tema 06 - acciones básicas de control
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Ingeniería de Sistemas I
Acciones Básicas de Control
Tema – Acciones Básicas de Control
1. – Tipos de acciones de control
2. – Control proporcional
2.1 – Control proporcional en sistemas de primer orden
2.2 – Control proporcional en sistemas de segundo orden
3. – Realimentación en velocidad
4. – Control PI
4.1 – Control PI en sistemas de primer orden
4.2 – Control proporcional en sistemas de segundo orden con polos reales
5. – Control PD
5.1 – Control proporcional en sistemas de segundo orden con polos reales
6. – Control PID
7. – Sintonía PID
7.1 – Clasificación de los métodos de sintonía
7.2 – Método de sintonía de Ziegler-Nichols
Índice
Acciones de Control
Introducción
Una forma de mejorar las prestaciones del sistema es introducir un elemento adicional (controlador) que realice una acción sobre los valores del error que atacan la entrada del proceso para que el proceso sea capaz de reaccionar más rápido ante el error o de forma más precisa.
Proceso
Sensor
( )sR ( )sY( )sG
( )sH
( )sEControlador Proceso
Sensor
( )sR ( )sY( )sGc ( )sG
( )sH
( )sE
Tipos en Función de la PosiciónEn la Cadena Directa En la Cadena Realimentada
Tipos en Función de la DinámicaEstática: Control Proporcional
Dinámica: Control Derivativo
Tipos de Acciones de Control
( )sR ( )sY( )sG c ( )sG
( )sR ( )sY
( )sH c
( )sG 2( )sG 1
Dinámica: Control Integral
Dinámica: Realimentación de Velocidad
( )sR ( )sYcK ( )sG
( )sR ( )sY( )sGcK
sT i
1( )∫ dtteK
T ci
1
PI
( )sR ( )sY( )sGcK
sT d ( )dt
tdeTK dc
PD
( )sR ( )sY( )sG( )sE
sK gPosiciónVelocidad
Acción de Control Proporcional – P
Características de la Acción de Control Proporcional
Control Proporcional
La señal de control generada por el controlador es proporcional a la desviación que representa la salida respecto de la referencia .
( )sR ( )sYcK ( )sG( )sE
( )ty( )tr ( )te( )sU( )tu
( ) ( ) ( )( ) cc KsEsUteKtu =⇒= ( ) ( )
( )( )( )sGK
sGKsRsYsM
c
c
+==
1
Mejora la dinámica del sistemaMejora la precisión del sistema: pero no desaparece el error estacionarioAumento de la inestabilidad relativaAparición de saturaciones
Acción Proporcional – 1º Orden
Ejemplo
Control Proporcional – Sistemas de Primer Orden
-2-3-4
1=cK2=cK3=cK
Plano s
0
( )sR ( )sYTs+1
1( )sEcK ( )sU
( )Ts
sG+
=1
1
( ) ( )( ) c
c
KTsK
sRsYsM
++==
1
( ) ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −+
=+
− tTK
c
cc
eK
Kty1
11
css
c
css
Ke
KKy
+=
+=
11
10 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1G(s)
Kc=1.0
Kc=2.0
Kc=3.0
Kc=10.0
t (seg)
Ampl
itud
Control Proporcional G(s)=1/1+Ts
En este caso, el aumento de la ganancia no reduce la estabilidad relativa del sistema en lazo cerrado.
( )s
sGTK+
=→==1
11,1
Acción Proporcional – Efectos de la Saturación
Control Proporcional – Efecto de Saturación
tSin Saturación
( ) ( )teKtu c=
( ) 1=tr
( )ty1( )te
1
tSalidas
( ) 1=tr
( )ty2
1
( )ty1
tCon Saturación
( ) 1=tr
( )ty2( )te
1
( ) ( )teKtu c=
Saturación
En la práctica el valor de Kc viene limitado por valor máximo que puede tomar la señal de control antes de que el actuador entre en saturación y el sistema pase a trabajar el régimen no lineal (saturación).
Empeora la dinámica: respuesta más lenta.No afecta al error estacionario
Acción Proporcional – 2º Orden
Control Proporcional – Sistemas de Segundo Orden
( ) ( )( )sTsTsG
21 111++
=
( ) ( )( ) ( ) ( )c
c
KsTTsTTK
sRsYsM
++++==
1212
21
css
c
css
Ke
KKy
+=
+=
11
1
( )sR ( )sYcK ( )( )sTsT 21 111
++( )sE( )ty( )tr ( )te
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
G(s)
Kc=0.01
Kc=0.125
Kc=1
Kc=3.5
Kc=10
t (seg)
Ampl
itud
Control Proporcional G(s)=1/(1+T1s)(1+T2s)
Ejemplo
Control Proporcional – Sistemas de Segundo Orden
211 21 == TT ( )c
c
KssKsM
2232
2 +++=
pKs 225,05,12,1 −±−=
( )sR ( )sYcK ( )( )sTsT 21 111
++( )sE( )ty( )tr ( )te
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
G(s)
Kc=0.01
Kc=0.125
Kc=1
Kc=3.5
Kc=10
t (seg)
Ampl
itud
Control Proporcional G(s)=1/(1+T1s)(1+T2s)
-1-1,5-2
125,0=cK
Plano s
0
21 δωω −= nd
nδω
5,3=cK
5,3=cK
0=cK0=cK
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨
⎧
=→+=
=
⎪⎭
⎪⎬⎫
+=
=
=→=
=→=
=
=
−
−
5,3229
322
32
%3,16
º6021cos
5,0
2
5,0
1 2
cc
n
cn
n
pp
KKK
MeM
ωω
δωθθ
δ
δ
δ
δπ
Acción de Control por Realimentación Tacométrica
Características de Acción de Control por Realimentación en Velocidad
Realimentación en Velocidad
La señal de control generada por el controlador es proporcional a la desviación que representa la salida respecto de la referencia .
( )( )
( )( ) sKsG
sGsEsY
g+=
1( ) ( )
( )( )
( ) ( )sGsKsGsG
sRsYsM
g ++==
1
Mejora la estabilidad del sistemaMejora la dinámica del sistema: hasta cierto punto
( )sR ( )sY( )sG( )sE
sK gPosiciónVelocidad
Ejemplo 1
Realimentación en Velocidad
( ) ( )11+
=ss
sG ( ) ( )( ) ( ) 11
12 +++
==sKssR
sYsMg
( ) 21
1
121
011
02 2
2
22
+=
=
⎪⎭
⎪⎬⎫
+==
⎪⎭
⎪⎬⎫
=+++
=++g
n
gn
n
g
nn KKsKs
ssδ
ω
δωωωδω
( )sR ( )sY( )sG( )sE
sK gPosiciónVelocidad
Ejemplo 2( )( ) ( )gma
mac
KKKBJssKKK
sEsY
++=
( ) ( )( ) ( ) macgma
mac
KKKKKKBJssKKK
sRsYsM
+++==
JKKKB
JKKK
JKKKs
JKKKB
s
ss
gman
macn
macgma
nn
+=
=
⎪⎭
⎪⎬
⎫
=++
+
=++
δω
ωωδω
20
02 2
2
22
( )sR ( )sYcK ( )BJss
K m
+
( )sEaK
sK g
( )sV
( )tθ
Ejemplo 3
Realimentación en Velocidad
( )( ) ( )gKsssEsY
25225++
=
( )( ) ( ) 25252
25+++
=gKsssR
sY
( ) gg
n
g
nn
KK
sKs
ss5,22,0cos
10252
5
025252
022
22
+==→+
=
=
⎪⎭
⎪⎬⎫
=+++
=++δθδ
ωωδω
( )sR ( )sY( )2
1+ss
( )sE25
sK g
( )sV
32,0=gK
Plano s
0
5=nω
32,0<gK
32,0>gK
0=gK1,0=gK
2,0=gK
3,0=gKθ
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50
0.5
1
1.5
Kg=0.01
Kg=0.1Kg=0.32
Kg=1
Kg=5
t (seg)
Ampl
itud
Control de velocidad G(s)=1/s(s+2)
gv
ssg
v KK
eK
K +==→+
= 08,0125225
1 tipoS.
Acción de Control Proporcional Integral – PI
Características de la Acción de Control PI
Control PI
Kc: Ganancia Proporcional.Ti: Tiempo Integral.
( ) ( ) ( ) ( )( ) i
ci
ci
c Tz
szsK
sTK
sEsUdtte
TteKtu 1111
0=→
+⋅=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡+=⇒⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡+= ∫
∞
( ) ( )( )
( ) ( )( ) ( )sGsG
sGsGsRsYsM
c
c
+==
1
Mejora la dinámica del sistemaMejora la precisión del sistema: eliminando el error estacionarioAumento de la inestabilidad relativa
( )sR ( )sY( )sGcK
sT i
1( )∫ dtte
TK
i
c
PI( )sE ( )sU
Control PI
( )te PIP I
( )P
ty ( )PI
ty
t t t t
t t
( )teKc ( )∫ dtteTK
i
c
+ =
( )te
eΔ
t
eK cΔ
tiT
Componente PI
ComponenteProporcional
ComponenteIntegral
eK cΔ
( )tu
Acc
ión
PISi
gnifi
cado
del
Tiem
po In
tegr
al Tiempo IntegralEs el tiempo requerido para que la acción integral iguale a la acción proporcional ante error constante.
( ) ( ) ctedtteT
ctetei
≠→= ∫∞
0
1 si
Ejemplo
0 0.5 1 1.5 2 2.5 30
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
G(s)
z=1
z=2z=3z=4
t (seg)
Ampl
itud
Control de PI G(s)=1/(s+1)
Control PI – Ejemplo de Sistemas de Primer Orden
-3
Plano s
-2
Plano s
2
2−
-3
Plano s5
5−
-4
Plano s8
8−
Z=1 Z=2 Z=3 Z=4
-2 -2 -2
( )sR ( )sY( )sE ( )sG( )sU
( )sG c
( )1
1+
=s
sG
( ) ( )( ) i
ci
cc Tz
szsK
sTK
sEsUsG 111 =→
+⋅=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡+==
( ) ( )( ) zKsKs
zsKsMcc
c
++++
=12
( ) ( ) ( )( )1+
+=
sszsKsGsG c
c
seg 5,1
3
%5
%5
=
=
s
ns
t
t δω
Ejemplo
Control PI – Ejemplo de Sistemas de Segundo Orden
( )sR ( )sY( )sE ( )sG( )sU
( )sG c
( ) ( )( )15,011
++=
sssG
( ) ( )( ) i
ci
cc Tz
szsK
sTK
sEsUsG 111 =→
+⋅=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡+==
( ) ( )( ) zKsKss
zsKsMcc
c
21232
23 +++++
=
( ) ( ) ( )( )( )
( )( )( )212
15,01 +++
=++
+=
ssszsK
ssszsKsGsG cc
c
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2 Control de PI G(s)=1/(s+1)(0.5s+1) - Sintonía Paso 1
t (seg)
Ampl
itud
G(s)
Kc=1Kc=1.3Kc=2Kc=4
Kc=10
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2 Control de PI G(s)=1/(s+1)(0.5s+1) - Sintonía Paso 2
t (seg)
Ampl
itud
G(s)
Ti=0.2
Ti=0.5
Ti=1
Ti=2
Ti=5
Sintonización PI1. Sintonizar Kc hasta obtener la forma de la respuesta
deseada sin tener en cuenta el error estacionario que presenta el sistema (Ti=∞).
2. Sintonizar Ti al valor mínimo que mantenga la forma de la respuesta.
Acción de Control Proporcional Derivativo – PD
Características de la Acción de Control PD
Control PD
Kc: Ganancia Proporcional.Td: Tiempo Derivativo.
( ) ( ) ( ) ( )( ) [ ] ( )
ddcsccc T
zzsTKsTKsEsU
dttdeTteKtu 11 =→+=+=⇒⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ +=
( ) ( )( )
( ) ( )( ) ( )sGsG
sGsGsRsYsM
c
c
+==
1
Mejora la dinámica del sistemaMejora la precisión del sistema: permite aumentar el valor de KcMejora la estabilidad relativa del sistema
( )sR ( )sY( )sGcK
sT d ( )dt
tdeTK dc
PD( )sE ( )sU
Control PD
Sign
ifica
do d
elTi
empo
Der
ivat
ivo Tiempo Derivativo
Es el tiempo requerido para que la salida proporcional repita la salida derivativa cuando el error varía con pendiente constante.( ) ( ) ( )[ ]
( )
( )dt
tdytytrdtd
dttde
ctetr
−=−==
Observaciones para No Utilización de la Acción de Control PD Procesos predominantemente de primer ordenEn presencia de grandes retardosSalidas contaminadas con ruido
( )te
t
tdT
Componente PD
ComponenteDerivativa
ComponenteProporcional
( )tu
Controlador Realizable
208alejado Polo1,005,0
<<=→<<
NNTdββ( )
( ) ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡++
=sT
sTK
sEsU
d
dc β1
1
Ejemplo 1/2
Control PD – Ejemplo de Sistemas de Segundo Orden
( )sR ( )sY( )sE ( )sG( )sU
( )sG c
( ) ( )( )15,011
++=
sssG
( ) ( )( ) [ ] ( )
ddcdcc T
zzsTKsTKsEsUsG 11 =→+=+==
( ) ( )( ) cdc
dc
KsTKszsTKsM
22232
2 +++++
=( ) ( ) ( )( )( )
( )( )( )212
15,011
+++
=++
+=
sszsTK
sssTKsGsG dcdc
c
Sintonización PD1. Sintonizar Kc hasta obtener la forma de la respuesta deseada sin tener en
cuenta el error estacionario que presenta el sistema (Td=0).2. Sintonizar Td aumentando Kc y volviendo a reajustar haciendo Kp tan grande
como se pueda. También cancelación de polo dominante
Plano s
-1,5
º60=θ
2,6
Plano s
-1,5
4,21
2,65,3=cK
9=cK
91,01
1=→=
+= c
css K
Ke
5,3segrad3
2232
02
0223
5,0
222
2
==
+==
⎪⎭
⎪⎬⎫
=++
=+++
= c
n
cn
n
nn
p
KKss
Kss ωωδω
ωδω δ
cos(θ)=60º → δ=0,5
ess≤10%
21,45,10223 2,19
2 jsKsscKc ±−=→=+++=
6,25,10223 2,15,3
2 jsKsscKc ±−=→=+++=
335,0segrad472,4
2232
9
2 ==
+==
=δω
ωδω n
Kcn
n
cK
Ejemplo 2/2( )
cn
dcn
nn
cdc
KTK
ss
KsTKs22
23202
02223222
2
+=+=
⎪⎭
⎪⎬⎫
=++
=++++
ωδω
ωδω
7361,00818,0
232232
9472,4
5,0==
⎪⎭
⎪⎬
⎫
=
−=→+=
===
d
d
Kdcd
c
nddcn
KT
TKKK
TTK
cnω
δ
δωδω
( ) 873,3236,202223 2,1082,0
92 jsKsTKs
dc
TKcdc ±−=→=++++==
Control PD
-2,23
Plano s
-1,5
47,4=nω
4,213,87
º60=θ
2,6↑dT
Haciendo Kd= Kc Td1. Variando Kc y Kd constante: δωn=cte. Polos misma parte real.2. Variando Kd y Kc constante: ωn=cte. Error constante.
Plano s
1θ2θ
cten =δω
1nω
2nω
variablecte
===
c
dcd
KTKK
Plano s
1θ
2θ
cten =ω
constantevariable
===
c
dcd
KTKK
Acción de Control Proporcional Integral Derivativo – PID
Características de la Acción de Control PID
Control PID
Kc: Ganancia Proporcional.Ti: Tiempo Integral.Td: Tiempo Derivativo.
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡++=⇒⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡++= ∫
∞sT
sTK
sEsU
dttdeTdtte
TteKtu d
icd
ic
1110
( )( ) ⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡+
++=s
sTsT
KsEsU d
ic β1
11
Efecto proporcional: Mejora la dinámica del sistemaEfecto Integral: Elimina el error ante entradas en nivelEfecto derivativo: Mejora la estabilidad relativa del sistema
( )dt
tdeTK dc
( )sR ( )sY( )sGcK
( )∫ dtteTK
i
cPID
( )sE ( )sUsT i
1
sT d
Efectos de Acciones de Control
Control PID
tKc Baja tKc Media tKc Alta
tKc
tKctKc , Ti
tKc , Ti , Td
Esta
bilid
adEr
ror
Esta
cion
ario
Rapi
dez
tKc , TdtKc , Ti
P I D
Velocidad de respuesta Aumenta Aumenta Aumenta
Error estacionario No elimina Elimina No elimina
Estabilidad Disminuye Disminuye Aumenta hasta cierto punto
Efecto de las perturbaciones en la salida Aumenta bruscamente Aumenta suavemente Aumenta bruscamente
Control PID – Sintonía del PID
Requisitos PreviosBuen conocimiento de las características del procesoElección correcta del controladorEspecificación de las condiciones finales (forma de la respuesta)
Tipos de Métodos de SintoníaSintonía sobre el procesoSintonía sobre modelo simulado
Clasificación de los Métodos de SintoníaMétodos de prueba y errorMétodos empíricos o experimentalesMétodos estadísticos
Control PID – Sintonía del PID de Prueba y Error
Pasos de Sintonía de Prueba y Error1. Sintonizar la acción proporcional Kc, anulando las acciones integral (Ti=∞) y derivativa
(Td=0), hasta conseguir la forma de la respuesta deseada sin tener en cuenta el error estacionario.
2. Ajuste del tiempo derivativo Td, aumentando la ganancia proporcional Kc y restaurando las características de la respuesta. Repetir este paso hasta alcanzar el mayor valor posible de Kc.
3. Ajuste del tiempo integral Ti, hasta eliminar el error estacionario
Control PID – Sintonía del PID Método Empírico
Pasos de Sintonía en los Métodos de Ziegler-Nichols1. Estimación de ciertas características dinámicas del proceso, bien en bucle abierto, o bien
en bucle cerrado.2. Cálculo de los parámetros del controlador mediante la aplicación de las fórmulas de
sintonía.3. Ajuste fino de los parámetros mediante observación de la respuesta del sistema en lazo
cerrado.
Métodos de Sintonía de Ziegler-NicholsMétodo de sintonía en lazo abierto: La estimación de los parámetros se realiza en bucle abierto. El sistema en bucle abierto debe tener una respuesta escalón monótona creciente (sobreamortiguado).Método de sintonía en lazo cerrado: La estimación de los parámetros se realiza en bucle cerrado. El sistema en bucle cerrado debe poder legar a ser críticamente estable.
t
a( )ty
b
b/a = 25%
Método de Sintonía en Lazo Abierto
( ) ( )( ) Ts
KesRsYsG
Ls
+==
−
1
Control PID – Método Ziegler-Nichols Lazo Abierto
t
( )tr
1
t
( )ty
K
Planta( )tr ( )ty
t
( )ty
1t 2t
K632,0
K283,0
K
t
( )ty
L T
Línea tangente en elpunto de inflexión
K
Tipo de Controlador cK iT dT
P KLT ∞ 0
PI KLT9,0 3,0L 0
PID LKT2,1 L2 L5,0
( )
TtLttT
−=−=
2
125,1( ) ( )
sLs
KTsT
sTKsG d
icc
216,011 +=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡++=
La FT se aproxima mediante un sistema de primer orden con un retardo de transporte.
Método de Sintonía en Lazo Cerrado
( ) ( )s
PsPKsTsT
KsG crcrcrd
icc
24075,011 +=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡++=
El sistema puede llegar a inestabilizarse.
Control PID – Método Ziegler-Nichols Lazo Cerrado
t
( )ty crP
Tipo de Controlador cK iT dT
P crK5,0 ∞ 0
PI crK45,0 2,1crP 0
PID crK6,0 2crP 8crP
Pasos de Sintonía en los Métodos de Ziegler-Nichols
1. Eliminar las acciones integral y derivativa (Ti=∞ y Td=0) del sistema en lazo cerrado.
2. Ajustar Kc hasta que la salida del sistema en lazo cerrado oscile.
3. Registrar los valores de Kc y el periodo de oscilación. Serán la ganancia crítica Kcr y el periodo crítico Tcr, respectivamente.
4. Establecer los valores de Kc, Ti y Td en función del tipo de controlador.
Ejemplo
Control PID – Método Ziegler-Nichols Lazo Cerrado
( ) ( )( ) c
c
KsssK
sRsYsM
+++==
56 23
30300
06
30=→=
⎪⎭
⎪⎬⎫
>
=−
crc
c
c
KKK
K
056 23 =+++ pKsss
( )sR ( )sY( )sG c ( )( )51
1++ sss
3s 1 5
2s 6 cK
1s 630 cK−
0s cK
( ) 8099,2256 2 =→=→=→+== cr
crcrcrjsc PPKssA
ωπω
ω
3512,08405,12
186,0
=→==→=
=→=
dcrd
icri
ccrc
TPTTPT
KKK
( ) ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡++= sT
sTKsG d
icc
11