distribusi seragam binomial multinomial rev2

8/17/2019 Distribusi Seragam Binomial Multinomial REV2

1/25

1

Distribusi Peluang Diskrit-1

(Seragam, Binomial, Multinomial)


2/25

• Dalam penyajian distribusi sering kitamenjumpai, pengamatan yang dihasilkan melaluipercobaan statistik yang berbeda mempunyai

bentuk kelakuan umum yang sama.• Berarti percobaan tersebut dapat dilukiskan

dengan distribusi probabilitas yang sama, dandapat dinyatakan dengan rumus yang sama.

• Dalam banyak praktek yang sering kita jumpai,hanya memerlukan beberapa distribusiprobabilitas yang penting untuk menyatakan

banyak perubah acak diskret. 2

Konsep


3/25

5.1. Distribusi Seragam Diskret

Distribusi probabilitas yang paling sederhana adalah yang

semua perubah acaknya mempunyai probabilitas yang sama.

Distribusi ini disebut distribusi probabilitas seragam diskret.

Definisi (5.1)

Jika perubah acak X mendapat nilai dengan

probabilitas yang sama , maka distribusi probabilitas diskret diberikan

oleh:

Lambang f(x;k) sebagai pengganti f(x), yang menunjukan bahwa

distribusi seragam tersebut bergantung pada parameter x

Tabel 5.1. Distribusi proabilitas X

1 2 kx ,x ,.....,x

1 2

1

kf(x;k) ; untuk x x ,x ,.....,xk

x 1 2 3 4 5 6

F(x;k)=f(x) 16

1

6

1

6

1

6

1

6

1

6

3


4/25

Contoh (5.1)

Sebuah dadu seimbang dilemparkan satu kali, maka tiap unsur

dalam ruang sampel S={1, 2,3 4, 5, 6}. Muncul dengan probabilitas 1/6.

Jadi jika X menyatakan mata dadu yang muncul, maka X terdistribusi

peluang seragam (uniform) yakni f(x;6)=1/6, untuk x = 1, 2, 3, 4, 5, 6

Teorema (5.1)

Nilai rata-rata (mean) dan variansi distribusi seragam diskret

f(x;k) adalah

Mean(X),

Varian(X); atau

Bukti sbb:

1

1

k

iki

x

2 21

1

kik

i

(x )

2 2 2E(X )

4


5/25

Menurut definisi,

dan

1 1

1 1 1

k k k

i i ik ki i i

E(X) x f(x;k) x ( ) x

2 2 2 2 1

1 1

21

1

k ki i k

i i

k

iki

E(X ) (x ) f(x;k) (x ) ( )

(x )

Contoh (5.2)

Cari mean dan variansi dari contoh (5.1)

Jawab:1 2 3 4 5 6

3 5

6

.

2 2 2 2 2 22

35

12

1 3 5 2 3 5 3 3 5 4 3 5 5 3 5 6 3 5

6

( . ) ( . ) ( . ) ( . ) ( . ) ( . )

5


6/25

5.2. Distribusi Binomial dan Multinomial

Suatu percobaan yang terdiri atas beberapa usaha, tiap-tiap

usaha, memberikan hasil yang dapat dikelompokan menjadi 2-

kategori yaitu sukses atau gagal, dan tiap-tiap ulangan percobaan

bebas satu sama lainnya. Probabilitas kesuksesan tidak berubah dari

percobaan satu ke percobaan lainnya. Proses ini disebut proses

Bernoulli. Jadi proses Bernoulli harus memenuhi persyaratan berikut:

1. Percobaan terdiri atas n-usaha yang berulang

2. Tiap-tiap usaha memberikan hasil yang dapat dikelompokan

menjadi 2-kategori, sukses atau gagal

3. Peluang kesuksesan dinyatakan dengan p, tidak berubah dari

satu usaha ke usaha berikutnya.

4. Tiap usaha bebas dengan usaha lainnya.

6


7/25

Contoh (5.3)

Tiga barang diambil secara acak dari hasil produksi pabrik,

diperiksa, dan yang cacat dipisahkan dari yang tidak cacat.

Misalkan yang cacat disebut cacat. Maka banyaknya kesuksesan

mer upakan perubah acak X dengan nilai nol sampai 3.

Tabel 5.2.

C=cacat ; T=tidak cacat (baik)Karena barang diambil secara acak, dan

misalkan dianggap menghasilkan 25%

barang cacat, maka

Probabilitas untuk hasil kemunkinan yang lain dilakukan dengan

jalan ang sama.

Hasil X

TTT

TCT

TTC

CTT

TCC

CTCCCT

CCC

0

1

1

1

2

22

3

3 3 91

4 4 4 64P(TCT) P(T)P(C)P(T) ( )( )( )

7


8/25

tabel 5.3 Distribusi probabilitas X

Percobaan Binomial

Banyaknya X yang sukses dalam n-usaha Bernoulli disebut “perubah

acak binomial”, dan distribusi dari perubah acak ini disebut “distribusiBinomial”. Jika p menyatakan probabilitas kesuksesan dalam suatu

usaha, maka distribusi perubah acak X ini dinyatakan dengan b(x;n,p).

Karena nilainya bergantung pada banyaknya usaha (n)

Misalnya: X= banyaknya barang yang cacat.

Selanjutnya menentukan rumus yang memberikan proailitas x sukses

dalam n-usaha suatu pecobaan binomial b(x;n,p)

91

4 642 2 2 3P(X ) f( ) b( ; , )

x 0 1 2 3

f(x) 2764

9

64

27

64

1

64

8


9/25

Probabilitas x kesuksesan dan n-x kegagalan dalam urutan tertentu.

Tiap kesuksesan dengan probabilitas p dan tiap kegagalan dengan

probabilitas q=1-p . Banyaknya cara untuk memisahkan n-hasil

menjadi dua kelompok, sehingga x hasil ada pada kelompok

pertama dan sisanya n-x pada kelompok kedua, jumlah ini

dinyatakan sebagai Karena pembagian tersebut saling terpisah

(bebas) maka probabilitasnya adalah

n

x

x n xn p qx

Suatu usaha bernoulli dapat menghasilkan kesuksesan dengan

probabilitas p dan kegagalan dengan probabilitas q=1-p, maka

distribusi probabilitas perubah acak binomial X yaitu banyaknyakesuksesan dalam n-usaha bebas adalah

0 1 2x n xnb(x;n,p) p q ;x , , ,....,n

x

9


10/25

Suatu cara penyajian yang lain dari tabel 5.2 : n=3 dan 14

p

31

4

33 0 1 2 3

x xb(x; , ) p q ;x , , ,x

Contoh (5.4)

Suatu suku cadang dapat menahan uji guncangan tertentu

dengan probabilitas 0.75. Hitung probabilitas bahwa tepat 2 dari 4

suku cadang yang diuji tidak akan rusak.Jawab:

Misal tiap pengujian saling bebas

10

2

2

23 3 3 271 4

4 4 4 2 2 1284

42 4

2

!

! !b( ; , ) ( ) ( )

Catatan:

0

1

n

x

b(x;n,p)


11/25

11

Contoh (5.5)

Probabilitas seseorang sembuh dari penyakit darah yang

langka adalah 0.4. Bila diketahui 15 orang menderita penyakit ini,

berapa peluang:

a). sekurang-kurangnya 10 orang dpt sembuh

b). ada 3 sampai 8 orang yg sembuh

c). tepat 5 orang yg sembuh

Jawab:

Mis: X = menyatakan banyaknya orang yg sembuhDiket : p = 0.4 n = 15

a).

Jadi probabilitas sekurang-kurangnya 10 orang sembuh = 0.0338

9

0

10 1 10 1 0 1 9

1 15 0 4

1 0 9662

0 0338

x

P(X ) P(X ) P(X ) P(X ) P(X )

b(x; ; . ) lihat tabel

.

.


12/25


13/25

13

Tabel 5.4 Cara menggunakan tabel binomial

n r p

0.01 . . . . . . . 0.4 . . . . . . . . .

15 12 0.0271

:

:

:

8 0.9050

9 0.9662

:

:

15

9

0

15 0 4 0 9662

x

b(x; ; . ) .

Untuk n=15, p=0.4 ;

2

0

15 0 4 0 0271

x

b(x; ; . ) .

8

0

15 0 4 0 9050

x

b(x; ; . ) .


14/25


15/25

15

Contoh (5.6)

Tentukan mean dan variansi dari contoh (5.5) kemudikan

gunakan teorema chebyshev untuk menafsirkanselang 2

Jawab:

Dari contoh 5.6 diketahui n=15 dan p=0.4

Diperoleh:

dan

Menggunakan teorema Chebyshev adalah

Jadi, selang yang ditanakan adalah dari 2.206 sampai 9.794

15 0 4 6( )( . )

1 897.

2 15 0 4 0 6 3 6( )( . )( . ) .

2

2 9 794 2 2 206. dan .


16/25

16

Percobaan Multinomial

Percobaan binomial akan menjadi percobaan multinomial jika

tiap usaha dapat memberikan lebih dari 2 hasil yang mungkin. Misalnya

hasil produksi pabrik dapat dikelompokan menjadi barang baik, cacat,

dan masih bisa diperbaiki.

Bila suatu usaha dapat menghasilkan k macam hasil

Dengan probabilitasnya maka distribusi perubah acak

yang menyatakan banyaknya kejadian

Dalam n-usaha bebas adalah

Dengan dan

1 2 kE ,E ,....,E

1 2 kp ,p ,....,p

1 2 kX ,X ,....,X 1 2 kE ,E ,....,E

1 2

1 2 1 2 1 21 2

k

k

x x x

k; k k

n

f(x ,x ,...,x p ,p ,...,p ,n) p p ...px ,x ,...,x

1

k

ii

x n

1

1

k

ii

p


17/25

17

Contoh(5.7)

Dua buah dadu dilantunkan 6 kali, berapa probabilitas akan

mendapatkan jumlah 7 atau 11 muncul dua kali, sepasang bilangan

yang sama satu kali, dan kominasi lainnya 3 kali?

Jawab:

Misal: E1= muncul jumlah 7 atau 11 p(E1)=2/9

E2= muncul pasangan bilangan yang sama p(E2)=1/6

E3= muncul selain E1 maupun E2 p(E3)=11/18

Nilai initidak berubah dari ke6-usaha. Menggunakan distribusi

multinomial dengan x1=2, x2=1 dan x3=3 diperoleh:

2 1 3

2 1 11 2 1 11

9 6 18 9 6 18

36 4 1 11

2 1 3 81 6 318

62 1 3 6

2 1 3

0 1127!

! ! !

f( , , ; , , , ), ,

.


18/25

Soal-1

Di suatu bagian kota 75% pencurian karenaalasan perlu uang untuk membeli makan. Cari

probabilitas bahwa diantara

5 pencurian

selanjutnya yang dilaporkan di daerah tadi

a) tepat 2 karena alasan perlu uang untukmembeli makan;

b) paling banyak 3 karena alasan perlu uanguntuk membeli makan.


19/25

Jawab

banyaknya pencurian karena alasan perlu uang untukmembeli makan

Diketahui Distribusi Binomial ; ; dengan 5 ;0,75 a) 2 2; 5; 0,75 52 0,75

0,25 0,0879

b)

≤ 3 ; 5; 0,75

= 0,3672


20/25

Soal-2

Seorang petani jeruk mengeluh karena 2 3 daripanen jeruknya terserang sejenis virus. Cari

probabilitas bahwa diantara

4 buah jeruk yang

diperiksa dari hasil panen ini

a) Semuanya terserang virus tersebut;

b) Antara

1 sampai

3 yang terserang virus

tersebut.


21/25

Jawab

banyaknya jeruk yang terserang sejenis virusDiketahui Distribusi Binomial ; ; dengan 4 ; 2 3 0,67

4 4; 4; 0,67 44 0,67 0,33 0,2015 1 ≤ ≤ 3 ≤ 3 − 0

; 4; 0,67 −

= 0; 4; 0,67

0,7985−0,01190,7866

a)

b)


22/25

Soal-3

Menurut suatu survei, 1 3 dari perusahaan diAS memberi karyawannya cuti 4 minggu setelahbekerja perusahaannya selama

15 tahun. Cari

probabilitas bahwa diantara 6 perusahaan yangdisurvai secara acak, banyaknya perusahaan

yang memberi karyawannya cuti 4 minggusetelah 15 tahun bekerjaa) Antara 2 sampai 5;b) Kurang dari 3.


23/25

Jawab

banyaknya perusahaan yang memberi karyawannya cuti 4 minggusetelah 15 tahun bekerjaDiketahui Distribusi Binomial ; ; dengan 6 ; 1 30 , 3 3

a) 2 ≤ ≤ 5 ≤ 5 − ≤ 1 ; 6; 0,33 −=

; 2; 0,33=

0,9987−0,35780,6409 b)

< 3 ≤ 2 ; 6; 0,33

= 0,6869


24/25


25/25

distribusi seragam binomial multinomial rev2

Documents