Controlabilidad

Se dice que un sistema es controlable en el tiempo si se puede

transferir desde cualquier estado inicial a cualquier otro estado,

mediante un vector de control sin restricciones, en un intervalo de

tiempo finito.

Controlabilidad completa de estado de sistemas de tiempo

continuo.

Sea el sistema en tiempo continuo.

BuAxx

Donde:

x = vector de estado (n×1)

u = señal de control (r×1)

y = vector de salida (m×1)

A = matriz de estado (n×n)

Se dice que un sistema descrito mediante la ecuación anterior es

de estado controlable en t = t0, si es posible construir una señal

de control sin restricciones que transfiera un estado inicial a

cualquier estado final en un intervalo de tiempo finito t0 ≤ t ≤ t1. Si

todos los estados son controlables, se dice que el sistema es de

estado completamente controlable.

El sistema de estado completamente controlable si y solo si, los

vectores B, AB,….An-1B son linealmente independiente, o la

matriz n × n

BAABB n 1

Es de rango n

Matriz de controlabilidad.

Este resultado se extiende al caso en el que el vector de control

es un vector de dimensión r, se demuestra que la condición para

controlabilidad completa del estado es que la matriz n × nr

sea de rango n, o que tenga n vectores columna linealmente

independientes.

BAABB n 1

Ejemplo 1:

Obtenga la matriz de controlabilidad y demuestre que el sistema

es de estado completamente controlable.

ux

x

x

x

5

2

20

01

2

1

2

1

ABB

La matriz de controlabilidad es:

5

2

20

01

5

2

10

2

5

2

105

22

Obteniendo el determinante

10105

22

Por lo que el rango sería 2

Como el rango de la matriz de controlabilidad es n o sea 2, el

sistema es de estado completamente controlable.

ABB Matriz de controlabilidad

Ejemplo 2:

Obtenga la matriz de controlabilidad y demuestre que el sistema

es de estado completamente controlable.

ux

x

x

x

0

1

10

11

2

1

2

1

ABB

La matriz de controlabilidad es:

0

1

10

11

0

1

0

1

0

1

00

11

000

11 El rango no es 2

Como el rango de la matriz de controlabilidad no es n o sea 2, el

sistema no es de estado completamente controlable.

ABB

Obteniendo el determinante

Matriz de controlabilidad

Ejemplo 3:

Obtenga la matriz de controlabilidad y demuestre que el sistema

es de estado completamente controlable.

ux

x

x

x

1

0

12

11

2

1

2

1

ABB

La matriz de controlabilidad es:

1

0

12

11

1

0

1

1

1

0

11

10

111

10

Por lo que el rango sería 2

Como el rango de la matriz de controlabilidad es n o sea 2, el

sistema es de estado completamente controlable.

ABB

Obteniendo el determinante

Matriz de controlabilidad

Ejemplo 4:

Obtenga la matriz de controlabilidad y demuestre que los estados

del sistema son completamente controlables.

2

1

3

2

1

3

2

1

10

01

10

130

020

002

u

u

x

x

x

x

x

x

3

2

1

2

1

010

001

x

x

x

y

y

13

02

20

10

01

10

130

020

002

AB

La matriz de controlabilidad es: BAABB 2

19

04

40

10

01

10

190

040

004

10

01

10

130

020

0022

2BA

19

04

40

13

02

20

10

01

102 BAABB

13100

402010

040201

31

2BAABB

Como el rango de la matriz de controlabilidad es n o sea 3, el

sistema es de estado completamente controlable.

En el diseño práctico de un sistema de control, se puede

necesitar controlar la salida en lugar del estado del sistema. Una

controlabilidad completa del estado no es condición necesaria ni

suficiente para controlar la salida del sistema. Por esta razón, es

conveniente definir de forma independiente la controlabilidad

completa de la salida.

Controlabilidad de la salida de sistemas de tiempo continuo.

BuAxx

Donde:

x = vector de estado (n×1) C = Matriz de salida (m×n)

u = señal de control (r×1) B = matriz de entrada (n×r)

y = vector de salida (m×1) D = Matriz de transmisión

A = matriz de estado (n×n) directa (m×r)

Sea el sistema en tiempo continuo

DuCxy

Se dice que el sistema descrito mediante esta ecuación, es de

salida completamente controlable si es posible construir un vector

de control sin restricciones u(t) que transfiera cualquier salida

inicial y(t0) a cualquier salida final y(t1) en un intervalo de tiempo

finito t0 ≤ t ≤ t1.

El sistema descrito mediante la ecuación es de salida

complemente controlable si y sólo sí la matriz m×(n+1)r

][ 12 DBCABCACABCB n

Es de rango m

Observe que la presencia del término Du en la ecuación siempre

ayuda a establecer la controlabilidad de la salida.

Nota: si D es cero no se agrega a la matriz.

Ejemplo 1:

Obtenga la matriz de controlabilidad de la salida y demuestre que

la salida del sistema es controlable.

ux

x

x

x

1

0

12

11

2

1

2

1

La matriz de controlabilidad de la salida es:

101

0

12

1101

1

001

][ CABCB

2

101

x

xy

10

El sistema tiene una salida completamente controlable, porque la

matriz

][ CABCB

es de rango m, o sea 1.

Ejemplo 2:

Obtenga la matriz de controlabilidad de la salida y demuestre que

la salida del sistema es controlable.

2

1

3

2

1

3

2

1

10

01

10

130

020

002

u

u

x

x

x

x

x

x

3

2

1

2

1

010

001

x

x

x

y

y

La matriz de controlabilidad de la salida es:

01

10

10

01

10

010

001CB

][ 2BCACABCB

02

20

10

01

10

130

020

002

010

001CAB

04

40

10

01

10

130

020

002

130

020

002

010

0012BCA

El rango de la matriz es 2, el sistema tiene 2 salidas

completamente controlables.

040201

402010][ 2BCACABCB

Tarea

Determine si los siguientes sistemas son de estado y de salida

completamente controlable .

1.

u

x

x

x

x

x

x

1

0

0

6116

100

010

3

2

1

3

2

1

3

2

1

154

x

x

x

y

2.

2

1

3

2

1

3

2

1

10

01

10

310

020

012

u

u

x

x

x

x

x

x

3

2

1

001

x

x

x

y

ux

x

x

x

1

1

22

13

2

1

2

1

2

110

x

xy

3.