calcolo integrali

7/30/2019 CalColo Integrali

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CAPITOLO 4

Il calcolo integrale

Il problema che affrontiamo in questo capitolo e il calcolo di aree di alcune regioni del piano.Iniziamo il capitolo spiegando a quali regioni piane siamo interessati. Questi argomenti sono

in relazione con il calcolo di funzione di ripartizione, valore atteso e varianza di variabilialeatorie continue.

1. Calcolo di aree

f(x) a < x < b

a b

Sia f una funzione limitata e non negativa nel-lintervallo [a, b]. Si desidera calcolare larea del-la regione colorata in rosso in figura, ossia della

regione compresa tra lasse delle ascisse, le rette

x = a, x = b e il grafico della funzione f(x).

Iniziamo a dividere lintervallo [a, b] in n sottointervalli: dapprima scegliamo n + 1 punti a

caso nellintervallo [a, b] in modo che a = x0 < x1 < . . . < xn = b. Questo procedimento cipermette di partizionare lintervallo iniziale [a, b] in n sottointervalli del tipo [xi1, xi], chesi toccano solo agli estremi. Per comodita, indichiamo con P linsieme contenente gli n + 1punti scelti e lo chiamiamo partizione dellintervallo [a, b].

x0 = a x1 x2 x3 x4 = b

In ciascun sottointervallo del tipo [xi1, xi] ap-prossimiamo per difetto larea della regione checi interessa con larea del rettangolo che ha stessabase ma altezza mi = inf{f(x) : x

[xi

1, xi]}.

Sommando le aree degli n rettangoli della parti-zione P scelta otteniamo unapprossimazione perdifetto dellarea che desideriamo valutare.

53


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54 Capitolo 4

Tale approssimazione si chiama somma inferiore relativa alla partizione P, si indica con

s(f, P) e si ha

s(f, P) =ni=1

mi (xi xi1).

Analogamente possiamo pensare di approssimare larea della regione in figura per ecces-

so: sulli-esimo sottointervallo i valori della funzione sono piu piccoli del valore Mi =sup {f(x) : x [xi1, xi]}. La somma superiore relativa alla stessa partizione e la sommadelle aree dei rettangoli di stessa base ma altezza Mi. La indichiamo con S(f, P); quindi

S(f, P) =n

i=1 Mi (xi xi1).Si noti che al crescere del numero di punti della partizione, la somma inferiore cresce e lasomma superiore decresce.

x0 = a x1 y x2 x3 x4 = b

Infatti, se pensiamo, come in figura, di aggiungere

un punto tra x1 e x2 alla partizione iniziale, allora

lapprossimazione del basso contempla anche la-rea del rettangolo verde. Questo accade perche

[x1, y] e [y, x2] sono contenuti in [x1, x2], quindi

inf{f(x) : x [x1, x2]} inf{f(x) : x [x1, y]}inf{f(x) : x [x1, x2]} inf{f(x) : x [y, x2]}.

Quindi, se P e Q sono due partizioni dellintervallo [a, b] e P Qs(f, P) s(f, Q) S(f, Q) S(f, P).

Indichiamo con s(f) e S(f) rispettivamente lintegrale inferiore e lintegrale superiore di fdefiniti da

s(f) = sup {s(f, P) : P partizione di [a, b] }

S(f) = inf{S(f, P) : P partizione di [a, b] } .

Ovviamente s(f) e S(f) sono due numeri reali, compresi tra m(b a) e M(b a), dovem = inf{f(x) : x [a, b]} e M = sup {f(x) : x [a, b]}.

Definizione 4.1. La funzione f si dice integrabile (secondo Riemann) in [a, b] se i dueprocedimenti di approssimazione forniscono lo stesso risultato, ossia s(f) = S(f). In talcaso si chiama integrale definito tra a e b della funzione f tale valore comune e si indica col

simbolo

b

af(x) dx.

Tutte le considerazioni che abbiamo sinora svolto continuano ad avere senso anche se f none necessariamente positiva, con la convenzione che aree di regioni che stanno nel terzo o


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4.1 Calcolo di aree 55

quarto quadrante contino come negative. In questo modo, lintegrale diventa un modo di

rendere continuo il processo di somma.

0 1 2 3 41

0

1

2

3

Ossia: se la funzione f ha il grafico in figura, allora40

f(x) dx = 2+10.5+1.5, ovvero lintegrale di fsullintervallo [0, 4] e un modo (un po complicato)di sommare i valori 2, 1, 0.5, 1.5.

Non tutte le funzioni sono integrabili, come mostra il seguente esempio.

ZEsempio 4.1. La funzione di Dirichlet

D(x) =

0 x [0, 1] \Q1 x [0, 1] Q

non e integrabile sullintervallo [0, 1]. Infatti, comunque si scelga una partizione P dellin-tervallo [0, 1], risulta

s(D, P) = 0 S(D, P) = 1.

Quindi s(D) = 0 e S(D) = 1.

Tuttavia, un teorema importante garantisce che se f e continua su [a, b], allora f e integrabilein [a, b]. Quindi la maggior parte delle funzioni che conosciamo risultano integrabili. Questoteorema, che non dimostriamo, si basa sullidea che se f e continua allora oscilla poco, ossiae possibile partizionare lintervallo [a, b] in modo che la differenza tra il valore massimo e il

valore minimo di f su un dato sottointervallo (del tipo [xi1, xi] individuato dalla partizionescelta) sia piccola a piacere.

Le seguenti proprieta dellintegrale definito sono graficamente ovvie.

Proprieta. Siano f e g funzioni integrabili su [a, b]. Allora

a c b

1- Additivita dellintegrale definito.Se a c b allora f e integrabile su [a, c] e su[c, b] e

b

a

f(x) dx =

c

a

f(x) dx +

b

c

f(x) dx.


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56 Capitolo 4

2- Linearita dellintegrale definito.Siano e due numeri reali, allorab

a

(f(x) + g(x)) dx =

ba

f(x) dx +

ba

g(x) dx.

f(x)

f(x)

0(Nella figura il caso di = 1, = 0; gli integralidifferiscono per il segno)

a b

f(x)

g(x)

3- Monotonia dellintegrale definito..Se sullintervallo [a, b] vale f(x) g(x), allora

b

a

f(x) dx b

a

g(x) dx.

4- Proprieta della media. Se inoltre f e continua e indichiamo conm il minimo e con Mil massimo di f sullintervallo [a, b], allora

m(b a) ba

f(x) dx M(b a).

Il valore

1

b aba

f(x) dx

si chiama valor medio dif e rappresenta laltezza di un rettangolo che ha per base lintervallo[a, b] e area uguale a quella della regione tratteggiata nella prima figura. Per il Teorema dei

valori intermedi esiste in [a, b] tale che

f() =1

b a b

a

f(x) dx.

Notiamo che dalla additivita dellintegrale (con a = c) segue cheaa

f(x) dx = 0.


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4.2 I teoremi fondamentali 57

Inoltre combinando la monotonia e la linearita si ottiene ba |f(x)| dx ba f(x) dx b

a|f(x)| dx, ossia

ba

f(x) dx

ba

|f(x)| dx.

Per consistenza con la proprieta 1), si poneab

f(x) dx = ba

f(x) dx.

Nella prossima sezione vediamo come calcolare gli integrali definiti.

2. I teoremi fondamentali

Data una funzione f integrabile sullintervallo [a, b], possiamo considerare la funzione inte-

grale If definita per ogni x in [a, b] da

If(x) =

xa

f(t) dt.

Ovviamente If(a) = 0 e If(b) =ba

f(t) dt.

Teorema 4.2 (Teorema fondamentale del calcolo integrale). Se f e continua in [a, b], la

funzione integrale If di f risulta derivabile in (a, b) e la sua derivata e

(If)(x) = f(x) x (a, b).

Dimostrazione. Sia x0 un punto fissato dellintervallo (a, b). Calcoliamo il rapporto

incrementale di If in x0 e usiamo ladditivita dellintegraleIf(x) If(x0)

x x0=

xa

f(t) dt x0a

f(t) dt

x x0=

xa

f(t) dt +ax0

f(t) dt

x x0=

1

x x0

xx0

f(t) dt.

Siccome f e continua, per la proprieta della media esiste x,x0 compreso tra x0 e x tale che

1

x x0

xx0

f(t) dt = f(x,x0).

Quando x si avvicina a x0, anche x,x0 si avvicina a x0. Quindi

limxx0

If(x) If(x0)x x0

= limxx0

f(x,x0) = f(x0).

Questo vuol dire che If e derivabile in x0 e che la sua derivata in tale punto e f(x0) e ilteorema e dimostrato.


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58 Capitolo 4

Definizione 4.2. Sia f una funzione definita sullintervallo I. Si dice che una funzione Fdefinita su I e primitiva di f se F(x) = f(x) per ogni x in I.

Una importante conseguenza del Teorema 4.2 e che ogni funzione continua f in un intervallo[a, b] ammette una primitiva: la funzione If. In particolare, If(x) e quella primitiva di f(x)che si annulla per x = a.

Ricordando anche il corollario della regola di Hopital (Proposizione 1.6), affinche una funzionepossa ammettere una primitiva sullintervallo I, non deve presentare discontinuita a salto.

Per analogia con il caso della funzione integrale di una funzione continua, si indica con ilsimbolo di integrale indefinito

f(x) dx linsieme di tutte le primitive di f , ovvero

(4.1)

f(x) dx = {F(x) : F primitiva di f} .

E evidente che se F e primitiva di f sullintervallo

I, allora anche ogni traslata verticalmente di F euna primitiva di f; in particolare una funzione ha

infinite primitive.

Nel disegno, la funzione F(x) = x2 e una primitiva

di f(x) = 2x, ma anche tutte le funzioni del tipox2 + k con k costante reale sono ancora primitive

di f(x).

Ma queste sono tutte le primitive di f:

Teorema 4.3. Se F e G sono primitive della funzione f sullintervallo I, allora F e Gdifferiscono per una costante.

Dimostrazione. Infatti F(x) = G(x) = f(x) per ogni x in I. Quindi F(x) G(x) euna funzione con derivata nulla sullintervallo I. Ma allora per una conseguenza del Teorema

di Lagrange, F(x)G(x) e costante in I; il che vuol dire che esiste una costante k in R taleche F(x) = G(x) + k per ogni x in I.

Spesso nella (4.1) si omettono le parentesi graffe e si scrive piu semplicementef(x) dx = F(x) + k, k R,


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4.2 I teoremi fondamentali 59

dove F e una qualche primitiva fissata di f.

ZEsempio 4.4. Calcolare una primitiva di x; calcolare quella primitiva che si annulla in 1;infine, calcolare

32

x dx.

Abbiamo appena constatato che x2 e una primitiva di 2x; dovrebbe essere facile convenire

che x2/2 e una primitiva di x. Quindi tutte le primitive di x sonox dx =

x2

2+ k k R.

Quella particolare primitiva F tale che F(1) = 0 sara quindi di questo tipo; basta trovare il

valore di k: occorre che 0 = 1/2 + k, quindi F(x) = x212

.

Notiamo infine che, per il Teorema fondamentale, anche If(x) =x

2t dt e una primitiva di

f(x) = x. Ma allora anche If sara del tipox2

2+ k per una opportuma costante k. Siccome

If(2) = 0, deve risultare 0 = If(2) = 2 + k, quindi k = 2. Ne deriva che If(x) = x22 2. Inparticolare per x = 3 3

2

t dt = If(3) =9

2 2 = 5

2.

Il ragionamento del precedente esempio ha validita generale: ecco una facile regola di calcoloperba

f(x) dx una volta che si conosca una primitiva arbitraria F di f.

Teorema 4.5. Sia f una funzione continua sullintervallo [a, b] e sia F una sua primitiva.

Allora ba

f(x) dx = F(b) F(a).

Dimostrazione. Siccome F e If sono entrambe primitive di f, allora esse differiscono

per per una costante k, ovvero

(4.2) If(x) + k = F(x).

Siccome If(a) = 0, per x = a avremo che k = F(a). Per x = b nella formula (4.2) avremoinvece If(b) + k = F(b). Ma allora

If(b) =

ba

f(x) dx = F(b) k = F(b) F(a).

Spesso nelle applicazioni risulta comodo indicare la differenza F(b)F(a) mediante il simboloF(x)

ba

= F(b) F(a).


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60 Capitolo 4

ZEsempio 4.6. Calcolare 20 x3 dx.Una primitiva di x3 e x

4

4. Pertanto2

0

x3 dx =x4

4

20

=24

4 0

4

4= 4.

Vista limportanza di saper costruire primitive di funzioni, nella prossima sezione proponiamo

alcuni metodi per poterle calcolare abbastanza agevolmente.

3. Calcolo di primitive

Anticipiamo subito che non ci sono regole generali per calcolare primitive, tranne per classi

di funzioni particolari. Il punto di partenza sono le primitive fondamentali del prossimoesempio e/o della tabella.

ZEsempio 4.7. i) Una primitiva di f(x) = 1 su R e la funzione F(x) = x; tutte le primitivesono quindi della forma x + k, per un qualche k reale.

ii) Sia n = 1, 2, . . .. Una primitiva di f(x) = xn su R e la funzione F(x) = xn+1

n+1; tutte le

primitive sono quindi della formaxn+1

n + 1+ k,

per un qualche k reale.

iii) Una primitiva di f(x) = 1x

su I = (0, +) e F(x) = log x. Tutte le primitive di f su(0, +) sono quindi della forma log x + k, per un qualche k reale.

iv) Una primitiva di f(x) = 1x su J = (, 0) e F(x) = log(x). Tutte le primitive di fsu (, 0) sono quindi della forma log(x) + k, per un qualche k reale.E uso comune dire che la generica primitiva di 1

xe della forma log |x| + k, tralasciando di

specificare quale intervallo si stia considerando. Piu corretto sarebbe scrivere1

xdx =

log x + k1 x > 0

log(x) + k2 x < 0,con k1, k2 R.


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4.3 Calcolo di primitive 61

Tabella 1. Primitive delle funzioni elementari

f(x)

f(x) dx

x = 1 1 + 1

x+1 + k

1

xlog |x| + k

1

1+x2 arctg x + k

11 x2 arcsin x + k

ex ex + k

sin x cos x + k

cos x sin x + k

1cos2 x

tg x + k

1

sin2 xcotg x + k

Introduciamo ora alcune regole per poter utilizzare e combinare le primitive gi a note.

Proposizione 4.8 (Linearita dellintegrale). Siano f e g funzioni continue su un intervalloI e sia a un numero reale. Allora per ogni x in I

f(x) + g(x)

dx =

f(x) dx +

g(x) dx

a f(x) dx = a

f(x) dx.

Dimostrazione. La verifica e molto semplice: se F(x) e una primitiva di f(x) e G(x)e una primitiva di g(x), allora F(x) + G(x) e una primitiva di f(x) + g(x), per la regola di

derivazione della somma di due funzioni: (F(x) + G(x)) = F(x) + G(x) = f(x) + g(x).

Analogamente, per la regola di derivazione di un prodotto per una costante si ha (aF(x)) =aF(x) = af(x).

ZEsempio 4.9. Calcolare primitive di f(x) = x4 5x.


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62 Capitolo 4

Per la linearita dellintegrale

(x4 5x) dx =

x4 dx 5

x dx =

x4

4 5x

2

2+ k,

al variare di k in R.

Proposizione 4.10 (Integrazione per parti). Siano f, g C1(I), I intervallo; allora

f(x) g(x) dx = f(x) g(x) f(x) g(x) dx

x

I

e per ogni [a, b] I si haba

f(x) g(x) dx = f(x) g(x)

ba

ba

f(x) g(x) dx x I.

Dimostrazione. La prima formula segue notando che la derivata del secondo membroe la funzione integranda al primo membro. Infatti, dalla regola di derivazione del prodotto

di due funzioni otteniamof(x) g(x)

f(x) g(x) dx

= f(x) g(x) + f(x) g(x) f(x) g(x) = f(x) g(x).

La seconda formula e diretta applicazione del teorema 4.5.

ZEsempio 4.11. Calcolare

a) x ex dx b)

6

5

log x dx c) x log2 x dx d) e

x sin xdx.

a) Si usi integrazione per parti con f(x) = x e g(x) = ex. Si ottiene

x ex dx = x ex

ex dx = x ex ex + k,


b) Si usi integrazione per parti con f(x) = log x e g(x) = 1.

65

log x dx = x log x

65

6

5

x 1x

dx = 6 log6 5 log 56

5

1 dx = 6 log6 5 log 5 1


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c) Si usi integrazione per parti due volte. La prima volta con f(x) = log2 x e g(x) = x. Laseconda volta con f(x) = log x e g(x) = x.

x log2 x dx = x2

2log2 x

x2

2(2log x 1

x) dx = x

2

2log2 x

x log x dx

= x2

2log2 x x2

2log x +

x2

21x

dx

= x2

2log2 x x2

2log x + x

2

4+ k,


d) Si usi integrazione per parti due volte. La prima volta con f(x) = sin x e g(x) = ex. Laseconda volta con f(x) = cos x e g(x) = ex.

ex sin x dx = ex sin x

ex cos x dx

= ex sin x ex cos x

ex sin xdx.

Ma allora, a meno di una costante k,

2

ex sin x dx = ex sin x ex cos x + k

quindi, a meno di una costante c,ex sin x dx =

1

2(ex sin x ex cos x) + c.

Teorema 4.12 (Integrazione per sostituzione). Siano I, J intervalli, f continua in I e

: J I di classe C1(J); allora

f((x))(x) dx = f(y) dyy=(x) .

Quindi per ogni [a, b] J si haba

f((x))(x) dx =

(b)

(a)

f(y) dy.

Dimostrazione. La prima formula segue notando che la derivata del secondo membro e

la funzione integranda al primo membro. Dobbiamo controllare che: se F e una primitiva di

f, allora F((x)) e una primitiva di f((x))(x). Dalla regola di derivazione della compostadi due funzioni otteniamo

(F((x))) = F((x))(x) = f((x))(x).


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64 Capitolo 4

La presenza del simbolo dx consente di rendere un po piu automatica la sostituzione in

un integrale. In pratica, si pone y = (x), si scrive dy/dx = (x) e quindi (come se fosseun vero quoziente) dy = (x) dx.


a)

e3x dx b)

/4

0

sin x

cos xdx c)

x

x2 + 1dx.

a) Per sostituzione, si ponga y = 3x da cui x = y/3 e quindi dx = dy/3. Si ottiene quindi

e3x dx = e

y dy

3=

1

3ey + c =

1

3e3x + c,

al variare di c R.

b) Per sostituzione, si ponga y = cos x e quindi dy = sin x dx. Si noti che, se x varia tra 0e /4 allora y varia tra 1 e

2/2. Quindi

/4

0

sin x

cos xdx =

2/21

1y

dy = log y

2/2

1

= log

2.

c) Per sostituzione, si ponga y = x2 + 1 e quindi dy = 2x dx. Allora xx2 + 1

dx =1

ydy2

= 12

log |y| + c = 12

log(x2 + 1) + c,

al variare di c R.

Piu in generale, verificate che se f(x) e una funzione di classe C1 e mai nulla sullintervalloI, allora

f(x)

f(x)dx = log |f(x)| + c c R x I.


a) 1x2 7x + 6 dx b)

1x2 + 2x + 4

dx c) 1x2(x + 1)

dx.

Il metodo consiste nel decomporre la funzione in funzioni razionali piu semplici, in base alle

eventuali radici del denominatore.

Con il termine funzioni razionali semplici intendiamo funzioni ad esempio dei tipi:

i) 1x+a

con a R (una primitiva e log |x + a|);

ii)1

(x+a)n con a R, n {2, 3, . . .} (una primitiva e(x+a)n+1

n+1 );

iii) 1x2+1

(una primitiva e arctg x);


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iv) x(x

2

+1)n con n

{2, 3, . . .} (una primitiva e (x2+1)n+1

2(n+1));

v) 1(x2+1)n

con n {2, 3, . . .} (per una primitiva rimandiamo al testo [2]).

Un fatto importante e che ogni funzione razionale si puo decomporre nella somma di un

polinomio piu una combinazione lineare di funzioni dei tipi sopra citati o che si riconduco-no a questi tipi tramite semplici sostituzioni. Vediamo negli esempi come ottenere questo

obiettivo. Il punto di partenza sono le radici del denominatore.

Nel caso a), x2

7x+6 e un polinomio di grado due con esattamente due radici (di molteplicita

uno): 1 e 6. Allora x2 7x + 6 = (x 6)(x 1). Cerchiamo A, B R in modo che1

x2 7x + 6 =1

(x 6)(x 1) =A

x 6 +B

x 1 .

Siccome Ax6 +

Bx1 =

A(x1)+B(x6)(x6)(x1) , questi numeri A, B devono verificare

A(x 1) + B(x 6) = 1 x R.Quindi A = 1/5 e B = 1/5 e

1

x2

7x + 6

dx =1

5 1

x

6

dx 15

1

x

1

dx =1

5log |x 6| 1

5log |x 1| + k,

al variare di k in R. Si ricordi che questa formula ha senso in un intervallo, che non contienei punti 1, 6. Quindi ad esempio nellintervallo (1, 6)

1

x2 7x + 6 dx =1

5log(6 x) 1

5log(x 1) + k,


b) Il polinomio di grado due x2 + 2x + 4 non ha radici reali. Possiamo pero scrivere

x2 + 2x + 4 = (x + 1)2 + 3 = 3

(x+1)2

3+ 1

= 3

x+1

3 2

+ 1

.

Quindi, ponendo y = x+13

, otteniamo dx = 3 dy e1

x2 + 2x + 4dx =

1

3

x+1

3

2+ 1

dx = 33

1

y2 + 1dy

=

33

arctg y + k =

33

arctgx+1

3

+ k,


c) Il polinomio di grado tre x2(x+1) ha due radici reali:

1 e 0 questultima con molteplicita

doppia. Proviamo a determinare A , B , C R in modo che1

x2(x + 1)=

A

x+

B

x2+

C

x + 1.


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66 Capitolo 4

Con semplici calcoli, ci accorgiamo che A,B,C devono soddisfare

Ax(x + 1) + B(x + 1) + Cx2 = 1,

quindi A = 1, B = 1, C = 1. Da cui1

x2(x + 1)dx =

1

xdx +

1

x2dx +

1

x + 1dx = log |x| 1

x+ log |x + 1| + k,


ZEsempio 4.15. Un esercizio importante e il seguente. Calcolare22 |x 1| dx.

|x 1|

02 1 2

Lesercizio e immediato quando si conside-ri il grafico di |x 1|: si tratta di sommarele aree di due triangoli, uno di base 3 e al-

tezza 3, laltro di base 1 e altezza 1. Quindilintegrale proposto vale 5.

Volendo invece trovare una primitiva di |x 1| sullintervallo [2, 2], possiamo procedere inquesto modo (che si adatta a tutte le funzioni del tipo |f(x)|). Notiamo che

|x 1| =

x 1 x 1x + 1 x < 1 quindi

|x 1| dx =

x2

2 x + c1 x 1

x22

+ x + c2 x < 1,

dove c1 e c2 vanno scelti in modo che la funzione a destra risulti derivabile in tutti i punti(quindi anche continua in 1). Questo accade se c1 12 = 12 + c2, ossia se c2 = c1 1. Allora

|x 1| dx = x2

2 x + c1 x 1

x2

2 + x 1 + c1 x < 1,= c1 +

x2

2 x x 1

x2

2 + x 1 x < 1,Lintegrale proposto vale quindi

22 |x1| dx = x

2

2 x

x=2

x2

2+ x 1

x=2

= 22(1 2 1) = 4.

Si poteva anche procedere scrivendo22 |x 1| dx =

12(1 x) dx +

21

(x 1) d x . . ..

4. Il metodo dei trapezi

Il Teorema fondamentale afferma in particolare che se f e una funzione continua, allora essaammette sempre primitiva. Tuttavia non e sempre facile ne sempre possibile esprimere taleprimitiva in termini di funzioni elementari.


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4.4 Il metodo dei trapezi 67

Ad esempio si dimostra che le funzioni

ea x2

a = 0, sin xx

,ex

x, . . .

non hanno primitive esprimibili tramite funzioni elementari.

Si puo trovare un valore approssimato dellintegrale definitoba

f(x) dx usando una sommasuperiore (oppure una somma inferiore) relative a una certa partizione. In tal modo appros-

simiamo la funzione f su ciascun intervallo individuato dalla partizione con il suo valoremassimo (oppure con il suo valore minimo).

Un risultato piu soddisfacente si ottiene approssimando f tramite spezzate. In questoconsiste il metodo dei trapezi, che ora descriviamo.

Dividiamo il segmento [a, b] in N parti uguali, ciascuna di ampiezza h = (b a)/N; questovuol dire che scegliamo una partizione dellintervallo [a, b] della forma

(4.3) a = x0 < x1 < .. . < xN = b con xi = a + ih e h =b a

N.

x0 = a x1 x2 x3 x4 = b

f(x)

spezzata

Dividiamo quindi la regione di piano compresasotto il grafico di f in N strisce, sempre di am-piezza h. Approssimiamo quindi larea di ciascu-

na di queste strisce mediante quella del trapeziocorrispondente. In figura la situazione prendendo

N = 4 sottointervalli dellintervallo [a, b].

In formule, nella striscia compresa tra xi e xi+1 approssimiamo il grafico della funzione con

quello della retta passante per i punti (xi, f(xi)) e (xi+1, f(xi+1)). Otteniamo quindi untrapezio, la cui area e data da semisomma delle basi per altezza, quindi da:

1

2

f(xi) + f(xi+1)

h

La somma delle aree di questi trapezi fornisce lapprossimazione dellintegrale definito chestiamo cercando.

h

2

N1i=0

f(xi) + f(xi+1)

Nella maggior parte dei casi, la stima migliora al crescere di N: notiamo che su ciascunintervallo abbiamo sostituito alla funzione il polinomio interpolante passanti per gli estremi,ossia abbiamo sostituito nelli-esimo intervallo la funzione con il polinomio Pi di grado 1.


16/35

68 Capitolo 4

Quanto vale lerrore?ba

f(x) dx =N1i=0

xi+1xi

f(x) dx

=N1i=0

xi+1xi

Pi(x) dx +N1i=0

xi+1xi

(f(x) Pi(x)) dx

=h

2

N1i=0

(f(a + ih) + f(a + (i + 1)h)) +N1i=0

xi+1xi

(f(x) Pi(x)) dx

Daltra parte per il teorema 1.24 su ciascun intervallo (xi, xi+1) lerrore f(x)

Pi(x) si

controlla con la derivata seconda della funzione f per il polinomio di grado due dato da12

(x xi)(xi+1 xi):N1i=0

xi+1xi

(f(x) Pi(x)) dx

N1i=0

xi+1xi

|f(x) Pi(x)| dx

max{|f(t)| : t [a, b]}

2

N1i=0

xi+1xi

(x xi)(xi+1 x) dx.

Con la sostituzione t = x xi e ricordando dalla (4.3) che xi+1 = xi + h, scopriamo che gliintegrali della formula precedente sono tutti uguali e valgonoxi+1

xi

(x xi)(xi+1 x) dx =h

0

t(h t) dt =h

0

(ht t2) dt

= ht2

2 t

3

3

h0

=h3

2 h

3

3=

h3

6.

Quindi, ricordando le relazioni (4.3)

N1i=0

xi+1xi

(f(x) Pi(x)) dx N h

3

12max{|f(t)| : t [a, b]}

=(b

a)3

12 N2 max{|f(t)| : t [a, b]}.

Riassumendo:

Teorema 4.16. Siaf : [a, b] R una funzione di classeC2, N un numero naturale positivo,h = (b a)/N. Allorab

a

f(x) dx h2

N1i=0

(f(a + ih) + f(a + (i + 1)h)) ,

nel senso cheba f(x) dx h2N1i=0

(f(a + ih) + f(a + (i + 1)h)) (b a)312 N2 max{|f(t)| : t [a, b]}.


17/35

4.4 Il metodo dei trapezi 69

ZEsempio 4.17. Usiamo il metodo dei trapezi per approssimare lintegrale definito 10 ex dx.In modo grossolano, dividiamo lintervallo [0, 1] in ad esempio N = 10 sottointervalli, cia-scuno di ampiezza h = 1/1 0 = 0.1. Usando un foglio di Maple, possiamo scrivere adesempio

> n:=10:a:=0:b:=1:

> h:=(b-a)/n:

> f:=x->exp(x):

> int_appr:=0:

for j from 0 to n-1 do

int_appr:=int_appr+h*(f(a+j*h)+f(a+(j+1)*h))/2:

od:

int_appr;

Maple risponde con il risultato

1

20 +

1

10 e

1/10

+

1

10 e

1/5

+

1

10 e

3/10

+

1

10 e

2/5

+

1

10 e

1/2

+

1

10 e

3/5

+

1

10 e

7

10

+

1

10 e

4/5

+

1

10 e

9

10

+

1

20 e

1

Per ottenere il risultato in formato virgola mobile scriviamo convert(%,float); e otteniamoil risultato cercato: il valore approssimato dellintegrale risulta 1.719713491.

Confrontiamo la nostra approssimazione con il vero valore dellintegrale, che in questo casoe semplice da calcolare: e 1. Lerrore commesso e quindi: e 1 1.719713491 (cioe circa0.001431663); il risultato e molto buono, considerato che abbiamo usato solo N = 10sottointervalli.

Piu significativo e capire a priori in quanti intervalli avremmo dovuto suddividere [0, 1] perottenere un valore approssimato, ad esempio a meno di 103. Siccome la derivata secondadella funzione ex e la funzione stessa, sullintervallo [0, 1], tale derivata seconda al massimovale e < 3. Se scegliamo N sottointervalli lerrore si puo quindi controllare con

3

12 N2=

1

4 N2.

Il problema e determinare N in modo che questo errore sia minore della precisione scelta, inquesto caso 103. Risulta 1

4N2< 103 se N2 > 250, quindi potremmo scegliere ad esempio

N = 16.


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70 Capitolo 4

1

0

1

f(x)spezzata

Il metodo dei trapezi fornisce una stima accurata,

purche la funzione non abbia accelerazioni e dece-lerazioni troppo brusche. Nellesempio della figura

accanto, la funzione f(x) = sin(1/x) nellinterval-lo [0.1, 0.85]. Si sono scelti n = 15 sottointerval-

li (h = 0.05). Pur avendo scelto sottointervallimolto piccoli, la spezzata non approssima bene lafunzione nel primo sottointervallo. Possiamo con-trollare che la derivata seconda di questa funzione

e molto grossa vicino a zero.

ZEsempio 4.18. Approssimare 21 log(x2 + 1) dx a meno di 105.Sia f(x) = log(x2 + 1). Allora f(x) = 2 1x

2

(1+x2)2e, siccome sullintervallo [1, 2] valgono

1 + x2 2, |1 x2| 3, otteniamo

|f(x)| 2 34

=3

2x [1, 2].

(In realta si potrebbe notare dallo studio del grafico di f che |f(x)| 1/4, ma occorrereb-bero troppi conti).

Quindi per ottenere una stima a meno di 105

dobbiamo dividere lintervallo [1, 2] in Nsottointervalli con N tale che

(b a)312 N2

max{|f(t)| : t [a, b]} < 105 in questo caso (2 1)3

12N23

2< 105,

quindi ad esempio N = 150 (ma basterebbe N = 112).

Con Maple scriviamo un file che implementi il metodo dei trapezi, facendo calcolare il numerodi intervalli necessari con un ciclo while iniziale.

> f:=x->log(x^2+1):

> a:=1: b:=2:

> prec=10^(-5): # precisione

> Max=3/2: # stima della derivata seconda, che potremmo migliorare usando

> plot(D(D(f)), a..b);

> N:=1; # calcolo numero intervalli necessari con ciclo while

> while ((b-a)^3)*Max/(12*( n^2))>= prec do

n:=n+1:

od:

n;

> h:=(b-a)/n: # passo

> int_appr:=0: # inizializzazione valore approssimato

> for j from 0 to n-1 do

int_appr:=int_appr+h*(f(a+j*h)+f(a+(j+1)*h))/2:


19/35

4.5 Integrali impropri 71

od:

> convert(int_appr,float);

In risposta otteniamo 1.169228424 e il valore richiesto e quindi circa 1.1692.

5. Integrali impropri

Supponiamo di dover studiare la funzione integrale

F(x) =x

0

et

t + 1dt.

Linteresse risiede nel fatto che la funzione integranda non ha primitive esprimibili in forma

elementare, quindi stiamo effettivamente studiando una nuova funzione.

La funzione integranda f(t) = et

t+1e definita se t = 1 e ivi continua. In particolare risulta

quindi integrabile su ogni intervallo contenuto in R\{1}. Allora, se 0 e x sono gli estremi diun intervallo contenuto in R \ {1}, ha senso calcolare lintegrale della formula che definisceF(x). Ossia se x e in (1, +), possiamo assegnare un valore a F(x), quindi il dominio diF(x) contiene lintervallo (

1, +

). A questo punto, possiamo calcolare i limiti agli estremi

di questo intervallo. Questo ci porta a considerare (idealmente) lintegrale di f sullintervalloillimitato [0, +) oppure lintegrale di f sullintervallo (1, 0] che e limitato, ma f non elimitata su (1, 0]. Le domande che ci poniamo sono: sappiamo calcolare questi limiti? Seno, sappiamo almeno stabilire se esistono e se sono finiti?

Lintegrale improprio, che introduciamo in questa sezione, e una estensione dellintegrale

usuale nei casi in cui ci si trovi a integrare in qualche senso su un intervallo illimitato oppureuna funzione ilimitata su un intervallo limitato.

Tratteremo in dettaglio il caso dellintervallo illimitato; riportiamo le principali considera-zioni per il caso di funzione non limitata su intervallo limitato.

5.1. Caso intervallo illimitato. Sia f una funzione integrabile su ogni intervallo li-mitato contenuto in [0, +); ad esempio sia f continua sullintervallo [a, +). Allora perogni b in [a, +) ha senso calcolare b

af(x) dx .

Definizione 4.3. Si dice che f e integrabile in senso improprio su [a, +) se esiste finito illimb

+

ba f(x) dx. In tal caso si dice che lintegrale e convergente e si pone+a

f(x) dx = limb+

ba

f(x) dx.


20/35

72 Capitolo 4

Nel caso il limite risulti +

[rispettivamente

] si dice che lintegrale improprio diverge

a + [rispettivamente a ]. In tutti gli altri casi diciamo semplicemente che lintegraleimproprio non converge. Analogo e il caso in cui si considerano funzioni continue su se-miintervalli infiniti a sinistra (del tipo (, b]): si pone, quando il limite a destra esistefinito b

f(x) dx = lim

a

ba

f(x) dx.

Infine si dice che+ f(x) dx e convergente se sono separatamente convergenti

0 f(x) dx

e +

0f(x) dx. Si pone+

f(x) dx =

0

f(x) dx +

+0

f(x) dx.

ZEsempio 4.19. Dire se sono convergenti ed eventualmente calcolare i seguenti integrali:

a)

+0

ex dx b)

+1

1

xadx a > 0 c)

+0

sin xdx.

a) Una primitiva di ex e la funzione ex. Pertanto

limb+

b0

ex dx = limb+

exb0

= limb+

(eb + 1) = 1.

Questo vuol dire che lintegrale improprio in a) e convergente e vale 1.

b) Se a = 1 una primitiva di 1/xa e xa+1/(a + 1); se a = 1 invece una primitiva e log x.Quindi

b1

1

xadx =

xa+1

a+1

b1

se a = 1

log x|b

1se a = 1

=

ba+11a+1 se a = 1

log b se a = 1

Nel caso a = 1, passando al limite per b tendente a infinito otteniamo che lintegrale impropioe divergente a +. Lo stesso succede se 0 < a < 1. Invece se a > 1 lintegrale impropriorisulta convergente (e vale 1/(a 1)). Riassumendo+

1

1

xadx

e convergente se a > 1

e divergente se 0 < a 1.

c) Una primitiva di sin x e cos x. Pertanto

b0

sin x dx = cos x|b0 = cos b + 1.

Poiche limb+ cos b non esiste, lintegrale improprio proposto non e convergente.


21/35


Nella maggior parte dei casi interessa stabilire se un integrale improprio dato risulta con-

vergente o divergente o non convergente e eventualmente fornire unapprossimazione del suovalore.

Gli integrali impropri di funzioni non negative (o non positive) sono piu facili da trattare.

a b1 b2a b1 b2

Infatti se f(x) 0 e a b1 b2, allorab1a

f(x) dx b2a

f(x) dx,

ovvero la funzione integrale risulta crescente.

Per il teorema sul limite delle funzioni monotone il limb+ba

f(x) dx esiste sempre e puo

essere finito (integrale convergente) oppure + (integrale divergente). In altre parole, noncapita mai quanto visto nellesempio c).

Un criterio basilare per stabilire la convergenza o divergenza e il seguente.

Teorema 4.20 (Teorema del confronto). Siano f eg funzioni continue sullintervallo [a, +)con0 f(x) g(x) per ogni x in [a, +).

i) Se+a

g(x) dx e convergente, allora anche+a

f(x) dx e convergente.

ii) Se+a

f(x) dx e divergente, allora anche+a

g(x) dx e divergente.

g(x)f(x)

La spiegazione del teorema e facilmente illustratanella figura accanto: se larea della regione piugrande e finita, a maggior ragione e finita larea

della regione piu piccola; viceversa, se larea dellaregione piu piccola e infinita, a maggior ragionerisulta infinita quella della regione piu grande. Piu

formalmente:

Dimostrazione. Supponiamo che valga i). Siccome f e non negativa, limb+ba

f(x) dxesiste. Dobbiamo stabilire se e finito oppure no.


22/35

74 Capitolo 4

Per lipotesi f(x)

g(x) per ogni x in [a, +

) e la monotonia dellintegrale definito, per

ogni b a vale ba

f(x) dx ba

g(x) dx.

Per il teorema del confronto dei limiti si ha

limb+

ba

f(x) dx limb+

ba

g(x) dx =

+a

g(x) dx.

Supponiamo che valga ii). Siccome g e non negativa, limb+

b

ag(x) dx esiste. Dobbiamo

stabilire se e finito oppure no.

Per lipotesi f(x) g(x) per ogni x in [a, +) e la monotonia dellintegrale definito, perogni b a vale b

a

f(x) dx ba

g(x) dx.

Per il teorema del confronto dei limiti si ha

+ = limb+

ba

f(x) dx limb+

ba

g(x) dx.

Si noti che nel Teorema 4.20 (del confronto) non e necessario che la maggiorazione 0 f(x) g(x) valga su tutto lintervallo [a, +), ma e sufficiente che valga da un certo puntoin poi.

Infatti se f e una funzione continua sullintervallo [a, +) e a < c, vale: +a

f(x) dx

convergente se e solo se+c

f(x) dx e convergente e+a

f(x) dx =ca

f(x) dx++c

f(x) dx.

Il criterio appena enunciato ci permette di concludere qualcosa anche per funzioni non

necessariamente non negative:

Corollario 4.21. Sia f una funzione continua sullintervallo [a, +). Se+a

|f(x)| dx e

convergente, anche+a

f(x) dx e convergente.

Dimostrazione. Indichiamo con f+ la parte positiva di f e con f la parte negativa,in modo che f = f+ f. In formule

f+(x) = f(x) se f(x) 00 altrimenti f(x) = f(x) se f(x) 00 altrimentiNelle figure seguenti potete confrontare f(x) con |f(x)|, f+(x) e f(x).


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0 0.5 1 1.5 2 2.5 32

1

0

1

2

3

4

5f(x)

0 0.5 1 1.5 2 2.5 32

1

0

1

2

3

4

5|f(x)|

0 0.5 1 1.5 2 2.5 32

1

0

1

2

3

4

5

f+(x)

0 0.5 1 1.5 2 2.5 32

1

0

1

2

3

4

5

f

(x)

La parte positiva f+ e la parte negativa f di f sono funzioni non negative ed entrambe piupiccole di |f(x)|. Ma allora esistono finiti limb+

ba

f+(x) dx e limb+ba

f(x) dx. Nesegue che esiste finito

limb+

ba

f(x) dx = limb+

ba

f+(x) dx limb+

ba

f(x) dx.

In sintesi, per studiare la convergenza di un integrale improprio, basta saper confrontare la

funzione data con funzioni di cui e noto il comportamento dellintegrale improprio, come lefunzioni dellesempio 4.19 a) e b).

Si puo facilmente verificare che da un certo punto in poi f(x) si comporta come 1/xa

calcolando lordine di infinitesimo di f(x) (o un limite) per x + .

Corollario 4.22. Sia f una funzione continua su [c, +).

i) Se per un qualche a > 1 risulta limx+ xaf(x) = R, allora

+c

|f(x)| dx econvergente.

ii) Sef(x) 0 e per un qualchea con0 < a 1 risulta limx+ xaf(x) = R\{0},allora

+c

f(x) dx e divergente.


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76 Capitolo 4

La spiegazione di questo criterio e contenuta nella definizione di limite.

Ne deduciamo che se, per x +, la funzione f e un infinitesimo di ordine con > 1,allora

+c

|f(x)| dx e convergente. Se f(x) 0 e se, per x +, la funzione f e uninfinitesimo di ordine con 1, allora +

cf(x) dx e divergente.

ZEsempio 4.23. Lo scopo di questo esempio e mostrare che nulla si puo concludere nel casoa = 1, = 0 (che corrisponde a dire f infinitesima, per x +, di ordine non ben precisatomaggiore di uno).

Valutare la convergenza degli integrali impropri+2

1x log x

dx e+

2

1x log2 x

dx.

Si noti che le funzioni 1x logx

e 1x log2 x

entrambe soddisfano le ipotesi del criterio con a = 1,

= 0.

Mediante la sostituzione y = log x, dy = dx/x, otteniamo

limb+

b2

1

x log xdx = lim

b+

log blog2

1

ydy = +

limb+b

2

1

x log2 x dx = limb+log b

log2

1

y2 dy =

1

log2 ,

ossia il primo integrale e divergente e il secondo e invece convergente.

ZEsempio 4.24. a)+

5xex

dx e convergente. Infatti, si ha

limx+

xa+1

ex= 0

per ogni a, in particolare per a = 2.

b)

+

11x

log

x+1x+2

dx e convergente. Infatti per a > 1,

limx+

xa

xlog

x + 1x + 2

= lim

x+log x+1x+2

x1a

e, usando la regola dellHopital,

limx+

x+2x+1

x+2(x+1)

(x+2)2

(1 a) xa = limx+

xa

(1 a)(x + 2)(x + 1)e questultimo limite vale 1 per a = 2 (per a > 2 viene , per 0 < a < 2 viene 0).

ZEsempio 4.25. Lo scopo di questo esempio e mostrare che un integrale improprio puo essereconvergente senza che la funzione integranda sia infinitesima (il limite potrebbe non esistere,

come in questo caso).

Verificare che+2/4

sin(x2) dx e convergente.


25/35


Utilizziamo innanzi tutto la sostituzione t = x2 e dopo integriamo per parti. Otteniamo:+2/4

sin(x2) dx = limb+

b2/4

sin(x2) dx = limb+

b/2

sin(t)

2

tdt

= limb+

cos(t)

2

t

b

/2

14

b/2

cos(t)

t3/2dt

= limb+

cos(

b)

2 4

b 1

4

b/2

cos(t)

t3/2dt

= limb+

1

4 b

/2

cos(t)

t3/2dt =

1

4 +

/2

cos(t)

t3/2dt

e lultimo integrale scritto e convergente, perche vale la i) del Corollario 4.22 con a = 3/2.

Rispetto alla funzione sin x (dellesempio 4.19 c), integrale improprio non convergente), lafunzione sin x2 presenta oscillazioni piu veloci ed e questo che le permette di avere integrale

improprio convergente.

ZEsempio 4.26. Scopo di questo esercizio e mostrare che puo accadere che+a

|f(x)| dx

sia divergente ma+a

f(x) dx sia convergente (ovviamente f non avra segno costante).Possiamo scegliere la funzione dellesempio precedente: f(x) = sin(x2). Abbiamo visto che+2 sin(x2) dx e convergente. Mostriamo ora che +2 | sin(x2)| dx non e convergente, quindi,siccome | sin(x2)| 0, lintegrale sara divergente. Per ogni numero naturale N 2 si ha,con la sostituzione t = x2,N22

2

| sin(x2)| dx =

N

| sin(t)|

2

tdt =

N1k=1

(k+1)k

| sin(t)|

2

tdt.

Ancora, siccome lintegranda e non negativa,N222

| sin(x2)| dx N1k=1

k+3/4k+/4

| sin(t)|

2

tdt

N1k=1

2

4

k+3/4k+/4

1t

dt.

Infine, siccome la funzione 1/t e decrescente,N222

| sin(x2)| dx

2

4

N1k=1

2

1k + 3/4

.

Se N +, la serie che otteniamo a secondo membro e divergente, quindi per confrontoN222

| sin(x2)| dx + e lintegrale proposto non puo convergere. ZEsempio 4.27. Dire se converge ed in caso affermativo approssimare a meno di 1/100

lintegrale improprio+

0ex

2

dx.

Lintegrale improprio e convergente, percheex

2 ex x 1e, come visto nellesempio 4.19 a) lintegrale improprio

+0

ex dx e convergente.


26/35

78 Capitolo 4

Cerchiamo ora di stimare lintegrale improprio di partenza.

Innanzi tutto, se un integrale improprio+a

f(x) dx e convergente, allora da un certo punto

M in poi+M

f(x) dx e molto piccolo. Dividiamo in due parti lintervallo [0, +), ossiaper un certo M da determinare [0, +) = [0, M] [M, +).

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

ex

ex

2

Si avra+0

ex2

dx =

M0

ex2

dx +

+M

ex2

dx.

Stimiamo separatamente ciascun integrale a se-

condo membro a meno di 1/200. Sommando ledue stime, otterremo una stima dellintegrale cer-

cato, in cui lerrore e minore della somma dei dueerrori, cioe 1/100, come richiesto.

Iniziamo dal secondo integrale. Se M e grande, il secondo integrale sara molto piccolo equindi trascurabile; precisamente si ha che

+

M

ex2

dx

+

M

ex dx = eM 0 .


28/35

80 Capitolo 4

Le funzioni 1/xa non sono limitate per x

0+. Si tratta dunque di integrali impropri.

Se a = 1 una primitiva di 1/xa e xa+1/(a + 1); se a = 1 invece una primitiva e log x.Quindi

1

1

xadx =

xa+1

a+1

1

se a = 1

log x|1

se a = 1

=

1a+1a+1 se a = 1

log se a = 1

Nel caso a = 1, passando al limite per tendente a 0+ otteniamo che lintegrale impropio

e divergente a +. Lo stesso succede se a > 1. Invece se 0 < a < 1 lintegrale impropiorisulta convergente (e vale 1/(1 a)). Riassumendo1

0

1

xadx

e convergente se 0 < a < 1

e divergente se a 1.

c b

f(x)g(x)

Considerazioni analoghe a quelle svolte nella se-zione precedente mostrano che le opportune va-

riazioni del Teorema 4.20 del confronto e succes-sivo Corollario 4.21 sono ancora valide. La figura

accanto dovrebbe aiutare a scrivere tali variazioni.

Alla luce dellesempio appena svolto, il Corollario 4.22 diventa

Corollario 4.29. Sia f una funzione continua sullintervallo [b, c) ma ivi illimitata.

i) Se per un qualche a, 0 < a < 1 risulta limxc(c x)af(x) = R, alloracb|f(x)| dx e convergente.

ii) Se f(x) 0 e per un qualchea cona 1 risulta limxc(cx)af(x) = R\{0},allora

cb

f(x) dx e divergente.

ZEsempio 4.30. Studiare il grafico della funzione integrale

F(x) =

x2

log |t|

(t + 1)3dt.

Lunico punto delicato e il dominio della funzione integrale. Ovviamente possiamo assegnareun valore a F(x) quando la funzione log |t|

(t+1)3e integrabile sullintervallo [1, x] (oppure [x, 1]), ma

possiamo anche assegnare un valore quando lintegrale e un integrale improprio convergente.


29/35


In questo caso, la funzione integranda f(t) = log |t|

(t+1)3 e definita e continua su (

,

1)(1, 0) (0,). Siccome il punto base e 2, allora possiamo dire che (0,) e senzaltro

contenuto nel dominio di F. Tuttavia il dominio puo essere piu grande.

Ci chiediamo inizialmente se 0 e nel dominio di F. Questo accade se e solo se lintegrale02

log |t|(t+1)3

dt e convergente. Siccome limt0log |t|

(t+1)3= di ordine piu piccolo di ogni potenza,

allora lintegrale0

2f(t) dt e convergente e 0 sta nel dominio di F.

Se poi prendiamo x in (1, 0), possiamo scrivere

F(x) = x2

log |t|(t + 1)3 dt =0

2log |t|(t + 1)3 dt +

x0

log |t|(t + 1)3 dt

e ciascuno degli integrali sopra scritti e convergente. Quindi (1,) e contenuto nel dominiodi F.

Ci chiediamo ora se anche 1 e nel dominio di F. Questo ammonta a chiedersi se 10

log |t|(t+1)3

dt

e convergente. Siccome limt1log |t|

(t+1)3= di ordine 2, allora lintegrale 1

0f(t) dt non e

convergente e 1 non sta nel dominio di F. A questo punto, per ladditivita dellintegrale,non avra senso chiedersi se punti minori di 1 stanno nel dominio di F.

Quindi dom F = (1,). Calcoliamo ora i limiti agli estremi del dominio. Siccomelimt1+

log |t|(t+1)3

= e tenendo conto dellorientamento dellintervallo,

limt1+

x1

f(t) dt = +.

Ci chiediamo ora cosa succede del limx+ F(x). La domanda equivale a calcolare o almeno

a chiedersi se esite finito lintegrale improprio+

1f(t) dt. Siccome

limt+

f(t) dt = 0

di ordine maggiore di 2, possiamo dire che lintegrale improprio+

1f(t) dt e convergente,

ossia

limx+

F(x) esiste finito.

Infine, per il teorema 4.2, la funzione integrale F risulta senzaltro derivabile nei punti dove

f e continua e in questi punti la derivata di F(x) e f(x). Quindi

F(x) =log |x|

(x + 1)3

x

(

1, 0)

(0,

)

e F non e derivabile in 0, perche limx0 F(x) = . Da qui si va avanti come al solito per

lo studio di intervalli di monotonia.


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82 Capitolo 4

2 1.5 1 0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 33.5

3

2.5

2

1.5

1

0.5

0

0.5f(t)

1 0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 30.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

Nella figura a sinistra ce il grafico di f e a destra il grafico di F.

6. Applicazioni alle serie numeriche

Teorema 4.31 (Criterio integrale). Sia f : [1,) R una funzione positiva e decrescente.Allora:

i) la serie

n=1 f(n) e convergente se e solo se lintegrale improprio

1f(x) dx e con-

vergente;

ii) la serien=1

f(n) e divergente se e solo se lintegrale improprio

1f(x) dx e diver-

gente.

Dimostrazione. Usare il criterio del confronto per i limiti, ricordando che

1 2 3 4n+11

f(x) dx n

k=1

f(k)

1 2 3 4

nk=2

f(k) n

1

f(x) dx

ZEsempio 4.32. Con il criterio integrale e facile notare che la serie armonica generalizzatan=1

1n

e convergente se e solo se lo e lintegrale improprio

11x

dx e quindi, come abbiamovisto nellesempio 4.19 se e solo se > 1. Forse ricordate che avevamo fatto molta piu faticanellesempio 2.11.

Altri esempi sono costituiti da

1n logn

e

1n log2 n

, rispettivamente divergente e convergente

per il criterio integrale e lesempio 4.23.


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4.6 Applicazioni alle serie numeriche 83

In generale, calcolare la somma di una serie e un problema abbastanza difficile, tranne in

alcuni casi particolari (serie geometriche, telescopiche). E quindi utile saper approssimare lasomma di una serie.

Supponiamo di voler approssimaren=1

an, dove an e della forma an = f(n) con f : [1,) Runa funzione positiva, decrescente di integrale improprio

1

f(x) dx convergente (come nel

criterio integrale). Allora la serien=1

f(n) e convergente. Desideriamo stimare la sua somma

s a meno di un errore E (ad esempio E = 102). Inizialmente possiamo pensare di troncarela somma a un certo indice N, da determinare, e trattare la coda come errore. In formule:

n=1

f(n) =Nn=1

f(n) ridotta, sN che da lapprossimazione

+

n=N+1

f(n)

coda, che per N opportuno deve essere


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84 Capitolo 4

> ridotta:=convert(sum(1/k^2,k=1..71),float);

> int_infinito:=n->1/n;

> approssimazione:=ridotta+0.5*(int_infinito(71)+int_infinito(72));

Il risultato che otteniamo e 1.6449, con quindi due cifre decmali esatte.

Notiamo che il metodo ingenuo di usare solo la stima dallalto fornita dal criterio integraleci avrebbe obbligati a molte iterazioni in piu: siccome si tratta di una serie a termini positivie convergente, possiamo approssimare (per difetto) la somma della serie con una opportuna

ridotta di ordine N. Il problema e determinare N in modo che lerrore commesso sia piu

piccolo di 104

. In formule:n=1

1

n2=

Nn=1

1

n2 ridotta, che da lapprossimazione

+

n=N+1

1

n2 resto, che per N opportuno deve essere


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4.7 Esercizi 85

3. Calcolare la media sullintervallo [

1, 1] della funzione f(x) = |x|.4. Calcolare la media sullintervallo [0, ] della funzione f(x) = cos x e di g(x) = | cos x|.

5. Calcolare i seguenti integrali definiti e approssimarli tramite il metodo dei trapezi a meno di

104:

0

e2x sin x dx;

10

arcsin x dx (con la sostituzione x = sin y);

5

3

3

4 + x dx;

2

1 x3 +

1

x2 1

x3dx; ()

4

3

log((1 x)(2 x)) dx;1

0

ex

2 + exdx;

102

1

e2x 1 dx;/2

0

cos x

1 + sin x dx;3

1

x

2 + x2 dxe1

log xx

dx (con la sostituzione y =

x).

6. Discutere la convergenza del seguente integrale:+0

arctg x

1 + x2dx

e, qualora converga, calcolarlo.

7. Discutere la convergenza di+0

|x log x| log xex e dx e

54

1 3xx 2 dx.

8. Sia

f(x) =1 3cos x

log(1 + 5

x),

Studiare la convergenza di 10

f(x)

x2dx e

+2

f(x)

x2dx.

9. Dire se le seguenti serie sono convergenti e eventualmente approssimarne la somma a meno

di 105n=1

1

n3;

n=1

1

n2 + 4;

n=1

1

2n n2

n=2

1

3n log n.

10. a) Dire se e convergente e in caso affermativo approssimare a meno di 1/100 lintegrale

improprio +2

e2x log xdx.


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86 Capitolo 4

Traccia: sia g(x) = e2x log xi) Spiegare perche

0 e2x log x ex x 2e dedurne che ...ii) Determinare b > 2 tale che

+b e

x dx < 1/200.

iii) Approssimare con il metodo dei trapezib

2 g(x) dx a meno di 1/200.

Si ricorda che: dati a, b R, a < b, g una funzione di classe C2([a, b]) n = 1, 2, . . ., allora, postoh = (b a)/n si ha

ba

g(x) dx h2

ni=1

(g(a + (i 1)h) + g(a + ih))

calcolo integrali

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