infinitesimales hier wächst ihr wissen über das unendlich kleine prof. dr. dörte haftendorn,...

InfinitesimalesHier wächst Ihr Wissen über das

unendlich Kleine

Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, 2103 http://www.leuphana.de/matheomnibus

Infinitesimal ThinkingYour knowledge about infinitely

small objects increases.

Der ModellierungskreislaufEin erfundenes Beispiel:

16 Uhr Unfall mit Fahrerflucht in Hann. MündenEin Zeuge glaubt einen Transporter mit reichlich Werbeschrift gesehen zu haben.

Der Besitzer behauptet er sei um 16 Uhr gar nicht in Hann.Münden gewesen.

The Modelling CircuitA faked example:

At 4 pm o‘clock there had been an accident in H.-Münden, the driver escaped.A witness had seen a van with multiple commertial marking how the picture shows.

The owner affirm that at 4 o‘clock he had not been in H.-Münden.

Der ModellierungskreislaufUm 15 Uhr war er nachweislich noch in Bodenwerder, 80 km entfernt.

Der Fahrtenschreiber zeigt: Reale Situation

Länge der gefahrenen Strecke ist gesucht.

•Die Weser entsteht in Hannoversch Münden durch Zusammenfluss von Werra und Fulda. Sie durchfließt Niedersachen bis zur Nordsee. In Bodenwerder ist das Schloss des LügenbaronsFreiherr von Münchhausern. Er zog sich am eigenen Zopf aus dem Sumpf usw….

The Modeling CircuitAt 5 pm o‘clock he was verifiably still in Bodenwerder*, 80 km downstream the river Weser.

The trip recorder shows:real situation

We are interested in the length of his drive.

*Notice: the river Weser starts in Hannoversch Münden in Lower Saxony and goes

in the North Sea. In Boderwerder is the castle of the „Lying Lord Münchhausen“.

Der ModellierungskreislaufUm 15 Uhr war er nachweislich noch in Bodenwerder*, 80 km entfernt.

Der Fahrtenschreiber zeigt: Reale Situation

mathematisches Modell

Fläche unter der Modellkurve gesucht.

•Die Weser entsteht in Hannoversch Münden durch Zusammenfluss von Werra und Fulda. Sie durchfließt Niedersachen bis zur Nordsee. In Bodenwerder ist das Schloss des LügenbaronsFreiherr von Münchhausern. Er zog sich am eigenen Zopf aus dem Sumpf usw….

*Notice: the river Weser starts in Hannoversch Münden in Lower Saxony and goes

in the North Sea. In Boderwerder is the castle of the „Lying Lord Münchhausen“.

mathematical model

We search the area under the modeling curve.

Der ModellierungskreislaufUm 15 Uhr war er nachweislich noch in Bodenwerder, 80 km entfernt.

Der Fahrtenschreiber zeigt:Reale Situation

mathematische Lösungsidee

( )s v t d t Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, 2103 http://www.leuphana.de/matheomnibus

mathematical model

( )s v t d t mathematical idea of solving this

Der Modellierungskreislauf

( )s v t d t

Um 15 Uhr war er nachweislich noch in Bodenwerder, 80 km entfernt.

Der Fahrtenschreiber zeigt:Reale Situation

mathematische Lösungsidee

mathematische Antwort 60s km11

mathematical model

( )s v t d t

mathematical idea of solving this

mathematical solution 60s km

Funktionen werden zum Werkzeug

Funktionen beschreiben Zusammenhänge

Man erhält Antworten beim

Blick auf „das Ganze“ mit dem Integral

integer (lat.)= ganz

pane integrale (it.) = Vollkornbot

Man erhält punktuelle Antworten mit dem Differential

( )f x d x

, , '( )d y

d f f xd x 13

Functions Become a Tool

functions are describingconnections

You have solution with looking on on the whole issue with the Integral

integer (lat.)= whole

pane integrale (it.) = whohe –grain breadn

Youe have punctual solutions with the differential

( )f x d x

, , '( )d y

d f f xd x 14

Das IntegralMan erhält Antworten beim

Blick auf „das Ganze“ mit dem Integral

integer (lat.)= ganz

pane integrale (it.) = Vollkornbot

( )f x d x( )

af x d x

The Integral( )f x d x( )

af x d x

You have solution with looking on on the whole issue with the Integral

integer (lat.)= whole

pane integrale (it.) = whohe –grain bread

Das Riemannsche Integral

af x d x Bernhard Riemann

Abi 1846

Johanneum LüneburgOriginaltext aus „Gesammelte Werke“

The Riemannian Integral

af x d x Bernhard Riemann

Abitur 1846

Johanneum Lüneburgoriginal text out of „Gesammelte Werke“

On the conception of the definite integral and the range of its validity.……

So at first: What is the meaning of ? ( )b

af x d x

Riemannsches Integral( )b

af x d x

Bernhard Riemann

Abi 1846

Johanneum Lüneburg

, bei jeder Zerlegung denselben Grenzwert zu haben,Originaltext aus „Gesammelte Werke“

Riemannian Integral

af x d x

Bernhard Riemann

Abitur 1846

Johanneum Lüneburg

, to have the same limit with every dissection, original text out of „Gesammelte Werke“

If the function has not this property, so the symbol has no meaning.

af x d x

Das Integral als verallgemeinertes Produkt

as v t d t

WegGeschwindigkeit Zeit

Integral für 3D-Flächen, Volumen, Schwerpunkt, Bilanzen....

s v t v konstant ( )v v t variabel

The Integral as a Generalized Product

as v t d t

pathvelocity time

Integral for 3D-areas, volumes, balance points, balances,…

s v t v constant ( )v v t variable

as v t d t

aW F s d s

ArbeitKraft Weg

konstantF W F s ( )F F s

23Integral für 3D-Flächen, Volumen, Schwerpunkt, Bilanzen....

as v t d t

aW F s d s

pathvelocity time

workenergy

constantF W F s ( )F F s

as v t d t

aW F s d s

ArbeitEnergie

Kraft Weg

Integral für 3D-Flächen, Volumen, Schwerpunkt, Bilanzen....

konstantF W F s ( )F F s

variabelkonstantR U R I ( )R R I( )

aU R I d ISpannungWiderstand Stromstärke

as v t d t

aW F s d s

pathvelocity time

workenergy

constantF W F s ( )F F s

variableconstantR U R I ( )R R I( )

aU R I d Ivoltageresistor electric current

Ohn‘s law

Das Integral für den verallgemeinerten Mittelwert

Integral für Mittelwert und Bilanzen....

WetterTemperaturverlauf

17 14 214

2T T T T mittel

The Integral for the Generalized Mean

Integral for means and financial balances....

weathertemperature profile

17 14 214

2T T T T mean

Flächenbilanz=0

17 14 214

2T T T T mittel

Ist die Modellierung der

Metereologen

nicht viel zu grob?????

integral for means and balances....

balance of area =0

17 14 214

2T T T T mean

Is the modeling of the

meterologists too rough?

Flächenbilanz=0

17 14 214

2T T T T mittel

32integral for means and balances....

balance of area =0

17 14 214

2T T T T mean

Integral für 3D-Flächen, Volumen, Schwerpunkt, Bilanzen....33

1Mittelwert ( )

af x dx

Mittelwertder Funktionswerte

1mean ( )

af x dx

meanof the functions values

integral 3D-areas aund volumes, for means and balances....

Eigenschaften des Integrals

Intervall [A,B]

af x d x

Sind die Werte von f im ganzen Intervall negativ,dann ist auch das Integral negativ.

Properties of the Integrals

interval [A,B]

af x d x

If the values of f are negative in the whole intervalthan the integral is negativ.

Intervall [A,B]

af x d x

Das Integral ist eine Flächenbilanz mit negativen und positiven Flächen.

interval [A,B]

af x d x

The integral is a balance of areas with negative and positive values.

Intervall [A,B]

af x d x

Das Integral ist eine Flächenbilanz mit negativen und positiven Flächen.

Beim Vertauschen der Grenzenändert sich das Vorzeichendes Integrals

interval [A,B]

af x d x

By changing the borders the sign of the integral changes.

The integral is a balance of areas with negative and positive values.

Übungen zum Integral

Intervall [A,B]

af x d x 8, 20, 24

mögliche Werte

Exercise with the Integral

interval [A,B]

af x d x 8, 20, 24

possible values

Übungen zum Integral

Intervall [A,B]

af x d x 8, 20, 24

mögliche Werte

Exercise with the Integral

interval [A,B]

af x d x 8, 20, 24

possible values

Die Integralfunktion

„Teppich-Abroll-Funktion“ ( , ) : ( )x

aF x a f t d t

a ax x

The Integral Funktion

„carpet scrolling funktion“ ( , ) : ( )x

aF x a f t d t

a ax x

( , ) : ( )x

aF x a f t d t

„Teppich-Abroll-Funktion“

Ordinate von P zeigt die abgerollte Fläche an.47

( , ) : ( )x

aF x a f t d t

The ordinate of P shows the scrolled area.48

„carpet scrolling funktion“

( , ) : ( )x

aF x a f t d t

Der Zuwachs der Integralfunktionhängt nur vom Zuwachs der Fläche ab.Also sind die verschiedenenIntegralfunktionen an jederStelle x gleich steil.

(x ist hier die Stelle von B)

( , ) : ( )x

aF x a f t d t

The growth of the integral-functiondepends only on the growth of the area.Therefore all the different integral functions have in every position x the same slope.

(here x is the position of B)

( , ) : ( )x

aF x a f t d t

Alle Integralfunktionen

haben dieselbe Form.

An den Extremstellen

von F hat f eine Nullstelle.

An der Sattelstelle von F

hat f eine Berühr-Nullstelle.

Wo F eine Wendestelle hat, hat f eine Extremstelle.51

( , ) : ( )x

aF x a f t d t

All integral functionshave the same form.

In the extrem abscissas ofF the function f has a zero.

In the saddle-abscissa of Fthe function f has the x-axisas a tangent.

In the position of inflection of F there is an extreme position of f.52

Nochmal die Teppichabrollfunktion

Once Again the Carpet scrolling funktion

Die Intergralfunktion F von f =„Teppichabrollfunktion“

The Integral Function F von f =„ Carpet scrolling funktion“

Hauptsatz der Differential-und Integralrechnung

( ) '( )f x F xd. h. Alle Integralfunktionen F zu f mit beliebigem Start

haben ihr f auch als Ableitung. Sie heißen daher auch

„Stammfunktionen“ von f,

sie unterscheiden sich nur um eine

additive Konstante c. Man schreibt:

Principal Theorem of the Calculus

( ) '( )f x F xThat is: All integral functions F of f with arbitrary start

have their own f as their derivative. For that we call them

„antiderivative“ von f.

All possible F differ only in an

additive constant c. One write:

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