aktivni filtri - leda.elfak.ni.ac.rsleda.elfak.ni.ac.rs/education/analogna...

Aktivni filtriAktivni filtri

Uvod

Prva značajna primena operacionih pojačavača ostvarena je u analognim računarima koji su korišćeni za simulaciju dinamičkih linearnih i nelinearnih sistema. Ovi sistemi mogu biti mehanički, termički, hemijski, kinetički i, naravno elektromehanički. Posle toga, operacioni pojačavači su našli široku primenu u aktivnim filtrima za komunikaciona i kontrolna kola. Pored operacionih pojačavača za realizaciju aktivnih filtara koriste se otpornici i Pored operacionih pojačavača za realizaciju aktivnih filtara koriste se otpornici i kondenzatori. Najvažnija prednost aktivnih filtara, koji predstavljaju savremeno alternativno rešenje klasičnim pasivnim RLC filtrima, je u tome što oni ne zahtevaju korišćenje induktivnosti. Mnogo je lakše napraviti 'skoro idealan' otpornik i kondenzator od 'idealnog' kalema.Pored toga, realizacija aktivnih filtara za veoma niske frekvencije je mnogo jednostavnija, s obzirom da ne zahteva glomazne kalemove. Značajna prednost je i u modularnom projektovanju aktivnih filtara, što značajno pojednostavljuje postupak projektovanja filtara višeg reda.

Uvod

Za projektovanje aktivnih filtara neophodno je, pre svega, postaviti uslove koje on mora da ispuni. Zadovoljavanje zadatih specifikacija vrši se izborom oblika prenosne funkcije (odnos izlaznog i ulaznog napona) filtra i određivanjem njenog reda. S obzirom da izračunati red filtra najčešće nije ceo broj, treba odabrati prvi veći ceo broj za red filtra koji će svakako dobro aproksimirati postavljene zahteve. Često se umesto prenosne funkcije filtra posmatra funkcija slabljenja (odnos ulaznog i umesto prenosne funkcije filtra posmatra funkcija slabljenja (odnos ulaznog i izlaznog napona) filtra, tj. recipročna vrednost prenosne funkcije. U nastavku ovog poglavlja biće više reči o problemima aproksimacije postavljenih zahteva.

Aproksimacije

Zahtevi koje treba da zadovolji prenosna funkcija, odnosno funkcija slabljenja filtra mogu se posmatrati sa više stanovišta. Naime, mogu se postaviti zahtevi koje treba da zadovolji moduo ili faza, odnosno grupno kašnjenje, ili istovremeno i moduo i faza prenosne funkcije filtra. Ovom prilikom više reči biće o uslovima koje treba da ispuni moduo prenosne funkcije odnosno funkcije slabljenja filtra.ispuni moduo prenosne funkcije odnosno funkcije slabljenja filtra.

Aproksimacije

Na slici je prikazan gabarit koji treba da zadovolji moduo funkcije slabljenja filtra

propusnika niskih frekvencija (NF filtra), a on je određen sledećim zahtevima:

• propusni frekvencijski opseg od 0 do ωP

(ωP

- granična frekvencija propusnog opsega)• nepropusni frekvencijski opseg od ω

Sdo ∞ (ω

S- granična frekv. nepropusnog

opsega)opsega)• širina prelazne zone od ω

Pdo ω

S

• maksimalno dozvoljeno slabljenje u propusnom opsegu Amax

• minimalno dozvoljeno slabljenje u nepropusnom opsegu Amin

Aproksimacije

Ukoliko se izvrši normalizacija (skaliranje) frekvencijske ose, drugim rečima, ako se frekvencija podeli sa graničnom frekvencijom propusnog opsega ω

P(Ω =ω/ω

P) dobija

se gabarit takozvanog prototipskog NF filtra koji je prikazan na slici:

Aproksimacije

Određenim frekvencijskim transformacijama željeni gabariti i ostalih filtara, tj. filtra

propusnika visokih frekvencija (VF filtra), filtra propusnika opsega frekvencija (PO filtra) ifiltra nepropusnika opsega frekvencija (NO filtra) mogu se svesti na gabarit prototipskog

NF filtra. Posle određivanja prenosne funkcije (funkcije slabljenja) prototipskog NF filtra koja ispunjava postavljene zahteve, odgovarajućim inverznim frekvencijskim transformacijama dobijaju se prenosne funkcije željenog filtra.Prenosna funkcija filtra u opštem slučaju može biti predstavljena racionalnom funkcijom Prenosna funkcija filtra u opštem slučaju može biti predstavljena racionalnom funkcijom čiji je red polinoma u brojiocu m manji ili jednak broju polinoma u imeniocu n (n je red filtra):

n

n

m

m

I

O

sasasa

sasasaa

sU

sUsH

+⋅⋅⋅+++

+⋅⋅⋅+++

==2

21

2

210

1)(

)()(

gde m nula polinoma u brojiocu prenosne funkcije predstavljaju nule prenosa (polove slabljenja), dok n nula polinoma u imeniocu prenosne funkcije predstavljaju polove prenosa (nule slabljenja).Sa povećanjem reda filtra n raste selektivnost filtra, odnosno filtar može zadovoljiti strožije zahteve (manje A

max, veće A

mini uža prelazna zona)

Aproksimacije

Da bi prenosna funkcija filtra mogla biti realno ostvarljiva polovi prenosa moraju ležati u levoj poluravni kompleksne s-ravni, uključujući tom prilikom i negativni deo realne ose, dok nule prenosa mogu biti bilo gde u kompleksnoj s-ravni, tj. u levoj i desnoj poluravni kao i na realnoj σ- i imaginarnoj jω-osi. Kompleksne nule i polovi javljaju se uvek u konjugovano kompleksnim parovima.Kako se sinteza svih filtara zasniva na sintezi prototipskog filtra propusnika niskih frekvencija to će sada biti nešto više reči o njima. Najprostiji oblik prenosne funkcije NF filtra je slučaj kada postoji samo polinom u imeniocu i konstanta u brojiocu, i takav filtar se filtra je slučaj kada postoji samo polinom u imeniocu i konstanta u brojiocu, i takav filtar se naziva polinomski filtar. Nešto složeniji oblik imaju filtri minimalne faze koji mogu imati nule prenosa samo na imaginarnoj jω-osi (na osi realnih frekvencija - s=jω). Prenosna funkcija propusnika niskih frekvencija polinomskih filtara može se predstaviti u sledećem obliku:

)(1

1)(

sKsH

nε+

=

a moduo prenosne funkcije se dobija posle smene i iznosi:)(1

1)()(

22ωε

ωω

nK

jHH+

==

gde je ε normalizaciona konstanta, a Kn(s), odnosno K

n(ω) karakteristična funkcija filtra.

Aproksimacije

Slabljenje filtra se obično izražava u dB i dato je izrazom:

[ ])(1log10)(

1log20)( 22

ωε

ω

ωαn

KH

+==

Ako se izvrši normalizacija frekvencijske ose graničnom frekvencijom propusnog opsega Ω=ω/ω

Ptada je normalizovana granična frekvencija propusnog opsega jednaka

jedinici, tj. ΩP

=ωP

/ωP=1.

Ako se i karakteristična funkcija normalizuje tako da je: ,1)(2 =ωK

Treba obratiti pažnju na to da kada je ε=1 slabljenje na granici propusnog opsega iznosi 3dB.

Ako se i karakteristična funkcija normalizuje tako da je: ,1)(2 =ωn

K

onda slabljenje na graničnoj frekvenciji iznosi: [ ]21log10)( εα +=Ωp

To znači da slabljenje na graničnoj frekvenciji određuje konstanta ε. Ako želimo da na granici propusnog opsega slabljenje iznosi A

max(dB) tada je:

110max

10

1

−=

A

ε

Aproksimacije

Uobičajeno je da se položaj polova definiše preko Q-faktora pola (Qp) i modula pola

(ωP), a ne preko realnog (σ

1) i imaginarnog dela (ω

1). Njihova zavisnost data je

sledećim izrazima:

2

1

2

1ωσω +=

p θσ

ω

cos2

1

21

==

p

pQ

gde je θ ugao koji poteg iz koordinatnog početka do pola zaklapa sa negativnim delom realne ose.Realni pol (leži na negativnom delu realne ose) ima θ=0 pa je njegov Q-faktor pola Q

P=1/2 , dok kompleksni polovi imaju veće vrednosti Q-faktora od 0.5 i njihova

vrednost je utoliko veća što su polovi bliži imaginarnoj osi. Naravno, kada bi moglo da se polovi nađu na imaginarnoj osi vrednost Q-faktora pola bila bi beskonačna.

Butterworth-ova aproksimacija

Butterworth-ova aproksimacija prototipskog filtra propusnika niskih frekvencija n-tog reda ima najprostiji oblik karakteristične funkcije, koji je dat izrazom:

n

nSSK =)(

Prenosna funkcija Butterworth-ove aproksimacije prototipskog NF filtra je:

SH =1

)(n

SSH

ε+

=

1

1)(

pa je kvadrat modula prenosne funkcije dat sa:n

jH22

2

1

1)(

Ω+=Ω

ε

Za Butterworth-ovu prenosnu funciju se kaže da ima maksimalno ravnu amplitudsku karakteristiku, jer ima (2n-1) izvod u koordinatnom početku (Ω=0) jednak nuli.Polovi prenosne funkcije se mogu dobiti tako što se u normalizovani izraz za kvadrat modula uvede smena Ω=S/j i odrede nule polinoma u imeniocu, odnosno nule jednačine oblika: 0)1(1 22

=−+nn

Sε

i dati su izrazom: nkn

nkjS

nk

2..,,1,12

2exp

11

=

−+=

π

ε


Od ukupno 2n rešenja koja se ovom prilikom dobijaju treba odabrati samo ona koja se nalaze u levoj poluravni. Znači polovi prenosne funkcije se nalaze u levoj poluravni na polukrugu čiji je poluprečnik 1/(ε1/n), a raspoređeni su pod uglovima jednakimOni se mogu predstaviti u sledećem obliku:

nkjSkkk

,...,2,1, =Ω±Σ−=

( )

( )

−+=Σ

n

nkk

2

12cos

π

gde je

n

π

nkjSkkk

,...,2,1, =Ω±Σ−=( )

−+=Ω

n

nkk

2

12sin

π

gde je

Prenosna funkcija se može napisati, korišćenjem izračunatih polova prenosne funkcije, u obliku:

( )∏=

−

=n

k

kSS

SH

1

1)(

gde se, naravno, (k=1,…,n) polova nalaze u levoj poluravni.


Međutim, potrebno je odrediti red filtra n koji će zadovoljiti zadati gabarit prototipskog filtra. Polazi se od izraza za slabljenje:

( )n221log10)( Ω+=Ω εα

Red filtra n određuje se postavljanjem uslova za slabljenje na granicama propusnog i nepropusnog opsega. Najpre, na graničnoj frekvenciji propusnog opsega slabljenje može biti maksimalno A

max, odnosnomože biti maksimalno A

max, odnosno

( )2max

1log10)( εα +==Ω Ap

Odavde se može izračunati:110

max

10

1

−=

A

ε

Na graničnoj frekvenciji nepropusnog opsega minimalno slabljenje može biti Amin

:

( )nss

A22

min1log10)( Ω+==Ω εα


Koristeći ova dva granična uslova određuje se potreban red filtra za zadovoljavanje postavljenih zahteva i on je dat izrazom:

s

A

A

n

Ω

−

−

=log2

110

110log

max

min

10

1

10

1

Izračunati red filtra n najčešće nije ceo broj te se on mora zaokružiti na prvi veći ceo broj, jer se time ostvaruju nešto strožiji zahtevi od postavljenih. Prenosna funkcija se sada može, za određeni red filtra n, napisati na osnovu izračunatih polova prenosa pomoću već izvedenog izraza za položaje polova u kompleksnoj S-ravni ili korišćenjem, u literaturi poznatih, tabela sa elementima prenosne funkcije za određeni red filtra. Tabela 1 predstavlja skup takvih elemenata za redove filtara n od 1 do 5.


Iz Tabele 1 se mogu, za dati red filtra, očitati odgovarajući polinomi u imeniocu prenosne funkcije normalizovanog odnosno prototipskog filtra:

n Imenilac H(S)

1 S+1

2 S2+1,41S+1

Tabela 1

3 (S2+S+1)(S+1)

4 (S2+0,76537S+1)(S2+1,84776S+1)

5 (S2+0,61803S+1)(S2+1,61803S+1)(S+1)

Denormalizacija prototipske prenosne funkcije Butterworth-ovog filtra vrši se smenom:

=

p

n

sSω

ε

1

Chebyshevljeva aproksimacija

Prenosna funkcija Chebyshevljeve aproksimacione funkcije NF filtra određena je karakterističnom funkcijom u obliku:

)()( Ω=Ωnn

CK

gde Cn(Ω) predstavlja Chebyshevljev polinom prve vrste, koji pripada klasi

ortogonalnih polinoma i može se predstaviti izrazom:

>ΩΩ

≤ΩΩ=Ω

−

−

1),coshcosh(

1),coscos()(

1

1

n

nC

n

Kvadrat modula prenosne funkcije je dat izrazom:

)(1

1)(

22

2

Ω+=Ω

nC

jHε


Polovi prenosne funkcije se mogu dobiti tako što se u normalizovani izraz za kvadrat modula uvede smena Ω=S/j i odrede nule polinoma u imeniocu, odnosno nule jednačine oblika:

0122 =

+

j

SC

nε

i dati su izrazom:i dati su izrazom:

nkjSkkk

2...,,1, =Ω+Σ=

+=Ω

+−=Σ

−

−

ε

π

ε

π

1sinh

1cosh

2

12cos

1sinh

1sinh

2

12sin

1

1

nn

k

nn

k

k

k

gde je:

Polove prenosne funkcije Chebyshevljevog filtra treba, iz ovog skupa rešenja, odabrati tako što se uzme n rešenja koja leže u levoj poluravni. Inače ona se nalaze na krivoj oblika elipse.


Red filtra n se, kao i u prethodnom slučaju određuje postavljanjem uslova za slabljenje na granicama propusnog i nepropusnog opsega. Najpre, na graničnoj frekvenciji propusnog opsega slabljenje može biti maksimalno A

max, odnosno:

( )2max

1log10)( εα +==Ω Ap

jer je Cn(1)=1 pa je i sada je:

110max

10

1

−=

A

ε

Na graničnoj frekvenciji nepropusnog opsega slabljenje može biti minimalno Amin

, odnosno:

[ ])(1log10)( 22

min snsCA Ω+==Ω εα

Koristeći ova dva granična uslova određuje se potreban red filtra za zadovoljavanje postavljenih zahteva i on je dat izrazom:

[ ][ ]1log

1log

2

2

−Ω+Ω

−+=

ss

ggn

p

ss

A

A

igω

ω

=Ω

−

−=

110

110

max1,0

min1,0

gde je:


Zaokruživanjem izračunate vrednosti za red filtra na prvi veći ceo broj, prenosna funkcija Chebyshevljevog NF prototipskog filtra se može napisati korišćenjem polinoma iz Tabele 2 za odgovarajući red filtra, koja se sastoji iz niza podtabela za različite vrednosti maksimalno-dozvoljenog slabljenja u propusnom opsegu A

max.

Ukoliko u Tabeli 2 ne postoji podtabela za željeno Amax

treba uzeti prvu podtabelu za A

maxkoje je nešto manje od željenog:

A =0,25dB Tabela 2

n Imenilac H(S)

Brojilac

H(S)

1 S+4,10811 4,10811

2 S2+1,79668S+2,11403 2,05403

3 (S2+0.76722S+1,33863)(S+0,76722) 1,02702

4 (S2+0,42504S+1,16195)(S2+1,02613S+0,45485) 0,51352

5 (S2+0,27005S+1,09543)(S2+0,70700S+0,53642)(S+0,45485) 0,25676

Amax

=0,25dB Tabela 2


Amax

=0,5dB

n Imenilac H(S)

Brojilac

H(S)

1 S+2,86278 2,86278

2 S2+1,42562S+1,51620 1,43138

3 (S2+0.62646S+1,14245)(S+0,62646) 0,71570

4 (S2+0,35071S+1,06352)(S2+0,84668S+0,35641) 0,35785

5 (S2+0,22393S+1,03578)(S2+0,58625S+0,47677)(S+0,36233) 0,178925 (S +0,22393S+1,03578)(S +0,58625S+0,47677)(S+0,36233) 0,17892

n Imenilac H(S)

Brojilac

H(S)

1 S+1,96523 1,96523

2 S2+1,09773S+1,10251 0,98261

3 (S2+0.49417S+0,99420)(S+0,49417) 0,49130

4 (S2+0,27907S+0,98650)(S2+0,67374S+0,27940) 0,24565

5 (S2+0,17892S+0,98831)(S2+0,46841S+0,42930)(S+0,28949) 0,12283

Amax

=1dB

Denormalizacija se izvodi smenom:p

sS

ω

=

Frekvencijske transformacije

Kao što je već rečeno, zahteve koji se postavljaju za pojedine tipove filtara treba najpre svesti na prototipski NF filtar, odrediti prenosnu funkciju prototipskog filtra, a zatim izvršiti inverznu transformaciju za dobijanje prenosne funkcije željenog filtra.filtra.

Frekvencijske transformacijeFiltar propusnik niskih frekvencija

U slučaju NF filtra vrši se samo normalizacija frekvencijske ose smenom:p

pω

ω=Ω

a dati gabarit se preslikava tako da je: 1==Ω

p

p

p

ω

ω

p

s

s

ω

ω

=Ω

Pošto se za dobijeni gabarit prototipskog NF filtra odredi odgovarajuća prenosna funkcija H(S), prenosna funkcija filtra propusnika niskih frekvencija se dobija smenom:

p

sS

ω

=

p

sSNF

SHsHω

=

= )()(

Frekvencijske transformacijeFiltar propusnik visokih frekvencija

U slučaju VF filtra najpre treba izvršiti frekvencijsku transformaciju tako da se zadati gabarit preslikava tako da je:

1=Ωp

s

p

s

ω

ω

=Ω

Pošto se za dobijeni gabarit prototipskog NF filtra odredi odgovarajuća prenosna funkcija H(S), prenosna funkcija filtra propusnika visokih frekvencija se dobija smenom:

sS

pω

=

sSVF pSHsH ω

=

= )()(

Frekvencijske transformacijeFiltar propusnik opsega frekvencija

U slučaju filtra propusnika opsega frekvencija najpre treba ispitati da li postoji geometrijska simetrija, tj. da li je ispunjen uslov da je proizvod graničnih frekvencija propusnog opsega jednak proizvodu graničnih frekvencija nepropusnog opsega:

4321

2

0ωωωωω ==

gde je ω0

centralna frekvencija propusnog opsega. Ukoliko ovaj uslov nije ispunjen moraju se izračunati nove vrednosti graničnih frekvencija nepropusnog opsega:

3

2

0'

4

4

2

0'

3

ω

ω

ω

ω

ω

ω == i

a zatim odabrati onu novu graničnu frekvenciju čijim se korišćenjem prelazna zona sužava, što predstavlja strožiji uslov od postavljenog.

Frekvencijske transformacijeFiltar propusnik opsega frekvencija

Zatim se frekvencijska transformacija vrši tako da se zadati gabarit preslikava u gabarit prototipskog NF filtra (podrazumeva se da, ako ne postoji geometrijska simetrija, treba uzeti odabranu novu vrednost jedne od graničnih frekvencija nepropusnog opsega) tako da je:

1=Ωp

12

34

ωω

ωω

−

−=Ω

s

Pošto se za dobijeni gabarit prototipskog NF filtra odredi odgovarajuća prenosna funkcija H(S), prenosna funkcija filtra propusnika opsega frekvencija se dobija smenom:

12

2

0

2

, ωω

ω

−=

⋅

+

= BsB

sS

sB

sSPO

SHsH

⋅

+

=

=2

0

2)()( ω

Frekvencijske transformacijeFiltar nepropusnik opsega frekvencija

U slučaju filtra nepropusnika opsega frekvencija, kao i u slučaju filtra propusnika opsega frekvencija, najpre treba ispitati da li je ispunjen uslov geometrijske simetrije, tj. da li je proizvod graničnih frekvencija propusnog opsega jednak proizvodu graničnih frekvencija nepropusnog opsega:

gde je ω centralna frekvencija nepropusnog opsega. Ukoliko ovaj uslov nije

4321

2

0ωωωωω ==

gde je ω0

centralna frekvencija nepropusnog opsega. Ukoliko ovaj uslov nije ispunjen moraju se izračunati nove vrednosti graničnih frekvencija nepropusnog opsega:

a zatim odabrati onu novu graničnu frekvenciju čijim se korišćenjem prelazna zona sužava, što predstavlja strožiji uslov od postavljenog. Zatim se frekvencijska transformacija vrši tako da se zadati gabarit preslikava u gabarit prototipskog NF filtra(ako nije ispunjen uslov geometrijske simetrije, treba uzeti odabranu novu vrednost jedne od graničnih frekvencija nepropusnog opsega) tako da je:

3

2

0'

4

4

2

0'

3

ω

ω

ω

ω

ω

ω == i

1=Ωp

34

12

ωω

ωω

−

−=Ω

s

Frekvencijske transformacijeFiltar nepropusnik opsega frekvencija

Pošto se za dobijeni gabarit prototipskog NF filtra odredi odgovarajuća prenosna funkcija H(S), prenosna funkcija filtra nepropusnika opsega frekvencija se dobija smenom:

122

0

2, ωω

ω

−=

+

⋅= B

s

sBS

2

0

2

)()(ω+

⋅=

=

s

sBSNO

SHsH

Osetljivost

Osetljivost predstavlja meru uticaja promena parametara filtra na karakteristike filtra, odnosno meru promene neke karakteristike filtra od nominalne vrednosti u zavisnosti od promene elemenata filtra .Prenosna funkcija bikvadratne sekcije se može dati u sledećem obliku:

ji

CRx ,∈

01

2 bsbs ++

=

22

01)(

p

p

p

sQ

s

bsbsKsH

ω

ω

++

++

=

Osetljivost modula i Q-faktora pola na promene

elemenata filtra (logaritamska osetljivost)

Logaritamska osetljivost parametra p=f(x) ( ) na element x ( )definiše se na sledeći način:

pp

Qp ,ω∈ ji

CRx ,∈

( )( ) x

p

p

x

x

pS

p

x

∂

∂

∂

∂==

ln

ln

U cilju bržeg određivanja osetljivosti za konkretne slučajeve potrebno je znati neke osnovne relacije koje će ovde biti date, a do kojih se može lako doći polazeći od prethodne definicije logaritamske osetljivosti.prethodne definicije logaritamske osetljivosti.

)argexp(,)arg(

.,

.,

,1

,0

arg

1

1

21

21

1

1

1

21

21

12121

pjppjekadaSpjSS

p

Sp

Stjpp

SpSpS

SStjSSS

SS

xCpjekadaS

constpjekadaS

p

x

p

x

p

x

n

i

i

n

i

p

xip

x

p

x

p

xpp

x

n

i

p

x

p

x

p

x

p

x

pp

x

p

x

p

x

p

x

p

x

in

i

i

n

i

⋅=⋅⋅+=

=∑

+

+=

=∏

+=

−=

⋅==

==

∑

∑

∑

=

=+

=

⋅

Multiparametarska osetljivost

Za male promene elementa x (∆x), za može se izračunati promena

parametra p (∆p), gde je , na sledeći način:

ji

CRx ,∈

pp

Qp ,ω∈ px

xSp

p

x⋅

∆⋅≅∆

U opštem slučaju kada se simultano menjaju svi elementi u kolu, korišćenjem Taylorovog razvoja u red dobija se:

∑∑==

⋅=∆⋅=

∆m

j

xj

p

x

m

j j

jp

xVS

x

xS

p

pjj

11

Osetljivost modula prenosne funkcije (polulogaritamska osetljivost)

Moduo prenosne funkcije filtra može se izraziti u dB na sledeći način:

( ) ( )[ ] ( )

+−−+−+=

2

2222

1

22

0log10log10log20)( ω

ω

ωωωωω

p

p

p

QbbKG

Osetljivost modula pola G(ω) na promene parametara x, gde jedefiniše se kao polulogaritamska osetljivost:

pp

QKx ,,ω∈

x

GxS

G

x

∂

ω∂ω

)()(⋅=

Osetljivost modula prenosne funkcije na promene

modula pola

Osetljivost modula prenosne funkcije na promene modula pola data je izrazom:

[ ]

( )

( )2

22

2

2

1

12

686.8

Ω+Ω−

Ω+Ω−

−=

p

pG

Q

QdBS

pω

pω

ω

=Ω - normalizovana frekvencija

Maksimumi osetljivosti modula prenosne funkcije na promene modula pola nastupaju pri frekvencijama koje su približno jednake:

pQ

pQ2

11±≅Ω

Što se osetljivosti tiče, najveći uticaj na osetljivost ima kritični par polova, tj. par polova sa maksimalnim Q-faktorom i on ima maksimalnu osetljivost modula pola na promene modula pola.


Q-faktora pola

Osetljivost modula prenosne funkcije na promene Q-faktora pola data je izrazom:

pω

ω

=Ω - normalizovana frekvencija[ ]

( )2

22

2

1

686,8

Ω+Ω−

Ω

=

p

pG

Q

Q

QdBS

p

Svoj maksimum funkcija osetljivosti modula prenosne funkcije na promene Q-faktora pola ima za Ω=1 i tom prilikom je, po apsolutnoj vrenosti, jednaka osetljivosti modula prenosne funkcije na promene modula pola:

pQ

1,686.8 =Ω== zadBSSGG

Qpp

ω


konstante K

Osetljivost modula prenosne funkcije na promene konstante K iznosi:

dBSG

K686,8=


elemenata filtra

Uticaj elemenata filtra na moduo prenosne funkcije može se izračunati korišćenjem multiparametarske osetljivosti. Razvojem u Taylorov red dobija se:

p

p

p

p

GQ

Q

GG ω

ω∂

∂

∂

∂∆⋅+∆⋅=∆

pod pretpostavkom da su promene ∆QP i ∆ωP male i da se mogu zanemariti izvodi višeg reda. Posle sređivanja poslednjeg izraza korišćenjem ranije izvedenih izraza za multiparametarske osetljivosti dobija se zavisnost promene modula prenosne funkcije (pojačanja) od promene elemenata filtra:

[ ]∑=

+=∆

m

j

xjx

G

xj

Q

x

G

Q VSSVSSGp

jp

p

jp

1

ω

ω

Na kraju se može zaključiti sledeće:

- Osetljivosti određuje topologija kola.- Član zavisi od relativne promene elemenata filtra.- Osetljivosti zavise od Q-faktora pola, odnosno od prenosne funkcije kojom se aproksimira zadati gabarit.

p

j

p

j x

Q

x SiSω

xjV

G

Q

G

p

SiSω

kojom se aproksimira zadati gabarit.

Prema tome, na promenu pojačanja usled promene elemenata u kolu utiču:- odabrana prenosna funkcija,- topologija kola i- tolerancije i stabilnost komponenata.

Realizacije aktivnih filtara

Realizacija aktivnih filtara izvodi se najčešće kaskadnim vezivanjem više bikvadratnih sekcija (sekcija drugog reda) i ukoliko je red filtra paran prenosna funkcija filtra u tom slučaju može biti predstavljena u sledećem obliku:

parnon

ss

asasasH

n

i pi

iii−

++

++

=∏=

,)(2

1 22

01

2

2

ω

ω

sQ

si

pi

pi

pi++

=1 22ω

Međutim, ukoliko je red filtra neparan, najvećem celom broju od n/2bikvadratnih sekcija treba vezati kaskadno još jednu sekciju prvog reda tako da prenosna funkcija u tom slučaju ima sledeći oblik:

[ ]neparnon

sQ

s

asasa

ssH

n

i

pi

pi

pi

iii−

++

++

+

= ∏=

,1

)(2

1 22

01

2

2

ω

ωσ

Realizacije aktivnih filtara

U prethodnim izrazima sa ωPi je označen moduo kompleksnih polova bikvadratnih sekcija (rastojanje kompleksnog pola od koordinatnog početka), dok je u izrazu (3) sa σ označen moduo realnog pola sekcije prvog reda (rastojanje pola koji se nalazi na negativnom delu realne ose od koordinatnog početka). U prethodnim izrazima sa aji, (j=0,1,2) su označeni koeficijenti polinoma u brojiocu prenosnih finkcija bikvadratnih sekcija koji određuju položaj nula prenosa (polova slabljenja) u bikvadratnih sekcija koji određuju položaj nula prenosa (polova slabljenja) u kompleksnoj s-ravni, a samim tim i vrstu filtra, o čemu će kasnije biti nešto više reči.

Prenosna funkcija sekcije prvog reda

Opšti oblik prenosne funkcije filtra prvog reda data je izrazom:σ+

+=

s

asasH

01)(

Na osi realnih frekvencija (s=jω) prenosna funkcija filtra ima oblik:σω

ω

ω

+

+=

j

aajjH 01)(

pa je moduo prenosne funkcije dat izrazom:( )

22

2

1

2

0)()(

ωσ

ω

ωω

+

+

==

aajHH

ωσ +

dok je faza data izrazom: σ

ωωωωϕ arctanarctan)(arg)(

0

1−==

a

ajH

Grupno kašnjenje filtra je definisano na sledeći način:

22

0

1

0

1

1

1

1

)()(

+

+

+

=−=

σ

ω

σ

ω

ω

ωϕωτ

a

a

a

a

d

d

Prenosna funkcija sekcije prvog reda

Navedenom prenosnom funkcijom moguće je realizovati filtre prvog reda propusnike niskih i visokih frekvencija i filtar propusnik svih frekvencija (fazni korektor). Kada je a1=0 i a0=σ dobija se prenosna funkcija filtra propusnika niskih frekvencija sa jediničnim pojačanjem u propusnom opsegu:

σ

σ

+

=

ssH )(

U slučaju a1=1 i a0=0 dobija se prenosna funkcija filtra propusnika visokih frekvencija sa jediničnim pojačanjem u propusnom opsegu:

σ+

=

s

ssH )(

Fazni korektor prvog reda dobija se kada je a1=1 i a0=-σ :σ

σ

+

−=

s

ssH )(

Prenosna funkcija sekcije drugog reda(bikvadratne sekcije)

Opšti oblik prenosne funkcije filtra drugog reda dat je sledećim izrazom:

22

01

2

2)(

p

p

p

sQ

s

asasasH

ω

ω

++

++=

Na osi realnih frekvencija (s=jω) prenosna funkcija filtra ima oblik:Na osi realnih frekvencija (s=jω) prenosna funkcija filtra ima oblik:

( )

( )p

p

p

Qj

ajaajH

ω

ωωω

ωω

ω

+−

+−

=

22

1

2

20)(

pa je moduo prenosne funkcije dat izrazom:

( ) ( )

( )2

222

2

1

22

20)()(

+−

+−==

p

p

p

Q

aaajHH

ω

ωωω

ωω

ωω


dok je faza data izrazom:

Grupno kašnjenje filtra je po definiciji:

222

20

1 arctanarctan)(ωω

ωω

ω

ωωϕ

−

−

−

=

p

p

p

Q

aa

a

ω

ωϕωτ

d

d )()( −=

U zavisnosti od reda i položaja nula polinoma u brojiocu, datom prenosnom funkcijom moguće je ostvariti filtar propusnik niskih, propusnik visokih ili propusnik opsega frekvencija, odnosno filtar nepropusnik opsega frekvencija. U specijalnom slučaju, kada je a2=a1=0 i a0=ωP

2 dobija se prenosna funkcija filtra propusnika niskih frekvencija sa jediničnim pojačanjem u propusnom opsegu, koja ima dva pola, a nema konačne nule prenosa:

22

2

)(

p

p

p

p

NF

sQ

s

sH

ω

ω

ω

++

=


Za a1=a0=0 i a2=1 dobija se prenosna funkcija filtra propusnika visokih frekvencija sa jediničnim pojačanjem u propusnom opsegu, koja ima dva pola i dve nule prenosa u koordinatnom početku:

22

2

)(

p

p

VF

ss

ssH

ω

ω

++

=

Kada je a2=a0=0 i a1=-ωP/QP dobija se prenosna funkcija filtra propusnika opsega frekvencija sa jediničnim pojačanjem u propusnom opsegu, koja ima dva pola i jednu nulu prenosa u koordinatnom početku:

p

p

sQ

s ω++

22

)(

p

p

p

p

p

PO

sQ

s

sQ

sH

ω

ω

ω

++

=


U slučaju a2=1, a1=0 i a0=ωn2 dobija se prenosna funkcija filtra nepropusnika opsega

frekvencija sa jediničnim pojačanjem u nepropusnom opsegu, koja ima dva pola i dve kompleksne nule prenosa na imaginarnoj osi:

22

22

)(

p

p

p

nNO

sQ

s

ssH

ω

ω

ω

++

+

=

I na kraju, kada je a2=1, a1=ωP/QP i a0=ωP2 dobija se prenosna funkcija faznog

korektora, tj filtra propusnika svih frekvencija sa jediničnim pojačanjem, koja ima dva pola, naravno u levoj, i dve nule u desnoj poluravni kompleksne ravni (polovi i nule su simetrično raspoređeni u odnosu na imaginarnu osu):

22

22

)(

p

p

p

p

p

p

FK

sQ

s

sQ

s

sH

ω

ω

ω

ω

++

+−

=

Parametri QP, ωP, a0, a1 i a2 su funkcije elemenata u električnoj šemi filtra koja je odabrana za praktičnu realizaciju ove prenosne funkcije.

Realizacija filtara prvog reda

Osnovna šema kojom je moguće realizovati prenosne funkcije prvog reda prikazana je na slici:

Izborom ulaznog kraja i impedansi u kolu moguće je realizovati filtre propusnike niskih i visokih frekvencija prvog reda. Izlazni napon je u opšem slučaju dat sledećim izrazom:

1

1

2

2

1

21

ii

BA

B

oU

Z

ZU

ZZ

Z

Z

ZU −

+

+=


Ukoliko se koristi neinvertujući ulaz (Ui1=0) i ako su impedanse Z1 i Z2 omske otpornosti prenosna funkcija kola data je sa:

BA

B

BA

B

i

o

ZZ

ZK

ZZ

Z

Z

Z

U

UsH

+=

+

+==

1

2

2

1)(

a kada se koristi invertujući ulaz prenosna funkcija je:

1

2

1

)(Z

Z

U

UsH

i

o−==


Filtar propusnik niskih frekvencija je moguće realizovati sa neinvertujućim

pojačavačem ukoliko se odaberu sledeće impedanse u kolu:Z1=R1, Z2=R2, ZA=R i ZB=1/(sC), i tada je prenosna funkcija:

σ

σ

+

=

+

=

sK

s

RCKsH

1

1

)(

dok se invertujućim pojačavačem sa uzemljenim neinvertujućim ulazom biraju: Z1=R1, a za Z2 paralelna veza otpornika R2 i kondenzatora C2 što će dati prenosnu funkciju:

σ++

s

RCs

1

σ

σ

+

−=

+

−=

sH

CRs

CR

R

RsH

0

22

22

1

2

1

1

)(


Filtar propusnik visokih frekvencija je moguće realizovati sa neinvertujućim

pojačavačem ukoliko se odaberu sledeće impedanse u kolu:Z1=R1, Z2=R2, ZA==1/(sC) i ZB=R i tada je prenosna funkcija:

σ+

=

+

=

s

sK

RCs

sKsH

1)(

dok se invertujućim pojačavačem sa uzemljenim neinvertujući ulazom biraju za Z1

redna veza otpornika R1 i kondenzatora C1 i Z2=R2 što će dati prenosnu funkciju:

RC

σ+

−=

+

−=

s

sH

CRs

s

R

RsH

0

11

1

2

1)(


Filtar propusnik svih frekvencija je moguće realizovati ukoliko se na oba ulazna kraja dovede isti ulazni signal i odaberu sledeće impedanse u kolu Z1=R, Z2=R, ZA=1/(sC) i ZB=R i tada je prenosna funkcija:

−s1

σ

σ

+

−=

+

−

=

s

s

RCs

RCs

sH1

1

)(

Realizacija filtra drugog reda (bikvadratna sekcija)

Poznato je više različitih realizacija filtara drugog reda, ovde će biti reči o nekima.Na slici je prikazana opšta šema bikvadratne sekcije sa višestrukom povratnom

spregom:

Ako je operacioni pojačavač, kao i u prethodnim primerima, idealni sa beskonačnim pojačanjem, njegov invertujući ulaz je na potencijalu virtualne mase, tj. napon u

3jednak je nuli, pa se mogu pisati sledeće jednačine za ovo kolo:

( ) ( ) ( ) 0024232121=−+++− UUYUYYUUY

00523=−− UYUY


Rešavanjem ovog sistema jednačina dobija se prenosna funkcija filtra sa slike:

Izborom admitansi u kolu mogu se realizovati pojedini tipovi filtara.

( )4354321

31)(YYYYYYY

YYsH

++++

−=

Izborom admitansi u kolu mogu se realizovati pojedini tipovi filtara.Šema bikvadratne sekcije sa neinvertujućim pojačavačem čije je pojačanje K=1+R2/R1 (uvek veće ili jednako jedinici) prikazana je na slici:


Za ovo kolo se, na sličan način kao u prethodnom slučaju, mogu napisati sledeće jednačine:

( ) ( ) ( ) 032423022121=−++−+− UUYUYUUYUUY

( ) 035234=+− UYUUY

KUU =

.

Rešavanjem ovog sistema jednačina dobija se prenosna funkcija filtra u obliku:

30KUU =

( ) ( )[ ]KYYYYYYYYY

YKY

U

UsH

−++++++

==

1)(

231443215

41

1

0

kada se izabere Y3=0 izraz postaje:( ) ( )KYYYYYYYY

YKYsH

−++++

=

1)(

42414215

41

Naravno, kada je pojačanje neinvertujućeg pojačavača jednako jedinici (K=1) izraz se još više pojednostavljuje.


Filtar propusnik niskih frekvencija realizovan bikvadratnom sekcijom sa višestrukom

povratnom spregom prikazan je na slici:.

Prenosna funkcija se može predstaviti izrazom:

22

2

0

52434312

2

5231

1

0

11111

1

)(pp

p

ss

H

CCRRRRRCss

CCRR

U

UsH

ωξω

ω

++

−=

+

+++

−

==

gde je sa ξ označena recipročna vrednost Q-faktora pola ξ =1

Qp


Iz prethodnog izraza mogu se odrediti izrazi za moduo pola, recipročne vrednosti Q-faktora pola i pojačanja u propusnom opsegu i oni su dati na sledeći način:

5243

1

CCRRp=ω

++=

1

43

3

4

4

3

2

5

R

RR

R

R

R

R

C

Cξ

1

4

0

R

RH =

S obzirom da u kolu postoji više elemenata nego što je postavljenih uslova to se određeni broj elemenata može usvojiti. Jedan od načina za to je sledeći:

( )2

0

25

14,,

ξ

+>==

HpjegdepCCCC

Preostali nepoznati elementi se u tom slučaju mogu odrediti iz sledećih relacija:

( )

+−±=

2

0

4

1411

2 ξω

ξ

p

H

CR

p 0

4

1

H

RR =

4

223

1

RCpR

pω

=


Filtar propusnik niskih frekvencija realizovan bikvadratnom sekcijom sa neinvertujućim pojačavačem prikazan je na slici:

Prenosna funkcija se može predstaviti izrazom:

22

2

0

524342421

2

5241

1

0

1111)(

pp

p

ss

H

CCRRRCRCRss

CCRR

K

U

UsH

ωξω

ω

++=

+

+++

==


Iz prethodnog izraza mogu se odrediti izrazi za moduo pola, recipročne vrednosti Q-faktora pola i pojačanja u propusnom opsegu i oni su dati na sledeći način:

5241

1

CCRRp=ω ( )

54

21

24

51

21

541

CR

CRK

CR

CR

CR

CR−++=ξ KH =

0

Jedan od načina za realizaciju ovog filtra je sledeći:

2,052

>=== KHCCC

Preostali nepoznati elementi se u tom slučaju mogu odrediti iz sledećih relacija:

( )

−++=

2

0

4

2411

2 ξω

ξ H

CR

p

2

4

21

1

CRR

pω

=


Filtar propusnik visokih frekvencija realizovan bikvadratnom sekcijom sa višestrukom povratnom spregom prikazan je na slici:

Prenosna funkcija filtra data je izrazom:

22

2

0

43523443

1

5

2

4

12

1111)(

ppss

sH

CCRRCCCC

C

Rss

C

Cs

sHωξω ++

−=

+

+++

−

=


Iz prethodnog izraza mogu se odrediti izrazi za moduo pola, recipročne vrednosti Q-faktora pola i pojačanja u propusnom opsegu i oni su dati sledećim izrazima:

4352

1

CCRRp=ω

++=

3

4

4

3

43

1

5

2

C

C

C

C

CC

C

R

Rξ

4

1

0

C

CH =

a ostali nepoznati elementi su dati izrazima:

Jedan od načina proračuna filtra je izborom: CCC ==31

( )121

05+= H

CR

pξω ( )12

0

0

2

+

=

HC

HR

pω

ξ

0

1

4

H

CC =


Filtar propusnik visokih frekvencija realizovan bikvadratnom sekcijom sa neinvertujućim pojačavačem prikazan je na slici:

Prenosna funkcija filtra data je sledećim izrazom:

22

2

0

4152154542

2

2

1111)(

ppss

sH

CCRRCRCRCR

Kss

KssH

ωξω ++=

+

++

−+

=


Iz prethodnog izraza mogu se odrediti izrazi za moduo pola, recipročne vrednosti Q-faktora pola i pojačanja u propusnom opsegu i oni su dati sledećim izrazima:

ω pR R C C

=

1

2 5 1 4

( )ξ = + + −R C

R C

R C

R CK

R C

R C

2 1

5 4

2 4

5 1

5 4

1 1

1 H K0=

Jedan od načina proračuna filtra je ukoliko se izvrši usvajanje:

CCC +=41

RRR ==52

i tada je: ξ−= 3KC

R

pω

1=


Filtar propusnik opsega frekvencija realizovan bikvadratnom sekcijom sa višestrukom povratnom spregom prikazan je na slici:

Prenosna funkcija filtra propusnika opsega sa slike može se napisati u sledećem obliku:

22

0

21435435

2

41

111111

1

)(pp

p

ss

sH

RRCCRCCRss

CRs

sHωξω

ξω

++

−=

++

++

−

=


Iz prethodnog izraza mogu se odrediti moduo pola, recipročne vrednosti Q-faktora pola i pojačanje u propusnom opsegu i oni su dati u sledećem obliku:

+=

21435

111

RRCCRp

ω

+

+

=3

4

4

3

21

5

11

1

C

C

C

C

RRR

ξ

+

=

3

4

5

1

0

1

1

C

C

R

R

H

21RR

Ukoliko se usvoji: CCC ==43

preostali nepoznati elementi se mogu odrediti iz sledećih izraza:

CH

QR

p

p

ω0

1=

( ) CHQ

QR

pp

p

ω0

22

2 −

=

C

QR

p

p

ω

2

5=


Filtar propusnik opsega frekvencija realizovan bikvadratnom sekcijom sa neinvertujućim pojačavačem prikazan je na slici:

Prenosna funkcija ovog filtra može se napisati u obliku:

22

0

215455251424155

2

41

11111111

1

)(pp

p

ss

sH

RRCCRCR

K

CRCRCRCRss

CRsK

sHωξω

ξω

++=

++

−+++++

=


Iz ovog izraza mogu se odrediti moduo pola, recipročne vrednosti Q-faktora pola i pojačanja u propusnom opsegu i oni su dati sledećim izrazima:

ω pR C C R R

= +

1 1 1

5 4 5 1 2

ξ = =+

+ +−

+ +

1

1 1

1 1 1 1 15

1 2

4

5 1 5 2

5

4 1 2Q

R

R R

C

C R R

K

R

C

C R Rp

Ukoliko se usvoji:

( )H

K

R

R

C

CR

R

K R

R

0

1

5

5

4

1

2

1

2

1

1

1=

+ +

+

+−

CCC ==21

RRRR ===321

preostali nepoznati elementi se mogu odrediti koristeći sledeće izraze:

KQ

p

= −52

RC

p

=

2

ωH Q p0

5

21= −

Realizacija filtra drugog reda (Univerzalna bikvadratna sekcija)

Na slici je prikazana bikvadratna sekcija kojom se realizuju prenosne funkcije filtara propusnika niskih, propusnik visokih i propusnik opsega frekvencija, koja je realizovana sa tri operaciona pojačavača:


Prenosne funkcije za pojedine izlazne krajeve mogu se napisati u sledećem obliku:

4

3

5

6

2121

,)(

1

11

)(

)()( NF

NFsD

R

R

R

R

CCRR

sU

sUsH

+

+

==

22

21215

6

3

4

5

6

11

2

1

1

1

11

)(

)()(

ppssCCRRR

R

R

R

R

R

CRsssDjegde

sDsU

ωξω ++=+

+

+

+=

)(

1

11

)(

)()( 4

3

5

6

11

1sD

R

R

R

R

CRs

sU

sUsH

PO

PO

+

+

−

==

)(

1

1

)(

)()( 4

3

5

6

2

1sD

R

R

R

R

s

sU

sUsH

VF

VF

+

+

==


Moduo pola univerzalne sekcije drugog reda data je izrazom:21521

6

CCRRR

R

p=ω

dok je koeficijent prigušenja (recipročna vrednost Q-faktora pola):

2255

61

1 CRR

R

R

R+

==ξ

Ukoliko se usvoji: RRRRiCCC =====65321

dobija se:

21

1

RRCp=ω

1

2

41

21

R

R

R

RQp +

==ξ

Jedan od načina projektovanja filtra je sledeći:

CRR

pω

1

21==

−= 1

2

4

ξRR

116

3

41

CRR

R

RQp +

==ξ

PITANJA

1. Napisati ili izvesti izraz za određivanje reda filtra sa maksimalno ravnom karakteristikom koja zadovoljava

zadati gabarit (Amax, Amin, ωp, ωs).

2. Napisati ili izvesti izraz za određivanje Chebyshev-ljevog filtra koja zadovoljava zadovoljava zadati gabarit

(Amax, Amin, ωp, ωs).

3. Objasniti način transformacije filtra propusnika niskih frekvencija u gabarit prototipskog NF filtra.

4. Objasniti način transformacije filtra propusnika visokih frekvencija u gabarit prototipskog NF filtra.

5. Objasniti način transformacije filtra propusnika opsega frekvencija u gabarit prototipskog NF filtra.

6. Napisati izraz za logaritamsku osetljivost i navesti veličine na koje se osetljivost odnosi i parametre koji utiču 6. Napisati izraz za logaritamsku osetljivost i navesti veličine na koje se osetljivost odnosi i parametre koji utiču

na osetljivost.

7. Napisati izraz za polulogaritamsku osetljivost i navesti veličine na koje se osetljivost odnosi i parametre koji

utiču na osetljivost.

8. Nacrtati šemu za realizaciju aktivnog NF filtra drugog reda.

9. Nacrtati šemu za realizaciju aktivnog VF filtra drugog reda.

10. Nacrtati šemu za realizaciju aktivnog filtra propusnika opsega frekvencija drugog reda.

aktivni filtri - leda.elfak.ni.ac.rsleda.elfak.ni.ac.rs/education/analogna...

Documents