Estudio del efecto de un factor con mltiples niveles

y de la combinacin de varios factores

Anlisis Univariante de la varianza

EjemploEstamos estudiando los procesos memorsticos subyacentes a la emisin de un diagnstico mdico. Disponemos de un grupo de estudiantes de medicina que reciben una serie de compensaciones acadmicas por su colaboracin. Una vez asignados al azar a cada uno de los 4 grupos experimentales, se les pide que una vezvista la serie de casos que se les presentar, emitan un juicio sobre la probabilidad que el alimento concreto sea la causa de un malestar gstrico: Existen por tanto 4 situaciones (comida-malestar, comida-no malestar, otra comida-malestar y otra comida-no malestar.

25P(E/NC)= 0.25 P(E/C)=0.50C20P(E/NC)= 0.25 P(E/C)=0.25C1 (azar)

75P(E/NC)= 0.25 P(E/C)= 1.C450P(E/NC)= 0.25 P(E/C)= 0.75C3

Juicio esperadoFase de Exposicin (50 casos)Grupo

10101010N =

GRUPO

C4C3C2Azar

95%

IC R

ESU

L

30

20

10

0

-1,3

1,0

3,3

5,7

8,0

10,3

12,7

15,0

17,3

19,7

22,0

24,3

26,7

29,0

31,3

1086420

Desv. tp. = 6,08

Media = 14,5

N = 40,00

HiptesisNula

Hiptesis AlternativaRESUL

32,530,0

27,525,0

22,520,0

17,515,0

12,5

GRUPO: 0 Azar3,5

3,0

2,5

2,0

1,5

1,0

,5

0,0

Desv. tp. = 7,20 Media = 19,0

N = 10,00

RESUL

20,017,5

15,012,5

10,07,5

5,02,5

0,0-2,5

GRUPO: 2 C33,5

3,0

2,5

2,0

1,5

1,0

,5

0,0

Desv. tp. = 5,79 Media = 11,3

N = 10,00

RESUL

16,014,012,010,08,06,04,0

GRUPO: 1 C23,5

3,0

2,5

2,0

1,5

1,0

,5

0,0

Desv. tp. = 3,47 Media = 11,4

N = 10,00

RESUL

22,020,018,016,014,012,010,0

GRUPO: 3 C43,5

3,0

2,5

2,0

1,5

1,0

,5

0,0

Desv. tp. = 3,94 Media = 16,2

N = 10,00

Grupo 1Grupo 2

Total Grupo 3

PROBLEMA DE LA IGUALDAD DE VARIANZAS

Los grupos necesitan tener varianzas iguales para poder distinguir entre la situacin representada por la hiptesis nula (mostrada aqu), donde las diferencias con respecto a la media global, que es nica, son debidas al azar (mucha varianza). Y la situacin representada a continuacin, donde al contrario, las diferencias se explican por la existencia de diversas medias pero con una varianza parecida.

1

23

Total Grupo 1 Grupo 2 Grupo 3 ...

PROBLEMA DE LA IGUALDAD DE VARIANZAS

PARTICIN DE LA VARIACIN TOTAL

Informe

RESUL

18,9549 10 7,1972811,4000 10 3,4705111,3000 10 5,7936716,2000 10 3,9384114,4637 40 6,08090

GRUPOAzarC2C3C4Total

Media N Desv. tp.

GRUPO

RES

UL

40

30

20

10

0

-10 C1 C2 C3 C4

DESVIACIN TOTAL =Efecto Grupo +Desv. No Explicada

)()()( jijTjTij yyyyyy +=

))((2)()()( 222 jijTjjijTjTij yyyyyyyyyy ++=

Desviacin total = desviacin explicada + desviacin no explicada

Para poder sumar las desviaciones, necesitamos elevar al cuadrado, as las desviaciones positivas y las negativas no se anulan:

PARTICIN DE LA VARIACIN TOTAL

Luego hacemos el sumatorio del conjunto de N = c x n sujetos:

= == == == =

++=c

j

n

ijijTj

c

j

n

ijij

c

j

n

iTj

c

j

n

iTij yyyyyyyyyy

1 11 1

2

1 1

2

1 1

2 ))((2)()()(

Siendo el tercer trmino 0, finalmente obtenemos:

cNSC

cSC

NSC

yyyynyy

residualGruposTotal

c

j

n

ijij

c

jTj

c

j

n

iTij

+

=

+= = === =

11

)()()(1 1

2

1

2

1 1

2

ANOVA DE UN FACTOR

GrupoTotalsidual SCSCSC =Re

Fuente de variacin

Sumas de cuadrados Gradosde

libertad

VarianciasCM

F

Entregrupos

Total

=

=

c

jTjGrupo yynSC

1

2)(

= =

=

c

j

n

iTijTotal yySC

1 1

2)(

Grup

Grup

GLSC

sidual

sidual

GLSC

Re

Re

Total

Total

GLSC

1c

cN

1N

sidual

Grupo

CMCM

Re

Residual

Anlisis Varianza del Ejemplo

Prueba de homogeneidad de varianzas

RESUL

2,744 3 36 ,057

Estadsticode Levene gl1 gl2 Sig.

ANOVA

RESUL

425,807 3 141,936 5,028 ,0051016,308 36 28,2311442,115 39

Inter-gruposIntra-gruposTotal

Suma decuadrados gl

Mediacuadrtica F Sig.

Pruebas robustas de igualdad de las medias

RESUL

4,825 3 19,409 ,0115,028 3 27,353 ,007

WelchBrown-Forsythe

Estadsticoa gl1 gl2 Sig.

Distribuidos en F asintticamente.a.

Pasos

1

2a

2b

GRUPO

C4C3C2Azar

Med

ia d

e R

ES

UL

20

18

16

14

12

10

Anlisis Varianza del EjemploPaso 3 Aceptamos la Hiptesis Alternativa, Cul es la conclusin?Quin es distinto de quin?Son distintos C2 C3 y C4 en promedio del grupo Azar?Es distinto C4 de C2 y C3 juntos?

TENEMOS 2 OPCIONES PARA CONTESTAR:

CONTRASTESMediante las opciones POLINOMICO y COEFICINETES se puede dividir las sumas de cuadrados inter-grupos en componentes de tendencia o especificar contrastes a priori.

POST-HOCLas pruebas de rango post hoc y las comparaciones mltiples por parejas permiten determinar qu medias difieren. Las pruebas de rango identifican subconjuntos homogneos de medias que no se diferencian entre s. Las comparaciones mltiples por parejas contrastan la diferencia entre cada pareja de medias y dan lugar a una matriz donde los asteriscos indican las medias de grupo significativamente diferentes a un nivel alfa de 0,05.

Comparaciones mltiples

Variable dependiente: RESULScheff

7,55* 2,376 ,029 ,59 14,527,65* 2,376 ,026 ,69 14,622,75 2,376 ,720 -4,21 9,72

-7,55* 2,376 ,029 -14,52 -,59,10 2,376 1,000 -6,87 7,07

-4,80 2,376 ,270 -11,77 2,17-7,65* 2,376 ,026 -14,62 -,69

-,10 2,376 1,000 -7,07 6,87-4,90 2,376 ,254 -11,87 2,07-2,75 2,376 ,720 -9,72 4,214,80 2,376 ,270 -2,17 11,774,90 2,376 ,254 -2,07 11,87

(J) GRUPOC2C3C4AzarC3C4AzarC2C4AzarC2C3

(I) GRUPOAzar

C2

C3

C4

Diferencia demedias (I-J) Error tpico Sig. Lmite inferior

Lmitesuperior

Intervalo de confianza al95%

La diferencia entre las medias es significativa al nivel .05.*.

Mediante comparaciones mltiples no podemos contestar este tipo de cuestiones:

Son distintos C2 C3 y C4 en promedio del grupo Azar?

Coeficientes de los contrastes

0 -,5 -,5 1Contraste1

Azar C2 C3 C4GRUPO

Pruebas para los contrastes

4,85 2,058 2,357 36 ,024

4,85 1,641 2,956 20,367 ,008

Contraste1

1

Asumiendo igualdadde varianzasNo asumiendoi ld d d i

RESUL

Valor delcontraste Error tpico t gl Sig. (bilateral)

Coeficientes de los contrastes

-1 ,33 ,33 ,33Contraste1

Azar C2 C3 C4GRUPO

Pruebas para los contrastes

-6,12a

1,935 -3,161 36 ,003

-6,12a 2,418 -2,530 11,385 ,027

Contraste1

1

Asumiendo igualdadde varianzasNo asumiendoi ld d d i

RESUL

Valor delcontraste Error tpico t gl Sig. (bilateral)

La suma de los coeficientes del contraste no es cero.a.

Es distinto C4 de C2 y C3 juntos?