analyse og dimensjonering av etteroppspent betongbru

&INTNU Kunnskap for en bedre verden

Analyse og dimensjonering avetteroppspent betongbru

Truls Magnussen

Master i Bygg- og miljøteknikk

Hovedveileder: Daniel Cantero, KTMedveileder: Terje Kanstad, KT

Håvard Johansen, Statens vegvesen

Institutt for konstruksjonsteknikk

Innlevert: juni 2018

Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet

Institutt for konstruksjonsteknikk Fakultet for ingeniørvitenskap NTNU- Norges teknisk- naturvitenskapelige universitet

MASTEROPPGAVE 2018

FAGOMRÅDE:

Betongkonstruksjoner

DATO:

11.juni 2018

ANTALL SIDER:

131+137 sider vedlegg

TITTEL:

Analyse og dimensjonering av etteroppspent betongbru Analysis and design of post-tensioned concrete bridge

UTFØRT AV:

Truls Goksør Magnussen

SAMMENDRAG: Denne rapporten omhandler analyse og dimensjonering av en etteroppspent betongbru etter gjeldene regelverk, samt fordyping av kabelforankringens armering. Fordypingen skal se på forbedringsmuligheter for komprimering av betongen rundt ankerarmeringen. Bruen er for øvrig fiktiv og er tiltenkt for Trondheim kommune. Den analyseres og dimensjoneres som en bjelke/platebru i form av et massivt T-tverrsnitt, og er 66 meter lang, 9,5 meter bred og inndeles i tre spenn. Hensikten med rapporten er å benytte kunnskap fra studiet, samt tilegne ny kunnskap til å analysere og dimensjonere bruen. Hvor den nye kunnskapen har i stor grad vært å sette seg inn i gjeldene regelverk, beregningsmetoder for spennarmering samt analyseprogrammet Robot Structural Analysis. En samlet vurdering av brudd- og bruksgrensetilstand tilsier at sidefelt er underdimensjonert og tverrsnittet over søylene er noe overdimensjonert. En mulig løsning er å se på spennkabelens bane, spesielt eksentrisiteten i midtfeltet. Denne eksentrisiteten gir store tvangskrefter og er med på å gjøre sidefeltet underdimensjonert og tverrsnittet over søylene overdimensjonert. Det vil derfor være gunstig å først optimalisere denne eksentrisiteten og deretter se på eventuell endring i mengden av spennarmering. En samlet vurdering av ankerarmering tilsier at kun én armeringsform og størst mulig senteravstand bør benyttes for best mulig betongkomprimering. Forbedringer av komprimeringen kan gjøres etter etablerte formler eller formler fra nyere forskning. Den nyere forskningen gir utelukkende best resultater, og viser hvor stort forbedringspotensialet for ankerarmeringen er. Forskningen må derimot videreutvikles, for å gi formlene den sikkerheten de trenger til prosjektering.

FAGLÆRER: Daniel Cantero, NTNU VEILEDER(E): Daniel Cantero, NTNU, Terje Kanstad, NTNU og Håvard Johansen, Statens vegvesen UTFØRT VED: Institutt for konstruksjonsteknikk

TILGJENGELIGHET

Åpen

I

Forord

Denne rapporten er masteroppgave og er den siste delen av studiet Bygg- og miljøteknikk ved

Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet (NTNU). Arbeidet gjøres ved institutt for

konstruksjonsteknikk og tilsvarer 30 studiepoeng. Rapporten er gjennomført våren 2018 og

utarbeides over 20 uker.

Det stilles krav til at leser har grunnleggende kunnskaper om emner i rapporten. Dette gjøres

etter NTNU sin standard og rapporten utformes for leser med omtrent samme bakgrunn som

kandidaten ved starten av arbeidet.

Rapporten skrives i samarbeid med Statens vegvesen, hvor de bidrar med veiledning og

økonomisk støtte. Fordypingen velges etter forskjellige problemer de ønsker å få belyst.

Denne rapporten omhandler analyse og dimensjonering av en etteroppspent betongbru etter

gjeldene regelverk, samt fordyping av kabelforankringens armering. Fordypingen skal se på

forbedringsmuligheter for komprimering av betongen rundt ankerarmeringen.

Hensikten med rapporten er å benytte kunnskap fra studiet, samt tilegne ny kunnskap til å

analysere og dimensjonere bruen. Hvor den nye kunnskapen har i stor grad hvert å sette seg inn

i gjeldene regelverk, beregningsmetoder for spennarmering samt analyseprogrammet Robot

Structural Analysis.

Jeg ønsker å rette en stor takk til hovedveileder Daniel Cantero som har gitt god faglig

veiledning under hele arbeidet, samt Terje Kanstad ved starten av arbeidet. Jeg vil også rette en

takk til medveileder Håvard Johansen som har gitt god praktisk veiledning og vært en essensiell

støttespiller under fordypingen.

Trondheim, 11. juni 2018

Truls Goksør Magnussen

III

Sammendrag



forbedringsmuligheter for komprimering av betongen rundt ankerarmeringen. Bruen er for

øvrig fiktiv og er tiltenkt for Trondheim kommune. Den analyseres og dimensjoneres som en

bjelke/platebru i form av et massivt T-tverrsnitt, og er 66 meter lang, 9,5 meter bred og inndeles

i tre spenn.

Hensikten med rapporten er å benytte kunnskap fra studiet, samt tilegne ny kunnskap til å

analysere og dimensjonere bruen. Hvor den nye kunnskapen har i stor grad vært å sette seg inn

i gjeldene regelverk, beregningsmetoder for spennarmering samt analyseprogrammet Robot

Structural Analysis.

Analysemodellen etableres etter gjeldene regelverk og ingeniørmessige vurderinger.

Slike vurderinger sikrer at modellen ikke blir unødig avansert og gjøres slik at resultatet kan

anses som konservativt. Robot Structural Analysis viser seg å ha minimale muligheter for å

modellere spennarmeringens tvangskrefter. Det blir derfor benyttet en manuell modellering

hvor spennkabelens bane, krefter og tap, blir nøye gjennomgått.

En samlet vurdering av brudd- og bruksgrensetilstand tilsier at sidefelt er underdimensjonert og

tverrsnittet over søylene er noe overdimensjonert. En mulig løsning er å se på spennkabelens

bane, spesielt eksentrisiteten i midtfeltet. Denne eksentrisiteten gir store tvangskrefter og er

med på å gjøre sidefeltet underdimensjonert og tverrsnittet over søylene overdimensjonert. Det

vil derfor være gunstig å først optimalisere denne eksentrisiteten og deretter se på eventuell

endring i mengden av spennarmering.

En samlet vurdering av ankerarmering tilsier at kun én armeringsform og størst mulig

senteravstand bør benyttes for best mulig betongkomprimering. Forbedringer av

komprimeringen kan gjøres etter etablerte formler eller formler fra nyere forskning. Den nyere

forskningen gir utelukkende best resultater, og viser hvor stort forbedringspotensialet for

ankerarmeringen er. Forskningen må derimot videreutvikles, for å gi formlene den sikkerheten

de trenger til prosjektering.

V

Summary

This report contains the analysis and dimensioning of a post-tensioned concrete bridge

according to the applicable regulations, as well as the specialization of the cable anchorage

reinforcement. The specialization will look at improvement possibilities for the compression of

concrete around the anchor reinforcement. The bridge is fictional and is intended for the

municipality of Trondheim. It is analysed and designed as a beam / plate bridge in the form of

a solid T-cross section, 66 meters long, 9.5 meters wide and divided into three spans.

The purpose of this report is to use the knowledge obtained throughout the study, in addition to

acquire new knowledge, to be able to design and analyse the bridge. The new knowledge is

largely based on in-debt reading about regulations, calculation methods for post-stressed

reinforcement as well as utilizing the Robot Structural Analysis software.

The analysis model is established in accordance with regulations and engineering assessments.

Such assessments ensure that the model does not become unnecessarily advanced and are done

so that the result can be considered conservative. The used software turns out to have minimal

possibilities for modelling restraining forces from post-stressed reinforcement. Therefore, a

manual modelling is used where the cable paths, forces and losses are carefully reviewed.

An overall assessment of ultimate and serviceability limit state indicates that the side span is

under designed and the cross section above columns are over designed. A possible solution is

to look at the path of the cable, especially the eccentricity in midspan. This eccentricity gives

big restraining forces and is a large contributing factor in the overall assessment. It would

therefore be beneficial to first optimize this eccentricity and then look at change in the amount

of reinforcement.

An overall assessment of anchor reinforcement indicates that only one reinforcement form

should be utilized, for best concrete compression. Improvements of the compression can be

done according to established formulas or formulas given in recent research. The recent

research gives without doubt best results and shows how big the potential for improvement are

for anchorage reinforcement. The research, however, must be further developed to give the

formulas the security needed for designing.

VII

Innholdsfortegnelse

Forord ____________________________________________________________________ I

Sammendrag ______________________________________________________________ III

Summary _________________________________________________________________ V

Innholdsfortegnelse ________________________________________________________ VII

Forkortelser _______________________________________________________________ XI

1 Innledning ________________________________________________________________ 1

2 Prosjekteringsgrunnlag ______________________________________________________ 3

2.1 Grunnlag _____________________________________________________________ 3

2.2 Materialegenskaper _____________________________________________________ 5

2.3 Bruen ________________________________________________________________ 7

3 Bruens armering ___________________________________________________________ 9

3. 1 Overdekningen til slakkarmeringen ________________________________________ 9

3.2 Overdekningen til spennarmeringen ________________________________________ 9

3.3 Avstand mellom slakkarmeringsjern _______________________________________ 10

3.4 Avstand mellom spennkabler ____________________________________________ 10

3.5 Avstand fra betongkant til spennkabelsenter ________________________________ 10

3.6 Slakkarmering ________________________________________________________ 11

3.7 Spennarmering _______________________________________________________ 11

4 Laster __________________________________________________________________ 13

4.1 Egenlast _____________________________________________________________ 13

4.2 Trafikklast ___________________________________________________________ 14

4.3 Termisk last __________________________________________________________ 16

4.4 Vindlast _____________________________________________________________ 18

4.5 Svinndeformasjon _____________________________________________________ 19

4.6 Krypdeformasjon ______________________________________________________ 19

4.7 Lastkombinasjoner ____________________________________________________ 20

VIII

5 Ekvivalente krefter ________________________________________________________ 23

5.1 Kabelbane ___________________________________________________________ 23

5.2 Spennkrafttap ________________________________________________________ 24

5.3 Spennkraft ___________________________________________________________ 26

5.4 Spennkrafttap ________________________________________________________ 27

6 Modellering _____________________________________________________________ 29

6.1 Koordinatsystemet _____________________________________________________ 29

6.2 Materialer ___________________________________________________________ 30

6.3 Aksesystem __________________________________________________________ 30

6.4 Effektive flensbredder __________________________________________________ 31

6.5 Grenser _____________________________________________________________ 33

6.6 Elementinndeling og noder ______________________________________________ 34

6.7 Modellering av egenvekt ________________________________________________ 35

6.7 Modellering av trafiklast ________________________________________________ 35

6.8 Modellering av vindlast _________________________________________________ 39

6.9 Modellering av termisk last ______________________________________________ 39

6.10 Modellering av svinn __________________________________________________ 41

6.11 Modellering av spennkraft _____________________________________________ 42

6.12 Modellering av spennkrafttap ___________________________________________ 42

6.13 Modellering av tvangskrefter fra spennkraft ________________________________ 43

6.14 Modellering av tvangskrefter fra spennkrafttap _____________________________ 44

6.15 Lastkombinering _____________________________________________________ 44

7 Verifisering av Modell _____________________________________________________ 45

7.1 Verifisering av egenvekt ________________________________________________ 45

7.2 Verifikasjon av opplagerkrefter___________________________________________ 50

7.3 Verifikasjon av trafikklast _______________________________________________ 51

7.4 Verifisering av termisk last ______________________________________________ 54

IX

7.5 Verifikasjon av vindlast ________________________________________________ 57

7.6 Verifikasjon av svinn __________________________________________________ 59

7.7 Verifikasjon av spennkraft ______________________________________________ 61

7.8 Verifikasjon av tvangskrefter fra spennkraft _________________________________ 64

7.9 Verifikasjon av spennkrafttap ____________________________________________ 66

7.10 Verifikasjon av tvangskrefter fra spennkrafttap _____________________________ 68

8 Bruddgrensetilstand _______________________________________________________ 69

8.1 Effektiv flensbredde ___________________________________________________ 69

8.2 ULS diagrammer uten forspenningens primæreffekter _________________________ 70

8.3 ULS diagrammer med forspenningens primæreffekter _________________________ 70

8.4 Momentkapasitet ______________________________________________________ 72

8.5 Skjærkraftkapasitet ____________________________________________________ 75

8.6 Torsjonskapasitet ______________________________________________________ 79

8.7 Oppsummering av bruddgrensetilstand _____________________________________ 83

9 Bruksgrensetilstand _______________________________________________________ 85

9.1 Diagrammer __________________________________________________________ 85

9.2 Tverrsnitt stadium _____________________________________________________ 86

9.3 Spenningsberegninger __________________________________________________ 89

9.4 Rissvidde ____________________________________________________________ 92

9.5 Trykkavlastning _______________________________________________________ 96

9.6 Oppsummering av bruksgrensetilstand _____________________________________ 97

10 Lokal sone _____________________________________________________________ 99

10.1 Lokal knusing ______________________________________________________ 100

10.2 Parameterne og deres effekt i ligningen __________________________________ 102

10.3 Videreføring av ligningen _____________________________________________ 103

10.4 Formler fra eurokode _________________________________________________ 104

10.5 Kapasitet beregninger ________________________________________________ 105

X

10.6 Endring av spiralarmering _____________________________________________ 106

10.7 Endring av bøylearmering _____________________________________________ 106

10.8 Endring og beregning av armering ______________________________________ 107

10.9 Oppsummering av lokal sone __________________________________________ 110

11 Konklusjon ____________________________________________________________ 111

12 Referanser _____________________________________________________________ 113

13 Vedleggsliste __________________________________________________________ 115

XI

Forkortelser

AASHTO American association of state highway and transportation officials

CSR Kryp/svinn/relaksasjon

EAD European assessment document

EK Eurokode

ETA European technical approval

G Egenvekt

KAR Karakteristisk kombinasjon

LM1 Last modell 1, trafikklast

MA Multiplane anchorage

NCHRP National cooperative highway research program

OFTE Ofte forekommende kombinasjon

OK Overkant

PERM Tilnærmet permanent kombinasjon

PT Forspenning

PTI Post-tensioning institute

SLS Bruksgrensetilstand

STR Kombinasjon for brudd i konstruksjon

TE Termisk last

TR Trafikklast

UK Underkant

ULS Bruddgrensetilstand

V Vindlast på bru uten trafikk

V-TR Vindlast på bru med trafikk

1

1 Innledning



forbedringsmuligheter for komprimering av betongen rundt ankerarmeringen. Formålet med

rapporten er å benytte kunnskap fra studiet, samt tilegne ny kunnskap til å analysere og

dimensjonere bruen.

Analysen av brukonstruksjonen gjennomføres kun for brubanen og alle lasteffekter på søylene

neglisjeres. I denne rapporten vil de utførte dimensjoneringene og kontrollene være valgt ut

etter tidsmessige årsaker. Bruen analyseres kun for lengderetningen og tar for seg bøyemoment,

torsjonsmoment, skjærkraft og aksialkraft. En dimensjonering gjøres etter et utvalg av

bruddgrensekontroller og ny armering presenteres. Bruksgrensetilstanden kontrolleres for

rissvidder og trykkavlastning, men ny armering vil ikke bli dimensjonert.

Rapporten innledes med en gjennomgang av viktige parametere og en presentasjon av bruen.

Videre blir bruens armering og valgt spennsystem definert. De mest essensielle lastene blir

kartlagt og kombinert til dimensjonerende kombinasjoner. Deretter blir bruen modellert i Robot

Structural Analysis og lastberegningene verifiseres for hånd. Bruen dimensjoneres for utvalgte

bruddgrensetilstander og kontrolleres for utvalgte bruksgrensetilstander. Det blir videre sett på

spesialiseringen, komprimering av betongen rundt ankerarmeringen. Ut ifra resultatene fra

dimensjonering og spesialisering blir rapporten avsluttet med en konklusjon.

3

2 Prosjekteringsgrunnlag

2.1 Grunnlag

Det blir gitt en summarisk oversikt over de nødvendige grunnlagsdokumentene som benyttes i

denne rapporten. Dette inkluderer standarder, håndbøker, ETA rapporter og en presentasjon av

analyseprogrammet.

Standarder:

• NS-EN 1990:2002+A1:2005+NA:2016. Eurokode: Grunnlag for prosjektering av

konstruksjoner [1]. Heretter EK0.

• NS-EN 1991-1-1:2002+NA:2008. Eurokode 1: Laster på konstruksjoner,

Del 1-1: Allmenne laster, Tetthet, egenvekt, nyttelaster i bygninger [2]. Heretter EK1-

1-1.


Del 1-4: Allmenne laster, Vindlaster [3]. Heretter EK1-1-4.


Del 1-5: Allmenne laster, Termiske påvirkninger [4]. Heretter EK1-1-5.

• NS-EN 1991-2:2003+NA:2010. Eurokode 1: Laster på konstruksjoner,

Del 2: Allmenne laster, Trafikklast på bruer [5]. Heretter EK1-2.

• NS-EN 1992-1-1:2004+NA:2008. Eurokode 2: Prosjektering av betongkonstruksjoner,

Del 1-1: Allmenne regler og regler for bygninger [6]. Heretter EK2-1-1.

• NS-EN 1992-2:2005+NA:2010. Eurokode 2: Prosjektering av betongkonstruksjoner,

Del 2: Bruer [7]. Heretter EK2-2.

Håndbøker

• Håndbok N400, Bruprosjektering, Prosjektering av bruer, ferjekaier og andre bærende

konstruksjoner [8]. Heretter SVV N400.

ETA

• European technical approval, ETA-13/0815, DYWIDAG [9].

• European technical approval, ETA-07/0035, CCL [10].

• European technical approval, ETA-09/0286, BBR VT [11].

4

Analyseprogram

I denne rapporten benyttes analyseprogrammet Robot Structural Analysis. Programmet er et

allsidig analyseprogram som laget av Autodesk. For denne rapporten brukes det en

rammeanalyse av brukonstruksjonen, og beregninger gjøres etter bjelketeori.

Til håndberegninger og verifikasjoner benytter regneprogrammet Mathcad Prime 3.1.

Programmet er oversiktlig og parametrisk regneprogram utviklet av PTC.

5

2.2 Materialegenskaper

Det blir gitt en kort summarisk oversikt over de konstruktive materialene som benyttes.

Materialene er bestemt etter oppgaveteksten vedlegg A, og består av betong, slakkarmering og

spennarmering. Eventuelle beregninger av parametere anses som grunnleggende kunnskap og

vil ikke bli vist, men kan finnes i vedlegg P og G.

Betong

Betongen som benyttes til denne brua er betongkvalitet B45 med gitte materialparameterne i

Tabell 2-1. Verdier hentes fra EK2-1-1 [6] og SVV N400 [8].

Beskrivelse Symbol Verdi Enhet

Karakteristisk sylindertrykkfasthet 𝑓𝑐𝑘 45 MPa

Dimensjonerende sylindertrykkfasthet 𝑓𝑐𝑑 25,5 MPa

Karakteristisk sylinderstrekkfasthet 𝑓𝑐𝑡𝑘,0,05 2,7 MPa

Dimensjonerende sylinderstrekkfasthet 𝑓𝑐𝑡𝑑 1,53 MPa

Midlere aksialstrekkfasthet 𝑓𝑐𝑡𝑚 3,8 MPa

Materialfaktor ULS 𝛾𝑐 1,5

Elastisitetsmodul 𝐸𝑐𝑚 36 GPa

Tyngdetettheten til armert betong 𝜌𝑐.𝑎𝑟𝑚𝑒𝑟𝑡 25 kN/m3

Lineær temperaturutvidelseskoeffisient 𝛼 10-5 K-1

Tabell 2-1 Materialegenskaper for betong

Slakkarmering

Slakkarmeringen som benyttes til denne bruen er armeringstype B500NC med gitte

materialparameterne i Tabell 2-2. Verdier hentes fra EK2-1-1 [6].

Beskrivelse Parameter Verdi Enhet

Karakteristisk flytegrense 𝑓𝑦𝑘 500 MPa

Dimensjonerende flytegrense 𝑓𝑦𝑑 434 MPa

Materialfaktor ULS 𝛾𝑠 1,15

Elastisitetsmodul 𝐸𝑠 200 GPa

Tabell 2-2 Materialegenskaper for slakkarmering

6

Spennarmering

Spennarmeringen som benyttes til denne bruen er spennståltype Y1860S7 med gitte

materialparameterne i Tabell 2-3. Spennståltypen er valgt etter hva som er mest brukt i Norge

og gir også maksimal strekkfasthet. Verdier hentes fra EK2-1-1 [6] og ETA-13/0815 [9].

Beskrivelse Parameter Verdi Enhet

Areal pr kabel 𝐴𝑝 1800 mm2

Karakteristisk flytegrense 𝑓𝑝𝑘 1860 MPa

Karakteristisk flytegrense ved 0,1 % uelastisk tøyning 𝑓𝑝0,1𝑘 1640 MPa

Dimensjonerende flytegrense ved 0,1 % uelastisk tøyning 𝑓𝑝𝑑 1426 MPa

Relaksasjonstapet 1000 timer etter oppspenning 𝜌1000 2,5

Materialfaktor ULS 𝛾𝑠 1,15

Elastisitetsmodul 𝐸𝑝 195 GPa

Største spenning påført spennkabelen 𝜎𝑝,𝑚𝑎𝑥 1476 MPa

Største spenning i spennkabelen etter oppspenning 𝜎𝑝𝑚0 1394 MPa

Tabell 2-3 Materialegenskaper for spennarmering

7

2.3 Bruen

Denne rapporten omhandler ei fiktiv etteroppspent bjelke/platebru tiltenkt Trondheim

kommune. Bruen har ingen krumninger hverken i horisontal eller vertikalretning, og har en

total lengde på 66 meter. Lengden fordeles på tre spenn og to utkragere, hvor spesifikke

avstander defineres i Figur 2-1. Brudekket anses som monolittisk forbundet med søylene.

Lagrene i akse 1 har sidestyring og fastholding i bruens lengderetning. Lagrene i akse 4 har

sidestyring men uten fastholding i bruens lengderetning. Alle oppgaveopplysninger finnes i

vedlegg A. Alle senere figurer av bruens lengdesnitt skal vises med samme

retningsbestemmelser som vist i figuren under. Detter innebærer lengderetning (x-retning) mot

høyre og høyderetning (z-retning) oppover. Videre i rapporten vil felt A være mellom akse 1

og 2, felt B mellom akse 2 og 3, felt C mellom akse 3 og 4.

Figur 2-1 Bruens lengdesnitt

Bruen har et konstant betongtverrsnitt i form av et massivt T-tverrsnitt, hvor alle mål er gitt i

Figur 2-2. Den totale føringsbredden hvor trafikk kan oppstå er på 8,5 meter. Bruens totale

bredde inkludert kantdragere er på 9,5 meter. Alle senere figurer av bruens tverrsnitt skal vises

med bredderetning (y-retning) mot høyre og høyderetning (z-retning) oppover.

Figur 2-2 Bruens tverrsnitt

9

3 Bruens armering

3. 1 Overdekningen til slakkarmeringen

For brukonstruksjoner er det oftest bestandigheten som avgjør hvor stor overdekningen er. Det

er også litt strengere krav for bruer enn for generelle konstruksjoner. Dette gjør at SVV N400

gir dimensjonerende verdier for slakkarmeringen.

SVV N400: tabell 7.2 setter 𝐶𝑚𝑖𝑛,𝑑𝑢𝑟 = 60 𝑚𝑚 for vegbaner.

SVV N400: 7.4.3 setter 𝛥𝐶𝑑𝑒𝑣 = 15 𝑚𝑚 for 𝐶𝑚𝑖𝑛 < 70 𝑚𝑚.

Oppsummering av overdekninger gis i Tabell 3-1.

Overdekning 𝐶𝑚𝑖𝑛 = 𝐶𝑚𝑖𝑛,𝑑𝑢𝑟 𝛥𝐶𝑑𝑒𝑣 𝐶𝑛𝑜𝑚 = 𝐶𝑚𝑖𝑛 + 𝛥𝐶𝑑𝑒𝑣

Klasse XD1, overkant 60 mm 15 mm 75 mm

Klasse XC3, underkant, sidekant 50 mm 15 mm 65 mm

Tabell 3-1 Oppsummering av overdekninger for slakkarmering

3.2 Overdekningen til spennarmeringen

Det er derimot heft som i stor grad styre overdekningen til spennarmeringen. Den nominale

overdekningen utregnes med dimensjonerende verdier fra EK2-1-1 og SVV N400.

EK2-1-1: tabell NA.4.2 setter 𝐶𝑚𝑖𝑛,𝑏 = min (𝜙, 80𝑚𝑚), hvor kabelrørets diameter 𝜙 =

90𝑚𝑚.

SVV N400: 7.4.3 setter 𝛥𝐶𝑑𝑒𝑣 = 20 𝑚𝑚 for 𝐶𝑚𝑖𝑛 ≥ 70 𝑚𝑚.

Oppsummering av overdekninger gis i Tabell 3-2.

Overdekning 𝐶𝑚𝑖𝑛 = 𝐶𝑚𝑖𝑛,𝑏 𝛥𝐶𝑑𝑒𝑣 𝐶𝑛𝑜𝑚 = 𝐶𝑚𝑖𝑛 + 𝛥𝐶𝑑𝑒𝑣

Klasse XD1, overkant 80 mm 20 mm 100 mm

Klasse XC3, underkant, sidekant 80 mm 20 mm 100 mm

Tabell 3-2 Oppsummering av overdekninger for spennarmering

10

3.3 Avstand mellom slakkarmeringsjern

Avstandene skal sikre at betongen kan støpes og komprimeres slik at tilfredsstillende heft

oppnås. Avstandene gjøres etter EK2-1-1:8.2 og EK2-1-1:NA.8.2 og kravene oppsummeres i

Figur 3-1. Oppsummering av beregna avstander oppsummeres i Tabell 3-3.

3.4 Avstand mellom spennkabler

Avstandene skal sikre at betongen kan støpes og komprimeres slik at tilfredsstillende heft

oppnås. Avstandene gjøres etter EK2-1-1:8.2 og EK2-1-1:NA.8.2 og kravene oppsummeres i

Figur 3-2. Oppsummering av beregna avstander oppsummeres i Tabell 3-4.

3.5 Avstand fra betongkant til spennkabelsenter

Avstanden regnes ut som den største avstanden grunnet overdekningen til spennarmeringen, og

grunnet overdekningen til slakkarmering sammen med slakkarmeringens Byggemål.

Byggemålet er gitt i SVV N400: Tabell 7.3.

𝑈𝑛𝑑𝑒𝑟𝑘𝑎𝑛𝑡 = 115 𝑚𝑚 𝑂𝑣𝑒𝑟𝑘𝑎𝑛𝑡 = 125 𝑚𝑚

Parameter symbol Verdi Enhet

Horisontal avstand 𝑎ℎ,𝑠 37 mm

Vertikal avstand 𝑎𝑣,𝑠 32 mm

Tabell 3-3 Avstander mellom slakkarmering

Parameter symbol Verdi Enhet

Horisontal avstand 𝑎ℎ,𝑝 90 mm

Vertikal avstand 𝑎𝑣,𝑝 90 mm

Tabell 3-4 Avstander mellom spennarmering

Figur 3-1 Avstander mellom

slakkarmering, tatt fra [6]

Figur 3-2 Avstander mellom

spennarmering, tatt fra [6]

11

3.6 Slakkarmering

Denne armeringen benyttes som grunnlag til kommende dimensjonering og settes foreløpig

som minimumsarmering. Etter dimensjonering i bruddgrensetilstand vil denne bli noe endret.

Etter Johansen H. [12], heretter SVV 668, velges det å benytte senteravstand på 150 millimeter

for lengde- og tverrarmering. Beregninger gjøres etter EK2-1-1 kapittel 9, men skal likevel

overholde krav gitt i SVV N400 kapittel 7.8. En oppsummering av lengde- og tverrarmering

vises i Tabell 3-5. Fullstendig beregning finnes i vedlegg B.

Lengdearmering Tverrarmering

Overkant 57Ø20s150 Ø20s150

Underkant 31Ø20s150 Ø20s150

Tabell 3-5 Oppsummert slakkarmering

Siden bruen er en blanding av bjelke- og platebru må kravene for begge overholdes. For

skjærarmering innebærer dette mange forskjellige krav til senteravstand både i lenge- og

tverretning, hvor alle disse overholdes etter EK2-1-1 kapittel 9. Fullstendig beregning finnes i

vedlegg B. Skjærarmering: 10Ø16s300 bøyler.

3.7 Spennarmering

Når det benyttes spennarmering vil betongen bli påført et trykk. Dette trykket kan enten fordeles

gjennom endeforankring eller gjennom heft mellom spennarmeringen og betongen. For denne

rapporten benyttes etteroppspent armering. Dette gjennomføres med eksentrisk kabelkanal som

sammen med trykket skal til en viss grad motvirke strekkspenninger fra lastene, dette vises i

Figur 3-3. Som en kan se ved spenningsberegningene til høyre i figuren vil spennkabelen

motvirke lasten så mye at det oppstår trykk i hele tverrsnittet. For en brukonstruksjon vil en slik

armering muliggjøre for større spenn, mindre nedbøying og mindre riss.

Figur 3-3 Spenninger fra spennarmeringen, tatt fra [13, s201]

12

Gjennomføringen av etteroppspent armering gjøres ved å legge utsparingskanaler med

eventuelle eksentrisiteter i konstruksjonens lengde. Samt plassere anker på hver side. Betongen

støpes og herdes til den har tilstrekkelig trykkapasitet til å ta opp trykket som påføres fra

spennarmeringen. Deretter tres spennarmeringen gjennom utsparingskanalen og kobles til

ankerene. Armeringen spennes så opp med jekk og kiles fast i ankeret.

Spennsystemet som benyttes i analysen og dimensjoneringen i denne rapporten er fra

produsenten DYWIDAG. Valgt anker er nærmere bestemt DYWIDAG MA 2311 6812 [9] med

bøyle- og spiralarmering. Dette er et multiplane anchorage (MA), noe som vil at trykkreftene

fra ankeret blir fordelt gjennom flere plan i ankeret. I spesialiseringen vil det derimot bli sett på

anker fra andre produsenter, men det kommes tilbake til i senere kapittel. Ankeret viser i Figur

3-4.

Figur 3-4 Anker og ankerarmering

Det gis en oppsummering av parameterne dette ankervalget medbringer i Tabell 3-6. Verdier

hentes fra ETA-13/0815 [9].

Parameter symbol Formel Verdi Enhet

Horisontal senteravstand 𝑎𝑥 350 mm

Vertikal senteravstand 𝑎𝑦 350 mm

Horisontal kantavstand 𝑟𝑥 𝟎, 𝟓𝒂𝒙 + 𝒄𝒏𝒐𝒎 − 𝟏𝟎 265 mm

Vertikal kantavstand 𝑟𝑦 𝟎, 𝟓𝒂𝒚 + 𝒄𝒏𝒐𝒎 − 𝟏𝟎 265 mm

Friksjon koeffisient μ 0,19 rad-1

Wobble k 0,005 rad/m

Areal per spennkabel Ap 150 mm2

Tabell 3-6 Parametere for DYWIDAG anker

13

4 Laster

Alle påvirkninger på konstruksjonen som resulterer i tøyninger og/eller spenning anses som

last. De lastene som blir brukt i denne rapporten blir kort oppsummert og kategorisert i henhold

til SVV N400 [8].

• Permanente laster: Egenvekt

• Variable påvirkninger: Trafikklast, vindlast og termisk last

• Deformasjonslaster: Forspenning, svinn, kryp og relaksasjon

lastene skal definere etter følgende aksesystem vist i Figur 4-1.

Figur 4-1 Koordinatsystem for bruen

4.1 Egenlast

Egenvekten til brua består av flere separate laster fra forskjellige konstruksjonsdeler.

Tyngdetettheten til armert betong skal settes minst lik 25 kN/m3 i henhold til SVV N400 [6] og

EK1-1-1 [6]. Arealet til bruplatenes tverrsnitt er 5,7 m2, og lasten fra bruplaten blir da en

sentrisk last på 142,5 kN/m. I oppgaveteksten blir det oppgitt en last som tar hensyn til slitelag,

kantdrager og rekkverk. Lasten blir i kalt super-egenvekt og gir en sentrisk last på 40 kN/m.

Egenvekten skal også ta hensyn til endeskjørt, vanger og endetverrbærer i akse 1 og skal ifølge

oppgaveteksten modelleres med en nedoverrettet vertikal punktlast på 400 kN og et konsentrert

moment på 600 kNm som settes i akse 1. En samlet oversikt vises i Tabell 4-1.

Beskrivelse Symbol Verdi Enhet

Vertikal jevnt fordelt last g - 182,5 kN/m

Vertikal punktlast akse 1 Fg1 - 400 kN

Moment i akse 1 Mg1 - 600 kNm

Tabell 4-1 Laster for egenvekt

14

4.2 Trafikklast

Trafikklasten har fire forskjellige lastmodeller. For broen i denne rapporten er det bare

lastmodell 1 som er relevant. Lastmodell 2 benyttes for lokal dimensjonering av bruplaten.

Lastmodell 3 skal ta hensyn til spesielle kjøretøy og lastmodell 4 skal ta hensyn til en

folkemengde. Det er antatt at verken lastmodell 3 eller 4 er relevante for broen, og lastmodell

2 er irrelevant siden det ikke skal gjøres lokal dimensjonering av bruplaten i denne rapporten.

Lasten er i henholdt til EK1-2 [5] for bruer med lengde under 200 meter, og beregnes kun for

vertikallaster.

Lastmodell 1 (LM1) består av to forskjellige lastetyper. To aksellaster også kalt boggilast som

tar hensyn til punktlaster fra tungtrafikk, og en feltlast som tar hensyn til resterende trafikk.

Disse kan plasseres hvor som helst i bruens lengde. Størrelsen på lasten og plasseringen i

bredden, er avhengig av hvor mange kjørefelt som kan plasseres i føringsbredden.

Føringsbredden for bruen er 8,5 meter og hvert kjørefelt skal i henholdt til EK1-2 være 3 meter

bredt. Resterende bredde brukes som restfelt og får en feltlast som tar hensyn trafikk fra gang-

og sykkelbane. Bruen i denne rapporten får 2 kjørefelt og 2,5 meter bredde til restfelt. Feltene

vises i Figur 4-2.

Figur 4-2 Føringsbreddens inndeling

Boggilasten består av to kjøretøy, et i hvert kjørefelt. Disse kjøretøya har to aksellaster hver og

fordeles etter gitte dimensjoner i Figur 4-3. Senteret av kjøretøyet skal kun kunne bevege seg i

kjørefeltets senterlinje, og tiltenkt posisjon vises i Figur 4-2.

15

Figur 4-3 Boggilastens dimensjoner

En oppsummering av trafikklasten gis i Tabell 4-2.

𝑄𝑖𝑘 𝛼𝑄𝑖 Aksellast 𝑞𝑖𝑘/𝑞𝑟𝑘 𝛼𝑞𝑖/𝛼𝑞𝑟 Feltlast

Kjørefelt 1 300 kN 1,0

𝑄1𝑘𝛼𝑄1 =

300 𝑘𝑁 9,0 kN/m2 0,6

𝑞1𝑘𝛼𝑞1 =

5,4 𝑘𝑁/𝑚2

Kjørefelt 2 200 kN 1,0

𝑄2𝑘𝛼𝑄2 =

200 𝑘𝑁 2,5 kN/m2 1,0

𝑞2𝑘𝛼𝑞2 =

2,5 𝑘𝑁/𝑚2

Restfelt 2,5 kN/m2 1,0

𝑞𝑟𝑘𝛼𝑞𝑟 =

2,5 𝑘𝑁/𝑚2

Tabell 4-2 Trafikklaster

16

4.3 Termisk last

Termisk last er et resultat av at en statisk ubestemt konstruksjon blir påført en

temperaturendring. Slike endringer vil medføre tvangskrefter i konstruksjonen.

Temperaturendringene kommer fra årstidsavhengige variasjoner i lufttemperatur, solstråling og

utstråling mm. Temperaturfordelingen kan deles inn i fire hoveddeler, som vist i Figur 4-4.

Beregninger gjøres etter EK1-1-5 [4].

Figur 4-4 Temperaturfordelingen

𝛥𝑇𝑢 er den jevnt fordelte temperaturandelen.

𝛥𝑇𝑀𝑦 er den lineært varierende temperaturdifferansen i horisontalretning.

𝛥𝑇𝑀𝑧 er den lineært varierende temperaturdifferansen i vertikalretning.

𝛥𝑇𝐸 er den ikke-lineært varierende temperaturdifferansen.

For denne rapporten vil kun jevnt fordelte temperaturandelen 𝛥𝑇𝑢 og lineært varierende

temperaturdifferansen i vertikalretning 𝛥𝑇𝑀𝑧.

Bruen er en bjelke/platebru av betong og har ifølge EK1-2:NA.6.1.1 en buroverbygning type 3.

Benytter de gitte temperaturene i oppgava 𝑇𝑚𝑎𝑥 = 34°𝐶 og 𝑇𝑚𝑖𝑛 = −28°𝐶.

4.3.1 Jevnt fordelt temperaturandel

Etter EK1-1-5:NA.6.1.3.1 og EK1-1-5:6.1.3.1 kan den jevnt fordelte temperaturandelen

bestemmes, den kan oppstå som sammentrekning (kontraksjon) eller utvidelse (ekspansjon).

Kontraksjon: 𝛥𝑇𝑁,𝑐𝑜𝑛 = 𝑇0 − 𝑇𝑚𝑖𝑛 − 8°𝐶 = 30°𝐶

Ekspansjon: 𝛥𝑇𝑁,𝑒𝑥𝑝 = 𝑇𝑚𝑎𝑥 − 3°𝐶 − 𝑇0 = 21°𝐶

17

Etter EK1-1-5: NA.A.1(3) settes initialtemperaturen 𝑇0 = 10°𝐶.

4.3.2 lineært varierende temperaturdifferanse

Temperaturdifferansen er avhengig av beleggtykkelsen på vegbanen. Denne er ikke oppgitt i

oppgaveteksten og velges derfor konservativt som 50 millimeter. Etter EK1-1-5: Tabell NA.6.2

setter reduksjonsfaktoren som tar hensyn til belegg 𝑘𝑠𝑢𝑟 = 1,0. Temperaturdifferansen kan

opptre både som varmest og kaldest på overkant av tverrsnittet, og finnes i EK1-1-5: tabell

NA.6.1.

Varmest på overkant: 𝛥𝑇𝑀,ℎ𝑒𝑎𝑡 = 𝑘𝑠𝑢𝑟 × 15°𝐶 = 15°𝐶

Kaldest på overkant: 𝛥𝑇𝑀,𝑐𝑜𝑜𝑙 = 𝑘𝑠𝑢𝑟 × 8°𝐶 = 8°𝐶

4.3.3 Delkombinasjoner

Jevnt fordelte temperaturandel og lineært varierende temperaturdifferanse i vertikalretning vil

opptre samtidig, og dette må bli tatt hensyn til. Senere analyse og dimensjonering vil til all tid

benytte mest ugunstig delkombinasjon.

Delkombinasjonene hentes fra tabell i SVV 668 [12, s.9] og er i henhold til EK0 [1] og EK1-1-

5 [4]. Tabell 4-3 viser kombinasjonsfaktorene for de ulike delkombinasjonene.

Delkombinasjon 𝛥𝑇𝑀,ℎ𝑒𝑎𝑡 𝛥𝑇𝑀,𝑐𝑜𝑜𝑙 𝛥𝑇𝑁,𝑒𝑥𝑝 𝛥𝑇𝑁,𝑐𝑜𝑛

TE 1 1,0 0,35

TE 2 0,75 1,0

TE 3 1,0 0,35

TE 4 0,75 1,0

TE 5 1,0 0,35

TE 6 0,75 1,0

TE 7 1,0 0,35

TE 8 0,75 1,0

Tabell 4-3 Kombinasjonsfaktorer for termisk last [12, s.9]

18

4.4 Vindlast

Vindlast er en dynamisk last som i svært mange tilfeller blir konservativt ansett som en statisk

last. Etter EK1-1-4:8.2 merknad 3 er det ikke nødvendig med dynamisk beregning for bruer

med spenn mindre enn 40 meter. Lastene vil derfor bli beregnet som statiske laster.

Beregningene for denne lasten er gjort i henholdt til EK-1-1-4 [3] og fullstendige beregninger

finnes i vedlegg D.

Vindlasten beregnes for med og uten trafikk. Vindlastene beregnes etter en forenklet metode

som gjør at lastene opptrer som linjelaster. Som et konservativt bidrag kan disse plasseres mest

mulig ugunstig i hele bruens lengde. En oppsummering av linjelastene vises i Tabell 4-4.

Fx (kN/m) Fy (kN/m) Fz (kN/m)

Med trafikk 0,890 3,560 ±6,546

Uten trafikk 0,517 2,067 ±8,497

Tabell 4-4 Vindlaster

For denne rapporten skal det i hovedsak ikke bli sett på horisontale laster som inntreffer på

bruens sidekanter. Lasten Fy vil treffe eksentrisk på bruens sidekant og danne et

torsjonsmoment. Eksentrisiteten vil derimot ikke være stor nok til at Lasten Fy har betydning

for videre beregninger og vil derfor neglisjeres. Lasten Fx vil gi ubetydelig lite bøyemoment og

aksialkraft og vil også bli neglisjert.

Lasten Fz er også relativt lav i forhold til andre laster, men vil bli benyttet videre i analysen og

dimensjoneringen. Denne lasten kan opptre som både oppoverrettet og nedoverrettet med en

eksentrisitet 𝑒 = 2,375 𝑚𝑒𝑡𝑒𝑟 fra tverrsnittets senterlinje.

19

4.5 Svinndeformasjon

Svinn er krymping av betongen grunnet uttørking. Svinntøyningen er en sum av to bidrag, hvor

det ene er uttørkingssvinn og det andre er autogent svinn. Uttørkingssvinnet utvikler seg

langsomt over betongens herdetid. Autogent svinn (selvuttørking) utvikler seg samtidig som

betongens fasthet, hvor store deler vil utvikle seg i tidlige faser.

Siden bruen er statisk ubestemt vil svinntøyningen skape tvangskrefter. For denne rapporten er

alle lastpåvirkninger på søylen neglisjert, og dette gjelder også svinn. Beregningene er gjort i

henholdt til EK2-1-1 [6] og fullstendige beregninger finnes i vedlegg E.

Total svinntøyning: 𝜀𝑐𝑠 = 2,959 × 10−4

4.6 Krypdeformasjon

Kryp er deformasjon av betongen grunnet trykkpåkjenning over lang tid. Betongen får en

sammentrekning hvor det har oppstått trykkspenninger. Dette medfører nedbøying ved

momentpåkjenning og sammentrekning ved aksialkraftpåkjenning. Deformasjonen er svært

avhengig av trykkspenningen og tid.

Gjennom samtaler med veileder Terje Kanstad er det bestemt at lastpåvirkningen fra kryp vil

ha minimalt å si som last på selve betongen. Det vil derimot ha mye å si for spennkrafttap og

bruksgrensetilstand i senere kapittel.

Beregningene gjøres etter en forenklet metode hvor deformasjonens påvirkning utrykkes med

en endret E-modul. Krypet beregnes for bruens tiltenkte levetid, 100 år, og gjøres i henhold til

EK2-1-1 [6]. Det antas en lineær kryptøyning over hele tverrsnittet og denne antagelsen vil bli

kontrollert i kapittel 9: bruksgrensetilstand. Fullstendige beregninger finnes i vedlegg E.

Kryptallet: 𝜑 = 1,690689

Effektiv elastisitetsmodul: 𝐸𝑐,𝑒𝑓𝑓 =𝐸𝑐𝑚

1+𝜑= 13379 𝑀𝑃𝑎

20

4.7 Lastkombinasjoner

Lastkombinasjonene skal ta hensyn til sannsynligheten for at flere laster kan opptre på samme

tid. Dimensjonerende lastkombinasjoner skal lages for brudd- og bruksgrensetilstand. Alle

verdier er i henhold til EK0 [1].

4.7.1 Bruddgrensekombinasjon

Bruddgrensekombinasjonene skal brukes til å kontrollere konstruksjonen for maksimal

bæreevne. I denne rapporten skal konstruksjonen kun kontrolleres for bruddgrense-

kombinasjonen (ULS-STR), denne skal ta hensyn til brudd i konstruksjonen.

Bruddgrensekombinasjonene kan regnes ut med ligningene gitt i Tabell 4-4. Nødvendige

faktorer finnes i Tabell 4-4 samt i Tabell 4-6.

Tabell 4-4 Bruddgrensekombinasjoner, endret fra [1]

21

4.7.2 Bruksgrensekombinasjoner

Bruksgrensetilstand skal brukes for å kontrollere at konstruksjonen kan opprettholde sin

funksjon, bestandighet og et akseptabelt utsende gjennom hele sin levetid. I denne rapporten

skal konstruksjonen kontrolleres for bruksgrensekombinasjonene; karakteristisk, ofte

forekommende og tilnærmet permanent. Bruksgrensekombinasjonene kan regnes ut med

ligningene gitt i Tabell 4-5. Nødvendige faktorer finnes i Tabell 4-6.

Tabell 4-5 Bruksgrensekombinasjoner, endret fra [1]

SLS-KAR Bruksgrensetilstand, karakteristisk kombinasjon

SLS-OFTE Bruksgrensetilstand, ofte forekommende kombinasjon

SLS-PERM Bruksgrensetilstand, tilnærmet permanent kombinasjon

4.7.3 Kombinasjonsfaktorer

Kombinasjonsfaktorene for variable lastvirkninger skal ta hensyn til sannsynligheten for at flere

variable laster kan opptre samtidig. Faktorene vises i Tabell 4-6.

Tabell 4-6 Kombinasjonsfaktorer, endret fra [1]

22

4.7.4 Lastkombinasjoner som benyttes

Etter ligningene gitt for brudd- og bruksgrensetilstand kan det lages veldig mange

kombinasjoner. Det er ikke nødvendig å sette sammen alle disse, men heller å sette sammen de

kombinasjonene som vil gi størst krefter. For å gjøre dette må først de mest dominerende lastene

kartlegges. De er henholdsvis egenvekt, trafikklast, termisk last og spennkraft.

Kombinasjonene settes sammen med veiledning fra SVV 668 [12] og tar hensyn til at det ikke

skal dimensjoneres i bruens tverretning. Oppsummeres i Tabell 4-7:

Lastkombinasjon G PT CSR TR TE V-TR V

ULS-STR

1 (6.10a) - m/TR

2 (6.10b) – TR dom

3 (6.10b) – TE dom

1,35

1,20

1,20

0,9/1,1

0,9/1,1

0,9/1,1

0,0/1,0

0,0/1,0

0,0/1,0

0,95

1,35

0,95

0,84

0,84

1,20

1,12

1,12

1,12

-

-

-

SLS-KAR

1 TR dom

2 TE dom

1,0

1,0

1,0

1,0

1,0

1,0

1,0

0,7

0,7

1,0

0,7

0,7

-

-

SLS-OFTE

1 TR dom

2 TE dom

1,0

1,0

1,0

1,0

1,0

1,0

0,7

0,2

-

0,7

-

-

-

-

SLS-PERM

1 TR dom

2 TE dom

1,0

1,0

1,0

1,0

1,0

1,0

0,5

0,2

-

0,5

-

-

-

-

Tabell 4-7 Lastkombinasjoner som benyttes, endret fra [12]

G Egenvekt

PT Forspenning

CSR Kryp/svinn/relaksasjon

TR Trafikklast

TE Termisk last

V-TR Vindlast på bru med trafikk

V Vindlast på bru uten trafikk

23

5 Ekvivalente krefter

I denne rapporten benyttes Robot som analyseprogram. Dette programmet har minimale

muligheter for modulering av spennkraft og derfor velges det å sette inn de ekvivalente kreftene

manuelt. Dette innebærer at en må beskrive spennarmeringens bane, spennkrafttap og skille ut

tvangskreftene.

5.1 Kabelbane

Fremstillingen av kabelbanen er basert på Sørensen S. [13] del 2 kapittel 4 og defineres ved

hjelp av andregradsfunksjoner. I oppgaveteksten er det allerede gitt en spennkabelbane med

noen dimensjoner, og denne banen blir benytter videre i rapporten. Dette delkapittelet antar at

leseren har grunnleggende forståelse for andregradsfunksjoner og vil ikke gi en detaljert

forklaring av hvordan disse opprettes. De fullstendige beregninger finnes i vedlegg F.

Figur 5-1 Spennkabelbane

Som en kan se i Figur 5-1 er banen noe mer komplisert enn en enkel andregradsfunksjon. Det

benyttes derfor en andregradsfunksjon mellom hvert punkt hvor banens andrederiverte er null.

De områdene som er definert i figuren er de rette områda i hvert spenn og toppunktet ved akse

2 og 3. De resterende punkta blir kalt infleksjonspunkt og definerer hvor banen begynner å

krumme motsatt vei. Som en kan se i Figur 5-1 vil disse punkta befinne seg på hver side av akse

2 og 3.

For å finne disse punkta utnyttes det først at banen er symmetrisk fra felt A til felt C. Det blir

så definert en funksjon fra toppunktet ned mot bunnpunktet og en fra bunnpunktet opp mot

toppunktet. Disse to funksjonene opprettholder alle de gitte grensebetingelsene som er vist i

24

Figur 5-1. infleksjonspunktet vil nå bli definert i det punktet hvor den første derivert til begge

funksjonene er lik. De definerte funksjonene mellom felt A og akse 2 er vist i Figur 5-2.

Figur 5-2 Andregradsfunksjoner

Resultatet fra beregningen av spennkabelens bane skal gi de nødvendige vinklene, lengdene og

radiene til videre beregninger av spennkrafttap og de ekvivalente kreftene.

5.2 Spennkrafttap

Spennkraften som påføres betong ved oppspenning vil bli redusert, og må bli tatt hensyn til.

Denne reduksjonen kan bli kalt spennkrafttap og deles inn i tre hovedgrupper:

• Tap av tøyningsdifferanse mellom spennarmering og betong.

Denne type tap skjer når betongen og spennarmeringen ikke har en kontinuerlig

kraftoverføring gjennom heft.

• Spenningsendring grunnet korttidslast.

For etteroppspente konstruksjoner tar dette tapet hensyn til betongens deformasjon når

spennkablene blir oppspent etter hverandre. Når en kabel spennes opp, vil spennkabelen

som ble spent opp før miste spennkraft grunnet betongens deformasjon. Dette tapet vil

ikke bli sett nærmere på i denne rapporten.

• Tidsavhengige tap.

Dette tapet skyldes langtidseffektene kryp, svinn og relaksasjon. Tapet tar hensyn til

effektenes deformasjon av betongen og spennarmering ved konstruksjonens maksimale

levetid.

5.2.1 Tap av tøyningsdifferanse

De tapene som blir sett på er friksjonstap som tar hensyn til friksjonen grunnet kabelbanenes

krumning, og låsetap som tar hensyn til kilelåsen ved ankeret. Fullstendige beregninger finnes

i vedlegg G.

25

Friksjonstapet vil bestå av en sammensetning av lineære reduksjoner fra aktivt anker til passivt

anker. Låsetapet vil sammen med friksjonstapet gi en lineær reduksjon ved det aktive ankeret.

En kan se hvordan spennkraften blir redusert av friksjon- og låsetap i Figur 5-3.

Figur 5-3 Fiksjon og låsetap, tatt fra [12, s.38]

Når Friksjon og låsetap virker sammen vil den maksimale spennkraften oppstå ved 𝑃𝑥𝑙å𝑠 vist i

Figur 5-3. Det er gunstig å tilpasse oppspenningskraften slik at 𝑃𝑥𝑙å𝑠 = 𝑃𝑚0, hvor 𝑃𝑚0 er den

maksimale spennkraften etter låsetap 𝑃𝑚0 = 𝜎𝑝𝑚0𝐴𝑝. Hvor 𝐴𝑝 er spennarmeringsarealet og

𝜎𝑝𝑚0 er gitt i kapittel 2: Prosjekteringsgrunnlag. Ved å bruke formler fra Sørensen S. [13] kan

oppspenningskraften ved det aktive ankeret settes som følgende:

𝑃0 = 𝑃𝑚0 +𝛥𝑃𝑙å𝑠

2

Den nye oppspenningskraften 𝑃0 og maksimalkraften i kabelbanen 𝑃𝑥𝑙å𝑠 må kontrolleres for

EK2-1-1:(5.41) [6] og EK2-1-1:(5.43) [6]:

𝑃0 ≤ 𝑃𝑚𝑎𝑥 𝑓𝑜𝑟 𝑃𝑚𝑎𝑥 = 𝜎𝑝,𝑚𝑎𝑥𝐴𝑝

𝑃𝑥𝑙å𝑠 ≤ 𝑃𝑚0 𝑓𝑜𝑟 𝑃𝑚0 = 𝜎𝑝𝑚0𝐴𝑝

Oppsummering av spennkrefter og kontroller vises i Tabell 5-1:

26

𝑃0

(kN)

𝑃𝑥𝑙å𝑠

(kN)

𝑃𝑚𝑎𝑥

(kN)

𝑃𝑚0

(kN)

Kontroll 𝑃0

𝑃𝑚𝑎𝑥

(%)

Kontroll 𝑃𝑥𝑙å𝑠

𝑃𝑚0

(%)

15174,6 15054,7 15940,8 15055,2 95,2 100,0

Tabell 5-1 Oppsummering av spennkrefter og kontroller

Ser at spennkraften holder akkurat kravet for maksimal spennkraft etter låsetap 𝑃𝑥𝑙å𝑠 ≤ 𝑃𝑚0 og

den tilpassede oppspenningskraften 𝑃0 er nå optimal.

5.2.2 Tidsavhengige tap

Kryp tar hensyn til at betongen deformeres av trykkrefter etter lang tid. Denne deformasjonen

vil også endre tøyningen ved spennarmeringen og gi et spennkrafttap. Tapet beregnes ved å

benytte differansen av spennkraft mellom lang- og korttidslast, slik som benyttet i Sørensen S.

[12] del 2 kapittel 2 6.3.1. Fullstendige beregninger finnes i vedlegg G.

Svinn tar hensyn til at betongen deformeres grunnet uttørking. På lik måte som kryp vil denne

deformasjonen endre spennarmeringens tøyning og gi spennkrafttap. Beregningene gjøres etter

Sørensen S. [12] del 2 kapittel 2 6.3.2, og fullstendige beregninger finnes i vedlegg G.

Relaksasjon tar hensyn til spenningsfall når spennstålet utsettes for konstant tøyning i lang tid.

ETA definerer stålet som lav relaksasjonsklasse, noe som er svært gunstig og gir minst mulig

tap grunnet stålets kvalitet. Tapet er beregnet i samsvar med EK2-1-1:3.3.2 og 5.10.6 [6], samt

Sørensen S. [12] del 2 kapittel 2 6.3.3. Fullstendige beregninger finnes i vedlegg G.

Beregningene gjøres for felt A og for akse 3, hvor det største tapet vil bli benyttet i videre

beregninger. En oppsummering av største tidsavhengige tap fra akse 3 vises i Tabell 5-2:

Kryptap Svinntap Relaksasjonstap Totaltap

2,39 % 4,15 % 6,07 % 12,61 %

Tabell 5-2 Spennkrafttap

5.3 Spennkraft

De forenkla ekvivalente kreftene fra spennkraften inkludert umiddelbare tap kan oppsummeres

som vist i Figur 5-4:

27

Figur 5-4 Ekvivalente krefter fra spennkraft

Kreftene fra spennkraften er svært varierende gjennom hele bruens lengde, en fullstendig

beregning av disse kreftene trenger også spennkrafttapet for alle snittene i bruens lengde. Slik

nøyaktighet kan bare gjøres av program som beregner dette automatisk.

Forenklingene som er valgt, er å benytte en gjennomsnittlig jevnt fordelt vertikallast istedenfor

lineært varierende. Aksialkreftene er også påført som punktlaster istedenfor konstant fordelt

langs lengden. Disse forenklingene sammen med forenklingene for spennkrafttap må bli tatt

hensyn til spesielt ved beregninger av bruksgrense.

For videre beregninger må disse forenklingene sammen med forenklingene for spennkraft

vurderes. Slik forenklingen er gjort vil denne ikke nødvendigvis gi en konservativ last for alle

snitt og beregninger. Den mest betydelige feilen vil skje ved punktlastene for aksialkraft og

denne er ikke konservativ.

5.4 Spennkrafttap

De forenkla ekvivalente kreftene fra tidsavhengig spennkrafttap kan oppsummeres som vist i

Figur 5-5:

Figur 5-5 Ekvivalente krefter fra spennkrafttap

De ekvivalente kreftene fra tidsavhengig spennkrafttap er beregnet som 12,61 % av

spennkraften gitt i kapittel 5.3: Spennkraft, bare motsatt rettet. Benyttet forenklinger og videre

vurderinger av resultatene er som gitt i kapittel 5.3: Spennkraft.

29

6 Modellering

Modelleringen gjøres med analyseprogrammet Robot, hvor bruen blir forenklet analysert som

en rammekonstruksjon. Robot beregner slike konstruksjoner med bjelketeori.

Robot har svært mange måter å modellere og gjøre ting på. Det er derfor ikke sikkert at metoden

som er brukt i denne rapporten er den beste. Hvert steg av modelleringen beskrives og for de

påstøtende problemene skal løsningsmetoden nøye fremstilles.

6.1 Koordinatsystemet

Robot benytter et lokalt og et globalt koordinatsystem. Det lokale systemet er avhengig av hvert

enkelt element og har en klassisk retning med 𝑥 i lengderetning, 𝑧 i høyderetning og 𝑦 i

bredderetning. De forskjellige retningene kan også endres om ønskelig. Figur 6-1 viser det

lokale koordinatsystemet med de små bokstavene 𝑥,𝑦 og 𝑧.

Det globale koordinatsystemet er satt av Robot og kan ikke endres, hvordan retningene benyttes

er helt opp til modulereren. Siden konstruksjonen skal moduleres som en rammekonstruksjon

vil det derfor være gunstig å få brudekkets lokale koordinatsystem lik det globale. Dette gjør

det lettere å holde oversikt over hvilken retning de forskjellige kreftene skal plottes inn med.

Figur 6-1 viser det globale koordinatsystemet med de store bokstavene 𝑋,𝑌 og 𝑍.

Figur 6-1 Koordinatsystem i Robot, tatt frå [14]

30

6.2 Materialer

Robot har innebygd de gitte verdiene fra EK, og det dobbeltsjekkes at de stemmer med de

verdiene som skal brukes i analysen. Det kommer frem at Robot sin verdi for tyngdetetthet ikke

stemmer overens med hva SVV N400 [8] sier verdien skal settes. Denne verdien vil ha

innvirkning i egenlasten, viss robot sin funksjon for egenvektlast brukes. I denne rapporten vil

egenvekten bli gjort manuelt for å ha en bedre kontroll på hvilke krefter som virker på bruen.

6.3 Aksesystem

For å plassere element i robot kan en enten plotte inn koordinatene til hver ende av elementene

eller en kan bruke aksesystem og robot sitt snapping verktøy. Når en skal modellere større

konstruksjoner er det som oftest hensiktsmessig å modellere ved hjelp av aksesystem eller ved

hjelp av geometriske hjelpelinjer.

Det settes inn vertikale akser ved hver ende av bruen og ved hver akse gitt i oppgaveteksten.

Dette gir de nødvendige punktene som trengs for å plassere elementa. Som horisontale akser

brukes en akse for senterlinjen av brutverrsnittet og en for hver fastinnspenning av søylene.

Dette vises i Figur 6-2.

Figur 6-2 Aksesystem i modellen

Figur 6-3 viser hvordan bruens rammekonstruksjon plasseres i forhold til de oppretta aksene.

Figur 6-3 Rammekonstruksjon plassert i aksesystem

31

6.4 Effektive flensbredder

Spenningsfordelingen fra momenter kan for rektangulære bjelker antas som momentan. For et

T-tverrsnitt vil denne spredningen fortsette utover i flensene. Spredningen i flensen har en lav

spredningsvinkel og er derfor avhengig av tverrsnittets lengde for å avgjøre spredningens

bredde. Denne bredden er den som videre vil kalles effektiv flensbredde.

Spredningen nullstilles ved hvert momentnullpunkt og den effektive bredden må defineres

mellom hvert av disse punkta. l0 er avstanden mellom punkta og kan defineres gjennom EK2-

1-1:5.3.2.1(2) [6]. Figur 6-4 viser hvordan avstandene gjøres for denne bruen. Legg merke til

at utkragerne neglisjeres siden disse har relativt korte avstander i forhold til spenna.

Figur 6-4 Definisjon av lengden l0, tatt fra [6, s.56]

De resulterende avstandene vises i Tabell 6-1og gir sammen med tverrsnittets parametere et

grunnlag til beregningene av effektiv flensbredde. Definisjonene på tverrsnittets parametere

vises i Figur 6-5.

𝑏𝑒𝑓𝑓 = ∑𝑏𝑒𝑓𝑓,𝑖 + 𝑏𝑤 ≤ 𝑏

𝑏𝑒𝑓𝑓,𝑖 = 0,2𝑏𝑖 + 0,1𝑙0 ≤ 0,2𝑙0

𝑏𝑒𝑓𝑓,𝑖 ≤ 𝑏𝑖

Figur 6-5 Parametere for effektiv

flensbredde, tatt fra [6, s.57]

32

Utregningen av parameterne og den resulterende effektive bredden vises i Tabell 6-1. Den

effektive bredden vil også resultere i en endring av nøytralaksen til tverrsnittet. Nøytral aksen

beregnes med følgende formel.

𝑁𝐴 =ℎ𝑠×𝑏𝑠×

ℎ𝑠2

+ℎ𝑓×𝑏𝑒𝑓𝑓×(ℎ𝑠+ℎ𝑠2

)

ℎ𝑠×𝑏𝑠+ℎ𝑓×𝑏𝑒𝑓𝑓

ℎ𝑠: Høyde av steg = 700 mm

ℎ𝑓: Høyde av flens = 300 mm

𝑏𝑠: Bredde av steg = 4500 mm

𝑙0 (formel) 𝑙0 (verdi) 𝑏𝑒𝑓𝑓,𝑖 𝑏𝑒𝑓𝑓 NA

Felt A 0,85𝑙1 17,00 m 2100 mm 8500 mm 573,7 mm

Akse 2 0,15(𝑙1 + 𝑙2) 6,75 m 1075 mm 6650 mm 543,9 mm

Felt B 0,7𝑙2 17,50 m 2150 mm 8500 mm 573,7 mm

Akse 3 0,15(𝑙2 + 𝑙3) 6,60 m 1060 mm 6620 mm 543,3 mm

Felt C 0,85𝑙3 16,15 m 2015 mm 8500 mm 573,7 mm

Tabell 6-1 Effektiv flensbredde og nøytralakse

Gjennom samtaler med veileder Håvard Johansen har det blitt sagt at bruens modell ikke krever

stor nøyaktighet. EK2-1-1:5.3.2.1(4) sier at konstruksjoner som ikke krever stor nøyaktighet

kan benytte konstant flensbredde for hele spennvidden, hvor bredden er bestemt av feltet. Siden

tverrsnitta i felta ikke er redusert vil det derfor ikke benyttes redusert tverrsnitt i modellen. Det

vil derimot bli benyttet redusert tverrsnitt ved dimensjoneringen i senere kapittel.

33

6.5 Grenser

De grensene som kommer til å bli sett nærmere på er opplagerne ved akse 1 og 4, samt den

monolittiske forbindelsen mellom søyle og brudekke i akse 2 og 3. Klassiske opplager blir som

oftest satt rett inn i senterlinja av tverrsnittet og brukes deretter. Dette vil ikke bli helt slik

opplagerne fungerer for denne brua. Brua har alle sine lager på underkant av tverrsnittet, altså

ikke i senterlinjen. Teoretisk gjør dette at rotasjon i y-aksen og forskyving i x-aksen er avhengig

av hverandre. Et moment i y-aksen vil gi ei aksialkraft og ei aksialkraft vil gi et moment i y-

aksen. En metode som kan brukes, er å sette inn master og slave node. Dette betyr at master

noden styrer frihetsgradene. Mellom master og slave noden er det nå tiltenkt et uendelig stivt

element som gjør at slave noden forskyver og roterer avhengig av master noden. Dette skal gi

nærmere realistiske grenser enn ved å plassere grensene inn i senterlinjen.

Figur 6-6 viser deformasjonen ved opplageret i akse 1. En ser tydelig forskjell i deformeringen,

det klassiske opplegget til venstre får en enkel rotasjon. Opplageret med master og slave node

får både en rotasjon og en translasjon.

Figur 6-6 Opplager ved akse 1

Selv om opplageret med master og slave node vil gi et mer teoretisk rett opplager for bruens

geometri vil det gjøre senere beregninger og verifikasjoner mer komplisert og tidkrevende. Det

som er mest kritisk er at det klassiske opplegget vil være mest konservativt for en

dimensjonering i denne rapporten. Dette er spesielt med tanke på bruksgrensetilstand hvor

minst mulig aksialkraft og mest mulig moment vil være ugunstig. Klassiske opplager vil skape

minst aksialkraft og mest moment. Det benyttes derfor klassiske opplager ved akse 1 og 4.

Noe tilnærmet det samme vil oppstå ved de monolittiske forbindelsene mellom søylene og

brudekket. Her vil det også være mer teoretisk rett å benytte master og slave node fra

kontaktflaten mellom søylen og brudekket til senter av brudekket. Dette vil gi en mer

momentstiv søyle som da tar opp mer av rotasjonskreftene i forbindelsen. Alternativet er å

benytte en forlengelse av søylene som tilsvarer avstanden mellom master og slave noden. Dette

34

alternativet vil gi mindre stive søyler og mer av rotasjonskreftene i forbindelsen vil bli tatt opp

av brudekket. Det velges konservativt å benytte en forlengelse av søylene fordi dette valget vil

skape størst bøyemomenter i brudekket.

De endelige grensene i lengdesnittet vises i Figur 6-7. For 3D modelleringen vil oppleggene i

akse 1 og 4 også ha fastholding i y-retning.

Figur 6-7 Valgte grenser for modellen i 2D

6.6 Elementinndeling og noder

Etter SVV 668 2.2.2 [12] er det nøyaktig nok å dele hvert spenn inn i 10 elementer. Det også

hensiktsmessig å ha elementgrenser ved maksimalt feltmoment og ved kontrollpunktet for

skjærkapasitet. Robot plasserer automatisk ut noder i maksimale feltmoment, og kontrollpunkt

for skjær kan interpoleres i beregningene, dette gjøres ved senere kapittel. Det gjenstående er å

dele spenna inn i sirka 10 elementer. Det har for denne bruen blitt benyttet 14 elementer for

hvert spenn. Dette er grunnet modelleringen av trafikklasten, og vil bli mer forklar i kapittel 6.7

Modellering av trafikklast. For søylene er det valgt å dele de inn i 10 elementer.

I Figur 6-8 og Figur 6-9 vises nodene og inndelingen av elementene i rammemodellen.

Figur 6-8 Inndeling av noder, lengdesnitt

Figur 6-9 Inndeling av elementer, sett ovenfra

35

6.7 Modellering av egenvekt

Egenvekten beskrives i kapittel 4: Laster og er en av de mest dominerende lastene i analysen.

Lasten består av tre separate laster.

Lastene består av en vertikal punktlast 𝐹𝑔1 = −400 𝑘𝑁, et moment 𝑀𝑔1 = −600 𝑘𝑁𝑚 og jevnt

fordelt last 𝑔 = −182,5 𝑘𝑁/𝑚. Lastene påføres som vist i Figur 6-10:

Figur 6-10 Laster for egenvekt

6.7 Modellering av trafiklast

Trafikklasten består av mange forskjellige dellaster som kan kombineres på veldig mange

måter. Disse skal plasseres mest mulig ugunstig og skal danne dimensjonerende verdier for

bøyemoment, skjærkraft og torsjonsmoment.

Trafikklasten har fire forskjellige lastmodeller. For bruen er det kun lastmodell 1 som er aktuell

og vil benyttes videre.

6.7.1 Lastmodell 1

LM1 har en blanding av jevnt fordelt last og boggilast. Både den jevnt fordelte lasten og

boggilasten kan plasseres hvor som helt i bruens lengde. Det vil dermed bli svært mange

delkombinasjoner av disse og det er hensiktsmessig å benytte mest mulig automasjon fra Robot.

Boggilast

I henhold til EK1-2: 4.3.2 (6) b) [5] kan boggilasten bli plassert som en enkel aksiallast for

spenn som er over 10 meter. Dette gjelder kun for globale krefter og lokale krefter fra denne

lasten kan ikke brukes. Ingen av rapportens dimensjoneringer er avhengig av de lokale kreftene

fra boggilast. Det velges derfor å bruke EK1-2 sitt punkt og boggilasten modelleres med en

enkel aksellast.

36

For modelleringen brukes moving loads. Her kan en legge inn lasten sine punkter og avstander.

For en rammeanalyse tar ikke robot automatisk hensyn til eksentrisitet fra lastene. Dette må

hukes av, og Robot tror nå at denne eksentrisiteten gjelder i alle retninger og lastene kan få

svært rare node plasseringer.

Figur 6-11 er gjort for tidligere versjoner og skal bare illustrere hvordan eksentrisitetene blir

fordelt og hvilket utfall dette har på momentene. Momentverdiene fra bildene skal ikke brukes

videre i analysen. Figur 6-11 viser hvordan robot automatisk behandler eksentrisiteten.

Figur 6-11 Boggilast feil vist i 3D

En ser tydelig at eksentrisitetene har blitt flyttet over som momenter til nærmeste node, som gir

en motvirkende stivhet, altså over søylen. Det er ikke slik denne lasten skal bli tatt opp av

konstruksjonen.

For å gjøre at denne lasten blir fordelt slik den skal, må det hukes av at lasten skal virke innenfor

bilen sine dimensjoner. Dette gjør at de eksentriske lastene behandles som momenter i nodene

som er innenfor bilens dimensjoner.

Figur 6-12 vises hvordan robot behandler eksentrisiteten når bilens dimensjoner blir tatt hensyn

til.

37

Figur 6-12 Boggilast vist i 3D

En kan nå se at de eksentriske lastene blir gjort om til momenter ved nærmeste node innenfor

akselens dimensjoner. Lastene blir sjekket for alle plasseringer langs broens lengde og det ser

ut som at robot omformer eksentrisiteten som ønsket.

Gjennom flere prøver viser det seg også at punktlastene bare blir tatt opp som momenter i det

nærmeste elementet. Viss punktlasten treffer nøyaktig på en node, vil dette ikke produsere noe

form for reaksjoner i konstruksjonen. For å unngå dette ble spenna, som tidligere forklart, delt

inn i 14 element og punktlastene ble satt til å analyseres hver 0,6 meter. Dette gjør at punktlasten

ikke treffer direkte på en node.

De endelige boggilastene blir delt inn i to separate boggilaster. Dette gjøres for å kunne finne

det dimensjonerende torsjonsmomentet. Boggilastene blir kalt LM1 TS300+TS200 og LM1

TS300.

Boggilastene LM1 TS300+TS200 har som hensikt å skape dimensjonerende krefter for

bøyemoment, skjærkraft og aksialkraft.

Figur 6-13 viser modellert last LM1 TS300+ TS200:

Figur 6-13 LM1 TS300+TS200

Tabell 6-2 viser oppsummert lastene og eksentrisitetene som er brukt for moduleringen:

38

LM1 TS300+ TS200 Vertikallaster

(kN)

Eksentrisiteter

(m)

Torsjon (kNm)

Mxi = Fzi*eyi

Modellert last Fz1 = - 200

Fz2 = - 200

Fz3 = - 300

Fz4 = - 300

ey1 = - 1,25

ey2 = 0,75

ey3 = 1,75

ey4 = 3,75

Mx1 = 250

Mx2 = - 150

Mx3 = - 525

Mx4 = - 1125

Tabell 6-2 Oppsummering for LM1 TS300+TS200

Boggilastene LM1 TS300 har som hensikt å skape dimensjonerende krefter for

torsjonsmoment.

Figur 6-14 viser modellert last LM1 TS300:

Figur 6-14 LM1 TS300

Tabell 6-3 viser oppsummert lastene og eksentrisitetene som er brukt for moduleringen:

LM1 TS300 Vertikallaster

(kN)

Eksentrisiteter

(m)

Torsjon (kNm)

Mxi = Fzi*eyi

Modellert last Fz1 = - 300

Fz2 = - 300

ey1 = 1,75

ey2 = 3,75

Mx1 = - 525

Mx2 = - 1125

Tabell 6-3 Oppsummering for LM1 TS300

39

6.8 Modellering av vindlast

Vindlasten blir ofte for konstruksjoner sett på som en jevnt fordelt last som enten virker på alle

overflater eller ikke. For vindkreftene på små broer er disse kreftene veldig forenklet og blir

satt som en enkel linjelast i hver retning.

Kreftene kan også som et konservativt bidrag plasseres hvor som helst i lengderetningen i

henhold til SVV 668 1.9.4. Lasten som skal påføres blir en vertikal linjelast med eksentrisitet.

Lasten kan være rettet opp og nedover, men moduleres som nedover og kan eventuelt endres

med kombinasjonsfaktor. Som sagt i kapittel 4: Laster skal lasten i x og y-retning neglisjeres

siden kreftene har lite betydning for dimensjoneringen i denne rapporten. De jevnt fordelte

lastene, for med og uten trafikk, oppsummeres i Tabell 6-4.

Last Linjelast

(Q)

Eksentrisitet

(e)

Torsjon

(T = Q*e)

Med trafikk - 6,55 kN/m 2,375 m - 15,55 kNm/m

Uten trafikk - 8,50 kN/m 2,375 m - 20,18 kNm/m

Tabell 6-4 Oppsummering for vindlast

6.9 Modellering av termisk last

Termisk last modelleres som fire forskjellige temperaturdifferanser og kombineres sammen til

delkombinasjoner som benyttes videre i analysen. Kombinasjonene er gitt i kapittel 4: Laster.

Temperaturdifferansene beskrives som gitt i kapittel 4: Laster og oppsummeres:

𝛥𝑇𝑀,ℎ𝑒𝑎𝑡 = 15°, lineært varierende temperaturdifferanse med varmest side som overkant.

𝛥𝑇𝑀,𝑐𝑜𝑜𝑙 = 8°, lineært varierende temperaturdifferanse med kaldest side som overkant.

𝛥𝑇𝑁,𝑒𝑥𝑝 = 30°, jevn temperaturdifferanse med ekspensjon i bruens lengderetning.

𝛥𝑇𝑁,𝑐𝑜𝑛 = 21°, jevn temperaturdifferanse med kontraksjon i bruens lengderetning.

De lineært varierende temperaturdifferansene blir forenklet sett på som lineært varierende

gjennom hele tverrsnittet, istedenfor lineært varierende for bjelke- og platedelen hver for seg.

Det finnes ikke mye informasjon om hvordan Robot fordeler en lineært varierende termisk last.

Det må derfor undersøkes at robot gjør dette som ønsket.

40

Figur 6-15 Tøyningsdifferanser

Til venstre i Figur 6-15 vises det at tøyningsdifferansen er i null i nøytral aksen (NA) og går fra

negativ til positiv tøyning. Til høyre i Figur 6-15 er et eksempel på mulig tøyningsdifferanse

som har kun positiv tøyning, samt tøyning i NA. Den lineære termiske lasten skal modelleres

som vist til venstre i Figur 6-15, men viss robot bruker differansen som vist til høyre i Figur 6-

15, må dette korrigeres for.

For å se om robot bruker tøyningsdifferansen til venstre, modelleres 𝛥𝑇𝑀,ℎ𝑒𝑎𝑡 som

temperaturdifferanse, og forskyvingen i x-retning sjekkes ved opplegg i akse 4. Forskyvingen

er null og det konkluderes med at robot benytter tøyningsdifferansen som vist til venstre i Figur

6-15. Dette er fordi den ikke har forskyvinger i NA.

Temperaturendringenes påvirkning på konstruksjonen representeres med bøyemomentdiagram

som vist i figurene under.

𝛥𝑇𝑀,ℎ𝑒𝑎𝑡

Figur 6-16 Momentdiagram for 𝛥𝑇𝑀,ℎ𝑒𝑎𝑡

𝛥𝑇𝑀,𝑐𝑜𝑜𝑙

Figur 6-17 Momentdiagram for𝛥𝑇𝑀,𝑐𝑜𝑜𝑙

41

𝛥𝑇𝑁,𝑒𝑥𝑝

Figur 6-18 Momentdiagram for 𝛥𝑇𝑁,𝑒𝑥𝑝

𝛥𝑇𝑁,𝑐𝑜𝑛

Figur 6-19 Momentdiagram for𝛥𝑇𝑁,𝑐𝑜𝑛

6.10 Modellering av svinn

Svinn modelleres manuelt som en jevn kontraksjonstøyning i bruens lengderetning.

Spennarmeringens bidrag til svinntøyningen vil bli inkludert i lastene for spennkrafttap og skal

virke sammen med modellert svinn. Det vil ikke bli tatt hensyn til svinn i søylene i denne

rapporten. Kontraksjonstøyningen settes 𝜀𝑐𝑠 = 2,959 × 10−4. Lastens påvirkning på

konstruksjonen representeres med bøyemomentdiagram som vist i Figur 6-20:

Figur 6-20 Momentdiagram for svinn

42

6.11 Modellering av spennkraft

Spennkraften blir modellert som ekvivalente krefter og er beregnet manuelt i kapittel 5:

Ekvivalente krefter. Robot sitt innebygde verktøy for modellering av spennkraft blir ikke

benyttet. Dette verktøyet var svært simpelt og kunne ikke skille primær- og tvangskrefter fra

spennkraften. Kreftene modelleres som vist i kapittel 5: Ekvivalente krefter. Figur 6-21 viser

hvordan robot modellen ser ut:

Figur 6-21 Modellerte krefter fra spennkraft

6.12 Modellering av spennkrafttap

Spennkrafttap modelleres på samme måte som spennkraft. Fremgangsmåten for finne kreftene

beskrives i kapittel 5: Ekvivalente krefter. Figur 6-22 viser hvordan robot modellen ser ut:

Figur 6-22 Modellerte krefter fra spennkrafttap

43

6.13 Modellering av tvangskrefter fra spennkraft

Tvangskrefter fra forspenning må også moduleres for å produsere de nødvendige

lastkombinasjonene. Robot har ingen måte å skille ut tvangskreftene fra forspenningen og det

er heller ingen mulighet for å definere et bestemt momentdiagram eller aksialkraftdiagram.

Denne tvangskraften er spesielt viktig for å lokalisere hvor momentene er størst i felt og det blir

derfor valgt å reprodusere diagrammene ved å bruke matrisestatikk. Benytter to bøyemomenter

i akse 2 og 3 samt to vertikalforskyvinger i akse 1 og 4.

Frihetsgradene kan finnes ved å benytte formelen 𝑆 = 𝑘𝑣 + 𝑆0, gitt i kapittel 7: Verifisering av

modell, og løse den for frihetsgradene 𝑣. Grunnet kronologi vil formelen ikke videre forklares

her, men en grundigere forklaring av hvordan formelen blir satt opp, finnes i kapittel 7:

Verifisering av modell. Fullstendige beregninger finnes i vedlegg N og O.

Denne formelen benyttes kun for sidefeltene og midtfelt. Nærmere beskrivelse av hvordan

formelen settes opp, og benyttes beskrives senere i kapittel 7: Verifisering av modell.

Dette skal kunne gi et lineært moment som er tilsvarende momentet fra tvangskreftene. Hverken

skjær- eller aksialkreftene vil være reprodusert rett. Det er derimot ikke nødvendig med rett

skjærkraft for de dimensjonerende diagrammene og aksialkraften kan manuelt fininnstilles ved

hjelp av horisontalkrefter ved akse 2 og 3. Dette kan kun gjøres fordi en påført aksialkraft i

bruen vil ha minimalt å si for bøyemomentet, og reproduseringen av diagrammene for moment

og aksialkraft kan anses som gode nok. Fullstendige beregninger er gitt i vedlegg N.

Figur 6-23 Modellerte tvangskrefter fra spennkraft

Ved å benytte de gitte kreftene og forskyvingene i Figur 6-23, kan moment og aksialkraft

representeres med nokså god nøyaktighet.

44

6.14 Modellering av tvangskrefter fra spennkrafttap

Tvangskrefter fra spennkrafttap modelleres på samme måte som tvangskrefter fra spennkraft.

Fullstendige beregninger er gitt i vedlegg O.

Figur 6-25 Modellerte tvangskrefter fra spennkrafttap

Ved å benytte de gitte kreftene og forskyvingene i Figur 6-25, kan moment og aksialkraft

representeres med nokså god nøyaktighet.

6.15 Lastkombinering

Lastkombinasjonen legges inn manuelt for de gjeldene lastkombinasjonene som det ble komt

frem til i kapittel 4: Laster. Kombinasjonsfaktoren repeteres i Tabell 6-5:

Lastkombinasjon G PT CSR TR TE V-TR V

ULS-STR

1 (6.10a) - m/TR

2 (6.10b) – TR dom

3 (6.10b) – TE dom

1,35

1,20

1,20

0,9/1,1

0,9/1,1

0,9/1,1

0,0/1,0

0,0/1,0

0,0/1,0

0,95

1,35

0,95

0,84

0,84

1,20

1,12

1,12

1,12

-

-

-

SLS-KAR

1 TR dom

2 TE dom

1,0

1,0

1,0

1,0

1,0

1,0

1,0

0,7

0,7

1,0

0,7

0,7

-

-

SLS-OFTE

1 TR dom

2 TE dom

1,0

1,0

1,0

1,0

1,0

1,0

0,7

0,2

-

0,7

-

-

-

-

SLS-PERM

1 TR dom

2 TE dom

1,0

1,0

1,0

1,0

1,0

1,0

0,5

0,2

-

0,5

-

-

-

-

Tabell 6-5 Lastkombinasjoner

45

7 Verifisering av Modell

Etter analysemodellen er laget, er det viktig å kontrollere at alle forutsetninger og inndata, er

satt som ønsket. Bruen er analysert i Robot Structural Analysis og som sagt brukes det

bjelkeelementer for å analysere bruen, noe som gjør at resultatene kan enkelt kontrolleres for

hånd. Til kontroll av kreftene brukes forskyvingsmetoden. Teoretisk grunnlag finnes i

Matrisestatikk, Bell K. [15]. I kapittel 7.1: Modellering av egenvekt vil opprettingen av

stivhetsmatrise bli noe mer gjennomgått, for å vise hvordan elementstivhetene blir plassert i

den globale stivhetsmatrisen. De resterende lastkapitlene vil bare vise til hvilke formler som

benyttes til å opprette den. Alle lastkapitlene vil derimot vise hvordan lastene har blitt plassert

i det statiske systemet.

Til kontrollene er det valgt å benytte de lasttilfellene som gir størst mulig feltmoment i felt A.

Dette er valgt på grunn av to årsaker; det var et problematisk område ved modelleringen av

trafikklasten, og det er gunstig å kontrollere, siden dette spennet skal kontrolleres for

momentkapasitet senere.

7.1 Verifisering av egenvekt

Egenvekten består av forskjellige laster i form av linjelast, punktlast og momentlast som vist i

Figur 7-1. Framgangen for lastene beskrives i kapittel 4: Laster. Fullstendige beregninger finnes

i vedlegg I.

Figur 7-1 Laster fra egenvekt

For denne lasten, holder det å kun ta hensyn til bøyestivheten i det statiske systemet. Dette er

fordi skjærstivheten og aksialstivheten vil ha minimalt å si for rotasjonene i oppleggene og over

søylene. Frihetsgradene blir da i form av rotasjoner 𝑟1 − 𝑟4 som vist i Figur 7-2. Verifikasjonen

46

kan løsest med kun 𝑟2 og 𝑟3, men etterarbeidet blir ansett som mer tidkrevende enn å bruke 𝑟1 −

𝑟4 i stivhetsrelasjonene. Figur 7-2 viser også inndelingen og beliggenheten av elementene.

Figur 7-2 Frihetsgrader for egenvekt

Legg merke til at utkragerne på hver side har blitt tatt bort. Dette fordi linjelasten fra disse skal

heller bli satt som moment i de tilhørende frihetsgradene 𝑟1 og 𝑟4.

Lastvektoren blir i hovedsak opprettet ved hjelp av tabellverdiene for en bjelke med feltlast og

innspenninger på begge sider som vist i Tabell 7-1. Dette skal representere det statiske systemet

for hver bjelke når frihetsgradene har null bevegelse, og det vil da også beskrive hvordan

frihetsgradene blir påvirket av lasten.

Reaksjonskrefter

(Oppover rettet)

Momenter

(Strekk OK)

𝐹1 = 𝑞𝐿

2 𝑀1 =

𝑞𝐿2

12

𝐹2 = 𝑞𝐿

2 𝑀2 =

𝑞𝐿2

12

Tabell 7-1 Feltlast med fastinnspenninger tatt fra [16]

Momentene for innspenning 1 og 2 vil bli brukt for elementene 1,2 og 4. Tabellen gir da

grunnlaget for det som kalles fastholdingskreftene symboliseres som 𝑅0 i beregningene.

Linjelasten fra utkragerne blir gjort om til moment og blir sammen med moment fra endeskjørt

satt som ytre krefter og blir kalt 𝑅𝑘. Momentet fra utkrager vises i Tabell 7-2:

Reaksjonskrefter

(Oppover rettet)

Momenter

(Strekk OK)

𝐹1 = qL 𝑀1 = 𝑞𝐿2

12

Tabell 7-2 Feltlast på utkrager tatt fra [16]

På vektorform vil fastholdingskreftene og moment fra endeskjørt og utkragere bli formulert

som følgende. Merk at symbolene blir vist litt annerledes siden de utklipp fra MathCAD-arket

for verifikasjon av egenvekt. Finnes i vedlegg I.

47

De resulterende kreftene blir som følgende:

Visuelt vil lastene bli plassert som vist i Figur 7.3:

Figur 7.3 Laster til lastvektoren for egenvekt

Den resulterende lastvektor blir da vist under. Her er alle kreftene i hver frihetsgrad summert

og fortegnet er bestemt etter frihetsgradens retning som er vist i begynnelsen.

Til opprettelsen av stivhetsmatrisen brukes formelsamlingen fra konstruksjonsmekanikk [17].

Bjelkeelement for rotasjon (R element)

Figur Kraftrelasjoner

Tabell 7-3 R element tatt fra [17]

48

Formelen vist i Tabell 7-3 er utvidelse av Hookes lov 𝐹 = 𝑘𝑥 og beskriver forholdet mellom

ytre og indre krefter som virker i hvert bjelkeelement. 𝑆 er elementets krefter, 𝑘

elementstivhetsmatrisen og 𝑣 frihetsgradene. Siden det bare brukes rotasjonsfrihetsgrader i

denne verifikasjonen, er formel fra formelsamlingen [17] gjort om til å kun ta hensyn til dem.

For stivhetsmatrisen brukes kun formelbidraget 𝑘. I beregningen blir disse gjort på en global

metode, det vil si at alle elementenes stivhet blir satt direkte inn i en matrise som har samme

dimensjon som den globale stivhetsmatrisen 𝐾. 𝐼𝐵 og 𝐼𝑆 er arealtreghetsmomentet for tilhørende

brudekket og søylene, og 𝑙𝑖 𝑓𝑜𝑟 𝑖 = 1,2,3,4,5 er elementenes lengder.

Bidragene fra hvert element er nå plassert rett i forhold til frihetsgradene og skal summeres for

å få den globale stivhetsmatrisen 𝐾.

Nå er den stivheten og lastvektoren kjent og den ukjente rotasjonen kan bli funnet. Ved hjelp

av formelen:

Momentene som virker i hvert element kan da blir funnet ved følgende formel og resultatet av

denne formelen blir representert i Tabell 7-4.

Momentdiagrammet fra Robot viser som følgende:

49

Figur 7-4 Momentdiagram for egenvekt

Sammenligning av momenter fra Robot og fra håndberegninger:

Momenter Felt A

(kNm)

Akse 2

(kNm)

Felt B

(kNm)

Akse 3

(kNm)

Felt C

(kNm)

Robot 4697,2 9408,7 5020,9 9065,1 4378,7

Håndberegning 4690,9 9408,7 5008,7 9090,5 4365,7

Avvik 6,3 0 12,2 25,4 13,0

Avvik i % 0,1 0 0,2 0,3 0,3

Tabell 7-4 Sammenligning for egenvekt

Avvikene er veldig små og det tyder på at Robot har gjennomført analysen slik det var ønsket.

50

7.2 Verifikasjon av opplagerkrefter

Denne gjøres for lasten egenvekt, og håndberegningene tar utgangspunkt i den allerede etablerte

forskyvingene i kapittel 7.1: Verifisering av egenvekt. Fullstendige beregninger finnes i vedlegg

I.

Det skal også bli tatt hensyn til den vertikale forskyvingen i søylene og RV elementet

introduseres. Ny stivhetsmatrise lages for RV elementet og vises i Tabell 7-5:

Bjelkeelement for rotasjon og vertikalforskyving (RV element)


Tabell 7-5 RV element tatt fra [17]

Reaksjonskrefter fra Robot vises i Figur 7-5:

Figur 7-5 Reaksjonskrefter fra egenvekt

En sammenligning av vertikalkrefter fra Robot og håndberegninger vises i Tabell 7-6:

Vertikalkrefter Akse 1

(kN)

Akse 2

(kN)

Akse 3

(kN)

Akse 4

(kN)

Robot 1984,9 4542,6 4457,7 1459,8

Håndberegning 1984,1 4542,4 4460,6 1458,0

Avvik 0,8 0,2 2,9 1,8

Avvik i % 0,0 0,0 0,1 0,1

Tabell 7-6 sammenligning for Opplagerkrefter


51

7.3 Verifikasjon av trafikklast

For dette lasttilfellet, blir momentet i felt A størst når punktlasten inntreffer 8 meter fra akse 1.

Analysen for denne punktlasten blir analysert for hver 0,6 meter og det vil da ligge en viss

unøyaktighet i momentets størrelse. Ved modelleringen ble punktlasten internt testet for 0,1

meter, dette ga som forventet noe høyere momenter, men var veldig tidkrevende og gjorde

analysen kort sagt treg. Som en ekstra verifikasjon på at analysen er god nok for hver 0,6 meter,

gjøres det en håndberegning på hvilken plassering av punktlasten som gir størst feltmoment.

Samt hvor stort dette momentet er i forhold til feltmomentet som blir funnet når punktlasten er

plassert 8 meter fra akse 1. Fullstendige beregninger finnes i vedlegg J.

Lastene som gir størst moment i felt A er vist i Figur 7-6:

Figur 7-6 Trafikklast

Slik som lastene er representert, kan dette systemet beskrives med 2 rotasjons frihetsgrader over

begge søylene og R elementet. Figur 7-7viser frihetsgradene:

Figur 7-7 Frihetsgrader trafikklast

52

Tabell 7-7 viser hvilke krefter som kommer fra feltlasten på en opplagret utkrager:

Reaksjonskrefter

(Oppover rettet)

Momenter

(Strekk OK)

𝐹1 = 3𝑞𝐿

8

𝐹2 = 5𝑞𝐿

8 𝑀2 =

𝑞𝐿2

8

Tabell 7-7 Feltlast på opplagret utkrager tatt fra [16]

Tabell 7-8 viser hvilke krefter som kommer fra punktlast på en opplagret utkrager:

Reaksjonskrefter

(Oppover rettet)

Momenter

(Strekk OK)

𝐹1 = 𝑄𝑏2

2𝐿3(𝑎 + 2𝐿)

𝐹2 = 𝑄 − 𝐹1 𝑀2 = 𝑄𝑎𝑏

2𝐿2(𝑎 + 𝐿)

Tabell 7-8 Punktlast på opplagret utkrager tatt fra [16]

Figur 7-8 viser lastene til lastmatrisen:

Figur 7-8 Laster til lastvektor for trafikklast

Figur 7-9 viser momentdiagrammet fra Robot:

Figur 7-9 Momentdiagram for trafikklast

53

En sammenligning av momenter fra Robot og håndberegninger vises i Tabell 7-9:

Momenter Felt A

(kNm)

Akse 2

venstre

(kNm)

Akse 2

høyre

(kNm)

Akse 3

venstre

(kNm)

Akse 3

høyre

(kNm)

Felt C

(kNm)

Robot 5082,5 2885,1 1602,9 70,1 390,7 1163,2

Håndberegning 5079,6 2895,1 1605,6 71,4 389,2 1163,9

Avvik 2,9 10 2,7 1,3 1,5 0,7

Avvik i % 0,1 0,3 0,2 1,9 0,4 0,1

Tabell 7-9 Sammenligning for trafikklast


Gjennom håndberegningene blir en mer nøyaktig plassering av punktlasten funnet for å se hvor

god nøyaktigheten av modellen er når punktlasten blir plassert hver 0,6 meter. Plasseringen blir

gjort for en nøyaktighet på 0,001 meter.

Robot Håndberegning Avvik Avvik i %

Plassering fra

akse 1 (m) 8 8,39 0,39 4,9

Feltmoment A

(kNm) 5082,5 5089,5 7 0,1

Tabell 7-10 Sammenligning mellom maksimalt og beregnet feltmoment

Tabell 7-10 viser seg at håndberegningene har veldig godt samsvar med svarene fra Robot,

dette gjør at håndberegningene for størst feltmoment kan anses som gode nok. Ut i fra avvikene

i feltmoment er det mer enn godt nok at punktlasten blir analysert for hver 0,6 meter.

54

7.4 Verifisering av termisk last

Lasten, som skal verifiseres er TE 3 som består av en lineært varierende temperatur fra topp til

bunn av tverrsnittet og en uniform temperatur i lengderetningen. Delkombinasjonen TE 3 finnes

i kapittel 4: Laster. Fullstendige beregninger finnes i vedlegg K.

Denne verifikasjonen er nok den mest avanserte og det introduseres et element som tar hensyn

til aksialstivheten, dette er fordi at denne lasten er helt avhengig av systemets tvangskrefter.

Elementet kalles RH elementet og blir fremvist om litt. Den lineært varierende delen vil gi

rotasjoner i hver ende av elementene i brudekket. I Figur 7-10 vises hvordan rotasjonen blir når

elementene blir sett på som separate.

Figur 7-10 Rotasjon fra termisk last

Når elementene virker sammen med resterende del av konstruksjonen vil rotasjonene bli fordelt

som tvangskrefter.

Den uniforme temperaturen gir en translasjon av hver frihetsgrad i lengderetningen som vist i

Figur 7-11:

Figur 7-11 Translasjon fra termisk last

For å sørge for at denne deformasjon blir gjort om til momenter må rotasjonsstivheten i hver

søyle bli tatt med ved hjelp av RV elementet.

De nødvendige frihetsgradene for å representere momentet til det statiske systemet når det er

utsatt for termisk last blir som vist i Figur 7-12:

55

Figur 7-12 Frihetsgrader for termisk last

Termisk last gir som sagt utvidelser i brudekket og lastvektoren blir opprettet ved av de gitte

deformasjonene i Tabell 7-11. Hvor 𝜀0𝑀 representerer den lineært varierende deformasjonen og

𝜀0𝑁 representerer den uniforme.

Termisk last

Utvidelser fra temperatur Elementets fastholdingskrefter

[ 𝑆𝑟1

0

𝑆𝑥10

𝑆𝑟20

𝑆𝑥20 ]

= 𝐸

ℎ[

𝐼𝜀0𝑀

𝐴ℎ𝜀0𝑁

−𝐼𝜀0𝑀

−𝐴ℎ𝜀0𝑁

]

Tabell 7-11 Utvidelser fra temperatur tatt fra [17]

For lasttilfellet TE 3 er 𝜀0𝑀 = 𝛼𝛥𝑇𝑀,ℎ𝑒𝑎𝑡 og 𝜀0𝑀 = ω𝑁𝛼𝛥𝑇𝑁,𝑐𝑜𝑛. 𝛼 er betongens

temperaturutvidelseskoeffisient, 𝛥𝑇𝑀,ℎ𝑒𝑎𝑡og 𝛥𝑇𝑁,𝑐𝑜𝑛 er temperaturdifferansene som er gitt i

kapittel 4: Laster. For TE 3 er reduksjonsfaktoren ω𝑁, og brukes for den uniforme

deformasjonen. Den tar hensyn til kombineringen av lineær og uniform deformasjon.

De globale lastene fra termisk last blir da som vist i Figur 7-13:

Figur 7-13 Laster til lastvektor for termisk last

56

Som vist i Figur 7-12 av konstruksjonens frihetsgrader er det tatt med horisontale forskyvinger.

Det må da introduseres et nytt element som tar hensyn til aksialstivheten. Elementet som

benyttes for dette er vist i Tabell 7-12 og vil bli kalt RH elementet, og skal benyttes i elementene

1 og 2 i konstruksjonen. Element 4 vil bruke det tidligere R elementet.

Bjelkeelement for rotasjon og horisontalforskyving (RH element)


Tabell 7-12 RH element

Stivhetsmastrisen opprettes på samme måte som beskrevet for egenvekt og tar nå hensyn til

lineær og aksial deformasjon.

Robot sine beregninger gir følgende momentdiagram, som vist i Figur 7-14:

Figur 7-14 Momentdiagram for termisk last

Sammenligning av momenter fra Robot og håndberegninger vises i Tabell 7-13:

Momenter Akse 2

venstre

(kNm)

Akse 2

høyre

(kNm)

Akse 3

venstre

(kNm)

Akse 3

høyre

(kNm)

Robot 3660,7 2574,2 3575,3 2978,6

Håndberegning 3660,9 2573,6 3576,8 2980,4

Avvik 0,2 0,6 1,5 1,8

Avvik i % 0,0 0,0 0,0 0,1

Tabell 7-13 Sammenligning for termisk last


57

7.5 Verifikasjon av vindlast

Denne lasten er veldig lik trafikklasten bare at punktlasten ikke er med. Som ved trafikklasten,

blir det sett på lasttilfeller som skal gi størst moment i felt A og C. Verifikasjonen gjøres for

vindlast med trafikk. Fullstendige beregninger finnes i vedlegg L.

Lastplassering som vist i Figur 7-15:

Figur 7-15 Vindlast

Bruker som i verifikasjonen av trafikklast, 2 rotasjonsfrihetsgrader som vist i Figur 7-16:

Figur 7-16 Frihetsgrader for vindlast

Fordelingen av lasten gir da lasten i frihetsgradene. Vist under i Figur 7-17:

Figur 7-17 Laster til lastvektoren for vindlast

58

Stivhetsmatrisen for dette systemet vil bruke R element for alle elementene i systemet.

Momentdiagrammet fra Robot vises i Figur 7-18:

Figur 7-18 Momentdiagram for vindlast

En sammenligning av momentene fra Robot og håndberegninger vises i Tabell 7-14:

Momenter Felt A

(kNm)

Akse 2

venstre

(kNm)

Akse 2

høyre

(kNm)

Akse 3

venstre

(kNm)

Akse 3

høyre

(kNm)

Felt C

(kNm)

Robot 244,2 178,9 82,0 72,9 144,6 227,7

Håndberegning 244,0 179,3 81,9 73,3 145,2 227,4

Avvik 0,2 0,4 0,1 0,4 0,6 0,3

Avvik i % 0,1 0,2 0,1 0,5 0,4 0,1

Tabell 7-14 Sammenligning for vindlast


59

7.6 Verifikasjon av svinn

Svinnlasten funger på akkurat samme møte som uniform termisk last. Slik det ble konkludert

med i termisk last, er det kun nødvendig med horisontale frihetsgrader over søylene for å

beskrive tvangskreftene fra uniform deformasjon. For å få momentene, trengs også to rotasjon

frihetsgrader over søylene, og brudekkets momenter kan nå beskrives. Frihetsgradene vises i

Figur 7-19. Fullstendige beregninger finnes i vedlegg M.

Figur 7-19 Frihetsgrader for svinn

Fastholdingskreftene blir definert i Tabell 7-15:

Svinn last

Kontraksjon fra svinn Elementets fastholdingskrefter

[𝑆𝑥1

0

𝑆𝑥20 ] = 𝐸𝐴𝜀𝑐𝑠 [

1−1

]

Tabell 7-15 Kontraksjon fra svinn tatt fra [17]

Lastene som skal i lastvektoren blir da som vist i Figur 7-20:

Figur 7-20 Laster til lastvektoren for svinn

Stivhetsmatrisen for dette systemet vil bruke RH element for element 1 og 2, R element for

element 4 og RV element for element 3 og 5.

60

Momentdiagrammet fra Robot vises i Figur 7-21:

Figur 7-21 Momentdiagram for svinn

En sammenligning av momentene fra Robot og håndberegninger vises i Tabell 7-16:

Momenter Akse 2

venstre

(kNm)

Akse 2

høyre

(kNm)

Akse 3

venstre

(kNm)

Akse 3

høyre

(kNm)

Robot 655,5 1260,7 1475,4 1113,6

Håndberegning 654,6 1262,0 1476,6 1112,7

Avvik 0,9 1,3 1,2 0,9

Avvik i % 0,1 0,1 0,1 0,1

Tabell 7-16 Sammenligning for svinn


61

7.7 Verifikasjon av spennkraft

Spennkraften består av forskjellige laster i form av linjelast og momentlast som vist på bildet

under. Fremgangsmåten for lastene beskrives i kapittel 5: Ekvivalente krefter, og vises i Figur

7-22. Fullstendige beregninger finnes i vedlegg N.

Figur 7-22 Ekvivalente krefter fra spennkraft

For denne lasten skal bare bøyemomentet kontrolleres og det holder derfor å bare ta hensyn til

bøyestivheten i det statiske systemet. Det benyttes derfor R element og frihetsgradene blir i

form av rotasjoner 𝑟1 og 𝑟2 som vist på Figur 7-23. Bildet viser også inndelingen og

beliggenheten av elementene.

Figur 7-23 Frihetsgrader for spennkraft

For å opprette lastvektoren må mange forskjellige tabellverdier benyttes. De jevnt fordelte

lastene blir forenklet sett på som punktlaster. Tabell 7-17 viser reaksjonskreftene for en vilkårlig

punktlast mellom to innspenninger.

Reaksjonskrefter

(Oppover rettet)

Momenter

(Strekk OK)

𝐹1 = 𝑄𝑏2

𝐿3(𝐿 + 2𝑎) 𝑀1 =

𝑄𝑎𝑏2

𝐿2

𝐹2 = 𝑄 − 𝐹1 𝑀2 = 𝑄𝑏𝑎2

𝐿2

Tabell 7-17 Punktlast på innspent bjelke

Sammen med Tabell 7-17 vil også Tabell 7-8, Punktlast på opplagret utkrager benyttes. For å

finne reaksjonskreftene fra momentlasten benyttes Robot til å finne et forhold mellom

62

momentlasten og reaksjonsmomentet i fastinnspenningen. Figur 7-24 viser momentlasten og

opplagerne for modelleringen.

Figur 7-24 Momentlast på opplagret utkrager

Parameterne tilpasses for felt A og C og gir et forholdstall mellom påført momentlast 𝑀 og

reaksjonsmomentet 𝑀2 ved akse 2. Tabell 7-18 oppsummerer parameterne, forholdstallet og

reaksjonsmomentet for felt A og C.

𝑏 𝐿 Forholdstall 𝑀2

Felt A 4,0 m 20 m 0.460000 0.460000M

Felt C 4,0 m 19 m 0.434903 0.434903M

Tabell 7-18 Reaksjonsmoment i fastinnspenning

Figur 7-25 viser visuelt lastene til lastvektoren.

Figur 7-25 Laster til lastvektor for spennkraft

Figur 7-26 viser momentdiagram for spennkraften uten bidrag fra aksialkraften tatt fra Robot.

Figur 7-26 Momentdiagram for spennkraft

63

Denne verifikasjonen vil bli noe forenklet grunnet tidsmessige årsaker og momentene i felt vil

ikke bli beregnet med matrisestatikk. En sammenligning av produsert og modulert

tvangsmoment er vist i Tabell 7-19:

Momenter Akse 2

venstre

(kNm)

Akse 2

høyre

(kNm)

Akse 3

venstre

(kNm)

Akse 3

høyre

(kNm)

Robot 8834,5 10844,6 10575,0 8939,7

Håndberegning 8834,3 10563,1 10303,6 8896,4

Avvik 0,2 281,5 271,4 43,3

Avvik i % 0,0 2,6 2,6 0,5

Tabell 7-19 Sammenligning for spennkraft


64

7.8 Verifikasjon av tvangskrefter fra spennkraft

Tvangskreftene har blitt produsert ved å trekke fra primærmomentet fra spennkraftmomentet.

De resulterende lastene og forskyvingene for å reprodusere tvangskreftene blir, beregnet med

et forenklet statisk system og tilpasses for aksialkrefter i Robot modellen. Det vil kontrolleres

at momentene ikke har fått betydelig endring i Robot modellen. Fullstendige beregninger finnes

i vedlegg N.

Verifikasjonen benytter R elementer og to rotasjonsfrihetsgrader. Figur 7-27 viser

frihetsgradene.

Figur 7-27 Frihetsgrader for tvangskrefter fra spennkraft

For å kunne reprodusere rett moment, blir det tatt med et tiltenkt moment fra endefeltene. Dette

momentet kan kun reproduseres ved å benytte en vertikal forskyvning av oppleggene i akse 1

og 4. Disse vertikale forskyvingene blir ikke tatt hensyn til ved stivhetsmatrisen og vil ikke bli

sett på som frihetsgrader. Figur 7-28 viser lastmatrisen visuelt.

Figur 7-28 Laster til lastvektoren for tvangskreftene fra spennkraft

65

Momentdiagrammet fra Robot vises i Figur 7-29. Dette diagrammet tar med tilpassingen av

aksialkraft. Kreftene for dette finnes i kapittel 6: Modellering.

Figur 7-29 Momentdiagram for tvangskrefter fra spennkraft

En sammenligning av produsert og modulert tvangsmoment er vist i Tabell 7-20.

Momenter Akse 2

venstre

(kNm)

Akse 2

høyre

(kNm)

Akse 3

venstre

(kNm)

Akse 3

høyre

(kNm)

Robot 2305,0 3731,1 4397,4 1775,8

Håndberegning 2286,5 3736,9 4389,2 1792,2

Avvik 18,5 5,8 8,2 16,4

Avvik i % 0,8 0,2 0,2 0,9

Tabell 7-20 Sammenligning for tvangskrefter fra spennkraft

Avvikene er veldig små. Dette tyder på at overføringen av kreftene og forskyvingene fra

forenklet statisk system til Robot-modell ikke har gi store endringer.

66

7.9 Verifikasjon av spennkrafttap

Fremgangsmåten er akkurat samme som kapittel 7.7: Verifikasjon av spennkraft og vil ikke bli

forklart igjen. De viktigste figurene vil derimot fremstilles. Fullstendige beregninger finnes i

vedlegg O.

Spennkrafttapet består av forskjellige laster i form av linjelast og momentlast som vist i Figur

7-30. Fremgangsmåten for lastene beskrives i kapittel 5: Ekvivalente krefter.

Figur 7-30 Ekvivalente krefter fra spennkrafttap

Figur 7-31viser visuelt lastene til lastmatrisen.

Figur 7-31 Laster til lastvektoren for spennkrafttap

Figur 7-32 viser momentdiagrammet for spennkrafttap uten bidrag fra aksialkraften, tatt fra

Robot.

Figur 7-32 Momentdiagram for spennkrafttap

67

Denne verifikasjonen vil bli noe forenklet grunnet tidsmessige årsaker og momentene i felt vil

ikke bli beregnet med matrisestatikk. En sammenligning av produsert og modulert

tvangsmoment er vist i Tabell 7-21.

Momenter Akse 2

venstre

(kNm)

Akse 2

høyre

(kNm)

Akse 3

venstre

(kNm)

Akse 3

høyre

(kNm)

Robot 1074,9 1289,6 1260,9 1086,6

Håndberegning 1113,1 1330,9 1298,5 1121,3

Avvik 38,2 41,3 37,6 34,7

Avvik i % 3,4 3,1 2,9 3,1

Tabell 7-21 Sammenligning for spennkrafttap

Selv om avvikene er noen av de største i denne verifikasjonen, er de fortsatt veldig små. Siden

det var noe forventet at avvikene skulle være omtrent det samme som for verifikasjonen for

spennkraft, har det blitt gjort en grundig etterkontroll. Håndberegninger og laster i Robot har

blitt nøye kontrollert, og skal stemme. Kan konkludere med at Robot har gjennomført analysen

slik det var ønsket.

68

7.10 Verifikasjon av tvangskrefter fra spennkrafttap

Fremgangsmåten er akkurat samme som kapittel 7.8: Verifikasjon av tvangskrefter fra

spennkraft, og vil ikke bli forklart igjen. De viktigste figurene vil derimot fremstilles.

Fullstendige beregninger finnes i vedlegg O.

Figur 7-33 viser lastmatrisen visuelt.

Figur 7-33 Laster og forskyvinger til lastvektoren for tvangskrefter fra spennkrafttap

Momentdiagrammet fra Robot vises i Figur 7-34. Dette diagrammet tar med tilpassingen av

aksialkraft. Kreftene for dette finnes i kapittel 6: Modellering.

Figur 7-34 Momentdiagram for tvangskrefter fra spennkrafttap

En sammenligning av produsert og modulert tvangsmoment er vist i Tabell 7-22.

Momenter Akse 2

venstre

(kNm)

Akse 2

høyre

(kNm)

Akse 3

venstre

(kNm)

Akse 3

høyre

(kNm)

Robot 244,0 388,0 473,0 179,0

Håndberegning 242,7 386,9 474,4 178,9

Avvik 1,3 1,1 1,4 0,1

Avvik i % 0,5 0,3 0,3 0,1

Tabell 7-22 Sammenligning for tvangskrefter fra spennkrafttap

Avvikene er veldig små. Dette tyder på at overføringen av kreftene og forskyvingene fra

forenklet statisk system til Robot-modell ikke har gi store endringer.

69

8 Bruddgrensetilstand

Bruddgrensetilstand, også kalt ULS, tar for seg konstruksjonens kapasitet mot brudd, og

kontrollerer denne opp mot dimensjonerende krefter fra laster i funnet i kapittel 4: Laster.

Kapasiteter blir hovedsakelig beregnet gjennom kapittel 6 i EK2-1-1 [6] og EK2-2 [7], samt

kapittel 7.6 i SVV N400 [8]. Den nødvendige armeringen fra ULS, vil ta hensyn til

lastvirkningene aksialkraft, bøyemoment, skjærkraft og torsjonsmoment. Det vil for dette

kapittelet bli vist hvilke formler som benyttes og viktige valg som gjøres i beregningene. De

fullstendige beregningene finnes i vedlegg P.

8.1 Effektiv flensbredde

For bruddgrensetilstand skal verdiene for effektiv flensbredde i kapittel 6: Modellering

benyttes. De effektive flensbreddene og nøytral aksene oppsummeres i Tabell 8-2, og effektiv

flensbredde visualiseres i Figur 8-1. Beregninger finnes i kapittel 6: Modellering.

𝑏𝑒𝑓𝑓 NA

Felt A 8500 mm 573,7 mm

Akse 2 6650 mm 543,9 mm

Felt B 8500 mm 573,7 mm

Akse 3 6620 mm 543,3 mm

Felt C 8500 mm 573,7 mm

Tabell 8-3 Effektive flensbredder

Figur 8-1 Effektive flensbredder

70

8.2 ULS diagrammer uten forspenningens primæreffekter

Diagrammer uten forspenningens primæreffekter brukes hovedsakelig til dimensjonering av

bøyemoment. Dette er grunnet beregningsmetoden gitt i oppgaveteksten. Metoden tar for seg

spennarmeringen som et bidrag til indre kapasitet, noe som gjør at primærmomentet må fjernes

fra diagrammene.

8.3 ULS diagrammer med forspenningens primæreffekter

Diagrammer med forspenningens primæreffekter brukes hovedsakelig til dimensjonering av de

resterende bruddgrensekontrollene, torsjonsmoment og skjærkraft.

Figur 8-4 ULS Momentdiagram med primæreffekter

Figur 8-2 ULS Momentdiagram uten primæreffekter

Figur 8-3 ULS Aksialkraftdiagram uten primæreffekter

71

Figur 8-5 ULS aksialkraftdiagram med primæreffekter

Figur 8-6 ULS Torsjonsmomentdiagram med primæreffekter

Figur 8-7 ULS Skjærkraftdiagram med primæreffekter

72

8.4 Momentkapasitet

Dimensjonerende snitt i felt A og ved akse 3 bestemmes ut i fra diagrammet i Figur 8-2 ULS

Momentdiagram uten primæreffekter. Beregninger gjøres gjennom gitte formler i formelhefte

for betongkonstruksjoner 2 [18]. Fullstendige beregninger finnes i vedlegg P.

Beregningen av momentkapasiteten startes med å finne nødvendig armering for å opprettholde

et balansert tverrsnitt. En slik balanse er rent teoretisk og oppnås når betongen har

trykkbruddtøyning samtidig som armeringen flyttøyning. Faktoren αb bestemmes ved hjelp av

Figur 8-7 og utrykkes som følgende:

𝛼𝑏 =𝜀𝑐𝑢

𝜀𝑐𝑢 + (𝑓𝑝𝑑

𝐸𝑝− 𝜀′

𝑝0)

Betongens trykktøyning 𝜀𝑐𝑢 og bestemmes ved hjelp av EK2-1-1:3.1.7(3) og skal settes lik 𝜀𝑐𝑢3

fra EK2-1-1: Tabell 3.1. Effektiv tøyningsdifferanse 𝜀′𝑝0 er forhåndstøyningen redusert for

langtidstap. For denne rapporten benyttes langtidstapene fra svin, kryp og relaksasjon.

Videre benyttes faktoren for 𝛼𝑏 for å sette opp ligningen for aksiallikevekt. Benytter forenklet

aksiallikevekt gitt i formelheftet [18] med midlere effektiv høyde 𝑑𝑚 fra slakk- og

spennarmering. Kapasiteten vil bli noe mer konservativ enn ved å benytte separate høyder for

slakk- og spennarmering. Nødvendig spennarmeringsareal for balansert tverrsnitt bestemmes

ved å omformulere aksiallikevekten i formelheftet [18] og utrykkes som følgende:

𝐴𝑝𝑏 = 0,8𝛼𝑏𝑏𝑑𝑚𝑓𝑐𝑑

𝑓𝑝𝑑− 𝐴𝑠

𝑓𝑦𝑑

𝑓𝑝𝑑

Figur 8-7 Momentkapasitet [18]

73

Det nødvendige spennarmeringsarealet benyttes for å se om det antatte spennarmeringsarealet

Ap vil gi et over- eller underarmert tverrsnitt. Sammenligningen blir som følgende:

𝐴𝑝 ≤ 𝐴𝑝𝑏 → 𝑈𝑛𝑑𝑒𝑟𝑎𝑟𝑚𝑒𝑟𝑡 𝑡𝑣𝑒𝑟𝑟𝑠𝑛𝑖𝑡𝑡

𝐴𝑝 > 𝐴𝑝𝑏 → 𝑂𝑣𝑒𝑟𝑎𝑟𝑚𝑒𝑟𝑡 𝑡𝑣𝑒𝑟𝑟𝑠𝑛𝑖𝑡𝑡

Overarmert tverrsnitt, er når betongen i trykksonen går til brudd før armeringen flyter.

Underarmert tverrsnitt, er når armeringen flyter før betongen i trykksonen går til brudd. Det er

vanlig praksis å benytte underarmert tverrsnitt og i henhold til SVV 668: 2.6 må tverrsnittet

være underarmert. Kravet er etablert for å gi konstruksjonen en seig bruddmekanisme og

forvarsel om brudd i form av riss. Overarmert tverrsnitt vil i motsetning gi en sprø

bruddmekanisme og tilnærmet ingen forvarsel før brudd. For underarmerte tverrsnitt blir da

trykksonehøyden beregnet med følgende ligning:

𝛼 =𝐴𝑝𝑏𝑓𝑝𝑑+𝐴𝑠𝑓𝑦𝑑

0,8𝑓𝑐𝑑𝑏𝑑𝑚

Momentkapasiteten for tverrsnitt med konstant bredde i trykksonen blir som følgende:

𝑀𝑅𝑑 = 0,8𝛼(1 − 0,4𝛼)𝑓𝑐𝑑𝑏𝑑𝑚2 (8.1)

Kapasiteten beregnes for dimensjonerende snitt i felt A og ved akse 3, som gitt i

oppgaveteksten. Posisjonen av disse snitta kan variere fra andre kapasitetsberegninger.

8.4.1 Felt A

Dette snittet har trykksone i overkant og strekk i underkant. For et T-tverrsnitt, er det nødvendig

å vite hvor i tverrsnittet trykksonen befinner seg, siden dette kan gi forskjellige kapasiteter. Må

sjekke om trykksonen kun befinner seg i bruplaten, eller om den går ned over i steget. Befinner

trykksonene seg i bruplaten er trykksonens bredde konstant, og effektiv flensbredde for felt A

benyttes til beregninger av momentkapasitet. Går trykksonen nedover i steget er presentert

ligning for momentkapasitet (8.1) ikke gyldig og formler fra Mosley, Bungey og Hulse

benyttes.

α𝑑𝑚 ≤ ℎ𝑓 → 𝑏 = 𝑏𝑒𝑓𝑓

α𝑑𝑚 > ℎ𝑓 → 𝑀å 𝑏𝑒𝑛𝑦𝑡𝑡𝑒 𝑀𝑜𝑠𝑙𝑒𝑦, 𝐵𝑢𝑛𝑔𝑛𝑒𝑦 𝑜𝑔 𝐻𝑢𝑠𝑙𝑒 𝑓𝑜𝑟𝑚𝑙𝑒𝑟

74

Trykksonehøyden αdm = 119 mm og bruplate høyden hf = 300 mm. Kan benytte effektiv

flensbredde for felt A og beregne momentkapasitet med (8.1).

Beregningens dimensjonerende bøyemoment og momentkapasitet for felt A oppsummeres i

Tabell 8-2.

MRd (kNm) MEd (kNm) Utnytting (%)

Felt A 15348 15244 99,3

Tabell 8-2 Utnytting av momentkapasitet felt A

Momentkapasiteten for felt A er tilstrekkelig, men med lav margin.

8.4.2 Akse 3

Dette snittet har trykksone i underkant og strekk i overkant. Befinner trykksonene seg i steget,

er trykksonens bredde konstant og stegbredde for akse 3 benyttes til beregninger av

momentkapasitet. Går trykksonen oppover i bruplaten, er presentert ligning for

momentkapasitet (8.1) ikke gyldig og formler fra Mosley, Bungey og Hulse benyttes.

α𝑑𝑚 ≤ ℎ𝑠 → 𝑏 = 𝑏𝑤

α𝑑𝑚 > ℎ𝑠 → 𝑀å 𝑏𝑒𝑛𝑦𝑡𝑡𝑒 𝑀𝑜𝑠𝑙𝑒𝑦, 𝐵𝑢𝑛𝑔𝑛𝑒𝑦 𝑜𝑔 𝐻𝑢𝑠𝑙𝑒 𝑓𝑜𝑟𝑚𝑙𝑒𝑟

Trykksonehøyden α𝑑𝑚 = 420 𝑚𝑚 og steg høyden ℎ𝑠 = 700 𝑚𝑚. Kan benytte stegets bredde

og beregne momentkapasitet med (8.1).

Beregningens dimensjonerende bøyemoment og momentkapasitet for akse 3 oppsummeres i

Tabell 8-3.

MRd (kNm) MEd (kNm) Utnytting (%)

Akse 3 25988 17632 67,8

Tabell 8-3 Utnytting av momentkapasitet akse 3

Momentkapasiteten for akse 3 er tilstrekkelig.

75

8.5 Skjærkraftkapasitet

Dimensjonerende snitt ved akse 3 bestemmes ut i fra diagrammet for Figur 8-7, ULS

Skjærkraftdiagram med primæreffekter. Beregninger gjøres etter gitte formler i EK2-1-1: 6.2

[6] og bruddmekanismene skjærstrekk og skjærtrykk skal kontrolleres. Det kontrolleres også

for nødvendig lengdearmering grunnet skjærkraft. Fullstendige beregninger finnes i vedlegg P.

8.5.1 Skjærstrekkapasitet

Skjærstrekkapasiteten vil for denne rapporten beregnes for en risset konstruksjon uten

skjærarmering. Kapasiteten regnes i henhold til EK2-1-1:6.2.2(1) og til EK2-1-1:NA.6.2.2(1).

Skjærstrekkapasiteten utrykkes som følgende.

𝑉𝑅𝑑,𝑐 = [𝐶𝑅𝑑,𝑐𝑘(100𝜌𝑙𝑓𝑐𝑘)1 3⁄ + 𝑘1𝜎𝑐𝑝]𝑏𝑤𝑑 (8.2)

Med tilhørende minsteverdi.

𝑉𝑅𝑑,𝑐 = [𝑣𝑚𝑖𝑛 + 𝑘1𝜎𝑐𝑝]𝑏𝑤𝑑

Tilleggsligningene er gitt ved:

𝑘 = 1 + √200

𝑑≤ 2 𝜌𝑙 =

𝐴𝑠𝑙

𝑏𝑤𝑑≤ 0,02 𝜎𝑐𝑝 =

𝑁𝐸𝑑

𝐴𝑐< 0,2𝑓𝑐𝑑 𝑣𝑚𝑖𝑛 = 0,0035𝑘

23𝑓𝑐𝑘

12

Ligningenes parametere kan bli gitt i EK2-1-1, hvordan de blir definert for dette snittet vil bli

kort oppsummert.

𝐴𝑠𝑙 er definert som tverrsnittets strekkarmering og er et summert areal fra slakk- og

spennarmering. 𝑁𝐸𝑑 er dimensjonerende aksialkraft i snittet. Kraften vil gi tverrsnittet høyere

skjærstrekkapasitet og velges derfor som minste opptredende verdi. 𝐴𝑐 er betongtverrsnittets

areal og 𝑏𝑤 er minste bredde av tverrsnittet i strekksonen.

Ligningenes konstanter 𝐶𝑅𝑑,𝑐 = 0,12 og 𝑘1 = 0,15 for tverrsnitt der 𝑁𝐸𝑑 gir trykk.

Dimensjonerende snitt for skjærstrekkapasitet er i henhold til SVV 668:3.3.2 plassert ved en

avstand 𝑑 (effektiv høyde) fra teoretisk opplegg. Dette gir en redusert dimensjonerende

skjærkraft og utrykkes som 𝑉𝐸𝑑,𝑟𝑒𝑑. Etteroppspente tverrsnitt har ofte varierende effektiv høyde

gjennom hele bruens lengde og ny effektiv høyde beregnes for det dimensjonerende snittet.

Benytter verdier fra vedlegg F Spennkabelbane til å beregne ny effektiv høyde.

76

Beregningens dimensjonerende skjærkraft og skjærstrekkapasitet for akse 3 oppsummeres i

Tabell 8-4.

𝑉𝑅𝑑,𝑐 (kN) 𝑉𝐸𝑑,𝑟𝑒𝑑 (kN) Utnytting (%)

Akse 3 4579 4438 96.9

Tabell 8-4 Utnytting av skjærstrekkapasitet akse 3

Skjærstrekkapasiteten for akse 3 er tilstrekkelig, men med lav margin.

8.5.2 Skjærtrykkapasitet

Kapasitetsberegningen tar for seg trykkstavene vist i Figur 8-8 og skal finne maksimal kapasitet

når det oppstår trykkbrudd i tverrsnittet grunnet skjær. Skjærtrykkapasitet beregner etter EK2-

1-1:6.2.3(3) og EK2-1-1:NA.6.2.3(3).

Figur 8-8 Fagverksmodell

Dimensjonerende snitt vil for denne beregningen være i teoretisk opplegg. Tverrsnittet skal

beregnes med vertikale bøyler, noe som medfører at vinkelen α er 90 º.

Siden bøylene er vertikale kan formelen EK2-1-1:(6.9) benyttes, og er som følgende:

𝑉𝑅𝑑,𝑚𝑎𝑥 =𝛼𝑐𝑤𝑏𝑤𝑧𝑣1

cot𝜃+tan𝜃 (8.3)

Faktoren 𝑣1 er en fasthetsreduksjonsfaktor for opprisset betong på grunn av skjærkraft.

Koeffisienten 𝛼𝑐𝑤 tar hensyn til spenningstilstanden i trykkgurt. Disse kan etter det nasjonale

tillegget EK2-1-1:NA.6.2.3 defineres som følgende:

𝑣1 = 0,6 𝑓𝑜𝑟 𝑓𝑐𝑘 ≤ 60 𝑀𝑃𝑎 𝛼𝑐𝑤 = 1 +𝜎𝑐𝑝

𝑓𝑐𝑑 𝑓𝑜𝑟 0 < 𝜎𝑐𝑝 ≤ 0,25𝑓𝑐𝑑

77

Bredden 𝑏𝑤 er minste bredde mellom strekk- og trykkgurt og må kontrolleres for eventuell

reduksjon på grunn av kabelkanalene. Kravet for å ikke måtte redusere bredden er EK2-1-

1:6.2.3(6):

𝜙 ≤𝑏𝑤

8→ 𝑏𝑤,𝑛𝑜𝑚 = 𝑏𝑤

Kabelkanalens ytterdiameter 𝜙 = 90 𝑚𝑚 og 𝑏𝑤

8 = 563 𝑚𝑚. Trenger ikke redusere bredden

𝑏𝑤. Vinkelen mellom strekkgurt og trykkstav 𝜃 skal velges som cot 𝜃 og denne verdien skal i

henholdt til SVV N400 velges som 1 ≤ 𝑐𝑜𝑡 𝜃 ≤ 2. Det vil konservativt benyttes cot 𝜃 = 2

siden dette vil gi lavest skjærtrykkapasitet. Den innvendige momentarmen 𝑧 beregnes som

avstanden mellom den midlere strekkgurten i overkant og slakkarmeringen i underkant.

Beregningens dimensjonerende skjærkraft og skjærtrykkapasitet for akse 3 oppsummeres i

Tabell 8-5.

𝑉𝑅𝑑,𝑚𝑎𝑥 (kN) 𝑉𝐸𝑑 (kN) Utnytting (%)

Akse 3 22917 5397 23,6

Tabell 8-5 Utnytting av skjærtrykkapasitet akse 3

Skjærtrykkapasiteten for akse 3 er tilstrekkelig.

8.5.3 Tilleggstrekkraft i lengdearmeringen

SVV 668:4.3.2 [12] påpeker at lengdearmeringen i tverrsnittet skal også ta hensyn til

tilleggstrekkraft fra skjærkraft. For å kunne ta opp skjærkrefter i et betongtverrsnitt, vil det også

dannes krefter i lengdearmeringen. Kontrollen gjennomføres kun for gjeldene snitt ved akse 3,

andre snitt inn mot midtspenn vil ikke bli sett på. Tverrsnittet blir betraktet som en

fagverksmodell som vist i Figur 8-8. Nødvendig armering beregnes etter EK2-1-1:(6.18), og er

som følgende:

𝛥𝐹𝑡𝑑 = 0,5𝑉𝐸𝑑(cot 𝜃 − cot 𝛼) (8.4)

Formelen ser på tilleggstrekkraften i lengdearmeringen fra skjær. Tilleggstrekkraften begrenses

av den kombinerte effekten av bøyemoment og tilleggstrekkraft. Den kombinerte effekten som

kan virke på grunn av disse kreftene er satt som følgende:

𝑀𝐸𝑑

𝑧+ 𝛥𝐹𝑡𝑑 ≤

𝑀𝐸𝑑,𝑚𝑎𝑥

𝑧

Hvor 𝑀𝐸𝑑,𝑚𝑎𝑥 er største bøyemoment i bjelken.

78

Kontrollen skal bare gjøres for akse 3. Største bøyemoment oppstår i akse 2, men forskjellen

fra bøyemoment i akse 2 og akse 3 er marginal. Bøyemomentet ved akse 3 kan derfor anses

som å være 𝑀𝐸𝑑,𝑚𝑎𝑥 og 𝑀𝐸𝑑.

Tilgjengelig kapasitet for å ta opp de kombinerte strekkreftene kan gis som 𝑀𝑅𝑑

𝑧, hvor 𝑀𝑅𝑑 er

tatt fra Tabell 8-3.

Begrensingen av den totale kraften i lengdearmeringen 𝑀𝐸𝑑,𝑚𝑎𝑥

𝑧, gjør at utnyttingen blir

tilsvarende utnyttingen for momentkapasitet for akse 3. Grunnet begrensingen er det ikke

nødvendig med tillegg i lengdearmeringen, siden utnyttingen blir den samme som for

momentkapasiteten for akse 3. Beregningen gjennomgang blir uansett vist i Tabell 8-6.

Beregningens parametere, tilleggstrekkraft fra skjær, kombinert effekt og kapasitet for akse 3

oppsummeres i Tabell 8-6. Dimensjonerende skjærkraft gis i Tabell 8-5. Dimensjonerende

momenter og momentkapasitet gis i Tabell 8-3.

𝑧

mm

cot 𝜃 cot 𝛼 𝛥𝐹𝑡𝑑

kN

Kombinert effekt

kN

Kapasitet

kN

Utnytting

%

Akse 3 717,6 2 0 5397 24571 36215 67,8

Tabell 8-6 Utnytting av lengdearmering akse 3

Det er nå bekreftet at gjennomgangen over stemmer. Utnyttingen er samme som for

momentkapasiteten for akse 3 og tillegg i lengdearmering er ikke nødvendig.

79

8.6 Torsjonskapasitet

Dimensjonerende snitt ved akse 3, bestemmes ut i fra diagrammet i Figur 8-6 ULS

Torsjonsmomentdiagram med primæreffekter. Beregninger gjøres etter gitte formler i EK2-1-

1: 6.3 [6] og bruddmekanismen torsjonstrykk og torsjonsmomentet for opprissing skal

kontrolleres. Fullstendige beregninger finnes i vedlegg P.

Beregningen benytter et forenklet tverrsnitt hvor flensene ikke blir inkludert. Det forenklede

tverrsnittet er et massivt tverrsnitt og kan i henhold til EK2-1-1:6.3.1(3) bli sett på som et

likeverdig tynnvegget hulltverrsnitt.

Figur 8-9 Forenklet tverrsnitt

Hulltverrsnitt som benyttes vises i Figur 8-9 og har veggtykkelse 𝑡𝑒𝑓 på alle sider.

Skjærstrømmen er vist med piler på den stiplede senterlinjen av hulltverrsnittet.

8.6.1 Torsjonstrykkapasitet

Denne kapasiteten skal på samme måte som skjærtrykkapasiteten beregne trykkstavenes

kapasitet før brudd. Formelen som benyttes er EK2-1-1:(6.30):

𝑇𝑅𝑑,𝑚𝑎𝑥 = 2𝑣𝛼𝑐𝑤𝑓𝑐𝑑𝐴𝑘𝑡𝑒𝑓,𝑖 sin 𝜃 cos 𝜃 (8.5)

Benyttes samme vinkel 𝜃 og koeffisient 𝛼𝑐𝑤 som ved skjærkapasitet beregningene.

Fasthetsreduksjonsfaktoren v tar hensyn til opprissing i betongen grunnet skjærkraft, og skal i

henhold til EK2-1-1:(NA.6.3N) bestemmes som følgende:

𝑣 = 0,6(1 −𝑓𝑐𝑘250

)

80

Den effektive veggtykkelsen 𝑡𝑒𝑓,𝑖 = 𝐴

𝑢, hvor 𝐴 er arealet av tverrsnittet innenfor den ytre

omkretsen og 𝑢 er den ytre omkretsen av tverrsnittet. Tykkelsen bør heller ikke sette mindre

enn den doble avstanden mellom overflaten og lengdearmering. Minstekravet blir da 150 mm.

Arealet 𝐴𝑘 er alt areal innenfor senterlinjen, inkludert innvendig hulrom.

8.6.2 Kombinert effekt fra skjærkraft og torsjonsmoment

Trykkstaven vil ta både krefter fra torsjonsmoment og skjærkrefter på samme tid og tverrsnittet

må kontrolleres for en samlet effekt. Hvordan den kombinerte effekten fungerer er vist i Figur

8-10.

Figur 8-10 Kombinert skjær og torsjonsmoment

Kontrollen for en kombinert effekt er, ifølge EK2-1-1:(6.29), gitt som en summert utnytting fra

trykkapasiteten av skjærkraft og torsjonsmoment. Kontrollen i denne rapporten tar konservativt

høyeste dimensjonerende verdi for skjærkraft og torsjonsmoment. Kravet for kombinert effekt

er som følgende:

𝑇𝐸𝑑

𝑇𝑅𝑑,𝑚𝑎𝑥+

𝑉𝐸𝑑

𝑉𝑅𝑑,𝑚𝑎𝑥≤ 1,0

Beregningens dimensjonerende torsjonsmoment, torsjonstrykkapasitet, dimensjonerende

skjærkraft og skjærtrykkapasitet for akse 3 oppsummeres i Tabell 8-7.

VRd,max (kN) VEd (kN) TRd,max (kNm) TEd (kNm) Krav (%)

Akse 3 22917 5397 11510 3129 50,7

Tabell 8-7 Utnytting av torsjonstrykkapasitet

Kravet oppfylles og hverken vinkel θ eller tverrsnittet må endres.

81

8.6.2 Riss-torsjonsmoment

Det er ikke hensiktsmessig å dimensjonere torsjonsarmering etter brudd, siden en slik

bruddmekanisme vil gi store riss, lenge før kapasiteten er oppnådd. Nødvendig armering

beregnes derfor etter riss-torsjonsmomenter, som er største torsjonsmoment før det oppstår

strekkbrudd.

Riss-torsjonsmomentet i henholdt til EK2-1-1:6.3.2(5) [6], beregnes etter EK2-1-1:(6.26) [6],

ved å sette torsjonsskjærspenningen 𝜏𝑡,𝑖 = 𝑓𝑐𝑡𝑑. Ligningen er som følgende:

𝑇𝑅𝑑,𝑐 = 2𝐴𝑘𝜏𝑡,𝑖𝑡𝑒𝑓,𝑖 (8.6)

Beregningens dimensjonerende torsjonsmoment og riss-torsjonsmoment for akse 3

oppsummeres i Tabell 8-8.

TRd,c (kNm) TEd (kNm) Utnytting (%)

Akse 3 3026 3129 103,4

Tabell 8-8 Utnytting av riss-torsjonsmoment

Overskridelsen er minimal, og en kapasitetsberegning som inkluderer bidrag fra flenser kan

være nok til å holde dette kravet. Det vil mest trolig ikke være nok for en kombinert effekt av

skjærstrekk og riss-torsjonsmoment i henhold til EK2-1-1:(6.29). Den kombinerte effekten vil

ikke bli gjennomført, siden riss-torsjonsmomentet overskrides. Kapasiteten økes ved å benytte

torsjonsarmering i form av bøyler og lengdearmering.

8.6.3 Torsjonsarmering

Torsjonsarmering beregnes som både lengde- og bøylearmering. Disse skal sammen med

betongen, fungere på samme måte som et fagverk, hvor betongen blir sett på som trykkstaver

og armeringen som strekkstaver.

Lengdearmering

Lengdearmeringen beregnes i henhold til EK2-1-1:(6.28):

∑𝐴𝑠𝑙 =𝑇𝐸𝑑𝑢𝑘

2𝐴𝑘𝑓𝑦𝑑cot 𝜃 (8.7)

Omkretsen 𝑢𝑘 er lengden av senterlinjen vist i Figur 8-9.

Hvordan lengdearmeringen skal legges, gjøres etter EK2-1-1:9.2.3 [6]. Dette innebærer at

maksimal senteravstand er 350 mm, og det skal minst være en stang i hvert hjørne av bøylen.

Beregningene ser først på muligheten for å benytte minimumsarmeringen. Det gjennomføres

82

en kontroll av bøyemomentet, uten bidrag fra minimumsarmering, for å se om denne kan

benyttes som torsjonsarmering. Kontrollen bekrefter at minimumsarmeringen kan benyttes som

torsjonsarmering.

Nødvendige torsjonsarmering og valgt torsjonsarmering for akse 3 oppsummeres i Tabell 8-9.

∑Asl (mm2) Valgt lendearmering

Akse 3 27884 Ø25s150

Tabell 8-9 Lengdearmering for torsjonsmoment

Benytter lengdearmering med diameter på 25 mm og senteravstand på 150 mm. Denne skal

plasseres langs hele den omsluttende bøylen i steget.

Bøylearmering

Bøylearmeringen beregnes etter Sørensen S. [13, s.84] og nødvendig bøylearmering er som

følgende:

𝐴𝑠𝑤 =𝑇𝐸𝑑𝑠

2𝐴𝑘𝑓𝑦𝑤𝑑tan 𝜃 (8.8)

Armeringsarealet 𝐴𝑠𝑤 er gitt for et enkeltsnitt. Det er hensiktsmessig å ha bøyler fra skjærkraft

og torsjonsmoment med lik senteravstand. Senteravstanden for skjærbøyler er allerede valg

etter minimumskravene til torsjonsbøyler EK2-1-1:9.2.3, og er kompatibel med

tverrarmeringen. Senteravstanden 𝑠 = 300 𝑚𝑚. Bøylearmeringens dimensjonerende

strekkfasthet fywd = fyd.. De andre verdiene settes som tidligere vist i kapittel 8.6:

Torsjonskapasitet.

Den nødvendige diameteren ϕsw for enkeltsnittet kan utrykkes som følgende:

𝜙𝑠𝑤 = √4𝐴𝑠𝑤

𝜋

Nødvendig torsjonsarmering og valgt torsjonsarmering for akse 3 oppsummeres i Tabell 8-10.

Asw (mm2) ϕsw (mm) Valgt lendearmering

Akse 3 223,2 16,9 Ø20s300

Tabell 8-10 Bøylearmering for torsjonsmoment

Benytter bøylearmering med dimeter på 20 mm og senteravstand på 300 mm. Armeringen som

benyttes skal være omsluttende bøyler langs steget.

83

8.7 Oppsummering av bruddgrensetilstand

Dimensjonerende krefter, kapasiteter og utnyttelser fra bruddgrense beregningene

oppsummeres i Tabell 8-11. Beregningene er gjort i henholdt til EK2-1-1:6 [6] og etter

supplementerende teori fra Sørensen S. [13].

Dimensjonerende Kapasitet Utnyttelse (%)

Moment

(kNm)

Felt A 15244 15348 99,3

Akse 3 17632 25988 67,8

Skjærkraft

(kN)

Skjærstrekk Akse 3 4438 4579 96.9

Skjærtrykk Akse 3 5397 22917 23,6

Kombinert skjær og moment

Akse 3 24571 36215 67,8

Torsjon

(kNm)

Kombinert torsjon og skjær

Akse 3 0,507 1,0 50,7

Riss-torsjonsmoment 3129 3026 103,4

Tabell 8-11 Oppsummert utnyttelse for bruddgrensetilstand

Oppsummeringen viser at alle de dimensjonerende kreftene som er beregnet i denne rapporten

er innenfor kapasiteten, med unntak av riss-torsjonsmoment. Det er valgt å benytte

torsjonsarmering, i form av bøyler og lengdearmering, for å øke tverrsnittets riss-

torsjonsmoment. Armeringen er noe endret fra beregningene, for å passe bedre inn i tverrsnittet.

Dette innebærer flere jern for lengdearmeringen i steget og skjærarmering, for å være

kompatibel med den allerede bestemte spennarmeringen. Antall jern for lengdearmering i flens

økes for holde senteravstanden korrekt. Nødvendig armering oppsummeres i Tabell 8-12.

Slakkarmering

Antall jern i

snittet

Diameter (mm) Senteravstand (mm)

I bredden I lengden

Lengdearmering i steget 70 25 150

Lengdearmering i flens 56 20 150

Tverrarmering overkant 20 150

Tverrarmering underkant 20 150

Skjærbøyler 14 16 300 300

Torsjonsbøyler 20 300

Tabell 8-12 Valgt armering etter bruddgrensekontroll

84

Armeringens plassering er vist i Figur 8-11.

Figur 8-11 Valgt armering plasser i snitt

Merknad 1 i Figur 8-11: Lengdearmeringen skal plasseres med gitt senteravstand langs innsiden

av torsjonsbøylene. Minst et jern i hvert hjørne av torsjonsbøylen. Plasseringen av jernene i

senter av under- og overkant må plasseres nøyaktig i midten, og restavstand benyttes ut mot

hjørnene av bøylen.

Merknaden brukes til å sikre plasseringen i henholdt til EK2-1-1 og hvor sistnevnte punkt er

essensiell for å sikre Kompatibilitet mellom slakkarmeringen og spennarmering.

Det skal også være bøyler på hver side av flensen. Denne skal ha samme diameter og

senteravstand som tverrarmeringen. Den blir ikke vist i Figur 8-11, fordi det ble umulig å se

hvordan tiltenkt tverrarmering skulle utformes med en så liten figur.

85

9 Bruksgrensetilstand

Buksgrensetilstand også kalt SLS skal kontrollere at konstruksjonen kan opprettholde sin

funksjon, bestandighet og et akseptabelt utsende gjennom hele sin levetid. Grunnet tidsmessige

årsaker, er det i hovedsak kun gjort rissviddeberegninger etter EK2-1-1:7.3.4 [6]. Noen

kontroller av opptredende spenninger etter EK2-1-1:7.2 [6], gjøres hvor rissviddeberegningene

har samme beregning som opptredende spenninger. Beregninger gjøres med flensbreddene

funnet i kapittel 8: Bruddgrensetilstand og fullstendige beregninger finnes i vedlegg Q.

9.1 Diagrammer

9.1.1 SLS-PERM diagrammer

9.1.2 SLS-OFTE diagrammer

Figur 9-1 Momentdiagram SLS-PERM

Figur 9-2 Aksialkraftdiagram SLS-PERM

Figur 9-3 Momentdiagram SLS-OFTE

86

9.1.3 SLS-KAR diagrammer

9.2 Tverrsnitt stadium

Beregningene i bruksgrensetilstand benytter to ulike tilstander av betongens tverrsnitt. Etter

Sørensen S. [13] oppsummeres disse:

Stadium I Uopprisset tverrsnitt med lineære egenskaper

Stadium II Opprisset tverrsnitt med lineære egenskaper

Etter EK2-1-1:7.1(2) [6] bør spenningsberegningen først anta tverrsnittet som stadium I. Ved

beregninger i stadium I er tverrsnittet antatt å være urisset og hele betongtverrsnittets

arealtreghetsmoment kan benyttes under beregningene. For at beregningene skal være gyldige,

må maksimale strekkspenning i betongen ikke overskride betongens midlere aksialstrekkfasthet

𝑓𝑐𝑡𝑚. Gyldig beregning gir urisset tverrsnitt og rissviddeberegninger er ikke nødvendig.

Viss spenningen 𝑓𝑐𝑡𝑚 overskrides, må tverrsnittet beregnes som stadium II. Betongen på

strekksonene vil nå risse og bare betongen på trykksiden vil gi bidrag til beregningene.

Resulterende spenninger fra stadium II benyttes videre for rissviddeberegninger.

Figur 9-4 Aksialkraftdiagram SLS-OFTE

Figur 9-5 Momentdiagram SLS-KAR

87

9.2.1 Stadium I

Først må senteret eller nærmere bestemt tøyningssenteret 𝑡𝑝. Dette ved å finne eksentrisiteten

𝑦𝑡 fra betongtverrsnittets senter 𝑡𝑝𝑏. Denne eksentrisiteten kan beregnes med formelen gitt

under, og er bygget på teori gitt i Sørensen S. [13] del 1 kapittel 5 og del 2 kapittel 6.

𝑦𝑡 =𝐸𝑠𝐴𝑠𝑒𝑠 − 𝐸𝑐𝐴𝑠𝑒𝑠 − 𝐸𝑠𝐴

′𝑠𝑒

′𝑠 + 𝐸𝑐𝐴

′𝑠𝑒

′𝑠 + 𝐸𝑝𝐴𝑝𝑒𝑝 − 𝐸𝑐𝐴𝑝𝑒𝑝 + 𝐴𝑐𝐸𝑐𝑒𝑐

𝐸𝑠𝐴𝑠 − 𝐸𝑐𝐴𝑠 + 𝐸𝑠𝐴′𝑠 − 𝐸𝑐𝐴′

𝑠 + 𝐸𝑝𝐴𝑝 − 𝐸𝑐𝐴𝑝 + 𝐴𝑐𝐸𝑐

Formelen kan forenkles ved å sette inn 𝑒𝑐 = 0 og benytte forholdene:

𝜂𝑠 =𝐸𝑠

𝐸𝑐 𝜂𝑝 =

𝐸𝑝

𝐸𝑐

Formelen for eksentrisitet kan nå gjøres om til følgende:

𝑦𝑡 =(𝜂𝑠 − 1)𝐴𝑠𝑒𝑠 − (𝜂𝑠 − 1)𝐴′

𝑠𝑒′𝑠 + (𝜂𝑝 − 1)𝐴𝑝𝑒𝑝

(𝜂𝑠 − 1)𝐴𝑠 + (𝜂𝑠 − 1)𝐴′𝑠 + (𝜂𝑝 − 1)𝐴𝑝 + 𝐴𝑐

Definere nå komponentenes bidrag til arealtreghetsmoment:

𝐼𝑠 = (𝜂𝑠 − 1)𝐴𝑠(𝑒𝑠 − 𝑦𝑡)2 𝐼′𝑠 = (𝜂𝑠 − 1)𝐴′𝑠(𝑒′𝑠 − 𝑦𝑡)

2 𝐼𝑝 = (𝜂𝑝 − 1)𝐴𝑝(𝑒𝑝 − 𝑦𝑡)2

Arealmomentet til betong 𝐼𝑐 er allerede kjent og er beregnet i vedlegg I. Ved å kombinere alle

bidragene får en tverrsnittets arealtreghetsmoment:

Figur 9-6 Stadium I, endret fra [18]

88

𝐼𝑡 = 𝐼𝑐 + 𝐴𝑐𝑦𝑡2 + 𝐼𝑠 + 𝐼′𝑠 + 𝐼𝑝

Videre benyttes formler fra Betongkonstruksjoner 2 formelark. Spenningen i betongen 𝜎𝑐 kan

finnes for forskjellige punkt i snitte ved å benytte variabelen 𝑦 som vist i Figur 9-6. Formelen

fra formelarket er som følgende:

𝜎𝑐(𝑦) =𝑁

𝐴𝑡+

(𝑀−𝑁𝑦𝑡)

𝐼𝑡(𝑦 − 𝑦𝑡) (9.1)

Aksialkreften er 𝑁, momentet er 𝑀 og 𝐴𝑡 er definert som det nevneren i formelen for 𝑦𝑡.

𝐴𝑡 = (𝜂𝑠 − 1)𝐴𝑠 + (𝜂𝑠 − 1)𝐴′𝑠 + (𝜂𝑝 − 1)𝐴𝑝 + 𝐴𝑐

9.2.2 stadium II

Figur 9-7 Stadium II, endret fra [19]

Fremgangsmåten for opprettingen av formelen er gjennom gjeldene teori fra Sørensen S. [13]

del 1 kapittel 5.2.7, 5.2.8 og del 2 kapittel 6.4.1. Formelen skal ta hensyn til spennarmering og

slakkarmering på trykk- og strekkside. Formelen vil bare bli vist for tverrsnitt hvor strekk

oppstår i underkant av T-tverrsnittet.

Benytter lineær tøyning og Navier/Bernoulli sin hypotese 𝜀 = 𝜅𝑦. Denne gir følgende

tøyninger:

𝜀𝑐 = 𝜅𝛼𝑑, 𝜀′𝑐 = 𝜅(𝛼𝑑 − 𝑑′), 𝜀𝑠 = 𝜅(1 − 𝛼)𝑑, 𝛥𝜀𝑝 = 𝜅((1 − 𝛼)𝑑 − 𝑑𝑥), 𝜀𝑓 = 𝜅(𝛼𝑑 − 𝑡)

Setter inn 𝜅 = 𝜀𝑐𝛼𝑑

for 𝜀′𝑐, 𝜀𝑠, 𝜀𝑓 og 𝛥𝜀𝑝. Dette gir følgende:

𝜀𝑐 = 𝜅𝛼𝑑, 𝜀′𝑐 = 𝜀𝑐(1 − 𝑑′

𝛼𝑑), 𝜀𝑠 = 𝜀𝑐(

1−𝛼

𝛼), 𝛥𝜀𝑝 = 𝜀𝑐(

𝑑−𝛼𝑑−𝑑𝑥𝛼𝑑

), 𝜀𝑓 = 𝜀𝑐(1 − 𝑡

𝛼𝑑)

Oppretter ligningen for aksiallikevekt:

𝑁 =1

2𝐸𝑐𝜀𝑐𝛼𝑑𝑏 +

1

2𝐸𝑐𝑡𝑏𝑓(𝜀𝑐 + 𝜀𝑓) + 𝜀′𝑠𝐴′𝑠(𝐸𝑠 − 𝐸𝑐) − 𝜀𝑠𝐴𝑠𝐸𝑠 − 𝜀𝑝𝐴𝑝𝐸𝑝

89

Setter inn tøyningene for 𝜀′𝑐, 𝜀𝑠, 𝜀𝑓 og 𝛥𝜀𝑝, setter også inn 𝐸𝑐𝜀𝑐 = 𝜎𝑐. Formelen endres til å nå

fremstille 𝜎𝑐 som er største trykkspenning i betongen:

𝜎𝑐,𝑁 =𝑁

1

2𝛼𝑑𝑏+1

2𝑡𝑏𝑓(2− 𝑡

𝛼𝑑)+𝐴′

𝑠(1−𝑑′

𝛼𝑑)(𝜂𝑠−1)−𝜂𝑠𝐴𝑠(

1−𝛼𝛼𝑑

)−𝜂𝑠𝐴𝑝(𝑑−𝛼𝑑−𝑑𝑥

𝛼𝑑) (9.2)

Siden bøyestivheten varierer med momentet M må tverrsnittet også opprettholde

momentlikevekt. Setter strekkarmeringen som tyngdepunkt:

𝑁(𝑒 + 𝑎) =1

2𝐸𝑐𝜀𝑐𝛼𝑏𝑑2 (1 −

𝛼

3) + 𝐸𝑐𝜀𝑐𝑡𝑏𝑓 (1 −

𝑡

𝛼𝑑) (𝑑 −

𝑡

2) +

1

2𝐸𝑐𝜀𝑐𝑡𝑏𝑓 (

𝑡

𝛼𝑑) (𝑑 −

𝑡

3)

+ 𝜀𝑐𝐴′𝑠(𝐸𝑠 − 𝐸𝑐)(𝑑 − 𝑑′)(1 −

𝑑′

𝛼𝑑) − 𝐸𝑝𝐴𝑝𝜀𝑐𝑑𝑥(

𝑑−𝛼𝑑−𝑑𝑥

𝛼𝑑)

Eksentrisiteten fra kreftene 𝑎 =𝑀

𝑁 , eksentrisiteten 𝑒 er avstanden mellom tverrsnittets senter

og strekkarmeringen. Forenkler deluttrykket for betongen i flens og setter inn 𝐸𝑐𝜀𝑐 = 𝜎𝑐 .

Formelen omformuleres til å fremstille 𝜎𝑐:

𝜎𝑐,𝑀 =𝑁(𝑒+𝑎)

1

2𝛼𝑏𝑑2(1−𝛼

3)+𝑡𝑏𝑓(𝑑−𝑡

2−

𝑡2𝛼

+𝑡2

6𝛼𝑑)+𝐴′

𝑠(1−𝑑′

𝛼𝑑)(𝜂𝑠−1)(𝑑−𝑑′)−𝜂𝑠𝐴𝑝𝑑𝑥(

𝑑−𝛼𝑑−𝑑𝑥𝛼𝑑

) (9.3)

Betongspenningen for aksiallikevekt 𝜎𝑐,𝑁 og for momentlikevekt 𝜎𝑐,𝑀 settes som 𝜎𝑐,𝑁 = 𝜎𝑐,𝑀.

Dette benyttes til å definere 𝛼, som deretter brukes til utregningen av tøyningene 𝜀′𝑐, 𝜀𝑠, 𝜀𝑓 og

𝛥𝜀𝑝.

Spenningene i tverrsnittet kan definer nå defineres med hooks lov 𝜎 = 𝜀𝐸. Spenningsligningene

defineres som følgende:

𝜎𝑐 = 𝜎𝑐,𝑀 = 𝜎𝑐,𝑁, 𝜎𝑠 = 𝜀𝑠𝐸𝑠, 𝜎𝑝 = 𝛥𝜀𝑝𝐸𝑝

T-tverrsnitt hvor det oppstår strekk i overkant, kan formlene 𝜎𝑐,𝑁 og 𝜎𝑐,𝑀 benyttes uten andre

ledd i nevner og ved å sette 𝑏 = 𝑏𝑒𝑓𝑓, hvor 𝑏𝑒𝑓𝑓 er effektiv flensbredde. Det må også bli tatt

hensyn til at tøyninger, krefter, armering og dimensjoner knyttet til armering, byttes til motsatt

side av T-tverrsnittet.

9.3 Spenningsberegninger

Beregningene starter med å anta tverrsnittet som stadium I og eventuelt deretter stadium II.

Dimensjonerende snitt velges i felt A og ved akse 3. Siden det bare skal gjøres beregninger på

rissvidde vil det ikke bli gjort spenningsberegninger for kombinasjonen SLS-KAR.

90

Spenningsberegningene vi da gjøres for resterende kombinasjoner SLS-OFTE og SLS-PERM.

Kombinasjonene er definert i kapittel 4: Laster. Fullstendige beregning vises i vedlegg Q.

Kontrollerer om største strekkspenning overskrider 𝑓𝑐𝑡𝑚 = 3,8 𝑀𝑃𝑎.

𝜎𝑐 ≤ 𝑓𝑐𝑡𝑚 → 𝑈𝑟𝑖𝑠𝑠𝑒𝑡 𝑡𝑣𝑒𝑟𝑟𝑠𝑛𝑖𝑡𝑡

𝜎𝑐 > 𝑓𝑐𝑡𝑚 → 𝑅𝑖𝑠𝑠𝑒𝑡 𝑡𝑣𝑒𝑟𝑟𝑠𝑛𝑖𝑡𝑡

Kontrollere om største trykkspenning for SLS-PREM overskrider 0,45𝑓𝑐𝑘 = 20,25 𝑀𝑃𝑎.

Kontrollen gjøres etter EK2-1-1:NA.7.2 [6] og avgjør om tverrsnittet kan beregnes med lineær

kryptøyning slik det er gjort i denne rapporten. Dette er den eneste kontrollen fra EK2-1-1:7.2

spenningsbegrensinger som vil bli gjort i denne rapporten.

𝜎𝑐 ≤ −0,45𝑓𝑐𝑘 → 𝐼𝑘𝑘𝑒𝑙𝑖𝑛𝑒æ𝑟 𝑘𝑟𝑦𝑝𝑡ø𝑦𝑛𝑖𝑛𝑔

𝜎𝑐 > −0,45𝑓𝑐𝑘 → 𝐿𝑖𝑛𝑒æ𝑟 𝑘𝑟𝑦𝑝𝑡ø𝑦𝑛𝑖𝑛𝑔

Figur 9-8 viser hvor de kritiske snitta befinner seg i et SLS momentdiagram, og hva de blir

kalt videre. Armeringstypen som nevnes i parentesene, angir hvilken armering som vil ha

kritisk rissvidde i det snittet.

Figur 9-8 Dimensjonerende snitt for SLS

91

Dimensjonerende snitt, kombinasjoner, betongspenninger for under- og overkant og kontroller

oppsummeres i Tabell 9-1. Positiv spenning defineres som strekk.

Stadium I Kombinasjon σc.OK

MPa

σc.UK

MPa Betongtverrsnitt Kryptøyning

Felt A

(spennarmering)

SLS-OFTE - 6,8 4,8 Risset

SLS-PERM -5,9 3,6 Urisset Lineær

Felt A

(slakkarmering)

SLS-OFTE -6,8 5,1 Risset

SLS-PERM -6,3 4,3 Risset Lineær

Akse 3

(spennarmering)

SLS-OFTE 1,1 -10,4 Urisset

SLS-PERM 0,4 -9,6 Urisset Lineær

Akse 3

(slakkarmering)

SLS-OFTE -10,0 3,9 Risset

SLS-PERM -9,3 3,0 Urisset Lineær

Tabell 9-1 Oppsummering av Stadium I beregninger og kontroller

Resultatet fra spenningsberegninger i stadium I viser at alle dimensjonerende snitt kan beregnes

med lineær kryptøyning, og noen tilfelle må beregnes i stadium II. Tilfeller med urisset

betongtverrsnitt, trenger ikke flere beregninger og har godkjent rissviddekravet.

Tilfellene som benytter kombinasjonen SLS-OFTE og har risset tverrsnitt i stadium I, beregnes

nå for stadium II. Grunnen til at disse blir benyttet videre er fordi det er disse som har rissvidde

krav og vil beskrives i neste delkapittel. Dimensjonerende snitt, kombinasjoner,

betongtrykkspenninger og armeringsspenninger, oppsummeres i Tabell 9-2. Positiv spenning

defineres som strekk.

Stadium II Kombinasjon σc

MPa

σs

MPa

Δσp

MPa

Felt A (spennarmering) SLS-OFTE -7,4 130,8 111,7

Felt A (slakkarmering) SLS-OFTE -9,1 220,4 51,8

Akse 3 (slakkarmering) SLS-OFTE -8,7 28,7 -90,7

Tabell 9-2 Oppsummering av spenninger i stadium II

92

9.4 Rissvidde

9.4.1 Rissviddekrav

Rissvidder må beregnes for alle tilfellene som er beregnet i stadium II. Tilfellene skal

kontrolleres opp mot kravene gitt i Tabell 9-3. Overkant av tverrsnittet har eksponeringsklasse

XD1 og underkant har XC3.

Tabell 9-3 Krav for rissvidde og trykkavlastning, endret fra [6]

Bruen som skal analyseres i denne rapporten består av injiserte spennkabler og slakkarmering.

I samtalene med veileder Håvard Johansen, har det blitt kontrollert at rapporten er skrevet med

en rett forståelse av hva kontinuerlig samvirke innebærer. Kontinuerlig samvirke innebærer at

det oppstår heft mellom betongen og spennarmeringen. Dette oppstår når spennkablene

injiseres med sementmørtel, slik som bruen i denne rapporten.

Kravene for rissvidde gjelder bare for kombinasjonen SLS-OTFE og med grenseverdien

𝑤𝑚𝑎𝑥 = 0,2𝑘𝑐, hvor 𝑘𝑐 =𝑐𝑛𝑜𝑚

𝑐𝑚𝑖𝑛,𝑑𝑢𝑟≤ 1,3. Dette gir følgende verdier for maksimal rissvidde:

𝑅𝑖𝑠𝑠𝑣𝑖𝑑𝑑𝑒𝑘𝑟𝑎𝑣 𝑜𝑣𝑒𝑟𝑘𝑎𝑛𝑡 = 0,25 𝑚𝑚

𝑅𝑖𝑠𝑠𝑣𝑖𝑑𝑑𝑒𝑘𝑟𝑎𝑣 𝑢𝑛𝑑𝑒𝑟𝑘𝑎𝑛𝑡 = 0,26 𝑚𝑚

Spennarmeringen skal også tilfredsstille kravet for trykkavlastning. Etter EK2-1-1: Tabell

NA.7.1.N merknad 2 [6], dette innebærer at etteroppspent armering skal ligge minst avstanden

𝛥𝑐𝑑𝑒𝑣 = 15 𝑚𝑚 inn i trykksonen.

9.4.2 Rissviddeberegninger

Dette delkapittelet skal virke som et supplement for beregningene i vedlegg Q, og oppsummerer

hvilke formler som benyttes og hvordan deres parametere velges.

93

Beregningene gjøres etter EK2-1-1:7.3.4 [6] og EK2-1-1:NA.7.3.4 [6] med supplement verdier

og ligninger gitt under beregningsprosessen.

Differansen mellom midlere tøyning i armeringen 𝜀𝑠𝑚 og midlere betongtøyning mellom riss

𝜀𝑐𝑚 utrykkes med EK2-1-1:(7.9):

𝜀𝑠𝑚 − 𝜀𝑐𝑚 =

𝜎𝑠 − 𝑘𝑡

𝑓𝑐𝑡,𝑒𝑓𝑓

𝜌𝑝,𝑒𝑓𝑓(1 + 𝛼𝑒𝜌𝑝,𝑒𝑓𝑓)

𝐸𝑠≥ 0,6

𝜎𝑠

𝐸𝑠

Spenningen i strekkarmering 𝜎𝑠 er definert i Tabell 9-2. For beregninger av spennarmering

byttes 𝜎𝑠 ut med 𝛥𝜎𝑝 fra tilsvarende tabell. Faktoren 𝑘𝑡 = 0,4 for langvarig last. Forholdstallet

𝛼𝑒 =𝐸𝑠

𝐸𝑐𝑚 . Spenningen 𝑓𝑐𝑡,𝑒𝑓𝑓 = 𝑓𝑐𝑡𝑚 i henhold til EK2-1-1:7.2(2), denne setter grensen for

bøyespenning ved uopprisset tverrsnitt. Delligningen 𝜌𝑝,𝑒𝑓𝑓 utrykkes med EK2-1-1:(7.10):

𝜌𝑝,𝑒𝑓𝑓 =𝐴𝑠 + 𝜉1

2𝐴𝑝′

𝐴𝑐,𝑒𝑓𝑓

𝐴𝑠 er strekkarmeringens areal og 𝐴𝑐,𝑒𝑓𝑓 er det effektive betongarealet i strekksonen som omgir

spennkabler og strekkarmering. Arealet kan etter EK2-1-1:7.3.2(3) [6] og EK2-1-1:NA.7.3.4

[6] setter som følgende:

𝐴𝑐,𝑒𝑓𝑓 = 𝑏 × max (𝑚𝑖𝑛 (2,5(ℎ − 𝑑),ℎ − 𝑥

3,ℎ

2) , ℎ − 𝑑 + 1,5𝜙)

𝑏 er den effektive bredden i strekksonen, ℎ er tverrsnittets høyde, 𝑑 er effektiv høyde, 𝑥 er

trykksonens høyde. 𝜙 er diameteren av armeringen. For snitt ved akse 3 settes 𝜙 som

diameteren til strekkarmeringen 𝜙𝑠, snitt i felt A settes 𝜙 som 𝜙𝑒𝑞 etter EK2-1-1:(7.12) [6]:

𝜙𝑒𝑞 =𝑛1𝜙1

2 + 𝑛2𝜙22

𝑛1𝜙1 + 𝑛2𝜙2

Hvor 𝑛1 er antall stenger med diameter 𝜙1 og tilsvarende for 𝑛2 og 𝜙2.

Verdien 𝜉1 er det justerte heftforholdet og tar hensyn til armering med forskjellig diameter.

Verdien bestemmes med EK2-1-1:(7.5) [6]:

𝜉1 = √𝜉𝜙𝑠

𝜙𝑝

94

Forholdet mellom heftfasthet 𝜉 = 0,5 bestemmes ut ifra EK2-1-1: Tabell 6.2 [6] for

etteroppspent tau. Ekvivalent diameter for spennstålet 𝜙𝑝 = 1,6√𝐴𝑝 etter EK2-1-1:6.8.2(2) [6],

hvor 𝐴𝑝 er areal av spennarmering.

𝐴𝑝′ er arealet av spennarmering innenfor 𝐴𝑐,𝑒𝑓𝑓. Dette arealet bli i noen tilfeller redusert og i

noen tilfeller null. Måten dette har blitt redusert på, er ved å anta at armeringen klynger seg i en

i kabelkrumningens innerkant. Beregningene antar konservativt at det ikke er mellomrom i

spennarmerinsarealet og gjøres for kabelens ytterdiameter siden nøyaktig innerdiameter ikke er

oppgitt. Hvordan armeringen samles i realiteten vises til venstre i Figur 9-9. Benyttet forenkling

av areal vist i midten av Figur 9-9. Forklarende figur for avkutting av sirkel vist til høyre i Figur

9-9.

Figur 9-9 Plassering av spennarmering i kabelkanal, tatt fra [20] og [21, s.80]

Avkuttingsarealet A kan beskrives som følgende: 𝐴 =1

2𝑅2(𝜃 − sin 𝜃) [20]. Største rissavstand

𝑠𝑟,𝑚𝑎𝑥 beregnes etter EK2-1-1:(7.11) for armering med mindre senteravstand enn 5 (𝑐 +𝜙

2),

hvor 𝑐 er strekkarmeringens overdekning og 𝜙 = 𝜙𝑒𝑞. Formelen er som følgende:

𝑠𝑟,𝑚𝑎𝑥 = 𝑘3𝑐 + 𝑘1𝑘2𝑘4

𝜙

𝜌𝑝,𝑒𝑓𝑓

Koeffisienten 𝑘2 = 0,5 for bøying, 𝑘3 = 3,4, 𝑘4 = 0,425. 𝑘1 = 0,8 𝑓𝑜𝑟 𝑠𝑡𝑟𝑒𝑘𝑘𝑎𝑟𝑚𝑒𝑟𝑖𝑛𝑔 og

𝑘1 = 1,6 𝑓𝑜𝑟 𝑠𝑝𝑒𝑛𝑛𝑎𝑟𝑚𝑒𝑟𝑖𝑛𝑔.

Den endelige rissvidden 𝑤𝑘 beregnes med EK2-1-1:(7.8) [6]:

𝑤𝑘 = 𝑠𝑟,𝑚𝑎𝑥(𝜀𝑠𝑚 − 𝜀𝑐𝑚) (9.4)

95

For spennarmeringen kan rissvidden 𝑤𝑘 justeres i henhold til EK2-1-1: Tabell NA.7.1N

merknad 3 [6]:

𝑤2𝑘 = 𝑤𝑘(𝜀𝑠2

𝜀𝑠1) (9.5)

Hvor 𝜀𝑠1 er strekktøyningen i strekkarmeringen og 𝜀𝑠2 er tøyningen i spennarmeringen.

Resultatene fra rissviddeberegningene vises i Tabell 9-4. Dette innebærer rissviddekrav,

beregnet rissvidde og kontroll. Beregningene er gjort for SLS-OFTE.

Snitt Armering 𝑤𝑚𝑎𝑥 𝑤𝑘 𝑒𝑙𝑙𝑒𝑟 𝑤2𝑘 Rissviddekrav

Felt A (spennarmering) Spennarmering

0,26 mm

0.37 mm Ikke OK

Slakkarmering 0.31 mm Ikke OK

Felt A (slakkarmering) Spennarmering 0.08 mm OK

Slakkarmering 0.81 mm Ikke OK

Akse 3 (slakkarmering) Spennarmering OK

Slakkarmering 0.04 mm OK

Tabell 9-4 Oppsummering av rissvidder og rissviddekrav

Rissviddekravet for snitt akse 3 (slakkarmering) er OK for spennarmeringen. Det er fordi

armeringen ifølge stadium II beregningene i Tabell 9-2 har trykkspenninger.

Felt A vil få større rissvidder enn kravet. Slik det er gitt i oppgaveteksten vedlegg A er det

tiltenkt å øke mengdene spennarmering for sikre slike krav. Kravene for akse 3 er godkjent med

god margin, og spennarmeringen kan eventuelt minkes. For felt A er kravene ikke godkjent, og

spennarmeringen kan eventuelt økes. En økning av spennarmeringen vil kunne sikre kravene

for felt A, men vil samtidig gjøre akse 3 svært overdimensjonert. Det er derfor ikke sikkert at

en økning av spennarmeringen vil være den beste løsningen.

Gjennom rapporten har tvangskrefter fra spennarmeringen blitt grundigere gjennomgått og har

gitt bedre forståelse for hvordan spennkabelens bane påvirker tvangskreftene. En mulig løsning

er derfor å se på spennarmeringens bane, spesielt eksentrisiteten i felt B. Denne er satt etter

antagelse som maksimal eksentrisitet, noe som gir store tvangskrefter. Det vil være gunstig å

først optimalisere denne eksentrisiteten og deretter se på eventuell endring av mengden

spennarmering.

96

9.5 Trykkavlastning

Kontrollerer at hele spennkabelen er minst 𝛥𝑐𝑑𝑒𝑣 = 15 𝑚𝑚 inn i trykksonen. Finner høydene

av strekksonen for lastkombinasjonen SLS-PERM snitt ved akse 3. Strekksonen kan utrykkes:

𝑥𝑠 = 𝛼𝑠ℎ =|𝜎𝑐.𝑠|

|𝜎𝑐.𝑠+𝜎𝑐.𝑐|ℎ. Maksimal strekksone kan utrykkes: 𝑥𝑠,𝑚𝑎𝑥 = 𝑐𝑝 − 𝑐𝑑𝑒𝑣, hvor 𝑐𝑝 er

overdekningen til spennarmeringen. Tabell 9-5 oppsummerer beregningene:

Snitt Lastkombinasjon 𝑥𝑠 𝑥𝑠,𝑚𝑎𝑥 Trykkavlastning krav

Akse 3 (spennarmering) SLS-PERM 44,0 mm 115 mm OK

Tabell 9-5 Oppsummering av trykkavlastning

Trykkavlastningskravet er godkjent med god margin.

97

9.6 Oppsummering av bruksgrensetilstand

Bruen er kontrollert for EK2-1-1 sine krav for rissvidde og trykkavlastning. Kravene for akse

3 er godkjent med god margin, felt A derimot vil få større rissvidder enn kravet. En

oppsummering av kravene er gitt i Tabell 9-6:

Snitt Armering

Rissviddekrav Trykkavlastning

krav

Felt A (spennarmering) Spennarmering Ikke OK

Slakkarmering Ikke OK

Felt A (slakkarmering) Spennarmering OK

Slakkarmering Ikke OK

Akse 3 (slakkarmering) Spennarmering OK

Slakkarmering OK

Akse 3 (spennarmering) Spennarmering OK

Tabell 9-6 Oppsummering av bruksgrensetilstand

Slik det er gitt i oppgaveteksten vedlegg A, er det tiltenkt å endre mengdene spennarmering når

bruksgrensekrav ikke opprettholdes. En økning av spennarmeringen vil kunne sikre kravene for

felt A, men vil samtidig gjøre akse 3 svært overdimensjonert. Det er derfor ikke sikkert at en

økning av spennarmeringen vil være den beste løsningen.

Gjennom rapporten har tvangskrefter fra spennarmeringen blitt grundigere gjennomgått og har

gitt bedre forståelse for hvordan spennkabelens bane påvirker tvangskreftene. En mulig løsning

er derfor å se på spennarmeringens bane, spesielt eksentrisiteten i felt B. Denne er satt etter

antagelse som maksimal eksentrisitet, noe som gir store tvangskrefter. Det vil være gunstig å

først optimalisere denne eksentrisiteten, og deretter se på eventuell endring av mengden

spennarmering.

99

10 Lokal sone

Den lokale sonen er et diskontinuitets område også kalt D-område. I disse områda er ikke

klassisk bjelketeori lenger gyldig, og lineær tøyning kan ikke benyttes. D-områder krever som

regel FEM-analyse eller fysiske forsøk, for å finne tøyninger og spenninger. For denne

rapporten skal D-området rundt de aktive ankerene bli sett nærmere på. Dette D-området kan

inndeles i en lokal og en generell sone, hvor den lokale sonen tar seg av fordelingen av

trykkreftene og den generelle sonen tar seg av spaltestrekk og randstrekk. Figur 10-1 viser hva

som er lokal og generell sone. Figur 10-1 viser også hvordan spenninger blir spredd i disse

sonene.

Figur 10-1 Lokal og generell sone, tatt fra [22]

Den vanlige prosedyren for dimensjonering av den lokale sonen er ved valgt armering etter

ETA for det gjeldende ankeret. Denne armeringen består ofte av både bøyle- og spiralarmering.

Armeringsmengde og dimensjoner i ETA er veldig konkrete, og der er nesten ikke noe

spillerom for å tilpasse armeringen for et gitt prosjekt. En typisk ETA armering med spiral og

bøyler er vist i Figur 10-2.

Figur 10-2 Typisk ankerarmering, tatt fra [9]

100

Statens vegvesen har i mange år dimensjonert broer med anker og armering etter ETA. Et av

de problemene som kan oppstå, er dårlig komprimering av betongen i lokal sone. Det finnes

mange grunner til at det dette problemet kan oppstå, men i denne rapporten blir det sett på

mulighetene for endring av den relativt tette armeringen i denne sonen.

Figur 10-3 Detaljer i lokal sone, tatt fra [23]

European Assessment Document (EAD) [23] har en Figur 10-3 som viser hvor armeringen er.

Detalj 1 er ankerarmering, 2 er anker og 3 er hjelpearmering.

Under denne rapporten skal ankerarmeringen bli sett nærmere på, og skal etter EAD gi en

triaksialspenningstilstand og ta opp spaltestrekk. Armeringen som er gitt i ETA skal da kunne

sikre lokal sone for trykkrefter som lokal knusing og strekkrefter som spaltestrekk.

10.1 Lokal knusing

Slik som de fleste standarder er definert i dag blir det ikke tatt hensyn til noe form for armering

ved lokal knusing. Stor etterspørsel i det amerikanske brumiljøet gjorde at det ble forsket frem

en formel som kunne gi kapasiteten for lokal knusing med armering. Rapport 356 [24] som er

utarbeidet av National Cooperative Highway Research Program (NCHRP) konkluderte med

en formel gitt som følgende:

𝐹𝑈𝑙𝑡 = 0,8𝑓′𝑐𝑖√𝐴

𝐴𝑔𝐴𝑏 + 4,1𝑓𝑙𝑎𝑡𝐴𝑐𝑜𝑟𝑒

101

𝑓′𝑐𝑖: nominell sylindertrykkfastheten ved oppspenning.

𝐴: Brutto distribusjon areal for ankeret.

𝐴𝑔: Brutto areal for ankertopp.

𝐴𝑏: Netto areal for ankertopp (Ag minus areal fra kabelkanal).

𝑓𝑙𝑎𝑡: Lateral spenning fra armering (maksverdi 8,3 MPa).

𝐴𝑐𝑜𝑟𝑒: Den effektive arealkjernen for armering.

Denne formelen er hovedgrunnlaget for den amerikanske anbefalingen fra Post-Tensioning

Institute (PTI) [25], og vil også danne grunnlaget for undersøkelsen i denne rapporten. Det må

sies at selv om formelen er en konservativ måte å regne ut trykkapasiteten for ULS, må det

fortsatt bli tatt hensyn til riss i SLS. Det blir derfor poengtert i tolkningen til NCHRP at formelen

er tilegnet leverandørene og armeringen må fortsatt testes og godkjennes. Formelen kan også

brukes til interpolering og ekstrapolering av armering, noe som nevnes både i NCHRP og PTI.

Figur 10-4 Laterale spenninger fra spiralarmering, tatt fra [25]

Figur 10-5 Laterale spenninger fra bøylearmering, tatt fra [25]

102

Dette betyr at det er mulig å gjøre tilpassinger av den gitte armeringen i ETA til det gjeldene

prosjektet.

10.2 Parameterne og deres effekt i ligningen

NCHRP gjør undersøkelse av betydningen av de forskjellige parameterne. Dette vil danne et

bedre syn på hvilke parametere som gir økt kapasitet. Samt hvordan en kan gjøre konservative

valg når en dimensjonerer konstruksjoner med andre dimensjoner enn det som er i ETA.

10.2.1 Spiralens diameter

Det blir gjort tester på hvor betydelige de forskjellige dimensjonene til spiralen er. De første

testene i NCHRP rapporten kunne tyde på økende total kapasitet, økende kapasitet før første

riss og minkende rissvidde og når spiralens diameter øker. Ved rapportens tolkning kommer

det frem bare den totale kapasiteten vil få en betydelig økning.

10.2.2 Supplementerende armering

Den supplementerende armeringen bli ofte gitt i form av bøyler eller rette armeringsjern og skal

virke sammen med spiralarmeringen. De første testene i NCHRP rapporten kunne på lik måte

som 10.2.2 Spiralens diameter, tyde på økt total kapasitet, økt kapasitet før første riss og

minkende rissvidde når det blir brukt supplementerende armering. Også ved denne tolkningen

kommer det frem at det bare er den totale kapasiteten som vil få en betydelig økning.

10.2.3 Areal rate

Det som tilsynelatende har størst innvirkning på kapasiteten er arealraten mellom arealet for

spredningen, 𝐴, og arealet for ankeret, 𝐴𝑏 eller 𝐴𝑔. Dette er de to største parameterne for

betongens bidrag til trykkapasitet.

10.2.4 Andre parametere for armering

De typiske parameterne armeringsareal og senteravstand har samme effekt for også lokale sone.

Økt armeringsareal gir økt kapasitet og minkende senteravstand gir økt kapasitet.

103

10.3 Videreføring av ligningen

I tidsskriftet [26] blir det sett på effekten av ribbene i et såkalt multiplane anchor (MA). Det

har lenge vært kjent at disse ribbene gir økt effekt, men hvordan den skal bli tatt med i formelen

fra NCHRP har vært uvisst.

PTI henviser til en metode hvor en ser på ribben som nye flater, noe som gir forskjellige nivåer

av partielt belastede flater. Det vises også hvordan lengden av den lokale sonen øker.

Tankegangen er vist i Figur 10-6. For å ta hensyn til dette tilleggsarealet fra ribber, kan dette

ifølge PTI legges til arealet 𝐴𝑏 og korrigeres ved hjelp av trykktester. Det som tidsskriftet vil

vise er at korreksjonsfaktor 𝜙 kan generaliseres for forskjellige utforminger av MA, og gjøre

den utregnede kapasiteten så nær ETA kapasiteten som mulig.

Sammenligningen mellom den utregnede kapasiteten og ETA kapasiteten blir vist i Figur 10-7.

Et forholdstall under 1 vil si at beregningsmetoden er konservativ. Kurven til AASHTO kan

sammenlignes med EK2 hvor bare den partielt belastede flaten bidrag til kapasiteten. Kurven

NCHRP er den samme som ved PTI og denne tar i tillegg til AASHTO hensyn til armeringen

sitt bidrag til økt kapasitet. Kurven this paper i Figur 10-7 er referert til tidsskriftet og viser hva

effekt arealet fra ribbene har på kapasiteten. Som en kan se er kurven svært varierende og gir i

noen tilfeller en kapasitet som er over ETA-kapasiteten. Tidsskriftet kommer frem til at denne

variasjonen har sammenheng mellom ankerets utforming og kan korrigeres.

Den foreslåtte endringen er av 𝐴𝑏 og er som følgende:

𝐴𝑏,𝑝𝑟𝑜𝑝𝑜𝑠𝑒𝑑 = 𝐴𝑏 + 𝜙𝐴𝑟𝑖𝑏

𝜙: Korreksjonsfaktor for 𝐴𝑟𝑖𝑏.

Denne faktoren er avhengig av ribbenes lokalisering langs ankeret og vises i Tabell 10-1:

Figur 10-6 Areal fra ribber, tatt fra [25]

Figur 10-7 Sammenligning av kapasiteter, tatt fra [26]

104

Antall

ribber

Lokalisering av ribbe 1 i

høyden (x/h) fra topp og ned

Lokalisering av ribbe 2 i

høyden (x/h) fra topp og ned

Korreksjonsfaktor

(𝜙)

1 ¼ 0,85

1 ½ 0,85

1 ¾ 1,15

1 1 1,15

2 ¼ 1 0,45

2 ½ ¾ 0,45

2 3/4 1 0,45

2 ½ 1 1,05

Tabell 10-1 Korreksjonsfaktor for arealet fra ribber, verdier fra [26]

𝐴𝑟𝑖𝑏: Tilleggsareal fra ribber.

Ved å bruke den foreslåtte endringen av 𝐴𝑏 i beregningen av ULS kapasitet for ankeret kommer

det frem at det er stor forskjell på hvor effektivt 𝐴𝑟𝑖𝑏 er.

10.4 Formler fra eurokode

Det blir gjort en kort fremstilling av formlene benyttet fra EK2-1-1 [6]. Armeringen for

spaltestrekk skal kunne ta opp kreftene beregnet etter EK2-1-1:(6.58), og er som følgende:

𝑇 =1

4

𝑏 − 𝑎

𝑏𝐹

Påført trykkraft utrykkes som 𝐹, tverrsnittets bredde som 𝑏 og ankertoppens bredde som 𝑎.

Dimensjonering gjennom denne formelen må gjøres for begge aksene i et tverrsnitt. For å unngå

opprissing kan armeringen etter EK2-2:(104) [7] beregnes forenklet med 𝑓𝑐𝑑 = 250 𝑀𝑃𝑎.

Den maksimale trykkraften før det oppstår lokal knusing beregnes etter EK2-1-1:(6.63) [6], og

er som følgende:

𝐹𝑅𝑑𝑢 = 𝐴𝑐0𝑓𝑐𝑑√𝐴𝑐1

𝐴𝑐0≤ 3,0𝐴𝑐0𝑓𝑐𝑑

Største belastningsflate uttrykkes som 𝐴𝑐0 og største fordelingsflate med tilsvarende form som

𝐴𝑐0 uttrykkes som 𝐴𝑐1.

105

10.5 Kapasitet beregninger

For å se hvor konservativ de forskjellige beregningsmetodene er, blir det gjort egne beregninger

for DYWIDAG MA 2311 6812 [9]. For disse beregningene er det sett på formlene fra EK2,

PTI og tidsskriftet. Kapasitetsberegningene vil i hovedsak kun ta bidrag fra spiralarmeringen,

med unntak av beregningsmetoden Tidsskrift med bøyler. Den sistnevnte metoden skal se om

beregningene fortsatt vil være konservative med bidrag fra bøylearmeringen. Det vil bli sett på

tilfeller hvor betongtverrsnittet har kantavstander etter ETA og hvor betongtverrsnittet har

samme tverrsnitt som bruen. Beregningene finnes i vedlegg R.

Disse beregningene viser en tydelig forskjell i nøyaktighet og er sammenlignbart med Figur 10-

7. I motsetning til beregningene til Figur 10-7, ble beregningene etter tidsskriftet i Tabell 10-2

gjort med korreksjonsfaktoren 𝜙 og kurven this paper i Figur 10-7 uten.

Resultatene oppsummeres i Tabell 10-2:

Beregningsmetode Betongtverrsnitt for

kantavstanden i ETA

Betongtverrsnitt for bruen i

denne rapporten

Beregnet

kapasitet

Prosent av

ETA

kapasitet

Beregnet

kapasitet

Prosent av

ETA

kapasitet

ETA 3682,8 kN 100 %

EK2 985,3 kN 27 % 1271,1 kN 35 %

PTI/NCHRP 1874,5 kN 51 % 2204,1 kN 60 %

Tidsskrift uten bøyler 2972,3 kN 81 % 3612,2 kN 98 %

Tidsskrift med bøyler 3267,3 kN 89 % 3907,3 kN 106 %

Tabell 10-2 Resultater fra beregningsmetoder

Beregningsmetodene viser tydelig forskjell i kapasitet. En kan også se at tidsskrift med bøyler

fortsatt er konservativ, noe som kan gi mulighet for å benytte metoden til dimensjonering.

106

10.6 Endring av spiralarmering

Endringer av spiralarmeringen vil bli gjort gjennom det teoretiske grunnlaget som er presentert

i dette kapittelet. Det er til nå ikke presisert noe mulighet for endringer av armeringen i lokal

sone, annet enn de presenterte formlene fra kapittel 10.4: Formler fra eurokode. Ingen av disse

tar for seg endringer av armeringen for lokal knusing. Det må derfor benyttes formler fra PTI

og tidsskriftet for å endre spiralarmeringen. En slik endring vil ifølge ETA trenge godkjenning

av ETA-holderen og lokale myndigheter.

Endringen som vil bli gjort er for å sikre god utstøping av betongen rundt ankeret. Dette

medbringer i hovedsak at senteravstanden vil bli endret til minsteavstanden til EK2 og for å

kompensere for dette kapasitetstapet, benyttes en større diameter for spiralen. En slik endring

blir også gjort i ECHRP vedlegg D beregning D.2.2.

10.7 Endring av bøylearmering

Slik det ble spesifisert i starten av kapittel 10: Lokal sone, skal bursting reinforcement ta opp

krefter fra lokalknusing og spaltestrekk. Denne armeringen består i mange tilfeller av bøyle- og

spiralarmering. Det er derimot ikke spesifisert hvilke krefter bøylen og spiralen skal ta opp,

hverken i ETA eller EAD. Dette gir en usikkerhet i hva som er mulig å gjøre med

bøylearmeringen. Det blir derfor gjort en verifikasjon om bøylearmeringen tar mer enn bare

spaltestrekket.

PTI tolker det slik at bøylearmeringen tar opp spaltestrekk og kan flyttes til dimensjonerende

snitt etter gjeldende regelverk som EK. PTI anbefalingen er derimot noe gammel og det

mistenkes at det ikke er helt slik for nåtidens ETA. Det blir gjennomført en verifikasjon av

DYWIDAG MA 2311 6812 [9] for å se hva bøylearmeringen tar. Formlene gitt i kapittel 10.4:

Formler fra eurokode benyttes for å se om bøylearmeringen er over- eller underdimensjonert

for spaltestrekk. Verifikasjonen går ut på å se hvor mye bøylearmering som er nødvendig for å

ta opp spaltestrekket og sammenligne dette med bøylearmeringen gitt i ETA. Bare 42 % av

bøylearmeringen fra ETA er nødvendig for å sikre spaltestrekk. Verifiseringen finnes i vedlegg

R.

Ved testene til ETA er det rimelig å anta at nødvendig armeringsmengde vil være mindre enn

ved en konservativ formel i fra EK2-1-1. Siden ETA bøylearmeringen hverken er lik eller

mindre enn beregnet armering, vil det være stor sannsynlighet for at bøylearmeringen i ETA er

med på å ta opp kreftene fra lokal knusing.

107

Endring av bøylearmeringen vil nå bare være mulig for anker som kun har bøylearmering. For

et slik tilfelle kan senteravstand, armeringsdiameter og eksterne dimensjoner endres. For

kombinert armering, må eventuelt all armering gjøres om til bøyle- eller spiralarmering, før

endringer kan bli gjort. Dette må gjøres fordi det er umulig å skille mellom hva som tar lokal

knusing og hva som tar spaltestrekk. Som sagt tidligere, vil en endring av armeringen i ETA

trenge godkjenning av ETA-holderen og lokale myndigheter.

10.8 Endring og beregning av armering

For beregningene vil det bli sett på MA fra produsentene DYWIDAG, BBR og CCL i

henholdsvis ETA-13/0815 [9], ETA-09/0286 [11] og ETA-07/0035 [10]. Disse produsentene

har noen forskjellige armeringsalternativ som kan være aktuelle. Under kapittel 10.7: Endring

av bøylearmering, viste verifikasjonen til at bøylearmeringen ble brukt både for lokal knusing

og spaltestrekk. Det er da uaktuelt å se på ankerene som har både bøyle- og spiralarmering. De

alternativene som da vil være aktuelle, er CCL XMC [10] med kun spiral og DYWIDAG MA

[9] med kun bøyler. Disse alternativene har kun en armeringsform, og vil bare med det gjøre

utstøpingen lettere. For disse alternativene vil senteravstand være en mulig endring.

Begge disse alternativene har armering for både lokal knusing og spaltestrekk. Det kan derfor

være aktuelt å se om en armeringsberegning for lokal knusing vil gi mindre armeringsvolum.

Beregningen blir gjennomført for PTI og tidsskriftet, hvor ankeret DYWIDAG MA 2311 6812

benyttes og dimensjoneres med spiralarmering og bruens tverrsnitt.

10.8.1 Alternativ fra CCL

Beregningene gjøres for CCL XMC 40 [11] med kun spiral og formler fra PTI. Endringen blir

å øke senteravstanden til EK2-1-1 [6] sitt minimumskrav og kompensere kapasitetstapet med å

øke spiralens diameter. Senteravstanden som er 40 mm gitt i ETA, skal økes til 49 mm i henhold

til EK2-1-1:NA.8.2.

Beregningsprosedyren tar utgangspunkt i armeringsbidraget fra formelen gitt i PTI.

Parameterne er definert tidligere i kapittel 10: Lokal sone.

𝑃𝑠 = 4,1𝑓𝑙𝑎𝑡𝐴𝑐𝑜𝑟𝑒

Armeringsbidraget etter endringen må være lik eller større enn bidraget før endringen.

Begrensing 𝑓𝑙𝑎𝑡 ≤ 8,3 𝑀𝑃𝑎 benyttes ikke ved endring, bare dimensjonering. Fullstendige

beregninger finnes i vedlegg R.

108

Oppsummering av parametere før og etter beregning er gitt i Tabell 10-3:

Armeringsdiameter spiraldiameter Senteravstand Armeringsvolum

Før 12 mm 390 mm 40 mm 1411008 mm3

Etter 12 mm 451mm 49 mm 1595814 mm3

Tabell 10-3 Oppsummering for CCL

Endringen gjør at armeringen nå bruker minste senteravstand i EK2 og har kompensert

kapasitetstapet med økt spiraldiameter. Dette har som forventet gitt en økning i

armeringsvolum, men har til gjengjeld sikret de nødvendige avstandene for å kunne

gjennomføre en god utstøping.

10.8.2 Alternativ fra DYVIDAG

Beregningene gjøres for DYWIDAG MA 2311 6812 [9] med kun bøyler og formler fra PTI.

Endringen blir å øke senteravstanden til EK2-1-1 [6] sitt minimumskrav og kompensere

kapasitetstapet med å øke bøylens eksterne dimensjon. Senteravstanden som er 45 mm gitt i

ETA, skal økes til 53 mm i henhold til EK2-1-1:NA.8.2.

Beregningsprosedyren er samme som for alternativ CCL og fullstendige beregninger finnes i

vedlegg R.

Oppsummering av parametere før og etter beregning er gitt i Tabell 10-4:

Armeringsdiameter Ekstern dimensjon Senteravstand Armeringsvolum

Før 16 mm 320 mm 45 mm 1955930 mm3

Etter 16 mm 369 mm 53 mm 2271196 mm3

Tabell 10-4 Oppsummering av DYWIDAG

Endringen gjør at armeringen nå bruker minste senteravstand i EK2 og har kompensert

kapasitetstapet med økt ekstern dimensjon. Dette har som forventet gitt en økning i

armeringsvolum, men har til gjengjeld sikret de nødvendige avstandene for å kunne

gjennomføre en god utstøping.

109

10.8.3 Beregninger

Det ble også gjennomført en beregning av nødvendig armering i henhold til PTI og tidsskriftet.

I motsetning til armeringen gitt i ETA, vil denne bare ta hensyn til lokal knusing, og

spaltestrekkarmeringen kan eventuelt bli dimensjonert for gjeldende snitt i generell sone.

Beregningene gjøres for DYWIDAG MA 2311 6812 [9] med spiralarmering.

Oppsummering av parametere for PTI og tidsskriftet er gitt i Tabell 10-5:

Armeringsdiameter Spiraldiameter Senteravstand Armeringsvolum

PTI 14 mm 404 mm 51 mm 1674327 mm3

Tidsskrift 10 mm 316 mm 47 mm 580706 mm3

Tabell 10-5 Oppsummering av Beregninger etter PTI og tidsskriftet

Det er tydelig at beregninger gjennom tidsskriftet vil kunne være svært nyttige til

dimensjonering av lokal sone med større tverrsnitt enn ved ETA testene. PTI kan i noen tilfeller

være mer effektivt, men for dette ankeret var den ikke det.

110

10.9 Oppsummering av lokal sone

Dette kapittelet har gjennomgått mulighetene for å gjøre betongen i lokal sone lettere å

komprimere. Utgangspunktet for denne armeringen er gitt gjennom ETA og har i mange tilfelle

en relativt tett armering med minimale muligheter for endringer. De alternativene som gir best

komprimering av betongen vil da være de som ikke har en kombinering av bøyle- og

spiralarmering. Samt størst mulig avstand mellom armeringsjerna. Av de alternativene som har

blitt vurdert i denne rapporten, vil DYWIDAG MA med kun bøyler og CCL XMC med kun

spiral være de som gir best komprimering.

Det har også blitt sett på muligheter utenfor regelverket. For disse mulighetene vil NCHRP

rapport 356 være essensiell. NCHRP rapporten forsket frem en formel for å dimensjonere den

lokale sonen. For denne rapporten vil det benyttes en oppdatering av formelen til NCHRP, gitt

av PTI, og en videreføring gjennom tidsskriftet.

Den første muligheten er å øke armeringens senteravstand til minstekravet til EK2. Endringen

blir gjort etter PTI og skal sikre god komprimering. De utprøvde alternativene DYWIDAG MA

med kun bøyler og CCL XMC med kun spiral gir begge en økning i armeringsvolum. Endring

kan anses som svært konservativ siden armeringen tar hensyn til lokal knusing og spaltestrekk

i lokal sone. Dette er fordi denne bruen ikke får spaltestrekk i lokal sone. Den andre muligheten

er å beregne ny armering med PTI og tidsskriftet. I motsetning til en endring vil denne kun ta

hensyn til lokal knusing. Beregningene gjøres for DYWIDAG MA med spiralarmering.

Beregninger med PTI gir noe større armeringsvolum enn endringen for CCL XMC. Tidsskriftet

gir derimot mye mindre armeringsvolum enn noen av de andre endringene og alternativene.


senteravstand bør benyttes for best mulig betongkomprimering. For denne rapporten er de mest

aktuelle DYWIDAG MA med kun bøyler og CCL XMC med kun spiral. Forbedringer av

komprimeringen bør gjøres etter etablerte formler fra PTI, men kan også gjøres etter tidsskriftet.

Den nyere forskningen fra tidsskriftet gir utelukkende best resultater, og viser hvor stort

forbedringspotensialet for ankerarmeringen er. Forskningen er derimot ikke nok etablert og må

videreutvikles, for å gi formlene den sikkerheten de trenger til prosjektering.

111

11 Konklusjon

En samlet vurdering av de utførte brudd- og bruksgrensetilstand tilsier at felt A er

underdimensjoner i bruksgrensetilstand og akse 3 er noe overdimensjonert for begge.

Slik det er gitt i oppgaveteksten vedlegg A, er det tiltenkt å endre mengdene spennarmering når

bruksgrensekrav ikke opprettholdes. En økning av spennarmeringen vil kunne sikre kravene for

felt A, men vil samtidig gjøre akse 3 svært overdimensjonert. Det er derfor ikke sikkert at en

økning av spennarmeringen vil være den beste løsningen.

Gjennom rapporten har tvangskrefter fra spennarmeringen blitt grundigere gjennomgått, og

samtidig gitt bedre forståelse for hvordan spennkabelens bane påvirker tvangskreftene. En

mulig løsning er derfor å se på spennarmeringens bane, spesielt eksentrisiteten i felt B. Denne

er satt etter antagelse som maksimal eksentrisitet. Slik eksentrisiteten er satt, vil den gi store

tvangskrefter og er med på å gjøre felt A underdimensjonert og akse 3 overdimensjonert. Det

vil være gunstig å først optimalisere denne eksentrisiteten og deretter se på eventuell endring

av mengden spennarmering.

Spesialisering gir et bilde av hvilke muligheter det er for å bedre betongkomprimering i lokal

sone. Det blir sett på muligheter innenfor dagens regelverk og muligheter utenfor regelverket

gjennom godt etablerte formler og nyere forskning.


senteravstand bør benyttes for best mulig betongkomprimering. For denne rapporten er de mest

aktuelle DYWIDAG MA med kun bøyler og CCL XMC med kun spiral. Forbedringer av

komprimeringen bør gjøres etter etablerte formler fra PTI, men kan også gjøres etter tidsskriftet.

Den nyere forskningen fra tidsskriftet gir utelukkende best resultater, og viser hvor stort

forbedringspotensialet for ankerarmeringen er. Forskningen er derimot ikke nok etablert og må

videreutvikles, for å gi formlene den sikkerheten de trenger til prosjektering.

113

12 Referanser

[1] Standard Norge. NS-EN 1990:2002+A1:2005+NA:2016: Eurokode: Grunnlag for

prosjektering av konstruksjoner. Brussel: Den europeiske standardiseringsorganisasjonen

(CEN); 2016.

[2] Standard Norge. NS-EN 1991-1-1:2002+NA:2008. Eurokode 1: Laster på konstruksjoner,

Del 1-1: Allmenne laster, Tetthet, egenvekt, nyttelaster i bygninger. Brussel: CEN; 2008.


Del 1-4: Allmenne laster, Vindlaster. Brussel: CEN; 2009.


Del 1-5: Allmenne laster, Termiske påvirkninger. Brussel: CEN; 2008.

[5] Standard Norge. NS-EN 1991-2:2003+NA:2010. Eurokode 1: Laster på konstruksjoner, Del

2: Allmenne laster, Trafikklast på bruer. Brussel: CEN; 2010.

[6] Standard Norge. NS-EN 1992-1-1:2004+NA:2008. Eurokode 2: Prosjektering av

betongkonstruksjoner, Del 1-1: Allmenne regler og regler for bygninger. Brussel: CEN; 2008.

[7] Standard Norge. NS-EN 1992-2:2005+NA:2010. Eurokode 2: Prosjektering av

betongkonstruksjoner, Del 2: Bruer. Brussel: CEN; 2010.

[8] Statens vegvesen. Håndbok N400. Bruprosjektering: Prosjektering av bruer, ferjekaier og

andre bærende konstruksjoner: Statens vegvesen, vegdirektoratet; 2015.

[9] DYWIDAG-Systems international GmbH. European technical approval, ETA-13/0815.

Tyskland: OiB; 2013.

[10] CCL Stessing International Ltd. European technical approval, ETA-07/0035. England:

Cerema; 2012.

[11] BBR VT International Ltd. European technical approval, ETA-09/0286. Sveits: OiB; 2013.

[12] Johansen H. Statens vegvesens rapporter Nr. 668: Beregningsveiledning for etteroppspente

betongbruer: Statens vegvesen, vegdirektoratet; 2017.

[13] Sørensen S. I. Betongkonstruksjoner: Beregning og dimensjonering etter Eurocode 2. 2.

utgave. Trondheim: Akademika forlag; 2013.

114

[14] Autodesk Robot Structural Analysis Professional 2018 [internett]: Autodesk; Dato

(24.02.218). Tilgjengelig fra: http://help.autodesk.com/view/RSAPRO/2018/ENU/

[15] Bell K. Matrisestatikk: Statiske beregninger av rammekonstruksjoner. Trondheim: Tapir

Akademika forlag; 2011.

[16] Larsen P.K, Clausen A.H, Aalberg A. Stålkonstruksjoner: Profiler og formler. 3. utg.

Trondheim: Tapir Akademika forlag; 1997.

[17] Formelsamling TKT 4180: Konstruksjonsmekanikk-Beregningsmetoder. Institutt for

konstruksjonsteknikk: NTNU; 2017.

[18] Formelsamling TKT 4220: Betongkonstruksjoner 2. Institutt for konstruksjonsteknikk:

NTNU; 2017.

[19] Formelsamling TKT 4220: Betongkonstruksjoner 1. Institutt for konstruksjonsteknikk:

NTNU; 2016.

[20] WolframMathWorld [internett]; Dato (26.03.218). Tilgjengelig fra:

http://mathworld.wolfram.com/CircularSegment.html

[21] VSL Post-Tensioning System. European technical approval, ETA-06/0006. Spania:

Cerema; 2013.

[22] Roberts-Wollmann C.L, Breen J.E. Design and Test Specifications for Local Tendon

Anchorage Zones. 2000; ACI V.97, No. 6.

[23] Post-Tensioning Kits for Prestressing of Structures. European Assessment Document,

EAD 160004-00-0301: EOTA; 2016.

[24] Breen J.E, Burdet O, Roberts C, Sanders D. Report 356: Anchorage Zone Reinforcement

for Post-Tensioned Concrete Girders. Washington D.C. National Academy Press. 1994.

[25] Wollmann G.P, J.E, Roberts-Wollmann C. Post-Tensioning Manual: Anchorage Zone

Design. 6 etg. Post-Tensioning Institute PTI. 2000.

[26] Yangsu K, Jin-Kook K, Jun-Mo Y. Development of Efficient Anchorage Device and

Estimation of Its Bearing Strength of Posttensioning Anchorage Zone. 2017; Journal of

Structural Enginering.

http://mathworld.wolfram.com/CircularSegment.html

115

13 Vedleggsliste

Vedlegg A Oppgavetekst

Vedlegg B Minimumsarmering

Vedlegg C Nødvendig herdetid

Vedlegg D Vindlast

Vedlegg E Svinn og kryp

Vedlegg F Spennkabelbane

Vedlegg G Spennkrafttap

Vedlegg H Ekvivalente krefter

Vedlegg I Verifikasjon av egenvekt

Vedlegg J Verifikasjon av trafikklast

Vedlegg K Verifikasjon av termisk last

Vedlegg L Verifikasjon av vindlast

Vedlegg M Verifikasjon av svinn

Vedlegg N Verifikasjon av ekvivalente krefter og tvangskrefter fra spennkraft

Vedlegg O Verifikasjon av ekvivalente krefter og tvangskrefter fra spennkrafttap

Vedlegg P Bruddgrensetilstand

Vedlegg Q Bruksgrensetilstand

Vedlegg R Lokal sone

‐ 1 ‐

KT6003 Prosjektering av bruer 1 høsten 2016

Prosjektoppgave

Innledning Ei planlagt plasstøpt og etteroppspent bjelke/platebru skal analyseres og dimensjoneres i henhold til gjeldende regelverk. Brulengden er 1,0 + 20,0 + 25,0 + 19,0 + 1,0 = 66,0 meter (1,0 meter utstikk forbi landkaraksene på begge ender). Tverrsnittet er konstant, med føringsbredde 8,5 meter, bjelkedel bredde 4,5 meter, tverrsnittshøyde i bjelkedelen 1,0 meter og vingetykkelse 0,3 meter. Spennarmeringen er satt sammen av to kabelgrupper med 6 kabler i hver gruppe. Lengdesnitt og tverrsnitt med spennkabler i endefelt og ved opplegg er vist i vedlagte figur. Antatt/foreslått kabelføring er også vist.

Forutsetninger Utførelse Overbygningen forutsettes utført i én støp med forskaling på reis fra bakken. De som ønsker (frivillig), kan regne med følgende tre byggefaser:

1. Første etappe: 1,0 + 20,0 + 4,0 = 25,0 meter fra venstre bruende til 4,0 meter forbi akse 2 2. Andre etappe: 25,0 meter fram til 5,0 meter forbi akse 3 3. Tredje etappe: 14,0 + 1,0 = 15,0 meter fram til høyre bruende

Geometri og grensebetingelser Forutsetninger:

Brua er horisontal (ingen vertikalkurvatur) og rett (ingen horisontalkurvatur)

Akse 1: Skivesøyle 7,5 m x 0,6 m, lagre med sidestyring og fastholding i bruas lengderetning. Fugefri bruende med skjørt og vanger hengt på brua.

Akse 2: Skivesøyle 4,5 m x 0,6 m, lengde 6 meter, monolittisk forbindelse

Akse 3: Skivesøyle 4,5 m x 0,6 m, lengde 8 meter, monolittisk forbindelse

Akse 4: Skivesøyle 7,5 m x 0,6 m, lagre med sidestyring men uten fastholding i bruas lengderetning. Fuge mellom bruende og tradisjonelt landkar.

Fundamentering på berg i alle akser Materialer Forutsetninger:

Betongkvalitet B45

Slakkarmering B 500 NC Laster Forutsetninger for egenvekter:

Egenvekt for endeskjørt, vanger og endetverrbærer i akse 1 modelleres med følgende laster i akse 1:

- vertikal konsentrert last på ‐400 kN (nedover) - konsentrert moment på 600 kNm (rotasjon som løfter brua)

Egenvekt for endetverrbærer i akse 4 neglisjeres

Super‐egenvekt (slitelag, kantdragere og rekkverk) modelleres som sentrisk last 40 kN/m

Vedlegg A Oppgavetekst

‐ 2 ‐

Forutsetninger for temperatur:

Temperatur‐virkninger: Tmax = 34 ⁰C, Tmin = ‐28 ⁰C Forutsetninger for vindlaster:

Brua ligger i Trondheim kommune i Sør‐Trøndelag

Retningsfaktor, sesongfaktor og nivåfaktor settes lik 1,0 (cdir, cseason, calt = 1,0)

Returperiode i ferdigtilstand settes lik 50 år (cprob = 1,0)

Terrengformfaktor, c0 (z) = 1,0

Overbygningens høyde over terreng, z = 10 m

Terrengruhetskategori II

Vindturbulens, kI = 1,0

Total bruplatebredde inkl kantdragere, b = 9,5 m

Vindlast på søyler neglisjeres Spennarmering Spennarmering med 12 stk 150 mm2 tau pr kabel antas brukt. Aktuelle systemer kan være for eksempel Dywidag (DSI), Cona CMI BT (BBR VT) eller VSL. Data/forutsetninger finnes i relevante ETA’er, for eksempel ETA‐09/0286 (BBR). ETA‐ene finnes på leverandørenes nettsider. Google‐søk med titlene fører som regel fram. Kablenes/forankringenes plassering er antydet i vedlagte figur. I analysen kan kabler samles i grupper i CL bru. Kabelgruppe 1 spennes opp ved akse 1 og har innstøpte passive forankringer i motsatt ende. Kabelgruppe 2 spennes opp ved akse 4 og har innstøpte passive forankringer i motsatt ende. Låsetapet ved aktiv forankring settes lik 6 mm. Det forutsettes brukt kabelrør med diameter 90 mm, og minimum trykkfasthet for betongen ved oppspenning settes lik 32 MPa (sylinder) / 40 MPa (terning). Ved utførelse i tre etapper forutsettes kabelføring tilpasset byggefasene. Miljø Eksponeringsklasser: XD1 for overside, XC3 for underside.

Oppgaver Oppgave 1: Prosjekteringsgrunnlag (a) Lag en summarisk oversikt over nødvendige grunnlagsdokumenter, inkludert standarder, håndbøker, ETA’er osv. Gi en kort presentasjon av analyseprogrammet som benyttes. (b) Bestem dimensjonerende materialegenskaper for både betong, slakkarmering og spennarmering. Kartlegg viktige forutsetninger vedr kryp og svinn for betongen. (c) Bestem viktige forutsetninger for valgt spennsystem, inkludert parametere for spennkrafttap, minimum senteravstander og kantavstander for kabelforankringene, oppspenningskraft mm.

‐ 3 ‐

(d) Bestem minimumsarmering (slakkarmering) for tverrsnittet. Velg (innledende) lengdearmering med senteravstand 150 mm slik at kravet til minimumsarmering er tilfredsstilt. (e) Bestem nødvendig overdekning, og vis plassering av slakkarmering og spennarmering, samt kabelforankringer, i tverrsnittet. (f) Bestem karakteristiske verdier for alle komponenter/bidrag fra trafikklaster. (g) Bestem karakteristiske verdier for alle komponenter/bidrag fra temperaturlaster. (h) Bestem karakteristiske verdier for alle komponenter/bidrag fra vindlaster på bru uten trafikk og på bru med trafikk. (i) Bestem dimensjonerende lastkombinasjoner. Oppgave 2: Analyse (a) Etabler analysemodell for brua. Bestem effektiv flensbredde for alle deler av brua og vurder hvordan eventuelt varierende flensbredder skal modelleres. (b) Vis hvordan alle forutsetninger vedrørende både geometri, grensebetingelser, materialer, laster, lastkombinasjoner og spennarmering er ivaretatt og implementert i analysen. (c) Verifiser viktige resultater for alle viktige lasttilfeller, delkombinasjoner og dimensjonerende lastkombinasjoner. Nevn kort hvilke forhold som ikke er ivaretatt eller modellert eksakt i analysen, og vurder om unøyaktighetene har vesentlig betydning for resultatene. (d) Kontroller om SLS‐krav om trykkavlastning er tilfredsstilt. Dersom kravet ikke er tilfredsstilt, øk spennarmeringsmengdene (antall tau pr kabel) og kjør analysen på nytt. (e) Presenter og forklar de viktigste analyseresultatene (krefter/momenter) ved diagrammer og tabeller. Oppgave 3: Tverrsnittskontroll (a) Kontroller ved håndregning tverrsnittets momentkapasitet (ULS) i endefelt akse 1‐2 (snitt A) og/eller 3‐4 (snitt C) og ved opplegg akse 3 (snitt B). Regn med spennarmeringen som bidrag til tverrsnittets kapasitet (indre motstand). Kontroller kapasiteten mot dimensjonerende (opptredende) momenter for ULS uten forspenningens primær‐effekter. (b) Vis at tverrsnittene kontrollert i (a) er underarmerte. (c) Kontroller ved håndregning tverrsnittets skjærkapasitet (ULS) ved opplegg akse 3. Finn ut om skjærarmering (bøyler) er nødvendig, og bestem eventuelt nødvendig bøylearmering og nødvendig tillegg i lengdearmering. (d) Kontroller ved håndregning tverrsnittets torsjonskapasitet (ULS) ved opplegg akse 3. Bestem eventuell nødvendig tverrarmering (bøyle rundt bjelkedelen av tverrsnittet) og tillegg i lengdearmering.

‐ 4 ‐

(e) Kontroller betongens kapasitet for skjær‐trykk for kombinert skjær og torsjon. (f) Kontroller ved håndregning trykkavlastning (snitt A) og rissvidder (snitt A og B). Oppgave 4: Diverse kontroller – frivillig De som ønsker kan dokumentere følgende kontroller:

a) Skiveskjær i flenser og lastvirkninger i bruas tverretning; dimensjonering av tverrarmering i bruvingenes innspenning

b) Kontroll av lokale krefter over lagre og ved spennarmeringsforankringer c) Dimensjonering av søyler, inkludert vurdering av knekklengder/slankhet

og 2. ordens tilleggsmomenter De som regner med byggefaser kan kontrollere overbygningens kapasitet i oppspenningstilstanden, dvs med spennarmeringen på trykksida.

Praktiske detaljer Praktiske detaljer for besvarelsen:

Oppgavene skal besvares fullstendig – men mest mulig kortfattet

Oppgavene skal besvares i samme rekkefølge som oppgaveteksten; oppgave 1 (a) > (b) osv

Besvarelsen skal leveres digitalt i én samlet fil (pdf) med epost til: [email protected]

Skannede håndskrevne sider aksepteres hvis teksten er godt lesbar

Innlevert pdf skal ha fortløpende sidenummerering (kan legges inn helt til slutt) Oppgave 1 og 2 skal leveres innen tirsdag 27. september kl 14.30. Løsningsforslag for analysen vil deretter bli delt ut og gjennomgått. Oppgave 3 (og eventuelt oppgave 4) skal leveres innen tirsdag 25. oktober kl 15.30. Arbeidet med oppgave 3 kan baseres på løsningsforslag for oppgave 1 og 2. Alle besvarelser må leveres innen fristen for å bli vurdert. Flere studenter kan samarbeide om arbeidet med prosjektoppgaven, men alle må levere selvstendig og egenprodusert besvarelse.

Vedlegg B MinimumsarmeringFølger SVV rapport nr. 668 "Beregningsveiledning for etteroppspente betongbruer" til å finne gjeldene regler for hvert steg i prosjekteringen. Kalles fra nå av "SVV 668".Hvilke armeringer som skal beregnes bestemmes av SVV 668 3.1.3. Siden det ikke er tatt hensyn til horisontale laster så blir ikke minimum armeringen for stegsider utregnet.

Overdekning

Siden overdekning med hesyn på bestandighet er så mye større enn hensynet på heft så blir dette ikke tatt med i beregningene. På grunn av kantdragerene har all anna overflate enn overkant samme som underkant overdekning.Iht SVV N400 7.4 som er strengere enn EK 2.

Overkant (XD1):

≔cmin.dur 60 mm ≔Δcdev 15 mm

≔cnom.OK =+cmin.dur Δcdev 75 mm

Underkant (XC3):

≔cmin.dur 50 mm ≔Δcdev 15 mm

≔cnom.UK =+cmin.dur Δcdev 65 mm

Minimum lengdearmering

Tss antas lengde- og tverrarmering Ø20, byggemålet blir 25 mm iht SVV N400 tabell 7.3.Iht SVV 668 3.1.3 blir spennarmerte bruer prosjektert med tverrarmering ytterst. Iht SVV 668 skal minimumsarmeringen dimensjoneres etter EK2 kapittel 9 og det er ikke nødvendig å skjekke EK2 7.3.2.

Parametere:

≔fctm 3.8 MPa ≔fck 45 MPa ≔fyk 500 MPa ≔ϕ 25 mm

≔s 150 mm Senteravstanden valgt i oppgaven er 150 mm og iht SVV 668 er dette ofte brukt,samt innenfor kravene for maksimal senteravstand.

Overkant tverrsnitt:

≔b 8.5 m ≔h 1 m

≔d =−−−h cnom.OK ϕ ―ϕ2887.5 mm

≔As.min =max⎛⎜⎝

,⋅⋅⋅0.26 ――fctmfyk

b d ⋅⋅0.0013 b d⎞⎟⎠14906 mm 2

Non-Commercial Use Only

Page 1 of 5


,⋅⋅⋅0.26 ――fctmfyk

b d ⋅⋅0.0013 b d⎞⎟⎠14906 mm 2

≔n =ceil⎛⎜⎝

+―――――――−−b ⋅2 cnom.UK ⋅3 ϕ

s0.999999

⎞⎟⎠57

≔ϕ =‾‾‾‾‾‾‾―――⋅4 As.min⋅n π

18.2 mm

Velger 57Ø20s150 i Lengderetning for Overkant

≔As =⋅n ―――――⋅π ((20 mm))

2

417907 mm 2 >As As.min OK!

Underkant tverrsnitt:

≔b 4.5 m ≔h 1 m ≔ϕ 25 mm

≔d =−−−h cnom.UK ϕ ―ϕ2897.5 mm


,⋅⋅⋅0.26 ――fctmfyk

b d ⋅⋅0.0013 b d⎞⎟⎠7981 mm 2

≔n =ceil⎛⎜⎝

+―――――――−−b ⋅2 cnom.UK ⋅3 ϕ

s0.999999

⎞⎟⎠30 ≔n 31 Velges grunnet symmetri

med OK og UK.

≔ϕ =‾‾‾‾‾‾‾―――⋅4 As.min⋅n π

18.1 mm

Velger 31Ø20s150 i Lengderetning for Underkant

≔As =⋅n ―――――⋅π ((20 mm))

2

49739 mm 2 >As As.min OK!


Page 2 of 5

Minimum tverrearmering

Analysen av broen blir gjennomført med en rammeanalyse og broen blir sett på som en bjelke. Broen som blir analysert er en slags kombinasjon av bjelke og plate, kan samenlignast som en plate med et forsterket band i midten.For en rammeanalyse må da tverretning bli analysert separat og dimensjoneres deretter SVV 668 2.1.2.Tverrarmeringen skal plasseres både i OK og UK av tverrsnittet.

Overkant tverrsnitt:

≔b 1 m ≔h 1 m ≔ϕ 25 mm

≔d =−−h cnom.OK ―ϕ2912.5 mm


,⋅⋅0.26 ――fctmfyk

d ⋅0.0013 d⎞⎟⎠1803 ――

mm 2

m

≔ϕ =‾‾‾‾‾‾‾‾‾――――

⋅⋅4 As.min s

π18.6 mm

Velger Ø20s150 i Tverretning for Overkant

≔As =――――――⋅⋅π ((20 mm))

2b

⋅s 42094 mm 2 >As As.min OK!

Underkant tverrsnitt:

≔b 1 m ≔h 1 m ≔ϕ 25 mm

≔d =−−h cnom.UK ―ϕ2922.5 mm


,⋅⋅0.26 ――fctmfyk

d ⋅0.0013 d⎞⎟⎠1823 ――

mm 2

m

≔ϕ =‾‾‾‾‾‾‾‾‾――――

⋅⋅4 As.min s

π18.7 mm

Velger Ø20s150 i Tverretning for Underkant

≔As =―――――⋅π ((20 mm))

2b

⋅4 s2094 mm 2 >As As.min OK!


Page 3 of 5

Minimum Skjærarmering

SVV 668 3.1.2 påpeker at EK2 9.2.2 og 9.2.3 skal brukes til bergning av minimum skjærarmering for bjelke delen.

≔α 90 ° Velger som iht SVV 668 blir nesten alltid brukt.=α 90 °

≔ϕ 16 mm ≔ϕl 25 mm ≔ϕb 20 mm Antatt diameter Ø16 for skjærarmeringen. Byggemål for lengde- og skjærarmering iht SVV N400 tabell 7.3.

≔bw 4.5 m ≔h 1 m ≔d 897.5 mm

≔h' =−−−h ⋅2 ϕl cnom.OK cnom.UK 810 mm

Senteravstander for bjelker:

≔sl.max =⋅⋅0.6 h' (( +1 cot ((α)))) 486 mm EK2 9.2.2 NA.9.6N

≔sb.max =⋅⋅0.6 h' (( +1 cot ((α)))) 486 mm EK2 9.2.2 NA.9.7N

≔st.max =min (( ,h' 600 mm)) 600 mm EK2 9.2.2 NA.9.8N

Senteravstander for plater:

≔sl.p.max =⋅⋅0.75 d (( +1 cot ((α)))) 673 mm EK2 9.3.2 (9.9)

≔sb.p.max =d 898 mm EK2 9.3.2 (9.10)

≔st.p.max =⋅1.5 d 1346 mm EK2 9.3.2(5)

≔ρw.min =⋅0.1 ―――――⋅‾‾‾fck ‾‾‾‾‾MPa

fyk⋅1.342 10−3 EK2 9.2.2 NA.9.5N

Benytter største senteravstand i tverretning:

≔nt =ceil⎛⎜⎝

+――――――−−bw ⋅2 cnom.UK ϕb

st.max0.999999

⎞⎟⎠9

Dette innbærer 9 bøyler med senteravstand 600 mm i tverretning.

≔Asw =⋅nt ――⋅π ϕ2

41810 mm 2

≔s =――――――Asw⋅⋅ρw.min bw sin ((α))

299.725 mm


Page 4 of 5

≔s =――――――Asw⋅⋅ρw.min bw sin ((α))

299.725 mm >s sl.max

Gunstig å ha en senteravstand som stemmer overens med tverrarmering sin senteravstand. Gjør utførelsen mye enklere.

Velger 10Ø16s300 som skjærarmering i steg

Kontroll:

=⋅⋅ρw.min bw sin ((α)) 6037 ――mm 2

m≔Asw.s =――――

⋅10 ――⋅π ϕ2

4300 mm

6702 ――mm 2

m

<⋅⋅ρw.min bw sin ((α)) Asw.s !OK


Page 5 of 5

Vedlegg C Nødvendig herdetidIht til oppgaveteksten skal sylindertrykkfastheten ved oppspenning være 32 MPa

Antar at det kreves mer enn 3 døgn for å oppnå gitt sylindertrykkfasthet.

Kan dermed bruke EK2-1-1: 3.1.2 for å finne nødvendig tid.

≔fck.t 32 MPa Iht vedlegg A

≔fcm.t =+fck.t 8 MPa 40 MPa Iht EK2-1-1: 3.1.2 (5)

≔fcm 53 MPa Iht EK2-1-1: Tabell 3.1

≔s 0.25 Antar sementklasse NIht EK2-1-1: 3.1.2 (6)

Bruker mathcad solve block

Gue

ss V

alue

sCo

nstr

aint

sSo

lver

≔t 10

≔βcc ((t)) e⋅s

⎛⎜⎜⎜⎝−1⎛⎜⎝――28

t

⎞⎟⎠

―1

2

⎞⎟⎟⎟⎠

＝⋅βcc ((t)) fcm fcm.t

=find ((t)) 6.197

Mathcad krever en antatt verdi

Iht EK2-1-1: (3.2)

Iht EK2-1-1: (3.1)

Nødvendig herdetid

Betongen må stå i 7 dager før den kan påføres spennkraft


Page 1 of 1

Vedlegg D VindlastIht EK1-1-4: 8.2 (1) merkanda 3 så er det ikke nødvendig med dynamisk beregning av av brudekker som har minder spenn enn 40 m. Broen i denne rapporten har største spenn på 25 m. EK1-1-4 bruker et annet retning system og kan gi litt ved parameternamn. Den endlige lasten vil bli gitt i Robot sin retning og namngitt med hensyn på det.

Siden den dynamiske beregningen er ubetydelig for denne konstruksjonen så vil den iht SVV N400 komme under vindklasse 1.

Brudekkets bredde: ≔b 9.5 m Iht. oppgaveteksten

Grunnverdier/basisvindhastighet:

Referansevindhastighet: ≔vb.0 26 ―ms

Iht. Ek1-1-4: tabell NA.4(901.1)for Trondheim kommune.

Nivåfaktor: ≔calt 1.0 Iht. oppgaveteksten

Retningsfaktor: ≔cdir 1.0 Iht. oppgaveteksten

Årstidsfaktor: ≔cseason 1.0 Iht. oppgaveteksten

Faktor for returperiode: ≔cprob 1.0 Iht. oppgaveteksten

Basisvindhastighet:

≔vb =⋅⋅⋅⋅cdir cseason calt cprob vb.0 26 ―ms

Iht. EK1-1-4: (NA.4.1)

Middelvind:

Høyde over bakken: ≔z 10 m Iht. oppgaveteksten

Terrengruhet: ≔kr 0.19 Iht. oppgaveteksten er bruen i terrengruhetskategori 2 og gitte verdier hentes fra EK1-1-4: tabell NA.4.1.

≔z0 0.05 m

≔zmin 4 m

Ruhetsfaktor: ≔zmax 200 m Iht. EK1-1-4: 4.3.2 (1)

≔cr ⋅kr ln⎛⎜⎝―zz0

⎞⎟⎠

for ≤≤zmin z zmax


Page 1 of 6

=cr 1.007 Iht. EK1-1-4: (4.7)

Terrengformfaktor: ≔c0 1.0 Iht. oppgaveteksten

Stedsvindhastigheten: ≔vm ⋅⋅cr c0 vb Iht. EK1-1-4: (4.3)

=vm 26.174 ―ms

Vindturbulens:

Turbulensfaktor: ≔kI 1.0 Iht. oppgaveteksten

Turbulensintensitet: ≔Iv ――――kI

⋅c0 ln⎛⎜⎝―zz0

⎞⎟⎠

for ≤≤zmin z zmax

=Iv 0.189 Iht. EK1-1-4: (4.7)

Vindkasthastighetstrykk:

Luftens densitet: ≔ρ 1.25 ――kg

m3Iht. EK1-1-4: NA.4.5(1)

Toppfaktor: ≔kp 3.5 Iht. EK1-1-4: NA.4.5(1)

Vindkasthastigheten: ≔vs vm Iht. EK1-1-4: NA.4.4(1)

≔vp =⋅vs ‾‾‾‾‾‾‾‾‾+1 ⋅⋅2 kp Iv 39.877 ―ms

Vindkasthastighetstrykket:

≔qp =⋅⋅0.5 ρ vp2 0.994 kPa Iht. EK1-1-4: NA.4.5(1)

Basisvindhastighetstrykket:

≔qb =⋅⋅―12ρ vb

2 0.423 kPa Iht. EK1-1-4: (4.10)

Vindlast uten trafikk:

Y-retning (Robot retning):

Eksponeringsfaktor: ≔ce =―qpqb

2.352 Iht. EK1-1-4: (4.9)

Tverrsnittshøyde: ≔d 1 m Iht. oppgaveteksten


Page 2 of 6

Høyde for :Aref.x ≔dtot +d 0.6 m Iht. EK1-1-4: tabell 8.1

=dtot 1.6 m

Lengde av påvirket tverrsnitt:

≔L 1 Satt slik for å få (kN/m) enhet for last.

Referanseareal: ≔Aref.x ⋅dtot L

=Aref.x 1.6 ――m2

m

Kratfaktor: =――bdtot

5.938 Iht. EK1-1-4: Figur 8.3

≔cfx.0 1.3

Vindlastfaktor: ≔cf.x cfx.0 Iht. EK1-1-4: (8.1)

≔C ⋅ce cf.x Iht. EK1-1-4: 8.3.2(1)

=C 3.058

Kraft i y-retning (Robot retning):

≔Fw.y =⋅⋅⋅⋅―12ρ vb

2 C Aref.x 2.067 ――kNm

X-retning (Robot retning):

Kraft i x-retning (Robot retning):

Iht. EK1-1-4: NA.8.3.4(1)skal det brukes en reduksjonsfaktor på 0,25 for bjelkebruer.

≔Fw.x =⋅⋅⋅⋅⋅0.25 ―12ρ vb


Z-retning (Robot retning):

Referanseareal: ≔Aref.z ⋅b L Iht. EK1-1-4: (8.3)

=Aref.z 9.5 ――m2

m

Kratfaktor: ≔cf.z 0.9 Iht. EK1-1-4: NA.8.3.3(1)

Vindlastfaktor: ≔C ⋅ce cf.z Iht. EK1-1-4: 8.3.3(1)


Page 3 of 6

=C 2.117

Kraft i z-retning (Robot retning):

≔Fw.z =⋅⋅⋅⋅―12ρ vb

2 C Aref.z 8.497 ――kNm

Iht. EK1-1-4: 8.3.3(1)

Vindlast med trafikk:

Referansevindhastighet:

≔vp.mt =min⎛⎜⎝

,35 ―msvp⎞⎟⎠35 ―

ms

Iht. EK1-1-4: NA.8.1(4)

Kravet at vindhastigheten (merket) ikke skal være høyere enn er vb.0 vb.0automatisk tatt hensyn til siden parameterene på tilbakeregningen for med og uten trafikk vil være helt like og er allerede er satt lik eller midre enn .vp.mt vpTilbakerekning for (merket) er ikke nødvendig. vb.0

Vindkasthastighetstrykket:

≔qp.mt =⋅⋅0.5 ρ vp.mt2 0.766 kPa Iht. EK1-1-4: NA.4.5(1)

Y-retning (Robot retning):

Eksponeringsfaktor: ≔ce =――qp.mtqb

1.812 Iht. EK1-1-4: (4.9)

Tverrsnittshøyde: ≔d 1 m Iht. oppgaveteksten

Høyde for :Aref.x ≔dtot +d 2 m Iht. EK1-1-4: 8.3.1(5)

=dtot 3 m

Lengde av påvirket tverrsnitt:

≔L 1 Satt slik for å få (kN/m) enhet for last.

Referanseareal: ≔Aref.x ⋅dtot L

=Aref.x 3 ――m2

m

Kratfaktor: =――bdtot

3.167 Iht. EK1-1-4: Figur 8.3

≔cfx.0 =+1 ⋅0.3⎛⎜⎝−5 ――

bdtot

⎞⎟⎠1.55 Bruk av lineær interpolasjon

fra EK1-1-4: Figur 8.3.

Vindlastfaktor: ≔cf.x cfx.0 Iht. EK1-1-4: (8.1)


Page 4 of 6

≔C ⋅ce cf.x Iht. EK1-1-4: 8.3.2(1)

=C 2.809

Kraft i y-retning (Robot retning):

≔Fw.y.mt =⋅⋅⋅⋅―12ρ vb


X-retning (Robot retning):

Kraft i x-retning (Robot retning):

Iht. EK1-1-4: NA.8.3.4(1)skal det brukes en reduksjonsfaktor på 0,25 for bjelkebruer.

≔Fw.x.mt =⋅⋅⋅⋅⋅0.25 ―12ρ vb


Z-retning (Robot retning):

Referanseareal: ≔Aref.z ⋅b L Iht. EK1-1-4: (8.3)

=Aref.z 9.5 ――m2

m

Kratfaktor: ≔cf.z 0.9 Iht. EK1-1-4: NA.8.3.3(1)

Vindlastfaktor: ≔C ⋅ce cf.z Iht. EK1-1-4: 8.3.3(1)

=C 1.631

Kraft i z-retning (Robot retning):

≔Fw.z.mt =⋅⋅⋅⋅―12ρ vb

2 C Aref.z 6.546 ――kNm

Iht. EK1-1-4: 8.3.3(1)


Page 5 of 6

Oppsumering:Uten trafikk:

=Fw.x 0.517 ――kNm

=Fw.y 2.067 ――kNm

=Fw.z 8.497 ――kNm

Med trafikk:

=Fw.x.mt 0.89 ――kNm

=Fw.y.mt 3.56 ――kNm

=Fw.z.mt 6.546 ――kNm

Eksentrisitet for kraft i Z-retning(Robot retning):

≔e =―b42.375 m Iht. EK1-1-4: 8.3.3(5)


Page 6 of 6

Vedlegg E Svinn og krypEnheten blir utelatt fordi formlene ikke er enhetskompatible

Bredde av flens: ≔bf 8500 Høyde av flens: ≔hf 300

Bredde av steg: ≔bs 4500 Høyde av steg: ≔hs 700

Sylindertrykkfasthet: ≔fck 45 Middelverdien av trykkfastheten:

≔fcm 53

Svinntøyning ved uttørking:

Dager før innspenning: ≔ts 7 Iht EK2-1-1(6)

Antall dager i løpet av 100 år:

≔t =⋅100 365 36500 Iht EK2-1-1(6)

Omkrets av eksponert tverrsnitt:

≔u =++⋅bf 2 ⋅hf 2 ⋅hs 2 19000 Iht EK2-1-1(6)

Areal av tverrsnitt: ≔Ac =+⋅bf hf ⋅bs hs 5700000 Iht EK2-1-1(6)

Effektiv tverrsnittstykkelse:

≔h0 =⋅2 ―Acu

600 Iht EK2-1-1(6)

≔kh 0.7 Iht EK2-1-1(6)

≔βds =――――――−t ts

+−t ts ⋅0.04 ‾‾‾h030.984 Iht EK2-1-1:

Tabell 3.3

≔RH 70 Iht SVV N400 7.2.3

≔RH0 100 ≔fcmo 10 Iht EK2-1-1: B.2(1)

≔αds1 4 ≔αds2 0.12 Iht EK2-1-1: B.2(1),Sementklasse N

≔βRH =⋅1.55⎛⎜⎝−1⎛⎜⎝――RHRH0

⎞⎟⎠

3 ⎞⎟⎠1.018 Iht EK2-1-1:

(B.12)


Page 1 of 3

≔εcd.0 =⋅⋅⋅⋅0.85 ⎛⎝ +220 ⋅110 αds1⎞⎠ e

⎛⎜⎜⎝

⋅−αds2 ――fcm

fcmo

⎞⎟⎟⎠ 10−6 βRH ⋅3.024 10−4 Iht EK2-1-1:

(B.11)

≔εcd =⋅⋅βds kh εcd.0 ⋅2.084 10−4 Iht EK2-1-1: (3.9)

Autogen svinntøyning:

≔εca.∞ =⋅⋅2.5 ⎛⎝ −fck 10⎞⎠ 10−6 ⋅8.75 10−5 Iht EK2-1-1:

(3.12)

≔βas.t =−1 e⎛⎝ ⋅−0.2 t 0.5⎞⎠ 1 Iht EK2-1-1:

(3.13)

≔εca =⋅εca.∞ βas.t ⋅8.75 10−5 Iht EK2-1-1: (3.11)

Total svinntøyning:

≔εcs =+εcd εca ⋅2.959 10−4 Iht EK2-1-1: (3.8)


Page 2 of 3

Kryp 100 år:

≔t =⋅100 365 36500 Dager i 100 år

≔t0 7 Tatt i fra vedlegg C

≔α1 =⎛⎜⎝――35fcm

⎞⎟⎠

0.7

0.748 Iht EK2-1-1: (B.8c)

≔α2 =⎛⎜⎝――35fcm

⎞⎟⎠

0.2

0.92 Iht EK2-1-1: (B.8c)

≔α3 =⎛⎜⎝――35fcm

⎞⎟⎠

0.5

0.813 Iht EK2-1-1: (B.8c)

Iht EK2-1-1: (B.3b)≔φRH =⋅

⎛⎜⎜⎜⎝+1 ⋅―――

−1 ――RH100

⋅0.1 ‾‾3h0

α1

⎞⎟⎟⎟⎠α2 1.165

For >35 MPafcm

≔βfcm =――16.8

‾‾‾fcm2.308 Iht EK2-1-1:

(B.4)

≔βt0 =――――1

⎛⎝ +0.1 t00.2⎞⎠

0.635 Iht EK2-1-1: (B.5)

Nominert kryptall: ≔φ0 =⋅⋅φRH βfcm βt0 1.706 Iht EK2-1-1: (B.2)

≔βH min⎛⎝ ,+⋅⋅1.5

⎛⎝ +1 (( ⋅0.012 RH))

18⎞⎠ h0 ⋅250 α3 ⋅1500 α3

⎞⎠ Iht EK2-1-1:

(B.8b)=βH 1142.177 For >35 MPafcm

≔βc =⎛⎜⎝――――

−t t0−+βH t t0

⎞⎟⎠

0.3

0.991 Iht EK2-1-1: (B.7)

Kryptallet: ≔φ100 =⋅φ0 βc 1.690689 Iht EK2-1-1: (B.1)


Page 3 of 3

Vedlegg F Spennkabelbane

Lager de generelle funksjonene for kabelens bane. De generelle funksjonene består av banen fra NA til felt, felt til NA, NA til opplegg. Ved bruk av funksjonenes vinkelendring kan friksjonstapet bli funnet.

Bane fra NA til felt:

Bruker genrell 2. ordens funksjon og setter inn grensebetingelsene.

Generell 2. ordens funksjon: ＝y ((x)) ++a ⋅b x ⋅c x2

Grensebetingelser: ＝y ((0)) 0 ＝y ((L)) −e ＝y' ((L)) 0

＝y ((0)) 0 gir ＝a 0

＝y ((L)) −e gir ＝−e +⋅L b ⋅c L2

＝b −――−eL

⋅c L

＝y' ((x)) +b ⋅⋅2 c x

＝y' ((L)) 0 gir ＝0 +b ⋅⋅2 c L

＝0 +−――−eL

⋅c L ⋅⋅2 c L

＝c ――e

L2

＝＝b −――−eL

―eL

――⋅−2 eL

Setter inn parametere for kabelbane fra opplegg 1 til felt A.

Vertikal høyde på kabelbane:

≔e 414 mm

Horisontal lengde på kabelbane:

≔L 7000 mm

Funksjonens horisontale variabel:

≔x , ‥0 mm 0.1 mm L


Page 1 of 11

Kabelbanens funksjon fra NA til felt:

≔yNA.F ((x)) +⋅――⋅−2 eL

x ⋅――e

L2x2

-417

01400 2100 2800 3500 4200 4900 5600 63000 700 7000

((x)) ((mm))

yNA.F ((x)) ((mm))

Finner vinkel ved opplegg og radius til funksjonen.

Vinkel ved opplegg 1: ≔θ1 =⋅−2 ―eL

−0.118 rad

Vinkelendring per meter i kabelbane fra opplegg 1 til felt A:

≔θ'1 =――⋅2 e

L20.017 ―

1m

Radius av kabelbane: ≔R1 =

|||||――――⎛⎝ +1 θ1

2 ⎞⎠

―3

2

θ'1

|||||60.425 m

Kontrollerer at radius er større enn den mest konservative minimum radiusen fra ETA-13/0815.Radiusen hentes fra anneks 7 for = kanal type 1.Ap 150 mm2

≔Rmin 7.5 m

>R1 Rmin !OK

Bane fra felt til opplegg:


Page 2 of 11

Bane fra felt til opplegg:

Banen består av to 2.ordens funksjoner. Det er ikke gitt no informasjon om hvor disse splittes. Det er derimot gitt rotasjon og posisjon ved start og ende punkt i felt og opplegg, samt et gitt punkt hvor kabelbanen krysser NA.

Skal finne infleksjonspuktet. Punktet hvor kabelens bane kan deles i to 2.ordens funksjoner.

Antar at infleksjonspunktet er etter kryssingen av NA. Dette gjør at funksjonen fra felt til infleksjonspunkt kan defineres på samme måte som fra felt til NA.

Finner infleksjonspunktet:

Fra Felt til NA (funksjon 1):


Grensebetingelser: ＝y ((0)) 0 ＝y ((L)) e ＝y' ((0)) 0

＝y ((0)) 0 gir ＝a 0

＝y' ((x)) +b ⋅⋅2 c x

＝y' ((0)) 0 gir ＝b 0

＝y ((L)) e gir ＝e ⋅c L2

＝c ――e

L2

Setter inn rette parametere og variabler.

＝y1 ⎛⎝x1⎞⎠ ⋅――e1

L12x12 ＝y'1 ⎛⎝x1⎞⎠ ⋅――

⋅2 e1

L12x1

Fra NA til opplegg (funksjon 2):


Page 3 of 11

Fra NA til opplegg (funksjon 2):


Grensebetingelser: ＝y ((0)) 0 ＝y ((L)) e ＝y' ((L)) 0

＝y ((0)) 0 gir ＝a 0

＝y' ((x)) +b ⋅⋅2 c x

＝y' ((L)) 0 gir ＝0 +b ⋅⋅2 c L

＝b ⋅⋅−2 c L

＝y ((L)) e gir ＝e +⋅⋅−2 c L2 ⋅c L2

＝c ――−e

L2

＝b ――⋅2 eL

Setter inn rette parametere og variabler.

＝y2 ⎛⎝x2⎞⎠ −⋅――⋅2 e2L2

x2 ⋅――e

L22x22 ＝y'2 ⎛⎝x2⎞⎠ −――

⋅2 e2L2

⋅――⋅2 e2

L22x2

For å finne innfleksjonspunktet må = . Samtidig må også funksjonene y'1 y'2være kontinuelrige. Må altså finne hvor i funksjon 1 kan funksjon 2 starte for å tilfredstille dette.

Bruker 3 koordinatsystem for dette problemet. Kordinatsystem 1 som er ved start av funksjon 1, koordinatsystem 2 som er ved kryssingen av NA og koordinatsystem 3 som er ved start av funksjon 2 når den beveger seg langs funksjon 1.

＝h +−e2 y1 e1 ＝x1 +L1 x2 ＝＝y1 ⋅――e1

L12x12 ⋅――

e1

L12⎛⎝ +L1 x2⎞⎠

2＝L −L2 x2

＝y'2 ⎛⎝x3⎞⎠ −――⋅2 hL

⋅――⋅2 h

L2x3 ＝＝y'2 ⎛⎝ ＝x3 0⎞⎠ ――

⋅2 hL

―――――――――

⋅2⎛⎜⎜⎝

+−e2 ⋅――e1

L12⎛⎝ +L1 x2⎞⎠

2e1⎞⎟⎟⎠

−L2 x2

＝y'1 ⎛⎝x1⎞⎠ ⋅――⋅2 e1

L12x1 ＝y'1 ⎛⎝x2⎞⎠ ⋅――

⋅2 e1

L12⎛⎝ +L1 x2⎞⎠


Page 4 of 11

＝y'1 ⎛⎝x2⎞⎠ y'2 ⎛⎝ ＝x3 0⎞⎠

＝⋅⎛⎜⎜⎝

+――⋅2 e1L1

⋅――⋅2 e1

L12x2⎞⎟⎟⎠⎛⎝ −L2 x2⎞⎠ +−−−⋅2 e2 ⋅2 e1 ―――

⋅⋅4 e1 x2L1

――――⋅⋅2 e1 x2

2

L12

⋅2 e1

＝+−―――⋅⋅2 e1 L2

L1―――

⋅⋅2 e1 x2L1

⋅――――⋅⋅⋅2 e1 L2 x2

L12

−――――⋅⋅2 e1 x2

2

L12

+−−−⋅2 e2 ⋅2 e1 ―――⋅⋅4 e1 x2

L1――――

⋅⋅2 e1 x22

L12

⋅2 e1

＝+−―――⋅⋅2 e1 L2

L1―――

⋅⋅2 e1 x2L1

――――⋅⋅⋅2 e1 L2 x2

L12

−⋅2 e2 ―――⋅⋅4 e1 x2

L1

＝⋅x2⎛⎜⎜⎝

+―――⋅⋅2 e1 L2

L12

――⋅2 e1L1

⎞⎟⎟⎠

−⋅2 e2 ―――⋅⋅2 e1 L2

L1

≔e1 414 mm ≔e2 256 mm ≔L1 7500 mm ≔L2 3500 mm

≔x2 =――――――

−⋅2 e2 ―――⋅⋅2 e1 L2

L1

+―――⋅⋅2 e1 L2

L12

――⋅2 e1L1

775.692 mm

Dette gir disse to funksjonene:

Fra Felt til infleksjonspunkt:

≔y1 ⎛⎝x1⎞⎠ ⋅――e1

L12x12 ≔y'1 ⎛⎝x1⎞⎠ ⋅――

⋅2 e1

L12x1 ≔x1 , ‥0 1 mm ⎛⎝ +L1 x2⎞⎠

0.10.150.20.250.30.350.40.450.5

00.05

0.55

1.7 2.55 3.4 4.25 5.1 5.95 6.8 7.650 0.85 8.5

x1 ((m))

y1 ⎛⎝x1⎞⎠ ((m))

Fra infleksjonspunkt til opplegg:


Page 5 of 11

Fra infleksjonspunkt til opplegg:

≔h =+−e2 y1 ⎛⎝ +L1 x2⎞⎠ e1 166 mm

≔L =−L2 x2 2724 mm

≔y2 ⎛⎝x3⎞⎠ −⋅――⋅2 hL

x3 ⋅――h

L2x32 ≔y'2 ⎛⎝x3⎞⎠ −――

⋅2 hL

⋅――⋅2 h

L2x3 ≔x3 , ‥0 1 mm L

0.030.0450.060.0750.090.1050.120.1350.150.165

00.015

0.18

0.5 0.75 1 1.25 1.5 1.75 2 2.25 2.50 0.25 2.75

x3 ((m))

y2 ⎛⎝x3⎞⎠ ((m))

Kontrollerer posisjon og vinkel ved infleksjonpunkt:

=y1 ⎛⎝ +L1 x2⎞⎠ 0.50406486 m =y'1 ⎛⎝ +L1 x2⎞⎠ 0.12181818

=+y2 ((0 mm)) y1 ⎛⎝ +L1 x2⎞⎠ 0.50406486 m =y'2 ((0 mm)) 0.12181818

Ser at funksjonen nå er kontinuelrig for posisjon og den første deriverte. Alle betingelser er oppfylt.

Kontrollerer radius for funksjon fra Felt til infleksjonspunkt:

≔θ =y'1 ⎛⎝ +L1 x2⎞⎠ 0.122 ≔θ' =――⋅2 e1

L12

0.015 ―1m

≔R =

|||||――――⎛⎝ +1 θ2 ⎞⎠

―3

2

θ'

|||||69.5 m

>R Rmin !OK

Kontrollerer radius for funksjon fra infleksjonspunkt til opplegg:

≔θ =y'2 ((0 mm)) 0.122 ≔θ' =――⋅−2 h

L2−0.045 ―

1m

≔R =

|||||――――⎛⎝ +1 θ2 ⎞⎠

―3

2

θ'

|||||22.9 m

>R Rmin !OK

Det vil bli noe mindre radius ved opplegg 3, men ved så god margin på minimum radius så vil det ikke være nødvendig å kontrollere dette punktet også.


Page 6 of 11

Infleksjonspunkt mellom opplegg 2 og felt B:

Bruker formel fra infleksjonspunkt mellom opplegg 2 og felt A.

Antar at eksentrisiteten skal skal være maksimal som ved felt A.

≔L4 7000 mm

≔x4 =――――――

−⋅2 e2 ―――⋅⋅2 e1 L2

L4

+―――⋅⋅2 e1 L2

L42

――⋅2 e1L4

552.335 mm

Vinkelendringer langs kabelgruppe 1:

Opplegg 1 til felt A:

≔L1A 7000 mm ≔θ'1A =――⋅2 e1

L1A20.016898 ―

1m

≔R1A =

||||||――――――

⎛⎝ +1 ⎛⎝ ⋅θ'1A L1A⎞⎠

2 ⎞⎠

―3

2

θ'1A

||||||60.4 m

Felt A:

≔LA 2000 mm ≔θ'A 0

Felt A til infleksjonspunkt:

≔LAI +L1 x2 ≔θ'AI =――⋅2 e1

L12

0.01472 ―1m

=LAI 8276 mm ≔RAI =

||||||――――――

⎛⎝ +1 ⎛⎝ ⋅θ'AI LAI⎞⎠

2 ⎞⎠

―3

2

θ'AI

||||||69.5 m

Infleksjonspunkt til opplegg 2:

≔LI2 −L2 x2 ≔θ'I2 =――⋅−2 h

LI22

−0.044715 ―1m

=LI2 2724 mm ≔RI2 =

||||||――――――

⎛⎝ +1 ⎛⎝ ⋅θ'I2 LI2⎞⎠

2 ⎞⎠

―3

2

θ'I2

||||||22.9 m


Page 7 of 11

Opplegg 2 til infleksjonspunkt:

≔L2I =−L2 x4 2948 mm ≔LIB =+7000 mm x4 7552 mm

≔h2 =+−e2 ⋅――e1

L42LIB

2 e1 188 mm

≔θ'2I =―――⋅−2 h2

L2I2

−0.043295 ―1m

≔R2I =

||||||――――――

⎛⎝ +1 ⎛⎝ ⋅θ'2I L2I⎞⎠

2 ⎞⎠

―3

2

θ'2I

||||||23.7 m

Infleksjonspunkt til felt B:

≔LIB +7000 mm x4 ≔θ'IB =――⋅2 e1

L1A20.016898 ―

1m

=LIB 7552 mm ≔RIB =

||||||――――――

⎛⎝ +1 ⎛⎝ ⋅θ'IB LIB⎞⎠

2 ⎞⎠

―3

2

θ'IB

||||||60.6 m

Felt B:

≔LB 4000 mm ≔θ'B 0

Felt B til infleksjonspunkt:

≔LBI +7000 mm x4 ≔θ'BI =――⋅2 e1

L1A20.016898 ―

1m

=LBI 7552 mm ≔RBI =

||||||――――――

⎛⎝ +1 ⎛⎝ ⋅θ'BI LBI⎞⎠

2 ⎞⎠

―3

2

θ'BI

||||||60.6 m


≔LI3 =L2I 2948 mm ≔θ'I3 =θ'2I −0.043295 ―1m

≔RI3 =

||||||――――――

⎛⎝ +1 ⎛⎝ ⋅θ'I3 LI3⎞⎠

2 ⎞⎠

―3

2

θ'I3

||||||23.7 m


≔L3I =LI2 2724 mm ≔θ'3I =θ'I2 −0.044715 ―1m

≔R3I =

||||||――――――

⎛⎝ +1 ⎛⎝ ⋅θ'3I L3I⎞⎠

2 ⎞⎠

―3

2

θ'3I

||||||22.9 m

Infeksjonspunkt til passivanker:

≔LIP −4000 mm L3I ≔θ'IP =――⋅2 e1

L12

0.01472 ―1m

=LIP 1276 mm ≔RIP =

||||||――――――

⎛⎝ +1 ⎛⎝ ⋅θ'IP LIP⎞⎠

2 ⎞⎠

―3

2

θ'IP

||||||68 m

Kontrollerer at vinkelendringen er null fra felt A til felt B:


Page 8 of 11

Kontrollerer at vinkelendringen er null fra felt A til felt B:

=+++⋅LAI θ'AI ⋅LI2 θ'I2 ⋅L2I θ'2I ⋅LIB θ'IB ⋅−1.11 10−16 Tilnærmet 0. OK!

Kontrollerer at vinkelendringen er null fra opplegg 2 til opplegg 3:

=+++⋅L2I θ'2I ⋅LIB θ'IB ⋅LBI θ'BI ⋅LI3 θ'I3 ⋅−1.11 10−16 Tilnærmet 0. OK!

Vinkelendringen for kabelgruppe 2:

Kabelgruppen er symertisk av kabelgruppe 1 med en liten forskjell i felt C i forhold til felt B.

Opplegg 4 til felt C:

≔L4C.2 =L1A 7000 mm ≔θ'4C.2 =θ'1A 0.016898 ―1m

≔R4C.2 =R1A 60.4 m

Felt C:

≔LC.2 1000 mm ≔θ'C.2 0

Felt C til infleksjonspunkt:

≔LCI.2 =LAI 8276 mm ≔θ'CI.2 =θ'AI 0.01472 ―1m

≔RCI.2 =RAI 69.5 m


≔LI3.2 =LI2 2724 mm ≔θ'I3.2 =θ'I2 −0.044715 ―1m

≔RI3.2 =RI2 22.9 m


≔L3I.2 =L2I 2948 mm ≔θ'3I.2 =θ'2I −0.043295 ―1m

≔R3I.2 =R2I 23.7 m

Infleksjonspunkt til felt B:

≔LIB.2 =LIB 7552 mm ≔θ'IB.2 =θ'IB 0.016898 ―1m

≔RIB.2 =RIB 60.6 m

Felt B:

≔LB.2 4000 mm ≔θ'B.2 0



Page 9 of 11


≔LBI.2 =LBI 7552 mm ≔θ'BI.2 =θ'BI 0.016898 ―1m

≔RBI.2 =RBI 60.6 m


≔LI2.2 =L2I 2948 mm ≔θ'I2.2 =θ'2I −0.043295 ―1m

≔RI2.2 =R2I 23.7 m


≔L2I.2 =LI2 2724 mm ≔θ'2I.2 =θ'I2 −0.044715 ―1m

≔R2I.2 =RI2 22.9 m

Infeksjonspunkt til passivanker:

≔LIP.2 =LIP 1276 mm ≔θ'IP.2 =θ'IP 0.01472 ―1m

≔RIP.2 =RIP 68 m

Kontrollerer at vinkelendringen er null fra felt C til felt B:

=+++⋅LCI.2 θ'CI.2 ⋅LI3.2 θ'I3.2 ⋅L3I.2 θ'3I.2 ⋅LIB.2 θ'IB.2 ⋅−1.11 10−16 Tilnærmet 0. OK!

Kontrollerer at vinkelendringen er null fra opplegg 3 til opplegg 2:

=+++⋅L3I.2 θ'3I.2 ⋅LIB.2 θ'IB.2 ⋅LBI.2 θ'BI.2 ⋅LI2.2 θ'I2.2 ⋅−1.11 10−16 Tilnærmet 0. OK!

Lengde av kabelgruppe 1:

Spenn 1:

≔Lk1.1 =+++|| ⋅⋅R1A θ'1A L1A|| LA || ⋅⋅RAI θ'AI LAI|| || ⋅⋅RI2 θ'I2 LI2|| 20.393 m

Spenn 2:

≔Lk1.2 =++++|| ⋅⋅R2I θ'2I L2I|| || ⋅⋅RIB θ'IB LIB|| LB || ⋅⋅RBI θ'BI LBI|| || ⋅⋅RI3 θ'I3 LI3|| 25.515 m

Spenn 3:

≔Lk1.3 =+|| ⋅⋅R3I θ'3I L3I|| || ⋅⋅RIP θ'IP LIP|| 4.062 m

Total lenge av kabelgruppe 1:

≔Lk1 =++Lk1.1 Lk1.2 Lk1.3 49.9698 m


Page 10 of 11

Lengde av kabelgruppe 2:

Spenn 1:

≔Lk2.1 =+|| ⋅⋅R2I.2 θ'2I.2 L2I.2|| || ⋅⋅RIP.2 θ'IP.2 LIP.2|| 4.062 m

Spenn 2:

≔Lk2.2 ++++|| ⋅⋅RI2.2 θ'I2.2 LI2.2|| || ⋅⋅RBI.2 θ'BI.2 LBI.2|| LB || ⋅⋅RIB.2 θ'IB.2 LIB.2|| || ⋅⋅R3I.2 θ'3I.2 L3I.2||

=Lk2.2 25.515 m

Spenn 3:

≔Lk2.3 =+++|| ⋅⋅R4C.2 θ'4C.2 L4C.2|| LC.2 || ⋅⋅RCI.2 θ'CI.2 LCI.2|| || ⋅⋅RI3.2 θ'I3.2 LI3.2|| 19.393 m

Total lenge av kabelgruppe 2:

≔Lk2 =++Lk2.1 Lk2.2 Lk2.3 48.9698 m

Kontroll av kabellengder:

Differansen skal i følge geometrien gitt i oppgaveteksten være 1 m. Altså kabelgruppe 1 skal være 1 m lengre.

=−Lk1 Lk2 1000 mm !OK

Differansen mellom horisontal spennkabellengde og banens lengde er på 0,97 m.Denne differanse er innenfor det en kan forvente og det kan konkluderes med at ingen stor feil har blitt gjort i beregningen av lengdene.


Page 11 of 11

Vedlegg G Spennkrafttap

Betong:

≔Ac 5700000 mm 2 ≔Ecm 36000 MPa

≔Ic 500052633000 mm 4 Hentes fra verifikasjon av egenvekt

Nødvendig herdetid: ≔t0 7 Tatt fra vedlegg C

Kryptall for 100 år: ≔φ100 1.6907 Tatt fra vedlegg E

Svinntøyning: ≔εcs ⋅−2.959 10−4 Tatt fra vedlegg E

Spennarmering:

Armeringsareal per kabel: ≔Ap =⋅12 150 mm 2 1800 mm 2 Iht oppgavetekst

≔Ep 195000 MPa ≔fpk 1860 MPa ≔fp0.1k 1640 MPa

≔σp.max =min ⎛⎝ ,⋅0.8 fpk ⋅0.9 fp0.1k⎞⎠ 1476 MPa Iht EK2-1-1: 5.10.2.1(1) og NA.5.10.2.1(1)

≔σpm0 =min ⎛⎝ ,⋅0.75 fpk ⋅0.85 fp0.1k⎞⎠ ⎛⎝ ⋅1.394 103 ⎞⎠ MPa

Tøyning i spennstålet: ≔εp0 =―――σp.maxEp

⋅7.5692 10−3

Umiddelbare tap:

Nødvendig oppspenningskraft før låsetap:

Friksjonskoeffisient: ≔μ 0.18 rad−1 Iht ETA-13/0815anneks 3

Faktor for utilsiktet vinkelendring:

≔k 0.005 ――radm

Iht ETA-13/0815anneks 3

Lengde av kabelgruppe 1: ≔Lk1 49.9698 m Tatt fra vedlegg F

Låseglidning: ≔ΔLlaas 6 mm Iht oppgavetekst

≔εlaas.1 =―――ΔLlaasLk1

⋅1.2007 10−4


Page 1 of 11

≔ΔLlaas 6 mm ≔Lk1 49.9698 m ≔εlaas.1 =―――ΔLlaasLk1

⋅1.2007 10−4

≔θ'1A 0.016898 ―1m

≔Lk2 48.9698 m ≔εlaas.2 =―――ΔLlaasLk2

⋅1.2252 10−4

≔Pm.0 =⋅⋅σpm0 Ap 6 15055.2 kN ≔Pmax =⋅⋅σp.max Ap 6 15940.8 kN

≔ΔPsl.0 =⋅Pm.0 ――εlaas.1εp0

238.8 kN ≔ΔPsl.64 =⋅Pm.0 ――εlaas.2εp0

243.7 kN

≔xlaas.0 =――――――⋅0.5 ΔPsl.0⋅⋅Pm.0 μ ⎛⎝ +θ'1A k⎞⎠

2.012 m ≔xlaas.64 =――――――⋅0.5 ΔPsl.64⋅⋅Pm.0 μ ⎛⎝ +θ'1A k⎞⎠

2.053 m

Største oppspenningkraft befinner seg hvor låsetapet stopper å ha innvirkning. Ca. 2 m fra hvert aktivt anker.

For å kompensere for låsetapet økes oppspenningskraften slik at kraften oppstår ved Pm.0ca. 2 m inn fra hvert aktivt anker. Setter forenklet oppspenningskraften lik ved begge de aktive ankerene. Kraften blir satt for aktivt anker ved akse 1.

≔P =+Pm.0 ――ΔPsl.02

15174.6 kN <P Pmax !OK

Kontroll for oppspenningskraft:

≔P2 =⋅P e ⋅⋅−μ xlaas.0 ⎛⎝ +θ'1A k⎞⎠ 15054.7 kN

≔P62 =⋅P e ⋅⋅−μ xlaas.64 ⎛⎝ +θ'1A k⎞⎠ 15052.3 kN

Kraften er mindre enn og oppspenningkraften ved jekk er akseptabel.Pm.0 P0

Totalt umiddelbart spennkrafttap i snitt A:

≔θ1A 0.118286 Tatt fra vedlegg F

≔PA =⋅P e ⋅−μ ⎛⎝ +θ1A ⋅9 m k⎞⎠ 14735.1 kN

Totalt umiddelbart spennkrafttap i snitt B:

≔PB 26431.1 kN Tatt fra vedlegg F


Page 2 of 11

Tidsavhengige tap:Tapene blir beregnet for 100 år.

Kryptap snitt A (stadium I):

Tapet blir differanse mellom spenningen i spennarmeringen for korttidslast og langtidslast.Den lille differanse skyldes tyngdepunkt forskjellen mellom E-modulen for kort- og langtidslast.


Langtids E-modul: ≔Ec.eff =―――Ecm+1 φ100

13379 MPa Iht EK2-1-1:(7.20)

Effektivt arealtreghetsmoment:

Verdier er tatt fra rapport kapittel om bruddgrense tabell for effektiv flensbredde.

≔Ic.A +++――――⋅8500 3003

12⋅⋅8500 300 (( −750 573.7))

2――――

⋅4500 7003

12⋅⋅4500 700 (( −350 573.7))

2

≔Ic.A =⋅Ic.A mm 4 384639633000 mm 4

Effektivt areal: ≔Ac.A =⋅(( +⋅8500 300 ⋅4500 700)) mm 2 5700000 mm 2

Moment fra SLS-PERM for snitt A:

≔MA ⋅3618.75 kN m Tatt fra Robot. SLS-PERM uten langtidvirkninger. (strekk UK)

Senter til effektivt tversnitt i snitt A:

≔yA 573.7 mm Tatt fra rapport kapittel bruddgrense tabell effektiv flensbredde.

Overdekning UK: ≔cnom.UK 65 mm Tatt fra vedlegg B.

Byggemål for armeringsjern ø20:

≔ϕ20 25 mm Iht SVV N400: tabell 7.3.

Ytre diameter for kabelkanal

≔ϕp 90 mm Iht oppgavetekst.

Eksentrisitet til spennkabel:

≔eA =−−−yA cnom.UK ⋅2 ϕ20 ―ϕp2

413.7 mm

Korttidslast:


Page 3 of 11

Korttidslast:

Formler er tatt fra formelark Betongkonstruksjoner 2 og Betongkonstruksjoner av Svein Ivar Sørensen.

≔Ap.A =⋅Ap 6 10800 mm 2

≔η =――EpEcm

5.417 ≔At =+Ac.A ⋅(( −η 1)) Ap.A 5747700 mm 2

≔yt =―――――⋅⋅(( −η 1)) Ap.A eA

At3.4 mm

≔It =++Ic.A ⋅Ac.A yt2 ⋅⋅(( −η 1)) Ap.A ⎛⎝ −eA yt⎞⎠

2392735627125 mm 4

≔Wt =―――It−eA yt

957269046 mm 3 ≔WUK =―――It−yA yt

688687620 mm 3

≔P0.A' =PA 14735.1 kN

Aksialkraft fra spennkraft: ≔Nt =−P0.A' −14735.1 kN

Spenning ved i eAbetongen fra korttidslast:

≔σc.t.k =+―NtAt

――MA

Wt

1.217 MPa

Spenning ved i eUKbetongen fra korttidslast:

≔σc.UK.k =+―NtAt

――MA

WUK

2.691 MPa

Tøyninger ved i eAbetongen fra korttidslast:

≔εc.t.k =――σc.t.kEcm

⋅3.38 10−5

Langtidslast:


≔η =――EpEc.eff

14.575 ≔At =+Ac.A ⋅(( −η 1)) Ap.A 5846605.307 mm 2

≔yt =―――――⋅⋅(( −η 1)) Ap.A eA

At10.4 mm

≔It =++Ic.A ⋅Ac.A yt2 ⋅⋅(( −η 1)) Ap.A ⎛⎝ −eA yt⎞⎠

2409101624520 mm 4


1014319101 mm 3 ≔WUK =―――It−yA yt

726224899 mm 3


Page 4 of 11


1014319101 mm 3 ≔WUK =―――It−yA yt

726224899 mm 3

Aksialkraft fra spennkraft: ≔Nt =−P0.A' −14735.1 kN

Spenning ved i eAbetongen fra langtidslast:

≔σc.t.l =+―NtAt

――MA

Wt

1.047 MPa

Spenning ved i UK av betongen fra langtidslast:

≔σc.UK.l =+―NtAt

――MA

WUK

2.463 MPa

Tøyninger ved fra eAlangtidslast:

≔εc.t.l =――σc.t.lEc.eff

⋅7.828 10−5

Kryptap i spennarmering ved snitt A:

Spenningsendring for korttidslast:

≔Δσp.k =⋅εc.t.k Ep 6.59 MPa

Spenningsendring for langtidslast:

≔Δσp.l =⋅εc.t.l Ep 15.265 MPa

Prosentvis endring i spennkraft fra kryp:

≔Δkryp.A =⋅⋅―――――|| −Δσp.l Δσp.k||

P0.A'Ap.A 100 0.6358 0.64 %

Svinntap snitt A:


Kraftendring i spennarmeringen fra svinntøyning:

≔Ns =⋅⋅−εcs Ep Ap.A 623.165 kN

≔Ms =⋅Ns ⎛⎝ −eA yt⎞⎠ 251.339 ⋅kN m

Tøyningsendring ved eAfra svinn:

≔Δεp.svinn =++εcs ―――Ns⋅Ec.eff At

――――Ms

⋅Ec.eff Wt

⋅−2.694 10−4

Tøyningsendring ved eUKfra svinn:

≔Δεc.svinn =++εcs ―――Ns⋅Ec.eff At

――――Ms

⋅Ec.eff WUK

⋅−2.621 10−4

≔σc.svinn.A =⋅⎛⎝ −Δεc.svinn εcs⎞⎠ Ec.eff 0.4527 MPaSpenningsendring i UK betong fra svinn:


Page 5 of 11

Spenningsendring i UK betong fra svinn:

≔σc.svinn.A =⋅⎛⎝ −Δεc.svinn εcs⎞⎠ Ec.eff 0.4527 MPa

Spenningsendring i spennarmering fra svinn:

≔Δσp.svinn.A =⋅Δεp.svinn Ep −52.5356 MPa

Prosentvis endring i spennkraft fra svinn:

≔Δsvinn.A =⋅⋅――――||Δσp.svinn.A||

P0.A'Ap.A 100 3.8506 3,85%

Relaksasjonstap snitt A:

Alt er gjort Iht EK2-1-1:3.3.2(7)

Relaksasjonsklasse 2 ≔ρ1000 2.5

Tiden etter oppspenning i timer (100 år):

≔t =⋅⋅⎛⎝ −100 t0⎞⎠ 365 24 814680

≔σpi =σpm0 1394 MPa ≔μ =――σpifpk

0.749

Spenningsendring i spennarmering fra relaksasjon:

Spenningen er gjort iht EK2-1-1:(3.29) og tar hensyn til en reduksjonsfaktor på 0,8 iht EK2-1-1:5.10.6(1)(b).

≔Δσpr.A =⋅⋅⋅⋅⋅σpi 0.66 ρ1000 e⋅9.1 μ ⎛⎜⎝――t1000

⎞⎟⎠

⋅0.75 (( −1 μ))

10−5 74.245 MPa


≔Δr.A =⋅⋅――――⋅0.8 Δσpr.AP0.A'

Ap.A 100 4.3534 4,35%

Spenningsendring i UK betong fra relaksasjon:

≔Δσcr.A =+――――⋅Δσpr.A Ap.A

At―――――――

⋅⋅Δσpr.A Ap.A ⎛⎝ −eA yt⎞⎠WUK

0.582 MPa


Page 6 of 11

Totalt tidsavhengig tap snitt A:

Total strekkspenning UK betong:

≔σc.UK.A =++Δσcr.A σc.svinn.A σc.UK.l 3.498 MPa

Maksimal strekk spenning i betongen:

≔fctm 3.8 MPa

=σc.UK.k 2.691 MPa >fctm σc.UK.k !OK >fctm σc.UK.A !OK

Stadium I beregninger kan benyttes for SLS-PERM uten langtidseffekter.

Prosentvis endring i spennkraft:

≔ΔA =++Δr.A Δsvinn.A Δkryp.A 8.84 8.84%

Kryptap snitt B (stadium I):

Tapet blir differanse mellom spenningen i spennarmeringen for korttidslast og langtidslast.Den lille differanse skyldes tyngdepunkt forskjellen mellom E-modulen for kort- og langtidslast.


Langtids E-modul: ≔Ec.eff =―――Ecm+1 φ100

13379 MPa Iht EK2-1-1:(7.20)

Effektivt arealtreghetsmoment:

Verdier er tatt fra rapport kapittel om bruddgrense tabell for effektiv flensbredde.

≔Ic.B +++――――⋅6620 3003

12⋅⋅6620 300 (( −750 543.3))

2――――

⋅4500 7003

12⋅⋅4500 700 (( −350 543.3))

2

≔Ic.B =⋅Ic.B mm 4 346071035040 mm 4

Effektivt areal: ≔Ac.B =⋅(( +⋅6620 300 ⋅4500 700)) mm 2 5136000 mm 2

Oppspenningskraft etter umiddelbare tap:

≔P0.B' 26431.1 kN Tatt fra vedlegg H.

Moment fra SLS-PERM for snitt B:

≔MB ⋅2232.6 kN m Tatt fra Robot. SLS-PERM uten langtidvirkninger. (strekk OK)

≔yB 543.3 mmSenter til effektivt tversnitt i snitt B:

Tatt fra rapport kapittel bruddgrense tabell effektiv flensbredde.


Page 7 of 11

Senter til effektivt tversnitt i snitt B:

≔yB 543.3 mm Tatt fra rapport kapittel bruddgrense tabell effektiv flensbredde.

Overdekning OK: ≔cnom.OK 75 mm Tatt fra vedlegg B.

Eksentrisitet til spennkabel:

≔eB =−−−−1000 mm yB cnom.OK ⋅2 ϕ20 ―ϕp2

286.7 mm

Korttidslast:


≔Ap.B =⋅Ap 12 21600 mm 2

≔η =――EpEcm

5.417 ≔At =+Ac.B ⋅(( −η 1)) Ap.B 5231400 mm 2

≔yt =―――――⋅⋅(( −η 1)) Ap.B eB

At5.2 mm

≔It =++Ic.B ⋅Ac.B yt2 ⋅⋅(( −η 1)) Ap.B ⎛⎝ −eB yt⎞⎠

2353769618949 mm 4

≔Wt =―――It−eB yt

1256856669 mm 3 ≔WOK =――――――It

−−1000 mm yB yt783591965 mm 3

Aksialkraft fra spennkraft: ≔Nt =−P0.B' −26431.1 kN

Spenning ved i eBbetongen fra korttidslast:

≔σc.t.k =+―NtAt

――MB

Wt

−3.276 MPa

Spenning ved i OK av betongen fra korttidslast:

≔σc.OK.k =+―NtAt

――MB

WOK

−2.203 MPa

Tøyninger ved fra eBkorttidslast:

≔εc.t.k =――σc.t.kEcm

⋅−9.1 10−5

Langtidslast:


≔η =――EpEc.eff

14.575 ≔At =+Ac.B ⋅(( −η 1)) Ap.B 5429210.613 mm 2

≔yt =―――――⋅⋅(( −η 1)) Ap.B eB

At15.5 mm


Page 8 of 11

≔yt =―――――⋅⋅(( −η 1)) Ap.B eB

At15.5 mm

≔It =++Ic.B ⋅Ac.B yt2 ⋅⋅(( −η 1)) Ap.B ⎛⎝ −eB yt⎞⎠

2368870433960 mm 4

≔Wt =―――It−eB yt

1360059248 mm 3 ≔WOK =――――――It

−−1000 mm yB yt836030566 mm 3

Aksialkraft fra spennkraft: ≔Nt =−P0.B' −26431.1 kN

Spenning ved i eBbetongen fra langtidslast:

≔σc.t.l =+―NtAt

――MB

Wt

−3.227 MPa

Spenning ved i OK av betongen fra langtidslast:

≔σc.OK.l =+―NtAt

――MB

WUK

−1.794 MPa

Tøyninger ved i eBbetongen fra langtidslast:

≔εc.t.l =――σc.t.lEc.eff

⋅−2.412 10−4

Kryptap i spennarmering ved snitt B:

Spenningsendring for korttidslast:

≔Δσp.k =⋅εc.t.k Ep −17.745 MPa

Spenningsendring for langtidslast:

≔Δσp.l =⋅εc.t.l Ep −47.029 MPa

prosentvis endring i spennkraft fra kryp:

≔Δkryp.B =⋅⋅―――――|| −Δσp.l Δσp.k||

P0.B'Ap.B 100 2.3931 2,39 %

Svinntap snitt B:


Kraftendring i spennarmeringen fra svinntøyning:

≔Ns =⋅⋅−εcs Ep Ap.B 1246.3 kN

≔Ms =⋅Ns ⎛⎝ −eB yt⎞⎠ 338 ⋅kN m


――――Ms

⋅Ec.eff Wt

⋅−2.602 10−4


Page 9 of 11

Tøyningsendring ved eBfra svinn:


――――Ms

⋅Ec.eff Wt

⋅−2.602 10−4

Tøyningsendring ved UK fra svinn:

≔Δεc.svinn =++εcs ―――Ns⋅Ec.eff At

――――Ms

⋅Ec.eff WOK

⋅−2.485 10−4

Spenningsendring i UK betong fra svinn:

≔σc.svinn.B =⋅⎛⎝ −Δεc.svinn εcs⎞⎠ Ec.eff 0.6339 MPa

Spenningsendring i spennarmering fra svinn:

≔Δσp.svinn.B =⋅Δεp.svinn Ep −50.73 MPa


≔Δsvinn.B =⋅⋅――――||Δσp.svinn.B||

P0.B'Ap.B 100 4.146 4,15%

Relaksasjonstap snitt B:

Alt er gjort Iht EK2-1-1:3.3.2(7)

Spenningsendring i spennarmering fra relaksasjon:

Spenningen er gjort iht EK2-1-1:(3.29) og tar hensyn til en reduksjonsfaktor på 0,8 iht EK2-1-1:5.10.6(1)(b).

≔Δσpr.B =Δσpr.A 74.245 MPa


≔Δr.B =⋅⋅―――Δσpr.BP0.B'

Ap.B 100 6.0674 6,07%

Spenningsendring i UK betong fra relaksasjon:

≔Δσcr.B =+――――⋅Δσpr.B Ap.B

At―――――――

⋅⋅Δσpr.B Ap.B ⎛⎝ −eB yt⎞⎠WOK

0.816 MPa


Page 10 of 11

Totalt tidsavhengig tap snitt B:

Total strekkspenning OK betong:

≔σc.OK.B =++Δσcr.B σc.svinn.B σc.OK.l −0.345 MPa

Maksimal strekk spenning i betongen:

≔fctm 3.8 MPa

=σc.UK.k 2.691 MPa >fctm σc.UK.k !OK >fctm σc.UK.A !OK

Stadium I beregninger kan benyttes for SLS-PERM uten langtidseffekter.

Prosentvis endring i spennkraft:

≔ΔB =++Δr.B Δsvinn.B Δkryp.B 12.606 12,61 %


Page 11 of 11

Vedlegg H Ekvivalente krefter

Ekvivalente krefter fra spennarmering:Lager kreftene for øvre grense for oppspenningskraft. Disse vil inngå i lasttilfellet PT og langtidstapene i lasttilfellet CSR.

≔σpm0 1394 MPa ≔Ap.A 10800 mm 2

≔Pm.0 =⋅σpm0 Ap.A 15055.2 kN

Friksjonskoeffisient: ≔μ 0.18 rad−1 Iht ETA-13/0815anneks 3

Faktor for utilsiktet vinkelendring:

≔k 0.005 ――radm

Iht ETA-13/0815anneks 3

Vinkelendringer:

≔θ'1A 0.016898 ―1m

≔L1A 7000 mm ≔θ1A =⋅θ'1A L1A 0.118

≔θ'A 0 ≔LA 2000 mm

≔θ'AI 0.01472 ―1m

≔LAI 8276 mm ≔θAI =⋅θ'AI LAI 0.122

≔θ'I2 −0.044715 ―1m

≔LI2 2724 mm ≔θI2 =|| ⋅θ'I2 LI2|| 0.122

≔θ'2I −0.043295 ―1m

≔L2I 2948 mm ≔θ2I =|| ⋅θ'2I L2I|| 0.128

≔θ'IB 0.016898 ―1m

≔LIB 7552 mm ≔θIB =⋅θ'IB LIB 0.128

≔θ'B 0 ≔LB 4000 mm

≔θ'IP 0.01472 ―1m

≔LIP 1276 mm ≔θIP =⋅θ'IP LIP 0.019

≔θ'C 0 ≔LC 1000 mm


Page 1 of 6

≔θ'C 0 ≔LC 1000 mm

≔Ep 195000 MPa ≔σp.max 1476 MPa ≔εp0 =―――σp.maxEp

0.008

≔ΔLlaas 6 mm ≔Lk1 49.9698 m ≔εlaas.1 =―――ΔLlaasLk1

⋅1.2007 10−4

≔Lk2 48.9698 m ≔εlaas.2 =―――ΔLlaasLk2

⋅1.2252 10−4

≔ΔPsl.0 =⋅Pm.0 ――εlaas.1εp0

238.8 kN ≔ΔPsl.64 =⋅Pm.0 ――εlaas.2εp0

243.7 kN

≔xlaas.0 =――――――⋅0.5 ΔPsl.0⋅⋅Pm.0 μ ⎛⎝ +θ'1A k⎞⎠

2.012 m ≔xlaas.64 =――――――⋅0.5 ΔPsl.64⋅⋅Pm.0 μ ⎛⎝ +θ'1A k⎞⎠

2.053 m

Krefter ved forskjellige punkter langs kabelbane for PT:

Namngitt etter avstand fra akse 1 og hvilke side av punktet (venstre/høyre).

≔P 15174.6 kN

≔P0 =−P ΔPsl.0 14935.8 kN

≔P2 =⋅P e ⋅⋅−μ xlaas.0 ⎛⎝ +θ'1A k⎞⎠ 15054.7 kN

≔P7 =⋅P e ⋅−μ ⎛⎝ +θ1A ⋅k 7 m⎞⎠ 14761.6 kN

≔P9 =⋅P e ⋅−μ ⎛⎝ +θ1A ⋅k 9 m⎞⎠ 14735.1 kN

≔P16.v =⋅P ⎛⎝e ⋅−μ ⎛⎝ +−+θ1A θAI θIP ⋅k 16 m⎞⎠⎞⎠ 14373.5 kN

≔P16.h =⋅P ⎛⎝ +e ⋅−μ ⎛⎝ +−+θ1A θAI θIP ⋅k 16 m⎞⎠ e ⋅−μ ⎛⎝ ++++++θ1A θAI ⋅2 θI2 ⋅2 θ2I ⋅2 θIB θIP ⋅k 48 m⎞⎠⎞⎠ 26484.1 kN

≔P17.3 =⋅P ⎛⎝ +e ⋅−μ ⎛⎝ ++θ1A θAI ⋅k 17.3 m⎞⎠ e ⋅−μ ⎛⎝ +++++θ1A θAI ⋅2 θI2 ⋅2 θ2I ⋅2 θIB ⋅k 46.7 m⎞⎠⎞⎠ 26474.1 kN

≔P20 =⋅P ⎛⎝ +e ⋅−μ ⎛⎝ +++θ1A θAI θI2 ⋅k 20 m⎞⎠ e ⋅−μ ⎛⎝ +++++θ1A θAI θI2 ⋅2 θ2I ⋅2 θIB ⋅k 44 m⎞⎠⎞⎠ 26429.8 kN

≔P22.9 =⋅P ⎛⎝ +e ⋅−μ ⎛⎝ ++++θ1A θAI θI2 θ2I ⋅k 22.9 m⎞⎠ e ⋅−μ ⎛⎝ +++++θ1A θAI θI2 θ2I ⋅2 θIB ⋅k 41.1 m⎞⎠⎞⎠ 26400.1 kN

≔P30.5 =⋅P ⎛⎝ +e ⋅−μ ⎛⎝ +++++θ1A θAI θI2 θ2I θIB ⋅k 30.5 m⎞⎠ e ⋅−μ ⎛⎝ +++++θ1A θAI θI2 θ2I θIB ⋅k 33.5 m⎞⎠⎞⎠ 26387.3 kN

≔P34.5 =⋅P ⎛⎝ +e ⋅−μ ⎛⎝ +++++θ1A θAI θI2 θ2I θIB ⋅k 34.5 m⎞⎠ e ⋅−μ ⎛⎝ +++++θ1A θAI θI2 θ2I θIB ⋅k 29.5 m⎞⎠⎞⎠ 26387.3 kN

≔P42.1 =⋅P ⎛⎝ +e ⋅−μ ⎛⎝ +++++θ1A θAI θI2 θ2I ⋅2 θIB ⋅k 42.1 m⎞⎠ e ⋅−μ ⎛⎝ ++++θ1A θAI θI2 θ2I ⋅k 21.9 m⎞⎠⎞⎠ 26400.8 kN


Page 2 of 6

≔P42.1 =⋅P ⎛⎝ +e ⋅−μ ⎛⎝ +++++θ1A θAI θI2 θ2I ⋅2 θIB ⋅k 42.1 m⎞⎠ e ⋅−μ ⎛⎝ ++++θ1A θAI θI2 θ2I ⋅k 21.9 m⎞⎠⎞⎠ 26400.8 kN

≔P45 =⋅P ⎛⎝ +e ⋅−μ ⎛⎝ +++++θ1A θAI θI2 ⋅2 θ2I ⋅2 θIB ⋅k 45 m⎞⎠ e ⋅−μ ⎛⎝ +++θ1A θAI θI2 ⋅k 19 m⎞⎠⎞⎠ 26431.1 kN

≔P47.7 =⋅P ⎛⎝ +e ⋅−μ ⎛⎝ +++++θ1A θAI ⋅2 θI2 ⋅2 θ2I ⋅2 θIB ⋅k 47.7 m⎞⎠ e ⋅−μ ⎛⎝ ++θ1A θAI ⋅k 16.3 m⎞⎠⎞⎠ 26476 kN

≔P49.v =⋅P ⎛⎝ +e ⋅−μ ⎛⎝ ++++++θ1A θAI ⋅2 θI2 ⋅2 θ2I ⋅2 θIB θIP ⋅k 49 m⎞⎠ e ⋅−μ ⎛⎝ +−+θ1A θAI θIP ⋅k 15 m⎞⎠⎞⎠ 26486.2 kN

≔P49.h =⋅P ⎛⎝e ⋅−μ ⎛⎝ +−+θ1A θAI θIP ⋅k 15 m⎞⎠⎞⎠ 14386.4 kN

≔P56 =⋅P e ⋅−μ ⎛⎝ +θ1A ⋅k 8 m⎞⎠ 14748.4 kN

≔P57 =⋅P e ⋅−μ ⎛⎝ +θ1A ⋅k 7 m⎞⎠ 14761.6 kN

≔P62 =⋅P e ⋅⋅−μ xlaas.64 ⎛⎝ +θ'1A k⎞⎠ 15052.3 kN

≔P64 =−P ΔPsl.64 14930.9 kN

Jevnt fordelte vertikallaster ved forskjellige punkt for PT:

≔q0 =⋅θ'1A P0 252.4 ――kNm

≔q2 =⋅θ'1A P2 254.4 ――kNm

≔q7 =⋅θ'1A P7 249.4 ――kNm

≔q9 =⋅θ'AI P9 216.9 ――kNm

≔q16.v =⋅θ'AI P16.v 211.6 ――kNm

≔q16.h =⋅θ'AI P16.h 389.8 ――kNm

≔q17.3.v =⋅θ'AI P17.3 389.7 ――kNm

≔q17.3.h =⋅θ'I2 P17.3 −1183.8 ――kNm

≔q20.v =⋅θ'I2 P20 −1181.8 ――kNm

≔q20.h =⋅θ'2I P20 −1144.3 ――kNm

≔q22.9.v =⋅θ'2I P22.9 −1143 ――kNm

≔q22.9.h =⋅θ'IB P22.9 446.1 ――kNm

≔q30.5 =⋅θ'IB P30.5 445.9 ――kNm

≔q34.5 =⋅θ'IB P34.5 445.9 ――kNm

≔q42.1.v =⋅θ'IB P42.1 446.1 ――kNm

≔q42.1.h =⋅θ'2I P42.1 −1143 ――kNm

≔q45.v =⋅θ'2I P45 −1144.3 ――kNm

≔q45.h =⋅θ'I2 P45 −1181.9 ――kNm


Page 3 of 6

≔q47.7.v =⋅θ'I2 P47.7 −1183.9 ――kNm

≔q47.7.h =⋅θ'AI P47.7 389.7 ――kNm

≔q49.v =⋅θ'AI P49.v 389.9 ――kNm

≔q49.h =⋅θ'AI P49.h 211.8 ――kNm

≔q56 =⋅θ'AI P56 217.1 ――kNm

≔q57 =⋅θ'1A P57 249.4 ――kNm

≔q62 =⋅θ'1A P62 254.4 ――kNm

≔q64 =⋅θ'1A P64 252.3 ――kNm

Horisontale punktalster ved forskjellige punkt for PT:

≔Qx.64 =−P64 −14930.9 kN

≔Qx.49 =−P49.h P49.v −12099.7 kN

≔Qx.16 =−P16.h P16.v 12110.6 kN


Page 4 of 6

Ekvivalente krefter fra spennarmeringstap:Bruker konservativt det største spennkrafttapet over hele bruen.

≔Δ %12.606

Namngitt etter avstand fra akse 1 og hvilke side av punktet (venstre/høyre).

≔P0 =⋅−Δ P0 −1882.8 kN

≔P2 =⋅−Δ P2 −1897.8 kN

≔P7 =⋅−Δ P7 −1860.9 kN

≔P9 =⋅−Δ P9 −1857.5 kN

≔P16.v =⋅−Δ P16.v −1811.9 kN

≔P16.h =⋅−Δ P16.h −3338.6 kN

≔P17.3 =⋅−Δ P17.3 −3337.3 kN

≔P20 =⋅−Δ P20 −3331.7 kN

≔P22.9 =⋅−Δ P22.9 −3328 kN

≔P30.5 =⋅−Δ P30.5 −3326.4 kN

≔P34.5 =⋅−Δ P34.5 −3326.4 kN

≔P42.1 =⋅−Δ P42.1 −3328.1 kN

≔P45 =⋅−Δ P45 −3331.9 kN

≔P47.7 =⋅−Δ P47.7 −3337.6 kN

≔P49.v =⋅−Δ P49.v −3338.8 kN

≔P49.h =⋅−Δ P49.h −1813.6 kN

≔P56 =⋅−Δ P56 −1859.2 kN

≔P57 =⋅−Δ P57 −1860.9 kN

≔P62 =⋅−Δ P62 −1897.5 kN

≔P64 =⋅−Δ P64 −1882.2 kN

Jevnt fordelte vertikallaster ved forskjellige punkt for CSR:


Page 5 of 6

≔P64 =⋅−Δ P64 −1882.2 kN

Jevnt fordelte vertikallaster ved forskjellige punkt for CSR:

≔q0 =⋅θ'1A P0 −31.8 ――kNm

≔q2 =⋅θ'1A P2 −32.1 ――kNm

≔q7 =⋅θ'1A P7 −31.4 ――kNm

≔q9 =⋅θ'AI P9 −27.3 ――kNm

≔q16.v =⋅θ'AI P16.v −26.7 ――kNm

≔q16.h =⋅θ'AI P16.h −49.1 ――kNm

≔q17.3.v =⋅θ'AI P17.3 −49.1 ――kNm

≔q17.3.h =⋅θ'I2 P17.3 149.2 ――kNm

≔q20.v =⋅θ'I2 P20 149 ――kNm

≔q20.h =⋅θ'2I P20 144.2 ――kNm

≔q22.9.v =⋅θ'2I P22.9 144.1 ――kNm

≔q22.9.h =⋅θ'IB P22.9 −56.2 ――kNm

≔q30.5 =⋅θ'IB P30.5 −56.2 ――kNm

≔q34.5 =⋅θ'IB P34.5 −56.2 ――kNm

≔q42.1.v =⋅θ'IB P42.1 −56.2 ――kNm

≔q42.1.h =⋅θ'2I P42.1 144.1 ――kNm

≔q45.v =⋅θ'2I P45 144.3 ――kNm

≔q45.h =⋅θ'I2 P45 149 ――kNm

≔q47.7.v =⋅θ'I2 P47.7 149.2 ――kNm

≔q47.7.h =⋅θ'AI P47.7 −49.1 ――kNm

≔q49.v =⋅θ'AI P49.v −49.1 ――kNm

≔q49.h =⋅θ'AI P49.h −26.7 ――kNm

≔q56 =⋅θ'AI P56 −27.4 ――kNm

≔q57 =⋅θ'1A P57 −31.4 ――kNm

≔q62 =⋅θ'1A P62 −32.1 ――kNm

≔q64 =⋅θ'1A P64 −31.8 ――kNm

Horisontale punktalster ved forskjellige punkt for CSR:

≔Qx.64 =−P64 1882.2 kN

≔Qx.49 =−P49.h P49.v 1525.3 kN

≔Qx.16 =−P16.h P16.v −1526.7 kN


Page 6 of 6

Vedlegg I Verifikasjon av egenvektArealtrghetsmoment:

Brudekke:

≔IB +++――――⋅4500 7003

12⋅⋅4500 700 (( −350 573.7))

2――――

⋅8500 3003

12⋅⋅8500 300 (( −850 573.7))

2

≔IB =⋅IB mm 4 500052633000 mm 4

Søyle:

≔IS =⋅――――⋅4500 6003

12mm 4 81000000000 mm 4

Laster for hvert element:

Linjelast: ≔q 182.5 ――kNm

Elastisitetsmodul: ≔E 36000 MPa

Lengde av elementer: ≔l1 20 m ≔l2 25 m ≔l3 6.5737 m

≔l4 19 m ≔l5 8.5737 m

Lengde av utkragere: ≔lu 1 m

Moment i r1 fra endetverrbærer: ≔M1 ⋅−600 kN m

Setter utkragermomentet som nodelast.

Moment i r1 fra utkrager: ≔Mu1 =―――⋅−q lu

2

2−91.25 ⋅kN m

Moment i r4 fra utkrager: ≔Mu4 =――⋅q lu

2

291.25 ⋅kN m

Frihetsgrad vektor:

＝r

r1r2r3r4

⎡⎢⎢⎢⎣

⎤⎥⎥⎥⎦

Element 1: Element 2: Element 4: Utkragere og punktmoment:


Page 1 of 6

Element 1: Element 2: Element 4: Utkragere og punktmoment:

≔R0.1

―――⋅−q l1

2

12

――⋅q l1

2

1200

⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦

≔R0.2

0

―――⋅−q l2

2

12

――⋅q l2

2

120

⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦

≔R0.4

00

―――⋅−q l4

2

12

――⋅q l4

2

12

⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦

≔Rk

+Mu1 M1

00Mu4

⎡⎢⎢⎢⎢⎣

⎤⎥⎥⎥⎥⎦

Lastvektor:

≔R0 =++R0.1 R0.2 R0.4

− ⋅6.083 103

− ⋅3.422 103

⋅4.015 103

⋅5.49 103

⎡⎢⎢⎢⎢⎣

⎤⎥⎥⎥⎥⎦

⋅kN m ≔R =−Rk R0

⋅5.392 103

⋅3.422 103

− ⋅4.015 103

− ⋅5.399 103

⎡⎢⎢⎢⎢⎣

⎤⎥⎥⎥⎥⎦

⋅kN m

Stivhet for hvert element:

Element 1: Element 2: Element 3:

≔K1 ―――⋅⋅2 E IBl1

2 1 0 01 2 0 00 0 0 00 0 0 0

⎡⎢⎢⎢⎣

⎤⎥⎥⎥⎦

≔K2 ―――⋅⋅2 E IBl2

0 0 0 00 2 1 00 1 2 00 0 0 0

⎡⎢⎢⎢⎣

⎤⎥⎥⎥⎦

≔K3 ―――⋅⋅4 E ISl3

0 0 0 00 1 0 00 0 0 00 0 0 0

⎡⎢⎢⎢⎣

⎤⎥⎥⎥⎦

Element 4: Element 5:

≔K4 ―――⋅⋅2 E IBl4

0 0 0 00 0 0 00 0 2 10 0 1 2

⎡⎢⎢⎢⎣

⎤⎥⎥⎥⎦

≔K5 ―――⋅⋅4 E ISl5

0 0 0 00 0 0 00 0 1 00 0 0 0

⎡⎢⎢⎢⎣

⎤⎥⎥⎥⎦

Stivhetsmatrise:

≔K =++++K1 K2 K3 K4 K5

⋅3.6 106 ⋅1.8 106 0 0⋅1.8 106 ⋅8.255 106 ⋅1.44 106 0

0 ⋅1.44 106 ⋅8.031 106 ⋅1.895 106

0 0 ⋅1.895 106 ⋅3.79 106

⎡⎢⎢⎢⎢⎣

⎤⎥⎥⎥⎥⎦

⋅kN m

Rotasjoner:

≔r =⋅K−1 R

142.73214.065−21.432−131.741

⎡⎢⎢⎢⎣

⎤⎥⎥⎥⎦

10−5

Momenter: Namnkode: , i=element, j=frihetsgradMij


Page 2 of 6


Element 1: Moment på venstre side av element 1:

＝M11 ⋅691.25 kN m ((OK))≔R1 =+⋅K1 r R0.1

−691.259159.17700

⎡⎢⎢⎢⎣

⎤⎥⎥⎥⎦

⋅kN mMoment på høyre side av element 1:

＝M12 ⋅9159.177 kN m ((OK))


＝M22 ⋅9408.744 kN m ((OK))≔R2 =+⋅K2 r R0.2

0−9408.7449090.4540

⎡⎢⎢⎢⎣

⎤⎥⎥⎥⎦


＝M23 ⋅9090.454 kN m ((OK))

Element 3: Moment på øvre side av element 3:

＝M32 ⋅249.566 kN m ((UK))≔R3 =⋅K3 r

0249.56600

⎡⎢⎢⎢⎣

⎤⎥⎥⎥⎦

⋅kN m


＝M43 ⋅8798.88 kN m ((OK))≔R4 =+⋅K4 r R0.4

00

−8798.8891.25

⎡⎢⎢⎢⎣

⎤⎥⎥⎥⎦


＝M44 ⋅91.25 kN m ((OK))


＝M53 ⋅291.574 kN m ((OK))≔R5 =⋅K5 r

00

−291.5740

⎡⎢⎢⎢⎣

⎤⎥⎥⎥⎦

⋅kN m

Punktlaster:

Punktlast i r1 fra endetverrbærer: ≔F1 −400 kN

Punktlast i r1 fra utkrager: ≔Fzu1 ⋅−q lu

Punktlast i r4 fra utkrager: ≔Fzu4 ⋅−q lu

Elementstivheter for vertikalkrefter:


Page 3 of 6

Elementstivheter for vertikalkrefter:


≔Ks1 ―――⋅⋅6 E IB

l12

−1 −1 0 01 1 0 00 0 0 00 0 0 0

⎡⎢⎢⎢⎣

⎤⎥⎥⎥⎦

≔Ks2 ―――⋅⋅6 E IB

l22

0 0 0 00 −1 −1 00 1 1 00 0 0 0

⎡⎢⎢⎢⎣

⎤⎥⎥⎥⎦


≔Ks3 ―――⋅⋅6 E IS

l32

0 0 0 00 −1 0 00 0 0 00 0 0 0

⎡⎢⎢⎢⎣

⎤⎥⎥⎥⎦

≔Ks4 ―――⋅⋅6 E IB

l42

0 0 0 00 0 0 00 0 −1 −10 0 1 1

⎡⎢⎢⎢⎣

⎤⎥⎥⎥⎦

Element 5:

≔Ks5 ―――⋅⋅6 E IS

l52

0 0 0 00 0 0 00 0 −1 00 0 0 0

⎡⎢⎢⎢⎣

⎤⎥⎥⎥⎦

Elementetenes fastholdingkrefter:

≔Rs0.1 ――⋅q l12

1100

⎡⎢⎢⎢⎣

⎤⎥⎥⎥⎦

≔Rs0.2 ――⋅q l22

0110

⎡⎢⎢⎢⎣

⎤⎥⎥⎥⎦

≔Rs0.4 ――⋅q l42

0011

⎡⎢⎢⎢⎣

⎤⎥⎥⎥⎦

Skjærkrefter:


≔Rs1 =+⋅Ks1 r Rs0.1

1401.6042248.39600

⎡⎢⎢⎢⎣

⎤⎥⎥⎥⎦

kN ≔Rs2 =+⋅Ks2 r Rs0.2

02293.9822268.5180

⎡⎢⎢⎢⎣

⎤⎥⎥⎥⎦

kN


≔Rs3 =⋅Ks3 r

0−56.94700

⎡⎢⎢⎢⎣

⎤⎥⎥⎥⎦

kN ≔Rs4 =+⋅Ks4 r Rs0.4

00

2192.0461275.454

⎡⎢⎢⎢⎣

⎤⎥⎥⎥⎦

kN

Element 5:

≔Rs5 =⋅Ks5 r

0051.0120

⎡⎢⎢⎢⎣

⎤⎥⎥⎥⎦

kN

Opplagerkrefter i z-retning:


Page 4 of 6

Opplagerkrefter i z-retning:

≔Rsz =+++Rs1 Rs2 Rs4

+F1 Fzu100Fzu4

⎡⎢⎢⎢⎢⎣

⎤⎥⎥⎥⎥⎦

819.1044542.3784460.5651092.954

⎡⎢⎢⎢⎣

⎤⎥⎥⎥⎦

kN

Fastlager i element 1: ≔Fz1 1984.104 kN

Fastinnspenning i element 3: ≔Fz3 4542.378 kN

Fastinnspenning i element 5: ≔Fz5 4460.565 kN

Rullelager i element 4: ≔Fz4 1457.954 kN

Opplagerkrefter i x-retning:

Fastinnspenning i element 3: ≔Fx3 −56.947 kN≔Rsx =+Rs3 Rs5

0−56.94751.0120

⎡⎢⎢⎢⎣

⎤⎥⎥⎥⎦

kNFastinnspenning i element 5: ≔Fx5 51.012 kN

≔Fx1 =−−Rsx1 Rsx2 5.935 kN Fastlager i element 1: ≔Fx1 5.935 kN

Feltmomenter:

Finner maksimalt feltmoment hvor skjærkreftene er null.

Element 1:

≔x1 =――

Rs10

||q||7.68 m

≔MFelt.1 =−+−R10 ⋅q ――x12

2⋅Rs10 x1 −4690.922 ⋅kN m ((UK))

Element 2:

≔x2 =――

Rs21

||q||12.57 m

≔MFelt.2 =−+−R21 ⋅q ――x22

2⋅Rs21 x2 −5008.658 ⋅kN m ((UK))

Element 4:


Page 5 of 6

Element 4:

≔x4 =――

Rs42

||q||12.011 m

≔MFelt.4 =−+−R42 ⋅q ――x42

2⋅Rs42 x4 −4365.687 ⋅kN m ((UK))


Page 6 of 6

Vedlegg J Verifikasjon av trafikklastBeregningene er gjort for lasttilfelle LM1

≔IB 500052633000 mm 4 ≔IS 81000000000 mm 4


≔q 29.95 ――kNm

≔Q 1000 kN ≔lQ 8 m ≔l1 20 m ≔l2 25 m ≔l4 19 m


≔R0.1+――

⋅q l12

8――――――――

⋅⋅⋅Q lQ ⎛⎝ −l1 lQ⎞⎠ ⎛⎝ +lQ l1⎞⎠

⋅2 l12

0

⎡⎢⎢⎢⎣

⎤⎥⎥⎥⎦

≔R0.4

0

―――⋅−q l4

2

8

⎡⎢⎢⎢⎣

⎤⎥⎥⎥⎦

Lastvektor:

≔R0 =+R0.1 R0.4⋅4.858 103

− ⋅1.351 103⎡⎢⎣

⎤⎥⎦

⋅kN m ≔R =−R0− ⋅4.858 103

⋅1.351 103⎡⎢⎣

⎤⎥⎦

⋅kN m


≔l3 6.5737 m ≔l5 8.5737 m ≔E 36000 MPa


≔k1 ―――⋅⋅3 E IBl1

1 00 0⎡⎢⎣

⎤⎥⎦

≔k2 ―――⋅⋅2 E IBl2

2 11 2⎡⎢⎣

⎤⎥⎦

≔k3 ―――⋅⋅4 E ISl3

1 00 0⎡⎢⎣

⎤⎥⎦


≔k4 ―――⋅⋅3 E IBl4

0 00 1⎡⎢⎣

⎤⎥⎦

≔k5 ―――⋅⋅4 E ISl5

0 00 1⎡⎢⎣

⎤⎥⎦


Page 1 of 6

Stivhetsmatrise:

≔K =++++k1 k2 k3 k4 k5⋅7.355 106 ⋅1.44 106

⋅1.44 106 ⋅7.083 106⎡⎢⎣

⎤⎥⎦

⋅kN m

Rotasjoner:

≔r =⋅K−1 R −72.67333.856

⎡⎢⎣

⎤⎥⎦10−5

Momenter:

Element 1:

≔S1 =+⋅k1 r R0.12895.1090

⎡⎢⎣

⎤⎥⎦

⋅kN m

Element 2:

≔S2 =⋅k2 r−1605.632−71.44

⎡⎢⎣

⎤⎥⎦

⋅kN m

Element 3:

≔S3 =⋅k3 r−1289.477

0⎡⎢⎣

⎤⎥⎦

⋅kN m

Element 4:

≔S4 =+⋅k4 r R0.40

−389.157⎡⎢⎣

⎤⎥⎦

⋅kN m

Element 5:

≔S5 =⋅k5 r0

460.596⎡⎢⎣

⎤⎥⎦

⋅kN m

Skjærkrefter:


Page 2 of 6

Skjærkrefter:

Skjærstivheter:


≔ks1 ―――⋅⋅3 E IB

l12

1 00 0⎡⎢⎣

⎤⎥⎦

≔ks2 ―――⋅⋅6 E IB

l22

−1 −11 1⎡⎢⎣

⎤⎥⎦

≔ks3 ―――⋅⋅6 E IS

l32

1 00 0⎡⎢⎣

⎤⎥⎦


≔ks4 ―――⋅⋅3 E IB

l42

0 00 −1⎡⎢⎣

⎤⎥⎦

≔ks5 ―――⋅⋅6 E IS

l52

0 00 1⎡⎢⎣

⎤⎥⎦

Partikulær løysing:

≔S0.1 ⋅

⎛⎜⎜⎝

−+―――⋅⋅5 q l18

Q ――――――――⋅⋅Q ⎛⎝ −l1 lQ⎞⎠

2⎛⎝ +lQ ⋅2 l1⎞⎠

⋅2 l13

⎞⎟⎟⎠

10⎡⎢⎣⎤⎥⎦

≔S0.4 ―――⋅⋅5 q l48

01⎡⎢⎣⎤⎥⎦

Skjærkrefter:


≔Ss1 =+⋅ks1 r S0.1844.2550

⎡⎢⎣

⎤⎥⎦kN ≔Ss2 =⋅ks2 r

67.083−67.083⎡⎢⎣

⎤⎥⎦kN


≔Ss3 =⋅ks3 r−294.235

0⎡⎢⎣

⎤⎥⎦kN ≔Ss4 =+⋅ks4 r S0.4

0305.007⎡⎢⎣

⎤⎥⎦kN

Element 5:

≔Ss5 =⋅ks5 r080.583⎡⎢⎣

⎤⎥⎦kN

Opplagerkrefter:

≔Ss =++Ss1 Ss2 Ss4911.338237.924⎡⎢⎣

⎤⎥⎦kN


Page 3 of 6

Feltmomenter:


Element 1:

≔x1 −l1 lQ

≔MFelt.1 =−+S10 ⋅q ――x12

2⋅Ss10 x1 −5079.556 ⋅kN m

Element 4:

≔x4 =――

Ss41

||q||10.184 m

≔MFelt.4 =−+−S41 ⋅q ――x42

2⋅Ss41 x4 −1163.919 ⋅kN m


Page 4 of 6

Mer nøyaktig plassering av punktlast for maksimalt feltmoment:

≔lQ 8.39 m

Element 1:

≔R0.1+――

⋅q l12

8――――――――

⋅⋅⋅Q lQ ⎛⎝ −l1 lQ⎞⎠ ⎛⎝ +lQ l1⎞⎠

⋅2 l12

0

⎡⎢⎢⎢⎣

⎤⎥⎥⎥⎦

Lastvektor:

≔R0 =+R0.1 R0.4⋅4.954 103

− ⋅1.351 103⎡⎢⎣

⎤⎥⎦

⋅kN m ≔R =−R0− ⋅4.954 103

⋅1.351 103⎡⎢⎣

⎤⎥⎦

⋅kN m



≔k1 ―――⋅⋅3 E IBl1

1 00 0⎡⎢⎣

⎤⎥⎦

≔k2 ―――⋅⋅2 E IBl2

2 11 2⎡⎢⎣

⎤⎥⎦

≔k3 ―――⋅⋅4 E ISl3

1 00 0⎡⎢⎣

⎤⎥⎦


≔k4 ―――⋅⋅3 E IBl4

0 00 1⎡⎢⎣

⎤⎥⎦

≔k5 ―――⋅⋅4 E ISl5

0 00 1⎡⎢⎣

⎤⎥⎦

Stivhetsmatrise:

≔K =++++k1 k2 k3 k4 k5⋅7.355 106 ⋅1.44 106

⋅1.44 106 ⋅7.083 106⎡⎢⎣

⎤⎥⎦

⋅kN m

Rotasjoner:

≔r =⋅K−1 R −74.04434.135

⎡⎢⎣

⎤⎥⎦10−5

Momenter:

Element 1:

≔S1 =+⋅k1 r R0.12954.8740

⎡⎢⎣

⎤⎥⎦

⋅kN m


Page 5 of 6

≔S1 =+⋅k1 r R0.12954.8740

⎡⎢⎣

⎤⎥⎦

⋅kN m

Skjærkrefter:

Skjærstivheter:


≔ks1 ―――⋅⋅3 E IB

l12

1 00 0⎡⎢⎣

⎤⎥⎦

≔ks2 ―――⋅⋅6 E IB

l22

−1 −11 1⎡⎢⎣

⎤⎥⎦

≔ks3 ―――⋅⋅6 E IS

l32

1 00 0⎡⎢⎣

⎤⎥⎦


≔ks4 ―――⋅⋅3 E IB

l42

0 00 −1⎡⎢⎣

⎤⎥⎦

≔ks5 ―――⋅⋅6 E IS

l52

0 00 1⎡⎢⎣

⎤⎥⎦


≔S0.1 ⋅

⎛⎜⎜⎝

−+―――⋅⋅5 q l18

Q ――――――――⋅⋅Q ⎛⎝ −l1 lQ⎞⎠

2⎛⎝ +lQ ⋅2 l1⎞⎠

⋅2 l13

⎞⎟⎟⎠

10⎡⎢⎣⎤⎥⎦

Skjærkrefter:

Element 1:

≔Ss1 =+⋅ks1 r S0.1866.7440

⎡⎢⎣

⎤⎥⎦kN

Feltmomenter:


Element 1:

≔x1 −l1 lQ

≔MFelt.1 =−+S10 ⋅q ――x12

2⋅Ss10 x1 −5089.509 ⋅kN m


Page 6 of 6

Vedlegg K Verifikasjon av termisk lastTil utregninger av invers stivhetsmatrise blir det svært vansklig å holde enhetskompatibilitet oppe. Beregningene for å finne forskyvingene og rotasjoene blir gjort uten enheter. Verdiene har derimot hatt hensyn til enheten og de endelige tallene for kreftene er i N for skjær- og aksialkrefter, menst for moment er de i Nmm.


Arealtreghetsmoment for brudekke: ≔IB 500052633000 mm4

Arealtreghetsmoment for søyle: ≔IS 81000000000 mm4

Elementlengder: ≔l1 20000 mm

≔l2 25000 mm

≔l3 6573.7 mm

≔l4 19000 mm

≔l5 8573.7 mm

Vertikal varierende temperaturdifferanse: ≔ΔTM.heat 15 K

Jevnt fordelt temperaturdifferanse: ≔ΔTN.con −30 K

Temperaturutvidelseskoeffisienten: ≔α ⋅10 10−6 K−1

Iht EK2-1-1:3.1.3(5)

Vertikal varierende tøyning: ≔ε0M =⋅α ΔTM.heat ⋅1.5 10−4

Gitt i formelark for TKT4180

Aksialtøyning: ≔ε0N =⋅α ΔTN.con ⋅−3 10−4

Gitt i formelark for TKT4180

I delkombinasjon TE 3 skal kontraksjonen ganges med en faktor som tar ≔ωN 0.35hensyn til kombinert virkning mellom jevn og lineær temperaturøkning.


Page 1 of 5

Elastisitetemodul: ≔E 36000 ――N

mm2

Tverrsnittshøyde: ≔h 1000 mm

Tverrsnittsareal: ≔A (( +⋅4500 700 ⋅8500 300))

=A 5700000 mm2

Frihetsgrad vektor:

＝r

r1r2x2r3x3r4

⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦

Bruker formelark for TKT4180 til å finne fastholdingskreftene i hvert element.

Element 1:

≔R0.1 =⋅―Eh

⋅IB ε0M⋅−IB ε0M⋅⋅⋅−ωN A h ε0N

000

⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦

⋅2.7 109

− ⋅2.7 109

⋅2.155 107

000

⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦

Element 2:

≔R0.2 =―Eh

0⋅IB ε0M⋅⋅⋅ωN A h ε0N

⋅−IB ε0M⋅⋅⋅−ωN A h ε0N

0

⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦

0⋅2.7 109

− ⋅2.155 107

− ⋅2.7 109

⋅2.155 107

0

⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦

Element 4:

Merk at aksialdeformasjonen x3 ikke blir tatt med her. Dette er fordi det ikke bidrar til tvangskrefter og muliggjør at verifikasjonen kan gjøres med 6 noder og ikke 7.

≔R0.4 =⋅―Eh

000⋅IB ε0M0⋅−IB ε0M

⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦

000⋅2.7 109

0− ⋅2.7 109

⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦

Lastvektor:


Page 2 of 5

Lastvektor:

≔R0 =++R0.1 R0.2 R0.4

⋅2.7 109

000

⋅2.155 107

− ⋅2.7 109

⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦

≔R =−R0

− ⋅2.7 109

000

− ⋅2.155 107

⋅2.7 109

⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦


Element 1:

≔μ1 ――⋅A l1

2

IB≔K1 ――

⋅E IB

l13

⋅4 l12 ⋅2 l1

2 0 0 0 0

⋅2 l12 ⋅4 l1

2 0 0 0 00 0 μ1 0 0 00 0 0 0 0 00 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0

⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦

Element 2:

≔μ2 ――⋅A l2

2

IB≔K2 ――

⋅E IB

l23

0 0 0 0 0 00 ⋅4 l2

2 0 ⋅2 l22 0 0

0 0 μ2 0 −μ2 0

0 ⋅2 l22 0 ⋅4 l2

2 0 00 0 −μ2 0 μ2 00 0 0 0 0 0

⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦

Element 3:

≔K3 ――⋅E IS

l33

0 0 0 0 0 00 ⋅4 l3

2 ⋅−6 l3 0 0 00 ⋅−6 l3 12 0 0 00 0 0 0 0 00 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0

⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦

Element 4:


Page 3 of 5

Element 4:

Merk at aksialstivhet ikke blir tatt med her. Dette er pga at enden i akse 4 ikke har noen aksialstivhet og aksialdeformasjonen i dette elementet ikke har noe bidrag til tvangskrefter.

≔K4 ―――⋅⋅2 E IBl4

0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 00 0 0 0 0 00 0 0 2 0 10 0 0 0 0 00 0 0 1 0 2

⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦

Element 5:

≔K5 ――⋅E IS

l53

0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 00 0 0 0 0 00 0 0 ⋅4 l5

2 ⋅−6 l5 00 0 0 ⋅−6 l5 12 00 0 0 0 0 0

⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦

Stivhetsmatrise:

≔K ++++K1 K2 K3 K4 K5

=K

⋅3.6 1012 ⋅1.8 1012 0 0 0 0⋅1.8 1012 ⋅8.255 1012 − ⋅4.049 108 ⋅1.44 1012 0 0

0 − ⋅4.049 108 ⋅1.859 107 0 − ⋅8.208 106 00 ⋅1.44 1012 0 ⋅8.031 1012 − ⋅2.38 108 ⋅1.895 1012

0 0 − ⋅8.208 106 − ⋅2.38 108 ⋅8.264 106 00 0 0 ⋅1.895 1012 0 ⋅3.79 1012

⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦

Rotasjoner:

≔r =⋅K−1 R

− ⋅8.221 10−4

⋅1.443 10−4

−2.053− ⋅3.765 10−4

−4.658⋅9.007 10−4

⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦

Momenter:


Page 4 of 5

Momenter:

Momentene har enhet Nmm.Aksialkreftene og skjærkreftene har enhet N.

Namnkode: , i=element, j=frihetsgradMij


≔M21 ⋅⋅0 kN m

≔R1 =+⋅K1 r R0.1

0−3660887482.723

480314.623000

⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦

Moment på høyre side av element 1:

≔M12 ⋅3660.887 kN m ((UK))


≔M22 ⋅2573.644 kN m ((UK))

≔R2 =+⋅K2 r R0.2

02573643634.21−168997.452

−3576827537.502168997.452

0

⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦


≔M24 ⋅3576.828 kN m ((UK))


≔M31 ⋅1087.244 kN m ((UK))

≔R3 =⋅K3 r

01087243848.513−311317.171

000

⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦


≔M42 ⋅2980.396 kN m ((UK))

≔R4 =+⋅K4 r R0.4

000

2980396028.21100

⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦


≔M12 ⋅0 kN m


≔M52 ⋅596.432 kN m ((UK))

≔R5 =⋅K5 r

000

596431509.291−168997.452

0

⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦


Page 5 of 5

Vedlegg L Verifikasjon av vindlast≔IB 500052633000 mm 4 ≔IS 81000000000 mm 4


≔q 6.55 ――kNm

≔l1 20 m ≔l2 25 m ≔l4 19 m


≔R0.1――⋅q l1

2

80

⎡⎢⎢⎢⎣

⎤⎥⎥⎥⎦

≔R0.4

0

―――⋅−q l4

2

8

⎡⎢⎢⎢⎣

⎤⎥⎥⎥⎦

Lastvektor:

≔R0 =+R0.1 R0.4327.5−295.569⎡⎢⎣

⎤⎥⎦

⋅kN m ≔R =−R0−327.5295.569

⎡⎢⎣

⎤⎥⎦

⋅kN m

Stivehet for hvert element:

≔l3 6.5737 m ≔l5 8.5737 m ≔E 36000 MPa


≔k1 ―――⋅⋅3 E IBl1

1 00 0⎡⎢⎣

⎤⎥⎦

≔k2 ―――⋅⋅2 E IBl2

2 11 2⎡⎢⎣

⎤⎥⎦

≔k3 ―――⋅⋅4 E ISl3

1 00 0⎡⎢⎣

⎤⎥⎦


≔k4 ―――⋅⋅3 E IBl4

0 00 1⎡⎢⎣

⎤⎥⎦

≔k5 ―――⋅⋅4 E ISl5

0 00 1⎡⎢⎣

⎤⎥⎦

Stivhetsmatrise:


Page 1 of 4

Stivhetsmatrise:

≔K =++++k1 k2 k3 k4 k5⋅7.355 106 ⋅1.44 106

⋅1.44 106 ⋅7.083 106⎡⎢⎣

⎤⎥⎦

⋅kN m

Rotasjoner:

≔r =⋅K−1 R −5.4885.289

⎡⎢⎣

⎤⎥⎦10−5


Element 1: Moment på høyre side av element 1:

≔M11 ⋅179.298 kN m ((OK))≔S1 =+⋅k1 r R0.1

179.2980

⎡⎢⎣

⎤⎥⎦

⋅kN m


≔M21 ⋅81.916 kN m ((OK))≔S2 =⋅k2 r

−81.91673.291

⎡⎢⎣

⎤⎥⎦


≔M22 ⋅73.291 kN m ((OK))


≔M31 ⋅97.383 kN m ((OK))≔S3 =⋅k3 r

−97.3830

⎡⎢⎣

⎤⎥⎦

⋅kN m


≔M42 ⋅145.241 kN m ((OK))≔S4 =+⋅k4 r R0.4

0−145.241⎡⎢⎣

⎤⎥⎦

⋅kN m


≔M52 ⋅71.95 kN m ((UK))≔S5 =⋅k5 r

071.95⎡⎢⎣

⎤⎥⎦

⋅kN m


Page 2 of 4

Skjærkrefter:

Skjærstivheter:


≔ks1 ―――⋅⋅3 E IB

l12

1 00 0⎡⎢⎣

⎤⎥⎦

≔ks2 ―――⋅⋅6 E IB

l22

−1 −11 1⎡⎢⎣

⎤⎥⎦

≔ks3 ―――⋅⋅6 E IS

l32

1 00 0⎡⎢⎣

⎤⎥⎦


≔ks4 ―――⋅⋅3 E IB

l42

0 00 −1⎡⎢⎣

⎤⎥⎦

≔ks5 ―――⋅⋅6 E IS

l52

0 00 1⎡⎢⎣

⎤⎥⎦


≔S0.1 ―――⋅⋅5 q l18

10⎡⎢⎣⎤⎥⎦

≔S0.4 ―――⋅⋅5 q l48

01⎡⎢⎣⎤⎥⎦

Skjærkrefter:


≔Ss1 =+⋅ks1 r S0.174.4650

⎡⎢⎣

⎤⎥⎦kN ≔Ss2 =⋅ks2 r

0.345−0.345⎡⎢⎣

⎤⎥⎦kN


≔Ss3 =⋅ks3 r−22.2210

⎡⎢⎣

⎤⎥⎦kN ≔Ss4 =+⋅ks4 r S0.4

069.869⎡⎢⎣

⎤⎥⎦kN

Element 5:

≔Ss5 =⋅ks5 r012.588⎡⎢⎣

⎤⎥⎦kN

Opplagerkrefter:

≔Ss =++Ss1 Ss2 Ss474.8169.524⎡⎢⎣

⎤⎥⎦kN

Feltmomenter:


Page 3 of 4

Feltmomenter:


Element 1:

≔x1 =――

Ss10

||q||11.369 m

≔MFelt.1 =−+S10 ⋅q ――x12

2⋅Ss10 x1 −243.986 ⋅kN m

Element 4:

≔x4 =――

Ss41

||q||10.667 m

≔MFelt.4 =−+−S41 ⋅q ――x42

2⋅Ss41 x4 −227.409 ⋅kN m


Page 4 of 4

Vedlegg M Verifikasjon av SvinnTil utregninger av invers stivhetsmatrise blir det svært vansklig å holde enhetskompatibilitet oppe. Beregningene for å finne forskyvingene og rotasjoene blir gjort uten enheter. Verdiene har derimot hatt hensyn til enheten og de endelige tallene for kreftene er i N for skjær- og aksialkrefter, menst for moment er de i Nmm.


≔IB 500052633000 mm4 ≔IS 81000000000 mm4

≔l1 20000 mm ≔l2 25000 mm ≔l3 6573.7 mm

≔l4 19000 mm ≔l5 8573.7 mm

≔E 36000 ――N

mm2≔h 1000 mm

≔A =(( +⋅4500 700 ⋅8500 300)) 5700000 mm2

≔εcs ⋅−2.959 10−4 =εcs −0.0002959


≔R0.1 =⋅⋅E A

0−εcs00

⎡⎢⎢⎢⎢⎣

⎤⎥⎥⎥⎥⎦

0⋅6.072 107

00

⎡⎢⎢⎢⎢⎣

⎤⎥⎥⎥⎥⎦

≔R0.2 =⋅E A

0εcs0−εcs

⎡⎢⎢⎢⎢⎣

⎤⎥⎥⎥⎥⎦

0− ⋅6.072 107

0⋅6.072 107

⎡⎢⎢⎢⎢⎣

⎤⎥⎥⎥⎥⎦

Element 4:Merk at aksialdeformasjonen x2 ikke blir tatt med her. Dette er fordi det ikke bidrar til tvangskrefter og muliggjør at verifikasjonen kan gjøres med 4 noder og ikke 5.

≔R0.4 =⋅E A

0000

⎡⎢⎢⎢⎣

⎤⎥⎥⎥⎦

0000

⎡⎢⎢⎢⎣

⎤⎥⎥⎥⎦

Lastvektor:

≔R0 =++R0.1 R0.2 R0.4

000

⋅6.072 107

⎡⎢⎢⎢⎢⎣

⎤⎥⎥⎥⎥⎦

≔R =−R0

000

− ⋅6.072 107

⎡⎢⎢⎢⎢⎣

⎤⎥⎥⎥⎥⎦



Page 1 of 4


Element 1:

≔μ1 ――⋅A l1

2

IB≔k1 ――

⋅E IB

l13

⋅3 l12 0 0 0

0 μ1 0 00 0 0 00 0 0 0

⎡⎢⎢⎢⎢⎣

⎤⎥⎥⎥⎥⎦

Element 2:

≔μ2 ――⋅A l2

2

IB≔k2 ――

⋅E IB

l23

⋅4 l22 0 ⋅2 l2

2 00 μ2 0 −μ2⋅2 l2

2 0 ⋅4 l22 0

0 −μ2 0 μ2

⎡⎢⎢⎢⎢⎣

⎤⎥⎥⎥⎥⎦

Element 3:

≔k3 ――⋅E IS

l33

⋅4 l32 ⋅−6 l3 0 0⋅−6 l3 12 0 00 0 0 00 0 0 0

⎡⎢⎢⎢⎢⎣

⎤⎥⎥⎥⎥⎦

Element 4:

Merk at aksialstivhet ikke blir tatt med her. Dette er pga at enden i akse 4 ikke har noen aksialstivhet og aksialdeformasjonen i dette elementet ikke har noe bidrag til tvangskrefter.

≔k4 ―――⋅⋅3 E IBl4

0 0 0 00 0 0 00 0 1 00 0 0 0

⎡⎢⎢⎢⎣

⎤⎥⎥⎥⎦

Element 5:

≔k5 ――⋅E IS

l53

0 0 0 00 0 0 00 0 ⋅4 l5

2 ⋅−6 l50 0 ⋅−6 l5 12

⎡⎢⎢⎢⎢⎣

⎤⎥⎥⎥⎥⎦

Stivhetsmatrise:


Page 2 of 4

Stivhetsmatrise:

≔K ++++k1 k2 k3 k4 k5

=K

⋅7.355 1012 − ⋅4.049 108 ⋅1.44 1012 0− ⋅4.049 108 ⋅1.859 107 0 − ⋅8.208 106

⋅1.44 1012 0 ⋅7.083 1012 − ⋅2.38 108

0 − ⋅8.208 106 − ⋅2.38 108 ⋅8.264 106

⎡⎢⎢⎢⎢⎣

⎤⎥⎥⎥⎥⎦

Rotasjoner:

≔r =⋅K−1 R

− ⋅2.424 10−4

−5.796− ⋅3.915 10−4

−13.116

⎡⎢⎢⎢⎢⎣

⎤⎥⎥⎥⎥⎦

Momenter:

Momentene har enhet Nmm.Aksialkreftene og skjærkreftene har enhet N.

Namnkode: , i=element, j=frihetsgradMij, i=elementNi, i=element, j=frihetsgradVij

Element 1:Moment på høyre side av element 1:

≔M11 ⋅654.581 kN m ((UK))≔S1 =+⋅k1 r R0.1

−654581666.5961250878.132

00

⎡⎢⎢⎢⎣

⎤⎥⎥⎥⎦

Element 2:Moment på venstre side av element 2:

≔M21 ⋅1261.974 kN m ((OK))≔S2 =+⋅k2 r R0.2

−1261974176.703−635064.685

−1476617686.853635064.685

⎡⎢⎢⎢⎣

⎤⎥⎥⎥⎦


≔M22 ⋅1476.618 kN m ((UK))

Element 3:


Page 3 of 4

≔M22 ⋅1476.618 kN m

Element 3:Moment på øvre side av element 3:

≔M31 ⋅1916.558 kN m ((UK))≔S3 =⋅k3 r

1916555843.299−615813.446

00

⎡⎢⎢⎢⎣

⎤⎥⎥⎥⎦


≔M42 ⋅1112.672 kN m ((OK))≔S4 =+⋅k4 r R0.4

00

−1112671840.1330

⎡⎢⎢⎢⎣

⎤⎥⎥⎥⎦


≔M52 ⋅2589.290 kN m ((UK))

≔S5 =⋅k5 r

00

2589289526.987−635064.685

⎡⎢⎢⎢⎣

⎤⎥⎥⎥⎦


Page 4 of 4

Vedlegg N

Verifikasjon av ekvivalente krefter og tvangskrefter fra spennkraft

≔IB 500052633000 mm 4 ≔IS 81000000000 mm 4 ≔As ⋅(( ⋅4500 600)) mm 2


≔l1 20 m ≔l2 25 m ≔l4 19 m ≔P 15174.6 kN

Element 1:

≔L1A 7000 mm ≔LA 2000 mm ≔LAI 8276 mm ≔LI2 2724 mm

≔LIP 1276 mm ≔xlaas.0 2012 mm ≔q0 252.4 ――kNm

≔q2 254.4 ――kNm

≔q7 249.4 ――kNm

≔q9 216.9 ――kNm

≔q16.v 211.6 ――kNm

≔q16.h 389.8 ――kNm

≔q17.3.v 389.7 ――kNm

≔q17.3.h −1183.8 ――kNm

≔q20.v −1181.8 ――kNm

≔q0.7 =――――――――――――

+⋅―――+q0 q22

xlaas.0 ⋅―――+q2 q72

⎛⎝ −L1A xlaas.0⎞⎠

L1A252.3 ――

kNm

≔R0.7 =⋅――――――――

⋅⋅⋅q0.7 L1A ――L1A2

⎛⎜⎝−l1 ――L1A2

⎞⎟⎠

⋅2 l12

⎛⎜⎝

+――L1A2

l1⎞⎟⎠2996.4 ⋅kN m

≔q9.17.3 =―――――――――――――

+⋅―――+q9 q16.v2

⎛⎝ −LAI LIP⎞⎠ ⋅――――+q16.h q17.3.v2

LIP

LAI241.3 ――

kNm

≔R9.17.3 =⋅―――――――――――――

⋅⋅⋅q9.17.3 LAI⎛⎜⎝

++L1A LA ――LAI2

⎞⎟⎠

⎛⎜⎝

+――LAI2

LI2⎞⎟⎠

⋅2 l12

⎛⎜⎝

+++L1A LA ――LAI2

l1⎞⎟⎠7457.8 ⋅kN m

≔q17.3.20 =―――――+q17.3.h q17.3.h2

−1183.8 ――kNm

≔R17.3.20 =⋅―――――――――

⋅⋅⋅q17.3.20 LI2⎛⎜⎝−l1 ――LI22

⎞⎟⎠――LI22

⋅2 l12

⎛⎜⎝

+−l1 ――LI22

l1⎞⎟⎠−3953.5 ⋅kN m


Page 1 of 8

≔R17.3.20 =⋅―――――――――

⋅⋅⋅q17.3.20 LI2⎛⎜⎝−l1 ――LI22

⎞⎟⎠――LI22

⋅2 l12

⎛⎜⎝

+−l1 ――LI22

l1⎞⎟⎠−3953.5 ⋅kN m

≔e16 =⋅⎛⎜⎝

−414 ⋅―――414

7500270002

⎞⎟⎠mm 53.36 mm ≔P16.h 26484.1 kN

≔P16.v 14373.5 kN

Har brukt robot til å finne fastinnspenningsmomentet prosentandel fra punktmomentet.

≔R16 =⋅⋅−0.460000 ⎛⎝ −P16.h P16.v⎞⎠ e16 −297.262 ⋅kN m

≔R0.1 =−−−−R0.7 R9.17.3 R17.3.20 R16

0

⎡⎢⎣

⎤⎥⎦

−6203.40

⎡⎢⎣

⎤⎥⎦

⋅kN m

Element 2:

≔q20.h −1144.3 ――kNm

≔q22.9.v −1143 ――kNm

≔q22.9.h 446.1 ――kNm

≔q30.5 445.9 ――kNm

≔L2I 2948 mm ≔LIB 7552 mm ≔LB 4000 mm

≔q20.22.9 =――――+q20.h q22.9.v2

−1143.7 ――kNm

≔R20.22.9 =―――――――――

⋅⋅⋅q20.22.9 L2I ――L2I2

⎛⎜⎝−l2 ――L2I2

⎞⎟⎠

2

l22

−4400.8 ⋅kN m

≔R42.1.45 =――――――――――

⋅⋅⋅q20.22.9 L2I⎛⎜⎝――L2I2

⎞⎟⎠

2 ⎛⎜⎝−l2 ――L2I2

⎞⎟⎠

l22

−275.7 ⋅kN m

≔q22.9.30.5 =――――+q22.9.h q30.52

446 ――kNm

≔R22.9.30.5 =―――――――――――――

⋅⋅⋅q22.9.30.5 LIB⎛⎜⎝

+L2I ――LIB2

⎞⎟⎠

⎛⎜⎝

−−l2 L2I ――LIB2

⎞⎟⎠

2

l22

12103.4 ⋅kN m


Page 2 of 8

≔R34.5.42.1 =―――――――――――――

⋅⋅⋅q22.9.30.5 LIB⎛⎜⎝

+L2I ――LIB2

⎞⎟⎠

2⎛⎜⎝


⎞⎟⎠

l22

4453 ⋅kN m

≔R0.2 =+++R20.22.9 R42.1.45 R22.9.30.5 R34.5.42.1−−−−R20.22.9 R42.1.45 R22.9.30.5 R34.5.42.1

⎡⎢⎣

⎤⎥⎦

11879.8−11879.8⎡⎢⎣

⎤⎥⎦

⋅kN m

Element 4:

≔q64 252.3 ――kNm

≔q62 254.4 ――kNm

≔q57 249.4 ――kNm

≔q56 217.1 ――kNm

≔q49.h 211.8 ――kNm

≔q49.v 389.9 ――kNm

≔q47.7.h 389.7 ――kNm

≔q47.7.v −1183.9 ――kNm

≔q45.h −1181.9 ――kNm

≔LC 1000 mm ≔xlaas.64 2053 mm

≔q64.57 =―――――――――――――

+⋅―――+q64 q622

xlaas.64 ⋅―――+q62 q572

⎛⎝ −L1A xlaas.64⎞⎠

L1A252.3 ――

kNm

≔R64.57 =⋅―――――――――

⋅⋅⋅q64.57 L1A ――L1A2

⎛⎜⎝−l4 ――L1A2

⎞⎟⎠

⋅2 l42

⎛⎜⎝

+――L1A2

l4⎞⎟⎠2986.1 ⋅kN m

≔q56.47.7 =―――――――――――――

+⋅――――+q56 q49.h2

⎛⎝ −LAI LIP⎞⎠ ⋅――――+q49.v q47.7.h2

LIP

LAI241.5 ――

kNm

≔R56.47.7 =⋅―――――――――――――

⋅⋅⋅q56.47.7 LAI⎛⎜⎝

++L1A LC ――LAI2

⎞⎟⎠

⎛⎜⎝

+――LAI2

LI2⎞⎟⎠

⋅2 l42

⎛⎜⎝

+++L1A LC ――LAI2

l4⎞⎟⎠7179 ⋅kN m

≔q47.7.45 =――――+q47.7.v q45.h2

−1182.9 ――kNm

≔R47.7.45 =⋅―――――――――

⋅⋅⋅q47.7.45 LI2⎛⎜⎝−l4 ――LI22

⎞⎟⎠――LI22

⋅2 l42

⎛⎜⎝

+−l4 ――LI22

l4⎞⎟⎠−3928 ⋅kN m

≔e49 =e16 53.36 mm ≔P49.v 26486.2 kN ≔P49.h 14386.4 kN



Page 3 of 8

≔e49 =e16 53.36 mm ≔P49.v 26486.2 kN ≔P49.h 14386.4 kN


≔R49 =⋅⋅−0.434903 ⎛⎝ −P49.v P49.h⎞⎠ e49 −280.793 ⋅kN m

≔R0.4 =0

+++R64.57 R56.47.7 R47.7.45 R49

⎡⎢⎣

⎤⎥⎦

05956.2⎡⎢⎣

⎤⎥⎦

⋅kN m

Lastvektor:

≔R0 =++R0.1 R0.2 R0.45676.464−5923.588⎡⎢⎣

⎤⎥⎦

⋅kN m ≔R =−R0− ⋅5.676 103

⋅5.924 103⎡⎢⎣

⎤⎥⎦

⋅kN m


≔l3 6.5737 m ≔l5 8.5737 m ≔E 36000 MPa


≔k1 ―――⋅⋅3 E IBl1

1 00 0⎡⎢⎣

⎤⎥⎦

≔k2 ―――⋅⋅2 E IBl2

2 11 2⎡⎢⎣

⎤⎥⎦

≔k3 ―――⋅⋅4 E ISl3

1 00 0⎡⎢⎣

⎤⎥⎦


≔k4 ―――⋅⋅3 E IBl4

0 00 1⎡⎢⎣

⎤⎥⎦

≔k5 ―――⋅⋅4 E ISl5

0 00 1⎡⎢⎣

⎤⎥⎦

Stivhetsmatrise:

≔K =++++k1 k2 k3 k4 k5⋅7.355 106 ⋅1.44 106

⋅1.44 106 ⋅7.083 106⎡⎢⎣

⎤⎥⎦

⋅kN m

Rotasjoner:

≔r =⋅K−1 R −97.433103.44⎡⎢⎣

⎤⎥⎦10−5



Page 4 of 8



≔M11 ⋅8834.347 kN m ((UK))≔S1 =+⋅k1 r R0.1

−8834.3470

⎡⎢⎣

⎤⎥⎦

⋅kN m


≔M21 ⋅10563.147 kN m ((UK))≔S2 =+⋅k2 r R0.2

10563.147−10303.649⎡⎢⎣

⎤⎥⎦


≔M22 ⋅10303.649 kN m ((UK))


≔M31 ⋅1728.801 kN m ((OK))≔S3 =⋅k3 r

−1728.8010

⎡⎢⎣

⎤⎥⎦

⋅kN m


≔M42 ⋅8896.417 kN m ((UK))≔S4 =+⋅k4 r R0.4

08896.417⎡⎢⎣

⎤⎥⎦

⋅kN m


≔M52 ⋅1407.232 kN m ((UK))≔S5 =⋅k5 r

01407.232⎡⎢⎣

⎤⎥⎦

⋅kN m


Page 5 of 8

Modelering av tvangskrefter:Skal kunne reprodusere eksakte momenter i brudekket ved å bruke vertikal forskyving ved opplegg i akse 1 og 2, samt rotasjoner i frihetsgrader r1 og r2.Dette vil derimot ikke gi i nerheten av rett verdi for søylene, bare brudekket.Metoden som er brukt vil være ok siden det bare er brudekket som skal analyseres.

≔P45 26223.1 kN ≔P20 26221.8 kN ≔e2 256 mm

Tar momentverdier fra Robot for å minke feilene.

≔St.1 =+⋅−8999.26 kN m0

⎡⎢⎣

⎤⎥⎦

⋅P20 e20

⎡⎢⎣

⎤⎥⎦

−2286.50

⎡⎢⎣

⎤⎥⎦

⋅kN m

≔St.2 =+⋅10449.64 kN m⋅−11102.28 kN m

⎡⎢⎣

⎤⎥⎦

⋅−P20 e2⋅P45 e2

⎡⎢⎣

⎤⎥⎦

3736.9−4389.2⎡⎢⎣

⎤⎥⎦

⋅kN m

≔St.4 =+0⋅8505.28 kN m

⎡⎢⎣

⎤⎥⎦

0⋅−P45 e2

⎡⎢⎣

⎤⎥⎦

01792.2⎡⎢⎣

⎤⎥⎦

⋅kN m

＝R0.t.1−Mu.1

0

⎡⎢⎣

⎤⎥⎦

＝R0.t.40Mu.2

⎡⎢⎣

⎤⎥⎦

＝Rt.kM1

M2

⎡⎢⎣

⎤⎥⎦

＝Rt.1 +⋅k1 rt.1 R0.t.1 ＝rt.1 ――――−Rt.1 R0.t.1k1

＝rt.1 ――――+Rt.1.1 Mu.1

k1.11

＝Rt.4 +⋅k4 rt.2 R0.t.4 ＝rt.2 ――――−Rt.4 R0.t.4k4

＝rt.2 ――――−Rt.4.2 Mu.2

k4.22

＝Rt.2 ⋅k2 rt ＝Rt.2v +⋅k2.11 rt.1 ⋅k2.12 rt.2 ＝Rt.2h +⋅k2.21 rt.1 ⋅k2.22 rt.2

＝＝Rt.2v +⋅k2.11 rt.1 ⋅k2.12 rt.2 +⋅k2.11 ――――+Rt.1.1 Mu.1

k1.11⋅k2.12 ――――

−Rt.4.2 Mu.2

k4.22

＝Mu.1 −⋅⎛⎜⎝

−Rt.2v ⋅k2.12 ――――−Rt.4.2 Mu.2

k4.22

⎞⎟⎠――k1.11k2.11

Rt.1.1

＝Rt.2h +⋅k2.21 ―――――――――――――――

−+Rt.1.1 ⋅⎛⎜⎝

−Rt.2v ⋅k2.12 ――――−Rt.4.2 Mu.2

k4.22

⎞⎟⎠――k1.11k2.11

Rt.1.1

k1.11⋅k2.22 ――――

−Rt.4.2 Mu.2

k4.22

＝Rt.2h +⋅k2.21 ―――――――――――――――

−+Rt.1.1 ⋅⎛⎜⎝

−Rt.2v ⋅k2.12 ――――−Rt.4.2 Mu.2

k4.22

⎞⎟⎠――k1.11k2.11

Rt.1.1

k1.11⋅k2.22 ――――

−Rt.4.2 Mu.2

k4.22


Page 6 of 8

≔A ――――――

⋅⋅k1 ,0 0k2 ,0 1

k2 ,1 0

⋅k2 ,0 0k4 ,1 1

≔B ――――

⋅k1 ,0 0k2 ,1 1

k4 ,1 1

≔C ――――

⋅k1 ,0 0k2 ,1 0

k2 ,0 0

≔Mu.2 =――――――――――――――――――――

−++−−⋅St.21 k1 ,0 0⋅k2 ,1 0St.10 ⋅St.20 C ⋅St.41 A ⋅St.10 k2 ,1 0

⋅St.41 B

(( −A B))10025.8 ⋅kN m

≔Mu.1 =−⋅

⎛⎜⎜⎜⎝

−St.20 ⋅k2 ,0 1――――

−St.41 Mu.2

k4 ,1 1

⎞⎟⎟⎟⎠

――

k1 ,0 0

k2 ,0 0

St.10 9700.8 ⋅kN m

≔rt.1 =――――

+St.10 Mu.1

k1 ,0 0

⋅2.746 10−3 ≔rt.2 =――――

−St.41 Mu.2

k4 ,1 1

⋅−2.897 10−3

≔rt =rt.1rt.2

⎡⎢⎣

⎤⎥⎦

0.003−0.003⎡⎢⎣

⎤⎥⎦

≔R0.t.1−Mu.1

0

⎡⎢⎣

⎤⎥⎦

≔R0.t.40Mu.2

⎡⎢⎣

⎤⎥⎦

≔Rt.1 =+⋅k1 rt R0.t.1−2286.5

0⎡⎢⎣

⎤⎥⎦

⋅kN m =St.1−2286.5

0⎡⎢⎣

⎤⎥⎦

⋅kN m

≔Rt.2 =⋅k2 rt3736.9−4389.2⎡⎢⎣

⎤⎥⎦

⋅kN m =St.23736.9−4389.2⎡⎢⎣

⎤⎥⎦

⋅kN m

≔Rt.3 =⋅k3 rt4871.90

⎡⎢⎣

⎤⎥⎦

⋅kN m =S3−1728.8

0⎡⎢⎣

⎤⎥⎦

⋅kN m

≔Rt.4 =+⋅k4 rt R0.t.40

1792.2⎡⎢⎣

⎤⎥⎦

⋅kN m =St.40

1792.2⎡⎢⎣

⎤⎥⎦

⋅kN m

≔Rt.5 =⋅k5 rt0

−3940.8⎡⎢⎣

⎤⎥⎦

⋅kN m =S50

1407.2⎡⎢⎣

⎤⎥⎦

⋅kN m


Page 7 of 8

Forskyvinger ved oppllegg og momenter i frihetsgrader:

Tar hensyn til forlengelse av søylen pga vertikal forskyving og tilleggrotasjonen fra det.

≔Δ1 =++―――Mu.1

―――⋅⋅3 E IB

l12

―――Mu.1

⋅l1 ――⋅As E

l3

⋅⎛⎜⎜⎝

−⋅rt.1⎛⎜⎜⎝

+―――⋅⋅3 E IB

l12

―――⋅⋅6 E IB

l22

⎞⎟⎟⎠

⋅rt.2 ―――⋅⋅6 E IB

l22

⎞⎟⎟⎠――l3⋅As E

71.974 mm

≔Δ2 =++―――Mu.2

―――⋅⋅3 E IB

l42

―――Mu.2

⋅l4 ――⋅As E

l5

⋅⎛⎜⎜⎝

−⋅rt.2⎛⎜⎜⎝

+―――⋅⋅3 E IB

l42

―――⋅⋅6 E IB

l22

⎞⎟⎟⎠

⋅rt.1 ―――⋅⋅6 E IB

l22

⎞⎟⎟⎠――l3⋅As E

66.969 mm

＝Rt+Mu.1 M1

−M2 Mu.2

⎡⎢⎣

⎤⎥⎦

＝Rt ⋅K rt

≔M1 =−+⋅K,0 0rt0 ⋅K

,0 1rt1 ⋅Δ1 ―――

⋅⋅3 E IB

l12

6305.6 ⋅kN m

≔M2 =++⋅K,1 0rt0 ⋅K

,1 1rt1 ⋅Δ2 ―――

⋅⋅3 E IB

l42

−6545.1 ⋅kN m


Page 8 of 8

Vedlegg O

Verifikasjon ekvivalente krefter og tvangskrefter fra Spennkrafttap≔IB 500052633000 mm 4 ≔IS 81000000000 mm 4 ≔As ⋅(( ⋅4500 600)) mm 2


≔l1 20 m ≔l2 25 m ≔l4 19 m

Element 1:

≔L1A 7000 mm ≔LA 2000 mm ≔LAI 8276 mm ≔LI2 2724 mm

≔LIP 1276 mm ≔xlaas.0 2012 mm ≔q0 −31.8 ――kNm

≔q2 −32.1 ――kNm

≔q7 −31.4 ――kNm

≔q9 −27.3 ――kNm

≔q16.v −26.7 ――kNm

≔q16.h −49.1 ――kNm

≔q17.3.v −49.1 ――kNm

≔q17.3.h 149.2 ――kNm

≔q20.v 149 ――kNm

≔q0.7 =――――――――――――

+⋅―――+q0 q22

xlaas.0 ⋅―――+q2 q72

⎛⎝ −L1A xlaas.0⎞⎠

L1A−31.8 ――

kNm

≔R0.7 =⋅――――――――

⋅⋅⋅q0.7 L1A ――L1A2

⎛⎜⎝−l1 ――L1A2

⎞⎟⎠

⋅2 l12

⎛⎜⎝

+――L1A2

l1⎞⎟⎠−377.7 ⋅kN m

≔q9.17.3 =―――――――――――――

+⋅―――+q9 q16.v2

⎛⎝ −LAI LIP⎞⎠ ⋅――――+q16.h q17.3.v2

LIP

LAI−30.4 ――

kNm

≔R9.17.3 =⋅―――――――――――――

⋅⋅⋅q9.17.3 LAI⎛⎜⎝

++L1A LA ――LAI2

⎞⎟⎠

⎛⎜⎝

+――LAI2

LI2⎞⎟⎠

⋅2 l12

⎛⎜⎝

+++L1A LA ――LAI2

l1⎞⎟⎠−939.8 ⋅kN m

≔q17.3.20 =―――――+q17.3.h q17.3.h2

149.2 ――kNm

≔R17.3.20 =⋅―――――――――

⋅⋅⋅q17.3.20 LI2⎛⎜⎝−l1 ――LI22

⎞⎟⎠――LI22

⋅2 l12

⎛⎜⎝

+−l1 ――LI22

l1⎞⎟⎠498.3 ⋅kN m


Page 1 of 8

≔R17.3.20 =⋅―――――――――

⋅⋅⋅q17.3.20 LI2⎛⎜⎝−l1 ――LI22

⎞⎟⎠――LI22

⋅2 l12

⎛⎜⎝

+−l1 ――LI22

l1⎞⎟⎠498.3 ⋅kN m

≔e16 =⋅⎛⎜⎝

−414 ⋅―――414

7500270002

⎞⎟⎠mm 53.36 mm ≔P16.h −3338.6 kN

≔P16.v −1811.9 kN


≔R16 =⋅⋅−0.460000 ⎛⎝ −P16.h P16.v⎞⎠ e16 37.474 ⋅kN m

≔R0.1 =−−−−R0.7 R9.17.3 R17.3.20 R16

0

⎡⎢⎣

⎤⎥⎦

781.70

⎡⎢⎣

⎤⎥⎦

⋅kN m

Element 2:

≔q20.h 144.2 ――kNm

≔q22.9.v 144.1 ――kNm

≔q22.9.h −56.2 ――kNm

≔q30.5 −56.2 ――kNm

≔L2I 2948 mm ≔LIB 7552 mm ≔LB 4000 mm

≔q20.22.9 =――――+q20.h q22.9.v2

144.2 ――kNm

≔R20.22.9 =―――――――――

⋅⋅⋅q20.22.9 L2I ――L2I2

⎛⎜⎝−l2 ――L2I2

⎞⎟⎠

2

l22

554.7 ⋅kN m

≔R42.1.45 =――――――――――

⋅⋅⋅q20.22.9 L2I⎛⎜⎝――L2I2

⎞⎟⎠

2 ⎛⎜⎝−l2 ――L2I2

⎞⎟⎠

l22

34.8 ⋅kN m

≔q22.9.30.5 =――――+q22.9.h q30.52

−56.2 ――kNm

≔R22.9.30.5 =―――――――――――――

⋅⋅⋅q22.9.30.5 LIB⎛⎜⎝

+L2I ――LIB2

⎞⎟⎠

⎛⎜⎝


⎞⎟⎠

2

l22

−1525.1 ⋅kN m

≔R34.5.42.1 =―――――――――――――

⋅⋅⋅q22.9.30.5 LIB⎛⎜⎝

+L2I ――LIB2

⎞⎟⎠

2⎛⎜⎝


⎞⎟⎠

l22

−561.1 ⋅kN m


Page 2 of 8

≔R0.2 =+++R20.22.9 R42.1.45 R22.9.30.5 R34.5.42.1−−−−R20.22.9 R42.1.45 R22.9.30.5 R34.5.42.1

⎡⎢⎣

⎤⎥⎦

−1496.81496.8

⎡⎢⎣

⎤⎥⎦

⋅kN m

Element 4:

≔q64 −31.8 ――kNm

≔q62 −32.1 ――kNm

≔q57 −31.4 ――kNm

≔q56 −27.4 ――kNm

≔q49.h −26.7 ――kNm

≔q49.v −49.1 ――kNm

≔q47.7.h −49.1 ――kNm

≔q47.7.v 149.2 ――kNm

≔q45.h 149 ――kNm

≔LC 1000 mm ≔xlaas.64 2053 mm

≔q64.57 =―――――――――――――

+⋅―――+q64 q622

xlaas.64 ⋅―――+q62 q572

⎛⎝ −L1A xlaas.64⎞⎠

L1A−31.8 ――

kNm

≔R64.57 =⋅―――――――――

⋅⋅⋅q64.57 L1A ――L1A2

⎛⎜⎝−l4 ――L1A2

⎞⎟⎠

⋅2 l42

⎛⎜⎝

+――L1A2

l4⎞⎟⎠−376.4 ⋅kN m

≔q56.47.7 =―――――――――――――

+⋅――――+q56 q49.h2

⎛⎝ −LAI LIP⎞⎠ ⋅――――+q49.v q47.7.h2

LIP

LAI−30.4 ――

kNm

≔R56.47.7 =⋅―――――――――――――

⋅⋅⋅q56.47.7 LAI⎛⎜⎝

++L1A LC ――LAI2

⎞⎟⎠

⎛⎜⎝

+――LAI2

LI2⎞⎟⎠

⋅2 l42

⎛⎜⎝

+++L1A LC ――LAI2

l4⎞⎟⎠−905.2 ⋅kN m

≔q47.7.45 =――――+q47.7.v q45.h2

149.1 ――kNm

≔R47.7.45 =⋅―――――――――

⋅⋅⋅q47.7.45 LI2⎛⎜⎝−l4 ――LI22

⎞⎟⎠――LI22

⋅2 l42

⎛⎜⎝

+−l4 ――LI22

l4⎞⎟⎠495.1 ⋅kN m

≔e49 =e16 53.36 mm ≔P49.v −3338.8 kN ≔P49.h −1813.6 kN


≔R49 =⋅⋅−0.434903 ⎛⎝ −P49.v P49.h⎞⎠ e49 35.394 ⋅kN m


Page 3 of 8

≔R0.4 =0

+++R64.57 R56.47.7 R47.7.45 R49

⎡⎢⎣

⎤⎥⎦

0−751.1⎡⎢⎣

⎤⎥⎦

⋅kN m

Lastvektor:

≔R0 =++R0.1 R0.2 R0.4−715.094745.657

⎡⎢⎣

⎤⎥⎦

⋅kN m ≔R =−R0715.094−745.657⎡⎢⎣

⎤⎥⎦

⋅kN m


≔l3 6.5737 m ≔l5 8.5737 m ≔E 36000 MPa


≔k1 ―――⋅⋅3 E IBl1

1 00 0⎡⎢⎣

⎤⎥⎦

≔k2 ―――⋅⋅2 E IBl2

2 11 2⎡⎢⎣

⎤⎥⎦

≔k3 ―――⋅⋅4 E ISl3

1 00 0⎡⎢⎣

⎤⎥⎦


≔k4 ―――⋅⋅3 E IBl4

0 00 1⎡⎢⎣

⎤⎥⎦

≔k5 ―――⋅⋅4 E ISl5

0 00 1⎡⎢⎣

⎤⎥⎦

Stivhetsmatrise:

≔K =++++k1 k2 k3 k4 k5⋅7.355 106 ⋅1.44 106

⋅1.44 106 ⋅7.083 106⎡⎢⎣

⎤⎥⎦

⋅kN m

Rotasjoner:

≔r =⋅K−1 R 12.273−13.022⎡⎢⎣

⎤⎥⎦10−5



≔M11 ⋅1113.103 kN m ((OK))≔S1 =+⋅k1 r R0.1

1113.1030

⎡⎢⎣

⎤⎥⎦

⋅kN m



Page 4 of 8

Moment på venstre side av element 2:Element 2:

≔M21 ⋅1330.86 kN m ((OK))≔S2 =+⋅k2 r R0.2

−1330.861298.46

⎡⎢⎣

⎤⎥⎦


≔M22 ⋅1298.46 kN m ((OK))


≔M31 ⋅217.757 kN m ((UK))≔S3 =⋅k3 r

217.7570

⎡⎢⎣

⎤⎥⎦

⋅kN m


≔M42 ⋅1121.297 kN m ((OK))≔S4 =+⋅k4 r R0.4

0−1121.297⎡⎢⎣

⎤⎥⎦

⋅kN m


≔M52 ⋅177.163 kN m ((OK))≔S5 =⋅k5 r

0−177.163⎡⎢⎣

⎤⎥⎦

⋅kN m


Page 5 of 8

Modelering av tvangskrefter:Skal kunne reprodusere eksakte momenter i brudekket ved å bruke vertikal forskyving ved opplegg i akse 1 og 2, samt rotasjoner i frihetsgrader r1 og r2.Dette vil derimot ikke gi i nerheten av rett verdi for søylene, bare brudekket.Metoden som er brukt vil være ok siden det bare er brudekket som skal analyseres.

≔P45 −3331.9 kN ≔P20 −3331.7 kN ≔e2 256 mm

≔St.1 =+⋅1095.64 kN m0

⎡⎢⎣

⎤⎥⎦

⋅P20 e20

⎡⎢⎣

⎤⎥⎦

242.70

⎡⎢⎣

⎤⎥⎦

⋅kN m

≔St.2 =+⋅−1239.85 kN m⋅1327.33 kN m

⎡⎢⎣

⎤⎥⎦

⋅−P20 e2⋅P45 e2

⎡⎢⎣

⎤⎥⎦

−386.9474.4

⎡⎢⎣

⎤⎥⎦

⋅kN m

≔St.4 =+0⋅−1031.84 kN m

⎡⎢⎣

⎤⎥⎦

0⋅−P45 e2

⎡⎢⎣

⎤⎥⎦

0−178.9⎡⎢⎣

⎤⎥⎦

⋅kN m

＝R0.t.1−Mu.1

0

⎡⎢⎣

⎤⎥⎦

＝R0.t.40Mu.2

⎡⎢⎣

⎤⎥⎦

＝Rt.kM1

M2

⎡⎢⎣

⎤⎥⎦

＝Rt.1 +⋅k1 rt.1 R0.t.1 ＝rt.1 ――――−Rt.1 R0.t.1k1

＝rt.1 ――――+Rt.1.1 Mu.1

k1.11

＝Rt.4 +⋅k4 rt.2 R0.t.4 ＝rt.2 ――――−Rt.4 R0.t.4k4

＝rt.2 ――――−Rt.4.2 Mu.2

k4.22

＝Rt.2 ⋅k2 rt ＝Rt.2v +⋅k2.11 rt.1 ⋅k2.12 rt.2 ＝Rt.2h +⋅k2.21 rt.1 ⋅k2.22 rt.2

＝＝Rt.2v +⋅k2.11 rt.1 ⋅k2.12 rt.2 +⋅k2.11 ――――+Rt.1.1 Mu.1

k1.11⋅k2.12 ――――

−Rt.4.2 Mu.2

k4.22

＝Mu.1 −⋅⎛⎜⎝

−Rt.2v ⋅k2.12 ――――−Rt.4.2 Mu.2

k4.22

⎞⎟⎠――k1.11k2.11

Rt.1.1

＝Rt.2h +⋅k2.21 ―――――――――――――――

−+Rt.1.1 ⋅⎛⎜⎝

−Rt.2v ⋅k2.12 ――――−Rt.4.2 Mu.2

k4.22

⎞⎟⎠――k1.11k2.11

Rt.1.1

k1.11⋅k2.22 ――――

−Rt.4.2 Mu.2

k4.22

＝Rt.2h +⋅k2.21 ―――――――――――――――

−+Rt.1.1 ⋅⎛⎜⎝

−Rt.2v ⋅k2.12 ――――−Rt.4.2 Mu.2

k4.22

⎞⎟⎠――k1.11k2.11

Rt.1.1

k1.11⋅k2.22 ――――

−Rt.4.2 Mu.2

k4.22

≔A ――――――

⋅⋅k1 ,0 0k2 ,0 1

k2 ,1 0

⋅k2 ,0 0k4 ,1 1

≔B ――――

⋅k1 ,0 0k2 ,1 1

k4 ,1 1

≔C ――――

⋅k1 ,0 0k2 ,1 0

k2 ,0 0


Page 6 of 8

≔A ――――――

⋅⋅k1 ,0 0k2 ,0 1

k2 ,1 0

⋅k2 ,0 0k4 ,1 1

≔B ――――

⋅k1 ,0 0k2 ,1 1

k4 ,1 1

≔C ――――

⋅k1 ,0 0k2 ,1 0

k2 ,0 0

≔Mu.2 =――――――――――――――――――――

−++−−⋅St.21 k1 ,0 0⋅k2 ,1 0St.10 ⋅St.20 C ⋅St.41 A ⋅St.10 k2 ,1 0

⋅St.41 B

(( −A B))−1057.6 ⋅kN m

≔Mu.1 =−⋅

⎛⎜⎜⎜⎝

−St.20 ⋅k2 ,0 1――――

−St.41 Mu.2

k4 ,1 1

⎞⎟⎟⎟⎠

――

k1 ,0 0

k2 ,0 0

St.10 −1022.9 ⋅kN m

≔rt.1 =――――

+St.10 Mu.1

k1 ,0 0

⋅−2.889 10−4 ≔rt.2 =――――

−St.41 Mu.2

k4 ,1 1

⋅3.091 10−4

≔rt =rt.1rt.2

⎡⎢⎣

⎤⎥⎦

− ⋅2.889 10−4

⋅3.091 10−4⎡⎢⎣

⎤⎥⎦

≔R0.t.1−Mu.1

0

⎡⎢⎣

⎤⎥⎦

≔R0.t.40Mu.2

⎡⎢⎣

⎤⎥⎦

≔Rt.1 =+⋅k1 rt R0.t.1242.70

⎡⎢⎣

⎤⎥⎦

⋅kN m =St.1242.70

⎡⎢⎣

⎤⎥⎦

⋅kN m

≔Rt.2 =⋅k2 rt−386.9474.4

⎡⎢⎣

⎤⎥⎦

⋅kN m =St.2−386.9474.4

⎡⎢⎣

⎤⎥⎦

⋅kN m

≔Rt.3 =⋅k3 rt−512.6

0⎡⎢⎣

⎤⎥⎦

⋅kN m =S3217.80

⎡⎢⎣

⎤⎥⎦

⋅kN m

≔Rt.4 =+⋅k4 rt R0.t.40

−178.9⎡⎢⎣

⎤⎥⎦

⋅kN m =St.40

−178.9⎡⎢⎣

⎤⎥⎦

⋅kN m

≔Rt.5 =⋅k5 rt0

420.6⎡⎢⎣

⎤⎥⎦

⋅kN m =S50

−177.2⎡⎢⎣

⎤⎥⎦

⋅kN m


Page 7 of 8

Forskyvinger ved oppllegg og momenter i frihetsgrader:

Tar hensyn til forlengelse av søylen pga vertikal forskyving og tilleggrotasjonen fra det.

≔Δ1 =++―――Mu.1

―――⋅⋅3 E IB

l12

―――Mu.1

⋅l1 ――⋅As E

l3

⋅⎛⎜⎜⎝

−⋅rt.1⎛⎜⎜⎝

+―――⋅⋅3 E IB

l12

―――⋅⋅6 E IB

l22

⎞⎟⎟⎠

⋅rt.2 ―――⋅⋅6 E IB

l22

⎞⎟⎟⎠――l3⋅As E

−7.589 mm

≔Δ2 =++―――Mu.2

―――⋅⋅3 E IB

l42

―――Mu.2

⋅l4 ――⋅As E

l5

⋅⎛⎜⎜⎝

−⋅rt.2⎛⎜⎜⎝

+―――⋅⋅3 E IB

l42

―――⋅⋅6 E IB

l22

⎞⎟⎟⎠

⋅rt.1 ―――⋅⋅6 E IB

l22

⎞⎟⎟⎠――l3⋅As E

−7.064 mm

＝Rt+Mu.1 M1

−M2 Mu.2

⎡⎢⎣

⎤⎥⎦

＝Rt ⋅K rt

≔M1 =−+⋅K,0 0rt0 ⋅K

,0 1rt1 ⋅Δ1 ―――

⋅⋅3 E IB

l12

−655.1 ⋅kN m

≔M2 =++⋅K,1 0rt0 ⋅K

,1 1rt1 ⋅Δ2 ―――

⋅⋅3 E IB

l42

716.8 ⋅kN m


Page 8 of 8

Vedlegg P BruddgrensetilstandMomentkapasitet felt A:

Kapasiteten bergnes for lagtidseffekter ved urisset tverrsnitt.

≔fp0.1k 1640 MPa ≔γs 1.15 ≔εcu ⋅3.5 10−3 ≔fpd =――fp0.1kγs

1426 MPa

≔Ep 195000 MPa ≔σpm0 1394 MPa ≔εp0 =――σpm0Ep

⋅7.1487 10−3

≔Ap 1800 mm 2 ≔nA 6 ≔ϕp 90 mm ≔Ap.A =⋅Ap nA 10800 mm 2

≔PA 14748.4 kN ≔ΔA =%――――⋅8.809 PA⋅σpm0 Ap.A

0.086 ≔cnom.UK 65 mm

≔Es 200000 MPa

≔ε'p0.A =⋅⎛⎝ −1 ΔA⎞⎠ εp0 ⋅6.5318 10−3 ≔As.A 9739 mm 2 ≔bs 4500 mm ≔h 1000 mm

≔fyd =――――500 MPa1.15

435 MPa ≔fcd =―――――⋅45 MPa 0.85

1.525.5 MPa ≔ϕl 25 mm

Middlere effektiv høyde for slakk- og spennarmering:

≔dsA =−−h cnom.UK ⋅1.5 ϕl 897.5 mm ≔dpA =−−h cnom.UK⎛⎜⎝

+⋅2 ϕl ―ϕp2

⎞⎟⎠840 mm

Basert på kraftsenter ikke tøyning (Konservativt).

≔dA =⎛⎜⎝―――――――――

+⋅⋅fpd Ap.A dpA ⋅⋅fyd As.A dsA+⋅fpd Ap.A ⋅fyd As.A

⎞⎟⎠852.4 mm

Prøver for flens og ser om befinner seg der.beff.A α

≔beff.A 8100 mm ≔αA =――――――+⋅fpd Ap.A ⋅fyd As.A

⋅⋅⋅0.8 fcd beff.A dA0.139

=⋅αA dA 118.834 mm ≔tf 300 mm <⋅αA dA tf Trykket er kun i flens.

≔MRd.A =⋅⋅⋅⋅⋅0.8 αA ⎛⎝ −1 ⋅0.4 αA⎞⎠ fcd beff.A dpA2 15348 ⋅kN m

≔MEd.A ⋅15243.5 kN m Tatt fra rapport kapittel 8 bruddgrensetilstand.

<MRd.A MEd.A !OK

Balansert armering:


Page 1 of 7

Balansert armering:Ligger midt i steg. Det vil si at trykkbredden er noe mellom og . Visst < med beff.A bs Ap.A Apb

så er tverrsnittet uten tvil underarmert. bsPrøver med .bs

≔αb =――――――εcu

+εcu⎛⎜⎝

−――fpdEp

ε'p0.A⎞⎟⎠

0.817

≔Apb =−⋅⋅⋅⋅0.8 αb bs dA ――fcdfpd

⋅As.A ――fydfyd

35117 mm 2 >Apb Ap.A Underarmert!

Momentkapasitet opplegg 3:

Kapasiteten bergnes for lagtidseffekter ved urisset tverrsnitt.

≔PB 26431.1 kN ≔nB 12 ≔Ap.B =⋅Ap nB 21600 mm 2

≔ΔB =%――――⋅8.809 PB⋅σpm0 Ap.B

0.077 ≔ε'p0.B =⋅⎛⎝ −1 ΔB⎞⎠ εp0 ⋅6.5959 10−3

≔As.B 17907 mm 2 ≔cnom.OK 75 mm

Middlere effektiv høyde for slakk og spennarmering:

≔dsB =−−h cnom.OK ⋅1.5 ϕl 887.5 mm ≔dpB =−−h cnom.OK⎛⎜⎝

+⋅2 ϕl ―ϕp2

⎞⎟⎠830 mm

Basert på tøyningssenter.

≔dB =⎛⎜⎝―――――――――

+⋅⋅Ep Ap.B dpB ⋅⋅Es As.B dsB+⋅Ep Ap.B ⋅Es As.B

⎞⎟⎠856.4 mm

Når trykksone er i steget kan tverrsnittet antas som rektangulært med stegets bredde som bredde.

≔beff.B 4500 mm ≔αB =――――――+⋅fpd Ap.B ⋅fyd As.B

⋅⋅⋅0.8 fcd beff.B dB0.491 =⋅αB dB 420.4 mm

≔MRd.B =⋅⋅⋅⋅⋅0.8 αB ⎛⎝ −1 ⋅0.4 αB⎞⎠ fcd beff.B dB2 26560.1 ⋅kN m

≔MEd.B ⋅17631.5 kN m Tatt fra rapport kapittel 8 bruddgrensetilstand. Ikke nødvendig å ta hensyn til redusering av støttemoment.

<MRd.A MEd.A !OK

Balansert armering: ≔αb =――――――εcu

+εcu⎛⎜⎝

−――fpdEp

ε'p0.B⎞⎟⎠

0.83

≔Apb =−⋅⋅⋅⋅0.8 αb bs dB ――fcdfpd

⋅As.B ――fydfyd

27846 mm 2 >Apb Ap.A Underarmert!

Skjærkapasitet opplegg 3:


Page 2 of 7

Skjærkapasitet opplegg 3:

Skjærstrekkapasitet:

Gjort iht EK2-1-1:6.2.2(1)

≔Ac.B 5136000 mm 2 ≔k1 0.15 For trykk ≔CRd.c 0.12

≔fcd 25.5 MPa ≔fck 45 MPa ≔As.B.UK 9739 mm 2

≔dpB =−dpB ⋅―――――256 mm

((2724 mm))2dpB

2 806.233 mm Linkningen er selvavhengig ved det siste leddet med parameteren . dpBBenytter forenklet gammel verdi og benytter dimensjoner fra vedlegg F.

≔dB =⎛⎜⎝―――――――――

+⋅⋅Ep Ap.B dpB ⋅⋅Es As.B dsB+⋅Ep Ap.B ⋅Es As.B

⎞⎟⎠843.578 mm

≔ρl =min⎛⎜⎝

,―――――+Ap.B As.B.UK⋅beff.B dB

0.02⎞⎟⎠0.0083 ≔k =min

⎛⎜⎜⎝

,+1‾‾‾‾‾‾‾‾―――200 mmdB

2⎞⎟⎟⎠1.487

≔Vmin =⋅⋅⋅0.035 k―2

3⎛⎜⎝――fckMPa

⎞⎟⎠

―1

2

MPa 0.306 MPa

Velger konservativt lavest aksialkraft for høyre side av akse 3. Verdier tatt fra vedlegg H.

≔P45.PT 26431.1 kN ≔P45.CSR −4173.7 kN ≔NEd 20920.0 kN

≔σcp =min⎛⎜⎝

,――NEdAc.B

⋅0.2 fcd⎞⎟⎠4.073 MPa =Ac.B 5136000 mm 2

≔VRd.c max

⎛⎜⎜⎜⎝

,⋅⋅

⎛⎜⎜⎜⎝

+⋅⋅⋅MPa CRd.c k⎛⎜⎝

⋅⋅100 ρl ――fckMPa

⎞⎟⎠

―1

3

⋅k1 σcp

⎞⎟⎟⎟⎠beff.B dB ⋅⋅⎛⎝ +Vmin ⋅k1 σcp⎞⎠ beff.B dB

⎞⎟⎟⎟⎠

=VRd.c 4579.4 kN

≔VEd.45 5396.6 kN ≔VEd.47.85 2076.47 kN Tatt fra Robot ULS-STR med forspenningens primærkrefter.

≔VEd.red =⎛⎜⎝

−VEd.45 ⋅――――――−VEd.45 VEd.47.852.85 m

dB⎞⎟⎠4413.9 kN

>VRd.c VEd.red !OK


Page 3 of 7

>VRd.c VEd.red

Skjærtrykkapasitet:

Gjort iht EK2-1-1:6.2.3

=σcp 4.073 MPa =⋅0.25 fcd 6.375 MPa <σcp ⋅0.25 fcd

≔αcw =+1 ――σcpfcd

1.16 (NA.6.11.aN)

≔α 90 °

velger høyeste verdi av =2 iht SVV N400:7.6.2cotθ

≔θ 26.56 °

≔v1 0.6 for ≤fcd 60 Mpa (NA.6.10.aN)

≔z =−−dB 75 mm 30 mm 738.578 mm

=ϕp 90 mm =―bs8

562.5 mm <ϕp ―bs8

Trenger ikke reduser bredde iht (6.16)

≔VRd.max =⋅⋅⋅⋅αcw beff.B z v1 ―――――fcd+cot((θ)) tan((θ))

23586.4 kN (6.9)

≔VEd =VEd.45 5396.6 kN

>VRd.max VEd !OK


Page 4 of 7

Torsjonkapasitet (opplegg 3):Kontrollen utføres i henhold til EK2-1-1:6.3 og EK2-1-1:NA.6.3.

Tar ikke med flens ved beregningene av torsjon.

≔TEd ⋅3129.2 kN m ≔b 4500 mm ≔u =⋅2 (( +h b)) 11000 mm

≔A =⋅h b 4500000 mm 2 ≔tef =max⎛⎜⎝,―

Au

+⋅2 cnom.OK ⋅1.5 ϕl⎞⎟⎠409.091 mm

≔Ak =⋅⎛⎝ −h tef⎞⎠ ⎛⎝ −b tef⎞⎠ 2417355 mm 2

≔v =⋅0.6⎛⎜⎝−1 ――――

fck250 MPa

⎞⎟⎠0.492 (NA.6.6N)

Torsjontrykkapasitet:

≔TRd.max =⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅2 v αcw fcd Ak tef sin ((θ)) cos ((θ)) 11509.5 ⋅kN m (6.30)

Interaksjon mellom skjær og torsjon:

Tar forenklet det mest ugunstige tilfellet fra torsjon og skjær selv om de ikke oppstår på samme side av opplegg 3.

=+―――TEd

TRd.max―――VEd

VRd.max0.501 <0.501 1 !OK (6.29)

Riss-torsjonsmoment:

≔αct 0.85 (NA.3.1.6(2)P

≔γc 1.5 Tabell NA.2.1N

≔fctk.0.05 2.7 MPa Tabell 3.1

≔fctd =⋅αct ―――fctk.0.05γc

1.53 MPa ((3.16))

≔τt =fctd 1.53 MPa 6.3.2(5)

≔TRd.c =⋅⋅⋅2 τt tef Ak 3026.1 ⋅kN m 6.3.2(5)

=TEd 3129.2 ⋅kN m <TRd.c TEd Trenger torsjonsarmering


Page 5 of 7

Torsjonsarmering:

Nødvendig lengdearmering:

≔uk =⋅2 ⎛⎝ +⎛⎝ −h tef⎞⎠ ⎛⎝ −b tef⎞⎠⎞⎠ 9364 mm 6.3.2(3)

≔ΣAsl =―――――⋅⋅TEd cot ((θ)) uk

⋅⋅2 Ak fyd27884 mm 2

Ser om spennarmeringen kan ta hele støttemomentet ved maksimal torsjon.

≔MEd.B.T ⋅13520.86 kN m

≔dB =⎛⎜⎝

−−−h cnom.OK ⋅2 ϕl ―ϕp2

⎞⎟⎠830 mm

≔beff.B 4500 mm

≔αB =――――――⋅fpd Ap.B

⋅⋅⋅0.8 fcd beff.B dB0.404

≔MRd.B.T =⋅⋅⋅⋅⋅0.8 αB ⎛⎝ −1 ⋅0.4 αB⎞⎠ fcd beff.B dB2 21432.4 ⋅kN m

>MRd.B.T MEd.B.T

Spennarmeringen kan ta hele støttemomentet. Bruker slakkarmering til torsjonsarmering.

Antall ø25 lengdearmering:

≔Aø25 ―――――⋅π ((25 mm))

2

4≔nsl =――ΣAslAø25

56.806

Omkrets hvor torsjonsarmeringen kan ligge (:≔oT =⋅2 ⎛⎝ +⎛⎝ −−−h cnom.OK cnom.UK ⋅2 ϕl⎞⎠ ⎛⎝ −−b ⋅2 cnom.UK ⋅2 ϕl⎞⎠⎞⎠ 10260 mm

Nødvendig senteravstand:

≔sl.T =―oTnsl

180.616 mm Benytter økt diameter i steg og minimum for resterende tverrsnitt.

Maksimal senteravstand:

≔sl.T.max 350 mm Iht EK2-1-1:9.2.3(4)

Velger Ø25s150 som Torsjonsarmering i steget


Page 6 of 7

Nødvendig bøyleearmering:

Prøver med lik senteravstand som for minimum skjærarmering.

≔s 300 mm

≔Asw =⋅――――⋅TEd s

⋅⋅2 Ak fydtan((θ)) 223.247 mm 2

≔ϕsw =‾‾‾‾‾‾―――⋅4 Aswπ

16.86 mm

Velger Ø20s300 som lukkede Torsjonsbøyler i steget


Page 7 of 7

Vedlegg Q BruksgrensetilstandBetong: ≔fck 45 MPa ≔γc 1.5 ≔Ecm 36000 MPa

≔fctm 3.8 MPa ≔fcd =⋅0.85 ――fckγc

25.5 MPa ≔φ100 1.690689

Slakkarmering: ≔fyk 500 MPa ≔γs 1.15 ≔Es 200000 MPa

≔fyd =――fykγs

434.8 MPa

Spennarmering: ≔fpd 1426 MPa ≔Ap 1800 mm 2 ≔Ep 195000 MPa

Overdekning: ≔cnom.UK 65 mm ≔cnom.OK 75 mm ≔cmin.dur.UK 50 mm

≔cmin.dur.OK 60 mm

Brudimensjoner: ≔h 1000 mm ≔b 4500 mm

Byggediameter for lengdearmering i torsjonsbøyle: ≔ϕl 30 mm

Byggediameter for tverrearmering i torsjonsbøyle: ≔ϕt 25 mm

Antall lengdearmering i UK/OK torsjonsbøyler: ≔nl.T 31 Tatt fra figur av nødvendig armering for bruddgrense.

Lengdearmering i UK:

≔As.UK =⋅⋅nl.T π⎛⎜⎝―――25 mm2

⎞⎟⎠

2

15217 mm 2

Lengdearmering i OK:Antall resterende jern tatt fra figur av nødvendig armering for bruddgrense.≔As.OK =+As.UK ⋅28

⎛⎜⎝―――20 mm2

⎞⎟⎠

2

18017 mm 2


1 of 31

Ofte forekommende kombinasjon (stadium I):

Felt A:

Slakkarmeringen og spennarmeringen har to forskjellige snitt som er dimensjonerende. Fokuserer på snitt hvor spennarmeringen er nærmest tverrsnittsidene.

Snitt for spennarmering:

Tatt fra rapport i kapitel om bruksgrense:

≔MA.1.OFTE ⋅5547.5 kN m ≔NA.1.OFTE −10632.5 kN

Tatt fra vedlegg spennkrafttap:

≔Ic.A 384639633000 mm 4 ≔Ac.A 5700000 mm 2 ≔yA 573.7 mm

≔Ec.eff =―――Ecm+1 φ100

13379 MPa ≔ηp =――EpEc.eff

14.575 ≔Ap.A 10800 mm 2

≔ηs =――EsEc.eff

14.948 ≔ϕp 90 mm ≔bf.A 8500 mm

≔At.A =++Ac.A ⋅⎛⎝ −ηp 1⎞⎠ Ap.A ⋅⎛⎝ +As.UK As.OK⎞⎠ ⎛⎝ −ηs 1⎞⎠ 6310165 mm 2

Eksentrisiteten til spennarmeringen fra tverrsnittsenter:

≔eA.1 =−−−−yA cnom.UK ϕl ϕt ―ϕp2

408.7 mm

≔es.UK =−−−yA cnom.UK ―ϕl2

ϕt 468.7 mm

≔es.OK =−−−−h yA cnom.OK ―ϕl2

ϕt 311.3 mm

≔yt.A.1 =―――――――――――――――――――−+⋅⋅⎛⎝ −ηp 1⎞⎠ Ap.A eA.1 ⋅⋅⎛⎝ −ηs 1⎞⎠ As.UK es.UK ⋅⋅⎛⎝ −ηs 1⎞⎠ As.OK es.OK

At.A12.9 mm

≔It.s =+⋅⋅⎛⎝ −ηs 1⎞⎠ As.UK ⎛⎝ −es.UK yt.A.1⎞⎠2

⋅⋅⎛⎝ −ηs 1⎞⎠ As.OK ⎛⎝ +es.OK yt.A.1⎞⎠270511086759 mm 4

≔It.p =⋅⋅⎛⎝ −ηp 1⎞⎠ Ap.A ⎛⎝ −eA.1 yt.A.1⎞⎠222971125366 mm 4

≔It.A.1 =+++Ic.A ⋅Ac.A yt.A.12 It.s It.p 479064961488 mm 4

Spenning i UK:


2 of 31

Spenning i UK:

≔yUK.A =yA 573.7 mm

≔σc.A.1.OFTE.UK =+――――NA.1.OFTEAt.A

――――MA.1.OFTE

It.A.1⎛⎝ −yUK.A yt.A.1⎞⎠ 4.809 MPa

=fctm 3.8 MPa

>σc.A.1.OFTE.UK fctm Risset tverrsnitt!

Spenning i OK:

≔yOK.A =−yA h −426.3 mm

≔σc.A.1.OFTE.OK =+――――NA.1.OFTEAt.A


It.A.1⎛⎝ −yOK.A yt.A.1⎞⎠ −6.77 MPa

Snitt for slakkarmering:


≔MA.2.OFTE ⋅5683.8 kN m ≔NA.2.OFTE −10632.5 kN

Avstand fra start av parabelbane fra felt A til snitt. ≔lA 7000 mm

Eksentrisiteten til spennarmeringen fra botnpunkt til gjelende snitt:

≔ep.A =⋅―――――414 mm

((7500 mm))2⎛⎝lA⎞⎠

2 360.64 mm Formel tatt fra vedlegg kabelbane.


≔eA.2 =−−−−−yA cnom.UK ϕl ϕt ―ϕp2

ep.A 48.06 mm

≔yt.A.2 =―――――――――――――――――――−+⋅⋅⎛⎝ −ηp 1⎞⎠ Ap.A eA.2 ⋅⋅⎛⎝ −ηs 1⎞⎠ As.UK es.UK ⋅⋅⎛⎝ −ηs 1⎞⎠ As.OK es.OK

At.A4.5 mm

≔It.s =+⋅⋅⎛⎝ −ηs 1⎞⎠ As.UK ⎛⎝ −es.UK yt.A.1⎞⎠2

⋅⋅⎛⎝ −ηs 1⎞⎠ As.OK ⎛⎝ +es.OK yt.A.1⎞⎠270511086759 mm 4

≔It.p =⋅⋅⎛⎝ −ηp 1⎞⎠ Ap.A ⎛⎝ −eA.1 yt.A.1⎞⎠222971125366 mm 4

≔It.A.2 =+++Ic.A ⋅Ac.A yt.A.12 It.s It.p 479064961488 mm 4

Spenning i UK:


3 of 31

Spenning i UK:

≔σc.A.2.OFTE.UK =+――――NA.2.OFTEAt.A


It.A.2⎛⎝ −yUK.A yt.A.2⎞⎠ 5.068 MPa

=fctm 3.8 MPa

>σc.A.2.OFTE.UK fctm Risset tverrsnitt!

Spenning i OK:

≔σc.A.2.OFTE.OK =+――――NA.2.OFTEAt.A


It.A.2⎛⎝ −yOK.A yt.A.2⎞⎠ −6.796 MPa

Akse 3:


4 of 31

Akse 3:




≔MB.1.OFTE ⋅4976.0 kN m ≔NB.1.OFTE −23623.1 kN

Tatt fra vedlegg spennkrafttap:

≔Ic.B 346071035040 mm 4 ≔Ac.B 5136000 mm 2 ≔yB 543.3 mm

≔Ap.B 21600 mm 2 ≔bf.B 6620 mm

≔As.OK.B =+As.UK ⋅⋅28 ―――−bf.B b

−bf.A b

⎛⎜⎝―――20 mm2

⎞⎟⎠

2

16701 mm 2

≔At.B =++Ac.B ⋅⎛⎝ −ηp 1⎞⎠ Ap.B ⋅⎛⎝ +As.UK As.OK.B⎞⎠ ⎛⎝ −ηs 1⎞⎠ 5874414 mm 2


≔eB.1 =−−−−−h yB cnom.OK ϕl ϕt ―ϕp2

281.7 mm

≔es.UK.B =−−−yB cnom.UK ―ϕl2

ϕt 438.3 mm

≔es.OK.B =−−−−h yB cnom.OK ―ϕl2

ϕt 341.7 mm

≔yt.B.1 =―――――――――――――――――――――+−⋅⋅⎛⎝ −ηp 1⎞⎠ Ap.B eB.1 ⋅⋅⎛⎝ −ηs 1⎞⎠ As.UK es.UK.B ⋅⋅⎛⎝ −ηs 1⎞⎠ As.OK.B es.OK.B

At.B11.8 mm

≔It.s =+⋅⋅⎛⎝ −ηs 1⎞⎠ As.UK ⎛⎝ +es.UK.B yt.B.1⎞⎠2

⋅⋅⎛⎝ −ηs 1⎞⎠ As.OK.B ⎛⎝ −es.OK.B yt.B.1⎞⎠268352222811 mm 4

≔It.p =⋅⋅⎛⎝ −ηp 1⎞⎠ Ap.B ⎛⎝ −eB.1 yt.B.1⎞⎠221363299416 mm 4

≔It.B.1 =+++Ic.B ⋅Ac.B yt.B.12 It.s It.p 436498575866 mm 4

Spenning i OK:


5 of 31

Spenning i OK:

≔yOK.B =−h yB 456.7 mm

≔σc.3.1.OFTE.OK =+――――NB.1.OFTEAt.B

――――MB.1.OFTE

It.B.1⎛⎝ −yOK.B yt.B.1⎞⎠ 1.051 MPa

=fctm 3.8 MPa

<σc.3.1.OFTE.OK fctm Urisset tverrsnitt!

Spenning i UK:

≔yUK.B =−yB −543.3 mm

≔σc.3.1.OFTE.UK =+――――NB.1.OFTEAt.B


It.B.1⎛⎝ −yUK.B yt.B.1⎞⎠ −10.349 MPa



6 of 31



≔MB.2.OFTE ⋅−5946.6 kN m ≔NB.2.OFTE −22075.5 kN

Avstand fra opplegg 3 til snitt: ≔lB =−2948 mm 1590 mm 1358 mm

Eksentrisiteten til spennarmeringen fra toppunkt til gjelende snitt:

≔ep.B =−188 mm⎛⎜⎜⎝

−⋅――――⋅2 188 mm2948 mm

lB ⋅―――――188 mm

((2948 mm))2lB2 ⎞⎟⎟⎠54.7 mm Formel tatt fra vedlegg F.


≔eB.2 =−−−−−−h yB cnom.OK ϕl ϕt ―ϕp2

ep.B 227.011 mm Trykksiden

≔yt.B.2 =―――――――――――――――――――――+−⋅⋅⎛⎝ −ηp 1⎞⎠ Ap.B eB.2 ⋅⋅⎛⎝ −ηs 1⎞⎠ As.UK es.UK.B ⋅⋅⎛⎝ −ηs 1⎞⎠ As.OK.B es.OK.B

At.B9 mm

Gitt for trykksiden

≔It.s =+⋅⋅⎛⎝ −ηs 1⎞⎠ As.UK ⎛⎝ +es.UK.B yt.B.2⎞⎠2

⋅⋅⎛⎝ −ηs 1⎞⎠ As.OK.B ⎛⎝ −es.OK.B yt.B.2⎞⎠268253599745 mm 4

≔It.p =⋅⋅⎛⎝ −ηp 1⎞⎠ Ap.B ⎛⎝ −eB.2 yt.B.2⎞⎠213930296421 mm 4

≔It.B.2 =+++Ic.B ⋅Ac.B yt.B.12 It.s It.p 428966949805 mm 4

Spenning i UK:

≔σc.3.2.OFTE.UK =+――――NB.2.OFTEAt.B


It.B.2⎛⎝ −yUK.B yt.B.2⎞⎠ 3.899 MPa

=fctm 3.8 MPa

>σc.3.2.OFTE.UK fctm Risset tverrsnitt!

Spenning i OK:

≔σc.3.2.OFTE.OK =+――――NB.2.OFTEAt.B


It.B.2⎛⎝ −yOK.B yt.B.2⎞⎠ −9.964 MPa


7 of 31

Tilnærmet permanent kombinasjon:

Felt A:




≔MA.1.PERM ⋅4553.8 kN m ≔NA.1.PERM −10891.5 kN

Spenning i UK:

≔yUK.A =yA 573.7 mm

≔σc.A.1.PERM.UK =+――――NA.1.PERMAt.A

――――MA.1.PERM

It.A.1⎛⎝ −yUK.A yt.A.1⎞⎠ 3.605 MPa

=fctm 3.8 MPa

>σc.A.1.PERM.UK fctm Urisset tverrsnitt!

Spenning i OK:

≔yOK.A =−yA h −426.3 mm

≔σc.A.1.PERM.OK =+――――NA.1.PERMAt.A


It.A.1⎛⎝ −yOK.A yt.A.1⎞⎠ −5.901 MPa

≔σc.PERM.max =⋅0.45 fck 20.25 MPa EK2-1-1:7.2(3) og NA.7.2(3)

<||σc.A.1.PERM.OK|| σc.PERM.max Tverrsnittet kan regnes med lineært kryp!



8 of 31



≔MA.2.PERM ⋅5098.1 kN m ≔NA.2.PERM −10891.5 kN

Spenning i UK:

≔σc.A.2.PERM.UK =+――――NA.2.PERMAt.A


It.A.2⎛⎝ −yUK.A yt.A.2⎞⎠ 4.331 MPa

=fctm 3.8 MPa

>σc.A.2.PERM.UK fctm Risset tverrsnitt!

Spenning i OK:

≔σc.A.2.PERM.OK =+――――NA.2.PERMAt.A


It.A.2⎛⎝ −yOK.A yt.A.2⎞⎠ −6.31 MPa

=σc.PERM.max 20.25 MPa

<||σc.A.2.PERM.OK|| σc.PERM.max Tverrsnittet kan regnes med lineært kryp!

Opplegg 3:


9 of 31

Opplegg 3:




≔MB.1.PERM ⋅4378.0 kN m ≔NB.1.PERM −23623.1 kN

Spenning i OK:

≔yOK.B =−h yB 456.7 mm

≔σc.3.1.PERM.OK =+――――NB.1.PERMAt.B

――――MB.1.PERM

It.B.1⎛⎝ −yOK.B yt.B.1⎞⎠ 0.441 MPa

<σc.3.1.PERM.OK fctm Urisset tverrsnitt!

Spenning i UK:

≔yUK.B =−yB −543.3 mm

≔σc.3.1.PERM.UK =+――――NB.1.PERMAt.B


It.B.1⎛⎝ −yUK.B yt.B.1⎞⎠ −9.589 MPa

≔σc.PERM.max =⋅0.45 fck 20.25 MPa EK2-1-1:7.2(3) og NA.7.2(3)

<||σc.3.1.PERM.UK|| σc.PERM.max Tverrsnittet kan regnes med lineært kryp!

Kontroll av trykkavlastning:

Strekksone høyde:

≔α =――――――――――σc.3.1.PERM.OK

+σc.3.1.PERM.OK ||σc.3.1.PERM.UK||0.044 =⋅α h 43.986 mm

Iht EK2-1-1:Tabell NA.7.1N merknad 2 skal etteroppspente kabelkanaler ved påvising av trykkavlastning ligge i trykksonen.Δcdev

≔Δcdev 15 mm Iht SVV N400 7.4.3

Maksimal strekksone høyde for kravet:

≔hp =−++cnom.OK ϕl ϕt Δcdev 115 mm >hp ⋅α h !OK



10 of 31



≔MB.2.PERM ⋅−5244.3 kN m ≔NB.2.PERM −22208.8 kN

Spenning i UK:

≔σc.3.2.PERM.UK =+――――NB.2.PERMAt.B


It.B.2⎛⎝ −yUK.B yt.B.2⎞⎠ 2.972 MPa

=fctm 3.8 MPa

>σc.3.2.PERM.UK fctm Urisset tverrsnitt!

Spenning i OK:

≔σc.3.2.PERM.OK =+――――NB.2.PERMAt.B


It.B.2⎛⎝ −yOK.B yt.B.2⎞⎠ −9.253 MPa

=σc.PERM.max 20.25 MPa

<||σc.3.2.PERM.OK|| σc.PERM.max Tverrsnittet kan regnes med lineært kryp!


11 of 31

Ofte forekommende kombinasjon (stadium II):

Felt A:



Effektiv høyde spennarmering: ≔dp.A =−−−−h cnom.UK ϕt ϕl ―ϕp2

835 mm

Effektiv høyde slakkarmering: ≔ds.UK =+dp.A ―――+ϕp ϕl2

895 mm

Høyde differanse mellom slakk og spennarmering:

≔dx =−ds.UK dp.A 60 mm

Høyde til trykkarmering: ≔d'A =++cnom.OK ϕt ―ϕl2

115 mm

=MA.1.OFTE 5547.5 ⋅kN m =NA.1.OFTE −10632.5 kN

≔eA.1.II =−ds.UK ―h2395 mm ≔aA.1 =――――

MA.1.OFTE

||NA.1.OFTE||521.7 mm

Har gjort om likevekten til å ta hensyn til både slakk-, spenn- og trykkarmering.

≔AN.A.1 ((α)) ⋅⋅⋅―12α ds.UK bf.A ≔BN.A.1 ((α)) ⋅⋅As.OK

⎛⎜⎝−1 ―――

d'A⋅α ds.UK

⎞⎟⎠⎛⎝ −ηs 1⎞⎠

≔CN.A.1 ((α)) ⋅⋅ηs As.UK⎛⎜⎝――−1 αα

⎞⎟⎠

≔DN.A.1 ((α)) ⋅⋅ηp Ap.A⎛⎜⎝――――――

−−ds.UK ⋅α ds.UK dx⋅α ds.UK

⎞⎟⎠

≔σc.N.A.1 ((α)) ――――――――――――――||NA.1.OFTE||

−−+AN.A.1 ((α)) BN.A.1 ((α)) CN.A.1 ((α)) DN.A.1 ((α))

≔AM.A.1 ((α)) ⋅⋅⋅⋅⋅―12α ds.UK bf.A

⎛⎜⎝−1 ―α3

⎞⎟⎠ds.UK

≔BM.A.1 ((α)) ⋅⋅As.OK⎛⎜⎝−1 ―――

d'A⋅α ds.UK

⎞⎟⎠⎛⎝ −ηs 1⎞⎠ ⎛⎝ −ds.UK d'A⎞⎠

≔CM.A.1 ((α)) ⋅⋅⋅ηp Ap.A dx⎛⎜⎝――――――

−−ds.UK ⋅ds.UK α dx⋅α ds.UK

⎞⎟⎠

≔eA.1.II =−ds.UK ⎛⎝ −h yA⎞⎠ 468.7 mm =aA.1 521.749 mm ≔α , ‥0.4 0.41 1

≔σc.M.A.1 ((α)) ―――――――――――⋅||NA.1.OFTE|| ⎛⎝ +eA.1.II aA.1⎞⎠

−+AM.A.1 ((α)) BM.A.1 ((α)) CM.A.1 ((α))


12 of 31

23456789

01

10

0.38 0.42 0.46 0.5 0.54 0.58 0.62 0.66 0.70.3 0.34 0.74

α

σc.N.A.1 ((α)) ((MPa))

σc.M.A.1 ((α)) ((MPa))

Gue

ss V

alue

sCo

nstr

aint

sSo

lver

≔α 0.52

＝σc.N.A.1 ((α)) σc.M.A.1 ((α))

≔αA.1 =Find ((α)) 0.45

=σc.N.A.1 ⎛⎝αA.1⎞⎠ 7.347 MPa =σc.M.A.1 ⎛⎝αA.1⎞⎠ 7.347 MPa

=⋅αA.1 ds.UK 403.194 mm ≔tf 300 mm >⋅αA.1 dA.1 tf

Trykksonen er i flen og steg. Må ta hensyn til betongtverrsnittets varierende bredde.Beregninger blir gjort som i Betongkonstruksjoner av Svein Ivar Sørensen Del I kapitel 5.2.7, 5.2.8 og del II kapitel 6.4.1. Formel modifiseres til å ta hensyn til spennarmering

≔bf =−bf.A b 4000 mm =b 4500 mm

Lineære tøyninger:＝εc ⋅⋅κ α d ＝κ ――

εc⋅α d

＝εf ⋅κ (( −⋅α d t)) ＝εs ⋅⋅κ (( −1 α)) d ＝εs' ⋅κ (( −⋅α d d')) ＝Δεp ⋅κ ⎛⎝ −⋅(( −1 α)) d dx⎞⎠

＝εf ⋅εc⎛⎜⎝−1 ――

t⋅α d

⎞⎟⎠

＝εs ⋅εc⎛⎜⎝――−1 αα

⎞⎟⎠

＝εs' ⋅εc⎛⎜⎝−1 ――

d'⋅α d

⎞⎟⎠

＝Δεp ⋅εc⎛⎜⎝――――

−−d ⋅α d dx⋅α d

⎞⎟⎠

Aksial likevekt:

＝N −−++―12Ecεcαdb ―

12Ectbf ⎛⎝ +εf εc⎞⎠ εs'As' ⎛⎝ −Es Ec⎞⎠ EsAsεs EpApεp

＝―Nσc

−−++――αdb2

―――――

tbf⎛⎜⎝−2 ――

t⋅α d

⎞⎟⎠

2As'⎛⎜⎝−1 ――

d'⋅α d

⎞⎟⎠

⎛⎜⎝

−―EsEc

1⎞⎟⎠――EsAsEc

⎛⎜⎝――−1 αα

⎞⎟⎠――EpApEc

⎛⎜⎝――――


⎞⎟⎠

＝σc ――――――――――――――――――――――――――N

−−++――αdb2

―――――

tbf⎛⎜⎝−2 ――

t⋅α d

⎞⎟⎠

2As'⎛⎜⎝−1 ――

d'⋅α d

⎞⎟⎠

⎛⎜⎝

−―EsEc

1⎞⎟⎠――EsAsEc

⎛⎜⎝――−1 αα

⎞⎟⎠――EpApEc

⎛⎜⎝――――


⎞⎟⎠

≔AN.A.1 ((α)) ⋅⋅⋅―12α ds.UK b


13 of 31

≔AN.A.1 ((α)) ⋅⋅⋅―12α ds.UK b

≔BN.A.1 ((α)) ⋅⋅⋅―12tf bf

⎛⎜⎝−2 ―――

tf⋅α ds.UK

⎞⎟⎠

≔CN.A.1 ((α)) ⋅⋅As.OK⎛⎜⎝−1 ―――

d'A⋅α ds.UK

⎞⎟⎠⎛⎝ −ηs 1⎞⎠

≔DN.A.1 ((α)) ⋅⋅ηs As.UK⎛⎜⎝――−1 αα

⎞⎟⎠

≔EN.A.1 ((α)) ⋅⋅ηp Ap.A⎛⎜⎝――――――


⎞⎟⎠

≔σc.N.A.1 ((α)) ――――――――――――――――――||NA.1.OFTE||

−−++AN.A.1 ((α)) BN.A.1 ((α)) CN.A.1 ((α)) DN.A.1 ((α)) EN.A.1 ((α))

Likevekt om strekkarmeringen sitt tyngdepunkt:

＝N (( +e a)) −++――――――

Ecεcαdb⎛⎜⎝−1 ―α3

⎞⎟⎠

2d SAc.f SAs' EpApεcdx

⎛⎜⎝――――

−−d dα dxαd

⎞⎟⎠

＝＝SAc.f +Ecεftbf⎛⎜⎝−d ―t2

⎞⎟⎠―12Ectbf ⎛⎝ −εc εf⎞⎠

⎛⎜⎝−d ―t3

⎞⎟⎠Ecεctbf

⎛⎜⎝

+−−d ―t2――t2 α

――t2

3 αd

⎞⎟⎠

＝SAs' εcAs' ⎛⎝ −Es Ec⎞⎠ (( −d d'))⎛⎜⎝−1 ――

d'⋅α d

⎞⎟⎠

＝―――N (( +e a))σc

−++―12αdb

⎛⎜⎝−1 ―α3

⎞⎟⎠d tbf

⎛⎜⎝

+−−d ―t2――t2 α

――t2

3 αd

⎞⎟⎠SAs'.c ―――

EpApdxEc

⎛⎜⎝――――

−−d dα dxαd

⎞⎟⎠

＝SAs'.c As'⎛⎜⎝−1 ――

d'⋅α d

⎞⎟⎠

⎛⎜⎝

−―EsEc

1⎞⎟⎠(( −d d'))

＝σc ―――――――――――――――――――――――N (( +e a))

−++―12αdb

⎛⎜⎝−1 ―α3

⎞⎟⎠d tbf

⎛⎜⎝

+−−d ―t2――t2 α

――t2

3 αd

⎞⎟⎠SAs'.c ―――

EpApdxEc

⎛⎜⎝――――

−−d dα dxαd

⎞⎟⎠


14 of 31

≔AM.A.1 ((α)) ⋅⋅⋅⋅⋅―12α ds.UK b

⎛⎜⎝−1 ―α3

⎞⎟⎠ds.UK

≔BM.A.1 ((α)) ⋅⋅tf bf⎛⎜⎜⎝

+−−ds.UK ―tf2

――tf⋅2 α

――――tf2

⋅⋅3 α ds.UK

⎞⎟⎟⎠

≔CM.A.1 ((α)) ⋅⋅As.OK⎛⎜⎝−1 ―――

d'A⋅α ds.UK

⎞⎟⎠⎛⎝ −ηs 1⎞⎠ ⎛⎝ −ds.UK d'A⎞⎠

≔DM.A.1 ((α)) ⋅⋅⋅ηp Ap.A dx⎛⎜⎝――――――


⎞⎟⎠

≔eA.1.II =−ds.UK ⎛⎝ −h yA⎞⎠ 468.7 mm =aA.1 521.749 mm

≔α , ‥0.2 0.21 1

≔σc.M.A.1 ((α)) ――――――――――――――⋅||NA.1.OFTE|| ⎛⎝ +eA.1.II aA.1⎞⎠

−++AM.A.1 ((α)) BM.A.1 ((α)) CM.A.1 ((α)) DM.A.1 ((α))

23456789

01

10

0.36 0.44 0.52 0.6 0.68 0.76 0.84 0.920.2 0.28 1

α

σc.M.A.1 ((α)) ((MPa))

σc.N.A.1 ((α)) ((MPa))

Løyser likningen og finner :αA.1

Gue

ss V

alue

sCo

nstr

aint

sSo

lver

≔α 0.5

＝σc.M.A.1 ((α)) σc.N.A.1 ((α))

≔αA.1 =Find ((α)) 0.459


Resultatene i forhold til beregningene med konstant bredde er som forventet. Laver siden armeringen vil få mer tøyning. Samtidig er også betongspenningen i topp αA.1høyere siden det vil bli en større konsentrasjon av betongarealt som tar trykk i topp av tverrsnittet.

Tøyninger og spenninger:


15 of 31


Betong: ≔εc.A.1.OK =―――――σc.N.A.1 ⎛⎝αA.1⎞⎠

Ec.eff⋅5.54 10−4

≔σc.A.1.OK =σc.N.A.1 ⎛⎝αA.1⎞⎠ 7.413 MPa

Slakkarmering: ≔εs.A.1 =⋅εc.A.1.OK⎛⎜⎝―――−1 αA.1αA.1

⎞⎟⎠

⋅6.541 10−4

≔σs.A.1 =⋅εs.A.1 Es 130.826 MPa

Spennarmering: ≔Δεp.A.1 =⋅εc.A.1.OK⎛⎜⎝――――――

−dp.A ⋅αA.1 ds.UK⋅αA.1 ds.UK

⎞⎟⎠

⋅5.731 10−4

≔Δσp.A.1 =⋅Δεp.A.1 Ep 111.762 MPa

Rissvidder:

Beregnes iht EK2-1-1:7.3.4 og NA.7.3.4.

≔ϕs 25 mm ≔ns =nl.T 31 =ϕp 90 mm ≔np 6

Middlere effektivhøyde basert på tøyningssenter:

≔dm =――――――――――+⋅⋅Es As.UK ds.UK ⋅⋅Ep Ap.A dp.A+⋅Es As.UK ⋅Ep Ap.A

870.461 mm

≔ϕeq =――――――+⋅ns ϕs

2 ⋅np ϕp2

+⋅ns ϕs ⋅np ϕp51.7 mm EK2-1-1:(7.12)

≔hc.eff max⎛⎜⎝

,min⎛⎜⎝

,,⎛⎝ ⋅2.5 ⎛⎝ −h dm⎞⎠⎞⎠⎛⎜⎝――――−h ⋅αA.1 dm3

⎞⎟⎠―h2

⎞⎟⎠⎛⎝ +−h dm ⋅1.5 ϕeq⎞⎠

⎞⎟⎠

=hc.eff 207.077 mm EK2-1-1:7.3.2(3) og NA.7.3.4(3)

≔Ac.eff.UK =⋅b hc.eff 931845 mm 2 EK2-1-1:7.3.2(3) og NA.7.3.4(3)

≔ϕe.p =⋅1.6 ‾‾‾Ap 67.9 mm EK2-1-1:6.8.2(2)

Heftfasthet mellom spennkabler og slakkarmering for spennstål i form av tau:

≔ξ 0.5 EK2-1-1:Tabell 6.2.Ingen egne krav i ETA.


16 of 31

EK2-1-1:Tabell 6.2.Ingen egne krav i ETA.

Antar at siden EK2-1-1:7.3.4(2) spesifiserer i overensstemmelse med uttrykk (7.5) og ξ1ikke EK2-1-1:7.3.2(3) at kravet om avstanden til senter av spennarmeringen fra UK må være minder enn 150 mm for å ha innvirkning ikke er ment for å være gjeldende for uttrykk (7.9).

≔ξ1 =‾‾‾‾‾‾⋅ξ ――ϕsϕe.p

0.429 EK2-1-1:(7.5)

Høyde til overside av spennarmering: ≔hc.p =+++cnom.UK ϕt ϕl ϕp 210 mm

Effektivt spennareal innenfor :Ac.eff.UK >hc.p hc.eff Areal må reduseres.

Antar hele arealet samles i OK av kabelkanal. Beregningen er noe konservativ med tanke på hulrom mellom spenntauene.

≔hθ =−hc.p hc.eff 2.923 mm ≔θ =⋅2 acos⎛⎜⎝−1 ―――

hθ⋅0.5 ϕp

⎞⎟⎠41.531 °

≔ΔAp.A =⋅6⎛⎝ ⋅⋅0.5 ⎛⎝ ⋅0.5 ϕp⎞⎠

2(( −θ sin ((θ))))

⎞⎠ 376 mm 2

≔Ap.A' =−Ap.A ΔAp.A 10424 mm 2 EK2-1-1:7.3.2(3)

≔ρp.eff =――――――+As.UK ⋅ξ1

2 Ap.A'

Ac.eff.UK0.018 EK2-1-1:(7.10)

≔αe =――EsEc.eff

14.948 ≔kt 0.4 (langvarig last) EK2-1-1:7.3.2(3)

≔fct.eff =fctm 3.8 MPa (Etter 28 døgn) EK2-1-1:7.3.2(2)

Siden det bare er spesifisert at kan byttes med og ikke med så byttes ikke .σs Δσp Es Ep Es

≔εsm.cm max

⎛⎜⎜⎜⎝

,―――――――――――

−Δσp.A.1 ⋅⋅kt ――fct.effρp.eff

⎛⎝ +1 ⋅αe ρp.eff⎞⎠

Es⋅0.6 ―――Δσp.A.1Es

⎞⎟⎟⎟⎠

EK2-1-1:(7.9)

=εsm.cm ⋅3.353 10−4

≔k1 1.6 ≔k2 0.5 ≔k3 3.4 ≔k4 0.425 EK2-1-1:7.3.4(3) og NA.7.3.4(3)

≔cl.UK =+cnom.UK ϕt 90 mm

≔sgrense =⋅5 ⎛⎝ +cl.UK ⋅0.5 ϕeq⎞⎠ 579 mm ≔s 150 mm <s sgrense Kan bruke uttrykk (7.11).

≔sr.max.UK =+⋅k3 cl.UK ⋅⋅⋅k1 k2 k4 ――ϕeqρp.eff

1262 mm


17 of 31


1262 mm EK2-1-1:(7.11)

≔wk =⋅sr.max.UK εsm.cm 0.423 mm EK2-1-1:(7.8)

Beregnet rissvidde for spennarmering:

≔wk.p.A.1 =⋅wk⎛⎜⎝―――Δεp.A.1εs.A.1

⎞⎟⎠0.371 mm EK2-1-1:Tabell

NA.7.1N merknad 1

≔kc =min⎛⎜⎝

,――――cnom.UKcmin.dur.UK

1.3⎞⎟⎠1.3 EK2-1-1:(NA.901)

Maksimal rissvidde:≔wmax =⋅⋅0.2 kc mm 0.26 mm EK2-1-1:Tabell

NA.7.1N

Krav for rissvidde samvirke: >wk.p.A.1 wmax Kravet er ikke godkjent!

Slakkarmering:

≔εsm.cm max

⎛⎜⎜⎜⎝

,――――――――――

−σs.A.1 ⋅⋅kt ――fct.effρp.eff

⎛⎝ +1 ⋅αe ρp.eff⎞⎠

Es⋅0.6 ――σs.A.1Es

⎞⎟⎟⎟⎠

EK2-1-1:(7.9)

=εsm.cm ⋅3.925 10−4

≔k1 0.8 EK2-1-1:7.3.4(3) og NA.7.3.4(3)


784 mm EK2-1-1:(7.11)

≔wk.s.A.1 =⋅sr.max.UK εsm.cm 0.308 mm

Krav for rissvidde samvirke: >wk.s.A.1 wmax Kravet er ikke godkjent!


18 of 31


Antar at dette snittet også har trykksone i flen og steg.

=MA.2.OFTE 5683.8 ⋅kN m =NA.2.OFTE −10632.5 kN

≔dp.A.2 =−+eA.2 h yA 474.4 mm ≔dx =−ds.UK dp.A.2 420.64 mm

=eA.2 48.06 mm Spennarmering på strekksiden.

Aksial likevekt:

≔AN.A.2 ((α)) ⋅⋅⋅―12α ds.UK b

≔BN.A.2 ((α)) ⋅⋅⋅―12tf bf

⎛⎜⎝−2 ―――

tf⋅α ds.UK

⎞⎟⎠

≔CN.A.2 ((α)) ⋅⋅As.OK⎛⎜⎝−1 ―――

d'A⋅α ds.UK

⎞⎟⎠⎛⎝ −ηs 1⎞⎠

≔DN.A.2 ((α)) ⋅⋅ηs As.UK⎛⎜⎝――−1 αα

⎞⎟⎠

≔EN.A.2 ((α)) ⋅⋅ηp Ap.A⎛⎜⎝――――――


⎞⎟⎠

≔σc.N.A.2 ((α)) ――――――――――――――――――||NA.2.OFTE||



≔AM.A.2 ((α)) ⋅⋅⋅⋅⋅―12α ds.UK b

⎛⎜⎝−1 ―α3

⎞⎟⎠ds.UK

≔BM.A.2 ((α)) ⋅⋅tf bf⎛⎜⎜⎝

+−−ds.UK ―tf2

――tf⋅2 α

――――tf2

⋅⋅6 α ds.UK

⎞⎟⎟⎠

≔CM.A.2 ((α)) ⋅⋅As.OK⎛⎜⎝−1 ―――

d'A⋅α ds.UK

⎞⎟⎠⎛⎝ −ηs 1⎞⎠ ⎛⎝ −ds.UK d'A⎞⎠ =eA.1.II 468.7 mm

≔aA.2 =――――MA.2.OFTE

||NA.2.OFTE||534.6 mm

≔DM.A.2 ((α)) ⋅⋅⋅ηp Ap.A dx⎛⎜⎝――――――


⎞⎟⎠

≔σc.M.A.2 ((α)) ――――――――――――――⋅||NA.2.OFTE|| ⎛⎝ +eA.1.II aA.2⎞⎠

−++AM.A.2 ((α)) BM.A.2 ((α)) CM.A.2 ((α)) DM.A.2 ((α))≔α , ‥0.0 0.01 1


19 of 31

4681012141618

02

20

0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.90 0.1 1

α

σc.M.A.2 ((α)) ((MPa))

σc.N.A.2 ((α)) ((MPa))


Gue

ss V

alue

sCo

nstr

aint

sSo

lver

≔α 0.3

＝σc.M.A.2 ((α)) σc.N.A.2 ((α))

≔αA.2 =Find ((α)) 0.381


Trykksone: =⋅αA.2 ds.UK 340.748 mm >⋅αA.2 ds.A tf Beregningsmetode er OK!



Ec.eff⋅6.774 10−4

≔σc.A.2.OK =σc.N.A.2 ⎛⎝αA.2⎞⎠ 9.063 MPa


⎞⎟⎠

⋅1.102 10−3

≔σs.A.2 =⋅εs.A.2 Es 220.357 MPa


−dp.A.2 ⋅αA.2 ds.UK⋅αA.2 ds.UK

⎞⎟⎠

⋅2.656 10−4

≔Δσp.A.2 =⋅Δεp.A.2 Ep 51.793 MPa


20 of 31

Rissvidder:



Middlere effektivhøyde asert på tøyningssenter:

≔dm =――――――――――+⋅⋅Es As.UK ds.UK ⋅⋅Ep Ap.A dp.A.2+⋅Es As.UK ⋅Ep Ap.A

722.967 mm

≔ϕeq =――――――+⋅ns ϕs

2 ⋅np ϕp2

+⋅ns ϕs ⋅np ϕp51.7 mm EK2-1-1:(7.12)


,min⎛⎜⎝

,,⎛⎝ ⋅2.5 ⎛⎝ −h dm⎞⎠⎞⎠⎛⎜⎝――――−h ⋅αA.1 dm3

⎞⎟⎠―h2

⎞⎟⎠⎛⎝ +−h dm ⋅1.5 ϕeq⎞⎠

⎞⎟⎠

=hc.eff 354.571 mm EK2-1-1:7.3.2(3) og NA.7.3.4(3)


≔ϕe.p =⋅1.6 ‾‾‾Ap 67.9 mm EK2-1-1:6.8.2(2)




≔ξ1 =‾‾‾‾‾‾⋅ξ ――ϕsϕe.p

0.429 EK2-1-1:(7.5)

Høyde til overside av spennarmering: ≔hc.p =+−h dp.A.2 ―ϕp2

570.64 mm

Effektivt spennareal innenfor :Ac.eff.UK >hc.p hc.eff Ikke noe areal kan brukes

≔Ap.A' 0 mm 2 EK2-1-1:7.3.2(3)


2 Ap.A'

Ac.eff.UK0.01 EK2-1-1:(7.10)


21 of 31





≔εsm.cm max

⎛⎜⎜⎜⎝

,―――――――――――

−Δσp.A.2 ⋅⋅kt ――fct.effρp.eff

⎛⎝ +1 ⋅αe ρp.eff⎞⎠

Es⋅0.6 ―――Δσp.A.2Es

⎞⎟⎟⎟⎠

EK2-1-1:(7.9)

=εsm.cm ⋅1.554 10−4

≔k1 1.6 ≔k2 0.5 ≔k3 3.4 ≔k4 0.425 EK2-1-1:7.3.4(3) og NA.7.3.4(3)




2149 mm EK2-1-1:(7.11)

≔wk =⋅sr.max.UK εsm.cm 0.334 mm EK2-1-1:(7.8)

Beregnet rissvidde for spennarmering:

≔wk.p.A.2 =⋅wk⎛⎜⎝―――Δεp.A.2εs.A.2

⎞⎟⎠0.08 mm EK2-1-1:Tabell

NA.7.1N merknad 1

≔kc =min⎛⎜⎝


1.3⎞⎟⎠1.3 EK2-1-1:(NA.901)

Maksimal rissvidde:≔wmax. =⋅⋅0.2 kc mm 0.26 mm EK2-1-1:Tabell

NA.7.1N

Krav for rissvidde samvirke: <wk.p.A.2 wmax Kravet er godkjent!


22 of 31

Slakkarmering:

≔εsm.cm max

⎛⎜⎜⎜⎝

,――――――――――


⎛⎝ +1 ⋅αe ρp.eff⎞⎠


⎞⎟⎟⎟⎠

EK2-1-1:(7.9)

=εsm.cm ⋅6.611 10−4

≔k1 0.8 EK2-1-1:7.3.4(3) og NA.7.3.4(3)


1227 mm EK2-1-1:(7.11)


Krav for rissvidde samvirke: >wk.s.A.2 wmax Kravet er ikke godkjent!


23 of 31

Akse 3:


≔MB.2.OFTE ⋅5946.6 kN m =NB.2.OFTE −22075.5 kN

≔dx.B =+eB.2 ⎛⎝ −ds.UK ⎛⎝ −h yB⎞⎠⎞⎠ 665.3 mm

Beregninger gjørest for spennarmering i trykksone.

Aksial likevekt:

≔AN.B.2 ((α)) ⋅⋅⋅―12α ds.UK b

≔BN.B.2 ((α)) ⋅⋅⋅―12tf bf

⎛⎜⎝−2 ―――

tf⋅α ds.UK

⎞⎟⎠

≔CN.B.2 ((α)) ⋅⋅As.OK.B⎛⎜⎝−1 ―――

d'A⋅α ds.UK

⎞⎟⎠⎛⎝ −ηs 1⎞⎠

≔DN.B.2 ((α)) ⋅⋅ηs As.UK⎛⎜⎝――−1 αα

⎞⎟⎠

≔EN.B.2 ((α)) ⋅⋅ηp Ap.B⎛⎜⎝―――――――

−−ds.UK ⋅α ds.UK dx.B⋅α ds.UK

⎞⎟⎠

≔σc.N.B.2 ((α)) ――――――――――――――――――||NB.2.OFTE||

+−++AN.B.2 ((α)) BN.B.2 ((α)) CN.B.2 ((α)) DN.B.2 ((α)) EN.B.2 ((α))


≔AM.B.2 ((α)) ⋅⋅⋅⋅⋅―12α ds.UK b

⎛⎜⎝−1 ―α3

⎞⎟⎠ds.UK

≔BM.B.2 ((α)) ⋅⋅tf bf⎛⎜⎜⎝

+−−ds.UK ―tf2

――tf⋅2 α

――――tf2

⋅⋅6 α ds.UK

⎞⎟⎟⎠

≔CM.B.2 ((α)) ⋅⋅As.OK⎛⎜⎝−1 ―――

d'A⋅α ds.UK

⎞⎟⎠⎛⎝ −ηs 1⎞⎠ ⎛⎝ −ds.UK d'A⎞⎠ ≔eB.2.II =−ds.UK ⎛⎝ −h yB⎞⎠ 438.3 mm

≔aB.2 =――――MB.2.OFTE

||NB.2.OFTE||269.4 mm

≔DM.B.2 ((α)) ⋅⋅⋅ηp Ap.B dx.B⎛⎜⎝―――――――

−−ds.UK ⋅ds.UK α dx.B⋅α ds.UK

⎞⎟⎠

≔α , ‥0.3 0.31 1

≔σc.M.B.2 ((α)) ―――――――――――――――⋅||NB.2.OFTE|| ⎛⎝ +eB.2.II aB.2⎞⎠

+++AM.B.2 ((α)) BM.B.2 ((α)) CM.B.2 ((α)) DM.B.2 ((α))


24 of 31

4681012141618

02

20

0.44 0.51 0.58 0.65 0.72 0.79 0.86 0.930.3 0.37 1

α

σc.M.B.2 ((α)) ((MPa))

σc.N.B.2 ((α)) ((MPa))

Løyser likningen og finner :αB.2

Gue

ss V

alue

sCo

nstr

aint

sSo

lver

≔α 0.5

＝σc.M.B.2 ((α)) σc.N.B.2 ((α))

≔αB.2 =Find ((α)) 0.819

=σc.N.B.2 ⎛⎝αB.2⎞⎠ 8.709 MPa =σc.M.B.2 ⎛⎝αB.2⎞⎠ 8.709 MPa


Betong: ≔εc.B.2.OK =―――――σc.N.B.2 ⎛⎝αB.2⎞⎠

Ec.eff⋅6.509 10−4

≔σc.B.2.OK =σc.N.B.2 ⎛⎝αB.2⎞⎠ 8.709 MPa

Slakkarmering: ≔εs.B.2 =⋅εc.B.2.OK⎛⎜⎝―――−1 αB.2αB.2

⎞⎟⎠

⋅1.435 10−4

≔σs.B.2 =⋅εs.B.2 Es 28.693 MPa

Spennarmering: ≔Δεp.B.2 =⋅εc.A.2.OK⎛⎜⎝――――――――

−−ds.UK ⋅αB.2 ds.UK dx.B⋅αB.2 ds.UK

⎞⎟⎠

⋅−4.652 10−4

≔Δσp.B.2 =⋅Δεp.B.2 Ep −90.717 MPa


25 of 31

Rissvidder:



≔dm =ds.UK 895 mm Spennarmering ligger i trykksonen


,min⎛⎜⎝

,,⎛⎝ ⋅2.5 ⎛⎝ −h dm⎞⎠⎞⎠⎛⎜⎝――――−h ⋅αB.2 dm3

⎞⎟⎠―h2

⎞⎟⎠⎛⎝ +−h dm ⋅1.5 ϕs⎞⎠

⎞⎟⎠

=hc.eff 142.5 mm EK2-1-1:7.3.2(3) og NA.7.3.4(3)



≔ξ1 =‾‾‾‾‾‾⋅ξ ――ϕsϕe.p

0.429 EK2-1-1:(7.5)

Høyde til overside av spennarmering: ≔hc.p =+yB eB.2 770.311 mm


Antagelsen om at spennarmering ikke har bidrag for kan benyttes.dm

≔Ap.B' 0 mm 2 EK2-1-1:7.3.2(3)


2 Ap.B'

Ac.eff.UK0.024 EK2-1-1:(7.10)





≔εsm.cm max

⎛⎜⎜⎜⎝

,――――――――――

−σs.B.2 ⋅⋅kt ――fct.effρp.eff

⎛⎝ +1 ⋅αe ρp.eff⎞⎠

Es⋅0.6 ――σs.B.2Es

⎞⎟⎟⎟⎠


26 of 31

≔εsm.cm max

⎛⎜⎜⎜⎝

,――――――――――

−σs.B.2 ⋅⋅kt ――fct.effρp.eff

⎛⎝ +1 ⋅αe ρp.eff⎞⎠

Es⋅0.6 ――σs.B.2Es

⎞⎟⎟⎟⎠

EK2-1-1:(7.9)

=εsm.cm ⋅8.608 10−5

≔k1 0.8 ≔k2 0.5 ≔k3 3.4 ≔k4 0.425 EK2-1-1:7.3.4(3) og NA.7.3.4(3)


≔sgrense =⋅5 ⎛⎝ +cl.UK ⋅0.5 ϕs⎞⎠ 513 mm ≔s 150 mm <s sgrense Kan bruke uttrykk (7.11).

≔sr.max.UK =+⋅k3 cl.UK ⋅⋅⋅k1 k2 k4 ――ϕsρp.eff

485 mm EK2-1-1:(7.11)

Rissevidde for slakkarmering:

≔wk.s.B.2 =⋅sr.max.UK εsm.cm 0.042 mm EK2-1-1:(7.8)

≔kc =min⎛⎜⎝


1.3⎞⎟⎠1.3 EK2-1-1:(NA.901)

Maksimal rissvidde:≔wmax =⋅⋅0.2 kc mm 0.26 mm EK2-1-1:Tabell

NA.7.1N

Krav for rissvidde samvirke: <wk.s.B.2 wmax Kravet er godkjent!

Spennarmering kontrolleres ikke siden den er i trykksonen.


27 of 31

Tilnærmet permanent kombinasjon (stadium II):

Felt A:



Antar at dette snittet også har trykksone i flen og steg.

=MA.2.PERM 5098.1 ⋅kN m =NA.2.PERM −10891.5 kN

≔dp.A.2 =−+eA.2 h yA 474.4 mm ≔dx =−ds.UK dp.A.2 420.64 mm

=eA.2 48.06 mm Spennaremring på strekksiden.

Aksial likevekt:

≔AN.A.2 ((α)) ⋅⋅⋅―12α ds.UK b

≔BN.A.2 ((α)) ⋅⋅⋅―12tf bf

⎛⎜⎝−2 ―――

tf⋅α ds.UK

⎞⎟⎠

≔CN.A.2 ((α)) ⋅⋅As.OK⎛⎜⎝−1 ―――

d'A⋅α ds.UK

⎞⎟⎠⎛⎝ −ηs 1⎞⎠

≔DN.A.2 ((α)) ⋅⋅ηs As.UK⎛⎜⎝――−1 αα

⎞⎟⎠

≔EN.A.2 ((α)) ⋅⋅ηp Ap.A⎛⎜⎝――――――


⎞⎟⎠

≔σc.N.A.2 ((α)) ――――――――――――――――――||NA.2.PERM||



≔AM.A.2 ((α)) ⋅⋅⋅⋅⋅―12α ds.UK b

⎛⎜⎝−1 ―α3

⎞⎟⎠ds.UK

≔BM.A.2 ((α)) ⋅⋅tf bf⎛⎜⎜⎝

+−−ds.UK ―tf2

――tf⋅2 α

――――tf2

⋅⋅3 α ds.UK

⎞⎟⎟⎠

≔CM.A.2 ((α)) ⋅⋅As.OK⎛⎜⎝−1 ―――

d'A⋅α ds.UK

⎞⎟⎠⎛⎝ −ηs 1⎞⎠ ⎛⎝ −ds.UK d'A⎞⎠ =eA.1.II 468.7 mm

≔aA.2 =――――MA.2.PERM

||NA.2.PERM||468.1 mm


28 of 31

≔aA.2 =――――MA.2.PERM

||NA.2.PERM||468.1 mm

≔DM.A.2 ((α)) ⋅⋅⋅ηp Ap.A dx⎛⎜⎝――――――


⎞⎟⎠

≔σc.M.A.2 ((α)) ――――――――――――――⋅||NA.2.PERM|| ⎛⎝ +eA.1.II aA.1⎞⎠

−++AM.A.2 ((α)) BM.A.2 ((α)) CM.A.2 ((α)) DM.A.2 ((α))≔α , ‥0.0 0.01 1

23456789

01

10

0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.90 0.1 1

α

σc.M.A.2 ((α)) ((MPa))

σc.N.A.2 ((α)) ((MPa))


Gue

ss V

alue

sCo

nstr

aint

sSo

lver

≔α 0.5

＝σc.M.A.2 ((α)) σc.N.A.2 ((α))

≔αA.2 =Find ((α)) 0.404


Trykksone: =⋅αA.2 ds.UK 361.94 mm >⋅αA.2 ds.A tf Beregningsmetode er OK!



Ec.eff⋅6.24 10−4

≔σc.A.2.OK =σc.N.A.2 ⎛⎝αA.2⎞⎠ 8.349 MPa


⎞⎟⎠

⋅9.19 10−4

≔σs.A.2 =⋅εs.A.2 Es 183.797 MPa


−dp.A.2 ⋅αA.2 ds.UK⋅αA.2 ds.UK

⎞⎟⎠

⋅1.938 10−4


Rissvidder:


2! of 31


Rissvidder:



Middler effektiv høyde basert på tøyningssenter:

≔dm =――――――――――+⋅⋅Es As.UK ds.UK ⋅⋅Ep Ap.A dp.A.2+⋅Es As.UK ⋅Ep Ap.A

722.967 mm

≔ϕeq =――――――+⋅ns ϕs

2 ⋅np ϕp2

+⋅ns ϕs ⋅np ϕp51.7 mm EK2-1-1:(7.12)


,min⎛⎜⎝

,,⎛⎝ ⋅2.5 ⎛⎝ −h dm⎞⎠⎞⎠⎛⎜⎝――――−h ⋅αA.1 dm3

⎞⎟⎠―h2

⎞⎟⎠⎛⎝ +−h dm ⋅1.5 ϕeq⎞⎠

⎞⎟⎠

=hc.eff 354.571 mm EK2-1-1:7.3.2(3) og NA.7.3.4(3)


≔ϕe.p =⋅1.6 ‾‾‾Ap 67.9 mm EK2-1-1:6.8.2(2)



Antar at siden EK2-1-1:7.3.4(2) spesifiserer i overensstemmelse med uttrykk (7.5) og ξ1ikke EK2-1-1:7.3.2(3) at kravet om avstanden til senter av spennarmeringen fra UK må være minder enn 15! mm for å ha innvirkning ikke er ment for å være gjeldende for uttrykk (7.!).

≔ξ1 =‾‾‾‾‾‾⋅ξ ――ϕsϕe.p

0.429 EK2-1-1:(7.5)

Høyde til overside av spennarmering: ≔hc.p =+−h dp.A.2 ―ϕp2

570.64 mm


≔Ap.A' 0 mm 2 EK2-1-1:7.3.2(3)


2 Ap.A'

Ac.eff.UK0.01 EK2-1-1:(7.1!)


14.948


3! of 31







Slakkarmering:

Snitte har egentli kontinuerlig samvirke, men spennarmering befinner seg nær senter av snittet og slakkarmeringen kontrolleres derfor mot krav for konstruksjon uten kontinuerlig samvirke.

Maksimal rissvidde:

≔wmax. =⋅⋅0.3 kc mm 0.39 mm EK2-1-1:Tabell NA.7.1N

≔εsm.cm max

⎛⎜⎜⎜⎝

,――――――――――


⎛⎝ +1 ⋅αe ρp.eff⎞⎠


⎞⎟⎟⎟⎠

EK2-1-1:(7.!)

=εsm.cm ⋅5.514 10−4

≔k1 0.8 ≔k2 0.5 ≔k3 3.4 ≔k4 0.425 EK2-1-1:7.3.4(3) og NA.7.3.4(3)


1227 mm EK2-1-1:(7.11)


Krav for rissvidde uten samvirke: >wk.s.A.2 wmax Kravet er ikke godkjent!


31 of 31

Vedlegg R Lokal sone

Bruker til kapasitetutregning DYWIDAG MA 2311 6812.

Verdier tatt for DYWIDAG MA 2311 6812 ETA-13/0815 og dwg tegninger hos deres nettside.

Diameter av ankertopp: ≔øa 220.0 mm

Bredde av midtribbe: ≔hmrib 27.6 mm

Ytre diameter midtribbe: ≔dmrib 195.1 mm

Bredde av bunntribbe: ≔hbrib 20.0 mm

Ytre diameter bunntribbe: ≔dbrib 170.0 mm

Diameter av kanal ved enden av MA:

≔øb※ =⋅2 ―――――+71.64 68.752

mm 140.39 mm

Areal midtribbe: ≔Amrib =−⋅π ―――dmrib

2

4⋅π ――――――⎛⎝ −dmrib ⋅2 hmrib⎞⎠

2

414524 mm 2

Areal bunnribbe: ≔Abrib =−⋅π ――dbrib

2

4⋅π ――――――⎛⎝ −dbrib ⋅2 hbrib⎞⎠

2

49425 mm 2

Toatalt areal fra ribber: ≔Arib =+Amrib Abrib 23948 mm 2

Senteravstand mellom anker:

≔ax 350 mm ≔ay =ax 350 mm

Brutto areal av ankertopp: ≔Ag =⋅π ――øa2

438013 mm 2

Areal av kabelkanal ved enden av MA:

≔Aduct =⋅π ――øb※

2

415480 mm 2

Netto areal av ankertopp: ≔Ab =−Ag ―――――⋅((120 mm))

2π

426704 mm 2

Senter av betongtverrsnitt: ≔y 573.7 mm

Høyde av betongtverrsnitt: ≔h 1000 mm

Minste overdekning: ≔c 25 mm

Brutto areal for lokalt område i ETA:

≔A =⋅⎛⎝ −+ax ⋅2 c 20 mm⎞⎠ ⎛⎝ −+ay ⋅2 c 20 mm⎞⎠ 144400 mm 2

Brutto areal for lokalt område i bruen:

≔Abru =(( ⋅2 (( −h y))))2726927 mm 2


Page 1 of 10

≔Abru =(( ⋅2 (( −h y))))2726927 mm 2Brutto areal for lokalt

område i bruen:

Spiral diameter: ≔D 265 mm

Spiral senteravstand: ≔s 50 mm

Spiralarmering diameter: ≔øs 14 mm

Bøyler senteravstand: ≔z 45 mm

Bøylearmering diameter: ≔øb 14 mm

Bøyler bredde: ≔x 330 mm ≔y =x 330 mm

Areal effektivt areal innenfor spiralarmering:

≔Acore.s =−⋅―――⋅π D2

4

⎛⎜⎝−1 ―sD

⎞⎟⎠

2

Aduct 20825 mm 2

Areal effektivt areal innenfor bøylearmering:

≔Acore.b =−⋅⋅―12x y Aduct 38970 mm 2

Areal av et armeringsjern: ≔As =⋅π ――øs2

4154 mm 2

Karakteristisk sylindertrykkfasthet ved oppspenning:

≔fck.t 28 MPa

Dimensjonerende sylindertrykkfasthet ved oppspenning:

≔fcd.t =⋅0.85 ――fck.t1.5

15.9 MPa

Karakteristisk strekkfasthet av armering:

≔fyk 500 MPa

Dimensjonerende strekkfasthet av armering:

≔fyd =――fyk1.15

434.8 MPa

Lateral spenning fra spiralarmering:

≔flat.s =―――⋅⋅2 As fyd⋅D s

10.1 MPa

Lateral spenning fra bøylearmering:

≔flat.b =―――⋅⋅2 As fyd⋅x z

9.01 MPa

Total lateral spenning: ≔flat.tot +flat.s flat.b

Maksimal lateral spenning fra spiralarmering:

≔flat.max 8.3 MPa Iht PTI

≔flat =min ⎛⎝ ,flat.s flat.max⎞⎠ 8.3 MPaEffektiv lateral spenning fra spiralarmering:


Page 2 of 10

Effektiv lateral spenning fra spiralarmering:

≔flat =min ⎛⎝ ,flat.s flat.max⎞⎠ 8.3 MPa

Ser at allerede siralarmeringen er overdimensjonert og vil ikke gi større total kapasitet. Om denne ekstra laterale spenningen har effekt på SLS tilstander er ukjent.

Dimensjonerende kraft ved anker iht EAD 160004-00-301:

≔fpk 1860 MPa ≔Ap 1800 mm 2

≔P0 =⋅⋅0.95 fpk Ap 3180.6 kN ≔P0.ULS =⋅⋅1.1 fpk Ap 3682.8 kN

Iht EK2-1-1:

Benytter kun partielt belasta flate.

≔Ac0 =Ab 26704 mm 2 ≔Ac1 =A 144400 mm 2

≔fcd =fcd.t 15.87 MPa

≔Pc.EK2 =min⎛⎜⎜⎝

,⋅⋅Ac0 fcd‾‾‾‾――Ac1Ac0

⋅⋅3 fcd Ac0⎞⎟⎟⎠985.3 kN

=―――Pc.EK2P0.ULS

0.27 =―――Pc.EK2P0

0.31

Ser at ved å benytte kapasiteten for partielt belastende flater fra EK2 så vil en dimensjonering med denne blir veldig konservativ og lite gunstig å bruke fordi den ikke tar hensyn til alle effektene som oppstår i den lokale sonen.Prøver med arealet A som vil oppstå for bruen i denne rapporten.

≔Ac1 Abru

≔Pc.EK2 =min⎛⎜⎜⎝

,⋅⋅Ac0 fcd‾‾‾‾――Ac1Ac0

⋅⋅3 fcd Ac0⎞⎟⎟⎠1271.1 kN

=―――Pc.EK2P0.ULS

0.35 =―――Pc.EK2P0

0.4

Litt mindre konservativ, men fortsatt ikke gunstig å bruke til dimensjonering.

Iht PTI:


Page 3 of 10

Iht PTI:

Tar hensyn til spiralarmeringen

≔f'ci =fck.t 28 MPa

≔Pc.PTI =min⎛⎜⎜⎝

,⋅⋅⋅0.8 f'ci Ab‾‾‾―AAg

⋅⋅2 f'ci Ab⎞⎟⎟⎠1165.8 kN

Ser på kapasiteten fra spiralarmeringen.

≔Ps.PTI =⋅⋅4.1 flat Acore.s 708.7 kN

Det viser seg at bøylene gir størst kapasitet. Dette er pga det effektive arealet til bøylene er større enn til spiralen.

≔Pn.PTI =+Pc.PTI Ps.PTI 1874.5 kN

=―――Pn.PTIP0.ULS

0.51 =――Pn.PTIP0

0.59

Ser at ved å benytte kapasiteten fra PTI så vil en dimensjonering med denne bli litt mindre konservativ og tar hensyn til litt flere effekter enn EK2.

Prøver med arealet A som vil oppstå for bruen i denne rapporten.

≔Pc.PTI =min⎛⎜⎜⎝

,⋅⋅⋅0.8 f'ci Ab‾‾‾‾――AbruAg

⋅⋅2 f'ci Ab⎞⎟⎟⎠1495.4 kN

≔Pn.PTI =+Pc.PTI Ps.PTI 2204.1 kN

=―――Pn.PTIP0.ULS

0.6 =――Pn.PTIP0

0.69

Ved å øke senteravstanden til den som er benyttet for bruen i denne rapporten vil PTI gi bedre kapasitet, men fortsatt ikke god nok.

Iht Tidskriften:


Page 4 of 10

Iht Tidskriften:

Prøver med tidskriftens forslag om økning av pga ribber ved anker.AbFra tabellene i denne tidskriften vil ankeret som blir beregnet får følgende verdi: ≔ϕ 1.05

≔Ab.proposed =+Ab ⋅ϕ Arib 51849 mm 2

Siden det ikke spesifiseres noe for form for endrig av så vil arealet fra ribbene bli ikke Agtatt med for denne parameteren.

≔Pc.Tids.rib =min⎛⎜⎜⎝

,⋅⋅⋅0.8 f'ci Ab.proposed‾‾‾―AAg

⋅⋅2 f'ci Ab.proposed⎞⎟⎟⎠2263.6 kN

≔Pn.Tids.rib =+Pc.Tids.rib Ps.PTI 2972.3 kN

=―――Pn.Tids.ribP0.ULS

0.81 =―――Pn.Tids.ribP0

0.93

Ser at ved å benytte kapasiteten fra Tidskriften så vil en dimensjonering med denne bli litt mindre konservativ og tar hensyn til litt flere effekter enn PTI.Dette er den formelen som gir en kapasitet nærmest ETA, med de samme dimensjonene på betongtverrsnittet som de bruker under testene.

Prøver med arealet A som vil oppstå for bruen i denne rapporten.

≔Pc.Tids.rib =min⎛⎜⎜⎝

,⋅⋅⋅0.8 f'ci Ab.proposed‾‾‾‾――AbruAg

⋅⋅2 f'ci Ab.proposed⎞⎟⎟⎠2903.6 kN

≔Pn.Tids.rib =+Pc.Tids.rib Ps.PTI 3612.2 kN

=―――Pn.Tids.ribP0.ULS

0.98 =―――Pn.Tids.ribP0

1.14

Ser på mulig kapasitettillegg fra bøyler:


Page 5 of 10

Ser på mulig kapasitettillegg fra bøyler:

Spaltestrekk i generell sone:

≔σp.max 1476 MPa ≔γP.unfav 1.1 ≔P0.ULS.EK2 =⋅⋅σp.max Ap γP.unfav 2922.5 kN

≔T =⋅⋅―14―――――――

−−+ax ⋅2 c 20 mm øa

−+ax ⋅2 c 20 mmP0.ULS.EK2 307.6 kN

Nødvendig armering for å unngå riss fra spaltestrekk i generell sone:

≔fy.spalte 300 MPa Iht EK2-1-1:8.10.3(4) ≔As.spalte =―――T

fy.spalte1025 mm 2

Minimum tverrarmering i søyle iht EK2-1-1:9.5.3 vil ikke gi mer armering enn dette og vil ikke være gjeldene i lokal og generell sone.

Bøylearmering for ankeret ifølge ETA:

Antall bøyler: ≔nb 8

≔As.bøyle.ETA =⋅nb ―――⋅⋅øb

2 π 2

42463 mm 2

>As.bøyle.ETA As.spalte Utnytting: ≔η =――――As.spalteAs.bøyle.ETA

0.42

Ser at det er mye armering ikke blir brukt til det anntatte formålet spaltestrekk i generell sone. Det kan derfor med nok så stor sikkerhet bli antatt at både bøyler og spiral virker sammen for å oppta kraftene fra lokal knusing. Flytting av bøyler til ytterkant av tverrsnitt iht PTI vil være uaktuelt.

Benytter NCHRP sin metode for å legge til bøylearmeringen til kapasiteten og ser

Hensyn til utnytting av spaltestrekk: ≔Ps =+⋅⋅4.1 flat Acore.s ⋅⋅⋅η 4.1 flat Acore.s 1003.7 kN

≔Pc 2263.6 kN Fra tidsskrift med søyleareal

≔Pn =+Ps Pc 3267.3 kN =―――Pn

P0.ULS0.89

≔Pc 2903.6 kN Fra tidsskrift med brudekkeareal

≔Pn =+Ps Pc 3907.3 kN =―――Pn

P0.ULS1.06

Ikke tatt hensyn til utnytting av spaltestrekk:

≔Ps =+⋅⋅4.1 flat Acore.s ⋅⋅4.1 flat Acore.s 1417.4 kN

≔Pc 2263.6 kN ≔Pn =+Ps Pc 3681 kN =―――Pn

P0.ULS0.9995


Page 6 of 10

=―――Pn

P0.ULS0.9995≔Pc 2263.6 kN ≔Pn =+Ps Pc 3681 kN

Endring av CCL armering:

≔As =⋅((12 mm))2―π4

113 mm 2 ≔s 40 mm ≔D 390 mm ≔fy =fyd 434.78 MPa

Finnes ikke diameter på uside av ankeret og den må derfor antas ut fra diameteren fra innsiden med et tillegg på 20 mm på hver side som skal ta hensyn til rørets tykkelse.

≔Aduct =⋅⎛⎜⎝

+―――――――+121 mm 138 mm2

⋅2 20 mm⎞⎟⎠

2

―π4

22565 mm 2

≔flat =―――⋅⋅2 As fy⋅D s

6.3 MPa

≔Acore =−⋅―――⋅D2 π4

⎛⎜⎝−1 ―sD

⎞⎟⎠

2

Aduct 73647 mm 2

≔Ps =⋅⋅4.1 flat Acore 1903.6 kN

Ny diameter:

Gue

ss V

alue

sCo

nstr

aint

sSo

lver

≔D 390 mm ≔s 49 mm

＝Ps ⋅⋅4.1 ―――⋅⋅2 As fy⋅D s

⎛⎜⎜⎝

−⋅―――⋅D2 π4

⎛⎜⎝−1 ―sD

⎞⎟⎠

2

Aduct

⎞⎟⎟⎠

≔D =Find ((D)) 450.92 mm

Endring; Senteravstand 49 mm, spiraldiameter min 451 mm.

CCL ETA armeringsvolum før endring:

≔s 40 mm ≔D 390 mm

≔Vs.CCL =⋅⋅10.5 As‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾

+(( ⋅(( −D 12 mm)) π))2s2 1411008 mm 3

CCL ETA armeringsvolum etter endring:

≔s 49 mm ≔D 451 mm ≔LLS =+D ⋅2 c 501 mm

≔Vs.CCL =⋅⋅――LLSs

As‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾

+(( ⋅(( −D 12 mm)) π))2s2 1595814 mm 3

Vil gi en økning i armeringsvolum.


Page 7 of 10

Endring av DYWIDAG armering:

≔As =⋅((16 mm))2―π4

201 mm 2 ≔s 45 mm ≔L 320 mm ≔fy =fyd 434.78 MPa

Finnes ikke diameter på uside av ankeret og den må derfor antas ut fra diameteren fra innsiden med et tillegg på 20 mm.

≔Aduct 15480 mm 2

≔flat =―――⋅⋅2 As fy⋅L s

12.14 MPa

≔Acore =−――L2

2Aduct 35720 mm 2

≔Ps =⋅⋅4.1 flat Acore 1778.1 kN

Ser at lateral spenning er over grensen og det er lite gunstig å dimensjonere med verdier over denne grensen for lokal knusing. Denne armeringen er derimot for lokal knusing og spaltestrekk og det vill ikke bli gjort endringer av armeringsdiameter for å få lateral spenning under maks grensen.

Nytt eksternt mål :

Gue

ss V

alue

sCo

nstr

aint

sSo

lver

≔L 320 mm ≔s 53 mm

＝Ps ⋅⋅4.1 8.3 MPa⎛⎜⎝

−――L2

2Aduct

⎞⎟⎠

≔L =Find ((L)) 368.1 mm

Endring; Senteravstand 53 mm, eksternt mål min 369 mm.

≔L 369 mm ≔s 53 mm

DYWIDAG ETA armeringsvolum før endring:

≔Vs.DYWIDAG.før =⋅⋅⋅―――――⋅((16 mm))

2π

48 (( −320 mm 16 mm)) 4 1955930 mm 3

DYWIDAG ETA armeringsvolum etter endring:

≔Vs.DYWIDAG.etter =⋅⋅⋅―――――⋅((16 mm))

2π

48 (( −L 16 mm)) 4 2271196 mm 3

Vil gi en økning i armeringsvolum.


Page 8 of 10

Beregning av DYWIDAG spiralarmering:

Bruker PTI

≔As =⋅((14 mm))2―π4

154 mm 2 ≔s 51 mm ≔fy =fyd 434.78 MPa

≔Aduct 15480 mm 2 ≔Pc 1495.4 kN

≔Ps =−P0.ULS Pc 2187.4 kN

Ny diameter:

Gue

ss V

alue

sCo

nstr

aint

sSo

lver

≔D 390 mm

＝Ps ⋅⋅4.1 ―――⋅⋅2 As fy⋅D s

⎛⎜⎜⎝

−⋅―――⋅D2 π4

⎛⎜⎝−1 ―sD

⎞⎟⎠

2

Aduct

⎞⎟⎟⎠

≔D =Find ((D)) 403.24 mm

≔flat =min⎛⎜⎝

,―――⋅⋅2 As fy⋅D s

8.3 MPa⎞⎟⎠6.51 MPa OK! verdien er mindre enn

maksgrensen. Formel for løsingen er gyldig.

Beregnet; Senteravstand 51 mm, armeringsdiameter 14 mm, spiraldiameter min 404 mm.

Lengde for lokal sone: ≔LLS =+D ⋅2 c 453.24 mm

Beregnet armeringsvolum:

≔Vs.DYWIDAG.PTI =⋅⋅――LLSs

As‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾

+(( ⋅(( −D 14 mm)) π))2s2 1674327 mm 3

DYWIDAG ETA armeringsvolum for kun bøyler og spiral:

≔Vs.DYWIDAG.bs ⋅―――――⋅((14 mm))

2π

4

⎛⎝ +⋅⋅8 (( −330 14)) mm 4 ⋅7

‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾+(( ⋅265 mm π))

2((50 mm))

2 ⎞⎠

=Vs.DYWIDAG.bs 2455336 mm 3

=Vs.DYWIDAG.etter 2271196 mm 3

Ser at en kan spare armering når ett tverrsnitt er større enn ved ETA testene.


Page 9 of 10

Beregning av DYWIDAG spiralarmering:

Bruker tidsskriften

≔As =⋅((10 mm))2―π4

79 mm 2 ≔s 47 mm ≔fy =fyd 434.78 MPa

≔Aduct 15480 mm 2 ≔Pc 2903.6 kN

≔Ps =−P0.ULS Pc 779.2 kN

Ny diameter:

Gue

ss V

alue

sCo

nstr

aint

sSo

lver

≔D 390 mm

＝Ps ⋅⋅4.1 ―――⋅⋅2 As fy⋅D s

⎛⎜⎜⎝

−⋅―――⋅D2 π4

⎛⎜⎝−1 ―sD

⎞⎟⎠

2

Aduct

⎞⎟⎟⎠

≔D =Find ((D)) 315.92 mm

≔flat =min⎛⎜⎝

,―――⋅⋅2 As fy⋅D s

8.3 MPa⎞⎟⎠4.6 MPa OK! verdien er mindre enn

maksgrensen. Formel for løsingen er gyldig.

Beregnet; Senteravstand 47 mm, armeringsdiameter 10 mm, spiraldiameter min 316 mm.

Lengde for lokal sone: ≔LLS =+D ⋅2 c 365.92 mm

Beregnet armeringsvolum:

≔Vs.DYWIDAG.Tids =⋅⋅――LLSs

As‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾

+(( ⋅(( −D 14 mm)) π))2s2 580706 mm 3

Ser at en kan spare armering når ett tverrsnitt er større enn ved ETA testene.


Page 10 of 10

analyse og dimensjonering av etteroppspent betongbru

Documents