คํานํา · แบบทดสอบความพร อมว...

คาํนาํ

วชิาคณิตศาสตรเปนวชิาทีย่ากและคอนขางซบัซอนนองๆหลายคนอาจรูสกึกลัวและเหนือ่ยกบัการ

เตรยีมตัวจนทอไปกห็ลายคน... ทางสถาบนั The Act. และครูนอยจงึไดจดัทาํหนงัสอืตวินองเลมนีข้ึน้มา

เพือ่เปนแนวทางสาํหรับใชประกอบการเรยีนการสอนในคอรสฟนฟ ูและใชสาํหรับการเตรยีมตวัสอบโควตา

มข. โดยภายในเลมจะประกอบไปดวย การวเิคราะหขอสอบคณติศาสตรยอนหลงั เนือ้หา แบบฝกหดั

ขอสอบ และแนวขอสอบพรอมเฉลย นองๆสามารถศกึษาและฝกฝนไดดวยตนเองหรอืจะมาเรยีนกบัครนูอย

ในคอรสฟนฟกูไ็ดรบัรองวามเีคล็ดลบัและเทคนคิดีๆ มาฝากนองๆแนนอนคะ

ครนูอยหวงัวาตาํราติวนองเลมนีจ้ะเปนประโยชนสาํหรับนองๆ และเปนแนวทางใหนองๆสามารถสอบ

ไดในคณะทีใ่ชและมหาวทิยาลยัในฝนไดนะคะ ครนูอยขอเปนแรงใจใหกบันองๆ ทกุคนนะคะ สู...สู...คะ !!!

สุดทายนีค้รนูอยขอขอบคณุทกุทานทีม่สีวนชวยใหหนงัสอืตวินองเลมนีส้าํเรจ็ลลุวงไดดวยด ีหากมี

ขอผดิพลาดประการใดครนูอยขอนอมรบัไวเพือ่นาํไปปรบัปรงุและพฒันาในโอกาสตอไป

ดวยความปรารถนาด ี

อ.นนัทวนั มัน่จติร ( ครนูอย )

สารบญั

คาํนาํ หนา

วเิคราะหขอสอบโควตามข.ยอนหลงั ป 2550 – 2553 1

บทที ่1. เซต 2-6

บทที ่2. ตรรกศาสตร 7-18

บทที ่3. จาํนวนจรงิและทฤษฎจีาํนวน 19-22

บทที ่4. เรขาคณติวเิคราะหและภาคตัดกรวย 23-27

บทที ่5. ความสมัพนัธและฟงกชนั 28-31

บทที ่6. ฟงกชนัตรโีกณมติ ิ 32-37

บทที ่7. ฟงกชนัเอกโปเนนเชยีลและลอการทิมึ 38-43

บทที ่8. เมทรกิซ 44-52

บทที ่9. จาํนวนเชงิซอน 53-57

บทที ่10. เวกเตอร 3 มติ ิ 58-63

บทที ่11. วธิเีรยีงสบัเปลีย่น การจดัหมู และความนาจะเปน 64-68

บทที ่12. สถติ ิ 69-77

บทที ่13. ทฤษฎกีราฟเบือ้งตน 78-82

บทที ่14. ลําดับและอนกุรม 83-86

แบบทดสอบความพรอมวาทีน่กัศกึษามข. 87-92

เฉลยแบบทดสอบความพรอมวาทีน่กัศกึษามข. 93

แนวขอสอบคดัเลอืกบคุคลเขาศกึษาในมหาวทิยาลยัขอนแกน 94-102

เฉลยละเอยีดแนวขอสอบคดัเลอืกบคุคลเขาศกึษาในมหาวทิยาลยัขอนแกน 103-118

2

บทที่ 1. เซต

การปฏิบัติการทางเซต มี 4 แบบ คือ

1. ยูเนียน ( Union ) เขียนแทนดวย A ∪ B นั่นคือ A ∪ B = {x ⎜x ∈ A หรือ x ∈ B }

2. อินเตอรเซคชัน (Intersection ) เขียนแทนดวย A ∩ B นั่นคือ A ∩ B = {x ⎜x ∈ A และ x ∈ B }

3. คอมพลีเมนต ( Complement ) เขียนแทนดวย A′นั่นคือ A′ = {x ⎜x ∈ U หรือ x ∉ A }

4. ผลตาง ( Difference ) เขียนแทนดวย A – B นั่นคือ A – B = {x ⎜x ∈ A หรือ x ∉B }

สมบัติบางประการที่เกี่ยวกับการปฏิบัติการทางเซต

1. กฎการสลับท่ี

A ∪ B = B ∪ A

A ∩ B = B ∩ A 2. กฎการเปลี่ยนกลุม เหมือนกันเปดได , เปล่ียนกลุมได

(A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C) (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C) 3. กฎการแจกแจง ไมเหมือนตองกระจายเขาไป

A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) 4. กฎเอกลักษณ

A ∪ ∅ = A A ∪ U = U

A ∩ ∅ = ∅ A ∩ U = A 5. กฎการซ้ํา

A ∪ A = A A ∩ A = A

6. กฎของคอมพลีเมนต

A ∪ A′ = U ∅′ = U (A′)′ = A

A ∩ A′ = ∅ U′ = ∅ A – B = A ∩ B′ 7. กฎของเดอรมอรแกน

(A ∪ B)′ = A′ ∩ B′ (A ∩ B)′ = A′ ∪ B′

3

ตัวอยางท่ี 1 กําหนดให { ,{ },1,2,3,{1},{2},{1,2},{2,3},{1,{2}}}A = ∅ ∅ พิจารณาขอความตอไปนี้ถูกหรือผิด

……1. A∅∈ ……2. A∅⊂

……3. { } A∅ ∈ …….4. { } A∅ ⊂

……5. {1,2} A∈ …….6. {{1,2}} A⊂

……7. {1,2,3} A∈ …….8. {1,2,3} A⊂

……9. {{{1,2,3}}} A⊄ …….10. {{ }} A∅ ⊂

ตัวอยางท่ี 2 ให U = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10} และ {1,2,5,6,9,10}A = , {2,3,5,6,8,9}B = , {1,3,4,5,6,7,8}C =

จงหา

1. ( )A B C− − =

2. ( )A B C′∪ ∩ =

3. ( ) ( )A B B C′ ′ ′− ∪ ∩ =

4. [( ) ] [( ) ]A B C A C B′ ′− − − ∪ − =

ตัวอยางท่ี 3 กําหนดเอกภพสัมพัทธ U = {1,2,3,4,5,6,7,8} และให A = {1,2,3,4} , B = {3,4,5,6} ,

C = {2,4,6,7} แลว [(B ∩ C ) - A] ∪ (A ∪ B ∪ C)′ คือเซตในขอใดตอไปนี้

1. {6} 2.. {6 ,8} 3. {5 , 6} 4. {5, 6 ,7}

จํานวนสมาชิกของเซตจํากัด

การหาจํานวนสมาชิกของเซตจํากัด ทําได 2 วิธี คือ 1. โดยใชแผนภาพเวนน – ออยเลอร 2. โดยใชสูตร ดังนี้ กําหนดให U เปนเอกภพสัมพัทธ A,B และ C เปนเซตจํากัด ซึ่งตางก็เปนสับเซตของ U

2.1 ถา A ∩ B = ∅ แลว n(A ∪ B) = n(A) + n(B)

2.2 ถา A ∩ B ≠ ∅ แลว n(A ∪ B) = n(A) + n(B) - n(A ∩ B) 2.3 ถา A , B และ C เปนเซตจํากัดใด ๆ

n(A ∪ B ∪ C) = n(A) + n(B) + n(C) - n (A ∩ B) - n(A ∩ C) - n(B ∩ C) + n(A ∩ B ∩ C)

4

ตัวอยางเพิ่มความเชี่ยวชาญ

ตัวอยางท่ี 4 ในการสํารวจความนิยมในการบริโภคเนื้อหมู ปลาหมึก และกุง จากนักเรียนจํานวน 100 คน พบวา

มี 5 คน ไมทานทั้ง 3 ชนิด มี 52 คน ชอบทานปลาหมึก มี 33 คนชอบทานกุง มี 15 คนชอบทานเนื้อหมูอยาง

เดียว จงหาจํานวนนักเรียนที่ชอบทานทั้งกุง และปลาหมึก ( 5 )

ตัวอยางท่ี 5 จากการสอบถามนักเรียนจํานวน 100 คน วาชอบดื่มน้ําสม นํ้ามะนาว หรือน้ําชาเขียว ไดรับคําตอบ

ดังนี้ 55 คน ชอบดื่มน้ําสม 50 คน ชอบดื่มน้ํามะนาว 37 คน ชอบดื่มน้ําชาเขียว 20 คน ชอบดื่มน้ําสม

และน้ํามะนาว 21 คน ชอบดื่มน้ํามะนาวและน้ําชาเขียว 15 คน ชอบดื่มน้ําสมและน้ําชาเขียว 9 คน ชอบด่ืม

ชาเขียวชนิดเดียวเทานั้น จงหาจํานวนนักเรียนที่ไมชอบดื่มน้ําทั้ง 3 ชนิดนี้ ( 6 )

ตัวอยางท่ี 6 กาํหนดให A – B = {1,2,4} , B – A = {3,5} , A B = {1,2,3,4,5,6,7,8} , ( A B )/ = ขอใดตอไปนี้เปนสับเซตของ ( A B )/

1. { 1 , 2 , 4 , 6 , 7 } 2. { 1 , 2 , 3 , 5 , 7 } 3. { 1 , 2 , 3 , 6 , 8 } 4.. { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 }

5

ชวนนองลองทําขอสอบ 1

1. นักเรียนชั้นมัธยมศึกษาปที่สอง จํานวน 750 คนของโรงเรียนแหงหนึ่ง ทุกคนตองลงวิชาเลือกอยางนอยคนละหนึ่งวิชา จากวิชาเลือก 4 รายวิชาดังนี้ ดนตรีไทย ดนตรีสากล ฟุตบอล และบาสเกตบอล เนื่องจากเวลาเรียนตรงกันทําใหนักเรียนที่เลือกวิชาดนตรีไทยจะเลือกวิชาฟุตบอลไมได และนักเรียนที่เลือกวิชาดนตรีสากลจะเลือกวิชาบาสเกตบอลไมได จากการสํารวจของอาจารยที่สอนวิชาเลือกพบวา มีนักเรียนเลือกวิชาดนตรีไทย 150 คน มีนัเรียนเลือกเรียนวิชาดนตรีสากลอยางเดียว 150 คน มีนักเรียนเลือกวิชาฟุตบอล 310 คน มีนักเรียนเลือกวิชาบาสเกตบอลอยางเดียว 130 คน จากขอมูลดังกลาว โรงเรียนตองการทราบวา มีจํานวนนักเรียนที่ยังไมไดเลือกวิชาเลือกใดเทากับขอใดตอไปนี้

1.. 10 คน 2. 20 คน

3. 30 คน 4. 40 คน

2. ให U = {2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 , 10} ถา A = {2 , 3, 4 , 5 , 6 }และ B = {3 , 4, 5, 6, 7 } และ

C = {4 , 5, 6 , 7, 8 , 9 } แลวจํานวนสมาชิกของเพาเวอรเซตของ [(A – C)′ ∩ B′ ] มีจาํนวนเทากับขอใด 1. 1 2. 2 3. 4 4.. 8

3. กําหนดให A และ B เปนเซตซึ่ง n (A∪ B) = 88 และ n [ ( A –B ) ∪ ( B –A )] = 76 และ n(A) = 45 แลว n (B) เทากับขอใดตอไปนี้ 1. 45 2. 48 3. 53 4.. 55 4. นักเรียนกลุมหนึ่งจํานวน 46 คน แตละคนมีเส้ือสีเหลืองหรือเส้ือสีฟาอยางนอยสีละหน่ึงตัว ถานักเรียน 39 คน มีเส้ือสีเหลือง และ 19 คนมีเส้ือสีฟา แลวนักเรียนกลุมนี้ที่มีทั้งเส้ือสีเหลืองและเส้ือสีฟา มีจํานวนเทากับขอใด 1. 9 คน 2. 10 คน

3. 11 คน 4.. 12 คน

5. กําหนดให U = {1,2,3,…,9} , A = {3,5,7} , B = {2,4,6,8} ขอใดคือจํานวนสมาชิกของ P(A∩B′) 1. 0 2. 2

3. 4 4.. 8 6. ถา P (P(A)) มีสมาชิก 256 ตัวแลว ขอใดคือจํานวนสมาชิกของเซต A 1. 16 2. 6

3. 4 4.. 3

เอ...จะทํากันไดไหมหนอ...

6

บทที่ 2. ตรรกศาสตร

ประพจน ประพจน ((PPrrooppoossiittiioonn))

ประพจนคือประโยคบอกเลาหรือประโยคปฏิเสธที่มีคาความจริงเปนจริง (True) หรือเท็จ (False) อยางใด

อยางหนึ่ง

ตัวดําเนินการ ( Operation)

1. และ (∧) 2. หรือ (∨) 3. นิเสธ (∼) 4. ถา .....แลว (→) 5. ...ก็ตอเมื่อ... (↔)

ตารางคาความจริง

P q p ∧ q p ∨ q p → q p ↔ q

T T T T T T

T F F T F F

F T F T T F

F F F F T T


ตัวอยางท่ี 7 ถาคาความจริงของประพจน p→(r→s) , ~r → ~p , p ตางก็เปนจริง แลว จงหาคาความจริงของ

ประพจน s→(p→~r) ( เท็จ)

ตัวอยางท่ี 8 ให p→q , r∨~q , ~r มีคาความจริงเปนจริง จงหาคาความจริงของ ~(p→q) ↔ ~ (~r∧q) ( เท็จ)

7

ตัวอยางท่ี 9 กําหนดให (p → r) ∧ (~ (q ∨ r)) มีคาความจริงเปนจริง ขอใดคือคาความจริงของ p, q, r ตามลําดับ 1. T, T, T 2. T, T, F 3.. F, F, F 4. T, F, T

ตัวอยางท่ี 10 ให q ∨ r มีคาความจริงเปนจริง แต p → q มีคาความจริงเปนเท็จ ประพจนในขอใดมีคาความจริงเปนจริง

1.. [(p ∧ q) → r] ↔ ~ q 2. (~ r ∨ ~ q) ∧ (p ∧ q)

3. [p → (q → r)] → (~ p ∨ q) 4. [~ q ∧ (r ∧ p)] ↔ ~ r

สมมูล ( ≡ )

1. ∼(∼p) ≡ p

2. ∼(p ∨ q) ≡ ∼p ∧ ∼q ☺ เดอรมอรแกน

∼(p ∧ q) ≡ ∼p ∨ ∼ q

3. p ∧ q ≡ q ∧ p

p ∨ q ≡ q ∨ p ☺ สลับที่

p ↔ q ≡ q ↔ p

4. p ∧ (q ∧ r) ≡ (p ∧ q) ∧ r ☺ เปล่ียนกลุม

p ∨ (q ∨ r) ≡ (q ∨ q) ∨ r

5. p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r) ☺ แจกแจง

p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r) 6. ถาแลวที่ควรรู

p → q ≡ ∼p ∨ q

∼(p → q) ≡ p ∧ ∼q

p → q ≡ ∼q → ∼p 7. ก็ตอเมื่อที่ควรรู

(p ↔ q) ≡ (p → q) ∧ (q → p) ∼(p ↔ q) ≡ ∼p ↔ q ≡ p ↔ ∼q

(p ↔ q) ≡ ∼p ↔ ∼q ≡ ∼q ↔ ∼p

ประพจนท่ีสมมูลกัน หมายถึง ประพจน 2 ประพจนที่มีคาความจริงเหมือนกันทุกกรณี (กรณีตอกรณี)

สาํคญัมากออกขอสอบอยูบอย ๆ !!

8

ตัวอย………………………………

ตัวอย

………………………………ตัวอย

………………………………ฝกฝน

1. ประ

ยางท่ี 11 p → (q……………………………………………………………………………………

ยางท่ี 12 ประพจน

1. (p ∧ q) 3.. ∼(p ∨ q)

……………………………………………………………………………………ยางท่ี 13 ประพจน

1. (p → q) 3. (p ∧ ∼q)

……………………………………………………………………………………นใหเชี่ยวชาญเถิด

ะพจนคูใดไมสมมูล

1. p ∨ q , 3.. ~ p → (q

พิเศษ เขาข

P → (q ∧

P → (q ∨

พิเศษ แตเข

(p ∧ q) →(p ∨ q) →

q ∧ r) สมมูลกบั……………………………………………………………………………………

นใดตอไปนี้สมมูลก

∨∼r

) ∨ r ……………………………………………………………………………………นขอใดสมมูลกับ

∧ (q ∧∼p) ) ∧ ( q → p) ……………………………………………………………………………………ดจะเกิดผล

ลกัน

~ (~ p ∧ ~ q) q → p) , ~ q →

างหนา................

r) ≡

r) ≡

ขาขางหลัง............

→ r ≡→ r ≡บ (p → q) ∨ (……………………………………………………………………………………

กับประพจน (p →

……………………………………………………………………………………p ↔ q

……………………………………………………………………………………

→ p

...........................

(p → q) ∧ (p → q) ∨...........................

(p → r) ∨ (p → r) q → r) หรือไม

……………………………………………………………………………………

→ r) ∧ (q → r) 2. (p ∧

4. ∼(p ∨……………………………………………………………………………………

2.. (∼q →

4. (p ∧……………………………………………………………………………………

2. ~ p ↔4. ~ p →

.♥

∧ (p → r) ∨ (p → r) .♥

∨ (q → r) ∧ (q → r) ( ไม )

……………………………………………………………………………………

q) → r

∨ q) → r ……………………………………………………………………………………

→ ∼p) ∧ (∼q

∼q) ∧ (∼p → ……………………………………………………………………………………

↔ q , (~ p → q) → (q → p) , q →

……………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………

q ∨ p) ∼q) ……………………………………………………………………………………

∧ (q → ~ p) → p

… … … …

… … … …

… … … …

9

2. [p ∧ q) ∨ (~ p ∧ q)] ∧ [(p → s) ↔ (~ s → ~ p)] สมมูลกับประพจนใด 1. p 2.. q

3. p ∧ ~ q 4. ~ p ∨ q

สัจนิรันดร สัจนิรันดร ((TTaauuttoollooggyy )) หมายถึง ประพจนที่มีคาความจริงเปนจริงทุกกรณี

♥ วิธีการทดสอบ ใชการสมมติเท็จ ( F ) ถา ขัดแยง เปนสัจนิรันดร แตถา ไมขัดแยง ไมเปนสัจนิรันดร

♥ สําหรับเคร่ืองหมาย ก็ตอเมื่อ (↔) ใชสมมูลในการตรวจสอบนะคะ


ตัวอยางท่ี 14 ขอตอไปนี้ เปนสัจนิรันดรหรือไม

1. [p ∨(q ∧ r)] ↔ [(p ∨ q) ∧ (p ∨ r)] (เปน) …………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………

2. ∼[p ∨(q ∧ r)] ∨ [p ∨ (q ∧ r)] (เปน) …………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………

3. [(p ∨ q)→ r] ↔ [∼r → (∼p ∧∼q)] (เปน) …………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………… ฝกฝนใหเชี่ยวชาญเถิดจะเกิดผล 1. ประพจนในขอใดเปนสัจนิรันดร

1.. [(p → q) ∧ r] → [(p → r) ∧ (q → r)]

2. [(p → r) ∨ (p → q)] ↔ [p → (q ∧ r)]

3. [(p ∨ q) → r] ↔ [p → (q → r)]

4. (p → q) → (~ p ∧ ~ q)

10

2 ประพจนตอไปนี้เปนสัจนิรันดรกี่ขอ

ก. [~ p ∧ (p ∨ q)] → q

ข. [(p → r) ∧ (q → r)] ↔ [(p ∨ q) → r]

ค. [(p ∨ q) ∧ q] ∨ ~ q 1. 0 ขอ 2. 1 ขอ 3. 2 ขอ 4.. 3 ขอ ประโยคเปดประโยคเปด คือ ประโยคบอกเลาหรือประโยคปฏิเสธที่มีตัวแปร จะเปนประพจนเมื่อกําหนดเอกภพสัมพัทธ

และ ตัวบงปริมาณ “∀” หรอื “∃”

ตัวอยางท่ี 15 จงหาคาความจริงของประพจนตอไปนี้ (เขียนคําตอบไวหนาขอ)

………… 1. ∃x [ x2 + 3 ≥ 4 ] , U = {–1, 0, 1}

………… 2. ∀x [ x > 2 → x2 > 8 ] , U = {0, 1, 2, 3, 4}

………… 3.. ∃x [ x > 0 ] ∧ ∃x [ x < 0 ] , U = {0, 1, 2, 3}

………… 4. ∀x [ x > 1 → x2 > 3 ] , U = {1, 2, 3}

………… 5. ∀x [ x > 1 ] → ∀x [ x2 > 3 ] , U = {1, 3, 4}

………… 6.. ∀x [ x2 + 2x = 0 ] ∧ ∃x [ x + 1 = 0 ] , U = {–2, –1, 0}

………… 7. ∃y ∀x [ y ≥ x ] , U = {0, 1, 2}

………… 8. ∀x ∃y [ x + y = 0 ] → ∀x ∀y [ x ≤ y ] , U = {–1, 1, 2}

………… 9.. ∃x ∃y [ x – y = 3 ] ↔ ∃x ∀y [ x2 < y ] , U = {–1, 1, 2}

………… 10. ∀x ∀y [ x + y > 0 ] ∨ ∃x ∀y [ x – y < 0 ] , U = {0, 1, 2}

ตัวอยางท่ี 16 จงพิจารณาแลวตอบวาประพจนตอไปนี้ “สมมูลกัน” หรือ “ไมสมมูลกัน”

1. ∃x [P(x) → Q(x)] กับ ∃x [~ P(x) ∨ Q(x)] (สมมูล )

2. ∀x [~ P(x) ∨ ~ Q(x)] กับ ∀x [P(x) → Q(x)] (ไมสมมูล )

3. ∃x [P(x) ∧ Q(x)] กับ ∀ x [Q(x) ∧ P(x)] (ไมสมมูล )

4. ∀x ∃y [x < y ↔ x2 < y2] กับ ∃y ∀x [x2 < y2 ↔ x < y] (ไมสมมูล )

5. ∀x∀y [(x = y) ∨ (x > y) ∨ (x < y)] กับ ∀x∀y [(x ≠ y) → (x > y ∨ x < y)] (สมมูล )

11

ตัวอยางท่ี 17 จงหานิเสธของประพจนตอไปนี้

1. ∀x [x ≤ 4] …………………………………..……………………………………….

2. ∃x [x2 − 3 > 0 → x < 0] …………………………………………………………….

3. ∃x [x > 0] → ∀x [x = 1 ↔ x2 = 1]……………………………………………….

การอางเหตุผลการอางเหตุผล

การอางเหตุผล คือ การอางวาสําหรับขอความ P1,P2, . . . ,Pn ชุดหนึ่ง สามารถสรุปขอความ c อันหนึ่งได

สวนประกอบของการอางเหตุผลมี 2 สวนคือ 1. เหตุหรือส่ิงที่กําหนดให 2. ผล

จากเหต ุ P1,P2,...,Pn และผล c จะกลาววา สมเหตุสมผล (Valid) ก็ตอเมื่อ (P1 ∧ P2 ∧...∧ Pn) → c เปนสัจนิรันดร

กฎการอางเหตุผล กฎการอางเหตุผล ((RRuullee ooff IInnffeerreennccee))

รูปแบบการอางเหตุผลตอไปนี้สมเหตุสมผล และเปนที่รูจักแพรหลาย 1. การแจงผลตามเหตุ (Modus Ponens) เหตุ 1. p → q 2. p ผล q 2. การแจงผลคานเหตุ (Modus Tollens) เหตุ 1. p → q 2. ~ q ผล ~ p 3. ตรรกบท (Hypothetical syllogism) เหตุ 1. p → q 2. q → r ผล p → r 4. ตรรกบททางเลือก (Disjunctive syllogism)

เหตุ 1. p ∨ q 2. ~ p ผล q

12

5.

6.

7.

8.

9.

วิธีการ

ตัวอย

การรวม (Conjuเหตุ 1. p 2. q

ผล p (Constructive Dเหตุ 1. p 2. r

3. p

ผล q การผนวก (Add

เหตุ p การทําใหงาย (S

เหตุ p ∧ q การอนุมานโดยกเหตุ 1. p 2. q

ผล (p

รตรวจสอบสมเห

ยางท่ี 18 พิจารณา

ก. เหตุ 1.

2. 3.

ผล pขอความใดตอไ1. ก. และ ข.3.. ก. ไมสมเห

uction)

∧ q Dilemma) → q → s

∨ r

∨ s dition)

Simplification)

กรณี → r → r

p ∨ q) → r

หตุสมผล

าการอางเหตุผลต

p →(q →∼r) q r

p ไปนี้ถูก . สมเหตุสมผล หตุสมผลแต ข. สม

ผล

ผล

จําไวนะ

อไปนี้

มเหตุสมผล

p ∨ q

p

ะวาเหตุทุกขอเปน

ข. เหตุ

ผล

2. ก. สมเ4. ก. และ

นจริงเสมอ

1. (p ∧ q) →

2. ∼(r ∨ s) 3. p

∼q

เหตุสมผลแต ข. ไะ ข. ไมสมเหตุสม

r

ไมสมเหตุสมผล ผล

13

ตัวอยางท่ี 19 พิจารณาการอางเหตุผลตอไปนี้

ก. เหตุ 1. p → ∼r ข. เหตุ 1. p ∧ q

2. q ∨ r 2. q → r

3. ∼r 3. ∼r ∨s ผล p ผล s ขอความใดตอไปนี้ถูก 1. ก และ ข สมเหตุสมผลทั้งคู 2. ก สมเหตุสมผล แต ข ไมสมเหตุสมผล 3.. ก ไมสมเหตุสมผล แต ข สมเหตุสมผล 4. ก และ ข ไมสมเหตุสมผลทั้งคู หมั่นฝกฝนใหเชี่ยวชาญเถิดจะเกิดผล 1. จงตรวจสอบดูวาการอางเหตุผลตอไปนี้สมเหตุสมผลหรือไม

1. เหตุ 1. ~ p ∨ q 2. r → p 3. s → r 4. ~ q

ผล ~ s ∨ q (สมมูล )

2. เหตุ 1. p ∨ q

2. (~ q ∧ r) → s 3. s → ~ p

4. r ∨ s

ผล p ∧ ~ s (ไมสมมูล ) 3. เหตุ 1. ถาฝนตก แลวไฟฟาดับ 2. ไฟฟาไมดับหรือขาวดิบ 3. ถาแดงไมปวดทองแลวขาวไมดิบ 4. แดงไมปวดทอง ผล ฝนไมตก (สมมูล ) 4. เหตุ 1. ถานายแดงออกกําลังกาย แลวนายแดงจะแข็งแรง 2. ถานายแดงไมออกกําลังกาย แลวนายแดงจะเปนไข 3. นายแดงแข็งแรง หรือนายแดงไมเปนไข ผล นายแดงออกกําลังกาย (ไมสมมูล )

14


1. กําหนดให P , Q , R และ S เปนประพจนที่ P , Q และ R มีคาความจริงเปนจริง เท็จ และ จริง ตามลําดับ ขอใดตอไปนี้ถูกตอง

1. ( ( P Q ) ∨ R ) S มีคาความจริงเปนจริง

2. ( ( P ∨ Q ) S ) ∼ R มีคาความจริงเปนเท็จ

3. ( S ∧ P Q ) Q มีคาความจริงเปนเท็จ

4.. ( S Q ) ∨ ( S P ) มีคาความจริงเปนจริง 2. กําหนดให P , Q , R และ S เปนประพจน ตารางคาความจริงของประพจน ( ( P Q ) R ) S จะมีกรณีที่มีคาความจริงเปนจริงเทากับขอใดตอไปนี้

1. 6 กรณี 2. 8 กรณี 3.. 11 กรณี 4. 12 กรณี

3. นิเสธของประพจน มีนักเรียนที่เลนกีฬาและไมเลนเกม คือขอใดตอไปนี้

1. นักเรียนทุกคนเลนกีฬาและไมเลนเกม 2. นักเรียนทุกคนไมเลนกีฬาแลวเลนเกม

3. นักเรียนทุกคนเลนกีฬาแลวไมเลนเกม 4.. นักเรียนทุกคนไมเลนเกมแลวไมเลนกีฬา

4. ให p แทนประพจน “ สําหรับจํานวนจริง x ทุกตัว ถา x 2 แลว x2 4 ”

q แทนประพจน “ สําหรับจํานวนจริง x ทุกตัว มีจํานวนจริง y บางตัวที่ x2y = x ”

ประพจนในขอใดตอไปนี้มีคาความจริงเปนเท็จ

1. ∼ p q 2.. ∼ p ∼ q

3. q ∼ p 4. ∼ q ∼ p

5. ให p , q , r และ s เปนประพจนใด ๆ พิจารณาขอความตอไปนี้

ก) ถา [(∼ p s ) ∧ (∼ r q )] ( r ∨ ∼ s ) มีคาความจริงเปนเท็จ แลวคาความจริงของ p , q , r

และ s เปนจริง เท็จ เท็จ และ จริง ตามลําดับ

ข) ถา ( p ∼ q ) ∨ r มีคาความจริงเปนเท็จ แลว ( p r ) ( q ∨ s ) มีคาความจริงเปนจริง

ขอใดตอไปนี้ถูก

1. ก ถูก และ ข ถูก 2. ก ถูก และ ข ผิด

3.. ก ผิด และ ข ถูก 4. ก ผิด และ ข ผิด

15

6. พิจารณาขอความตอไปนี้

ก. ให p , q , r เปนประพจนใด ๆ จะไดวา p ∧ ( q r ) สมมูลกับ p (q r )

ข. ให P( x ) , Q( x ) เปนประโยคใด ๆ ที่มีตัวแปร x อยูในเอกภพสัมพัทธ U จะไดวา

∼ ∃x [ P( x ) ∧ ∼Q( x ) ] สมมูลกับ ∀x [ P( x ) Q( x ) ]



3.. ก ผิด และ ข ถูก 4. ก ผิด และ ข ผิด


ก. ให p , q , r เปนประพจนที่ ∼ p , ∼ q และ r มีคาความจริงเปน เท็จ เท็จ และจริง ตามลําดับ

จะไดวา (∼ p ∧ q ) ∨ (∼ r p ) มคีาความจริงเปนจริง

ข. ให p , q , r และ s เปนประพจนที่ p ∧ ∼ q r มีคาความจริงเปนเท็จ และ r s มี

คาความจริงเปนเท็จ จะไดวา p ∨ (∼ r ∧ s ) ∼ q มีคาความจริงเปนจริง


1. ก ถูก และ ข ถูก 2.. ก ถูก และ ข ผิด

3. ก ผิด และ ข ถูก 4. ก ผิด และ ข ผิด


ก. กําหนดใหเอกภพสัมพัทธเปนเซตของจํานวนจริง จะไดวา ประโยค ∀x [ |x| 1 x 1 ] มี

คาความจรงิเปนจริง

ข. กําหนดใหเอกภพสัมพัทธของ x และ y เปน { -1 , 0 , 1 } และ { 0 , 1 , 2 } ตามลําดับ จะไดวา

ประโยค ∃x∀y [ 1 x + y 4 ] มีคาความจริงเปนจริง



3. ก ผิด และ ข ถูก 4.. ก ผิด และ ข ผิด

16

การตรเ

สามาร12

ตัวอ

ตัวอย ตัวอย

รวจสอบการสมเเปนวิธีการวิธีหนึ่ง รถเขียนแผนภาพแ1. แผนภาพสอดค2. ถาแผนภาพไมส

อยางเพิ่มความเชี

ยางท่ี 20 ใชแผ เหตุ ผลส

ยางท่ี 21 เหตุ ผลสรุ

ใ

ใ

เหตุ-สมผล นอกจากใชสัจนริัแทนเซตได โดยแผลองกับผลสรุปตาสอดคลองกับผลสร

ชี่ยวชาญ

ผนภาพตรวจสอบตุ 1. คนทุกคนที

2. คนที่ฉลาดสรุป คนที่กินป

1. คนจีนบางคน 2. เหมยเปนคนรป เหมยไมนับถื

ในการแสดงผลสรุป

ใหยกเฉพาะกรณี แ

การใหเห

รนัด คือ การใชแผผนภาพใหสอดคลมที่สรุปไว กลาววรุปตามที่สรุปไว ก

ผลสรุป วาสมเหตุที่กินปลาเปนคนฉดเรียนหนังสือเกง ปลาเรียนหนังสือเก

นนับถือศาสนาพุทนจีน อศาสนาพุทธ (ไ

ปไมสมเหตุ – สมผ

แผนภาพไมสอดค

หตุผล

ผนภาพเวนน-ออยลองกับเหตุ หรือ ส่ิวาการใหเหตุผลนั้นกลาววาการใหเหตุ

ตสมผลหรือไม ฉลาด

กง (สม )

ทธ

ไมสม )

ผล ไมจําเปนตอง

คลองกับผลสรุปเพี

ยเลอร แทนเซต ใชสงที่กําหนดใหที่เปน สมเหตุสมผล (ตผลนั้น ไมสมเหตุ

งเขียนแผนภาพทั้ง

ยงกรณีเดียวก็พอ

ชสําหรับขอความทีนไปได ถา ( Valid ) ตุสมผล ( Invalid

งหมดทุกกรณี

อ

ที่

)

17


1. เหตุ (1) ไมมีคนขยันคนใดเปนคนตกงาน (2) มีคนตกงานที่เปนคนใชเงินเกง (3) มีคนขยันที่ไมเปนคนใชเงินเกง ผล ในขอใดตอไปนี้เปนการสรุปผลจากเหตุ ขางตนที่เปนไปอยางสมเหตุสมผล 1. มีคนขยันที่เปนคนใชเงินเกง 2.. มีคนใชเงินเกงที่เปนคนตกงาน 3. มีคนใชเงินเกงที่เปนคนขยัน 4. มีคนตกงานที่เปนคนขยัน 2. พิจารณาขอความตอไปนี้

ก) เมื่อลองแทนคาใน n ใน 2n ≤ n3+1 ดวยจํานวนนับดังนี้

แทน n ดวย 1 จะได 21 ≤ 13+ 1 จริง



จากการลองแทนคาดังกลาว สรุปไดวา 2n ≤ n3 + 1 เมื่อ n แทนจํานวนนับใด ๆ ข) ถากําหนด เหตุ : 1. นักเรียนที่เรียนเกงบางคนเปนคนขยัน 2. นักเรียนที่ขยันทุกคนเปนคนดี 3. นอยเปนนักเรียนที่เรียนเกง ผล : นอยเปนคนดี ขอใดตอไปน้ีถูก 1. ก ถูก ละ ข ถูก 2. ก ถูก และ ข ผิด 3. ก ผิด และ ข ถูก 4.. ก ผิด และ ข ผิด 3. จํานวน 6 จํานวนเรียงกันดังนี้ 4 , 5 , 7 , 10 , a , 19 โดยการใหเหตุผลแบบอุปนัย a เทากับจํานวนใด

1. 13 2.. 14 3. 15 4. 16

4. จํานวน 7 จํานวนเรียงกันดังนี้ 2 , 5 , 10 , 17 , 26 , b , 50 โดยการใหเหตุผลแบบอุปนัย b เทากับ จํานวนใด

1. 35 2. 36 3.. 37 4. 38

5. เศษสวน 5 จํานวนเรียงกันดังนี้ , , , , โดยหลักอุปนัย a + c เทากับจํานวนใด 1.. 59 2. 58 3. 57 4. 56

..

www.theactkk.net

The Act. . 043-257-617

3

5

500 60

60+25 = 85

1,500 5 %

“ ”

“ ”

“ ”

คํานํา · แบบทดสอบความพร อมว...

Documents