MAKALAH STATISTIK MATEMATIKA

DISTRIBUSI BINOMIAL DAN DISTRIBUSI EKSPONENSIAL

Kelompok 1

1. Aqidatul Meiliyah

120301740332. Novatama Adi N

120301740503. Dyah Shinta K

120301740544. Hanggana Raras N

120301742375. Hetri Nur Fajarwati120301742446. Rizki Virtaria R

120301742577. Nur Maulidiah

12030174260Dosen Pembimbing :

Drs. Ismail, M.Pd

Universitas Negeri SurabayaFakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam

Jurusan Matematika

2014KATA PENGANTAR Puji syukur kami panjatkan kehadirat Tuhan Yang Maha Esa karena atas limpahan rahmat dan karunia-Nya kami dapat menyelesaikan Makalah Statistik Matematika tentang distribusi binomial dan distribusi eksponensial. Makalah ini disusun bertujuan untuk melengkapi tugas mata kuliah Statistik Matematika. Dengan menggunakan berbagai sumber, makalah ini disusun secara sistematis.

Tidak lupa, kami mengucapkan terima kasih bagi seluruh pihak yang telah membantu dalam penyusunan makalah ini khususnya kepada bapak Ismail, selaku dosen pembimbing dan seluruh anggota kelompok yang turut membantu dalam penyusunan makalah ini.

Kami menyadari bahwa kami adalah manusia yang mempunyai keterbatasan dalam berbagai hal. Oleh karena itu tidak ada hal yang dapat diselesaikan dengan sangat sempurna. Begitu pula dengan makalah ini. Maka dari itu kami sangat mengharapkan kritik dan saran dari para pembaca. Kami berharap makalah ini bermanfaat bagi para pembaca. Sehingga bisa memperluas dan menambah pengetahuan tentang statistik matematika.Surabaya, 6 Desember 2014

Penulis

BAB I

PENDAHULUAN

A. Latar Belakang

Suatu percobaan sering terdiri atas beberapa usaha, tiap usaha dengan dua kemungkinan hasil yang dapat diberi nama sukses atau gagal. Hal ini terjadi, misalnya pada pengujian barang hasil produksi, dengan tiap pengujian atau usaha dapat menunjukkan apakah suatu barang cacat atau tidak. Kita dapat menentukan atau memilih salah satu hasil sebagai sukses. Hal ini juga benar bila kartu ditarik secara berurutan dari sekotak kartu bridge dan tiap penarikan tersebut disebut sukses atau gagal bergantung pada apakah kartu merah atau hitam yang terambil. Bila tiap kartu dikembalikan lalu dikocok sebelum kartu berikutnya ditarik maka kedua percobaan yang baru diberikan mempunyai sifat yang sama, yaitu ulangan percobaan bebas satu sama lain dan peluang sukses tidak berubah dari percobaan yang satu ke percobaan lainnya. Proses seperti diatas disebuat proses Bernoulli.

Distribusi binomial didasarkan pada eksperimen (percobaan) yang dilakukan pertama kali oleh Bernoulli, yaitu eksperimen yang dilaksanakan secara berulang sebanyak n kali. Hasil percobaannya dikelompokkan menjadi 2 kategori, yaitu hasil sukses dan gagal. Kedua kategori itu kejadiannya saling bebas (independent) dan merupakan partisi.

Masih banyak sekali persoalan yang memerlukan fungsi padat jenis lain, fungsi padat tersebut adalah distribusi gamma dan distribusi eksponensial. Distribusi eksponensial merupakan salah satu distribusi probabilitas dari peubah acak kontinu yang khusus. Pada makalah ini, akan dibahas tentang distribusi binomial dan distribusi eksponensial serta penyelesaiannya.B. Rumusan Masalah1. Apakah pengertian dari distribusi binomial?

2. Apakah ciri-ciri dan syarat dari distribusi binomial?

3. Apakah rumus dari distribusi binomial?4. Apakah pengertian dan rumus dari distribusi eksponensial ?C. Tujuan Dari rumusan masalah diatas, dapat diketahui tujuan dari makalah ini adalah :1. Untuk mengetahui pengertian dari distribusi binomial2. Untuk mengetahui ciri-ciri dan syarat dari distribusi binomial3. Untuk mengetahui rumus dari distribusi binomial4. Untuk mengetahui pengertian dan rumus dari distribusi eksponensialD. Manfaat

Manfaat dari makalah ini adalah bagi penulis untuk memenuhi tugas mata kuliah Statistik Matematika I dan bagi pembaca adalah dapat memberikan pemahaman mengenai distribusi binomial dan eksponensial.BAB II

PEMBAHASAN

I.DISTRIBUSI BINOMIALDefinisi Distribusi BinomialDistribusi Binomial adalah suatu distribusi probabilitas yang dapat digunakan bilamana suatu proses sampling dapat diasumsikan sesuai dengan proses Bernoulli. Misalnya, dalam perlemparan sekeping uang logam sebanyak 5 kali, hasil setiap ulangan mungkin muncul sisi gambar atau sisi angka. Begitu pula, bila kartu diambil berturut-turut, kita dapat memberi label berhasil bila kartu yang terambil adalah kartu merah atau gagal bila yang terambil adalah kartu hitam. Ulangan-ulangan tersebut bersifat bebas dan peluang keberhasilan setiap ulangan tetap sama, yaitu sebasar ..(Ronald E. Walpole).Proses Bernoulli dan Distribusi Binomial

Saat melakukan sebuah percobaan sering terdiri atas beberapa usaha, tiap usaha dengan dua kemungkinan hasil yang dapat diberi nama sukses atau gagal. Misalnya saat mengambil kartu bridge secara berurutan dan tiap penarikan disebut suskes atau gagal tergantung pada apakah kartu merah atau hitam yang terambil. Bila kartu yang terambil dikembalikan lagi lalu dikocok sebelum penarikan berikutnya dan apabila hasil penarikan yang brikutnya mempunyai sifat yang sama, yaitu ulangan percobaan bebas satu sama lain dan peluang sukses tidak berubah dari percobaan satu kepercobaan lainnya, maka percobaan tersebut disebut proses Bernoulli.Suatu percobaaan yang terdiri atas beberapa usaha., tiap-tiap usaha memberikan hasil yang dapat dikelompokkan menjadi 2 kategori yaitu sukses atau gagal, dan tiap-tiap ualangan percobaan bebas satu sama lainnya. Probabilitas kesusksesan tidak berubah dari percobaan satu ke percobaan lainnya, proses tersebut disebut proses Bernoulli. Jadi proses Bernoulli harus memenuhi syarat sebagai berikut:

1. Percobaan terdiri atas n usaha yang berulang.

2. Tiap usaha memberi hasil yang dapat dikelompokkan menjadi suskses atau gagal.

3. Peluang sukses dinyatakan dengan p, tidak berubah dari usahan yang satu ke yang berikutnya. Peluang gagal dinyatakan dengan 4. Tiap usaha bebas dengan usaha lainnya.

Lihat suatu kelompok Bernoulli yang berupa pengambilan 4 produk barang secara acak dari lantai produksi, untuk diperiksa, kemudian yang cacat dipisahkan dari yang tidak cacat. Produk barang yang cacat akan disebut sukses. Banyaknya sukses merupakan suatu peubah acak X dengan nilai bilangan bulat dari nol sampai 4. Keenam belas hasil yang mungkin ( = Cacat, = Tak cacat) dan nilai X adalah

HasilXHasilX

TTT0TCC2

TTC1CTC2

TCT1CCT2

CTT1CCC3

Karena bahan tersebut dipilih secara bebas dari hasil proses yang dianggap menghasilkan 25% bahan yang cacat, maka

= = = Peluang untuk kemungkinan hasil yang lain dihitung dengan jalan yang sama. Jadi distribusi peluang X adalah

x0123

F(x)

Banyaknya yang sukses dalam n usaha Bernoulli disebut peubah cak binomial. Distribusi peluang peubah acak diskret ini disebut distribusi binomial dan akan dinyatkan dengan karena nilainya tergantung pada banyaknya usaha dan peluang sukses dalam suatu usaha

Jadi untuk distribusi peluang , bila banyaknya cacat dalam contoh diatas.

Pembicaraan diatas akan diperluas untuk mendapatkan rumus yaitu, akan dicari rumus yang akan memberikan peluang sukses dalam n usaha suatu percobaan binomial. Pertama, pandang peluang sukses dan gagal n-x dalam suatu urutan tertentu. Karena usaha semuanya bebas maka peluang tiap hasil yang berbeda dapat diperkalikan. Tiap sukses terjadi dengan peluang dan tiap kegagalan dengan peluang .

Jadi peluang untuk urutan tersebut adalah . Sekarang harus ditentukan banyaknya semua titik terok dalam percobaan tersebut yang menghasilkan yang sukses dan yang gagal. Banyaknya ini sama dengan banyaknya cara memisahkan hasil menjadi dua kelompok sehingga hasil berada pada kelompo pertama dan sisanya, n-x hasil, pada kelompok kedua. Jumlah ini dapat dinyatakan dengan . Karena pembagian ini salaing terpisah maka peluangnya dijumlahkan untuk mendapatkan rumus umum atau dengan perkataan lain. Mengalikan dengan .

Perhatikan bahwa bila n= 3 dan p = , distribusi peluang X, yaitu banyaknya yang cacat, dapat ditulis sebagai:

b = , x = 0, 1, 2, 3

yaitu suatu cara penyajian yang lain dari tabel terdahulu.Bukti bahwa nilai distribusi binomial bernilai 1

= (p+q)n

= 1n , karena q = 1 p

= 1Contoh:

Sebuah dadu dilemparkan 12 kali. Tentukan peluang munculnya mata 6 sebanyak 3 kali.

Jawab:

Sebuah dadu dilemparkan 12 kali (n=12). Peristiwa sukses (s) adalah munculnya mata dadu 6, dan peristiwa gagal (g) adalah munculnya mata dadu bukan 6. Jadi P (sukses) = P (hasil 6) = , dan P (gagal) = P (hasil bukan 6. Jadi P (sukses) = P (hasil 6) = dan P (gagal) P (hasil bukan 6) = .

Peristiwa munculnya mata dadu 6 dan peristiwa munculnya mata dadu bukan 6 saling bebas dan merupakan partisi dari ruang sampelnya, sebab ruang sampel:

S = {1,2,3,4,5,6}

Maka peluang munculnya mata 6 sebanyak 3 kali:

b(3; 12, ) = .. = 220 . . 0,1938

= 0,197

Distribusi semacam ini diberi nama distribusi binomial karena buah suku dalam penguraian binomial berpadanan dengan berbagai nilai untuk . Yaitu

+ + + .. .. + = Karena , Maka jelas bahwa , suatu syarat yang harus dipenuhi setiap distribusi peluang.

Distribusi binomial mempunyai banyak terapan dibanyak bidang ilmu, seorang insinyur produksi akan sangat tertarik pada proporsi yang cacat dalam produksi. Sering ukuran pengendalian mutu dan rencana penerokan proses didasarkan pada distribusi binomial. Penggunaan distribusi binomial akan cocok pada setiap keadaan yang hasil prosesnya berbentuk dikhotomi dan hasil proses tersebut bebas, peluang sukses tidak berubah dari satu usaha ke usaha berikutnya. Juga distribusi ini banyak dipakai dalam oengibatan dan militer. Dalam kedua hal tesebut, hasil sukses atau gagal amat penting. Misalnya, obati atau tidak diobati penting dalam pekerjaan farmasi, sedangkan kena atau meleset sering merupakan penafsiran hasil oenembakan peluru kendali.

Karena distribusi peluang setiap peubah acak binomial hanya tergantung pada nilai anggapan parameter n, p, dan q maka cukup berasalasan bila dianggap bahwa rataan dan variansi peubah acak binomial juga tergantung pada nilai anggapan parameter ini. Memang betul begitu dan di Teorema 4.2 akan diturunkan rumus umum sebagai fungsi dari dan yang dapat dipakai untuk menghitung rataan dan variansi suatu peubah acak binomial.

Bukti Misalkan hasil pada usaha ke j dinyatakan oleh peubah acak Bernoulli Ij yang mendapat nilai 0 atau 1, masing-masing dengan peluang dan . Peubah Bernoulli Ij dengan nilai seperti ini disebut peubah acak penunjuk.

Jadi banyaknya sukses dalam suatu percobaan binomial dapat dituliskan sebagai peubah penunjuk bebas, sehingga

X = I1 + I2 + + In Setiap Ij mempunyai rataan . Sehingga, dengan menggunakan akibat 2 teorema 3.7 diperoleh rataan distribusi binomial

n suku

Variansi setiap diberikan oleh

=

Bila Akibat 2 Teorema 3.10 diperluas ke kasus n peubah bebas maka diperoleh variansi distribusi binomial

n suku

Distribusi binomial ini dalam banyak penerapan terdapat lebih dari dua kemungkinan hasil. Meninjau contoh dari bidaang genetika, warna turunan sejenis tikus percobaan mungkin merah, hitam, atau putih. Sering dikhotomi cacat atau tidak cacat dalam persoalan produksi sesungguhnya hanyalah suatu penyederhanaan. Sering sekali terdapat lebih dari dua jenis yang mencirikan hasil produksi suatu barang.Contoh:

Sebuah mata uang dilambungkan 10 kali. Munculnya sisi muka sebanyak 5 kali. E(X) = np = 10 . = 5

Jadi harapan muncul sisi M pada 10 kali lambungan = 5 kali.

Ragamnya:

Var (X) = npq = 10 . . (1 - )

= 10 . . = 2,5

Fungsi pembangkit momennya adalah:

M(t) = ((1-) + et)10

= ( + et)10Contoh:

Sebuah dadu dilemparkan 12 kali. Peluang munculnya mata 6 sebanyak 3 kali. Harapan matematisnya: E(X) = np = 12 x = 2

Jadi harapan muncul mata 6 dari 12 kali lemparan adalah 2 kali ragamnya:

Var (X) = npq = 12 . . (1 - )

= 10 . .

= 1Fungsi Pembangkit momennya adalah

M(t) = ((1 - )+et)12 = ()12

Syarat Distribusi Binomial

1. jumlah trial merupakan bilangan bulat Contoh melambungkan coin 2 kali, tidak mungkin2 kali.

2. Setiap eksperiman mempunya duaoutcome(hasil). Contoh:sukses/gagal,laki/perempuan, sehat/sakit,setuju/tidaksetuju.

3. Peluang sukses sama setiap eksperimen.

4. Contoh: Jika pada lambungan pertama peluang keluar mata H/sukses adalah , pada lambungan seterusnya juga . Jika sebuah dadu, yang diharapkan adalah keluar mata lima, maka dikatakan peluang sukses adalah 1/6, sedangkan peluang gagal adalah 5/6.Untuk itu peluang sukses dilambangkan p, sedangkan peluang gagal adalah (1-p) atau biasa juga dilambangkan q, di mana q = 1-p.

Ciri-ciri Distribusi Binomial.

Distribusi Binomial dapat diterapkan pada peristiwa yang memiliki ciri-ciri percobaan Binomial atau Bernoulli trial sebagai berikut :

1. Setiap percobaan hanya mempunyai 2 kemungkinan hasil : sukses(hasil yang dikehendakai, dan gagal(hasil yang tidak dikehendaki)

2. Setiap percobaan beersifat independen atau dengan pengembalian.

3. Probabilita sukses setiap percobaan harus sama, dinyatakan dengan p. Sedangkan probabilita gagal dinyatakan dengan q, dan jumlah p dan q harus sama dengan satu.

4. Jumlah percobaan, dinyatakan dengan n, harus tertentu jumlahnya.Penerapan Distribusi Binomial

Beberapa kasus dimana distribusi normal dapat diterapkan yaitu:

1. Jumlah pertanyaan dimana anda dapat mengharapkan bahwa terkaan anda benar dalam ujian pilihan ganda.

2. Jumlah asuransi kecelakaan yang harus dibayar oleh perusahaan asuransi.

3. Jumlah lemparan bebas yang dilakukan oleh pemain basket selama satu musim.Contoh Soal:

1. Probabilitas seseorang sembuh dari penyakit jantung setelah operasi adalah 0.4. Bila diketahui 15 orang menderita penyakit ini, berapa peluang:

a) sekurang-kurangnya 10 orang dpt sembuh b) ada 3 sampai 8 orang yg sembuhc) tepat 5 orang yg sembuhJawab:

Misal: X = menyatakan banyaknya orang yang sembuh

Diketahui: n = 15, P = 0.4, Q = 0.6

a)

= 1 - = 1 0,9662

= 0.0338

Jadi paling sedit 10 orang akan sembuh adalah 0,0338

b) P() = == - = 0,9050 0,0271

= 0,8779

c) -

18592. Sebuah mata uang dilambungkan 10 kali. Munculnya sisi muka sebanyak 5 kali. E(X) = np = 10 . = 5

Jadi harapan muncul sisi M pada 10 kali lambungan = 5 kali.

Ragamnya:

Var (X) = npq = 10 . . (1 - )

= 10 . . = 2,5

Fungsi pembangkit momennya adalah:

M(t) = ((1-) + et)10 = ( + et)103. Sebuah dadu dilemparkan 12 kali. Berapakah peluang munculnya mata 6 sebanyak 3 kali. Harapan matematisnya: E(X) = np = 12 x = 2

Jadi harapan muncul mata 6 dari 12 kali lemparan adalah 2 kali ragamnya:

Var (X) = npq = 12 . . (1 - )

= 10 . .

= 1Fungsi embangkit momennya adalah

M(t) = ((1 - )+et)12 = ()12

Binomial Negatif

Suatu distribusi binomial negatif dibentuk oleh suatu eksperimen yang memenuhi kondisi-kondisi berikut:

Eksperimen terdiri dari serangkaian percobaan yang saling bebas

Setiap percobaan (trial) hanya dapat menghasilkan satu dari dua keluaran yang mungkin, sukses atau gagal.

Probabilitas sukses p, dan demikian pula probabilitas gagal q = 1 - p selalu konstan dalam setiap percobaan (trial)

Eksperimen terus berlanjut (percobaan terus dilakukan) sampai sejumlah total k sukses diperoleh, dimana k berupa bilangan bulat tertentu.

Jadi pada suatu eksperimen binomial negatif, jumlah suksesnya tertentu sedangkan jumlah percobaannya yang acak.

Rumus Fungsi Padat Peluang

Notasi:

p= peluang sukses

x= jumlah percobaan sampai mendapatkan sukses ke-kk= jumlah sukses yang muncul

Fungsi Pembangkit Momen

Mean/ Nilai Harapan ()E(X) =k/pBukti:

M (t) =

Varian

Var(X) =k(1 p) /p2Bukti:

Misal:

+

Contoh Soal Distribusi Binomial1. Uang logam, dengan muka A dan G, ditos beberapa kali sampai keluar 2 (dua) A. Berapa peluang diperlukan

(i) dua tos;

(ii) tiga tos.Penyelesaian:Misalkan banyaknya tos yang diperlukan adalah X, maka X berdistribusi negatif binomial dengan p = 1=2 dan r = 2 dan ditanyakan P(X = 2) dan P(X = 3). Jadi

Jadi, peluang diperlukan 2 tos dan 3 tos masing-masing 0,25.2. Carilah peluang bahwa seseorang yang melantunkan tiga uang logam sekaligus akan mendapat semuanya muka atau semuanya belakang untuk kedua kalinya pada lantunan kelima.

Jawaban:

Dengan menggunakan distribusi binomial negatif untuk x = 5, k = 2, dan p = diperoleh 3. Seorang peneliti tengah menginokulasi beberapa tikus putih dengan menyuntikkan virus yang menyerang metabolisme pencernaan sampai ia memperoleh 3 ekor tikus putih terserang penyakit tersebut. Bila probabilitas terjangkit penyakit itu adalah 25%, berapa probabilitas bahwa dalam percobaan itu diperlukan 10 ekor tikus

Jawab

b.(3 : 10 : 0.25) = (9 2) (0.25)3 . (0.75)7

= 9! / 2! (9 2)! . 0.0156 . 0.1335

= 36 . 0.0156 . 0.1335

= 0.075

Jadi probabilitas diperlukannya 10 ekor tikus putih untuk 3 ekor tikus yang terserang penyakit adalah 0.075 atau 7.5%

II. DISTRIBUSI EKSPONENSIALPengertian

Distribusi eksponensial merupakan salah satu distribusi probabilitas dari peubah acak kontinu yang khusus. Disebut khusus karena distribusi eksponensial merupakan hal khusus dari distribusi gamma. Peubah acak kontinu X dikatakan mempunyai sebaran eksponensial dengan parameter , dan dinotasikan dengan X~Exp() jika X mempunyai fungsi kepadatan peluang dengan rumus

, untuk

f(x) =

0, untuk

Nilai Probabilitas dari Distribusi EksponensialKarena distribusi eksponensial merupakan fungsi densitas, maka untuk mencari nilai probabilitasnya yaitu

Teorema

Jika X~Exp(), maka fungsi pembangkit momen, nilai harapan, dan ragam dari X berturut-turut adalah

Fungsi pembangkit momen: untuk ,

Nilai harapan

: E[X] = , dan

Ragam dari X

: Var [X] = 2Pembuktian Teorema 1. untuk

Bukti:

2. E[X] =

Bukti:

E[X]

3. Var [X] = 2Bukti:

Var [X] = E(X2)-(E(X))2E[X2]

Var [X] = E(X2)-(E(X))2

Contoh Soal1. Diketahui bahwa peubah acak kontinu mempunyai fungsi kepadatan peluang untuk setiap . Tentukan:

a. Nilai harapanb. Ragamc. Fungsi pembangkit momen dari .

Penyelesaian:

Untuk setiap

Oleh karena itu rumus persamaan distribusi fungsi dari dapat dituliskan sebagai

Jadi , berdasarkan rumus diperoleh

a. Nilai harapan dari adalah b. Ragam dari adalah c. Fungsi pembangkit momen dari adalah

2. Diketahui bahwa Hitunglah P(X