Análisis Dinámico

1

EL MODELO DE SAMUELSON A) BREVE RESEÑA HISTÓRICA

Este modelo de interacción entre el multiplicador y el acelerador

se debe a Samuelson, siendo la primera versión del mismo

publicada en 1939. Samuelson, economista americano, obtuvo el

Premio Nobel de Economía en 1970, por el trabajo científico a

través del cual ha desarrollado la teoría económica estática y

dinámica y contribuido activamente a elevar el nivel del análisis

en la ciencia económica.

El objetivo de Samuelson era dar una explicación de los ciclos

económicos propios de los sistemas capitalistas. Con este trabajo pretende integrar la

teoría Keynesiana combinándola con las teorías prekeynesianas del ciclo de negocios.

De esta forma, empleando el multiplicador keynesiano y el principio de aceleración,

construyó un modelo macroeconómico que explica endógenamente los ciclos

económicos sin acudir a factores exógenos . Con esta finalidad, Samuelson introduce un

modelo sencillo que intenta describir el funcionamiento de una economía cerrada a

partir de cuatro variables:

Yt = Renta Nacional

It = Inversión Privada Agregada

Ct = Consumo Privado Agregado

Gt = Gasto Público

B) HIPÓTESIS:

1. Función de consumo lineal: El único determinante del consumo en un período

es la renta en el período inmediatamente anterior, siendo esta relación lineal.

2. Función de Inversión basada en la hipótesis del acelerador: La inversión de

cada período depende linealmente de la diferencia entre las rentas obtenidas en los

períodos inmediatamente anteriores.

3. Condición de equilibrio macroeconómico: La producción nacional debe

coincidir con la demanda nacional para cada período de tiempo.

4. Gasto público es una constante: El gasto público es una constante, no varía

con el tiempo

Análisis Dinámico

2

C) FORMULACIÓN MATEMÁTICA:

Función de consumo lineal:

Ct= c Yt-1 0 < c <1

Función de inversión basada en la hipótesis del acelerador:

It = v (Yt-1 – Yt-2) v > 0

Condición de equilibrio macroeconómico:

Yt = Ct + It + Gt

Gasto público constante:

Gt = g

D) RESOLUCIÓN Y ANÁLISIS DEL MODELO:

A través, de la combinación de las ecuaciones anteriores se obtiene la siguiente

ecuación lineal, de coeficientes constantes, completa y de orden 2:

Yt - (c+v) Yt-1 + v Yt-2 = G La podemos resolver de varias formas:

- Tratarla como una SEDF

- Resolverla como una EDF sujeta a una serie de condiciones iniciales.

En este caso, hemos optado por resolverla como una EDF: CondicionesdeSamuelson C@tD = cy@t−1D; 0< c< 1 I@tD = vHy@t−1D −y@t−2DL; v> 0 y@tD = C@tD+I@tD +G@tD G@tD = g Resolución: 1 ªforma: utilizando RSolve << DiscreteMath RSolve RSolve@y@t+2D −Hc+vL y@t+1D +v y@tD g,y@tD,tD êêFullSimplify

Análisis Dinámico

3

::y@tD →

ik2−1−t i

k"

− 4 v + Hc + vL2 ikg ik

− 21+t +ikc + v −

"−4 v + Hc + vL2 y

{t

+

ikc + v +

"−4 v + Hc + vL2 y

{ty{

+

H−1 + cL ikikc + v −

"− 4 v + Hc + vL2 y

{t

+

ikc + v +

"−4 v + Hc + vL2 y

{ty{C@2Dy

{+

ikc + v −

"−4 v + Hc + vL2 y

{tHg H−2 + c + vL + H− 1 + cL

H−2 C@1D + Hc + vL C@2DLL −ikc + v +

"− 4 v + Hc + vL2 y

{t

Hg H−2 + c + vL + H− 1 + cL H− 2 C@1D + Hc + vL C@2DLLy{y{ì

ikH−1 + cL "

− 4 v + Hc + vL2 y{>>

y@t_D = Hy@tD ê.%L@@1DD 1

H−1 + cL è−4 v + Hc + vL2

ik2−1−t i

k"

−4 v + Hc + vL2 ikg ik

−21+t +ikc + v −

"−4 v + Hc + vL2 y

{t

+

ikc + v +

"−4 v + Hc + vL2 y

{ty{

+ H−1 + cL

ikikc + v −

"−4 v + Hc + vL2 y

{t

+ikc + v +

"−4 v + Hc + vL2 y

{ty{

C@2Dy{

+ikc + v −

"−4 v + Hc + vL2 y

{t

Hg H−2 + c + vL + H−1 + cL H−2 C@1D + Hc + vL C@2DLL −

ikc + v +

"−4 v + Hc + vL2 y

{t

Hg H−2 + c + vL + H−1 + cL H−2 C@1D + Hc + vL C@2DLLy{y{

Solucióngeneral CollectAy@tD, 9Jc+v−

è−4v+Hc+vL2Nt,

Jc+v+è

−4v+ Hc+vL2Nt=E

Análisis Dinámico

4

−g

−1+ c+

1

H−1+cL è−4v+ Hc+ vL2 ik2−1−t

ikc+ v+

"−4v+ Hc+ vL2y

{t ik2g−cg− gv+ g" −4v+ Hc+ vL2 −

2C@1D+ 2cC@1D + cC@2D −c2 C@2D + vC@2D− cvC@2D −

"−4v+ Hc+vL2 C@2D + c" −4v+ Hc+ vL2 C@2Dy

{y{

+

1

H−1+cL è−4v+ Hc+vL2 ik2−1−ti

kc+ v−

"−4v+ Hc+ vL2 y

{t

ik

−2g+ cg+gv+ g" −4v+Hc+ vL2 + 2C@1D −

2cC@1D− cC@2D + c2C@2D − vC@2D + cvC@2D−

"−4v+ Hc+vL2 C@2D + c" −4v+ Hc+ vL2 C@2Dy

{y{

De este resultado podemos deducir que el primer término de toda la solución se

corresponde con la solución particular

2 ªforma: GC =GH+PC ?Solve Solve@eqns, varsD attempts to solve an equation

or set of equations for the variables vars.Solve@eqns, vars, elimsD attempts to solve theequations for vars, eliminating the variables elims.

Solve@r^2− Hc+vL r+v 0,rD ::r→

12ikc+v−

" c2− 4v+ 2cv+v2 y{>,

:r→12ikc+v+

" c2− 4v+ 2cv+v2 y{>>

Solucióngeneraldelahomogénea: GH@t_D = C1J1

2Jc+v−

èc2−4v+2cv+v2 NN^t +

C2J 12Jc+v+

èc2−4v+2cv+v2 NN^t

2−tC1i

kc+ v−

" c2 −4v+ 2cv+ v2y{t

+

2−tC2ikc+ v+

" c2 −4v+ 2cv+ v2y{t

Soluciónparticular : Hlasraícessondistintasde1L PC@t_D = A A ?SolveAlways SolveAlways@eqns, varsD gives thevalues of parameters that make the equationseqns valid for all values of the variables vars.

Análisis Dinámico

5

SolveAlways@PC@t+2D − Hc+vL PC@t+1D +v PC@tD g,tD 88g→ −AH−1+ cL<< A= gêH1−cL g1− c PC@tD g1− c Solucióngeneraldelacompleta GC@t_D = GH@tD+PC@tD g

1− c+ 2−t C1i

kc+ v−

" c2− 4v+ 2cv+ v2 y{t

+

2−tC2ikc+ v+

" c2 −4v+ 2cv+ v2y{t

E) ESTABILIDAD Y CONVERGENCIA DEL MODELO

Convergencia << DiscreteMath RSolve RSolve@8y@t+2D − Hc+vL y@t+1D +v y@tD g,y@0D == Y0,y@1D Y1<,y@tD,tD êê FullSimplify

::y@tD →ik2−1−ti

k"

−4v+Hc+ vL2

ikgik

−21+t +ikc+ v−

"−4v+ Hc+ vL2y

{t

+ikc+ v+

"−4v+ Hc+vL2 y

{ty{

+

H−1+ cL ikikc+v−

"−4v+Hc+ vL2 y

{t

+ikc+ v+

"−4v+ Hc+ vL2y

{ty{Y0y{

+

ikc+ v−

"−4v+ Hc+ vL2y

{tHgH−2+ c+ vL+ H−1+ cL HHc+ vL Y0− 2Y1LL −

ikc+ v+

"−4v+ Hc+ vL2y

{tHgH−2+ c+ vL+ H−1+ cL HHc+ vL Y0− 2Y1LLy

{y{ì

ikH−1+ cL " −4v+ Hc+ vL2y

{>>

y@t_D = Hy@tD ê.%L@@1DD

Análisis Dinámico

6

ik2−1−ti

k"

−4v+Hc+ vL2

ikgik

−21+t +ikc+ v−

"−4v+ Hc+ vL2y

{t

+ikc+ v+

"−4v+ Hc+vL2 y

{ty{

+

H−1+ cL ikikc+v−

"−4v+Hc+ vL2 y

{t

+ikc+ v+

"−4v+ Hc+ vL2y

{ty{Y0y{

+

ikc+ v−

"−4v+ Hc+ vL2y

{tHgH−2+ c+ vL+ H−1+ cL HHc+ vL Y0− 2Y1LL −

ikc+ v+

"−4v+ Hc+ vL2y

{tHgH−2+ c+ vL+ H−1+ cL HHc+ vL Y0− 2Y1LLy

{y{ì

ikH−1+ cL " −4v+ Hc+ vL2y

{ y@t_D =

J2−1−t

Jè −4v+Hc+vL2

JgJ−21+t +Jc+v−è

−4v+ Hc+vL2Nt+Jc+v+è

−4v+ Hc+vL2 NtN +

H−1+cL JJc+v−è

−4v+Hc+vL2 Nt+ Jc+v+è

−4v+ Hc+vL2NtN Y0N +

Jc+v−è

−4v+ Hc+vL2Nt HgH−2+c+vL+ H−1+cL HHc+vL Y0−2 Y1LL −

Jc+v+è

−4v+ Hc+vL2Nt HgH−2+c+vL+ H−1+cL HHc+vL Y0−2 Y1LLNN í

JH−1+cLè −4v+Hc+vL2N

ik2−1−ti

k"

−4v+Hc+ vL2

ikgik

−21+t +ikc+ v−

"−4v+ Hc+ vL2y

{t

+ikc+ v+

"−4v+ Hc+vL2 y

{ty{

+

H−1+ cL ikikc+v−

"−4v+Hc+ vL2 y

{t

+ikc+ v+

"−4v+ Hc+ vL2y

{ty{Y0y{

+

ikc+ v−

"−4v+ Hc+ vL2y

{tHgH−2+ c+ vL+ H−1+ cL HHc+ vL Y0− 2Y1LL −

ikc+ v+

"−4v+ Hc+ vL2y

{tHgH−2+ c+ vL+ H−1+ cL HHc+ vL Y0− 2Y1LLy

{y{ì

ikH−1+ cL " −4v+ Hc+ vL2y

{

Primer caso: Raíces reales distintas con solución divergente Paradeterminarlosvaloressegúnlasraíces 8v, c< = 82,c< 82, c< SolveAc2−4v+2cv+v2 0, cE 99c→ 2I−1−

è2M=, 9c → 2I−1+è2M==

Análisis Dinámico

7

N@%D 88c→ −4.82843<, 8c → 0.828427<< Para su representación: 8v,c,g, Y0, Y1< =82,0.9, 4,10,20< 82, 0.9, 4, 10, 20<

09r1 =

12Jc+v−

èc2−4v+2cv+v2N, r2 =

12Jc+v+

èc2−4v+2cv+v2N=

81.12984, 1.77016< y@tD −15.61742−1−t H4.72.25969t− 4.73.54031t+

0.640312H−1.H2.25969t +3.54031tL +4H−21+t+ 2.25969t +3.54031tLLL m = Table@8t,y@tD<, 8t,0,10<D 880, 10.<, 81, 20.<, 82, 42.<, 83, 85.8<, 84, 168.82<, 85, 321.978<,86, 600.096<, 87, 1100.32<, 88, 1994.74<, 89, 3588.11<, 810, 6420.04<< ListPlot@m, PlotJoined→ TrueD

2 4 6 8 10

1000

2000

3000

4000

5000

6000

Graphics

Como podemos observar en la gráfica según los valores asignados el modelo

sigue un comportamiento divergente.

Segundo caso: Raíces reales distintas, con solución convergente. c < 1/v Paradeterminarlosvaloressegúnlasraíces Clear@c,vD SolveAc2−4v+2cv+v2 0, cE 99c→ −2èv − v=, 9c → 2èv − v== v= 1êc−1 0.282051 SolveAc== 2èv −v,cE ::c→

12ik1−

"−11+ 8è2

y{>, :c→

12ik1+

"−11+ 8è2

y{>>

N@%D 88c→ 0.219952<, 8c→ 0.780048<<

Análisis Dinámico

8

Para su representación 8v,c,g, Y0, Y1< =80.28,0.78, 4,30,29< 80.28, 0.78, 4, 30, 29< 9r1 =

12Jc+v−

èc2−4v+2cv+v2N, r2 =

12Jc+v+

èc2−4v+2cv+v2N=

80.5, 0.56< y@tD −75.75762−1−t

H2.0041.t− 2.0041.12t+ 0.06H−6.6H1.t + 1.12tL + 4H1.t+ 1.12t− 21+tLLL m = Table@8t,y@tD<, 8t,0,15<D 880, 30.<, 81, 29.<, 82, 26.34<, 83, 23.8004<, 84, 21.8532<, 85, 20.5003<,86, 19.6114<, 87, 19.048<, 88, 18.6997<, 89, 18.4882<, 810, 18.3616<,811, 18.2866<, 812, 18.2426<, 813, 18.2169<, 814, 18.202<, 815, 18.1933<< ListPlot@m, PlotRange→ 810,34<, PlotJoined→ TrueD

2 4 6 8 10 12 14

15

20

25

30

Graphics A= gêH1−cL 18.1818

A través de la gráfica se observa que converge hacia la solución particular,

18,1818 de acuerdo con los valores asignados.

Tercer caso: Raíces complejas

Paradeterminarlosvaloressegúnlasraíces

Clear@v,cD c= 0.78 0.78 SolveAv2−4v+2cv+v2 0, vE 88v→ 0.<, 8v→ 1.22<<

Análisis Dinámico

9

9v= 0.2, c=4v−2v2

2v=

80.2, 1.8< Clear@v,cD Solve@4 v−2v^2 2,vD 88v→ 1<, 8v→ 1<< c2−4v+2cv+v2 0.4 SolveAc2−4v+2cv+v2 0, cE 99c→ −2èv − v=, 9c → 2èv − v== 9v= 0.09,c= 2èv −v= 80.09, 0.51<

Para su representación 8v, c,g, Y0, Y1< = 80.7, 0.2, 4,8,6<

9r1 =12Jc+v−

èc2−4v+2cv+v2N, r2 =

12Jc+v+

èc2−4v+2cv+v2N=

y@tDm = Table@8t,y@tD<, 8t,0, 20<DListPlot@m,PlotJoined→ True,PlotRange→ 83,8<D 80.7, 0.2, 4, 8, 6< 80.45− 0.705337 , 0.45+ 0.705337 < H0.+ 0.886102 L 2−1−t H−0.56H0.9− 1.41067 Lt+ 0.56H0.9+ 1.41067 Lt+

H0.+ 1.41067 L H−6.4HH0.9−1.41067 Lt + H0.9+ 1.41067 LtL +

4HH0.9− 1.41067 Lt+ H0.9+ 1.41067 Lt− 21+tLLL 880, 8.+0. <, 81, 6.+0. <, 82, 3.8+0. <,83, 3.22+0. <, 84, 4.238+0. <, 85, 5.5602+0. <,86, 6.03758+0. <, 87, 5.54168+0. <, 88, 4.76121+0. <,89, 4.40591+0. <, 810, 4.63247+0. <, 811, 5.08509+0. <,812, 5.33385+0. <, 813, 5.2409+0. <, 814, 4.98312+0. <,815, 4.81617+0. <, 816, 4.84637+0. <, 817, 4.99042+0. <,818, 5.09891+0. <, 819, 5.09573+0. <, 820, 5.01692+0. <<

Análisis Dinámico

10

5 10 15 20

4

5

6

7

8

Graphics A= gêH1−cL 5. Limit@y@tD,t→ ∞D 5.+ 0. Observando la gráfica se puede determinar que sigue un moviendo oscilatorio

amortiguado, aproximándose a la solución particular, 5. Por lo tanto, converge a la

solución particular.

Cuarto caso: Raíces reales múltiples

8v, c,g, Y0, Y1< = 80.09,0.51, 4,10,9<

9r1 =12Jc+v−

èc2−4v+2cv+v2N, r2 =

12Jc+v+

èc2−4v+2cv+v2N=

80.09, 0.51, 4, 10, 9< 80.3, 0.3< Obtengamoslasolución Solve@r^2−Hc+vL r+v 0,rD 88r→ 0.3<, 8r→ 0.3<< Solucióngeneraldelahomogénea: GH@t_D = C1J1

2Hc+vLN^t +C2tJ1

2Hc+vLN^t

0.3tC1+ 0.3tC2t Soluciónparticular : PC@t_D = gêH1−cL 8.16327 Solucióngeneraldelacompleta GC@t_D = GH@tD+PC@tD 8.16327+ 0.3t C1+ 0.3t C2t Solve@8GC@0D Y0, GC@1D Y1<, 8C1, C2<D 88C1→ 1.83673, C2→ 0.952381<< 88C1= 1.8367346938775508 , C2= 0.952380952380952 << 881.83673, 0.952381<< GC@tD 8.16327+ 1.836730.3t+ 0.9523810.3t t

Análisis Dinámico

11

m = Table@8t,GC@tD<, 8t, 0,20<DListPlot@m, PlotJoined→ True,PlotRange→ 87,12<D 880, 10.<, 81, 9.<, 82, 8.5<, 83, 8.29<, 84, 8.209<, 85, 8.1793<,86, 8.16877<, 87, 8.16513<, 88, 8.16389<, 89, 8.16347<, 810, 8.16333<,811, 8.16329<, 812, 8.16327<, 813, 8.16327<, 814, 8.16327<, 815, 8.16327<,816, 8.16327<, 817, 8.16327<, 818, 8.16327<, 819, 8.16327<, 820, 8.16327<<

5 10 15 20

8

9

10

11

12

Graphics Limit@GC@tD,t→ ∞D 8.16327 A= gêH1−cL 8.16327 Observando la gráfica se puede ver que es convergente y que converge a

8,16327.

Estabilidad

Para determinar la estabilidad hemos resuelto la EDF como un sistema:

Estabilidady puntodeequilibrio Solve@8y z,z Hc+vL z−vy +g<, 8y, z<D ::y→ −

g−1+ c

, z→ −g

−1+ c>>

Puntodeequilibrio y=

g1−c

Autovalores A= J 0 1

−v Hc+vL N 880, 1<, 8−v, c+v<< Eigenvalues@AD : 12ikc+v−

" c2− 4v+ 2cv+v2 y{,

12ikc+v+

" c2− 4v+ 2cv+v2 y{>

Análisis Dinámico

12

Primer caso: Raíces reales distintas con solución divergente 8v,c< = 82, 0.9< 82, 0.9< 912Jc+v−

èc2−4v+2cv+v2 N,

12Jc+v+

èc2−4v+2cv+v2 N=

81.12984, 1.77016< Como ambas raíces son superiores a la unidad se puede afirmar que no existe

estabilidad.

Segundo caso: Raíces reales, distintas con solución convergente. c <1/v.

8v,c< = 80.28,0.78< 80.28, 0.78< 912Jc+v−

èc2−4v+2cv+v2 N,

12Jc+v+

èc2−4v+2cv+v2 N=

80.5, 0.56< Observando el valor de las raíces podemos concluir que es estable debido a que

ambas son inferiores a la unidad

Tercer caso: Raíces complejas.

9v= 0.09,c= 2èv −v= 80.09, 0.51< 912Jc+v−

èc2−4v+2cv+v2 N,

12Jc+v+

èc2−4v+2cv+v2 N=

80.3, 0.3< Al igual que en caso anterior las raíces son inferiores a la unidad y, por lo tanto,

sigue un comportamiento estable.

Cuarto caso: Raíces reales múltiples

8v, c< = 80.09,0.51< 80.09, 0.51< 912Jc+v−

èc2−4v+2cv+v2 N,

12Jc+v+

èc2−4v+2cv+v2 N=

80.3, 0.3< De nuevo, las raíces toman un valor inferior a uno, siguiendo un

comportamiento estable.

Análisis Dinámico

13

F) CONCLUSIONES POSIBLES ECONÓMICAS

Primer caso

Cuando trabajamos con raíces reales mayores que uno y distintas entre sí, la

renta sufre un crecimiento explosivo a medida que avanzamos en el tiempo (Yt → ∞,

t → ∞).

Segundo caso

En el caso de raíces reales menores que uno y distintas entre sí, a medida que

transcurre el tiempo la renta nacional se acerca al valor −

Y , que en este caso es de 18,18.

Tercer caso

Como trabajamos con raíces complejas de modulo menor que uno, en las que se

cumple la condición (c+v)^2 – 4v < 0, entonces los ciclos serán amortiguados, es decir,

se van a aproximar a −

Y , 5, a medida que transcurre el tiempo.

Cuarto caso

Si trabajamos con raíces reales múltiples se estabiliza la renta cuando alcanza el

valor 8,16327, esto sucede a partir del período 12.

G) VARIANTES DEL MODELO:

1. Variantes de modelos de otros autores:

Modelo: Acelerador lineal de Hicks

En 1950 Hicks considera una extensión del modelo acelerador-multiplicador de

Samuelson suponiendo que la inversión It tiene dos componentes, una autónoma, I’t y

otra inducida I’’t . La diferencia básica del modelo de Hicks con el modelo de

Samuelson es que aperece una componente autónoma de la inversión que crece con el

tiempo a una tasa constante g.

CondicionesdeHicks

Yt =Ct +It

Ct = myt−1

It =It'+It''

It' =i H1+gLt

It '' = k HYt−1 − Yt−2L

Análisis Dinámico

14

A través, de la combinación de las ecuaciones anteriores se obtiene la siguiente

ecuación en diferencias, no homogénea y de segundo orden:

yt − Hm+kL yt−1 + kyt−2 = I0 H1+gL^t Resolución: SolveAr2−Hm+kLr+k 0,rE ::r→

12ikk+m−

"−4k+k2 +2km+ m2 y

{>,

:r→12ikk+m+

"−4k+k2 +2km+ m2 y

{>>

GH@t_D = C1J1

2Jk+m −

è−4k+k2 +2k m + m2 NN^t +

C2 J12Jk+m +

è−4k+k2 +2km + m2 NN^t

2−tC1i

kk+ m−

"−4k+ k2+ 2km+m2 y

{t

+

2−tC2ikk+ m+

"−4k+ k2+ 2km+m2 y

{t

PC@t_D = A H1+gLt AH1+ gLt PC@t+2D − Hm +kLPC@t+1D + kPC@tD êê Simplify AH1+ gLt H1+ g2 −m− gH−2+k+ mLL SolveAAH1+gLt I1+g2 −m −gH−2+k+ mLM iH1+gLt, AE ::A→

i1+ 2g+g2 − gk− m− gm

>>

9A= i1+g2−m−gH−2+k+mL=

: i1+g2−m−gH−2+k+mL

>

PC[t] H1+gLti

1+g2−m−gH−2+k+mL GC[t_]=GH[t]+PC[t]

H1+gLti1+g2−m−gH−2+k+mL

+2−tC1ikjjk+m−"###################################−4k+k2+2km+m2y

{zzt+2−tC2i

kjjk+m+"###################################−4k+k2+2km+m2y

{zzt

Modelo de expectativas y ciclos de existencia en el proceso de producción

debido a Metzler:

Metzler fue pionero en el estudio de las consecuencias que se tenían en el

proceso productivo ante los esfuerzos de los empresarios por mantener sus niveles de

existencias. El modelo de expectativas y ciclos de existencia en el proceso de

producción se basa en los siguientes supuestos:

a) El producto total, Y[t], en un período se corresponde con la suma de los

bienes de consumo que normalmente se espera vender, U[t], los bienes de consumo

destinados a mantener las existencias al nivel deseado, S[t] y los bienes de inversión que

Análisis Dinámico

15

es, V[t], producidos en el mismo, siendo el volumen de estos últimos una constante

exógena, V[0].

b) La producción de bienes de consumo destinados a la venta depende de la

demanda que tengan éstos y esta a su vez, depende proporcionalmente de la producción

total en el período anterior.

c) Los productores desean mantener unas existencias proporcionales a la

variación observada en las ventas de bienes de consumo.

CondicionesdeMetzleraL Yt = Ut+St+ V0bL Ut = bYt−1

cL St =H1+kL@b HYt−1− Yt−2LD Hdondek = aceleradordeexistencias > 0LdL V0 =v

Ecuacuóngeneraldeorden3:yt+2− H2+kL byt+1 + H1+kL byt = V0

Resolución SolveAr2−H2+kL br+ H1+kL b 0,rE ::r→

12ikbH2+kL −

èb "−4+4b− 4k+ 4bk+ bk2 y

{>,

:r→12ikbH2+kL +

èb "−4+4b− 4k+ 4bk+ bk2 y

{>>

GH@t_D = C1J1

2JbH2+kL −

èb2 H2+kL2−4bH1+kLtNN^t +

C2J12JbH2+kL +

èb2 H2+kL2−4bH1+kLtNN^t

2−tC1i

kbH2+ kL−

" b2 H2+kL2 − 4bH1+ kL ty{t

+

2−tC2ikbH2+ kL+

" b2 H2+kL2 − 4bH1+ kL ty{t

PC@t_D = A A SolveAlways@PC@t+2D − H2+kL bPC@t+1D + H1+kL b PC@tD v,tD 88v→ A− Ab<< Solve@v== A−Ab,AD

::A→ −

v−1+ b

>>

Análisis Dinámico

16

A= −v

−1+ b

−

v−1+ b

PC@tD −

v−1+ b

GC@t_D = GH@tD+PC@tD 2−tC1i

kbH2+ kL−

" b2 H2+kL2 − 4bH1+ kL ty{t

+

2−tC2ikbH2+ kL+

" b2 H2+kL2 − 4bH1+ kL ty{t

−v

−1+ b

2. Variantes de creación propia:

Consumo en función de la renta disponible del año anterior

Seguimos manteniendo el gasto público constante y comportamiento de la

inversión se mantiene igual al del modelo original. Sin embargo, el consumo ya no es

directamente proporcional a la renta del año anterior, sino que está en función de la

renta disponible del año anterior.

1LCt =cydisp Ht−1LYdispHtL =yt−kyt+ pIt =vHyt−1−yt−2Lyt =Ct+It+Gt Gt =g << DiscreteMath RSolve 1 forma RSolve@y@t+2D − Hc+v+ckL y@t+1D+v y@tD g+cp,y@tD, tD

A través de RSolve la solución es muy compleja y no nos permite diferenciar las

distintas soluciones.

2 Forma: Solve@r^2− Hc+v+ckL r+v 0,rD

Análisis Dinámico

17

::r→12ikc+ck−

" H−c−ck− vL2− 4v + vy{>,

:r→12ikc+ck+

" H−c−ck− vL2− 4v + vy{>>

GH@t_D = C1 J1

2Jc+ck−

èH−c−ck−vL2−4v +vNN^t+

C2J12Jc+ck+

èH−c−ck−vL2−4v +vNN^t

2−tC1ikc+ ck−

" H−c− ck− vL2 −4v + vy{t

+

2−tC2ikc+ ck+

" H−c− ck− vL2 −4v + vy{t

PC@t_D = A A SolveAlways@PC@t+2D −Hc+v+ckL PC@t+1D+v PC@tD g+cp,tD 88g→ A− Ac− Ack−cp<< A= Hg+cpLêH1−c−ckL g+ cp1− c−ck PC@tD g+ cp1− c−ck GC@t_D = GH@tD+PC@tD g+ cp

1− c−ck+ 2−tC1i

kc+ ck−

" H−c− ck−vL2 −4v + vy{t

+

2−tC2ikc+ ck+

" H−c− ck− vL2 −4v + vy{t

Comparación con el modelo original (primer caso, raíces reales distintas con

solución divergente)

2 4 6 8 10

2500

5000

7500

10000

12500

15000

A través de la gráfica se puede observar como el modelo en función de la renta

disponible crece a un ritmo más acelerado respecto al modelo original.

Análisis Dinámico

18

Abrir la economía

El modelo de Samuelson trata de describir el comportamiento de una economía

cerrada, por ello, a través de esta variable pretendemos abrir la economía,

introduciendo las exportaciones y las importaciones, con el fin de acercarnos más a la

realidad. Sin embargo, el comportamiento de la balanza de pagos no sigue una

evolución que se pueda visualizar fácilmente a través de una ecuación y por este motivo

hemos tenido que optar por inventar las ecuaciones de la balanza comercial, bct, que

representan las importaciones, m, y las exportaciones, x.

2L abrimoslaeconomíaIt =vHyt−1−yt−2L Ct =cyt−1 yt =Ct+It+Gt +bct bct = Xt− Mt Xt =x Yt−1 ;x→ propensión marginalaexportar Mt = m HYt− Yt−1L; m → propensiónmarginalaimportar Gt =g Laecuaciónaresolverquedaría: H1+ mL Yt−Hc+v+x+ mL Yt−1+vYt−2 = g << DiscreteMath RSolve 1 ªforma:

RSolve@H1+ mL y@t+2D −Hc+v+k+ mL y@t+1D +v y@tD g,y@tD, tD

Al igual que en la variante anterior la resolución mediante RSolve es muy

compleja, por lo que optamos por utilizar la ecuación característica.

2 ªforma:GC =GH+PC Solve@H1+ mLr^2 − Hc+v+k+mLr+v 0,rD

::r→c+ k+m+ v−

èH−c− k− m− vL2 −4H1+ mL v2H1+mL

>,

:r→c+ k+m+ v+

èH−c− k− m− vL2 −4H1+ mL v2H1+mL

>>

GH@t_D = C1i

kc+k+m +v−

èH−c−k− m−vL2 −4H1+ mLv2H1+mL

y

{^t+

C2i

kc+k+m +v+

èH−c−k− m−vL2 −4H1+ mLv2H1+mL

y

{^t

Análisis Dinámico

19

2−tC1i

k

c+ k+ m+ v−èH−c−k− m− vL2− 4H1+mL v

1+ m

y

{

t

+

2−tC2i

k

c+ k+ m+ v+èH−c−k− m− vL2− 4H1+mL v

1+ m

y

{

t

PC@t_D = A A SolveAlways@H1+ mLPC@t+2D −Hc+v+k+ mLPC@t+1D +vPC@tD g,tD 88g→ −AH−1+ c+ kL<< A= −gêH−1+c+kL −

g−1+ c+ k

PC@tD −

g−1+ c+ k

GC@t_D = GH@tD+PC@tD

−g

−1+ c+ k+ 2−t C1

i

k

c+ k+m+ v−èH−c− k− m− vL2 −4H1+ mL v

1+m

y

{

t

+

2−tC2i

k

c+ k+ m+ v+èH−c−k− m− vL2− 4H1+mL v

1+ m

y

{

t

Comparación con el modelo original (primer caso, raíces reales distintas con

solución divergente)

2 4 6 8 10

2000

4000

6000

8000

A través de la gráfica se observa un crecimiento más pronunciado de la renta

debido al efecto de las exportaciones. Mediante la solución particular podemos intuir

este hecho puesto que el efecto de la propensión marginal a exportar hace aumentar el

crecimiento (g/1-c-k > g/1-c).

Análisis Dinámico

20

El gasto depende de la renta de este año y del ahorro del año anterior

La inversión y el consumo se mantienen igual que en el modelo original. La

variación realizada sobre el modelo consiste en hacer depender el gasto de la renta de

este año y del ahorro del anterior, que a su vez, es función de la renta del año anterior y

del gasto autónomo que hemos considerado constante.

3LIt =vHyt−1−yt−2L Ct =cyt−1 Gt = Yt+ Yt−1−g; Gt = Yt +St−1

St−1 = Yt−1−g Yt =Ct+It+GtLaecuaciónaresolverquedaría:

−Hc+v+1L Yt−1 +vYt−2 =g 1ªForma: << DiscreteMath RSolve RSolve@−Hc+v+1L Y@t+1D +v Y@tD g, Y@tD,tD

::Y@tD →gI−1+I v

1+c+vMtM + H1+cL I v

1+c+vMtC@1D

1+c>>

Y@t_D = HY@tD ê.%L@@1DD gI−1+I v

1+c+vMtM + H1+cL I v

1+c+vMtC@1D

1+c Expand@Y@tDD

−g

1+c+gI v

1+c+vMt

1+ c+I v1+c+v

Mt C@1D

1+ c+cI v

1+c+vMtC@1D

1+ c CollectAY@tD, J v

1+c+vNtE

−g

1+c+I v1+c+v

MtHg+ C@1D +cC@1DL

1+ c Solve@−Hc+v+1Lr +v 0,rD ::r→

v1+ c+v

>>

GH@t_D = C1J v1+c+v

N^t

C1J v1+ c+v

Nt

PC@t_D = A A SolveAlways@−Hc+v+1LPC@t+1D +vPC@tD g,tD 88g→ −AH1+ cL<< A= −gêH1+cL −

g1+c

Análisis Dinámico

21

PC@tD −

g1+c

GC@t_D = GH@tD+PC@tD −

g1+c

+ C1J v1+ c+ v

Nt

Comparación con el modelo original (primer caso, raíces reales distintas con

solución divergente)

1 2 3 4 5

10

20

30

40

50

Mediante el análisis de la gráfica se puede observar como esta variante le resta el

sentido económico al modelo, puesto que, su influencia daría lugar a que la economía

entrase en crisis. Este hecho ya se puede prever al observar la solución particular que

siempre es negativa.

Construcción de un modelo no lineal

1. Variante:

Para construir un modelo no lineal hemos variado la inversión y el consumo con

respecto al modelo original, manteniendo constante el gasto. Debido a las limitaciones

que el Mathemática presenta para resolver un modelo no lineal, hemos tenido que ser

menos estrictos en el sentido económico de las variantes a introducir. Esta variante, en

concreto, sólo puede ser resuelta por la versión 5 del programa Mathemática.

It =HvYt−1− Yt−2 GtL

Yt−2 Yt =Ct+It+Gt Ct =c

Yt−1

Yt−2 Gt = g Laecuaciónaresolverquedaría: Yt =c

Yt−1

Yt−2+HvYt−1− Yt−2 GtL

Yt−2+Gt

Análisis Dinámico

22

Esdecir, Yt Yt−2 = Hc +vL Yt−1 Cambiodevariableperiodomásbajot Yt+2 Yt = Hc +vL Yt+1

Clear@Y, v,c,gD << DiscreteMath RSolve 8v= 0.2,c= 0.05, Y0= 100, Y1 =150< 80.2, 0.05, 100, 150< RSolve[{Y[t + 2] Y[t]==(c+v) Y[t+1] ,Y[0]==Y0,Y[1]==Y1}, Y[t], t]

99Y@tD → 0.25 5.991461.tCos@1.0472tD+3.927361.tSin@1.0472tD== Y@t_D = HY@tD ê.%L@@1DD 0.25 5.991461.tCos@1.0472tD+3.927361.tSin@1.0472tD

Y@0D 100. g1= Table@8t, Y@tD<, 8t, 0,10<D 880, 100.<, 81, 150.<, 82, 0.375<, 83, 0.000625<,84, 0.000416667<, 85, 0.166667<, 86, 100.<, 87, 150.<,88, 0.375<, 89, 0.000625<, 810, 0.000416667<< ListPlot@g1,PlotJoined→ True, PlotRange→ 80,200<,PlotStyle→ 8CMYKColor@0, 1,0,0D<D

2 4 6 8 10

25

50

75

100

125

150

175

200

ListPlot@g1,PlotJoined→ True, PlotRange→ 80, 4<,PlotStyle→ 8CMYKColor@0,1,0, 0D<D

Análisis Dinámico

23

2 4 6 8 10

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

Graphics

Para poder entender el sentido económico de esta variante hemos creído

conveniente representarla. A través de la primera gráfica, vemos que sigue un

comportamiento cíclico, cada seis períodos la renta oscila entre unos límites, llega a un

máximo de 150 y a un mínimo que se aproxima al cero, 0,0004.

La segunda gráfica se ha realizado para comprobar que aunque se aproxima a

cero, la renta no llega nunca a ser nula o negativa.

Este comportamiento no tiene sentido económico porque no se corresponde con

la realidad y se debe a que la solución de la variante está planteada con funciones

trigonométricas en tiempo discreto.

2. Variante:

Al igual que en la variante anterior hemos variado la inversión y el consumo con

respecto al modelo original, manteniendo constante el gasto. Con esta variante

conseguimos darle sentido económico a la variante anterior, pero no nos ha sido posible

resolverlo a través programa Mathemática por lo que hemos recurrido al Excel para su

resolución.

It =v Hyt−1 Hyt−1êyt−2LL − g Yt =Ct+It+Gt Ct =c

Yt−1

Yt−2 Gt = g Laecuaciónaresolverquedaría: yt yt+2 = yt+1 Hvyt+1+cL

Análisis Dinámico

24

Despejando yt+2 = Hyt+1 Hvyt+1+cLLêyt

Resolución con el Excel:

Hemos querido darle dos valores al acelerador, v, para ver el efecto que produce

sobre la renta:

Caso A: Acelerador es igual a la unidad.

t Y[t] 0,00 5,00 1,00 5,50 2,00 6,38 3,00 7,75 4,00 9,78 5,00 12,71 6,00 16,92 7,00 22,92 8,00 31,45 9,00 43,57 10,00 60,78

A través de la gráfica se observa que la renta sigue un crecimiento explosivo.

c 0,30 v 1,00

y[0] 5,00 y[1] 5,50

Y[t]

0,00

10,00

20,00

30,00

40,00

50,00

60,00

70,00

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

Y[t]

Análisis Dinámico

25

Caso B: Acelerador es inferior a la unidad

t Y[t] 0,00 5,00 1,00 5,50 2,00 3,36 3,00 1,21 4,00 0,32 5,00 0,12 6,00 0,14 7,00 0,41 8,00 1,50 9,00 3,83 10,00 5,65

Y[t]

0,00

1,00

2,00

3,00

4,00

5,00

6,00

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

Y[t]

Este caso puede corresponder a una economía en fase de nacimiento, ello explica

esa caída tan fuerte de la renta en los períodos iniciales y su posterior recuperación en

los períodos siguientes, una vez logrado el asentamiento de la misma.

c 0,30 v 0,50

y[0] 5,00 y[1] 5,50

Análisis Dinámico

26

H) BIBLIOGRAFÍA:

C. González y J.A. Barrios, “Análisis Discreto en Economía y Empresa”, Ed.

AC, Madrid.

G. C. Gandolfo, “Métodos y Modelos Matemáticos de la Dinámica Económica”,

Ed. Tecnos, Madrid, 1976.

Blanchard, O.: “Macroeconomía”, Ed. Prentice Hall, 2ª Edición, 2000.

F.F. Rodríguez, Mª D. García: “Métodos Matemáticos en Economía Dinámica”

Volumen 1, Ed. Colección de Textos Universitarios