trend eksponensial
Post on 27-Jun-2015
2.246 Views
Preview:
TRANSCRIPT
TREND EKSPONENSIAL (LOGARITMA)
Kita telah mengenal trend garis lurus
(linear trend) dengan bentuk
persamaan Y’ = a + bX.
Dalam hal ini b adalah rata-rata
kenaikan Y per satuan waktu (per
bulan, per tahun, dan
lain sebagainya). Ada beberapa jenis
trend yang tidak linear tetapi dapat
dibuat linear
dengan jalan melakukan transformasi
(perubahan bentuk). Misalnya, trend
eksponensial:
Y' = abX dapat diubah menjadi trend
semi log: log Y' = log a + (log b)X; log
Y'' = Y'0 ;log
a = a0 dan log b = b0 .Dengan
demikian, Y'() = a0 + b0X, di mana
koefisien a0 dan b0 dapat
dicari berdasarkan persamaan normal.
Trend eksponensial sering
dipergunakan untuk meramalkan
jumlah penduduk,
pendapatan nasional, produksi, hasil
penjualan, dan kejadian-kejadian lain
yang
perkembangan/pertumbuhannya secara
geometris (berkembang dengan cepat
sekali).
CONTOH 8.9 Hasil penjualan PT. Sinar
Surya selama 3 tahun menunjukkan
perkembangan
yang cepat sekali, seperti ditunjukkan
dalam Tabel 8.6.
1 | P a g e
TA BeI _ ) Pen jualan Hipotetis PT . S i nar Surya, 1 99 7 -
19 99. ____________________________________________
Tahun 1997 1998 1999
Hasil penjualan 20 80 400
(Jutaan rupiah)
Dengan menggunakan trend
eksponensial, ramalkan hasil
penjualan tahun 2000!
PENYELESAIAN
M U * .
Tahun X y log y
< Y0>
X logY
(XY0)
X2
1997 -1 20 1,3010
3
-1,30103 1
1998 0 80 1,9030
9
0 0
1999 1 4(X) 2,6020
5
2,60205 1
Jumlah ΣX = 0 ΣY =
5oo
ΣY0 =
5,80617
ΣXY0 = 1,30102 ΣX2
=
2
Persamaan normal:
(1) a0 n + a0 ΣX = ΣY0
3a0 = 5,80617
2 | P a g e
(
2
)
a
0
Σ
Y
0
+
b
0
Σ
X2
=
Σ
X
Y
0
2
b
0
=
1
,
3
0
1
0
2
3 | P a g e
Dari persamaan (1), 3a0 =
5,80617, maka a0 = log a = 13
(5,80617) = 1,93539. Dari daftar
log dapat diketahui bahwa log a =
1,93539. Dengan demikian, nilai a
merupakan
antilog 1,93539, atau 86,2.
Dari persamaan (2), 2b0 =
1,30102, maka b0 = log b = 12
(1,30102) = 0,65051. Jadi, nilai
b = 4,47.
Garis trend Y’0 = a0 + b0X → Y’0 =
1,93539 + 0,65051X (dalam semi log).
Untuk tahun
2000, X = 2 → Y’0 = a0 +b0X→Y'0 = log
Y = 1,93539 + 0,65051(2) = 1,93539 +
1,30102 =
3,23641 = 3,2364. Ramalan Y = 1.730
(dari daftar log, angka yang dekat
adalah 3,2380).
Y' = abX Y' = (86,2)
(4,47)x (dalam
eksponensial)
Untuk X = 2 →Y’ = (86,2)(4,47)2 =
(86,2)(19,9809) = 1.722,35. Hasilnya
ada perbedaan
sedikit (akibat pembulatan).
CONTOH 8.10 Kenaikan harga yang
dinyatakan dalam kenaikan indeks
harga, mempunyai
pengaruh negatif yang sangat kuat
terhadap penurunan hasil penjualan
secara geometris.
Data selama 6 tahun menunjukkan
perkembangan harga (X) dan hasil
penjualan Y. Karena
4 | P a g e
bukan variabel waktu, maka hubungan
yang kita peroleh merupakan
persamaan garis
regresi dan bukan garis trend. Data
selama 6 tahun terakhir adalah sebagai
berikut:
(indeks harga) 54,3 61,8 72,4 88,7 118,6 194,0
(hasil penjualan,
jutaan rupiah)
61,2 49,5 37,6 28,4 19,2 10,1
Dengan menggunakan persamaan
Y’ = aXb, berapa nilai ramalan Y,
kalau X = 100?
PENYELESAIAN
Y' = aXb (eksponensial), harus
dibuat transformasi dengan
menggunakan log.
log Y' = log a + b log X (regresi
linear logaritma), log Y’ = Y'0,
log a = a0 log X = X0, Y'0 = a0 +
bX0 merupakan regresi linear.
X0 = log X Y0 = log Y X20 X0Y0
1,7348 1,7868 3,0095 3,0997
1,7910 1,6946 3,2077 3,0350
1,8597 1,5752 3,4585 2,9294
1,9479 1,4533 3,7943 2,8309
2,0741 1,2833 4,3019 2,6617
2,2878 1,2340 5,2340 2,2976
ΣX0 = 11,6953 ΣY0 = 8,7975 ΣX02 = 23,0059 ΣX0Y0 = 16,8543
5 | P a g e
X = -1 → Y' = 40- 20( 12¿-1= 0
X = 0 → Y' = 40- 20(12
)° =20
X = 1 → Y' = 40-20(12
)' =30
X = 2 → Y' = 40 - 20(12
)2 =35
Makin lama angka-angka di atas makin mendekati nilai k. Dengan perkataan lain, k
merupakan nilai asymptote (selalu didekati, tetapi tidak pernah dicapai).
Tergantung pada nilai a dan b, maka bentuk kurva Y' = k + abx dapat berubah-ubah
seperti terlihat pada Peraga 8.2.
gambar
Bent u k K ur v a Trend Ek sponensial yang D i ubah
a > 0,
b < 1
a > 0,
b > 1
Kalau a > O, b > 1, maka bentuk kurvanya seperti contoh yang diberikan di atas.
Oleh karena bentuk trend (regresi) eksponensial yang diubah tidak dapat dijadikan
bentuk linear dengan jalan transformasi, maka untuk memperkirakan atau menghitung
nilai koefisien a dan b tidak dapat digunakan metode kuadrat terkecil (least square
method).
Jadi di sini harus dipergunakan cara yang lain, yaitu dengan memilih beberapa titik.
Caranya adalah sebagai berikut:
Kita peroleh tiga titik, yaitu:
X=0, X=2, X=4,
Y y = k + abP = k + a (1)
Y2 = k + ab2 (2)
Y3 = k + abA (3)
Dalam 3 persamaan di atas
terdapat 3 bilangan konstan yang
tidak diketahui, yaitu k, a, dan b.
Dengan melakukan pemecahan
terhadap persamaan di atas, kita
peroleh
k=Y 1−a (1 )
k=Y 2−Y 1b1−1
(2 )
b2=Y 3−Y 2Y 2−Y 1
(2 )
Apabila banyaknya tahun antara Y1, Y2, dan Y3 bukan 2 tahun, akan tetapi t tahun,
maka
rumus untuk menghitung k, a, dan b adalah sebagai berikut:
k=Y 1−a (1 )
k=Y 2−Y 1bt−1
(2 )
b t=Y 3−Y 2Y 2−Y 1
(3 )
CONTOH 8.11 Hasil penjualan Perusahaan XYZ dalam jutaan rupiah selama 6 tahun terakhir
disajikan dalam Tabel 8.11.
pnejualan hipotesis Perusahaan XYZ Enam Tahun Terakhir
Tahun (X) 1994 1995 1996 1997 1998 1999
(0) 0) (2) (3) (4) (5)
Hasil
penjualan
(V) 3 7 9 21 33 70
Dengan menggunakan trend eksponensial yang diubah, berapa besarnya ramalan hasil
penjualan untuk tahun 2000?
PENYELESAIAN 3 titik yang kita pilih diganti dengan memilih penjualan tahun 1994 (X = 0),
19% (X = 2) dan 1998 (X = 4), berjarak 2 tahun. Dengan menggunakan rumus k, a, dan
b di atas, kita peroleh:
b t=Y 3−Y 2Y 2−Y 1
¿ 33−99−3
¿4→b=√4 ¿2
|H
Nilai X yang digunakan untuk meramal penjualan tahun 2000 adalah Y' = 1 + 2(2)6 =
129
(Rpl29 juta).
TREND LOGISTIK___________________________________________________________________________
Trend logistik biasanya dipergunakan untuk mewakili data yang menggambarkan per-
kembangan/pertumbuhan yang mula-mula cepat sekali, tetapi lambat-laun agak
lambat,
di mana kecepatan pertumbuhannya makin berkurang sampai tercapai suatu titik jenuh
(saturation point). Pertumbuhan semacam ini biasanya dialami oleh pertumbuhan
suatu
jenis industri, dan pertumbuhan biologis lainnya.
Bentuk trend logistik misalnya adalah sebagai berikut:
Y '= k
1+10a+bX a, dan b konstan, biasanya b < 0.
--------(8.15)
Dalam hal ini kalau X → ∞, 10a+bX → 0, dan Y' ¿ k, maka k merupakan asymptote, yaitu
batas atas. Bentuk kurvanya diperlihatkan dalam Peraga 8.4 pada halaman berikut.
Sebelum titik B, laju pertumbuhan terjadi dengan cepat sekali. Setelah titik B, laju
pertumbuhan mulai menurun. Bilangan konstan k, a, dan b dapat dicari dengan cara
seperti trend eksponensial yang diubah, yaitu memilih beberapa titik. Misalnya data
selama 6 tahun adalah sebagai berikut:
f*
C TABEL 8 .12 )
Kita pilih 3 titik Tv T2, T3 dengan nilai (X = 0; Y0), (X = 2; Y2), dan (X = 4; Y4).
k
Setelah nilai X dimasukkan ke Y ¿k
1+10a+bX , kita dapat mencari persamaan untuk T
sebagai berikut.
T1 ¿k
1+10a(1 )
T2 ¿k
1+10a+2b(2 )
T3 ¿k
1+10a+4b(3 )
Dari 3 persamaan tersebut, dapat kita peroleh pemecahan yang memberikan nilai
b, n,
dan k. Untuk mencari b, perhatikan bahwa,
1T 3
− 1T 2
1T 2
− 1T 1
=10a+4b−10a+2b
10a+2b−10a
¿102b
Jadi diambil log-
nya ,
Untuk mencari a, perhatikan bahwa,
Setelah diketahui log-nya, dicari nilai a sebagai berikut.
Akhirnya
Pada umumnya, kalau titik yang diambil berjarak / tahun, maka
CONTOH 8.12 Perkembangan jumlah perusahaan industri pengolahan di suatu daerah
ditunjukkan oleh Tabel 8.13 sebagai berikut:
Berapa ramalan banyaknya industri pengolahan pada tahun 2000 (X = 6)?
J u ml a h H ipotetis I n dust ri Peng olahan di Suatu D aer a h
PENYELESAIAN Kita pilih 3 titik Tv T2, T3 yaitu untuk X = 0,2, dan 4; dan Y = 2,6, dan 9.
Jadi garis trend logistik:
Untuk tahun 2000, X = 6.
Jadi kalau dibulatkan, ramalan banyaknya perusahaan pengolahan industri di daerah
tersebut pada tahun 2000 = 10 buah. Kalau sudah mencapai titik jenuh, maka ini berarti
bahwa nilai Y = 10 (mendekati 10).
TREND GOMPERTZ
Trend Gompertz biasanya dipergunakan untuk meramalkan jumlah penduduk pada usia
tertentu. Trend Gompertz, bentuknya sebagai berikut:
Y' = kabX (8.16)
di mana k, a, dan b konstan.
Kalau diambil lognya, log Y’ = log k + (log a ) (bX ) Selanjutnya kalau log Y = Y^ log
k
= k̂ dan log a = <i0, maka bentuknya menjadi YQ = k0 + a0bX sama seperti trend
eksponensial
yang diubah. Cara mencari koefisiennya sama seperti kita menggunakan kurva (trend)
logistik, hanya nilai Y diganti dengan log Y.
TREND GOMPERTZ
Y ¿kabx
top related