Fraktálok világa

Fraktálok „önhasonló”, végtelenül komplex matematikai alakzatok, melyek változatos formáiban legalább egy felismerhető (tehát matematikai eszközökkel leírható) ismétlődés tapasztalható. Az önhasonlóság azt jelenti, hogy egy kisebb rész felnagyítva ugyanolyan struktúrát mutat, mint egy nagyobb rész. Az elnevezést 1975-ben Benoit Mandelbrot adta, a latin fractus (vagyis törött; törés) szó alapján.

Ismertebb fraktálok és fraktálcsaládok:Mandelbrot-halmaz, Júlia-halmaz, Koch- görbe.

A matematikában a Mandelbrot-halmaz egy síkbeli alakzat, amely azon c komplex számokból áll, melyekre az alábbi xn rekurzív sorozat:

X1 = c Xn+1=(xn)2 +c

nem tart végtelenbe. A Mandelbrot-halmaz tükörszimmetrikus a valós tengelyre. Összefüggő,

és telt, vagyis nem tartalmaz szigeteket, vagy lyukakat.

Mandelbrot-halmaz peremén megtalálhatók a Mandelbrot-halmaz hozzávetőleges, kicsinyített másai; ezek az úgynevezett szatelliták. Minden képkivágás, ami egyaránt tartalmaz pontokat a Mandelbrot-halmazból és a Mandelbrot-halmazon kívülről, végtelen sok ilyen szatellitát tartalmaz.

Mivel minden szatellitát további szatelliták öveznek, ezért mindig van egy hely, ahol tetszőleges struktúrák tetszőleges sorrendben tartalmazzák egymást. Ennek észleléséhez azonban nagyon nagy nagyítás kell.

Júlia – halmaz A Julia- és Mandelbrot-halmazok összefüggnek egymással.

Ha a Mandelbrot-halmaz belsejéből választunk c értéket, akkor a hozzá tartozó Julia-halmaz összefüggő lesz, ellenkező esetben viszont diffúz halmazt kapunk. Ha a c értéke pontosan a Mandelbrot-halmaz határára esik, akkor a hozzá tartozó Julia-halmaz egy bokorszerű fraktális vonal, aminek területe nulla. Így a Mandelbrot-halmaz az összes Julia-halmaz sokféleségét magában foglalja.

A Mandelbrot- és Julia-halmazok határvonala fraktál, melyet bármeddig nagyítunk, sosem érünk el egy maximális nagyítást.

Koch-görbe vagy Koch-hópehely Helge von Koch svéd matematikus által 1904-ben leírt fraktál, mely ilyen minőségében az egyik legelső.

A görbét úgy állíthatjuk elő, hogy egy szabályos háromszög oldalait elharmadoljuk, majd a középső harmadára ismét egy szabályos háromszöget rajzolunk. Ezen háromszögek oldalait szintén harmadoljuk, és háromszöget rajzolunk rájuk. Ezt a végtelenségig folytatjuk. A görbe hossza az n-edik lépés után (4 / 3)n. A határértékként kapott görbe végtelenül finoman strukturált, és csak közelítőleg lehet ábrázolni.

Cantor-halmaz Előállítás szempontjából a legegyszerűbb egyben a legrégebben felfedezett fraktál a

Cantor halmaz vagy Cantor-por. 1883-ban jelentette meg Georg Cantor. A Cantor-por előállítása: 0. lépés: vegyünk egy szakaszt 1. lépés: vágjuk ki a középső egyharmadát 2. lépés: a keletkezett két szakasznak is vágjuk ki a középső egyharmadát 3. lépés: a keletkezett összes szakasznak vágjuk ki a középső egyharmadát És így tovább. Amit végtelen lépés után kapnánk, az a Cantor-halmaz, vagy Cantor-por.

0. lépés 1.lépés 2.lépés 3.lépés

Az önhasonló fraktálokra példa a Sierpinski-háromszög. azt a fraktált 1916-ban mutatta be Waclaw Sierpinski lengyel matematikus. A

Sierpinski-háromszög az eddigiekkel ellentétben nem egy fraktálgörbe, hanem olyan fraktál, melynek előállításakor szakasz helyett egy egyszerű síkidomból, egy szabályos háromszögből kell kiindulnunk. Az előállítási szabály ezúttal sem bonyolult:

0. lépés: vegyünk egy szabályos háromszöglapot1. lépés: kössük össze a háromszög oldalainak felezőpontjait egymással, így a háromszöget négy kisebb háromszögre osztottuk. A középső, csúcsára állított háromszöget vágjuk ki.2. lépés: a maradék három kis háromszögnek ugyanígy vágjuk ki a közepét.3. lépés: a keletkezett összes háromszöggel tegyük ugyanezt.

És így tovább.

Sierpinski-szőnyeg

Önhasonló fraktál a pitagorasz-fa, amely négyzetekből épül fel. Ezek a négyzetek úgy helyezkednek el, ahogy azt a Pitagorasz-tétel ábrázolásai mutatják.

Ebbe a csoportba tartozik a Newton-fraktál is.

Fraktálok természetesen azelőtt is léteztek mielőtt Mandelbrot nevet adott volna nekik, mint például a természetben….

A hindu és dél-kelet ázsiai szakrális építészetben évszázadok óta használnak fraktálokat : egy nagyobb tornyot több kisebb vesz körbe, ezt pedig a maga során még kisebbek. William Jackson szerint (a matematika és építészet kapcsolatát vizsgálja): „ez a felépités a végtelen tudati és létezési szintekre utal, az egyre terjedelmesedő formák a túlvilág felé mutatnak és egyúttal szent mélységeket foglalnak magukba.”

Már az ókori építészetben megjelentek a természetet utánzó fraktálszerű elemek. Keresztény templomokon is gyakran bukkanunk fraktálokra, mind az építészeti elemekben,

mind pedig a belső tér kialakításában (egyes templomok ezek közül a középkorban épültek).

Mivel a fraktálok a természet leggyakoribb alkotóelemei közé tartoznak, gyakran jelentek meg fraktálszerű elemek művészetben is.

A számítógépes grafika a fraktálművészet legelterjedtebb formája. Ma már számtalan olyan program létezik (a legtöbbjük ráadásul ingyenes) amelyek segítségével nagyon kis tudással gyönyörű fraktálokat lehet elővarázsolni.

Források: http://teamlabor.inf.elte.hu/logosecsetvonasok/erdekesseg7.htmlhttp://www.cs.elte.hu/~tamaga/erdekesseg/fractal.pdfwww.wikipedia.comhttp://fraktalmuv.freebase.hu/index.files/frame.htm

Készítette : Hörnyék Franciska Tanos Balázs Kalányos Norbert JózsefMozgásjavító Általános Iskola, Szakközépiskola és Diákotthon1145 Budapest, Mexikói út 60.