84 สถิติและการวิเคราะห์ข้อมูล...

คมอประกอบสอการสอน วชาคณตศาสตร

เรอง

สถตและการวเคราะหขอมล (เนอหาตอนท 11)

ความสมพนธระหวางขอมล 1

โดย

ผชวยศาสตราจารย ดร.ณฐกาญจน ใจด

สอการสอนชดน เปนความรวมมอระหวาง คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย กบ

สานกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน (สพฐ.) กระทรวงศกษาธการ

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง สานกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

1

สอการสอน เรอง สถตและการวเคราะหขอมล สอการสอน เรอง สถตและการวเคราะหขอมล มจานวนตอนทงหมดรวม 27 ตอน

ซงประกอบดวย

1. บทนา เรอง สถตและการวเคราะหขอมล 2. เนอหาตอนท 1 บทนา (เนอหา)

- ความหมายของสถต - ขอมลและการนาเสนอขอมล - การสารวจความคดเหน

3. เนอหาตอนท 2 แนวโนมเขาสสวนกลาง 1 - คากลางของขอมล

4. เนอหาตอนท 3 แนวโนมเขาสสวนกลาง 2 - แนวโนมเขาสสวนกลาง

5. เนอหาตอนท 4 แนวโนมเขาสสวนกลาง 3 - คาเฉลยเลขคณต - มธยฐาน - ฐานนยม - คาเฉลยเรขาคณต - คากลางฮารโมนก

6. เนอหาตอนท 5 การกระจายของขอมล - ตาแหนงของขอมล

7. เนอหาตอนท 6 การกระจายสมบรณ 1 - การกระจายสมบรณและการกระจายสมพทธ - พสย (ขอมลไมแจกแจงความถ) - สวนเบยงเบนควอไทล (ขอมลไมแจกแจงความถ) - สวนเบยงเบนเฉลย (ขอมลไมแจกแจงความถ)

8. เนอหาตอนท 7 การกระจายสมบรณ 2 - สวนเบยงเบนมาตรฐาน (ขอมลไมแจกแจงความถ) - ความแปรปรวน


2

9. เนอหาตอนท 8 การกระจายสมบรณ 3 - พสย (ขอมลแจกแจงความถ) - สวนเบยงเบนควอไทล (ขอมลแจกแจงความถ) - สวนเบยงเบนเฉลย (ขอมลแจกแจงความถ) - สวนเบยงเบนมาตรฐาน (ขอมลแจกแจงความถ)

10. เนอหาตอนท 9 การกระจายสมพทธ - สมประสทธพสย - สมประสทธของสวนเบยงเบนควอไทล - สมประสทธของสวนเบยงเบนเฉลย - สมประสทธของความแปรผน

11. เนอหาตอนท 10 คะแนนมาตรฐาน - คะแนนมาตรฐาน - การแจกแจงปกต

12. เนอหาตอนท 11 ความสมพนธระหวางขอมล 1 - ความสมพนธเชงฟงกชนระหวางขอมล

13. เนอหาตอนท 12 ความสมพนธระหวางขอมล 2 - ความสมพนธเชงฟงกชนของขอมลทอยในรปอนกรมเวลา

14. เนอหาตอนท 13 โปรแกรมการคานวณทางสถต 1 - โปรแกรมการคานวณทางสถต 1

15. เนอหาตอนท 14 โปรแกรมการคานวณทางสถต 2 - โปรแกรมการคานวณทางสถต 2

16. แบบฝกหด (พนฐาน 1) 17. แบบฝกหด (พนฐาน 2) 18. แบบฝกหด (พนฐาน 3) 19. แบบฝกหด (พนฐาน 4) 20. แบบฝกหด (พนฐาน 5) 21. แบบฝกหด (ขนสง) 22. สอปฏสมพนธ เรอง การนาเสนอขอมล 23. สอปฏสมพนธ เรอง การวดคากลางของขอมล 24. สอปฏสมพนธ เรอง การวดการกระจายของขอมล 25. สอปฏสมพนธ เรอง การแจกแจงปกต


3

26. สอปฏสมพนธ เรอง ความสมพนธเชงเสนตรง 27. สอปฏสมพนธ เรอง ความสมพนธเชงพาราโบลาและความสมพนธเชงชกาลง

คณะผจดทาหวงเปนอยางยงวา สอการสอนชดนจะเปนประโยชนตอการเรยนการสอนสาหรบคร และนกเรยนทกโรงเรยนทใชสอชดนรวมกบการเรยนการสอนวชาคณตศาสตร เรอง สถตและการวเคราะหขอมล นอกจากนหากทานสนใจสอการสอนวชาคณตศาสตรในเรองอนๆทคณะผจดทาไดดาเนนการไปแลว ทานสามารถดชอเรอง และชอตอนไดจากรายชอสอการสอนวชาคณตศาสตรทงหมดในตอนทายของคมอฉบบน


4

เรอง สถตและการวเคราะหขอมล (ความสมพนธระหวางขอมล 1) หมวด เนอหา ตอนท 11 (11/14) หวขอยอย ความสมพนธเชงฟงกชนระหวางขอมล

จดประสงคการเรยนร เพอใหผเรยน

1. เขาใจในมโนทศนของความสมพนธระหวางขอมล 2. เขาใจความหมายและหาความสมพนธระหวางขอมลทกราฟเปนเสนตรงได 3. เขาใจความหมายและหาความสมพนธระหวางขอมลทกราฟเปนพาราโบลาและ

เอกซโพเนนเชยลได ผลการเรยนรทคาดหวง

ผเรยนสามารถ 1. อธบายความหมายของตวแปรอสระและตวแปรตามได 2. อธบายความหมายของความสมพนธระหวางขอมลได 3. อธบายวธการหาและหาความสมพนธระหวางขอมลทกราฟเปนเสนตรงได 4. อธบายวธการหาและหาความสมพนธระหวางขอมลทกราฟเปนพาราโบลาและ

เอกซโพเนนเชยลได


5

เนอหาในสอการสอน

เนอหาทงหมด


6

ความสมพนธเชงฟงกชนระหวางขอมล


7

ความสมพนธเชงฟงกชนระหวางขอมล

ในสอการสอนตอนน เราจะศกษา “ความสมพนธเชงฟงกชนระหวางขอมล” ซงเปนการศกษาความสมพนธของตวแปรสองตว โดยมวตถประสงคหลก คอ ใชตวแปรตวหนงซงเรยกวาตวแปรอสระไปประมาณคาอกตวแปรหนงซงเรยกวาตวแปรตาม

โดยในสอการสอนจะเรมดวยการกลาวถงเนอหาคราว ๆ ทจะไดเรยนในสอตอนน ซงเรมดวยการยก ตวอยาง โดยนาขอมลทตวอยางกาหนดใหมาเขยนแผนภาพการกระจายเพอดแนวโนมความสมพนธระหวางสองตวแปร จากนนจงหาสมการความสมพนธดงกลาว ซงทาใหเราสามารถประมาณคาตวแปรตามไดหากรคาของตวแปรอสระ


8

จากนน ในสอการสอนไดใหความหมายพรอมทงยกตวอยางของตวแปรอสระและตวแปรตาม

ในสอการสอนน เราจะศกษาความสมพนธเชงฟงกชนของขอมล โดยแบงเปน 2 ประเภทใหญ ๆ คอ

1. ความสมพนธเชงฟงกชนทกราฟเปนเสนตรง 2. ความสมพนธเชงฟงกชนทกราฟไมเปนเสนตรง

2.1 กราฟเปนพาราโบลา 2.2 กราฟเปนเอกซโพเนนเชยล


9

เมอผเรยนไดชมสอการสอนขางตนจบแลว ผสอนอาจอธบายแนวคดของวธกาลงสองนอยสด(method of least square) เพมเตม ดงน

ให x เปนตวแปรอสระและ y เปนตวแปรตาม แนวคดของวธการนคอ การทาให 2

1

ˆ( )n

i iiy y

=

−∑ มคานอยทสด

ให 2

1

ˆ( )n

i ii

SSE y y=

= −∑

เนองจาก y ax b= + ดงนน 2

1( )

n

i ii

SSE ax b y=

= + −∑ จากนนใชความรเรองแคลคลสในการหาคา a และ b ททาให SSE มคานอยสด ดงน

1

( ) 2 ( )n

i i ii

SSE ax b y xa =

∂= + −

∂ ∑

1

( ) 2 ( )n

i ii

SSE ax b yb =

∂= + −

∂ ∑


10

จากทฤษฎบทการหาคาตาสด เราตองการหาคา a และ b ททาให ( ) 0SSEa

∂=

∂ และ ( ) 0SSE

b∂

=∂

ดงนน

1( ) 0

n

i i iiax b y x

=

+ − =∑ และ 1

( ) 0n

i iiax b y

=

+ − =∑ นนคอ คาคงตว a และ b ตองสอดคลองสมการ

1 1

n n

i ii iy a x nb

= =

= +∑ ∑

2

1 1 1

n n n

i i i ii i ix y a x b x

= = =

= +∑ ∑ ∑ โดยสมการขางตนทไดจากวธกาลงสองนอยสด เรยกวา สมการปกต(normal equations)

จากนนในสอการสอนผเรยนจะไดชมตวอยางการวาดแผนภาพการกระจายและการหาความสมพนธเชงฟงกชนทกราฟเปนเสนตรง ดงน


11

หมายเหต 1. ถาตองการประมาณคาของตวแปรใดตองใหตวแปรนนเปนตวแปรตามและตวแปรอกตวหนงเปน ตวแปรอสระ 2. สาหรบสมการความสมพนธเชงฟงกชนของตวแปร x และตวแปร y เราจะใสสญลกษณ “ ^ ” ไว เหนอตวแปรตาม นนคอ

ตวแปร สมการความสมพนธ x เปนตวแปรอสระ และ y เปนตวแปรตาม y ax b= + (1)

x เปนตวแปรตาม และ y เปนตวแปรอสระ x ay b= + (2) โดยคาคงตว a และ b ในสมการ (1) และ (2) ไมจาเปนตองเทากน ซงผเรยนจะไดชมจากตวอยาง ตอไปนในสอการสอน


12

สาหรบสองตวอยางขางตน จะพบวาขอมลทโจทยกาหนดใหมาเปนขอมลชดเดยวกน เพยงแตคาถามแตกตางกน

ตวอยาง โจทยตองการหาสมการเสนตรงท สมการเสนตรงทได

1 ประมาณรายจายจากรายได ˆ 0.7 0.9y x= + 2 ประมาณรายไดจากรายจาย ˆ 0.5 1.5x y= +

โดยในตวอยางแรก ถาทราบรายได ( x ) สามารถประมาณรายจาย ( y ) จากสมการ ˆ 0.7 0.9y x= + แต

ถาหากทราบรายจาย ( y ) แลวตองการประมาณรายได ( x ) ตองใชสมการ ˆ 0.5 1.5x y= + ในตวอยางท 2

ดงนนในการหาสมการความสมพนธ ผเรยนตองระมดระวงวาตวแปรใดเปนตวแปรอสระและตวแปร

ใดเปนตวแปรตาม จากนนจงหาคาคงตว a และ b ซงสรปไดดงน


13

เพอใหผเรยนเขยนแผนภาพการกระจายและหาสมการความสมพนธเชงฟงกชนไดคลองยงขน ผสอนอาจใหผเรยนทาตวอยางตอไปนเพมเตม ตวอยาง ขอมลแสดงคาซอมบารงรถยนต(ตอป)และอายการใชงานรถยนตของบรษทแหงหนงจานวน 7 คน เปนดงน

1. จงเขยนแผนภาพการกระจายของขอมลชดน 2. จงหาสมการเสนตรงทประมาณคาซอมบารงจากอายการใชงานของรถยนต 3. ถารถยนตคนหนงมอายการใชงาน 4 ป จงประมาณคาซอมบารงของรถยนตคนน

วธทา กาหนดให x แทนอายการใชงานของรถยนต และ y แทนคาซอมบารงของรถยนต 1. นาขอมลทโจทยกาหนดใหมาเขยนแผนภาพการกระจายไดดงน

คาซอมบารง(พนบาท) อายการใชงาน

2. สมการเสนตรงทประมาณคาซอมบารงจากอายการใชงานของรถยนต คอ y ax b= +

โดยคาคงตว a และ b หาไดจากสมการ

อายการใชงาน 1 4 3.5 3 5 3 1.5 คาซอมบารง(พนบาท) 1 5 3.5 2.5 6.5 3.5 1.5


14

1 1

n n

i ii iy a x nb

= =

= +∑ ∑

2

1 1 1

n n n


= = =

= +∑ ∑ ∑

เมอ 7n = ix iy 2

ix i ix y 1 1 1 1 4 5 16 20

3.5 3.5 12.25 12.25 3 2.5 9 7.5 5 6.5 25 32.5 3 3.5 9 10.5

1.5 1.5 2.25 2.25 7

1i

ix

=

=∑ 21 7

1i

iy

=

=∑ 23.5 7

2

1i

ix

=

=∑ 74.5 7

1i i

ix y

=

=∑ 86

ดงนน 23.5 21 7a b= +

86 74.5 21a b= + ทาใหไดวา 1.3478a = และ 0.6863b = − ดงนน สมการเสนตรงทประมาณคาซอมบารงจากอายการใชงานของรถยนต คอ ˆ 1.3478 0.6863y x= −

3. ถารถยนตคนหนงมอายการใชงาน 4 ป ดงนน ˆ 1.3478(4) 0.6863 4.7050y = − = นนคอ คาซอมบารงของรถยนตคนนประมาณ 4,705 บาทตอป


15

ตอไปผเรยนจะไดศกษาการหาสมการความสมพนธทกราฟไมเปนเสนตรง โดยจะศกษาในกรณทกราฟเปนพาราโบลาและกราฟเปนเอกซโพเนนเชยล ดงน

จากนนผเรยนจะไดชมตวอยางความสมพนธเชงฟงกชนระหวางขอมลทกราฟเปนเอกซโพเนนเชยล โดย ผสอนอาจทบทวนสมบตพนฐานของเอกซโพเนนเชยลและลอการทมใหผเรยนกอนชมตวอยางตอไปน


16

เพอใหผเรยนเขาใจเรองความสมพนธเชงฟงกชนทกราฟเปนเอกซโพเนนเชยลไดดยงขน ผสอนควรให

ผเรยนฝกทาตวอยางตอไปนเพมเตม

ตวอยาง ขอมลแสดงจานวนชวโมงในการทบทวนบทเรยน(ตอวน) และคะแนนสอบวชาคณตศาสตรทได เปนดงน

1. จงเขยนแผนภาพการกระจายของขอมลชดน 2. จงหาสมการเอกซโพเนนเชยลทประมาณคะแนนสอบจากจานวนชวโมงในการทบทวนบทเรยน 3. ถานกเรยนคนหนงทบทวนบทเรยน 1 ชวโมง 30 นาท ตอวน จงประมาณคะแนนสอบทนกเรยนคนนได

วธทา กาหนดให x แทนอายการใชงานของรถยนต และ y แทนคาซอมบารงของรถยนต 1. นาขอมลทโจทยกาหนดใหมาเขยนแผนภาพการกระจายไดดงน คะแนนสอบ

จานวนชวโมงในการ ทบทวนบทเรยน

จานวนชวโมงในการทบทวนบทเรยน 0.5 1 2 2.5 3 3.5 คะแนนสอบ 2 2.5 3.5 4.5 7 9.5


17

2. สมการเอกซโพเนนเชยลทประมาณคะแนนสอบจากจานวนชวโมงในการทบทวนบทเรยน คอ ˆ xy ab=

ดงนน ˆlog log logy a x b= + โดยคาคงตว a และ b หาไดจากสมการ

1 1

log log logn n

i ii i

y n a b x= =

= +∑ ∑

2

1 1 1log log log

n n n


= = =

= +∑ ∑ ∑

เมอ 6n = ix iy log iy 2

ix logi ix y 0.5 2 0.3010 0.25 0.1505 1 2.5 0.3979 1 0.3979 2 3.5 0.5441 4 1.0882

2.5 4.5 0.6532 6.25 1.6330 3 7 0.8451 9 2.5353

3.5 9.5 0.9772 12.25 3.4223 6

1i

ix

=

=∑ 12.5 − 6

1log i

iy

=

=∑ 3.7191 6

2

1i

ix

=

=∑ 32.75 6

1logi i

ix y

=

=∑ 9.2272

ดงนน 3.7191 6log 12.5loga b= +

9.2272 12.5log 32.75loga b= + ทาใหไดวา log 0.1605a = และ log 0.2205b = ดงนน ˆlog 0.1605 0.2205y x= + ทาใหไดวา สมการเอกซโพเนนเชยลทประมาณคะแนนสอบจากจานวนชวโมงในการทบทวนบทเรยน คอ

0.1605 0.2205ˆ 10 xy +=

3. ถานกเรยนคนหนงทบทวนบทเรยน 1 ชวโมง 30 นาท ตอวน ดงนน 0.1605 0.2205(1.5) 0.49125ˆ 10 10 3.1y +

= == นนคอ นกเรยนคนนจะไดคะแนนประมาณ 3.1 คะแนน


18

สาหรบตวอยางสดทายในสอการสอนนเปนตวอยางความสมพนธเชงฟงกชนระหวางขอมลทอยในรป พาราโบลา เนองดวยเวลาในสอการสอนมจากดจงไมไดเฉลยวธทาใหผเรยนชม ดงนนผสอนควรใหผเรยนชวยกนคดหาคาตอบกอน จากนนผสอนจงแสดงใหผเรยนด ดงน ตวอยาง จากขอมล

ix 1 2 3 iy 1 5 10

1. จงหาสมการพาราโบลาททานายคา y จากคา x 2. จงทานายคา y เมอ 6x =

วธทา 1. ตองการทานายคา y จากคา x ดงนน x เปนตวแปรอสระและ y เปนตวแปรตาม ดงนน สมการพาราโบลาทตองการอยในรป 2y ax bx c= + + โดยคาคงตว ,a b และ c หาไดจากสมการ 2

1 1 1

n n n

i i ii i iy a x b x cn

= = =

= + +∑ ∑ ∑ (1)

3 2

1 1 1 1

n n n n

i i i i ii i i ix y a x b x c x

= = = =

= + +∑ ∑ ∑ ∑ (2) 2 4 3 2

1 1 1 1

n n n n

i i i i ii i i ix y a x b x c x

= = = =

= + +∑ ∑ ∑ ∑ (3)

สาหรบตวอยางน 3n =


19

ix iy 2ix 3

ix 4ix i ix y 2

i ix y 1 1 1 1 1 1 1 2 5 4 8 16 10 20 3 10 9 27 81 30 90

3

1i

ix

=

=∑ 6 3

1i

iy

=

=∑ 16 3

2

1i

ix

=

=∑ 14 3

3

1i

ix

=

=∑ 36 3

4

1i

ix

=

=∑ 98 3

1i i

ix y

=

=∑ 41 3

2

1i i

ix y

=

=∑ 111

นาคาในตารางไปแทนในสมการ (1), (2) และ (3) จะไดวา 16 14 6 3a b c= + + 41 36 14 6a b c= + + 111 98 36 14a b c= + + จากการแกสมการขางตน จะไดวา

0.5a = 2.5b = 2c = − ดงนน สมการพาราโบลาททานายคา y จากคา x คอ 2ˆ 0.5 2.5 2y x x= + − 2. เมอ 6x = จะไดวา 2ˆ 0.5(6 ) 2.5(6) 2 31y = + − = หมายเหต จากตวอยางขางตน ผเรยนตองหาคาตอบของระบบสมการเชงเสน 3 ตวแปร ซงการคานวณคอนขางยงยาก ดงนน ผสอนควรทบทวนผเรยนเรองการใชเมทรกซในการแกระบบสมการ ซงจะทาใหหาคาตอบไดสะดวกและรวดเรวยงขน จากระบบอสมการ 16 14 6 3a b c= + + 41 36 14 6a b c= + + 111 98 36 14a b c= + + นามาเขยนในรปเมทรกซไดดงน


20

14 6 3 1636 14 6 4198 36 14 111

abc

=

โดยกฎของคราเมอร จะไดวา

16 6 341 14 6

111 36 14 2 0.514 6 3 436 14 698 36 14

a −= = =

−,

14 16 336 41 698 111 14 10 2.514 6 3 436 14 698 36 14

b −= = =

−,

14 6 1636 14 4198 36 111 8 214 6 3 436 14 698 36 14

c = = = −−


21

แบบฝกหดเพมเตม

เรอง ความสมพนธเชงฟงกชนระหวางขอมล

1. ขอมลแสดงงบโฆษณา(แสนบาท) และรายไดตอเดอน(ลานบาท) ของนาผลไมยหอหนง เปนดงน

งบโฆษณา(แสนบาท) 2.5 3.5 4 2.5 1.5 5 6 7 รายได(ลานบาท) 4 7 7 5 2 9 12 14

1.1 จงเขยนแผนภาพการกระจายของขอมลชดน 1.2 จงหาสมการเสนตรงทประมาณรายไดจากงบโฆษณาของนาผลไมยหอน 1.3 จงประมาณรายไดของนาผลไมยหอนหากทมงบโฆษณา 1,000,000 บาท

2. กาหนดขอมลดงตารางตอไปน

2.1 จงเขยนแผนภาพการกระจายของขอมลชดน 2.2 จงหาสมการพาราโบลาทประมาณคา y จากคา x 2.3 จงประมาณคา y เมอกาหนดให 2x =

3. ขอมลแสดงอาย(ป) และนาหนก (กโลกรม) ของสตวชนดหนง เปนดงน

3.1 จงเขยนแผนภาพการกระจายของขอมลชดน 3.2 จงหาสมการเอกซโพเนนเชยลทประมาณนาหนกจากอายของสตวชนดน 3.3 ถาสตวชนดนตวหนงมอาย 4 ป จงประมาณนาหนกของสตวตวน (ตอบเปนทศนยม 4 ตาแหนง)

x -2 -1 0 1 y 1 2 3 2

นาหนก(กโลกรม) 3 4 6 10 16 อาย(ป) 1 1.5 2 2.5 3


22

4. กาหนดใหยอดขายของพนกงานขายประกน ( y : หนวยเปนหมนบาท) ในบรษทประกนแหงหนงกบประสบการณขาย( x : หนวยเปนป) มความสมพนธทมกราฟเปนเสนตรง เกบขอมลของพนกงาน 10 คนจากบรษทแหงน ไดขอมลดงน

10

1i

ix

=

=∑ 30, 10

1i

iy

=

=∑ 43, 10

1i i

ix y

=

=∑ 143.5, 10

2

1i

ix

=

=∑ 104.5

4.1 ถาพนกงานคนหนงมประสบการณขาย 6 ป จงประมาณยอดขายประกนของพนกงานคนน 4.2 ถาหากพนกงานมประสบการณขายเพมขน 1 ป จงประมาณยอดขายประกนทเพมขน

5. ถาความสมพนธเชงฟงกชนระหวางรายได ( x : หนวยเปนบาท) และรายจาย( y : หนวยเปนบาท) คอ ˆ 0.6y x b= +

โดยใชความสมพนธน ปรากฏวานายมธยสถซงมรายไดเดอนละ 20,000 บาท จะมรายจายประมาณ 13,500 บาท จงประมาณรายจายของนายประหยดถาเขามรายไดเดอนละ 25,000 บาท


23

สรปสาระสาคญประจาตอน


24

สรปสาระสาคญประจาตอน

ในสอการสอนเรองสถตและการวเคราะหขอมล ตอนท 11 เราไดศกษาเรองความสมพนธเชงฟงกชนของขอมล 2 ตวแปร โดยมวตถประสงคหลก คอ ใชตวแปรหนงซงเรยกวาตวแปรอสระไปประมาณคาอกตวแปรหนงซงเรยกวาตวแปรตาม โดยสามารถสรปคราว ๆ ไดดงน

1. ถาตองการประมาณคาของตวแปรใดตองใหตวแปรนนเปนตวแปรตามและตวแปรอกตวหนงเปน ตวแปรอสระ 2. นาขอมลทมมาเขยนแผนภาพการกระจายเพอดแนวโนมความสมพนธ โดยความสมพนธซงเราศกษา ในสอการสอนนสามารถแบงไดเปน 2 ประเภทใหญ ๆ คอ

1. ความสมพนธเชงฟงกชนทกราฟเปนเสนตรง 2. ความสมพนธเชงฟงกชนทกราฟไมเปนเสนตรง

2.1 กราฟเปนพาราโบลา 2.2 กราฟเปนเอกซโพเนนเชยล

3. หาสมการความสมพนธโดยวธกาลงสองนอยสด 4. เมอกาหนดคาของตวแปรอสระสามารถประมาณคาตวแปรตามไดจากสมการความสมพนธทไดใน ขอ 3


25

เอกสารอางอง

สงเสรมการสอนวทยาศาสตรและเทคโนโลย, สถาบน (2553) หนงสอเรยนสาระการเรยนรเพมเตมคณตศาสตร เลม 1 กลมสาระการเรยนรคณตศาสตร ชนมธยมศกษาปท 6. พมพครงท 7. กรงเทพมหานคร : โรงพมพครสภาลาดพราว


26

ภาคผนวก เฉลยแบบฝกหด


27

เฉลยแบบฝกหด เรอง ความสมพนธเชงฟงกชนระหวางขอมล

1. 1.1 รายได(แสนบาท)

รายได(ลานบาท) 1.2 ˆ 2.12 0.98y x= − เมอ x แทนงบโฆษณา(หนวยเปนแสนบาท) และ y แทนรายได(หนวยเปนลานบาท) 1.3 20,220,000 บาท 2. 2.1 y

x 2.2 2ˆ 0.5 0.1 2.7y x x= − − + 2.3 0.5


28

3. 3.1 นาหนก(กโลกรม) อาย(ป) 3.2 ˆlog 0.0715 0.3704y x= + , 0.0715 0.3704ˆ 10 xy +=

เมอ x แทนอาย(หนวยเปนป) และ y แทนนาหนก(หนวยเปนกโลกรม)

3.3 1.553110 กโลกรม, 35.7355 กโลกรม 4. 4.1 73,000 บาท 4.2 13,000 บาท 5. 16,500 บาท


29

รายชอสอการสอนวชาคณตศาสตร จานวน 92 ตอน


30

รายชอสอการสอนวชาคณตศาสตร จานวน 92 ตอน

เรอง ตอน

บทนา เรอง เซต

ความหมายของเซต

เซตกาลงและการดาเนนการบนเซต

เอกลกษณของการดาเนนการบนเซตและแผนภาพเวนน-ออยเลอร

เซต

สอปฏสมพนธเรองแผนภาพเวนน-ออยเลอร บทนา เรอง การใหเหตผลและตรรกศาสตร การใหเหตผล

ประพจนและการสมมล

สจนรนดรและการอางเหตผล

ประโยคเปดและวลบงปรมาณ

สอปฏสมพนธเรองหอคอยฮานอย

การใหเหตผลและตรรกศาสตร

สอปฏสมพนธเรองตารางคาความจรง บทนา เรอง จานวนจรง สมบตของจานวนจรง การแยกตวประกอบ

ทฤษฏบทตวประกอบ

สมการพหนาม

อสมการ เทคนคการแกอสมการ คาสมบรณ การแกอสมการคาสมบรณ กราฟคาสมบรณ สอปฏสมพนธเรองชวงบนเสนจานวน

สอปฏสมพนธเรองสมการและอสมการพหนาม

จานวนจรง

สอปฏสมพนธเรองกราฟคาสมบรณ บทนา เรอง ทฤษฎจานวนเบองตน

การหารลงตวและจานวนเฉพาะทฤษฎจานวนเบองตน

ตวหารรวมมากและตวคณรวมนอย บทนา เรอง ความสมพนธและฟงกชน ความสมพนธและฟงกชน

ความสมพนธ


31


โดเมนและเรนจ อนเวอรสของความสมพนธและบทนยามของฟงกชน

ฟงกชนเบองตน

พชคณตของฟงกชน

อนเวอรสของฟงกชนและฟงกชนอนเวอรส

ความสมพนธและฟงกชน

ฟงกชนประกอบ

บทนา เรอง ฟงกชนชกาลงและฟงกชนลอการทม

เลขยกกาลง ฟงกชนชกาลงและฟงกชนลอการทม

ลอการทม

อสมการเลขชกาลง

ฟงกชนชกาลงและฟงกชนลอการทม

อสมการลอการทม

บทนา เรอง ตรโกณมต อตราสวนตรโกณมต เอกลกษณของอตราสวนตรโกณมต และวงกลมหนงหนวย ฟงกชนตรโกณมต 1 ฟงกชนตรโกณมต 2 ฟงกชนตรโกณมต 3 กฎของไซนและโคไซน กราฟของฟงกชนตรโกณมต ฟงกชนตรโกณมตผกผน

สอปฏสมพนธเรองมมบนวงกลมหนงหนวย สอปฏสมพนธเรองกราฟของฟงกชนตรโกณมต

ตรโกณมต

สอปฏสมพนธเรองกฎของไซนและกฎของโคไซน บทนา เรอง กาหนดการเชงเสน

การสรางแบบจาลองทางคณตศาสตร กาหนดการเชงเสน

การหาคาสดขด

บทนา เรอง ลาดบและอนกรม

ลาดบ

การประยกตลาดบเลขคณตและเรขาคณต

ลมตของลาดบ

ผลบวกยอย อนกรม

ลาดบและอนกรม

ทฤษฎบทการลเขาของอนกรม


32


บทนา เรอง การนบและความนาจะเปน

การนบเบองตน

การเรยงสบเปลยน

การจดหม ทฤษฎบททวนาม

การทดลองสม

ความนาจะเปน 1

การนบและความนาจะเปน .

ความนาจะเปน 2

บทนา เรอง สถตและการวเคราะหขอมล

บทนา เนอหา แนวโนมเขาสสวนกลาง 1

แนวโนมเขาสสวนกลาง 2 แนวโนมเขาสสวนกลาง 3

การกระจายของขอมล

การกระจายสมบรณ 1



การกระจายสมพทธ คะแนนมาตรฐาน



โปรแกรมการคานวณทางสถต 1

สถตและการวเคราะหขอมล

โปรแกรมการคานวณทางสถต 2 การลงทน SET50 โดยวธการลงทนแบบถวเฉลย ปญหาการวางตวเบยบนตารางจตรส การถอดรากทสาม เสนตรงลอมเสนโคง

โครงงานคณตศาสตร

กระเบองทยดหดได

84 สถิติและการวิเคราะห์ข้อมูล...

Documents