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ANALISIS DE LA VARIANZA

PARTE SEGUNDA

Septiembre de 2012

Indice general

1. INTRODUCCION . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12. FUNDAMENTOS DEL DISENO EN BLOQUES ALEATORIZADOS 13. EJEMPLO DE DISENO EN BLOQUES ALEATORIZADOS: EX-

PANSION DEL CARBON DURANTE LA COQUIZACION . . . 94. FUNDAMENTOS DEL DISENO FACTORIAL . . . . . . . . . . . . . 205. EJEMPLO DE DISENO FACTORIAL: ESTUDIO COMPARA-

TIVO DE ENVASES DE CONSERVAS . . . . . . . . . . . . . . . . 276. EXTENSION A TRES O MAS FACTORES . . . . . . . . . . . . . . . 437. DISENO FACTORIAL A DOS NIVELES . . . . . . . . . . . . . . . . 478. EL MODELO ANOVA Y EL ANALISIS DE REGRESION . . . . . 47

1. INTRODUCCION

En la Parte Primera del Analisis de la Varianza nos centrabamos en el mo-delo ANOVA Simple que consideraba un unico factor como causa de variabili-dad. Este modelo estaba ligado al Diseno completamente aleatorizado. Otrosfactores, posibles fuentes de variabilidad, no estaban incluidos expresamenteen el modelo y sus efectos quedaban englobados en la variabilidad residual.En esta Parte Segunda consideraremos mas de un factor como causas devariabilidad desarrollando modelos ANOVA ligados a Disenos en BloquesAleatorizados y a Disenos Factoriales.

2. FUNDAMENTOS DEL DISENO EN BLOQUES

ALEATORIZADOS

En el diseno en bloques aleatorizados, ademas del factor de tipo catego-rico “A” con “p” niveles (tratamientos) cuyos efectos queremos cuantificar ycomparar, existe otro factor “B” con “q” niveles que denominaremos variablebloque. El experimentador no esta interesado, en principio, en cuantificar losefectos de la variable bloque pero sabe que esta ejerce influencia sobre lavariable de respuesta y desea eliminarla del analisis reduciendo de esta formala variabilidad residual o error experimental.

Cada uno de los “p” tratamientos se aplica una vez dentro de cada nivel dela variable bloque con lo que el numero total de observaciones sera N = p · q.Las N observaciones quedan agrupadas en “q” bloques de forma que, dentro

2 Analisis de la varianza

de cada bloque, las observaciones son entre si mas homogeneas.

El diseno en bloques aleatorizados es uno de los disenos utilizados conmayor frecuencia. Se hace evidente que aquellas variables cuya consideracionsuponga una mayor homogeneidad en las observaciones por afectar a las uni-dades experimentales o a las condiciones de realizacion del experimento sonpotenciales candidatas a su seleccion como variables bloque. Por ejemplo:lotes de materia prima, tiempo y en la experimentacion con animales edad,sexo, estado de salud, etc. Dentro de cada nivel o bloque, podremos com-parar mejor los efectos de los diferentes tratamientos que si no hubieramosefectuado la agrupacion en bloques.

La variabilidad existente en las “N” observaciones de la respuesta, quedaradescompuesta en tres fuentes de variacion: Dos de dichas fuentes seran asig-nables a los tratamientos y a la variable bloque mientras que la tercera sera lavariabilidad residual o error experimental. Es importante tener en cuenta quelos “p” tratamientos deben ser aplicados aleatoriamente dentro de cadabloque por lo que habra “q” aleatorizaciones. Si hubieramos introducidoen el modelo una segunda variable bloque con“r”niveles, los “p” tratamientoshabrıan de haber sido aplicados, tambien, de forma aleatorıa en cada nivelde la segunda variable bloque.

En el caso de que el diseno considere el factor “A” y dos variables bloquecoincidiendo el numero de niveles del factor y los de las variables bloque nosencontramos ante el tipo de diseno denominado Cuadrado latino. En estosdisenos los tratamientos se designan con letras latinas: a, b, c ...

En un cuadrado latino con “p” niveles el numero de observaciones sera p2,los datos se disponen en“p“ filas y“p”columnas mientras que los tratamientos(a, b, c...) se asignan de forma aleatoria en el cuadrado con las restriccionesde que en cada fila y en cada columna se den los “p” tratamientos y no serepita ninguno. Por ejemplo, para p=5 un diseno en cuadrado latino serıa:

Analisis de la varianza, parte segunda 3

Diseno en cuadrado latino (p=5)

Niveles Bloque 2Niveles I II III IV VBloque 1I b e a c dII d a e b cIII e b c d aIV a c d e bV c d b a e

Con un factor y tres variables bloques, del mismo numero de niveles,tendremos el cuadrado greco-latino.

El modelo de Analisis de la Varianza asociado a un Diseno en BloquesAleatorizados para un factor (A) y una variable bloque (B) es:

yij = µ+ τi + βj + εij

yij : Son los valores obtenidos para la variable de respuesta. El subındice“i” indica los diferentes niveles del factor “A“: 1, 2...p. El subındice “j”senala los niveles de la variable bloque “B”:1,2,...q.

µ : Valor medio de la variable de respuesta.

τi : Es el efecto correspondiente al nivel “i” del factor A. Si el nivel “i”tiene un valor medio µi, se define el efecto τi como la diferencia µi − µ.

βj : Es el efecto del nivel “j” de la variable bloque B. Si el nivel “j” tieneun valor medio µj, el efecto βj sera la diferencia µj − µ.

εij : Termino residual que suponemos conforme a una distribucion Nor-mal de media cero y desviacion tıpica σ que representamos por N(0, σ).

En este diseno, nuestro interes esta centrado en hacer el error experimentallo mas pequeno posible eliminando del error experimental la influencia dela variable bloque. La variable bloque, en principio, no interacciona. Si nosconsta que existe interaccion el modelo no serıa aplicable y habrıa que utilizarel modelo factorial que desarrollaremos en el punto 4.


Los efectos τi y βj estan sujetos a las restricciones:

∑i=pi=1τi = 0;

∑j=qj=1βj = 0

Para facilitar el desarrollo, las N=pq observaciones de yij las dispondremosen “q” niveles o bloques.

BloqueTratamientos 1 2 · · · q

1 y11 y12 · · · y1q

2 y21 y22 · · · y2q...

......

...p yp1 yp2 · · · ypq

Si sumamos los valores por filas, por columnas o la totalidad tendremoslas expresiones:

yis =∑j=q

j=1yij; yi =yisq

=

∑j=qj=1yij

q

yis representa la suma de las observaciones de la fila “i”. El subındice sindica suma.

yi representa el valor medio de las observaciones de la fila “i”.

ysj =∑i=p

i=1 yij; yj =ysjp

=

∑i=pi=1

p

ysj representa la suma de las observaciones de la columna “j”.

yj representa el valor medio de las observaciones de la columna “j”.


yss =∑i=p

i=1

∑j=qj=1 yij; y =

ysspq

=

∑i=pi=1

∑j=qj=1 yij

pq

yss representa la suma del conjunto de las observaciones.

Las estimaciones de los parametros del modelo seran las siguientes:

µ = y; τi = yi − y; βj = yj − y

Se omite la demostracion de que estos estimadores son, precisamente, losestimadores minimocuadraticos del modelo.

Por otra parte, la variabilidad total en las observaciones vendra dada por:

SCT =∑i=p

i=1

∑j=qj=1 (yij − y)2

Las variabilidades del factor “A” y de la variable bloque “B” seran:

SCA = q∑i=p

i=1(yi − y)2;SCB = p∑j=q

j=1(yj − y)2

La variabilidad residual SCRESIDUAL =∑i=p

i=1

∑j=qj=1(yij − Prediccion)2

Puesto que la prediccion del modelo viene dada por:

Prediccion = µ+ τi + βj = y + (yi − y) + (yj − y) = (yi + yj − y)

yij − Prediccion = yij − yi − yj + y;

SCRESIDUAL =∑i=p

i=1

∑j=qj=1(yij − yi − yj + y)2

Si agrupamos convenientemente el segundo miembro de SCT tendremos:

SCT =∑i=p

i=1

∑j=qj=1(yij − y)2 =∑i=p

i=1

∑j=qj=1 [(yi − y) + (yj − y) + (yij − yi − yj + y)]2


Elevando al cuadrado las expresiones del corchete resulta:

SCT =∑i=p

i=1

∑j=qj=1 (yi − y)2 +

∑i=pi=1

∑j=qj=1 (yj − y)2 +

∑i=pi=1

∑j=qj=1 (yij − yi − yj + y)2

+2∑i=p

i=1

∑j=qj=1(yi − y)(yj − y) + 2

∑i=pi=1

∑j=qj=1(yi − y)(yij − yi − yj + y)

+2∑i=p

i=1

∑j=qj=1(yj − y)(yij − yi − yj + y)

Se demuestra, como sucedıa en el desarrollo de la SCT del ANOVA simple(pag 5 de Analisis de la Varianza, Parte primera), que los dobles produc-tos se anulan quedando tan solo los terminos elevados al cuadrado que son:SCA, SCB y SCRESIDUAL

SCT =

i=p∑i=1

j=q∑j=1

(yi − y)2 +

i=p∑i=1

j=q∑j=1

(yj − y)2 +

i=p∑i=1

j=p∑j=1

(yij − yi − yj + y)2

SCT = q

i=p∑i=1

(yi − y)2

︸︷︷︸SCA

+p

j=q∑j=1

(yj − y)2

︸︷︷︸SCB

+

i=p∑i=1

j=q∑j=1


︸︷︷︸SCRESIDUAL

De esta forma, queda comprobada la igualdad

SCT = SCA + SCB + SCRESIDUAL


Tambien se cumple dicha igualdad en cuanto a los g.d.l:

νTOTAL = νA +νB +νRESIDUAL

(pq-1) (p-1) (q-1) (p-1)(q-1)

νTOTAL : Los g.d.l. en la SCTOTAL = N − 1 = pq − 1

νA : Los g.d.l. en la SCA = p− 1

νB : Los g.d.l. en la SCB = q − 1

νRESIDUAL : Los g.d.l. en la SCRESIDUAL = (p− 1)(q − 1)

Notese que la SCRESIDUAL puede expresarse segun la ecuacion:

SCRESIDUAL = SCTOTAL − SCA − SCB

Por tanto, los g.d.l. del residual se calcularan restando de los g.d.l. de laSCTOTAL los g.d.l. de SCA y SCB :

(pq − 1)− (p− 1)− (q − 1) = pq − 1− p+ 1− q + 1 = pq − p− q + 1 =p(q − 1)− (q − 1) = (p− 1)(q − 1)

Las medias cuadraticas (MC) se calculan a partir de las sumas de cuadra-dos (SC) dividiendolas por sus correspondientes g.d.l. (ν). Como hacıamosen el Analisis de la Varianza para un factor (pag 6 de la Parte Primera),aplicamos el concepto estadıstico de Esperanza Matematica (E) para ob-tener los valores esperados de MCA,MCB y MCRESIDUAL que son variablesaleatorias. Tras un desarrollo que omitimos, se obtiene:

E(MCA) = σ2 +q∑i=p

i=1 τ2i

p− 1

E(MCB) = σ2 +p∑j=q

j=1 β2j

q − 1

E(MCRESIDUAL) = σ2


Hipotesis nulas (H0)

En nuestro modelo: yij = µ + τi + βj + εij la hipotesis nula de interes esla de suponer nulos todos los efectos del factor A:

H0 : τ1 = τ2 = · · · = τp = 0; τi = 0

Bajo esta hipotesis, E(MCA) queda reducida a σ2 por anularseq∑i=p

i=1 τ2i

p− 1.

Dado que E(MCRESIDUAL) = σ2, ambas medias cuadraticas siguen dis-tribuciones χ2 (ji cuadrado) y su cociente seguira una distribucion “F” deFisher-Snedecor con (p-1) y (p-1)(q-1) g.d.l.

Si el ratio “F” es mayor que el valor crıtico correspondiente al nivel designificacion α, rechazaremos la hipotesis nula H0 : τi = 0. Entonces, alguno

de los efectos τi 6= 0 y E(MCA) = σ2 +q∑i=p

i=1 τ2i

p− 1sera significativamente

mayor que σ2.

La hipotesis nula H0 : βj = 0 tiene menor interes. Observese que, siH0 : βj = 0 se cumple, no hubiera tenido sentido introducir la variablebloque en el modelo.

Los valores del ratio “F”se incluyen en la correspondiente tabla de Analisisde la Varianza que quedara:

Fuente de Variacion Suma de cuadrados g.d.l. Medias Cuadraticas Ratio “F”

Factor A SCA (p-1) MCA =SCAp− 1

MCAMCRESIDUAL

Factor B(Bloque) SCB (q-1) MCB =SCBq − 1

Residual SCRESIDUAL (p-1)(q-1) MCRESIDUAL =SCRESIDUAL

pq − 1

Total SCTOTAL pq-1


3. EJEMPLO DE DISENO EN BLOQUES ALEA-

TORIZADOS: EXPANSION DEL CARBON DURANTE

LA COQUIZACION

El estudio* tiene como objeto la comparacion del comportamiento de cua-tro clases de carbones altos en volatiles respecto de su influencia sobre laexpansion que pueden experimentar algunas mezclas de carbones duranteel proceso de coquizacion. Se consideran peligrosas para la seguridad de lainstalacion aquellas mezclas que tengan expansion. Para predecir la expan-sion, se realiza un ensayo de laboratorio que simula las condiciones reales delproceso.

Se ha optado por realizar la comparacion mediante un Diseno Experimen-tal en bloques aleatorizados en el que el factor A es la clase de carbon concuatro niveles: 1,2,3,4. La variable B (variable de bloque) tiene tres niveles:1,2,3 que son tres tipos de mezclas en las que se incluyen los cuatro carbonesen estudio en distintos porcentajes en cada una de las tres mezclas. En lacoquizacion siempre se usan mezclas de modo que las carencias de un deter-minado componente sean cubiertas por las propiedades de otros. En cada unade las tres mezclas, los restantes carbones no objeto de estudio, se dosificanen la misma proporcion.

Discusion de Resultados

El modelo ANOVA es:

Expansion = µ+ τi + βj + ε

Siendo µ la media general; τi los efectos del factor A y βj los efectos de lavariable bloque B. El termino residual ε sigue una distribucion Normal (0, σ).

El factor A (clase de carbon) tiene 4 niveles.

El bloque B (tipo de mezcla) tiene 3 niveles.

*NOTA: Los datos resultantes del experimento han sido modificados y adaptados para su utilizacionen el presente ejemplo.


Los tratamientos (niveles) del factor A se aplican en cada uno de los 3niveles de la variable bloque en el orden aleatorio indicado en la pag 16. Serealizan, en consecuencia, tres aleatorizaciones.

Estimacion de parametros

La estimacion de los parametros (efectos) del modelo, segun lo expuestoen la pag 5 y los resultados de la pag 17.

µ = y = −18; τi = yi − y; βj = yj − y

τ1 = −22, 6667 + 18 = −4, 6667 β1 = −30 + 18 = −12

τ2 = −20, 3333 + 18 = −2, 3333 β2 = −5 + 18 = 13

τ3 = −11, 3333 + 18 = 6, 6667 β3 = −19 + 18 = −1τ4 = −17, 6667 + 18 = 0, 3333σ =√

8, 44444 = 2, 90593

Notese como los efectos τi y βj estan sujetos a las restricciones∑τi = 0

y∑βj = 0

Prediccion de valores

Los valores predichos por el modelo son los recogidos en la pag 19. Porejemplo, la prediccion para el nivel 1 del factor A perteneciente al bloque 1sera:

y11 = µ+ τ1 + β1

y11 = −18 − 4, 6667 − 12 = −34, 6667; el correspondiente residual es:-36 + 34,6667 = -1,3333


Sumas de cuadrados y grados de libertad

En la tabla de Analisis de la Varianza de la pag 17 se recogen las sumasde cuadrados, grados de libertad, medias cuadraticas y ratios “F”. Mediantecalculo podemos tambien obtener, facilmente, los valores de la tabla:

SCA =∑i=4

i=1 (τi)2 = 3[(−4, 6667)2 + (−2, 3333)2 + (6, 6667)2 + (0, 3333)2] = 215, 333

SCB =∑j=3

j=1 (βj)2 = 4[(−12)2 + (13)2 + (−1)2] = 1256, 0

SCT =∑

(yij − y)2 =∑

(Expansion+ 18)2 = 1522, 0

Si sumamos la columna de residuales de la pag 19 elevados al cuadradoobtendremos. SCRESIDUAL = 50, 6667

Como comprobacion vemos que SCT = SCA + SCB + SCRESIDUAL;1522, 0 = 215, 333 + 1256, 0 + 50, 6667

La tabla de Analisis de la Varianza de la pag 17 nos indica lo siguienterespecto de los grados de libertad (g.d.l.):

g.d.l. de la SCA = p − 1 = 4 − 1 = 3. Hay 3 efectos independiantespor existir entre ellos la restriccion

∑τi = 0 ya que -4,6667 - 2,3333 +

6,6667 + 0,3333 = 0

g.d.l. de la SCB = q−1 = 3−1 = 2. Hay solo dos efectos independientesya que existe la restriccion

∑βj = 0 : −12 + 13− 1 = 0

g.d.l. en SCTOTAL = pq − 1 = 11. De las 12 desviaciones respectode la media, 11 de ellas son independientes por existir la restriccion∑

(yij − y) = 0

g.d.l. en SCRESIDUAL = (p− 1)(q− 1) = (4− 1)(3− 1) = 6. De los 12residuales, hay solamente 6 independientes.

Se cumple por tanto:

g.d.l. de SCTOTAL︸︷︷︸11

= g.d.l. de SCA︸︷︷︸3

+ g.d.l. de SCB︸︷︷︸2

+ g.d.l. de SCRESIDUAL︸︷︷︸6


Medias cuadraticas y ratios “F”

Las medias cuadraticas y ratios “F” de la tabla de Analisis de la Varianzade la pag 17 se calculan segun lo siguiente:

MCA =SCA

g.d.l.=

215, 333

3= 71, 7778

MCB =SCB

g.d.l.=

1256, 0

2= 628, 0

MCRESIDUAL =SCRESIDUAL

g.d.l.=

50, 6667

6= 8, 44444

FA =MCA

MCRESIDUAL=

71, 7778

8, 44444= 8, 50 (g.d.l. numerador=3; g.d.l. denominador=6)

FB =MCB

MCRESIDUAL=

628, 0

8, 44444= 74, 37 (g.d.l. numerador=2; g.d.l. denominador=6)

A la hipotesis nula (H0) de que todos los efectos del factor A son nulos,le corresponde una probabilidad p=0,014 inferior al nivel de significacion del5 %(p=0,05). De ello se deduce que las diferencias entre los niveles del factor(clase de carbon) son significativas respecto de la Expansion.

En la tabla inferior de la pag 17 podemos observar como el carbon 3 essignificativamente diferente de los restantes. Los contrastes indicados con (*)senalan la presencia de contrastes significativos.

Los efectos de la variable bloque tambien son significativos aunque noestamos directamente interesados en ellos y en sus contrastes.

Observese que F=74,37 es muy elevado y su probabilidad p=0,0001 muybaja. Si no hubieramos considerado la variable bloque, la tabla de Analisis dela Varianza para un solo factor hubiera sido la de la pag 18. La variabilidadde la variable bloque hubiera quedado englobada en el error residual y losefectos del factor A con una F=0,44 y P=0,731 no hubieran aparecido comosignificativos.


Intervalos de confianza y Contrastes.

Los intervalos de confianza bilateral para un parametro “θ” son:

θ ± (error estandar del parametro).tα2 ,ν

donde θ es la estima del parametro, tα2 ,ν

es el valor de la distribucion “t”de Student para un nivel de significacion α y ν g.d.l. del residual. En nuestrocaso, para α = 0, 05 y ν = 6; t0,025 , 6=2,44692

Intervalos para las medias µi

Error estandar =σ√3

=2, 90593√

3= 1, 67774

Intervalo de µ1 = −22, 6667±1, 67774·2, 44692 = −22, 6667±4, 105296

Intervalo de µ2 = −20, 3333±1, 67774·2, 44692 = −20, 3333±4, 105296

Intervalo de µ3 = −11, 3333±1, 67774·2, 44692 = −11, 3333±4, 105296

Intervalo de µ4 = −17, 6667±1, 67774·2, 44692 = −17, 6667±4, 105296

Intervalo de µ1 : −26, 772 < µ1 < −18, 5614

Intervalo de µ2 : −24, 4386 < µ2 < −16, 228

Intervalo de µ3 : −15, 4386 < µ3 < −7, 22804

Intervalo de µ4 : −21, 772 < µ4 < −13, 5614

Estos valores coinciden con los de la segunda tabla de la pag 17.


Intervalos de los contrastes (µi − µj)

(µi − µj)± (Error estandar) · tα2 ,ν

error estandar =

√2 ·MCRESIDUAL

nº datos en cada nivel=

√2 · 8, 44444

3= 2, 372683

tα2 ,ν

= t0,025 , 6 = 2, 44692

(µi − µj)± 2, 372683 · 2, 44692 = (µi − µj)± 5, 80576

Contraste µ1 − µ2 : −2, 33333± 5, 80576

Contraste µ1 − µ3 : −11, 3333± 5, 80576 *

Contraste µ1 − µ4 : −5, 0± 5, 80576

Contraste µ2 − µ3 : −9, 0± 5, 80576 *

Contraste µ2 − µ4 : −2, 66667± 5, 80576

Contraste µ3 − µ4 : 6, 33333± 5, 80576 *

Los contrastes cuyos intervalos no contienen el valor cero indican diferen-cias significativas y se senalan con (*). Todos estos contrastes coinciden conlos de la tabla inferior de la pag 17.

Grafico para efectos principales

En el grafico de la pag 18 podemos observar los intervalos de confianza al95 % de la Expansion de las cuatro clases de carbones.

Se hace patente que el carbon 3 tiene un comportamiento diferente de losrestantes con una expansion relativamente mayor.


Conclusiones

La clasificacion en cuanto a resultados por orden descendente de calidaden cuanto a Expansion (E) es:

• Carbon 1 (E=-22,67)

• Carbon 2 (E=-20,33)

• Carbon 4 (E=-17,67)

• Carbon 3 (E=-11,33)

Los carbones 1,2 y 4 pueden clasificarse en un grupo homogeneo mientrasque el carbon 3 tiene una expansion significativamente mas elevada quelos restantes.


4. FUNDAMENTOS DEL DISENO FACTORIAL

El caso mas sencillo de Diseno Factorial es el que corresponde a dos fac-tores A y B que tienen, respectivamente, “p” y “q” niveles fijos cada uno. Enel Diseno Factorial, los tratamientos los constituyen todas las combinacionesposibles de los “p” niveles del factor A con los “q” niveles del factor B, entotal p.q tratamientos.

Si para estimar el error experimental repetimos cada tratamiento“r”veces,tendremos un total de N=p.q.r experimentos elementales a realizar de formacompletamente aleatorizada, tanto en el orden de aplicar los tratamientoscomo en la asignacion de cada uno de ellos a las unidades experimentales. Laparticularidad mas notable del Diseno Factorial es la presencia del terminode interaccion.

El modelo de Analisis de la Varianza asociado a un Diseno Factorial condos factores es:

yijk = µ+ τi + βj + (τβ)ij + εijk

yijk : Son los valores obtenidos para la variable de respuesta. El subındice “i”indica los diferentes niveles del factor A:1,2,...p. El subındice “j” senalalos niveles del factor B:1,2,...q. Finalmente, el subındice “k” se refiere alorden de la repeticion: 1,2,...r de cada tratamiento (combinaciones i,j)

µ : Valor medio de la variable de respuesta.

τi : Es el efecto del nivel “i” del factor A. Si el nivel “i” tiene un valor medioµi, se define el efecto τi como la diferencia µi − µ.

βj Es el efecto del nivel “j” del factor B. Si el nivel “j” tiene un valor medioµj, el efecto βj sera la diferencia µj − µ.

τβij : Es el efecto correspondiente a la interaccion de los niveles“i”del factor Acon los niveles “j” del factor B. La existencia de interaccion supone unafalta de aditividad para explicar el efecto combinado de las variablesA y B a partir de los efectos individuales de cada una de ellas.

εijk : Termino residual que se supone conforme con una distribucion Normalde media cero y desviacion tıpica σ que representaremos por N(0, σ).


Si comparamos este modelo ANOVA con el modelo ANOVA simple desa-rrollado en la parte primera (artıculo de Feb. 2012) destaca la presencia deltermino de interaccion: (τβ)ij que se anade a los efectos principales τi, βjoriginados, respectivamente, por los factores A y B. Como en el caso, delmodelo ANOVA simple, veremos que se cumple tambien la igualdad basicadel Analisis de la Varianza. Mediante ella, la variabilidad total (SCT ) sedescompone en los siguiente terminos:

SCT = SCA + SCB + SCAB + SCRESIDUAL

SCT : Suma de los cuadrados de las desviaciones de los valores de la variablede respuesta respecto de la media general.

SCA : Suma de los cuadrados de las desviaciones de los valores medios de losniveles “i” del factor A respecto de la media general.

SCB : Suma de los cuadrados de las desviaciones de los valores medios de losniveles “j” del factor B respecto de la media general.

SCAB : Suma de los cuadrados de los efectos de interaccion.

SCRESIDUAL : Suma de los cuadrados de las desviaciones residuales.

Favorece la exposicion disponer las N=pqr observaciones en “p” filas y “q”columnas correspondientes, respectivamente, al numero de niveles del factorA y al numero de niveles del factor B. En cada celda (i,j) se recogen losvalores de las “r” replicaciones:

Factor A (“p” niveles)

Factor B (“q“ niveles)

1 2 · · · q1 y111 · · · y11r y121 · · · y12r · · · y1q1 · · · y1qr

2 y211 · · · y21r y221 · · · y22r · · · y2q1 · · · y2qr... . . . . . . . . . . . .p yp11 · · · yp1r yp21 · · · yp2r · · · ypq1 · · · ypqr


Si sumamos los valores de una celda generica (i,j), los valores de una fila,los de una columna o los de la totalidad de las celdas tendremos las siguientesexpresiones:

yijs =k=r∑k=1

yijk; yijk =

∑k=rk=1 yijkr

yijs : Representa la suma de las observaciones de la celda (i,j). El subındice”s“ indica suma.

yij : Indica el valor medio en dicha celda (i,j).

yiss =

j=q∑j=1

k=r∑k=1

yijk; yi =

∑j=qj=1

∑k=rk=1 yijk

qr

yiss : Representa la suma de todas las observaciones de la fila ”i“.

yi : Senala el valor medio de las observaciones de la fila ”i“.

ysjs =

i=p∑i=1

k=r∑k=1

yijk; yj =

∑i=pi=1

∑k=rk=1 yijk

pr

ysjs : Representa la suma de totas las observaciones de la columna ”j“.

yj : Indica el valor medio de las observaciones de la columna ”j“.

ysss =∑i=p

i=1

∑j=qj=1

∑k=rk=1 yijk; y =

∑i=pi=1

∑j=qj=1

∑k=rk=1 yijk

pqr

Donde ysss es la suma de las observaciones de todas las celdasmientras que y es la media del conjunto de todas las observaciones.


En definitiva, las estimas de los parametros del modelo seran las siguientes:

µ = y

τi = yi − y

βj = yj − y

(τβ)ij = yij − µ− τi − βj = yij − y − (yi − y)− (yj − y)

(τβ)ij = yij − yi − yj + y

Por otra parte, los efectos principales y la interaccion estan sujetos a lassiguientes restricciones:

∑τi = 0;

∑βj = 0;

∑(τβ)ij = 0

La variabilidad total en las observaciones vendra dada por:

SCT =∑i=p

i=1

∑j=qj=1

∑k=νk=1 (yijk − y)2

Agrupando convenientemente el segundo miembro de la ecuacion y te-niendo en cuenta que (yij − yi − yj + y) es la estimacion del efecto de lainteraccion tendremos:

SCT =∑i=p

i=1

∑j=qj=1

∑k=rk=1 (yijk − y)2 =∑i=p

i=1

∑j=qj=1

∑k=rk=1 [(yi − y) + (yj − y) + (yij − yi − yj + y) + (yijk − yij)]

2

SCT =∑i=p

i=1

∑j=qj=1

∑k=rk=1 (yi − y)2 +

∑i=pi=1

∑j=qj=1

∑k=rk=1 (yj − y)2 +∑i=p

i=1

∑j=qj=1

∑k=rk=1 (yij − yi − yj + y)2

+∑i=p

i=1

∑j=qj=1

∑k=rk=1 (yijk − yij)

2

Hacemos notar que, como sucedıa en el desarrollo de la SCT del ANOVAsimple (pag 5 de Analisis de la Varianza, Parte Primera), se anulan los doblesproductos resultantes del desarrollo del cuadrado del corchete quedando tansolo los terminos elevados al cuadrado que son: SCA, SCB, SCAB y SCRESIDUAL.


∑i=pi=1

∑j=qj=1

∑k=rk=1 (yi − y)2 = qr

∑i=pi=1 (yi − y)2 que representa la suma de

los cuadrados de las desviaciones de los ”p“ niveles del factor A respecto dela media general: SCA

De la misma forma,∑i=p

i=1

∑j=qj=1

∑k=rk=1 (yj − y)2 = pr

∑j=qj=1 (yj − y)2 re-

presentara la suma de los cuadrados de las desviaciones de los ”q“ niveles delfactor B: SCB

En cuanto a∑i=p

i=1

∑j=qj=1

∑k=rk=1 (yij − yi − yj + y)2 = r

∑i=pi=1

∑j=qj=1 (yij − yi − yj + y)2

representa la suma de los cuadrados de los efectos de interaccion: SCAB

Finalmente, el termino∑i=p

i=1

∑j=qj=1


2 es la suma de cua-drados residual: SCRESIDUAL con lo que queda comprobado que se cumplela igualdad:

SCT = SCA + SCB + SCAB + SCRESIDUAL

Tambien se cumple la igualdad en cuanto a los grados de libertad (g.d.l.):

g.d.l. en A: (p-1)

g.d.l. en B: (q-1)

g.d.l. en AB: (p-1)(q-1)

g.d.l. en Residuales: pq (r-1)

La Suma de todos ellos es (pqr-1) que coincide con los g.d.l. de SCT :

νTOTAL = νA +νB +νAB +νRESIDUAL(pqr-1) (p-1) (q-1) (p-1)(q-1) pq(r-1)

Las medias cuadraticas (MC) de las distintas fuentes de variacion se calcu-lan a partir de las sumas de cuadrados (SC) correspondientes dividiendolas

por sus respectivos grados de libertad (ν) : MC =SC

ν. Segun el proce-

dimiento habitual, ya utilizado para el Anova Simple y para el Diseno enbloques aleatorizados, todas estas expresiones se recogen en una tabla deAnalisis de las Varianza.


Medias

Fuente de Variacion Suma de cuadrados (g.d.l.) Cuadraticas

Factor A SCA = qr∑i=pi=1 (yi − y)

2(p-1) MCA =

SCAp− 1

Factor B SCB = pr∑j=pj=1 (yj − y)

2(q-1) MCB =

SCBq − 1

Interaccion AB SCAB = r∑i=pi=1

∑j=qj=1 (yij − yi − yj + y)

2(p-1)(q-1) MCAB =

SCAB(p− 1)(q − 1)

Residual SCRESIDUAL =∑i=pi=1

∑j=qj=1


2pq(r-1) MCRESIDUAL =

SCRESIDUALpq(r − 1)

Total SCTOTAL =∑i=pi=1

∑j=qj=1

∑k=rk=1 (yijk − y)

2pqr-1

Las medias cuadraticas MCA,MCB,MCAB y MCRESIDUAL son varia-bles aleatorias. Si aplicamos a todas ellas el concepto estadıstico de Espe-ranza Matematica (E) obtendremos los valores esperados de dichasvariables que seran:

E(MCA) = E[qr

∑i=pi=1 (yi − y)2

p− 1]

E(MCB) = E[pr

∑j=qj=1 (yj − y)2

q − 1]

E(MCAB) = E[r∑∑


(p− 1)(q − 1)]

E(MCRESIDUAL) = E[

∑i=pi=1

∑j=qj=1


2

pq(r − 1)]

Sustituyendo yijk por la ecuacion del modelo yijk = µ+τi+βj+(τβ)ij+εijky teniendo en cuenta que E(ε2ijk) = σ2 y que E(εijk) = 0 resultan, tras uncalculo que omitimos, las siguientes expresiones:

E(MCA) = σ2 +qr

∑i=pi=1 τ

2i

p− 1

E(MCB) = σ2 +pr

∑j=qj=1 β

2j

q − 1


E(MCAB) = σ2 +r∑∑

(τβ)2ij

(p− 1)(q − 1)

EMCRESIDUAL = σ2

Hipotesis nulas (H0)

Para nuestro modelo yijk = µ + τi + βj + (τβ)ij + εijk, enunciaremos lassiguientes hipotesis nulas (H0):

a) Todos los efectos del factor A son nulos:

H0 : τ1 = τ2 = · · · τp = 0; τi = 0

Bajo esta hipotesis, E(MCA) queda reducida a σ2 por anularseqr

∑i=pi=1 τ

2i

p− 1.

Dado que E(MCRESIDUAL) = σ2, ambas medias cuadraticas siguen dis-tribuciones χ2 (ji-cuadrado) y su cociente se ajustara a una distribucion“F” de Fisher-Snedecor. El cociente de MCA y MCRESIDUAL seguira,como en el Anova simple, una distribucion F de Fisher-Snedecor con(p-1) y pq(r-1) g.d.l.

En el caso de que el ratio F sea mayor que el valor crıtico correspondienteal nivel de significacion de la prueba (α), rechazaremos la hipotesis nulaH0 : τi = 0. Entonces, alguno de los efectos τi 6= 0 y la E(MCA) =

σ2 +qr

∑i=pi=1 τ

2i

p− 1serıa significativamente mayor que σ2

b) Todos los efectos del factor B son nulos:

H0 : β1 = β2 = · · · βq = 0; βj = 0

De la misma forma que para A, rechazaremos esta hipotesis cuandoel ratio F sea mayor que el valor crıtico correspondiente al nivel designificacion. α, con (q-1) y pq(r-1) g.d.l.


c) Todos los efectos de la interaccion AB son nulos:

H0 : (τβ)ij = 0 para cualquier combinacion i,j

Rechazaremos la hipotesis cuando el ratio F sea mayor que el valor crıticocorrespondiente al nivel de significacion α con (p-1)(q-1) y pq(r-1) g.d.l.

Los valores de los ratios F se incluyen, tambien, en la tabla de Analisisde la Varianza que quedara finalmente:

Fuente de Variacion Suma de Cuadrados (g.d.l.) Medias cuadraticas Ratios F

Factor A SCA p-1 MCA =SCA

p− 1F =

MCA

MCRESIDUAL

Factor B SCB q-1 MCB =SCB

q − 1F =

MCB

MCRESIDUAL

Interaccion AB SCAB (p-1)(q-1) MCAB =SCAB

(p− 1)(q − 1)F =

MCAB

MCRESIDUAL

Residual SCRESIDUAL pq(r-1) MCRESIDUAL =SCRESIDUAL

pq(r − 1)

Total SCTOTAL pqr-1

5. EJEMPLO DE DISENO FACTORIAL: ESTUDIO

COMPARATIVO DE ENVASES DE CONSERVAS

En el ejemplo,* aplicaremos los fundamentos teoricos expuestos a un casoindustrial destacando algunos aspectos practicos de interes.

Se quiere comparar el comportamiento de diversos tipos de envases desti-nados a conservar un determinado producto. El material base esta recubiertode dos clases diferentes de recubrimiento metalico. Adicionalmente, se aplicauna capa de barniz y se desea estudiar el comportamiento de 6 barnicesdiferentes.

Se decide planificar un Diseno Factorial con dos factores A y B. El factorA tiene dos niveles: p=2 que son las dos clases de recubrimiento metalico

*NOTA: Los datos resultantes del experimento han sido modificados y adaptados para su utilizacionen el presente ejemplo.


y el factor B tiene q=6 niveles que son los seis tipos de barniz. El citadodiseno factorial 2x6 se replica (r=2) en un total de 24 envases, pqr=2x6x2 =24. Los envases se depositaron durante un ano y se procedio a su aperturapara analizar el contenido en Fe (metal base) que ha pasado a la conserva. Elexperimento tiene como objetivo selecionar el recubrimiento y el barniz masconvenientes y de cuantificar las diferencias de resultados en sus distintascombinaciones.

La variable de respuesta: Fe viene expresada en partes por millon (ppm)y, logicamente, se trata de minimizar su contenido en la conserva. El ordende realizacion de las aperturas de los envases y la ejecucion de los analisis seha efectuado de forma completamente aleatoria segun lo indicado en la pag37.

Los calculos han sido efectuados con el programa estadısticoSTATGRAPHICS.

La discusion de resultados, conclusiones y calculos se recogen en las pagi-nas 29 a 42 y la base de datos en las paginas 37,41 y 42.

Discusion de Resultados

El modelo ANOVA al que se ajustan los resultados es:

Fe = µ+ τi + βj + (τβ)ij + ε

Los parametros del modelo son: µ que es la media general, τi son losefectos del factor A, βj son los efectos del factor B, (τβ)ij son los efectos dela interaccion y ε es el termino residual que sigue una distribucion Normal(0, σ).

El factor A (metal de recubrimiento) tiene dos niveles: 1 y 2

El factor B (tipo de barniz) tiene seıs niveles: 1,2,3...6.

Los 24 experimentos elementales se han realizado en el orden aleatorioindicado en la pag 37.


Estimacion de parametros

Las estimaciones de los parametros del modelo, segun las estimas de lapag 23, son los siguientes:

µ = y = 3, 91667

τi = yi − y βj = yj − y ˆ(τβ)ij = yij − yi − yj + y

τ1 = 1, 275 β1 = 3, 33333 ˆ(τβ)11 = 2, 125 ˆ(τβ)21 = −2, 125

τ2 = −1, 275 β2 = 1, 45833 ˆ(τβ)12 = 1, 2 ˆ(τβ)22 = −1, 2

β3 = −0, 94167 ˆ(τβ)13 = −0, 9 ˆ(τβ)23 = 0, 9

β4 = −1, 39167 ˆ(τβ)14 = −0, 85 ˆ(τβ)24 = 0, 85

β5 = −1, 11667 ˆ(τβ)15 = −0, 975 ˆ(τβ)25 = 0, 975

β6 = −1, 34167 ˆ(τβ)16 = −0, 6 ˆ(τβ)26 = 0, 6

σ =√MCRESIDUAL =

√1, 17917 = 1, 0859

La estima σ nos permite calcular intervalos de confianza para los diferentesparametros y para sus contrastes.

Observese como los efectos τi, βj; ˆ(τβ)ij; estan sujetos a restricciones:∑τi = 0;

∑βj = 0;

∑ ˆ(τβ)ij = 0.

Prediccion de valores

Los valores predichos por el modelo son equivalentes a los valores mediosen cada celda(i,j) que segun la pag 38 son:

y11 = 10, 65 y21 = 3, 85y12 = 7, 85 y22 = 2, 9y13 = 3, 35 y23 = 2, 6y14 = 2, 95 y24 = 2, 1y15 = 3, 1 y25 = 2, 5y16 = 3, 25 y26 = 1, 9


Por ejemplo, la prediccion y14 = 2, 95, media de las observaciones 3,0 y2,9 , es equivalente al valor predicho por el modelo:

y14 = µ+ τ1 + β4 + ˆ(τβ)14

y14 = 3, 91667 + 1, 275− 1, 39167− 0, 85 = 2, 95

Sumas de cuadrados y grados de libertad

En la tabla de Analisis de la Varianza (pag 38) se recogen las Sumasde cuadrados, grados de libertad, medias cuadraticas y ratios F. Estosvalores coinciden con los que se pueden obtener por calculo:

SCA =∑

(τi)2 = 24 · (1, 275)2 = 39, 015

SCB =∑β2j = 4·[3, 333332+1, 458332+(−0, 94167)2+(−1, 39167)2+

(−1, 11667)2 + (−1, 34167)2]

SCB = 4 · 19, 108333 = 76, 4333

SCAB =∑ ˆ(τβ)ij = 4 · [2, 1252 + 1, 22 + (−0, 9)2 + (−0, 85)2 +

(−0, 975)2 + (−0, 6)2]

SCAB = 4 · 8, 79875 = 35, 195

SCTOTAL =∑

(yijk − y)2 =∑

(Fe− 3, 91667)2 = 164, 793

Finalmente, si sumamos la columna de residuales de la pag 41 elevadaal cuadrado obtenemos: SCRESIDUAL = 14, 15

Como comprobacion, tenemos:

SCTOTAL = SCA + SCB + SCAB + SCRESIDUAL

164,793 = 39,015+76,4333+35,195+14,15

En cuanto a los grados de libertad (g.d.l.), la tabla de Analisis de laVarianza de la pag 25 nos indica lo siguiente:

g.d.l. de la SCA : p−1 = 2−1 = 1 Solamente hay un efecto indepen-diente ya que existe la restriccion

∑τi = 0;

1, 275− 1, 275 = 0


g.d.l. de la SCB : q−1 = 6−1 = 5. Hay cinco efectos independien-tes ya que

∑βj = 0; 3, 33333 + 1, 45833 − 0, 94167 − 1, 39167 −

1, 11667− 1, 34167 = 0

g.d.l. de la interacion AB:(p-1)(q-1)=(6-1)(2-1)=5 De los doce efec-tos de interaccion, tan solo cinco son independientes por estar su-

jetos a 7 restricciones del tipo∑ ˆ(τβ)ij = 0 con lo que los g.d.l.

resultan 12-7=5

g.d.l. en SCTOTAL : pqr−1 = 2·6·2−1 = 23. De las 24 desviacioneshay 23 independientes ya que existe la restriccion

∑(yijk − y) = 0

g.d.l. de la SCRESIDUAL = pq(r − 1) = 2 · 6 · 1 = 12. Se cumple

por tanto:

g.d.l. de SCTOTAL︸︷︷︸23

= g.d.l. de SCA︸︷︷︸1

+g.d.l. deSCB︸︷︷︸5

+g.d.l. deSCAB︸︷︷︸5

+g.d.l. del Residual︸︷︷︸12

;

Observese que sin replicacion no habrıa habido g.d.l. para calcularel error residual y proseguir el analisis.

Medias cuadraticas y ratios “F”

Las medias cuadraticas y los ratios “F” de la tabla de Analisis de la Va-rianza (pag 38) coinciden con:

MCA =SCA

g.d.l.=

39, 015

1= 39, 015

MCB =SCB

g.d.l.=

76, 4333

5= 15, 2867

MCAB =SCAB

g.d.l.=

35, 195

5= 7, 039

MCRESIDUAL =SCRESIDUAL

g.d.l.=

14, 15

12= 1, 17917

FA =MCA

MCRESIDUAL=

39, 015

1, 17917= 33, 09 (g.d.l. numerador =1; g.d.l. denominador=12)

FB =MCB

MCRESIDUAL=

15, 2867

1, 17917= 12, 96 (g.d.l. numerador = 5; g.d.l. denominador=12)

FAB =MCAB

MCRESIDUAL=

7, 039

1, 17917= 5, 97 (g.d.l. numerador = 5; g.d.l. denominador=12)


A los tres ratios F, bajo la hipotesis nula (H0) de que todos los efectos son nu-los, les corresponden, respectivamente, unas probabilidades PA : 0, 001;PB =0, 0002;PAB = 0, 0053 muy inferiores al nivel de significacion del 5 %(p=0,05).De ello se deduce que los dos efectos principales y la interaccion son signifi-cativos.

En la pag 39 se presentan las tablas y contrastes entre los diferentes nivelesde los factores A y B. Los contrastes marcados con (*) indican diferenciasestadısticamente significativas.

Intervalos de confianza

Desviacion tıpica del modelo: σ = 1, 0859

Error estandar de la media total:σ√24

= 0, 221657

Error estandar de las medias µi =σ√12

= 0, 313471

Error estandar de las medias µj =σ√4

= 0, 54295

Error estandar de las predicciones µij =σ√2

= 0, 76784

Todos estos errores estandar coinciden con los indicados en la tabla de laparte inferior de la pag 38

Los intervalos de confianza bilateral de un parametro θ con un nivel deconfianza (1 − α), siendo α el nivel de significacion, se determinan segun laexpresion:

θ ± (Error estandar del parametro) · tα2 ,ν

Donde:

θ : Es la estimacion del parametro.


tα2 ,ν

: Es el valor de la distribucion t de Student para ν g.d.l. y nivel de sig-nificacion α. El valor ν corresponde a los g.d.l. del residual del modeloajustado que en nuestro caso es pq(r − 1) = 2 · 6 · 1 = 12

a) Intervalos para µi (factor A):

µi ± 0, 313471 · t0,025 , 12

t0,025 , 12 = 2, 17882

Intervalo µ1 : 5, 19167 ± 0, 313471 · 2, 17882; 4, 50867 < µ1 < 5, 87466Intervalo µ2 : 2, 64167± 0, 313471 · 2, 17882; 1, 95867 < µ2 < 3, 32466

b) Intervalo para µj (factor B):

µj ± 0, 542947 · 2, 17882 = µj ± 1, 18298

Intervalo µ1 : 7, 250± 1, 18298; 6, 06702 < µ1 < 8, 43298

Intervalo µ2 : 5, 375± 1, 18298; 4, 19202 < µ2 < 6, 55798

Intervalo µ3 : 2, 975± 1, 18298; 1, 79202 < µ3 < 4, 15798

Intervalo µ4 : 2, 525± 1, 18298; 1, 34202 < µ4 < 3, 70798

Intervalo µ5 : 2, 800± 1, 18298; 1, 61702 < µ5 < 3, 98298

Intervalo µ6 : 2, 575± 1, 18298; 1, 39202 < µ6 < 3, 75798

c) Intervalo para la prediccion µij:

µij ± 0, 76784 · 2, 17882 = µij ± 1, 672985

Intervalo µ11 = µ11 ± 1, 672985 = 10, 65± 1, 672985; 8, 97701 < µ11 < 12, 3223

Intervalo µ12 = µ12 ± 1, 672985 = 7, 85± 1, 672985; 6, 17701 < µ12 < 9, 52299

Intervalo µ13 = µ13 ± 1, 672985 = 3, 35± 1, 672985; 1, 67701 < µ13 < 5, 02299

Intervalo µ14 = µ14 ± 1, 672985 = 2, 95± 1, 672985; 1, 27701 < µ14 < 4, 62299

Intervalo µ15 = µ15 ± 1, 672985 = 3, 10± 1, 672985; 1, 42701 < µ15 < 4, 77299

Intervalo µ16 = µ16 ± 1, 672985 = 3, 25± 1, 672985; 1, 57701 < µ16 < 4, 92299

De la misma forma se obtienen las restantes 6 predicciones. Todos estosintervalos coinciden con los indicados al final de la pag 38


d) Intervalos para los contrastes µi − µj:

(µi − µj)± Error estandar. · tα2 ,ν

Error estandar =

√2 ·MCRESIDUAL

nº datos en cada nivel

Factor A: Error estandar=

√2 · 1, 17917

12= 0, 443315; tα

2 ,ν=2,17882

(µ1 − µj)± 0, 443315 · 2, 17882; (µi − µj)± 0, 965902

Intervalo µ1 − µ2 = (5, 19167 − 2, 64167) ± 0, 965902 = 2, 55 ±0, 965902

1, 584098 < (µ1 − µ2) < 3, 515902; Al no contener el intervalo elvalor cero, la diferencia entre los dos niveles es significativa.

Factor B: Error estandar=

√2 · 1, 17917

4= 0, 767944; tα

2 ,ν=2,17882

(µi − µj)± 0, 767844 · 2, 17882; (µi − µj)± 1, 67299

Intervalo µ1− µ2 = (7, 25− 5, 375)± 1, 67299 = 1, 875± 1, 67299∗

Intervalo µ1− µ3 = (7, 25− 2, 975)± 1, 67299 = 4, 275± 1, 67299∗

Intervalo µ1− µ4 = (7, 25− 2, 525)± 1, 67299 = 4, 725± 1, 67299∗

Intervalo µ1− µ5 = (7, 25− 2, 800)± 1, 67299 = 4, 450± 1, 67299∗

Intervalo µ1− µ6 = (7, 25− 2, 575)± 1, 67299 = 4, 675± 1, 67299∗

· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·Intervalo µ5 − µ6 = (2, 80− 2, 575)± 1, 67299 = 0, 225± 1, 67299

Los intervalos que no contienen el valor cero indican diferencias significa-tivas entre niveles. De las misma forma, se pueden calcular los restantescontrastes segun figuran al final de la pag 39. Las diferencias marcadascon (*) indican valores significativos.


Intervalos para contrastes de predicciones (µij − µkl)

(µij − µkl)± Error estandar · tα2 ,ν

;

Error estandar =

√2MCRESIDUAL

nº datos en cada casilla=

√2 · 1, 17917

2= 1, 0859

tα2 ,ν

= t0,025 , 12 = 2, 17882

Contraste µ11 − µ12 : (10, 65− 7, 85)± 2, 365981 = 2, 30± 2, 365981

Contraste µ11 − µ13 : (10, 65− 3, 35)± 2, 365981 = 7, 30± 2, 365981 *

Contraste µ11 − µ14 : (10, 65− 2, 95)± 2, 365981 = 7, 70± 2, 365981 *

Contraste µ11 − µ15 : (10, 65− 3, 10)± 2, 365981 = 7, 55± 2, 365981 *

Contraste µ11 − µ16 : (10, 65− 3, 25)± 2, 365981 = 7, 40± 2, 365981 *

Contraste µ11 − µ21 : (10, 65− 3, 85)± 2, 365981 = 6, 80± 2, 365981 *

Contraste µ11 − µ22 : (10, 65− 2, 90)± 2, 365981 = 7, 75± 2, 365981 *

Contraste µ11 − µ23 : (10, 65− 2, 60)± 2, 365981 = 8, 05± 2, 365981 *

Contraste µ11 − µ24 : (10, 65− 2, 10)± 2, 365981 = 8, 55± 2, 365981 *

Contraste µ11 − µ25 : (10, 65− 2, 50)± 2, 365981 = 8, 15± 2, 365981 *

Contraste µ11 − µ26 : (10, 65− 1, 90)± 2, 365981 = 8, 75± 2, 365981 *

· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·

Contraste µ25 − µ26 : (2, 50− 1, 90)± 2, 365981 = 0, 40± 2, 365981

Seran significativas aquellas diferencias para las que el cero no este dentrodel intervalo. Las diferencias significativas se senalan con asterisco (*).


Graficos para efectos principales e interacciones

En la pag 40 se recogen graficos en los que se pueden apreciar las magni-tudes relativas de los niveles de los factores y las de la interaccion. Se ponede manifiesto la diferencia significativa entre los niveles 1 y 2 del factor A asıcomo la de los niveles 1 y 2 respecto de los restantes niveles del factor B.

En cuanto a la interaccion, destaca la elevada respuesta de las combina-ciones A=1, B=1 y A=1, B=2.

Conclusiones

De las dos alternativas de recubrimiento metalico (factor A), es signi-ficativamente mejor el resultado del tipo 2 con un contenido en Fe de2,64ppm frente a 5,19ppm del tipo 1.

De las seıs clases de barnices (factor B) los resultados obtenidos por lostipos 1 y 2, con unos contenidos en Fe de, respectivamente, 7,25 y 5,37p.p.m son significativamente peores que los restantes tipos de barnizcuyos resultados son, a su vez, equiparables entre si.

Son fuertemente desfavorables las combinaciones del nivel 1 del factorA con el nivel 1 del factor B al resultar un contenido en Fe de 10,65ppm ası como las del nivel 1 del factor A con el nivel 2 del factor B yun contenido en Fe de 7,85 ppm.


6. EXTENSION A TRES O MAS FACTORES

La construccion de un modelo de Analisis de la Varianza asociado a undiseno con tres o mas factores se realiza de forma analoga al modelo condos factores. Sin embargo, el numero de efectos principales e interacciones aestimar aumentara, rapidamente, con el numero de factores considerados. Porejemplo, en un modelo de Analisis de la Varianza para cuatro factores contres niveles cada uno, existiran seıs terminos (C2

4 = 6) de interaccion doble,cuatro terminos (C3

4 = 4) de interaccion triple y un termino de interaccionde cuarto orden (C4

4 = 1). El numero de g.d.l. necesarios para calcular lassumas de cuadrados y las medias cuadraticas serıa 80:

g.d.l. para los factores principales: 4(3-1) = 8

g.d.l. para las interacciones de segundo orden: 6(3-1)(3-1) = 24

g.d.l. para las interacciones de tercer orden: 4(3-1)(3-1)(3-1) = 32

g.d.l. para las interacciones de cuarto orden: (3-1)(3-1)(3-1)(3-1) = 16

Total 80 g.d.l.

Los g.d.l. disponibles, si el diseno no se replica, sera tambien de 80 dadoque las combinaciones posibles de los tres niveles de los cuatro factores re-sultan N = 3 · 3 · 3 · 3 = 81 y los correspondientes g.d.l: N-1=80 g.d.l. Enconsecuencia, al igual que sucedıa para el caso de dos factores, es precisoreplicar al menos una vez el diseno con lo que tendremos (con una replica)un total de N = 2 · 81 = 162 observaciones y N − 1 = 161 g.d.l. De los 161g.d.l. disponibles, 80 se utilizaran en el calculo de las sumas de cuadrados ymedias cuadraticas y los 81 restantes en la estimacion del error experimentalσ que nos permitira calcular los ratios ”F“ y efectuar los oportunos contrastesde hipotesis. Ciertamente, parece excesivo destinar 81 g.d.l. para calcular elerror experimental.

Se hace patente que un diseno factorial completo con varios factores con4/5 niveles cada uno puede alcanzar una dimension muy considerable. Noobstante, dado que en muchas ocasiones no suelen ser de interes algunasde las interaciones de orden superior al segundo, los g.d.l. correspondientespueden utilizarse para estimar el error experimimental y obviar la replicacion.


Supongamos, por ejemplo, un diseno factorial completo sin replicacion de tresfactores a tres niveles cada uno. Los datos de la variable dependiente (var1)correspondientes a los 27 tratamientos se recogen en la pag 45 mientras que enla parte superior de la pag 46 se presenta la correspondiente tabla de Analisisde la Varianza. Observamos que los 26 g.d.l. disponibles se han utilizado paracalcular las medias cuadraticas y no se puede estimar el error residual.

Suponiendo que la interaccion de tercer orden es despreciable optamos poreliminarla del modelo. La nueva tabla de Analisis de la Varianza recogida enla parte inferior de la pag 46 nos muestra que los 8 g.d.l. de la interaccionABC se han utilizado para estimar el error residual, σ =

√0, 643429 = 0, 802,

calcular los ratios ”F“ y establecer que los factores principales A y B tienenefectos de influencia significativa (p<0,05).


7. DISENO FACTORIAL A DOS NIVELES

Los disenos factoriales a dos niveles se utilizan con frecuencia como disenosde cribado en un estudio previo sobre un numero elevado de factores depotencial influencia sobre la variable de respuesta. Para un numero ”k“ defactores tendremos 2k tratamientos diferentes. Una vez observada la presenciade factores con influencia significativa, podemos estudiarla de una forma masexhaustiva aumentando, en un nuevo diseno, el numero de niveles de dichosfactores.

En un diseno factorial completo preparado para un numero elevado defactores, crece rapidamente el numero de experimentos elementales necesa-rios. Por ejemplo, para diez factores a dos niveles tendrıamos 210 = 1024tratamientos diferentes. Por otra parte, suele suceder que solo alguno delos factores e interacciones resultan significativos mientras que los efectos deotros se confunden con el ruido de fondo producido por el error experimental.De ahı surge el fundamento de los disenos fraccionales en los que, desdeel principio, se disena solamente una fraccion del diseno factorial completo:12 ,

14 ,

18 etc, con lo que dedicaremos, preferentemente, los g.d.l. disponibles a la

estimacion de efectos de factores principales e interacciones de orden inferiormientras que otros efectos quedaran englobados en el termino residual.

Los disenos factoriales a dos niveles, tanto completos como fraccionales,seran estudiados con detalle en un proximo artıculo.

8. EL MODELO ANOVA Y EL ANALISIS DE RE-

GRESION

En un proximo capıtulo veremos que los modelos ANOVA, ANCOVA, MA-NOVA y el modelo de Regresion Multiple pueden englobarse en los llamadosModelos Generales de Regresion Lineal que estudian una o mas variablesdependientes de tipo continuo en funcion de varias variables independientescontinuas y/o categoricas. En estos modelos, las variables dependientes seexpresan en una ecuacion cuyo segundo miembro contiene las sumas ponde-radas de las variables independientes y el error residual. Como introduccion,vamos a desarrollar un metodo que permite el estudio del modelo ANOVAmediante el modelo de Regresion lineal Multiple. El lector interesado puedeencontrar en nuestra web el artıculo de fecha 01-06-2011 sobre Regresion


lineal Multiple.

Ilustraremos el metodo aplicandolo al ejemplo del Estudio Comparativo deEnvases de Conserva estudiado en el punto nº4 mediante un modelo ANOVApara dos factores y su interaccion. El metodo consiste en la sustitucion decada variable categorica por tantas variables indicadoras (tambien llamadasvariables ”mudas“) como g.d.l, equivalentes al numero de niveles menos uno,tenga el factor.

En nuestro caso, los factores A y B con 2 y 6 niveles, seran sustituidosrespectivamente, por 2-1=1 y 6-1=5 variables ”mudas“ segun lo siguiente:

Variable muda Variables mudasFactor A x1 Factor B x2 x3 x4 x5 x6

nivel 1 1 nivel 1 1 0 0 0 0nivel 2 -1 nivel 2 0 1 0 0 0

nivel 3 0 0 1 0 0nivel 4 0 0 0 1 0nivel 5 0 0 0 0 1nivel 6 -1 -1 -1 -1 -1

Entre otras posibles alternativas, hemos escogido la de asignar a las va-riables “mudas” los valores 1 -1 y 0 segun lo indicado en los cuadros. Endefinitiva, el factor A (a dos niveles) es sustituido por una variable “muda”(x1) mientras que el factor B lo es por cinco variables “mudas”: x2, x3, x4, x5

y x6. El termino de interaccion queda sustituido por otras cinco variables“mudas”: x7, x8, x9, x10 y x11 resultantes de multiplicar los valores de x1 porlos de x2, x3, x4, x5 y x6. Observese como el numero de variables mudas coin-cide con los g.d.l. del modelo ANOVA recogidos en la tabla de Analisis de laVarianza de la pag 38.

En la pag 51 se recoje la base de datos con los niveles de los factoresA y B junto con los valores de las 11 variables “mudas” correspondientes.En la pag 50 se presenta el modelo de regresion resultante. Notese que lamedia cuadratica residual: σ2 = 1, 17917 (pag 50) es identica a la del modeloANOVA (pag 38) ası como las correspondientes predicciones y residuos (pags41 y 51). Ademas, las estimas del valor medio y de los efectos del modeloANOVA calculados en la pag 29 coinciden con los coeficientes de la ecuacionde regresion multiple de la pag 50.

analisis de la varianza parte...

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