a z evolutÁk vilÁga

Eötvös Loránd TudományegyetemTermészettudományi Kar

Geometriai Tanszék

AZ EVOLUTÁK VILÁGA

BSc szakdolgozat

Készítette: Témavezeto:

Somlói Zsófia Dr. Moussong Gábormatematika BSc adjunktustanári szakirány

Budapest, 2013.

Tartalomjegyzék

1. Bevezeto 3

2. Görbeseregek, burkológörbék 52.1. Néhány differenciálgeometriai alapfogalom . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.1.1. Síkgörbék megadása . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.1.2. Síkgörbék érintoi, ívhossza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.2. Görbeseregek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.3. Burkológörbék . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.3.1. Kúpszeletek mint burkológörbék . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8Parabola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8Ellipszis és hiperbola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.3.2. Néhány ciklois mint burkológörbe . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10Asztrois . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11Kardioid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12Pascal-csigák . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14Nefroid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.4. Görbék kausztikája - mit rejt a kávéscsésze? . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

3. Evoluták 193.1. A görbületi középpontok pályája . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

3.1.1. "A hasonlóság megmarad" . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20Közönséges ciklois . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20A szív görbéje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21Nefroid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22Asztrois . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

3.1.2. További szemléletes evoluták . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25Ellipszis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25Parabola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

3.2. Az evoluták mint burkológörbék . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

4. Az evoluta "testvére": az evolvens 304.1. A lefejtési görbe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

4.1.1. Néhány ismert evolvens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314.2. Néhány szó az ortogonális trajektóriákról . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

4.2.1. Az ortogonális trajektória fogalma, néhány szép példa . . . . . . . 334.2.2. Az evolvensek, mint ortogonális trajektóriák . . . . . . . . . . . . 36

5. Összegzés 37

1

Ábrák jegyzéke

2.1. Egyparaméteres körseregek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.2. Parabola mint szakaszfelezo merolegesek burkolója . . . . . . . . . . . . . 82.3. Parabola érintoi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82.4. Ellipszis mint egyenessereg burkolója . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.5. Hiperbola mint egyenessereg burkolója . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.6. Egység hosszú létra csúszása . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.7. Kardioid mint körök burkolója . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.8. Kardioid és inverz parabolája . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.9. Ciklois érintojének forgása . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.10. Kardioid mint egyenessereg burkolója . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.11. Pascal-csigák mint körseregek burkolói . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.12. Nefroid mint egyenessereg, illetve körsereg burkolója . . . . . . . . . . . . 152.13. Nefroid mint körsereg burkolója . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.14. Ciklois kausztikája az alapra meroleges megvilágítás esetén . . . . . . . . . 172.15. Kör kausztikája a kör kerületi pontjából megvilágítva . . . . . . . . . . . . 172.16. Kör kausztikája az optikai tengellyel párhuzamos fénysugarak esetén . . . . 18

3.1. Közönséges ciklois (piros) és evolutája (kék) . . . . . . . . . . . . . . . . 203.2. Kardioid (piros) és evolutája (kék) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223.3. Nefroid (piros) és evolutája (kék) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233.4. Asztrois (piros) és evolutája (kék) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243.5. Ellipszis (piros) és evolutája (kék) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263.6. Parabola (piros) és evolutája (kék) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263.7. Közönséges ciklois evolutája mint a normálisok burkolója . . . . . . . . . 283.8. Kardioid evolutája mint a normálisok burkolója . . . . . . . . . . . . . . . 283.9. Nefroid evolutája mint a normálisok burkolója . . . . . . . . . . . . . . . . 283.10. Asztrois evolutája mint a normálisok burkolója . . . . . . . . . . . . . . . 293.11. Ellipszis evolutája mint a normálisok burkolója . . . . . . . . . . . . . . . 293.12. Parabola evolutája mint a normálisok burkolója . . . . . . . . . . . . . . . 29

4.1. Görbe evolvensének származtatása . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304.2. Körevolvens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314.3. Koncentrikus körsereg ortogonális trajektóriái . . . . . . . . . . . . . . . . 334.4. Körsereg ortogonális körserege . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344.5. Elliptikus és hiperbolikus körsor mint ortogonális görbeseregek . . . . . . . 344.6. Közös fókuszú ellipszisek és hiperbolák ortogonális görbeserege . . . . . . 354.7. Közös fókuszú parabolák ortogonális görbeserege . . . . . . . . . . . . . . 35

2

1. fejezet

Bevezeto

A geometria, és ezen belül a differenciálgeometria a matematika azon ága, mellyel alap-szinten már kisgyermek korában megismerkedhet az ember, minden matematikai tudás nél-kül akár muvészként vagy mérnökként is alkalmazhatja tapasztalatait. Dolgozatom témájáule tetszoleges szinten muvelheto geometriai terület egy vékony szeletének elemi bemutatá-sát választottam. Különbözo szintu iskolai tanulmányaink során megismerkedhetünk néhányalapveto görbével - az egyenestol a kúpszeleteken át néhány függvény grafikonjáig - és érin-toik tulajdonságaival. A görbék végtelen világa azonban még számos titkot rejteget, amelyekegy része akár középiskolai keretek közt is tanítható lenne.

Természetesen nem gondolom, hogy e szakdolgozat anyaga teljes mértékben tárgyalhatólenne gimnáziumi keretek közt, de bizonyos részei akár egy informatikai órán felbukkanhat-nának rajzoló programok alkalmazásával vagy a fizika körébe tartozó fényjelenségek vizs-gálatakor. A dolgozatban található számtalan példa részletes bemutatása lehetoséget teremta téma alaposabb megismerésére, valamint egy-egy villanás erejéig a középiskolába valófelbukkanásra. A könnyen tárgyalhatóság érdekében dolgozatomban maradok a síkgörbékkörében, hiszen már a síkon is számos gyönyöru példa található. Bár a tárgyalt fogalmak atérben is teljesen hasonlóan felépíthetok, szakdolgozatomban a szemléletesség, "elképzelhe-toség" érdekében ettol eltekintettem. Törekszem az elemi geometriai eszközök használatára,ezáltal is bemutatva, hogy a görbék világa számos geometriai területhez szorosan kapcso-lódik. A teljes tárgyalás érdekében természetesen a téma differenciálgeometriai oldalát isfeltárom.

Témámul az evoluták bemutatását választottam, némi kitekintéssel. Az evoluta differenci-álgeometriai származtatásán túl bizonyítom burkológörbeként való eloállását is. Késobb azevolutával szoros kapcsolatban álló evolvens görbéket is bemutatom. Szakdolgozatom né-hány alapveto differenciálgeometriai fogalom bevezetése után a burkológörbék fogalmánakszemléletes bevezetésével folytatódik, számos gyönyöru példával a kúpszeletek, valaminta ciklois-félék körébol, illetve a geometriai optika területérol. Az evolutát mint a görbületiközéppontok pályáját tekintem, és ismertetem néhány speciális görbe evolutáját. Igazolom,hogy az evoluták a görbe normálisainak burkolói, ezáltal megteremtve a kapcsolatot a ko-rábban tárgyalt burkológörbékkel. Az evoluták ismertetését követi az evolvens fogalmánakbevezetése, melyet elso körben lefejtési görbeként definiálok, majd bizonyítom, hogy a görbeérintoinek ortogonális trajektóriája.

3

1. Bevezeto

Mindvégig törekedtem a szemléletesség megorzésére, így dolgozatomban számos illuszt-ráció található a különbözo jelenségek, fogalmak, görbék ábrázolására. Az ábrák egyetlenkivételtol eltekintve a GeoGebra nevu program segítségével készültek - remélve, hogy segí-tik a dolgozat követhetoségét, érthetoségét.

A téma iránti érdeklodésemet elsosorban témavezetom, Dr. Moussong Gábor élvezetes dif-ferenciálgeometriai eloadásaink köszönhetem. A felvillantott evoluta fogalmát rendkívül iz-galmasnak találtam, számos gyönyöru evoluta bukkant fel a már megismert görbék körében.Lenyugözött, hogy egy "látszólag" önkényesen származtatt pont pályája szintén könnyenleírható. Ezért döntöttem úgy, hogy a görbületi középpontok pályájával szeretnék részlete-sebben foglalkozni. Az alapveto származtatáson túl ezért vizsgáltam másfajta megközelítést,valamint az evoluta testvérének tekintheto evolvenseket is.

Ezúton is szeretném köszönetemet kifejezetni Moussong Gábornak, aki több éves geomet-ria eloadásaival megszeretette velem a matematika ezen ágát. Témavezetomként mindvégighasznos tanácsokkal látott el, ötletek adott a különbözo részek példáihoz. Köszönöm kitartá-sát, türelmét, és lankadatlan éberségét a hibák megtalálásában!

4

2. fejezet

Görbeseregek, burkológörbék

2.1. Néhány differenciálgeometriai alapfogalomA differenciálgeometria a matematika egy olyan területe, amely többek között a differenciál-

és integrálszámítás felhasználásával kutat geometriai problémákat. Kialakulásakor a XVIII.században elsosorban sík- illetve térgörbék, valamint a háromdimenziós euklideszi térbeágyazott felületek vizsgálatához használták. Bár mára erosen kötodik a topológiához, dol-gozatomban a "klasszikus" differenciálgeometriai eszközöket fogom alkalmazni.

2.1.1. Síkgörbék megadásaA középiskolában megismert görbéket explicit (y = x2), illetve implicit ((x − u)2 +

(y − v)2 − r2 = 0) módon definiáltuk. Vizsgálódásaink során nagy hasznát fogjuk venni agörbéknek egy ezektol eltéro megadási módjának, az ún. paraméteres megadásnak. Enneksorán olyan egyenletrendszert adunk meg, amely a görbe tetszoleges pontjának koordinátáitsegédváltozók segítségével fejezi ki. A legelterjedtebb alkalmazási mód, amikor egy sík-görbe vonalát valamilyen menetrend szerint bejárjuk. Ekkor paraméterül az idot választjuk(szokásos jelölés: t), majd a görbe minden egyes pontjára megadjuk az eléréshez szükségesidot a kiindulási ponttól számítva. Már a leírásból látható, hogy egy görbét sokféle módonlehet paraméterezni, elsosorban feladatfüggo, hogy mikor melyik paraméterezést célszeruválasztani.

1. Definíció. Adott egy I ⊆ R intervallum. Egy r : I → R2 függvény paraméteres síkgörbe,ha r kello mértékben differenciálható.

2.1.2. Síkgörbék érintoi, ívhosszaHa adott egy r : I → R2 paraméteres síkgörbe, és egy t0 ∈ I belso pont, akkor kíván-

csiak lehetünk r(t0) ponton áthaladó szelok határhelyzetére. Ha tekintjük ezeknek a szelok-nek egy önkényesen választott irányvektorát: r(t)−r(t0)

t−t0 -t, akkor adódik, hogy a határhelyzetirányvektora ezen irányvektoroknak a határértéke lesz.

2. Definíció. Az r : I → R2 paraméteres síkgörbe sebességvektora a t0 ∈ I pontban r′(t0).Sebessége ebben a pontban: v(t0) = |r′(t0)|.

3. Definíció. Az r paraméteres síkgörbe reguláris a t0 ∈ I pontban, ha r′(t0) 6= 0.

5

2. Görbeseregek, burkológörbék 2.2. Görbeseregek

4. Definíció. Tegyük fel, hogy az r paraméteres síkgörbe reguláris a t0 ∈ I pontban. A görbet0-hoz tartozó érintojén azt az egyenest értjük, amely áthalad az r(t0) ponton, és amelynekirányvektora az r′(t0) sebességvektor.

A görbék érintoin túl érdekelhet minket a görbe hossza két pontja közt, például, ha abejárt útra vagyunk kíváncsiak. Ennek mérésére szolgál a görbe úgynevezett ívhossza.

5. Definíció. Az r paraméteres síkgörbe a és b paraméterértékek közti ívhosszán az∫ bav(t)dt

számot értjük.

1. Megjegyzés. Mint már megállapítottuk, egy-egy görbe többféle módon is paraméterez-heto. Belátható, hogy az érinto, valamint az ívhossz is a görbék geometriai tulajdonságaiközé tartoznak, azaz függetlenek a paraméterezés választásától.

A görbék jól jellemezhetok azzal, hogy mennyire térnek el az egyenestol, azaz mennyiregörbülnek. Egy autóút építésekor fontos szempont lehet olyan kanyarok építése, amelyekaz adott úttípuson megengedett sebességgel bevehetok. Ennek mérésére szolgál a görbület.A görbület szemléletesen származtatható körök segítségével. Legyen P egy rögzített pont agörbén, vegyünk további három pontot a görbén, és tekintsük a rájuk illeszkedo kört (eset-leg egyenest). Vegyük ezeknek a köröknek a határhelyzetét, amikor mindhárom pont P -heztart a görbe mentén. Ezt nevezik a görbe P pontbeli simulókörének. A görbület 0, ha P -belisimulókör nem létezik, egyébként pedig a simulókör sugarának reciproka. A görbület má-sik származtatási módja adja kezünkbe a számoláshoz szükséges eszközöket, ez ugyanis agörbületet az érinto irányának megváltozásaként tekinti.

6. Definíció. Ha r : I → R2 síkgörbe, akkor r görbületén a κ(t) = det(r′(t),r′′(t))v(t)3

függvénytértjük.

7. Definíció. A t0-beli fonormális vektor az érintoirányú egységvektor +90◦-os elforgatottja.Jele: n(t0)

8. Definíció. Tegyük fel, hogy κ(t) 6= 0, ekkor a síkgörbe simulókörén az r(t0) + 1κ(t)

n(t0)

középpontú, 1|κ(t0)| sugarú kört értjük.

9. Definíció. A simulókör középpontja ((r(t0) + 1κ(t0)

n(t0))) a t0-hoz tartozó görbületi kö-zéppont.

Az alapfogalmak tisztázása után megkezdhetjük vizsgálódásainkat a görbék csodálatosvilágában. Bár már egyetlen görbe is rendkívül izgalmas, szakdolgozatom következo feje-zetében végtelen sok görbe együttesét fogjuk tekinteni. Bizonyos görbeseregek mintha egymásik görbét határolnának, ezekkel a határ vonalakkal fogunk részletesebben és precízebbenmegismerkedni.

2.2. GörbeseregekEbben a fejezetben görbeseregekrol lesz szó, és az általuk létrehozott érdekes határokról.

Egy óvodás rajzát is tekinthetjük görbeseregnek, de vizsgálódásaink során elsosorban olyangörbeegyüttesek kerülnek szóba, amelyek valamilyen módon megragadhatók, valamilyenközös tulajdonság segítségével leírhatók. A paraméteres megadás segítségével egyszeruen

6

2. Görbeseregek, burkológörbék 2.3. Burkológörbék

származtathatunk görbeseregeket, például ha az r(t) görbét egy a görbe paraméterétol füg-getlen p paramétertol is függové tesszük. A szokásos jelölésnek megfeleloen ekkor r(t, p)írja le a görbét, ahol t a futó paraméter (jellemzoen ido), míg p a seregparaméter. Ilyengörbesereg keletkezik például akkor, ha egy görbét egy rögzített pontjánál fogva egy másikgörbe mentén mozgatunk, vagy ha a görbe valamely definiáló adatát például a kör sugarát -változtatjuk.

1. Példa. Legyen adott egy origó középpontú, ρ sugarú kör: r(t) = (ρ · cos(t), ρ · sin(t)).Egyparaméteres görbesereget kapunk, ha ezen kör középpontját az x tengely mentén moz-gatjuk egyenletesen. Ekkor a görbesereg egyenlete: r1(t, p) = (ρ·cos(t)+p, ρ·sin(t)). Ehhezhasonlóan egy egyparaméteres körsereget kapunk, ha a kiindulási kör sugarát változtatjuk,például a paraméter függvényeként: r2(t, p) = ((ρ+p)·cos(t), (ρ+p)·sin(t)). A két változásösszekötheto, azaz a kör középpontja az x tengelyen mozog, míg sugara a paraméter lineárisfüggvényeként változik: r3(t, p) = ((ρ + p) · cos(t) + p, (ρ + p) · sin(t)). Az így keletkezokörseregek néhány eleme látható a következo ábrákon.

2.1. ábra. Egyparaméteres körseregek

2.3. BurkológörbékBár lényegében bármilyen görbesereg elképzelheto, a könnyu kezelhetoség érdekében el-

sosorban egyenesseregekkel, illetve körseregekkel fogunk foglalkozni. Lássunk is egy példátolyan egyenesseregre, amely valamilyen szép görbét határol. Ezt a határgörbét a szakiroda-lomban burkológörbének nevezik.

10. Definíció. Az ε egyenessereg burkolója a síkon egy g görbe, ha a g minden pontjábanérinti ε valamely egyenesét.

A definíció analóg módon kiterjesztheto más görbeseregekre is.

11. Definíció. Egy görbesereg burkolója a síkon a g görbe, ha g érinti a sereg minden egye-dét, és g minden pontjához tartozik a görbeseregnek olyan tagja, amely ott érint.

A burkoló létezésének és egyértelmuségének vizsgálatához az analízis széles fegyvertára állrendelkezésünkre (elsosorban differenciálegyenletek szükségesek), de jelen dolgozatnak eznem képezi tárgyát. Visszaemlékezve a görbeseregek bevezetésénél mutatott egyszeru körse-regekre, könnyen megállapíthatjuk, hogy az r1(t) seregnek létezik burkolója: két párhuzamosegyenes y = ±ρ egyenlettel. A bevezeto példában emlegetett r2, illetve r3 alkotta körseregekviszont nem rendelkeznek burkoló görbével.

7


2.3.1. Kúpszeletek mint burkológörbékParabola

Tekintsünk a síkon egy rögzített egyenest (v), valamint egy rá nem illeszkedo pontot(F ). Ekkor az egyenes pontjai és a rögzített F pont által meghatározott szakaszok felezomerolegeseinek egyenesei sereget alkotnak, a 2.2. ábrának megfeleloen.

2.2. ábra. Parabola mint szakaszfelezo merolegesek burkolója

Az így kapott egyenesek mintha egy parabolát határolnának. A fenti példában szemlélete-sen adódik, hogy az egyenesek burkolója olyan parabola, melynek vezéregyenese a rögzítettv egyenes, fókusza pedig a rögzített F pont. Ennek belátásához a sereg egyeneseinek érintotulajdonságát kell megmutatnunk.

2.3. ábra. Parabola érintoi

A parabola érintoinek szakaszfelezo meroleges tulajdonságát belátva nyilvánvaló, hogyakkor a szakaszfelezo merolegesek a parabola érntoi. Tekintsünk egy tetszoleges parabolát(v vezéregyenessel és F fókuszponttal), és egy tetszoleges érintojét (e) az érintési ponttal(E). Mivel E a parabola egy pontja, így a fókuszponttól és a vezéregyenestol mért távolságamegegyezik (parabola definíció), azaz |EF | = |EV | a 2.3. ábra jelöléseit használva. V F

8


egyenes és e metszéspontja legyen T . Kúpszeletek érintoinek szögfelezo tulajdonsága miattV ET∠ = TEF∠, így V ET háromszög egybevágó FET háromszöggel, így V T = TF . Azérinto tehát valóban az FV szakasz felezomerolegese. Tehát az egyenessereg szakaszfelezomerolegesei valóban a parabola érintoi, így a sereg burkolója olyan parabola, melynek arögzített pont a fókuszpontja, a rögzített egyenes pedig vezéregyenese.

A sereg egyedeinek érintotulajdonságát koordináta geometriai eszközök és némi számo-lás segítségével is könnyen beláthatjuk. Legyenek F pont koordinátái (u, v + p

2), v pedig az

y = v − p2

egyenlettel adott. A parabola egyenlete: (x− u)2 = 2 · p · (y − v). Ekkor Q ∈ vpont koordinátái a következoképpen alakulnak: (q, v − p

2). Az FQ szakasz felezomerolege-

sének egyenletének felírásához felhasználjuk a szakaszfelezopont (M ), valamint ~FQ-t, amia szakaszfelezo meroleges egyenesének normálvektora.

M =F +Q

2= (

q + u

2, v)

~n = FQ = (q − u,−p)

Az egyenes egyenlete:

(q − u) · x− p · y =(q − u) · (q + u)

2− v · p

A parabolával való közös pont(ok) vizsgálatakor a következo egyenlet adódik:

(q + u

2+p · y − v · pq − u

− u)2 = 2 · p · (y − v).

Algebrai átalakítások során y koordinátára a következo másodfokú egyenletet kapjuk:

p2 · y2 − (2 · p2 · v + (q − u)2 · p) · y +(q − u)4

4+ p2 · v2 + p · v · (q − u)2 = 0

D = (2 · p2 · v + p(q − u)2)2 − 4 · p2 ·[

(q − u)4

4+ p2 · v2 + p · v · (q − u)2

]D = 4p4v2 + (q − u)4p2 + 4p3v(q − u)2 − p2(q − u)4 − 4p4v2 − 4p3v(q − u)2 = 0

A diszkrimináns éppen 0, így az egyenessereg egy egyedének és a vizsgált parabolánakegyetlen közös pontja van. Ennek megfeleloen a sereg egyedei érintik a parabolát, így aparabola valóban burkolója ennek az egyenesseregnek.

Ellipszis és hiperbola

A kúpszeletek családjába tartozó ellipszis, illetve hiperbola a parabolához hasonlóan elo-állítható bizonyos egyenesseregek burkolójaként.

2. Példa. Vegyünk egy 2 · a (a ∈ R, 0 < a) sugarú kört F1 középponttal, és egy rögzí-tett belso pontját F2. Ekkor a kör pontjai és a rögzített pont által meghatározott szakaszokfelezomerolegeseinek burkolója éppen egy F1, F2 fókuszú, 2 · a nagytengelyu ellipszis. Ki-használva, hogy a kúpszelet fókuszának a kúpszelet tetszoleges érintojére való tükörképe

9


rajta van a másik fókusz körüli vezéralakzaton, az egyenessereg burkolója azonnal adódik,hiszen F2-nek a szakaszfelezomerolegesekre vonatkozó tükörképe nyilván rajta van az F1

középpontú, 2 · a sugarú vezérkörön, azaz a szakaszfelezo merolegesek egyben érintok is.

2.4. ábra. Ellipszis mint egyenessereg burkolója

3. Példa. A hiperbola burkolóként való megjelenése csupán annyiban különbözoik az ellip-szisétol, hogy a rögzített F2 pont a kör külsején található, a bizonyítás teljesen analóg.

2.5. ábra. Hiperbola mint egyenessereg burkolója

2.3.2. Néhány ciklois mint burkológörbeA kúpszeleteken kívül is számos különleges görbe létezik, de ezekkel középiskolai kere-

tek közt már ritkábban találkozhatunk. Például a görbék egyik szép csoportja az ún. cikloisokcsaládja. A cikloisok olyan görbék, amelyeket egy irányított görbén csúszás nélkül gördülokör egy meghatározott pontja ír le. A gyakorlatban azoknak a cikloisoknak van nagy jelento-sége, melyeknél az irányított görbe egyenes vagy kör. Egyenesen csúszásmentesen gördülokör esetében közönséges ciklois keletkezik, míg körön való gördüléskor epi-, illetve hipo-ciklois, attól függoen, hogy a gördülokör a rögzített kör külsején vagy belsejében gördül-e.

10


Asztrois

A cikloisok családjába tartoznak az asztroidok (más néven asztroisok) is. Ezek olyan sík-görbék, melyeket egy rögzített körön belül csúszás nélkül gördülo négyszer kisebb sugarúkör egy rögzített pontja ír le, így speciális hipocikloisoknak tekinthetok. Az asztrois a kúp-szeletekhez hasonlóan eloállítható szakaszok burkológörbéjeként.Állítás: Az r(t) = (cos3(t), sin3(t)) egyenletu asztrois bármely érintoegyenesének a koordi-nátatengelyek közé eso szakasza egységnyi.Bizonyítás: Az r(t) = (cos3(t), sin3(t)) egyenletu asztrois érintojének irányvektora:

r′(t) = (3 · cos2(t) · (− sin(t)), 3 · sin2(t) · cos(t))

Ebbol az érinto egyenesének normálvektora:

r′(t)n = (−3 · sin2(t) · cos(t),−3 · cos2(t) · sin(t))

Az egyenes egyenlete egy pontjának és normálvektorának segítségével:

−3 · cos(t) · sin2(t) · (x− cos3(t))− 3 · sin(t) · cos2(t) · (y − sin3(t)) = 0

−3 · cos(t) · sin2(t) · x− 3 · sin(t) · cos2(t) · y+ 3 · cos4(t) · sin2(t) + 3 · cos2(t) · sin4(t) = 0

−3 · cos(t) · sin2(t) · x− 3 · sin(t) · cos2(t) · y + 3 · sin2(t) · cos2(t) · (cos2(t) + sin2(t)) = 0

Osztva −3 · cos2(t) · sin2(t)-vel (ez a szorzat éppen az asztrois csúcspontjaiban lenne 0, ottpedig az érinto valamelyik koordináta-tengely, tehát valóban egységnyi hosszú érintoszaka-szokról beszélhetünk):

x

cos(t)+

y

sin(t)− 1 = 0

A koordináta-tengelyekkel vett metszéspontok:x-tengellyel (y = 0) : x = cos(t), azaz a metszéspont koordinátái (cos(t), 0).y-tengellyel (x = 0): y = sin(t), azaz a metszéspont koordinátái (0, sin(t)).A két pont távolsága éppen

√cos2(t) + sin2(t) = 1, azaz az érinto koordináta-tengelyek

közti szakasza valóban egységnyi hosszú.Tehát ha képzeletben egy egységnyi hosszú létrát támasztunk a falnak függolegesen, majd alétra alja fokozatosan csúszik a talajon, akkor a létrák (azaz szakaszok) burkolója éppen egyasztrois lesz.

2.6. ábra. Egység hosszú létra csúszása

11


Kardioid

Szintén a cikloisok családjába tartozik a kardioid, mely nevét az alakjáról kapta1. Kar-dioid keletkezik, ha egy R sugarú körön kívül csúszásmentesen gördülo ugyanakkora sugarúkör egy rögzített pontjának pályáját nézzük. A kardioid - az asztroissal szemben - az epicik-loisok családjába tartozik, hiszen a gördülo kör az alapkör külsején helyezkedik el.Rögzítsünk a síkon egy kört és ennek egy pontját. Tekintsük azokat a köröket, amelyeknekközéppontja a rögzített körön van, és átmennek a rögzített ponton.

2.7. ábra. Kardioid mint körök burkolója

Állítás: Ezen körök burkolója éppen egy kardioid.Bizonyítás: Elso lépésként lássuk be, hogy ha a kardioidot invertáljuk a csúcspontjára, akkorparabolát kapunk, melynek fókusza az inverzió pólusa. Származtassuk a kardioidot mint azalapkör egy rögzített C pontjának az alapkör összes érintojére vonatkozó tükörképét. Ezeka pontok nyilván a C csúcsú kardioid pontjai, hiszen a kardioid generálásakor az alap- és agördülokör azonos sugarú, így a generáló ábrán BC és BP ívek egyenloek, ráadásul a közösB-beli érintore tükrösek.Inverzió során a póluson áthaladó kör képe egyenes, amely párhuzamos a kör pólusbeliérintojével. A kör K középpontjának inverze K ′ pedig a pólus tükörképe a kör inverz-egyenesére. Az ábrának megfeleloen legyen k póluson áthaladó kör inverze a k′ egyenes,T inverze T ′ ∈ k′. Az inverzió definíciója miatt CK · CK ′ = r2 = CT · CT ′ MivelCT = 2 ·CK, így CK ′ = 2 ·CT ′, azaz K inverze valóban a pólus egyenesre vett tükörképe.Eme tudás birtokában invertálva a kardioid elozo származtatási elrendezését, kapjuk, hogyaz alapkör (ami nyilván átmegy a C póluson) inverze az ei egyenes. Az e érinto inverze olyanpóluson áthaladó kör, mely érinti ei-t, hiszen az inverzió érintkezéstartó. A kardioid P pontjaéppen tükörképe a C pólusnak az érintore vonatkozóan, így ose az e egyenes inverz-körénekközéppontjának, a fentebb belátott tulajdonság alapján (póluson áthaladó kör középpont-jának inverze, a pólusnak a kör inverz-egyenesére vonatkozó tükörképe). Tehát a kardioidpontjainak inverzei olyan körök középpontjai, melyek érintik az ei egyenest, és átmennek aC póluson. Ismert tény, hogy az ilyen körök középpontjai éppen a C fókuszú, ei vezéregye-nesu parabola pontjai. Tehát a kardioid csúcspontra vonatkozó inverze valóban parabola,melynek fókusza a csúcspont, ezzel beláttuk az elso lépést.Ezek után invertáljuk a vizsgálandó körsereget a kardioid csúcspontjára, azaz arra a rögzített

1latinul a szív cordis

12


pontra, amelyen minden kör átmegy. Minden kör egy egyenesbe megy át, továbbá a K kör-középpontok K ′ képei az alapkör ei képére kell, hogy essenek, végül pedig a K ′ és C ′ = Cpontoknak tükrösnek kell lenniük a képegyenesre. A képegyesekre megkövetelt tulajdonsá-gok éppen a parabola érintoit jellemzik, a parabola pedig valóban az érinto egyeneseinekburkolója (mint minden görbe), így a kardioid is burkolója a fentebb leírt köröknek.

2.8. ábra. Kardioid és inverz parabolája

A kardioid azonban nemcsak körök burkolójaként állítható elo, hanem egyenessereg bur-kológörbéjenként is. A ciklois érintoire vonatkozó általános tétel segítségével a kardioidegyenessereg burkolójaként való származtatása könnyen adódik.

Állítás: A cikloisok érintoje fele akkora sebességel forog, mint a generálókör.Bizonyítás: Legyen az érinto elfordulása a függolegeshez képest α. Kihasználva, hogy a P -beli érinto mindenkor átmegy a gördülokör tetopontján, A-n (érintkezési ponttal átellenespont), a P -beli normális - azaz az érintore meroleges egyenes - pedig a gördülokör és arögzített görbe (amin a gördülokör gördül) B érintkezési pontján, kapjuk, hogy a PB nor-málisra merolegest bocsátjva O-ból a TOB∠ váltószöge α-nak. Ugyanakkor TOB∠ éppenfele a POB∠ szögnek, hiszen POB háromszög egyenloszárú, és OT az alapra bocsátottmeroleges, ami egyben a szárszög szögfelezoje is.Felhasználva ezt a tudást, induljunk ki az egyenletes sebességel mozgó A pontból, és for-gassunk körülötte egy egyenest, de csak fele akkora szögsebességgel, mint ami az A haladómozgásához tartozó tiszta gördülésé lenne (elozo tételbol származtatva). Ekkor az egyenesminden pillanatban érinteni fog egy cikloist.

2.9. ábra. Ciklois érintojének forgása

13


A fentieket a kardioid esetére alkalmazva tehát egy 3·R sugarú körpályán keringoA pontkörül 3

2-szeres sebeséggel forgó egyenes érinti a kardioidot, tehát ennek az egyenesseregnek

a burkolója éppen egy kardioid. Ez az egyenes könnyen eloállítható ha az alapkörön csúszás-mentesen gördülo, kétszer akkora sugarú kör egy rögzített átmérojét követjük nyomon. Ezenátmérok burkolója egy kardioid, ez látható a 2.10. ábrán.

2.10. ábra. Kardioid mint egyenessereg burkolója

Pascal-csigák

A cikloisok családjának egy másik szép példánya is elollítható körök burkolójaként. APascal-csigák lényegében nyújtott, illetve hurkolt egycsúcsú epicikloisok. A kardioidhoz na-gyon hasonlóak, csupán annyiban térnek el tole, hogy nem a gördülokör egy kerületi pontja,hanem egy a belsejében, illetve a külsején lévo pont írja le oket. Ennek megfeleloen a kar-dioid számos tulajdonsága érvényes a Pascal-csigákra is, ezek közül az egyik az, hogy kör-sereg burkológörbéjenként is eloállítható. Tekintsük azokat a köröket, melyek középpontjaiegy rögzített alapkörre esnek, és átmennek a kör belsejében, illetve külsején elhelyezkedorögzített ponton. Az ábráknak megfeleloen hurkolt-, illetve nyújtott Pascal-csigát kapunkburkolóként.Érdemes megemlítenünk, hogy ha az említett körseregeket invertáljuk a csúcspontra (ame-lyen minden kör áthalad), akkor éppen a 3., illetve 4. példában említett egyenesseregeketnyerjük. A póluson át nem haladó kör képe (rögzített alapkör) póluson át nem haladó kör, k′.Mivel a körsereg egyedei a póluson áthaladnak, így ezek képei egyenesek, melyekre nézvea körök Ki középpontjai éppen a pólus tükörképei. Tehát az inverzió olyan egyenesseregetszármaztat, amelynek egyedei felezomerolegesei egy rögzített kör pontjainak és egy rögzítettpontnak. Attól függoen, hogy a rögzített pont a kör belsejében, illetve külsején található ka-punk ellipszist, illetve hiperbolát. Megállapíthatjuk, hogy Pascal-csigák inverzei ellipszisek,illetve hiperbolák bizonyos speciális pólusok esetén. Ez bizonyítja azt is, hogy a példábanírt körseregek burkolója valóban Pascal-csiga, hiszen az inverz elrendezés esetén már bizo-nyítottuk, hogy a megfelelo egyenesseregek burkolója ellipszis, illetve hiperbola, az inverziópedig érintkezéstartó.

14


2.11. ábra. Pascal-csigák mint körseregek burkolói

Nefroid

A cikloisok családjának következo képviseloje a nefroid, mely nevét veseszeru alakjárólkapta. Nefroidot akkor kapunk, ha a gördülokör sugara fele az alapkör sugarának, így enneka görbének két csúcsa van. A ciklois érintoinek forgási tulajdonságából adódóan a nefroid iskönnyen származtatható mint egyenessereg burkoló görbéje. Egy R sugarú alapkörön gör-dülo ugyanakkora sugarú kör átméroi éppen az érintok seregét generálják, hiszen feleakkorasebességgel forognak, mint a tiszta gördülés szögsebessége.

2.12. ábra. Nefroid mint egyenessereg, illetve körsereg burkolója

A nefroid az eddigi cikloisfélékhez hasonlóan nemcsak egyenessereg, hanem körseregburkológörbéjeként is származtatható. Tekintsünk a síkon egy rögzített kört (alapkört), ésvizsgáljuk azoknak a köröknek a seregét, amelyek középpontja az alapkörre esik, és érintikaz alapkör egy rögzített átmérojét. Ezen körök burkolója éppen egy nefroid, mint az a fentiábrán látható.

Ennek igazolásához azt kell belátnunk, hogy a nefroid minden, a fentieknek megfelelokört pontosan egy pontban érint. Ez a generálást bemutató ábra segítségével könnyen bizo-nyítható. A P -beli nefroidérintot (így a nefroidot is) érinti az a kör, melynek középpontjaB-ben, a P -beli normálison van. COB∠ = ϕ esetén a csúszásmentes gördülés miatt CB ésBP ívek egyenlok, így BGP∠ = 2ϕ. Ekkor B távolsága az átmérotol: BT = R · sinϕ. BPtávolságra a koszinusz-tételt alkalmazva BGP∆-ben:

BP 2 = (R

2)2 + (

R

2)2 − 2 · R

2· R

2· cos(2ϕ)

15

2. Görbeseregek, burkológörbék 2.4. Görbék kausztikája - mit rejt a kávéscsésze?

Ezt átalakítva adódik, hogy BP = R · sinϕ. Azaz a vizsgált kör valóban érinti a nefroidotis, és az átmérot is.

2.13. ábra. Nefroid mint körsereg burkolója

2.4. Görbék kausztikája - mit rejt a kávéscsésze?A burkolók fogalmának áttekintése után számos szép példát láttunk különbözo görbese-

regre (egyenes- és körseregekre), melyek ismert burkológörbével rendelkeznek. A burkológörbék azonban nem csak "elméletben" létezo fogalmak, hanem a mindennapokban is fel-bukkannak. A geometriai optika egyik legfontosabb kérdése, hogy valamilyen görbérol vagyfelületrol hogyan verodnek vissza (vagy törnek meg) a ráeso fénysugarak. A visszavert (vagymegtört) fénysugarak bizonyos speciális elrendezodések esetén egyetlen pontba fókuszálód-nak (péládul ezen az elven muködnek a gyujtolencsék), általában azonban "csak" egy görbétburkolnak, amit kausztikának vagy fókuszvonalnak szokás nevezni. A burkológörbék fo-galma tehát korántsem annyira elvont, mint elsore gondolnánk, hiszen a reggeli teás- vagykávéscsészénkben is felbukkanhatnak megfelelo megvilágítás mellett. A következokben kétnevezetes görbe kausztikáját fogom röviden áttekinteni.

4. Példa.

Állítás: Ha az alapra meroleges irányból világítunk meg egy közönséges cikloist, akkor akausztikája két feleakkora ciklois lesz.Bizonyítás: Ennek igazolásához azt kell belátnunk, hogy a visszavert fénysugár érinti vala-melyik kis cikloist. Meroleges visszaverodés esetén ez akkor teljesül, ha a beeso sugár ésa kis ciklois érintoje által bezárt szög szögfelezoje éppen a megvilágított ciklois normálisa.Emlékezzünk vissza a ciklois egyik származtatási módjára, az együtt gördülo R illetve 2Rsugarú körpárra. A kisebbik kör P pontja leírja a kis cikloisokat, a nagy kör P ′ pontja pedig a

16


nagy cikloist. Közben PP ′ mindvégig érinti a kis cikloist P -ben, hiszen PP ′ a nagy kör egyátméroje. A kis kör A tetopontja (amelyen áthalad a PP ′ érinto) egyben a nagy kör közép-pontja. A nagy ciklois P ′-beli normálisa áthalad a körök közös B talppontján (mivel mindenpillanatban a csúszásmentes gördülés éppen egy, az érintkezési pont körüli forgatásnak te-kintheto, így P ′ elmozdulási iránya meroleges BP ′-re). A keletkezo BAP ′∆ egyenloszárú(AB = AP ′ = 2R), így AP ′B∠ = ABP ′∠, de ABP ′∠ éppen váltószöge a normális általkettéosztott P ′-nél lévo másik félszögnek, így a normális valóban szögfelezo.

2.14. ábra. Ciklois kausztikája az alapra meroleges megvilágítás esetén

5. Példa. A következo gyönyöru példa a körhöz kapcsolódik. Egy kör kerületére helyezettpontszeru fényforrásból kiinduló sugarak a körön visszaverodve egy kardioidot súrolnak. Ezjól megfigyelheto fényes kausztika görbét eredményez például egy pohár sötétebb folyadékfelszínén. Ezt a jelenséget akár a saját bögrénkben is megfigyelhetjük egy napfényes reggelen(vagy a lámpa alatt). A csészében megjeleno kardioid - és a következo példában emlegetettnefroid - esetében fontos szerepet játszik a csésze kúpos kialakítása, hiszen a térben a kúpegy alkotójának irányából beeso fény úgy verodik vissza a kúpfelületrol a térben, hogy akávé síkjában kardioidnak látszik (sajnos az illusztráció nem pontszeru fényforrással készült,ugyanakkor a jelenséget szépen illusztrálja).

2.15. ábra. Kör kausztikája a kör kerületi pontjából megvilágítva

17


6. Példa. Kör kausztikájaként azonban nemcsak kardioid állhat elo, hanem nefroid is. Haa körre az optikai tengellyel párhuzamos sugárnyaláb esik, akkor a kör kausztikája nefroidlesz. Az elozo, valamint ez az állítás is könnyen származtatható a következo epicikloist raj-zoló módszerbol. Egy kör kerületén kössünk össze minden pontot - ϕ középponti szöggel- a k · ϕ szöguvel, ahol k alkalmas racionális szám. Ekkor a húrok egy epicikloist érinte-nek, k = 2 illetve k = 3 esetén kardioidot, illetve nefroidot kapunk. Bár az állítás különö-sebb nehézségek nélkül igazolható, jelen dolgozatban ettol eltekintek. Ennek felhasználásvalazonban a kardioid kausztikaként való eloállításának bizonyítása csupán annyi, hogy ha egyfénysugár a ϕ szögben érkezik a pohár falára, akkor visszaverodés után éppen a 2ϕ irányúkerületi pont felé fog továbbhaladni, így a belso falról visszaverodo sugarak kardioidot érin-tenek.A nefroid kausztikaként való eloállításához tekintsük a következo ábrát. OD legyen az op-tikai tengely, a vizsgált optikai tengellyel párhuzamos fénysugár messe a kört P -ben, tükrö-zodjön M -ben, és haladjon tovább a körön fekvo P ′ pont irányába. Ekkor

α = DGP∠ = GPM∠ = PMG∠ = GMP ′∠ = MP ′G∠.

Így DGM∠ = 180◦ − α és DGP ′∠ = DGM∠ + MGP ′∠ = 360◦ − 3α. Tekinthetjüktehát úgy, hogy a 180◦ − α szögnél lévo M pontot köti össze a visszeverodo sugár a három-szor akkora szögnél lévo P ponttal, az ilyen húrokról pedig már megállapítottuk (bizonyításnélkül), hogy nefroid a burkolójuk.

2.16. ábra. Kör kausztikája az optikai tengellyel párhuzamos fénysugarak esetén

Még számos példát találhatunk a burkolók felbukkanására a mindennapi életben, akárkausztikaként, akár másmilyen formában, de ezek vizsgálata már nem tartozik a dolgozat té-májához. Itt csupán a szemléletesség kedvéért mutattam be néhány izgalmas példát, a teljes-ség igénye nélkül. A burkológörbék definícióján túl számos konkrét egyenes-, illetve körse-reg burkológörbéjét vizsgáltam, amelyek ismert görbéket eredményeztek. A következokbenmegismerkedünk majd egy adott görbe segítségével származtható legegyszerubb görbékkel,amelyek ismét kapcsolatba kerülnek az eddig részletesen bemutatott burkoló fogalmával.

18

3. fejezet

Evoluták

3.1. A görbületi középpontok pályájaMint azt a differenciálgeometriai alapfogalmak bevezetésénél láthattuk, a görbék jelle-

mezhetok az ún. görbülettel, ami azt méri, hogy a görbe mennyire tér el az egyenestol, azazmennyire görbül. Ennek gyakorlati jelentosége is igen nagy, de ezen túl is számos érdekesdolog származtatható a görbület segítségével. Ebben a fejezetben olyan görbékrol lesz szó,amelyek az eredeti görbébol származtathatók. A korábban már áttekintett differenciálgeo-metriai fogalmakra a következokben nagy szükségünk lesz, ezért a legfontosabb fogalmakatés szokásos jelölésüket gyorsan áttekintem.

Regulárisnak tekintettünk egy görbét a t0 pontban, ha r′(t0) 6= 0. Ekkor a görbe t0-beliérintoje az az egyenes, amely áthalad az r(t0) ponton, és irányvektora r′(t0). Az érintoirányúegységvektor (e(t0)) r′(t0) normalizáltja, a fonormális egységvektor (n(t0)) pedig az érin-toirányú egységvektor +90◦-os elforgatottja. A görbületet a r′(t0)×r′′(t0)

v(t)3képlet segítségével

számolhatjuk ki. A simulókör az adott pontban a görbét legjobban közelíto kör, középpontjaaz adott pontbeli normálison fekszik, sugara pedig a görbület reciproka. Nyilván a simulókörlétezésének feltétele, hogy a görbe reguláris legyen az adott pontban, azaz létezzen érintoje,valamint, hogy a görbület ne legyen nulla (κ(t) 6= 0). A simulókör középpontját görbületiközéppontnak nevezzük.

Egy-egy síkgörbe vizsgálatakor érdekes kérdés lehet, hogy a görbületi középpontok mi-lyen pályát írnak le. Számos ismert görbe esetén a görbületi középpontok is nagyon "szép"pályán mozognak, a következokben ezekkel fogunk részletesebben megismerkedni.

12. Definíció. Egy síkgörbe evolutája görbületi középpontjainak a halmaza.

A definícióból könnyen származtatható az evoluta paraméterezése, hiszen a görbületi közép-pont helye felírható az eddigi fogalmak segítségével:

re(t) = r(t) +1

κ(t)n(t)

Az eddig megismert görbék közül számos görbe rendelkezik nevezetes evolutával, azazaz evolutája is valamilyen ismert görbe. A következokben néhány látványos példát tekintekát - az evolutát a differenciálgeometriai eszközök segítségével származtatva. Nyilván a gör-bületi középpont létezésének feltételei azonosak a simulókör létezésének feltételeivel (hiszenannak a középpontja). Vizsgálódásaink során azonban érdemes enyhíteni ezeken a feltétele-ken, hiszen nem csak minden pontjukban reguláris görbékkel foglalkozunk (gondoljunk a

19

3. Evoluták 3.1. A görbületi középpontok pályája

cikloisokra). Célszeru úgy tekintetünk, hogy valahányszor az eredeti görbének olyan szin-guláris pontja van, ahol a görbület végtelenhez tart, 1

κ(t)-t 0-nak tekintjük, és az evolutához

ezt a pontot is hozzáértjük. Ez az "engedmény" logikusan illeszkedik az evoluta származ-tatásába, ugyanakkor sokkal kényelmesebbé teszi a vizsgálódást. A következokben ismertgörbe-evoluta párosokat tekintek át, melyek közül az elso néhány esetében a két görbe egy-bevágó vagy hasonló, azaz az evoluta ugyanolyan típusú görbe, mint a kiindulási.

3.1.1. "A hasonlóság megmarad"Közönséges ciklois

Talán az egyik leglátványosabb példa a már sokat emlegetett közönséges ciklois, amely-nek evolutája eltoltja az eredeti cikloisnak, így egybevágó azzal.

r(t) = (t− sin(t), 1− cos(t))

r′(t) = (1− cos(t), sin(t))

r′′(t) = (sin(t), cos(t))

v(t) = |r′(t)| =√

(1− cos(t))2 + sin2(t) =√

2− 2 · cos(t)

n(t) =1√

2− 2 cos(t)(− sin(t), 1− cos(t))

κ(t) =det(r′(t), r′′(t))√

2− 2 cos(t)=

(1− cos(t)) cos(t)− sin2(t)√2− 2 cos(t)

=

=cos(t)− (cos2(t) + sin2(t))√

2− 2 cos(t)=

cos(t)− 1√2− 2 cos(t)

re(t) = r(t)+1

κ(t)n(t) = (t−sin(t), 1−cos(t))+

(√

2− 2 cos(t))3

(cos(t)− 1)√

2− 2 cos(t)(− sin(t), 1−cos(t))

re(t) = (t+ sin(t), cos(t)− 1)

Az eredeti görbe t+ π helyen vett (π,−2)-vel való eltoltja:

r(t+π)+(π,−2) = (t+π−sin(t+π), 1−cos(t+π))+(π,−2) = (t+π+sin(t), 1+cos(t))+(π,−2)

r(t) = (t+ sin(t), cos(t)− 1)

Ez éppen a fenti evoluta egyenlete, így beláttuk, hogy a közönséges ciklois evolutája eltoltjaaz eredeti görbének, amelyet a 3.1. ábrán láthatunk.

3.1. ábra. Közönséges ciklois (piros) és evolutája (kék)

20


A szív görbéje

A cikloisok családjának következo, már emlegetett képviseloje a kardioid vagy más né-ven "szív-görbe". A kardioid evolutája szintén kardioid, az eredeti görbéhez képest fordítottállású, és 1

3-ára kicsinyített. Ennek igazolása differenciálgeometriai eszközök felhasználásá-

val könnyen lehetséges.A kardioid egy lehetséges paraméterezése:

r(t) = R(2 cos(t)− cos(2t), 2 sin(t)− sin(2t))

r′(t) = R(2 sin(2t)− 2 sin(t), 2 cos(t)− 2 cos(2t))

v(t) = R√

4 sin2(t) + 4 sin2(2t)− 8 sin(t) sin(2t) + 4 cos2(t) + 4 cos2(2t)− 8 cos(t) cos(2t) =

= R√

8− 8(cos(2t) cos(t) + sin(2t) sin(t) = R√

8− 8 cos(2t− t) = R√

8(1− cos(t))

n(t) =R(2 cos(2t)− 2 cos(t), 2 sin(2t)− 2 sin(t))

R√

8(1− cos(t)

r′′(t) = R(4 cos(2t)− 2 cos(t), 4 sin(2t)− 2 sin(t))

det(r′(t), r′′(t)) = R2(8 sin2(2t)− 4 sin(t) sin(2t)− 8 sin(t) sin(2t) + 4 sin2(t)−

−8 cos(t) cos(2t) + 8 cos2(2t) + 4 cos2(t)− 4 cos(t) cos(2t)) =

= R2(12− 12 sin(t) sin(2t)− 12 cos(t) cos(2t)) = 12R2(1− cos(t))

κ(t) =12R2(1− cos(t)

(R√

8(1− cos(t)))3=

3

2R√

8(1− cos(t))

re(t) = R(2 cos(t)− cos(2t), 2 sin(t)− sin(2t)) +2R√

8(1− cos(t))

3· 1√

8(1− cos(t)

(2 cos(2t)− 2 cos(t), 2 sin(2t)− 2 sin(t)) =1

3R(2 cos(t) + cos(2t), 2 sin(t) + sin(2t)

Az eredeti görbe π-vel elforgatva (fordított állás miatt), és 13-ára kicsinyítve:

−1

3R(2 cos(t)− cos(2t), 2 sin(t)− sin(2t)) =

1

3R(cos(2t)− 2 cos(t), sin(2t)− 2 sin(t))

Az evoluta a t+ π helyen pedig:

re(t+ π) =1

3R(−2 cos(t) + cos(2t),−2 sin(t) + sin(2t))

Ezzel beláttuk, hogy a kardioid evolutája egy fordított állású, 13-ára kicsinyített kardioid, és

ezt láthatjuk a 3.2. ábrán.

21


3.2. ábra. Kardioid (piros) és evolutája (kék)

Nefroid

A kardioidhoz hasonlóan a nefroid evolutája is hasonló a kiindulási nefroidhoz.Állítás: A nefroid evolutája egy 90◦-kal elforgatott, feleakkora nefroid.Bizonyítás: Az eddigiekhez hasonló módon, az evoluta paraméteres egyenlete segítségévelkönnyen beláthatjuk a fenti állítást. A nefroid egy paraméterezése:


A t-beli érinto irányvektora, azaz a derivált:


v(t) = R√

9 sin2(t) + 9 sin2(3t)− 18 sin(t) sin(3t) + 9 cos2(t) + 9 cos2(3t)− 18 cos(t) cos(3t) =

= R√

18− 18 cos(3t− t)) = R√

18(1− cos(2t))

n(t) =R(3 cos(3t)− 3 cos(t), 3 sin(3t)− 3 sin(t))

R√

18(1− cos(2t))

r′(t)× r′′(t) = 36R2(1− cos(2t))

κ(t) =36R2(1− cos(2t))

(R√

18(1− cos(2t)))=

2

R√

18(1− cos(2t))

re(t) = R(3 cos(t)− cos(3t), 3 sin(t)− sin(3t)) +R√

18(1− cos(2t))

2· 1√

18(1− cos(2t))

·(3 cos(3t)− 3 cos(t), 3 sin(3t)− 3 sin(t) =1

2R(3 cos(t) + cos(3t), 3 sin(t) + sin(3t))

Ennek következtében az evoluta a t− π2

helyen:

re(t−π

2) =

1

2R(3 cos(t− π

2) + cos(3t− 3π

2), 3 sin(t− π

2) + sin(3t− 3π

2)) =

=1

2R(3 sin(t)− sin(3t), cos(3t)− 3 cos(t))

22


Az eredeti nefroid 12-szeresére kicsinyítve, illetve π

2-vel forgatva:

1

2R

[0 −11 0

](3 cos(t)−cos(3t), 3 sin(t)−sin(3t)) =

1

2R(3 sin(t)−sin(3t), cos(3t)−3 cos(t))

Ez éppen az evoluta a t − π2

helyen, így a nefroid evolutája valóban egy felére kicsinyített,π2-vel elforgatott nefroid, ahogy az a következo ábrán látható is.

3.3. ábra. Nefroid (piros) és evolutája (kék)

Asztrois

Az asztrois (asztroid) evolutája szintén hasonló az eredeti görbéhez.Állítás: Az asztroid evoluája egy 45◦-kal elforgatott, kétszer akkora asztroid.Bizonyítás:Az asztroid szokásos paraméterezése:

r(t) = R(cos3(t), sin3(t))

Ekkor a t-beli érinto irányvektora, azaz a derivált:

r′(t) = R(3 cos2(t)(− sin(t)), 3 sin2(t) cos(t))

v(t) = |r′(t)| = R ·√

9 cos4(t) sin2(t) + 9 sin4(t) cos2(t) =

= R ·√

9 sin2(t) cos2(t)(cos2(t) + sin2(t)) = 3 ·R · sin(t) · cos(t)

n(t) =(−3 sin2(t) cos(t),−3 sin(t) cos2(t))

3 sin(t) cos(t)

r′′(t) = R(6 sin2(t) cos(t)− 3 cos3(t), 6 sin(t) cos2(t)− 3 sin3(t))

det(r′(t), r′′(t)) = −9R2 sin2(t) cos2(t)

23


κ(t) =−9R2 sin2(t) cos2(t)

(3R sin(t) cos(t))3= − 1

3R sin(t) cos(t)

re(t) = R(cos3(t), sin3(t))− 3R sin(t) cos(t) · (−3R sin2(t) cos(t),−3R sin(t) cos2(t))

3R sin(t) cos(t)

= R(3 cos(t)− 2 cos3(t), 3 sin(t)− 2 sin3(t))

A fentiek fényében az evoluta a t− π4

helyen:

re(t−π

4) = R(3 cos(t− π

4)− 2 cos3(t− π

4), 3 sin(t− π

4)− 2 sin3(t− π

4)) =

= R

[3(√22

cos(t) +√22

sin(t))− 2(√22

cos(t) +√22

sin(t))3

3(√22

sin(t)−√22

cos(t))− 2(√22

sin(t)−√22

cos(t))3

]T=

= R

[3√22

(cos(t) + sin(t))− 2(√22

)3(cos(t) + sin(t))3

3√22

(sin(t)− cos(t))− 2(√22

)3(sin(t)− cos(t))3

]T=

= R

[ √22

(cos(t) + sin(t))(3− (cos(t) + sin(t))2)√22

(sin(t)− cos(t))(3− (sin(t)− cos(t))2)

]T=

= R

[ √22

(cos(t) + sin(t))(2(1− cos(t) sin(t)))√22

(sin(t)− cos(t))(2(1 + sin(t) cos(t)))

]T=

= R

[ √2(cos(t)− cos2(t) sin(t) + sin(t)− sin2(t) cos(t))√2(sin(t) + sin2(t) cos(t)− cos(t)− sin(t) cos2(t)))

]T=

= R

[ √2(sin(t)(1− cos2(t)) + cos(t)(1− sin2(t)))√2(sin(t)(1− cos2(t))− cos(t)(1− sin2(t))))

]T=

= R(√

2(cos3(t) + sin3(t)),√

2(sin3(t)− cos3(t)))

Az eredeti asztroidot 45◦-kal elforgatva, és kétszeresére nyújtva pedig ugyanez a képletadódik:

2R

[ √22−√22√

22

√22

](cos3(t), sin3(t)) = R

√2(cos3(t) + sin3(t), sin3(t)− cos3(t))

Ez pontosan az evoluta a t − π4

helyen vett pontjával egyezik meg, így valóban az asztroidevolutája is hasonló az eredeti görbéhez, annak 45◦-os elforgatottja, kétszeres nagyítása, mintaz ábrán is látható.

3.4. ábra. Asztrois (piros) és evolutája (kék)

24


3.1.2. További szemléletes evolutákAz eddigiek során olyan görbéket mutattam be, melyek evolutája hasonló az eredeti gör-

béhez, attól csak méretezésben és orientációban tér el, azaz másmilyen állású. A legszebbpélda a közönséges ciklois, melynek evolutája egy vele egybevágó, eltolt közönséges ciklois.A cikloisok családjába tartozó kardioid esetén a görbületi középpontok pályája egy fordítottállású, 1

3-ára kicsinyített kardioid, míg nefroid esetén egy π

2-vel elforgatott, feleakkora nef-

roid. Az asztrois evolutája egy π4-gyel elforgatott, kétszer akkora asztrois. Ezen állításokat

differenciálgeometriai eszközök segítségével igazoltam, ábrával szemléltettem. A követke-zokben olyan görbéket és evolutáikat ismertetem, melyek nem hasonlóak egymáshoz, demindkét görbe "ismert".

Ellipszis

A kúpszeletek családjáról már a burkológörbék körében is sok szó esett, és az evolutákkalkapcsolatban is érdemes pár szót ejtenünk róluk, elsoként az ellipszisrol.Állítás: Az ellipszis evolutája egy asztrois affin képe.Bizonyítás:Az ellipszis szokásos paraméterezése (a, b ∈ R nagy-, illetve kistengely paraméteretek)

r(t) = (a cos(t), b sin(t))

r′(t) = (−a sin(t), b cos(t))

v(t) =√a2 sin2(t) + b2 cos2(t)

n(t) =(−b cos(t),−a sin(t))√a2 sin2(t) + b2 cos2(t)

r′′(t) = (−a cos(t),−b sin(t))

r′(t)× r′′(t) = ab sin2(t) + ab cos2(t) = ab

κ(t) =ab

(√a2 sin2(t) + b2 cos2(t))3

re(t) = (a cos(t), b sin(t)) +

√a2 sin2(t) + b2 cos2(t))3

ab√a2 sin2(t) + b2 cos2(t)

(−b cos(t),−a sin(t)) =

= (a cos(t), b sin(t)) +a2 sin2(t) + b2 cos2(t)

ab(−b cos(t),−a sin(t)) =

= (a cos(t), b sin(t)) + (−a2 sin2(t) cos(t)− b2 cos3(t)

a,−a2 sin3(t)− b2 cos2(t) sin(t)

b) =

= (a2 cos(t)− a2 sin2(t) cos(t)− b2 cos3(t)

a,b2 sin(t)− a2 sin3(t)− b2 cos2(t) sin(t)

b) =

= (a2 cos(t)(1− sin2(t))− b2 cos3(t)

a,b2 sin(t)(1− cos2(t))− a2 sin3(t)

b) =

= (a2 − b2

acos3(t),

b2 − a2

bsin3(t))

Az ellipszis evolutájának egyenlete tehát valóban egy asztrois affin képe, ahogy az a követ-kezo ábrákon is látható.

25


3.5. ábra. Ellipszis (piros) és evolutája (kék)

Parabola

A kúpszeletek közé tartozó parabola evolutája egy 23

kitevoju hatványgörbe affin képe,amelynek paraméteres egyenlete az elozoekhez hasonló módon levezetheto.

r(t) = (t, t2

2p) , r′(t) = (1, t

p), r′′(t) = (0, 1

p)

v(t) = |r′(t)| =

√1 +

t2

p2

n(t) =(−tp, 1)√

1 + t2

p2

r′(t)× r′′(t) = 1 · 1

p− 0 · t

p=

1

p

κ(t) =

1p√

1 + t2

p2

re(t) = ((t,t2

2p) +

(√

1 + t2

p2)3

1p

1√1 + t2

p2

(−tp, 1)) = (

−t3

p2, p+

3t2

2p)

3.6. ábra. Parabola (piros) és evolutája (kék)

26

3. Evoluták 3.2. Az evoluták mint burkológörbék

3.2. Az evoluták mint burkológörbékMint az az eddig felvonultatott példákból is látható, a görbületi középpontok pályája,

azaz az evoluta néhány görbe esetén ismert görbét ad. Bár még számos példa található "szép"görbe-evoluta kapcsolatra, szakdolgozatom elsodleges célja nem ezen kapcsolatok feltárása.A következokben rátérek egy fontos tételre, amely a korábban bemutatott burkológörbékfogalmát összekapcsolja az evolutáéval.

7. Tétel. Ha az eredeti r(t) görbének sem a görbülete, sem annak deriváltja nem tunik el,akkor az re(t) evoluta a görbe normálisaiból álló egyenessereg burkolója.

1. Bizonyítás. Az evoluta a görbületi középpontok pályája, melyek a görbe normálisain ta-lálhatók, így nyilvánvalóan az evolutának és a normálisoknak létezik közös pontja. A burkolótulajdonság igazolásához azt kell belátnunk, hogy a közös pontban a normális és az evolutaérintoje közös. Az egyenesek érintojének iránya a görbe normálisa: n(t), az evolutáé pedig aparaméterezés segítségével:

r′e(t) = (r(t) +1

κ(t)n(t))′ = r′(t) + (

1

κ(t))′n(t) +

1

κ(t)n′(t)

Az elozo lépésben csupán az összeg, illetve szorzat deriválására vonatkozó szabályokat al-kalmaztam. A következo lépés a második Frenet-formula (n′(t) = −κ(t)v(t)e(t)) felhasz-nálásával adódik:

r′e(t) = e(t)v(t) + (1

κ(t))′n(t) +

1

κ(t)− κ(t)v(t)e(t) = (

1

κ(t))′n(t)

Ez pedig csupán skalárszorosa n(t)-nek, így az egyenesek érintojének, valamint az evolutaérintoinek irányvektora nyilván azonos, közös ponttal is rendelkeznek, tehát az evoluta való-ban burkolója az eredeti görbe normálisainak - amennyiben az evoluta reguláris. �

A fenti tétel újabb megközelítést kínál az evoluta fogalmára, hiszen az evolutát akár a normá-lisok burkolójaként is definiálhattuk volna. Dolgozatomban azonban a hagyományosabbnaktekintheto megközelítést választottam (az evoluta mint görbületi középpontok pályája). Azevoluta tehát kétféleképpen is származtatható az eredeti görbébol, a fejezet végén találhatóábrák szemléltetik a kétféle származtatás ekvivalenciáját a korábban már bemutatott példá-kon keresztül.

Dolgozatomban az evolutát mint a görbületi középpontok pályáját definiáltuk. A gördüléke-nyebb tárgyalás érdekében az eredeti görbe olyan szingularitási pontjaiban, ahol a görbületvégtelennek adódik, a görbületi sugarat ( 1

κ(t)-t) 0-nak tekintettük, így a pont az evoluta egy

pontja is. Erre azért volt szükség, mert általánosságban a görbék nem minden pontjukban re-gulárisak (például ciklois vagy asztrois csúcsai). A cikloisok, illetve kúpszeletek közül szá-mos példa segítségével illusztráltuk az evoluta "differenciálgeometriai"származtatását. Azevoluta azonban nem csak a görbületi középpontok pályája, hanem egyben a normálisokburkoló görbéje is - az általános tétel bizonyítása után a korábbi görbe-evoluta párosokattekintettük át. Az evoluta azonban nem az egyetlen görbékhez rendelheto speciális görbe, akövetkezokben még egy ilyen görbefajtával ismerkedhetünk meg.

27


3.7. ábra. Közönséges ciklois evolutája mint a normálisok burkolója

3.8. ábra. Kardioid evolutája mint a normálisok burkolója

3.9. ábra. Nefroid evolutája mint a normálisok burkolója

28


3.10. ábra. Asztrois evolutája mint a normálisok burkolója

3.11. ábra. Ellipszis evolutája mint a normálisok burkolója

3.12. ábra. Parabola evolutája mint a normálisok burkolója

29

4. fejezet

Az evoluta "testvére": az evolvens

4.1. A lefejtési görbeAz evoluták mellett számos különbözo görbét rendelhetünk egy-egy konkrét görbéhez.

Ezek közül az egyik az evolvens, vagy más néven lefejtési görbe, amely szoros kapcsolatbanáll az evolutával.

13. Definíció. Adott egy differenciálható görbe a síkon, melynek deriváltja sehol sem 0(azaz reguláris). Fejtsük le egy rögzített Q pontjától kezdve a görbét, azaz minden P pont-jában a P -beli érintore mérjük fel a görbe Q-tól P -ig terjedo ívhosszát. A kapott Q′ pontokalkotta görbét a Q ponthoz tartozó evolvensnek, vagy lefejtési görbének nevezzük.

2. Megjegyzés. A regularitás azért szükséges, hogy a görbén ne legyenek törések, azaz min-den pontjában létezzen érintoje.

Egy görbének sokféle evolvense van, attól függoen, hogy melyik pontjából kezdjük a le-fejtést. Az evolvensek azonban szoros kapcsolatban állnak egymással: az egyik evolvensnormálisai az összes többinek is normálisai, az egy normálison lévo pontok távolsága pedigmindig ugyanannyi, nevezetesen a kezdopontok ívhosszban mért távolsága a kiindulási görbementén. Szemléletesen úgy tekinthetjük, hogy a különbözo evolvensek "párhuzamosak".

4.1. ábra. Görbe evolvensének származtatása

Az evolvens definíciójából adódik a paraméterezése az eddigi jelölések segítségével, ahole(t) az érinto irányú egységvektor:

p(t) = r(t)− (

∫ t

t0

v(s)ds)e(t)

30

4. Az evoluta "testvére": az evolvens 4.1. A lefejtési görbe

Az egyszeruség kedvéért tegyük fel, hogy természetes paraméterezésu (ívhossz szerintparaméterezett) görbékrol beszélünk, hiszen minden görbe átparaméterezheto természetesparaméterezésuvé, így ezzel nem szukítjük a vizsgálódási körünket. Ekkor az evolvens para-méterezése:

p(t) = r(t)− (t− t0)e(t)

Állítás: Egy görbe evolvensének evolutája az eredeti görbe.Bizonyítás: Az evolvens paraméterezését kihasználva az érinto irányvektora a következonekadódik:

p′(t) = r′(t)− (t− t0)e′(t)− e(t)

A természetes paraméterezés miatt v(t) = 1, így e(t) = r′(t). κ(t) = |e′(t)|, és n(t) = e′(t)|e′(t)| .

Ekkor:p′(t) = r′(t)− (t− t0)e′(t)− e(t) = (t0 − t)e′(t)

Azaz az evolvens érintoi éppen az eredeti görbe normálisai. Mivel az evoluta a normá-lisok burkolója, így az evolvens evolutája az eredeti görbe érintoinek burkoló görbéje, aminyilván maga a görbe. Ezzel beláttuk az evoluta és az evolvens közt fennálló szoros kapcso-latot. A következokben néhány látványos és ismert példát mutatok evolvensekre.

4.1.1. Néhány ismert evolvens8. Példa. Talán az egyik leghíresebb evolvens a körevolvens, amely nevében hordozza szár-maztatását, látványra egy spirálhoz hasonlít. Tekintsünk egy origó középpontú, r sugarú kört.Ennek egyenlete:

r(t) = (r cos(t), r sin(t))

r′(t) = (−r sin(t), r cos(t))

v(t) = |r′(t)| =√r2(sin2(t) + cos2(t)) = r

e(t) =(−r sin(t), r cos(t))

r= (− sin(t), cos(t))∫ t

t0

v(s)ds =

∫ t

0

rds = tr

p(t) = (r cos(t), r sin(t))−tr(− sin(t), cos(t)) = (r cos(t)+tr sin(t), r sin(t)−tr cos(t)) =

p(t) = r(cos(t) + t sin(t), sin(t)− t cos(t))

4.2. ábra. Körevolvens

31

4. Az evoluta "testvére": az evolvens 4.1. A lefejtési görbe

9. Példa. A cikloisok családjából a kardioidot választottam, hogy illusztráljam a differen-ciálgeometriai eszközökkel való származtatást, a többi görbe esetén egy kis ügyeskedésselkapjuk majd az evolvenst. Korábban láttuk, hogy a kardioid evolutája egy fordított állású,13-ára kicsinyített kardioid.

Állítás: A kardioid evolvense egy fordított állású, háromszor akkora kardioid megfelelo pont-ból kezdve az evolvenst.Bizonyítás: Az evoluta meghatározásánál már kiszámított értékek felhasználásával:



v(t) = R√

8(1− cos(t))

e(t) =(2 sin(2t)− 2 sin(t), 2 cos(t)− 2 cos(2t))√

8(1− cos(t))∫ t

0

v(s)ds = R√

8

∫ t

0

√1− cos(s)ds = R

√8[−2

√1− cos(s)ctg(

s

2)]t0 =

= −2R√

8(1− cos(t)ctg(t

2)

p(t) = R

[2 cos(t)− cos(2t)2 sin(t)− sin(2t))

]T+2R

√8(1− cos(t))ctg( t

2)√

8(1− cos(t))

[(2 sin(2t)− 2 sin(t)2 cos(t)− 2 cos(2t))

]T=

= R

[2 cos(t)− cos(2t) + 4ctg( t

2) sin(2t)− 4ctg( t

2) sin(t)

2 sin(t)− sin(2t) + 4ctg( t2) cos(t)− 4( t

2) cos(2t))

]TEbbol algebrai átalakításokkal adódik:

p(t) = 3(2 cos(t) + cos(2t), 2 sin(t) + sin(2t))

Kihasználva, hogy beláttuk az evoluta meghatározásánál a π-vel való forgatás eredményét,ez valóban egy fordított állású, háromszor akkora kardioid paraméteres egyenlete. Ezt máraz evoluta ismeretében tudhattuk volna, hiszen már láttuk, hogy az evolvens evolutája az ere-deti görbe. Az eredeti görbénk jelen esetben egy kardioid, annak pedig ismerjük az evolutá-ját. Olyan görbét keresünk, aminek az evolutája a mi kardioidunk. Nyilván az evoluta szár-maztatásához használt transzformációk inverzét kell vennünk, azaz egy háromszor akkora,fordított állású kardioidból kiindulnunk. Ekkor ennek az evolutája −1

3· ((−3)r(t)) = r(t).

Mintha az evoluták származtatásánál használt ábrákat fordított szereposztásban tekintenénk:a kék evoluta-görbéket tekintenénk az eredeti görbének és a pirosakat evolvensnek (hiszenaz evolvens evolutája az eredeti görbe).

Az elozo "okoskodás" felhasználásával már különösebb számolás nélkül megkaphatjuka korábban részletesen vizsgált és bizonyított görbék evolvenseit a lefejtés kezdopontját jólmegválasztva. A nefroid evolutája egy π

2-vel elforgatott feleakkora nefroid, így evolvense

egy kétszer akkora, −π2-vel (ugyanazt eredményezi, mintha π

2-vel forgatnánk) elforgatott

nefroid. A közönséges ciklois evolvense is egybevágó az eredeti görbével, annak csupáneltoltja. Az asztrois evolvense így egy π

4-gyel elforgatott, feleakkora asztroisnak adódik. Az

affin asztroisok evolvensei pedig ellipszisek lesznek.

32

4. Az evoluta "testvére": az evolvens 4.2. Néhány szó az ortogonális trajektóriákról

4.2. Néhány szó az ortogonális trajektóriákról

4.2.1. Az ortogonális trajektória fogalma, néhány szép példaAz evolutához hasonlóan az evolvens sem csak lefejtési görbeként származtatható, ha-

nem ún. ortogonális trajektóriaként is.

14. Definíció. Az olyan görbéket, amelyek egy görbesereg minden egyedét merolegesenmetszik, ortogonális trajektóriáknak nevezzük.

Bár az elnevezés ijesztonek tunhet, a burkológörbékhez hasonlóan ortogonális trajektóriákrais számos szemléletes példa létezik. Az egyik legismertebb talán a koncentrikus körök esete,melyek ortogonális trajektóriái a közös középponton áthaladó egyenesek. Ezt még lénye-gében középiskolai tanulmányainkból tudjuk, hiszen ismert, hogy az érintési pontba húzottsugár meroleges az érintore, tehát a sugár egyenese merolegesen metszi a vizsgált köröket.Ezt szemlélteti a következo ábra. Nyilván ha egy görbeseregnek ortogonális trajektóriája egymásik görbesereg, akkor ez megfordítva is igaz, azaz az ortogonális görbesereg ortogonálistrajektóriái a kiindulási görbesereg egyedei. Tehát egy ponton átmeno egyenesek ortogonálistrajektóriái az "egy pont" körüli koncentrikus körök.

4.3. ábra. Koncentrikus körsereg ortogonális trajektóriái

Az ortogonális trajektóriák számolása számos esetben differenciálegyenletek megoldá-sához vezet. Egy g(x, y) = C, ahol C konstans, görbesereghez keressünk azt az f(x, y)görbét, melyre ∇f · ∇g = 0 - azaz a görbék merolegesek egymásra. Ezen parciális diffe-renciálegyenlet megoldása szolgáltatja számunkra az ortogonális trajektóriát, trajektóriákat.Paraméteres görbe esetén az r′(t) = ∇g differenciálegyenlet segítségével kaphatjuk az orto-gonális görbék seregét. Bár a differenciálegyenletek megoldhatók, szakdolgozatomnak nemez a célja, így a következokben néhány szemléletes ábra segítségével mutatok be ortogonálisgörbeseregeket.

33


Képzeljünk el olyan köröket, amelyek középpontja az x-tengelyen van, és érintik az y-tengelyt. Ilyen körsereget generál például x2 + y2 = 2cx, ahol c ∈ R. Ezen körsereg or-togonális görbeserege egy olyan körsereg, amelyek középpontjai az y-tengelyen vannak, ésérintik az x-tengelyt, mint az alábbi ábrákon látható. Az elozo példához hasonlóan itt is köl-csönösen egymás meroleges görbeserege a két körsereg.

4.4. ábra. Körsereg ortogonális körserege

Az ortogonális görbeseregek egyik legismertebb példája a körsorokhoz kapcsolódik. Rög-zítsünk két pontot a síkon (A és B), ekkor egyfelol az A-n és B-n áthaladó körök (és azegyenes) alkotják az A, B tartópontú hiperbolikus körsort, másfelol az A-hoz és B-hez mintalappontokhoz tartozó Apollóniosz-körök (és a felezomeroleges) alkotják az A, B pontpár-hoz tartozó elliptikus körsort. Nevezetes elemi geometriai tény, hogy a két körsor egymásortogonális trajektóriáiból áll (lásd például Hajós György: Bevezetés a geometriába). A kö-vetkezo ábrán a kék körök az A-hoz, illetve B-hez tartozó elliptikus körsor egyedei, míg apirosak az A, B tartópontú hiperbolikus körsor példányai.

4.5. ábra. Elliptikus és hiperbolikus körsor mint ortogonális görbeseregek

Az ortogonális görbesereg témáját boncolgatva nem hagyhatjuk ki a kúpszeletek körébenfelmerülo két egyszeru példát.

34


10. Példa.

Állítás: Vegyünk a síkon két rögzített pontot (F1, F2), és tekintsük az ilyen fókuszú ellipszi-seket. Ezen ellipszissereg meroleges görbeserege az ugyanilyen rögzített fókuszú hiperbolákserege.Bizonyítás: Az állítás bizonyítása egyszeruen adódik a kúpszeletek érintoinek szögfelezo tu-lajdonságából. Az ábra színezésének megfeleloen a két "kék-íves" szög egyenlo (α), mert e1az ellipszis érintoje, és így az érintési pontból a fókuszokhoz húzott szakaszok és az érintoáltal bezárt szögek megegyeznek. Hasonlóan egyenlo a két "fekete-íves" szög (β) a hiperbolaérintoinek szögfelezo tulajdonsága miatt. A négy említett szög együttesen egyenesszöget al-kot, azaz 2α + 2β = 180◦, ahonnan adódik, hogy α + β = 90◦, ami éppen a két görbemeroleges állását igazolja.

4.6. ábra. Közös fókuszú ellipszisek és hiperbolák ortogonális görbeserege

A kúpszeletek családjából a következo szemléletes példa a parabolákhoz kapcsolódik.Rögzítsünk egy F fókuszt a síkon, valamint egy irányított tengelyt (t). Az F fókuszú, tirányított tengelyu parabolák ortogonális görbeserege a szintén F fókuszú, −t tengelyu pa-rabolák, azaz ellentétes tengelyuek. Az elozoekhez hasonlóan ez egyszeruen igazolható aparabola érintoinek szögfelezo tulajdonságával, ahogy az a következo ábrán is látható.

4.7. ábra. Közös fókuszú parabolák ortogonális görbeserege

35


4.2.2. Az evolvensek, mint ortogonális trajektóriákAz ortogonális trajektóriák azért érdekesek a számunkra, mert az evolvensek is tekinthe-

tok ortogonális trajektóriáknak.

11. Tétel. Az evolvens a görbe érintoinek ortogonális trajektóriája.

2. Bizonyítás. Ennek belátásához csupán azt kell igazolnunk, hogy az evolvens merolegesenmetszi a görbe érintoit. Amikor beláttuk, hogy az evolvens evolutája az eredeti görbe, igazol-tuk, hogy az evolvens normálisai egyben az eredeti görbe érintoi (pontosabban azt láttuk be,hogy az evolvens érintoi az eredeti görbe normálisai, de π

2-vel forgatva kapjuk belole, hogy

az evolvens normálisai az eredeti görbe érintoi). Ez pedig éppen azt jelenti, hogy az eredetigörbe érintoi merolegesek az evolvenssel vett metszéspontbeli evolvens érintore, tehát azevolvens valóban ortogonális trajektóriája a kiindulási görbe érintoinek. �

36

5. fejezet

Összegzés

Szakdolgozatomban bepillantást nyerhetünk az evoluták különleges világába, kitekintvea pusztán differenciálgeometriai származtatásból. A dolgozat elején áttekintettem a témáhozkapcsolódó alapveto fogalmakat, majd bevezettem a burkológörbe fogalmát. Ezek a "határ-görbék" számos ismert görbét származtatnak, ezeket vettem sorba a fogalom tisztázása során.A követhetoség érdekében saját ábráimmal illusztráltam a leírt jelenségeket, görbéket. Kitér-tem a geometriai optikában jelentos kausztikagörbékre, amelyek való életbeli megjelenései aburkológörbéknek. Az evolutát, mint a görbületi középpontok pályáját tekintettem, majd ki-számoltam néhány ismert görbe (kúpszeletek, cikloisok) evolutáját. Bebizonyítottam, hogyaz evoluta egyúttal a görbe normálisainak burkolója, és a korábban vizsgált példáknál szem-léltettem a burkolóként való mgjelenést. Az evolutákhoz szorosan kapcsolódnak az evolven-sek, amelyek szintén a görbébol származtathatók. Elso körben mint lefejtési görbéket defi-niáltam oket, majd megmutattam, hogy egyúttal a görbe érintoinek ortogonális trajektóriáiis. Néhány példa erejéig az ortogonális görbeseregek világába is bepillantottam. Mindvégigtörekedtem az elemi indoklásokra, így számos különbözo terület eszközei felbukkannak adolgozatban.

Dolgozatom elsodleges célja a differenciálgeometria egy vékony szeletének szemléletes be-mutatása volt. Az elemi tárgyalásoknak köszönhetoen néhány mozzanat akár középiskolaikeretekbe is beférhet, ezt leendo tanárként fontosnak tartottam. Az evoluták világában valóbolyongás során számos görbével és tulajdonságaikkal ismerhettünk meg, melyek a gyakor-lati életben is nagy jelentoséggel bírnak. Bár Poincaré szerint "a geometria az a muvészet,amely hibás rajzokból helyes következtetéseket von le", én törekedtem helyes rajzokból he-lyes következtetéseket levonni.

37

5. Összegzés

Nyilatkozat

Név: Somlói Zsófia

ELTE-Természettudományi Kar, Szak: Matematika BSc, tanári szakirány

NEPTUN-azonosító: JF7EOR

Szakdolgozat címe: Az evoluták világa

A szakdolgozat szerzojeként fegyelmi felelosségem tudatában kijelentem, hogy a dolgoza-tom önálló munkám eredménye, saját szellemi termékem, abban a hivatkozások és idézésekstandard szabályait következetesen alkalmaztam, mások által írt részeket a megfelelo idézésnélkül nem használtam fel.

Budapest, 2013. május 31.

38

a z evolutÁk vilÁga

Documents