¿a qué llamamos números enteros? ¿para qué se utilizan? ¿cómo se ... · tÉrmino algebraico...

MINISTERIO DE EDUCACION INSTITUTO PROFESIONAL Y TECNICO NOCTURNO DE COLÓN

MATEMATICAS NOVENO

1 Material compilado por DEMETRIO ANTONIO LU

Números enteros positivos y negativos En la vida se nos presentan muchas veces situaciones que no pueden expresarse mediante los números naturales. En este caso se necesitan otro tipo de números, que son los números enteros.

¿A qué llamamos números enteros? ¿Para qué se utilizan? ¿Cómo se representan?

Como podemos apreciar en la gráfica, en la recta real se encuentran cantidades positivas y negativas, siendo eso así al momento de resolver operaciones, se nos pueden presentar las situaciones.

Primera: Relacionar cantidades del mismo lado de la recta numérica; cantidades de signo igual.

Segunda: combinar cantidades de signos diferentes

Este esquema representa un edificio de apartamentos con cuatro niveles superiores, la planta baja y tres niveles de estacionamiento.

Un vecino decide acudir de visita a otros residentes del mismo edificio y hace el siguiente recorrido.

Operaciones con números enteros positivos, negativos.

En la recta numérica, de los enteros, se encuentran cantidades positivas y negativas, siendo eso así al momento de resolver operaciones, se nos pueden presentar tres tipos de operaciones; que nos soliciten combinar dos positivas, dos negativas o que combinemos negativa con positiva.

Para realizar las operaciones en el conjunto de los números enteros

(Z) debes las siguientes reglas (son fáciles; sólo requieren de práctica).

a. Cuando dos números tienen igual signo se debe sumar y

conservar el signo.

b. Cuando dos números tienen distinto signo se debe restar y

conservar el signo del número que tiene mayor valor absoluto

(recuerda que el valor absoluto son unidades de distancia, lo

cual significa que se debe considerar el número sin su signo).

http://www.ceibal.edu.uy/UserFiles/P0001/ODEA/ORIGINAL/110901_numeros_enteros.elp/index.html

https://www.portaleducativo.net/octavo-basico/158/Numeros-enteros-positivos-y-negativos

https://primergradosecundariamatematicas.wordpress.com/numeros-positivos-y-negativos/

Punto de inicio Punto de parada

De la planta +1 y sube 2 plantas

De la planta -2 sube 9 plantas

De la planta -1 baja 1 planta

De la plata +9 baja 4 plantas




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ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN DE ENTEROS POSITIVOS Y NEGATIVOS

RESUELVA APLICANDO LA REGLA (NO OLVIDE COLOCAR EL SIGNO A SU RESPUESTA)

- 5 + (– 14) = 5 + (-9) = -9 + (+2) =

− 6 − 4 – 5 = 7 + 6 + 9 + 4 = 9 + 4 + 9 =

24 + (-6) -2 + (+9) = −14 + (6) + (+9) = 9 + (+8) + (-9) =

(9 + 4 + 6) + 1 + 2 = - 5 + (– 14) - (−9) + (-8) = + 12 + 9 + 87 =

(+2) + (+9) = 15 + (-9) = ((-2) + (-9)) + (6) + (+9) =

– 9 +(– 8) = 8 + (– 9) = (2 + 9) + (− 5) =

(+6) + (+9) = -12 + (+9) = (−9) + (4 + 6) =

12 + 25 = 5 + (– 51) = (2 + 9 + 8) + (4 + 6) =

12 + (+9) = 5 + (-9) = -9 + (+2) + (9) + (-6) =

(-2) + (-9) = -9 + (+2) = 14 + (-6) + (−9) + (−5) =

SUSTRACCION DE ENTEROS POSITIVOS Y NEGATIVOS

Como se indicó al inicio, en la recta real se encuentran cantidades positivas y negativas, por ello se hace necesario

prestar especial cuidado al momento de resolver operaciones en este conjunto numérico, ya podríamos equivocarnos al

momento combinar las cantidades.

Para restar enteros, cambia el signo en el entero que se va a restar.

Ejemplo: 14 - (-6) = 14 + 6 = 20

Ejemplo: -14 - (+6) = -14 - 6 = -20

Ejemplo: 14 - (+6) = 14 - 6 = 8

Ejemplo: -14 - (-6) = -14 + 6 = -8.

RESUELVA APLICANDO LA REGLA (NO OLVIDE COLOCAR EL SIGNO A SU RESPUESTA)

(−3) – (8) = 8 – (+5) = 15 – (-3) =

-12 – (+3) = − 4 – (- 5) = 3 – (− 5) =

1 – (+2) = 3 – (-4) = + 3 – (– 8) =

- 5 – (– 14) = 5 – (-3) = -3 – (+2) =

14 – (-6) = −14 – (6) = − 3 – (+8) =

+ 9 – (– 8) = - 5 – (– 14) = 5 – (-9) =

1 – (+2) = 9 – (-4) = -9 – (+2) =

14 – (-6) = −18 – (6) = − 9 – (+8) =


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APLICANDO LA REGLA, CALCULA Y COMPLETA CON SIGNO Y NÚMERO

5 – (– 51) = 15 – (-3) = (+2) – (+3) =

-12 – (+3) = 5 – (-3) = 12 – (+3) =

(-2) – (-3) = -3 – (+2) = 12 – 25 =

8 – (– 3) = (+6) – (+3) = 3 – (− 5) =

14 – (-6) = (−3) – (−5) = (+21) – (+13) =

TÉRMINO ALGEBRAICO Y SUS PARTES

Se llama término a toda expresión algebraica cuyas partes no están separadas por los signos + o -. Así, por ejemplo xy2 es

un término algebraico. En todo término algebraico pueden distinguirse cuatro elementos:

Signo términos positivos + términos negativos – Coeficiente el número que se le coloca delante. El coeficiente indica el número

de veces que dicha cantidad ha sido considerada. Parte literal las letras que haya en el término. Grado es el exponente de las letras que componen la parte literal.

I- Coloca cada elemento del términos donde le corresponda

TÉRMINO SIGNO COEFICIENTE PARTE LITERAL

GRADO

relativo absoluto

-23a3b2

26n4

- abc6

60x4y3

VISITE: http://maralboran.org/wikipedia/index.php/Expresiones_algebraicas


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EXPRESIÓN ALGEBRAICA es la forma de las matemáticas que escribimos con letras, números, potencias y signos; Las letras suelen representar cantidades desconocidas y se denominan variables o incógnitas. Las expresiones algebraicas nos permiten traducir al lenguaje matemático expresiones del lenguaje habitual.

ENCIERRE EN UNA ELIPSE. Seleccione el tipo de expresión algebraica de acuerdo a la cantidad de términos.

18n9 + xy + 2x2

n - 5y9+29n5yz9 – 9n + 26n4

9a9b4 - 19n2+

9a2b5 + 7y2 - abc6 + 6x2 + 98y

De cada expresión coloca el primer término de cada elemento de los términos donde le corresponda

TERMINO SIGNO COEFCIENTE PARTE LITERAL

ELIMINACIÓN O SUPRESIÓN DE SIGNOS AGRUPACIÓN

Los signos de agrupación se emplean para indicar que las cantidades encerradas en ellos deben considerarse como un todo, o sea, como una sola cantidad. Se usan para cambiar el orden de las operaciones. Las operaciones indicadas dentro de ellos deben realizarse primero.

Suprima los signos de agrupación y reduzca (sume o reste, según sea el caso) cada uno, aplique la regla de los signos

(-5) + (-4) + (-90) + (+70) = (+50) - (-8) - (+1) - (-9) =

(-9) + (-20) + (+6) + (-8) = (-2) + (-18) + (-5) + (+7) =

(-1) + (+8) + (-5) + (+7) = (-5) + (+7) + (+12) + (-8) =

Una expresión algebraica es un conjunto de números y de letras separados por

los signos de las operaciones aritméticas


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MULTIPLICACION DE ENTEROS POSITIVOS Y NEGATIVOS

La regla que se utiliza es la misma para multiplicar que para dividir. ¿CÓMO SE HACE? Multiplico los números y luego

multiplico los signos de acuerdo a la siguiente tabla:

MULTIPLIQUE LOS NÚMEROS Y LUEGO MULTIPLIQUE LOS SIGNOS

(+2)(+3) = (-1) (5) (-3) = (-2) (-3) (6) (+3) =

(12)(+3) = (5) (-6) (-3) = (-3) (+2) (-3) (-6) =

(-6)(-2)(-3) = (-3) (-6) (+2) = (-4) (-6) (−3) (−5) =

(−3)(−5) = (14) (-6) = (– 4) (– 8) (−3) (−5) =

APLIQUE LA REGLA PARA ENCONTRAR LOS SIGUIENTES PRODUCTOS

(+21)(+13) = (3) (− 5) = (-7) (-6) (−3) (5) =

(– 3)(– 8) = (8) (– 3) (-6) = (2) (+ 3) (− 5) =

(+6)(– 3)(+3) = (-12) (+3) = (−3) (4) (6) =

(12)(2)(5) = (5) (– 1) = (2 + 3) (4 + 6) =

(+6)(– 9)(+9) = (-12) (+9) = (−9) (4) (6) =

DIVISIÓN DE ENTEROS POSITIVOS Y NEGATIVOS

¿CÓMO SE HACE?

REGLA PARA LA DIVISION DE

ENTEROS POSITIVOS Y

NEGATIVOS

Si dividimos (dos) signos iguales,

el resultado es positivo, por el

contrario al dividir (dos) signos

diferentes el cociente es negativo

Para hallar el cociente de dos enteros se divide sus valores absolutos, si ambos factores tiene el

mismo signo el cociente será positivo, en caso de ser diferentes el cociente será negativo


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DESCARGUE Y RESUELVA EN https://www.sectormatematica.cl/basica/santillana/division_enteros.pdf

DIVIDA

+2 entre +3 = -1 entre 5 = -3 entre 6 =

12 entre +3 = -6 entre -3 = +2 entre -3 =

-6 entre -2 = -6 entre +2 = -4 entre -6 =

−3 entre −5 = 24 entre -6 = – 4 entre – 8 =

+24 entre +3 = -63 entre 7 = -14 entre -2 =

54 entre -6 = -3 entre -5 = +5 entre -40 =

HTTPS://EKUATIO.COM/APUNTES-DE-MATEMATICAS/NUMEROS-ARITMETICA/INDICE-LOS-NUMEROS-ENTEROS/COMO-MULTIPLICAR-Y-DIVIDIR-NUMEROS-ENTEROS/

ORDENAR UNA EXPRESIÓN ALGEBRAICA.

Se dice que un polinomio está ordenado con respecto a una letra cuando los exponentes de una letra determinada van

aumentando o disminuyendo desde el primero hasta el último con respecto a la letra considerada, que recibe el nombre

de letra ordenatriz.

I. Ordene los siguientes polinomios de manera DESCENDENTE.

Por ordenar ORDENADO

4x2 + 2x + 9x9 - 9x4 - 9x4+ 9x9 +4x2 + 2x

20x9 - 5x + 9x2 - 27

2a – 12a2 + 10

-3m² + m⁵ + 10m³ + 16 + 2m⁴ - m

9n9 – 4m4n + 4m5 + 9m9n2 II. Ordene los siguientes polinomios de manera ASCENDENTE.

Por ordenar ORDENADO

4x2 + 2x + 3x3 - 9x4 2x + 4x2 + 3x3 - 9x4+

2x4+ 10 - 12x2y2

3x + x3 + x2

4x2 - 32x + 60 + 2x3

III. Ordene los polinomios de la segunda parte esta vez de manera DESCENDENTE

OBSERVE QUE LOS SIGNOS DE LOS RESULTADOS VARIAN SEGÚN LA OPERACIÓN


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https://educacion.elpensante.com/como-ordenar-un-polinomio/ http://matematicasdeacentavo.blogspot.com/2009/05/como-ordenar-polinomios.html https://algebra2016.wordpress.com/tag/ordenar-un-polinomio/ REDUCCIÓN DE TÉRMINOS SEMEJANTES En una expresión algebraica se llaman términos semejantes a los que tienen exactamente la misma parte literal, es decirlas mismas letras y cada una con los mismos exponentes.

Para desarrollar un ejercicio de este tipo, se suman los coeficientes numéricos, si tiene el mismo signo, o restan los coeficientes numéricos y se conserva el factor literal.

Procedimiento:

1. Se agrupan los términos semejantes

2. Se suman o restan los coeficientes (parte numérica)

3. Luego se escribe la parte literal, anteponiendo el signo resultante.

Importante: solamente los términos semejantes se pueden sumar o restar

81 + 7y + 102 + 65y 17mx³ - 19mx³

x + 2x - 9x - 4x + 4x 5a – 8b + a – 6b + 21b

25x + 12x - 91x - 8x +5x 2n -9n -5m

12mn -29mn -5mn 5y + 6y – 81 + 7y + 102 + 65y

49mx³ + 7mx³ - 17mx³ - 19mx³ 2x2 - 4x2 + 2x2

Reducir términos semejantes significa sumar o restar los coeficientes numéricos en una expresión algebraica, que tengan el mismo factor literal.

REDUCCIÓN DE TÉRMINOS SEMEJANTES

2x + 18x 2y + y

3a + a - 3x - 2x – 9x

5b + 2b – 8b 6x + 7x – 3x

3x - 5x 7x + 3x - 5x + x

5x + 2x - 4x + 8x 8b – 3b + 4b + b

81 + 7y + 102 + 65y 17mx³ - 13mx³

x + 2x - 9x - 4x + 4x 5a – 8b + a – 6b + 21b

25x + 12x - 31x - 8x +5x 2n -3n -5m

12mn -23mn -5mn 5y + 6y – 81 + 7y + 102 + 65y

43mx³ + 7mx³ - 17mx³ - 13mx³ 2x2 - 4x2 + 2x2

-mn +14mn -31mn -mn +20mn - x2y - 8x2y - 9x2y - 20x2y

ax + 3ax +8ax 7y + 102 + 65y

2n + n2 + 3 - 3n +n2 + 2 6x3y - 6xy + 35x2y +8x2y - 9x3y - 20xy


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VALOR NUMÉRICO DE UNA EXPRESIÓN ALGEBRÁICA

El valor numérico de una expresión algebraica es el número que resulta de sustituir la letra por un número y hacer los cálculos

Con la oleada de aparatos y servicios prepago escuchamos por todos lados, términos que sugieren la compra de estos servicios, y en sus anuncios es costumbre escuchar, esta o tal empresa duplica, triplica, cuadriplica y en raras ocasiones quintuplica. Esta práctica tiene un uso similar en el álgebra.

Así tendremos: la expresión algebraica 2x, 3x, 4x.dependiendo de la oferta en la fecha de ingreso. Es decir: dos veces el valor de la tarjeta en lenguajes algebraico seria 2 (por) el monto de la tarjeta.

Veamos con tu tarjeta de B/2.00, triplica ¿cuánto recibes de tiempo aire? Y si fuese cuadriplica ¿cuánto recibes de tiempo aire? O sea tus dos balboas, por x (equis).

Si tu tarjeta es de B/5.00 si duplica ¿cuánto recibes de tiempo aire? Y si fuese cuadriplica ¿cuánto recibes de tiempo aire?

Valor de la tarjeta

Oferta Expresión

algebraicas

Recibes en tiempo aire

2.00 duplica 2x 2.00 por 2 = 4.00

3.00 triplica 3x 3.00 por 3 = 9.00

5.00 cuadriplica 5x 5.00 por 4 = 20.00

Valor numérico de una expresión algebraica. Se trata de una simple sustitución de números por letras para después hacer los cálculos indicados por la expresión y obtener así un resultado La evaluación de expresiones algebraicas, es el proceso que consiste en sustituir los valores numéricos asignados para las literales de una expresión algebraica y que al efectuar las operaciones indicadas se obtiene la evaluación correspondiente.

Jerarquía de las operaciones 1. Se efectúa toda operación que se encuentre entre paréntesis o arriba o debajo de una raya de fracción.

2. Se efectúan todas las operaciones de multiplicación o división en el orden que se presenten de izquierda a

derecha.

3. Se efectúan las sumas y las restas en el orden de izquierda a derecha.

EJEMPLOS 1. 3m; cuando m = 3;

3 por 3 = 9

2. 2x; cuando x = 3;

2 por 3 = 6

3. 5a; cuando a = 3;

5 por 3 = 15


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ACTIVIDAD FORMATIVA

Encontrar el valor numérico de las siguientes expresiones algebraicas para los valores de a = 1, b = 3, c = 4, x = 2 e y = 5

4x – 5y 20a + 12b – c +5e 12x3 + 3x2 − 2x − 6

Calcula el valor numérico si: m = 3; n = 2; r = 1; s = 3; t =4

5m + 7n - 4s = 3n +6s - 4t = - 5r + 2t - 5s = - 7r + 3t - 2s =

Hallar el valor numérico de las siguientes expresiones algebraicas para los valores de a = 1, b = 3, c = 4, x = 2 e y = 5

5 x = 4x – 5y

2 x3 = y3 + 3y2 – 2y + 56 =

y3 = 3a + 4c - 2e =

2e = 4 a3+ 8 b – 4 =

4 x3+ 8 x - 4 = 3b2 – 2e − 6 =

Calcula el valor numérico si: m=3 n=2 s=3 t=4

- 5n + 4t - 5s =

4m + 3n + 3s - 2t =

2m + 2n - t + 2s =

- 2m + 4n + 5s - 3t =

Calcula el valor numérico para los valore de t=3 r=2 s=4

-2t + 3r - 2s

5t - 2r + 4s

3r + 3s - 2t =

2n - t + 2s =

Reducir los términos semejantes y hallar el valor numérico del resultado para los siguientes valores

a = 2; b = 3, c= 10; x= 5; y = 4; m = 2/3; n = 1/5

4x – 5y- 3y + 6y – 8y – x + y

3m - 5n + 6 - 6m + 8 - 20n + 12m – 12

nx + cn – ab – 8nx + ab – 2 cn

x4 – y4 -5x2y – 8 + 2x4 – 7x3y + 10xy3

a3 + b3 – 3a2b + 8ab2 – b3 – 5a3 – 6ab2

HAZLO TÚ


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HAZLO TÚ Encontrar el valor numérico de las siguientes expresiones algebraicas para los valores de a = 1, b = 3, c = 4, x = 2 e y = 5

5x = 2xy =

2x3 = 2x + y =

3a + 4c = 3ace =

3a + b = y3 =

2e + y = 4a3+ – 4 =

4x3+ 8 x - 4 = 3b2 – 2e − 6 =

x3 + 3x2 − 2x − 6 = y3 + 3y2 – 2y + 56 =

2x − 6 = 3b2 + 2e + 6 =

8b – 4 – 2e − 6 =

3a + 4c - 2e = 8b

NOTA

Regresando a las promociones de las tarjetas de servicios prepagos. Si una de las empresas que brinda servicios de telefonía móvil

decidiera considera la expresión algebraica 3x +1; para las promociones en tiempo aire (saldo). Lo que se puede traducir como tres

veces el valor de la tarjeta más la constante 1.

FORMULAS-VALOR NUMÉRICO DE UNA EXPRESIÓN ALGEBRÁICA

Existen expresiones algebraicas de mucha utilidad (suele usarse mucho) en otras ramas del saber, estas expresiones

(formulas) se utilizan para determinar valores que se son de mucha utilidad para la solución de problemas que se nos

pueden presentar. Lo único que hay que hacer es sustituir los valores que tenemos en la expresión algebraica,

FORMULAS DE LA FISICA (algunas) EJEMPLOS

Formula de FUERZA http://leyesdnewton1727.wordpress.com/ejerci

cios-resueltos-2/

Una fuerza le proporciona a la masa de 2,5 Kg. una aceleración de 1,2 m/s2. Calcular la magnitud de dicha fuerza en Newton y dinas HALLAR LA FUERZA para a = 1,2 m/s2 y m = 2,5kg.

¿Qué aceleración adquirirá un cuerpo de 0,5 Kg. cuando sobre él actúa una fuerza de 200000 dinas?

F=(a)(m) M=F/a A= F/M

F= fuerza M= MASA a= ACELERACION

ÁREA= b x h

siendo b el valor de la base y h la altura

El área de un triángulo es

El valor de su área es:

Área = b x (h)altura Área = largo x ancho

Encuentra el área del rectángulo cuya base mide 5 y la altura mide 12.


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Suponiendo que tenemos un triángulo cuya longitud de la base es de 2cm y su altura es de 3cm.

Encuentra el área del triángulo cuya base mide 5 y la altura mide 12.

Formula de VELOCIDAD Intensidad de corriente

Velocidad Distancia:

Tiempo Donde (I) intensidad de corriente Q (Carga eléctrica) (T) tiempo

V= D/T D= V.T T: D/V I= Q/T Q= T.I T= Q/I

Aceleración

a= Aceleración Vf=Velocidad final (Km/hrs2)

Vi =Velocidad inicial g= Gravedad T= Tiempo

a= Vf-vi/T

Vf= vi+a.t vi=vf-a.t

http://www.profesorenlinea.cl/fisica/Fuerza_concepto.html

SIGNOS DE AGRUPACIÓN

En ocasiones es necesario eliminar paréntesis antes de combinar términos semejantes. Por ejemplo, para combinar

términos semejantes en tenemos que suprimir los paréntesis primero. Si hay un signo más (o ningún

signo) enfrente de los paréntesis, podemos simplemente eliminar; esto es,

Los signos de agrupación se emplean para indicar que las

cantidades encerradas en ellos deben considerarse como un

todo, o sea, como una sola cantidad. Se usan para cambiar el

orden de las operaciones. Las operaciones indicadas dentro de

ellos deben realizarse primero.

Estos signos se usan para mayor claridad en los casos en que una expresión que ya tiene uno o más signos agrupación. Por

lo general, y aunque se pueden colocar en cualquier orden, es usual observarlos de la siguiente forma:

Podemos suprimir signos de agrupación que incluyan operaciones diversas, tenemos en cuenta las siguientes reglas.

1. Si un signo de agrupación está precedido del signo más (+), al quitar dicho signo, los términos incluidos en él, salen

con el mismo signo.

2. Si un signo de agrupación está precedido del signo menos (-), los términos que están incluidos en él, salen con

signos cambiados, (sólo se aplica para suma y resta)

3. Se eliminan o suprimen los signos de agrupación de adentro hacia afuera

4. Se resuelven las operaciones de suma y resta que resulten, según lo estudiado.

EJEMPLOS

Eliminar los signos de agrupación y luego reducir.

2x-(-4x+5x)


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Notemos que el paréntesis está precedido del signo (-), entonces tenemos

= 2x+4x-5x

= x

RESUELVA. Elimine los paréntesis y reduzca los términos semejantes

(52p2 – 3p + 57)+ (4p2 + 2p −11)=

(6mn3 +1− 4m3n + 8a – 2n2) + (5m + 2n2 – 3mn3 + 9 − m3n) + (11m3n – 7mn3 + 2) =

(5y2 – 3y + 7)+ (4y2 + 2y −11) =

(5w2 – 3w + 7) - (4w2 + 2w −11) =

En ocasiones los paréntesis se presentan dentro de otros paréntesis. Para evitar confusión, utilizamos diferentes

símbolos de agrupación.

De este modo, por lo general no escribimos , sino .

Para combinar términos semejantes en tales expresiones, los símbolos de agrupación más internos se eliminan primero.

2a-{(-4a+5a)}=

RESUELVA. Elimine los paréntesis y reduzca los términos semejantes

{(52m2 – 3m + 57)+ (4m2 + 2m −11)}=

(6ab3 +1− 4a3b + 8a - 2b2) + {(5a + 2b2 − 3ab3 + 9 − a3b) + (11a3b − 7ab3 + 2)} =

-{-(5x2 − 3x + 7)+ (4x2 + 2x −11)} =

http://dealgebra.blogspot.com/2012/11/signos-de-agrupacion.html

OPERACIONES CON MONOMIOS

Suma de monomios

Sólo podemos sumar monomios semejantes. La suma de los monomios es otro monomio que tiene la misma parte literal y cuyo coeficiente es la suma de los coeficientes.

Sumar:

1. m, 2m 2. 5xy, —3xy

3. a , -2a, 9ª 4. -x3, 4 x3, -2 x3

5. – 2m2 , – 7m2 6. - 3a2b, 4 a2b, - 6 a2b

7. 6x2y2 , – 12 x2y2 8. 3b, - 2b, – 5b, 9a

9. a2 , b2 , – 2 b2

Importante: solamente los términos semejantes se pueden sumar o restar

Recuerda siempre tomar en cuenta la REGLA DE LOS SIGNOS, también conocida como la ley de los signos.

Los signos de agrupación definen el orden en el que se realizará la operación un ejemplo es, las operaciones que están entre paréntesis son las que se realizarán primero.


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Resta de monomios Para restar monomios se restan los coeficientes y se deja la misma parte literal. Hay que tener en cuenta que solamente

se pueden restar los monomios que son semejantes.

Restar de

1. 2x2y3z de 3x2y3z 2. 2x3 restar − 5x3

3. 3x4 de + 7x4 4. 3a2bc3 restar − 2a2bc3

5. 2a2bc3 de −5 a2bc3 6. 2x4 restar -3x4

7. 2x3 de -5x3 8. - 2b restar – 5b

9. de -3xy 10. 5xy restar -3xy

Producto-Multiplicación de monomios

La multiplicación de monomios es otro monomio que tiene por coeficiente el producto de los coeficientes y cuya parte

literal se obtiene multiplicando las potencias que tengan la misma base, es decir, sumando los exponentes.

(2x3) · (5x3) = (−2x3) · (−5x) · (−3x2) =

(12a3) · (4a) = (−2x3) · (12x3) · (−3x2) =

(5x2y3z) · (2y2z2) = (x2y3z) · (4x) =

(18x3z5) · (6x3yz2) = (a2 )· ( b2 ) · (– 2 b2) =

(36y7z4) · (12x2y2) = (− 2a2bc3) · (2y2z2) =

(12x3) (4x) = (18x6y2z5) · (6x3yz2) =

(3a2bc3) · (− 2a2bc3 ) = (4x2y3z) · (3y4z2) =

(5xy) · (a2bc3) = (2a2bc3) · (−5 a2bc3) =

División-Cociente de monomios.

La división de monomios es otro monomio que tiene por coeficiente el cociente de los coeficientes y cuya parte literal se obtiene dividiendo las potencias que tengan la misma base, es decir, restando los exponentes.

Sólo se pueden dividir monomios cuando:

Tienen la misma parte literal

El grado del dividendo es mayor o igual que el del divisor

(48x4) : (-12x) = (32a2bc3) : (− 2a2bc3 )=

(12x3) : (4x) = (− 24x2yz3 ) : (6x3yz2) =

(18x6y2z5) : (6x3yz2) = (− 22a2bc3y2z2) · (2y2z2) =

(36x3y7z4) : (12x2y2) = (8x3y4z2 ) : ( 2x2y2z2 ) =

(10x6) : (5x3) = (-6x3y7z4) : (-2x2y2) =

Se llama producto al resultado de

una multiplicación.

También sabemos que

los valores que se multiplican

se llaman factores


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OPERACIONES CON POLIMONOMIOS

CARACTERÍSTICAS DE UN POLINOMIO

Un Polinomio, es una expresión algebraica formada por sumas y restas entre monomios. Los monomios que conforman un polinomio se denominan términos del polinomio. Un polinomio recibe un nombre según la cuantidad de términos que tiene y se clasifica en:

Binomios: expresiones algebraicas que constan de dos términos únicamente. Por ejemplo 2a+3

Trinomios: expresiones algebraicas que constan de tres términos únicamente. Por ejemplo: 3x+3y-5z.

Polinomios: expresiones algebraicas que tienen más de tres términos. Por ejemplo: -2x-3y+7z-12p.

Polinomio Ordenado: un polinomio se puede ordenar de acuerdo con una de sus variables. El orden se puede establecer en forma ascendente o descendente.

*Orden Descendente: un polinomio se ordena de forma descendente con respecto a una variable cuando los exponentes de la variable aparecen de mayor a menor.

*Orden Ascendente: un polinomio se ordena en forma ascendente con respecto a una variable, si los exponentes de la variable aparecen de menor a mayor en los términos del polinomio.

Visite http://www.algebra.jcbmat.com/id1082.htm El grado de un polinomio con respecto a una literal es el mayor exponente de sus términos.

Ejemplos.

5 + 2x − 6x2 + 8x3; el grado es 3. O sea el exponente mayor de los términos.

2x4 +2x3 +10x 2 − 8x −1 el grado es 4

14 + 7x3m4 +12m + 8x2m − 7x5m3 + 5xm2 el grado con respecto a x es 5

Para ordenar un polinomio con respecto a una literal, se puede efectuar de

manera descendente (posicionándola de mayor a menor grado) o de forma

ascendente (ubicándola de menor a mayor grado).

El polinomio 2x2 − 9 + 6x4 − 5x3 +10x ordenado de forma descendente es: 6x4− 5x3 + 2x2 +10x – 9 El polinomio 8x2 y2 +12 − 7x3 y + 5xy3 ordenado de forma descendente con respecto a x es: − 7x3 y + 8x2 y2 + 5xy3 + 12

Completar un polinomio es añadir los términos intermedios que falten poniendo de coeficiente 0.

Suma de polinomios

Para sumar polinomios se suprimen los signos de agrupación precedidos del signo (+), dejando el mismo signo de cada

uno de los términos que se hallan dentro de él y se REDUCEN los términos que sean semejantes.

Ejemplo resuelto

(5x2 − 3x + 7)+ (4x2 + 2x −11)= 5x2 − 3x + 7+ 4x2 + 2x −11 = 9x2 − x – 4

(52a2 − 3a + 57)+ (4a2 + 2a −11)= 52a2 − 31a + 57+ 4a2 + 2a −11 = 56a2 − 29a + 46

RECORDEMOS QUE


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HAZLO TÚ

(6k + 3k2 − 7k4 − 8)+ (5k2 +12k3 + 2k5 − 4k) =

(6ab3 +1− 4a3b + 8a - 2b2)+ (5a + 2b2 − 3ab3 + 9 − a3b) + (11a3b − 7ab3 + 2) =

Resta de polinomios

Para restar polinomios se suprimen los signos de agrupación precedidos del signo (-), cambiando el signo de cada uno de

los términos del sustraendo y se simplifican los términos que sean semejantes.

(9x3 + 4x 2 + 5x − 2)− (7x3 − 2x 2 − 6x + 5) = 9x3 + 4x 2 + 5x − 2 − 7x3 + 2x 2 + 6x – 5 = 2x3 + 6x 2 + 11x – 7

(5a + 2a 4 − 9a5 − 4a3 +14)− (3a 2 − 7 + 5a3 − 4a 6 − 9a 4 + 3a)

Producto de un monomio por un polinomio

Para multiplicar un monomio por un polinomio se multiplican todos los términos del polinomio por el

monomio, es decir, es una suma de producto de monomios.

2x2(5X4 − 3x3 + 7x2 + 2x −8)= 2x2(5x4) − 2x2(3x3)+ 2x2(7x2)+ 2x2(2x) − 2x2(8)

(− 5a3b2)(9ab4 +10a3b5 − 2a2b + 6 + 3a − 7b2)=

Multiplicación de dos polinomios

Para multiplicar dos polinomios se aplica la propiedad distributiva del producto sobre la suma, esto es, se multiplican

todos los términos del segundo polinomio por cada uno de los términos del primero y se

reducen los términos semejantes. La multiplicación de polinomios es distributiva respecto a la adición.

(3x2 − 5x + 6)(4x2 − 7x + 2)=

(4a2 −12ab + 9b2)(16a2 − 4b2)

(2yz2 − 5yz3 −1)(3yz4 + 5y3z − 6z2 − y)=

División de un polinomio por un monomio Para dividir un polinomio por un monomio, se divide cada término del dividendo por el divisor, es decir, es

una suma de cociente de monomios.

El polinomio minuendo se ordena

Al polinomio sustraendo se le cambian los signos

La solución será otro polinomio, donde se redujeron los términos semejantes


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http://laescuelaencasa.com/matematicas-2/polinomios/clase-1-expresiones-algebraicas/#lenguaje-aritmetico-y-

lenguaje-algebraico

Multiplicación de polinomio por monomios

Para efectuar el producto de un monomio por un polinomio se multiplica el monomio por cado uno de los términos del polinomio por ejemplo el siguiente producto:

En general se toma en cuenta los siguientes pasos: 1. Se ordena el polinomio de forma decreciente o creciente.

2. Se aplica la propiedad distributiva del producto; si así lo prefiere.

3. Se efectúa la operación de producto entre el monomio y polinomio.

Por ejemplo: (-2X³). (3X-X⁶+X²+8);

Primero se ordena el polinomio en este caso de manera descendente (-X⁶+X²+3X+8) (-2X³);

Se coloca el polinomio como multiplicando y el monomio como multiplicador y seguidamente multiplicamos el monomio por cada término del polinomio.

(-X⁶+X²+3X+8) (-2X³) = -2x9 + 2x5 + 6x4 – 16x3. La importancia de ordenar se aprecia en el resultado.

Otra manera de resolver un producto de un monomio por un polinomio es escribiendo el monomio debajo del polinomio y se efectúa la operación de producto.

HAZLO TÚ

3m2 + 7n5por- 6m2n= -8y3 + 9y3 por - 6y3 = +3m7-2m6-2m5+4m4por mn =

a2+2ab por -b2= x2+2xy por -x2 4x8+6x7-4x6-2x5+4x4por ab =

(2p5+3p4-2p3-p2)(-2p) (7x5+3x3+4x2) (-2x) (4x5y3- 2x2y)(16xy) =

(4c8-2c5+4c4)(ab) = (-2a3 + 5a3) (- 6x3) = (5x2 + 4y5) (- 6x2y)=

Web grafía

En estas páginas web

http://www.mivideo.org/index.php?option=com_content&view=category&layout=blog&id=56&Itemid=154

http://www.vadenumeros.es/tercero/operaciones-con-polinomios.htm

UNA VEZ MÁS Le recordamos solamente los términos semejantes se pueden sumar o restar

Debes tener en cuenta:

1.- La ley de los signos.

2.- Producto de potencias de la misma base se suman los exponentes

Ahora se debe ordenar. De acuerdo a los criterios preestablecidos.

-12a5b3c6+ 14a4b4c5+ 8a3b4c8+2a3b6c4.


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http://milibroelectronico.com/flash/Suma%20y%20resta%20de%20terminos%20semejantes.swf

Hay publicado material que puede ser de mucha ayuda

Lo invitamos a visitar principalmente http://www.algebra.jcbmat.com/ donde está

publicando el procedimiento y solución, paso a paso de ejercicios y problemas

enunciados en el libro de álgebra del profesor Aurelio Baldor! Si necesita la solución de

un ejercicio en particular, puede solicitarlo mediante el Chat.

¿a qué llamamos números enteros? ¿para qué se utilizan? ¿cómo se ... · tÉrmino algebraico...

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