acciones básicas de control y respuestas de los sistemas
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ACCIONES BÁSICAS DE CONTROL Y RESPUESTAS DE LOS SISTEMAS
Tomado de:
OGATA, Katsuhiko. INGENIERIA DE CONTROL MODERNA. 3ed.MÉXICO: PEARSON
EDUCACION, 1998.
INTRODUCCIÓN
Un controlador automático compara el valor real de la salida de una planta con la entrada
de referencia (el valor deseado), determina la desviación y produce una señal de control
que reducirá la desviación a cero o a un valor pequeño. La manera en la cual el
controlador automático produce la señal de control se denomina acción de control.
En este artículo se hará un pequeño recorrido, describiendo en primer lugar los
controladores industriales, para luego pasar a hablar de las acciones básicas de control,
mostrando características esenciales como su función de transferencia y respuestas ante
distintas entradas. Posteriormente se hablara del efecto de los sensores sobre el
desempeño de los sistemas. Por último se hará una revisión detallada de los efectos de
las distintas acciones de control sobre el desempeño de los sistemas.
CONTROLADORES INDUSTRIALES
Antes de empezar a describir las acciones de control, se hace necesario presentar una
clasificación de los controladores analógicos industriales y una descripción de sus
componentes principales. En la siguiente lista, han sido clasificados de acuerdo a la acción
de control que los rige:
1. De dos posiciones de encendido y apagado (control on/off)
2. Proporcionales
3. Integrales
4. Proporcionales-integrales (control PI)
5. Proporcionales-derivativos (control PD)
6. Proporcionales-integrales-derivativos (control PID)
En su mayoría, los controladores industriales se alimentan de electricidad, en otros casos
usan la energía de fluidos presurizados como aceite o aire. Por ello, los controladores
industriales también pueden clasificarse de acuerdo al tipo de energía que usan para
operar, como neumáticos, hidráulicos o electrónicos. El tipo de controlador que se use,
debe seleccionarse con base en la naturaleza de la planta y las condiciones
operacionales, incluyendo consideraciones tales como seguridad, costo, disponibilidad,
confiabilidad, precisión, peso y tamaño.
Principalmente, un controlador industrial está conformado por 3 elementos, un
controlador automático, un actuador y sensor (elemento de medición).La figura 1,
presenta el diagrama de bloques de un control industrial, en cual se pueden apreciar los
elementos ya mencionados, además de la planta, que es en si el sistema a controlar. El
controlador calcula una señal de error, comparando la entrada de referencia (set-point)
con la señal proveniente del sensor. Por lo general, dicha señal de error está a un nivel de
potencia muy bajo, por lo que el controlador la amplifica a un nivel suficientemente alto. La
salida del controlador se alimenta a un actuador tal como un motor o una válvula
neumática, un motor hidráulico, o un motor eléctrico. El actuador es un dispositivo de
potencia que produce la entrada para la planta de acuerdo con la señal, a fin de que la
señal de salida se aproxime a la señal de entrada de referencia (set-point). Por último, el
sensor, o elemento de medición, es un dispositivo que convierte la variable de salida en
otra variable manejable, tal como un desplazamiento, una presión, o un voltaje, que pueda
usarse para comparar la salida con la señal de entrada de referencia. Este elemento está
en la trayectoria de realimentación del sistema en lazo cerrado. El punto de ajuste del
controlador debe convertirse en una entrada de referencia con las mismas unidades que la
señal de realimentación del sensor o del elemento de medición, para que el controlador
pueda compararlos en el punto de suma.
Figura 1. Diagrama de bloques de un control industrial.
Controladores autooperados
En la mayor parte de los controladores automáticos industriales, se usan unidades
separadas para el elemento de medición y el actuador. Sin embargo, existen los
controladores autooperados, que son controladores automáticos muy sencillos, que
integran actuador y sensor en una sola unidad. Los controladores autooperados utilizan la
potencia desarrollada por el elemento de medición, son muy sencillos y poco costosos. En
la figura 2, se muestra una válvula reductora de presión, un ejemplo de un controlador
autooperado. El punto de ajuste lo determina la modificación de la fuerza del resorte, el
diafragma mide la presión controlada, la señal de error es la fuerza neta que actúa sobre
el diafragma y su posición determina la apertura de la válvula.
Figura 2. Controlador autooperado.
El controlador autooperado funciona de la siguiente forma: 1. Cuando la presión de salida
es más baja que la presión de referencia, determinada por el punto de ajuste, la fuerza de
tensión hacia abajo es mayor que la fuerza de presión hacia arriba, lo cual produce un
movimiento hacia abajo del diafragma. Esto aumenta la velocidad de flujo y eleva la
presión de salida. 2. Cuando la fuerza de presión hacia arriba es igual a la fuerza
detensión hacia abajo, el vástago de la válvula permanece estacionario y el de flujo es
constante.3. Cuando la presión de salida es más alta que la presión de referencia,
laapertura de la válvula se hace más pequeña y reduce el flujo que pasa a través de ella.
Loscontroladores autooperados se usan mucho en el control de la presión del agua y el
gas.
Punto de ajuste
Vástago de la válvula
Diafragma
ACCIONES BÁSICAS DE CONTROL
Siguiendo el orden la clasificación presentada anteriormente, se presentará una
descripción de cada una de las acciones básicas de control.
Acción de control de dos posiciones o de encendido y apagado (on/off)
En un sistema de control de dos posiciones, el elemento de actuación solo tiene dos
posiciones fijas, que en muchos casos, son simplemente encendido y apagado. El control
de dos posiciones o de encendido y apagado es relativamente simple y barato, razón por
la cual su uso es extendido en sistemas de control tanto industriales como domésticos.
Suponiendo que la señal de salida del controlador es 𝑢(𝑡) y que la señal de error es 𝑒(𝑡).
Figura 3. Control de dos posiciones.
En el control de dos posiciones, la señal 𝑢(𝑡)permanece en un valor ya sea máximo o
mínimo, dependiendo de si la señal de error es positiva o negativa. De este modo,
𝑢(𝑡) = 𝑈1, para 𝑒(𝑡) > 0
𝑢(𝑡) = 𝑈2, para 𝑒(𝑡) < 0
En donde 𝑈1 y 𝑈2 son constantes. Por lo general, el valor mínimo de 𝑈2 es cero o −𝑈1. Es
común que los controladores de dos posiciones sean dispositivos eléctricos, en cuyo caso
se usa extensamente una válvula eléctrica operada por solenoides. Los controladores
neumáticos proporcionales con ganancias muy altas funcionan como controladores de dos
posiciones y, en ocasiones, se denominan controladores neumáticos de dos posiciones.
El rango en el que debe moverse la señal de error antes de que ocurra la conmutación se
denomina brecha diferencial (ver figura 4). Tal brecha provoca que la salida del
controlador 𝑢(𝑡) conserve su valor presente hasta que la señal de error se haya
desplazado ligeramente más allá de cero. En algunos casos, la brecha diferencial es el
resultado de una fricción no intencionada, de un movimiento perdido o de una inercia
térmica como en controles de temperatura; sin embargo, con frecuencia se provoca de
manera intencional para disminuir la frecuencia de funcionamiento del mecanismo de
encendido y apagado.
Figura 4. Control de dos posiciones con brecha diferencial.
Considere el sistema de control del nivel de líquido de la figura5(a), en donde se usa la
válvula electromagnética de la figura 5(b) para controlar el flujo de entrada. Esta válvula
está abierta o cerrada. Con este control de dos posiciones, el flujo de entrada del agua es
una constante positiva o cero.
Figura 5. (a) Sistema del control del nivel de líquido; (b) válvula electromagnética.
Como se aprecia en la figura 6, la señal de salida se mueve continuamente entre los dos
límites requeridos y provoca que el actuador se mueva de una posición fija a la otra.
Observe que la curva de salida sigue una de las dos curvas exponenciales, una de las
cuales corresponde a la curva de llenado y la otra a la curva de vaciado. Tal oscilación de
salida entre dos límites es una respuesta común característica de un sistema bajo un
control de dos posiciones.
𝑞𝑖
Flotador
𝐶 ℎ
𝑅
115 v
(a) (b)
Núcleo móvil de acero
Alambre magnético
Figura 6. Nivel ℎ(𝑡) contra 𝑡 para el sistema de la figura 5(a).
Observamos que, para reducir la amplitud de la oscilación de salida, debe disminuirse la
brecha diferencial. Sin embargo, la reducción de la brecha diferencial aumenta la cantidad
de conmutaciones de encendido y apagado por minuto y reduce la vida útil del
componente. La magnitud de la brecha diferencial debe determinarse a partir de
consideraciones tales como la precisión requerida y la vida del componente.
Acción de control proporcional
Cualquiera que sea el mecanismo real y la forma de la potencia de operación, el
controlador proporcional, es en esencia, un amplificador con una ganancia ajustable
(ver figura 7).
Figura 7. Diagrama de bloques de un control proporcional.
Para un controlador con acción de control proporcional, la relación entre la salida del
controlador 𝑢(𝑡) y la señal de error 𝑒(𝑡) es:
𝑢(𝑡) = 𝐾𝑝𝑒(𝑡)
o bien, en cantidades transformadas por el método de Laplace,
𝑈(𝑠)
𝐸(𝑠)= 𝐾𝑝
en donde 𝐾𝑝es la ganancia proporcional.
Acción de control integral
En un controlador con acción de control integral, el valor de la salida del controlador 𝑢(𝑡)
se cambia a una razón proporcional a la señal de error 𝑒(𝑡). Es decir,
𝑑𝑢(𝑡)
𝑑𝑡= 𝑘𝑖𝑒(𝑡)
O bien
𝑢(𝑡) = 𝐾𝑖 ∫ 𝑒(𝑡)𝑑𝑡𝑡
0
Luego, la transformada de Laplace permite encontrar la función de transferencia
𝑈(𝑠)
𝐸(𝑠)=
𝐾𝑖
𝑠
En donde 𝐾𝑖 es una constante ajustable. Si se duplica el valor de 𝑒(𝑡), el valor de 𝑢(𝑡)
varía dos veces más rápido, pero para un error decero, el valor de 𝑢(𝑡) permanece
estacionario. En ocasiones, la acción de control integral sedenomina control de reajuste
(reset). A continuación se muestra su diagrama de bloques.
Figura 8. Diagrama de bloques de un control integral.
Acción de control proporcional-integral (PI)
La acción de control de un controlador proporcional-integral (PI) se define mediante
𝑢(𝑡) = 𝑘𝑝𝑒(𝑡) +𝐾𝑝
𝑇𝑖∫ 𝑒(𝑡)𝑑𝑡
𝑡
0
Donde la función de transferencia del controlador es
𝑈(𝑠)
𝐸(𝑠)= 𝐾𝑝 (1 +
1
𝑇𝑖𝑠)
en donde 𝐾𝑖, es la ganancia proporcional y 𝑇𝑖 se denomina tiempo integral. Tanto 𝐾𝑝 como
𝑇𝑖 son ajustables. El tiempo integral ajusta la acción de control integral, mientras que un
cambio en el valor de 𝐾𝑝 afecta las partes integral y proporcional de la acción de control.
El inverso del tiempo integral 𝑇𝑖 se denomina velocidad de reajuste. La velocidad de
reajuste es la cantidad de veces por minuto que se duplica la parte proporcional de la
acción de control y se mide en términos de las repeticiones por minuto.
La figura 9(a) muestra un diagrama de bloques de un controlador proporcional más
integral. Si la señal de error 𝑒(𝑡) es una función escalón unitario, como se aprecia en la
figura 9(b), la salida del controlador 𝑢(𝑡) se convierte en lo que se muestra en la figura
9(c).
Figura 9. (a) Diagrama de bloques de un control PI, (b) entrada escalón unitario y
(c) salida del controlador.
Acción de control proporcional-derivativa (PD)
La acción de control de un controlador proporcional-derivativa (PD) se define mediante
𝑢(𝑡) = 𝐾𝑝𝑒(𝑡) + 𝐾𝑝𝑇𝑑
𝑑𝑒(𝑡)
𝑑𝑡
y la función de transferencia es
𝑈(𝑠)
𝐸(𝑠)= 𝐾𝑝(1 + 𝑇𝑑𝑠)
en donde 𝐾𝑝 es la ganancia proporcional y 𝑇𝑑 es una constante denominada tiempo
derivativo. Tanto 𝐾𝑝 como 𝑇𝑑 son ajustables. La acción de control derivativa, en ocasiones
es denominada control de velocidad. Ocurre donde la magnitud de la salida del controlador
es proporcional a la velocidad de cambio de la señal de error. El tiempo derivativo 𝑇𝑑 es el
intervalo de tiempo durante el cual la acción de la velocidad hace avanzar el efecto de la
acción de control proporcional. La figura 10(a) muestra un diagrama de bloques de un
controlador proporcional-derivativo. Si la señal de error 𝑒(𝑡) es una función rampa unitaria
como se aprecia en la figura 10(b), la salida del controlador 𝑢(𝑡) se convierte en la que se
muestra en la figura 10(c).
Figura 10. (a) Diagrama de bloques de un control PD, (b) entrada rampa unitaria y
(c) salida del controlador.
La acción de control derivativa tiene la ventaja de ser de previsión, ya que al ser
proporcional a la velocidad de cambio del error, predice cómo será su comportamiento. Sin
embargo, es obvio que una acción de control derivativa nunca prevé una acción que nunca
ha ocurrido. Tiene las desventajas de que amplifica las señales de ruido y puede provocar
un efecto de saturación en el actuador. Finalmente, se debe aclarar que la acción de
control derivativa no se usa nunca sola, debido a que sólo es eficaz durante periodos
transitorios.
Acción de control proporcional-integral-derivativa (PID)
Esta acción combinada tiene las ventajas de cada una de las tres acciones de control
individuales. La ecuación de un controlador con esta acción combinada se obtiene
mediante
𝑢(𝑡) = 𝐾𝑝𝑒(𝑡) +𝐾𝑝
𝑇𝑖∫ 𝑒(𝑡)𝑑𝑡
𝑡
0
+ 𝐾𝑝𝑇𝑑
𝑑𝑒(𝑡)
𝑑𝑡
su función de transferencia es
𝑈(𝑠)
𝐸(𝑠)= 𝐾𝑃 (1 +
1
𝑇𝑖𝑠+ 𝑇𝑑𝑠)
en donde 𝐾𝑝 es la ganancia proporcional, 𝑇𝑖 es el tiempo integral y𝑇𝑑 es el tiempo
derivativo. El diagrama de bloques de un controlador proporcional-integral-derivativo
aparece en la figura 11(a). Si 𝑒(𝑡) es una función rampa unitaria, como la que se observa
en la figura 11(b), la salida del controlador 𝑢(𝑡) se convierte en la de la figura 11(c).
Figura 11. (a) Diagrama de bloques de un control PID, (b) entrada rampa unitaria y
(c) salida del controlador.
EFECTOS DEL SENSOR (ELEMENTO DE MEDICIÓN) SOBRE EL DESEMPEÑO DEL
SISTEMA
Dado que las características dinámica y estática del sensor afectan la indicación del valor
real de la variable de salida, este cumple una función importante para determinar el
desempeño general del sistema de control. Por lo general, el sensor determina la función
de transferencia en la trayectoria de realimentación. Si lasconstantes de tiempo de un
sensor son insignificantes en comparación con otras constantesde tiempo del sistema de
control, la función de transferencia del sensor simplementese convierte en una
constante.Las figuras 12(a), (b) y (c) muestran diagramas de bloques de controladores
automáticos con un sensor de primer orden, un sensor de segundo orden
sobreamortiguado y un sensor de segundo orden subamortiguado, respectivamente. Con
frecuencia la respuesta de un sensor térmico es del tipo de segundo orden
sobreamortiguado.
Figura 12. Diagrama de bloques de controladores automáticos con sensor (a) de primer
orden, (b) de segundo orden sobreamortiguado y (c)de segundo orden subamortiguado
EFECTOS DE LAS ACCIONES INTEGRAL Y DERIVATIVO EN UN SISTEMA.
En esta sección se estudian los efectos de las acciones de control integral y derivativo
sobre el desempeño de un sistema. Aquí sólo se consideran los sistemas simples, para
apreciar con claridad los efectos de las acciones de control integral y derivativo sobre el
desempeño de un sistema.
Acción de control integral
En el control proporcional de una planta, cuya función de transferencia no posee un
integrador 1/𝑠 , hay un error en estado estable, o desplazamiento (offset), en la respuesta
para una entrada escalón (ver figura 13).
Figura 13. Error en estado estable en la salida para una entrada de escalón unitario.
Tal offset se elimina si se incluye la acción de control integral en el controlador. En el
control integral de una planta, la señal de control, que es la señal de salida a partir del
controlador, es, en todo momento el área bajo la curva de la señal de error hasta tal
momento. La señal de control 𝑢(𝑡) tiene un valor diferente de cero cuando la señal de
error 𝑒(𝑡) es cero, como se aprecia en la figura 14(a). Esto es imposible en el caso del
controlador proporcional, dado que una señal de control diferente de cero requiere de una
señal de error diferente de cero. La figura 14(b) muestra la curva 𝑒(𝑡) contra 𝑡 y la curva
𝑢(𝑡) correspondiente contra 𝑡 cuando el controlador es de tipo proporcional.
Figura 14. Señales de error y salida de un controlador (a) integral y (b) proporcional.
La acción de control integral, aunque elimina el offset o el error en estado estable, puede
conducir a una respuesta oscilatoria de amplitud decreciente lenta, o incluso de amplitud
creciente, y ambos casos, por lo general, se consideran inconvenientes.
Control integral de los sistemas de control del nivel de líquido.
En teoría ya se planteó el hecho de que el control integral es capaz de eliminar el offset en
estado estable, pero ahora se presenta una prueba de esto, estudiando el sistema de
control del nivel de líquido de un tanque.
La figura 15(a) muestra un sistema del control del nivel de líquido. Suponemos que el
controlador es integral, que las variables 𝑛, 𝑞𝑖, ℎ y 𝑞𝑜, que se miden a partir de sus valores
en estado estable respectivos �̅�, �̅�, �̅� y �̅�, son cantidades pequeñas, por lo que el sistema
se considera lineal. Bajo estas suposiciones, el diagrama de bloques del sistema se
obtiene como el de la figura 15(b).
Figura 15. (a) Sistema de control del nivel de líquido; (b) diagrama de bloques del sistema.
A partir de la figura 15(b), la función de transferencia en lazo cerrado entre H(s) y X(s)se
obtiene así:
1. Del punto de suma se obtiene que
𝐸(𝑠) = 𝑋(𝑠) − 𝐻(𝑠)
2. Luego los bloques en serie
𝐻(𝑠) =𝐾
𝑠∗
𝑅
𝑅𝐶𝑠 + 1𝐸(𝑠)
𝐸(𝑠) =𝑠(𝑅𝐶𝑠 + 1)
𝐾𝑅𝐻(𝑠)
3. Al sustituir 𝐸(𝑠) en la primera ecuación se puede despejar la función de transferencia
𝑠(𝑅𝐶𝑠 + 1)
𝐾𝑅𝐻(𝑠) = 𝑋(𝑠) − 𝐻(𝑠)
(𝑠(𝑅𝐶𝑠 + 1)
𝐾𝑅+ 1) 𝐻(𝑠) = 𝑋(𝑠)
𝑅𝐶𝑠2 + 𝑠 + 𝐾𝑅
𝐾𝑅𝐻(𝑠) = 𝑋(𝑠)
𝐻(𝑠)
𝑋(𝑠)=
𝐾𝑅
𝑅𝐶𝑠2 + 𝑠 + 𝐾𝑅
�̅� + ℎ
�̅� + 𝑞0 𝐶
�̅� + 𝑞𝑖
�̅� + x
(a)
(b)
De la función de transferencia del sistema, se puede obtener la función que permitirá
evaluar el error en estado estable, que será la función de transferencia entre 𝐸(𝑠) y 𝑋(𝑠).
𝐸(𝑠)
𝑋(𝑠)=
𝐻(𝑠)
𝑋(𝑠)∗
𝐸(𝑠)
𝐻(𝑠)
𝐸(𝑠)
𝑋(𝑠)=
𝐾𝑅
𝑅𝐶𝑠2 + 𝑠 + 𝐾𝑅∗
𝑠(𝑅𝐶𝑠 + 1)
𝐾𝑅
𝐸(𝑠)
𝑋(𝑠)=
𝑅𝐶𝑠2 + 𝑠
𝑅𝐶𝑠2 + 𝑠 + 𝐾𝑅
Esta, y todas las funciones de transferencia de los sistemas, son funciones complejas, que
expresan el comportamiento del sistema en el dominio de la frecuencia y no del tiempo
como normalmente se hace. Son funciones complejas, pues la variable 𝑠, es una variable
imaginaria
𝑠 = 𝑗𝜔
Donde𝜔 es la frecuencia de operación del sistema.
La función de transferencia
𝐻(𝑠)
𝑋(𝑠)= 𝐺(𝑠)
por ser una función compleja, tiene dos componentes, una real y una imaginaria,
𝐺(𝑠) = 𝐺𝑥 + 𝑗𝐺𝑦
y su magnitud se obtiene así
|𝐺(𝑠)| = √𝐺𝑥2 + 𝐺𝑦
2
En este caso, el diagrama de bloques ya contiene la función de transferencia de
controlador y sistema, sin embargo, cuando no se poseen, estas se pueden obtener a
partir de las funciones en el tiempo por medio de la transformada de Laplace,
ℒ[𝐹(𝑡)] = 𝐹(𝑠) = ∫ 𝑒−𝑠𝑡∞
0
𝑑𝑡[𝐹(𝑡)]
𝐹(𝑠) = ∫ 𝑓(𝑡)𝑒−𝑠𝑡𝑑𝑡∞
0
Por este método, se puede realizar el cambio de dominio (de tiempo a frecuencia),
siempre y cuando, la integral sea convergente.
A continuación se presenta una tabla con las transformadas de las funciones más
comunes:
𝑓(𝑡) 𝐹(𝑠)
Escalón unitario 1(𝑡) 1
𝑠
Rampa unitaria 𝑡 1
𝑠2
Rampa 𝑎𝑡 𝑎
𝑠2
𝑒−𝑎𝑡 1
𝑠 + 𝑎
𝑡𝑒−𝑎𝑡 1
(𝑠 + 𝑎)2
𝑑
𝑑𝑡𝑓(𝑡) 𝑠𝐹(𝑠) − 𝑓(0)
𝑑2
𝑑𝑡2𝑓(𝑡) 𝑠2𝐹(𝑠) − 𝑠𝑓(0) − 𝑓̇(0)
Ahora, para conocer el error en estado estable, se hace uso de una de las propiedades de
la transformada de Laplace, el teorema del valor final
𝑓(∞) = lim𝑡→∞
𝑓(𝑡) = lim𝑠→0
𝑠𝐹(𝑠)
entonces, el error en estado estable será
𝑒𝑠𝑠 = lim𝑠→0
𝑠𝐸(𝑠)
se sabe que la señal de entrada es un escalón unitario
𝑋(𝑠) =1
𝑠
luego el error en estados estable será
𝑒𝑠𝑠 = lim𝑠→0
𝑠 ∗𝑅𝐶𝑠2 + 𝑠
𝑅𝐶𝑠2 + 𝑠 + 𝐾𝑅∗
1
𝑠
𝑒𝑠𝑠 =0
𝐾𝑅= 0
Por consiguiente, el control integral del sistema del nivel de líquido elimina el error en
estado estable en la respuesta a la entrada escalón. Éste es un mejoramiento importante
sobre el control proporcional solo, que produce un offset.
Si se tratara de un control proporcional,
𝐻(𝑠) = 𝐾 ∗𝑅
𝑅𝐶𝑆 + 1𝐸(𝑠)
𝐸(𝑠) = 𝑋(𝑠) −𝐾𝑅
𝑅𝐶𝑆 + 1𝐸(𝑠)
𝑅𝐶𝑠 + 1 + 𝐾𝑅
𝑅𝐶𝑠 + 1𝐸(𝑠) = 𝑋(𝑠)
𝐸(𝑠)
𝑋(𝑠)=
𝑅𝐶𝑠 + 1
𝑅𝐶𝑠 + 1 + 𝐾𝑅
Finalmente el error en estado estable para una entrada escalón seria
𝑒𝑠𝑠 = lim𝑠→0
𝑠 ∗𝑅𝐶𝑠 + 1
𝑅𝐶𝑠 + 1 + 𝐾𝑅∗
1
𝑠
𝑒𝑠𝑠 =1
𝐾𝑅 + 1
Respuesta a perturbaciones de par (control proporcional).
Ahora se estudiara el efecto de una perturbación de par que ocurre en el elemento de
carga. Considere el sistema de la figura 16(a). El controlador proporcional produce un par
𝑡 para posicionar el elemento de carga, que consiste en el momento de inercia y una
fricción viscosa (ver figura 17(b)). La perturbación de par se representa mediante D.
Figura 16. (a) Sistema de control con perturbación de par; (b) Esquema de la carga a
controlar.
(a) (b)
Para encontrar la función de transferencia del sistema, es necesario conocer el
comportamiento de la carga, por ello se hace necesario modelarla mediante una función
de transferencia también. Dicho proceso se realiza así:
1. Sabiendo que 𝐶 es la posición angular de la carga, se aplica la segunda ley de Newton
∑ 𝑇 = 𝐽�̈�
𝑇 − 𝑏�̇� = 𝐽�̈�
𝑇 = 𝐽�̈� + 𝑏�̇�
2. Se aplica transformada de Laplace y se obtiene la función de transferencia
𝑇(𝑠) = (𝐽𝑠2 + 𝑏𝑠)𝐶(𝑠)
𝐶(𝑠)
𝑇(𝑠)=
1
𝑠(𝐽𝑠 + 𝑏)
Luego el diagrama de bloques completo será el mostrado en la figura 17.
Figura 17. Sistema de control con perturbación de par.
Suponiendo que la entrada de referencia es cero, o 𝑅(𝑠) = 0, el diagrama de bloques se
convierte en el mostrado en la figura 18.
Figura 18. Sistema de control con 𝑅(𝑠) = 0.
Con el antiguo punto de suma comportándose ahora como un inversor, y tomando una
variable 𝑇𝑅 como la salida del segundo punto de suma, se puede obtener la función de
transferencia del sistema. En el punto de suma se obtiene
𝐷(𝑠) + 𝑇(𝑠) = 𝑇𝑅(𝑠)
De la línea de retroalimentación
𝑇(𝑠) = −𝐾𝑝𝐶(𝑠)
De la línea del sistema
𝑇𝑅(𝑠) =𝐶(𝑠)
1
𝑠(𝐽𝑠+𝑏)
= (𝐽𝑠2 + 𝑏𝑠)𝐶(𝑠)
Al sustituir en la primera ecuación
𝐷(𝑠) − 𝐾𝑝𝐶(𝑠) = (𝐽𝑠2 + 𝑏𝑠)𝐶(𝑠)
𝐷(𝑠) = (𝐽𝑠2 + 𝑏𝑠 + 𝐾𝑝)𝐶(𝑠)
se obtiene la función de transferencia del sistema
𝐶(𝑠)
𝐷(𝑠)=
1
𝐽𝑠2 + 𝑏𝑠 + 𝐾𝑝
De nuevo, para conocer el error en estado estable es necesario modificar la función de
transferencia del sistema, esto se logra analizando el inversor que da la relación entre 𝐶(𝑠)
y 𝐸(𝑠)
𝐸(𝑠)
𝐶(𝑠)= −1
Lo que lleva a
𝐸(𝑠)
𝐷(𝑠)=
−𝐶(𝑠)
𝐷(𝑠)=
−1
𝐽𝑠2 + 𝑏𝑠 + 𝐾𝑝
Finalmente el error en estado estable producido por un par de perturbación escalón de
magnitud 𝑇𝑑 se obtiene mediante
𝑒𝑠𝑠 = lim𝑠→0
𝑠 ∗−1
𝐽𝑠2 + 𝑏𝑠 + 𝐾𝑝∗
𝑇𝑑
𝑠
𝑒𝑠𝑠 =−𝑇𝑑
𝐾𝑝
En el estado estable, el controlador proporcional aporta el par – 𝑇𝑑, que tiene igual
magnitudpero signo opuesto que el par de perturbación 𝑇𝑑. La salida en estado estable
producidapor el par de perturbación escalón es
𝑐𝑠𝑠 = −𝑒𝑠𝑠 =𝑇𝑑
𝐾𝑝
El error en estado estable se reduce si se incrementa el valor de la ganancia𝐾𝑝. Sin
embargo, acrecentar este valor provocará que la respuesta del sistema sea más
oscilatoria.
Obtención de respuestas con MATLAB.
A continuación se presenta una herramienta muy útil para obtener las curvas de respuesta
de cualquier sistema. Como ejemplo, se tomará el sistema de la figura EE, sujeto a una
perturbación escalón unitario. Específicamente, obtendremos curvas de respuesta al
escalón para dos valores de 𝐾𝑝,uno pequeño y uno grande.
Caso 1:𝐽 = 1, 𝑏 = 0.5, 𝐾𝑝 = 1 (sistema 1):
𝐶(𝑠)
𝐷(𝑠)=
1
𝑠2 + 0.5𝑠 + 1
Caso 2:𝐽 = 1, 𝑏 = 0.5, 𝐾𝑝 = 4 (sistema 2):
𝐶(𝑠)
𝐷(𝑠)=
1
𝑠2 + 0.5𝑠 + 4
Para el sistema 1𝑛𝑢𝑚1 = [0 0 1] 𝑑𝑒𝑛1 = [1 0.5 1]
Para el sistema 2𝑛𝑢𝑚2 = [0 0 1]𝑑𝑒𝑛2 = [1 0.5 4]
Desarrollo en Matlab R2013a
En el programa MATLAB, se usaran notaciones y1 y y2 para la respuesta. y1 es la
respuesta𝑐(𝑡) del sistema 1 y y2 es la respuesta 𝑐(𝑡) del sistema 2. Se usa el comando
plot (graficar) con argumentos múltiples, en lugar de usar el comando hold (mantener). (Se
obtiene el mismo resultadode cualquier forma.) Para usar el comando plot con argumentos
múltiples, eltamaño de los vectores y1 y y2 no necesita ser el mismo. Sin embargo, es
conveniente quelos dos vectores sean de la misma longitud,por ende, se especifica la
misma cantidad depuntos de cálculo determinando los puntos de tiempo de cálculo (tales
como 𝑡 = 0: 0.1: 20).El comando step debe incluir este tiempo 𝑡 especificado por el usuario,
para eso de usa el siguiente comando step:
[𝑥, 𝑦, 𝑡] = 𝑠𝑡𝑒𝑝[𝑛𝑢𝑚, 𝑑𝑒𝑛, 𝑡]
Las curvas de respuesta al escalón unitario obtenidas mediante el programa MATLAB son:
Figura 19. Curvas de respuesta obtenidas en MATLAB R2013a.
Respuesta a perturbaciones de par (control proporcional-integral).
Para eliminar el offset debido a una perturbación de par, el controlador proporcional se
sustituye con un controlador proporcional-integral, y luego, mientras existe una señal de
error, el controlador desarrolla un par para reducir este error, siempre y cuando el sistema
de control sea estable. La figura 20 muestra el control proporcional-integral del elemento
de carga, formado por el momento de inercia y una fricción viscosa.
Figura 20. Control proporcional-integral de un elemento de carga formado por un momento
de inercia y una fricción viscosa.
Igual que antes, se toma un valor 𝑅(𝑠) = 0 para estudiar el efecto de la perturbación.
Figura 21. Sistema de control con𝑅(𝑠) = 0.
De nuevo se halla la función de transferencia del sistema, usando una variable 𝑇𝑅(𝑠)
𝐷(𝑠) + 𝑇(𝑠) = 𝑇𝑅(𝑠)
𝑇(𝑠) = − (𝐾𝑝 +𝐾𝑝
𝑇𝑖𝑠) 𝐶(𝑠)
𝑇𝑅(𝑠) = (𝐽𝑠2 + 𝑏𝑠)𝐶(𝑠)
𝐷(𝑠) − (𝐾𝑝 +𝐾𝑝
𝑇𝑖𝑠) 𝐶(𝑠) = (𝐽𝑠2 + 𝑏𝑠)𝐶(𝑠)
𝐷(𝑠) =𝐽𝑠3 + 𝑏𝑠2 + 𝐾𝑝𝑠 +
𝐾𝑝
𝑇𝑖
𝑠𝐶(𝑠)
𝐶(𝑠)
𝐷(𝑠)=
𝑠
𝐽𝑠3 + 𝑏𝑠2 + 𝐾𝑝𝑠 +𝐾𝑝
𝑇𝑖
a partir de esta, se obtiene la señal de error
𝐸(𝑠) =−𝑠
𝐽𝑠3 + 𝑏𝑠2 + 𝐾𝑝𝑠 +𝐾𝑝
𝑇𝑖
𝐷(𝑠)
Si este sistema de control es estable, es decir, si las raíces de la ecuación característica
𝐽𝑠3 + 𝑏𝑠2 + 𝐾𝑝𝑠 +𝐾𝑝
𝑇𝑖= 0
tienen partes reales negativas, el error en estado estable en la respuesta a un par de
perturbación escalón unitario se obtiene aplicando el teorema de valor final del modo
siguiente:
𝑒𝑠𝑠 = lim𝑠→0
𝑠 ∗−𝑠
𝐽𝑠3 + 𝑏𝑠2 + 𝐾𝑝𝑠 +𝐾𝑝
𝑇𝑖
∗1
𝑠= 0
Por tanto, el error en estado estable para el par de perturbación escalón se elimina si el
controlador es del tipo proporcional-integral. Observe que la acción de control integral
agregada al control proporcional convirtió el sistema, originalmente de segundo orden, en
uno de tercer orden. Por ende, el sistema de control puede volverse inestable para un
valor grande de 𝐾𝑝, dado que las raíces de la ecuación característica pueden tener partes
reales positivas. (El sistema de segundo orden siempre es estable si los coeficientes de la
ecuación diferencial del sistema son todos positivos.)
Figura 22. Control integral de un elemento de carga formado por un momento de inercia y
una fricción viscosa.
Es importante señalar que, si el controlador fuera integral, como en la figura 22, el sistema
siempre se volvería inestable, porque la ecuación característica
𝐽𝑠3 + 𝑏𝑠2 + 𝐾 = 0
tendría raíces con partes reales positivas. Tal sistema inestable no se puede usar en la
práctica.
Observe que, en el sistema de la figura 5-16, la acción de control proporcional tiende
aestabilizar el mismo, en tanto que la acción de control integral tiende a eliminar o
reducirel error en estado estable en respuesta a diversas entradas, y es que esta es la
principal característica del control integral, ya que es el único con la capacidad de corregir
cualquier alteración presente en el sistema, lo cual logra al ir acumulando el efecto de las
distintas variaciones y compensándolas, llevando la señal de error a 0.
Acción de control derivativa.
Cuando una acción de control derivativa se agrega a un controlador proporcional, aporta
un medio de obtener un controlador con alta sensibilidad. Una ventaja de usar una acción
de control derivativa es que responde a la velocidad del cambio del error y produce una
corrección significativa antes de que la magnitud del error se vuelva demasiado grande.
Por tanto, el control derivativo prevé el error, inicia una acción correctiva oportuna y tiende
a aumentar la estabilidad del sistema.
Aunque el control derivativo no afecta en forma directa el error en estado estable, añade
amortiguamiento al sistema ya que se suma al efecto de las fricciones del sistema,
por tanto, permite el uso de un valor más grande que la ganancia 𝑲, lo cual provoca
una mejora en la precisión en estado estable.
Debido a que el control derivativo opera sobre la velocidad de cambio del error, y no sobre
el error mismo, este modo nunca se usa solo. Siempre se emplea junto con una acción de
control proporcional o proporcional-integral.
Control proporcional de sistemas con carga de inercia.
Antes de analizar elefecto de una acción de control derivativa sobre el desempeño de un
sistema, se estudia el control proporcional de una carga de inercia.
Considere el siguiente sistema
Figura 23. Control proporcional de un sistema con carga de inercia.
La función de transferencia en lazo cerrado se obtiene así
𝑅(𝑠) − 𝐶(𝑠) = 𝐸(𝑠)
𝐸(𝑠) =𝐽𝑠2
𝐾𝑝𝐶(𝑠)
𝑅(𝑠) − 𝐶(𝑠) =𝐽𝑠2
𝐾𝑝𝐶(𝑠)
𝐶(𝑠)
𝑅(𝑠)=
𝐾𝑃
𝐽𝑠2 + 𝐾𝑝
Dado que las raíces de la ecuación característica
𝐽𝑠2 + 𝐾𝑝 = 0
son imaginarias, la respuesta a una entrada escalón unitario oscila indefinidamente.
Para comprobar esto, se puede recurrir de nuevo a MATLAB. Por el método presentado
anteriormente, y considerando 𝐽 = 2, 𝐾𝑝 = 1
𝐶(𝑠)
𝑅(𝑠)=
1
2𝑠2 + 1
𝑛𝑢𝑚1 = [0 0 1]𝑑𝑒𝑛1 = [2 0 1]
se obtiene entonces la respuesta mostrada a continuación
Figura 24. Respuesta obtenida en MATLAB R2013a.
Esto deja en claro el comportamiento oscilatoria del sistema ante una entrada de escalón.
No son convenientes los sistemas de control que exhiben tales características de
respuesta.Veremos que la adición de un control derivativo estabilizará el sistema.
Control proporcional-derivativo de un sistema con carga de inercia.
Se modifica el controlador proporcional para obtener un controlador proporcional-derivativo
cuya función de transferencia sea 𝐾𝑃(1 + 𝑇𝑑𝑠). El par que desarrolla el controlador es
proporcional a 𝐾𝑃(𝑒 + 𝑇𝑑�̇�). El control derivativo es esencialmente de previsión, mide la
velocidad instantánea del error, predice el sobrepaso significativo adelantándose en el
tiempo y produce una respuesta adecuada antes de que ocurra un sobrepaso demasiado
grande.
Considere el sistema de la figura 25.
Figura 25. Control proporcional-derivativo de un sistema con carga de inercia.
Su función de transferencia de lazo cerrado es
𝐶(𝑠)
𝑅(𝑠)=
𝐾𝑝(1 + 𝑇𝑑𝑠)
𝐽𝑠2 + 𝐾𝑝𝑇𝑑𝑠 + 𝐾𝑝
La ecuación característica
𝐽𝑠2 + 𝐾𝑝𝑇𝑑𝑠 + 𝐾𝑝 = 0
tiene ahora dos raíces con partes reales negativas para valores positivos de 𝐽, 𝐾𝑝 y 𝑇𝑑.
Queda demostrado, que el control derivativo introduce un efecto de amortiguamiento.La
figura 26 presenta una curva de respuesta común 𝑐(𝑡) para una entrada escalón unitario,
obtenida de MATLAB considerando 𝐽 = 2, 𝐾𝑝 = 1 y 𝑇𝑑 = 1.5
𝐶(𝑠)
𝑅(𝑠)=
1.5𝑠 + 1
2𝑠2 + 1.5𝑠 + 1
𝑛𝑢𝑚1 = [0 1.5 1]𝑑𝑒𝑛1 = [2 1.5 1]
Figura 26. Respuesta obtenida en MATLAB R2013a.
Es evidente que la curva de respuesta muestra un marcado mejoramiento sobre la curva
de respuesta original de la figura 24.
Control proporcional-derivativo de sistemas de segundo orden.
Si se usa una acción de control proporcional-derivativo, se obtiene un equilibrio entre un
comportamiento aceptable para una respuesta transitoria y un comportamiento aceptable
en un estado estable.
Considere el sistema mostrado a continuación
Figura 27. Control proporcional-derivativo de un sistema de segundo orden.
Su función de transferencia de lazo cerrado es
𝐶(𝑠)
𝑅(𝑠)=
𝐾𝑝 + 𝐾𝑑𝑠
𝐽𝑠2 + (𝐵 + 𝐾𝑑)𝑠 + 𝐾𝑝
El error en estado estable para una entrada rampa unitaria es
𝐸(𝑠)
𝑅(𝑠)=
𝐾𝑝 + 𝐾𝑑𝑠
𝐽𝑠2 + (𝐵 + 𝐾𝑑)𝑠 + 𝐾𝑝∗
𝐽𝑠2 + 𝐵𝑠
𝐾𝑝 + 𝐾𝑑𝑠
𝐸(𝑠) =𝐽𝑠2 + 𝐵𝑠
𝐽𝑠2 + (𝐵 + 𝐾𝑑)𝑠 + 𝐾𝑝𝑅(𝑠)
𝑒𝑠𝑠 = lim𝑠→0
𝑠 ∗𝐽𝑠2 + 𝐵𝑠
𝐽𝑠2 + (𝐵 + 𝐾𝑑)𝑠 + 𝐾𝑝∗
1
𝑠2= lim
𝑠→0
𝐽𝑠 + 𝐵
𝐽𝑠2 + (𝐵 + 𝐾𝑑)𝑠 + 𝐾𝑝
𝑒𝑠𝑠 =𝐵
𝐾𝑝
La ecuación característica es
𝐽𝑠2 + (𝐵 + 𝐾𝑑)𝑠 + 𝐾𝑝 = 0
Por tanto, el coeficiente de amortiguamiento efectivo de este sistema es 𝐵 + 𝐾𝑑, en
lugarde 𝐵. Dado que el factor de amortiguamiento relativo 𝜁 de este sistema es
𝜁 =𝐵 + 𝐾𝑑
2√𝐾𝑝 𝐽
es posible obtener tanto el error en estado estable 𝑒𝑠𝑠 para una entrada rampa, como el
sobrepasomáximo para una entrada escalón pequeña, si hacemos que 𝐵 sea pequeño, 𝐾𝑝
seagrande y 𝐾𝑑 lo suficientemente grande para que 𝜁 esté entre 0.4 y 0.7.
A continuación se examinará la respuesta al escalón unitario del sistema de la figura 27.
Se definen
𝜔𝑛 = √𝐾𝑝
𝐽 , 𝑧 =
𝐾𝑝
𝐾𝑑
Por consiguiente, la función de transferencia en lazo cerrado se escribe como
𝐶(𝑠)
𝑅(𝑠)=
𝜔𝑛2
𝑧∗
𝑠 + 𝑧
𝑠2 + 2𝜁𝜔𝑛𝑠 + 𝜔𝑛2
Cuando un sistema de segundo orden tiene un cero cerca de los polos en lazo cerrado, el
comportamiento de la respuesta transitoria se vuelve considerablemente diferente del de
un sistema de segundo orden sin ceros.
Si el cero en s = -z se localiza cerca del eje 𝑗𝜔, es muy significativo el efecto del cero
sobre la respuesta al escalón unitario. La figura 28 presenta las curvas de respuesta al
escalón comunes de este sistema con 𝜁 = 0.5 y diversos valores de 𝑧/𝜁𝜔𝑛.
Figura 28. Curvas de respuesta al escalón unitario del sistema de segundo orden.
EJEMPLO DE PROBLEMAS Y SOLUCIONES
1. Considere el sistema de la figura E-1. Demuestre que el error en estado estable después
de la entrada rampa unitaria es 𝐵/𝐾. Este error se hace más pequeño si se selecciona
una 𝐵 pequeña y/o una 𝐾 grande. Sin embargo, reducir 𝐵 y/o aumentar 𝐾, tendría el
efecto de reducir el factor de amortiguamiento relativo, cosa que, por lo general, no es
𝐶(𝑡)
𝜔𝑛𝑡
𝛼 =𝑧
𝜁𝜔𝑛
𝛼= 1
𝛼 = 2
𝛼
= 4 𝛼= ∞
conveniente. Describa un método para reducir 𝐵/𝐾 e incluso así hacer que el factor de
amortiguamiento relativo tenga un valor razonable (0.5 < 𝜁 < 0.7).
Figura E-1. Sistema de control.
Solución. A partir de la figura E-1se obtiene
𝐸(𝑠) = 𝑅(𝑠) − 𝐶(𝑠)
𝐸(𝑠) = 𝑅(𝑠) −𝑘
𝐽𝑠2 + 𝑠𝐸(𝑠) 𝐸(𝑠) =
𝐽𝑠2 + 𝑠
𝐽𝑠2 + 𝑠 + 𝐾𝑅(𝑠)
El error en estado estable para la respuesta rampa unitaria se obtiene del modo siguiente:
𝑒𝑠𝑠 = lim𝑠→0
𝑠 ∗𝐽𝑠2 + 𝑠
𝐽𝑠2 + 𝑠 + 𝐾∗
1
𝑠2
𝑒𝑠𝑠 =𝐵
𝐾=
2𝜁
𝜔𝑛
en donde
𝜁 =𝐵
2√𝐾𝐽 , 𝜔𝑛 = √
𝐾
𝐽
Para asegurar una respuesta transitoria y un error en estado estable aceptables después
de una entrada rampa, 𝜁 no debe ser demasiado pequeña y 𝜔𝑛 debe ser suficientemente
grande. Es posible reducir el error en estado estable 𝑒𝑠𝑠, si se aumenta el valor de la
ganancia 𝐾. (Un valor grande de 𝐾 tiene la ventaja adicional de suprimir los efectos
indeseables provocados por una zona muerta, un bamboleo o juego, una fricción de
coulomb, etc.). Sin embargo, un valor grande de 𝐾 reduciría el valor de 𝜁 y aumentaría el
sobrepaso máximo, lo cual no es conveniente.
Por lo anterior es necesario establecer un equilibrio entre la magnitud del error en estado
estable ante una entrada rampa y el sobrepaso máximo para una entrada escalón unitario.
En el sistema de la figura E-1, es fácil alcanzar un compromiso razonable. Por tanto, es
conveniente considerar otros tipos de acciones de control que mejoren tanto la respuesta
transitoria como el desempeño en estado permanente. Existen dos esquemas para
mejorar la respuesta transitoria y el desempeño en estado estable. Uno es usar un
controlador proporcional-derivativo, y el otro es usar una realimentación de tacómetro.
2. El diagrama de bloques de la figura E-2 muestra un sistema de control de velocidad en el
cual el miembro de salida del sistema está sujeto a una perturbación de par. En el
diagrama, Ω𝑟(𝑠), Ω(𝑠), 𝑇(𝑠) y 𝐷(𝑠) son las transformadas de Laplace de la velocidad de
referencia, la velocidad de salida, el par de excitación y el par de perturbación,
respectivamente. En ausencia de un par de perturbación, la velocidad de salida es igual
,a la velocidad de referencia.Investigue la respuesta de este sistema para un par de
perturbación escalón unitario. Supongaque la entrada de referencia es cero, es decir,
Ω𝑟(𝑠) = 0.
Figura E-2. Diagrama de bloques de unsistema de control de velocidad.
Solución. La figura E-3 es un diagrama de bloques modificado, conveniente para el
análisis presente.
Figura E-3.Diagrama de bloques del sistema de control de velocidad Ω𝑟(𝑠) = 0.
La función de transferencia en lazo cerrado se obtiene de
𝐽𝑠Ωd(𝑠) = 𝐷(𝑠) − 𝐾Ωd(𝑠)
Ωd(𝑠)
𝐷(𝑠)=
1
𝐽𝑠 + 𝐾
en donde Ωd(𝑠) es la transformada de Laplace de la velocidad de salida producida por el
par deperturbación. Para un par de perturbación escalón unitario, la velocidad de salida en
estado establees
𝜔𝑑(∞) = lim𝑠→0
𝑠Ωd(𝑠)
𝜔𝑑(∞) = lim𝑠→0
𝑠 ∗1
𝐽𝑠 + 𝐾∗
1
𝑠=
1
𝐾
A partir de este análisis se concluye que, si se aplica un par de perturbación escalón al
miembrode salida del sistema, se producirá una velocidad de error tal que el par del motor
resultante cancelara exactamente el par de perturbación. Para desarrollar el par del motor,
es necesario que exista un error en la velocidad para que se produzca un par diferente de
cero.
3. En el sistema considerado en el problema anterior, se pretende eliminar lo más posible
los erroresde velocidad producidos por los pares de perturbación. ¿Es posible cancelar el
efecto de un par de perturbación en estado estable para que un parde perturbación
constante aplicado al miembro de salida no produzca un cambio de velocidad enestado
estable?
Figura E-4. Diagrama de bloques de un sistema de control de velocidad.
Solución.Suponga que se elige un controlador conveniente cuya función de transferencia
sea𝐺𝑐(𝑠), como se observa en la figura E-4. En ausencia de la entrada de referencia, la
función de transferencia en lazo cerrado entre la velocidad de salida Ωd(𝑠) y el par de
perturbación 𝐷(𝑠) es
Ωd(𝑠)
𝐷(𝑠)=
1
𝐽𝑠
1 +1
𝐽𝑠𝐺𝑐(𝑠)
Ωd(𝑠)
𝐷(𝑠)=
1
𝐽𝑠 + 𝐺𝑐(𝑠)
La velocidad de salida en estado estable producida por el par de perturbación escalón
unitario es
𝜔𝑑(∞) = lim𝑠→0
𝑠Ωd(𝑠)
𝜔𝑑(∞) = lim𝑠→0
𝑠 ∗1
𝐽𝑠 + 𝐺𝑐(𝑠)∗
1
𝑠=
1
𝐺𝑐(0)
Para satisfacer el requerimiento de que
𝜔𝑑(∞) = 0
sedebe seleccionar 𝐺𝑐(0) = ∞. Esto se comprende si elegimos
𝐺𝑐(𝑠) =𝐾
𝑠
Una acción de control integral seguirá corrigiendo hasta que el error sea cero. Sin
embargo, estecontrolador presenta un problema de estabilidad, debido a que la ecuación
característica tendrádos raíces imaginarias.Un método para estabilizar un sistema como
éste es agregar un modo proporcional al controlador,o elegir
𝐺𝑐(𝑠) = 𝐾𝑝 +𝐾
𝑠
Con este controlador, el diagrama de bloques de la figura E-4, ante la ausencia de la
entrada de referencia, se convierte en el de la figura E-5.
Figura E-5. Diagrama de bloques del sistema de control de velocidad modificado.
La función de transferencia en lazo cerrado Ωd(𝑠)/𝐷(𝑠) se convierte en
Ωd(𝑠)
𝐷(𝑠)=
1
𝐽𝑠
1 +1
𝐽𝑠
𝐾𝑃𝑠+𝐾
𝑠
Ωd(𝑠)
𝐷(𝑠)=
𝑠
𝐽𝑠2 + 𝐾𝑝𝑠 + 𝐾
Para un par de perturbación escalón unitario, la velocidad de salida en estado estable es
𝜔𝑑(∞) = lim𝑠→0
𝑠Ωd(𝑠)
𝜔𝑑(∞) = lim𝑠→0
𝑠 ∗𝑠
𝐽𝑠2 + 𝐾𝑝𝑠 + 𝐾∗
1
𝑠= 0
Por tanto, se observa que el controlador proporcional-integral elimina el error de velocidad
en estado estable. El uso de una acción de control integral ha aumentado el orden del
sistema en 1. (Esto tiende a producir una respuesta oscilatoria.) En el problema actual, un
par de perturbación escalón provocará un error transitorio en la velocidad de salida, pero
el error se convertirá en cero en estado estable. El integrador proporciona una salida
diferente de cero con un error de cero. (La salida diferente de cero del integrador produce
un par del motor que cancela exactamente el par de perturbación.) Observe que el
integrador de la función de transferencia de la planta no elimina el error en estado estable
debido a un par de perturbación escalón. Para eliminar dicho error, debemos tener un
integrador antes del punto en el que se introduce el par de perturbación.
4. Considere el sistema de la figura E-6 (a). El error en estado estable para una entrada
rampa unitariaes 𝑒𝑠𝑠 = 2𝜁/𝜔𝑛,. Demuestre que el error en estado estable se elimina para
seguir una entradarampa si la entrada se incorpora al sistema a través de un filtro
proporcional-derivativo, como seobserva en la figura E-6 (b), y el valor de 𝐾 se establece
en forma proporcional. Observe que elerror 𝑒(𝑡) se obtiene mediante 𝑟(𝑡) − 𝑐(𝑡).
Figura E-6. (a) Sistema de control; (b) sistema de control con filtro de entrada.
Solución. La función de transferencia en lazo cerrado del sistema de la figura E-6 (b) es
(1 + 𝐾𝑠)𝑅(𝑠) − 𝐶(𝑠) =𝑠(𝑠 + 2𝜁𝜔𝑛)
𝜔𝑛2
𝐶(𝑠)
𝐶(𝑠)
𝑅(𝑠)=
(1 + 𝐾𝑠)𝜔𝑛2
𝑠2 + 2𝜁𝜔𝑛𝑠 + 𝜔𝑛2
𝐸(𝑠) = 𝑅(𝑠) − 𝐶(𝑠) = 𝑅(𝑠) −(1 + 𝐾𝑠)𝜔𝑛
2
𝑠2 + 2𝜁𝜔𝑛𝑠 + 𝜔𝑛2
𝑅(𝑠)
𝐸(𝑠) = (𝑠2 + 2𝜁𝜔𝑛𝑠 − 𝜔𝑛
2𝐾𝑠
𝑠2 + 2𝜁𝜔𝑛𝑠 + 𝜔𝑛2
) 𝑅(𝑠)
Si la entrada es una rampa unitaria, el error en estado estable es
𝑒𝑠𝑠 = lim𝑠→0
𝑠 ∗𝑠2 + 2𝜁𝜔𝑛𝑠 − 𝜔𝑛
2𝐾𝑠
𝑠2 + 2𝜁𝜔𝑛𝑠 + 𝜔𝑛2
∗1
𝑠2
𝑒𝑠𝑠 =2𝜁𝜔𝑛 − 𝜔𝑛
2𝐾
𝜔𝑛2
Por tanto, si se selecciona 𝐾 como
𝐾 =2𝜁
𝜔𝑛
el error en estado estable después de una entrada rampa se hace igual a cero. Observe
que, si existen variaciones en los valores de 𝜁 y/o𝜔𝑛, debido a los cambios ambientales o
al envejecimiento, puede producirse un error en estado estable diferente de cero para una
respuesta rampa.