空间直角坐标系
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空间直角坐标系. 一、空间点的直角坐标. 空间直角坐标系. 坐标面、. 卦限、. 点的坐标. 二、空间两点间的距离. 距离 公式. 拇指方向. z. 四指转向. z 轴 ( 竖轴 ). 右手规则. y 轴 ( 纵轴 ). ( 坐标 ) 原点. 1. y. 1. 1. x 轴 ( 横轴 ). x. 一、空间点的直角坐标. 过空间一个定点 O ，作三条互相垂直 的数轴，它们都以 O 为原点且一般具有 相同的长度单位．它 们的正向通常符合右 手规则．这样的三条 坐标轴就组成了一个 空间直角坐标系 ．. O. z. O. - PowerPoint PPT PresentationTRANSCRIPT
空间直角坐标系
一、空间点的直角坐标
二、空间两点间的距离
空间直角坐标系坐标面、 卦限、点的坐标
距离公式
一、空间点的直角坐标
O
过空间一个定点O ，作三条互相垂直的数轴，它们都以O 为原点且一般具有相同的长度单位．它们的正向通常符合右手规则．这样的三条坐标轴就组成了一个空间直角坐标系．
y轴 (纵轴 )
z轴 (竖轴 )
(坐标 )原点
x轴 (横轴 )
x
1 y 1
z
1
拇指方向
四指转向
右手规则
三条坐标轴中的任意两条可以确定一个平面，这样定出的三个平面统称为坐标面． x 轴及 y 轴所确定的坐标面叫做 xOy 面，另两个坐标面是 yOz 面和 zOx 面 .
坐标面：
O
z
y
x
O
z
y
x
三条坐标轴中的任意两条可以确定一个平面，这样定出的三个平面统称为坐标面． x 轴及 y 轴所确定的坐标面叫做 xOy 面，另两个坐标面是 yOz 面和 zOx 面 .
坐标面：
O
z
y
x
第一卦限
卦 限： 三个坐标面把
空间分成八个部分，
每一部分叫做卦限．
O
z
y
x
第二卦限
卦 限：
第三卦限
O
z
y
x
卦 限：
O
z
y
x
第四卦限
卦 限：
O
z
y
x 第五卦限
卦 限：
O
z
y
x
第六卦限
卦 限：
O
z
y
x
第七卦限
卦 限：
O
z
y
x
第八卦限
卦 限：
点的坐标：
设 M 为空间一已知点．过
点 M 作三个平面分别垂直于 x
轴、 y 轴和 z 轴，三个平面在 x
轴、 y 轴和 z 轴的交点依次为
P 、 Q 、 R ，在 x 轴、 y 轴和 z 轴
上的坐标依次为 x 、 y 、 z ，我们
称这组数为点M的坐标，并把
x 、 y 、 z 分别称为点 M 的横坐标、
纵坐标、竖坐标．坐标为 x 、 y 、
z 的点 M 记为 M(x ， y ， z) ．
O
x
y
z
P
R
x
z
y
M
Q
O
x
y
z
二、空间两点间的距离
设 M 1(x 1 ， y 1 ， z 1) 、 M 2(x 2 ， y 2 ， z 2) 为空间两点．
与 x 轴平行的边的边长为 |x 2x 1| ，
作一个以 M 1 和 M 2 为对角
线顶点的长方体，使其三个相邻的面分别平行于三个坐标面． M 1
M 2
P Q
x 2
x 1
与 y 轴平行的边的边长为 |y 2y 1| ， y 2 y 1O
x
y
z
M 1
M 2
P Q
二、空间两点间的距离
设 M 1(x 1 ， y 1 ， z 1) 、 M 2(x 2 ， y 2 ， z 2) 为空间两点．
与 x 轴平行的边的边长为 |x 2x 1| ，
作一个以 M 1 和 M 2 为对角
线顶点的长方体，使其三个相邻的面分别平行于三个坐标面．
与 z 轴平行的边的边长为 |z 2z 1| ．
z 2
z 1
O
x
y
z
M 1
M 2
P Q
与 y 轴平行的边的边长为 |y 2y 1| ，
二、空间两点间的距离
设 M 1(x 1 ， y 1 ， z 1) 、 M 2(x 2 ， y 2 ， z 2) 为空间两点．
与 x 轴平行的边的边长为 |x 2x 1| ，
作一个以 M 1 和 M 2 为对角
线顶点的长方体，使其三个相邻的面分别平行于三个坐标面．
因为 | M1M2 | 2 = | M1Q | 2 + | M2Q | 2 = | M1P | 2 + | PQ | 2 + | M2Q | 2 ．
O
x
y
z
M 1
M 2
P Q
d | M1M2 | 所以
与 z 轴平行的边的边长为 |z 2z 1| ．
与 y 轴平行的边的边长为 |y 2y 1| ，
二、空间两点间的距离
设 M 1(x 1 ， y 1 ， z 1) 、 M 2(x 2 ， y 2 ， z 2) 为空间两点．
与 x 轴平行的边的边长为 |x 2x 1| ，
作一个以 M 1 和 M 2 为对角
线顶点的长方体，使其三个相邻的面分别平行于三个坐标面．
212
212
212 )()()( zzyyxx ．
特殊地，点 M (x ， y ， z ) 与原点 O(0 ， 0 ， 0) 的距离为
d| OM |
例 1 求证以 M 1(4 ， 3 ， 1) 、 M 2(7 ， 1 ， 2) 、 M 3(5 ， 2 ，3) 三点为顶点的三角形是一个等腰三角形． 解 因为 | M 1M 2| 2(74) 2(13) 2(21) 214 ， | M 2M 3| 2(57) 2(21) 2(32) 26 ， | M 1M 3| 2(54) 2(23) 2(31) 26 ，所以 | M 2M 3| | M 1M 3| ，即 M 1M 2M 3 为等腰三角形．
．222 zyx
例 2 在 z 轴上求与两点 A(4, 1, 7) 和 B(3, 5, 2) 等距离的点． 解 设所求的点为 M(0, 0, z) ，依题意有 |MA| 2|MB| 2 ，即 (04) 2(01) 2(z7) 2(30) 2(50) 2(2z) 2 ．解之得
所以，所求的点为M(0, 0, )．914
z9
14，