07.d-espacio de estado-controlabilidad, …dea.unsj.edu.ar/control2/calse...

· Controlabilidad

· Observabilidad

· Principio de Dualidad

· Descomposición Canónica o de de Kalman

· Realizaciones Balanceadas

Fernando di Sciascio (2016)

CONTROLABILIDAD


Controlabilidad

Un proceso es completamente controlable simediante alguna acción control finita u(t) sepuede llevar el vector de estado desde unestado inicial cualquiera x(t0)=x0, a un estadofinal arbitrario x(tf)=xf en un tiempo finitoT=tf - t0 también arbitrario.

Controlabilidad

Existen tres definiciones de controlabilidad,asociadas con la posibilidad de:1. Tranferir desde cualquier estado inicial acualquier estado final (la que hemos presentado).2. Tranferir desde cualquier estado inicial alorigen, llamada controlabilidad al origen.3. Tranferir el estado desde el origen a cualquierestado final, llamada controlabilidad desde elorigen, o alcanzabilidad.

Para sistemas lineales invariantes en tiempocontinuo, las tres definiciones son equivalentes.

Si el modelo de estado está en la forma canónica diagonal se puedeanalizar la controlabilidad por inspección.

El modelo del sistema ES CONTROLABLE

El modelo del sistemaNO ES CONTROLABLE.

Controlabilidad

Controlabilidad

2 1n n nB AB A B A B- ´é ù= Îê úë û

n n

n p

q n

q p

A

B

C

D

´

´

´

´

Î

Î

Î

Î

( ) ( ) ( )

( ) (

Ecuación de Estado

Ecuación de Salid) ( a)

x t Ax t Bu t

y t Cx t Du t

ì = +ïïíï = +ïî

Teorema 1: Para que la planta descripta por las ecuaciones deestado sea de estado completamente controlable, es necesario ysuficiente que la matriz de controlabilidad sea de rangocompleto ó máximo (en Matlab rank()=n).

Consideremos el modelo en espacio de estado

Controlabilidad

2 1n n nB AB A B A B- ´é ù= Îê úë û

· La matriz de controlabilidad se obtiene con Matlabmediante el comando ctrb

= ctrb(A,B) ó = ctrb(sys)

· La Controlabilidad depende solamente de la Ecuación deEstado, esto es, del par (A,B). Se dice que el par (A,B) escontrolable (o no).

· Luego el sistema es controlable si:

si se ha definido el modelo sys en el espacio de estado con elcomando ss: sys = ss(A,B,C,D)

rank()=n

Teorema 2: (General para sistemas lineales invariantesMIMO o SISO pero Con valores característicos distintos).“En una planta descrita en la forma canónica Diagonal, elpar [A,B] es controlable si la matriz B no tiene filastotalmente nulas“.

Controlabilidad

Controlabilidad

Teorema 3: Es válido en general para sistemas MIMO auncuando los valores característicos múltiples tengan más deun bloque de Jordan asociado con cada valor propiomúltiple, y dice: “Si A esta en la forma canónica de Jordanel par [A, B] es controlable, si todos los elementos en lasfilas de B que correspondan a la última fila de cada bloquede Jordan no son cero. Se entiende que las filas de B quecorresponden a los valores característicos simples nodeberán tener todos sus elementos nulos”.

El teorema anterior se generaliza a las formas canónicas deJordan (sistemas no diagonalizables).

Figura ampliada

Teorema 4: La controlabilidad se conserva a través detransformaciones de semejanza. Si una realización escontrolable, también lo son todas las semejantes oequivalentes.

Controlabilidad

( ) ( ) ( ) , ( , )x x x xx t A x t B u t A B Controlable= +

1 1( ) ( ) ( ) ( ) ( )z z x xz t A z t B u t P A Pz t P B u t- -= + = +

( ) ( )x t Pz t=1

1z x

z x

A P A P

B P B

-

-

ìï =ïïíï =ïïî

2 1 , ( )nx x x x x x x x xB A B A B A B Rango n-é ù= =ê úë û

Controlabilidad

2 1nz z z z z z z zB A B A B A B-é ù= ê úë û

1 1 1 1 1 1 1

2 1[ ]

x x x x x x xI I I

nz z z z z z z z

P B P A PP B P A PP A PP B P B

B A B A B A B

- - - - - - -

-=

1z xP-=

1x zP -=

Por ser P y x invertibles también loes z . Luego el par (Az,Bz) también escontrolable.

Adicionalmente la matriz de transformación es:Producto de la matriz de controlabilidaddel modelo original por la inversa de lamatriz de controlabilidad del modelotransformado.

Teorema 5: Para un sistema de una entrada y unasalida (q=p=1), el par (A,B) será controlable si A y Bestán en la forma canónica controlable o sontransformables a la misma mediante una transfor-mación lineal de semejanza.

Obvio por el teorema anterior.

Controlabilidad

Recordar formas canónicascontrolables

Esta estructura tiene varios nombres en la literatura.1) Forma Canónica de las Variables de Fase 2) Forma Canónica Controlable 1 (FCC1) ó 1a (FCC1a)3) Forma Canónica del Controlador

11 1 0

11 1 0

1 1

0 1 2 1

1 0 0 1 1 2 2 1 1

1

( )

0 1 0 0 0

0 0 1 0 0

,

0 0 0 1 0

1

n nn nn n

n

cc a cc a

n

cc a n n n n n n

cc a n

b s b s b s bG s

s a s a s a

A B

a a a a

C b a b b a b b a b b a b

D b

--

--

-

- -

+ + + +=

+ + + +

é ù é ùê ú ê úê ú ê úê ú ê úê ú ê ú= =ê ú ê úê ú ê úê ú ê úê ú ê ú- - - -ê ú ê úë û ë û

é ù= - - - -ê úë û

é ù= ë

û

0 1 2

0 0 3 1 1 3 2 2 3 3

0 1 0 0

0 0 1 , 0

1

,

A B

a a a

C b a b b a b b a b D b

é ù é ùê ú ê úê ú ê ú= =ê ú ê úê ú ê ú- - -ê ú ê úë û ë û

é ù é ù= - - - =ê ú ë ûë û

3

0 1 2

0 1 0

0 0 1 , , 1 0 0 ,

X

A B X C D b

a a a X

é ù é ùê ú ê úê ú ê ú é ù é ù= = = =ê úê ú ê ú ë ûë ûê ú ê ú- - -ê ú ê úë û ë û

1) Forma Canónica de las Variables de Fase 2) Forma Canónica Controlable 1 (FCC1) ó 1a (FCC1a)3) Forma Canónica del Controlador

Forma Canónica Controlable 1 (FCC1b)

2 1 0

2 2 3 1 1 3 0 0 3 3

1

1 0 0 , 0 , ,

0 1 0 0

a a a

A B C b a b b a b b a b D b

é ù é ù- - -ê ú ê úê ú ê ú é ù é ù= = = - - - =ê úê ú ê ú ë ûë ûê ú ê úê ú ê úë û ë û

Forma Canónica Controlable 2 (FCC2) ó FCC2a

Forma Canónica Controlable 2 (FCC2) ó FCC2b

2 1 0

31 0 0 , , 0 0 1 ,

0 1 0

a a a X

A B X C D b

X

é ù é ù- - -ê ú ê úê ú ê ú é ù é ù= = = =ê úê ú ê ú ë ûë ûê ú ê úê ú ê úë û ë û

Gramiano de ControlabilidadEl gramiano de controlabilidadWc es una matriz cuadrada denxn que se define como:

0

TA T A n nWc BB de et t t¥ ´= Îò

0T TAWc WcA BB+ + =

Para calcularlo no se resuelve la integral infinita. Se calcularesolviendo la siguiente ecuación de Lyapunov:

Wc = lyap(A,B*B’)

Wc = gram(A,B,'c')

Con Matlab mediante el comando lyap o directamente congram

0T TWc sol AWc WcA BB= + + ={ }

Gramiano de Controlabilidad· El gramiano de controlabilidad es siempre una matrizsemidefinida positiva Wc0 (la parte real de los autovaloresson positivas o cero).

· Si el par (A, B) es controlable, entonces Wc es una matrizdefinida positiva Wc>0 (la parte real de los autovalores sonpositivas). Luego Wc es invertible y el rango es n.

Podemos unificar esto con el teorema 1

Teorema 1 (bis)- El par (A, B) es controlable si y solo sila matriz de controlabilidad o el gramiano decontrolabilidad Wc son de rango n.

rango() = rango(Wc) = n

Vimos en el Teorema 4 que la controlabilidad se conserva através de transformaciones de semejanza.

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )x x z z

x t Pz tx t A x t B u t z t A z t B u t

== + = +

1z xP-=

Vimos que la relación entre las matrices de controlabilidad es:

1 Tz xWc P Wc P- -=

Gramiano de Controlabilidad

Si el par (Ax, Bx) es controlable, también lo es el par (Az, Bz)

La relación entre los gramianos de controlabilidad de ambossistemas es:

La relación entre las matrices y gramianos de controlabilidadde los sistemas es:

1 1T Tz z z x x xWc Wc- -=

OBSERVABILIDAD


La idea de observabilidad se relaciona con la posibilidad deconocer el valor del estado de un sistema, a partir delconocimiento de la evolución de la entrada y de la salida quegenera. La figura siguiente muestra esta idea:

La observabilidad es un concepto complementaria al decontrolabilidad. La controlabilidad estudia la relación entrada-estado, la observabilidad la relación estado-salida.Esencialmente un sistema es observable si cada variable deestado del sistema “afecta” alguna de las salidas.

Observabilidad

Definición: Un proceso es observable si paracualquier estado inicial x(0)=x0 (desconocido),existe un tiempo finito tf tal que el conocimiento dela entrada u(t) y la salida y(t) sobre el intervalo [0tf] es suficiente para determinar en forma única elestado inicial x0. En caso contrario el sistema es noobservable.

Si el modelo de estado está en la forma canónica diagonal se puedeanalizar la observabilidad por inspección.

El modelo del sistema

ES OBSERVABLE.

El modelo del sistema NO ES OBSERVABLE.

Observabilidad

2 2 1

1

n n n

n

T

C

CA

CA C CA CA CA

CA

- ´

-

é ùê úê úê úê ú é ù= = Îê ú ê úë ûê úê úê úê úë û

n n

n p

q n

q p

A

B

C

D

´

´

´

´

Î

Î

Î

Î

( ) ( ) ( )

( ) (

Ecuación de Estado

Ecuación de Salid) ( a)

x t Ax t Bu t

y t Cx t Du t

ì = +ïïíï = +ïî

Se define la matriz de observabilidad

Consideremos el modelo en espacio de estado

Observabilidad

2 1

( )

n n nTC CA CA CA

Rango n

- ´é ù= Îê úë û=

Teorema 6: Para que la planta descripta por lasecuaciones de estado sea observable, es necesario ysuficiente que la matriz de observabilidad sea derango completo ó máximo (en Matlab rank()=n).

Observabilidad

2 1n n nTC CA CA CA - ´é ù= Îê úë û

· La matriz de observabilidad se obtiene con Matlabmediante el comando obsv

= obsv(A,C) ó = obsv(sys)

· La observabilidad depende solamente del par (A,C). Se diceque el par (A,C) es observable (o no observable).

· Luego el sistema es observable si:

si se ha definido el modelo sys en el espacio de estado con elcomando ss: sys = ss(A,B,C,D)

rank()=n

Teorema 7: (General para sistemas lineales invariantesMIMO o SISO pero Con valores característicos distintos).“En una planta descrita en la forma canónica Diagonal, elpar [A,C] es observable si la matriz C no tiene columnastotalmente nulas“.

Observabilidad

Observabilidad

Teorema 8: Es válido en general para sistemas MIMO auncuando los valores característicos múltiples tengan más deun bloque de Jordan asociado con cada valor propiomúltiple, y dice: “Si A esta en la forma canónica de Jordanel par [A, C] es observable, si todos los elementos en lascolumnas de C que correspondan a la primera fila de cadabloque de Jordan no son cero. Se entiende que lascolumnas de C que corresponden a los valorescaracterísticos simples no deberán tener todos suselementos nulos”.

El teorema anterior se generaliza a las formas canónicas de Jordan(sistemas no diagonalizables).

Figura ampliada

Teorema 9: La observabilidad se conserva a través detransformaciones de semejanza. Si una realización esobservable, también lo son todas las semejantes.

Observabilidad

( , )x x ObservA C able

1 1( ) ( ) ( ) ( ) ( )z z x xz t A z t B u t Q AQz t Q B u t- -= + = +

( ) ( )x t Qz t=

1 1, ,z x z x z xA Q AQ B Q B C C Q- -= = =

2 1 , ( )nx x x x x x x x x

TC C A C A C A Rango n-é ù= =ê úë û

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )x x z z

x t Qz tx z

x t A x t B u t z t A z t B u t

y t C x t y t C z t=

ì ì= + = +ï ïï ïí íï ï= =ï ïî î

Observabilidad

z xQ=

1x zQ -=

Por ser Q y x invertibles el par(Az,Cz) también es observable.

Adicionalmente la matriz de transformación es:Producto de la inversa de la matriz deobservabilidad del modelo original por lala matriz de observabilidad del modelotransformado.

2 1nx x x x x x x x

TC C A C A C A -é ù= ê úë û

1 1

2 1[ ]x xx x x x x

I I

nz z z z z z z z x

C Q C QC QQ AQ C A QQ AQ

TC C A C A C A Q

- -

-= =

Teorema 10: Para un sistema de una entrada y unasalida (q=p=1), el par (A,C) será observable si A y Cestán en la forma canónica observable o sontransformables a la misma mediante una transforma-ción lineal de semejanza.

Obvio por el teorema anterior.

Observabilidad

Recordar formas canónicasobservables

0 0 0 3

1 1 1 3 3

2 2 2 3

0 0

1 0 , , 0 0 1 ,

0 1

a b a b

A a B b a b C D b

a b a b

é ù é ù- -ê ú ê úê ú ê ú é ù é ù= - = - = =ê úê ú ê ú ë ûë ûê ú ê ú- -ê ú ê úë û ë û

0

1 3

2

0 0 1

1 0 , 0 , ,

0 1 0

a

A a B C X X X D b

a

é ù é ù-ê ú ê úê ú ê ú é ù é ù= - = = =ê úê ú ê ú ë ûë ûê ú ê ú-ê ú ê úë û ë û

Forma Canónica Observable 1 (FCO1) ó (FCO1a)

Forma Canónica Observable 1 (FCO1b)

2 2 2 3

1 1 1 3 3

0 0 0 3

1 0

0 1 , , 1 0 0 ,

0 0

a b a b

A a B b a b C D b

a b a b

é ù é ù- -ê ú ê úê ú ê ú é ù é ù= - = - = =ê úê ú ê ú ë ûë ûê ú ê ú- -ê ú ê úë û ë û

Forma Canónica Observable 2 (FCO2) ó (FCO2a)

Forma Canónica Observable 2 (FCO2b)

2

1 3

0

1 0 0

0 1 , 0 , ,

0 0 1

a

A a B C X X X D b

a


Gramiano de ObservabilidadEl gramiano de observabilidadWo es una matriz cuadrada denxn que se define como:

0

TA T A n nWo C C de et t t¥ ´= Îò

C 0T TWoA A Wo C+ + =

Para calcularlo no se resuelve la integral infinita. Se calcularesolviendo la siguiente ecuación de Lyapunov:

Wo = lyap(A,C’*C)

Wo = gram(A,C,'o')

Con Matlab mediante el comando lyap o directamente congram

Gramiano de Observabilidad· El gramiano de observabilidad es siempre una matrizsemidefinida positiva Wo0 (la parte real de los autovaloresson positivas o cero).

· Si el par (A, C) es observable, entonces Wo es una matrizdefinida positiva Wo>0 (la parte real de los autovalores sonpositivas). Luego Wo es invertible y el rango es n.

Podemos unificar esto con el teorema 6

Teorema 6 (bis)- El par (A, C) es observable si y solo sila matriz de observabilidad o el gramiano deobservabilidad Wo son de rango n.

rango() = rango(Wo) = n

Vimos en el Teorema 9 que la observabilidad se conserva através de transformaciones de semejanza.

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )x z z z

x t Qz tx t A x t B u t z t A z t B u t

== + = +

Vimos que la relación entre las matrices de observabilidad es:

Tz xWo Q Wo Q=

Gramiano de Observabilidad

Si el par (Ax, Cx) es observable, también lo es el par (Az, Cz)

La relación entre los gramianos de observabilidad de ambossistemas es:

La relación entre las matrices y gramianos de observabilidadde los sistemas es:

z xQ=

1 1T Tz z z x x xWo Wo- - - -=

PRINCIPIO DE DULIDAD


Teorema (Dualidad entre Controlabilidad yObservabilidad). El par (A,C) es observable si ysolo si el par (AT,CT) es controlable.

Principio de Dualidad

Este principio establece que:“Una planta será controlable (observable), si y solo sisu planta dual es observable (controlable)”.O sea a partir de este principio de controlabilidad(observabilidad) de una planta cualquiera se puedeverificar probando la observabilidad (controlabilidad)de su planta dual.

Por el Principio de Dualidad la matriz de controlabilidad de unmodelo en la forma canónica controlable es igual a la matriz deobservabilidad del mismo modelo en la forma canónicaobservable.


cc co=

3 2

3 2

10 42 72: ( )

8 17 10

0 1 0 0

0 0 1 , 0 , 62 25 2 , 1

10 17 8 1

0 0 10 62

1 0 17 , 25 , 0 0 1 , 1

0 1 8 2

cc cc cc cc

co co co co

s s sEjemplo G s

s s s

A B C D

A B C D

+ + +=

+ + +é ù é ùê ú ê úê ú ê ú é ù é ù= = = =ê úê ú ê ú ë ûë ûê ú ê ú- - -ê ú ê úë û ë ûé ù é ù-ê ú ê úê ú ê ú é ù é ù= - = = =ê úê ú ê ú ë ûë ûê ú ê ú-ê ú ê úë û ë û

0 1 0 0

0 0 1 , 0 , 62 25 2 , 1

10 17 8 1

0 0 10 62

1 0 17 , 25 , 0 0 1 , 1

0 1 8 2

cc cc cc cc

co co co co

A B C D

A B C D

é ù é ùê ú ê úê ú ê ú é ù é ù= = = =ê úê ú ê ú ë ûë ûê ú ê ú- - -ê ú ê úë û ë ûé ù é ù-ê ú ê úê ú ê ú é ù é ù= - = = =ê úê ú ê ú ë ûë ûê ú ê ú-ê ú ê úë û ë û

clear,clcAcc=[0 1 0;0 0 1;-10 -17 -8];Bcc=[0;0;1];Ccc=[62 25 2];Aco=Acc'; Bco=Ccc'; Cco=Bcc';C_cc=[Bcc Acc*Bcc Acc^2*Bcc]O_co=[Cco; Cco*Aco; Cco*Aco^2]'


2 1

0 0 1

0 1 -8

1 -8 47

ncc cc cc cc cc cc cc ccB A B A B A B-

é ùê úê úê úê úê úë

é ù= =ê

û

úë û

2 1

0 0 1

0 1 -8

1 -8 47

nco co co co co co co co

TC C A C A C A -é

é ùê úê úê úê úê úë û

ù= =ê úë û


cc co=

DESCOMPOSICIÓN CANÓNICAÓ

DESCOMPOSICIÓN DE KALMAN


Teorema: Toda ecuación envariable de estados puede lle-varse, mediante una transfor-mación de equivalencia, a laforma canónica de la figura.

Estados controlables

y observables

Estados controlables

y no observables

Estados no controlables

y observables

Estados no controlables

y no observables

x

x

x

x

=

=

=

=

Descomposición de Kalman


1 0 0 0 0.8

0 2 0 0 2.3( ) ( ) ( )

0 0 3 0 3.6

0 0 0 4 3.8

( ) 0.6 0.2 0.13 0.13 ( )

x t x t u t

y y x t

é ù é ù-ê ú ê úê ú ê ú-ê ú ê ú= +ê ú ê ú-ê ú ê úê ú ê ú-ê ú ê úë û ë û

é ù= ê úë û

Sistema controlable yobservable.

1.9 (s+1.4) (s+2.5) (s+3.6)( )

( 1)( 2)( 3)( 4)G s

s s s s=

+ + + +


Sistema controlable yobservable.

Sistema no controlabley no observable.


1 0 0 0 0.8

0

0 2 0 0 2.3( ) ( ) ( )

0 0 3 0

0 0 0 4

( ) 0.2 0.13 ( )

0

0 0

x t x t u t

y t x t

é ù é ù-ê ú ê úê ú ê ú-ê ú ê ú= +ê ú ê ú-ê ú ê úê ú ê ú-ê ú ê úë û ë û

é ù= ê úë û

0.46( )

2G s

s=

+

13

21 23 24

34

0 0

( )0 0 0 0

0 0 0

( ) 0 0 ( ) ( )

x A A x B

x A A A A x Bu t

x A x

x A A x

y t C C x t Du t

é ù é ù é ù é ùê ú ê ú ê ú ê úê ú ê ú ê ú ê úê ú ê ú ê ú ê ú= +ê ú ê ú ê ú ê úê ú ê ú ê ú ê úê ú ê ú ê ú ê úê ú ê ú ê ú ê úë û ë û ë û ë û

é ù= +ê úë û

Estados controlables y observables

Estados controlables y no observables

Estados no controlables y observables

Estados no controlables y no observables

x

x

x

x

====

Teorema (Descomposición Canónica o de de Kalman). Todaecuación en variable de estados puede llevarse, mediante unatransformación de equivalencia, a la forma canónica :

13

21 23

24

34

( )

( )

( ) ( )

x A x A x B u t

x A x A x A x

A x B u t

x A x

x A x A x

y t C x C x Du t

ìï = + +ïïïï = + +ïïïïï + +íïïïï =ïïïï = +ïïî= + +

i) El subsistema es completamente controlabley completamente observable

, ,A B Cé ùê úë û

Teorema (continuación): Se verifican las siguientesproposiciones.

( )

( ) ( )

x A x B u t

y t C x Du t

ì = +ïïïíï = +ïïî

1( ) ( )G s C sI A B D-= - +

y además tiene la misma función de transferencia que elsistema original


i) El subsistema es completamente controlabley completamente observable, y tiene la misma función detransferencia que el sistema original

ii) El subsistema:

Es completamente controlable.

21

0; ; 0co

coco

A BC

A A B

é ù é ùé ùê ú ê ú ê úê ú ê ú ë ûê ú ê úë û ë û

iii) El subsistema:

Es completamente observable.

13 ; ;0 0

A A BC C

A

é ù é ùé ùê ú ê ú ê úê ú ê ú ë ûê ú ê úë û ë û

Teorema (continuación): Se verifican las siguientesproposi-ciones.

, ,A B Cé ùê úë û

Vemos en la Figura que sólo la parte controlable yobservable del sistema esta conectada tanto a lasentradas como a las salidas. Esta es la única partedel sistema que determina la función detransferencia.Los autovalores de las submatrices noaparecerán como polos de la función de transferencia

, ,A A A


1( ) ( )G s C sI A B D-= - +

La descomposición canónica descrita en el Teorema tieneuna importante consecuencia para la función detransferencia del modelo, ya que esta solo modela elsubsistema completamente observable y completamentecontrolable.

REALIZACIONES BALANCEADAS


C 0T TWo sol WoA A Wo C= + + ={ }

2 1n TC CA CA CA -é ù= ê úë û

rango( ) =rango(Wo) =n

0T TWc sol AWc WcA BB= + + ={ }

2 1nB AB A B A B-é ù= ê úë û

rango( ) =rango(Wc) =n

Vimos en el análisis de controlabilidad

y en el análisis de observabilidad:

Realizaciones Balanceadas

¿Para que introducir los gramianos?, si con las matrices decontrolabilidad y observabilidad es suficiente. De hechoningún libro clásico habla de gramianos.

Hay varias razones para introducir los gramianos Wc y Wo;


· Las matrices y solo dicen (a través de su rango) si unmodelo es controlable u observable (información tipo si-no).Los gramianos Wc y Wo suministran información adicionalsobre la “facilidad” para controlar u observar un sistema.Los autovalores de Wc describen como la entrada u(t)influye sobre los estados x(t) y los autovalores de Wodescriben como el estado inicial x(0) influencia la salida y(t)cuando u(t)=0. Entre varias realizaciones similares Wc y Woinforman cual es más controlable o más observable.

Por ejemplo, un sistema expresado en la forma canónica controlablees mucho más fácil de controlar que de observar. Obviamente elmismo sistema expresado en la forma canónica observable es muchomás fácil de observar que de controlar.


· En general los gramianos Wc y Wo están mejorcondicionadas numéricamente que las matrices y .

· Los gramianos Wc y Wo suministran informaciónpara la reducción de modelos.

Vimos anteriormente que la controlabilidad y la observabilidadse conservan a través de transformaciones de semejanza T.

1 ,T Tz x z xWc T Wc T Wo T Wo T- -= =

La relación entre los gramianos de ambos sistemas es:

Si elegimos la matriz de transformación T de tal manera quelos gramianos de controlabilidad Wcz y de observabilidad Wozde la nueva realización (Az, Bz,Cz, Dz) sean iguales:

1, ( )T Tz z x xWc Wo T Wc T T Wo T- -= =

( , , , ) ( , , , )x x x x z z z zT

A B C D A B C D

Entonces la realización (Az,Bz,Cz,Dz) se dice balanceada.


Una realización (A,B,C,D) es balanceadacuando los gramianos de controlabilidad yobservabilidad son iguales. Esto significa quela “facilidad” (o “dificultad”) para controlar uobservar el sistema es la misma.

Realizaciones Balanceadas· Las matrices (A,B,C,D) de una realización balanceada

son “llenas” (lo opuesto de ralas) sin ceros. Estosignifica que se tienen más parámetros que losestrictamente necesarios para definir el sistema

· Las realizaciones balanceadas son las mejorescondicionadas numéricamente. Esto significa que lasentradas de las matrices (o vectores) de la realización(A,B,C,D) no difieren en varios ordenes de magnitud (siesto no ocurre es porque el orden del sistema es mayorde lo necesario.

· Los gramianos de una realización balanceada sonmatrices iguales y diagonales. Los elementos de ladiagonal son todos positivos y se les denomina valoressingulares de Hankel.

[sys_bal, vsh] = balreal(sys)

Realizaciones BalanceadasEl comando balreal(sys) de Matlab calcula una realizaciónbalanceada del modelo sys.

Devuelve la realización balanceada sys_bal del modelo sys yel vector vsh con los elementos de las diagonales de losgramianos (recordemos que Wc y Wo son iguales ydiagonales y que a los elementos de vsh les llamamosvalores singulares de Hankel).Valores pequeños de algunos valores singulares indican losestados que pueden ser removidos.

0 1 0 0

0 0 1 , 0 , 62 25 2 , 1

10 17 8 1

0 0 10 62

1 0 17 , 25 , 0 0 1 , 1

0 1 8 2

cc cc cc cc

co co co co

A B C D

A B C D



Ejemplo: El mismo sistema G(s) que vimos anteriormente,para comparar se repiten la FCC y la FCO.

(3 3 )

23 2

3 2

( 4)( 6 18)10 42 72( )

( 5)( 2)( 1)8 17 10

s i

s s ss s sG s

s s ss s s

+

+ + ++ + += =

+ + ++ + +

Realizaciones BalanceadasCon el comando balreal(sys) de Matlab calculamos larealización balanceada ss_bal y con gram(ss_bal) losgramianos.

clear; clc;G=tf([1 10 42 72],[1 8 17 10]);[ss_bal,vsh] = balreal(G);%Realización balanceadaAbal=ss_bal.a; Bbal=ss_bal.b; Cbal=ss_bal.c; Dbal=ss_bal.d;Wc_bal = gram(ss_bal,'c');Wo_bal = gram(ss_bal,'o');


-0.5711 0.8641 0.1494 -1.9775

-0.8641 - 2.9183 - 1.0840 , -1.3578

-0.1494 - 1.0840 - 4.5106 -0.2581

-1.9775 1.3578 0.2581 , 1

bal bal

bal bal

A B

C D

é ù é ùê ú ê úê ú ê ú= =ê ú ê úê ú ê úê ú ê úë û ë û

é ù é ù= =ë û ë û

3.4233 0 0

0 0.315

0.007

9 0

40 0bal balWc Wo

é ùê úê ú= = ê úê úê úë û 0.007

3

4

.4233

vsh 0.3159

é ùê úê ú= ê úê úê úë û

La realización balanceada es:

Los gramianos y los valores singulares son:


Se observa en la diagonal de los gramianos (y en el vectorvsh) que el valor singular del tercer estado es mucho máspequeño, en consecuencia ese estado se puede eliminar(los valores singulares de Hankel están relacionados con laenergía de cada estado).

% Continuación del programa anteriorelim = (vsh<1e-2); ss_red = modred(ss_bal,elim);%remove negligible statesAred=ss_red.a; Bred=ss_red.b;Cred=ss_red.c; Dred=ss_red.d;Gred=tf(ss_red);step(G,Gred)

-0.58 0.83 -2,

-1.3-0.83 - 2.66

-2 1.3 , 1

red red

red red

A B

C D

é ù é ùê ú ê ú= =ê ú ê úê úê ú ë ûë û


3.423 0

0 0.316red redWc Woé ùê ú= = ê úê úë û

3.423vsh

0.316

é ùê ú= ê úê úë û

La realización balanceada del modelo reducido es:

(2.75 2.93 )

2 2

2

5.45 16 5.45 16( )

( 2.238)( 1)3.23 2.22

s i

reds s s s

G ss ss s

+

+ + + += =

+ ++ +

Los gramianos son:

La función de transferencia del modelo reducido es:

(3 3 )

3 2 2

3 2

10 42 72 ( 4)( 6 18)( )

( 5)( 2)( 1)8 17 10

s i

s s s s s sG s

s s ss s s

+

+ + + + + += =

+ + ++ + +

(2.75 2.93 )

2 2

2

5.45 16 5.45 16( )

( 2.238)( 1)3.23 2.22

s i

reds s s s

G ss ss s

+

+ + + += =

+ ++ +


Se comparan las funciones de transferencia original y ladel modelo reducido.

Respuesta al escalón de las funciones de transferenciaoriginal y la del modelo reducido.

Comando balanceOtra posibilidad para mejorar el condicionamientonumérico del modelo (A,B,C,D) es utilizar elcomando balance.

[T,Ab] = balance(A)

Se introduce la matriz A del modelo que se quierebalancear, el comando devuelve la matrizbalanceada Ab y la matriz de transformación T.

Ab = inv(T)*A*T=T\A*TBb=inv(T)*B=T\BCb=C*T

DB=D


0 1 0 0

0 0 1 , 0 , 62 25 2 , 1

10 17 8 1

A B C D

Ejemplo: El mismo sistema G(s) que vimos anteriormente(3 3 )

23 2

3 2

( 4)( 6 18)10 42 72( )

( 5)( 2)( 1)8 17 10

s i

s s ss s sG s

s s ss s s

+

+ + ++ + += =

+ + ++ + +

clear; clc;A=[0 1 0;0 0 1;-10 -17 -8];B=[0;0;1];C=[62 25 2]; D=1;[T,Ab]=balance(A);Bb=T\B; Cb=C*T; Db=D;sysb=ss(Ab,Bb,Cb,Db)

clear; clc;A=[0 1 0;0 0 1;-10 -17 -8];B=[0;0;1];C=[62 25 2]; D=1;[T,Ab]=balance(A);Bb=T\B; Cb=C*T; Db=D;sysb=ss(Ab,Bb,Cb,Db)

é ù é ùê ú ê úê ú ê ú= =ê ú ê úê ú ê úê ú ê úë û ë û


0 2 0 0

0 0 4 , 0

-1.25 -4.25 -8 1

7.75 6.25 2 , 1

b b

b b

A B

C D


0 1 0 0

0 0 1 , 0 , 62 25 2 , 1

10 17 8 1

A B C D

07.d-espacio de estado-controlabilidad, …dea.unsj.edu.ar/control2/calse...

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