lİse - permÜtasyon kombİnasyon 2 (slayt)

Faktoriyel Kavram

Genel Çarpma KurallarıPermütasonTest

Faktoriyel Kavram

n N -{1} olmak üzere; 1,2,3...n çarpımına n faktoriyeldenir. Ve n! şeklinde gösterilir.

• 0! = 1 ve 1!=1 olarak tanımlanır.• n! = n.(n-1).(n-2)...,3.2.1

+

= n.(n-1).(n-2)!= n.(n-1)! Şeklinde yazılabilir.

Örnek:7!+8!6!+7!

İşleminin sonucu kaçtır?

A) 56! B) 15! C) 63! D) 15! E) 42! 13! 8! 14!

çözüm

!12

!15

Faktoriyel Kavram

n N -{1} olmak üzere; 1,2,3...n çarpımına n faktoriyeldenir. Ve n! şeklinde gösterilir.

• 0! = 1 ve 1!=1 olarak tanımlanır.• n! = n.(n-1).(n-2)...,3.2.1

+

= n.(n-1).(n-2)!= n.(n-1)! Şeklinde yazılabilir.

Örnek:7!+8!6!+7!

İşleminin sonucu kaçtır?

A) 56! B) 15! C) 63! D) 15! 42! 13! 8! 14!

çözüm

7! + 8! 7.6! + 8.7.6!6! + 7! 6! + 7.6!

6!(7+56)6!(1+7)

63 olur. Cevap C 8

=

=

=

Faktoriyel Kavram

Örnek:x ve y doğal sayı olmak üzere, x > y dir. Buna göre x!y!

in alacağı en küçük değer kaçtır?

A) 2x B) y C) x+1 D) y+1 E) 2y+x

çözüm

Faktoriyel Kavram

Örnek:x ve y doğal sayı olmak üzere, x > y dir. Buna göre

in alacağı en küçük değer kaçtır?

A) 2x B) y C) x+1 D) y+1 E) 2y+x

çözüm

x > y iken en küçük değeri alabilmesi için x = y + 1 olmalıdır.!

!

y

x

!

!

y

x

!

)!1(

!

!

y

y

y

x

!

!1).1(

y

y

1y olur. Cevap D

Faktoriyel Kavram

Örnek:

A) {0, 1} B) {0, 2, 3} C) {2} D) {1} E) {1,2}

3)!1(

)!1(0

n

x İse n doğal sayısının alabileceği değer-

ler kümesi aşağıdakilerden hangisidir?

çözüm

Faktoriyel Kavram

Örnek:

A) {0, 1} B) {0, 2, 3} C) {2} D) {1} E) {1,2}

3)!1(

)!1(0

n

x İse n doğal sayısının alabileceği değer-

ler kümesi aşağıdakilerden hangisidir?

çözüm

3)1(

)!1(0

n

n İse

3)!1(

)!1.().1(0

n

nnn

3)1.(0 nn

n=0 ise n.(n+1) = 0.(0+1) = 0

n=1 ise n.(n+1) = 1.(1+1) = 2n=2 ise n.(n+1) = 2.(2+1) = 6Olacağından n nin alabileceği değerler kümesi;{1} olur

Cevap D

Faktoriyel Kavram

Örnek:

A) 286 B) 258 C) 243 D) 146 E) 120

!4!.2

!6

!6!.2

!8

!3)!.313(

13İşleminin sonucu kaçtır?

çözüm

Faktoriyel Kavram

Örnek:

A) 286 B) 258 C) 243 D) 146 E) 120

!4!.2

!6

!6!.2

!8

!3)!.313(

13İşleminin sonucu kaçtır?

çözüm

!4!.2

!6

!6!.2

!8

!3)!.313(

13ise

!4.1.2

!4.5.6

!6.1.2

!6.7.8

1.2.3!.10

!10.11.12.13

=286-(28+15)=243 olur Cevap D

Genel Çarpma Kuralları

Bir işlem a farklı yolla, bunu izleyen her bir işlem, bir önceki işleme bağlıolarak b,c,d ... Farklı yolla elde edilsin. Bu işlemlerin tamamı sıralı şekilde;

a.b.c.d....Farklı şekilde elde edilebilir

Buna saymanın temel prensibi veya genel çarpma kuralı denir.

A B C D

3 yol 5 yol 2 yol

A dan C ye 3 . 4 = 12 farklı şekildeA dan D ye 3 . 4 .2 = 24 faklı şekilde gidilebilir.

• 5 ceket, 3 pantolon, 6 gömleği olan bir kişi5.3.6 = 90 farklı şekilde giyinebilir.

Genel Çarpma Kuralları

Örnek:Ankara ile Konya arasında 8, Konya ile Adana arasında 9farklı otobüs yolu olduğunu varsayalım. Bir otobüs her seferinde Konya’ya uğramak şartıyla Ankara’dan Adana’yakaç farklı şekide gidebilir?

A) 9! B) 8! C) 72 D) 17 E) 77çözüm

Genel Çarpma Kuralları

Örnek:Ankara ile Konya arasında 8, Konya ile Adana arasında 9farklı otobüs yolu olduğunu varsayalım. Bir otobüs her seferinde Konya’ya uğramak şartıyla Ankara’dan Adana’yakaç farklı şekide gidebilir?

A) 9! B) 8! C) 72 D) 17 E) 77çözüm

Ank

ara

Kon

ya

Ada

na

8 farklı yol 9 farklı yol

Bir otobüs Akara’dan Adana’ya her seferinde Konya’ya uğramak şartıyla8.9 = 72 farklı şekilde gidebilir. (Genel Çarpma Kuralı) Cevap C

Genel Çarpma Kuralları

Örnek:A={1,2,3,4,5,6} kümesinin elemanları ile iki basamaklı ve basamaklarındakirakamlar birbirinden farklı kaç sayı yazılabilir.

A)10 B) 20 C) 30 D) 40 E) 50

çözüm

Genel Çarpma Kuralları

Örnek:A={1,2,3,4,5,6} kümesinin elemanları ile iki basamaklı ve basamaklarındakirakamlar birbirinden farklı kaç sayı yazılabilir.

A)10 B) 20 C) 30 D) 40 E) 50

çözüm

6 5{1,2,3,4,5,6} 6 sayıdan bir tanesi

Geriye kalan 5 sayı

6.5=30 tane sayı yazılabilir Cevap C

Genel Çarpma Kuralları

Örnek:{1,2,3,4,5,6} kümesinin elemanlarını kullanarak basamaklarındakirakamları birbirinden farklı ve 45 ile biten 6 basamaklı en fazla kaçtane doğal sayı yazılabilir?

A)12 B) 24 C) 60 D) 120 E) 240

çözüm

Genel Çarpma Kuralları

Örnek:{1,2,3,4,5,6} kümesinin elemanlarını kullanarak basamaklarındakirakamları birbirinden farklı ve 45 ile biten 6 basamaklı en fazla kaçtane doğal sayı yazılabilir?

A)12 B) 24 C) 60 D) 120 E) 240

çözüm

4 3 2 1 1 1

{4} {5}{geriye kalan 1 sayı gelebilir.}{geriye kalan 2 sayıdan biri gelebilir.}{geriye kalan 3 sayıdan biri gelebilir.}{4,5 in dışında geriye kalan 4 sayıdan biri gelebilir}

Cevap B=4.3.2.1.1.1=24 olur.

Genel Çarpma Kuralları

Örnek:Bir rafta 5 tane matemaik, 2 tane edebiyat ve 3 tane tarih kitabı vardır.Aynı tür kitaplar birbirinden ayrılmamak üzere, kaç değişik şekildeyan yana sıralanabilir?

A)30 B) 90 C) 1440 D)8640 E)8460

çözüm

Genel Çarpma Kuralları

Örnek:Bir rafta 5 tane matemaik, 2 tane edebiyat ve 3 tane tarih kitabı vardır.Aynı tür kitaplar birbirinden ayrılmamak üzere, kaç değişik şekildeyan yana sıralanabilir?

A)30 B) 90 C) 1440 D)8640 E)8460

çözüm

Aynı tür kitaplar birbirinden ayrılmayacağından;5 matematik kitabı = 5! şeklinde2 edebiyat kitabı = 2! şeklinde3 tarih kitabı = 3! Şeklinde sıralanır.

Burada matematik, edebiyat, tarih kitapları birer kitap gibi düşünülür, böyle olunca 3!Şeklinde de bunlar sıralanır. Öyleyse;3! (5! .2! .3!) = 8640 olur. Cevap D

MMMMM EE TTT

Permütasyon

1.tanımn tane elemanın bir sıra üzerinde r li sıralanışlarından her birinen nin r li bir permütasyonu denir. n elemanının r li permütasyonlarınınsayısı, n r olmak üzere;

bu formulden şu sonuçlar çıkarılabilir.

)!(

!),(

rn

nrnp

•P(n,r) permütasyonlarının sayısını bulmak için, n den geriye doğru,r tane ardışık çarpan çarpılır.•P(n,n) = n!•P(n,1) = n•p(0,0) = 1•p(n,0) = 1

Permütasyon

Örnek:

işleminin sonucu nedir?

A)14 B)22 C)28 D)36 E)42

)2,3(,3

1)4,5(,

5

1PP

çözüm

Permütasyon

Örnek:

işleminin sonucu nedir?

A)14 B)22 C)28 D)36 E)42

)2,3(,3

1)4,5(,

5

1PP

çözüm

)!(

!),(

rn

nrnp

veya n den geriye doğru, r tane ardışık çarpan

çarpılarak bulunabilir.

22

224

)2.3(3

1)2.3.4.5.(

5

1

Olur. cevap B

Permütasyon

Permütasyonlarda birbirinden farklı elemanların değişiksıralanışları söz konusudur.

Permütasyon olan ifadeler genelde;• Kaç türlü sıralanabilir? Dizilebilir? Poz verebilir?• Kaç türlü sayı yazılabilir? Anlamlı yada anlamsız kaç türlükelime yazılabilir?• Yuvarlak masa etrafında kaç türlü oturulabilir? Şeklindedir.

!

!

Permütasyon

2. Dairesel dönel permütasyon

n elemanlı bir kümenin elemanlarının, bir çemberin etrafındabirbirinden farklı dizilişlerinden her birine, dairesel permütasyon denir.

n elemanlı bir çember etrafında;(n-1)! Farklı bir şekilde sıralanır

Permütasyon

Örnek:7 kişilik bir aile, anne ile baba yan yana oturmak şartıyla, daireşeklindeki bir masa etrafına kaç değişik şekilde oturabilirler?

A) 24 B) 48 C) 120 D) 240 E) 90

çözüm

Permütasyon

Örnek:7 kişilik bir aile, anne ile baba yan yana oturmak şartıyla, daireşeklindeki bir masa etrafına kaç değişik şekilde oturabilirler?

A) 24 B) 48 C) 120 D) 240 E) 90

çözüm

Anne ile baba yan yana oturacağından 1 kişi gibi düşünülür.6 kişi yuvarlak masa etrafında 5! Değişik şekilde oturur. anneile baba kendi aralarında 2! Değişik şekilde oturacağından;

5! . 2! = 120 . 2 = 240 değişik şekilde oturabilir. Cevap D

Permütasyon

3 tekrarlı permütasyonÖnce sanki tekrar eden yokmuş gibi sıralanır. Sonra tekrar edendurumların sıralanış sayısı atılır. Çarpım durumundaki ifadeden, fazlalıkların atılması bölme ile yapılır.

Tekrarlı

FarklıSankiHepsi

Permütasyon

Örnek:MATEMATİK kelimesindeki harflerle anlamlı yada anlamsız kaçkelime yazılabilir?

A) 9! B) 8! C) 45360 D) 32424 E) 7!

çözüm

Permütasyon

Örnek:MATEMATİK kelimesindeki harflerle anlamlı yada anlamsız kaçkelime yazılabilir?

A) 9! B) 8! C) 45360 D) 32424 E) 7!

çözüm

M -> 2 taneA -> 2 taneT -> 2 tane tekrar edilmiştir.

Olur cevap C45360!2!.2!.2

!9

Test

1- K={0,1,2,3,4} kümesinin elemanları ile üç basamaklı rakamları tekrarsız farklı çift sayı yazılabilir?

A) 30 B) 36 C) 42 D)47 E)52 cevap A

2- A={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} kümesinin rakamları 500 ile 700 arasında rakamları tekrarsız kaç değişik çift sayı yazılabilir yazılabilir?

A) 32 B) 40 C) 44 D)72 E)84 cevap D

3- A={1,2,3} kümesinin harfleriyle yazılabilecek rakamları tekrarsız 3 basamaklı sayıların toplamı kaçtır?

A)1200 B)1332 C)2440 D)2684 E)3156 cevap B

4- Bir lokantadaki 6 çeşit çorba, 4 çeşit tatlı ve 3 çeşit kebapdan birer tane isteyen müşteri üç kaplık yemeği kaç farklı şekilde isteyebilir?

A)13 B)72 C) 6!4!31 D) E)144 cevap B

5- olduğuna göre n kaçtır?

A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8 cevap B

222246

..

35!

!)!1()!2(

n

nnn

Test

6- A={0,1,2,3,4,5} kümesinin elemanlarıyla yazılabilecek 4 basamaklı sayılardan kaç tanesi 5 ile kalansız bölünür ?

A) 108 B) 120 C) 240 D)320 E)380 cevap E

7- 4 matematik, 4 fizik kitabı aynı dersin herhangi iki kitabı yanyana gelmemek şartıyla bir rafa kaç farklı biçimde dizilebilir?

A) 120 B) 248 C) 256 D)576 E)1152 cevap E

8- 4 çocuklu bir aile 6 kişilik bir banka anne ile babanın arasına 2 çocuk oturmak şartıyla kaç farklı biçimde oturabilirler?

A)66 B)120 C)144 D)240 E)256 cevap C

9- “KARABAŞ” kelimesindeki harflerin yerleri değiştirilerek yazılabilecek 7 harfli anlamlı yada anlamsız kelimelerin kaç tanesinde A dan sonra B harfi gelir?

A)64 B)120 C) 230 D) 320 E)360 cevap E

Test

Yandaki şekilde noktalar kullanılarak en az iki köşesi çember üzerinde olmak üzere kaç farklı üçgen çizilebilir?(Çember üzerindeki herhangi iki nokta ile doğru üzerindeki herhangi bir nokta doğrusal değil)

A) 75 B) 85 C) 90 D) 95 E) 105 cevap D

10-

Yandaki şekilde noktalar kullanılarak en az iki köşesi çember üzerinde olmak üzere kaç farklı üçgen çizilebilir?(Çember üzerindeki herhangi iki nokta ile doğru üzerindeki herhangi bir nokta doğrusal değil)

A) 256 B) 315 C) 355 D) 395 E) 435 cevap D

11-

Test

1- A={0,1,2,3,4,5} kümesinin elemanlarıyla 3 basamaklı 400’den büyük, rakamları tekrarsız kaç tek sayı yazılabilir ?

A) 7 B) 12 C) 15 D) 18 E) 30 cevap E

2- 8 kişilik bir ailede en küçük çocuk anne ile baba arasında olmak üzere yuvarlak bir masa etrafında kaç değişik şekilde oturabilirler?

A) 2.5! B) 3!.5! C) 2.7! D)3.6! E)6! cevap C

3- “KAPKARA” kelimesinin harfleriyle 7 harfli anlamlı yada anlamsız kelimelerin kaç tanesi A ile başlar, fakat A ile bitmez?

A) 3! B) 4! C) D) 5! E) 6! cevap D

4- Farklı 3 matematik ve 2 Fizik kitabı, herhangi iki matematik kitabı yanyana gelmemek şartıyla kaç farklı biçimde sıralanabilir?

A)10 B) 12 C) 16 D) 18 E)24 cevap B

5- 1023355 sayısının rakamlarının yerleri değiştirilerek 7 basamaklı kaç farklı çift sayı yazılabilir?A) 220 B) 240 C) 260 D) 280 E) 300 cevap A

-Zor-

2

!5

Test -Zor-

6-

Şekildeki noktalardan kaç değişik doğru çizilebilir?

A) 16 B) 21 C) 22 D) 24 E)28

Şekildeki 9 noktadan üç tanesini köşe kabul eden kaç üçgen çizilebilir?

A) 84 B) 80 C) 72 D) 60 E) 48 cevap C

7-