I.T.P.N. M.I. Juan A. Montero Rodrguez 1 INDICE Unidad I Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden ......................................................................... 4 1.1 Definiciones (Ecuaciones diferencial, orden, grado, linealidad) ............................................... 4 1.2 Soluciones de las ecuaciones diferenciales ............................................................................... 6 1.3 Problema del valor inicial .......................................................................................................... 8 1.4 Teorema de existencia y unicidad ........................................................................................... 10 1.5 Variables Separables y reducibles ........................................................................................... 11 1.6 Ecuaciones exactas y no exactas, factor integrante ................................................................ 23 1.7 Ecuaciones Lineales ................................................................................................................. 30 1.8Ecuaciones de Bernoulli ......................................................................................................... 39 1.9 Sustituciones Diversas ............................................................................................................. 40 1.10 Aplicaciones de las Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden ............................................ 42 Unidad 2Ecuaciones Diferenciales Lineales de Orden Superior ...................................................... 45 2.1 Definicin de ecuacin diferencial de orden n ....................................................................... 45 2.2 Problema del valor inicial ........................................................................................................ 45 2.3 Teorema de existencia y unicidad ........................................................................................... 46 2.4 Ecuaciones Diferenciales Lineales Homogneas ..................................................................... 49 2.4.1. Principio de superposicin .............................................................................................. 50 2.5Dependencia e independencia lineal, wronskiano ................................................................ 52 2.6Solucin general de las ecuaciones diferenciales lineales homogneas. .............................. 59 2.6.1 Reduccin de Orden de una Ecuacin Diferencial Lineal de Orden dos a una de Primer orden. (Construccin de una segunda solucin a partir de otra ya conocida) ......................... 61 2.6.2 Ecuacin diferencial homogneacon coeficientes constantes....................................... 67 2.7Ecuaciones diferenciales lineales de orden superior ............................................................. 71 I.T.P.N. M.I. Juan A. Montero Rodrguez 2 2.8 Ecuaciones diferenciales lineales no homogneas ................................................................. 74 2.8.1 Solucin general de las ecuaciones diferenciales lineales no homogneas. ................... 76 2.8.2 Solucin de las ecuaciones diferenciales lineales no homogneas (coeficientes indeterminados, mtodo de la superposicin, mtodo de operador anulador). ..................... 77 2.8.3 Solucin de las ecuaciones diferenciales lineales no homogneas por el mtodo de variacin de parmetros. .......................................................................................................... 88 2.8.4 Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales lineales de orden dos................................ 97 Unidad 3 Transformadas de Laplace ............................................................................................... 102 3.1 Definicin de la trasformada de Laplace ............................................................................... 102 3.2 Condiciones suficientes de existencia para la trasformada de Laplace ................................ 104 3.3 Trasformada de Laplace de funciones bsicas ...................................................................... 106 3.4 Trasformada de Laplace de funciones definidas por tramos ................................................ 112 3.5 Funcin escaln unitaria ....................................................................................................... 113 3.5.1 Trasformada de Laplace de la funcin escaln unitaria ................................................. 115 3.6 Propiedades de la trasformada de Laplace (linealidad, teoremas de traslacin) ................. 115 3.7 Transformada de funciones multiplicadas por tn, y divididas entre t ................................... 121 3.8 Trasformada de derivadas ..................................................................................................... 123 3.9 Trasformada de integrales .................................................................................................... 124 3.10 Teorema de la convolucin ................................................................................................. 124 3.11 Transformada de una Funcin Peridica ............................................................................ 126 3.12 Funcin Delta Dirac ............................................................................................................. 129 3.13 Transformada de Laplace de la funcin Delta Dirac ........................................................... 130 3.14 Transformada Inversa ......................................................................................................... 132 3.15 Algunas Transformadas Inversas ......................................................................................... 132 3.16 Propiedades de la Transformada Inversa. ........................................................................... 134 I.T.P.N. M.I. Juan A. Montero Rodrguez 3 3.16.1 Determinacin de la Transformada Inversa Mediante el Uso de Fracciones Parciales 136 3.16.2 Determinacin de la Transformada Inversa Usando los Teoremas de Heaviside ........ 140 Unidad IV. Ecuaciones diferenciales lineales y sistema de ecuaciones diferenciales lineales ........ 143 4.1 Solucin de una ecuacin diferencial lineal con condiciones inciales por medio de la transformada de Laplace ............................................................................................................. 143 4.2 Solucin de un Sistema de Ecuaciones Diferenciales Lineales con condiciones Inciales por medio de la Transformada de Laplace. ....................................................................................... 153 4.3 Problemas de Aplicaciones. .................................................................................................. 155 Unidad 5Series de Fourier ............................................................................................................. 163 5.1 Funciones Ortogonales .......................................................................................................... 163 5.2 Conjuntos Ortogonales y Conjuntos Ortonormales. ............................................................. 163 5.3 Definicin de Serie de Fourier. .............................................................................................. 166 5.3.1. Series de Fourier............................................................................................................ 167 5.4 Convergencia de Serie de Fourier. ........................................................................................ 172 5.5 Series de Fourier Funcin Periodo Arbitrario ........................................................................ 173 5.6 Serie de Fourier de Funciones Pares e Impares (Desarrollo Conseinoidal o Senoidal) ....... 175 5.7 Serie de Fourier en medio intervalo ...................................................................................... 181 5.8 Formas Complejas de la Serie de Fourier .............................................................................. 185 Unidad 6 Introduccin a las ecuaciones diferenciales parciales ..................................................... 188 6.1 Definiciones (ecuacin diferencial parcial, orden y linealidad) ............................................ 188 6.2 Forma general de una ecuacin diferencial lineal de segundo orden .................................. 188 6.3 Clasificacin de ecuaciones diferenciales parciales de 2 orden (elpticas, parablicas e hiperblicas) ................................................................................................................................ 188 6.4 Mtodo de solucin de las ecuaciones diferenciales parciales (directos, equiparables con las ordinarias y separacin de variables) .......................................................................................... 189 6.5 Aplicaciones ........................................................................................................................... 195 I.T.P.N. M.I. Juan A. Montero Rodrguez 4 Unidad I Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden 1.1 Definiciones (Ecuaciones diferencial, orden, grado, linealidad) Ecuacin diferencial Siunaecuacincontienelasderivadasodiferencialesdeunaomsvariables dependientes con respecto a una o ms variables independientes, se dice que es unaecuacindiferencial.Seclasificandeacuerdoconlastrespropiedades siguientes. Clasificacin segn el tipo Siunaecuacincontienesloderivadasordinariasdeunaomsvariables dependientesconrespectoaunasolavariableindependiente,entoncessedice que es una ecuacin diferencial ordinaria (EDO). Por ejemplo, son ecuaciones diferenciales ordinarias. Una ecuacin que contiene las derivadas parcialesdeunaomsvariablesdependientesdedosomsvariables independientes se llama ecuacin diferencial parcial (EDP). Por ejemplo, . I.T.P.N. M.I. Juan A. Montero Rodrguez 5 Clasificacin segn el orden El orden de la ms alta derivada en una ecuacin diferencial se llama orden de la ecuacin. Por ejemplo, esunaecuacindiferencialordinariadesegundoorden.Puestoquelaecuacin diferencial=0 puede llevarse a la forma dividiendoentredx,esunejemplodeecuacindiferencialordinariadeprimer orden. La ecuacin es una ecuacin diferencial de cuarto orden. Aunquelasecuacionesdiferencialesparcialessonmuyimportantes,suestudio exigeunabuenabaseenlateoradeecuacionesdiferencialesordinarias.Una ecuacindiferencialordinariageneraldeordennserepresentaamenudo mediante el smbolo . Clasificacin segn la linealidad o no linealidad Se dice que una ecuacin diferencial es lineal si tiene la forma . Debe hacerse notar que las ecuaciones diferenciales lineales se caracterizan por dos propiedades: a)lavariabledependientey juntocontodassusderivadassondeprimer grado, esto es, la potencia de cada trmino enyes 1.I.T.P.N. M.I. Juan A. Montero Rodrguez 6 b)cada coeficiente depende slo de la variable independientex . Una ecuacin que no es lineal se dice no lineal. Las ecuaciones (EDO lineal de primer orden) (EDO lineal de segundo orden) (EDO lineal de tercer orden) son ejemplos de ecuaciones lineales. 1.2 Soluciones de las ecuaciones diferenciales Sedicequeuna funcinf cualquiera,definidaenalgnintervaloI,essolucin deunaecuacindiferencialenelintervalo,sisustituidaendichaecuacinla reduce a una identidad. Enotraspalabras,unasolucindeunaecuacindiferencialesunafuncin( ) y f x =que tiene por lo menos n derivadas y satisface la ecuacin. Es decir, para todoxdel intervalo I. Ejemplo La funcin es una solucin de la ecuacin no lineal 120dyxydx = En . Puesto que vemos que I.T.P.N. M.I. Juan A. Montero Rodrguez 7 para todo nmero real. Ejemplo Lafuncin xy xe = esunasolucindelaecuacinnolineal'' 2 ' 0 y y y + = en. Para comprender esto se evalan y '' 2x xy xe e = + Obsrvese que'' 2 ' ( 2 ) 2( ) 0x x x x xy y y xe e xe e xe + = + + + = para todo nmero real. Ntesequeenlosejemplosanterioreslafuncinconstantey=0,, satisfaceasimismola ecuacindiferencialdada.A unasolucin deuna ecuacin diferencialqueesidnticaaceroenunintervaloI,seledenominaamenudo solucin trivial. Tipos de soluciones Solucin n-paramtrica. Si la solucin contiene n parmetros se le llama solucin n-paramtricaofamilian-paramtricadesoluciones.Dehechoalresolveruna ecuacin de n-simo orden se espera obtener una solucin con n parmetros. Solucinparticular.Esunasolucinqueseobtieneapartirdeunasolucin n-paramtrica dndole valores a los parmetros. Solucinsingular.Esunasolucinquenosepuedeobtenerapartirdeuna solucin n-paramtrica. Solucin general. Si la nica solucin de una ecuacin diferencial es una familia n-paramtrica de soluciones, es decir no existe solucin singular para tal ecuacin, entonces se dice que tal solucin es la solucin general de la ecuacin diferencial. Solucinexplcita.Silaincgnitayvienedespejadaenfuncindelavariable independiente x. I.T.P.N. M.I. Juan A. Montero Rodrguez 8 Solucinimplcita.Silasolucinnoesexplcitasedicequeesunasolucin implcita. Ejemplo Sol. explcita Sol. explcita Sol. Sol. n-paramtrica (n=1) Sol.Sol. particular Sol. y = 0Sol. singular Sol. Sol. implcita 1.3 Problema del valor inicial A menudo nos interesa resolver una ecuacin diferencial de primer orden sujeta a la condicin adicional, donde es nmero en un intervalo Iy es un nmero real arbitrario. El problema selellamaproblemadevalorinicial.Alacondicinadicionalseleconocecomo condicin inicial. Ejemplo Para I.T.P.N. M.I. Juan A. Montero Rodrguez 9 sabemos que es una familia uniparamtrica de soluciones. Por lo tanto si x = 0, y = 3, y entonces la solucin particular es . Si se tuviera entonces y la solucin sera . Ejemplo Para

se debe saber que es solucin de esta ecuacin diferencial ordinaria.Entonces , c = 0 yes una solucin particular. Si se tiene como condicin inicial,entonces I.T.P.N. M.I. Juan A. Montero Rodrguez 10 2201 , 14c c| |= + = |\ . siendola solucin particular . 1.4 Teorema de existencia y unicidad Teorema 1.1 Sea R una regin rectangular en el plano xy definida por a x b, c y d que contienealpuntoensuinterior.SisoncontinuasenR, entonces existeunintervaloIconcentroenyunanica funcin y(x)definida en I que satisface el problema del valor inicial. Figura 1.1 Elteoremaanterioresunodelosteoremasdeexistenciayunicidadms popularesparaecuacionesdiferencialesdeprimerordenporqueloscriteriosde continuidad de son relativamente fciles de verificar. En general, no siempre es posible encontrar un intervalo especfico I en el cual se define una solucin sin, de hecho, resolver la ecuacin diferencial. I.T.P.N. M.I. Juan A. Montero Rodrguez 11 Ejemplo. Sean Figura 1.2 DossolucionesdelmismoPVI(Problemadevalorinicial)soncadaunadelas funcionesyyaquesatisfacenlaecuacindiferencial ylacondicininicial.Enlafigura1.2seilustranlas grficas de ambas funciones que pasan por el mismo punto (0, 0). Haciendo referencia al Teorema de Existencia y Unicidad se tiene que soncontinuasenelsemiplanosuperiordefinidopory>0.Porconsiguienteel teorema permite concluir que para cualquier punto (x0, y0), y0 > 0 en el semiplano superior hay algn intervalo en torno a x0 en el que la ecuacin diferencial que se proporciona tiene una solucin nica. 1.5 Variables Separables y reducibles Seempiezaelestudiodelosmtodospara resolverecuacionesdeprimerorden con la ecuacin diferencial ms simple de todas. Si g (x) es una funcin continua dada, entonces la ecuacin de primer oden se puede resolver por integracin. La solucion sera:

I.T.P.N. M.I. Juan A. Montero Rodrguez 12 Nota.Alresolverunaecuacindiferencial,amenudosetendrqueutilizar,por ejemplo, integracin por partes, fracciones parciales, o posiblemente sustitucin. Ejemplos Soluciones

Definicin.Sedicequeunaecuacindiferencialdelaformaes separable o que tiene variables separables. Observequeunaecuacinseparablepuedeescribirsecomode inmediatoseobservaquecuandoh(y)=1laecuacinanteriorsereducea. Mtodo de solucin Laecuacinindicaelprocedimientopararesolver ecuacionesdiferencialesseparables.Integrandoambosmiembrosde seobtieneunafamiliauniparamtricadesoluciones,lacual queda expresa implcitamente. Nota.Enunaecuacinseparablenohaynecesidaddeusardosconstantesde integracin ya que donde c es completamente arbitraria. I.T.P.N. M.I. Juan A. Montero Rodrguez 13 Ejemplo.Resuelvalasecuacionesdiferencialesordinariasporseparacinde variables. . Diviviendo entre (1 + x)y es posible escribir . Llamando c a resulta entonces . . Se tiene I.T.P.N. M.I. Juan A. Montero Rodrguez 14 . . Se tiene

. . Se tiene I.T.P.N. M.I. Juan A. Montero Rodrguez 15 . ,. Separando y usando fracciones parciales y entoncesI.T.P.N. M.I. Juan A. Montero Rodrguez 16 1 1ln 2 ln 24 4y y x c + + = + . El 2 y el -2 se eliminaron como soluciones al inicio al dividir entre 24 y .Se tiene que -2 es solucin y contiene al punto (0, -2). 1)1dyfdx x y=+ +. Realizando cambio de variable I.T.P.N. M.I. Juan A. Montero Rodrguez 17

. Problemas Propuestos Variables separablesI.T.P.N. M.I. Juan A. Montero Rodrguez 18 Resuelva la EDO por separacin de variables. 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) Ecuaciones Homogneas Si una ecuacin en la forma diferencial tiene la propiedad que ( , ) ( , )nMtx ty t Mxy = y ( , ) ( , )nNtx ty t Nxy =se dice que tiene coeficientes homogneos o que es una ecuacin homognea. El puntoimportanteenladiscusinposterioresqueunaecuacindiferencial homognea siempre puede reducirse a una ecuacin separable por medio de una sustitucin algebrica adecuada. El grado de los coeficientes homogneos n tiene que ser igual. Sediceque f(x,y)esuna funcinhomogneadegradon,siparaalgnnmero real n,( , ) ( , )nf tx ty t f xy = . I.T.P.N. M.I. Juan A. Montero Rodrguez 19 Ejemplo 3 5 tx t xy ty = +. La funcin homognea es de grado uno. Ejemplo . La funcin es homognea de grado . Ejemplo ya que. La funcin no es homognea. Ejemplo . I.T.P.N. M.I. Juan A. Montero Rodrguez 20

La funcin es homognea de grado cero. Sumarunaconstanteaunafuncindestruyelahomogeneidadamenosquela funcinseahomogneadegradocero.Adems,enmuchoscasospodemos reconocer si una funcin es homognea examinando el grado de cada trmino. Ejemplo La funcin es homognea de grado 4. Ejemplo.Resolver la ecuacin homognea con condicin inicial . En este caso se sustituye I.T.P.N. M.I. Juan A. Montero Rodrguez 21 . Si . Ejemplo . Se prueba en este caso x uy dx udy ydu == + I.T.P.N. M.I. Juan A. Montero Rodrguez 22 41ln ln 3 16y u c + + = . Problemas Propuestos Ecuaciones homogneas Resuelva la ecuacin homognea. 1) 2) 3) 4) I.T.P.N. M.I. Juan A. Montero Rodrguez 23 1.6 Ecuaciones exactas y no exactas, factor integrante Observemos que la ecuacin simple es separable y homognea; tambin debe notarse que adems es equivalente a la diferencial del producto de x y y. Esto es Integrando se obtiene de inmediato la solucin implcita xy = c. Recurdesequesiz=f(x,y)esunafuncinconderivadasparcialesdeprimer orden continuas en una regin R del plano xy, entonces su diferencial total es . (1) Ahora bien, si f(x,y) = c, de (1) se deduce que.(2) En otras palabras, dada una familia de curvas f(x,y) = c, es posible generar una ecuacin diferencial de primer orden calculando la diferencial total. EjemploSi, entonces de (2) resulta que o bien. Es ms importante para los fines de este curso invertir el problema, esto es, dada una ecuacin como(3) Puede identificarse la ecuacincomo equivalente a I.T.P.N. M.I. Juan A. Montero Rodrguez 24 Ntese que la ecuacin (3) no es ni separable ni homognea. Ecuaciones Exactas Definicin Una expresin diferencial esunadiferencialexactaenunareginRdelplanoxysicorrespondeala diferencial total de alguna funcin f(x,y). Una ecuacin sedicequeesexactasilaexpresindelprimermiembroesunadiferencial exacta. EjemploLa ecuacin es exacta puesto que se ve que . El siguiente teorema es un criterio para determinar si una diferencial es exacta. Teorema 1.2SeanM(x,y)yN(x,y)continuasyconderivadasparcialesdedeprimerorden continuasenunareginRdelplanoxy.Entoncesunacondicinnecesariay suficiente para que ( , ) ( , ) Mxy dx Nxy dy +sea una diferencial exacta es que (4) I.T.P.N. M.I. Juan A. Montero Rodrguez 25 Demostracin de la condicin necesaria: Para simplificar, supngase que M(x,y) y N(x,y)tienenderivadasparcialesdeprimerordencontinuasparatodos(x,y). Ahorabien,silaexpresinM(x,y)dx+N(x,y)dyesexacta,existealgunafuncinf para la cual para todo (x,y) en R. Por lo tanto, ,y Laigualdaddelasderivadasparcialesmixtasesconsecuenciadelacontinuidad de las derivadas parciales de primer orden de M(x,y) y N(x,y). LademostracindelasuficienciadelacondicinenelTeorema1.2consisteen probarqueexisteunafuncinfparalacual cadavezquelacondicin(4)se cumple.Laconstruccindelafuncinfsereflejadehechounprocedimiento bsico para resolver ecuaciones exactas. Mtodo de Solucin Dada la ecuacin(5) primero demuestre queSuponga luego que as es posible encontrar f integrando M(x,y) con respecto a x mientras se mantiene y constante. Se escribe (6) I.T.P.N. M.I. Juan A. Montero Rodrguez 26 endondelafuncinarbitrariag(y)eslaconstantedeintegracin.Deriveahora (6) con respecto a y y suponga que . De esto resulta '( ) ( , ) ( , ) g y Nxy Mxydxyc= c } .(7) Finalmente, integre (7) con respecto a y y sustituye el resultado en (6). La solucin de la ecuacin es. EjemploResolver Solucin. Con M(x,y)= 2xy y N=(x,y) =tenemos As que la ecuacin es exacta y entonces, por elTeorema1.2 existe una funcin f(x,y) para la que y De la primera de estas ecuaciones se obtiene Derivandoparcialmentelaltimaexpresinconrespectoayeigualandoel resultado a N(x,y) resulta I.T.P.N. M.I. Juan A. Montero Rodrguez 27 . Se deduce que g(y) =-1 yg(y) = -y . Noesnecesarioincluirlaconstantedeintegracinenelrenglnprecedenteya que la solucin es f(x,y) = c. Algunas curvas de la familia se dan en la Figura 1.3. Figura 1.3 EjemploResolver Solucin. La ecuacin no es ni separable ni homognea pero si es exacta, puesto que Por lo tanto, existe una funcin f(x,y) para la queYI.T.P.N. M.I. Juan A. Montero Rodrguez 28 Para variar, supondremos que O sea, Recuerde que la razn porla cual x puede salir fuera del smbolo que en la integracin con respecto a y se trata a x como una constante ordinaria. Se tiene que de modo que yPor consiguiente, una familia uniparamtrica de soluciones est dada por Ejemplo Resolver sujeta a y(0) = 2. Solucin. La ecuacin es exacta puesto que Ahora bien,I.T.P.N. M.I. Juan A. Montero Rodrguez 29 La ltima ecuacin implica que As queo bien La condicin inicial y=2 cuando x=0 exige que o bien que c=3. Una solucin es Problemas Propuestos Ecuaciones exactas y no exactas Resuelva la ecuacin exacta 1) 2) 3) , 4), I.T.P.N. M.I. Juan A. Montero Rodrguez 30 1.7 Ecuaciones Lineales Se define la forma general deuna ecuacin diferencial lineal de orden n como Lalinealidadsignificaquetodosloscoeficientessonsolamentefuncionesdexy que y y todas sus derivadas estn a la primera potencia. Ahora bien, cuando n=1, se obtiene la ecuacin lineal de primer orden Dividiendo entre resulta la forma ms til (1) Se busca la solucin de (1) en un intervalo I en el cual P(x)y f(x) son continuas. En la discusin que sigue se supone tcitamente que (1) tiene solucin. Un factor integrante Supngase que la ecuacin (1) se escribe en la forma diferencial . (2) Lasecuacioneslinealestienenlaconvenientepropiedaddequesiemprees posible encontrar una funcin (x) tal que el mltiplo de (2) (3) esunaecuacindiferencialexacta.PorelTeorema1.2sesabequeelmiembro primero de la ecuacin (3) ser una diferencial exacta si | | ( ) ( ) ( ) ( ) x x Pxy f xx x c c= c c (4) o bien . I.T.P.N. M.I. Juan A. Montero Rodrguez 31 Estaesunaecuacinseparableapartirdelacualpuededeterminarse(x).Se tiene (5) de modo que. (6) A la funcin (x) definida en (6) se la llama factor integrante de la ecuacinlineal. Ntesequenoesnecesariousarunaconstantedeintegracinen(5)yaque(3) no es afectada si se multiplica por una constante. Adems, (x) 0 para todo x de I y es continua y diferenciable. Es interesante observar que la ecuacin (3) sigue siendo una ecuacin diferencial exactainclusocuandof(x)=0.Dehecho, f(x)nodesempeaningnpapelenla determinacin de (x) puesto que por (4) vemos que (x) f(x) = 0. As, yson, ambas, diferenciales exactas. Ahora se escribe (3) en la forma y se advierte que la ecuacin puede escribirse como

Integrando la ltima ecuacin resulta ( ) ( )( )Pxdx Pxdxe y e f xdx c} }= +} o bien ( ) ( ) ( )( )Pxdx Pxdx Pxdxy e e f xdx ce } } }= +} . (7) Enotraspalabras,si(1)tienesolucin,estadebeserdelaforma(7). Recprocamente,se puedeverificarque(7) constituyeuna familia uniparametrica I.T.P.N. M.I. Juan A. Montero Rodrguez 32 de soluciones de la ecuacin (1). Sin embargo, no se debe tratar de memorizar la formula (7). El procedimiento que debe seguirse cada vez, por eso es conveniente resumir los resultados. Mtodo de solucin Para resolver una ecuacin diferencial lineal de primer orden, primero escrbala en la forma (1); o sea, haga el coeficiente de y igual a la unidad. Multiplique despus toda la ecuacin por el factor integrante. El primer miembro de es la derivada del producto del factor integrante por la variable dependiente: Escriba la ecuacin en la forma y por ltimo, integre ambos miembros. Ejemplo Resolver Solucin. Escriba la ecuacin como (8) y determine el factor integrante Aquseusalaidentidadbsica.Ahora multipliquelaecuacin(8)por este trmino I.T.P.N. M.I. Juan A. Montero Rodrguez 33 (9) y obtenga (10) Por integracin por partes queda o bien. EjemploResolver . Solucin.Laecuacinyaestenlaforma(1).Porconsiguiente,elfactor integrante es . En consecuencia

y por lo tanto. Solucin general Si se supone que P(x) y f(x) son continuas en un intervalo I y que es un punto cualquiera del intervalo, entonces el teorema 1.1 asegura la existencia de una sola solucindel problema de valor inicial I.T.P.N. M.I. Juan A. Montero Rodrguez 34 (11) Por lo contrario, se vio anteriormente que (1) tiene una familia de soluciones y que toda solucin de la ecuacin en el intervalo I es de la forma (7). Porlotanto,obtenerlasolucinde(11)essimplementeencontrarunvalor apropiadodecen(7).Comoconsecuencia,sejustificallamara(7)lasolucin general de la ecuacin diferencial. EjemploEncuentre la solucin general de Solucin. Se escribeLafuncinP(x)= escontinuaen-x.Ahorabien,elfactor integrante de la ecuacin es de modo que Por lo tanto, la solucin general es EjemploI.T.P.N. M.I. Juan A. Montero Rodrguez 35 Resolversujeta a y(0) = -3. Solucin.LasfuncionesP(x)=2xyf(x)=xsoncontinuasen-x.Elfactor integrante es de modo que Por consiguiente, la solucin general de la ecuacin diferencial es 2 12xy ce= +. Lacondiciny(0)=-3daporellolasolucindelproblemadevalor inicial en el intervalo es EjemploResolversujeta a y(1) = 0. Solucin. Escriba la ecuacin dada como yobservequeescontinuaencualquierintervaloquenocontieneal origen.Envistadelacondicininicial,seresuelveelproblemaenelintervalo 0x. I.T.P.N. M.I. Juan A. Montero Rodrguez 36 El factor integrante es y por consiguiente da lugar a La solucin general de la ecuacin es (12) Pero y(1) = 0 implica c = -1. Por lo tanto se obtiene . (13) Lagrficade(12),consideracomounafamiliauniparamtricadecurvas,se presentaenlafigura1.4.Lasolucin(13)delproblemadevalorinicialest indicada por la porcin en color de la grfica.

Figura 1.4 EjemploResolver.sujeta a y(-2) = 0. Solucin. La ecuacin diferencial dada no es separable, ni homognea, ni exacta, ni lineal en la variable y. Sin embargo, si se toma la reciproca, entonces 2dxx ydy = + o bien 2dxx ydy = . I.T.P.N. M.I. Juan A. Montero Rodrguez 37 Esta ltima ecuacin es lineal en x, as que el factor integrante correspondiente es . En consecuencia, se tiene que para, . Cuando x = -2, y = 0, se encuentra que c = 0 y por consiguiente EjemploHallar una solucin continua que satisfaga en donde 1, 0 1( )0, 1xf xxs s = >

y la condicin inicial y(0) = 0. Solucin. f es discontinua en x = 1. Por consiguiente, resolvemos el problema en dos partes. Para 0x1 se tiene que . Como y(0) =0, debemos tener y por lo tanto , 0x1. I.T.P.N. M.I. Juan A. Montero Rodrguez 38 Para x>1 tenemosLo cual lleva a . Por consiguiente, podemos escribir . Ahorabien,paraqueyseaunafuncincontinuanecesitamosque 1( ) (1)xlim yx y+= .Esteltimorequisitoesequivalenteaobien . La funcin es continua pero no diferenciable en x = 1. Observacin: La frmula (7), que representa la solucin general de (1), consta en realidad de la suma de dos soluciones. Se define (14) en donde y Problemas Propuestos Ecuaciones lineales Halle la solucin general 1), I.T.P.N. M.I. Juan A. Montero Rodrguez 39 2) , 3) , 4) ,5) ,, 1.8Ecuaciones de Bernoulli A la ecuacin diferencial (1) en donde n es un nmero real cualquiera, se le llama ecuacin Bernoulli en honor del matemtico suizoJacob Bernoulli (1654-1705). Para n0 y n1, la sustitucin lleva a la ecuacin lineal (2) EjemploResolverSolucin. En (1) se identifica, y n = 2. As la sustitucin da El factor integrante de esta ecuacin lineal en, por ejemplo, es Consecuentemente,. I.T.P.N. M.I. Juan A. Montero Rodrguez 40 Integrando esta ltima forma resulta o bien Como, se obtiene y tambin Problemas Propuestos Ecuacin de Bernoulli 1) 2) 1.9 Sustituciones Diversas Una ecuacin puede tener un aspecto diferente a cualquiera de las que ya se han estudiadopero,pormediodeuncambiodevariablesinteligente,unproblema aparentementedifcilpuedetalvezresolverseconfacilidad.Aunquenopueden darsereglasfijassobrequesustitucionesusar,siesquehayalgunasustitucin posible. EjemploLa ecuacin diferencial No es separable, ni homognea, ni exacta, ni lineal, ni de Bernoulli. Sin embargo, el mirarla con atencin durante un tiempo podra inducir a intentar la sustitucin o bien . Como I.T.P.N. M.I. Juan A. Montero Rodrguez 41 despus de simplificar, la ecuacin se transforma en. Se observa que la ltima ecuacin es separable; luego de se obtiene en dondese reemplaz por EjemploResolver . Solucin. La presencia del trmino induce a intentar puesto que . Ahora bientiene la forma lineal de modo que multiplicando por el factor integrante resulta I.T.P.N. M.I. Juan A. Montero Rodrguez 42 o bien . EjemploResolver. Solucin. Sea . Por lo tanto, la ecuacin diferencial se transforma en Integrando por partes resulta

Problemas Propuestos Sustituciones diversas Resuelva usando una sustitucin apropiada. 1) 2) 1.10 Aplicaciones de las Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden Circuitosenserie.Parauncircuitoenseriequecontieneslounresistoryun inductor, la segunda ley de kirchhoff establece que la suma de la cada de voltaje en el inductor y la cada de voltaje en el resistor (iR) es la misma que el voltaje de alimentacin (E(t)) en el circuito. Vase la figura 1.5. I.T.P.N. M.I. Juan A. Montero Rodrguez 43 Figura 1.5 Circuito LR en serie As, se obtiene la ecuacin diferencial lineal para la corriente i(t). (1) Donde L y R son constantes que se conocen como la inductancia y la resistencia, respectivamente.Lacorrientei(t)seconocetambincomolarespuestadel sistema. La cada de voltaje en un capacitor con capacitancia C est dada por q(t)/C, donde qeslacargaenelcapacitor.Porconsiguiente,paraelcircuitoenseriequese ilustra en la figura 1.6 la ley de kirchhoff da Figura 1.6 Circuito RC en serie (2) Perolacorrienteiylacargaqserelacionanmediante,asque(2)se convierte en la ecuacin diferencial lineal . (3) Ejemplo Circuito en serie Una batera de 12 volts se conecta a un circuito en serie en el que la inductancia esHenryylaresistenciaes10ohm.Determinelacorrienteisilacorriente inicial es cero. Solucin. De (1) se observa que es necesario resolver I.T.P.N. M.I. Juan A. Montero Rodrguez 44 sujeta a i(0) = 0. Primero, se multiplica por 2 la ecuacin diferencial y se ve que le factor de integracin es Se obtiene entonces Alintegrarcadaladodelaultimaecuacinyresolviendoparai,seobtiene Ahora, i(0) = 0 implica que o.Por tanto, la respuesta es, la cual se puede obtener de (4) Cuando es una constante, la ecuacin se transforma en (5) Observe que cuando, el segundo termino de la ecuacin (5) tiende a cero. Estetrminoporlocomnsellamatrminotransitorio;losdemstrminosse conocencomolapartedeestadoestabledelasolucin.Enestecaso tambin se llama corriente de estado estable; para valores grandes del tiempo, al parecer la corriente del circuito se rige simplemente por la ley de Ohm (E = iR). I.T.P.N. M.I. Juan A. Montero Rodrguez 45 Unidad 2Ecuaciones Diferenciales Lineales de Orden Superior 2.1 Definicin de ecuacin diferencial de orden n Delmismomodoenquesehadefinidolaecuacindiferenciallinealdeprimer orden como podemos definir una ecuacin diferencial de orden n como donde la derivada mayor que aparece es de orden n-simo. 2.2 Problema del valor inicial Un problema de valor inicial para una ecuacin diferencial de orden n es Resolver: Sujeta a: (1) Endondesonconstantesarbitrarias.Sebuscaunasolucinen algn intervalo I que contenga al punto En el caso de una ecuacin lineal de segundo orden, una solucin de es una funcin definida enIcuya grfica pasa por y tal que la pendiente de la curva en el punto es el nmero. I.T.P.N. M.I. Juan A. Montero Rodrguez 46 2.3 Teorema de existencia y unicidad Teorema 2.1 SeancontinuasenunintervaloIysea paratodoenesteintervalo.Siescualquierpuntodeeste intervalo, entonces existe una solucin del problema de valor inicial (1) en el intervalo y esa solucin es nica. Ejemplo Verificar que es una solucin del problema de valor inicial Laecuacindiferencialeslineal,loscoeficientes,ascomoson funcionescontinuasencualquierintervaloquecontienex=0.Porelteoremade existencia y unicidad (2.1) se deduce que la funcin dada es la nica solucin. Ejemplo El problema de valor inicial tiene una solucin trivial y=0. Puesto que la ecuacin de tercer orden es lineal con coeficientes constantes, se infiere que todas las condiciones del teorema (2.1) se cumplen.Porlotanto,eslanicasolucinencualquierintervaloque contenga a. Ejemplo La funcin es una solucin del problema de valor inicial I.T.P.N. M.I. Juan A. Montero Rodrguez 47 . Porelteorema2.1sedesprendequelasolucinesnicaencualquierintervalo que le contenga a. Enelteoremadeexistenciayunicidad(2.1),serequierequesiendo sea continua y que, para todo de I. Ambos requisitos son importantes. Especficamente, si para cualquier del intervalo, entonces la solucin de un problema lineal de valor inicial puede no ser nica y hasta puede no existir. Ejemplo Verificarquelafuncinesunasolucindelproblemadevalor inicial , en el intervalo para cualquier valor del parmetro Solucin. Comose tiene que . Ademsy Si bien la ecuacin diferencial del ejemplo precedente es lineal y los coeficientes y soncontinuosparatodoladificultadobviaesqueescero en. I.T.P.N. M.I. Juan A. Montero Rodrguez 48 Problema de valores en la frontera Otro tipo de problema consiste en resolver una ecuacin diferencial de orden dos o de orden mayor que dos en la cual la variable dependiente y (o sus derivadas) se especifica en dos puntos diferentes. Un problema como Resolver:Sujeta a: sellamaunproblemadevaloresdefronteradedospuntoso,simplemente,un problema de valores en la frontera. Ejemplo En el caso del problema de valor de frontera Sebuscaunafuncindefinidaenunintervaloquecontengaque satisfagalaecuacindiferencialycuyagrficapaseporlosdospuntos(1,0)y (2,3). LosejemplossiguientesmuestranqueauncuandolascondicionesdelTeorema (2.1)secumplen,unproblemadevalordefronterapuedetener(a)varias soluciones, (b) una solucin nica o (c) ninguna solucin. Ejemplo es una familia biparamtrica de soluciones de la ecuacin diferencial. Supngasequeahorasequieredeterminaraquellasolucindelaecuacinque adems satisface las condiciones de frontera I.T.P.N. M.I. Juan A. Montero Rodrguez 49 . Observemos que la primera condicin implicade modo que Pero cuando se tiene . Como, esta ltima condicin se satisface para cualquier valor de, as que, la solucin del problema es la familia uniparamtrica . Hay un nmero infinito de funciones que satisfacen la ecuacin diferencial y cuyas grficas pasan por los dos puntos (0,0) y. Silascondicionesdefronterafueran,entonces necesariamenteyserianambasigualesa0.Enconsecuencia,sera unasolucindeestenuevoproblemadevalordefrontera.Dehecho,estaesla nica solucin. 2.4 Ecuaciones Diferenciales Lineales Homogneas A una ecuacin diferencial lineal de orden n de la forma (2) I.T.P.N. M.I. Juan A. Montero Rodrguez 50 se la llama homognea, en tanto que a (3) en donde no es idnticamente nula, recibe el nombre de no homognea. En este contexto, la palabra homognea no se refiere a que los coeficientes son funciones homogneas. Ejemplo (a) La ecuacin es una ecuacin diferencial lineal de segundo orden, homognea. (b)La ecuacin es una ecuacin diferencial ordinaria lineal de tercer orden, no homognea. Nota:Cuandosedendefinicionesysedemuestrenteoremasacercadelas ecuaciones lineales (2) y (3), con el objeto de evitar repeticiones innecesarias, las siguientes hiptesis importantes sern implcitas. En algn intervalo I (I) los coeficientesson continuos; (II) el miembro derecho es continuo; (III) para todo del intervalo. 2.4.1. Principio de superposicin El teorema siguiente se cono como principio de superposicin. I.T.P.N. M.I. Juan A. Montero Rodrguez 51 Teorema 2.2Sean soluciones de la ecuacin diferencial lineal homognea de orden n (2) en un intervalo I. entonces la combinacin lineal (4) en donde los son constantes arbitrarias, tambin es una solucin en el intervalo. COLARIOS (a)Siesunasolucindeunaecuacindiferenciallinealhomognea, entonces un mltiplo constante de ella, tambin es una solucin. (b)Unaecuacindiferenciallinealhomogneasiempretienelasolucintrivial Elprincipiodesuperposicindefinidoyelcasoparticulardadoen(a)son propiedades que las ecuaciones diferenciales no lineales generalmente no tienen. Ejemplo Las funcionesson soluciones de la ecuacin homognea de tercer orden en el intervalo. Por el principio de superposicin, la combinacin lineal tambin es una solucin de la ecuacin en el intervalo. I.T.P.N. M.I. Juan A. Montero Rodrguez 52 Ejemplo Las funciones satisfacen la ecuacin homognea en. Por el teorema, la otra solucin es Ejemplo La funcines una solucin de la ecuacin lineal homognea en.Porlotanto,tambinesunasolucin.Sevequepara diversosvaloresdeson,todas,solucionesdela ecuacin en el intervalo. 2.5Dependencia e independencia lineal, wronskiano Definicin Sedicequeesunconjuntodefuncioneseslinealmente independiente en un intervalo I si no es linealmente dependiente en el intervalo. Enotraspalabras,unconjuntodefuncioneseslinealmenteindependienteenun intervalo si las nicas constantes para las cuales para todax en un intervalo, son. Esfcilentenderestasdefinicionesenelcasodedos funciones.Si lasfuncionessonlinealmentedependientesenunintervalo,entoncesexisten constantes, no siendo ambas nulas, tales que para todo x del intervalo I.T.P.N. M.I. Juan A. Montero Rodrguez 53 . Por lo tanto, si se supone que , se infiere que. Estoes,sidosfuncionessonlinealmentedependientes,entoncesunaes simplementeunmltiploconstantedeotra.Recprocamentesiparaalguna constantese tiene queentonces. paratodoxdeunintervalo.Porlotanto,lasfuncionessonlinealmente dependientes puesto que al menos una de las constantes (a saber, ) no es nulaseconcluyequedosfuncionessonlinealmenteindependientescuando ninguna es ningn mltiplo constante de la otra en un intervalo. EjemploLas funciones y son linealmente dependientes en el intervalo puesto que se satisface para todo x real si elegimos. (Recurdese la identidad trigonomtrica). EjemploLasfunciones 1f x = y 2f x = sonlinealmentedependientesenelintervalo Un examen cuidadoso de la figura 2.1 debera convencer al lector de que ninguna de las dos funciones es un mltiplo constante de la otra. Para tener para todo x real, debemos elegir I.T.P.N. M.I. Juan A. Montero Rodrguez 54 Figura 2.1 Elintervaloenelcuallasfuncionesestndefinidasesimportanteenlas consideracionessobredependenciaeindependencialineal.Lasfunciones en el ejemplo anterior son linealmente dependientes en el intervalo ya que 1 2 1 20 c x c x c x c x + = + =se satisface para cualquier valor no nulo de tal que I.T.P.N. M.I. Juan A. Montero Rodrguez 55 EjemploLasfunciones,son linealmente dependientes en el intervalo ya que cuando . Se hace notar quey que. Un conjunto de funciones es linealmente dependientes en un intervalosialmenosunafuncinpuedeexpresarsecomocombinacinlinealno trivial de las restantes funciones. EjemploLasfuncionesson linealmente dependientes en el intervaloya que para todo x en el intervalo. El wronskiano Elsiguienteteoremaproporcionaunacondicinsuficienteparalaindependencia lineal de n funciones en un intervalo. Cada funcin se supone diferenciable por lo menos veces. Teorema2.3 Supngasequetienealmenosderivadas.Siel determinante I.T.P.N. M.I. Juan A. Montero Rodrguez 56 noesceroporlomenosenunpuntodeintervaloI,entonceslasfunciones son linealmente independientes en el intervalo. El determinante que aparece en el teorema 2.3 se designapor y se llama wronskiano de las funciones. Colorario Sitienenporlomenosderivadasysonlinealmente dependientes en, entonces para todo del intervalo. EjemploLasfuncionessonlinealmentedependientes en. (Por que?) Por el colorario precedente, se observa que =2 EjemploPara I.T.P.N. M.I. Juan A. Montero Rodrguez 57 1 21 2 1 21 2( )2 11 2( , ) ( ) 0m x mxm x mx m m xm x mxe eWe e m meme m e+= = =paratodovalorrealde.Porlotantosonlinealmenteindependientes en cualquier intervalo del eje. EjemploSisonnmerosreales,entoncesson linealmente independientes en cualquier intervalo del eje puesto que . Ntesequehaciendoseveque ,sontambin linealmente independientes en cualquier intervalo del eje. EjemploLasfuncionessonlinealmente independientes en cualquier intervalo del eje x puesto que no es cero para ningn valor real de I.T.P.N. M.I. Juan A. Montero Rodrguez 58 Ejemplosonlinealmenteindependientesen;sin embargo, no es posible calcular el wronskiano ya que no es derivable en. Soluciones linealmente independientes Interesadeterminarcundosoluciones,delaecuacindiferencial homognea(2)sonlinealmenteindependientes.Unacondicinnecesariay suficiente para la independencia lineal es, de forma sorpresiva, que el wronskiano de un conjunto de de tales soluciones no se anule en un intervalo I. Teorema 2.4Sean soluciones de la ecuacin lineal homognea de orden(2) en un intervalo I. Entonces el conjunto de soluciones es linealmente independiente en I si y slo si el wronskiano Para todo del intervalo. DefinicinSellamaconjuntofundamentaldesolucionesenunintervaloIacualquier conjuntodesolucioneslinealmenteindependientesdelaecuacin diferencial lineal homognea de orden (2) en el intervalo I. Teorema 2.5Seaunconjuntofundamentaldesolucionesdelaecuacindiferencial linealhomogneade ordenenunintervaloI.Siy escualquiersolucindela ecuacin en Ientonces es posible encontrar constantes, tales que I.T.P.N. M.I. Juan A. Montero Rodrguez 59 . Teorema 2.6 Existe un conjunto fundamental de soluciones de la ecuacin(2) diferencial lineal homognea de orden n en un intervalo I. 2.6Solucin general de las ecuaciones diferenciales lineales homogneas.Definicin Sea unconjunto fundamentaldesolucionesdelaecuacindiferencial linealhomogneadeorden(2)enunintervaloI.Sedefinecomosolucin general de la ecuacin en el intervalo a en donde los siendo son constantes arbitrarias. Recurdese que la solucin general, tambin se la llama solucin completa de la ecuacin diferencial. Ejemplo La ecuacin de segundo orden tiene dos soluciones paratodovalorde,entoncesformanunconjuntofundamentalde solucionesen.Lasolucingeneraldelaecuacindiferencialenel intervalo es . I.T.P.N. M.I. Juan A. Montero Rodrguez 60 Ejemplo Ellectordebeverificarquetambinsatisfacelaecuacin diferencialdelejemploanterior.Eligiendoenlasolucingeneral se obtienen

. Ejemplo Lasfuncionessatisfacenlaecuacindetercer orden puesto que paratodovalorrealde,entoncesformanunconjuntofundamentalde soluciones en.Se concluye que2 31 2 3x x xy c e c e c e = + +es la solucin general de la ecuacin diferencial en el intervalo. I.T.P.N. M.I. Juan A. Montero Rodrguez 61 2.6.1 Reduccin de Orden de una Ecuacin Diferencial Lineal de Orden dos a una de Primer orden. (Construccin de una segunda solucin a partir de otra ya conocida). Reduccin de rdenesUno de los hechos ms interesantes y tambin ms importantes en el estudio de lasecuacionesdiferencialeslinealesdesegundoordenesqueesposibleformar una segunda solucin a partir de una solucin ya conocida. Supngase que es una solucin distinta de cero de la ecuacin .(5) El proceso que se utilizar para encontrar una segunda solucin consiste en reducirelordendelaecuacin(5),transformndolaenunaecuacindeprimer orden.Porejemplo,severificafcilmentequesatisfacelaecuacin diferencial.Siintentamosdeterminarunasolucindelaforma entonces y=y por tanto. Puesto que esta ltima ecuacin requiere que. Si se hacese ve quelaltima ecuacin es una ecuacin lineal de primer orden . Usando el factor integrante puede escribirse o sea . De esta manera I.T.P.N. M.I. Juan A. Montero Rodrguez 62 y entonces . Eligiendoyse obtiene la segunda solucin . Puesto que paratodo,lasecuacionessonlinealmenteindependientesen y en consecuencia la expresin para y es efectivamente la solucin general de la ecuacin dada. EjemploDadoqueesunasolucinde=,emplearunareduccinde orden para encontrar una segunda solucin en el intervalo Solucin. Se define de modo que += siempre que sea una solucin deo bien. Si, obtenemos la ecuacin lineal de primer orden la cual tiene el factor integrante . Ahora bien de, resulta que . I.T.P.N. M.I. Juan A. Montero Rodrguez 63 Consecuentemente, . Eligiendo resulta la segunda solucin. Caso General Supngase que se divide entrepara llevar la ecuacin (5) a la forma(6) en donde son continuas en algn intervalo. Supngase adems que esunasolucinconocidade(6)enyqueparatodadel intervalo. Si definimos se tiene . cero Esto implica que debe tener I.T.P.N. M.I. Juan A. Montero Rodrguez 64 o bien (7) endonde.Obsrvesequelaecuacin(7)eslinealytambinseparable. Aplicando esta ltima tcnica resulta e integrando de nuevo . Por lo tanto . Eligiendoseencuentraqueunasegundasolucinselaecuacin (6) es I.T.P.N. M.I. Juan A. Montero Rodrguez 65 .(8) Unbuenejerciciopararepasarlastcnicasdederivacinespartirdelafrmula (8) y verificar que efectivamente satisface la ecuacin (6). Ahora bienson linealmente independientes puesto que no es cero en cualquier intervalo en el cual no es cero. EjemploLafuncinesunasolucinde.Hallarlasolucin general en el intervalo. Solucin. Puesto que la ecuacin tiene la forma alternativa de (8) resulta . La solucin general enest dada por, es decir

I.T.P.N. M.I. Juan A. Montero Rodrguez 66 . EjemploEsposibleverificarqueesunasolucinde enObtener una segunda solucin. Solucin. Primero se lleva la ecuacin a la forma . Por la formula(8) . Puestoquelaecuacindiferencialeshomognea,esposibledescartarelsigno negativo y tomar a como la segunda solucin. Obsrvese que en el ejemplo anterior,son soluciones linealmente independientesdelaecuacindiferencialdadaenelintervalomsgrande .

Problemas Propuestos Segunda solucin a partir de una conocida I.T.P.N. M.I. Juan A. Montero Rodrguez 67 Encuentre una segunda solucin a partir de 1y . Soluciones

1)2) 3) 2.6.2 Ecuacin diferencial homogneacon coeficientes constantes Se ha visto que la solucin lineal de primer ordenen donde aes una constante,tienelasolucinexponencialen.Por consiguiente,es natural tratar de determinar si existen soluciones exponenciales, ende ecuaciones de orden superior como(1) endondelossonconstantes.Losorprendenteesquetodaslas solucionessonfuncionesexponencialesde(1)oseconstruyenapartirdela funcin exponencial. 2.6.2.1 Ecuacin diferencial lineal homognea con coeficientes constantes de orden dos Se empezara considerando el caso a partir de la ecuacin de segundo orden .(2) Ecuacin auxiliarSiseensayaunasolucindelaformaentonces de modo que la ecuacin (2) se transforme enI.T.P.N. M.I. Juan A. Montero Rodrguez 68 o bien. Comonuncaseanulaparavaloresrealesde,esevidentequelanica maneradequeestafuncinexponencialpuedasatisfacerlaecuacindiferencial es eligiendode modo que sea una raz de la ecuacin cuadrtica .(3) Estaltimaecuacinsellamaecuacinauxiliaroecuacincaractersticadela ecuacindiferencial(2).Seconsiderantrescasos,segnlaecuacinauxiliar tenga races reales, distintas, races reales iguales o races complejas conjugadas. 2.6.2.2 Ecuacin caracterstica (races reales y distintas, races reales e iguales, races complejas conjugadas). CasoI.Suponiendoquelaecuacinauxiliar(3)tienedosracesrealesdistintas , se hallan dos soluciones yyahemosvistoqueestasfuncionessonlinealmenteindependientesen ypor lo tanto, forman un conjunto fundamental. Se deduce que la solucin general en este intervalo es 1 21 2m x mxy c e c e = +(4) Caso II. Cuando 1 2m m = necesariamente se obtiene slo una solucin exponencial Sin embargo se deduce a una segunda solucin. (5) Peroporlaformacuadrticasetienequeyaquelanicamanerade obteneresque.Envistadeque(5)se transforma enI.T.P.N. M.I. Juan A. Montero Rodrguez 69 11 1122 2 2m xm x m xm xey e dx y e dxe= = =} } . La solucin general de

es entonces1 11 2m x m xy c e cxe = +.(6) Caso lll. Si son complejas, entonces puede escribirse1m i o | = + y2m i o | = endondesonrealeseFormalmentenohaydiferenciaentre este caso y el caso I y por tanto1 2i iy c e c eo | o | + = + .(7) Sin embargo, en la prctica es preferible trabajar confunciones reales en vez de exponencialescomplejas.Ahorabienesposibleescribir(7)enunaformams prctica usando la formula de Euler en donde es cualquier nmero real. A partir de este resultado puede escribirse YendondesehausadoyEn consecuencia, (7) se transforma en . I.T.P.N. M.I. Juan A. Montero Rodrguez 70 Comoformanunconjuntofundamentaldesolucionesde laecuacindiferencialdadaen, sepuedeusarelprincipiode superposicin para escribir la solucin general (8) Ejemplo Resuelva las siguientes ecuaciones diferenciales Solucin . . I.T.P.N. M.I. Juan A. Montero Rodrguez 71

. EjemploResolver sujeta a . Solucin. Las races de las ecuacin auxiliar sony de modo que La solucin implica por lo cual podemos escribir . 2.7Ecuaciones diferenciales lineales de orden superior En general, para resolver una ecuacin diferencial lineal de orden n I.T.P.N. M.I. Juan A. Montero Rodrguez 72 ( ) ( 1)1 2 1 0... 0n nn nay a y ay a y ay'' ' + + + + + = endondelos ia siendoi=0,1,., nsonconstantesreales,se deberesolveruna ecuacin polinomial de grado n 1 21 2 1 0... 0n nn na m a m a m a m a+ + + + + =. Si todas las races son reales y distintas, entoncesla solucin general es 1 21 2...mx m x mnxny c e c e c e = + + +. Cuando 1m esunarazdemultiplicidadkdeunaecuacinauxiliardegradon, entonces puede demostrarse que las soluciones linealmente independientes son: 1 1 2 1 1 1, , ,...,mx mx mx k mxe xe x e x e y que la solucin general debe contener la combinacin lineal 1 1 2 1 1 11 2 3...mx mx mx k mxkc e c xe c x e cx e+ + + +. Porltimo,deberecordarsequecuandoloscoeficientessonreales,lasraces complejas de una ecuacin auxiliar siempre aparecern en pares conjugados. Por ejemplo, una ecuacin polinomial cbica puede tener a lo ms 2 races complejas. Ejemplo Resolver3 4 0 y y y ''' '' + =. Solucin.Unexamencuidadosode 3 23 4 0 m m + = permiteencontrarlaraz 11 m = . Ahora bien, si se divide 3 23 4 m m + entre (m-1) se encuentra que3 2 223 4 ( 1)( 4 4)( 1)( 2)m m m m mm m+ = + += + siendoporlotantolasotrasraces 2 32 m m = = enconsecuencia,lasolucin general es 2 21 2 3x x xy c e c e c xe = + +. I.T.P.N. M.I. Juan A. Montero Rodrguez 73 Ejemplo Resolver3 19 36 10 0 y y y y ''' '' ' + =. Solucin. Se verifica que 11/ 3 m =esuna raz de 3 23 19 36 10 0 m m m + = y dividiendo entre( 1/ 3) mse encuentra que 3 2 2213 19 36 10 (3 18 30)3(3 1)( 6 10)m m m m m mm m m| | + = + |\ .= + siendo 23 m i =+y que 33 m i =, y la solucin general | |/ 3 31 2 3cosx xy c e e c x c senx = + +. Ejemplo Resolver4 24 22 0d y d yydx dx+ + =. Solucin. La solucin auxiliar es 4 2 2 22 1 ( 1) 0 m m m + + = + =tiene races 1 32 4m m im m i= == = . De esta manera por el caso II la solucin es 1 2 3 4ix ix ix ixy c e c e c xe cxe = + + +.

MediantelafrmuladeEuler.Laparte 1 2ix ixc e c e+ puedereescribirsecomo 1 2cos c x c senx + despusdedesignarnuevamentelasconstantes,anlogamente, 3 4( )ix ixxc e c e+ puedeexpresarsecomo 3 4( cos ) x c x c senx + .Porlotanto,lasolucin general es1 2 3 4cos y c cox c senx c x x c xsenx = + + +. I.T.P.N. M.I. Juan A. Montero Rodrguez 74 Cuando 1m i o | = + eslarazcomplejadeordendemultiplicidadkdeuna ecuacinauxiliarconcoeficientesreales,suconjugada, 2m i o | = estambin raz de orden de multiplicidad k.En este caso, la solucin general de la ecuacin diferencialcorrespondientedebecontenerunacombinacinlinealdesoluciones linealmente independientes: 2 12 1cos , cos , cos ,..., cos, , ,...,x x x k xx x x k xe xxe xx e x x e xe sen xxe sen xx e sen x x e sen xo o o oo o o o| | | || | | |. En el ejemplo anterior identificamosk=201o| ==. Problemas Propuestos Resolver las siguientes ecuaciones lineales homogneas. Soluciones 1) 2) 3) 4) 5) 2.8 Ecuaciones diferenciales lineales no homogneas Sedefinirahoralasolucingeneraldeunaecuacinlinealnohomognea. Cualquierfuncinquenocontieneparmetrosarbitrariosyquesatisfaceala ecuacindiferenciallinealnohomognea,sellamasolucinparticulardela ecuacin (a veces tambin recibe el nombre de integral particular). I.T.P.N. M.I. Juan A. Montero Rodrguez 75 Ejemplo (a) Una solucin particular de es3py =ya que. (b)3py x x = es una solucin particular de puesto que ' 23 1py x = , ''6py x = . Teorema 2.7 Sean soluciones de la ecuacin diferencial lineal homognea de orden en un intervalo Iy sea cualquier solucin de la ecuacin no homognea en el mismo intervalo. Entonces estambinunasolucindelaecuacinnohomogneaenelintervalopara constantes cualesquiera. Ahoraesposibledemostrar,paraecuacionesdiferencialesnohomogneas,el siguiente teorema anlogo. Teorema 2.8 Sea una solucin dada de la ecuacin diferencial lineal no homognea de orden en un intervalo Iy sea, un conjunto fundamental de soluciones de la ecuacinhomogneaasociadaenelintervalo.Entoncesparacualquiersolucin I.T.P.N. M.I. Juan A. Montero Rodrguez 76 ( ) yx delaecuacinenIesposibleencontrarconstantesdemodo que . 2.8.1 Solucin general de las ecuaciones diferenciales lineales no homogneas. Definicin Sea una solucin dada de la ecuacin diferencial lineal no homognea de orden en un intervalo Iy sea 1 1 2 2( ) ( ) ... ( )n ny c y x cy x cy x = + + +lasolucingeneraldelaecuacinhomogneaasociadaenelintervalo.La solucin general de la no homognea en el intervalo se define como . A la combinacin lineal lacualeslasolucingeneraldelaecuacindiferenciallinealhomognea asociada, se le llama funcin complementaria de la ecuacin. En otras palabras, la solucin general de la ecuacin diferencial lineal no homognea esy=funcin complementaria+cualquier solucin particular. Ejemplo Se puede demostrar que la funcin es una solucin particular de la ecuacin no homognea I.T.P.N. M.I. Juan A. Montero Rodrguez 77 . Paraformularlasolucingeneraldelaecuacinanterior,setienetambinque resolver la ecuacin homognea asociada . Pero la solucin general de esta ltima ecuacin en el intervalo es y por lo tanto, la solucin general de la ecuacin en el intervalo es . 2.8.2 Solucin de las ecuaciones diferenciales lineales no homogneas (coeficientes indeterminados, mtodo de la superposicin, mtodo de operador anulador). Operadores diferenciales Elsmbolo nD seusafrecuentementeenclculoparadesignarladerivada ensima de una funcinnnnd yDydx=. Por lo tanto, una ecuacin diferencial lineal con coeficientes constantes ( ) ( 1)1 2 1 0... ( )n nn nay a y ay a y ay gx'' ' + + + + + = puede escribirse como ( 1) 21 2 1 0... ( )n nn na Dy a D y a Dy a Dy ay gx+ + + + + = 1 21 2 1 0( ... ) ( )n nn naD a D a D a D a y gx+ + + + + =. I.T.P.N. M.I. Juan A. Montero Rodrguez 78 La expresin1 21 2 1 0...n nn naD a D a D a D a+ + + + + sellamaoperadordiferenciallinealdeordenn.Puestoqueelanterioresun polinomio en el smbolo D, a menudo se abrevia como P(D).Puede demostrarse que cuando los, 0,1,....,ia i n = son constantes, I) P(D) pueden ser posiblemente, factorizado en operadores diferenciales de orden menor, esto se consigue tratando a P(D) como si fuera un polinomio ordinario. II) Los factores de P(D) pueden conmutarse. Ejemplos a) Los operadores 2D D +y 21 D se factoriza como ( 1) DD+Y( 1)( 1) D D + respectivamente.b) El operador 2D +1 no es factorizableusando slo nmeros reales. c) El operador2D +5D+6 puede escribirsecomo( 2)( 3) D D + + o bien( 3)( 2) D D + + Ejemplo Si( ) y f x =tienederivada segunda, entonces 2( 5 6) ( 2)( 3)( 3)( 2)D D y D D yD D y+ + = + += + +. Para demostrar esto, sea | | | |( 3) 3( 2) 23 2 33 2 65 6w D y y yD w Dw wdy y y ydxy y y yy y y' = + = ++ = +' ' = + + +'' ' ' = + + +'' ' = + +. I.T.P.N. M.I. Juan A. Montero Rodrguez 79 Anlogamente, si se hace( 2) 2 w D y y y ' = + = + entonces( 3) 3 D w Dw w + = + | | | | 2 3 22 3 65 6dy y y ydxy y y yy y y' ' = + + +'' ' ' = + + +'' ' = + +. EjemploEl operador 24 4 D D + +puede escribirse como( 2)( 2) D D + + o bien2( 2) D+ . Operador anuladorSea( ) y f x = unafuncinquetienealmenosnderivadas,si 11 1 0( ... ) ( ) 0n nn naD a D a D a f x+ + + + = entoncessedicequeeloperadordiferencial11 1 0...n nn naD a D a D a+ + + + anulaa( ) y f x = .Siporejemplo( ) f x K = entonces0 DK = . Tambin, 2 3 20, 0 Dx Dx = = , etc. El operador diferencial Dn anula a cada una de las funciones2 11, , ,...,nxx x . Una consecuencia inmediata de esto, junto con la posibilidad de derivar trmino a trminoesqueunpolinomio 10 1 1...nnc c x c x + + + puedeseranuladoencontrando un operador que anule a la mayor potencia de x. EjemploHallar un operador que anule a 2 31 5 8 x x +. Solucin. Se sabe que 4 30 Dx =y por lo tanto se tiene que 4 2 3(1 5 8 ) 0 D x x + =. I.T.P.N. M.I. Juan A. Montero Rodrguez 80 El operador diferencial( )nDo anula a cada una de las funciones2 1. . ,...,x x x n xe xe x e x eo o o o . Paraverificaresto,ntesequelaecuacinauxiliardelaecuacinhomognea ( ) 0nD y o = es( ) 0nmo = .Puestoqueo esunarazdemultiplicidadn.La solucin general es 11 2...ax ax n axny c e cxe cx e= + + +. EjemploHallar un operador anulador para 5 2 2( ) , ( )4 6x x xa e b e xe . Solucin a) Eligiendo5 o =y1 n =se obtiene que 5( 5) 0xD e =. b) Eligiendo2 o =y2 n = se obtiene que 2 2 2( 2)(4 6 ) 0x xD e xe =. EjemploObtener un operador diferencial que anule a 3x xe xe+. Se tiene que 32( 3) 0( 1) 0xxD eD xe+ = =. El producto de los 2 operadores (D+3) (D-1)2anular la combinacin lineal dada. Siy o | sonnmerosreales.,laecuacin2 2 22 ( )nm m o o |( + + tieneraces complejas i o | + yi o | ,ambasdeordendemultiplicidadn.Entoncessetiene I.T.P.N. M.I. Juan A. Montero Rodrguez 81 como conclusin que el operador diferencial 2 2 22 ( )nD D o o |( + + anula a cada una de las funciones 2 12 1cos , cos , cos ,..., cos, , ,...,x x x n xx x x n xe xxe xx e x x e xe sen xxe sen xx e sen x x e sen xo o o oo o o o| | | || | | |. EjemploEligiendo1, 2 1 yn o | = = = se obtiene2( 2 5) cos 2 0xD D e x+ + =y 2( 2 5) 2 0xD D e sen x+ + =. Ejemplo Siseelige0, 1, , 2 y n o | = = = eloperadordiferencial 2 2( 1) D + anularcos x ,cos x x ,senx ,xsenx .Adems 2 2( 1) D + anular cualquier combinacin lineal de esas funciones. Si se hace1, 1 n o = = , se obtiene el resultado particular 2 2cos( ) 0xDsen x|||+ =. Ejemplo Obtener un operador diferencial que anule a. Solucin. Se tiene, respectivamente 2(7 ) 0 D x =2( 9) 3 0 D senx + =. I.T.P.N. M.I. Juan A. Montero Rodrguez 82 Por lo tanto, el operador 2 2( 9) D D +anular a la combinacin lineal dada. Paraobtenerlasolucingeneraldeunaecuacindiferencialnohomogneacon coeficienteconstantedebenhacerse2cosas:Hallarlafuncincomplementaria cyy luego obtener cualquier solucin particular pyde la ecuacin no homognea. Recurdesequeunasolucinparticularescualquierfuncinsinconstantes arbitrariasquesatisfacelaecuacinidnticamente.Lasolucingeneraldela ecuacin no homognea es la sumac py y + .

Mtodo de los coeficientes indeterminados Ahorabiensirepresentaeloperadordiferencial,entoncesunaecuacin diferenciallineal,nohomogneaconcoeficientesconstantespuedenescribirse simplemente como . Cuando esI)Una constante, II) Un polinomio en, III) Una funcin exponencial xeo, IV), cos sen x x | |,

oconsisteensumasfinitasyproductosdeestasfunciones,siempreesposible encontrar otro operador diferencial 1( ) PD que anule a( ) gx. Aplicando 1( ) PD resulta 1 1( ) ( ) ( ) ( ) 0 PDPDy PDgx = =. Resolviendolaecuacinhomogneaesposibledescubrirlaformadeuna solucin particular de la ecuacin no homognea. I.T.P.N. M.I. Juan A. Montero Rodrguez 83 Losejemplosquevienenacontinuacinilustranelllamadomtododelos coeficientesindeterminadosparaencontrar.Lasolucingeneraldecada ecuacin se define en el intervalo x < < . Ejemplo Resolver 2223 2 4d y dyy xdx dx+ + =. Solucin. Paso 1. Se resuelve primero la ecuacin homognea 223 2 0d y dyydx dx+ + =. Delaecuacinauxiliar 23 2 ( 1)( 2) 0 m m m m + + = + + = seobtienedelafuncin complementaria21 2x xcy c e c e = +. Paso 2. Tenemos que puede ser transformada en homognea derivando 3 veces cada miembro de la ecuacin. En otras palabras 3 2 3 2( 3 2) 4 0 D D D y Dx + + = = ya que 3 20 D x =.La ecuacin auxiliar es 3 2( 3 2) 0 m m m + + =o bien3( 1)( 2) 0 m m m + + = y por lo tanto la solucin general debe ser

dondey entonces 23 4 5 py c c x c x = + +2py A Bx Cx = + +. EndondesehanreemplazadoporA,ByC,respectivamente.Se sustituye pyen la ecuacin original resultando I.T.P.N. M.I. Juan A. Montero Rodrguez 84 . Igualando coeficientes en la ltima identidad, se obtiene el sistema de ecuaciones

. Resolviendoresulta En consecuencia Paso 3. La solucin generaleso sea Ejemplo Resolver 3'' 3 ' 8 4xy y e senx = + . Solucin. Paso 1. La ecuacin auxiliar de la ecuacin homognea es (m3) =0 y as . Paso2.Ahorabien,puestoque( 3) D y( 0 senx = yseaplicael operador diferencial a ambos miembros: . La ecuacin auxiliar es ( o bien. En consecuencia 3 31 2 3 4 5cosx xy c c e c xe c x c senx = + + + + . Se llega entonces a I.T.P.N. M.I. Juan A. Montero Rodrguez 85 . Sustituyendo en la ecuacin original y simplificando resulta . Igualando coeficientes resulta . Encontramos Cy por consiguiente, . Paso 3. La solucin generales entonces . Ejemplo Resolver. Sabemosqueyquerespectivamente.Porlotanto aplicamos . Se ve que luego. Sustituyendo en la EDO . Esto implicade modo que la solucin generales I.T.P.N. M.I. Juan A. Montero Rodrguez 86 . Ejemplo

Resolver . Sesabequetantocomosonanuladosporeloperador 2 2( 1) D + .En consecuencia o bien Siendo races complejas con orden de multiplicidad 3 de la ecuacin auxiliar, de la ltima ecuacin diferencial se deduce que . Sustituyendo . . Igualando coeficientes resultan las ecuaciones

dedondeseobtienePorlotanto,lasolucin general es . Ejemplo Determinar la forma de una solucin particular de . Solucin. Eligiendo2, se tiene I.T.P.N. M.I. Juan A. Montero Rodrguez 87 . Aplicando el operador resulta . Puesto que las races de la ecuacin auxiliarson, entonces . Por lo tanto se puede encontrar una solucin particularque tiene la forma . Ejemplo Determinar la forma de una solucin particular de . Solucin. Observe que . Por consiguiente, aplicandoa la ecuacin resulta o sea. Consecuentemente

I.T.P.N. M.I. Juan A. Montero Rodrguez 88 Puesto que es posible considerar la combinacin lineal como la funcincomplementaria,vemosquelasolucinparticulardelaecuacin diferencial: . Problemas Propuestos Coeficientes indeterminados Resolver Soluciones 1) 2) 3) 4) 5) 2.8.3 Solucin de las ecuaciones diferenciales lineales no homogneas por el mtodo de variacin de parmetros. Anteriormentesevioquelasolucingeneraldeleecuacindiferenciallinealde primer orden (1) en donde son continuas en un intervaloes .(2) Ahora bien (2) tienen la forma I.T.P.N. M.I. Juan A. Montero Rodrguez 89 en donde es una solucin de (3) y

( ) ( )( )Pxdx Pxdxpy e e f xdx} }=}(4) es una solucin particular de(1). Para motivar un mtodo adicional para resolver ecuacioneslinealesnohomogneasdeordensuperiorsevolveradeducirla ecuacin(4)medianteunprocedimientoconocidocomomtododevariacinde parmetro. Supngase que es una solucin conocida de la ecuacin (3), esto es, . Ya sea demostrado quees una solucin, y puesto que la ecuacin diferencial es lineal, su solucin general es. El mtodo de variacin de parmetros consiste en encontrar una funcin tal que sea una solucin particular de (1). En otras palabras, se reemplaza el parmetro por una variable. Sustituyendo en (1) resulta demodo que . I.T.P.N. M.I. Juan A. Montero Rodrguez 90 Separando variables resulta de lo cual se deduce que . Ecuaciones de segundo orden Paraadaptarelprocedimientoanterioraunaecuacindiferencialdesegundo orden ,(5) escribimos (5) en la forma estndar (6) dividiendoentretodalaecuacin.Suponemosqueson continuas en un intervalo. La ecuacin (6) es anloga de (1). Como ya se sabe, cuandosonconstantesnohayproblemaalgunoparaescribir explcitamente. Supngasequeformanunconjuntofundamentaldesolucionesdela ecuacin homognea asociada a (6), en el intervalo. Esto es, . Se pregunta ahora: Es posible encontrar dos funciones de modo que sea una solucin particular de (1)?. Advirtaseque esto es equivalente a suponer que,peroquesehanremplazadoporparmetros variables. Empleando la regla del producto para derivarresulta I.T.P.N. M.I. Juan A. Montero Rodrguez 91 .(7) Si adems se exige que sean funciones para las cuales (8) entonces (7) se transforma en Continuando, se encuentra que y por lo tanto . Enotraspalabras,debenserfuncionesqueademssatisfaganla condicin . (9) Lasecuaciones(8)y(9)constituyenunsistemalinealdeecuacionespara determinar las derivadas. Por la regla de Cramer,la solucin de se puede expresar por medio de determinantes: (10) en donde (11) y I.T.P.N. M.I. Juan A. Montero Rodrguez 92 . Eldeterminanteseidentificacomowronskianode.Porla independencialinealdeensabemosqueparatodo en el intervalo. Resumen del mtodo Engeneral,noesrecomendablememorizarformulasenlugardetratarde comprenderunprocedimiento.Sinembargo,elmtodoanterioresdemasiado largoycomplicadoparausarlocadavezquesedeseeresolverunaecuacin diferencial. En este caso es ms eficiente usar simplemente las formulas en (10). Enconsecuencia,pararesolverprimeroseencuentrala funcin complementariay luego se evala el wronskiano . Dividiendo entre se lleva la ecuacin a la forma para determinar obtngase integrando .(12) Finalmente, frmese la solucin particular Ejemplo Resolver. Solucin.Puestoquelaecuacinauxiliaressetiene que . Identificando se evala el wronskiano I.T.P.N. M.I. Juan A. Montero Rodrguez 93 . Como la ecuacin diferencial dada ya est en la forma (6) (es decir, el coeficiente de es 1) se identifica. De (12) obtenemos y . Se deduce que y por consiguiente . En consecuencia, . Ejemplo Resolver. Solucin.Primeroescribimoslaecuacinenlaformaestndar(6),dividiendo entre 4: . Puesto que las races de la ecuacin auxiliar son se tiene que y . Consecuentemente, I.T.P.N. M.I. Juan A. Montero Rodrguez 94 de lo cual se obtiene y . En consecuencia, .(13) Laecuacin(13)representalasolucingeneraldelaecuacindiferencialenun intervalo, por ejemplo, en 0 . Ejemplo Evaluar . Solucin e integrando por partes

. I.T.P.N. M.I. Juan A. Montero Rodrguez 109 Ahora despejamos . Ejemplo Determinar. Solucin . Ejemplo Determinar. Solucin { }2 20t t stLte te e dt =} e integrando por partes I.T.P.N. M.I. Juan A. Montero Rodrguez 110 . Ejemplo Determinar. Solucin. De acuerdo a la definicin e integrando por partes . Teorema 3.2 I.T.P.N. M.I. Juan A. Montero Rodrguez 111 La parte (b) del teorema 3.2 puede justificarse de la siguiente manera. Integrando por partes resulta Ahoraluego por iteracin se obtiene que . En general, parece razonable escribir que .I.T.P.N. M.I. Juan A. Montero Rodrguez 112 Ejemplo Calcular. Solucin.Conunaidentidadtrigonomtricaylaspartes(a)y(e)delteorema3.2 obtenemos . Problemas Propuestos Trasformada de Laplace de funciones bsicas Encuentre la transformada de Laplace de las funciones usando el Teorema 3.2. Soluciones 1).-548s 2).- 24 10s s 3).- 3 22 6 3s s s+ 3.4 Trasformada de Laplace de funciones definidas por tramos Ejemplo Determinar . . I.T.P.N. M.I. Juan A. Montero Rodrguez 113 Solucin . 3.5 Funcin escaln unitaria Eningenieraseencuentranamenudofuncionesquepuedeconectarseo desconectarse.Porejemplo,unafuerzaexteriorqueactasobreunsistema mecnicoounvoltajesuministradoauncircuitopuedenserdesconectados despusdeunciertoperiodo.Esporlotanto,convenientementedefiniruna funcin especial llamada funcin escaln unitaria. La funcin escaln unitaria se define como: 0, 0( )1,t au t at as < = >. Ntese que se define solamente en el eje no negativo ya que esto basta para estudiar la transformada de Laplace. En un sentido ms amplio, para. Ejemplo Trace las grficas de (a) y (b). Solucin I.T.P.N. M.I. Juan A. Montero Rodrguez 114 a) b). Figura 3.5 Lafuncinescalnunitaria,alsercombinadaconotrasfuncionesdefinidaspara trunca una parte de sus grficas. Por ejemplo en la figura 3.6, en la que se ilustra la grfica de donde Figura 3.6 I.T.P.N. M.I. Juan A. Montero Rodrguez 115 3.5.1 Trasformada de Laplace de la funcin escaln unitaria Si, entonces { } ( )aseLu t as =. Ejemplo { }7( 7)seLu ts =. 3.6 Propiedades de la trasformada de Laplace (linealidad, teoremas de traslacin) Evaluartransformadascomoesdirectosiemprequese conozca(ydehechoesas).Engeneralsiseconocela transformadadeLaplacedeunafuncin,,esposiblecalcularla transformada de Laplace de un mltiplo exponencial de, es decir sin unesfuerzoadicionalquenoseatrasladar,odesplazarlatransformada Este resultado se conoce como el primer teorema de traslacin o primer teorema de desplazamiento. Primer teorema de traslacin Teorema 3.3 Si a es un nmero real cualquiera, entonces en donde. DemostracinI.T.P.N. M.I. Juan A. Montero Rodrguez 116 . Por consiguiente, si ya conocemos podemos calcular sin otro esfuerzo adicional que el trasladar o cambiar por. Para mayor nfasis,a veces tambin es til emplear el simbolismo . Ejemplo Calcular. Solucin . Calcular. Solucin . En forma reciproca se tiene para el primer teorema de traslacin I.T.P.N. M.I. Juan A. Montero Rodrguez 117 donde. Ejemplo Calcular . Solucin . Ejemplo Determinar . Solucin I.T.P.N. M.I. Juan A. Montero Rodrguez 118 . Segundo teorema de la traslacin Teorema 3.4 Si, entonces . Demostracin . Ahora bien sea; entonces I.T.P.N. M.I. Juan A. Montero Rodrguez 119 . Ejemplo Evaluar. Solucin. Con la identificacin, se concluye que . Ejemplo Evaluar. Solucin. Haciendo y se tiene . Ejemplo Determinar. Solucin. Con, y tomando en cuenta que tiene periodo I.T.P.N. M.I. Juan A. Montero Rodrguez 120 . La forma recproca es del segundo teorema de traslacin es en donde y. Ejemplo Calcular . Solucin. Identificamosy .Por consiguiente . Problemas Propuestos PropiedadesdelatrasformadadeLaplace(linealidad,teoremasde traslacin) Encuentre la transformada de Laplace de las siguientes funciones.

SolucionesI.T.P.N. M.I. Juan A. Montero Rodrguez 121 1).-21( 10) s 2).- 23( 1) 9 s + 3).- ( )21 1 12 11 4sss (+(++ + ( 3.7 Transformada de funciones multiplicadas por tn, y divididas entre t Multiplicacin de una funcin porLa transformada de Laplace del producto de unafuncinconsepuedeencontrarmediantediferenciacindela transformadadeLaplacede.Paramotivaresteresultado,sesuponeque existeyqueesposibleintercambiarelordendediferenciacine integracin. Entonces . Es decir,

. Se puede usar el resultado para hallar la transformada de Laplace de Teorema 3.5 Para I.T.P.N. M.I. Juan A. Montero Rodrguez 122 en donde. Ejemplo Calcular. . Calcular. . Calcular. . Calcular. I.T.P.N. M.I. Juan A. Montero Rodrguez 123 . 3.8 Trasformada de derivadas Teorema 3.6 Sisoncontinuasparaydeordenexponencial,ysi es continua parte por parte para, entonces en donde. Ejemplo Calcular. . 22 2 22( )kss k=+. I.T.P.N. M.I. Juan A. Montero Rodrguez 124 3.9 Trasformada de integrales Seafunafuncindeordenexponencialycontinuaparteporparteen entonces se tiene que { }0()( )tFsL f TdTs=} 3.10 Teorema de la convolucin Silasfuncionesfygsoncontinuasparteporparteenentoncesun producto especial, denotado por, se define mediante la integral

ysellamaconvolucindefyg.Laconvolucinesunafuncinde.Por ejemplo, . Se puede demostrar que esdecir,Estosignificaquelaconvolucindedosfuncioneses conmutativa. Teorema de convolucin Teorema 3.7 Sisonfuncionescontinasparteporparteenydeorden exponencial, entonces . Demostracin I.T.P.N. M.I. Juan A. Montero Rodrguez 125 Sea y Si se procede de manera formal, se tiene . Manteniendo T fija, se permite que de modo que . Enelplanoserealizalaintegracinenlareginsombreadaenlafigura3.7. Puestoquefygsoncontinuasporpartesenydeordenexponencial,es posibleintercambiarelordendeintegracin: 0 0( ) ( ) ( ) ( )tstFs Gs e dt f Tgt TdT= } } { }{ }0 0( ) ( ) *tste f Tg t TdTdt L f g= =} } Figura 3.7I.T.P.N. M.I. Juan A. Montero Rodrguez 126 Ejemplo 2 21 1 1.1 1 ( 1)( 1) s s s s= = + +. En virtud del teorema 3.7 se tiene reciprocamente . Ejemplo Determinar. Solucin . 3.11 Transformada de una Funcin Peridica Si una funcin peridica tiene periodo, siendo, entonces La transformadadeLaplacedeunafuncinperidicapuedeobtenerseintegrando sobre un periodo. I.T.P.N. M.I. Juan A. Montero Rodrguez 127 Teorema 3.8 Seacontinuaparteporparteparaydeordenexponencial.Sies peridica de periodo, entonces EjemploHallar la transformada de Laplace de la funcin peridica mostrada en la fig. 3.8. Figura 3.8 Solucin. En el intervalo la funcin puede definirse por yfueradelintervalopor.Identificado2 t = ,porelteorema3.8e integracin por partes I.T.P.N. M.I. Juan A. Montero Rodrguez 128 Problemas Propuestos Transformada de una Funcin PeridicaEnlossiguientesproblemas,useelTeorema3.8paraencontrarlatransformada de Laplace de la funcin peridica que se indica. 1).- Figura 3.9 Funcin Serpentina 2).- Figura 3.10 Funcin Sierra 3).- Figura 3.11 Rectificacin completa de la onda de Soluciones1).- 1(1 )asases e+2).- 1 11bsas bs e| | |\ . 3).- 2coth( / 2)1sst+ I.T.P.N. M.I. Juan A. Montero Rodrguez 129 3.12 Funcin Delta Dirac Funcinimpulso unitario A menudo, los sistemas mecnicos estn sometidos a una fuerza exterior (o a una tensinaplicadaenelcasodeloscircuitoselctricos)degranmagnitudque solamenteactaduranteuntiempomuycorto.Porejemplo,unadescarga elctrica podra caer sobre el ala ya vibrante de un avin o a un peso sujeto a un resortepodradrseleungolpesecoconunmartillo,obienunapelotadegolf inicialmente en reposo podra ser enviada velozmente a los aires al ser golpeada con violenta por un bastn o palo de golf. La funcin 0 000 01,( ) 20, ,at a t t at t at t a t t ao < < + = s > + puedeservirdemodelomatemticoparatalfuerza.Paravaloresde es esencialmente una funcin constante de gran amplitud que est conectada o activada slo por un corto intervalo de tiempo en torno a (figura 3.12 (a)). A la funcinselellamaimpulsounitarioyaquetienelapropiedadde integracin Figura 3.12 I.T.P.N. M.I. Juan A. Montero Rodrguez 130 Funcin Delta Dirac En la prctica es conveniente trabajar con otro tipo de impulso unitario, que es una funcin que se aproxima a y est definida por el lmite 0 00( ) lim ( )aat t t t o o = El comportamiento de cuando se ilustra en la figura 3.12 (b) y es llamada funcin Delta Dirac. Esta ltima, la cual en realidad no es una funcin, se puede caracterizar mediante las dos propiedades siguientes

3.13 Transformada de Laplace de la funcin Delta Dirac La transformada de Laplace de la funcin Delta Dirac es { }00( )stL t t e o = EjemploResolver Sujeta a(a),;(b), . Estosdosproblemasdevaloresincialespodanservircomomodelospara describirelmovimientodeunamasasujetaaunresortequetienelugarenun medioenelcuallaamortiguacinesinsignificante.Ensegundoslamasa recibe un golpe seco. En (a) la masa se suelta desde el reposo, en un punto que esta 1 unidad abajo de la posicin de equilibrio. En (b) la masa esta en reposo en la posicin de equilibrio. Solucin.(a)Conlaayudadelteorema3.6latransformadadeLaplacedela ecuacin diferencial es I.T.P.N. M.I. Juan A. Montero Rodrguez 131 o bien Usando el segundo teorema de traslacin, Puesto que, la solucin precedente se puede escribir (b) En este caso la transformada de la ecuacin es simplemente y por lo tanto

Enlafigura3.13(a)vemos,apartirdelagrficadelarespuestaenelcaso(a), que la masa experimenta un movimiento armnico simple hasta el instante enqueesgolpeada.Lainfluenciadelimpulsounitarioconsisteenunargumento delaamplituddevibracina,para.Lagrficadelarespuestaparael caso(b)semuestraenlafigura3.14(b),comoseradeesperarapartirdelas condicionesinciales(b),quelamasanoexperimentamovimientoalgunohasta que es golpeada en. Figura 3.13 I.T.P.N. M.I. Juan A. Montero Rodrguez 132 Problemas Propuestos Funcin Delta Dirac 1).-,,2).- , ,,3).- ,,, Soluciones1).- ( 2 ) y sent u t sent t = + 2).-( / 2)cos ( 3 / 2)cos y u t t u t t t t = + 3).- 2 2( 1)1 1 1 1( 1)2 2 2 2t ty e e u t (= + ( 3.14 Transformada Inversa UsandoladefinicinintegraldelatransformadadeLaplacedeunafuncin determinamosotrafuncinF ,estoses,unafuncindelparmetros dela transformada. Simblicamente, denotamos esto por. Ahorainvertimosel problema,es decir,dadaqueremosencontrarla funcin quecorrespondea estatransformada.Decimosqueeslatransformada inversa de Laplace de y escribimos . 3.15 Algunas Transformadas Inversas Teorema 3.9a) I.T.P.N. M.I. Juan A. Montero Rodrguez 133 b) c). d) e) f) g) Tambin es una Operacin Lineal Supondremos que la transformada de Laplace inversa es una transformada lineal, esto es, para constantes y cualesquiera, se tiene donde F y G son las transformadas de ciertas funciones f y g. DebehacersenotarquelatransformadainversadeLaplacedeunafuncinF(s) puedenosernica.Sinembargo,siysoncontinuasparay , entonces necesariamente. EjemploCalcular Solucin. Multiplicamos y dividimos por 4! Y luego usamos la parte (b) del teorema 3.9. Se tiene que I.T.P.N. M.I. Juan A. Montero Rodrguez 134 EjemploEvaluar Solucin. Se utiliza la divisin trmino a trmino y la linealidad de la transformada inversa. De las partes (e) y (d) del teorema 3.9 tenemos Problemas Propuestos Transformada Inversa Determinar la transformada inversa Soluciones1).-212t2).-21tt e +3).-cos2t 3.16 Propiedades de la Transformada Inversa. Primer teorema de traslacin La forma reciproca del Teorema 3.3 puede escribirse

donde{ }1( ) () f t L Fs= . I.T.P.N. M.I. Juan A. Montero Rodrguez 135 EjemploCalcular . Solucin EjemploCalcular Solucin I.T.P.N. M.I. Juan A. Montero Rodrguez 136 Segundo teorema de traslacin La forma reciproca del teorema 3.4 es

en donde y. EjemploCalcular . Solucin. Identificandoy . Por consiguiente . 3.16.1 Determinacin de la Transformada Inversa Mediante el Uso de Fracciones Parciales Elusodelasfraccionesparcialesesmuyimportanteenlabsquedade transformadas inversas de Laplace. Repasamos aqu tres casosbsicos de dicha teora. Por ejemplo, los denominadores de I).-1( )( 1)( 2)( 4)Fss s s= + + I.T.P.N. M.I. Juan A. Montero Rodrguez 137 II).-2 31( )( 2)sFss s+=+ III).-3 23 2( )( 4)sFss s=+ contienen, respectivamente, solamente factores lineales distintos, factores lineales repetidos y un factor cuadrtico irreducible. EjemploCalcular Solucin. Existen constantes A, B y C tales que Puesto que los denominadores son idnticos se tiene Comparandoloscoeficientesdelaspotenciasdesenambosmiembrosdela igualdad concluimos que esta ltima ecuacin es equivalente a un sistema de tres ecuacionescontresincgnitasA,ByC.Sinembargo,recurdesequehayuna maneramscortaparadeterminarestasincgnitas.Siseconsideraque, ,[loscerosdeldenominadorcomn], obtenemos, respectivamente, , , ,. Por lo tanto podemos escribir I.T.P.N. M.I. Juan A. Montero Rodrguez 138 y entonces de la parte (c) del teorema 3.9, . EjemploCalcular. Solucin. Supongamos que y as Haciendoyresulta,, respectivamente. Igualando los coeficientes de, y obtenemos

1 8 12 A B = +de donde ,,. Por lo tanto, de las partes (a), (b) y (c) del teorema 3.9 I.T.P.N. M.I. Juan A. Montero Rodrguez 139 . Aqu tambin se uso la igualdad. Ejemplo Determinar . Solucin. Supngase que de modo que Haciendo resulta inmediatamente. Ahora bien, los coeficientes de ,, y son dedonde,,,.Porconsiguiente,delas partes (a), (b), (c) y (d) del teorema 3.9 I.T.P.N. M.I. Juan A. Montero Rodrguez 140 3.16.2 Determinacin de la Transformada Inversa Usando los Teoremas de Heaviside La funcin escaln unitario o funcin de Heaviside se define como. Observacin:lafuncindeheavisidesedefinisobreelintervalo,pues estoessuficienteparalatransformadadeLaplace.Enunsentidomsgeneral para . EjemploTrazar la grfica de la funcinSolucin. La funcin se muestra en la figura 3.14, y esta est dada por . Figura 3.14 I.T.P.N. M.I. Juan A. Montero Rodrguez 141 CuandolafuncindeHeavisidesemultiplicaporunafuncin, definida para, sta funcin se desactiva en el intervalo, como muestra en siguiente ejemplo. EjemploTrazar la grfica de la funcin. Solucin. La funcin se muestra en la figura 3.15, y est dada por Figura 3.15 LafuncindeHeavisidepuedeutilizarseparaexpresarfuncionescontinuasa trozos de una manera compacta, como se muestra en el siguiente ejemplo. EjemploUse la funcin de Heaviside para reescribir la funcin . Solucin. Para reescribir la funcin basta usar la definicin de la funcin Heaviside I.T.P.N. M.I. Juan A. Montero Rodrguez 142 . Observacin. La funcin se escribe usando la funcin de Heaviside como. Transformada de la funcin Heaviside La transformada de la funcin de Heaviside es. Demostracin. Usando la definicin de transformada

I.T.P.N. M.I. Juan A. Montero Rodrguez 143 Unidad IV. Ecuaciones diferenciales lineales y sistema de ecuaciones diferenciales lineales 4.1 Solucin de una ecuacin diferencial lineal con condiciones inciales por medio de la transformada de Laplace Puesto que depende de y sus derivadas calculadas en latransformadadeLaplaceesespecialmenteadecuadapararesolver problemasdevalorinicialparaecuacionesdiferencialeslinealesconcoeficientes constantes.Estaclasedeecuacionesdiferencialespuedeserreducidaauna ecuacinalgebricaenlafuncintransformadaParaverestoconsidereel problema de valor inicial en donde son constantes. Por la linealidad de la transformada de Laplace podemos escribir .

Usando elteorema 3.6la expresin se transforma en o bienI.T.P.N. M.I. Juan A. Montero Rodrguez 144 [ endondey.Despejandoenestaecuacin encontramos calculando la transformada inversa El procedimiento se resume en la figura 4.1. EjemploResolversujeta a . Figura 4.1 I.T.P.N. M.I. Juan A. Montero Rodrguez 145 Solucin.Primeroaplicamoslatransformadaacadamiembrodelaecuacin diferencial dada,. Luego usamosy Por lo tanto, o bien1( )( 2)( 3)sYss s= . Mediante fracciones parciales: lo cual da. Haciendoyenlaltimaecuacin,obtenemosy, respectivamente. En consecuencia,

resultando que . EjemploResolver I.T.P.N. M.I. Juan A. Montero Rodrguez 146 Solucin . Usando las condiciones inciales y simplificando resulta y por lo tanto, Del primer teorema de traslacin, recuerde que. Por consiguiente, . EjemploResolver . I.T.P.N. M.I. Juan A. Montero Rodrguez 147 Solucin Mediante fracciones parciales: lo cual implica Haciendoyresultay,respectivamente.Igualando los coeficientes dey resulta y por lo tanto se tiene que yPor consiguiente, . Por tanto obtenemos I.T.P.N. M.I. Juan A. Montero Rodrguez 148 . EjemploResolver . Solucin.Recurdesequeesteproblemadevalorinicialpodradescribirel movimiento forzado, no amortiguado y resonante de una masa sujeta a un resorte. Lamasaparteendireccinhaciaabajodesdelaposicindeequilibrioconuna velocidadinicialde1pies/s.Ahorabien,sepodraresolveresteproblema fcilmentemediantevariacindeparmetros,peroelusodelatransformadade Laplaceahorraladeterminacindelasconstantesquenaturalmenteapareceran en la solucin general Aplicando la transformada de Laplace en la ecuacin diferencial resulta . EjemploResolver en donde I.T.P.N. M.I. Juan A. Montero Rodrguez 149 y(0) 0 x = ,'(0) 1 x =. Solucin.Lafuncinpuedeserinterpretadacomounafuerzaexteriorque acta sobre el sistema mecnico solamente por un periodo corto y que despus es suprimida.(Vaselafigura4.2.)Aunqueenesteproblemapodraresolverse mediantemtodosconvencionales,estosprocedimientosnosondeltodo convenientes cuando est definida parte por parte. Usando la periodicidad del coseno podemos escribir Con la ayuda del segundo teorema de translacin se deduce que . Figura 4.2 1 -1 t I.T.P.N. M.I. Juan A. Montero Rodrguez 150 Por tanto Esta ltima solucin equivale a. Delagrficadeenla figura4.3obsrvesequelasamplitudes deoscilacin se hacen estacionarias en cuanto se suprime la fuerza exterior. Figura 4.3 EjemploResolveren donde y 1 -1 t I.T.P.N. M.I. Juan A. Montero Rodrguez 151 Solucin.Porelsegundoteoremadetraslacinyluegodesimplificar,la transformada de la ecuacin diferencial es o bien . Con el mtodo de las fracciones parciales, la ultima ecuacin se convierte en . Utilizando nuevamente la forma inversa del segundo teorema de translacin queda Una ecuacin integralEl teorema de la convolucin es til para resolver otros tipos de ecuaciones en las queapareceunafuncinincgnitabajounsignodeintegral.Enelejemplo siguiente obtenemos resolviendo una ecuacin integral de la forma donde las funciones y son conocidas. I.T.P.N. M.I. Juan A. Montero Rodrguez 152 EjemploObtener de . Solucin. Del teorema de convolucin se deduce que . Por lo tanto, Ejercicios Propuestos Solucin de ecuaciones diferenciales usando la Transformada de Laplace Resolver I.T.P.N. M.I. Juan A. Montero Rodrguez 153 4.2 Solucin de un Sistema de Ecuaciones Diferenciales Lineales con condiciones Inciales por medio de la Transformada de Laplace. Cuandodeespecificancondicionesiniciales,latransformadadeLaplacereduce unsistemadeecuacionesdiferencialeslinealesdecoeficientesconstantesaun conjunto de ecuaciones algebricas simultaneas en las funciones transformadas. Ejemplo Resolver Solucin.Si,despusdetransformarcada ecuacin obtenemos o bien . I.T.P.N. M.I. Juan A. Montero Rodrguez 154 Multiplicando la segunda ecuacin de por 2 y restndosela a la primera resulta . Ahora bien, mediante fracciones parciales de modo que . Haciendoenelltimorenglnresultarespectivamente;entantoqueigualandoloscoeficientesdeencada miembro de la igualdad resulta . Se tiene quePor consiguiente y por tanto . Por la segunda ecuacin de lo cual se deduce que I.T.P.N. M.I. Juan A. Montero Rodrguez 155 . Por consiguiente, concluimos que la solucin del sistema dado es . 4.3 Problemas de Aplicaciones Veamosahoraalgunasaplicacioneselementalesqueinvolucransistemasde ecuacionesdiferenciales.Lassolucionesdelosproblemasqueconsideraremos pueden ser obtenidas usando el mtodo de la transformada de Laplace. Resortes acoplados. Supongamosquedosmasasestnsujetasadosresortes,de masa insignificante, cuyas constantes son, respectivamente. A su vez, los dosresortesestnconectadoscomosemuestraenlafigura4.4.Sean losdesplazamientosverticalesdelasmasasconrespectoasus posiciones de equilibrio. Cuando el sistema se encuentra en movimiento, el resorte estsujetotanto aunalargamientocomo aunacortamiento, porconsiguiente, su alargamiento neto es. De este modo, por la ley de Hooke resulta que los resortes ejercen sobre, respectivamente, las fuerzas . Sinoseaplicaningunafuerzaexternaalsistemaynohayfuerzasde amortiguacin, entonces la fuerza neta sobre es I.T.P.N. M.I. Juan A. Montero Rodrguez 156 Figura 4.4 por la segunda ley de Newton podemos escribir . Deigualmodo,lafuerzanetaejercidasobrelamasa sedebesolamenteal alargamiento neto dees decir, . De esta manera . Enotraspalabras,elmovimientodelsistemaacopladoquedadescritoporel siguiente sistema de ecuaciones diferenciales de segundo orden simultaneas: . I.T.P.N. M.I. Juan A. Montero Rodrguez 157 En el prximo ejemplo resolveremos el sistema de ecuaciones anterior suponiendo que yquelasmasaspartendesusposicionesdeequilibrioconvelocidadesunitarias de direccin opuesta. Ejemplo sujeto a Solucin. La transformada de Laplace de cada ecuacin es en donde El sistema anterior es equivalente al sistema . Eliminando resulta . Usando facciones parciales podemos escribir . I.T.P.N. M.I. Juan A. Montero Rodrguez 158 Comparando los coeficientes de en cada miembro de la igualdad resulta de modo que. Por lo tanto, . De la primera ecuacin se deduce que Siguiendo el proceso anterior, mediante facciones parciales obtenemos . Finalmente, la solucin del sistema dado es I.T.P.N. M.I. Juan A. Montero Rodrguez 159 . Redes Elctricas Un sistema elctrico (red) con ms de un circuito simple (o lazo) tambin da origen aecuacionesdiferencialessimultneas.Talcomosemuestraenlafigura4.5,la corriente(t)sedividesegnlasdireccionesindicadasenelpunto,llamado punto de ramificacin de la red. Por la primera ley de Kirchhoff podemos escribir . Figura 4.5 Adems tambin podemos aplicar la segunda ley de kirchhoff a cada circuito. En elcasodelcircuito,sumandolascadasdevoltajeatravsdecada parte del circuito resulta . I.T.P.N. M.I. Juan A. Montero Rodrguez 160 Anlogamente, para el circuito obtenemos . Resultan dos ecuaciones de primer ord