Algjebra Lineare

T. Shaska

T. ShaskaDepartment of MathematicsOakland UniversityRochester Hills, MI, 48309.USA

Mathematics Subject Classification (2000): 15-01, 15-00, 15A03, 15A21

Library of Congress Cataloging-in-Publication DataShaska, Tanush.

Algjebra Lineare/Shaska Tanush.Includes bibliographical references and index.ISBN-13: 978-0-97545-414-5ISBN-10: 0-9754541-4-5

c©2010 AulonnaPress:All rights reserved. This book can not be translated or copied in whole or in part without the written consent of thepublisher (AulonnaPress, 8902 El Dorado, White Lake, MI, 48386). Use in connection with any form of informationstorage and retrieval, electronic adaptation, computer software, or similar known or unknown technology is forbid-den. Any use of this book without written permission of the publisher will be prosecuted to the full extent of the law.

c©2010 AulonnaPress:Të gjitha të drejtat e rezervuara. Ky libër nuk mund të përkthehet ose kopjohet pjesërisht ose i gjithë pa lejen eshkruar të botuesit (AulonnaPress, 8902 El Dorado, White Lake, MI, 48386). Përdorimi i materialit të këtij libri nëçdo lloj forme, adoptim elektronic, software, or forma të ngjashme të njohura ose të panjohura është plotësisht indaluar. Çdo lloj përdorimi i këtij libri pa lejen e shkruar të botuesit do të dënohet me forcën e plotë te ligjit sipasstandarteve ndërkombëtare.

Second Edition: 2010

ISBN-13: 978-0-97545-414-5ISBN-10: 0-9754541-4-5

Parathënie

Ky libër është versioni elektronic i botimit të parë të Algjebrës Lineare [64] botuar në Shqip në 2009. Ishtepikërisht botimi i këtij libri që nisi vazhdën e botimeve të tjera në gjuhën Shqipe si [43], [46], [44]. Këto tekstepërbëjnë bazën kryesore të formimit matematik për studentët e shkencave natyrore dhe shumicës së degëve tëinxhinjerisë për të vazhduar me tekstet më speciale për studentët e matematikës si [65], [66], [45].

Ky libër është një kordinim i metodave llogaritëse dhe atyre teorike për të dhënë tek lexuesi një ide mbi aspektetteorike të algjbrës lineare dhe zbatimeve të saj në fushat e tjera. Rëndësi i është kushtuar pjesës algoritmike përt’u dhënë studentëve një shije të implementimit të disa prej këtyre metodave. Ne kemi qënë mjaft të kursyer nëzgjedhjen e temave që u përfshin në këtë tekst për vete faktin se ky libër është shkruar me synimin që do të përdoretvetëm gjatë një semestri. Në fund të librit është një listë e gjatë e disa prej teksteve bashkëkohore dhe disa mëhistorike për lexuesin, i cili do që të thellohet në fushën e algjbrës lineare.

Unë nuk pretendoj origjinalitetin e asnjë prej rezultateve të këtij libri, po është e pamundur të përmendësh pasçdo rezultati autorin origjinal. Megjithatë, unë nxitoj të marr mbi vete çdo gabim që ky libër mund të ketë, pasi këtojanë gabime të miat dhe në asnjë mënyrë të autorëve origjinalë. Të gjitha vërejtjet e korrigjimet janë të mirëpriturae ndoshta do të më ndihmojnë në përgatitjen e një botimi të dytë në të ardhmen.

Këto leksione janë shkruar kryesisht për studentët e vitit të parë e të dytë të universitetit për degët e matematikës,informatikës dhe inxhinierisë. Fillimet e tyre i kanë në vitin 2001-2003 kur unë dhashë disa herë rresht lëndën ealgjebrës lineare në University of California-Irvine. Në vitin 2004 u botua i pari version i këtij libri në anglisht, i ciliështë përdorur si tekst në University of Idaho dhe Oakland University.

Algjebra lineare është një nga degët më klasike dhe më të bukura të matematikës. Bazat e saj janë një gërshetimi metodave dhe problemeve të gjeometrisë analitike dhe algjebrës. Disa interpretime të problemeve të tilla mundtë gjendet në [33]. Në një botim të ardhshëm të këtij libri ne synojmë një përqasje më historike të subjektit dhe njëgërshetim më të mirë me gjeometrine analitike.

Autori

3

Përmbajta

1 Vektorët, matricat dhe sistemet lineare 151.1 Hapësira Euklidiane Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.2 Norma e një vektori dhe produkti skalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.3 Matricat dhe algjebra e tyre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201.4 Sistemet lineare të ekuacioneve, metoda e Gaussit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241.5 Forma e reduktuar row-eçelon, metoda Gauss-Xhordan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291.6 Matricat e anasjellta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

2 Hapësirat vektoriale 452.1 Përkufizimi i hapësirave vektoriale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 452.2 Bazat dhe dimensionet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 492.3 Hapësira nul dhe rangu i një matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 552.4 Shuma, shuma direkte dhe prodhimi direkt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 592.5 Funksionet lineare ndërmjet hapësirave vektoriale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 632.6 Matricat e shoqëruara me funksionet lineare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 672.7 Ndryshimi i bazave . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 712.8 Ushtrime përsëritje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

3 Përcaktorët, eigenvlerat, eigenvektorët 773.1 Përcaktorët . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 773.2 Rregulli i Kramerit dhe matricat axhoint . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 833.3 Eigenvlerat, eigenvektorët dhe eigenhapësirat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 883.4 Metodat iterative për gjetjen e eigenvlerave . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 923.5 Matrica të ngjashme, diagonalizimi i matricave. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 923.6 Ushtrime përsëritje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

4 Format kanonike 1014.1 Vetitë elementare të polinomëve . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1014.2 Matrica shoqeruese, polinomi minimal, forma normale e Smithit. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1044.3 Forma racionale kanonike . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1094.4 Teorema e Caylay-Hamilton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1114.5 Forma kanonike e Xhordanit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1144.6 Ushtrime Përsëritje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

5 Prodhimi i brendshëm dhe Ortogonaliteti 1215.1 Prodhimi i brendshëm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1215.2 Bazat ortogonale, proçesi i ortogonalizimit të Gram-Schmidt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1255.3 Teorema e Sylvesterit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1285.4 Hapësira duale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1295.5 Ushtrime përsëritje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

5

6 Operatorët në hapësirat e brendshme 1336.1 Operatorët në hapësirat e brendshme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1336.2 Operatorët Hermitian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1336.3 Operatorët unitary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134

7 Aplikime të Algjebrës Lineare 1357.1 Aplikime në ekuacionet diferenciale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1357.2 Metoda e katrorëve më të vegjël . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141

Kapitulli 1

Vektorët, matricat dhe sistemet lineare

E nisim këtë kapitull me konceptin e njohur të hapësirave Euk-lidiane (p.sh. Rn). Normën dhe produktin skalar të vektorëve do tistudiojmë në kreun e dytë. Më vonë do të prezantojmë matricat dhealgjebrën e tyre. Përdorimi i matricave për zgjidhjen e sistemeve lin-eare të ekuacioneve përfshin gjetjen e formës row-eçelon dhe formëne reduktuar row-eçelon të matricës. Këto proçese quhen algoritmii Gaussit dhe algoritmi Gauss-Xhordan, të cilat do ti studiojmë nëkreun 4 dhe 5.

Në kreun 6 do të studiojmë matricat e anasjellta dhe algoritmetpër të gjetur këto matrica.

y

z

x

plane-yz

plane-xy

plane-

xz

Figura 1.1: Hapësira Euklidiane R3.

1.1 Hapësira Euklidiane Rn

Ne njohim konceptin e një vektori në planin e numrave realë R2. Fillimisht ne do të përsërisim disa nga vetitë evektorëve në R2 dhe pastaj do ti zgjerojmë këto koncepte në Rn.

Një vektor në R2 është një çift i renditur

v := (v1, v2), ku v1, v2 ∈ R.

Për çdo dy vektorë u = (u1,u2), v = (v1, v2) përkufizojmë mbledhjen dhe shumëzimin skalar në të njëjtën mënyrë

u + v := (u1 + v1,u2 + v2),r · u := (ru1, ru2),

(1.1)

ku r ∈ R. Nga ana gjeometrike shumëzimi me një skalar r u përshkruhet në Fig. 1.2, ku r u është një vektor i ri medrejtim të njëjtë si u dhe gjatësi r-herë më shumë se gjatësia e u-së.

Mbledhja e dy vektorëve u dhe v gjeometrikisht përshkruehet si në Fig. 1.3.Një hapësirë Euklidiane është bashkësia

Rn := {(x1, . . . , xn) | xi ∈ R}

ku mbledhja dhe shumëzimi skalar janë të përkufizuar si më poshtë.Për çdo u,v ∈ Rn të tillë që

u = (u1, . . . ,un), v = (v1, . . . , vn) (1.2)

15

Algjebra Shaska T.

~u

~ru

~u

Figura 1.2: Shumëzimi me një skalar

~v~u + ~v

~u

~u

~v~u + ~v

~v

~u

Figura 1.3: Mbledhja e vektorëve

përkufizojmë

u + v := (u1 + v1, . . . ,un + vn)r v := (rv1, . . . , rvn).

(1.3)

Elementët e Rn quhen vektorë dhe elementët r ∈ R quhen skalarë. Vektori

0 = (0, . . . , 0)

quhet vektori zero. Kemi vetitë e mëposhtme.

Teorema 1.1. Le të jenë u,v,w vektorë në Rn dhe r, s skalar në R. Pohimet e mëposhtme janë të vërteta:

1) (u + v) + w = u + (v + w),2) u + v = v + u,3) 0 + u = u + 0 = u,4) u + (−u) = 0,5) r (u + v) = ru + rv,6) (r + s) u = r u + s u,7) (rs) u = r (s u),8) 1 u = u.

Vërtetim: Vërtetimet i lihen lexuesit si ushtrime.Dy vektorë v = (v1, . . . , vn) dhe u = (u1, . . . ,un) quhen vektorë paralelë në qoftë se ekziston një r ∈ R e tillë qëv = r u.

Përkufizim 1.1. Janë dhënë vektorët v1, . . . ,vn ∈ Rn dhe r1, . . . , rn ∈ R, vektori

r1v1 + · · · + rnvn

quhet kombinim linear i vektorëve v1, . . . , vn.

16 c©AulonaPress

Shaska T. Algjebra

Përkufizim 1.2. Le të jenë v1, . . . ,vn vektorë në Rn. Hapësira e gjeneruar nga këta vektorë e shënuar meSpan (v1, . . . ,vn), është bashkësia në Rn e të gjitha kombinimeve lineare të v1, . . . ,vn.

Span (v1, . . . ,vn) = {r1v1 + · · · + rnvn | ri ∈ R}

Përkufizim 1.3. Vektorët u1, . . . ,un quhen linearisht të pavarur në qoftë se

r1u1 + · · · + rnun = 0

si rrjedhimr1 = · · · = rn = 0,

në të kundërt, themi se u1, . . . ,un janë linearisht të varur.

Ushtrime:

1. Vërteto se përkufizimi formal i mbledhjes dhe shumëzimit skalar në R2 pajtohet me interpretimin gjeometrik të mbledhjesdhe shumëzimit të vektorëve.

2. Le të jenë v = (3, 5,−1), u = (1, 1, 7) dhe w = (0, 3, 4). Gjej 2u + 3v −w.

3. Le të jenë dhënë v = (1, 2,−1), u = (3, 6,−6). Gjej 2u + 3v.

4. Le të jenë dhënë v = (3, 5) dhe u = (5, 6). Gjej skalarët r, s të tillë që r v + s u = (5, 11).

5. Çfarë domethënë për vektorët u,v ∈ R2 të jenë linearisht të varur?

6. Çfarë është span i (0, 1) dhe (1, 0) në R2?

7. Le të jenë dhënë u = (1, 2, 0) dhe v = (3, 4, 0). A mund të jetë w = (1, 1, 1) një kombinim linear i u dhe v? Çfarë ështëgjeometrikisht spani i u dhe v?

8. Gjej sipërfaqen e trekëndëshit të përcaktuar nga vektorët u = (1, 2, 2) dhe v = (2, 2,−3).

9. A është trekëndëshi me kulme A = (1,−3,−2), B = (2, 0,−4), dhe C = (6,−2,−5) këndrejtë?

10. Le të jetë c një numër realë pozitiv dhe O1, O2 pika në planin xy me koordinata (c, 0) dhe (−c, 0) respektivisht. Gjej njëekuacion i cili përshkruan të gjitha pikat P të planit xy të tilla që

||

→

PO1|| + ||→

PO2|| = 2a,

për a > c.

1.2 Norma e një vektori dhe produkti skalar

Tani do të studiojmë dy koncepte shumë të rëndësishme të hapësirave Euklidiane; atë të produktit skalar dhenormës. Konceptin e produktit skalar do ta përgjithësojmë në Kap 4 për çdo hapësirë vektoriale.

Përkufizim 1.4. Le të jetë dhënë u := (u1, . . . ,un) ∈ Rn. Norma e u-së, e shënuar me ‖u‖, përkufizohet si më poshtë

‖u‖ =√

u21 + · · · + u2

n

Norma ka vetitë e mëposhtme:

Teorema 1.2. Për çdo dy vektorë u,v ∈ Rn dhe çdo skalar r ∈ R pohimet e mëposhtme janë të vërteta:i) ‖u‖ ≥ 0 dhe ‖u‖ = 0 atëherë dhe vetëm atëherë kur u = 0ii) ‖ru‖ = |r| ‖u‖iii) ‖u + v‖ ≤ ‖u‖ + ‖u‖

c©AulonaPress 17

Algjebra Shaska T.

Vërtetim: Vërtetimet e pikave i) dhe ii) janë të thjeshta dhe janë lënë si ushtrime. Vërtetimi i pikës iii) bëhet nëLemën 1.1.

Një vektor njësi ështe një vektor me normë 1. Kini parasysh se për çdo vektor jo-zero u vektori u‖u‖ është vektor

njësi.

Përkufizim 1.5. Le të jenëu := (u1, . . . ,un), v := (v1, . . . , vn)

vektorë në Rn. Produkti skalar i u dhe v (ndonjëherë quhet produkt i brendshëm) përkufizohet si më poshtë:

u · v := u1v1 + · · · + unvn,

dhe ndonjëherë shënohet me 〈u,v〉.

Identiteti i mëposhtëm‖v‖2 = v · v

është shumë i rëndesishëm në ushtrime.

Lema 1.1. Produkti skalar ka vetitë e mëposhtme:i) u · v = v · uii) u · (v + w) = u · v + u ·wiii) r (u · v) = (r u) · v = u · (rv)iv) u · u ≥ 0, dhe u · u = 0 atëherë dhe vetëm atëherë kur u = 0

Vërtetim: Përdor përkufizimin e produktit skalar për të kontrolluar i) deri iv).Dy vektorë u,v ∈ Rn quhen pingulë në qoftë se

u · v = 0.

Lema 1.2. (Inekuacioni Koshi-Schwarc) Le të jenë u dhe v dy vektorë në Rn. Atëherë

|u · v| ≤ ||u|| ||v||

Vërtetim: Në qoftë se një nga vektorët është vektori zero, atëherë inekuacioni është i qartë. Pra, supozojmë se u,vjanë vektorë jozero.

Për çdo r, s ∈ Rn kemi ‖rv + su‖ ≥ 0. Atëherë,

‖rv + su‖2 = (rv + su) · (rv + su)

= r2 (v · v) + 2rs (v · u) + s2 (u · u) ≥ 0

Marrim r = u · u dhe s = −v · u. Duke zëvendësuar në shprehjen e mësipërme, kemi:

‖rv + su‖2 = (u · u)2 (v · v) − 2(u · u) (v · u)2 + (v · u)2 (u · u)

= (u · u)[(u · u)(v · v) − (v · u)2

]≥ 0

Meqënëse (u · u) = ‖u‖2 > 0 atëherë[(u · u)(v · v) − (v · u)2

]≥ 0. Kështu që,

(v · u)2≤ (u · u) (v · v) = ‖u‖2 · ‖v‖2

dhe|u · v| ≤ ||u|| · ||v||.

Lema 1.3. (Inekuacioni i trekëndëshit ) Për çdo dy vektorë v,u në Rn kemi

‖v + u‖ ≤ ‖v‖ + ‖u‖

18 c©AulonaPress

Shaska T. Algjebra

Vërtetim: Kemi

‖v + u‖2 = (v + u) · (v + u)= (v · v) + 2(v · u) + (u · u) ≤ (v · v) + 2‖v‖‖u‖ + (u · u)

= ‖v‖2 + 2‖v‖ · ‖u‖ + ‖u‖2 = (‖v‖ + ‖u‖)2

Kështu që, ‖v + u‖ ≤ ‖v‖ + ‖u‖.

Përkufizim 1.6. Këndi ndërmjet dy vektorëve u dhe v është

θ := cos−1( u · v‖u‖ · ‖v‖

)Vini re se, meqënëse u

‖u‖ ,v‖v‖ janë vektorë njësi, atëherë

−1 ≤u · v‖u‖ · ‖v‖

≤ 1.

Kështu që, këndi ndërmjet dy vektorëve është i mirëpërcaktuar.

Shembull 1.1. Gjej këndin ndërmjetu = (2,−1, 2), dhe v = (−1,−1, 1)

Zgjidhje: Duke përdorur formulën e mësipërme, kemi

θ = cos−1

((2,−1, 2) · (−1,−1, 1)

√9 ·√

3

)= cos−1

( √3

9

).

Atëherë θ ≈ 1.377 radianë ose θ ≈ 78.90◦.

~v

~u

~u − ~v~x

proj~u~vA

B

C

Figura 1.4: Projeksioni i v në u

Marrim vektorët u dhe v në R2 si në Fig 1.4. Projeksioni i v-së në u, i cili shënohet me pruv, është vektori ipërfituar duke hequr një pingule nga kulmi i v-së në drejtëzën e përcaktuar nga u. Kështu që,

‖ pruv‖ := ‖→

AO‖ = ||v|| · cos (CAB) = ||v|| ·〈u,v〉||u|| · ||v||

=〈v,u〉〈u,u〉

· ||u||.

Mund të shumëzojmë me vektorin njësi u‖u‖ për të marrë

pruv =〈v,u〉〈u,u〉

· u.

Në qoftë se do të donim një vektor pingul me u, atëherë kemi:

x = v − pruv = v −〈v,u〉〈u,u〉

· u.

Do të shohim në vazhdim se si kjo ide është e përgjithësuar në Rn përdoret në metodën katrorëve më të vegjël.

Ushtrime:

c©AulonaPress 19

Algjebra Shaska T.

1. Le të jetë 4 ABC një trekëndësh i dhënë dhe θ këndi ndërmjet AB dhe AC. Vërteto ligjin e kosinusit në një trekëndësh

BC2 = AB2 + AC2− 2 AB · AC · cosθ

2. Vërteto se për çdo dy vektorë u dhe v pohimi i mëposhtëm është i vërtetë

(v −w) · (v + w) = 0 ⇐⇒ ||v|| = ||w||

3. Le të jenë a dhe b brinjët anësore të një paralelogrami dhe diagonalet e tij d1, d2. Vërteto se,

d21 + d2

2 = 2(a2 + b2).

4. Vërteto se dy diagonalet e një paralelogrami janë pingule atëherë dhe vetëm atëherë kur të gjitha brinjët e tij janë të barabarta.

5. Gjej këndin ndërmjet vektorëve u = (1, 2, 2) dhe v = (2, 2,−3) dhe sipërfaqen e trekëndëshit të përcaktuar prej tyre.

6. Le të jetë u vektori njësi, tangent me grafikun e y = x2 + 1 në pikën (2, 5). Gjej një vektor v pingul me u.

7. Për cilat vlera të t-së vektorët u = (1, 0, t) dhe v = (t,−t, t2) janë pingulë?

8. Vërteto se distanca d e një pike P = (x0, y0) nga drejtëza

ax + by + c = 0

jepet prej

d =|ax0 + by0 + c|√

a2 + b2.

9. Le të jenë vektorët u,v,w me të njëjtën origjinë në R3 dhe koordinata u = (1, 2, 2), v = (2, 2,−3) dhe w = (−1,−1,−1).Gjej vëllimin e paralelopipedit të përcaktuar nga u,v,w.

10. Le të jenë u = (1, 2, 2) dhe v = (1, 2,−3) vektorë të dhënë. Gjej projeksionin e u-së në v.

11. Le të jenë u = (1, 2, 2), v = (2, 2,−3) dhe w = (−1,−1,−1) të dhënë në R3. Gjej projeksionin e u në planin vw.

1.3 Matricat dhe algjebra e tyre

Fillojmë me një problem klasik, zgjidhjen e sistemeve lineare. Le të jetë dhënë sistemi i mëposhtëm linear iekuacioneve {

3x + 12y = 52x − 2y = 3

(1.4)

Zgjidhja e këtij sistemi varet nga koeficientët e çdo ekuacioni. Krijojmë një tabelë me të gjithë koeficientët e këtijsistemi, si më poshtë

A =

[3 122 -2

](1.5)

dhe e quajmë një matricë 2 × 2.

20 c©AulonaPress

Shaska T. Algjebra

Në përgjithësi, një matricë A m × n është një bashkësi numrash të vendosur në m rreshta dhe n kolona dheparaqitet si më poshtë:

A = [ai, j] =

a1,1 a1,2 a1,3 . . . a1,na2,1 a2,2 a2,3 . . . a2,na3,1 a3,2 a3,3 . . . a3,n

·

·

·

am,1 am,2 am,3 . . . am,n

(1.6)

Rreshti i i-të i A-së është vektoriRi := (ai,1, . . . , ai,n)

dhe kolona e j-të është vektori

C j :=

a1, j· · ·

· · ·

an, j

Le të jetë A = [ai, j] një matricë m × n dhe B = [bi, j] një matricë n × s. Matrica prodhim AB është matrica C = [ci, j] mepërmasa m×s e tillë që ci, j është prodhimi skalar i vektorit të rreshtit të i-të të A-së dhe vektorit të kolonës së j-të të B-së.

Matrica shumë përkufizohet siA + B =

[ai, j + bi, j

].

dhe shumëzimi me një skalar r ∈ R përkufizohet si matrica

rA := [rai, j].

Matrica zero m × n, shënohet me 0, është matrica m × n, e cila ka zero në të gjithë elementët e tij. Një matricë Am × n quhet matricë katrore në qoftë se m = n. Në qoftë se A = [ai, j] është një matricë, atëherë të gjitha elementëtai,i formojnë diagonalen kryesore të A-së.

Matrica identike, e shënuar me In, është matrica n×n, e cila ka 1-sha në diagonalen kryesore dhe zero në vendete tjera. Një matricë e cila mund të shkruhet si r I quhet një matricë skalare.

Dy matrica quhen të barabarta në qoftë se elementët koresponduese të tyre janë të njëjta. Kini parasysh searitmetika e matricave nuk është e njëjte me aritmetikën e numrave. Për shembull, në përgjithësi AB , BA, oseAB = 0 nuk sjell si rrjedhim se A = 0 ose B = 0. Ne do ti studiojmë disa nga këto veti me hollësi në seksionet nëvazhdim. Më poshtë paraqesim vetitë kryesore të algjebrës së matricave.

Teorema 1.3. Le të jenë A,B,C matrica të përmasave të tilla që veprimet e mëposhtme janë të përcaktuara. Le të jenë r, sskalarë. Atëherë pohimet e mëposhtme janë të vërteta:

i) A + B = B + Aii) (A + B) + C = A + (B + C)iii) A + 0 = 0 + A = Aiv) r(A + B) = rA + rBv) (r + s)A = rA + sAvi) (rs)A = r(sA)vii) (rA)B = A(rB) = r(AB)viii) A(BC) = (AB)Cix) IA = A = AIx) A(B + C) = AB + ACxi) (A + B)C = AC + BC

Vërtetim: Shumë prej vërtetimeve janë elementare dhe ne do ti lëmë si ushtrime për lexuesin.

c©AulonaPress 21

Algjebra Shaska T.

Trace e një matrice katrore A = [ai, j] është shuma e elementëve të diagonales së saj:

tr(A) := a11 + · · · + ann.

Lema 1.4. Pohimet e mëposhtme janë të vërteta:i) tr(A + B) = tr(A) + tr(B)ii) tr(AB) = tr(BA).

Vërtetim: Pika e parë është e qartë. Ne do vërtetojmë vetëm pikën ii). Le të jenë A = [ai, j] dhe B = [bi, j] matrican × n. Shënojmë AB = C = [ci, j] dhe BA = D = [di, j]. Atëherë

ci,i = Ri(A) · Ci(B) = Ci(B) · Ri(A) = di,i,

ku Ri(A) është rreshti i i-të i A-së dhe Ci(B) është kolona e i-të e B-së. Kjo plotëson vërtetimin.

Shembull 1.2. Për matricat A dhe B të dhëna më poshtë, gjej tr(A), tr(B), tr(A + B), tr(AB) dhe tr(BA).

A =

4 2 20 3 1

21 10 -2

, B =

1 2 613 -3 1

31 2 1

Zgjidhje: Eshtë e qartë se tr(A) = 5, tr(B) = −1. Atëherë, tr(A + B) = 4. Kemi

AB =

74 6 24841 -7 4

-13 8 1289

.Kështu që, tr(AB) = tr(BA) = 1356.

Në qoftë se kemi matricën A = [ai, j], e transpozuara e saj është matrica

At := [a j,i].

A quhet matricë simetrike në qoftë se A = At. Kini parasysh se për një matricë katrore A e transpozuara e sajpërfitohet duke e rrotulluar matricën rrotull diagonales së saj.

Lema 1.5. Për çdo matricë A pohimet e mëposhtme janë të vërtetai) (At)t = A,ii) (A + B)t = At + Bt,iii) (AB)t = BtAt.

Vërtetim: Pikat i) dhe ii) janë të lehta. Ne do vërtetojmë vetëm pikën iii). Le të jenë A = [ai, j] dhe B = [bi, j]. ShënojmëAB = [ci, j]. Atëherë, (AB)t = [c j,i] ku

c j,i = R j(A) · Ci(B) = C j(At) · Ri(Bt) = Ri(Bt) · C j(At).

Kjo plotëson vërtetimin.

Shembull 1.3. Për matricat A dhe B të dhëna më poshtë

A =

4 2 20 3 1

21 10 -2

, B =

1 2 613 -3 1

31 2 1

gjej At, Bt, (A + B)t, (AB)t, dhe (BA)t.

Zgjidhje: Kemi

At =

4 0 212 3 102 1 -2

, Bt =

1 3 312 -3 2

61 1 1

.Llogaritja e (A + B)t, (AB)t, dhe (BA)t e kemi lënë si ushtrim për lexuesin.

22 c©AulonaPress

Shaska T. Algjebra

Le të jetë A një matricë katrore. Në qoftë se ekziston një numër i plotë n i tillë që An = I, atëherë themi se A karend të fundëm, në të kundërt A ka rend të pafundëm. Numri më i vogël i plotë n i tillë që An = I quhet rend iA-së.

Ushtrime:

1. Gjej trace-në e matricave A, B, A + B, dhe A − B, ku A dhe B janë

A =

4 2 20 3 1

21 10 -1

, B =

1 2 63 -3 1

31 0 13

2. Një matricë A quhet idempotent në qoftë se A2 = A. Gjej një matricë idempotent A, 2 × 2, të ndryshme nga matricaidentike I2. Duke përdorur matricën A, gjej dy matrica B,C të tilla që BC = 0, ku B , 0 dhe C , 0.

3. Le të jetë

A =

[cosθ − sinθsinθ cosθ

]Gjej A2. Ç’mund të thoni për An?

4. Një matricë katrore A është nilpotent në qoftë se ekziston një numër i plotë r ≥ 1 i tillë që Ar = 0. Le të jenë A,B dymatrica të tilla që AB = BA, A2 = 0 dhe B2 = 0. Vërteto se AB dhe A + B janë nilpotente.

5. Le të jetë

A =

4 2 20 3 12 0 1

Nëse është e mundur, gjej një matricë B të tillë që AB = 2A.

6. Vërteto se: i) Për çdo matricë A, matrica AAt është simetrike ii) Në qoftë se A është një matricë katrore atëherë A + At ështësimetrike.

7. Le të jetë A një matricë katrore. Vërteto se (An)t = (At)n.

8. A është i vërtetë identiteti(A + B)2 = A2 + 2AB + B2,

për çdo dy m × n matrica A dhe B.

9. Le të jenë A dhe B dy matrica të tilla që AB = BA. Vërteto se

(A − B)(A + B) = A2− B2.

10. Le të jenë A dhe B dy matrica të tilla që AB = BA. Vërteto se

(A − B)(A2 + AB + B2) = A3− B3.

c©AulonaPress 23

Algjebra Shaska T.

11. Le të jetë Q bashkësia e mëposhtme e matricave

±

[1 00 1

], ±

[i 00 -i

], ±

[0 1

-1 0

], ±

[0 ii 0

]e tillë që i2 = −1. Për më tepër, le të jenë

I =

[1 00 1

], i =

[i 00 -i

], j =

[0 1

-1 0

], k =

[0 ii 0

].

Vërteto pohimet e mëposhtmei2 = j2 = k2 = −I

dheij = k, jk = i, ji = −k, kj = −i, ik = −j.

Këto matrica ndonjë herë quhen kuaternione. Vërteto se ±i, ±j, ±k kanë rend 4.

1.4 Sistemet lineare të ekuacioneve, metoda e Gaussit

Përkufizim 1.7. Një ekuacion linear me ndryshore (x1, x2, . . . , xn) ka formën

a1x1 + a2x2 + a3x3 + · · · + anxn = d,

ku numrat a1, . . . , an ∈ < janë koeficientët e ekuacionit dhe d ∈ < është një konstante. n-elementët e rradhitur(s1, s2, . . . , sn) ∈ <n janë zgjidhje e ekuacionit në qoftë se duke zvendësuar numrat s1, . . . , sn në vend të ndryshorëve,atëherë ai kthehet në një barazim numerik të vërtetë: a1s1 + a2s2 + . . . + ansn = d.

Një sistem linear ekuacionesh a1,1x1 + · · · + a1,nxn = b1

a2,1x1 + · · · + a2,nxn = b2

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

am,1x1 + · · · + am,n xn = bm

ka zgjidhje (s1, s2, . . . , sn) në qoftë se n-elementët e radhitur janë zgjidhje e të gjithë ekuacioneve të sistemit.

Le të jetë dhënë një sistem linear m ekuacionesh me n të panjohura si më sipër. E shkruajmë këtë sistem nëformën e matricës së më poshtme

A · x = β

ku

A = [ai, j] =

a1,1 a1,2 a1,3 . . . a1,na2,1 a2,2 a2,3 . . . a2,na3,1 a3,2 a3,3 . . . a3,n

·

·

·

am,1 am,2 am,3 . . . am,n

, x =

x1x2x3

xm

, β =

b1b2b3

bm

.

Ne do përdorim matricat dhe do ndërtojmë një algoritëm, i cili mund të përcaktojë nëse një sistem i tillë ka zgjidhjedhe të gjejmë këtë zgjidhje. Matrica [A | β] shënohet si më poshtë:

[A | β] :=

a1,1 a1,2 a1,3 . . . a1,n b1a2,1 a2,2 a2,3 . . . a2,n b2a3,1 a3,2 a3,3 . . . a3,n b3

· · .· · .· · .

am,1 am,2 am,3 . . . am,n bm

dhe quhet matrica e augmentuar e sistemit korespondues.

24 c©AulonaPress

Shaska T. Algjebra

Shembull 1.4. Për të zgjidhur sistemin 3x3 = 9

x1 + 5x2 − 2x3 = 213 x1 + 2x2 = 3

ne e transformojmë atë derisa të arrijë në një formë që është më e lehtë për t’u zgjidhur.

këmbejmë rreshtin 1 me rreshtin 3−→

13 x1 + 2x2 = 3x1 + 5x2 − 2x3 = 2

3x3 = 9

shumëzojmë rreshtin e parë me 3−→

x1 + 6x2 = 9x1 + 5x2 − 2x3 = 2

3x3 = 9

shtojmë në rreshtin e 2-të rreshtin e parë të shumëzuar me −1−→

x1 + 6x2 = 9−x2 − 2x3 = −7

3x3 = 9

Ky është transformimi i fundit që mund t’i kryejmë mbi këtë sistem, pasi në rreshtin e fundit ne mund të marrim një zgjidhjetë ndryshme nga trivialja.

Tani mund të gjejmë vlerën e secilit prej ndryshorëve. Ekuacioni i fundit na jep x3 = 3. Duke zvendësuar x3 = 3 nëekuacionin e dytë, gjejmë x2 = 1. Duke zvendësuar këto dy vlera në ekuacionin e parë gjejmë x1 = 3. Pra, sistemi ka njëzgjidhje të vetme, e cila është: { (3, 1, 3) }.

Shumica e këtij seksioni si dhe shumë prej atyre vijues përmbajnë shembuj mbi zgjidhjen e sistemeve linear memetodën e Gaus-it, e cila është një metodë e shpejt dhe e thjeshtë. Para se të japim këta shembuj, ne do të tregojmëse kjo metodë është e sigurt, dmth ajo asnjëherë nuk humbet ndonjë zgjidhje të sistemit apo të na jap ndonjë zgjidhjetë huaj.

Teorema 1.4 (Metoda e Gausit). Në qoftë se një sistem ekuacionesh linear shndërrohet në një sistem tjetër sipas veprimevetë mëposhtme:

1) një ekuacion ndërron vendin me një tjetër2) të dy anët e një ekuacioni shumëzohen me një konstante jo-zero3) një ekuacione zvendësohet me shumën e tij me shumëfishin e një ekuacioni tjetër,

atëherë këta dy sisteme linear ekuacionesh kanë të njëjtën bashkësi zgjidhjeje.

Secili prej këtyre verpimeve ka një kufi. Nuk lejohet shumëzimi i një rreshti me 0 sepse ky veprim mund tëndryshoi bashkësinë e zgjidhjeve të sistemit. Gjithashtu, ndalohet edhe shuma e një rreshti me një shumëfish të vetsepse duke i shtuar një rreshti veten e vet të shumëzuar me −1 është njëlloj sikur këtë rresht ta shumëzosh me 0.

1.4.1 Veprimet elementare me rradhët

Do të përpunojmë matricën e augmentuar [A | β] në mënyrë të tillë që bashkësia e zgjidhjeve të sistemit lineartë mos ndryshojë. Shënojmë me veprime elementare me rradhët (rreshtat) që kryhen në një matricë, veprimet emëposhtme:1) Këmbe rradhën e i-të me rradhën e j-të (shënohet me Ri ↔ R j)

2) Shumëzo rradhën e i-të me një skalar jozero r (shënohet me Ri → r Ri)3) Mblidh rradhën e i-të me rradhën e j-të shumëzuar me r (shënohet me Ri → Ri + r R j)

Eshtë e qartë se këto veprime matricën e augmentuar nuk e ndryshojnë bashkësinë e zgjidhjeve të këtij sistemi.Në qoftë se matrica B përfitohet duke kryer veprimet me rradhët në A atëherë matrica A dhe B quhen equivalentesipas rradhëve .

c©AulonaPress 25

Algjebra Shaska T.

1.4.2 Forma row-eçelon

Përkufizim 1.8. Një matricë është në formën row-eçelon në qoftë se :

1) Të gjitha rreshtat që kanë vetëm zero janë poshtë rreshtave me elementë jozero.2) Elementi i parë jozero në një rresht i korespondon kolonës në të djathtë të elementit të parë jo-zero në të gjithë

rreshtat në vazhdim.

Për një matricë në formën row-eçelon, elementi i parë jozero në një rresht quhet pivoti për atë rresht.

Shembull 1.5. Duke përdorur veprimet me radhët, gjej formën row-eçelon të matricës

A =

1 2 32 0 13 2 2

Zgjidhje: Kryejmë veprimet e mëposhtme me rreshtat:

A =

1 2 32 0 13 2 2

R2→ 12 R2

−→

1 2 31 0 1

23 2 2

R2→R1−R2−→

1 2 30 2 5

23 2 2

R3→

13 R3−→

1 2 30 2 5

21 2

323

R3→R1−R3−→

1 2 30 2 5

20 4

373

R3→R2−32 R3

−→

1 2 30 2 5

20 0 −1

Veprimet me rreshtat janë veprime të shpejta dhe të lehta. Më poshtë japim algoritmin sesi të transformojmë njëmatricë në formën row-eçelon.

Algorithm 1. Input: Një matricë A.Output: Forma row-eçelon e A-së1) Fillojmë me kolonën e parë e cila ka elementë jozero.

2) Duke këmbyer vendet e rreshtave marrim një pivot p në rreshtin e parë të kësaj kolone. I bëjmë zero të gjithëelementët poshtë pivotit të kësaj kolone.

3) Vazhdojmë në këtë mënyrë me kolonën tjetër.

Forma row-eçelon e matricave përdoret për të zgjidhur sistemet lineare të ekuacioneve. Le të jetë A x = β, një sistemlinear ekuacionesh. Krijojmë matricën e augmentuar [A | b] dhe gjejmë formën e saj row-eçelon, themi [H | v.] Dukepërdorur metodën e zëvendësimit nga fundi (fillojmë zëvendësimin nga rreshti i fundit) zgjidhim sistemin

Hx = v.

Shohim një shembull.

Shembull 1.6. Zgjidh sistemin linear x2 − 3x3 = −5

2x1 + 3x2 − x3 = 74x1 + 5x2 − 2x3 = 10

Zgjidhje: Atëherë

[A | β] =

0 1 -3 -52 3 -1 74 5 -2 10

[H | v] =

2 3 -1 70 1 -3 -50 0 -3 -9

26 c©AulonaPress

Shaska T. Algjebra

Figura 1.5: Prerja e dy drejtëzave x − y = −1 dhe 3x + y = 9 është një pikë e vetme.

duke bërë veprimet R1 ↔ R2, R3 → R3 − 2R1, R3 → R3 + R2. Kështu që sistemi linear është ekuivalent me sistemin emëposhtëm

2x1 + 3x2 − x3 = 7x2 − 3x3 = − 5−3x3 = − 9

duke përdorur metodën e zëvendësimit nga fundi, kemi:

x =

-143

Kjo metodë njihet si metoda e Gaussit.

Teorema 1.5. Le të jetëA x = β

një sistem linear dhe [A | β] [H | v], ku [H | v] është në formën row-eçelon. Atëherë një nga pohimet e mëposhtën është ivërtetë:

1) Ax = β nuk ka zgjidhje atëherë dhe vetëm atëherë kur H ka një rradhë me të gjithë elementët zero dhe në të njëjtënrradhë c ka një element jozero.

2) Në qoftë se Ax = β ka zgjidhje atëherë një nga pohimet e mëposhtme qëndron:i) ka një zgjidhje të vetme në qoftë se çdo kolonë e H-së përmban një pivotii) ka një numër të pafundëm zgjidhjesh në qoftë se një nga kolonat e H-së nuk ka pivot

Vërtetim: Kujtojmë nga algjebra elementare se një equacion

ax = b

nuk ka zgjidhje atëherë dhe vetëm atëherë kur a = 0 dhe b , 0. Ka një zgjidhje të vetme atëherë dhe vetëm atëherëkur a , 0 dhe b , 0 dhe ka një numër të pafundëm zgjidhjesh atëherë dhe vetëm atëherë kur a = b = 0.

Në qoftë se H ka një rresht zerosh dhe në të njëjtin rresht c ka një element jozero cn , 0 atëherë ekuacioni

0 · xn = cn

nuk ka zgjidhje dhe si rrjedhim sistemi linear Ax = β nuk ka zgjidhje. Edhe e anasjellta është e vërtete si rrjedhim ipërkufizimit të formës row-eçelon. Si rrjedhim, pikat 2, i) dhe 2, ii) janë të vërteta

c©AulonaPress 27

Algjebra Shaska T.

Shembull 1.7. Gjej sa zgjidhje ka sistemi i mëposhtëm:{2x + 5y = 36x + 15y = 9

Zgjidhje: Matrica e augmentuar është

[A | β] =

[2 5 36 15 9

] [H | v] =

[2 5 20 0 0

]Nga teorema e mësipërme, sistemi ka një numër të pafundëm zgjidhjesh. Kjo është e thjeshtë për tu vërtetuar meqënëse ekuacionii dytë i sistemit është prodhimi i ekuacionit të parë me numrin 3.

Teorema e mësipërme mund të interpretohet gjeometrikisht për rastet e matricave me koeficientë 2 nga 2 ose3 nga 3. Për shembull, në rastin e një sistemi linear me 2 ekuacione dhe 2 ndryshore, kemi rastin e dy drejtëzavenë plan. Eshtë e njohur nga gjeometria se dy drejtëza mund të priten në një pikë, asnjë pikë ose në një numër tëpafundëm pikash.

Ushtrime:

Zgjidhni sistemet lineare duke përdorur metodën e zëvendësimit të Gausit.

1.

2. {x + 5y = 23x + 2y = 9

2x + y − 3z = 06x + y − 8z = 02x − y + 5z = −4y − 2z = 3x + 2y − 3z = 25x − 3y + z = −1

Gjeni formën row-eçelon të matricave të mëposhtme

3. 0 1 -3 -50 3 0 14 5 -2 10

4.

0 0 0 01 1 -3 -31 3 0 02 5 -2 1

5. Përcakto të gjitha vlerat e b1, b2 të tilla që sistemi i mëposhtëm të ketë zgjidhje{

x1 + 11x2 = b1

3x1 + 33x2 = b2

6. Përcakto të gjitha vlerat e b1, b2 të tilla që sistemi i mëposhtëm të mos ketë asnjë zgjidhje{x1 + 2x2 = b1

− 2x1 − 4x2 = b2

28 c©AulonaPress

Shaska T. Algjebra

7. Gjej a, b, dhe c të tilla që parabolay = ax2 + bx + c

të kalojë në pikat (1,-4), (-1,0), dhe (2,3).

8. Gjej a, b, c dhe d të tilla që polinomi i gradës së katërt

y = ax4 + bx3 + cx2 + d

të kalojë në pikat (3, 2), (-1, 6), (-2, 38), dhe (2, 6).

9. Gjej polinomin që kalon nga pikat (3, 1, -2), (1, 4, 5) dhe (2, 1, -4).

Ushtrime programimi:

10. Shkruaj një program kompjuteri, i cili llogarit formën row-eçelon të një matrice të dhënë.

1.5 Forma e reduktuar row-eçelon, metoda Gauss-Xhordan

Le të jetë [A | β] një matricë në formë row-eçelon. A mund ti bëjmë transformime të tjera matricës [A | β] nëmënyrë të tillë që zgjidhja e sistemit korespondues të lexohet në ekuacionin e matricës? Kjo na çon në përkufizimine mëposhtëm:

Përkufizim 1.9. Një matricë është në formën e reduktuar row-eçelon në qoftë se është në formë row-eçelon, tëgjithë pivotët janë 1 dhe të gjithë elementët mbi pivotët janë 0.

Sikurse do të shikojmë, kur matrica e koefiçientëve është në formën e reduktuar row-eçelon, atëherë zgjidhja esistemit linear gjendet menjëherë në kolonën e fundit të matricës së augmentuar. Le të shikjomë një shembull.

Shembull 1.8. Le të jetë [H | v] një matricë në formën row-eçelon sikurse në shembullin 1.7:

[H | v] =

2 3 -1 70 1 -3 -50 0 -3 -9

.Gjej formën e tij të reduktuar row-eçelon.

Zgjidhje: Për të gjetur formën e reduktuar row-eçelon kryejmë veprimet e mëposhtme me rreshtat

[H | v] =

2 3 -1 70 1 -3 -50 0 -3 -9

R1→12 R1, R3→−

13 R3

−→

1 32 - 1

272

0 1 -3 -50 0 1 3

R1→R1−32 R2

−→

1 0 4 110 1 -3 -50 0 1 3

R2→3R3+R2−→

1 0 4 110 1 0 40 0 1 3

R1→R1−4R3−→

1 0 0 -10 1 0 40 0 1 3

c©AulonaPress 29

Algjebra Shaska T.

Kështu që, mund të arrijmë në përfundimin se zgjidhja e këtij sistemi është

x =

-143

,sikurse gjetëm dhe më parë.

Vërejtje 1.1. Kini parasysh se forma e reduktuar row-eçelon e matricës A, ndryshe nga forma row-eçelon, është e vetme.

Metoda e cila transformon matricën e augmentuar në formën e reduktuar row-eçelon quhet metoda e Gauss-Xhordan.

Vërejtje 1.2. Edhe pse metoda e Gauss-Xhordan na e jep zgjidhjen në një formë "më të përshtatshme", nuk mund të themise kjo metodë është më e mirë se metoda e Gausit. Për sisteme të mëdha lineare është i rëndësishëm numri i llogaritjeve që naduhet te kryejmë. Në qoftë se përdorim metodën e Gauss-Xhordan, na duhet të kryejmë 50% më shumë veprime sesa po tëpërdorim metodën e Gausit.

Shembull 1.9. Gjej formën e reduktuar row-eçelon të matricës.

[A | β] =

2 1 -2 1-2 1 1 2-2 -1 2 2

Trego të gjitha veprimet e kryera me rreshtat. Cilat janë zgjidhjet e sistemit korespondues Ax = β?

Zgjidhje: Forma e reduktuar row-eçelon është

[H | v] =

1 0 −34 0

0 1 −12 0

0 0 0 1

Kështu që sistemi nuk ka zgjidhje.

Shembull 1.10. Gjej vlerat e b-së të tilla që sistemi i mëposhtën të ketë një zgjidhje, një numër të pafundëm zgjidhjesh oseasnjë zgjidhje

x1 + 2x2 − x3 = bx1 + x2 + 2x3 = 12x1 − x2 + x3 = 2

Zgjidhje: Matrica e augmentuar është

[A | b] =

1 2 -1 b1 1 2 12 -1 1 2

dhe forma e reduktuar row-eçelon është:

[H | v] =

1 0 0 b+3

4

0 1 0 b−14

0 0 1 b−14

Sistemi ka vetëm një zgjidhje për çdo vlerë të b-së.

Të gjithë sistemet linear të ekuacioneve që kemi paë deri tani kanë po aq ekuacione sa edhe ndryshorë. Të gjithëkëta sisteme kanë zgjidhje dhe kjo zgjidhje është e vetme. Në përfundim të këtij leksioni, le të shohim disa raste tëtjera që mund të ndodhin.

30 c©AulonaPress

Shaska T. Algjebra

Shembull 1.11. Për sistemet lineare nuk është e thënë se numri i ekuacioneve duhet të jetë i njëjtë me numrin e ndryshorëve.Sistemi

x + 3y = 12x + y = −32x + 2y = −2

ka më shumë ekuacione se sa ndryshorë. Metoda e Gausit na ndihmon edhe në këtë rast, meqë

−2ρ1+ρ2−→−2ρ1+ρ3

x + 3y = 1−5y = −5−4y = −4

kjo tregon se një nga ekuacionet është i tepërt. Forma row-eçelon

−(4/5)ρ2+ρ3−→

x + 3y = 1−5y = −5

0 = 0

na jep y = 1 dhe x = −2. Rezultati ‘0 = 0’ rrjedh nga prania e një ekuacioni të tepërt.

1.5.1 Disa njohuri për sistemet homogjene

Një sistem linear quhet homogjen në qoftë se është në formën

Ax = 0.

Eshtë e qartë se zgjidhje e një sistemi të tillë është x = 0 dhe quhet zgjidhja triviale. Matrica e augmentuar përsisteme të tilla është [A | 0] dhe forma row-eçelon do të jetë [H | 0]. Sistemi ka zgjidhje jotriviale në qoftë se një ngarreshtat e H-së nuk ka pivot. Do të shikojmë në Kapitullin 3 se kjo është ekuivalente me faktin që determinanti imatricës A të jetë jozero.

Një arsye tjetër që sistemet linear mund të ndryshojnë nga shembujt e përmendur më parë është se disa sistemelinear nuk kanë një zgjidhje të vetme. Kjo mund të ndodh në dy mënyra.

E para është se sistemi mund të mos ketë asnjë zgjidhje.

Shembull 1.12. Krahasoni sistemin e shembullit të fundit me këtë sistem:x + 3y = 1

2x + y = −32x + 2y = 0

−2ρ1+ρ2−→−2ρ1+ρ3

x + 3y = 1−5y = −5−4y = −2

Ky sistem nuk ka zgjidhje pasi asnjë çift numrash nuk i kënaq të gjithë ekuacionet njëkohësisht. Forma eçelon e tregon qartëkëtë mungesë zgjidhjeje.

−(4/5)ρ2+ρ3−→

x + 3y = 1−5y = −5

0 = 2

Bashkësia e zgjidhjes është bosh.

Shembull 1.13. Sistemi i mësipërm ka më shumë ekuacione se ndryshor (të panjohura), por nuk është kjo arsyeja që sisteminuk ka zgjidhje. — 1.11 ka më shumë ekuacione se ndryshor, por përsëri nuk ka zgjidhje. Nuk është e thënë se një sistem nuk kazgjidhje atëherë kur numri i ekuacioneve të tij është më i madh se numri i ndryshorëve. Në shembulln e mëposhtëm shqyrtohetnjë sistem linear që ka po aq ekuacione sa edhe ndryshorë, por gjithësesi nuk ka asnjë zgjidhje.{

x + 2y = 82x + 4y = 8

−2ρ1+ρ2−→

{x + 2y = 8

0 = −8

Rasti tjetër është kur sistemi ka një numër të pafundëm zgjidhjesh.

c©AulonaPress 31

Algjebra Shaska T.

Shembull 1.14. Në këtë sistem {x + y = 4

2x + 2y = 8

çdo çift numrash që kënaq ekuacionin e parë, automatikisht kënaq edhe të dytin. Bashkësia e zgjidhjeve {(x, y) e tillë që x+y = 4}është e pafundme. Disa elementë të saj janë (0, 4), (−1, 5) dhe (2.5, 1.5). Rezultati që përftohet nga zbatimi i metodës së Gausitnë këtë rast është ndryshe nga ai i shembullit të mëparshëm sepse ne kemi një pafundësi zgjidhjesh.

−2ρ1+ρ2−→

{x + y = 4

0 = 0

Mos u ngatërroni nga prezenca e ekuacionit 0 = 0. Ai nuk është treguesi që një sistem të ketë një numër tëpafundëm zgjidhjesh.

Shembull 1.15. Mungesa e ‘0 = 0 nuk e ndalon sistemin të ketë disa zgjidhje të ndryshme. Ky sistem, i dhënë në formënrow- eçelon {

x + y + z = 0y + z = 0

nuk përmabn identitetin ‘0 = 0, megjithatë ka një numër të pafundëm zgjidhjesh. (Për ilustrim, secila prej këtyre tresheveështë një zgjidhje: (0, 1,−1), (0, 1/2,−1/2), (0, 0, 0), dhe (0,−π, π).)

Prania e identitetit ‘0 = 0 nuk do të thotë se sistemi duhet të ketë disa zgjidhje (një numr të pafundëm zgjidhjesh). Kyfakt tregohet në 1.11. Pra ky sistem, i cili nuk ka shumë zgjidhje — , faktikisht ai nuk ka asnjë zgjidhje — pavarësisht se kurndodhet në formën row-çelon form ka një rresht ’0 = 0’.

2x − 2z = 6y + z = 1

2x + y − z = 73y + 3z = 0

−ρ1+ρ3−→

2x − 2z = 6

y + z = 1y + z = 1

3y + 3z = 0

−ρ2+ρ3−→−3ρ2+ρ4

2x − 2z = 6

y + z = 10 = 00 = −3

E mbyllim këtë seksion duke përmbledhur se çfarë kemi për metodën e Gausit.Metoda e Gausit përdor tre veprimet me radhët për të zgjidhur një sistem linear me anë të zvendësimit nga

fundi. Nëse në ndonjë kalim shfaqet ndonjë kontradiksion, atëherë ndërpresim zgjidhjen duke pohuar se sisteminuk ka asnjë zgjidhje. Nëse në formën row-eçelon çdo rresht ka pivot, atëherë sistemi ka një zgjidhje të vetme, tëcilën e gjejmë duke zvendësuar nga fundi. Në fund, nëse në formën row-eçelon nuk kemi ndonjë kontradiksion,por edhe aman nuk kemi edhe një zgjidhje të vetme (të paktën një nga rreshtat nuk ka asnjë pivot), atëherë sistemika një numër të pafundëm zgjidhjesh.

1.5.2 Të përshkruajmë bashkësinë e zgjidhjeve

Për një sistem linear që ka një zgjidhje të vetme, bashkësia e zgjidhjes së tij ka vetëm një element. Bashkësia ezgjidhjes së një sistemi linear që nuk ka zgjidhje është boshe. Në këto raste bashkësia e zgjidhjes përshkruhet lehtë.Bashkësitë e zgjidhjes janë të vështira për tu shpjehuar kur ato përbëhen nga shumë elementë.

Shembull 1.16. Ky sistem ka disa zgjidhje sepse në formën row-eçelon2x + z = 3

x − y − z = 13x − y = 4

−(1/2)ρ1+ρ2−→

−(3/2)ρ1+ρ3

2x + z = 3−y − (3/2)z = −1/2−y − (3/2)z = −1/2

−ρ2+ρ3−→

2x + z = 3−y − (3/2)z = −1/2

0 = 0

32 c©AulonaPress

Shaska T. Algjebra

jo çdo rresht ka pivot. Metoda e Gausit tregon se një treshe kënaq sistemin e parë në qoftë se ajo kënaq sistemin e tretë. Kështuqë bashkësia e zgjidhjes

{(x, y, z) e tillë që 2x + z = 3 dhe x − y − z = 1 dhe 3x − y = 4}

mund të shkruhet gjithashtu edhe si

{(x, y, z) e tillë që 2x + z = 3 dhe −y − 3z/2 = −1/2}.

Por edhe përshkrimi i dytë nuk është shumë i leverdisshëm. Ai përmban dy ekuacione që ende pëfshin disa lidhje jo të thjeshandërmjet ndryshorëve.

Për të përftuar një bashkësi zgjidhjeje, e cila nuk përmban më këto lidhje të ndrërlikuara ndërmjet ndryshorëve, ne shprehimnjë variabël në varësi të të tjeëve në njërin prej ekuacioneve të bashkësisë dhe e zvendësojmë tek ekuacioni tjetër, duke marrë këtunjë ekuacion për ndryshorët x, y, z. Kështu, ekuacioni i dytë na jep y = (1/2) − (3/2)z dhe duke zvenësuar y-in në ekuacionine parë marrim: x = (3/2) − (1/2)z. Kështu që bashkësia e zgjdhjes mund të shkruhet si

{(x, y, z) = ((3/2) − (1/2)z, (1/2) − (3/2)z, z) e tillë që z ∈ <}

.barabartë me 1/2 dhe të dytin −5/2.Avantazhi i këtij përshkrimi është se nuk ka kufizim për z,ndryshorin e vetëm që ndodhet në bashkësinë e zgjidhjes, ai mund

të çdo numër real.

Përkufizim 1.10. Termat jo-udhëheqës në të një sistemi linear ekuacionesh në forën row-eçelon janë termat e lirë.

Në formën row-eçelon të sistemit të mësipërm, x dhe y janë termat udhëheqës (termat kryesor), ndërsa z ështëe lirë.

Shembull 1.17. Një sistem linear mund të ketë në fund më shumë se një ndryshorë (termë) të lirë. Ky sistem në formënreduktuar ka si terma kryesor x-in dhe y-in, ndërsa si terma të lirë z-in dhe w.

x + y + z − w = 1y − z + w = −1

3x + 6z − 6w = 6−y + z − w = 1

−3ρ1+ρ3−→

x + y + z − w = 1

y − z + w = −1−3y + 3z − 3w = 3−y + z − w = 1

3ρ2+ρ3−→ρ2+ρ4

x + y + z − w = 1

y − z + w = −10 = 00 = 0

Për të marrë një bashkësi zgjidhjeje, ne nisemi nga fundi. Fillimisht, shprehim y në varësi të termave të lirë z dhe w, pray = −1 + z−w. Pastaj në ekuacioni e parë zvendësojmë y-in e gjetur x + (−1 + z−w) + z−w = 1 dhe e zgjidhim atë në varësitë x-it, prej nga x = 2 − 2z + 2w. Kështu që, bashkësia e zgjidhjeve është

{2 − 2z + 2w,−1 + z − w, z,w) e tillë që z,w ∈ R}

Ne preferojmë më shumë këtë përshkrim (këtë mënyrë të dhëni) për bashkësinë e zgjidhjes sepse ndryshorët e vetëm qëndodhen aty z dhe w janë të pakufizuar. Kjo e bën më të thjeshtë zgjedhjen e katërsheve si zgjidhje të sistemit. Për më tepër,po të marrim z = 1 dhe w = 2, atëherë zgjidhja e sistemit do të jetë (4,−2, 1, 2). Ndërsa (3,−2, 1, 2) nuk është një zgjidhje esistemit sepse komponenti i parë i një zgjidhjeje duhet të jetë 2 minus dyfishin e të tretit plus dyfishin e të katërtit.

Shembull 1.18. After this reduction2x − 2y = 0

z + 3w = 23x − 3y = 0

x − y + 2z + 6w = 4

−(3/2)ρ1+ρ3−→

−(1/2)ρ1+ρ4

2x − 2y = 0

z + 3w = 20 = 0

2z + 6w = 4

−2ρ2+ρ4−→

2x − 2y = 0

z + 3w = 20 = 00 = 0

c©AulonaPress 33

Algjebra Shaska T.

x dhe z janë termat kryesor, ndërsa y dhe w janë terma të lirë. Bashkësia e zgjidhjeve të sistemit është{(y, y, 2 − 3w,w) e tillë që y,w ∈ R}. Kështu, (1, 1, 2, 0) është një zgjidhje e sistemit, e cila përftohet duke marrë y = 1dhe w = 0. Katërshja e radhitur (1, 0, 5, 4) nuk është një zgjidhje e sistemit sepse koordinata e parë nuk është e barabartë me tëdytën.

Termat e lirë që përdoren për të përshkruar një familje zgjidhjesh të një sistemi linear do ti quajmë parametërdhe themi se bashkësia e mësipërme parametrizohet nga y dhe w. (Fjalët ‘parametër’ dhe ’term i lirë’ nuk kanë tënjëjtin kuptim. Në shembullin e mësipërm, y dhe w janë terma të lirë sepse në formën row-eçelon të sistemit, atonuk udhëheqin në ndonjë rresht. Ata janë parametra sepse përdoren në përshkrimin e bashkësisë së zgjidhjes. Nemund të parametrizonim me y dhe z duke e rishkruar ekuacionin e dytë si w = 2/3 − (1/3)z. Në këtë rast, termat elirë janë përsëri y dhe w, por parametrat janë y dhe z. Vini re se ne nuk mund të paramentrizojmë me x dhe y, faktky që tregon se ndonjëherë ka kufizim në zgjedhjen e parametrave. Termat ’parametër’ dhe ’term i lirë’ kanë lidhjeme njëri-tjetrin sepse bashksia e zgjidhjeve të një sistemi parametrizohet gjithmon nga termat e lirë.

Shembull 1.19. Ky është shembulli i një tjetër sistemi që ka një pafundësi zgjidhjesh.x + 2y = 1

2x + z = 23x + 2y + z − w = 4

−2ρ1+ρ2−→−3ρ1+ρ3

x + 2y = 1−4y + z = 0−4y + z − w = 1

−ρ2+ρ3−→

x + 2y = 1−4y + z = 0

−w = 1

Ndryshorët udhëheqës (kryesor) janë x, y dhe w. Ndërsa ndryshori z është i lirë. (Vini re se edhe pse sistemi ka një pafundësizgjidhjesh, vlera e një ndryshori është e fiksuar — w = −1.) Shkruajmë w në varësu të z-it si w = −1+0z. Prej nga y = (1/4)z.Për të shprehur x në varësi të z, zvendësojmë y-in në ekuacionin e parë dhe marrim x = 1 − (1/2)z. Kështu që bashkësia ezgjidhjeve është {(1 − (1/2)z, (1/4)z, z,−1) e tillë që z ∈ R}.

Përkufizim 1.11. Një m×n matricë është një koleksion numrash, të vendosur në m rreshta dhe n kollona. Çdonumër i matricës quhet element i saj

Zakonisht matricat shënohen me shkronja të mëdha, për shembull. A. Çdo elementë shënohet me shkronja të vogla,për shembull, ai, j është numri që ndodhet në rreshtin i dhe në kolonën j. Për më tepër, matrica

A =

(1 2.2 53 4 −7

)ka dy rreshta dhe tre kolona, pra është një matricë 2×3. (Lexohet “dy me tre”, pra numri i rreshtave thuhet gjithmoni pari.) Elementi i parë në rreshtin e dytë dhe në kolonën e parë është a2,1 = 3. Vini re se ka rëndësi vendosja etreguesëve: a1,2 , a2,1 pasi a1,2 = 2.2.

Matricat do të na shoqërojnë kudo në këtë libër. Bashkësinë e matricave n×m do ta shënojmëMn×m.

Shembull 1.20. Sistemit linear të mëposhtëm x1 + 2x2 = 4

x2 − x3 = 0x1 + 2x3 = 4

i shoqërojmë matricën. 1 2 0 40 1 −1 01 0 2 4

Vija vertikale duhet t’i kujtojë lexuesit ndarjen e koeficientve të sistemit nga e majta me konstantet nga e djathta. Kur një vijëe tillë përdoret për ta ndarë matricën në dy pjesë, ne e quajmë matricën që përftohet matricë të augmentuar. Me këtë shënim,metoda e Gausit mund të shkruhet si:1 2 0 4

0 1 −1 01 0 2 4

−ρ1+ρ3−→

1 2 0 40 1 −1 00 −2 2 0

2ρ2+ρ3−→

1 2 0 40 1 −1 00 0 0 0

34 c©AulonaPress

Shaska T. Algjebra

Rreshti i dytë na jep y − z = 0, ndërsa në rrestin e parë kemi x + 2y = 4, prej nga bashkësia e zgjidhjeve është{(4 − 2z, z, z) e tillë që z ∈ R}.

Ne do ta përdorim gjithashtu këtë mënyrë të shkruari me rreshta për të qartësuar përshkrimin e bashkësisë sëzgjidhjeve të sistemit linear. Përshkrimi i tipit {(2 − 2z + 2w,−1 + z − w, z,w) e tillë që z,w ∈ R} në 1.17 lexohet mevështirësi. Rishkruajmë bashkësinë duke grupuar gjithë konstantet bashkë, të gjithë koeficientët para z-it bashkëdhe gjithë koeficientët para w bashkë, duke i shkruar si shumë e maticave kolonë, si mëposhtë:

{

2−100

+

−2110

· z +

2−101

· w e tillë që z,w ∈ R}

Për më tepër rreshti i parë tregon se x = 2 − 2z + 2w. Në seksionin e ardhshëm jepet një interpretim gjeometrik,i cili do të na ndihmoj ne për të ndërtuar figurat e bashkësive të zgjidhjeve të sistemeve linear.

Përkufizim 1.12. Një vektor (ose një vektor shtyllë) është një matricë që ka një shtyllë të vetme. Një matricë që kanjë rresht të vetëm quhet vektor rresht. Elementët e vektorëve quhen komponentë të tij ose koordinata.

Vektorët bëjnë një përjashtim nga mënyra e të shktuarit të matricave me shkronja të mdha. Një vektor do eshkruajmë me gërma të vogla latine ose greke, të shoqëruar me një shigjetë sipër: ~a, ~b, . . . ose ~α, ~β, . . . (gjithashtupërdoren edhe gërmat e vogla, të theksuara me ngjyrë të zezë: a ose α). Më poshtë jepet shembulli i një vektorishtyllë që e ka komponentin (koordinatën) e tretë 7 .

~v =

137

Përkufizim 1.13. Ekuacioni linear a1x1 + a2x2 + · · · + anxn = d me ndryshorë x1, . . . , xn kënaqet (ka zgjidhje) nga

~s =

s1...

sn

në qoftë se a1s1 + a2s2 + · · · + ansn = d. Një vektor kënaq një sistem linear nëse ai kënaq çdo ekuacion të sistemit.

Mënyra e re e përshkrimit të bashkësive të zgidhjeve konsiston në mbledhje vektorësh dhe shumëzimin e tyreme numra realë. Kështu që duhet ti përkufizojmë këto veprime.

Përkufizim 1.14. Shuma e dy vetorëve ~u dhe ~v jepet:

~u + ~v =

u1...

un

+

v1...

vn

=

u1 + v1...

un + vn

Në përgjithësi, dy matrica që kanë numër të njëjtë rreshtash dhe kollonash mblidhen në të njëjtën mënyrë. Pramblidhen elementet në pozicionet respektive të tyre.

Përkufizim 1.15. Shumëzimi me një skalar realë r i një vektori ~v jepet:

r · ~v = r ·

v1...

vn

=

rv1...

rvn

Kështu, shumëzimi i një matrice me një skalar realë bëhet duke shumëzuar çdo element të saj me po të njëjtin skalar.

Shumëzimi me skalar mund të shkruhet si: r · ~v ose ~v · r ose thjeshtë: r~v. (Shumëzimi me skalar nuk duhetngatruar me ’produktin skalar’ sepse këto emra iu përkasin dy veprimeve të ndryshme.)

c©AulonaPress 35

Algjebra Shaska T.

Shembull 1.21. 231 +

3−14

=

2 + 33 − 11 + 4

=

525 7 ·

14−1−3

=

728−7−21

Sipas shënimeve të mësipëme, ne do të zgjidhim sisteme ekuacionesh linear gjatë gjithë pjesës tjetër të këtij libri.

Shembull 1.22. Sistemi 2x + y − w = 4

y + w + u = 4x − z + 2w = 0

reduktohet në këtë mënyrë:2 1 0 −1 0 40 1 0 1 1 41 0 −1 2 0 0

−(1/2)ρ1+ρ3−→

2 1 0 −1 0 40 1 0 1 1 40 −1/2 −1 5/2 0 −2

(1/2)ρ2+ρ3−→

2 1 0 −1 0 40 1 0 1 1 40 0 −1 3 1/2 0

Bashkësia e zgjidhjeve është {(w + (1/2)u, 4 − w − u, 3w + (1/2)u,w,u) e tillë që w,u ∈ <}, të cilën e shkruajmë sipas vek-torëve në trajtën:

{

xyzwu

=

04000

+

1−1310

w +

1/2−11/201

u e tillë që w,u ∈ <}

Vini re se si komponetët e vektorëve përcaktojnë koeficientët e secilit parametër. Për më tepër, rreshti i tretë i bashkësisë sëzgjidhjeve, i shkruar sipas vektorëve tregon se nëse u mbahet e fiksuar, atëherë z rritet me trefishin e vlerës së w.

Kjo formë tregon hapur se sistemi ka një numër të pafundëm zgjidhjesh. Për shembull, fiksojmë u të barabartë me 0, ndërsaw le të marrë vlera reale dhe shqyrtojmë komponentin e parë x. Ne marrim një pafundësi vlerash për të, fakt ky që do të thotëse sistemi ka një pafundësi zgjidhjesh.

Një tjetër gjë që duket qartë është se nëse i bëjmë njëkohësisht w dhe u zero, atëherë kemixyzwu

=

04000

e cila është një zgjidhje e veçantë e sistemit linear.

Shembull 1.23. Në të njëjtën mënyrë, sistemi x − y + z = 1

3x + z = 35x − 2y + 3z = 5

reduktohet si: 1 −1 1 13 0 1 35 −2 3 5

−3ρ1+ρ2−→−5ρ1+ρ3

1 −1 1 10 3 −2 00 3 −2 0

−ρ2+ρ3−→

1 −1 1 10 3 −2 00 0 0 0

i cili ka si bashkësi zgjidhjeje një parametër.

{

100 +

−1/32/31

z e tillë që z ∈ <}

36 c©AulonaPress

Shaska T. Algjebra

Para se të kalojmë tek ushtrimet, le të përmendim edhe një herë se çfarë na ka ngelur ende pa shyrtuar në këtëseksion.

Dy seksionet e para dhanë mekanizmin e metodës së Gausit. Përveç rezultatit të teormës 1.4 — pa të cilën nukka kuptim shpjegimi i kësaj metode, ne nuk kemi marrë në konsideratë disa pyetje interesante që mund të lindin.

Për shembull, a mund ta përshkruajmë bashkësitë e zgjidhjeve si mësipër? Në bashkësitë e zgjidhjeve që nekemi pëshkruar me anë të parametrave të pakufizuar dukej lehtë prania e një numri të pafundëm zgjidhjesh, kështuqë përgjigja e kësaj pyetjeje duhet të na thotë diçka mbi përmasat e tyre. Një përgjigje e kësaj pyetjeje gjithashtumund të na ndihmoj për të vizatuar bashkësitë zgjidhjeve në<2 ose në<3, etj.

Shumë pyetje lindin nga mënyra e përdorimit të metodës së Gausit në zgjidhjen e sistemeve linear. Teorema 1.4thotë se marrim të njëjtën bashkësi zgjidhjeje edhe nëse zbatojmë metodën e Gausit në dy mënyra të ndryshme.Por në këtë rast a marrim të njëjtin numër variablash në të dy veprimet? Pra, secili prej bashkësive të zgjidhjes a katë njëjtin numër parametrash? A duhet të jenë ata të njëjtët ndryshor (për shembull, a është e mundur të zgjidhëshnjë problem, në cilën një herë ke y dhe w te lirë dhe një herë të kesh y dhe z të tillë?)

Përgjigjen e të gjitha këtyre pyetjeve do ta japim në vazhdim të këtij kapitulli dhe përgjigja për secilën është ’po’.

Ushtrime:

1. Gjej formën e reduktuar row-eçelon të A-së

A =

1 2 32 0 13 2 2

dhe zgjidh sistemin linear Ax = 0.

2. Gjej formën e reduktuar row-eçelon të A-së

A =

0 1 -3 -50 3 0 14 5 -2 10

dhe zgjidh sistemin linear Ax = 0.

3. Gjej formën e reduktuar row-eçelon të A

A =

0 0 0 01 1 -3 -31 3 0 02 5 -2 1

dhe zgjidh sistemin linear Ax = 0.

4. Zgjidh sistemin e mëposhtëm me metodën e Gauss-Xhordanx1 + 2x2 − x3 = 1x1 + x2 + 2x3 = 32x1 − x2 + x3 = −2

5. Zgjidh sistemin e mëposhtëm me metodën e Gausit5x1 + 3x2 − x3 = −22x1 + 2x2 + 2x3 = 3− x1 − x2 + x3 = 6

c©AulonaPress 37

Algjebra Shaska T.

6. Zgjidh sistemin e mëposhtëm me metodën e Gauss-Xhordan11x1 + 12x2 − 3x3 = 2− x1 + 3x2 + 2x3 = 32x1 + 3x2 + x3 = −2

7. Vërteto se forma e reduktuar row-eçelon e një matrice është e vetme.

8. Le të jetë Ax = 0 një sistem homogjen i cili nuk ka zgjidhje jotriviale. Cila është forma e reduktuar row-eçelon e A-së ?

9. Gjej a, b, dhe c të tilla që parabolay = ax2 + bx + c

të kalojë nga pikat (1,2),(-1,1), dhe (2,3).

10. Gjej a, b, c dhe d të tilla që polinomi i gradës së katërt

y = ax4 + bx3 + cx2 + d

të kalojë nga pikat (3,2), (-1,6), (-2,1), dhe (0,0).

Ushtrime programimi:

11. Shkruaj një program kompjuteri, i cili të zgjidh një sistem linear ekuacionesh me anë të metodës së Gausit dhe metodësGauss-Xhordan. Testo programin për sisteme shumë të mëdha dhe krahaso kohën për të dy metodat.

1.6 Matricat e anasjellta

Në këtë seksion do të studiojmë konceptin e rëndësishëm të matricave të anasjellta.

Përkufizim 1.16. Le të jetë A = [ai, j] një matricë katrore n × n. A quhet e invertueshme në qoftë se është një matricën × n A−1 e tillë që

AA−1 = A−1A = In.

A−1 quhet e anasjellta e A-së dhe A quhet e invertueshme. Në qoftë se A nuk është e invertueshme atëherë quhetsingulare.

Teorema 1.6 (Uniciteti i të anasjelltës). Le të jetë A një matricë e invertueshme . Atëherë e anasjellta e A-së është e vetme.

Vërtetim: Supozojmë se A ka dy matrica të anasjellta C dhe D. Atëherë,

AC = I = AD dhe CA = I = DA

Si rrjedhim kemi

D(AC) = DI = DD(AC) = (DA)C = IC = C

(1.7)

Kështu që C = D.Gjithashtu kemi edhe përfundimin e mëposhtëm:

Lema 1.6. Le të jenë A, B matrica të invertueshme . Atëherë AB është e invertueshme dhe

(AB)−1 = B−1A−1.

38 c©AulonaPress

Shaska T. Algjebra

Vërtetim: Ushtrim për lexuesin.

Përkufizim 1.17. Çdo matricë e cila përfitohet nga matrica identitet In duke bërë një veprim me rreshtat quhetmatricë elementare .

Teorema 1.7. Le të jetë A një matricë m × n dhe E një matricë elementare m ×m. Atëherë E A vepron me të njëjtat veprimeme rreshtat në A si dhe veprimet e kryera në In për të përfituar E.

Vërtetim: Le të jetë E një matricë elementare e përfituar si

ImRi←→R j−→ E.

Atëherë matrica e re është Ri(E) = (0, . . . , 0, 1, 0, . . . 0), ku 1 është në pozicionin e j-të. Kështu që elementët e Ri(E A)janë

Ri(E) · Cr(A), for r = 1, . . .n

dhe Ri(E A) = R j(A). Në të njëjtën mënyrë, R j(E A) = Ri(A).Rasti kur E përfitohet nga veprimet e tjera me rradhët bëhet në të njëjtën mënyrë dhe është lënë si ushtrim për

lexuesin.

1.6.1 Llogaritja e matricave të anasjellta duke përdorur formën row-eçelon

Le të jetë A një matricë e dhënë. Duam të gjejmë të anasjelltën e saj A−1 në qoftë se ekziston. Konsiderojmë nëfillim matricat elementare.

Le të jetë E një matricë elementare e përfituar nga ndërrimi i vendeve të dy rreshtave të matricës I. Në qoftë seu ndërojmë vendet të njëjtave rreshta në E, do të marrim përsëri I. Kështu që EE = I dhe i anasjellti i E-së ështëvet matrica E. Në qoftë se E përfitohet nga shumëzimi i një prej rreshtave me një skalar, atëherë pjestojmë të njëjtinrresht me të njëjtin skalar për të marrë përsëri I. Në qoftë se E përfitohet nga Ri → Ri + rR j atëherë duke bërëveprimet Ri → Ri − rR j do të marrim përsëri I-në. Si rrjedhim, kemi pohimin e mëposhtëm:

Lema 1.7. Matricat elementare janë të invertueshme

Vërtetim: Le të jetë E1 një matricë elemetare. Atëherë E1 përfitohet duke kryer disa veprime me rreshtat në matricënidentike I. Kryejmë të njëjtat veprime në E1 për të përfituar I. Kështu që E1 ka një të anasjelltë.

Shembull 1.24. Le të jetë E e dhënë si më poshtë

E =

1 0 0 00 0 0 10 0 1 00 1 0 0

Gjej të anasjelltën e saj.

Zgjidhje: E përfitohet duke i ndëruar vendet rreshtave R2 ←→ R4 të matricës identitet. Atëherë E është një matricë elementaredhe si rrjedhim e invertueshme. E anasjellta e saj është E meqënëse E2 = I.

Lema 1.8. Le të jenë A dhe B matrica katrore n × n. Atëherë, AB = In atëherë dhe vetëm atëherë kur BA = In.

Vërtetim: Eshtë e mjaftueshme të tregojmë se në qoftë se AB = In, atëherë BA = In, e anasjellta vërtetohet ngasimetria e A-së dhe B-së. Kështu që, supozojmë se AB = In. Le të jetë β një vektor çfarëdo në Rn. Atëherë ABβ = β.Pra, sistemi Ax = β ka gjithmonë një zgjidhje (x = Bβ). Nga Teorema 1.5 forma e reduktuar row-eçelon e A-së ështëIn. Kështu që, ekzistojnë E1, . . . ,Ek të tilla që

Ek · · ·E1A = In (1.8)

Duke shumëzuar të dyja anët nga e djathta me B, kemi

Ek · · ·E1 (AB) = B.

Por AB = In, kështu që Ek · · ·E1 = B. Si rrjedhim, nga ekuacioni (1.8) kemi BA = In.

c©AulonaPress 39

Algjebra Shaska T.

Tani, kthehemi përsëri tek çështja kryesore e këtij kreu, llogaritja e të anasjelltës së një matrice. Në përgjithësihapat e kryera janë si më poshtë. Le të jetë A = [ai, j] një matricë e dhënë. Për të gjetur A−1 kemi algoritmin emëposhtëm:

Algorithm 2. Input: Një matricë katrore A.Output: Përcakton nëse A−1 ekziston, në qoftë se po gjen A−1.

1) Formo matricën e augmentuar [A | I]2) Përdor metodën e Gauss-Xhordan për të reduktuar [A | I] në [I | C]. Në qoftë se kjo është e mundur atëherë

C = A−1, në të kundërt A−1 nuk ekziston.

Shembull 1.25. Gjej të anasjelltën e matricës së mëposhtme

A =

-1 1 0 20 2 1 00 1 -2 10 -1 -1 0

Zgjidhje: Formo matricën [A | I]. Atëherë forma e saj e reduktuar row-eçelon është:

[I | C] =

1 0 0 0 -1 -5 2 -90 1 0 0 0 1 0 10 0 1 0 0 -1 0 -20 0 0 1 0 -3 1 -5

Kështu që,

A−1 = C =

-1 -5 2 -90 1 0 10 -1 0 -20 -3 1 -5

Shembull 1.26. Le të jetë A një matricë e dhënë

A =

1 0 0 -11 1 1 0-1 1 1 00 0 -1 -1

Gjej të anasjelltën e saj.

Zgjidhje: Krijo [A | I] si më poshtë

[A | I] =

1 0 0 -1 1 0 0 01 1 1 0 0 1 0 0-1 1 1 0 0 0 1 00 0 -1 -1 0 0 0 1

Forma e saj e reduktuar row-eçelon është

[I | A−1] =

1 0 0 0 0 1

2 - 12 0

0 1 0 0 -1 1 0 10 0 1 0 1 - 1

212 -1

0 0 0 1 -1 12 - 1

2 0

Vërejtje 1.3. Më sipër treguam se si të gjejmë të anasjelltën e një matrice. Gjithësesi e anasjellta e një matrice në disa rastemund të mos ekzistojë. Në kapitullin në vazhdim do studiojmë disa kushte të mjaftueshme dhe të nevojshme që e anasjellta injë matrice të ekzistojë.

40 c©AulonaPress

Shaska T. Algjebra

Ushtrime:

1. a) Le të jetë A një matricë katrore e tillë që A2 = 0. Gjej të anasjelltin e I − A.b) Le të jetë A një matricë katrore e tillë që A2 + 2A + I = 0. Gjej të anasjelltën e A.c) Le të jetë A një matricë katrore e tillë që A3

− A + I = 0. Gjej të anasjelltën e A.d) Le të jetë A një matricë katrore e tillë që An = 0. Gjej të anasjelltën e I − A.

2. Gjej të anasjelltën e

A =

[1 a0 1

]A ka A të anasjelltë për çdo vlerë të a-së?

3. Për cilat vlera të a, b, c, d e anasjellta e

A =

[a bc d

]ekziston? Gjej të anasjelltën për këto vlera të a, b, c, d.

4. Zgjidh sistemin linearAx = β

në qoftë se A është e invertueshme .

5. Vërteto se në qoftë se B është e invertueshme, atëherë tr(A) = tr(BAB−1).

6. Le të jetë

A =

1 2 -10 3 12 0 1

Nëse është e mundur, gjej një maticë B të tillë që AB = 2I.

7. Gjej të anasjelltën e matricës së mëposhtme

A =

5 2 0 23 2 1 03 1 -2 42 4 -1 2

.8. Le të jenë

A =

1 2 3-2 1 23 2 1

, B =

3 0 12 0 20 2 1

,dy matrica të dhëna. Gjej: tr(A), tr(B), At, AB, BtAt, tr(BAB−1).

9. Vërteto se në qoftë se A është e invertueshme atëhere edhe At është e invertueshme.

10. Le të jetë r një numër i plotë pozitiv dhe A një matricë e invertueshme. A është Ar domozdoshmërisht e invertueshme ?Justifiko përgjigjen e dhënë.

c©AulonaPress 41

Algjebra Shaska T.

Ushtrime përsëritje

11. Gjej formën e reduktuar row-eçelon të matricës. Trego të gjitha veprimet me rradhët. 4 2 3 3-2 1 1 23 -1 2 1

12. Gjej këndin ndërmjet vektorëve u = (1, 2, 3) dhe v = (5, 1, 8).

13. Përcakto të gjitha vlerat e b1, b2 të tilla që sistemi i mëposhtëm të mos ketë asnjë zgjidhjex1 + 2x2 − x3 = b1

− 2x1 − 4x2 + 2x3 = b2

x1 − x2 + x3 = 2

14. Gjej sipërfaqen e trekëndëshit ndërmjet tre pikave (1, 2), (3, 4), (5, 6).

15. Le të jenë dhënë matricat

A =

3 2 3-2 1 20 1 1

, B =

2 -2 12 0 20 2 2

,Gjej: tr(A), tr(B), At, AB, BtAt, tr(BAB−1).

16. Vërteto se në qoftë se AB është e invertueshme, atëherë po kështu janë edhe A dhe B.

17. Një matricë katrore quhet matricë trekëndëshe e sipërme në qoftë se të gjithë elementët nën diagonalen kryesore janëzero. Sa është shuma dhe produkti i matricave matricë trekëndëshe të sipërme? Justifiko përgjigjen e dhënë.

18. Një matricë katrore quhet matricë trekëndëshe e poshtme në qoftë se të gjitha elementët mbi diagonalen kryesore janëzero. Sa është shuma dhe produkti i matricave trekëndëshe të poshtme? Le të jetë V := Matn×n(R) bashkësia e të gjithamatricave n × n në R, W1 bashkësia e matricave matricë trekëndëshe e sipërme të V-së, dhe W2 bashkësia e të gjitha matricavetrekëndëshe të poshtme të V-së. Çfarë është prerja e W1 ∩W2?

19. Le të jetë A një matricë 3 me 2. Vërteto se ekziston një vektor β i tillë që sistemi linear

Ax = β

është i pazgjidhshëm.

20. Le të jetë A një matricë m × n me m > n. Vërteto se ekziston një β, e tillë që sistemi linear Ax = β është i pazgjidhshëm.

21. Le të jetë A një matricë m × n dhe B një matricë n ×m, ku m > n. Përdor rezultatin e mësipërm për të vërtetuar se formarow-eçelon e matricës AB ka të paktën një rresht me të gjitha elementët zero.

22. Gjej të gjitha matricat B të tilla që

i)[

0 10 2

]B =

[0 00 0

]ii)

[0 10 2

]B =

[0 0 10 0 2

]42 c©AulonaPress

Shaska T. Algjebra

23. Gjej të gjitha matricat të cilat janë ndërrimtare me [0 10 2

]24. Vërteto se në qoftë se AB = BA atëherë At Bt = Bt At.

25. Le të jetë V bashkësia e të gjitha matricave m × n me elementë në R. Vërteto se matricat skalare janë ndërrimtare me tëgjitha matricat nga V. A ka matrica të tjera, të cilat janë ndërrimtare me të gjitha matricat e V-së?

26. Le të jenë a, b, c, d numra realë jo të gjithë zero. Vërteto se sistemi i mëposhtëm ka vetëm një zgjidhjeax1 + bx2 + cx3 + dx4 = 0bx1 − ax2 + dx3 − cx4 = 0cx1 − dx2 − ax3 + bx4 = 0dx1 + cx2 − bx3 − ax4 = 0

27. Për çfarë vlere λ ka zgjidhje sistemi i mëposhtëm:2x1 − x2 + x3 + x4 = 1x1 + 2x2 − x3 + 4x4 = 2x1 + 7x2 − 4x3 + 11x4 = λ

28. Sistemi i mëposhtëm ka një zgjidhje të vetme: ay + bx = ccx + az = bbz + cy = a.

Vërteto se abc , 0. Gjej zgjidhjen e sistemit.

29. Gjej: [1 10 1

]n

,

[1 01 1

]n

,

[1 11 1

]n

30. Le të jetë

A =

[a bc a

],

e tillë që A2 = I. Vërteto se relacioni i mëposhtëm është i vërtetë kur zëvendësojmë x me A:

x2− (a + d)x + (ad − bc) = 0.

31. Le të jetë A një matricë 3 me 3. A mund të përgjithësoni problemin e mësipërm për këtë rast? Po në rastin kur A është njëmatricë n × n?

32. Gjej rendin e matricave të mëposhtme[1 -11 0

],

[1 -10 1

],

[-1 10 1

],

[1 -1

-1 0

]Ushtrime programimi:

33. Shkruaj një program kompjuteri i cili llogarit fuqinë Am të një matrice A (n × n). Ekzekutoni programin për disa matricadhe kontrollo nëse programi është eficient.

c©AulonaPress 43

Algjebra Shaska T.

44 c©AulonaPress

Kapitulli 2

Hapësirat vektoriale

Në këtë kapitull do përkufizojmë formalisht hapësirat vektoriale. Pasi diskutuam në kapitullin e mëparshëmhapësirat Euklidiane, koncepti i hapësirës vektoriale në këtë kapitull do të jetë më intuitiv. Gjatë këtij kapitulli mek do të shënojmë një fushë. Për qëllimin tonë k është një nga bashkësitë që vijojnë Q, R, C. Për më tepër detaje mbifushat shih në Apendiks.

2.1 Përkufizimi i hapësirave vektoriale

Le të jetë S një bashkësi dhe

f : S × S→ S(a, b)→ f (a, b)

(2.1)

një funksion. Një funksion të tillë do ta quajmë veprim binar të përkufizuar në S.

Shembull 2.1. Le të jetë Z një bashkësi numrash të plotë dhe "+"i përkufizuar si

” + ” : Z ×Z→ Z(a, b)→ a + b

(2.2)

Atëherë, "+"është një veprim binar i përkufizuar në Z.

Le të jetë V një bashkësi e dhënë dhe ′′+′′ veprim binar i përkufizuar si më poshtë

” + ” : V × V → V(u,v)→ u + v

(2.3)

Le të jetë ′′∗′′ një tjetër veprim binar

” ∗ ” : k × V → V(r,u)→ r ∗ u

(2.4)

Përkufizim 2.1. (V,+, ∗) është një hapësirë vektoriale mbi k në qoftë se plotëson vetitë e mëposhtme:

1) (u + v) + w = u + (v + w), ∀u, v,w ∈ V

2) u + v = v + u, ∀u, v ∈ V

3) ∃ 0 ∈ V, s.t. 0 + u = u + 0 = u, ∀u ∈ V

45

Algjebra Shaska T.

4) ∀u ∈ V, ekziston − u ∈ V e tillë që u − u = 0

5) ∀ r ∈ k,u, v ∈ V, r ∗ (u + v) = r ∗ u + r ∗ v

6) ∀ r, s ∈ k,u ∈ V, (r + s) ∗ u = r ∗ u + s ∗ u

7) ∀ r, s ∈ k,u ∈ V, (rs) ∗ u = r ∗ (s ∗ u)

8) ∃ 1 ∈ k, s.t.∀u ∈ V, 1 ∗ u = u

Vetitë 1) dhe 2) tregojnë se mbledhja ka vetinë e shoqërimit dhe të ndërrimit. Nga vetia 3) kemi vetinë eidentitetit të mbledhjes dhe nga vetia 8) vetinë e identitetit të shumëzimit. Vetia 4) tregon vetinë e të anasjelltit tëshumës që zakonisht e quajmë i kundërti. Elementët r, s ∈ k quhen skalarë. Që këtej e tutje ne nuk do të përdorimmë ′∗′.

Elementët e hapësirës vektoriale quhen vektorë. Që këtej e tutje V/k do quajmë një hapësirë vektoriale mbi njëfushë k. Shpesh mund të përdorim thjesht simbolin V. Në vazhdim do të japim disa shembuj klasikë hapësirashvektoriale.

Shembull 2.2. (Hapësirat EuklideaneRn) Vërteto seRn është një hapësirë vektoriale me mbledhjen e zakontë të vektorëvedhe shumëzimin skalar. Cili është identiteti i mbledhjes dhe shumëzimit? �

Shembull 2.3. (Hapësira e polinomeve me koeficientë në k) Shënojmë me k[x] bashkësinë e polinomeve

f (x) = anxn + an−1xn−1 + · · · + a1x + a0

ku a0, . . . , an ∈ k. Pëcaktojmë shumën dhe prodhimin skalar të dy polinomeve me

( f + g)(x) := f (x) + g(x)(r f )(x) := r f (x)

(2.5)

për çdo r ∈ k. Atëherë, k[x] është një hapësirë vektoriale mbi k. k[x] e quajmë gjithashtu edhe unaza polinomiale të polinomeveme një ndryshor. Shiko Kapitullin 4 për më shumë detaje. �

Shembull 2.4. (Hapësira e matricave n × n) Bashkësia e matricave n × n me elementë nga fusha k, së bashku me matricënshumë dhe shumëzimin skalar formojnë një hapësirë vektoriale. E shënojmë këtë hapësirë me Matn×n(k). �

Shembull 2.5. (Hapësira e funksioneve nga R në R) Le të jetë L(R) bashkësia e të gjithë funksioneve

f : R −→ R

Shënojmë shumën dhe prodhimin skalar të dy funksioneve me

( f + g)(x) := f (x) + g(x)(r f )(x) := r f (x)

(2.6)

për çdo dy r ∈ R. Vërteto se L(R) është një hapësirë vektoriale mbi R. �

Përgjithësojmë shembullin e mësipërm si më poshtë:

Shembull 2.6. (Hapësirat e funksioneve) Le të jetë S një bashkësi dhe k një fushë. Një funksion quhet k-vlerë në qoftë se

f : S −→ k

Le të jetë V bashkësia e të gjithë funksioneve k-valued. Shënojmë shumën dhe prodhimin skalar të dy funksioneve në V simë poshtë

( f + g)(x) := f (x) + g(x)(r f )(x) := r f (x)

(2.7)

për çdo r ∈ k. Atëherë V është një hapësirë vektoriale mbi k. �

46 c©AulonaPress

Shaska T. Algjebra

Përkufizim 2.2. Një nënbashkësi W ⊂ V quhet nënhapësirë e V-së në qoftë se vetë nënbashkësia W është njëhapësirë vektoriale.

Shembull 2.7. Le të jetë V = R3. Atëherë çdo v ∈ V është një treshe e renditur

v = (x, y, z).

Le të jetë W bashkësia e vektorëve v ∈ V të tillë që, kordinata e fundit e çdo vektori është 0

W = {v = (x, y, 0) | v ∈ V}.

Si rrjedhim W do të jetë bashkësia R2 e cila është gjithashtu një hapësirë vektoriale. Kështu që, W është një nënhapësirë eV-së. �

Një bashkësi S e V-së quhet e mbyllur nën mbledhjen në qoftë se për çdo u,v ∈ S kemi (u + v) ∈ S. Quhet embyllur nën prodhimin skalar në qoftë se për çdo u ∈ S dhe r ∈ k kemi ru ∈ S.

Lema 2.1. Cdo nënbashkësi W ⊂ V është një hapësirë vektoriale atëherë dhe vetëm atëherë kur është e mbyllur nën mbledhjen,prodhimin skalar dhe përmban 0.

Vërtetim: Ushtrim për lexuesin. �

Shembull 2.8. Le të jetë V = R3 dhe P plani i përcaktuar nga vektorët u dhe v të cilët kalojnë nga origjina. Ky plan ështëhapësirë vektoriale sepse: përmban vektorin zero, shuma e çdo dy vektorëve në P është përsëri në P, dhe çdo vektor në P ishumëzuar me një skalar është përsëri në P. �

Shembull 2.9. (Hapësira nul e një matrice:) Le të jetë A një matricë e dhënë. Shohim bashkësinë e të gjithë vektorëve nëRn të cilët kënaqin ekuacionin

Ax = 0.

Këtë bashkësi e quajmë hapësira nul të A-së dhe është një nënhapësirë e Rn-së. Vërtetimi është i lehtë dhe është lënë siushtrim. �

Përkufizim 2.3. Le të jetë V një hapësirë vektoriale mbi k dhe v1, . . . vn ∈ V. Atëherë, v është një kombinim linear iv1, . . . vn në qoftë se mund të shkruhet si

v = r1v1 + · · · + rnvn

ku r1, . . . , rn ∈ k.

Kemi lemën e mëposhtme:

Lema 2.2. Le të jetë V një hapësirë vektoriale dhe v1, . . . , vn ∈ V. Bashkësia W e të gjitha kombinimeve lineare të v1, . . . , vnështë një nënhapësirë e V-së.

Vërtetim: Ushtrime. �

2.1.1 Vektorët linearisht të pavarur

Le të jetë V një hapësirë vektoriale dhe u1, . . . ,un vektorë në V.

Përkufizim 2.4. Vektorët u1, . . . ,un quhen linearisht të pavarur në qoftë se

r1u1 + · · · + rnun = 0

sjell si rrjedhimr1 = · · · = rn = 0,

në të kundërt, themi se u1, . . . ,un janë linearisht të varur.

Kështu që, bashkësia e vektorëve u1, . . . ,un janë linearisht të varur në qoftë se njëri prej tyre është i shprehur sikombinim linear i vektorëve të tjerë.

c©AulonaPress 47

Algjebra Shaska T.

Shembull 2.10. Vërteto se u1 = (2, 3, 1), u2 = (1, 2, 1), dhe u3 = (1, 1, 1) janë linearisht të pavarur në R3.

Zgjidhje: Duhet të gjejmë nëse ekzistojnë r1, r2, r3, jo të gjithë zero, të tillë që

r1u1 + r2u2 + r3u3 = 0.

Kemi(2r1 + r2 + r3, 3r1 + 2r2 + r3, r1 + r2 + r3) = (0, 0, 0)

Matrica e augmentuar dhe forma e saj e reduktuar row-eçelon është

[A | 0] =

2 1 1 03 2 1 01 1 1 0

[H | ] =

1 0 0 00 1 0 00 0 1 0

Meqënëse çdo rresht ka një pivot, atëherë sistemi ka një zgjidhje të vetme (r1, r2, r3) = (0, 0, 0). Si rrjedhim, u1,u2,u3 janëlinearisht të pavarur. �

Shembulli në vazhdim duhet të jetë i njohur për studentët të cilët kanë njohuri mbi ekuacionet diferenciale:

Shembull 2.11. Le të jetë L(R) hapësira vektoriale e të gjithë funksioneve me vlera reale në t. Vërteto se çiftet e funksionevesin t, cos t janë linearisht të pavarur.

Zgjidhje: Le të jetë r1, r2 ∈ R të tillë qër1 sin t + r2 cos t = 0,

për çdo t ∈ R. Marrim t = 0, atëherë r2 = 0. Në qoftë se marrim t = π2 , atëherë r1 = 0. Kështu që, sin t dhe cos t janë

linearisht të pavarur. �

Ushtrime:

1. Le të jenë U,W nënhapësira të V-së. Përcaktojmë shumën e nënhapësirave të U dhe W me

U + W := {u + w |u ∈ U, w ∈W}.

Vërteto se U ∩W dhe U + W janë nënhapësira të V-së.

2. Le të jetë u ∈ V = Rn dheWu := {v ∈ V |u · v = 0}.

Vërteto se Wu është një nënhapësirë e V-së.

3. Le të jetë S një bashkësi dhe V një hapësirë vektoriale mbi fushën k. Vërteto se bashkësia e funksioneve

f : S→ k,

nën funksionin e mbledhjes dhe shumëzimit me një konstante është një hapësirë vektoriale.

4. Le të jetëL(R) një hapësirë vektoriale e të gjithë funksioneve me vlera reale në t. Vërteto se ciftet e mëposhtmejanë linearisht të pavarur.

i) t, et

ii) sin t, cos 2t

iii) tet, e2t

iv) t, sin t.

48 c©AulonaPress

Shaska T. Algjebra

5. Një matricë trekëndëshe e sipërme është një matricë A = [ai, j] e tillë që ai, j = 0 për të gjitha i < j. Vërteto sehapësira e matricave të sipërme trekëndëshe është një nënhapësirë e Matn×n(R).

6. Vërteto se k[x] është një hapësirë vektoriale mbi fushën k.

7. Le të jetë k një fushë dhe A := k[x] një unazë polinomiale. Shënojmë me An bashkësinë e polinomeve në A tëgradës n. A është An një nënhapësirë e A-së? Justifiko përgjigjen.

8. Le të jetë k një fushë dhe A := k[x] unaza polinomiale. Shënojmë me Pn bashkësinë e polinomeve në A tëgradës ≤ n. A është Pn një nënhapësirë e A-së? Justifiko përgjigjen.

9. Le të jetë Q bashkësia e numrave racional dhe

Q(√

2) := {a + b√

2 | a, b ∈ Q}.

Vërteto seQ(√

2) është një hapësirë vektoriale mbiQme veprimin e zakonshëm të mbledhjes dhe shumëzimitskalar.

10. Dimë se bashkësia e numrave kompleks C është dhënë nga

C := {a + bi | a, b ∈ R}

ku i =√−1. A është C një hapësirë vektoriale mbiRme veprimin e zakonshëm të mbledhjes dhe shumëzimit

skalar?

11. Le të jetë V bashkësia e matricave 2 × 2 të formës [0 xy 0

]ku x, y janë skalar cfarëdo në R. A është V një hapësirë vektoriale mbi R?

12. A është R një hapësirë vektoriale mbi Q?

2.2 Bazat dhe dimensionet

Në këtë seksion do të studiojmë dy koncepte shumë të rëndësishme të teorisë së hapësirave vektoriale, atë tëbazave dhe dimensioneve. Le të jetë V një hapësirë vektoriale mbi k dhe B := {v1, . . . , vn} ⊂ V. Shënojmë me Wbashkësinë e të gjitha kombinimeve lineare të v1, . . . , vn në V. Themi se W është e gjeneruar nga v1, . . . , vn.

Përkufizim 2.5. Le të jetë V një hapësirë vektoriale mbi k dhe B := {v1, . . . , vn} ⊂ V. Atëherë B është bazë e V-së nëqoftë se plotësohen kushtet e mëposhtme:

i) V = 〈v1, . . . , vn〉 të tillë që v1, . . . , vn gjeneron Vii) v1, . . . , vn janë linearisht të pavarur.

Shembull 2.12. Le të jetë V = R2. Një bazë e kësaj hapësire vektoriale është

B = {i, j}

ku i = (0, 1) dhe j = (1, 0).

c©AulonaPress 49

Algjebra Shaska T.

Zgjidhje: Në të vërtetë, ne dimë prej kalkulusit se çdo vektor v ∈ R2 mund të shkruhet si një kombinim linear i i-së dhe j-së simë poshtë:

v = r1i + r2 j

për ndonjë numër realë r1, r2. Kjo quhet baza standard e R2. �

Teorema 2.1. Le të jetë V një hapësirë vektoriale mbi k dhe B := {v1, . . . , vn} baza e V-së. Në qoftë se

x1v1 + · · · + xnvn = y1v1 + · · · + ynvn,

atëherëxi = yi, për i = 1, . . . ,n.

Vërtetim: Ngax1v1 + · · · + xnvn = y1v1 + · · · + ynvn

marrim(x1 − y1)v1 + · · · + (xn − yn)vn = 0.

Meqënëse B := {v1, . . . , vn} është një bazë e V-së, atëherë v1, . . . , vn janë linearisht të pavarur. Kështu që

xi = yi, for i = 1, . . . ,n.

�Teorema sjell si rrjedhim përkufizimin e mëposhtëm:

Përkufizim 2.6. Le të jetë V një hapësirë vektoriale, B := {v1, . . . , vn} një bazë e V-së, dhe u ∈ V e dhënë nga

u := x1v1 + · · · + xnvn.

atëherë (x1, . . . , xn) quhen kordinatat e u-së në lidhje me B-në.

Teorema 2.2. Le të jetë V një hapësirë vektoriale mbi fushën k dhe B1 dhe B2 bazat e V-së të tilla që |B1| = m dhe |B2| = n.Atëherë, m = n.

Vërtetim: Le të jenë bazat B1 dhe B2 të tilla që

B1 = {v1, . . . , vm} dhe B2 = {w1, . . . ,wn}

dhe supozojmë se m < n.Meqënëse {v1, . . . , vn} është një bazë, atëherë ekziston x1, . . . , xn ∈ k të tilla që

w1 = x1v1 + · · · + xmvm.

Dimë se w1 , 0, meqënëse B2 është një bazë, atëherë të paktën një prej x1, . . . , xm është e ndryshme nga zero. Pahumbur gjeneralitetin, mund të supozojmë se x1 , 0. Atëherë kemi

x1v1 = w1 − x2v2 − · · · − xmvm

Kështu që,

v1 =1x1

w1 −x2

x1v2 − · · · −

xm

x1vm.

Nënhapësira W e gjeneruar nga {w1, v2, . . . , vm} përmban v1. Kështu që, W = V. Vazhdojmë këtë procedurë derisazëvendësojmë të gjitha v2, . . . , vm me w2, . . .wm. Kështu që kemi se bashkësia

{w1, . . . ,wm}

gjeneron V-në. Atëherë për çdo i > m kemi wi-të si një kombinim linear të w1, . . . ,wm. Kjo bie në kontradiktë sepsew1, . . . ,wn janë linearisht të pavarur meqënëseB2 është një bazë. Kështu që, m ≥ n. Duke ndërruar vendet eB1 dheB2 marrim m = n.

�Prej nga kemi përkufizimin e mëposhtëm.

50 c©AulonaPress

Shaska T. Algjebra

Përkufizim 2.7. Le të jetë V një hapësirë vektoriale dhe B një bazë e V-së. Atëherë,

dim(V) := |B|

quhet dimensioni i V-së.

Hapësirat vektoriale me dimension të fundëm quhen hapësirë vektoriale me dimension të fundëm. Në këtëlibër do të studiojmë kryesisht hapësirat vektoriale me dimension të fundëm.

Le të jetë V një hapësirë vektoriale. Nënhapësira W e V-së me dimension dim(W) = 1 quhet drejtëz dhenënhapësira me dimension 2 quhet plan.

Teorema e mëposhtme është shumë e rëndësishme për të gjetur një bazë. Vërtetimin e saj nuk do ta trajtojmë.

Teorema 2.3. Le të jetë V një hapësirë vektoriale me dim(V) = n dhe {v1, . . . , vn} linearisht të pavarur. Atëherë, {v1, . . . , vn}

është bazë për V-në.

Vërtetim: Ushtrime. �

Rrjedhim 2.1. Le të jetë V një hapësirë vektoriale dhe W një nënhapësirë e V-së. Në qoftë se dim(W) = dim(V), atëherëW = V.

Vërtetim: Marrim një bazë B = {w1, . . .wn} të W. Kështu që, w1, . . . ,wn janë linearisht të pavarur. Atëherë ngateorema e mësipërme ata gjenerojnë V-në. �

Rrjedhim 2.2. Le të jetë V një hapësirë vektoriale dhe W një nënhapësirë e V-së. Atëherë

dim(W) ≤ dim(V).

Vërtetim: Ushtrim. �

Shembull 2.13. Le të jenë u = (1, 3) dhe v = (2, 7) vektorë në V = R2. Cfarë është hapësira W = 〈u,v〉?

Zgjidhje: Nga shembujt e mësipërm dimë se dim(V) = 2. Atëherë nga rrjedhimi i mësipërm

dim(W) ≤ 2.

Meqënëse u dhe v nuk janë shumëfisha të njëri tjetrit, atëherë ata janë të pavarur. Kështu që, dim(W) = 2. Nga Rrjedhimi 2.1kemi se W = R2.

�

2.2.1 Një bazë për Matn×n(R)

Shembujt e bazave që kemi parë deri janë nga hapësiratRn. Gjithsesi, rezultatet e mësipërme janë të vërteta përçdo hapësirë vektoriale. Pra cfarë është një bazë dhe dimensioni i Matn×n(R)?

Shembull 2.14. Le të jetë V = Mat2×2(R). Gjej një bazë për V-në dhe dimensionin e tij.

Zgjidhje: Së pari vëmë re se çdo matricë

A =

[a bc d

]∈ V

mund të shkruhet si

A =

[a bc d

]= a

[1 00 0

]+ b

[0 10 0

]+ c

[0 01 0

]+ d

[0 00 1

]Kështu që bashkësia B = {M1,M2,M3,M4} ,ku

M1 =

[1 00 0

], M2 =

[0 10 0

], M3 =

[0 01 0

], M4 =

[0 00 1

],

c©AulonaPress 51

Algjebra Shaska T.

gjeneron të gjitha elementet e V-së. A janë M1,M2,M3,M4 linearisht të pavarur? Në qoftë se

r1M1 + r2M2 + r3M3 + r4M4 = 0,

tëherë [r1 r2r3 r4

]=

[0 00 0

]e cila na jep

r1 = r2 = r3 = r4 = 0.

Kështu që, B është një bazë e V-së dhe dim(V) = 4. �

Vërejtje 2.1. Në përgjithësi, mund të gjejmë një bazë të Matn×n(k) si më sipër dhe të vërtetojmë se dimensioni është n2.

2.2.2 Gjetja e bazës e një nënhapësire në kn

Le të jenë w1, . . . ,wm vektor në Rn dhe W = Span(w1, . . . ,wm). Nga Lema 2.2, W është një nënhapësirë e Rn-së.Ne duam të gjejmë një bazë për W. Së pari duhet të shohim nëse w1, . . . ,wm janë të pavarur. Kështu që, duhet tëgjejmë skalar r1, . . . , rm ∈ R të tillë që

r1w1 + · · · + rmwm = 0.

Le të jetë w1, . . . ,wm si më poshtë:

w1 = (w1,1, . . . ,w1,n)w2 = (w2,1, . . . ,w2,n)

. . .

. . .

wm = (wm,1, . . . ,wm,n)

(2.8)

Atëherër1w1 + · · · + rmwm = 0

sjell se w1,1r1 + w2,1r2 + · · · + wm,1rm = 0w1,2r1 + w2,2r2 + · · · + wm,2rm = 0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

w1,nr1 + w2,nr2 + · · · + wm,n rm = 0

Kështu që kemi sistemin w1,1 w2,1 . . . wm,1

w1,2 w2,2 . . . wm,2

. . . . . . . . . . . .

w1,n w2,n . . . wm,n

·

r1r2r3

rm

=

000

0

.

i cili mund të shkruhet si

[ w1 |w2 | · · · |wm ] ·

r1r2r3

rm

=

000

0

.

Për të zgjidhur këtë sistem gjejmë formën row-eçelon të matricës

A = [w1 | w2 | . . . | wm].

52 c©AulonaPress

Shaska T. Algjebra

Në qoftë se forma row-eçelon ka nga një pivot në secilën kolonë, atëherë w1, . . . ,wm janë linearisht të pavarur, në tëkundërt janë linearisht të varur. Vektorët të cilët formojnë bazë në këtë rast janë të njëjtët vektorë korespondues mekolonat me pivot. Pra kemi algoritmin e mëposhtëm:

Algorithm 3. Input: Një nënhapësirë W e gjeneruar nga w1, . . . ,wm në kn.Output: Një bazë e W-së

i) Nga matrica A = [w1 | w2 | . . . | wm]ii) Gjej formën row-eçelon të A-sëiii) Kolonat me pivot vijnë prej wi-ve, të cilat formon një bazë për W.

Shembull 2.15. Le të jetë W = Span(w1,w2,w3,w4) ⊂ R4 të tilla që

w1 = (1, 2, 3, 1)w2 = (−1, 3, 1, 5)w3 = (2, 4, 2, 6)w4 = (3, 3, 1, 5)

(2.9)

Gjej një bazë për W.

Zgjidhje: Formojmë matricën A = [w1, . . . ,wn].

A =

1 -1 2 32 3 4 33 1 2 11 5 6 5

Forma e reduktuar row-eçelon e A-së është

1 0 0 −25

0 1 0 −35

0 0 1 75

0 0 0 0

Kështu që, baza e W-së është B = {w1,w2,w3}. �

Teorema 2.4. dim(Rn) = n

Vërtetim: Marrim bashkësinëB = {(1, 0, . . . , 0), (0, 1, 0, . . . , 0), . . . , (0, . . . , 1)}

e vektorëve elementar. Eshtë e qartë se kjo bashkësi gjeneron Rn meqënëse çdo vektor në Rn mund të shkruhet sinjë kombinim linear elementësh në B.

Krijojmë matricën A = [w1, . . . ,wn]. Atëherë A = I, pra është në formën e reduktuar row-eçelon. Meqënëse çdokolonë ka një pivot, atëherë elementët e B-së janë linearisht të pavarur.

�Baza B quhet baza standarte e Rn.

Shembull 2.16. Le të jetë P4 hapësira vektoriale e polinomeve me koeficientë realë dhe gradë≤ 4. Përcakto nëse { f1, f2, f3, f4, f5}të dhëna si më poshtë

f1 = 2x4− x3 + 2x2

− 1

f2 = x4− x

f3 = x4 + x3 + x2 + x + 1

f4 = x2− 1

f5 = x − 1

c©AulonaPress 53

Algjebra Shaska T.

formojnë një bazë për P4.

Zgjidhje: Marrim bazënB = {x4, x3, x2, x, 1} për P4. Lexuesi duhet të verifikojë se kjo është një bazë për P4. Atëherë kordinatate f1, f2, f3, f4, f5 në lidhje me bazënB janë

f1 = (2,−1, 2, 0,−1)f2 = (1, 0, 0,−1, 0)f3 = (1, 1, 1, 1, 1)f4 = (0, 0, 1, 0,−1)f5 = (0, 0, 0, 1,−1)

Ne mund të përcaktojmë nëse polinomët janë të pavarur duke përcaktuar së pari nëse kordinatat e vektorëve korespondues nëR5 janë të pavarur. Matrica koresponduese është

2 1 1 0 0-1 0 1 0 02 0 1 1 00 -1 1 0 1

-1 0 1 -1 -1

dhe forma e saj e reduktuar row-eçelon është matrica identike I5. Meqënëse çdo kolonë ka një pivot atëherë vektorët janë tëpavarur në R5 dhe si rrjedhim f1, . . . f5 janë të pavarur në P4. Dimensioni i P4 është dim P4 = 5. Kështu që { f1, f2, f3, f4, f5}formon një bazë për P4. �

Ushtrime:

1. Le të jetë V një hapësirë vektoriale mbi k. Në qoftë se një bashkësi vektorësh është linearisht e pavarur në V,provo se bashkësia nuk e përmban vektorin zero.

2. Le të jetë W = Span(w1,w2,w3) ⊂ R4 e tillë që

w1 = (1, 2, 3, 1)w2 = (−1, 3, 1, 5)w3 = (1, 4, 0, 6)

(2.10)

Gjej një bazë për W.

3. Le të jetë W = Span(w1,w2) ⊂ R6 të tillë që

w1 = (1, 2, 3, 1, 9, 5)w2 = (2, 4, 6, 2, 18, 10)

(2.11)

Gjej një bazë për W.

4. Vërteto se çdo bashkësi B ⊂ Rn, n vektorësh jo-zero të cilët janë dy nga dy pingulë formojnë një bazë për Rn.

5. Le të jetë V = Mat3×3(R). Gjej një bazë për V dhe dimensionin e V-së.

6. Le të jetë V = k[x]. Vërteto sef1 = x6 + x4 dhe f2 = x6 + 3x4

− x,

janë linearisht të pavarur.

54 c©AulonaPress

Shaska T. Algjebra

7. Le të jetë k një fushë dhe V := k[x] hapësira vektoriale e polinomeve në x. Shëno me Pn hapësirën e polinomevenë V të gradës ≤ n. Gjej një bazë për Pn.

8. Le të jetë V hapësira vektoriale e funksioneve f : R→ R. Le të jetë W nënhapësira e V-së e tillë që

W := Span (sin2 x, cos2 x).

Vërteto se W përmban të gjithë funksionët konstant.

9. Le të jetë V hapësira vektoriale e funksioneve f : R→ R. Vërteto se bashkësia

{1, sin x, sin 2x, . . . , sin nx}

është një bashkësi e pavarur vektorësh në V.

10. Le të jetë V hapësira vektoriale e funksioneve f : R→ R. Gjej një bazë të nënhapësirës

W = Span (3 − sin x, 2 sin 2x − sin 3x, 3 sin 2x − sin 4x, sin 5x − sin 2x}.

Udhëzim : Përdor ushtrimin e mëparshëm.

Ushtrime programimi:

1) Shkruaj një program kompjuteri, i cili llogarit një bazë për

W = Span(w1, . . . ,wn) ⊂ Rn.

2.3 Hapësira nul dhe rangu i një matrice

Le të jetë A një matricë m × n mbi k. Marrim në konsideratë të gjitha rreshtat Ri të A-së. Këta janë vektorënë kn. Hapësira e gjeneruar nga vektorët-rradhë të A-së quhet hapësira e rradhëve e A-së. Në të njëjtën mënyrëvektorët-kolonë të A-së janë vektorë në km dhe hapësira e gjeneruar e vektorëve-kolonë quhet hapësira e kolonavee A-së. Si më parë hapësira nul e A-së do të jetë bashkësia e zgjidhjeve të A-së.

Teorema 2.5. Le të jetë A një matricë m × n. Dimensioni i hapësirës rresht është i njëjtë me dimensionin e hapësirës kolonë.Ky dimension i përbashkët është i barabartë me numrin e pivotëve të formës row-eçelon të A-së.

Vërtetim: Përdorim metodën e mësipërme për të gjetur dimensionin për të dy rastet. Ky dimension është numri ipivotëve.

�Ky dimension i përbashkët quhet rangu i A-së dhe shënohet me rank (A). Dimension i hapësirës nul quhetnulitet i A-së dhe shënohet me null (A).

Teorema 2.6. Le të jetë A një matricë m × n dhe H forma e saj row-eçeloni) rank (A) = numri i pivotëve të H-sëii) null (A)= numri i kolonave pa asnjë pivot

Për më tepër,rank (A) + null (A) = n

Vërtetim: Na ka mbetur për të treguar se null (A) është i barabartë me numrin e kolonave pa pivot në formën row-eçelon. Kjo është e qartë, meqënëse numri i ndryshore të lira për sistemin korespondues linear është i barabartë menumrin e kolonave pa pivot të A-së në formën row-eçelon . �

c©AulonaPress 55

Algjebra Shaska T.

Shembull 2.17. Gjej rangun, nulitetin , një bazë për hapësirën rresht, një bazë për hapësirën kolonë, dhe një bazë për hapësirënnul të matricës

A =

2 1 13 2 21 1 1

Zgjidhje: Së pari gjejmë formë e reduktuar row-eçelon të A-së.

A =

2 1 13 2 21 1 1

H =

1 0 10 1 10 0 0

Atëherë

rank (A) = 2 dhe null (A) = 1.

Një bazë për hapësirën kolonë është

B1 =

2

31

, 1

21

.

Për të gjetur një bazë të hapësirës rresht përdorim rreshtat e H-së të cilët përmbajnë pivot. Pra kemi

B2 = {(1, 0, 1), (0, 1, 1)}.

Për të gjetur një bazë për hapësirën nul na duhet të zgjidhim sistemin

Hx = 0

Matrica e augmentuar është:

[H | 0] =

1 0 1 00 1 1 00 0 0 0

Kështu që, x3 është një ndryshore e lirë dhe x2 + x3 = 0 dhe x1 + x3 = 0. Zgjidhja është

x =

-x3-x3x3

= x3

- 1-11

Pra, një bazë për hapësirën nul është

B3 =

- 1

-11

.

�

2.3.1 Gjetja e një baze për hapësirat-rresht, hapësirat-kolonë dhe hapësira nul e një matrice.

Na është dhënë një matricë A m × n, duam të gjejmë bazat e hapësirave të shoqëruara të. Kemi algoritmin emëposhtëm:

Algorithm 4. Input: Një matricë A m × nOutput: Një bazë për hapësirën rresht, hapësirën kolonë dhe hapësira nul e A-së

i) Gjej formën e reduktuar row-eçelon H të A-sëii) Kolonat e A-së të cilat i korespondojnë kolonave me pivot të H-së, formojnë një bazë për hapësirënkolonë.

iii) Rreshtat jozero të H-së formojnë një bazë për hapësirën rresht.iv) Përdor zëvendësimin nga fundi për të zgjidhur Hx = 0.

56 c©AulonaPress

Shaska T. Algjebra

Shembull 2.18. Gjej bazat e hapësirave të shoqëruar me A

A =

1 2 -1 31 1 2 12 -1 1 2

Zgjidhje: Forma e reduktuar row-eçelon është

H =

1 0 0 3/2

0 1 0 1/2

0 0 1 -1/2

Një bazë për hapësirën kolonë është

112

, 2

1-1

, -1

21

Rangu i A-së është rank (A) = 3 dhe null (A) = 1. Kështu që, ekziston një ndryshore e lirë të cilën e shënojmë me x4. Dukezgjidhur Hx = 0 kemi

x =

- 32 x4

- 12 x4

12 x4

x4

= x4

- 32

- 12

12

1

Një bazë për hapësirën nul është

B =

- 32

- 12

12

1

.

Për një bazë të hapësirës rresht marrim tre rreshtat e H-së. �

Shembull 2.19. Gjej rangun, nulitetin dhe një baze për hapësirën kolonë, hapësirën rresht dhe hapësirën nul të një matrice.

A =

4 2 3 3-2 1 1 23 -1 2 1

Zgjidhje: Forma e reduktuar row-eçelon e A-së është

H =

1 0 0 - 6

23

0 1 0 923

0 0 1 2523

Atëherë,

rank (A) = 3, null (A) = 1

c©AulonaPress 57

Algjebra Shaska T.

Për bazën e hapësirës kolonë kemi 4

-23

, 2

1-1

, 3

12

Për bazën e hapësirës rresht marrim tre rreshtat e A-së, meqënëse secila prej tyre përmban nga një pivot. Pastaj gjejme një bazëpër hapësirën nul. Kështu që, duhet të zgjidhim sistemin

Hx = 0.

Zgjidhja është

x =

- 623

923

2523

1

· x4 =

- 6

9

25

23

· t,

për disa ndryshore të lira t. Kështu që, një bazë është

B =

- 69

2523

�

Teorema në vazhdim lidh disa nga çështjet e mëparshme të këtij seksioni.

Teorema 2.7. Le të jetë A një matricë n × n. Pikat e mëposhtme janë ekuivalente:i) Ax = β ka një zgjidhje të vetme për çdo β ∈ Rn.ii) A është ekuivalente sipas radhëve me Iniii) A ka të anasjelltëiv) Vektorët sipas kolonave të A-së formojnë një bazë për Rn

Vërtetim: Ushtrime �Rezultati i mëposhtëm është shumë i përdorshëm në rastet kur duam të gjejmë tëanasjelltin.

Rrjedhim 2.3. Le të jetë A një matricë n × n. Atëherë A ka të anasjelltë atëherë dhe vëtëm atëherë kur

rank (A) = n.

Ushtrime:

1. Gjej rangun, një bazë për hapësirën rresht, një bazë për hapësirën kolonë dhe një bazë për hapësiën nul përmatricat e mëposhtme.

2 3 2 11 1 0 12 3 1 -1

, 1 1 1

1 2 33 4 5

, 1 2 3

4 5 67 8 9

2. Le të jetë A një matricë katrore. Vërteto se

null (A) = null (At).

58 c©AulonaPress

Shaska T. Algjebra

3. Le të jenë A, B matrica të tilla që produkti AB është i përcaktuar. Vërteto se

rank (AB) ≤ rank (A).

4. Jep një shembull dy matricash A,B të tilla që

rank (AB) < rank (A).

5. Le të jetë A një matricë m × n. Provo se

rank (AAt) = rank (A).

6. Le të jenë u dhe v vektorë sipas kolonave linearisht të pavarur në R3 dhe A një matricë 3 × 3 e cila ka tëanasjelltë. Provo se vektorët Au dhe Av janë linearisht të pavarur.

7. Përgjithëso problemin e mësipërm në Rn. Le të jenë u1, . . . ,un vektorë sipas kolonave linearisht të pavarur nëRn dhe A një matricë n × n e cila ka të anasjelltë. Provo se vektorët Au1, . . . ,Aun janë linearisht të pavarur.

8. Le të jenë u dhe v vektorë sipas kolonave në R3 dhe A një matricë 3 × 3 e cila ka të anasjelltë. Provo se nëqoftë se vektorët Au dhe Av janë linearisht të pavarur atëherë u dhe v janë linearisht të pavarur.

9. Përgjithëso problemin e mësipërm nëRn. Le të jenë u1, . . . ,un vektorë sipas kolonave nëRn dhe A një matricën × n e cila ka të anasjelltë. Provo se në qoftë se vektorët Au1, . . . ,Aun janë linearisht të pavarur atëherëu1, . . . ,un janë linearisht të pavarur.

10. Le të jetë

A =

[cosθ − sinθsinθ cosθ

]për një kënd θ. Merr çdo vektor u ∈ R2 dhe krahasoje me vektorin Au. Çfarë ndodh gjeometrikisht?

11. Le të jetë A si në ushtrimin e mësipërm dhe {u,v} një bazë në R2. Vërteto se {Au,Av} është një bazë për R2.Ndoshta duhet parë hapësira nul e A.

Ushrime Programimi:

1) Shkruaj një program kompjuteri i cili llogarit rangun dhe nulitetin e një matrice të dhënë.

2) Shkruaj një program kompiuteri i cili gjen një bazë për hapësirën nul, hapësirën kolonë dhe hapësirënrresht të një matrice të dhënë.

2.4 Shuma, shuma direkte dhe prodhimi direkt

Le të jetë V një hapësirë vektoriale me dimension të fundëm dhe U,W nënhapësira të saj. Shënojmë shumënU + W të nënhapësirave U dhe W si më poshtë

U + W := {u + w | u ∈ U,w ∈W}

Kjo bashkësi U + W është një nënhapësirë e V-së. Shiko ushtrimin 1 në fund të këtij seksioni.

Lema 2.3. Le të jetë V një hapësirë vektoriale me dimension të fundëm dhe U,W nënhapësira e saj. Atëherë

dim(U + W) = dim U + dim W − dim(U ∩W).

Vërtetim: Ushtrim. �

c©AulonaPress 59

Algjebra Shaska T.

2.4.1 Shumat direkte

Themi se V është shumë direkte e U-së dhe W-së, e shënuar me V = U ⊕W, në qoftë se çdo element v në Vshprehet në mënyrë të vetme si shumë e

v = u + w

për ndonjë u ∈ U dhe w ∈W.

Teorema 2.8. Le të jenë U,W nënhapësira të hapësirës vektoriale V. Në qoftë se V = U + W dhe U ∩W = {0}, atëherë

V = U ⊕W.

Vërtetim: Le të jetë v në V dhe v = u + w për ndonjë u ∈ U dhe w ∈W. Për të provuar se V është një shumë direktena duhet të tregojmë se u dhe w janë të përcaktuar në mënyrë të vetme. Supozojmë se ekzistojnë u′ dhe w′ të tillëqë v = u′ + w′. Atëherë,

v − v = (u − u′) + (w − w′) = 0

Kështu që, u − u′ = w′ − w. Meqënëse u − u′ =∈ U dhe w − w′ ∈W, atëherë

(u − u′) = (w′ − w) ∈ U ∩W = {0}

Pra,u = u′ dhe w = w′.

Kjo plotëson vërtetimin. �

Teorema 2.9. Le të jetë V një hapësirë vektoriale me dimension të fundëm mbi k dhe W një nënhapësirë e V-së. Atëherë,ekziston një nënhapësirë U ⊂ V e tillë që

V = U ⊕W

Vërtetim: Le të jenë dim V = n dhe dim U = r, ku r < n. Le të jetë

B = {β1, . . . , βn}

një bazë për V. Atëherë mund të zgjedhim r elementë të B-së, të cilët cilët formojnë një bazë për U, psh. β1, . . . , βr.Le të jetë

W := {βr+1, . . . , βn}

Eshtë e qartë se V = U + W. Gjithashtu U ∩ W = {0}, në të kundërt β1, . . . , βn nuk janë linearisht të pavarur.�Nënhapësira U quhet komplement i W-së në V.

Shembull 2.20. Le të jetë V = R3 dheB = {i, j, k}

baza standarte e saj. Le të jetëU := 〈i, j〉

atëherë, nga teorema e mësipërmeV := U ⊕W

ku W = 〈k〉. Kështu qëR3 = 〈i, j〉 ⊕ 〈k〉

�

Teorema 2.10. Le të jetë V një hapësirë vektoriale me dimension të fundëm mbi k, e tillë që V = U ⊕W. Atëherë,

dim(V) = dim(U) + dim(W)

60 c©AulonaPress

Shaska T. Algjebra

Vërtetim: Le të jenë B1 dhe B2 baza për U dhe W respektivisht. Themi

B1 = {u1, . . . ,ur}

B2 = {w1, . . . ,ws}

Atëherë çdo element i U-së mund të shkruhet si një kombinim i vetëm linear i

u = x1u1 + · · · + xrur

dhe çdo element i W-së mund të shkruhet si një kombinim linear i vetëm i

w = y1w1 + · · · + yswr

Pra, çdo element i V-së mund të shkruhet si një kombinim linear i vetëm i

v = x1u1 + · · · + xrur + y1w1 + · · · + yswr

Kjo tregon se bashkësia{u1, . . . ,ur,w1, . . . ,ws}

formon një bazë për V-në. �Përkufizimi i shumës direkte mund të përgjithësohet për disa shuma. Themi se

V =

n⊕i=1

Vi = V1 ⊕ · · · ⊕ Vn

në qoftë se çdo element në V mund të shkruhet në mënyrë të vetme si shumë

v = v1 + · · · + vn, with vi ∈ Vi.

2.4.2 Prodhimi direkt

Përkufizimi i prodhimit direkt është i bazuar në prodhimin kartezian. Përsëritim disa nga përkufizimet më tërëndësishme të prodhimit kartezian. Le të jenë U dhe W hapësira vektoriale mbi një fushë k. Le të jetë U ×Wbashkësia e të gjithë çifteve të (u,w) të tillë që u ∈ U dhe w ∈W, dmth dhe w ∈W. Pra,

U ×W := {(u,w) | u ∈ U,w ∈W}

Shumën e çdo dy çifteve të renditura (u1,w1) dhe (u2,w2) e shënojmë si më poshtë

(u1,w1) + (u2,w2) = (u1 + u2,w1 + w2)

Shumëzimin skalar e shënojmë si më poshtë: për çdo r ∈ k,

r (u,w) = (ru, rw)

Ushtrim: Vërteto se U ×W me këtë shumë dhe prodhim skalar është një hapësirë vektoriale mbi k.

Përkufizim 2.8. Hapësira vektoriale U ×W quhet prodhim direkt i U-së dhe W-së.

Lema 2.4. Le të jenë U,W hapësira vektoriale. Atëherë,

dim(U ×W) = dim U + dim W

Vërtetim: Vërtetimi është lënë për lexuesin.�

c©AulonaPress 61

Algjebra Shaska T.

Përkufizimi i prodhimit skalar mund të përgjithësohet për disa faktorë. Për shembull

V :=n∏

i=1

Vi = V1 × · · · × Vn

është bashkësia e n-elementëve të radhitur, ku mbledhja dhe shumëzimi skalar janë të përcaktuar koordinatë përkoordinatë.

Ushtrime:

1. Le të jenë V = R2 dhe W nënhapësira të gjeneruara nga w = (2, 3). Le të jetë U një nënhapësirë e gjeneruarnga u = (1, 1). Vërteto se V është shuma direkte e W-së dhe U-së. A mund ta përgjithësoni këtë për çdo dyvektorë u dhe w?

2. Le të jetë V = R3. Le të jetë W hapësira e gjeneruar nga w = (1, 0, 0) dhe le të jetë U nënhapësira e gjeneruarnga u1 = (1, 1, 0) dhe u2 = (0, 1, 1). Vërteto se V është shuma direkte e W-së dhe U-së.

3. Le të jenë u dhe v dy vektorë jozero në R2. Nëse nuk ekziston një c ∈ R e tillë që u = cv, vërteto se {u,Bv}është një bazë e R2 dhe se R2 është një shumë direkte e nënhapësirës së gjeneruar nga U = 〈u〉 dhe V = 〈v〉respektivisht.

4. Le të jenë U dhe W nënhapësira të V-së. Cfarë janë U + U, U + V? A është U + W = W + U?

5. Le të jenë U,W nënhapësira të hapësirës vektoriale V. Vërteto se

dim U + dim W = dim(U + W) + dim(U ∩W)

6. Le të jetë V = Mat2×2(k),

U :={[

a b-b a

]| a, b ∈ k

}dhe

W :={[

a bb -a

]| a, b ∈ k

}.

Vërteto se:

i) U dhe W janë nënhapësira të V-së.

ii) V = U ⊕W

7. Le të jenë U dhe W nënhapësira të hapësirës vektoriale V.

i) Vërteto se U ∩W ⊂ U ∪W ⊂ U + W.

ii) Kur është U ∪W një nënhapësirë e V-së?

ii Cila është nënhapësira më e vogël e V-së e cila përmban U ∪W?

62 c©AulonaPress

Shaska T. Algjebra

8. Le të jetë V një hapësirë vektoriale mbi k dhe S bashkësia e të gjithave nënhapësirave të V-së. Konsiderojmëveprimin e mbledhjes së nënhapësirës në S. Vërteto se ekziton një zero në S për këtë veprim dhe ky veprimka vetinë e shoqërimit.

9. Le të jetë V një hapësirë vektoriale mbi k dhe S bashkësia e të gjithave nënhapësirave të V-së. Konsiderojmëveprimin e prerjes në S. Vërteto se ky veprim ka vetinë e shoqërimit. A ekziston një identitet për këtë veprim(dmth, ekziston një E ∈ S i tillë që A ∩ E = A, për çdo E in S)?

2.5 Funksionet lineare ndërmjet hapësirave vektoriale

Në këtë seksion do të studiojmë funksionet ndërmjet hapësirave vektoriale. Ne jemi të interesuar në funksionetë cilët ruajnë veprimet në hapësirën vektoriale. Para se të përkufizojmë këta funksione, duhet të përsëritnipërkufizimet e funksioneve injektive, syrjektive dhe bijektive nga kalkulusi. Le të jenë V dhe V′ hapësira vektorialembi të njëjtën fushë k.

Përkufizim 2.9. Një funksionT : V → V′

do të quhet funksion linear në qoftë se kushti i mëposhtëm është i vërtetë për çdo u,v ∈ V dhe r ∈ R:

i) T(u + v) = T(u) + T(v),ii) T(r · u) = r · T(u)

Shembull 2.21. Le të jetë V = Rn dhe A një matricë n × n. Përcaktojmë funksionin e mëposhtëm:

TA : V −→ Vx −→ A · x

(2.12)

Mund ta vërtetojmë shumë lehtë se ky është një funksion linear. �

Shembull 2.22. Le të jenë U dhe V hapësira vektoriale mbi k. Përcaktojmë Përcaktojmë bashkësinë e të gjithë funksionevelinear f : U→ V me

L(U,V) := { f : U→ V | f ështëlinear }

Përcaktojmë mbledhjen nëL(U,V) si mbledhjen e zakonshme të funksioneve dhe shumëzimi skalar do të jetë shumëzimi me njëkonstante nga k. Me një fjalë,

( f + g)(u) = f (u) + g(u)

r ∗ f (u) = r · f (u)

E lëmë si ushtrim për lexuesin vërtetimin se L(U,V) është një hapësirë vektoriale mbi k. Kjo është një hapësirë e rëndësishmetë cilën do ta përdorim përsëri më vonë. �

Lema 2.5. Le të jetë T : V → W një funksion linear ndërmjet hapësirave vektoriale V dhe W. Atëherë pohimi i mëposhtëmështë i vërtetë:

i) T(0V) = 0W .ii) Për çdo v ∈ V, T(−v) = −T(v).

Vërtetim: Vërtetimi është i thjeshtë.

T(0V) = T(v − v) = T(v) + T(−v) = T(v) − T(v) = 0W

Pjesa ii) është e qartë. �

c©AulonaPress 63

Algjebra Shaska T.

Përkufizim 2.10. Le të jetë T : U→ V një funksion linear ndërmjet hapësirave vektoriale U dhe V. Kerneli i T-së, ishënuar me ker (T) është i përcaktuar si më poshtë

ker (T) := {u ∈ U | T(u) = 0W}

Imazhi i T-së është i përcaktuar si:Img (T) := {v ∈ V | ∃u ∈ U,T(u) = v}

Lema 2.6. Le të jetëT : V →W

një funksion linear. Atëherë,

i) ker (T) është një nënhapësirë e V-sëii) Img (T) është një nënhapësirë e W-së.

Vërtetim: Ushtrim �Lema e mëposhtme është ndihmëse për të gjetur nëse një funksion linear është injektiv osejo.

Lema 2.7. Le të jetëT : V →W

një funksion linear. Atëherë ker (T) = {0V} atëherë dhe vetëm atëherë kur T është injektiv.

Vërtetim: Supozojmë se ker (T) = {0V}. Atëherë, për çdo v1,v2 ∈ V të tillë që T(v1) = T(v2) kemi:

T(v1) − T(v2) = 0 =⇒ T(v1 − v2) = 0 =⇒ (v1 − v2) ∈ ker (T)

e cila do të thotë sev1 − v2 = 0 =⇒ v1 = v2

Supozojmë se T është injektiv dhe le të jetë v ∈ ker (T). Atëherë T(v) = T(0V) = 0W sjell se v = 0V.�

Shembull 2.23. Le të jetë C(R) hapësira vektoriale e të gjithë funksioneve të diferencueshëm f : R → R. Marrim nëkonsideratë funksionin

D : C(R)→ C(R)f (x)→ D( f (x)) = f ′(x)

ku f ′(x) është derivati i f (x). Vërteto se D është një funksion linear. �

Teorema 2.11. Le të jetë T : V → W, një funksion linear injektiv. Në qoftë se v1, . . . vn janë elementë linearisht të pavarurnë V, atëherë T(v1), . . . ,T(vn) janë elementë linearisht të pavarur në W.

Vërtetim: Le të jetëy1T(v1) + · · · + ynT(vn) = 0W

për skalarët y1, . . . , yn. AtëherëT(y1v1) + · · · + T(ynvn) = 0W

e cila sjell seT(y1v1 + · · · + ynvn) = 0W

Meqënëse T është injektiv atëherë ker (T) = {0} dhe

y1v1 + · · · + ynvn = 0V

Kjo sjell sey1 = · · · = yn = 0

meqënëse v1, . . . ,vn janë linearisht të pavarur. Kështu që T(v1), . . . ,T(vn) janë elementë linearisht të pavarur nëW. �Teoremat e mëposhtme do ti pranojmë pa vërtetim.

64 c©AulonaPress

Shaska T. Algjebra

Teorema 2.12. Le të jetë T : V →W një funksion linear. Atëherë,

dim V = dim ker (T) + dim Img (T)

Teorema 2.13. Le të jetë T : V → W një funksion linear dhe dim V = dim W. Në qoftë se ker (T) = {0} ose Img (T) = W,atëherë T është bijektiv.

Vërtetim: Në qoftë se ker (T) = {0}, atëherë T është injektiv dhe

dim Img (T) ≥ dim V = dim W

Kështu që Img T = W dhe T janë surjektiv.Në qoftë se Img (T) = W, atëherë T është syrjektiv dhe

dim ker (T) = 0

Kështu që ker (T) = {0V} dhe T janë gjithashtu injektiv. �

Shembull 2.24. Le të jetë A matrica -1 2 34 5 67 8 9

dhe LA funksioni linear

LA : R3−→ R3

x −→ A · x(2.13)

Përcakto nëse funksioni LA është bijektiv.

Zgjidhje: Në fillim përcaktojmë ker (LA). Ne duam të gjejmë të gjithë x ∈ R3, të tillë që

T(x) = Ax = 0

Kështu që ker (LA) është i njëjtë si me hapësirën nul të A. Për të gjetur hapësirën nul procedojmë si më poshtë: Forma ereduktuar row-eçelon është

H =

1 0 00 1 00 0 1

Kështu që rank (A) = 3, null (A) = 0 dhe hapësira nul e A-së është {0}. Kështu që, ker (LA) = {0} dhe LA janë injektiv. Ngateorema e mëparshme arrijmë në përfundimin se LA është bijektiv. �

2.5.1 Kompozimi i funksionëve linear, funksionëve të anasjelltë, izomorfizmave

Eshtë e natyrshme pyetja nëse kompozimi i dy funksionëve linear është gjithashtu linear ose nëse i anasjellti injë funksioni linear është linear.

Teorema 2.14. Le të jenë U,V,W hapësira vektoriale mbi një fushë k dhe f dhe g funksione lineare:

Uf−→ V

g−→W

Atëherë funksionig ◦ f : U −→W

është gjithashtu linear.

c©AulonaPress 65

Algjebra Shaska T.

Vërtetim: Le të jetë u1,u2 ∈ U. Atëherë

(g ◦ f )(u1 + u2) = g(

f (u1 + u2))

= g(

f (u1) + f (u2))

= (g ◦ f )(u1) + (g ◦ f )(u2)

Gjithashtu,(g ◦ f )(r · u) = g

(f (r · u

)= g(r · f (u)) = r · (g ◦ f )(u)

�

Shembull 2.25. Le të jenë A dhe B matrica me dimensione m × n dhe n × s respektivisht dhe LA,LB funksione linear

Rm LA−→ Rn LB

−→ Rs

të tillë që LA(x) = Ax dhe LB(x) = Bx. Funksioni LB ◦ LA është i dhënë nga

LB ◦ LA : Rm−→ Rs

x −→ (BA) x

dhe mund të vërtetohet shumë lehtë që është linear. �

Teorema 2.15. Le të jenë U,V hapësira vektoriale mbi një fushë k dhe f : U −→ V një funksion linear i cili ka të anasjelltëf−1 : V −→ U. Atëherë, f−1 është linear.

Vërtetim: Ushtrim �Le të jenë U,V hapësira vektoriale dhe

L : U −→ V

një funksion linear i cili ka të anasjelltë. Atëherë, L quhet izomorfizëm dhe U dhe V quhen hapësira izomorfike.

Ushtrime:

1. Le të jetë T : R→ R, i tillë që T(x) = sin x. A është T një izomorfizëm? Shpjego.

2. Le të jetë A = [ai j] një matricë n × n dhe me tr(A) shënojmë trace e saj. Vërteto se funksioni

tr : Matn×n(k) −→ kA −→ tr(A)

është një funksion linear.

3. Le të jetë L([0, 1],R) bashkësia e funksionëve të integrueshëm në intervalin [0, 1]. Kontrollo nëse funksioni

φ : L([0, 1],R) −→ L(R)

f (x) −→∫ 1

0f (x) dx

është një funksion linear.

4. Le të jetë T : Rn→ Rn një funksion linear i dhënë nga T(x) = Ax, për ndonjë matricëA n × n e cila ka të

anasjelltë. Vërteto se T është një bijeksion.

5. Le të jetë P4 një hapësirë vektoriale e polinomëve me koeficienta realë dhe me gradë ≤ 4. Vërteto se P4 ështëizomorfike me R5.

66 c©AulonaPress

Shaska T. Algjebra

6. Përgjithëso rezultatin e mësipërm. Pra, provo se Pn është izomorfike me Rn+1.

7. A mund të gjeni dy hapësira vektoriale me të njëjtin dimension, të cilat nuk janë izomorfike? Shpjegojeni.

8. Dimë se C është një hapësirë vektoriale mbi R. Përcaktojmë funksionin T : C → C, të tillë që T(z) = z, ku zështë i konjuguari kompleks i z-së. A është T një funksion linear?

9. Le të jetë T : C→ C, e tillë që T(z) = z+z0, ku z0 është një numër kompleks i dhënë. A është T një izomorfizëm?

10. Le të jetë T : C→ C, e tillë që

T(z) =

1z

for z , 0

0 for z = 0

A është T një izomorfizëm? Shpjego.

2.6 Matricat e shoqëruara me funksionet lineare

Një nga gjërat më të mira të algjebrës lineare është se çdo funksioni linear mund ti shoqërojmë një matricë dheanasjelltas. Kështu që, ne mund të përdorim vetitë e matricave për të kuptuar funksionët linear. Në këtë seksionne do të gjejmë se si mund të gjejmë matricën kur na është dhënë funksioni.

Le të jenë V dhe U hapësira vektoriale me dimension të fundëm mbi një fushë k dhe

L : U −→ V

një funksion linear. Për më tepër, le të jenë

B1 := {u1, . . . ,un}

B2 := {v1, . . . . . . ,vm}

baza për U dhe V respektivisht. Atëherë vlerat e L(u1), . . . ,L(un) janë si më poshtë:

L(u1) = a1,1 v1 + · · · a1,m vm

L(u2) = a2,1 v1 + · · · a2,m vm

· · · · · · · · ·

L(un) = an,1 v1 + · · · an,m vm

për ndonjë skalar ai, j ∈ k. Marrim matricën n ×m dhënë me A = [ai, j], ku ai, j janë si më poshtë. E transpozuara e sajAt është matrica m × n

At =

a1,1 a2,1 · · · an,1a1,2 a2,2 · · · an,2

· · · · · ·

a1,m a2,m · · · an,m

e cila quhet matrica e shoqëruar me funksionin linear L në varësi të bazave B1 dhe B2 dhe e shënojmë MB2

B1(L).

Në të vërtetë, çdo vektor x ∈ U shkruhet si

x = x1u1 + · · · + xnun

c©AulonaPress 67

Algjebra Shaska T.

ku x1, . . . , xn janë skalar në k. Prej nga,

L(x) = x1L(u1) + · · · + xnL(un)

= x1(a1,1 v1 + · · · a1,m vm

)+ x2

(a2,1 v1 + · · · a2,m vm

)· · · · · · · · ·

+ xn(an,1 v1 + · · · an,m vm

)=(a1,1x1 + a2,1x2 + · · · an,1xn)v1

(a1,2x1 + a2,2x2 + · · · an,2xn)v2

· · · · · · · · ·

(a1,mx1 + a2,mx2 + · · · an,mxn)vm

Kështu që, kordinatat e vektorëve L(x) në varësi të bazës B2 të V-së janë

L(x) =

a1,1 x1 + a2,1x2 + · · · + an,1xna1,2 x1 + a2,2x2 + · · · + an,2xn

· · · · · · · · ·

· · · · · · · · ·

a1,mx1 + a2,mx2 + · · · + an,mxn

=

a1,1 a2,1 · · · an,1a1,2 a2,2 · · · an,2

· · · · · ·

a1,m a2,m · · · an,m

·

x1x2·

·

xn

= At x = MB2

B1(L) x

Kështu, për çdo funksion linear L : U→ V ekziston një matricë MB2B1

(L) në varësi të bazave B1 dhe B2, e tillë që

L(x) = MB2B1

(L) x

Zakonisht MB2B1

(L) e shënojmë si më poshtë

MB2B1

(L) =[

L(u1)B2 | · · · | L(un)B2

]ku çdo L(ui)B2 është vektori kolonë L(ui) në varësi të bazës B2 të V-së.

Shembull 2.26. Le të jetë L : R2→ R3 funksion linear i dhënë nga

L(x, y) = (x − y, 2x − 3y, x − 3y)

Gjej matricën e shoqëruar me L në varësi të bazës standarte.

Zgjidhje: Baza standarte për R2 ështëB1 = {i, j} = {(1, 0), (0, 1)}

Atëherë

L(i) = (1, 2, 1)L( j) = (−1,−3,−3)

68 c©AulonaPress

Shaska T. Algjebra

në varësi të bazës standarte të R3. Kështu që, matrica e shoqëruar e L : R2→ R3 është 1 -1

2 -31 -3

në varësi të bazës standarte të R2 dhe R3. �

Shembull 2.27. Le të jetë

T : R2→ R2

(x, y)→ (x cosθ − y sinθ, x sinθ + y cosθ)

Lexuesi duhet të vërtetojë se T është një funksion linear. Eshtë një ushtrim në trigonometri të vërtetosh se ky funksion rrotullonçdo pikë të R2 me një kënd θ. Kush është matrica e shoqëruar me T në varësi të bazës standarte të R2?

Zgjidhje: Kemi

T(1, 0) = (cosθ, sinθ),T(0, 1) = (− sinθ, cosθ)

Atëherë, matrica e shoqëruar është:

A := M( f ) =

[cosθ − sinθsinθ cosθ

]Kemi parë në ushtrimet e Chapter 1 se

An =

[cos nθ − sin nθsin nθ cos nθ

]Dhe në të vërtetë ky rezultat mund të pritet meqënëse duke u rrotulluar n-herë nga θ është njëlloj si të të rrotullohen me këndinnθ. �

Tani do shikojmë një shembull ku asnjë nga bazat B1, B2 nuk është bazë standarte.

Shembull 2.28. Le të jetë

T : R3−→ R4

(x, y, z) −→ (x + y, y + z, x − y, y − z)

një funksion linear. Fiksojmë bazat

B1 = {(1, 1, 1), (2, 1, 0), (3, 1, 1)} = {u1,u2,u3},

B2 = {(1, 0, 0, 1), (1, 2, 0, 0), (2, 3, 2, 1), (0, 0, 0, 2)} = {v1,v2,v3,v4}

e R3 dhe R4 respektivisht. Gjejmë matricën e shoqëruar të L-së në varësi të B1 dhe B2.

Zgjidhje: Në fillim e gjejmë si më poshtë

T(u1) = (2, 2, 0, 0) =: w1

T(u2) = (3, 1, 1, 1) =: w2

T(u3) = (4, 2, 2, 0) =: w3

Tani na duhet të shprehim vektorët w1,w2,w3 në varësi të bazës B2. Secila prej tyre duhet të shprehen si

r1v1 + r2v2 + r3v3 + r4v4 = (r1 + r2 + 2r3, 2r2 + 3r3, 2r3, 2r4)

c©AulonaPress 69

Algjebra Shaska T.

Kështu që kemi (në varësi të B2)

w1 = (1, 1, 0, 0)

w2 = (94,−

14,

12,

12

)

w3 = (32,−

12, 1, 0)

Matrica është

MB2B1

=

1 94

32

1 −14 −

12

0 −12 1

0 12 0

�

Teorema në vazhdim e bën më të qartë lidhjen midis matricave dhe funksionëve linear. Le të jenë U dhe V hapësiravektoriale mbi k dheB1,B2 bazat e tyre respektive. Që këtej e tutje për një funksion linear f : U→ V do të përdorimM( f ) në vend të MB2

B1( f ).

Teorema 2.16. Le të jenë U dhe V hapësira vektoriale mbi k dhe B1, B2 bazat e tyre respektive. Për çdo f , g ∈ L(U,V) pikate mëposhtme janë të vërteta:

i) M( f + g) = M( f ) + M(g)

ii) M(r f ) = r M( f ), për çdo skalar r ∈ k.

iii) M( f ◦ g) = M( f ) ·M(g)

Vërtetim: Vërtetimi është lënë si ushtrim. �Teorema e mëposhtme vërteton jo vetëm se çdo funksioni linearmund ti shoqërojmë një matricë, por edhe e anasjellta është e vërtetë.

Teorema 2.17. Le të jenë U dhe V hapësira vektoriale mbi k me dimensione n dhe m respectivisht. Fikso bazatB1,B2 të U-sëdhe V-së. Për më tepër, le të jetë L(U,V) hapësira e funksionëve linear f : U→ V. Atëherë

Φ : L(U,V) −→Matm×n(k)f −→M( f )

(2.14)

është një izomorfizëm.

Vërtetim: Teorema e mëparshme vërteton se Φ është një funksion linear. Së pari, vërtetojmë se φ është injektiv. Letë jenë f , g ∈ L(U,V), të tillë që Φ( f ) = Φ(g). Kështu që, M( f ) = M(g). Pra, për çdo x ∈ U kemi

M( f ) x = M(g) x

e cila ndomethënë se f (x) = g(x). Pra, f = g dhe Φ është injektiv.Le të jetë A ∈Matm×n(K). Përcaktojmë funskionin

LA : U −→ Vx −→ A x

(2.15)

Atëherë, LA ∈ L(U,V). Kështu që, Φ është surjektiv. �

Ushtrime:

70 c©AulonaPress

Shaska T. Algjebra

1. Kontrollo nëse funksioni T : R3−→ R4, i tillë që

T(x, y, z) = (x + 2, y − x, x + y)

është linear. Në qoftë se është linear atëherë gjej matricën e tij shoqëruese.

2. Gjej matricën shoqëruese në varësi të bazave standarte të funksionit T : R3−→ R3, i tillë që

T(x, y, z) = (x, y, x + y + z)

3. Gjej matricën shoqëruese në varësi të bazave standarte të funksionit T : R3−→ R3 i tillë që

T(x, y, z) = (x + y, 3y, 7x + 2y + 4z)

4. Gjej matricën shoqëruese në varësi të bazave standarte të funksionit T : R5−→ R5 i tillë që

T(x1, . . . , x5) = (x1, x2, x3, x4, x5)

5. Le të jetë L1(R) hapësira vektoriale e funksioneve të diferencueshëm nga R në R. Le të jetë

V := Span (sin x, cos x)

dhe D : L1(R) → L1(R) funksioni i diferencueshëm. Ngushtimi i këtij funksioni në V na jep një funksionlinear DV : V → V. Gjej matricën shoqëruese të DV për B1 = B2 = {sin x, cos x}.

6. Le të jetë Pn hapësira vektoriale mbiR e polinomëve me koefiçientë nëRdhe gradë≤ n. Derivimi i polinomeveështë një funksion linear në këtë hapësirë. Gjej maricën shoqëruese për

B1 = B2 = {1, x, . . . , xn}.

7. Le të jenë u = (1, 2) ∈ R2 dhe T : R2→ R2 të tillë që T(x) = u + x. Gjej matricën shoqëruese të T-së në varësi të

bazave standarte të R2.

8. Le të jetë T : R2→ R2 transformimi i cili rrotullon çdo pikë me kënd Θ kundër lëvizjes sé akrepave të orës.

Gjej matricën shoqëruese në varësi të bazave standarte të funksionit.

9. Le të jetë T : R2→ R2 transformimi i planit i cili çon çdo pikë në pikën e tij simetrike në lidhje me boshtin e

x-ve(dmth, T(x, y) = T(x,−y)). Gjej matricën shoqëruese të T-së në varësi të bazave standarte të funksionit.

10. Gjej matricën standarte të refleksionit të planitt xy në lidhje me drejtëzën y = x + 2.

2.7 Ndryshimi i bazave

Ndonjëherë na duhet të punojmë me dy baza të ndryshme për të njëjtën hapësirë vektoriale. Diskutimi imësipërm na jep një rrugë për të gjetur kordinatat e vektorit në varësi të një bazë të dhënë.

Le të jetë V një hapësirë vektoriale dhe B,B′ dy baza të V-së të dhëna nga

B = {β1, . . . , βn}, B′ = {β′1, . . . , β

′

n}

dhe T : V → V funksion linear, i tillë që

T : V −→ Vβi −→ β′i

(2.16)

c©AulonaPress 71

Algjebra Shaska T.

Matricën shoqéruese të T e shënojmë me MB′

Bdhe e quajmë matrica e transformimit e B-së në B′. Atëherë MB′

B

është e dhënë ngaMB′

B= [ T(β1) | · · · · · · |T(βn) ] = [ β′1 | · · · · · · | β

′

n ]

ku β′i -të janë dhënë në varësi të bazës B′. Marrim algoritmin për të llogaritur matricën e transformimit.

Algorithm 5. Input: Një hapësirë vektoriale V dhe dy baza B1 = {u1, · · ·un} dhe B2 = {v1, · · · vn} të V-sëOutput: Matrica e transformimit MB2

B1, e tillë që

MB2B1· vB1 = vB2

i) Krijojmë matricënA = [ v1 | · · · | vn | u1 | . . . | un ]

ii) Transformojmë A me anë të veprimeve me radhët të matricës[I |MB2

B1

]Shembull 2.29. Le të jetë V = R2 dhe

B1 = {(1, 1), (1, 0)}, B2 = {(1, 2), (−1, 1)}

dy baza të V-së. Gjej matricë e transformimit MB2B1

. Janë dhënë vektorët u,v me kordinata

u = (3, 4), dhe v = (−2, 3)

në varësi të bazës B1, gjej kordinatat e tyre në varësi të B2.

Zgjidhje: Së pari krijojmë matricën

A =

[1 -1 1 12 1 1 0

]Duke kryer veprime me rreshtat e transformojmë në 1 0 2

313

0 1 - 13 - 2

3

Atëherë,

MB2B1

=13·

[2 1

-1 -2

]ku

uB2 = MB2B1·

[34

]=

13

[10

-11

]dhe vB2 = MB2

B1·

[-23

]= −

13

[14

].

�

Shembull 2.30. Le të jetë u ∈ R3 me kordinata në bazën standarte u = (1, 2, 3). Gjej kordinatat e u-së në varësi të bazësB′ = {(1, 1, 1), (2, 0, 1), (3, 1, 1)}.

Zgjidhje: Së pari krijojmë matricën

A =

1 2 3 1 0 01 0 1 0 1 01 1 1 0 0 1

Duke kryer veprime me rreshtat e transformojmë në 1 0 0 - 1

212 1

0 1 0 0 -1 10 0 1 1

212 -1

72 c©AulonaPress

Shaska T. Algjebra

Atëherë

M := MB2B1

=

−

12

12 1

0 −1 1

12

12 −1

dhe

M · u =

72

1

−32

�

Le të jetë V një hapësirë vektoriale me dimension të fundëm dhe B e B′ baza të V-së. Le të jetë L : V → V njëtransformim linear dhe MB dhe MB′ matrica shoqëruese për L në varësi të bazave B dhe B′ respektivisht. Kemiteoremën e mëposhtme:

Teorema 2.18. Le të jetë M := MB′

Bmatrica e transformimit nga B në B′. Atëherë,

MB′ (L) = M−1·MB(L) ·M

Vërtetim: Ushtrim. �

Shembull 2.31. Gjej matricën shoqëruese për funksionin linear

T : R3−→ R4

të tillë qëT(x, y, z) = (x − y + 2z, y + z, 3x − 2y − z, 7y + z)

dhe gjej një bazë për ker (T).

Zgjidhje: Kemi

T(1, 0, 0) = (1, 0, 3, 0)T(0, 1, 0) = (−1, 1,−2, 7)T(0, 0, 1) = (2, 1,−1, 1)

(2.17)

Matrica shoqëruese është:

M(T) :=

1 -1 20 1 13 -2 -10 7 1

dhe forma e reduktuar row-eçelon e tij është:

H(T) :=

1 0 00 1 00 0 10 0 0

Sistemi

H(T)x = 0

ka si zgjidhje vetëm x = 0. Pra, ker (T) = {0}. �

Ushtrime:

c©AulonaPress 73

Algjebra Shaska T.

1. Le të jetë B1 = {1, x, x2, x3} një bazë për P3. Vërteto se

B2 = {2x − 1, x2− x + 1, x3

− x, x3− x,−2}

është gjithashtu një bazë. Gjej matricën shoqëruese nga B1 në B2.

2. Le të jetë V := Span (ex, e−x). Gjej kordinatat e

f (x) = sinh x, g(x) = cosh x

në lidhje me B = {ex, e−x}.

3. Le të jetë V := Span (ex, xex). Gjej matricën transformuese nga B1 në B2, ku

B1 := {ex, xex} dhe B2 = {2xex, 4ex

}.

4. Le të jetë B1 := {i, j} baza standarte e R2 dhe u,v vektorët e përftuar duke rrotulluar në drejtim të kundërt tëakrepave të sahatit, me kënd θ, vektorët i, j respektivisht. Eshtë e qartëB2 := {u,v} është një bazë përR2. GjejMB2B1

.

2.8 Ushtrime përsëritje

1. Përkufizo hapësirën vektoriale mbi një fushë k, nënhapësirën, hapësirën nul, shumën direkte, prodhimindirekt, funksionin linear, kernel dhe image e një funksioni linear.

2. Një matricë katrore quhet trekëndore e sipërme në qoftë se të gjithë elementët nën diagonalen kryesore janëzero. Le të jetë V = Matn×n(R) dhe W bashkësia e të gjitha matricave trekëndore të sipërme të V-së. A ështëW nënhapësirë e V-së? Justifiko përgjigjen.

3. Një matricë katrore quhet trekëndore e poshtme në qoftë se të gjithë elementët mbi diagonalen kryesorejanë zero. Le të jetë V = Matn×n(R), W1 bashkësia e të gjitha matricave trekëndore të sipërme të V-së dhe W2bashkësia e të gjitha matricave trekëndore të poshtme të V-së. Çfarë është prerja e W1 ∩W2?

4. Le të jetë A një matricë e anasjelltë n×n. Sa është rank (A), null (A)? Çfarë është forma e reduktuar row-eçelone A-së.

5. Gjej matricën shoqëruese për funksionin linear

T : R3−→ R4

i tillë qëT(x, y, z) = (x − y + 2z, y + z, 3x − 2y − z, 7y + z)

dhe gjej një bazë për ker (T).

6. Gjej matricën standarte të rrotullimit të planit xy ne drejtim të kundërt me akrepat e sahatit rreth origjinës mekënd:

i) 45◦

ii) 60◦

iii) 15◦

74 c©AulonaPress

Shaska T. Algjebra

7. Le të jetë B := {u,v,w} një bazë për R3 dhe A një matricë 3 × 3, e cila ka të anasjelltë. Vërteto se {Au, Av, Aw}është një bazë për R3.

8. Le të jetëAx = β

një sistem linear me n ekuacione dhe n të panjohura. Sa zgjidhje ka ky sistem në qoftë se rank (A) = n? Po nëqoftë se rank (A) < n ? Shpjego.

9. Gjej një bazë për nënhapësirën W = Span(w1,w2,w3,w4) në R3, ku w1, . . . ,w4 janë dhënë si më poshtë:

w1 = (1, 0, 3, 1)w2 = (−1, 3, 1, 5)w3 = (1, 4, 2, 1)w4 = (3, 0, 1, 5)

(2.18)

10. Le të jenë V = R2 dhe W nënhapësira të gjeneruara nga w = (2, 3). Le të jetë U nënhapësira e gjeneruar ngau = (−1, 1). Vërteto se V është shuma direkte e W-së dhe U-së.

11. Kontrollo nëse funksioni T : R3−→ R3 i tillë që

T(x, y, z) = (x − 2, y − x, x + y)

është linear. Në qoftë se është linear atëherë gjej matricën e tij shoqëruese.

12. Le të jetë T : R2→ R2 rrotullimi kundër akrepave të sahatit me kënd θ = π

3 . Gjej

T(1, 0), T(1, 1), T(−1, 1).

13. Gjej rangun, nulitetin dhe bazat për hapësirën kolonë, hapësirën rresht dhe hapësirën nul të matricës:1 2 3 1

-2 1 1 2-1 3 4 3-1 3 4 3

14. Le të jetë B := {u,v,w} e tillë që

u = (1, 2, 3), v = (1,−1, 1), w = (1, 3, 1)

A është B një bazë për R3? Justifiko përgjigjen.

15. Gjej matricën shoqëruese për funksionin linear

T : R4−→ R4

i tillë qëT(x, y, z,w) = (x − y + z, 2x − 2y + 2z, x + y − z − b, 2x − w)

dhe gjej një bazë për ker (T).

c©AulonaPress 75

Algjebra Shaska T.

16. Le të jetë V = Matn(R). Gjej matricat që janë ndërrimtare me çdo element të V-së.

17. Le të jetë GL2(k) bashkësia e matricave në Mat2(k) të cilat kanë të anasjelltë. A është GL2(k) një nënhapësirë eMat2(k)? Justifiko përgjigjen.

76 c©AulonaPress

Kapitulli 3

Përcaktorët, eigenvlerat, eigenvektorët

Teoria e përcaktorëve u zhvillua në shekullin e 17-të dhe 18-të. Fillimisht ishte Cramer i cili hodhi bazat e paranë teorinë e përcaktorëve dhe më vonë e vazhduan Bezout, Vandermonde, Laplace, Cauchy, etj. Me zhvillimine algjebrës moderne dhe koncepteve të reja, si psh format multilineare, grupet e përkëmbimeve, etj, koncepti ipërcaktorit u bë më i plotë. Dhe ne vazhdojmë me këtë koncept në algjebrën e lartë edhe në ditët tona. Kjo çështjeështë trajtuar në Apendiks B.

3.1 Përcaktorët

Në këtë seksion do të përkufizojmë përcaktorin e matricës. Rruga më e mirë për këtë është me format e alternuaradhe përkëmbimet, por kjo mund të jetë disi e vështirë në këtë nivel. Në vend të saj ne përdorim një këndvështrimmë kompjutacional.

Përkufizim 3.1. Le të jetë A = [ai j] një matricë n× n. Për çdo (i, j) le të jetë Ai j një matricë (n− 1)× (n− 1) e përfituarduke hequr rreshtin e i-të dhe kolonën e j-të. Atëherë, Ai j quhet një minor i A-së dhe

ai j = (−1)i+ jdet(Ai j) (3.1)

quhet (i, j)–kofaktor i A-së.

Përkufizim 3.2. Le të jetë A = [ai j] një matricë n × n. Atëherë për një i = 1, . . .n të fiksuar përcaktori i A-së është ipërcaktuar si më poshtë:

det (A) :=n∑

j=1

(−1)i+ j· ai, j · det (Ai j) =

n∑j=1

ai, j · ai, j

dhe është i pavarur nga zgjedhja e i-së.

Përcaktori i matricës A

A :=

a1,1 a1,2 a1,3 . . . a1,na2,1 a2,2 a2,3 . . . a2,na3,1 a3,2 a3,3 . . . a3,n

· ·

· ·

· ·

am,1 am,2 am,3 . . . am,n

77

Algjebra Shaska T.

jepet si më poshtë

det (A) =

a1,1 a1,2 a1,3 . . . a1,na2,1 a2,2 a2,3 . . . a2,na3,1 a3,2 a3,3 . . . a3,n

· ·

· ·

· ·

am,1 am,2 am,3 . . . am,n

Shembull 3.1. Le të jetë A një matricë 2 × 2

A =

[a bc d

]Atëherë përcaktori i saj është

det (A) =a bc d = ad − bc.

�

Shembull 3.2. Le të jetë A një matricë 3 × 3

A =

a1,1 a1,2 a1,3a2,1 a2,2 a2,3a3,1 a3,2 a3,3

Atëherë përcaktori i saj është

det (A) =a1,1a2,2 a2,3a3,2 a3,3

− a1,2a2,1 a2,3a3,1 a3,3

+ a1,3a2,1 a2,2a3,1 a3,2

= a1,1a2,2a3,3 + a1,2a2,3a3,1 + a2,1a3,2a1,3 − a3,1a2,2a1,3 − a3,2a2,3a1,1 − a2,1a1,2a3,3

�

Në shumë libra të algjebrës lineare elementare teknika e mëposhtme jepet për të kujtuar se si të gjejmë përcaktorine një matrice 3 me 3.

Përkufizim 3.3. Përkufizimi i përcaktorit si më sipër quhet shtjellim me minorë përgjatë rreshtave të i-të.

Një interpretim vizual i përcaktorit jepet si më poshtë. Shigjetat e drejtuara për poshtë përfaqësojnë prodhimeme koefiçientë 1 dhe shigjetat e drejtuara lartë përfaqësojnë prodhime me koefiçientë -1.

det(M) =

∣∣∣∣∣∣∣∣a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33

∣∣∣∣∣∣∣∣=

(a11a22a33 + a21a32a13 + a31a12a33

)−

(a13a22a31 + a23a32a11 + a33a12a31

)

a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

a11 a12 a13

a21 a22 a13

+

+

+

−

−

−

78 c©AulonaPress

Shaska T. Algjebra

Së pari, na duhet të tregojmë që zgjedhja e rreshtave nuk e ndryshon përcaktorin. Ne nuk do ta bëjmë vërtetimine teoremës, pasi për një vërtetim të plotë duhet një përkufizim shumë i saktë i përcaktorit, sikurse është dhënë nëApendiks B.

Teorema 3.1. Shtjellimi përgjatë çdo rreshti apo kolone nuk e ndyshon përcaktorin.

Teorema e mësipërme na lejon të zgjedhim rreshtin apo kolonën me sa më shumë zero gjatë llogaritjes sëpërcaktorit të matricës.

Shembull 3.3. Llogarit përcaktorin e matricës

A =

1 2 0 4 00 2 0 0 12 1 2 1 21 1 2 4 50 2 1 2 0

Zgjidhje: Meqënëse rreshti i dytë ka tre zero, ne bëjmë llogaritjen përgjatë këtij rreshti. Pra kemi

det (A) = 2 ·

1 0 4 02 2 1 21 2 4 50 1 2 0

− 1 ·

1 2 0 42 1 2 11 1 2 40 2 1 2

Le të jetë

A1 :=

1 0 4 02 2 1 21 2 4 50 1 2 0

, A2 =

1 2 0 42 1 2 11 1 2 40 2 1 2

Atëherë

det (A1) = 1 ·2 1 22 4 51 2 0

+ 4 ·2 2 21 2 50 1 0

= (5 + 8 − 8 − 20) + 4 (2 − 2 · 5) = −15 − 32 = −47

(3.2)

det (A2) =1 2 11 2 42 1 2

− 2 ·2 2 11 2 40 1 2

− 4 ·2 1 21 1 20 2 1

= (4 + 16 + 1 − 4 − 4 − 4) − 2 (8 + 1 − 4 − 8) − 4 (2 + 4 − 8 − 1)= 9 − 2 · (−3) − 4 · (−3) = 27

Kështu që,det (A) = 2 · (−47) − 27 = −121

�

Lema 3.1. det (A) = det (AT)

Vërtetim: Le të jetë A = [ai j] një matricë e dhënë. E vërtetojmë Lemën me anë të induksionit. Për n = 1 vërtetimiështë trivial. Supozojmë se lema është e vërtetë për n < r. Ne duam të tregojmë se është e vërtetë për n = r.Përcaktori i A-së është

det (A) = a11|A11| − a12|A12| + · · · + (−1)r+1a1r|A1r|

Përkufizojmë me B := At. Atëherë

det (B) = b11|B11| − b21|B21| + · · · + (−1)r+1br1|B1r|.

c©AulonaPress 79

Algjebra Shaska T.

Gjithsesi, a1 j = b j1 dhe B j1 = At1 j. Nga hipoteza e induksionit kemi |A1 j| = |B j1|. Kështu që, det (A) = det (B) =

det (At).�

Vërejtje 3.1. Përcaktori i një matrice trekëndore është prodhimi i elementëve të diagonales së tij.

Tregojmë se kjo është e vërtetë me anë të një matrice trekëndore të sipërme.

Shembull 3.4. Le të jetë A një matricë trekëndore

A :=

a1,1 a1,2 a1,3 . . . a1,n0 a2,2 a2,3 . . . a2,n0 0 a3,3 . . . a3,n

· ·

· ·

· ·

0 0 0 . . . am,n

Zgjidhje: Gjejmë përcaktorin duke shtjelluar përgjatë kolonës së parë. Eshtë e qartë se

det (A) =

n∏i=1

ai,i.

�

Shohim disa veti të përcaktorëve.

Lema 3.2. Le të jetë A një matricë n × n. Veprimet me rreshtat kanë efektet e mëposhtme në përcaktorë:

i) Në qoftë se kemi kryer veprimin Ri ←→ R j në një matricë A, atëherë përcaktori i matricës së përfituar A′ është

det (A′) = −det (A)

ii) Në qoftë se dy rreshta të A-së janë të njëjtë, atëherë

det (A) = 0

iii) Në qoftë se kryejmë veprimin Ri → rRi, atëherë përcaktori i matricës së përfituar A′ është

det (A′) = r · det (A)

iv) Veprimi R j → rRi + R j nuk e ndryshon përcaktorin.

Vërtetim: i) Procedojmë me anë të induksionit. Vërtetimi për n = 2 është trivial. Supozojmë se vetia është e vërtetëpër të gjitha matricat me dimension më të vogël se n. Le të jetë B një matricë e përfituar pasi kemi bërë vepriminRi ←→ R j në A. Llogarit përcaktorin duke zhvilluar përgjatë rreshtit të s-të, ku s , i dhe s , j. Atëherë

det (A) = as1|As1| − as2|As2| + · · · + (−1)s+nasn|Asn|.

Për çdo 1 ≤ r ≤ n kemi(−1)s+r

|Asr| = −(−1)s+r|Brs|.

Nga hipoteza e induksionit, |Brs| = −|Asr|. Pra, det (B) = −det (A).ii) Ky është rrjedhim i menjëherëshëm i pikës i).iii) Rrjedhim i menjëherëshëm i përkufizimit.iv) Le të jetë B matrica e përfituar pasi kemi kryer veprimin R j → rRi + R j në A. Atëherë,

det (B) = b j1|B j1| + · · · + (−1) j+nb jn|B jn|

= (rai1 + a j1)|B j1| + · · · + (−1) j+n(rain + a jn)|B jn|

=(rai1|B j1| + · · · + (−1) j+nrain|B jn|

)+

(a j1|B j1| + · · · + (−1) j+na jn|B jn|

)= rdet (C) + det (A)

80 c©AulonaPress

Shaska T. Algjebra

ku C është përfituar duke i ndëruar vendet rreshtave të A-së. Pra, det (C) = 0 dhe det (B) = det (A).�

Teorema 3.2. Një matricë A ka të anasjelltë atëherë dhe vetëm atëherë kur det (A) , 0.

Vërtetim: Le të jetë A një matricë e dhënë. Llogarisim formën row eçelon të A-së. Atëherë

det (A) = r · det (H)

për disa konstante r , 0. Matrica A ka të anasjelltë atëherë dhe vetëm atëherë kur H ka pivotë në çdo rresht.Meqënëse H është trekëndore, atëherë përcaktori i saj është prodhimi i këtyre pivotëve. Pra, A ka të anasjelltëatëherë dhe vetëm atëherë kur det (H) , 0. Si rrjedhim, A ka të anasjelltë atëherë dhe vetëm atëherë kur det (A) , 0.

�

Lema 3.3. Le të jetë A,B ∈Matn×n(k). Në qoftë se det (A) = 0 atëherë det (AB) = 0.

Vërtetim: Ushtrim për lexuesin. �

Teorema 3.3. Le të jetë A,B ∈Matn×n(k). Atëherë

det(A B) = det(A) det(B).

Vërtetim: Së pari supozojmë se A është diagonal. Atëherë, për të përfituar matricën AB, çdo rresht i B-sëshumëzohet me Ai,i. Pra,

det (AB) = (a11 · · · ann) · det (B) = det (A) · det (B).

Supozojmë se A ka të anasjelltë (në rast të kundërt teorema është e vërtetë si rrjedhim i Lemës së më sipërme).Atëherë, A mund të kthehet në formën diagonale D duke kryer veprime me rreshtat (shumëzimi me konstante nukështë i lejuar). Kështu që, D = EA për një matricë elementare E ku E korespondin me kembim radhësh ose mbledhjeradhësh. Pra, det (A) = (−1)r

· det (D), për disa r. Atëherë,

E(AB) = (EA)B = DB.

Pra, kemidet (AB) = (−1)r

· det (DB) = (−1)r· det (D) · det (B) = det (A) · det (B).

Kjo plotëson vërtetimin.

Shembull 3.5. Gjej përcaktorin e matricës AB kur

A :=

1 0 0 02 2 0 09 2 4 012 10 2 5

, B =

3 0 0 02 1 0 0

21 -7 2 013 2 31 2

Zgjidhje: Meqënëse të dyja janë matrica trekëndore dhe det (AB) = det (A) · det (B) kemi

det (AB) = (1 · 2 · 4 · 5) · (3 · 1 · 2 · 2) = 480

�

3.1.1 Llogaritja e përcaktorëve

Të llogaritësh një përcaktor sikurse e kemi përshkruar më sipër është një proçes i gjatë. Gjithësesi ne mund tëbëjmë veprime me rreshtat për ta llogaritur përcaktorin më shpejt.

c©AulonaPress 81

Algjebra Shaska T.

Algorithm 6. Input: Një matricë katrore AOutput: Përcaktori i A-së

1) Redukto A-në në formën row-eçelon duke përdorur vetëm mbledhje dhe ndërrim të rreshtave.2) Në qoftë se gjatë kësaj proçedure të gjithë elementët e një prej rreshtave bëhen zero atëherë

det (A) = 0,

në të kundërt

det (A) = (−1)r·

n∏i=1

pi

ku pi-të janë pivotët dhe r është i barabartë me sa herë i kemi ndëruar vendet rreshtave.

Ushtrime:

1. Le të jetë A një matricë (n × n) e cila ka të anasjelltë. Vërteto se

det(A−1) =1

det(A)

2. Gjej përcaktorin e

A =

1 1 11 1 12 0 1

, B =

2 1 32 -1 04 0 3

3. Gjej përcaktorin e

A =

1 0 10 1 02 0 1

, B =

2 1 32 -1 0

-1 0 5

4. Gjej përcaktorin e

A =

5 -1 0 21 2 1 03 1 -2 40 4 -1 2

, B =

5 2 0 23 2 1 03 1 -2 42 4 -1 2

dhe përdor rezultatin për të gjetur det (A−1) dhe det (B−1).

5. Le të jetë A një matricë e tillë që det (A) , 0. A ka ndonjë zgjidhje sistemi Ax = b?

6. Le të jetë A e dhënë si më poshtë

A =

[a bc d

]Cili është kushti për a, b, c, d e tilla që A të ketë të anasjelltë? Gjej të anasjelltin.

7. Le të jetë C një matricë e cila ka të anasjelltë. Vërteto se

det (A) = det (C−1AC).

8. Përcaktori i një matrice A n × n është det (A) = 3. Gjej det (2A), det (−A), dhe det (A3).

82 c©AulonaPress

Shaska T. Algjebra

9. Le të jetë A një matricë n × n. Në qoftë se çdo rresht i A-së shumëzoeht me 0 vërteto se det (A) = 0.

10. Le të jetë A një matricë n × n. Në qoftë se çdo rresht i A-së shumëzohet me 1 vërteto se det (A − I) = 0. A sjellkjo si rrjedhim se det (A) = 0 ?

3.2 Rregulli i Kramerit dhe matricat axhoint

Deri tani kemi zgjidhur sisteme lineare duke përdorur metodën e Gausit. Në këtë seksion do të shohim njëmetodë tjetër, e cila do të na japë një formulë për zgjidhjen e sistemeve lineare.

Le të jetë një sistem linearA · x = β

i dhënë ku

A = [ai, j] =

a1,1 a1,2 a1,3 . . . a1,na2,1 a2,2 a2,3 . . . a2,na3,1 a3,2 a3,3 . . . a3,n

·

·

·

am,1 am,2 am,3 . . . am,n

, x =

x1x2x3

xm

, β =

b1b2b3

bm

.

Për çdo k = 1, . . . ,n, përkufizojmë matricën Bk të jetë matrica e përfituar nga zëvendësimi i kolonës së k-të tëA-së me vektorin β si më poshtë:

Bk =

a1,1 a1,2 a1,3 . . . b1 . . . a1,na2,1 a2,2 a2,3 . . . b2 . . . a2,na3,1 a3,2 a3,3 . . . b3 . . . a3,n

· . . . . . . .· . . . . . . .· . . . bi . . .· . . . . . . .· . . . . . . .

am,1 am,2 am,3 . . . bn . . . am,n

Teorema 3.4. (Kramer) Në qoftë se A është matricë e cila ka të anasjelltë, atëherë sistemi linear

Ax = β

ka një zgjidhje të vetme të dhënë nga

xk =det (Bk)det (A)

, pr k = 1, . . . ,n.

Vërtetim: Zgjidhja është x = A−1β. Shtjellojmë det Bk në kofaktorët e kolonës së k-të. Kemi

det Bk = b1A1k + · · · + bnAnk.

Duke shumëzuar me 1det A

, ky është komponenti i k-të i vektorit x. �

Shembull 3.6. Zgjidh sistemin e mëposhtëm me anë të rregullit të Kramerit{2x + 3y = 55x − y = 7

c©AulonaPress 83

Algjebra Shaska T.

Zgjidhje: Atëherë

A =

[2 35 -1

], B1 =

[5 37 -1

], B2 =

[2 55 7

]dhe

det (A) = −17, det (B1) = −26, det (B2) = −11

Pra,

x1 =2617, x2 =

1117

�

Tani mund të ilustrojmë sistemin linear me pesë ekuacione dhe pesë të panjohura.

Shembull 3.7. Zgjidh sistemin linear Ax = β, ku A është si në Shembullin 3.3 dhe

β =

100

-10

Zgjidhje: Sikurse në Shembullin (3.3) përcaktori i A-së është det (A) = −121. Llogarisim

det (B1) = −61, det (B2) = −14, det (B3) = 44, det (B4) = −8, det (B5) = 28

Atëherë, zgjidhja e sistemit është

x =

61121

14121

−411

8121

−28

121

�

Një sistem linearAx = β

i tillë që β = 0 quhet sistem homogjen.

Teorema 3.5. Një sistem homogjen ka një zgjidhje jozero atëherë dhe vetëm atëherë kur det (A) = 0.

Vërtetim: Ushtrim.�

3.2.1 Axhoint-ët e matricave

Ekzistenca e të anasjelltit të një matrice varet nga fakti nëse përcaktori i matricës është 0. Natyrisht ne duam tëgjejmë një formulë për gjetjen e të anasjelltin të një matrice në lidhje me përcaktorin.

Përkufizim 3.4. Le të jetë A = [ai, j] një matricë n×n, me elementë ngaC. Për çdo element ai, j, kofaktori koresponduesështë i përkufizuar si

ci, j = (−1)i+ jdet (Ai j)

84 c©AulonaPress

Shaska T. Algjebra

shih (3.1). Krijojmë matricën C = [ci, j]. Le të jetë

C := [ ci, j ],

ku ci, j është i konjuguari kompleks i ci, j. Matrica

adj (A) :=(C)t

quhet axhoint e A-së.

Shembull 3.8. Gjej axhointin e matricës:

A =

i+1 2 i-10 2i 0i 1 -1

Zgjidhje: Atëherë

C =

-2i 0 2-1-i 0 1-i

4 0 -2+2i

Pra,

C =

2i 0 2-1+i 0 1+i

4 0 -2-2i

dhe

adj (A) =

-2i -1-i 40 0 02 1-i -2+2i

�

Vërejtje 3.2. Kini parasysh se në qoftë se matrica ka elementë në R, atëherë nuk është e nevojshme të marrim të konjuguarite ci, j meqënëse i konjuguari i një numri realë është po ai numër. Kjo është arsyeja pse në shumë libra të cilët trajtojnë vetëmmatrica me elementë nga R përkufizimi i axhoint nuk përmend marrjen e të konjuguarëve.

Shembull 3.9. Le të jetë A matrica e mëposhtme.

A :=

1 2 0 -10 2 0 02 1 -1 11 1 2 -1

Zgjidhje: Atëherë, axhointi saj është

adj (A) =

-2 5 -4 -20 -6 0 06 -3 0 -6

10 -7 -4 -2

�

Teorema 3.6. Le të jetë A një matricë e cila ka të anasjelltë dhe adj (A) axhoint i saj. Atëherë

A · adj (A) = adj (A) · A = det (A) · In

Vërtetim: Ushtrim. �Nga teorema e mësipërme arrijmë në përfundimin se për një matricë të dhënë A e tillë që det (A) , 0 kemi

A−1 =1

det (A)adj (A)

c©AulonaPress 85

Algjebra Shaska T.

Atëherëe anasjellta e matricës A jepet si më poshtë

A−1 =1

det (A)adj (A) =

c11|A|

c21|A| · · ·

cn1|A|

c12|A|

c22|A| · · ·

cn2|A|

......

. . ....

c1n|A|

c2n|A| · · ·

cnn|A|

Shembull 3.10. Gjej axhointin e A-së

A =

1 2 34 5 67 8 9

.Zgjidhje: Axhointi është

adj (A) =

-3 6 -36 -12 6

-3 6 -3

Vini re se det (A) = 0, pra kjo matricë nuk ka të anasjelltë. �

Ushtrime:

1. Le të jetë kurbaA + By + Cx + Dy2 + Exy + x2 = 0

e dhënë e cila kalon nga pikat (x1, y1), . . . , (x5, y5). Përcakto A,B,C,D dhe E. Ky ishte problem i parë për të cilinKramer ishte i interesuar kur zbuloi këtë formula.

2. Duke përdorur rregullin e Kramerit zgjidh sistemin Ax = β,ku

A =

5 -1 0 21 2 1 03 1 -2 40 4 -1 2

, b =

5332

3. Gjej axhointin e

A =

1 0 10 1 02 0 1

, B =

2 1 32 -1 0

-1 0 5

dhe përdore rezultatin për të gjetur A−1 dhe B−1.

4. Gjej axhointin e

A =

5 -1 0 21 2 1 03 1 -2 40 4 -1 2

, B =

5 2 0 23 2 1 03 1 -2 42 4 -1 2

dhe përdore rezultatin për të gjetur A−1 dhe B−1.

86 c©AulonaPress

Shaska T. Algjebra

5. Përcakto në qoftë se matrica

A :=

1 0 0 -10 1 0 02 1 -1 11 0 2 -1

ka të anasjelltë.

6. Le të jenë f , g si më poshtë:

f (x) = alxl + · · · + a0

g(x) = bmxm + · · · + b0(3.3)

Matrica

Syl( f , g, x) =

al bmal−1 al bm−1 bmal−2 al−1 . bm−2 bm−1 .. al−2 . . . . . .. . . . al . . . . bm

a1 . . . al−1 b0 . . . bm−1a0 a1 . . al−2 b0 . . .

a0 . . . . . .. . . .. . .

a0 b0

(3.4)

quhet matrica Silvester e f (x) dhe g(x). Rezultanti i f (x) dhe g(x), e shënuar me Res( f , g, x), është

Res( f , g, x) := det (Syl( f , g, x)).

Pohimi i mëposhtëm është një fakt elementar në algjerën e polinomeve:

Polinomët f (x) dhe g(x) kanë një faktor të përbashkët në k[x] atëherë dhe vetëm atëherë kur Res( f , g, x) = 0.

Le të jetë

F(t) = u(1 + t2) − t2

G(t) = v(1 + t2) − t3 (3.5)

Gjej Res(F,G, t).

7. Le të jetë

f (x) = x5− 3x4

− 2x3 + 3x2 + 7x + 6

g(x) = x4 + x2 + 1(3.6)

Gjej Res( f , g, x).

8. Le të jetëf (x) = anxn + . . . a1x + a0

dhe f ′(x) derivati i tij. Përkufizojmë dallorin ∆ f e f (x) në lidhje me x si më poshtë:

∆ f :=(−1)

n(n−1)2

anRes( f , f ′, x).

c©AulonaPress 87

Algjebra Shaska T.

Pohimi i mëposhtëm është një fakt elementar në algjerën e polinomeve:

Polinomi f (x) ka rrënjë të dyfishta atëherë dhe vetëm atëherë kur ∆ f = 0.

A kaf (x) = 6x4

− 23x3− 19x + 4

ndonjë rrënjë të dyfishtë në C?

9. Gjej b-në e tillë qëf (x) = x4

− bx + 1

ka një rrënjë të dyfishtë në C.

10. Gjej p-në e tillë qëf (x) = x3

− px + 1

ka një rrënjë të dyfishtë në C.

3.3 Eigenvlerat, eigenvektorët dhe eigenhapësirat

Lexuesi, besoj se e ka vënë re se është shumë më e lehtë të punosh me matrica diagonale. Për shembull, në qoftëse A është diagonale atëherë det (A) është i lehtë për tu gjetur, një sistem linear Ax = β është i lehtë për tu zgjidhurdhe An është e lehtë për tu llogaritur. Si mund të "transformohet"një matricë në një matricë diagonale? Në këtëseksion do të studiojmë një nga konceptet më të rëndësishme të algjebrës lineare sikurse eigenvlerat, eigenvektorëtdhe eigenhapësirat. Rëndësia e tyre do të jetë e qartë në seksionin tjetër.

Përkufizim 3.5. Le të jetë A një matricë n × n. Një skalar jozero λ quhet një eigenvlerë në qoftë se ekziston njëvektor jozero v i tillë që

Av = λv

Vektori v quhet eigenvektori, i cili i korenspondon λ-së.

Pohim 3.1. Pikat e mëposhtme janë ekuivalente:1) λ është një eigenvlerë i A-së2) det (λI − A) = 0

Vërtetim: Për të llogaritur eigenvlerat dhe eigenvektorët e vëmë re se

Av = λv =⇒ (A − λI)v = 0

Pra, një eigenvlerë është një skalar λ për të cilin sistemi

(A − λI)x = 0

ka një zgjidhje jotriviale. Dimë se ky sistem ka një zgjidhje jotriviale atëherë dhe vetëm atëherë kur përcaktori imatricës koefiçient është zero. Kështu që, ne duam të gjejmë λ të tillë që

det (A − λI) = 0.

Le të jetë A = [ai, j] një matricë e dhënë. Atëherë ekuacioni i mësipërm mund të shkruhet si

det (A − λI) =

a1,1 − λ a1,2 a1,3 . . . a1,na2,1 a2,2 − λ a2,3 . . . a2,na3,1 a3,2 a3,3 − λ . . . a3,n

· ·

· ·

· ·

an,1 an,2 an,3 . . . an,n − λ

88 c©AulonaPress

Shaska T. Algjebra

Kjo plotëson vërtetimin. �Duke llogaritur këtë përcaktor marrim një polinom në varësi të λ-së, të gradës tëpaktën n. Ky quhet polinomi karakteristik i A-së, të cilin e shënojmë me char (A, λ). Të gjesh eigenvlwrat e A-sëështë njëlloj si të gjesh rrënjët e polinomit char (A, λ).

Rrjedhim 3.1. λ është një eigenvlerë atëherë dhe vetëm atëherë kur është një rrënjë e polinomit karakteristik.

Vërejtje 3.3. Kujtoni nga algjebra se një polinom i gradës n mund të ketë të paktën n rrënjë. Kështu që një matricë n × nmund të ketë të paktën n eigenvlera. Shiko Apendiks B për më shumë detaje mbi polinomët.

Shumëfishmëria e një eigenvlere, si një rrënjë e polinomit karakteristik quhet shumëfishmëri algjebrike e njëeigenvlere. Për një eigenvlerë të fiksuar λ, eigenvektorët korespondues janë dhënë nga zgjidhjet e sistemit

(A − λI)x = 0

Në të njëjtën mënyrë një hapësirë të tillë e kemi quajtur hapësirën nul të matricës koefiçient (A − λI).

Përkufizim 3.6. Në qoftë se λ është një eigenvlerë e A-së, bashkësia

EL := {v ∈ V | A v = λ v}

quhet eigenhapësirë e A-së që i korenspondonλ-së. Dimensioni i eigenhapësirës quhet shumëfishmëri gjeometrikee eigenvlerës λ.

Vërejtje 3.4. Mund të tregohet se shumëfishmëria gjeometrike është gjithmonë ≤ se shumëfishmëria algjebrike.

Të gjesh eigenvlerat kërkon të zgjidhësh ekuacionin e një polinomi, gjë e cila mund të jetë e vështirë për polinometë gradave të larta. Pasi kemi gjetur eigenvlerat atëherë përdorim sistemin linear

(A − λI)x = 0

për të gjetur eigenvektorët. E paraqesim këtë në shembullin e mëposhtëm.

Shembull 3.11. Gjej polinomin karakteristik dhe eigenvlerat e matricës:

A =

[1 25 4

].

Zgjidhje: Polinomi karakteristik është

char (A, λ) = det (A − λI) =1 − λ 2

5 4 − λ

= (1 − λ)(4 − λ) − 5 · 2 = λ2− 5λ − 6 = (λ + 1)(λ − 6)

Eigenvlerat janë λ1 = −1 dhe λ2 = 6. Të dyja kanë shumëfishmëri algjebrike 1.Në qoftë se λ1 = −1 sistemi ndryshon: [

−1 25 2

]x = 0

dhe zgjidhja e tij është

v1 =

[-11

]Eigenhapësira e tij është

Eλ1 = 〈v1〉.

Ka dimension 1 dhe si rrjedhim shumëfishmëri gjeometrike e λ1 = −1 është gjithashtu 1.

c©AulonaPress 89

Algjebra Shaska T.

Për λ2 = 6 sistemi bëhet: [-5 25 -2

]x = 0

dhe zgjidhja e tij është

v2 =

[152

]Eigenhapësira e tij është

Eλ2 = 〈v2〉.

Kjo eigenhapësirë gjithashtu ka dimension 1 dhe si rrjedhim shumëfishmëri gjeometrike i λ2 = 6 është gjithashtu 1. �

Shembull 3.12. Gjej eigenvlerat dhe shumëfishmëritë e tyre për matricën

A :=

1 0 2 12 1 0 -10 0 2 00 0 1 -2

Zgjidhje: Polinomi karakteristik është

char (A, x) = (x − 1)2 (x − 2) (x + 2)

Kështu që janë tre eigenvlera, λ1 = 1, λ2 = −2, λ3 = 2. Eigenvlera λ1 = 1 ka shumëfishmëri algjebrike 2, ndërsa të tjerët kanëshumëfishmëri algjebrike 1.

Për të gjetur shumëfishmëritë gjeometrike për λ1, λ2, λ3 duhet të gjejmë eigenvektorët korespondues. Duke zgjidhursistemin korespondues kemi

v1 =

0100

, v2 =

1

- 53

0-3

, v3 =

9

1741

Kështu që shumëfishmëritë gjeometrike për λ1, λ2, λ3 janë respektivisht 1, 1, 1.

�

Më poshtë do të shohim një shembull kur shumëfishmëritë algjebrike dhe gjeometrike janë të njëjtë për çdoeigenvlerë.

Shembull 3.13. Gjej eigenvlerat dhe shumëfishmëritë e tyre për matricën

A :=

1 0 0 10 1 0 21 -1 2 30 0 0 -2

Zgjidhje: Polynomi karakteristik është

char (A, x) = (x − 1)2 (x − 2) (x + 2)

Kështu që janë tre eigenvlera, λ1 = 1, λ2 = −2, λ3 = 2. Eigenvlera λ1 = 1 ka shumëfishmëri algjebrike 2 dhe të tjerët kanëshumëfishmëri algjebrike 1.

Për të gjetur shumëfishmëritë gjeometrike për λ1, λ2, λ3 duhet të gjejmë eigenvektorët e tyre korespondues. Duke zgjidhursistemin korespondues kemi:

Për λ = 1 eigenvektorët janë

u =

1100

, u =

-1010

90 c©AulonaPress

Shaska T. Algjebra

Kështu që shumëfishmëria gjeometrike e λ1 = 1 është 2.Për λ2 dhe λ3 eigenvektorët janë respektivisht v2 dhe v3, si më poshtë:

v2 =

1252-3

, v3 =

0010

Pra, shumëfishmëria geometrike për λ2 dhe λ3 është 1.

�

Vërejtje 3.5. Do shikojmë në kapitullin tjetër se dy shembujt e mësipërm paraqesin dy klasa të matricave. Ne do të mësojmëse si të veprojmë me secilën nga këto klasa.

Ushtrime:

1. Gjej eigenvlerat dhe shumëfishmëritë algjebrike dhe gjeometrike të tyre, për secilën nga matricat

A =

5 -1 0 21 2 1 03 1 -2 40 4 -1 2

, B =

5 2 0 23 2 1 03 1 -2 42 4 -1 2

2. Le të jetë A një matricë diagonale n × n e dhënë si më poshtë

A =

1 0 0 00 2 0 00 0 3 00 0 0 4

Cilat janë eigenvlerat dhe t shumëfishmëritë e tyre?

3. Llogarit eigenvlerat dhe shumëfishmëritë e tyre për matricën A3, ku A është e njëjtë si në shembullin emësipërm.

4. Le të jetë A një matricë diagonale n × n e tillë që det (A) , 0. Supozojmë se të gjithë elementët në diagonalejanë të ndryshëm. Sa eigenvlera të ndryshme ka A dhe cilat janë shumëfishmëritë e tyre?

5. Le të jetë A një matricë 2 me 2 me trace T dhe përcaktor D. Gjej një formulë e cila të jap eigenvlerat e A-së nëtermat e T-së dhe D-së.

6. Le të jetë A dhe B e dhënë si më poshtë:

A =

5 -1 0 21 2 1 03 1 -2 40 4 -1 2

, B =

5 2 0 23 2 1 03 1 -2 42 4 -1 2

Gjej eigenvlerat e tyre. Në secilin rast llogarit shumën dhe prodhimin e eigenvlerave dhe krahasoi me tracenëdhe përcaktorin e matricës.

c©AulonaPress 91

Algjebra Shaska T.

7. Vërteto se një matricë katrore ka të anasjelltë atëherë dhe vetëm atëherë kur të gjithë eigenvlerat janë jozero.

8. Le të jetë A një matricë 3 me 3. A mund të gjeni një formulë e cila të përcaktojë eigenvlerat e A-së në qoftë senjohim trace dhe përcaktorin e A-së?

9. Gjej polinomin karakteristik, eigenvlerat dhe eigenvektorët e matricës

A =

-1 -1 01 1 13 1 -2

3.4 Metodat iterative për gjetjen e eigenvlerave

Deri tani metoda e vetme për gjetjen e eigenvlerave të një matrice është zgjidhja e polinomeve karakteristik. Nëkëtë seksion do të japim një metodë të re e cila shmang polinomin karakteristik dhe merr një polinom të përafërtme të, duke përafruar një eigenvektor fillimisht dhe më pas do të përdorim pikërisht këtë eigenvektor për të gjetureigenvlerat përkatëse.

3.4.1 Metoda fuqi

Metoda fuqi aplikohet mbi një matricë n × n e cila ka një eigenvlerë dominuese λ1, ku eigenvlera dominueseështë ajo që në vlerë absolute është më e madhja. Për shembull, në qoftë se një matricë ka eigenvlerat −4,−3, 1 dhe−4 atëherë eigenvlera e tij dominuese është −4.

Teorema 3.7. Le të jetë A një matricë e diagonalizueshme me eigenvlerë dominuese λ1. Aëherë gjendet një vektor x0, jo-zero itillë që vargu i vektorëve xk, i përkufizuar si:

x1 = Ax0, x2 = Ax1, . . . , xk = Axk−1, . . .

i afrohet eigenvlerës dominante.

3.5 Matrica të ngjashme, diagonalizimi i matricave.

Në këtë seksion do të studiojmë konceptin e ngjashmërisë së matricave. Do të përcaktojmë kushte të nevojshmedhe të mjaftueshme që një matricë të jetë e ngjashme me një matricë diagonale. Kur kjo të jetë e mundur do tëgjejmë algoritmin për të përcaktuar këtë matricë diagonale.

Përkufizim 3.7. Dy matrica A dhe B quhen të ngjashme Në qoftë se existon një matricë C e tillë që

A = C−1 B C.

Dy matrica të ngjashme A dhe B i shënojmë me A ∼ B.

Lema 3.4. Vetia e ngjashmërisë është një veti ekuivalence.

Vërtetim: Relacioni i mësipërm është refleksiv sepse A = I−1AI.Në qoftë se A ∼ B, atëherë ekziston një matricë C e tillë që A = C−1BC. Duke shumëzuar nga e majta me C dhe

nga e djathta me C−1 kemi që B = CAC−1. Pra, B =(C−1

)−1AC−1. Kështu që B ∼ A.

Në qoftë se A ∼ B dhe B ∼ C, atëherë ekzistojnë matricat M dhe N të tilla që

A = M−1BM dhe B = N−1CN

Pra kemiA = M−1BM = (M−1N−1) · C · (NM) = (NM)−1C(NM).

Kështu që A ∼ C dhe relacioni është kalimtar. �Teorema e mëposhtme është përfundimi më i rëndësishëm i këtij seksioni. Nuk do ta kryejmë vërtetimin e saj.

92 c©AulonaPress

Shaska T. Algjebra

Teorema 3.8. Le të jetë A një matricë n × n dheλ1, . . . , λi, . . . , λs

të gjitha eigenvlerat e ndryshme të A-së. Në qoftë se për çdo λi shumëfishmëria gjeometrike është e njëjtë me shumëfishmërinëalgjebrike, themi

alg. mult.(λi) = geom. mult. (λi) = ei

AtëherëA = CDC−1

ku D është matrica diagonale e dhënë më poshtë

D =

λ1. . .

λ1λ2

. . .λ2

. . .λn

. . .λn

e1

en

dheC =

[v1,1, . . .v1,ei ,v2,1, . . . ,v2,e2 , . . .vs,es

]si dhe vi,1, . . . ,vi,ei është një bazë për eigenhapësirën Eλi .

Matricën C në teoremën e mësipërme e quajmë matricë tranzicioni të A-së të shoqëruar me D. Shohim dyshembuj në lidhje me teoremën e mësipërme.

Shembull 3.14. Le të jetë

A =

2 1 0 2

-1 0 -1 02 1 0 11 0 -1 1

Zgjidhje: Polinomi i saj karakteristik është

char (A, λ) = (λ2− 2λ + 2)(λ2

− λ − 1)

Eigenvlerat janë

1 ± i,12±

√5

2

dhe shumëfishmëria algjebrike e tyre është 1. Tani gjejmë shumëfishmërinë gjeometrike për çdo eigenvlerë.λ = 1 + i: atëherë zgjidhim sistemin

A − (1 + i)In = 0

Zgjidhja është

v1 =

1

−1 + i10

dhe eigenhapësira koresponduese ka dimension 1.

c©AulonaPress 93

Algjebra Shaska T.

Në të njëjtën mënyrë, në qoftë se λ = 1 − i atëherë eigenvektori është:

v2 =

1

−1 − i10

Në qoftë se λ3 = 1

2 +√

52 , λ4 = 1

2 +√

52 , atëherë eigenvektorët korespondues janë

v3 =

−132 + 5

2

√5

1

6 − 3√

5

152 −

72

√5

, v4 =

−132 −

52

√5

1

6 − 3√

5

152 −

72

√5

Pra, meqënëse shumëfishmëria algjebrike e çdo eigenvlere është e njëjtë me shumëfishmërinë gjeometrike, atëherë A është engjashme

D =

1 + i 0 0 0

0 1 − i 0 00 0 1

2 +√

52 0

0 0 0 12 −

√5

2

Matrica e tranzicionit në këtë rast është C = [v1,v2,v3,v4]. �

Lema 3.5. Matricat e ngjashme kanë eigenvlera të njëjtë.

Vërtetim: Le të jetë A ∼ B, themi seA = C−1BC

për ndonjë matricë C e cila ka të anasjelltë. Atëherë,

char (A, λ) = det (A − λ I) = det (A − λ I) · det (C−1) · det (C)

= det(C−1(A − λI)C

)= det

(C−1AC − λC−1IC

)= det

(C−1AC − λI

)= det (B − λI) = char (B, λ).

Kështu që, polinomi karakteristik është i njëjtë. Pra, A dhe B kanë eigenvlera të njëjtë. �

Lema 3.6. Le të jetë A një matricë n × n dheλ1, λ2, . . . , λn

eigenvlerat e tyre (jo domozdoshmërisht të ndryshëm) të tilla që shumëfishmëria algjebrike dhe gjeometrike janë të njëjtë.Atëherë,

tr(A) = λ1 + λ2 + · · · + λn.

Vërtetim: Ushtrim �

3.5.1 Diagonalizimi i matricave

Duam të shohim rastin e mëposhtëm: Na është dhënë një matricë A, gjej një matricë diagonale D të tillë që Aështë e ngjashme me D. Gjithashtu, gjej matricën C e cila lidh A dhe D. Teorema e mësipërme jep një algoritëm sesi mund ta zgjidhim këtë shembull.

94 c©AulonaPress

Shaska T. Algjebra

Algorithm 7. Input: Një matricë A, me dimensione n × nOutput: Matricat C dhe D të tilla që

A = C D C−1

Në qoftë se A është e diagonalizueshme, në të kundërt shkruaj’A nuk është e diagonalizueshme’.

i) Llogarit eigenvlerat e A-së dhe shumëfishmëritë algjebrike të tyre .

ii) Për çdo eigenvlerë λ1, llogarit shumëfishmërinë gjeometrike të λi dhe eigenvektorët korespondues

vi,1, . . . ,vi,s

iii) Krijo matricat D dhe C si në teoremën e mësipërme.

Shembull 3.15. Le të jetë A një matricë 4 × 4 e dhënë si më poshtë

A :=

9 0 0 0

-2 1 -3 -4-6 0 6 04 4 3 11

Gjej në qoftë se kjo matricë është e diagonalizueshme dhe nëse po, gjej një matricë diagonale D të ngjashme me A dhe matricëntransitive C të shoqëruar me D.

Zgjidhje: Polinomi karakteristik i A-së është

char (A, x) = (x − 3) (x − 6) (x − 9)2.

Kështu që, eigenvlerat janëλ1 = 3, λ2 = 6, λ3 = 9

me shumëfishmëri algjebrike 1, 1, dhe 2 respektivisht. Eigenvektorët korespondues të λ1, λ2, λ3 janë respektivisht v1,v2, dhew1,w2 si më poshtë

v1 :=

0

-201

, v2 :=

01

-31

, w1 :=

21

-40

, w2 :=

10

-21

Pra, shumëfishmëritë gjeometrike janë respektivisht 1,1, dhe 2. Si rrjedhim matrica A është e diagonalizueshme dhe C dhe Djanë

D =

3 0 0 00 6 0 00 0 9 00 0 0 9

, C :=

0 0 2 1

-2 1 1 00 -3 -4 -21 1 0 1

�

Shembull 3.16. Le të jetë A një matricë 3 me 3 si më poshtë

A =

2 1 00 2 00 0 3

.Kontrollon nëse A është e ngjashme me një matricë diagonale.

Zgjidhje: Atëherë char (A, λ) = (λ − 2)2(λ − 3). Për eigenvlerën λ = 2, shumëfishmëria algjebrike është 2 dhe eigenhapësirajepet nga

E2 = {t

010

| t ∈ Q}Shumëfishmëria gjeometrike është 1, kështu që A nuk është e ngajshme me matricën diagonale të eigenvlerave. �

c©AulonaPress 95

Algjebra Shaska T.

Lema 3.7. Le të jetë A e ngjashme me një matricë diagonale D e tillë që A = C−1 D C. Atëherë

An = (C−1) Dn C

Vërtetim: Ushtrim për lexuesin. �

Ushtrime:

1. Le të jetë A një matricë n × n me polinom karakteristik

char (A, λ) = anλn + αn−1λ

n−1 + · · · + a1λ + a0.

Vërteto setr(A) = (−1)n−1

· an−1.

2. Diagonalizo (Në qoftë se është e mundur) matricën:

A =

3 1 4 2

-1 0 -1 02 1 0 11 0 -1 1

3. Le të jetë

A =

2 1 3 2

-1 0 -1 05 1 0 11 0 -1 3

, dhe B =

3 1 4 2

-1 0 -1 02 1 0 11 0 -1 1

.Përcakto në qoftë se A dhe B janë të ngjashme.

4. Le të jetë

A =

2 1 3 2

-1 0 -1 05 1 0 11 0 -1 3

, dhe B =

-10 -2 2 3

+ 11 7 -5 1-15 -2 5 4-15 -4 5 3

.Përcakto në qoftë se A dhe B janë të ngjashme.

5. Le të jetë

A =

[8 22 5

]Gjej eigenvkerat dhe eigenvektorët e saj. Gjej shumëfishmërinë gjeometrike dhe algjebrike. Gjej matricat C,Dtë tilla që

A = C−1DC

6. Le të jetë

A =

1 2 43 5 22 6 9

Gjej eigenvlerat e A-së. Llogarit A11.

96 c©AulonaPress

Shaska T. Algjebra

7. Le të jetë A një matricë 4 me 4

A :=

-2 -5 -2 -1

32

72

32 0

12

−12

−32 -1

−52

−72

−12 1

Vërteto se A = C−1DC ku

C :=

1 2 1 11 1 -1 0

-1 1 1 21 1 0 -1

, D :=

-1 0 0 00 -1 0 00 0 1 00 0 0 2

Llogarit A6.

8. Llogarit Ar për

A =

[-3 5-2 4

]ku r është një numër pozitiv.

Ushtrime programimi:

1) Shkruaj një program kompjuteri i cili të përcaktojë nëse një matricë A është e diagonalizueshme dhe nësepo të llogarisë matricat C dhe D të tilla që A = C−1DC. Programi nuk duhet të ekzekutohet, por të shkruhetnë pseudo-code. Mund të supozoni ekzistencën e një funksioni i cili zgjidh ekuacione polinomiale tëgradës n.

3.6 Ushtrime përsëritje

1. Le të jenë A dhe B dy matrica me eigenvlera të njëjta. A janë A dhe B domosdoshmërisht të ngjashme?Shpjego përgjigjen.

2. Gjej eigenvlerat dhe shumëfishmëritë algjebrike dhe gjeometrike për matricën

A =

1 1 0 21 2 1 01 1 2 40 1 -1 2

3. Gjej eigenvlerat dhe shumëfishmëritë algjebrike dhe gjeometrike për matricën

B =

2 2 0 11 1 1 01 1 -2 11 4 -1 2

c©AulonaPress 97

Algjebra Shaska T.

4. Një formë kuadratike është një ekuacion polinomial i gradës së dytë me tre ndryshore x, y, z, i cili ka formën

F(x, y, z) = ax2 + by2 + cz2 + 2dxy + 2exz + 2 f yz

ku koefiçientët a deri në i janë numra realë. Marrim në konsideratë kurbën

F(x, y, z) = j.

Atëherë ky ekuacion mund të shkruhet në formën

xtAx = j

ku

x =

xyz

dhe A =

a d ed b fe f c

Matrica A quhet matrica e shoqëruar me formën kuadratike F(x, y, z). Ndonjë herë është ndihmëse nëserrotullojmë boshtet xy në mënyrë të tillë që ekuacioni i kurbës së më sipërme të mos i ketë termat xy, yz, xz.Këto forma kuadratike quhen forma kuadratike diagonale.

Le të jetë forma kuadratike F(x, y, z) e dhënë si më poshtë

F(x, y, z) = 2x2 + 3y2 + 5z2− xy − xz − yz.

Gjej matricën tranzitive e cila transformon këtë formë në një formë diagonale.

5. Le të jetë F(x, y, z) një formë kuadratike dhe A matrica e saj shoqëruese. Inertia e A-së, e shënuar me in(A),është e përkufizuar si treshja

in(A) := (n1,n2,n3)

ku ni për i = 1, 2, 3 përcakton numrat pozitivë, negative dhe zero të eigenvlerave të A-së respektivisht. Vërtetopikat e mëposhtme:

i) Në qoftë se in(A) = (3, 0, 0) atëherë forma kuadratike është një elipsoid.

ii) Në qoftë se in(A) = (2, 0, 1) atëherë forma kuadratike është një parabolë eliptike.

iii) Në qoftë se in(A) = (2, 1, 0) atëherë forma kuadratike është një hiperbolë of one sheet.

iv) Në qoftë se in(A) = (1, 2, 0) atëherë forma kuadratike është një hiperbolë of two sheets.

v) Në qoftë se in(A) = (1, 1, 1) atëherë forma kuadratike është një parabolë hiperbolike.

vi) Në qoftë se in(A) = (1, 0, 2) atëherë forma kuadratike është një cilindër parabolik.

6. Le të jetë sfera njësi në R3 me ekuacionx2 + y2 + z2 = 1

të dhënë. Duke përdorur metodën e ushtrimit të mëparshëm, klasifikoje sipas listës së më sipërme.

7. Klasifiko sipërfaqen kuadratike

2x2 + 4y2− 5z2 + 3xy − 2xz + 4yz = 2.

98 c©AulonaPress

Shaska T. Algjebra

8. Klasifiko sipërfaqen kuadratikex2 + y2

− z2 + 3xy − 5xz + 4yz = 1.

9. Klasifiko sipërfaqen kuadratikex2 + y2 + z2 = 1.

10. Vërteto se në qoftë se A është matricë diagonale, atëherë A është e ngjashme me At.

Ushtrime programimi:

1) Shkruaj një program kompjuteri, i cili përcakton nëse çdo dy matrica A dhe B janë të ngjashme. Përdorgjithçka që kemi përdor në Chapter 3, për ta bërë këtë program sa më efiçient që të jetë e mundur.

2) Dizenjo algoritmin më të mirë që të jetë e mundur për llogaritjen e përcaktorit të një matrice. Shpjegozgjedhjen tuaj.

c©AulonaPress 99

Algjebra Shaska T.

100 c©AulonaPress

Kapitulli 4

Format kanonike

Qëllimi kryesor i këtij kapitulli është të klasifikojmë transformimet e ndryshme lineare të një hapësire vektorialeapo klasat e ngjashmërisë së matricave.

Le të jetë V një hapësirë vektoriale me dimension n mbi fushën k dhe B një bazë e V-së. Gjithashtu, T : V → Vështë një funksion linear dhe A = MB

B(T) është matrica e tij shoqëruese. Duke zgjedhur një bazë tjetër B′ për V na

jep një matricë të re B = MB′

B′(T) të shoqëruar me T, të quajtur

B = P−1 A P

ku P = MBB′

(id), shiko Kapitullin 2. A mund të gjejmëB′ të tillë që matrica shoqëruese e T-së të jetë sa më e thjeshtë?Strategjia është të zgjedhim B′ të tillë që B të jetë sa më afër me matricën diagonale. Kemi dy raste:

i) k nuk i përmban të gjithë eigenvlerat e A-së

ii) k i përmban të gjithë eigenvlerat.

Këto dy raste na sjellin respektivisht tek forma racionale kanonike dhe forma kanonike e Xhordanit të cilat do ti studiojmëne seksionet 2 dhe 3.

4.1 Vetitë elementare të polinomëve

Në këtë seksion do të përsërisim disa nga vetitë elementare të polinomëve. Për më shumë detaje lexuesit einteresuar mund të lexojnë [65], [66] ose [66].

Si më sipër, me fushë k do të kuptojmë një nga bashkësitë e mëposhtme: Q, R, or C.Një polinom f (x) me koefiçientë në k jepet si më poshtë

f (x) = anxn + an−1xn−1 + · · · + a1x + a0

ku a0, . . . , an ∈ k. an quhet koefiçienti i parë i f (x). Polinomi f (x) quhet monik në qoftë se an = 1.Përcaktojmë si k[x] bashkësinë e të gjithë polinomëve në x me koefiçientë nga k. Le të jenë f , g ∈ k[x]. Me

f + g, f · g përcaktojmë mbledhjen dhe shumëzimin e zakonshëm të polinomëve. Bashkësia e të gjithë funksioneveracional p(x)

q(x) përcaktohet nga k(x),

k(x) :={

p(x)q(x)

∣∣∣ p(x), q(x) ∈ k[x]}

dhe është një fushë. Teorema në vazhdim vërteton se algoritmi i mirënjohur i Euklidit aplikohet edhe për polinomet.

Teorema 4.1. (Algoritmi i Euklidit) Le të jenë f , g ∈ k[x] dhe supozojmë se g , 0. Atëherë ekzistojnë numrat e vetëm r,q ∈ k[x], të tillë që

f = q · g + r

ku deg r < deg g.

101

Algjebra Shaska T.

Polinomi r(x) quhet mbetje e pjestimit të f (x) me g(x). Në qoftë se r(x) është polinomi zero (dmth, r(x) ≡ 0)atëherë themi se g(x) pjesëton f (x) dhe shkruhet si g(x) | f (x). Në qoftë se α ∈ k e tillë që f (α) = 0 themi se α ështënjë rrënjë për f (x). Si rrjedhim kemi:

Rrjedhim 4.1. Le të jetë f ∈ k[x] dhe α ∈ k të tillë që f (α) = 0. Atëherë f (x) = (x − α) · g(x).

Le të jetë f (x) një polinom dhe α një rrënjë e f (x)-it, e tillë që

f (x) = (x − α)e· g(x)

dhe (x − α) - g(x). Numri e quhet shumëfishmëri e rrënjës α.

Rrjedhim 4.2. Le të jetë k një fushë e tillë që çdo polinom jo-konstant në k[x] ka një rrënjë në k. Atëherë, për çdo f ∈ k[x]ekzistojnë α1, . . . , αn ∈ k dhe c ∈ k të tilla që

f (x) = c (x − α1) · · · (x − αn).

Rrjedhim 4.3. Le të jetë f ∈ k[x] e tillë që deg ( f ) = n. Ekzistojnë jo më shumë se n rrënjë të f -së në k.

Teorema 4.2. (Teorema Themelore e Algjebrës) Çdo polinom f (x) me gradë n dhe koefiçientë në C ka n rrënjë, dukenumëruar edhe shumëfishmëritë.

Shembull 4.1. Le të jetë f (x) ∈ C[x] i dhënë si më poshtë

f (x) = (x2 + 1)2· (x − 1)3

· (x − 2)

Atëherë, rrënjët e f (x) janë i,−i, 1, dhe 2 me shumëfishmëri 2, 2, 3 dhe 1, respektivisht. Kështu që, rrënjët e f (x) janë

i, i,−i,−i, 1, 1, 1, 2.

Pra, ekzistojnë 8 rrënjë sikurse e prisnim meqënëse deg f = 8. �

4.1.1 Polinomët e pathjeshtueshëm

Sikurse do të shohim në seksionet në vazhdim, është e rëndësishme të dimë nëse një polinom i dhënë mund tëfaktorizohet ose jo mbi një fushë k (psh, k = Q). Një polinom f (x) ∈ k[x] është i pathjeshtueshëm në qoftë se nukmund të shkruhet si prodhim

f (x) = g(x) · h(x)

ku g(x) dhe h(x) janë polinomë jo-konstant. Do japim disa teknika se si të kontrollojmë nëse një polinom është ipathjeshtueshëm mbi fushën e numrave racionalë Q.

Teorema 4.3. (Test i rrënjës integrale) Le të jetë f (x) një polinom me koefiçientë të dhënë si më poshtë

f (x) = anxn + an−1xn−1 + · · · + a1x + a0

dhe α një rrënjë e f (x) e tillë që α = bd , (b, d) = 1. Atëherë b | a0 dhe d | an.

Shembull 4.2. Vërteto se polinomi f (x) = x3 + 2x + 2 është i pathjeshtueshëm mbi Q.

Zgjidhje: Supozojmë se faktorët e f (x) janë nëQ[x] dhe se një nga faktorët është linear. Kështu që, f (x) ka një rrënjë racionaleα = b

d . Nga teorema e mëparshme kemib | 2, dhe d | 1

Kështu që, b = ±1,±2 dhe d = ±1. Atëherë kemi α = ±1,±2. Eshtë e thjeshtë për të parë se këto vlera nuk janë rrënjë të f (x).Kështu që f (x) është i pathjeshtueshëm. �

102 c©AulonaPress

Shaska T. Algjebra

Teorema 4.4. (Kriteri Eisenstein) Le të jetë f (x) një polinom me koefiçientë të dhënë si më poshtë

f (x) = anxn + an−1xn−1 + · · · + a1x + a0

dhe p një numër i thjeshtë në A i tillë që:

i) p | ai për çdo i ≤ n − 1ii) p2 - a0iii) p - an.

Atëherë, f (x) është i pathjeshtueshëm mbi Q.

Shembull 4.3. Vërteto sef (x) = x7 + 12x6

− 9x5 + 30x4− 6x3 + 15x2 + 12x − 3

është i pathjeshtueshëm mbi Q.

Zgjidhje: Kini parasysh se p = 3 i pjeston të gjithë koefiçientËt, përveç koefiçientit të parë. Për më tepër p2 = 9 nuk pjestona0 = −3. Duke aplikuar teoremën e mëparshme arrijmë në përfundimin se f (x) është i pathjeshtueshëm mbi Q. �

Teorema 4.5. (Kriteri i plotë i Eisensteinit) Le të jetë f (x) një polinom me koefiçientë të dhënë si më poshtë

f (x) = anxn + an−1xn−1 + · · · + a1x + a0

dhe p një numër i thjeshtë në A i tillë që:

1. Ekziston një r (0 ≤ r ≤ n) e tillë që p - ar

2. p | ai për çdo 0 ≤ i ≤ r − 1

3. p2 - a0

4. f (x) = h(x) · g(x), e tillë që h, g ∈ A[x].

Atëherë, deg (h) ≥ r ose deg (g) ≥ r.

Shembull 4.4. Le të jetë p një numër i thjeshtë. Vërteto se

f (x) = x5 + 2x4 + 3x3 + 3

është i pathjeshtueshëm në Q[x].

Zgjidhje: Përdorim teoremën e mëparshme. Meqënëse 3 pjeston a0, . . . , a3 por jo a4 atëherë r = 4. Kështu që, në qoftë se f (x)është i thjeshtueshëm atëherë është prodhim i polinomëve të gradëse 4 dhe 1. Pra f (x) ka një rrënjë recionale. Vërteto se kjonuk mund të ndodh me anë të testit të rrënjës integrale. �

Ushtrime:

1. Përdor algoritmin e i Euklidit për të shkruar xn−1

x−1 si një polinom.

2. Vërteto se f (x) = x3− 3x − 1 është i pathjeshtueshëm në Q.

3. Për çdo numër të thjeshtë p, vërteto se x2− p dhe x3

− p janë të pathjeshtueshëm në Q.

4. Le të jetë α ∈ Z e tillë që α pjestohet nga një numër i thjeshtë p, por p2 - α. Vërteto se xn− α është i

pashjeshtueshëm.

c©AulonaPress 103

Algjebra Shaska T.

5. Vërteto se f (x) = x4 + 1 është i pathjeshtueshëm mbi Q.

6. Vërteto se polinomët e mëposhtëm janë të pathjeshtueshëm mbi Q.

1) x4 + 10x + 5

3) x4− 4x3 + 6

4) x6 + 30x5− 15x3 + 6x − 120

7. Faktorizo mbi Q polinominf (x) = x3

− 7x2 + 16x − 12.

8. Faktorizo mbi Q polinominf (x) = x3 + x2 + x − 14.

9. Një ekuacion të gradës së dytë e zgjidhim me anë të formulave kuadratike. A dini ndonjë formulë për tëzgjidhur një polinom të gradës së tretë? Po për një polinom të gradës së 4, 5?

4.2 Matrica shoqeruese, polinomi minimal, forma normale e Smithit.

Sikurse më sipër me k shënojmë një nga fushat Q,R, ose C dhe Matn×n(k) shënojmë hapësirën vektoriale e tëgjitha matricave n × n me elementë në k. Le të jetë A ∈Matn×n(k) dhe f ∈ k[x] e dhënë nga

f (x) = an xn + · · · + a0.

Përkufizojmë mef (A) := an An + · · · + a1 A + a0 I.

Atëherë f (A) është një matricë n × n me elementë në k.

Teorema 4.6. Le të jetë A ∈Matn×n(k). Atëherë ekziston një f ∈ k[x] jo-zero e tillë që

f (A) = 0.

Vërtetim: Hapësira vektoriale Matn×n(k) ka dimension n2. Kështu që,

I,A,A2, . . . ,As

janë linearisht të varur për s > n2. Pra, ekzistojnë a0, . . . , as të tillë që

asAs + . . . aA + a0I = 0.

Marrim f (x) = asxs + . . . a1x + a0.

Përkufizim 4.1. Quajmë polinom minimal të A-së polinomin e vetëm monik m ∈ k[x] me gradë minimale të tillëqë m(A) = 0. Polinomin minimal të A-së e shënojmë me mA(x).

Përkufizim 4.2. Le të jetë f (x) një polinom monik në k[x] e dhënë me

f (x) = xn + an−1 xn−1 + · · · + a0.

Matrica shoqëruese e f (x) është matrica n × n

C f :=

0 0 . . . . . . −a01 0 . . . . . . −a10 1 . . . . . . −a2

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .0 0 . . . 1 −an−1

dhe e shënojmë me C f .

104 c©AulonaPress

Shaska T. Algjebra

Lema 4.1. Le të jetë f (x) ∈ k[x] dhe C f matrica shoqëruese. Polinomi karakteristik i C f është

char (C f , x) = f (x).

Vërtetim: Ushtrim.Për një matricë të dhënë A polinomi karakteristik char (A, x) = det (xI − A). Matrica (xI − A) mund të

konsiderohet si një matricë mbi fushën k(x). Për më tepër, A është gjithashtu në Matn×n( k(x) ). Në teoremën nëvazhdim do tregojmë se si çdo matricë në Matn×n( k(x) ) mund të transformohet në një matricë diagonale me anë tëveprimeve elementare. Këto veprime elementare janë

i) Këmbimi i vendeve të dy rreshtave apo kolonave (Ri ←→ R j)

ii) Duke shtuar një shumëfish (në k[x]) të një rreshti apo kolone (Ri −→ q(x) · Ri + R j).

iii) Duke shumëzuar çdo rresht apo kolonë me një element jo-zero në k (Ri −→ u · Ri, për u ∈ k)

Dy matrica A dhe B, njëra prej të cilave mund të përfitohet duke kryer veprimet elementare në matricën tjetër,quhen ekuivalent sipas Gausit. Për matricat, elementët e të cilave janë polinomë kemi si më poshtë:

Teorema 4.7. Le të jetë M ∈ Matn×n( k[x] ). Atëherë, duke përdorur veprimet elementare, matrica M mund të kthehet nëformën diagonale

1·

·

1e1(x)

·

·

·

es(x)

ku e1(x), . . . , en(x) janë polinomë monik të tillë që

ei(x) | ei+1(x), për i = 1, . . . , s − 1.

Vërtetim: Do përdorim veprimet elementare për të transformuar M në një matricë diagonale. Nga të gjitha matricattë cilat janë ekuvalente sipas Gausit me M, zgjidh matricën me elementë me gradë më të ulët. Një matricë e tillë letë jetë A = [ai j(x)] dhe elementi me gradë më të ulët është ai j =: m(x).

Duke shkëmbyer vendet e rreshtave me kolonat e sjellim këtë element në pozicionin (1, 1). Të gjithë elementëte kolonës së parë mund të shkruhen si (algoritëm i Euklidit )

a1 j = m(x) q j(x) + r j(x)

ku deg r j(x) < deg m(x).Duke kryer veprimin R j −m(x) q j(x)→ R j për j = 2, . . .n kolona e parë e matricës është

m(x)r2(x). . .. . .

rn(x)

.Zgjidh elementin m′(x) me gradën më të vogël në kolonën e parë dhe duke këmbyer rreshtat vendose këtë

element në pozicionin (1, 1). Kryej të njëjtin proçes si më sipër. Atëherë gradat e r′j(x) do të zvogëlohen të paktënme një njësi. Meqënëse k[x] është një bashkësi përcaktimi e Euklidit ky proçes do të përfundoj pasi kemi kryer njënumër të fundëm veprimesh dhe kolona e parë do të marrë këtë formë

c©AulonaPress 105

Algjebra Shaska T.

m1(x)

0. . .. . .0

.Në të vërtetë, numri maksimal i veprimeve nuk mund të jetë më i madh se deg m(x).

Më pas kryejmë të njëjtën proçedurë për rreshtin e parë dhe marrimm2(x) 0 . . . 0a′2,1(x) a′2,2(x) . . . a′2,n(x)a′3,1(x) a′3,2(x) . . . a′3,n(x). . .

a′n,1(x) a′n,2(x) . . . a′n,n(x)

Duke vazhduar përsëri me kolonë e parë dhe kështu në vazhdim, marrim një varg veprimesh

A→ A(1)→ A(2)

→ . . .

Shënojmë me mi(x) elementin në pozicionin (1, 1) pas veprimit të i-të. Atëherë

deg m(x) > deg m1(x) > . . .

Pra, proçedura duhet të ndalojë dhe matrica do të jetë si më poshtëe1(x) 0 . . . 0

0 a′′2,2(x) . . . a′′2,n(x)0 a′′3,2(x) . . . a′′3,n(x). . .0 a′′n,2(x) . . . a′′n,n(x)

ku e1(x) ka gradën më të vogël dhe pjeston të gjithë elementët a′′i, j(x).

Tani kryejmë të njëjtën proçedurë me kolonën dhe rreshtin tjetër. Si përfundim do marrim

D :=

e1(x) 0 . . . 0

0 e2(x) . . . 00 0 . . . 0. . .0 0 . . . en(x)

të tillë që ei(x) | ei+1(x), për i = 1, . . . ,n − 1.

Vërejtje 4.1. Në qoftë se të gjitha ei(x) = 0 atëherë do të ndodh në pozicionin e fundit meqënëse të gjitha e j(x), j , i e tjeraduhet të pjestojnë ei(x).

Përkufizim 4.3. Le të jetë A ∈ Matn×n(k). Atëherë nga teorema e mësipërme, matrica xI − A mund të vendoset nëformën diagonale

1·

·

1e1(x)

·

·

·

es(x)

e tillë që ei(x)-të janë monik dhe ei(x) | ei+1(x), për i = 1, . . . , s − 1. Kjo quhet forma normale e Smithit për A-në dheelementët ei(x) me gradë jozero quhen faktorë invariant të A-së.

106 c©AulonaPress

Shaska T. Algjebra

Lema 4.2. Polinomi karakteristik i A-së është prodhimi i faktorëve invariant të tij deri në shumëzimin me një konstante.

Vërtetim: Kemi

char (A, x) = det (xI − A).

Meqënëse (xI − A) ∼ Smith (A) atëherë

det (xI − A) = c · det (Sm(A)),

për ndonjë c ∈ k.

�

Lema 4.3. Le të jenë e1(x), . . . es(x) faktorët invariant të A-së të tillë që

ei(x) | ei+1(x), për i = 1, . . . , s.

Polinomi minimal ma(x) është faktori invariant më i madh i A-së. Pra

es(x) = mA(x).

Vërtetim: Ushtrim

Shembull 4.5. Gje formën normale të Smithit për matricën A të dhënë si më poshtë:

A :=

2 -2 140 3 -70 0 2

Zgjidhje: Kemi

xI − A =

x - 2 2 - 140 x-3 70 0 x-2

c©AulonaPress 107

Algjebra Shaska T.

Kryejmë veprimet e mëposhtme elementare

xI − A =

x − 2 2 - 140 x − 3 70 0 x − 2

C1←→C2−→

2 x − 2 - 14x − 3 0 7

0 0 x − 2

R2→(x−3)R1−2R2−→

2 x − 2 - 140 (x − 2)(x − 3) −14(x − 2)0 0 x − 2

C2→(x−2)C1−2C2−→

2 0 - 140 −2(x − 2)(x − 3) −14(x − 2)0 0 x − 2

R1→12 R1, R2→−

12 R2

−→

1 0 - 70 (x − 2)(x − 3) 7(x − 2)0 0 x − 2

C3→7C1+C3−→

1 0 00 (x − 2)(x − 3) 7(x − 2)0 0 x − 2

C2←→C3−→

1 0 00 7(x − 2) (x − 2)(x − 3)0 (x − 2) 0

R3→R2−7R3−→

1 0 00 7(x − 2) (x − 2)(x − 3)0 0 (x − 2)(x − 3)

C3→(x−3)C2−7C3−→

1 0 00 7(x − 2) 00 0 −7(x − 2)(x − 3)

R2→17 R2, R3→−

17 R3

−→

1 0 00 (x − 2) 00 0 (x − 2)(x − 3)

e cila është forma normale e Smithit Sm(A). Lexuesi mund të kontrolloj se polinomi karakteristik i Smith (A) dhe A-së janë tënjëjtë. �

Ushtrime:

108 c©AulonaPress

Shaska T. Algjebra

1. Gjej matricën shoqëruese tëf (x) = x3

− x − 1.

2. Gjej matricën shoqëruese tëf (x) = (x − 2)2(x − 3).

3. Le të jetë A një matricë 2 × 2 me elementë në Q e tillë që char (A, x) = x2 + 1. Gjej polinomin minimal të A-së.

4. Le të jetë f (x) një polinom i pathjeshtueshëm i gradës së tretë në Q. P.sh.

f (x) = ax3 + bx2 + cx + d.

Le të jetë A një matricë 3 × 3 me elementë në Q, të tillë që char (A, x) = f (x). Gjej polinomin minimal mA(x) ofA. A mund ta përgjithësoni në një polinom të gradës n?

5. Gjej formën normale të Smithit të matricave në dy shembujt e mësipërm.

6. Përcakto të gjithë polinomët minimal të mundshëm të matricës A me polinom karakteristik

char (A, x) = (x − 2)2(x − 3)

7. Përcakto të gjitha format normale të Smithit, të mundshme së matricës A me polinom karakteristik

char (A, x) = (x − 2)2(x − 3)

8. Gjej të gjitha format normale të Smithit, të mundshme të matricës A me polinom karakteristik

char (A, x) = x3− 1.

Ushtrim programimi:

1) Shkruaj një program kompiuteri i cili gjen formën normale të Smithit për një matricë të dhënë A.

4.3 Forma racionale kanonike

Le të jetë f (x) një polinom me koefiçient në një fushë k. Sikurse treguam në seksionin e mëparshëm, jo të gjitharrënjët e një polinomi janë domosdoshmërisht në k. Për shembull, jo të gjithë polinomët me koefiçientë racionalfaktorizohen në faktorë linear mbi bashkësinë e numrave racional. Le të jetë A një matricë e dhënë me elementë nëk. Në këtë seksion do të shohim se si gjejmë matricën "më të mirë"D të ngjashme me A dhe me elementë përsëri nëk. Lexuesi mund të supozojë se k = Q.

Le të jetë A ∈ Matn×n(k) dhe D = Smith (A), forma e tij normale e Smithit sikurse në seksionin e mëparshëm. Letë jenë e1(x), . . . , es(x) faktorët invariant të A-së dhe C1, . . . ,Cs matrica shoqëruese koresponduese. Matrica-bllok

C1C2

·

·

·

Cs

quhet forma kanonike racionale e A-së dhe e shënojmë me Rat (A). Fjala rationale përdoret për të treguar se kjoformë është llogaritur e gjitha brenda fushës k. Kini parasysh se,

e1(x) · · · es(x) = c · char (A, x)

c©AulonaPress 109

Algjebra Shaska T.

e cila sjell si rrjedhim sedeg e1 + · · · + deg es = deg char (A, x).

Kështu që, A dhe Rat (A) kanë dimension të njëjtë.

Shembull 4.6. Gjej formën kanonike racionale të matricës

A :=

2 -2 140 3 -70 0 2

Zgjidhje: Faktorët invariant të kësaj matrice i gjetëm në Shembullin 4.5 në seksionin e fundit. Ato janë e1(x) = x − 2 dhee2(x) = (x − 2)(x − 3). Atëherë forma racionale e A-së është

Rat (A) =

20 -61 5

�

Teorema 4.8. Le të jetë k një fushë dhe A ∈Matn×n(k). Atëherë pohimi i mëposhtëm është i vërtetë:

i) Dy matrica në Matn×n(k) janë të ngjashme atëherë dhe vetëm atëherë kur kanë të njëjtën formë racionale.ii) Forma racionale e A-së është e vetme.

Vërtetim: Le të jetë A e ngajshme me B. Atëherë char A(x) = char B(x) meqënëse janë polinome mbi k. Kështu që,forma normale e Smithit është e njëjtë për A-në dhe B-në. Pra, A dhe B kanë të njëjtën formë racionale.

Në qoftë se A dhe B kanë të njëjtën formë racionale, atëherë ata kanë të njëjtët faktorë invariant.

ii) Faktorët invariant mund të zgjidhen në mënyrë të vetme. Si rrjedhim edhe forma racionale është e vetme.

Shembull 4.7. Le të jetë A një matricë 10 me 10, e tillë që faktorët invariant të saj janë

e1(x) = x − 2

e2(x) = (x − 2)(x3 + x + 1)

e3(x) = (x − 2)(x − 3)(x3 + x + 1)

(4.1)

Gjej formën racionale kanonike të A-së.

Zgjidhje: Duke shumëzuar kemi

e2(x) = x4− 2x3 + x2

− x − 2

e3(x) = x5− 5x4 + 7x3

− 4x2 + x + 6(4.2)

Kështu që, forma racionale kanonike e A-së është

Rat (A) =

20 0 0 21 0 0 10 1 0 -10 0 1 2

0 0 0 0 -61 0 0 0 -10 1 0 0 40 0 1 0 -70 0 0 1 5

�

110 c©AulonaPress

Shaska T. Algjebra

Shembull 4.8. Le të jetë A një matricë 8 me 8 e tillë që faktorët invariant të saj janë

e1(x) = x3 + x + 1

e2(x) = (x2 + 2)(x3 + x + 1) = x5 + 3x3 + x2 + 2x + 2(4.3)

Zgjidhje: Kështu që forma racionale kanonike është

Rat (A) =

0 0 -11 0 -10 1 0

0 0 0 0 -21 0 0 0 -20 1 0 0 -10 0 1 0 -30 0 0 1 0

�

Ushtrime:

1. Gjej formën racionale kanonike të kësaj matrice mbi Q[1 23 4

]2. Le të jetë A matrica 8 me 8 e dhënë si:

A =

0 0 0 0 0 0 0 11 0 0 0 0 0 0 00 1 0 0 0 0 0 00 0 1 0 0 0 0 00 0 0 1 0 0 0 00 0 0 0 1 0 0 00 0 0 0 0 1 0 00 0 0 0 0 0 1 0

Gjej eigenvlerat e saj. Cilat janë eigenvlerat e AT?

4.4 Teorema e Caylay-Hamilton

Teorema e Caylay-Hamilton është një nga teoremat më të njohura të algjebrës lineare. Mund të përdoret përllogaritjen e formave racionale kanonike të matricave.

Teorema 4.9. (Cayley - Hamilton) Le të jetë A ∈ Matn×n(k), mA(x) polinomi i saj minimal dhe char A(x) polinomikarakteristik i A-së. Atëherë,

mA(x) | char A(x).

Vërtetim: Le të jenë e1(x), . . . , es(x) faktorët invariantë të A-së të tillë që ei(x) | ei+1(x), për i = 1, . . . s. Dimë se

char A(x) = e1(x) · · · es(x)

Meqënëse es(A) = mA(A) = 0 dhe es(x) | char A(x), atëherë char A(A) = 0.

c©AulonaPress 111

Algjebra Shaska T.

Meqënëse m(x) është polinomi minimal, atëherë

deg mA(x) ≤ deg charA(x).

Nga algoritmi i Euklidit,charA(x) = q(x) mA(x) + r(x)

i tillë që deg r(x) < deg mA(x). Meqënëse charA(A) = 0, atëherë r(A) = 0. Pra r(x) është polinomi zero, në të kundërtr(x) do të jetë polinomi minimal.

4.4.1 Llogaritja e formës racionale kanonike

Seksioni i mësipërm përcakton një algoritëm për formën normale të Smithit të një matrice A. Kjo na jep të gjithëfaktorët invariant të A-së. Në qoftë se dimë faktorët invariant atëherë është e lehtë të shkruajmë formën racionalekanonike Rat (A) of A. Gjithsesi, ekzistojnë teknika për të llogaritur direkt formën racionale kanonike të një matriceduke kryer veprime elementare ose të gjesh faktorët invariant pa qenë nevoja të llogarisim formën normale tëSmithit. Në këtë seksion do të paraqesim disa nga këto teknika me anë të shembujve.

Shembull 4.9. Le të jetë A një matricë 3 me 3 e dhënë si më poshtë:

A =

233

703

203

- 43 - 11

3 - 43

-2 -7 -1

Gjej formën e saj racionale kanonike.

Zgjidhje: Polinomi karakteristik i A-së ështëchar (A, x) = (x − 1)3.

Atëherë, nga teorema e Cayley-Hamilton polinomi minimal i A-së është një nga polinomët e mëposhtëm:

mA(x) = (x − 1), (x − 1)2, (x − 1)3

Për më tepër, mA(A) = 0. Kontrollojmë se A − I , 0 dhe (A − I)2 = 0. Kështu që polinomi minimal është

mA(x) = (x − 1)2

Kështu që forma normale e Smithit është

Smith (A) =

1x − 1

(x − 1)2

dhe forma racionale

Rat (A) =

10 -11 2

�

4.4.2 Llogaritja e matricës transformuese

Ne dimë se si të llogarisim formën racionale të një matrice A. Atëherë, A është e ngjashme me formën e sajracionale Rat (A). Kështu që ekziston një matricë C e cila ka të anasjelltë, e tillë që

A = C−1 Rat (A) C

Ne duam të llogarisim C. Strategjia është të mbajmë shënim të gjitha veprimet elementare të kryera në xI − A dheti kryejmë këto veprime në I për të marrë C-në si prodhim i matricave elementare.

112 c©AulonaPress

Shaska T. Algjebra

Algorithm 8. Input: Një matricë A n × nOutput: Matrica C e tillë që

A = C−1 Rat (A) C

1) Krijo matricën xI − A.

2) Transformoje në formën normale të Smithit dhe mbaj shënim të gjitha veprimet elementare të kryera.

3) Për çdo veprimet në hapin 2, kryej veprimet e mëposhtme në matricën identike I sipas rregullave tëlistuara mëposhtë:

a) Ri ←→ R j =⇒ Ci ←→ C jb) Ri −→ q(x) · Ri + R j =⇒ Ci −→ q(x) · Ci + C jc) Ri −→ u · Ri, për u ∈ k =⇒ Ci −→ u · C j

4) Matrica e përfituar pasi kemi kryer këto veprime në I është matrica e kërkuar C.

Ushtrime:

1. Gjej formën racionale të matricës 3 me 3 me faktorë invariant

e1(x) = (x − 1), e2(x) = (x − 1), e3(x) = x − 1.

2. Gjej formën racionale kanonike të matricave mbi Q

A =

0 -4 851 4 -300 0 3

, B =

2 2 10 2 -10 0 3

dhe përcakto nëse A dhe B janë të ngjashme.

3. Gjej faktorët invariant factors të 2 2 13 4 11 5 1

4. Vërteto se dy matrica jo-skalare 2 × 2 mbi k janë të ngajshme atëherë dhe vetëm atëherë kur kanë të polinom

karakteristik të njëjtë.

5. Gjej formën racionale kanonike të 0 -1 -10 0 0

-1 0 0

6. Përcakto të gjitha format racionale kanonike të mundshme për një matricë me polinom karakteristik

f (x) = x2 (x2 + 1)2

7. Përcakto të gjitha format racionale kanonike të mundshme për një matricë me polinom karakteristik

f (x) = xp− 1

për një numër tek të thjeshtë p.

c©AulonaPress 113

Algjebra Shaska T.

8. Polinom karakteristiki i një matrice të dhënë A është

char (A, x) = (x − 1)2· (x + 1) · (x2 + x + 1).

Cilë janë polinomët minimal të mundshëm të A-së?

9. Gjej të gjitha klasat e ngjashme të matricave 2 × 2 me elementë në Q dhe rend 4 (dmth, A4 = I).

Ushtrim programimi:

1) Shkruaj një program kompjuteri i cili gjen formë racionale kanonike të një matrice të dhënë A.

4.5 Forma kanonike e Xhordanit

Le të jetë α ∈ k. Atëherë një matricë e formës

Jα =

α 1α 1· ·

· ·

α 1α

quhet blloku i Xhordanit.

Lema 4.4. Le të jetë A një matricë s × s me polinom karakteristik

char A(x) = (x − α)s.

Atëherë, A është e ngjashme me matricën bllok s × s të Xhordanit Jα.

Vërtetim: Le të jetë f (x) := (x − α)s. Atëherë, teorema e Cayley-Hamilton sjell që

f (A) = (A − αI)s = 0.

Kështu që, mA(x) = (x−α)r ose mA−αI(x) = xr. Pra, (A−αI) është e ngjashme me matricën shoqëruese D të g(x) := xr,ku

D =

0 10 1

0 ·

· ·

· ·

· 10

Pra, ekziston një matricë e cila ka të anasjelltë P e tillë që

P−1 (A − αI)P = D

e cila sjell se P−1 A P = D + αI. Pra, A është e ngjashme me

D + αI =

α 1α 1

α 1· ·

· ·

α 1α

114 c©AulonaPress

Shaska T. Algjebra

�Një matricë është në formën kanonike të Xhordanit në qoftë se është një matricë diagonale bllok

J =

J1

J2.

.Jn

me blloqe të Xhordanit përgjatë diagonales.

Teorema 4.10. Le të jetë A një matricë n×n me elementë në k dhe supozojmë se k përmban të gjithë eigenvlerat e A-së. Atëherë,

i) A është e ngjashme me një matricë në formën kanonike të Xhordanit.ii) Forma kanonike e Xhordanit të A-së, të cilën e shënojmë me J(A) është e vetme sipas permutacioneve të blloqeve.

Figura 4.1: Matrica në formën e Xhordanit.

Pra, për të gjetur formën kanonike të Xhordanit të një matrice A n me n, në fillim gjejmë faktorët invariant të saje1(x), . . . , es(x). Meqënëse fusha k përmban të gjithë eigenvlerat e A-së dhe çdo ei(x) | char (A, x), atëherë faktorizojmëfaktorët invariant si

ei(x) = (x − α1)e1 · · · (x − αr)er

Për çdo αi, i = 1, . . . , er kemi një bllok të Xhordanit. Meqënëse prodhimi i të gjithë faktorëve invariant barazonpolinomin karakteristik të A-së, kombinimi i të gjithë blloqeve të Xhordanit përgjatë diagonalet do të krijojnë njëmatricë n me n (me të njëjtin dimension si A).

Vërejtje 4.2. Forma kanonike e Xhordanit të një matrice A është diagonale atëherë dhe vetëm atëherë kur A është e diagonal-izueshme.

Shembull 4.10. Të dyja matricat

A =

0 1 1 11 0 1 11 1 0 11 1 1 0

, B =

5 2 -8 -8-6 -3 8 8-3 -1 3 43 1 -4 -5

,kanë të njëjtin polinom karakteristik

f (x) = (x − 3)(x + 1)3.

Përcakto nëse këto matrica janë të ngjashme dhe gjej formën e tyre kanonike të Xhordanit.

c©AulonaPress 115

Algjebra Shaska T.

Zgjidhje: Polinomi minimal për A dhe B është një nga polinomët e mëposhtëm:

m1(x) =(x − 3) (x + 1),

m2(x) =(x − 3) (x + 1)2,

m3(x) =(x − 3) (x + 1)3.

(4.4)

Kontrollojmë se (A − 3I) (A + I) = 0. Në të njëjtën mënyrë kontrollojmë se (B − 3I) (B + I) = 0. Kështu që, polinomiminimal i A-së dhe B-së është

m(x) = (x − 3) (x + 1).

Format normale të tyre të Smithit janë

Smith (A) = Smith (B) =

1

x + 1x + 1

(x − 3)(x + 1)

Atëherë format kanonike të Xhordanit janë

J(A) = J(B) =

-1

-1-1

-3

Pra, A dhe B janë të ngajshme. Për më tepër, A dhe B janë matrica të diagonalizueshme dhe ne mund ti diagonalizojmë atoduke përdorur teknikat e kapitullit të mëparshëm. �

Shembull 4.11. Le të jetë A një matricë e tillë që faktorët invariant të saj janë

e1(x) =(x − 2)2(x2 + 1)

e2(x) =(x − 2)3(x2 + 1)2 (4.5)

Gjej formën racionale dhe kanonike të Xhordanit të A-së.

Zgjidhje: Duke kryer shumëzimet marrim

e1(x) =x4− 4x3 + 5x2

− 4x + 4

e2(x) =x7 + 6x6 + 14x5− 20x4 + 25x3

− 22x2 + 12x − 8(4.6)

Forma racionale kanonike është

Rat (A) =

0 0 0 -41 0 0 40 1 0 -50 0 1 4

0 0 0 0 0 0 81 0 0 0 0 0 -120 1 0 0 0 0 220 0 1 0 0 0 -250 0 0 1 0 0 200 0 0 0 1 0 -140 0 0 0 0 1 -6

,

116 c©AulonaPress

Shaska T. Algjebra

dhe forma kanonike e Xhordanit

J(A) =

2 10 2

-i+i

2 1 00 2 10 0 2

-i 10 -i

i 10 i

�

Shembull 4.12. Le të jetë A një matricë 3 me 3 si më poshtë

A =

2 1 00 2 00 0 3

Gjej formën e saj kanonike të Xhordanit.

Zgjidhje: Atëherë char (A, λ) = (λ − 2)2(λ − 3). Për eigenvlerat λ = 2, shumëfishmëria algjebrike është 2 dhe eigenhapësirajepet si:

E2 = {t

100

| t ∈ Q}Shumëfishmëria gjeometrike është 1, kështu që A nuk është e ngjashme me matricën diagonale të eigenvlerave.Kemi

xI − A = x − 2 1 00 x − 2 00 0 x − 3

C1←→C2−→

1 x − 2 0x − 2 0 0

0 0 x − 3

R2=(x−2)R1−R2−→

1 x − 2 00 (x − 2)2 00 0 x − 3

C2=(x−2)C1−C2−→

1 0 00 - (x − 2)2 00 0 x − 3

R2←→R3C2←→C3−→

1 0 00 x − 3 00 0 (x − 2)2

−→ 1 0 0

0 1 00 0 (x − 2)2(x − 3)

Atëherë forma e saj kanonike e Xhordanit është

J(A) =

2 10 2

3

.Ne mund të kishim dalluar se A është në formën kanonike të Xhordanit. Vini re se shumëfishmëria gjeometrike për çdoeigenvlerë është 1 dhe ekziston një bllok i Xhordanit për secilën prej tyre. Gjithashtu shumëfishmëritë algjebrike të eigenvleravejanë 2 dhe 1 dhe blloqet korespondues të Xhordanit janë me përmasa 2 dhe 1 respektivisht. Do të shohim se këto fakte nuk janëthjesht rastësi. �

c©AulonaPress 117

Algjebra Shaska T.

Ushtrime:

1. Le të jetë A një matricë me polinom karakteristik

char (A, x) = x3 + x2 + x + 1

Gjej formën racionale të A-së mbi Q dhe formën kanonike të Xhordanit të A-së mbi C.

2. Gjej formën racionale dhe formën kanonike të Xhordanit të 2 1 11 2 01 1 3

.3. Llogarit formën kanonike të Xhordanit të një matrice me polinom karakteristik f (x) = xn

− 1, for n ≥ 2.

4. Vërteto se në qoftë se A2 = A, atëherë A është e ngjashme me matricën diagonale e cila ka vetëm 0 dhe 1-shapërgjatë diagonales.

5. Gjej formëm kanonike të Xhordanit 3 2 01 2 71 -2 3

.6. Gjej formën kanonike të Xhordanit 1 0 0

0 0 -20 1 3

.7. Gjej formën kanonike të Xhordanit të matricave

A =

0 -4 851 4 -300 0 3

, B =

2 2 10 2 -10 0 3

dhe përcakto nëse A dhe B janë të ngjashme.

8. Përcakto formën kanonike të Xhordanit për matricën n × n mbi Q e cila i ka të gjithë elementët 1.

9. Le të jetë A matricë 2 × 2 e cila i korespondon rrotullimit të planit kompleks me 2π5 . Gjej formën kanonike të

Xhordanit të A-së. Shpjego në termat e numrave kompleks.

10. Le të jetë A matricë 2×2 e cila i korespondon rrotullimit të planit kompleks me T(z) = 1z . Gjej formën kanonike

ë Xhordanit të A-së. Shpjego në termat e numrave kompleks.

Ushtrime Programimi:

1) Shkruaj një program kompjuteri i cili gjen format kanonike të Xhordanit të një matrice të dhënë A.

118 c©AulonaPress

Shaska T. Algjebra

4.6 Ushtrime Përsëritje

1. Gjej formën racionale kanonike të një matrice A 5 me 5, me polinom karakteristik

char (A, x) = x5 + 2x4− 12x3 + 4x2

− 6x + 10

2. Le të jetë A një matricë n me n, e cila ka n eigenvlera të ndryshëm λ1, . . . , λn. Gjej formën kanonike tëXhordanit të A-së.

3. Polinomi karakteristik i një matrice A 3 me 3 është

char (A, x) = (x − 1)2(x − 2).

Gjej të gjitha format racionale dhe kanonike të Xhordanit të mundshme të A-së.

4. Përcakto nëse matricat A dhe B janë të ngjashme

A =

-1 1 0 00 -1 0 00 0 -2 00 0 0 -2

, B =

-1 1 0 00 -1 0 00 0 -2 10 0 0 -2

5. Diagonalizo matricën ose shpjego përse nuk mund të diagonalizohet.

A =

3 1 0 -14 0 0 3-4 2 2 -32 -4 0 7

6. Diagonalizo matricën ose shpjego përse nuk mund të diagonalizohet.

A =

7 -1 0 2

-10 4 0 -45 -1 2 2

-15 3 0 -4

7. Le të jetë A një matricë nilpotente n × n. Vërteto se An = 0.

8. Le të jetë A një matricë trekëndore e sipërme (të gjithë elementët në diagonalen kryesore dhe poshtë saj janë0). Vërteto se A është nilpotent.

9. Le të jetë A një matricë 2× 2, e cila i korespondon rrotullimit të planit kompleks me 2πn . Gjej formën kanonike

të Xhordanit të A-së. Shpjego në termat e numrave kompleks.

10. Përcakto bashkësinë e klasave të ngjashme të matricave A 3 × 3 mbi C, të cilat kënaqin kushtin A3 = 1.

11. Përcakto bashkësinë e kalsave të ngjashme të matricave A 3 × 3, mbi C, të cilat kënaqin kushtin A6 = 1.

12. Përcakto bashkësinë e klasave të ngjashme të matricave A 6 × 6 mbi C, me polinom karakteristik:

char (A, x) = (x4− 1)(x2

− 1).

c©AulonaPress 119

Algjebra Shaska T.

120 c©AulonaPress

Kapitulli 5

Prodhimi i brendshëm dhe Ortogonaliteti

Në këtë kapitull do të studiojmë konceptin e rëndësishëm të prodhim të brendshëm në një hapësirë vektoriale.Pasi kemi paraqitur bazat ortogonale dhe ortonormale do të studiojmë proçesin e ortogonalizimit të Gram-Schmidt.Në seksionin e fundit do të japim një prezantim të thjeshtë të hapësirave duale.

5.1 Prodhimi i brendshëm

Le të jetë V një hapësirë vektoriale mbi fushën k. Kini parasysh se në këtë libër me k shënojmë një nga fushatQ,R oseC. Për α ∈ k i konjuguari kompleks i α-së shënohet me α. Le të jetë f (u, v) një funksion i dhënë si më poshtë

f : V × V −→ k(u, v) = f (u, v)

(5.1)

Funksioni f quhet prodhim i brendshëm (prodhim skalar) në qoftë se vetitë e mëposhtme janë të vërteta, përçdo u, v,w ∈ V dhe r ∈ k:

i) f (u, v) = f (v,u),ii) f (u, v + w) = f (u, v) + f (u,w)iii) f (r u, v) = r f (u, v).

Prodhim e brendshëm do ta shënojmë me 〈u, v〉 në vend të f (u, v). Prodhim i brendshëm quhet jo-degenerate nëqoftë se

〈u, v〉 = 0, për çdo v ∈ V =⇒ u = 0

Hapësira vektoriale V me një prodhim të brendshëm quhet njëhapësirë e brendshme. Japim disa shembujhapësirash të brendshme.

Shembull 5.1. Vërteto se 〈u, αv〉 = α〈u, v〉.

Zgjidhje: Në të vërtetë, 〈u, αv〉 = 〈αv,u〉 = α〈u, v〉 = α〈u, v〉. �

Shembull 5.2. Le të jetë V = Rn dhe konsiderojmë produktin skalar

u = (u1, . . . ,un), v = (v1, . . . , vn)

u · v = u1v1 + · · · + unvn

E lëmë si ushtrim për lexuesin të vërtetojë se ky është prodhim i brendshëm në V. �

Shembull 5.3. Le të jetë V hapësira e funksioneve realë të vazhdueshëm në [0, 1]

f : [0, 1] −→ R

121

Algjebra Shaska T.

Për f , g ∈ V përkufizojmë

〈 f , g〉 =

∫ 1

0f (t) · g(t) dt

Duke përdorur vetitë e integraleve është e lehtë të vërtetojmë se ky është një prodhim i brendshëm. �

Shembull 5.4. Le të jetë V hapësira vektoriale si më sipër dhe

f (x) = sin x, g(x) = cos x

Llogarit 〈 f , g〉.

Zgjidhje: Kemi

〈 f , g〉 =

∫ 1

0sin x cos x dx =

12

∫ 1

0sin (2x) dx =

14

(− cos 2 + cos 0) =1 − cos 2

4

Përkufizim 5.1. Le të jetë V hapësirë vektoriale dhe 〈·, ·〉 një prodhim i brendshëm në V. Le të jetë u ∈ V. E quajmëv-në ortogonale me u-në në qoftë se 〈u, v〉 = 0, ndonjëherë shënohet dhe si: u ⊥ v. Për një bashkësi S ⊂ V bashkësiaortogonale e saj S⊥ është e përkufizuar si më poshtë

S⊥ := {v ∈ V | ∃ s ∈ S, s ⊥ v}

Në qoftë se S është një nënhapësirë e V-së atëherë S⊥ quhet komplementi ortogonal i S-së.

Kini parasysh se për çdo prodhim të brendshëm

〈u,u〉 = 〈u,u〉.

Pra 〈u,u〉 ∈ R dhe përkufizimi i mëposhtëm ka kuptim.

Përkufizim 5.2. Një prodhim i brendshëm është përkufizuar pozitivisht në qoftë se pikat e mëposhtme janë tëvërteta:

i) 〈u,u〉 ≥ 0 për çdo u ∈ V.ii) 〈u,u〉 > 0 atëherë dhe vetëm atëherë kur u , 0.

Norma e një elementi v ∈ V është e përkufizuar si

||v|| :=√〈v, v〉.

Më poshtë do të studiojmë hapësirat vektoriale mbi R dhe ato mbi C.

5.1.1 Prodhimi i brendshëm mbi numrat realë

Kini parasysh se në ktë rast përkufizimi i prodhimt të brendshëm është një funksion

〈u, v〉 : V × V −→ R

i tillë që vetitë e mëposhtme janë të vërteta për çdo u, v,w ∈ V dhe r ∈ R:

i) 〈u, v〉 = 〈v,u〉,ii) 〈u, v + w〉 = 〈u, v〉 + 〈u,w〉iii) 〈αu, v〉 = α〈u, v〉 = 〈u, α v〉.

Shembull 5.5. Le të jetë V = Rn. Për çdo u, v ∈ V, të tillë që

u = (u1, . . . ,un), v = (v1, . . . , vn)

përkufizojmë〈u, v〉 = u1v1 + · · · + unvn

Ky është produkti skalar që njohim nga hapësirat Euklideane, të cilat i studjuam në Kapitullin 1. Vërteto se ky është njëprodhim i brendshëm. �

122 c©AulonaPress

Shaska T. Algjebra

5.1.2 Prodhimet Hermitiane

Le të jetë V një hapësirë vektoriale mbiC. Prodhim i brendshëm në këtë rast quhet prodhim hermitian. Ekzistonnjë funksion në V

〈u, v〉 : V × V −→ C

i tillë që vetitë e mëposhtme janë të vërteta për çdo u, v,w ∈ V dhe r ∈ C:

i) 〈u, v〉 = 〈v,u〉,ii) 〈u, v + w〉 = 〈u, v〉 + 〈u,w〉iii) 〈αu, v〉 = α〈u, v〉 dhe 〈u, α v〉 = α 〈u, v〉.

Shembull 5.6. Le të jetë k ⊂ C dhe V = kn. Për çdo

u = (u1, . . . ,un), v = (v1, . . . , vn)

përkufizojmë〈u, v〉 = u1v1 + · · · + unvn

Vërteto se ky është një prodhim hermitian. Këtë prodhim në veçanti do ta quajmë prodhim i brendshëm Euklidian. �

Kini parasysh se për prodhimin e brendshëm Euklidian 〈·, ·〉

〈u,u〉 = u1u1 + · · · + unun = ||u1||2 + · · · + ||un||

2

Norma e u ∈ V është përkufizuar si

||u|| =√〈u,u〉 =

√||u1||

2 + · · · + ||un||2

Shembull 5.7. Le të jetë V hapësira e funksioneve kompleks të vazhdueshëm

f : [0, 1] −→ C

Për f , g ∈ V përkufizojmë

〈 f , g〉 =

∫ 1

0f (t) · g(t) dt

Duke përdorur vetitë e integraleve kompleks vërteto se ky është një prodhim i brendshëm. �

Shembull 5.8. (Seritë e Fourier) Le të jetë V hapësira e funksioneve të vazhdueshëm me vlera nga numrat kompleks

f : [−π, π] −→ C

Për f , g ∈ V përkufizojmë

〈 f , g〉 =

∫ π

−πf (t) · g(t) dt

Për çdo numër të plotë n, përkufizojmëfn(t) = en·it.

Vërteto se:

i) në qoftë se m , n atëherë 〈 fn, fm〉 = 0ii) 〈 fn, fn〉 = 2πiii) 〈 f , fn〉

〈 fn, fn〉= 1

2π

∫ π−π

f (t) e−int dt.

Vlera 〈 f , fn〉〈 fn, fn〉

quhet koefiçienti i Fourierit në varësi të f -së. �

c©AulonaPress 123

Algjebra Shaska T.

Teorema 5.1. Le të jetë V hapësirë vektoriale me dimension të fundëm mbi Cme prodhim hermitian të përkufizuar pozitivisht.Në qoftë se W është një nënhapësirë e V-së, atëherë

V = W ⊕W⊥.

Për më tepër,dim V = dim W + dim W⊥.

Vërtetim: Ushtrim. �

Ushtrime:

1. Le të jetë V = R2 dhe prodhimi i brendshëm është prodhimi Euklidian. Si përsritje e Kapitullit të parë vërtetopikat e mëposhtme për çdo u, v ∈ V

i) ||u + v||2 = ||u||2 + ||v||2

ii) ||u + v|| ≤ ||u|| + ||v||iii) ||u|| = 0 atëherë dhe vetëm atëherë u = 0.

iv) |〈u, v〉| ≤ ||u|| · ||v||

2. Le të jetë V hapësira e finksioneve realë të vazhdueshëm

f : [0, 1] −→ R

Për f , g ∈ V përcaktojmë

〈 f , g〉 =

∫ 1

0f (t) · g(t) dt

Për f (x) = x3 të dhënë, gjej g(x) ∈ V të tillë që g është ortogonal me f .

3. Le të jetë V hapësira vektoriale si në ushtrimin e mësipërm dhe W bashkësia e të gjithë polinomëve në V. Aështë W nënhapësirë e V-së? Për një polinom të dhënë

f (x) = anxn + an−1xn−1 + · · · + a1x + a0,

A mund të gjeni g(x) ∈ V i tillë që 〈 f , g〉 = 0 ?

4. Le të jetë V := Matn(R). Përcakto prodhimin e brendshëm të matricave M dhe N si

〈M,N〉 = tr(MN)

Vërteto se ky është një prodhim i brendshëm dhe është jo-degenerate.

5. Vërteto inekualitetin e Schwartzit|〈u, v〉| ≤ ||u|| · ||v||

për prodhimin hermitian.

6. Vërtato pikat e mëposhtme për prodhimin hermitian:

i) ||u|| ≥ 0

ii) ||u|| = 0 atëherë dhe vetëm atëherë u = 0.

iii) ||αu|| = |α| ||u||iv) ||u + v|| ≤ ||u|| + ||v||

124 c©AulonaPress

Shaska T. Algjebra

7. Le të jetë V := Matn(R). Le të jenë A,B dy matrica në V të tilla që

A :=[

a1 a2a3 a4

], dhe B :=

[b1 b2b3 b4

]

A është prodhimi i mëposhtëm〈A,B〉 = a1b1 + a2b2 + a3b3 + a4b4

një prodhim i brendshëm në V?

8. Shënojmë me P2 hapësirën e polinomëve në k[x] dhe gradë ≤ 2. Le të jenë f , g ∈ P2 të tillë që

f (x) = a2x2 + a1x + a0, dhe g(x) = b2x2 + b1x + b0.

Përkufizojmë〈 f , g〉 = a0b0 + a1b1a2b2.

Vërteto se ky është një prodhim i brendshëm në P2.

9. Le të jetë P2 i pajisur me prodhimin e brendshëm si në shembullin e mësipërm. Përshkruaj të gjithë polinomëtme normë 1.

10. Le të jetë V := L([0, 1],R) hapësira e funksioneve realë të vazhdueshëm në [0, 1] me prodhim të brendshëm

〈 f , g〉 =

∫ 1

0f (t) · g(t) dt

Përshkruaj normën e shoqëruar me këtë prodhim të brendshëm dhe me të gjithë funksionet me norm 1.

5.2 Bazat ortogonale, proçesi i ortogonalizimit të Gram-Schmidt

Le të jetë V një hapësira vektorialebe me dimension të fundëm mbi k, me prodhim të brendshëm 〈·, ·〉. Norma enjë elementi v ∈ V është i përkufizuar si

||v|| :=√〈v, v〉.

Le të jetëB = {v1, . . . , vn}

një bazë për V-në. Atëherë B quhet bazë ortogonale në qoftë se për çdo i , j kemi

〈vi, v j〉 = 0.

Në qoftë se për çdo i = 1, . . .n, ||vi|| = 1 atëherë B quhet bazë ortonormale.

Teorema 5.2. Në qoftë se v1, . . . , vn janë linearisht të pavarur atëherë ekziston një bashkësi ortogonale u1, . . . ,un e tillë që

Span (v1, . . . , vn) = Span (u1, . . .un)

Vërtetim: Ushtrim. �Atëherë kemi rrjesdhimin e mëposhtëm.

Rrjedhim 5.1. Çdo hapësirë me prodhim të brendshëm dhe dimension të fundëm ka një bazë ortogonale.

c©AulonaPress 125

Algjebra Shaska T.

5.2.1 Algortimi i Gram-Schmidt

Algorithm 9. Input: Bashkësia S = {v1, . . . , vn} e vektorëve.Output: Një bashkësi ortogonale e vektorëve W = {w1, . . . ,wn} e tillë që

Span (v1, . . . , vn) = Span (w1, . . .wn)

i) Fiksojmë një bashkësi të renditur S, pshv1, v2, . . . , vn

ii) Le të jetëw1 := v1

iii) Llogarit të gjitha wi-të duke përdorur formulën rekursive

wi+1 = vi+1 −〈vi+1,wi〉

〈wi,wi〉wi − · · · −

〈vi+1,w1〉

〈w1,w1〉w1

për çdo i = 1, . . . , n − 1.

iii) Bashkësia {w1, . . . ,wn} është bashkësia W e kërkuar

Shembull 5.9. Le të jetë V = R3 dhe prodhimi i brendshëm në V është prodhimi skalar. Le të jetë

v1 = (1, 2, 3), v2 = (2, 2, 1)

dhënë. Gjej një bazë ortogonale të Span (v1, v2).

Zgjidhje: Le të jetë w1 = v1. Atëherë

w2 = v2 −〈v2, w1〉

〈w1, w1〉w1 = (2, 2, 1) −

914

(2, 2, 1) = (1914,

57,−

1314

) (5.2)

Eshtë e qartë se w1 ⊥ w2. �

Shembull 5.10. Le të jetë V hapësira e funksioneve realë të vazhdueshëm

f : [0, 1] −→ R

Për f , g ∈ V përkufizojmë

〈 f , g〉 =

∫ 1

0f (x) · g(x) dx

Si në shmebullin 1, ky është një prodhim i brendshëm. Le të jetë

f (x) = x, g(x) = x2

Meqënëse të dy janë të vazhdueshëm atëherë f , g ∈ V. Gjej një bazë ortogonale të Span (u, v).

Zgjidhje: Le të jetë w1 = f . Atëherë

w2 = g −〈g, f 〉〈 f , f 〉

f = x2−

∫ 1

0 x3 dx∫ 1

0 x2 dx

x = x2−

34

x

Lexuesi duhet të kontrollojë nëse w1 ⊥ w2. �

126 c©AulonaPress

Shaska T. Algjebra

Konsiderojmë ushtrimin e seksionit 1. Duek përdorur proçedurën e Gram-Schmidt zgjidhja e këtyre ushtrimeveështë shumë e lehtë.

Shembull 5.11. Le të jetë V hapësira e funksioneve realë të vazhdueshëm. Në qoftë se f (x) = x3 është i dhënë, gjej g(x) ∈ V itillë që g të jetë ortogonal me f .

Zgjidhje: MarrimS = { f , 1}

Duam të gjejmë një bashkësi ortogonale W të tillë që f ∈W. Le të jetë w1 = f . Atëherë

w2 = 1 −〈1, f 〉〈 f , f 〉

f = 1 −

∫ 1

0 x3 dx∫ 1

0 x6 dxx3 = 1 −

74

x3

Lexuesi mund ta kontrollojë këtë 〈 f ,w2〉 = 0. �

Ushtrime:

1. Gjeni një bazë ortogonale për hapësirën nul të matricës

A :=

2 -2 140 3 -70 0 2

2. Gjeni një bazë ortogonale për hapësirën nul të matricës 2 1 1

1 2 01 1 3

.3. Gjeni një bazë ortogonale për hapësirën nul të matricës

A =

3 1 0 -14 0 0 3-4 2 2 -32 -4 0 7

4. Le të jetë V hapësira e funksioneve realë të vazhdueshëm. Në qoftë se f (x) = x2 dhe g(x) = ex janë të dhënë,

gjej një bashkësi ortogonale W = {w1,w2} të tillë që Span ( f , g) = Span (w1,w2).

5. Në hapësirë e funksioneve realë të vazhdueshëm gjej një funksion g(x) i cili është ortogonal me f (x) = sin x.

6. Vërteto se identiteti i mëposhtëm është i vërtetë për çdo prodhim të brendshëm

||u + v|| + ||u − v|| = 2||u|| + 2||v||

7. Le të jetë V = R4 dhe prodhimi i brendshëm në V është prodhimi skalar. Le të jetë

v1 = (1, 2, 3, 4),v2 = (2, 0, 2, 1),v3 = (1, 1, 1, 1),v4 = (1, 2, 3, 4)v5 = (0, 0, 1, 2)

(5.3)

e dhënë. Gjej një bazë ortogonale të Span (v1, v2, v3, v4, v5).

c©AulonaPress 127

Algjebra Shaska T.

8. Shënojmë me P2 hapësirën e polinomëve në k[x] dhe gradë ≤ 2. Le të jenë f , g ∈ P2 të tillë që

f (x) = a2x2 + a1x + a0, dhe g(x) = b2x2 + b1x + b0.

Përkufizojmë〈 f , g〉 = a0b0 + a1b1a2b2.

Le të jenë f1, f2, f3, f4 të dhënë si më poshtë

f1 = x2 + 3f2 = 1 − x

f3 = 2x2 + x + 1f4 = x + 1.

(5.4)

Gjej një bazë ortogonale të Span ( f1, f2, f3, f4).

9. Gjej bazë ortogonale për nënhapësirën Span (1,√

x, x) e hapësirës vektoriale C0,1 të funksioneve të vazh-

dueshëm në [0, 1], ku 〈 f , g〉 =∫ 1

0 f (x)g(x)dx.

10. Gjej një bazë ortonormale për planinx + 7y − z = 0.

Ushtrime programimi:

1) Shkruaj një program kompjuteri i cili implementon proçedurën e Gram-Schmidt.

5.3 Teorema e Sylvesterit

Le të jetë V një hapësirë vektoriale me dimension të fundëm mbiR dhe 〈·, ·〉 një prodhim i brendshëm në V. Ngaseksioni i mëparshëm ne mund të gjejmë një bazë ortogonaleB = {v1, . . . , vn} të V. Meqënëse prodhimi i brendshëmnuk është domosdoshmërisht i përkufizuar pozitivishtë, atëherë 〈vi, vi〉mund të jetë ≤ 0. Shënojmë

ci := 〈vi, vi〉

për i = 1, . . .n. Ne mund ta riorganizojmë bazën B të tillë që

c1, . . . , cp > 0, cp+1, . . . , cp+s < 0, cp+s+1, . . . , cp+s+r = 0,

ku p + s + r = n. Teorema e Sylvesterit thotë se numrat p, s, r nuk varen nga zgjedhja e bazës ortogonale B. Enormalizojmë bazën si më poshtë. Le të jetë

v′i :=

vi, në qoftë se ci = 0vi√

ci, në qoftë se ci > 0

vi√−ci

, në qoftë se ci < 0

(5.5)

Atëherë bashkësia B′ është një bazë e V-së e tillë që

〈vi, vi〉 = ±1, or 0.

Një bazë e tillë quhet bazë ortonormale e V-së.Le të jetë

B = {v1, . . . , vn}

128 c©AulonaPress

Shaska T. Algjebra

një bazë ortogonale e V-së e tillë që

c1, . . . , cp = 1, cp+1, . . . , cp+s = −1, cp+s+1, . . . , cp+s+r = 0

ku p + s + r = n dhe ci := 〈vi, vi〉.

Teorema 5.3. Numrat p, r, s janë të përkufizuar në mënyrë të vetme nga prodhimi i brendshëm dhe nuk varen nga zgjedhja ebazës ortogonale B.

Numrin e plotë p (resp., s) ndonjëherë e quajmë tregues i pozitivitetit (resp., negativitetit) dhe çifti (p, s) quhetshenjë e prodhimit të brendshëm.

Ushtrime:

1. Cila është shenja e Rn me prodhimin e brendshëm të zakonshëm Euklidian?

2. Le të jetë W hapësira e gjeneruar nga

v1 = (1, 2, 3, 4),v2 = (2, 0, 2, 1),v3 = (1, 1, 1, 1),v4 = (1, 2, 3, 4)v5 = (0, 0, 1, 2)

(5.6)

Gjej shenjën e prodhimit Euklidian për W.

3. Shënojmë me P2 hapësirën e polinomëve në k[x] dhe gradë ≤ 2. Le të jenë f , g ∈ P2 të tillë që

f (x) = a2x2 + a1x + a0, dhe g(x) = b2x2 + b1x + b0.

Përkufizojmë〈 f , g〉 = a0b0 + a1b1a2b2.

Gjej shenjën e këtij prodhimi të brendshëm për P2.

5.4 Hapësira duale

Le të jetë V një hapësirë vektoriale mbi fushën k.

Përkufizim 5.3. Hapësira duale e V-së është hapësira vektoriale (mbi k)

V∗ := L(V, k)

e të gjithë funksioneve lineare L : V −→ k. Elementët e hapësirës dual quhen funksionalë.

Shembull 5.12. Le të jetë V = kn. Shembuj të thjeshtë funksionalë janë funksionet kordinativë

φi(x1, . . . , xn) = xi

E lëmë si ushtrim për lexuesin të verifikoj nëse këto janë functionalë. �

Teorema 5.4. Le të jetë V një hapësirë vektoriale me dimension të fundëm. Atëherë,

dim V = dim V∗

c©AulonaPress 129

Algjebra Shaska T.

Vërtetim: Ushtrimi 1. �Lema në vazhdim ndërton një bazë për V∗.

Lema 5.1. Le të jetë V një hapësirë vektoriale mbi fushën k dhe V∗ hapësirë duale e saj. Le të jetë

B = {v1, . . . , vn}

një bazë për V-në. Për çdo i = 1, . . .n, përkufizojmë

φi :={φ(vi) = 1φ(v j) = 0, përj , i

(5.7)

Funksionalet {φ1, . . . , φn} formojnë një bazë për V∗.

Vërtetim: Ushtrim. �

Përkufizim 5.4. Baza {φ1, . . . , φn} e V∗ quhet baza duale.

Koncepti i hapësirës dual është një koncept shumë i rëndësishëm në algjebrën lineare. Më poshtë japim disashembuj functionals të cilët janë të rëndësishme në fusha të ndryshme të matematikës.

Shembull 5.13. Le të jetë V një hapësirë vektoriale mbi k me prodhim skalar 〈·, ·〉. Fiksojmë një element u ∈ V. Funksioni

V −→ kv −→ 〈v,u〉

është a functional. �

Shembull 5.14. Le të jetë V hapësira vektoriale e funksioneve të vazhdueshëm me vlera realë e në intervalin [0, 1]. Përkufizojmë

δ : V −→ R

e tillë që δ( f ) = f (0). Atëherë δ është një functional i quajtur funksionali Dirak. �

Teorema 5.5. Le të jetë V hapësirë vektoriale me dimension të fundëm mbi k me një prodhim skalar jo-degenerate. Funksioni

Φ : V −→ V∗

v 7→ Lv(5.8)

është një izomorfizëm.

Vërtetim: Shiko për shembuj [66] (faqe. 128).�

Ushtrime:

1. Le të jetë V një hapësirë vektoriale me dimension të fundëm. Vërteto se dim V = dim V∗.

2. Le të jetë V = Matn×n(R). Përshkruaj V∗.

3. Le të jetë V = R2n. Përshkruaj V∗.

130 c©AulonaPress

Shaska T. Algjebra

5.5 Ushtrime përsëritje

1. Le të jetë V hapësira e funksioneve realë të vazhdueshëm

f : [0, 1] −→ R

Për f , g ∈ V përkufizojmë

〈 f , g〉 =

∫ 1

0f (x) · g(x) dx

i) Le të jetë n një numër i plotë i fiksuar dhe

f (x) = sin nx, g(x) = cos nx

gjej 〈 f , g〉.

ii) Gjej një funksion pingul me f (x) = ex.

2. Le të jetë V = C2 dhe 〈·, ·〉 prodhimi Euklidian në V. Le të jenë u,v ∈ V të tillë që

u = (2 + i, i − 1), v = (i, i + 3)

Gjej 〈u,v〉, ||u||, ||v||.

3. Le të jetë V := Matn(C). Le të jenë M,N dy matrica në V. Vërteto se

〈M,N〉 = tr(MN)

është një prodhim i brendshëm.

4. Le të jetë V = R4 dhe prodhim i brendshëm në V është prodhimi skalar. Le të jetë

v1 = (1, 2, 3, 1), v2 = (2, 2, 1, 2), v3 = (1, 1, 1, 1)

e dhënë. Gjej një bazë ortogonale të Span (v1, v2, v3).

5. Gjej një bazë ortogonale për hapësirën nul të matricës

A :=

-1 -3 10 3 15 2 2

6. Gjej një bazë ortogonale për hapësirën nul të matricës 2 1 4

1 2 -14 1 3

.7. Gjej një bazë ortogonale për hapësirën nul të matricës

A =

3 1 7 -14 1 2 3-4 2 2 -32 -4 3 7

c©AulonaPress 131

Algjebra Shaska T.

8. Gjej një bazë ortogonale për nëhapësirën Span (1,√

x, x2) të hapësirës vektoriale C0,1 të funksioneve të

vazhdueshëm në [0, 1], ku 〈 f , g〉 =∫ 1

0 f (x)g(x)dx.

9. Gjej një bazë ortonormale për planin4x + 3y + 2z = 0.

132 c©AulonaPress

Kapitulli 6

Operatorët në hapësirat e brendshme

6.1 Operatorët në hapësirat e brendshme

T. ShaskaLe të jetë V një hapësirë vektoriale me dimension të fundëm mbi mbi k me prodhim skalar non-degenerate <,>.

Përkufizim 6.1. Një funksion linear A : V → V quhet f operator.

Lema 6.1. Le të jetë A : V → V një operator. Atëherë ekziston një operator i vetëm B : V → V i tillë që për çdo v,w ∈ V kemi

< Av,w >=< v,Bw > .

Vërtetim: Ushtrim.

E quajmë B-në transpose të A-së dhe e shënojmë me At. Kështu që,

< Av,w >=< v,Atw > .

Teorema 6.1. Le të jetë V hapësirë vektoriale me dimension të fundëm mbi k dhe me prodhim skalar non-degenerate <,>. Letë jenë A,B operatorë të V-së, dhe c ∈ k. Atëherë pikat e mëposhtme janë të vërteta:

1. (A + B)T = AT + BT

2. (A B)T = BT AT

3. (c A)T = c AT

4. (AT)T = A

Vërtetim: Ushtrim

6.2 Operatorët Hermitian

Le të jetë V një hapësirë vektoriale me dimension të fundëm mbi C dhe prodhim skalar pozitiv të përcaktuar<,>.

Teorema 6.2. Për një funksion të dhënë L : V → C, ekziston një w′ ∈ V e vetme e tillë që L(v) =< v,W′ > për çdo v.

Vërtetim: Skip it.

Lema 6.2. Për një operator të dhënë A : V → V ekziston një operator i vetëm A∗ : V → V i tillë që ∀v,w ∈ V kemi

< Av,w >=< v,A∗w > .

133

Algjebra Shaska T.

Vërtetim: Si në Lemën 6.1.Operatorin A∗ e quajmë f axhoint të A-së.

f Ushtrim: Vërteto se A∗ është linear.

f Exercise: Vërteto seA∗ = AT.

Një operator A quhet f hermitian (ose f self-axhoint) në qoftë se A∗ = A.

Teorema 6.3. Le të jetë V një hapësirë vektoriale me dimension të fundëm mbi C dhe me prodhim skalar positive të përcaktuar<,>. Le të jenë A,B operatorë të V-së, dhe c ∈ k. Atëherë pikat e mëposhtme janë të vërteta:

1. (A + B)∗ = A∗ + B∗

2. (A B)∗ = B∗ A∗

3. (c A)∗ = c A∗

4. (A∗)∗ = A

Lema 6.3. Pikat e mëposhtme janë të vërteta:

< A(v + w), v + w > − < A(v − w), v − w >= 2 [< Aw, v > + < Av,w >]

< A(v + w), v + w > − < Av, v > − < Aw,w >=< Av,w > + < Aw, v >

Vërtetim: Ushtrim

Teorema 6.4. Le të jetë A një operator dhe

< Av, v >= 0 për të gjitha v ∈ V.

Atëherë, A = 0.

Vërtetim: Ushtrim

Teorema 6.5. Le të jetë V i dhënë si më sipër dhe A një operator. Atëherë A është hermitian atëherë dhe vetëm atëherë kur

< Av, v >∈ R për të gjitha v ∈ V.

Vërtetim:

6.3 Operatorët unitary

Përkufizim 6.2. A quhet f realë unitary në qoftë se

< Av,Aw >=< v,w > për çdo v,w ∈ V

Teorema 6.6. Le të jetë V e dhënë si më sipër dhe A : V → V një funksion linear. Pikat e mëposhtme janë të vërteta:1) A është unitary2) A ruan normën e vektorëve (i.e., ||Av|| = ||v|| për çdo v ∈ V).3) Për çdo vektor njësi u ∈ V, Au është gjithashtu njësi.

Vërtetim:

Teorema 6.7. Le të jetë Ve dhënë si më sipër dhe A : V → V një funksion linear. Atëherë A është unitary atëherë dhe vetëmatëherë kur

ATA = I.

134 c©AulonaPress

Kapitulli 7

Aplikime të Algjebrës Lineare

7.1 Aplikime në ekuacionet diferenciale

Në këtë seksion do të japim disa aplikime të algjebrës lineare në ekuacionet diferenciale. Pjesa më e madhe ekëtij materiali mund të gjendet në çdo libër ekuacionesh diferenciale. Ne duam thjesht të tregojmë përdorimin ealgjebrës lineare në këtë çështje pa e diskutuar në detaje.

7.1.1 Sisteme homogjene të ekuacioneve lineare të rendit të parë

Le të jetë dhënë si më poshtë një sistem linear me m ekuacione diferenciale dhe me n të panjohura:p1,1 y1(t) + · · · + p1,n yn(t) = y′1(t)p2,1 y1(t) + · · · + p2,n yn(t) = y′2(t). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

pm,1 y1(t) + · · · + pm,n yn(t) = y′n(t)

(7.1)

ku pi, j janë konstante dhe y1, . . . , yn janë funksione në varësi të t-së. Gjithashtu, shënojmë me y′i (t) derivatin e parëtë yi(t) për çdo i. E shkruajmë këtë sistem në formë matrice si

A · y(t) = y′(t) (7.2)

ku

A = [pi, j] =

p1,1 p1,2 p1,3 . . . p1,np2,1 p2,2 p2,3 . . . p2,np3,1 p3,2 p3,3 . . . p3,n

·

·

·

pm,1 pm,2 pm,3 . . . pm,n

, y(t) =

y1y2y3

ym

, y′(t) =

y′1y′2y′3

y′m

.

Prej Kapitullit 2 dimë se çdo sistem linear ekuacionesh nuk ka zgjidhje, ka një zgjidhje ose një numër të pafundëmzgjidhjesh. Në rastin kur ka një numër të pafundëm zgjidhjesh, atëherë hapësira e zgjidhjeve është një hapësirëvektoriale dhe ne duam të kemi një bazë për këtë hapësirë vektoriale. Le të jenë Y1, . . . ,Yn zgjidhje të sistemit (7.2)për çdo pikë në intervalin t ∈ (α, β). Këto zgjidhje i quajmë linearisht të pavarur në qoftë se përcaktori i matricës

M :=

Y1 Y2 Y3 . . . YnY′1 Y′2 Y′3 . . . Y′nY(2)

1 Y(2)2 Y(2)

3 . . . Y(2)n

·

·

·

Y(m)1 Y(m)

2 Y(m)3 . . . Y(m)

n

135

Algjebra Shaska T.

është jozero. E shënojmë këtë meW(Y1, . . . ,Yn) := det (M)

dhe e quajmë Wronskian e Y1, . . . ,Yn. Teorema e mësipërme nga ekuacionet diferenciale përcaktojmë një hapësirëtë tillë.

Teorema 7.1. Le të jenë Y1, . . . ,Yn zgjidhje linearisht të pavarura të sistemit (7.2) për çdo pikë në intervalin t ∈ (α, β). Atëherëçdo zgjidhje Y(t) mund të shprehet si një kombinim linear i Y1, . . . ,Yn,

Y(t) = c1Y1(t) + · · · + cnYn(t).

Bashkësia e zgjidhjeve Y1, . . . ,Yn quhet bashkësia themelore e zgjidhjeve.

Shembull 7.1. Zgjidh ekuacionin diferencial të mëposhtëm

y′(t) = a · y(t)

me vlerë fillestare y(0) = y0.

Zgjidhje: Ekuacioni ka zgjidhje të përgjithshmey(t) = ceat.

Duke përdorur kushtin e vlerës fillestare marrim y(t) = y0eat. �

Le të jetë dhënë sistemi homogjen.A · y(t) = y′(t) (7.3)

Në qoftë se matrica e koeficientëve A është në formën diagonale, atëherë sistemi është:

a11 · y1(t) = y′1(t)a22 · y2(t) = y′2(t)

·

·

·

ann · yn(t) = y′n(t).

(7.4)

Zgjidhja e përgjithshme është dhënë nga

y =

y1y2·

·

·

yn

=

k1 ea11t

k2 ea22t

·

·

·

kn eannt

Në përgjithësi, diagonalizojmë A-në dhe reduktojmë sistemin (7.1) në (7.4). Në qoftë se A mund të diagonalizohetatëherë shkruhet si

A = C−1DC

ku D është matrica diagonale si në kapitujt 3 ose 4. Atëherë

C−1DC y = y′

dheD Cy = Cy′.

Le të jetë v = Cy, atëherë v′ = Cy′. kështu qëDv = v′.

Tani proçedojmë si në ekuacionin (7.4).

136 c©AulonaPress

Shaska T. Algjebra

Shembull 7.2. Zgjidh sistemin linear diferencial y′1 = y1 − y2 − y3y′3 = y3 − y2 − y1y′2 = y2 − y1 − y3

Zgjidhje: Matrica e koeficientëve është

A =

1 -1 -1-1 1 -1-1 -1 1

.Forma normale e saj e Xhordanit është

J(A) = C−1AC =

-1 0 00 2 00 0 2

, ku C =

1 -1 -11 1 01 0 1

.Përcaktojmë v = C−1y dhe zgjidhja është

v =

k1 e−t

k2 22t

k3 e2t

.Atëherë,

y = Cv =

1 -1 -11 1 01 0 1

v1

v2v3

=

k1e−t− k2e2t

− k3e2t

k1e−t + k2e2t

k1e−t + k3e2t

�

7.1.2 Ekuacionet diferenciale të rendit të n-të

Tani do shohim sesi metoda e mësipërme mund të përdoret për të zgjidhur ekuacione diferenciale të rendevemë të larta. Fillojmë me ekuacione diferenciale homogjene. Le të jetë

y(n) + an−1y(n−1)(t) + . . . a1y′1(t) + a0y = 0

një ekuacion diferencial homogjen. Bëjmë zëvendësimet e mëposhtme y(i−1) = yi, për i = 1, . . .n dhe y(0) = y.Atëherë sistemi merr formën

A · y = y′ (7.5)

ku

A =

0 1 0 . . . . . . 00 0 1 . . . . . . 0

·

· 00 0 · . . . . . . 1−a0 −a1 −a2 . . . . . . an−1

, y =

y1y2y3

ym

, y′ =

y′1y′2y′3

y′m

.

Tani vazhdojmë duke zgjidhur këtë sistem si në seksionin e mësipërm.

Shembull 7.3. Gjej zgjidhje e përgjithshme të ekuacionit diferencial

y′′′

− 7y′′

+ 14y′

− 8y = 0.

Zgjidhje: Le të jetë y1 = y, y2 = y′ , y3 = y′′ . Atëherë kemi sistemin 0 1 00 0 18 -14 7

·y1y2y3

=

y′1y′2y′3

.c©AulonaPress 137

Algjebra Shaska T.

Lexuesi mund të kontrollojë se zgjidhja e përgjithshme është

y(t) = c1et + c2e2t + c3e4t.

�

Mund të përdorim një mënyrë më të shpejtë për të zgjidhur

Ay = y′.

Shënojmë eigenvlerat e A-së me λi, i = 1, . . . , r dhe le të jenë mi shumëfishmëritë e tyre respektive algjebrike.Atëherë, zgjidhje e përgjithshme do të ketë formën

y(t) =[c1,0eλ1t + c1,1teλ1t + · · · + c1, jt jeλ1t + c1,m1−1tm1−1eλ1t

]+ . . . · · ·+

+ . . . · · ·+[cr,0eλrt + cr,1teλrt + · · · + cr, jt jeλrt + c1,mr−1tmr−1eλrt

] (7.6)

Eshtë e qartë se polinomi karakteristik i A-së është i dhënë nga

char (A, λ) = λn + an−1λn−1 + · · · + a1λ + a0.

Shembull 7.4. Gjej zgjidhjen e përgjithshme të ekuacionit diferencial

y(6)− 14y(5) + 79y(4)

− 228y(3) + 351y(2)− 270y + 81 = 0.

Zgjidhje: Atëherë kemi polinomin karakteristik

λ6− 14λ5 + 79λ4

− 228λ3 + 351λ2− 270λ + 81 = 0

i cili faktorizohet si(λ − 1)2 (λ − 3)4 = 0.

Kështu që, eigenvlerat janë λ1 = 1 dhe λ2 = 3 me shumëfishitet 2 dhe 4 respektivisht. Zgjidhja e përgjithshme është

y(t) = c1et + c2tet + c3e3t + c4te3t + c5t2e3t.

�

Vërejtje 7.1. Metoda e mësipërme përfshin rrënjët e një ekuacioni polinomial të gradës së n-të i cili është joefektive nëse nukpërdorim disa teknika të tjera.

7.1.3 Metoda e variation të parametrave

Tani ne mund ta përgjithësojmë teknikën e mësipërme për çdo ekuacion diferencial të gradës n. Le të jetë

y(n) + pn−1(t)y(n−1) + . . . p1(t)y′1 + p0(t)y = g(t)

një ekuacion diferencial, për t ∈ [a, b]. Do të përshkruajmë shkurtimisht se si të zgjidhim një ekuacion të tillë.Nliteraturë kjo metodë njihet si metoda e variation të parametrave.

Nga ekuacioni homogjeny(n) + pn−1(t)y(n−1) + . . . p1(t)y′ + p0(t)y = 0

në fillim gjejmë një bashkësi themelore zgjidhjesh

Y1, . . . ,Yn

138 c©AulonaPress

Shaska T. Algjebra

Përdoren teknika të ndryshme, në qoftë se pi-të janë funksione konstante apo jo. Në seksionin e mëparshëmdiskutuam rastin kur të gjitha pi-të janë funksione konstante.

Pasi kemi gjetur një bashkësi zgjidhjesh themelore, atëherë zgjidhje e përgjithshme ka formën

y(t) = c1Y1 + · · · + cnYn + Y(t)

ku Y(t) quhet zgjidhje e veçantë. Atëherë, Y(t) është dhënë nga

Y(t) = u1Y1 + · · · + unYn

i tillë që u1, . . . ,un janë funksione diferencial në t.Për të përcaktuar u1, . . . ,un vazhdojmë si më poshtë: Ne mund të llogarisim Y′, . . .Y(n−1) dhe marrim kushte

fillestare të mjaftueshme të tilla që sistemi linear i mëposhtëm të jetë i vërtetë:

Y1 Y2 . . . YnY′1 Y′2 . . . Y′n. . . . . .. . . . . .. . . . . .

Y(n−1)1 Y(n−1)

2 . . . Y(n−1)n

u′1u′2...

u′n

=

00..0

g(t)

Ne mund ta zgjidhim këtë sistem linear duke përdorur rregullin e Kramerit. Kështu që kemi gjetur u′1, . . . ,u

′n, të

cilat janë funksione të integrueshëm në [a, b].Për më tepër, ne gjejmë u1, . . .un duke integruar

ui =

∫u′i dt.

Zgjidhja e veçantë ështëY(t) = u1Y1 + · · · + unYn

dhe zgjidhja përfundimtare ështëy(t) = c1Y1 + · · · + cnYn + Y(t).

Metoda e variacionit të parametrave është e përshkruar në detaje në çdo libër elementarë ekuacionesh diferenciale.Ne dhamë vetëm një përshkrim të shkurtër tË metodës. Për më shumë detaje lexuesi duhet të kontrollojë librat eekuacioneve diferenciale.

Shembull 7.5. Zgjidh ekuacionin diferencialy′′

− 6y′

+ 8y = et.

Zgjidhje: Së pari gjejmë bashkësinë themelore të zgjidhjeve të ekuacionit homogjen

y′′

− 6y′

+ 8y = 0.

Ekuacioni karakteristik ështëλ2− 6λ + 8 = 0

dhe eigenvlerat janë λ1 = 2 dhe λ2 = 4. Pra zgjidhja e përgjithshme është

y(t) = c1e2t + c2e4t + Y(t)

kuY(t) = u1(t) · e2t + u2(t)e4t.

Kështu që kemi [e2t e4t

2e2t 4e4t

] [u′1u′2

]=

[0et

]c©AulonaPress 139

Algjebra Shaska T.

dheu′1 =

12

e−3t, u′2 = −12

et.

Duke integruar në varësi të t-së marrim

u1 = −16

e−3t + c, u2 = −12

et + c.

Kështu që,

y(t) = c1e2t + c2e4t−

16

e−3t−

12

et + c.

�

Mund të përdorim teknika të ndryshme për të përcaktuar Y(t). Pjesa më e madhe e tyre do të varen nga funksionig(t). Në ushtrimet e mëposhtme lexuesi do të gjej ekuacione me zgjedhje të tjera të g(t).

Ushtrime:

1. Zgjidh sistemin e mëposhtëm linear të ekuacioneve diferenciale.{y′1 = 3y1 − 5y2

y′2 = y1 − 2y2

2. Zgjidh sistemin e mëposhtëm linear të ekuacioneve diferenciale.y′1 = y1 + 2y2 − 3y3 − y4 + 11y5y′2 = 2y1 + y2 − 3y3 − 5y4 + 3y5y′3 = 3y1 − 2y2 + y3 + 3y4 + 4y5

y′4 = 4y1 + 4y2 + 2y3 − 7y4 + 6y5y′5 = 6y1 − 3y2 − 5y3 + 2y4 + 9y5

3. Zgjidh sistemin e mëposhtëm linear të ekuacioneve diferenciale.y′1 = y1 + y5

y′2 = y2 − 3y3 − 5y4y′3 = y3 + 3y4 + 4y5

y′4 = 4y2 + 2y3 − 7y4y′5 = 6y1 − 2y4 + 9y5

4. Zgjidh ekuacionin diferencialy(5)− 15y(3) + 10y

′′

+ 60y′

− 72y = 0

5. Zgjidh ekuacionin diferencialy′′

− 3y′

+ 17y = 0

6. Zgjidh ekuacionin diferencialy′′

− 3y′

+ 17y = et

7. Zgjidh ekuacionin diferencialy′′

− 7y′ + 12 = e2t

me kushte fillestare y′(0) = 1 dhe y(0) = 2.

8. Gjej zgjidhjen e përgjithshme të ekuacionit

y′′

− 7y′ + 12 = e−2t.

140 c©AulonaPress

Shaska T. Algjebra

7.2 Metoda e katrorëve më të vegjël

Metoda e katrorëve më të vegjël u zbulua për herë të parë nga Gausi në fillim të viteve 1800 dhe është përdorurgjatë gjithë kohës që atëherë në shumë fusha të matematikës dhe inxhinierisë. Marrim në konsideratë problemin emëposhtëm:

Problem: Kemi bashkësinë e dhënë

x x1 x2 x3 x4 . . . xn

y y1 y2 y3 y4 . . . yn

Tabela 7.1: Pershtatja e funksionit

Gjej një funksion linear y = f (x) që u përshtatet më mirë këtyre të dhënave.

Geometrikisht dy nga këto pika (xi, yi) përcaktojnë një drejtëz. GJithsesi, ne po kërkojmë drejtëzën e cila është"më afër"me të gjitha këto pika. Le të supozojmë se ekuacioni i f (x) është i dhënë nga

f (x) = ax + b.

Atëherë kemiyi = axi + b, për i = 1, . . .n.

Në përkufizimin e matricës kemi

x1 1x2 1· ·

· ·

· ·

xn 1

[ab

]=

ax1 + bax2 + b·

·

·

axn + b

ose e shkruajmë këtë si

A v � y,

ku

A =

x1 1x2 1· ·

· ·

· ·

xn 1

, v =

[ab

], y =

ax1 + bax2 + b·

·

·

axn + b

.

Tani na duhet të përcaktojmë v =

[ab

]të tillë që vektori i gabimit Av − y është minimal. KOncepti i minimalit

varet nga lloji i aplikimit. Metoda e katrorve më të vegjël është bazuar në idenë se na duhet që magnituda ||Av− y||të jetë minimale. Shënojmë me d := Av − y. Atëherë, di = ax + b − yi. Duke minimizuar ||Av − y|| ndomethënë qëminimizojmë ||Av − y||2, e cila domethënë që minimizojmë

d21 + d2

2 + · · · + d2n.

Le të jenë v1 dhe v2 vektorë kolona të A-së. Vektori Av = av1 + bv2 shtrihet në hapësirën W = Span (v1, v2). Neduam të gjejmë një vektor v0 ∈W të tillë që prodhimi skalar Av · (Av0 − y) = 0 për çdo v ∈W. Atëherë kemi

Av · (Av0 − y) = (Av)T (Av0 − y) = (Av)T Av0 − (Av)Ty

= vTATAv0 − vTATy = vT(ATAv0 − ATy

)= 0

(7.7)

c©AulonaPress 141

Algjebra Shaska T.

për çdo v ∈W. Sepse prodhimi skalar është një prodhimi i brendshëm jo-degenerate atëherë

ATAv0 − ATy = 0

dhev0 = (ATA)−1 ATy.

MatricënP := (ATA)−1 AT

ndonjëherë e quajmë matrica projeksion e A-së.

Shembull 7.6. Le të jenë dhënë të dhënat e mëposhtme

x 1 2 2 5y 2 3 5 7

Gjej një funksion linear i cili përputhet sa më mirë me të dhënat.

Zgjidhje: Atëherë

A :=

1 12 12 15 1

, dhe β =

2357

Kemi

ATA =

[34 1010 4

]Zgjidhja e katrorëve më të vegjël është

v0 = (ATA)−1 ATy =16

[78

]Kështu që, drejtëza që përputhet më mirë me të dhënat e mësipërme është

y =76

x +43

�

Sikurse do të shikojmë në kapitullin e mëposhtëm metoda katrorëve më të vegjël ka kufizimet e saj pasi jo çdogjë në aplikime është lineare. Në qoftë se për disa të dhëna përafrojmë një model linear atëherë ky model mundtë ndodh që të mos i përputhet këtyre të dhënave shumë mirë. Në shembullin tjetër shohim se ndonjëherë njëpërafrim i tillë nuk i përputhet fare të dhënave.

Shembull 7.7. Jepen të dhënat e mëposhtme

x 1 2 3 4 5y 2 5 4 7 2

Gjej një funksion linear i cili i përshtatet sa më mirë të dhënave.

Zgjidhje: Atëherë

A :=

1 12 13 14 15 1

, dhe y =

25472

Zgjidhja e katrorëve më të vegjël është

v0 = (ATA)−1 ATy =15

[1

17

]142 c©AulonaPress

Shaska T. Algjebra

Figura 7.1: Duke i përputhur të dhënat e mësipërme me metodën e katrorëve më të vegjël.

Kështu që, drejtëza që i përputhet më mirë të dhënave të mësipërme është

y =x5

+175

Grafiku në Fig. 7.1 është grafiku i të dhënave të funksionit. �

Në shembullin e mësipërm gjetëm një funksion linear i cili i përputhet të dhënave sa më mirë. Gjithësesi, metodae katrorëve më të vegjël mund të përdoret vetëm për të gjetur funksione lineare. Më poshtë do ta përgjithësojmëkëtë metodë.

Le të jetë A një matricë m×n, v një vekor n× 1 dhe y një vektor m× 1. Le të kemi të dhënë ekuacionin e matricës.

A v � y

Zgjidhja e katrorëve më të vegjël e ekuacionit të matricës A v � y është një vektor v0 i tillë që

||y − Av0|| ≤ ||y − Av||

për çdo v.

Tani na duhet të përcaktojmë v =

[ab

]të tillë që vektori gabim Av−y është minimal. Koncepti i minimal varet

nga lloji i aplikimit. Metoda e katrorëve më të vegjël është e bazuar në faktin që ne kërkojmë që magnituda ||Av−y||të jetë minimale. Shënojmë me d := Av − y. Atëherë, di = ax + b − yi. Duke minimizuar ||Av − y|| minimizojmë||Av − y||2, e cila minimizon

d21 + d2

2 + · · · + d2n.

Le të jenë v1 dhe v2 vektora kolonë të Asë. Vektori Av = av1 + bv2 shtrihet në hapësirën W = Span (v1, v2).Ne duam të gjejmë vektorin v0 ∈W të tillë që prodhimi skalar Av · (Av0 − y) = 0 për çdo v ∈W. Atëherë kemi

Av · (Av0 − y) = (Av)T (Av0 − y) = (Av)T Av0 − (Av)Ty

= vTATAv0 − vTATy = vT(ATAv0 − ATy

)= 0

(7.8)

c©AulonaPress 143

Algjebra Shaska T.

për çdo v ∈W. Sepse prodhimi skalar është një prodhim i brendshëm jo-degenerate atëherë

ATAv0 − ATy = 0

dhev0 = (ATA)−1 ATy

MatricaP := (ATA)−1 AT

quhet matrica projeksion e A-së. Vektori Av0 quhet projeksioni ortogonal i y-së në hapësirën kolonë të A-së.

7.2.1 Metoda e katrorëve më të vegjël për polinomë me grada më të larta

Marrim në konsideratë të njëjtin problem si në seksionin e mësipërm. Gjithsesi, përafrimi që duam të përdorimnuk është domosdoshmërisht linear, por një polinom i gradës n. Dihet se në qoftë se janë dhënë n pika në planatëherë ekziston një polinom i gradës n i cili kalon nga këto pika, nëse pikat janë linearisht të varura. Kështu që,për shumë aplikime kemi r pika dhe duam të gjejmë një polinom të gradës n i cili përputhet sa më mirë me këto tëdhëna për n < r. Shohim problemin:

Problem: Na është dhënë një bashkësi të dhënash

x x1 x2 x3 x4 . . . xr

y y1 y2 y3 y4 . . . yr

Tabela 7.2: Metoda e katroreve me te vegjel

Gjej një polinom të gradës ny = f (x) = anxn + an−1xn−1 + · · · + a1x + a0

i cili përputhet sa më mirë me këto të dhëna.

Këtë polinom mund ta shkruajmë në formën e një matrice si më poshtë:

xn1 . . . x1 1

xn2 . . . x2 1· · · ·

· · · ·

· · · ·

xnn . . . xn 1

anan−1·

·

·

a0

=

anxn1 + an−1xn−1

1 + · · · + a1x1 + a0

anxn2 + an−1xn−1

2 + · · · + a1x2 + a0·

·

·

anxnn + an−1xn−1

n + · · · + a1xn + a0

Si më sipër e shënojmë këtë si A v = y. Zgjidhja e katrorëve më të vegjël është

v0 = (ATA)−1 ATy

Shembull 7.8. Jepen të dhënat e mëposhtme si në shmebullin e mësipërm.

x 1 2 3 4 5y 2 5 4 7 2

Gjej një polinom të gradës 2 që u përshatet të dhënave sa më mirë.

Zgjidhje: Atëherë

A :=

1 1 14 2 19 3 1

16 4 125 5 1

, dhe y =

25472

144 c©AulonaPress

Shaska T. Algjebra

Figura 7.2: Përputhim të dhënat e mësipërme me anë të metodës katrorëve më të vegjël.

Zgjidhja katrorëve më të vegjël është

v0 = (ATA)−1 ATy =

−

67

18735

−135

Kështu që, polinomi i gradës së dytë që përputhet më mirë me këto të dhëna është

y = −67

x2 +18735

x −135

Grafiku i mësipërm është grafiku i të dhënave të funksionit. Kini parasysh se marrim një përafrim më të mirë se në rastin kurfunksioni është linear. �

Shembull 7.9. Gjej polinomët e gradave të 3 dhe 4 që i përafrohen të dhënave në shembullin e mësipërm.

Zgjidhje: Për një polinom të gradës 3 kemi

y = −13

x3 +157

x2−

5321

x + 3

Grafiku është i paraqitur në Figurën (7.3). Krahaso këtë me polinomët e gradave 1 dhe 2 për të parë nëse përputhet më mirë.

Meqënëse kemi katër pika në plan, atëherë duke përdorur polinomë të gradës 4 jemi në gjendje të gjejmë një polinom i cili kalonnga pikat. Nëse kjo zgjidhje e vetme ekziston do ta gjejmë me anë të metodës së katroëve më të vegjë. Në këtë rast, polinomi igradës së 4 i cilu përshtatet me të dhënat është

y = −56

x4 +293

x3−

2356

x2 +196

3x − 33

c©AulonaPress 145

Algjebra Shaska T.

Figura 7.3: Përputhim të dhënat me një polinom të gradës 4

dhe grafiku është paraqitur në Figurën (7.4).�

Metoda katrorëve më të vegjël mund të përdoret për shumë aplikime të tjera. (AtA)−1 ekziston në qoftë se Aka vektorë kolona të pavarur. Kështu që, kemi një zgjidhje të vetme me anë të katrorëve më të vegjël në qoftë senull (A) = 0.

Shembull 7.10. Gjej zgjidhjen katrorëve më të vegjël për sisteminx1 − x2 = 4

3x1 + 2x2 + x3 = 33x1 + 2x2 − 5x3 = 1

2x1 + x2 − x3 = 3

Zgjidhje: KemiAx = y

ku

A =

1 -1 03 2 13 2 -52 1 -1

, y =

4313

.Zgjidhja e katrorëve më të vegjël është

v0 = (AtA)−1Aty =

617275

−2111

29275

.146 c©AulonaPress

Shaska T. Algjebra

Figura 7.4: Përputhim të dhënat me një polinom të gradës 4

Atëherë projeksioni ortogonal i y në hapësirën kolonë të A-së është vektori Av0 i dhënë nga

Av0 =

1142275

17955

331275

12355

=

4.152727273

3.254545455

1.203636364

2.236363636

.

�

Ushtrime:

1. Jepen të dhënat e mëposhtmex 1 2 3 4 5y 8 13 18 23 28

Gjej funksionin linear i cili u përshtatet më mirë të dhënave.

2. Jepen të dhënat e mëposhtme

x 0 1 3 2 -2y 2 1 -1 -5 4

Gjej një funksion linear i cili u përshtatet më mirë të dhënave.

c©AulonaPress 147

Algjebra Shaska T.

3. Gjej një polinom të gradës 2 i cili u përshtatet më mirë të dhënave të mëposhtme.:

x 0 1 3 2 5y -2 -1 2 4 2

4. Gjej një polinom të gradës 3 i cili u përshtatet më mirë të dhënave të mëposhtme.

x 0 1 3 5 -2y 2 3 5 0 -4

5. Gjej zgjidhjen e katrorëve më të vegjël të sistemitx1 − x2 = 4

3x1 + 2x2 = 33x1 + 2x2 = 1

6. Gjej zgjidhjen e katrorëve më të vegjël të sistemitx1 − 11x2 = 1

3x1 + x3 = 2x1 + 2x2 = 1

2x1 + x2 − x3 = 31

dhe projeksionin ortogonal korespondues.

7. Gjej zgjidhjen katrorëve më të vegjël të sistemit5x1 − 12x2 = 4x1 + 3x2 = −2

6x1 + 2x2 = −1

dhe projeksionin ortogonal korespondues.

8. Gjej zgjidhjen katrorëve më të vegjël të sistemit3x1 − x2 + 3x3 = 43x1 + 7x2 + x3 = 3

3x1 + 2x2 − x3 = 212x1 + x2 − x3 = 4

dhe projeksionin ortogonal korespondues.

148 c©AulonaPress

Bibliografia

[1] Shaban Baxhaku, Leksione të gjeometrisë së lartë, Universiteti i Tiranës, Fakulteti i Shkencave të Natyrës, Shtypshkronja e dispensave Tiranë,1975.

[2] , Kursi i gjeometrisë analitike: Dispensa ii, Universiteti i Tiranës, Fakulteti i Shkencave të Natyrës, Shtypshkronja e dispensave Tiranë,1984.

[3] , Kursi i gjeometrisë analitike: Dispensa i, Universiteti i Tiranës, Fakulteti i Shkencave të Natyrës, Shtypshkronja e dispensave Tiranë,1987.

[4] L. Beshaj, R. Hidalgo, S. Kruk, A. Malmendier, S. Quispe, and T. Shaska, Rational points in the moduli space of genus two, Higher genus curvesin mathematical physics and arithmetic geometry, 2018, pp. 83–115. MR3782461

[5] L. Beshaj, T. Shaska, and C. Shor, On Jacobians of curves with superelliptic components, Riemann and Klein surfaces, automorphisms, symmetriesand moduli spaces, 2014, pp. 1–14. MR3289629

[6] L. Beshaj, T. Shaska, and E. Zhupa, The case for superelliptic curves, Advances on superelliptic curves and their applications, 2015, pp. 1–14.MR3525570

[7] Lubjana Beshaj, Artur Elezi, and Tony Shaska, Theta functions of superelliptic curves, Advances on superelliptic curves and their applications,2015, pp. 47–69. MR3525572

[8] Lubjana Beshaj, Valmira Hoxha, and Tony Shaska, On superelliptic curves of level n and their quotients, I, Albanian J. Math. 5 (2011), no. 3,115–137. MR2846162

[9] Lubjana Beshaj, Tony Shaska, and Eustrat Zhupa (eds.), Advances on superelliptic curves and their applications, NATO Science for Peace andSecurity Series D: Information and Communication Security, vol. 41, IOS Press, Amsterdam, 2015. Including papers based on the NATOAdvanced Study Institute (ASI) on Hyperelliptic Curve Cryptography held in Ohrid, August 25–September 5, 2014. MR3495135

[10] A. Bialostocki and T. Shaska, Galois groups of prime degree polynomials with nonreal roots, Computational aspects of algebraic curves, 2005,pp. 243–255. MR2182043

[11] Kristian Bukuroshi, Analiza matematike, Shtëpia botuese e librit shkollor, 1979.

[12] A. Elezi and T. Shaska, Special issue on algebra and computational algebraic geometry, Albanian J. Math. 1 (2007), no. 4, 175–177. MR2367211

[13] , Quantum codes from superelliptic curves, Albanian J. Math. 5 (2011), no. 4, 175–191. MR2945762

[14] , Baza të argumentimit matematik, AulonnaPress, 2015.

[15] Artur Elezi and Tony Shaska, Weight distributions, zeta functions and Riemann hypothesis for linear and algebraic geometry codes, Advances onsuperelliptic curves and their applications, 2015, pp. 328–359. MR3525583

[16] J. Gutierrez and T. Shaska, Hyperelliptic curves with extra involutions, LMS J. Comput. Math. 8 (2005), 102–115. MR2135032

[17] Jaime Gutierrez, D. Sevilla, and T. Shaska, Hyperelliptic curves of genus 3 with prescribed automorphism group, Computational aspects ofalgebraic curves, 2005, pp. 109–123. MR2182037

[18] Ruben Hidalgo, Saul Quispe, and Tony Shaska, On generalized superelliptic Riemann surfaces, arXiv preprint arXiv:1609.09576 (2016).

[19] Ruben Hidalgo and Tony Shaska, On the field of moduli of superelliptic curves, Higher genus curves in mathematical physics and arithmeticgeometry, 2018, pp. 47–62. MR3782459

[20] M. Izquierdo and T. Shaska, Cyclic curves over the reals, Advances on superelliptic curves and their applications, 2015, pp. 70–83. MR3525573

[21] David Joyner and Tony Shaska, Self-inversive polynomials, curves, and codes, Higher genus curves in mathematical physics and arithmeticgeometry, 2018, pp. 189–208. MR3782467

[22] Vishwanath Krishnamoorthy, Tanush Shaska, and Helmut Völklein, Invariants of binary forms, Progress in Galois theory, 2005, pp. 101–122.MR2148462

[23] K. Magaard, T. Shaska, S. Shpectorov, and H. Völklein, The locus of curves with prescribed automorphism group, SurikaisekikenkyushoKokyuroku 1267 (2002), 112–141. Communications in arithmetic fundamental groups (Kyoto, 1999/2001). MR1954371

[24] Kay Magaard, Tanush Shaska, and Helmut Völklein, Genus 2 curves that admit a degree 5 map to an elliptic curve, Forum Math. 21 (2009), no. 3,547–566. MR2526800

[25] A. Malmendier and T. Shaska, The Satake sextic in F-theory, J. Geom. Phys. 120 (2017), 290–305. MR3712162

[26] Andreas Malmendier and Tony Shaska, The satake sextic in elliptic fibrations on k3, arXiv preprint arXiv:1609.04341 (2016).

149

Algjebra Shaska T.

[27] , A universal genus-two curve from Siegel modular forms, SIGMA Symmetry Integrability Geom. Methods Appl. 13 (2017), Paper No.089, 17. MR3731039

[28] James S Milne, Fields and galois theory, Courses Notes, Version 4 (2003).

[29] N. Pjero, M. Ramasaço, and T. Shaska, Degree even coverings of elliptic curves by genus 2 curves, Albanian J. Math. 2 (2008), no. 3, 241–248.MR2492097

[30] E. Previato, T. Shaska, and G. S. Wijesiri, Thetanulls of cyclic curves of small genus, Albanian J. Math. 1 (2007), no. 4, 253–270. MR2367218

[31] R. Sanjeewa and T. Shaska, Determining equations of families of cyclic curves, Albanian J. Math. 2 (2008), no. 3, 199–213. MR2492096

[32] David Sevilla and Tanush Shaska, Hyperelliptic curves with reduced automorphism group A5, Appl. Algebra Engrg. Comm. Comput. 18 (2007),no. 1-2, 3–20. MR2280308

[33] Bedri Shaska and Tanush Shaska, Mësimdhënia e matematikës nëpërmjet problemeve klasike, Vol. 10, Albanian Journal of Mathematics, 2016.

[34] T. Shaska, Curves of genus 2 with (N,N) decomposable Jacobians, J. Symbolic Comput. 31 (2001), no. 5, 603–617. MR1828706

[35] , Computational aspects of hyperelliptic curves, Computer mathematics, 2003, pp. 248–257. MR2061839

[36] , Genus 2 fields with degree 3 elliptic subfields, Forum Math. 16 (2004), no. 2, 263–280. MR2039100

[37] , Genus two curves covering elliptic curves: a computational approach, Computational aspects of algebraic curves, 2005, pp. 206–231.MR2182041

[38] , Subvarieties of the hyperelliptic moduli determined by group actions, Serdica Math. J. 32 (2006), no. 4, 355–374. MR2287373

[39] , Computational algebraic geometry and its applications [Foreword], Appl. Algebra Engrg. Comm. Comput. 24 (2013), no. 5, 309–311.MR3183721

[40] , Computational algebraic geometry [Foreword], J. Symbolic Comput. 57 (2013), 1–2. MR3066447

[41] , Some remarks on the hyperelliptic moduli of genus 3, Comm. Algebra 42 (2014), no. 9, 4110–4130. MR3200084

[42] , Some remarks on the hyperelliptic moduli of genus 3, Comm. Algebra 42 (2014), no. 9, 4110–4130. MR3200084

[43] T Shaska, Njehsimi diferencial, AulonaPress, 2016.

[44] T. Shaska, Hyrje në analizën e funksioneve me shumë ndryshore, AulonnaPress, 2017.

[45] , Kurbat algjebrike, AulonaPress, 2017.

[46] , Njehsimi integral, AulonnaPress, 2017.

[47] T. Shaska and L. Beshaj, The arithmetic of genus two curves, Information security, coding theory and related combinatorics, 2011, pp. 59–98.MR2963126

[48] , Heights on algebraic curves, Advances on superelliptic curves and their applications, 2015, pp. 137–175. MR3525576

[49] T. Shaska, W. C. Huffman, D. Joyner, and V. Ustimenko (eds.), Advances in coding theory and cryptography, Series on Coding Theory andCryptology, vol. 3, World Scientific Publishing Co. Pte. Ltd., Hackensack, NJ, 2007. Papers from the Conference on Coding Theory andCryptography held in Vlora, May 26–27, 2007 and from the Conference on Applications of Computer Algebra held at Oakland University,Rochester, MI, July 19–22, 2007. MR2435341

[50] T Shaska and N. Pjero, Kalkulus, AulonnaPress, 2010.

[51] T. Shaska and M. Qarri, Algebraic aspects of digital communications, Albanian J. Math. 2 (2008), no. 3, 141–144. MR2495805

[52] T. Shaska and C. Shor, Codes over Fp2 and Fp × Fp, lattices, and theta functions, Advances in coding theory and cryptography, 2007, pp. 70–80.MR2440170

[53] , Theta functions and symmetric weight enumerators for codes over imaginary quadratic fields, Des. Codes Cryptogr. 76 (2015), no. 2, 217–235.MR3357243

[54] T. Shaska, C. Shor, and S. Wijesiri, Codes over rings of size p2 and lattices over imaginary quadratic fields, Finite Fields Appl. 16 (2010), no. 2,75–87. MR2594505

[55] T. Shaska and F. Thompson, Bielliptic curves of genus 3 in the hyperelliptic moduli, Appl. Algebra Engrg. Comm. Comput. 24 (2013), no. 5,387–412. MR3118614

[56] T. Shaska and V. Ustimenko, On the homogeneous algebraic graphs of large girth and their applications, Linear Algebra Appl. 430 (2009), no. 7,1826–1837. MR2494667

[57] T. Shaska and G. S. Wijesiri, Codes over rings of size four, Hermitian lattices, and corresponding theta functions, Proc. Amer. Math. Soc. 136 (2008),no. 3, 849–857. MR2361856

[58] , Theta functions and algebraic curves with automorphisms, Algebraic aspects of digital communications, 2009, pp. 193–237. MR2605301

[59] T. Shaska, G. S. Wijesiri, S. Wolf, and L. Woodland, Degree 4 coverings of elliptic curves by genus 2 curves, Albanian J. Math. 2 (2008), no. 4,307–318. MR2470579

[60] Tanush Shaska, Determining the automorphism group of a hyperelliptic curve, Proceedings of the 2003 International Symposium on Symbolicand Algebraic Computation, 2003, pp. 248–254. MR2035219

[61] , Some special families of hyperelliptic curves, J. Algebra Appl. 3 (2004), no. 1, 75–89. MR2047637

[62] (ed.), Computational aspects of algebraic curves, Lecture Notes Series on Computing, vol. 13, World Scientific Publishing Co. Pte. Ltd.,Hackensack, NJ, 2005. Papers from the conference held at the University of Idaho, Moscow, ID, May 26–28, 2005. MR2182657

150 c©AulonaPress

Shaska T. Algjebra

[63] , Some open problems in computational algebraic geometry, Albanian J. Math. 1 (2007), no. 4, 297–319. MR2367221

[64] , Algjebra lineare, AulonaPress, 2008.

[65] Tanush Shaska and Lubjana Beshaj, Algjebra abstrakte, AulonaPress, 2011.

[66] , Algjebra abstrakte: Për studentët e degës së matematikës, AulonaPress, 2017.

[67] Tanush Shaska and Engjell Hasimaj (eds.), Algebraic aspects of digital communications, NATO Science for Peace and Security Series D:Information and Communication Security, vol. 24, IOS Press, Amsterdam, 2009. Papers from the Conference “New Challenges in DigitalCommunications” held at the University of Vlora, Vlora, April 27–May 9, 2008. MR2605610

[68] Tanush Shaska and Jennifer L. Thompson, On the generic curve of genus 3, Affine algebraic geometry, 2005, pp. 233–243. MR2126664

[69] Tanush Shaska and V. Ustimenko, On some applications of graphs to cryptography and turbocoding, Albanian J. Math. 2 (2008), no. 3, 249–255.MR2495815

[70] Tanush Shaska and Helmut Völklein, Elliptic subfields and automorphisms of genus 2 function fields, Algebra, arithmetic and geometry withapplications (West Lafayette, IN, 2000), 2004, pp. 703–723. MR2037120

[71] Tanush Shaska and Quanlong Wang, On the automorphism groups of some AG-codes based on Ca,b curves, Serdica J. Comput. 1 (2007), no. 2,193–206. MR2363086

[72] Tanush Tony Shaska, Curves of genus two covering elliptic curves, ProQuest LLC, Ann Arbor, MI, 2001. Thesis (Ph.D.)–University of Florida.MR2701993

[73] Tony Shaska, Genus 2 curves with (3, 3)-split Jacobian and large automorphism group, Algorithmic number theory (Sydney, 2002), 2002, pp. 205–218. MR2041085

[74] , Genus two curves with many elliptic subcovers, Comm. Algebra 44 (2016), no. 10, 4450–4466. MR3508311

[75] Tony Shaska and Caleb M. Shor, 2-Weierstrass points of genus 3 hyperelliptic curves with extra involutions, Comm. Algebra 45 (2017), no. 5,1879–1892. MR3582832

[76] C. Shor and T. Shaska, Weierstrass points of superelliptic curves, Advances on superelliptic curves and their applications, 2015, pp. 15–46.MR3525571

[77] James Stewart, Calculus: Early transcendentals, Vol. 6, Thompson, Brooks/Cole, 2008.

[78] Helmut Voelklein and Tanush Shaska (eds.), Progress in Galois theory, Developments in Mathematics, vol. 12, Springer, New York, 2005.MR2150438

c©AulonaPress 151