fazi relacije -...
Post on 18-Feb-2018
223 Views
Preview:
TRANSCRIPT
Fazi relacije
November 14, 2016
Fazi relacije
Kompletna reziduriana mreza
Reziduriana mreza
Algebra L = (L,∧,∨,⊗,→, 0, 1) takva da:(L1) (L,∧,∨, 0, 1) je mreza sa najmanjim elementom 0 i najvecim 1,(L2) (L,⊗, 1) je komutativni monoid sa jedinicom 1,(L3) ⊗ i→ formiraju adjungovani par tj vazi:
a ⊗ b 6 c ⇔ a 6 b→ c. (1)
Ako je jos (L,∧,∨, 0, 1) kompletna mreza, tada je L kompletna reziduirana mreza.
Mnozenje ⊗ i reziduum→ modeliraju konjukciju i implikaciju, respektivno.
Supremum∨
i infimum∧
modeliraju ekstenzivni i univerzalni kvantifikator.
Operacije na kompletnoj reziduiranoj mrezi
Biresiduum (ili biimplikacija) ↔ b = (a→ b) ∧ (b→ a).Negacija ¬a = a→ 0.N-ti stepen a0
= 1 i an+1= an ⊗ a.
Biimplikacija modelira ekvivalenciju istinitosnih vrednosti, a negacija komplement.
Fazi relacije
Kompletna reziduriana mreza
Reziduriana mreza
Algebra L = (L,∧,∨,⊗,→, 0, 1) takva da:(L1) (L,∧,∨, 0, 1) je mreza sa najmanjim elementom 0 i najvecim 1,(L2) (L,⊗, 1) je komutativni monoid sa jedinicom 1,(L3) ⊗ i→ formiraju adjungovani par tj vazi:
a ⊗ b 6 c ⇔ a 6 b→ c. (1)
Ako je jos (L,∧,∨, 0, 1) kompletna mreza, tada je L kompletna reziduirana mreza.
Mnozenje ⊗ i reziduum→ modeliraju konjukciju i implikaciju, respektivno.
Supremum∨
i infimum∧
modeliraju ekstenzivni i univerzalni kvantifikator.
Operacije na kompletnoj reziduiranoj mrezi
Biresiduum (ili biimplikacija) ↔ b = (a→ b) ∧ (b→ a).Negacija ¬a = a→ 0.N-ti stepen a0
= 1 i an+1= an ⊗ a.
Biimplikacija modelira ekvivalenciju istinitosnih vrednosti, a negacija komplement.
Fazi relacije
Kompletna reziduriana mreza
Reziduriana mreza
Algebra L = (L,∧,∨,⊗,→, 0, 1) takva da:(L1) (L,∧,∨, 0, 1) je mreza sa najmanjim elementom 0 i najvecim 1,(L2) (L,⊗, 1) je komutativni monoid sa jedinicom 1,(L3) ⊗ i→ formiraju adjungovani par tj vazi:
a ⊗ b 6 c ⇔ a 6 b→ c. (1)
Ako je jos (L,∧,∨, 0, 1) kompletna mreza, tada je L kompletna reziduirana mreza.
Mnozenje ⊗ i reziduum→ modeliraju konjukciju i implikaciju, respektivno.
Supremum∨
i infimum∧
modeliraju ekstenzivni i univerzalni kvantifikator.
Operacije na kompletnoj reziduiranoj mrezi
Biresiduum (ili biimplikacija) ↔ b = (a→ b) ∧ (b→ a).Negacija ¬a = a→ 0.N-ti stepen a0
= 1 i an+1= an ⊗ a.
Biimplikacija modelira ekvivalenciju istinitosnih vrednosti, a negacija komplement.
Fazi relacije
Kompletna reziduriana mreza
Strukture istinitosnih vrednosti
Najcesce proucavane strukture istinitosnih vrednosti, definisane su na intervalu [0, 1]sa:
a ∧ b = min(a, b) i a ∨ b = max(a, b)
su: Łukasijeviceva struktura:
a ⊗ b = max(a + b − 1, 0), a→ b = min(1 − a + b, 1),
Goguen-ova (proizvod) struktura:
a ⊗ b = a · b, a→ b =
1, ako a 6 b,b/a, inace,
i Godel-ova struktura:
a ⊗ b = min(a, b), a→ b =
1, ako a 6 b,b, inace.
Fazi relacije
Kompletna reziduriana mreza
Strukture istinitosnih vrednosti
Najcesce proucavane strukture istinitosnih vrednosti, definisane su na intervalu [0, 1]sa:
a ∧ b = min(a, b) i a ∨ b = max(a, b)
su: Łukasijeviceva struktura:
a ⊗ b = max(a + b − 1, 0), a→ b = min(1 − a + b, 1),
Goguen-ova (proizvod) struktura:
a ⊗ b = a · b, a→ b =
1, ako a 6 b,b/a, inace,
i Godel-ova struktura:
a ⊗ b = min(a, b), a→ b =
1, ako a 6 b,b, inace.
Fazi relacije
Kompletna reziduriana mreza
Bulova struktura
Sledeci vazan skup istinitosnih vrednosti je skup {a0, a1, . . . , an}, 0 = a0 < · · · < an = 1, sa
ak ⊗ al = amax(k+l−n,0) i ak → al = amin(n−k+l,n).
Specijalan slucaj ove algebre je dvoelementna Bulova algebra klasicne logike sa skupom{0, 1}.Jedini adjungovani par dvoelementne Bulove algebre cine klasicna konjunkcija
∧i
implikacija→.
Ova strukutura se naziva Bulova struktura.
Reziduum
Vazno je naglasiti da je reziduum izoton po drugom i antiton po prvom argumentu.
Fazi relacije
Kompletna reziduriana mreza
Bulova struktura
Sledeci vazan skup istinitosnih vrednosti je skup {a0, a1, . . . , an}, 0 = a0 < · · · < an = 1, sa
ak ⊗ al = amax(k+l−n,0) i ak → al = amin(n−k+l,n).
Specijalan slucaj ove algebre je dvoelementna Bulova algebra klasicne logike sa skupom{0, 1}.Jedini adjungovani par dvoelementne Bulove algebre cine klasicna konjunkcija
∧i
implikacija→.
Ova strukutura se naziva Bulova struktura.
Reziduum
Vazno je naglasiti da je reziduum izoton po drugom i antiton po prvom argumentu.
Fazi relacije
Kompletna reziduriana mreza
Bulova struktura
Sledeci vazan skup istinitosnih vrednosti je skup {a0, a1, . . . , an}, 0 = a0 < · · · < an = 1, sa
ak ⊗ al = amax(k+l−n,0) i ak → al = amin(n−k+l,n).
Specijalan slucaj ove algebre je dvoelementna Bulova algebra klasicne logike sa skupom{0, 1}.Jedini adjungovani par dvoelementne Bulove algebre cine klasicna konjunkcija
∧i
implikacija→.
Ova strukutura se naziva Bulova struktura.
Reziduum
Vazno je naglasiti da je reziduum izoton po drugom i antiton po prvom argumentu.
Fazi relacije
Kompletna reziduriana mreza
t-norma
t-norm je binarna operacija na intervalu [0, 1] koja je asocijativna, komutativna, mono-tona, sa jedinicom 1, tj. ⊗ je preslikavanje ⊗ : [0, 1] × [0, 1] → [0, 1] koje zadovoljavasledece uslove:
(a ⊗ b) ⊗ c = a ⊗ (b ⊗ c),
a ⊗ b = b ⊗ a,b1 6 b2 ⇒ a ⊗ b1 6 a ⊗ b2,
a ⊗ 1 = a.
Algebra ([0, 1],∨,∧,⊗,→, 0, 1) je kompletna reziduirana mreza ako i samo ako je ⊗ levo-neprekidna t-norma (tj. limn→∞(an ⊗ b) = (limn→∞an)⊗ b) i tada je reziduum definisan sax→ y =
∨{u ∈ [0, 1] |u ⊗ x 6 y}.
Sve strukture: the Łukasijeviceva, Goguen-ova i Godel-ova su reziduirane mrezeidnukovane t-normom.
Fazi relacije
Kompletna reziduriana mreza
t-norma
t-norm je binarna operacija na intervalu [0, 1] koja je asocijativna, komutativna, mono-tona, sa jedinicom 1, tj. ⊗ je preslikavanje ⊗ : [0, 1] × [0, 1] → [0, 1] koje zadovoljavasledece uslove:
(a ⊗ b) ⊗ c = a ⊗ (b ⊗ c),
a ⊗ b = b ⊗ a,b1 6 b2 ⇒ a ⊗ b1 6 a ⊗ b2,
a ⊗ 1 = a.
Algebra ([0, 1],∨,∧,⊗,→, 0, 1) je kompletna reziduirana mreza ako i samo ako je ⊗ levo-neprekidna t-norma (tj. limn→∞(an ⊗ b) = (limn→∞an)⊗ b) i tada je reziduum definisan sax→ y =
∨{u ∈ [0, 1] |u ⊗ x 6 y}.
Sve strukture: the Łukasijeviceva, Goguen-ova i Godel-ova su reziduirane mrezeidnukovane t-normom.
Fazi relacije
Kompletna reziduriana mreza
Osobine reziduiranih mreza
Za svaku reziduiranu mrezu vazi sledece:
b 6 a→ (a ⊗ b), a 6 (a→ b)→ b, (2)
a ⊗ (a→ b) 6 b, (3)
a 6 b ⇔ a→ b = 1, (4)
a→ a = 1, a→ 1 = 1, 1→ a = a, (5)
0→ a = 1, (6)
a ⊗ 0 = 0 ⊗ a = 0, (7)
a ⊗ b 6 a, a 6 b→ a, (8)
a ⊗ b 6 a ∧ b, (9)
a→ b je najmanji element skupa {c | a ⊗ c 6 b} (10)
a ⊗ b je najveci element skupa {c | a 6 b→ c}. (11)
Fazi relacije
Kompletna reziduriana mreza
Osobine reziduiranih mreza
a ⊗(∨
i∈I
bi)=
∨
i∈I
(a ⊗ bi), (12)
a→(∧
i∈I
bi)=
∧
i∈I
(a→ bi), (13)
(∨
i∈I
ai)→ b =
∧
i∈I
(ai → b), (14)
∨
i∈I
(ai → b) =(∧
i∈I
ai)→ b, (15)
a ⊗∧
i∈I
bi 6∧
i∈I
(a ⊗ bi). (16)
∧
i∈I
(ai → bi) 6(∧
i∈I
ai)→(∧
i∈I
bi)
(17)
∧
i∈I
(ai → bi) 6(∨
i∈I
ai)→(∨
i∈I
bi)
(18)
∨
i∈I
(a→ bi) 6 a→(∨
i∈I
bi)
(19)
Fazi relacije
Kompletna reziduriana mreza
Osobine reziduiranih mreza
a ⊗(∨
i∈I
bi)=
∨
i∈I
(a ⊗ bi), (12)
a→(∧
i∈I
bi)=
∧
i∈I
(a→ bi), (13)
(∨
i∈I
ai)→ b =
∧
i∈I
(ai → b), (14)
∨
i∈I
(ai → b) =(∧
i∈I
ai)→ b, (15)
a ⊗∧
i∈I
bi 6∧
i∈I
(a ⊗ bi). (16)
∧
i∈I
(ai → bi) 6(∧
i∈I
ai)→(∧
i∈I
bi)
(17)
∧
i∈I
(ai → bi) 6(∨
i∈I
ai)→(∨
i∈I
bi)
(18)
∨
i∈I
(a→ bi) 6 a→(∨
i∈I
bi)
(19)
Fazi relacije
Fazi skupovi i fazi relacije
Fazi podskup skupa A
Svako preslikavanje iz A u L.Obican podskup od A je fazi podskup od A koji uzima vrednost u skupu {0, 1} ⊆ L.
Jednakost fazi skupova
Neka su f i g fazi podskupovi skupa A.Jedankost f i g se definise kao jednakost preslikavanja tj.,
f = g ako i samo ako f (x) = g(x), za sve x ∈ A.
Inkluzija fazi skupova
Inkluzija f 6 g je definise na sledeci nacin:
f 6 g ako i samo ako f (x) 6 g(x), za sve x ∈ A.
Fazi relacije
Fazi skupovi i fazi relacije
Fazi podskup skupa A
Svako preslikavanje iz A u L.Obican podskup od A je fazi podskup od A koji uzima vrednost u skupu {0, 1} ⊆ L.
Jednakost fazi skupova
Neka su f i g fazi podskupovi skupa A.Jedankost f i g se definise kao jednakost preslikavanja tj.,
f = g ako i samo ako f (x) = g(x), za sve x ∈ A.
Inkluzija fazi skupova
Inkluzija f 6 g je definise na sledeci nacin:
f 6 g ako i samo ako f (x) 6 g(x), za sve x ∈ A.
Fazi relacije
Fazi skupovi i fazi relacije
Fazi podskup skupa A
Svako preslikavanje iz A u L.Obican podskup od A je fazi podskup od A koji uzima vrednost u skupu {0, 1} ⊆ L.
Jednakost fazi skupova
Neka su f i g fazi podskupovi skupa A.Jedankost f i g se definise kao jednakost preslikavanja tj.,
f = g ako i samo ako f (x) = g(x), za sve x ∈ A.
Inkluzija fazi skupova
Inkluzija f 6 g je definise na sledeci nacin:
f 6 g ako i samo ako f (x) 6 g(x), za sve x ∈ A.
Fazi relacije
Fazi skupovi i fazi relacije
Mreza fazi skupova
Zajedno sa operacijom inkluzije kao pracijalnim uredjenjem skup F (A) svih fazi pod-skupova od A cini kompletnu reziduiranu mrezu, u kojoj su presek
∧i∈I fi i unija
∨i∈I fi
proizvoljne familije {fi}i∈I fazi podskupovi od A definisani sa:
∧
i∈I
fi
(x) =
∧
i∈I
fi(x),
∨
i∈I
fi
(x) =
∨
i∈I
fi(x),
i proizvod f ⊗ g fazi podskupova definisan je sa
f ⊗ g(x) = f (x) ⊗ g(x), za svako x ∈ A.
Ceo deo
Fazi podskupa f ∈ F (A) je obican podskup od A:
f = {a ∈ A | f (a) = 1}
Fazi relacije
Fazi skupovi i fazi relacije
Fazi relacija
Izmedju skupova A i B ( tim redom) je preslikavanje iz A×B u L, tj. , svaki fazi podskupskupa A × B.Jednakost, inkluzija (uredjenje ), unija i presek fazi relacija se definisu isto kao u slucajufazi skupova.Skup svih fazi relacija izmedju A i B bice oznacen sa R(A,B).Specijalno, fazi relacija na skupu A je svaka funkcija iz A ×A u L, tj., svaki fazi podskupskupa A × A. Skup svih fazi relacija na A bice oznacen sa R(A).
Inverz
Fazi relacije ϕ ∈ R(A,B) is a fuzzy relation ϕ−1 ∈ R(B,A) defined by
ϕ−1(b, a) = ϕ(a, b), for all a ∈ A and b ∈ B.
Krisp relacija
Fazi relacija koja uzima vrednosti samo u skupu {0, 1}, i ako je ϕ krisp relacija iz A u B,tada izraz ”ϕ(a, b) = 1” i ”(a, b) ∈ ϕ” imaju isto znacenje.
Fazi relacije
Fazi skupovi i fazi relacije
Fazi relacija
Izmedju skupova A i B ( tim redom) je preslikavanje iz A×B u L, tj. , svaki fazi podskupskupa A × B.Jednakost, inkluzija (uredjenje ), unija i presek fazi relacija se definisu isto kao u slucajufazi skupova.Skup svih fazi relacija izmedju A i B bice oznacen sa R(A,B).Specijalno, fazi relacija na skupu A je svaka funkcija iz A ×A u L, tj., svaki fazi podskupskupa A × A. Skup svih fazi relacija na A bice oznacen sa R(A).
Inverz
Fazi relacije ϕ ∈ R(A,B) is a fuzzy relation ϕ−1 ∈ R(B,A) defined by
ϕ−1(b, a) = ϕ(a, b), for all a ∈ A and b ∈ B.
Krisp relacija
Fazi relacija koja uzima vrednosti samo u skupu {0, 1}, i ako je ϕ krisp relacija iz A u B,tada izraz ”ϕ(a, b) = 1” i ”(a, b) ∈ ϕ” imaju isto znacenje.
Fazi relacije
Fazi skupovi i fazi relacije
Fazi relacija
Izmedju skupova A i B ( tim redom) je preslikavanje iz A×B u L, tj. , svaki fazi podskupskupa A × B.Jednakost, inkluzija (uredjenje ), unija i presek fazi relacija se definisu isto kao u slucajufazi skupova.Skup svih fazi relacija izmedju A i B bice oznacen sa R(A,B).Specijalno, fazi relacija na skupu A je svaka funkcija iz A ×A u L, tj., svaki fazi podskupskupa A × A. Skup svih fazi relacija na A bice oznacen sa R(A).
Inverz
Fazi relacije ϕ ∈ R(A,B) is a fuzzy relation ϕ−1 ∈ R(B,A) defined by
ϕ−1(b, a) = ϕ(a, b), for all a ∈ A and b ∈ B.
Krisp relacija
Fazi relacija koja uzima vrednosti samo u skupu {0, 1}, i ako je ϕ krisp relacija iz A u B,tada izraz ”ϕ(a, b) = 1” i ”(a, b) ∈ ϕ” imaju isto znacenje.
Fazi relacije
Fazi skupovi i fazi relacije
Kompozicija fazi relacija
Neka su A, B i C neprazni skupovi, i neka je ϕ ∈ R(A,B) i ψ ∈ R(B,C).Kompozicija ϕ ◦ ψ je fazi relacija iz R(A,C) definisana sa
(ϕ ◦ ψ)(a, c) =∨
b∈B
ϕ(a, b) ⊗ ψ(b, c), (20)
za sve a ∈ A i c ∈ C.Ako je f ∈ F (A), ϕ ∈ R(A,B) i g ∈ F (B), kompozicija f ◦ ϕ i ϕ ◦ g su fazi podskup od B iA, respektivno, definisani na sledeci nacin:
(f ◦ ϕ)(b) =∨
a∈A
f (a) ⊗ ϕ(a, b), (ϕ ◦ g)(a) =∨
b∈B
ϕ(a, b) ⊗ g(b), (21)
za svako a ∈ A i b ∈ B.Za fazi podskupove f i g od A pisemo
f ◦ g =∨
a∈A
f (a) ⊗ g(a). (22)
Fazi relacije
Fazi skupovi i fazi relacije
Kompozicija fazi relacija
Neka su A, B, C i D neprazni skupovi. Tada za sve ϕ1 ∈ R(A,B), ϕ2 ∈ R(B,C) iϕ3 ∈ R(C,D) imamo:
(ϕ1 ◦ ϕ2) ◦ ϕ3 = ϕ1 ◦ (ϕ2 ◦ ϕ3), (23)
i za ϕ0 ∈ R(A,B), ϕ1, ϕ2 ∈ R(B,C) i ϕ3 ∈ R(C,D) imamo:
ϕ1 6 ϕ2 povlaci ϕ0 ◦ ϕ1 6 ϕ0 ◦ ϕ2 i ϕ1 ◦ ϕ3 6 ϕ2 ◦ ϕ3. (24)
Za sve ϕ ∈ R(A,B), ψ ∈ R(B,C), f ∈ F (A), g ∈ F (B) i h ∈ F (C) lako je pokazati:
(f ◦ ϕ) ◦ ψ = f ◦ (ϕ ◦ ψ), (f ◦ ϕ) ◦ g = f ◦ (ϕ ◦ g), (ϕ ◦ ψ) ◦ h = ϕ ◦ (ψ ◦ h), (25)
i stoga zagrade u (25) mogu biti izostavljene, kao i u (23).
Fazi relacije
Fazi skupovi i fazi relacije
Kompozicija fazi relacija
Za sve ϕ,ϕi ∈ R(A,B), (i ∈ I) i ψ,ψi ∈ R(B,C), (i ∈ I) imamo da vazi
(ϕ ◦ ψ)−1= ϕ−1 ◦ ψ−1 (26)
ϕ ◦(∨
i∈I
ψi)=
∨
i∈I
(ϕ ◦ ψi),(∨
i∈I
ϕi)◦ ψ =
∨
i∈I
(ϕi ◦ ψ) (27)
(∨
i∈I
ϕi)−1=
∨
i∈I
ϕ−1i . (28)
Matricni prikaz
Ako su A, B i C konacni skupovi, kardinalnosti redom |A| = k, |B| = m i |C| = n, tadaϕ ∈ R(A,B) i ψ ∈ R(B,C) mogu biti posmatrani kao k × m i m × n fazi matrice nad L, iϕ ◦ ψ je proizvod matrica .Analogno, za f ∈ F (A) i g ∈ F (B), kompoziciju f ◦ϕ tretiramo kao prizvod 1× k matricef i k ×m matrice ϕ (vector-matrica proizvod), ϕ ◦ g kao proizvod k ×m matrice ϕ i m× 1matrice gt, transponovano g (matrica -vektor proizvod), i f ◦ g kao skalarni proizvodvektora f i g.
Fazi relacije
top related