Vo veobecnosti treba prspevky typu (2.22) rozloit na vektorov zloky a tieto jednotlivo integrovat. Vsledok dostaneme v tvare troch zloiek vektora intenzity elektrickho pola. Ciastocne sa vpocet zjednodu aj v prpade, ked je nbojov hustota kontantn. 35Intenzita elektrickho poa v okol nabitej priamky. Ako uitocn prklad uvedieme vpocet intenzity elektrickho pola v okol nekonecne dlhej priamky nabitej nbojom s kontantnou hustotou . Na obr. 2.10a je znzornen cast nekonecnej nabitej priamky. V kolmej vzdialenosti r od priamky (bod 0 je vztan bod) v bode P je intenzita elektrickho pola od kadho z dvoch zvolench elementov dl dan vrazom d ddd = = = E Elr14 4020 (2.24) kde sme vyuili skutocnost, e l r lr r= = = tg dcos cos 2d Obr. 2.10 Tieto elementrne prspevky maj smery spojnc a v bode P sa vektorovo sctaj na vsledn intenzitu dvojice v absoltnej hodnote d d cos cos d E Err = = 220 (2.25) Smer tohoto prspevku je pozdl spojnice r. Teraz meme integrovat vetky takto dvojice pozdl nekonecnej priamky, teda 36 } = =2 / a00 0 a 2d cosa 2) (r rr Er (2.26) Vidme, e pole nbojov rozloench rovnomerne na nekonecnej priamke je radilne okolo priamky a intenzita pola kles ako funkcia 1/r. Na obr. 2.10b s znzornen silociary pola v okol nabitej priamky. Intenzita elektrickho poa od nboja na krunici. Poucnm prkladom je vpocet intenzity elektrickho pola na osi krunice polomeru R s nbojom Q rovnomerne rozloenm pozdl nej s dlkovou hustotou = Q/(2R), pozri obr. 2.11a. Intenzitu pola vypoctame vo vzdialenosti z od stredu krunice. Na krunici zvolme dva proti sebe leiace nbojov elementy dl, ktor dvaj dva rovnako velk prspevky intenzity d dd dcos = = = E El Rz141402022 Obr. 2.11 kde = z/cos a dl = Rd. Tieto dva prspevky sa v bode P vektorovo skladaj a vytvraj pozdl osi z element intenzity d d coscosd E ERzz = = 22032 Po jednoduchej integrcii elementov d od 0 po dostaneme pre intenzitu pola na osi kruhu vo vzdialenosti z v mieste, odkial oblky kruhu vidiet pod uhlom , vraz v tvare ( )ERzQ zz Rz = =+ 2 403202 23 2cos/ (2.27) 37Z tohoto vrazu meme urobit niektor vpovede o priebehu pola pozdl osi z. Predovetkm v zaciatku, v strede krunice (z = 0), je intenzita nulov. To sce priamo z poslednho vrazu nevyplva, pretoe by tam mohli okrem zloky v smere z existovat i nejak priecne zloky, ale aj tie by sa v dsledku osovej symetrie rozloenia nboja v strede krunice museli ruit. Pre zporn hodnoty z je intenzita pola na osi zporn, co znamen, e tam intenzita pola smeruje proti smeru osi z, a v nekonecne velkch vzdialenostiach napravo a nalavo od stredu 0 sa intenzita pola rovn nule. Posledn vraz meme psat aj v tvare 2 / 3222011a 4) (||.|

\|+=zRzQz Ez (2.28) odkial vidme, e vo vzdialenosti z R je pole dan priblinm vrazom 204) (zQz Ez Vo velkej vzdialenosti od krunice nielen na osi, ale v lubovolnom bode priestoru je pole dan poslednm vrazom, inak povedan, z velkej vzdialenosti pozorujeme nabit krunicu ako bodov nboj. Zistili sme, e intenzita pola v zaciatku a v nekonecne sa rovn nule, mus teda na osi z existovat miesto, kde intenzita pola m maximum. Mono sa lahko presvedcit, ked sa vypocta extrm funkcnej zvislosti (2.27), e intenzita nadobda absoltne maxim vo vzdialenostiach R 2 od stredu krunice, kde dosahuje hodnoty EQRmax =6 302 Pole silociar v bezprostrednom okol krunice je pomerne zloit. O jeho priebehu si mono urobit predstavu z obr. 2.11b. N vpocet sa tka iba bodov na osi krunice, vo vetkch inch bodoch vpocty s zloit a ved na eliptick integrly. Druhm, v praxi sa casto vyskytujcim nbojovm rozloenm, je spojit rozloenie nboja na ploche. Na obr. 2.12 je znzornen plocha S, ktor tie me byt konecn alebo nekonecn, na ktorej je rozloen nboj s plonou hustotou . Vo vektorovej vzdialenosti r0 od vztanho bodu 0 je na ploche zvolen elementrna plocha dS, na ktorej sdli nekonecne mal nboj dQ = dS. Tento nboj produkuje vo vektorovej vzdialenosti r elementrne mal intenzitu elektrickho pola 300d ) (a 41) ( drS= r rr E (2.29) kde r je vektorov vzdialenost bodu P, v ktorom poctame intenzitu. Vsledn intenzita pola v bode P je dan integrlom vrazu (2.29), teda 38 } =SSrd) (a 41) (300r rr E (2.30) Integrl v poslednom vraze je vo veobecnosti dvojnm integrlom a spsob jeho vpoctu zvis od spsobu volby plonho elementu dS. Obr. 2.12 Intenzita elektrickho poa od nboja na kruhovej ploche. Ako prklad uvedieme vpocet intenzity elektrickho pola na osi kruhu s polomerom R vo vzdialenosti z od nboja Q rovnomerne rozloenho s plonou hustotou = Q/(R2) na kruhu, pozri obr. 2.13a. Na kruhu si zvolme koncentrick medzikruie s polomerom r, s prrastkom dr a na nom vyberieme dva proti sebe leiace plon elementy rdrd, na ktorch s nekonecne mal nboje dQ = rdrd. Tieto nboje vytvoria v bode P intenzity elektrickho pola s absoltnymi hodnotami d dd dtg d d = = = E Er r14 4020 kde sme pri zpise vyuili rovnosti = = =zr z rzcostg dcosd2 Tieto dva prspevky sa v bode P vektorovo skladaj a vytvoria elementrne pole d d cos tg cos d d sin d d = = = E E 22 20 0 Po prvej integrcii tohto vrazu cez elementy d od 0 po dostaneme elementrnu intenzitu od celho medzikruia d sin d Ez = 20 39a ak t integrujeme cez uhol od 0 po 0, dostaneme EQRz = = 212100020( cos ) ( cos ) (2.31) Pre funkciu cos0 plat cos02 2=+zz R take E zzz RQRRzz( ) = +|\

|.|| = +|\

|.||||| 21211102 20222 (2.32) Obr. 2.13 Z vrazov (2.31) a (2.32) meme zskat zaujmav informcie o poli. Predovetkm vidme, e v nekonecne velkej vzdialenosti (pre 0 = 0 alebo z ) pole vymizne a v strede kruhu (pre 0 = /2, alebo z = 0) m konecn hodnotu EQRz = = 2 20 02 (2.33) Vo velkej vzdialenosti od kruhu pre z R, meme prevrten hodnotu odmocniny vo vraze (2.32) rozvint do mocninovho radu a obmedzit sa na prv dva cleny rozvoja, teda 111122222+ RzRz 40a uveden vraz nadobudne tvar EQzz 402 Vidme, e vo velkch vzdialenostiach od kruhu je jeho pole podobn ako pole bodovho nboja. Na plon nboj rozloen na kruhovej ploche je mon ete in dleit pohlad. Predpokladajme, e polomer plochy R budeme zvcovat do nekonecna. Kruhov plocha prejde na nekonecn rovinu. Ak vo vraze (2.31) 0 /2 alebo vo vraze (2.32) R , dvaj tieto vrazy intenzitu elektrickho pola pred nekonecnou rovinou v tvare Ez = 20 (2.34) Kede nekonecn rovina nem os symetrie, intenzita dan poslednm vrazom je rovnako velk v kadom bode pred a za rovinou. Ak je kladn, potom pole m smer od roviny na kad stranu. Ide o homognne polia. Samozrejme nekonecne rozlahl roviny v praxi nemme, ale nae vahy s platn pre kad prpad, v ktorom z R, kde R je najmen linerny rozmer rovinnej plochy. Pole v dostatocne malej blzkosti od stredu nabitej roviny meme povaovat za viac alebo menej homognne s hodnotou intenzity /(20) podla vrazu (2.34). Silociary v okol rovnomerne nabitho kruhu s znzornen na obr. 2.13b. Obr. 2.14 Podobne ako v prpade nabitej ciary a roviny meme vypoctat intenzitu elektrickho pola aj v prpade nboja rozloenho v objeme s objemovou hustotou v objeme podla obr. 2.14. Intenzita elektrickho pola v lubovolnom bode P danom polohovm vektorom r je dan vrazom E r r r( )( ) d= }14003 r (2.35) 41kde r0 je polohov vektor nbojovho elementu dQ = (r0)d a r je vektorov vzdialenost bodu P. Bod P pritom me leat mimo objemu , ale me leat aj v tomto objeme alebo na hranicnej ploche objemu. Je zaujmav, e pole zostane konecn aj v tchto vntornch bodoch objemu. Takisto pole na ploche s plonou hustotou nboja je konecn, avak ak s nboje rozloen na ciarach, pole na samotnej ciare m singularitu, co si mono vimnt naprklad v prpade nekonecne dlhho priamkovho nboja [vraz (2.26)]. Intenzita elektrickho poa od nboja v guli. Uvedieme prklad vpoctu intenzity elektrickho pola pre nboje rozloen s objemovou hustotou. Ako uvidte, takto vpocty zacnaj byt neprjemne zloit. Relatvne jednoduch je vpocet intenzity v okol gule s polomerom R0 nabitej rovnomerne v objeme celkovm nbojom Q, teda s kontantnou hustotou nboja = 3Q/( 403R ). Vypoctame intenzitu vo vzdialenosti R > R0 od stredu gule. Na guli zvolme element objemu d v tvare nekonecne tenkho rezu tvaru disku podla obr. 2.15, ktorho obsah d sin d = R03 3 Obr. 2.15 Vznam symbolov je zrejm z obrzku, z ktorho takisto vidme, e r R =0sin l R =0cos x R l R R = = 0cos xx r2 2+= cos Na objemovom elementrnom disku je nboj d d sin d Q Q = = 343 ktor v bode P vo vzdialenosti x od neho vytvor osov intenzitu pola velkosti dd( cos ) sin( cos )sincosd EQrQRR RR R RR= = +

((( 20 20 02020201382 42 Karl Friedrich GAUSS (1777 Braunschweig 1855 Gttingen) Wilhelm Eduard WEBER (1804 Wittenberg 1855 Gttingen) 43Tento vraz sme zskali ako analgiu k vrazu pre intenzitu pola plonho rovinnho disku [pozri vztah (2.31)]. Vsledn pole dostaneme integrciou cez vetky elementrne objemov disky, teda v danom vyjadren podla uhla od 0 po , take EQRR RR R RRQR= +

((( =}38240 0202020 02 sin( cos )sincosd0 Pri vpocte integrlu mono s vhodou vyuit substitciu R R RR t20202 + = cos S prekvapenm zistujeme, e vsledok integrcie je neobycajne jednoduch. Pole mimo objemu gule je tak ist radilne pole, ako pole rovnako velkho bodovho nboja umiestnenho v strede gule, teda E rQr( ) =402 (2.36) pre vetky r > R0. Vo vntri gulovho rozloenia je tie nenulov pole, je takisto jednoduch, ale jeho vpocet je zloit, a preto ho na tomto mieste neuvdzame. Uveden ilustrcie svedcia o tom, e vpocet pola zloitejch rozloen nbojov priamou integrciou je mon, ale je prinajmenom nepohodln. Natastie existuje metda, ktor, aj ked nie je univerzlna, umonuje v niektorch prpadoch urcit intenzity pol takmer spamti a uetr citatela od mornch vpoctov. Metda spocva na jednom zo zkladnch zkonov elektromagnetizmu, ktor dostal nzov podla jeho objavitela vol sa Gaussov zkon. 2.4 GAUSSOV ZKON. TOK VEKTORA PLOCHOU Pojem toku vektora je jednm zo zkladnch pojmov terie vektorovho pola. Vo fyzike sa s nm stretvame casto, naprklad v hydrodynamike. Stavitelov hydrocentrl samozrejme velmi zaujma, ak mnostvo vody pretecie za jednotku casu prvodnm potrubm k turbne. Mnostvo pretecenej vody, napr. v m3/s, zvis predovetkm od prierezovej plochy potrubia, ale aj od charakteru prdenia a od rchlosti molekl vody v jednotlivch bodoch prierezovej plochy. Ak by prdenie bolo laminrne, v tom prpade loha o mnostve pretecenej vody alebo fyziklne povedan loha o toku vektora rchlosti by bola velmi jednoduch. Ak vak podmienka laminrnosti prdenia nie je splnen, loha sa me ukzat nrocn na vpocet. Druh prklad toku vektorovej veliciny je tok energie elektromagnetickho pola, ak chcete, tak napr. iarivej elektromagnetickej energie Slnka, ktor prenik cez okno do Vaej izby. Neskr zavedieme vektorov velicinu, ktor sa nazva Poyntingov vektor a fyziklne udva mnostvo elektromagnetickej energie prenikajcej kolmo jednotkovou plochou za jednotku casu alebo vkon prechdzajci kolmo jednotkovou plochou. Ak 44Poyntingov vektor vhodne integrujeme, dostaneme celkov slnecn vkon cez Vae okno alebo inak povedan tok Poyntingovho vektora danou plochou. V uvedench dvoch prkladoch ide o skutocn tok relnej fyziklnej veliciny (hmotnost, energia). Ukazuje sa vak, e niekedy je vhodn zaviest aj tok vektorovej veliciny, pri ktorej v znmom zmysle nic netecie. Takmto abstraktnm tokom je napr. tok intenzity elektrickho pola alebo tok magnetickej indukcie. Ich zavedenie nm umonuje elegantne sformulovat niektor zkladn zkony elektromagnetizmu. Poksme sa nae vahy o toku vyjadrit matematicky. Obr. 2.16 Predstavme si, e v nejakej casti priestoru je dan nejak vektorov pole. Pre jednoznacnost predpokladajme, e je to pole vektora rchlosti prdiacej kvapaliny ako funkcie priestorovch sradnc. Pre zaciatok tie predpokladajme, e ide o pole homognne. Vlome do tejto prdiacej kvapaliny myslen rovinn rmcek s obvodom l, napr. tvoruholnk ako na obr. 2.16a tak, e vektor je kolm na rovinn plochu S ohranicen rmcekom. Potom mnostvo kvapaliny, ktor pri rchlosti pretecie plochou S za jednotku casu je S. Toto mnostvo vyjadren naprklad v m3/s nazveme tokom kvapaliny alebo tokom vektora plochou S a oznacme ho = S Ak by plocha rmceka nebola kolm na smer vektora , ale kolmica k ploche by zvierala s plochou uhol ako na obr. 2.16b, potom tok rmcekom by bol = Scos (2.37) pecilne v prpade, ak kolmica zviera s vektorom uhol = 90 ako na obr. 2.16c, potom tok = 0. Vo vetkch predolch prpadoch sme predpokladali, e vektor rchlosti je kontantn vektor, teda jeho pole je homognne. Ak sa rchlost kvapaliny od miesta k miestu men, v tom prpade vsledn tok cez rovinn plochu bude dan integrlnym sctom nekonecne malch tokov d cez nekonecne mal plky dS, na ktor musme plochu S rozloit. Podobne ako vo vztahu (2.37) dostaneme d = dScos (2.38) 45kde je uhol medzi vektorom a kolmicou na prslun plku dS. Vznik tu vak jedna takost, e na jednotlivch plkach je smer vektora rzny, a teda je funkciou polohy. Pri zpise poslednho vrazu mono s vhodou vyuit pojem plonho vektora je to vektor, ktorho modul sa rovn velkosti rovinnej plochy a smer je dan smerom kolmice na plochu. Plocha m vak dve strany, preto v konkrtnom prpade treba nejakm pravidlom tento smer vybrat. V danom prpade je to smer relneho toku. N plon element dS budeme teda stotonovat s vektorom dS a kede rchlost je tie vektor, vraz (2.38) pre d meme napsat ako skalrny scin vektorov a dS, teda d = .dS (2.39) Celkov tok udva integrl jednotlivch prspevkov (2.39) po celej ploche S =} .d SS (2.40) Obr. 2.17 Zoveobecnme teraz nae vahy o toku kvapaliny. Plocha S nemus byt rovinn, ale lubovoln, a dokonca aj rmcek hranicn ciara l, nemus leat v rovine, pozri obr. 2.17a. Aj v takomto prpade tok kvapaliny je dan integrlom (2.40), hoci jeho praktick zmysel sa strca, nie vak v prpade inch, abstraktnch vektorovch pol. V abstrakcii meme pokracovat tak, e hranicn ciaru l budeme skracovat na nulu, a z plochy s hranicnou ciarou vznikne uzavret plocha S ako na obr. 2.17b, ktor uzatvra nejak objem . Vypoctajme tok kvapaliny takouto uzavretou plochou. Bezpochyby takto integrl po uzavretej ploche z rchlosti prdiacej nestlacitelnej kvapaliny sa rovn nule, co meme matematicky napsat = =} .d S 0S (2.41) Integrl, teda tok vektora , sa rovn nule, pretoe kolko kvapaliny do objemu plochou zlava na obr. 2.17b vtecie, tolko jej plochou vpravo z objemu vytecie kvapalina sa toti vo vntri plochy nehromad. 46Existuje vela vektorovch pol, ktorch integrl toku cez lubovoln uzavret plochu sa rovn nule, ale aj vela takch, ktorch tok sa nule nerovn. Nulovm je tok prve diskutovanej nestlacitelnej kvapaliny charakterizovanej jej rchlostnm polom, dalej tok vektora magnetickej indukcie, na druhej strane, nenulovm je napr. tok intenzity elektrickho pola, tok intenzity gravitacnho pola a i. Venujme sa teda toku intenzity elektrickho pola, ktor bude teraz stredobodom nho zujmu. Analogick postup a argumentciu, ak sme aplikovali pri zaveden toku rchlosti, meme aplikovat aj pri zaveden toku vektora intenzity elektrickho pola E. Ak v elektrickom poli intenzity E zvolme uzavret plochu S, formlne je tok vektora E dan integrciou prspevkov d = E.dS po uzavretej ploche S, teda =}E S .dS (2.42) Polome si teraz zsadn otzku comu sa takto integrl vo veobecnosti rovn, comu sa rovn tok intenzity elektrickho pola uzavretou plochou, ak zoberieme do vahy, e v priestore, kde existuj polia, sa nachdzaj aj ich zdroje bodov alebo nejako rozloen nboje. Predovetkm si treba vimnt, e tok akhokolvek vektorovho pola je skalrna velicina. Dalej, intuitvne ctime, e hodnota integrlu bude principilne in cez tak plochy, ktor vo svojom vntri obsahuj nboje, a in v prpade, ak vo vntri plochy nboje neexistuj. Otzku o toku nemono zodpovedat na zklade iadnych poznatkov z elektromagnetizmu, to musel niekto prst so spsnou mylienkou hodnou gnia. Tak gnius sa objavil na konci 18. storocia v Nemecku a volal sa Karl Friedrich Gauss, ktor vyslovil Zkon. Slvny zkon o toku vak Gauss nesformuloval pre elektrick, ale pre gravitacn pole, ktor je rovnakho fyziklneho druhu, a ktor v jeho dobe bolo tudovan intenzvnejie ako vtedy takmer neznme elektrick pole. Gauss vo svojom zkone predovetkm stanovil, e tok vektora intenzity elektrickho pola je vo veobecnosti nenulov. Zkon v jeho dnenej formulcii znie: Gaussov zkon Tok intenzity elektrickho poa E uzavretou plochou S sa rovn nboju Q uzavretmu plochou a delenmu elektrickou kontantou poa (permitivitou vkua) 0. V matematickej formulcii: E. S dSQ} =0 (2.43) Treba zdraznit, e nboj Q je celkov nboj v objeme uzavretom plochou S bez ohladu na to, ako je tam rozloen; me to byt jeden bodov nboj q, teda Q = q, alebo sbor n bodovch nbojov qi, teda Q qiin==1 47alebo nboj rozloen spojito v objeme s objemovou hustotou , t. j. Q =} d Ak v objeme uzavretom plochou nie s iadne nboje, vtedy sa tok uzavretou plochou rovn nule, teda E S .d =}0S Uveden formulcia Gaussovho zkona (2.43) je znma ako integrlny tvar Gaussovho zkona, pretoe udva vlastnosti pola vo velkom objeme. Neskr sformulujeme diferencilny tvar, ktor opisuje vlastnosti pola v bode priestoru. Vimnime si teraz niektor zkladn vlastnosti elektrickho pola tak, ako plyn z Gaussovho zkona. Skutocnost, e tok je nenulov, ak plocha obsahuje nboje, a naopak, je nulov, ak tam nboje nie s, je znakom, e pole je riedlov a riedlami s elektrick nboje elektrick silociary vystupuj z kladnch nbojov a vstupuj do zpornch. Takto vlastnost nem napr. magnetick pole, ktorho tok lubovolnou uzavretou plochou je vdy nulov. Magnetick pole je preto polom neriedlovm, polom vrovm. Obr. 2.18 Druh zvan skutocnost, ktor plynie z Gaussovho zkona, je intenzita pola bodovho nboja. Ak okolo bodovho nboja q zvolme Gaussovu plochu v tvare koncentrickej gulovej plochy s polomerom r (obr. 2.18) a ak urobme jedin predpoklad o poli, e je radilne, potom vo vraze (2.43) skalrne sciny E.dS s sciny absoltnych hodnt EdS, pretoe vektory E a dS s vade na uvaovanej gulovej ploche paraleln. Dalej, E je vade na ploche kontantn, teda ho mono spod integrlu vybrat, a nakoniec, }SS d = obsahu gulovej plochy, teda 48 E S .d d dS S SE S E S r Eq} } }= = = = 420 z coho Eqr=402 To je nm u znmy vraz pre intenzitu elektrickho pola v okol bodovho nboja. Ak na plochu S umiestnime dal naboj q0, potom sila F0 psobiaca na tento nboj F q Eq qr0 000214= = co je Coulombov zkon, ku ktormu sme takto dospeli cisto teoretickmi vahami z Gaussovho zkona. Mohli by sme vak nae vahy aj obrtit a z Coulombovho zkona dokzat platnost Gaussovho zkona. Vznik tak bludn kruh circulus vitiosus in probando! Ak sa mu chceme vyhnt, musme si ujasnit otzku priority a rozhodnt, ktor z tchto dvoch zkonov je prvotn. Prvotn je tak zkon, ktor logicky nevyplva z inch zkonov, m neobmedzen platnost a pritom neodporuje iadnemu javu pozorovanmu v prrode. Takto atribty m Gaussov zkon, a preto ho povaujeme za prvotn zkon elektrostatiky. Coulombov zkon, ktor plat pre bodov nboje vo vkuu ho experimentlne potvrdzuje. 2.5 VPOET INTENZT ELEKTRICKCH POL S VYUITM GAUSSOVHO ZKONA Gaussov zkon nm v niektorch prpadoch umonuje neobycajne jednoducho a elegantne vypoctat intenzitu pola. Jeden takto vpocet sme urobili v predchdzajcom odstavci pre bodov nboj. Ak chceme vyuit Gaussov zkon na vpocet intenzity pol, potrebujeme iba dve veci. Mat predstavu o priestorovom rozloen pola, t. j. mat predstavu napr. o priebehu silociar, a na jej zklade njst Gaussovu plochu tak, aby v kadom jej bode bola intenzita pola rovnak a bola kolm na plochu. V takom prpade integrl }SS E d . prejde na scin plochy S a velkosti intenzity E, teda ESS=} S E d . . Je zrejm, e nie vdy vieme njst vhodn plochu, a preto pocet takto rieitelnch loh je obmedzen. Umenie vhodne zvolit Gaussovu plochu je mierou spenosti rieenia. Intenzita elektrickho poa v okol nabitej priamky. Vrtme sa teraz znovu k nekonecne dlhej priamke nabitej nbojom s kontantnou hustotou a vypoctajme intenzitu elektrickho pola v jej okol ete raz, teraz s vyuitm Gaussovho zkona. Pole je radilne, lebo je valcovo symetrick s osou symetrie na nabitej priamke. Ak zvolme ako Gaussovu plochu koaxilny valec s polomerom r a dlkou l ako na obr. 2.19, bude mat pole na plti valca vade rovnak hodnotu a bude smerovat kolmo na