[email protected] 空间群 space groups 晶轴和直角坐标轴. [email protected]...
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空间群的概念 空间群的概念 晶体的对称性，不仅包括了宏观对称元素，而且也包括了微观对称元素。平移不变性（ translation invariance ）这样微观对称元素共有两个：螺旋轴（ screw rotation ）滑移面（ glide ）。
螺旋轴 螺旋轴 screw rotationsscrew rotations
平移对称与旋转轴对称结合，即形成“螺旋轴”。螺旋轴操作为绕此轴旋转 360/n后，再沿此轴方向平移 l/n周期，图形即可自身重合，其中n=1 、 2 、 3 、 4 、 6 ， l=1 、 2 、…、（ n-1 ）。螺旋轴的国际符号为 21；31， 32； 41， 42， 43； 61， 62， 63， 64，65。
例如：国际符号 31表示三次螺旋轴，平移为 c/3；国际符号 32表示三次螺旋轴，平移为 2c/3。螺旋轴与螺旋线一样，可以有左旋和右旋之别，平移大于 1/2 时为左旋，平移小于 1/2 时为右旋，平移等于1/2 时无左旋和右旋之别。
滑移面 滑移面 slideslide
平移对称与对称面结合即形成“滑移面”。滑移面操作为对此平面反映后，再沿平行于此平面的某个方向上平移二分之一或四分之一周期，图形即可自身重合。滑移面的国际符号为a 、 b 、 c 、 n 、 d 等。
例如， a 表示沿 a 轴方向的滑移面，平移 a/2 ； n 表示沿对角线方向的滑移面，平移（ a/2+ b/2 ），或（ b/2+ c/2）或（ c/2+ a/2 ）； d 表示沿对角线方向的滑移面，但平移为（ a/4+ b/4 ），或（ b/4+ c/4）或（ c/4+ a/4 ）。
宏观对称元素的组合，可以导出 32 种点群；宏观对称元素与微观对称元素的组合，可以导出 230 种空间群。空间群的国际符号由两部分组成，第一部分为大写字母 P 、 C 、 I 、 F，表示 14种布喇菲格子中的原始格子（ P ）、底心格子（ C ）、体心格子（ I）和面心格子（ F ）；第二部分为对称类型的国际符号（与点群符号类似）。
例如：空间群 I 2d表示四方体心格子，在沿 c 轴方向为四次旋转倒反轴，在 a轴与 b 轴方向上为二次旋转轴，在 a 轴与 b 轴之间的对角线方向上为滑移面。又如空间群 P21212 表示是正交原始格子，沿 a 轴和 b 轴方向上为二次螺旋轴，沿c 轴方向为二次旋转轴。
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晶轴和直角坐标轴的选择晶轴和直角坐标轴的选择 晶面符号和晶棱符号的确定取决于晶轴的选择，晶轴选择方式不同，晶面符号和晶棱符号也不一样。其次，在讨论晶体的弹性性质、介电性质和压电性质时，采用直角坐标系是比较方便的。由于晶轴之间夹角不一定等于 90 ，所以选定晶轴之后，有时还要另选直角坐标系。选择不同的直角坐标系，所得到的数学表达式也不一样。为了避免混乱，必须对晶轴的选择和直角坐标系的选择作共同的规定。
三斜晶系三斜晶系晶轴。三斜晶系除了一次旋转轴或一次旋转倒反轴外，无其它对称元素。因此只能选择三个不在同一平面上的晶棱方向作为晶轴。晶轴的安排是 c轴为直立， b 轴为左右并向右倾， a 轴为前后方向并向前倾。晶格常数的大小为 b>a>c，晶轴间的夹角为，并有 >90 ， >90 。
坐标轴（ x、 y、 z）。目前都选择 z 轴与晶轴 c重合； x 轴在晶轴 a 和 c 组成的平面内，并指向+a 方向； y 轴垂直于 ac平面，并指向 +b 方向，如图 1-23 所示。
单斜晶系 单斜晶系 晶轴。单斜晶系的特点是具有一个二次旋转轴或二次旋转倒反轴。选二次轴为 b 轴，并在与 b 轴垂直的平面上选择相交的晶棱方向作为 c 轴和 a 轴。晶格常数大小为：abc ， a>c，晶轴之间夹角为 ==90 ， >90 。单斜晶系的实例如图 1-24 所示。
坐标轴（ x 、 y 、 z ）。目前选择 y 轴与 b轴重合； z 轴与 c 轴重合， x 轴垂直于 bc平面，如图 1-25 所示。
正交晶系正交晶系 晶轴。正交晶系的特点是具有三个互相垂直的二次旋转轴，或有二个互相垂直的对称面。在 222点群和 mmm点群中，分别选这三个二次旋转轴为 a、 b、 c 轴；在 mm2点群中则选唯一的一个二次旋转轴为 c 轴，选两个对称面的法线方向为 a 轴和 b 轴，晶格常数大小为： c<a<b，晶轴之间夹角为 ===90 。
坐标轴（ x、 y、 z）。因为正交晶系的晶轴互相垂直，分别选晶轴 a、 b、 c 为坐标轴x、 y、 z。正交晶系的实例如图 1-26 所示。
图图 1-26 1-26 酒石酸钾钠（酒石酸钾钠（ KNTKNT ））在非铁电相时属于在非铁电相时属于
222222 点群，其中点群，其中 aa 、、 bb 、、 cc 轴都是二次旋转轴轴都是二次旋转轴
四方晶系四方晶系 晶轴。四方晶系的特点是具有一个四次旋转轴或四次旋转倒反轴。通常都是选四次轴为 c 轴，选一个二次轴为 a 轴，如果无二次轴，则选最小晶胞中的两个等长轴之一为 a 轴。晶格常数大小为： a=bc，晶轴之间夹角为 ===90 。
坐标轴（ x 、 y 、 z ）。因为四方晶系的晶轴互相垂直，分别选晶轴 a 、 b 、 c 为坐标轴 x 、 y 、 z。四方晶系的实例如图 1-27 所示。
三角晶系和六角晶系三角晶系和六角晶系 晶轴。三角晶系和六角晶系的特点是具有一个三次旋转轴或六次旋转轴。通常都是选三次轴或六次轴为 c 轴，选二次轴或对称面的法线为 a 、 b 轴。晶格常数大小为：a=bc，晶轴之间夹角为 ==90,=120 。
坐标轴（ x 、 y 、 z ）。通常选 z 轴平行于c 轴， x 轴与 a 轴一致， y 轴垂直于 ac平面。三角晶系和六角晶系的实例如图 1-28和图 1-29 所示。
图图 1-28 1-28 -- 石英晶体属于石英晶体属于 3232 点群，点群， cc 轴为三次轴为三次
轴，轴， aa 、、 bb 、、 dd 轴为二次旋转轴轴为二次旋转轴
立方晶系立方晶系 晶轴。立方晶系的特点是具有四个三次旋转轴（包括旋转倒反轴），同时不是有三个相互垂直的四次旋转轴（包括旋转倒反轴），就是有三个相互垂直的二次旋转轴，分别选择这些四次或二次轴为 a 、 b 、 c轴。晶格常数大小为： a=b=c，晶轴之间夹角为 ===90 。
坐标轴（ x 、 y 、 z ）。通常选择晶轴a 、 b 、 c 为坐标轴 x 、 y 、 z 。
summarysummary
Space groups，glide and screw
Crystal axis and Cartesian axis
Case studyCase study
画出七大晶系的晶轴和直角坐标轴的对应关系
线群 (line group)纳米线材料的出现使线群的概念得到了重新重视 .
Z M Li et al, Appl Phys Lett 84 (2004) 4101;V N Popov et al, Phys Rev B61 (2000)3078;
M Vujicic et al, J Phys A10 (1977)1271; I Bozovic et al, J Phys A11 (1978) 2133; I Bozovic et al, J Phys A14 (1981) 777