analiza-2-integrali pmf pg

7/25/2019 Analiza-2-Integrali PMF Pg

1/4

PMF Podgorica, Racunarske nauke 1

Analiza 2Neodredeni integral

1. Integrali oblika

dxax2 + bx + c

, a 0, se svode na tablicni integral

dt

t2 1 .

3. Integrali oblika dx

ax2 + bx + c , b2 4ac 0, su integrali

dx

a(x x1)(x x2), gdje su x1 i x2nule trinoma ax2 + bx + c.

6. Integrali oblika

M x + N

ax2 + bx + c dx, b2 4ac >0, su integrali

M x + N

a(x x1)(x x2)dx, gdje su

x1 i x2 nule trinoma ax2

+ bx + c.

7. Integrali oblika

M x + N

ax2 + bx + c dx, b2 4ac= 0, su integrali

M x + N

a

x + b2a

2 dx.8. Integrali oblika

M x + N

ax2 + bx + cdx, b24ac


2/4

Integrali oblika

In=

dx

(x2 + a2)n, a R\{0}, n N,

zadovoljavaju rekurentnu relaciju

In+1= 1

2na2

x

(x2 + a2)n+ (2n 1)In

, I1=

1

aarctg

x

a+ C.

(Datu rekurentnu vezu dobijamo parcijalnom integracijom: u= 1

(x2 + a2)n, dv = dx)

10. Integrali oblika R(sin x, cos x) dx,

gdje je Rracionalna funkcija svojih argumenata, rjesavaju se smjenom

tgx2 =t,

odakle se dobija

dx= 2dt

1 + t2.

Koristeci poznate trigonometrijske identitete dobijamo

sin x= 2sin x

2cos x

2

cos2 x2

+ sin2 x2

= 2t

1 + t2,

cos x=

cos2 x2

sin2 x

2

cos2 x2

+ sin2 x2

=

1

t2

1 + t2 .

Specijalno,

(1) ako je R( sin x, cos x) =R(sin x, cos x), koristi se smjena t= cos x;(2) ako je R(sin x, cos x) =R(sin x, cos x), koristi se smjena t= sin x;(3) ako je R( sin x, cos x) =R(sin x, cos x), koristi se smjena t= tg x.

11. Integrali oblika

a1sin x + b1cos x

a sin x + b cos x dx,

gdje jea, b, a1, b1 R, a2+ b2 = 0, mogu se lakse rijesiti tako sto se izraz a1sin x + b1cos xnapiseu sljedecem obliku:

a1sin x + b1cos x= A(a sin x + b cos x) + B(a sin x + b cos x),

a zatim se metodom neodredenih koeficijenata nadu konstante A, B R. Odavde se dobija a1sin x + b1cos x

a sin x + b cos x dx= Ax + B ln |a sin x + b cos x|+ C.

2


3/4

12. Integrali oblika a1sin x + b1cos x + d1

a sin x + b cos x + d dx,

gdje jea, b, d, a1, b1, d1

R, a2+b2

= 0,mogu se lakse rijesiti tako sto se izraz a1sin x+b1cos x+

d1 napise u sljedecem obliku:

a1sin x + b1cos x + d1= A(a sin x + b cos x + d) + B(a sin x + b cos x + d) + D,

a zatim se metodom neodredenih koeficijenata nadu konstante A, B , D R. Odavde se dobija a1sin x + b1cos x + d1

a sin x + b cos x + d dx= Ax + B ln |a sin x + b cos x + d|+ D

dx

a sin x + b cos x + d.


sin ax sin bx dx, cos ax cos bx dx, cos ax sin bx dx,gdje je a, b R, a= 0, b= 0, rjesavaju se koristeci formule

sin cos =1

2(sin(+ ) + sin( )),

cos cos =1

2(cos(+ ) + cos( )),

sin sin =12

(cos(+ )cos( )),


R

x,

ax + bcx + d

r1

,

ax + bcx + d

r2

, . . . ,

ax + bcx + d

rk

dx,

gdje jeR racionalna funkcija svojih argumenata, a, b, c, d R,r1, r2, . . . , rk Q, i vaziadbc=0, rjesavaju se smjenom

ax + b

cx + d=tn,

gdje je n= NZS(imenioci od r1, r2, . . . , rk). Odavde se dobija da je

x= tnd ba

ctn

,

dx=ntn1(ad bc)

(a ctn)2 dt.

15. Integrali oblika xm (a + bxn)p dx, m, n, pQ.

(1) Ako je p Z, uvede se smjena x= ts, gdje je s= NZS(imenioci od m, n).(2) Ako je

m + 1

n Z, uvede se smjena a + bxn =ts, gdje je s imenilac od p.

3


4/4

(3) Ako je m + 1

n +p Z, uvede se smjena axn + b= ts, gdje je s imenilac od p.


Pn(x)ax2 + bx + c dx,gdje je Pn(x) polinom stepena n. Rjesenje trazimo u obliku

Pn(x)ax2 + bx + c

dx= (An1xn1 + . . . + A1x + A0)

ax2 + bx + c +

dxax2 + bx + c

Poslije diferenciranja, metodom neodredenih koeficijenata nadu se konstante A0, A1, . . . , An1i .


M x + N(x )

n

ax2

+ bx + c

dx,

se smjenom x = 1t

svode na integral iz prethodnog slucaja.

18. Integrali oblika R(x,

ax2 + bx + c) dx,

mogu se svesti na integral racionalne funkcije pomocu Ojlerovihsmjena.

(1) Ako je a >0, onda se moze iskoristiti prva Ojlerova smjena

ax2 + bx + c= t

x

a.x=

t2 c2t

a + b,

ax2 + bx + c= t2

a + bt + c

a

2t

a + b , dx= 2 t

2

a + bt + c

a

(2t

a + b)2

dt.

(2) Ako su x1, x2 razlicite realne nule polinoma ax2 +bx + c, onda se moze iskoristiti treca

Ojlerova smjena ax2 + bx + c= t(x x1).

x= x1t

2 ax2t2 a ,

ax2 + bx + c=

a(x1 x2)tt2 a , dx=

2a(x2 x1)t(t2 a)2 dt.

(3) Ako je c >0, onda se moze iskoristiti druga Ojlerova smjenaax2 + bx + c= xt +

c.

4

analiza-2-integrali pmf pg

Documents