algebra, trigonometría y geometría

ECUACIONES, INECUACIONES Y VALOR ABSOLUTO 1

ALGEBRA, TRIGONOMETRÍA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA

FUNCIONES, TRIGONOMETRÍA E HIPERNOMETRÍA

MOMENTO INTERMEDIO:

ACTIVIDAD GRUPAL

JOHN ANDRÉS JIMÉNEZ CANO

FREDDY ERNESTO SÁNCHEZ

JAIRO ALONOS SALAZAR

GRUPO: 301301_168

CEAD JAG

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD

FACULTAD DE INGENIERIAS

INGENIERIA DE SISTEMAS

BOGOTÁ D. C.

18-X-2015


Introducción

En Matemáticas uno de los conceptos más importantes es el de FUNCIÓN, se cree que el gran matemático alemán Leibniz la introdujo a finales del siglo XVII. El concepto proviene del latín functo, que quiere decir “Acto de realizar” (Unad) Es por consecuente que su estudio es de vital importancia para cualquier persona que ingrese o quiera conocer el mundo de las matemáticas, ya que la mayor parte de sus ejercicios se ven en funciones, de primer grado, de segundo grado, entre otras muchas. Cuando se habla de trigonometría, se hace referencia al análisis del triángulo, y de allí las famosas identidades trigonométricas del cual su aprendizaje es de vital importancia para el desarrollo de los posteriores cursos de Ingenierías, Agronomía, administración entre muchos otros. La palabra HIPERNOMETRÍA, se acuño en este contexto haciendo referencia a el análisis de las funciones Hiperbólicas, de la misma manera como al análisis de las funciones trigonométricas se le denomina Trigonometría, es posible que la palabra no sea muy técnica, pero la idea es que con ella; se identifique algunas de sus identidades al igual que las poseen las funciones trigonométricas. Es por eso, que en este material se quiere dar estudio a cada uno de estos tres temas

de manera apropiada, a fin de que los estudiantes entiendas sus conceptos y el

desarrollo de algunos ejercicios básicos de los mismos.


Objetivos

Objetivo General

Realizar los diferentes ejercicios propuestos en los campos de funciones, trigonometría

e hipernometría que se dan en el trabajo colaborativo.

Objetivos Específicos

Comprender los principios, leyes y propiedades de las relaciones y las funciones además

de las operaciones que se pueden realizar entre ellas.

Abarcar en los conceptos de la trigonometría para que se tengas las bases sobre las

funciones trigonométricas que permitan resolver problemas basados en estas.

Estudiar las diferentes funciones de hipernometría para establecer las identidades

hipernométricas y llegar a resolver problemas basados en estos.


Ejercicios a desarrollar

1. Determine el dominio de la función 𝑓(𝑥) = 4𝑥2+4

2𝑥2+8

Para determinar el dominio 𝐷𝑓: debemos determinar que 2𝑥2 + 8 ≠ 0 ya que de lo

contrario nos daría una indeterminada.

2𝑥2 + 8 ≠ 0

2𝑥2 ≠ −8

𝑥2 ≠−8

2

𝑥2 ≠ −4

𝑥 ≠ √−4

Como no es posible sacar una raíz cuadrada a un número negativo, se puede concluir

que el dominio de la función es:

𝑹/ 𝑫𝒇: 𝒙 ∈ |𝑹

𝑹/ 𝑫𝒇: 𝒙 ∈ (−∝ ; +∝)


2. Determine el rango de la función 𝑓(𝑥) = 𝑥−1

2𝑥+3

𝑦 = 𝑥 − 1

2𝑥 + 3

(2𝑥 + 3)𝑦 = 𝑥 − 1

2𝑥𝑦 + 3𝑦 = 𝑥 − 1

2𝑥𝑦 − 𝑥 = −1 − 3𝑦

𝑥(2𝑦 − 1) = −1 − 3𝑦

𝑥 =−1 − 3𝑦

2𝑦 − 1

Para determinar el rango de la función debemos hallar 2𝑦 − 1 ≠ 0

2𝑦 − 1 ≠ 0

2𝑦 ≠ 1

𝑹/ 𝒚 ≠𝟏

𝟐

De esta forma concluimos que el rango de la función es:

𝑹/ 𝑹𝒇: 𝒙 ∈ |𝑹 − {𝟏

𝟐}

𝑹/ 𝑹𝒇: 𝒙 ∈ (−∝ ; 𝟏

𝟐) ∪ (

𝟏

𝟐 ; +∝)


3. Dadas las funciones 𝑓(𝑥) = 𝑥2 + 𝑥 − 6; 𝑔(𝑥) = 𝑥 − 2 determine

a) (𝑓 + 𝑔)(𝑥)

(𝑓 + 𝑔)(𝑥) = (𝑥2 + 𝑥 − 6) + (𝑥 − 2)

(𝑓 + 𝑔)(𝑥) = 𝑥2 + 𝑥 − 6 + 𝑥 − 2

𝑹/ (𝒇 + 𝒈)(𝒙) = 𝒙𝟐 + 𝟐𝒙 − 𝟖

b) (𝑓 − 𝑔)(𝑥)

(𝑓 − 𝑔)(𝑥) = (𝑥2 + 𝑥 − 6) − (𝑥 − 2)

(𝑓 − 𝑔)(𝑥) = 𝑥2 + 𝑥 − 6 − 𝑥 + 2

𝑹/ (𝒇 − 𝒈)(𝒙) = 𝒙𝟐 − 𝟒

c) (𝑔 − 𝑓)(𝑥)

(𝑔 − 𝑓)(𝑥) = (𝑥 − 2) − (𝑥2 + 𝑥 − 6)


(𝑓 − 𝑔)(𝑥) = 𝑥 − 2 − 𝑥2 − 𝑥 + 6

𝑹/ (𝒈 − 𝒇)(𝒙) = −𝒙𝟐 + 𝟒

d) ¿Cuándo (𝑓 − 𝑔)(𝑥) = (𝑔 − 𝑓)(𝑥)?

4. Dadas las funciones 𝑓(𝑥) = 𝑥2 + 4; 𝑔(𝑥) = √𝑥 − 3 determine

a) (𝑓 𝑜 𝑔)(𝑥)

(𝑓 𝑜 𝑔)(𝑥) = (√𝑥 − 3)2

+ 4 El radical se cancela con la elevación al cuadrado


(𝑓 𝑜 𝑔)(𝑥) = 𝑥 − 3 + 4

𝑹/ (𝒇 𝒐 𝒈)(𝒙) = 𝒙 + 𝟏

b) (𝑔 𝑜 𝑓)(𝑥)

(𝑔 𝑜 𝑓)(𝑥) = √𝑥2 + 4 − 3

𝑹/ (𝒈 𝒐 𝒇)(𝒙) = √𝒙𝟐 + 𝟏

c) (𝑓 𝑜 𝑔)(2)

(𝑓 𝑜 𝑔)(2) = (√2 − 3)2

+ 4 El radical se cancela con la elevación al cuadrado

(𝑓 𝑜 𝑔)(2) = 2 − 3 + 4

𝑹/ (𝒇 𝒐 𝒈)(𝟐) = 𝟑

d) (𝑔 𝑜 𝑓)(2)

(𝑔 𝑜 𝑓)(2) = √22 + 4 − 3

(𝑔 𝑜 𝑓)(2) = √4 + 4 − 3

𝑹/ (𝒈 𝒐 𝒇)(𝟐) = √𝟓 = 𝟐, 𝟐𝟑


5. Verifique la siguiente identidad trigonométrica

cos 𝑥

1 − sen 𝑥=

1 + sen 𝑥

cos 𝑥

cos 𝑥 (cos 𝑥

1 − sen 𝑥) = 1 + sen 𝑥

cos2 𝑥

1 − sen 𝑥= 1 + sen 𝑥

cos2 𝑥 = (1 + sen 𝑥)(1 − sen 𝑥)

cos2 𝑥 = 1 + sen 𝑥 − sen 𝑥 − sen2 𝑥

cos2 𝑥 = 1 − sen2 𝑥

𝑹/ 𝐜𝐨𝐬𝟐 𝒙 + 𝐬𝐞𝐧𝟐 𝒙 = 𝟏

Obtenemos una identidad trigonométrica, por lo cual queda demostrada la igualdad.


6. Demuestre la siguiente identidad, usando las definiciones de las diversas

identidades hiperbólicas fundamentales

sinh2 𝑥 (coth2 𝑥 − 1) = 1

senh2 𝑥 (cosh2 𝑥

senh2 𝑥− 1) = 1

senh2 𝑥 (cosh2 𝑥)

senh2 𝑥− senh2 𝑥 = 1

𝑹/ 𝐜𝐨𝐬𝐡𝟐 𝒙 − 𝐬𝐞𝐧𝐡𝟐 𝒙 = 𝟏

Obtenemos una identidad trigonométrica, por lo cual queda demostrada la igualdad.


7. Dos edificios están ubicados en el mismo plano horizontal, y separados por una

calle de 30 metros de ancho. Una persona ubicada en la azotea del edificio más

alto observa a una persona ubicada en la azotea del edificio más bajo con un

ángulo de depresión de 50°. Si el edificio más bajo mide 40 metros, ¿Cuánto mide

el edificio más alto?

𝑦 = 35,7526𝑚

𝐻 = 35,7526𝑚 + 40𝑚

𝑹/ 𝑯 = 𝟕𝟓, 𝟕𝟓𝟐𝟔𝒎

Respuesta: La altura del edificio más alto es de 75,75 metros.

8. Si el triángulo ABC tiene lados a= 90, b= 70 y c =40. Calcula los ángulos 𝛼, 𝛽, 𝛾

H

h = 40m

x = 30m

𝜃 = 50° x

y

𝐻 = 𝑦 + ℎ → 𝐻 = 𝑦 + 40𝑚

tan 𝜃 =𝑦

𝑥

tan 50° =𝑦

30

(tan 50°)30 = 𝑦

𝑦 = (1,19175) × 30


Ley de los cosenos 𝑎2 = 𝑏2 + 𝑐2 − 2𝑏𝑐(cos 𝛼) dice que en un triángulo, el cuadrado

de uno de sus lados es igual a la suma del cuadrado de los otros dos menos el doble del

producto de esos dos lados por el coseno del ángulo que forman.

Despejando cos 𝛼 = 𝑏2+𝑐2−𝑎2

2𝑏𝑐

Resolviendo el primer ángulo

cos 𝛼 = 702 + 402 − 902

2(70)(40)

cos 𝛼 = 4900 + 1600 − 8100

5600

cos 𝛼 = −1600

5600

𝛼 = cos−1(−0,2857)

𝑹/ 𝜶 = 𝟏𝟎𝟔, 𝟔𝟎𝟏 ≈ 𝟏𝟎𝟕°

Resolviendo el segundo ángulo

Despejando cos 𝛽 = 𝑎2+𝑐2−𝑏2

2𝑎𝑐

cos 𝛽 = 902 + 402 − 702

2(90)(40)

cos 𝛽 = 8100 + 1600 − 4900

7200

cos 𝛽 = 4800

7200

𝛽 = cos−1(0,6666)

𝑹/ 𝜷 = 𝟒𝟖, 𝟏𝟖𝟗𝟔 ≈ 𝟒𝟖°

Resolviendo el tercer ángulo

Despejando cos 𝛾 = 𝑎2+𝑏2−𝑐2

2𝑎𝑏


cos 𝛾 = 902 + 702 − 402

2(90)(70)

cos 𝛾 = 8100 + 4900 − 1600

12600

cos 𝛾 = 11400

12600

𝛾 = cos−1(0,9047)

𝑹/ 𝜸 = 𝟐𝟓, 𝟐𝟎𝟖𝟕 ≈ 𝟐𝟓°

Comprobando la sumatoria de los ángulos 𝛼 + 𝛽 + 𝛾 = 180°

𝑹/ 𝟏𝟎𝟕° + 𝟒𝟖° + 𝟐𝟓° = 𝟏𝟖𝟎°

9. Encuentre el valor de x que satisface la siguiente ecuación para ángulos entre

0° ≤ 𝑥 ≤ 360°

2 cos2 𝑥 + cos 𝑥 = 0

cos 𝑥 (2 cos 𝑥 + 1) = 0

cos 𝑥 = 0 2 cos 𝑥 + 1

cos 𝑥 = 0 cos 𝑥 = −1

2

Para satisfacer las ecuaciones cuando el cos 𝑥 = 0 y para cuando cos 𝑥 = −1

2 los ángulos

correspondientes serían

cos 𝑥 = 0

𝑹/ 𝟏

𝟐𝝅 = 𝟗𝟎°

𝑹/ 𝝅 +𝟏

𝟐𝝅 = 𝟐𝟕𝟎°

cos 𝑥 =1

2

𝑹/ 𝟐

𝟑𝝅 = 𝟏𝟐𝟎°

𝑹/ 𝝅 + 𝟏

𝟑𝝅 = 𝟐𝟒𝟎°


Conclusiones

En el anterior estudio, se a bordo de manera apropiada diferentes conceptos del algebra

lineal, la trigonometría y un nuevo tema que durante la educación básica secundaria tal

vez algunos no alcanzamos a contemplar como lo es la hipernometría

De esta manera se construyeron y resolvieron los ejercicios planteados con los

conceptos tal vez básicos pero eficientes, obtenidos sobre las funciones en establecer

sus características (dominio y rango) y algunas operaciones realizadas entre ellas.

Aparte de esto, también se entendieron las funciones trigonométricas y se dio desarrollo

a los ejercicios planteados con el uso de las mismas. Y en última instancia se planteó y

desarrollo la comprobación de una identidad hiperbólica como parte del estudio de la

hipernometría.


Bibliografía

Rondon Duran, J. E. (2009). Algebra, Trigonometría y Geometría Analítica - Modulo. Obtenido de

Algebra, Trigonometría y Geometría Analítica - Modulo:

http://campus04.unad.edu.co/campus04_20152/mod/lesson/view.php?id=1863

Unad. (s.f.). Obtenido de Unidad 2 Algebra, trigonometría y Geometría Análitica:

http://campus04.unad.edu.co/campus04_20152/mod/lesson/view.php?id=1864

Imágenes

http://www.quierodibujos.com/i/Bloque-de-apartamentos-para-colorear.jpg

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