87 สถิติและการวิเคราะห์ข้อมูล...

คมอประกอบสอการสอน วชาคณตศาสตร

เรอง

สถตและการวเคราะหขอมล (เนอหาตอนท 14)

โปรแกรมการค านวณทางสถต 2

โดย

ผชวยศาสตราจารย ทพวลย สนตวภานนท

สอการสอนชดน เปนความรวมมอระหวาง คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย กบ

ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน (สพฐ.) กระทรวงศกษาธการ

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

1

สอการสอน เรอง สถตและการวเคราะหขอมล สอการสอน เรอง สถตและการวเคราะหขอมล มจ านวนตอนทงหมดรวม 27 ตอน

ซงประกอบดวย

1. บทน า เรอง สถตและการวเคราะหขอมล 2. เนอหาตอนท 1 บทน า (เนอหา)

- ความหมายของสถต - ขอมลและการน าเสนอขอมล - การส ารวจความคดเหน

3. เนอหาตอนท 2 แนวโนมเขาสสวนกลาง 1 - คากลางของขอมล

4. เนอหาตอนท 3 แนวโนมเขาสสวนกลาง 2 - แนวโนมเขาสสวนกลาง

5. เนอหาตอนท 4 แนวโนมเขาสสวนกลาง 3 - คาเฉลยเลขคณต - มธยฐาน - ฐานนยม - คาเฉลยเรขาคณต - คากลางฮารโมนก

6. เนอหาตอนท 5 การกระจายของขอมล - ต าแหนงของขอมล

7. เนอหาตอนท 6 การกระจายสมบรณ 1 - การกระจายสมบรณและการกระจายสมพทธ - พสย (ขอมลไมแจกแจงความถ) - สวนเบยงเบนควอไทล (ขอมลไมแจกแจงความถ) - สวนเบยงเบนเฉลย (ขอมลไมแจกแจงความถ)

8. เนอหาตอนท 7 การกระจายสมบรณ 2 - สวนเบยงเบนมาตรฐาน (ขอมลไมแจกแจงความถ) - ความแปรปรวน


2

9. เนอหาตอนท 8 การกระจายสมบรณ 3 - พสย (ขอมลแจกแจงความถ) - สวนเบยงเบนควอไทล (ขอมลแจกแจงความถ) - สวนเบยงเบนเฉลย (ขอมลแจกแจงความถ) - สวนเบยงเบนมาตรฐาน (ขอมลแจกแจงความถ)

10. เนอหาตอนท 9 การกระจายสมพทธ - สมประสทธพสย - สมประสทธของสวนเบยงเบนควอไทล - สมประสทธของสวนเบยงเบนเฉลย - สมประสทธของความแปรผน

11. เนอหาตอนท 10 คะแนนมาตรฐาน - คะแนนมาตรฐาน - การแจกแจงปกต

12. เนอหาตอนท 11 ความสมพนธระหวางขอมล 1 - ความสมพนธเชงฟงกชนระหวางขอมล

13. เนอหาตอนท 12 ความสมพนธระหวางขอมล 2 - ความสมพนธเชงฟงกชนของขอมลทอยในรปอนกรมเวลา

14. เนอหาตอนท 13 โปรแกรมการค านวณทางสถต 1 - โปรแกรมการค านวณทางสถต 1

15. เนอหาตอนท 14 โปรแกรมการค านวณทางสถต 2 - โปรแกรมการค านวณทางสถต 2

16. แบบฝกหด (พนฐาน 1) 17. แบบฝกหด (พนฐาน 2) 18. แบบฝกหด (พนฐาน 3) 19. แบบฝกหด (พนฐาน 4) 20. แบบฝกหด (พนฐาน 5) 21. แบบฝกหด (ขนสง) 22. สอปฏสมพนธ เรอง การน าเสนอขอมล 23. สอปฏสมพนธ เรอง การวดคากลางของขอมล 24. สอปฏสมพนธ เรอง การวดการกระจายของขอมล 25. สอปฏสมพนธ เรอง การแจกแจงปกต


3

26. สอปฏสมพนธ เรอง ความสมพนธเชงเสนตรง 27. สอปฏสมพนธ เรอง ความสมพนธเชงพาราโบลาและความสมพนธเชงชก าลง

คณะผจดท าหวงเปนอยางยงวา สอการสอนชดนจะเปนประโยชนตอการเรยนการสอนส าหรบคร และนกเรยนทกโรงเรยนทใชสอชดนรวมกบการเรยนการสอนวชาคณตศาสตร เรอง สถตและการวเคราะหขอมล นอกจากนหากทานสนใจสอการสอนวชาคณตศาสตรในเรองอน ๆ ทคณะผจดท าไดด าเนนการไปแลว ทานสามารถดชอเรอง และชอตอนไดจากรายชอสอการสอนวชาคณตศาสตรทงหมดในตอนทายของคมอฉบบน


4

เรอง สถตและการวเคราะหขอมล (โปรแกรมการค านวณทางสถต 2) หมวด เนอหา ตอนท 14 (14/14) หวขอยอย โปรแกรมการค านวณทางสถต 2 จดประสงคการเรยนร

เพอใหผเรยนสามารถใชโปรแกรมการค านวณทางสถตในการวเคราะหความสมพนธเชงฟงกชนระหวางขอมลได

ผลการเรยนรทคาดหวง

ผเรยนสามารถใชโปรแกรมส าเรจรป Instat ในการ 1. สรางแฟมขอมลของขอมล 1 กลมได 2. สรางแฟมขอมลของขอมล 2 กลม ซงม 2 แบบตอไปนได

แบบแตละกลมมชอตวแปรตางกน (two data columns) แบบขอมลทกตวใชชอเดยวกน และจ าแนกกลมดวยตวแปร factor

3. วาดแผนภาพการกระจายของขอมลเพอดรปแบบความสมพนธของขอมล 4. วเคราะหหาสมการความสมพนธเชงเสนตรงระหวางขอมลได


5

เนอหาในสอการสอน

เนอหาทงหมด


6



7


ในสอตอนนเราจะศกษาการใชโปรแกรมส าเรจรป Instat ซงไดศกษาไปบางแลวในสอการสอนตอนทแลว เพอชวยการค านวณหาคาทางสถตในสวนของการวเคราะหความสมพนธเชงฟงกชนระหวางขอมล ทงนกอนทจะเขาสโปรแกรม Instat เพอการใชงานการหาความสมพนธน ผสอนควรจะทบทวนเนอหาในหวขอความสมพนธเชงฟงกชนของขอมล ซงมสรปอยในสวนตนของสอการสอนตอนนดวย สวนความรเบองตนเกยวกบ Instat นน สามารถทบทวนไดจากสอการสอนและคมอประกอบสอการสอนเรอง สถตและการวเคราะหขอมล เนอหาตอนท 13 : โปรแกรมการค านวณทางสถต 1

[ภาพจากสอการสอน]

ผสอนควรเนนย ากบนกเรยนวาในสอการสอนตอนนจะพจารณาเฉพาะความสมพนธในลกษณะเชงเสนตรงเทานน



8

เพอความสะดวกในการใชงานในคมอประกอบสอการสอนตอนน ผเขยนไดรวบรวมสวนของการสรางแฟมขอมลทง 2 ลกษณะ คอ แฟมขอมลส าหรบขอมล 1 กลม และแฟมขอมลส าหรบขอมล 2 กลม ทไดกลาวไปแลวในคมอประกอบสอการสอนของเนอหาตอนท 13 ทงนคมอประกอบสอการสอนตอนน จะเนนการใชงานเฉพาะแฟมขอมลส าหรบขอมล 2 กลม ซงเนอหาแบงออกเปน 1. การสรางแฟมขอมล 2. การวเคราะหความสมพนธเชงเสนระหวางขอมล

2.1 การวาดแผนภาพการกระจายของขอมล 2.2 การหาสมการความสมพนธเชงฟงกชน


9

1. การสรางแฟมขอมล


10

1. การสรางแฟมขอมล

ในเนอหาสวนนผสอนสามารถแนะน านกเรยนวาการสรางแฟมขอมลอยางงายแบงเปน 2 ลกษณะ ตามรปแบบของขอมลอยางคราว ๆ กอนทจะเปดสอการสอนในสวนน

1. การสรางแฟมขอมลส าหรบขอมล 1 กลม


ผสอนควรใหนกเรยนทบทวน และท าตวอยางเพมเตมเกยวกบการสรางแฟมขอมลโดยการตงชอ ตวแปรใหสอดคลองกบขอมล ดงตวอยางตอไปน

ตวอยาง เกบขอมลคะแนนผสอบวชาภาษาองกฤษของนกเรยนชนมธยมศกษาปท 4 กลมหนง จ านวน 20 คน ไดผลดงตอไปน

27 41 35 45 32 29 31 30 49 12 38 25 33 31 21 30 24 34 43 36


11

ผสอนควรแนะน าใหนกเรยนทราบถงความส าคญของการตงชอตวแปรวา การตงชอตวแปรทสอดคลองกบขอมล ชวยใหสามารถสอสาร และสรปผลขอมลเปนไปไดงาย ตวอยางเชน การตงชอตวแปร X1 ซงแสดงขอมลคะแนนวา “data” เปรยบเทยบกบการตงชอตวแปร X1 วา “score” จะเหนวาการตงชอแบบทสองจะท าใหผใชโปรแกรมสามารถทราบไดทนทวา ขอมลทอยในแฟมขอมลนเปนขอมลคะแนนนนเอง

2. การสรางแฟมขอมลส าหรบขอมล 2 กลม การสรางแฟมขอมลแบบนจะถกน าไปใชในสอการสอนเรองสถตและการวเคราะหขอมล เนอหา ตอนท 14 : โปรแกรมการค านวณทางสถต 2 ในการสรางแฟมขอมลลกษณะน ยงถกแบงออกเปน 2 แบบยอย คอ 2.1 ขอมลแตละกลมมชอตวแปรตางกน (Two Data Columns) แฟมขอมลแบบน ขอมลทกตวทอยใน worksheet เปนขอมลทเราน ามาวเคราะหหาคาสถตตางๆ ผสอนควรแสดงการสรางแฟมขอมลส าหรบตวอยางตอไปน เพอใหนกเรยนเขาใจมากขน


12

1

1

ตวอยาง ขอมลคะแนนสอบยอยของวชาคณตศาสตรและวชาฟสกสของนกเรยน 10 คน

คณตศาสตร ฟสกส 9 8 3 5 7 4 4 6 5 5 8 7 6 7 10 9 8 10 4 3

เขาสการท างานในหนาตาง Current Worksheet ท าการตงชอตวแปรในแถวท

ใตตวแปร X1 ส าหรบคะแนนวชาคณตศาสตรเปน math และ ใตตวแปร X2 ส าหรบคะแนนวชาฟสกสเปน physics


13

บนทกขอมลของแตละวชาแยกกนในแตละ column

บนทกแฟมขอมลโดยการคลกเลอกเมน File เลอก Save จากนนก าหนดชอแฟมขอมลทตองการในชอง File name ในหนาตางยอยทปรากฏขน

หมายเหต นามสกลของแฟมขอมลคอ .wor


14

1

1

2.2 ขอมลทกตวใชชอเดยวกนและจ าแนกกลมดวยตวแปร factor (Data columns and Factor levels) การสรางขอมลแบบนจะก าหนดใหตวแปรหนงเปนตวแปร factor เพอเปนตวจ าแนกกลมของขอมล

และอกตวแปรหนงแทนขอมลทใชวเคราะหคาทางสถต ผสอนควรใชตวอยางขอมลคะแนนวชาคณตศาสตร และฟสกส เพออธบายการสรางแฟมขอมลแบบนโดย

เขาสการท างานในหนาตาง Current Worksheet ท าการตงชอตวแปรในแถวท

ใตตวแปร X1 ส าหรบวชาเปน subject และ ใตตวแปร X2 ส าหรบคะแนนเปน score

บนทกขอมลวชาในตวแปร subject 1 หมายถง คณตศาสตร 2 หมายถง ฟสกส

บนทกขอมลคะแนนในตวแปร score ใหสอดคลองกบวชา และเรยงล าดบตามเดม

ท าการเปลยนสถานะของตวแปร X1 ไปเปนตวแปร Factor โดย คลกเลอกเมน Manage ไปยงเมนยอย Column Properties เลอก Factor


15

1

2

3

1 2

3

หลงจากเลอก Factor จะเหนหนาตางยอย Make or modify a factor column. - ก าหนด X1 (subject) ในชอง Data column

- คลกเลอก Number of levels โปรแกรม Instat จะก าหนดตวเลขใหเองจากขอมล ทบนทกไว

- คลกเลอก OK

ผลลพธทไดคอ

การก าหนดตวแปรเปนแบบ Factor เปนการบอกโปรแกรม Instat วา ขอมลอยในกลมใด แตไมไดน าขอมลในตวแปรนมาท าการวเคราะหหาคาทางสถต หรออกนยหนงเพยงเปนการจ าแนกกลมของขอมลนนเอง


16

2. การวเคราะหความสมพนธเชงฟงกชนระหวางขอมล


17

2. การวเคราะหความสมพนธเชงฟงกชนระหวางขอมล

2.1 การวาดแผนภาพการกระจายของขอมล ในสอการสอนตอนนจะเนนเฉพาะการสรางแฟมขอมลแบบแตละกลมมชอตวแปรตางกน (Two Data Columns)


ผสอนควรใหตวอยางเพมเตมเพอใหนกเรยนฝกใชค าสงในการวาดแผนภาพกระจายของขอมลคะแนนสอบวชาคณตศาสตรและฟสกส ทนกเรยนไดท าการสรางแฟมขอมลไวแลวในหวขอการสรางแฟมขอมล ซงจะมขนตอนการท างาน ดงตอไปน


18

1 2 3

1

2

3

1

เขาสโปรแกรม Instat สรางแฟมขอมลแบบ Two Data Columns คลกเลอกเมน Graphic ไปยงเมนยอย Plot

เมอหนาตางยอย Plot ปรากฏขน - เลอกตวแปร X2 (physics) ในชอง Y-Variable (s) เปนตวแปรตาม

- คลกเลอกตวแปร X1 (math) ในชอง X-Variable เปนตวแปรอสระ - คลกเลอก OK


19

หนาตาง Graph จะปรากฏขนบนจอภาพแสดงแผนภาพกระจายของขอมลคะแนนวชา คณตศาสตร

(math) และฟสกส (physics)

จากขนตอนการท างานทกลาวขางตนผสอนสามารถท าการบนทกแผนภาพกระจายทไดโดยเลอกหนาตาง Graph กอน จากนนเลอกค าสง Save ทเมน File ท าการบนทกแฟมขอมลรปภาพโดยการตงชอในชอง File name

หมายเหต นามสกลของแฟมขอมลรปภาพคอ .igt


20

2.2 การหาสมการความสมพนธเชงฟงกชน ขนตอนตอไปหลงจากทไดแผนภาพการกระจายของขอมล นกเรยนจะสามารถเหนแนวโนมความสมพนธของขอมล ซงในสอการสอนนจะกลาวถงเฉพาะรปแบบความสมพนธเชงเสนเทานน นนคอ

Y = a + b X โดยท X เปนตวแปรอสระ และ Y เปนตวแปรตาม


ส าหรบสอการสอนเรอง สถตและการวเคราะหขอมล เนอหาตอนท 13 และ 14 นน เปนการใชโปรแกรมส าเรจรป Instat เพอชวยในการค านวณทางสถต ซงอาจจะเปนเรองใหมทงส าหรบทงผสอนและนกเรยนเอง การใชสอการสอนตอนนจงควรทจะมการหยดเปนระยะๆ เพอรอใหนกเรยนไดทบทวนค าสงตางๆตามสอ โดยใชขอมลชดเดยวกน หรอ ตวอยางอนๆในการท างานกบเครองคอมพวเตอรของนกเรยนเอง


21

ตวอยางขอมลแสดงความยาวและน าหนกของกงกอทใชท าทบทวนในสอ กเปนอกตวอยางหนงทนกเรยนสามารถท าไปพรอมๆกบสอได โดยผสอนสรปขนตอนการท างานใหอกครง ดงน


เขาสโปรแกรม Instat โดยการสรางแฟมขอมลแบบ Two data Columns ในหนาตาง Current Worksheet

เลอกเมน Graphic ไปยงเมนยอย Plot เพอท าการวาดแผนภาพการกระจายของขอมล โดยระบ Weight : ตวแปรตาม Y-Variable Length : ตวแปรอสระ X-Variable



22

1 2

3

3 2

1

เลอกเมน Statistics ไปยงเมนยอย Regression เลอก Simple

หนาตางยอย Simple Linear Response Variable ปรากฏขน - คลกเลอก X2 เปนตวแปรตามใสในชอง Response Variable - คลกเลอก X1 เปนตวแปรอสระใสในชอง Explanatory Variable - คลกเลอก OK

ไดผลลพธดงน


23

ผสอนสามารถทบทวนการใหความหมายของคาตางๆ ทไดจากหนาตาง Commands and Output ดงน Fitted equation : weight = -12.8 + 1.599 *length

หมายถง สมการความสมพนธเชงฟงกชนทไดจากขอมลตวอยางเขยนเปน Y = -12.8 + 1.599 X เมอ X คอ ความยาวของกงกอ Y คอ น าหนกของกงกอ


24

เอกสารอางอง

1. รองศาสตราจารย ด ารง ทพยโยธา. หนงสอ การวเคราะหขอมลทางสถตดวยโปรแกรมส าเรจรป Instat . รองศาสตราจารย ด ารง ทพยโยธา . กรงเทพฯ : โรงพมพจฬาลงกรณมหาวทยาลย, 2551.

2. http://www.reading.ac.uk/ssc 3. http://www.ssc.rdg.ac.uk/n/n_instat.htm 4. http://www.ssc.rdg.ac.uk/n/software/instat/tutorial.pdf

http://www.reading.ac.uk/ssc

https://webmail.it.chula.ac.th/wm/mail/fetch.html?urlid=7e24122dee05b62007c053d524a0a141d&url=http%3A%2F%2Fwww.ssc.rdg.ac.uk%2Fn%2Fn_instat.htm

https://webmail.it.chula.ac.th/wm/mail/fetch.html?urlid=7e24122dee05b62007c053d524a0a141d&url=http%3A%2F%2Fwww.ssc.rdg.ac.uk%2Fn%2Fsoftware%2Finstat%2Ftutorial.pdf


25

สรปสาระส าคญประจ าตอน


26

สรปสาระส าคญประจ าตอน

ผสอนสรปสาระส าคญประจ าตอนไดดงน 1. รปแบบความสมพนธเชงฟงกชนของขอมลทอธบายในสอตอนน เปนความสมพนธเชงฟงกชนท กราฟเปนเสนตรงเทานน

2. ขนตอนการสรางแฟมขอมลส าหรบขอมล 2 กลม 3. ขนตอนการวเคราะหความสมพนธฟงกชน


27

การวาดแผนภาพการกระจาย เพอดแนวโนมความสมพนธ ดวยค าสง Graphic Plot

การหาคา a, b ในสมการความสมพนธเชงฟงกชน Y = a + bx

ดวยค าสง Statistic Regression Simple


28

ภาคผนวกท 1 แบบฝกหดเพมเตม


29

แบบฝกหดเพมเตม

1. ขอมลแสดงคะแนนวชาภาษาองกฤษ และวชาคณตศาสตรของนกเรยนทสอบเขาเรยนชนมธยมศกษาปท 4 ของโรงเรยนแหงหนง

นกเรยนล าดบท ภาษาองกฤษ (เตม 100 คะแนน) คณตศาสตร (เตม 1000 คะแนน)

1 42 69 2 72 25 3 48 55 4 68 26 5 35 68 6 65 46 7 70 33 8 30 86 9 42 78 10 23 92 11 46 56 12 45 84 13 36 78 14 68 91 15 38 83 16 59 52 17 58 45 18 73 37 19 43 56 20 70 59


30

1.1 จงวเคราะหหาความสมพนธเชงฟงกชนระหวางขอมลคะแนนวชาภาษาองกฤษและวชา คณตศาสตร โดยก าหนดใหตวแปรอสระคอคะแนนวชาคณตศาสตรและคะแนนวชาภาษาองกฤษคอตวแปรตาม

จงวาดแผนภาพกระจายของขอมลคะแนนทงสองวชา จงใชโปรแกรมส าเรจรป Instat ในการหาสมการความสมพนธเชงเสนตรงของขอมล

คะแนนทงสองวชา 1.2 จงประมาณคะแนนภาษาองกฤษของนกเรยนคนหนงทไดคะแนนวชาคณตศาสตร 71 คะแนน

2. จากขอมลในขอ 1 ถาก าหนดใหตวแปรอสระคอวชาภาษาองกฤษและตวแปรตามคอวชาคณตศาสตร 2.1 จงใชโปรแกรมส าเรจรป Instat ในการหาสมการความสมพนธเชงเสนของขอมลคะแนนน 2.2 จงประมาณคะแนนวชาคณตศาสตรของนกเรยนคนหนงทไดคะแนนวชาภาษาองกฤษ

25 คะแนน

3. ขอมลแสดงคาใชจายในการโฆษณาและรายไดตอเดอนของสนคาชนดหนงในชวง 1 ป เปนดงตาราง

เดอน คาโฆษณา (หนวยเปนหมนบาท) รายได (หนวยเปนแสนบาท) ม.ค. 6 55 ก.พ. 2 40 ม.ค. 5.5 57 เม.ย. 4 48 พ.ค. 3.5 50 ม.ย. 2.7 41 ก.ค. 3 45 ส.ค. 4.3 50 ก.ย. 3.4 45 ต.ค. 5.6 56 พ.ย. 3.6 50 ธ.ค. 4.4 53

3.1 นกเรยนคดวาขอมลชดใดควรถกก าหนดใหเปนตวแปรตาม 3.2 จงใชโปรแกรมส าเรจรป Instat ในการหาความสมพนธเชงเสนของขอมลขางตน 3.3 จงประมาณรายไดตอเดอนของสนคาชนดน ถาในเดอนท 13 มคาใชจายในการโฆษณาเทากบ

32,000 บาท


31

ภาคผนวกท 2 เฉลยแบบฝกหด


32

1. 1.1

Y 84.1 0.534X เมอ X คอ คะแนนวชาคณตศาสตร Y คอ คะแนนวชาภาษาองกฤษ

1.2 46 คะแนน

2. 2.1 Y 112.1 0.9914X เมอ X คอ คะแนนวชาภาษาองกฤษ Y คอ คะแนนวชาคณตศาสตร

2.2 87 คะแนน

3. 3.1 ขอมลรายได 3.2 Y 31.98 4.298X

เมอ X คอ คาใชจายในการโฆษณาตอเดอน Y คอ รายไดตอเดอน

3.3 4,573,360 บาท


33

รายชอสอการสอนวชาคณตศาสตร จ านวน 92 ตอน


34

รายชอสอการสอนวชาคณตศาสตร จ านวน 92 ตอน

เรอง ตอน

เซต บทน า เรอง เซต

ความหมายของเซต

เซตก าลงและการด าเนนการบนเซต

เอกลกษณของการด าเนนการบนเซตและแผนภาพเวนน-ออยเลอร

สอปฏสมพนธเรองแผนภาพเวนน-ออยเลอร

การใหเหตผลและตรรกศาสตร บทน า เรอง การใหเหตผลและตรรกศาสตร

การใหเหตผล

ประพจนและการสมมล

สจนรนดรและการอางเหตผล

ประโยคเปดและวลบงปรมาณ

สอปฏสมพนธเรองหอคอยฮานอย

สอปฏสมพนธเรองตารางคาความจรง

จ านวนจรง

บทน า เรอง จ านวนจรง

สมบตของจ านวนจรง

การแยกตวประกอบ

ทฤษฏบทตวประกอบ

สมการพหนาม

อสมการ

เทคนคการแกอสมการ

คาสมบรณ

การแกอสมการคาสมบรณ

กราฟคาสมบรณ

สอปฏสมพนธเรองชวงบนเสนจ านวน

สอปฏสมพนธเรองสมการและอสมการพหนาม

สอปฏสมพนธเรองกราฟคาสมบรณ

ทฤษฎจ านวนเบองตน บทน า เรอง ทฤษฎจ านวนเบองตน

การหารลงตวและจ านวนเฉพาะ (การหารลงตวและตวหารรวมมาก) ตวหารรวมมากและตวคณรวมนอย

ความสมพนธและฟงกชน บทน า เรอง ความสมพนธและฟงกชน

ความสมพนธ


35


ความสมพนธและฟงกชน โดเมนและเรนจ

อนเวอรสของความสมพนธและบทนยามของฟงกชน

ฟงกชนเบองตน

พชคณตของฟงกชน

อนเวอรสของฟงกชนและฟงกชนอนเวอรส

ฟงกชนประกอบ

ฟงกชนชก าลงและฟงกชนลอการทม บทน า เรอง ฟงกชนชก าลงและฟงกชนลอการทม

เลขยกก าลง

ฟงกชนชก าลงและฟงกชนลอการทม

ลอการทม

อสมการเลขชก าลง

อสมการลอการทม

ตรโกณมต บทน า เรอง ตรโกณมต

อตราสวนตรโกณมต

เอกลกษณของอตราสวนตรโกณมต และวงกลมหนงหนวย

ฟงกชนตรโกณมต 1



กฎของไซนและโคไซน

กราฟของฟงกชนตรโกณมต

ฟงกชนตรโกณมตผกผน

สอปฏสมพนธเรองมมบนวงกลมหนงหนวย

สอปฏสมพนธเรองกราฟของฟงกชนตรโกณมต

สอปฏสมพนธเรองกฎของไซนและกฎของโคไซน

ก าหนดการเชงเสน บทน า เรอง ก าหนดการเชงเสน

การสรางแบบจ าลองทางคณตศาสตร

การหาคาสดขด

ล าดบและอนกรม บทน า เรอง ล าดบและอนกรม

ล าดบ

การประยกตล าดบเลขคณตและเรขาคณต

ลมตของล าดบ

ผลบวกยอย

อนกรม

ทฤษฎบทการลเขาของอนกรม


36


การนบและความนาจะเปน .

บทน า เรอง การนบและความนาจะเปน

การนบเบองตน

การเรยงสบเปลยน

การจดหม

ทฤษฎบททวนาม

การทดลองสม

ความนาจะเปน 1

ความนาจะเปน 2

สถตและการวเคราะหขอมล

บทน า เรอง สถตและการวเคราะหขอมล

บทน า เนอหา

แนวโนมเขาสสวนกลาง 1



การกระจายของขอมล

การกระจายสมบรณ 1



การกระจายสมพทธ

คะแนนมาตรฐาน

ความสมพนธระหวางขอมล 1

ความสมพนธระหวางขอมล 2



โครงงานคณตศาสตร การลงทน SET50 โดยวธการลงทนแบบถวเฉลย

ปญหาการวางตวเบยบนตารางจตรส

การถอดรากทสาม

เสนตรงลอมเสนโคง

กระเบองทยดหดได

87 สถิติและการวิเคราะห์ข้อมูล...

Documents