Analiza 11. Realni brojevi

Definicija:

Skup realnih brojeva R je svaki skup u kojem su definisane operacije + i * i relacije tako da

važe osobine 1.1-3.6 tj. ( uređeno polje).

Osobine:

1. je Abelova grupa (struktura)

1.1

1.2

1.3

1.4

2. je polje

2.1

2.2

2.3

2.4

2.5

3. je uređeno polje

3.1

3.2

3.3

3.4

3.5

3.6

2. Majoranta

Definicija:

je majoranta skupa ako . je ograničen odozgo ako ima

bar jednu majorantu.

3. Minoranta

Definicija:

je minoranta za ako . Najveća minoranta

skupa , ako postoji, zove se infimum od i označava se sa .

4. Supremum

Definicija:

Broj je supremum skupa ako:

1) je majoranta za tj. za svako

2) je najmanja majoranta tj

ili drugačije:

5. Svojstvo neprekidnosti skupa R (aksioma supremuma)

Svaki neprazan i odozgo ograničen podskup skupa ima supremum u .

Posledica:

U skupu postoji t.d. .

Teorema:

Ako je i onda postoji tačno jedan t.d. .

Oznaka: .6. Arhimedovo pravilo

Ako su proizvoljni realni brojevi onda postoji tačno jedan prirodan broj t.d.

.

7. Apsolutna vrednost broja

Definicija:

Za , apsolutna vrednost broja je:

Teorema:

pri čemu jednakost važi ako i samo ako su i

istog znaka (ili jednaki nuli).

Posledica ove teoreme:

(nejednakost trougla)

8. Rastojanje

Definicija:

Za rastojanje između i je

9. Realne funkcije

Osnovne elementarne funkcije:

1. stepene funkcije

2. eksponencijalne funkcije

3. logaritamske funkcije

4. trigonometrijske funkcije

5. inverzne trigonometrijske funkcije

Elementarne funkcije se dobijaju konačnom primenom algebarskih operacija i

slaganjem (kompozicijom) funkcija, primenom na osnovne elementarne funkcije.

Svojstva realnih funkcija:

1. parnost:

1 )funkcija je parna ako

2) funkcija je neparna ako

2. periodičnost

funkcija je periodična sa periodom T ako

3. monotonost

1) je rastuća ako

2) je strogo rastuća ako

3) je opadajuća ako

4) je strogo opadajuća ako

4. ograničenost

funkcija je ograničena ako postoji tako da za svako važi

5. nule i znak funkcije

je nula ako

Za znak funkcije se gleda kada je i .

10. Granična vrednost (limes) funkcije

Definicija:

Kaze se da funkcija ima graničnu vrednost kada teži

ako za svaku okolinu postoji okolina tako da za svako

važi . (Ovo je u stvari sa kružićem iznad)

Desni limes funkcije u jednak je ako

Slično i za levi limes.

11. Svojstva limesa

Definicija:

Funkcija je beskonačno mala kad ako je

Teorema:

1)

2) Zbir (razlika) dve beskonačno male je beskonačno mala.

3) Proizvod dve beskonačno male i ograničene funkcije je beskonačno mala funkcija.

Teorema o algebarskim kombinacijama limesa:

Neka postoje i c gde je .Tada:

1)

2)

3) ako je za

Teorema o limesu složene funkcije:

Neka su realne funkcije i neka:

1)

(ovo je u stvari ono V sa kružićem)

2) tada

12. Asimptotske oznake

Definicija:

Beskonačno mala je višeg reda od beskonačno male

kad ako je Oznaka

NAPOMENA:

beskonačno mala .

Definicija:

Ako je =1, onda kažemo da su i ekvivalentne beskonačno male i

pišemo .

Teorema1:

Dve funkcije i su ekvivalentne ako i samo ako

Teorema2: (osobine )

1.

2.

3.

4.

5.

13. Neprekidnost

Definicija:

Funkcija je neprekidna u tački ako je

14. Lokalna svojstva neprekidnih funkcija

Teorema1:

Ako su i neprekidne funkcije u , onda su i

neprekidna u .

Teorema2:

Ako je neprekidna u i neprekidna

u , onda je neprekidna u .

15. Globalna svojstva neprekidnih funkcija

Definicija:

Funkcija je neprekidna na ako je neprekidna u svakoj tački .

Teorema: (Bolcano - Košijeva o međuvrednosti)

Ako je neprekidna funkcija i , tada postoji tako

da .

Teorema: (Vajerštras)

Ako je neprekidna na [a,b], onda:

1.je ograničena na

2.tačke tako da

(tj. postigne najmanji i najveću vrednost na [a,b])

16. Izvod funkcije

Definicija:

Neka je funkcija definisana u nekoj okolini tačke , ako postoji konačan limes

(granična vrednost) kada teži 0, količnika priraštaja

, on se naziva izvod funkcije u i označava se sa

Teorema:

Ako funkcije i imaju izvod u , onda i funkcije imaju izvod

u i važe pravila:

1)

2)

3)

Definicija diferencijabilnih funkcija:

Za funkciju kažemo da je diferencijabilna u tački ako se njen priraštaj može

predstaviti u obliku (A je konstanta)

Teorema:

Funkcija ima svoj izvod u tački ako i samo ako je diferencijabilna u .

Posledica:

Ako je diferencijabilna u , onda je neprekidna u .

Teorema o izvodu složenih funkcija:

Ako je funkcija diferencijabilna (ima izvod) u nekoj tački , a funkcija

diferncijabilna u tački , onda je složena funkcija diferencijabilna

u tački i važi

17. Osnovne teoreme diferencijalnog računa

Definicija:

Ako je funkcija definisana u i postoji okolina te tačke takva da je

za svako onda kažemo da funkcija u tacki ima lokalni minimum jednak .

Slično lokalni maksimum.

Lokalni minimum i lokalni maksimum su lokalni ekstremi.

Teorema: (Fermaova)

Ako funkcija ima lokalni ekstremum u tački i ako

je diferencijabilna u , onda je

Teorema: (Rol)

Ako funkcija zadovoljava:

1) je neprekidna na

2) je diferencijabilna u

3)

Tada postoji tačka takva da je

18. Lagranžova teorema o srednjoj vrednosti

Ako funkcija zadovoljava

1. je neparna na

2. je diferencijabila u

tada (

Posledica 1:

Ako je za sve onda je na .

Posledica 2:

Ako su i definisane i diferencijabilne na i za sve

takva da je za .

Posledica 3:

Ako je za sve onda je rastuća na .

19. Košijeva teorema

Neka su zadovoljavaju:

1) su neprekidne na

2) su diferencijabilne u

3) za

20. Lopitalova pravila

Posmatrajmo funkcije f i g koje su neprekidne na poluotvoreniom intervalu

[a,b) i zadovoljavaju uslove f(a) = g(a) = 0 i g(x) 0 za x (a,b). Funkcija f/g je

neprekidna u (a,b). Međutim, ponašanje ove funkcije u okolini tačke a zavisi od

. Slično, ukoliko posmatramo funkcije f i g, neprekidne u nekoj okolini

U tačke a, pri čemu je f(a) = g(a) = 0 i g(x) 0 za x U \ {a}, za ponašanje funkcije f/g je

od značaja . Za određivanje ovih limesa često se pokazuju korisnim sledeća

lopitalova pravila.

21. Izvodi višeg reda

Definicija:

, ako postoji

Teorema (Lajbnicovo pravilo o izvodu proizvoda):

Ako funkcije i imaju izvoda, tada i funkcija ima izvoda i važi:

22. Tejlorova formula

- n puta diferencijabilna (n izvoda u nekoj tački)

;

...

Definicija:

Tejlorov polinom stepena n funkcije u okolini tačke je

specijalno za dobija se Maklorenov polinom

23. Tejlorova formula sa Peanovim ostatkom

Teorema:

Ako važi da je funkcija diferencijabilna puta na tada važi:

Specijalno za :

24. Primene izvoda (monotonost i ekstremumi)

Posledica (Lagranž):

na na

Stav:

Ako je na i na

Napomena:

strogo raste

strogo raste

Funkcija u ima lokalni ekstremum ako

tako da za sve

Teorema (Ferma):

Ako u ima lokalni ekstremum i ako .

Teorema (dovoljan uslov za postojanje ekstremuma):

Neka je definisana i neprekidna u nekoj okolini i neka postoji

u pri čemu je , ako postoji.

Tada:

1) za za ima lokalni maksimum u

2) za za ima lokalni minimum u

3) je istog znaka za nema ekstremum u

Teorema (drugi dovoljan uslov za ekstremum):

Neka funkcija u ima prvi i drugi izvod i .Tada:

1) u ima lokalni minimum

2) u ima lokalni maksimum

25. Najveća i najmanja vrednost funkcije na segmentu

Teorema (Vajerštras):

Ako je funkcija neprekidna na postiže najmanju i najveću vrednost na .26. Konveksnost i prevojne tačke

Definicija:

Diferencijabilna funkcija je konveksna na nekom intervalu ako njen grafik iznad

tangente konstruisane u proizvoljnoj tački . Ona je konkavna ako je tangenta

iznad grafika.

Teorema:

Diferencijabilna funkcija je konveksna na ako i samo ako raste na .

Posledica:

Ako je dvaput diferencijabilna na , onda je konveksna ako i samo ako

na , a je konkavna ako i samo ako na

.

Definicija (prevojna tačka):

Prevojna tačka grafika funkcije je ona u kojoj grafik prelazi sa jedne na drugu

stranu tangente.

Posledica:

Tačka je prevojna ako menja znak pri prolazu kroz .

27. Nizovi realnih brojeva

Definicija:

Niz realnih brojeva je funckija , pri čemu vrednost te

funkcije u tački označavamo sa i zovemo opšti član niza.

28. Svojstva nizova realnih brojeva

1) Niz je rastući ako . Niz je strogo rastući ako

.

2) Niz je ograničen odozgo ako postoji takav da

. Niz je ograničen ako je ograničen i odozdo i odozgo tj.

.

Definicija:

1) Niz teži (konvergira) ka broju ako za svako postoji

takav da za sve . Dakle:

2)

Članovi niza su proizvoljno veliki ako je dovoljno veliko.

3)

Opšta definicija obuhvata prethodne tri:

29. Svojstva limesa nizova

1) Ako ima limes, onda je taj limes jedinstveno određen.

2) Ako niz ima konačan limes, onda je on ograničen.

3) je nula niz

Definicija:

Ako je , kažemo da je nula-niz.4) Zbir i razlika dva nula-niza su nule-nizovi

5) Proizvod ograničenog i nula-niza je nula-niz.

Teorema:

Ako onda:

1)

2)

3)

30. Svojstva u vezi nejednakosti

1) za ,

za ,

2)

Teorema o dva policajca (sendvič teorema):

Ako i ako onda je

.

31. Monotoni nizovi

Za niz realnih brojeva kažemo da je rastući ako važi

za svako , a da je strogo rastući ako je za

svako . Analogno se definišu opadajući i strogo opadajući nizovi.

Jednim imenom nizove navedena četiri tipa zovemo monotonim nizovima.

Za monotone nizove važi veoma jednostavan kriterijum konvergencije koji daje sledeća

teorema 3.4.11. Neka je rastući niz realnih brojeva. Tada je konvergentan (konačnoj granici) ako i

samo ako je ograničen odozgo.

2. Svaki rastući niz u ima graničnu vrednost u .

Analogna tvrđenja važe za opadajuće nizove.

32. Košijev princip konvergencije

Definicija:

Za niz realnih brojeva kažemo da je Košijev ako za svako > 0 postoji indeks

n0 ∈ N, takav da je čim su indeksi i veći od

Dakle, je Košijev

Opisno bismo mogli reći: niz je Košijev ako su mu članovi

sa dovoljno velikim indeksima proizvoljno blizu jedan drugom.

Stav:

1.Svaki konvergentni niz je Košijev.

2.Svaki Košijev niz je ograničen

3. Ako Košijev niz ima konvergentan podniz, on je i sam konvergentan.

33.Broj e

Definicija: