Análisis de Sistemas Lineales

Controlabilidad y Observabilidad

E. Interiano 2

Contenido

Controlabilidad de estado Transformación a forma canónica (regular)

controlable, FCC Observabilidad de estado Transformación a forma canónica (regular)

observable, FCO Ejemplos y ejercicios

E. Interiano 3

Controlabilidad

La controlabilidad trata de la existencia de un vector de control que puede causar que el estado del sistema llegue a algún estado arbitrario en un tiempo finito.

El concepto de controlabilidad es la base para solucionar el problema de la ubicación de polos

Si el sistema es de estado completamente controlable, entonces es posible seleccionar los polos en lazo cerrado deseados (o las raíces de la ecuación característica)

E. Interiano 4

Controlabilidad de estado

Partimos del sistema MIMO Para que este sistema sea de estado completamente controlable, es necesario y suficiente que la matriz de controlabilidad M de n x nr tenga rango n

)()()()()(

ttttt

DuCxyBuAxx+=

+=

]B A B A AB[BM 1-n2 ⋅⋅⋅=

E. Interiano 5

Si M no es cuadrada (MIMO), se puede formar la matriz MM’, que es de n x n; entonces si MM’ es no singular M tiene rango n.

El par [A, B] es completamente controlable si A y B están en la Forma Canónica Controlable o FCC, o son transformables a la Forma Canónica Controlable

Pruebas para la controlabilidad de estado

E. Interiano 6

Si los valores propios de A son diferentes y A está en la Forma Canónica Diagonal el par [A, B] es completamente controlable si todos los elementos de B no son cero

Si A está en la Forma Canónica de Jordan, el par [A, B] es completamente controlable si al menos uno, de los elementos en los renglones de B que corresponden al último renglón de cada bloque de Jordan, es diferente de cero

Pruebas para la controlabilidad de estado (2)

E. Interiano 7

Ejemplo 1: Controlabilidad

Sea el sistema SISO descrito por: La matriz de controlabilidad (nxn) es

Que es singular y por lo tanto el sistema es NO controlable.

−=

1- 0 1 2

A

=

01

B

[ ]

==

0 02- 1

ABBM

E. Interiano 8

Forma canónica controlable (SISO)

udxcy

ux

aaaa

x

T

nn

⋅+⋅=

⋅

+⋅

−−−−

=

−− 10

00

1000

0100100

0010

1210

Las matrices o vectores C y D no siguen ningún patrón en particular

E. Interiano 9

Estructura del modelo FCC (SISO)

E. Interiano 10

Transformación a FCC

Sea T la matriz de transformación, con M la matriz de controlabilidad

donde las ai son los coeficientes característicos

MWT =

••

••

••

••••••

•••

•••

••••••

=

−

−

00

00

01

1

011

1

32

121

n

n

a

aaaaa

W

011

1 aaa nn

n ++++=− −− λλλλ AI

]B A B A AB[BM 1-n2 ⋅⋅⋅=

E. Interiano 11

Transformación a FCC

Se define como un nuevo vector de estado

Si el sistema tiene estado completo controlable, la matriz T tiene inversa.

Utilizando la matriz T se puede transformar el sistema a la forma canónica controlable:

x̂xTx ˆ=

DuxCTyBuTxATTx 11

+=+= −−

ˆˆ̂

E. Interiano 12

Ejercicio 1

Encuentre si el sistema es controlable y transfórmelo a la forma canónica controlable o FCC

u⋅

+⋅

−−

=12

541110

xx

[ ] x⋅= 31y

Solución al ejercicio 1

Prueba de controlabilidad

Como M es nxn, y su determinante no es cero, entonces el par (A,B) es controlable

E. Interiano 13

[ ]

−−

==3192

ABBM

Solución al ejercicio 1

Conversión a FCC

E. Interiano 14

( )

=

−−

=

=

=

−+=

−−

−

++=−

=

1221

0115

3192

0115

011

6554

11100

0det

det

1

2

012

T

W

AIMWT

a

aa

λλλ

λ

λλλ

Solución al ejercicio 1

Conversión a FCC

E. Interiano 15

[ ] [ ]571221

31~

10

12

3/13/23/23/1~

5610

1221

541110

3/13/23/23/1~

:

~~

~~~~

=

⋅===

=

−

−===

−

=

−−

−

−==

+=

+=

−−

−

TcCTC

bTBTB

ATTA

DuxCy

uBxAx

11

1

T

ónVerificaci

E. Interiano 16

Observabilidad: definición

Partimos del sistema se dice que el estado x(t0) es observable si

dada cualquier entrada u(t), existe un tiempo finito tf ≥ t0 tal que, el conocimiento de: u(t) para t0 ≤ t < tf las matrices A, B, C y D la salida y(t) para t0 ≤ t < tf

sea suficiente para determinar x(t0).

)()()()()(

ttttt

DuCxyBuAxx+=

+=

E. Interiano 17

Observabilidad: definición

Si cada estado del sistema es observable para un tiempo finito, se dice que el sistema es completamente observable, o simplemente observable.

Para que el sistema descrito sea completamente observable, es necesario y suficiente que S, la matriz de observabilidad de np x n, tenga un rango n.

=

−1n

2

CA...

CACAC

S

E. Interiano 18

Pruebas para la observabilidad Si el sistema tiene solo una salida, C es una

matriz de reglón de 1 x n y S es una matriz cuadrada de n x n. Entonces, el sistema es completamente observable si S es no singular

Para un sistema SISO, el par [A,C] es completamente observable si A y C están en la forma canónica observable (FCO) o son transformables a la FCO mediante una transformación de similitud.

E. Interiano 19

Pruebas para la observabilidad (2) Si A está en la forma canónica diagonal

(FCD) el par [A,C] es completamente observable si todos los elementos en las columnas de C son diferentes de cero.

Si A está en la forma canónica de Jordan (FCJ), el par [A,C] es completamente observable si al menos uno, de los elementos en las columnas de C que corresponden a la primera columna de cada bloque de Jordan, es diferente de cero.

E. Interiano 20

Los elementos de las matrices y no

están restringidos a ninguna forma

La forma canónica observable

−

−−−

=

−1

2

1

0

1..00......

0..100..010..00

ˆ

na

aaa

A

[ ]10..00ˆ =C

B̂ D̂

E. Interiano 21

Estructura del modelo FCO

E. Interiano 22

Ejemplo 2: Sistema con cancelación de polos Sea la función de

transferencia:

Se descompone en la forma FCC, por lo que es controlable.

Pero, cuya matriz de observabilidad, S, es singular y por ello el par [A,C] no es observable

)2)(1(1

)()(

+++

=ss

ssUsY

[ ]1110

3210

=

=

−−

=

C

B

A

−−

=

=

2211

CAC

S

E. Interiano 23

Ejemplo 2: continuación

El sistema en forma FCC se transforma a la forma FCO

Debido a que la FCO se puede realizar, el par [A, C] es observable; pero, M es singular y se pierde la controlabilidad

[ ]1011

3120

=

=

−−

=

C

B

A

[ ]x

xx

1110

3210

=

+

−−

=

y

u

[ ]

−−

==2121

ABBM

E. Interiano 24

Transformación a FCO

Sea Q la matriz de transformación, con S la matriz de observabilidad

Y con

1WSQ −= )(

••

••

••

••••••

•••

•••

••••••

=

−

−

00

00

01

1

011

1

32

121

n

n

a

aaaaa

W

=

−1n

2

CA...

CACAC

S

E. Interiano 25

Transformación a FCO

Se define como un nuevo vector de estado

Si el sistema es observable, la matriz Q tiene inversa.

Utilizando la matriz Q se puede transformar el sistema a la forma canónica observable:

x̂xQx ˆ=

DuxCQyBuQxAQQx 11

+=+= −−

~~~

E. Interiano 26

Ejercicio 2

Encuentre si el sistema es observable y transfórmelo a la forma canónica observable o FCO

u⋅

+⋅

−−

=12

541110

xx

[ ] x⋅= 31y

Solución al ejercicio 2

Prueba de observabilidad

Como S es nxn, y su determinante no es cero, entonces el par (A,C) es observable

E. Interiano 27

−

=

=

262231

CAC

S

Solución al ejercicio 2

Conversión a FCO

E. Interiano 28

( )

−=

−

=

=

=

−+=

−−

−

++=−

=

−

−

314117

262231

0115

0115

011

6554

11100

0det

det)(

1

1

2

012

1

Q

W

AIWSQ

a

aa

λλλ

λ

λλλ

Solución al ejercicio 2

Conversión a FCO

E. Interiano 29

[ ] [ ]1092/1792/192/4192/3

31~

57

12

314117~

5160

92/1792/192/4192/3

541110

314117~

:

~~

~~~~

=

−⋅===

=

−===

−

=

−

−−

−==

+=

+=

−−

−

QcCQC

bQBQB

AQQA

DuxCy

uBxAx

11

1

T

ónVerificaci

E. Interiano 30

Ejercicio 3

1. Encuentre si el sistema continuo mostrado es controlable y observable.

2. Transforme si es posible el sistema anterior a la forma canónica controlable, FCC, a la forma canónica observable, FCO y a la forma canónica diagonal, FCD.

)(11

)(12-04-

)( tutxtx ⋅

+⋅

=

[ ] )(11)( txty ⋅=

Aplicación de la controlabilidad: Realimentación de estado Tenemos un sistema descrito por

Hacemos la señal u como Sustituyendo obtenemos

E. Interiano 33

BuAxx +=

Kx−=u

)()( txBKAx −=

Realimentación de estado

Puede observarse que el nuevo sistema posee una nueva matriz Que posee nuevos valores propios µ1, µ2, …µn

E. Interiano 34

)(~ BKAA −=

0))(det( =−− BKAIλ

Ejemplo 3: Ubicación de polos

Considere el sistema continuo en FCC, lo cual significa que es controlable, tiene los valores propios siguientes: Problema: se desea colocar arbitrariamente los valores propios o polos de lazo cerrado en µ1 = -2 y µ2 = -3. Es decir:

E. Interiano 35

[ ]x

xx

0110

0110

=

+

=

y

u11

2

1

+=−=

λλ

( ) ( )( )( )( ) 6532

~det2

21

++=++=

−−=−

λλλλ

µλµλλ AI

Ejemplo 3: Solución por sustitución directa de K Por sustitución directa de K = [k1, k2] en el polinomio característico deseado

Comparando polinomios obtenemos K:

K = [ 7 5 ] E. Interiano 36

( ) [ ]

( ) ( ) ( )11

1

10

0110

00

122

21

21

−++=+−−

=

×

−

−

=−−

kkkk

kk

λλλ

λ

λλ

λ BKAI

( )165 1222 −++=++ kk λλλλ

E. Interiano 37

Referencias

[1] Kuo, Benjamin C.. „Sistemas de Control Automático“, Ed. 7, Prentice Hall, 1996, México.

[2] Ogata, Katsuhiko. „Ingeniería de Control

Moderna“, Pearson, Prentice Hall, 2003, 4ª Ed., Madrid.