5 razred - kc - udzbenik 1

7/26/2019 5 Razred - KC - Udzbenik 1

http://slidepdf.com/reader/full/5-razred-kc-udzbenik-1 1/177

A

A

A

M ATEMATIKA uxbenik za peti razred osnovne {kolesa zadacima za ve`bawe

M I deo



MATEMATIKAuxbenik za peti razred osnovne {kole

sa zadacima za ve`bawe

1. deo



[TA SADR@I OVA KWIGA

UVOD U TEME

Skup prirodnih brojeva . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6–7

Skupovi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14–15

Geometrijski objekti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46–47Deqivost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80–81

Ugao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120–121

SKUP PRIRODNIH BROJEVA

[ta znamo o prirodnim brojevima . . . . . . . . 8–13

SKUPOVI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Skup, obeleàvawe skupa, elementi skupa . . 16–17

Venov dijagram i zadavawe skupa . . . . . . . . . 18–19

Prazan skup. Jednakost skupova.Broj elemenata skupa . . . . . . . . . . . . . . . . . 20–22

Podskup . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25–26

Presek skupova . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30–32

Unija skupova . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33–35

Razlika skupova . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36–39

GEOMETRIJSKI OBJEKTI

Ta~ka, prava, ravan, prostor . . . . . . . . . . . . 48–51

Poluravan, poluprava, du` . . . . . . . . . . . . . . 52–54

Izlomqena linija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59–61

Oblast, ugao, mnogougao . . . . . . . . . . . . . . . . . 62–65

Kru`nica, krug . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68–69

Kru`ni luk, tetiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70–71

Kru`nica i prava . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72–73

DEQIVOST

[ta jo{ znamo o prirodnim brojevima . . . 82–84

Deqivost u skupu N0

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85–88

Deqivost dekadnim jedinicama.Deqivost sa 2 i sa 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91–93

Deqivost sa 3 i sa 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94–96

Deqivost sa 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97–98

Prosti i sloèni brojevi. Rastavqawebrojeva na proste ~inioce . . . . . . . . . . 101–104

Zajedni~ki delilac i najve}i zajedni~kidelilac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105–106

Zajedni~ki sadràlac i najmawizajedni~ki sadràlac . . . . . . . . . . . . . . 107–108

Primena deqivosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114–116

UGAO

Obeleàvawe uglova. Vrste uglova . . . . . 122–124

Centralni ugao, kru`ni luk, tetiva.Preno{ewe ugla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125–128

Upore|ivawe uglova . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131–133

Sabirawe i oduzimawe uglova . . . . . . . . . 134–135

Merewe uglova . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140–143

Sabirawe i oduzimawe uglova– kori{}ewe mere ugla . . . . . . . . . . . . . 144–145

Komplementni i suplementni uglovi . . . . 149–150

Susedni, uporedni i unakrsni uglovi . . . 151–152

Uglovi na transverzali . . . . . . . . . . . . . . . 155–156

Uglovi s paralelnim kracima . . . . . . . . . 157–158

ZAPAMTI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43, 78, 117, 16

I TO JE MATEMATIKA . . . . . . . . . 44, 79, 118, 16

ISTRA@IVA^KI ZADATAK . . . . . . . . 45, 119, 16

REZULTATI I UPUTSTVA . . . . . . . . . . . . . . 164–17



UPUTSTVO ZA KORI[]EWE KWIGE

Svaka lekcija po~iwe

zanimqivim zadatkom

koji }e te podsetiti na

ono {to zna{, a u vezi

je s gradivom koje u~i{.

Ptica }e te podsetiti

na ono {to je va`no,

a {to ti mo`e pomo}i

da re{i{ zadatak:

na pravilo, postupak,

redosled koraka

u re{avawu i sli~no.

SETI SE KAKO SE UPORE|UJU DU@I.

U crvenom okvirupredstavqenesu matemati~kedefinicije.

Broj je deqiv sa 3 ako je zbir wegovih cifara deqiv sa 3.

Svako poglavqepo~iwe tekstovima

koji predstavqajuuvod u temu koju}e{ obra|ivati nanarednim ~asovima.Zanimqivosti iz sveta

nauke i sporta o kojimase govori u timtekstovima pomo}i}e ti da uvidi{ da je gradivo matematike

povezano sa svakodnev-nim `ivotom.

Mama je napravila spisak ku}nih poslova

koje obavqaju Pera i Vera.

Koje sve ku}ne poslove obavqaju deca? .......................................................................................................

.......................................................................................................................................................................................

- baca ;ubre - kupuje hleb- usisava- sre;uje igra[ke

- sre;uje igra[ke - usisava- bri/e pra/inu

1



I TO JE MATEMATIKA

1

Mnoèwem brojioca i imenioca razlomka

sa 4 dobija se wemu jednak razlomak .8

12

23 = 8

1223

⋅ 4

⋅ 4

SUNÊVA SVETLOST S

E SASTOJI OD [EST B

OJA,

TRI OSNOVNE – CRVE

NE, PLAVE I @UTE – I

TRI

IZVEDENE – QUBIÂ

STE, ZELENE I NARANX

ASTE.

ONE SE PONEKAD MOG

U VIDETI NA NEBU

POSLE KI[E. TA POJA

VA NAZIVA SE DUGA.

U NAUCI SE DUGA NAZ

IVA SPEKTAR.

ISTRA@IVA^KI ZADATAK

Igor ima 9 sli~ica. Na svakoj sli~ici se nalazi ime, glavni grad i zastava po jedne

dràve. Pomozi Igoru da re{i s lede}e zadatke.

Odredi skup dràva:

1) na ~ijim se zastavama nalazi plava boja

.......................................................................................................................................................................................................

Japan

(Tokio)

Srbija

(Beograd)

Italija

(Rim)

Nema~ka

(Berlin)

Kina

(Peking)

Rusija

(Moskva)

Poqska

(Var{ava)

Francuska

(Pariz)

Ma|arska

(Budimpe{ta)

Ovde se nalaze zanimqivi zadaci koji

nisu iskqu~ivo matemati~ki. Dobro

razmisli, poku{aj i – vide}e{ da je

zabavno.

U plavom okviru navedeni su pravila,

postupci, obja{wewa i primeri koji

}e ti olak{ati re{avawe zadataka.

Ovako ozna~enamesta sluè ti

za ra~un.

Na mestima ozna~enim spajalicom

prona}i }e{ podatke iz raznih oblasti.

Sazna}e{ kako su se neki pojmovi

razvijali kroz istoriju, kako se koriste

u drugim naukama ili u svakodnevnom

govoru.

ZAPAMTI

VRSTE UGLOVA

Jedinica mere za ugao je stepen. Oznaka 1° ~ita se jedan stepen.

40°

130°

o{tar

mawi od 90°

prav

jednak 90°

tup

izme|u90° i 180°

opruèn

jednak 180°

ispup~en

izme|u180° i 360°

pun

jednak 360°

Na ovim stranicama nalaze se osnovni

pojmovi i pravila iz prethodnog

poglavqa koja treba da zapamti{.

Nekada }e ti za re{avaweistraìva~kih zadataka biti

potrebni podaci koje moè{ prona}i

u drugim kwigama ili na Internetu.

Ponekad }e ti biti potrebna pomo}

nastavnika ili roditeqa.

Pod treba poplo~ati plo~icamakao {to je zapo~eto.

a) Oboj odgovaraju}im bojama plo~ice oblika

osmougla i kvadrata na celom podu.

Koliko treba plo~ica oblika kvadrata? ..............

Koliko treba celih plo~ica oblika

osmougla? ..............



SKUP PRIRODNIH BROJEVSigurno se niko od vas ne se}a kada je nau~io da broji. Poku{aj da zamisli{ kako bi svet izgledakada ne bi postojali brojevi. Mogle bi da se koriste re~i malo, mnogo, ne ba{ mnogo i sli~ne.

Brojevi su jedan od najgenijalnijih izuma svih vremena. Mo`da misli{ da su kompjuteri, svemirs

brodovi, mobilni telefoni i drugi izumi boqi i mo}niji. Ali wih ne bi bilo bez kori{}ewabrojeva.

1. Na slikama su prikazane najvi{e gra|evine na svetu. Date su wihove visine i godine izgradwa) Pored najvi{e gra|evine upi{i broj 1, zatim 2 kod slede}e po visini i tako redom, od najdo najniè, to jest do broja 10.

b) Napi{i redom godine podizawa ovih gra|evina, od najstarije do najmla|e.

...........................................................................................................................................................................................

v) Koje }e godine najstarija od ovih gra|evina proslaviti jedan vek postojawa? ...........................

SLIKE POKAZUJU DESET NAJVI[IH GRA\EVINA NA SVETU.

443 m

Empajerstejt bilding Wujork, SAD,

1931

428 m

TV torawMenara

Kuala Lumpur,Malezija,

1996

520 m

kulaSirs

îkago, SAD,1974

452 m

kulePetronas

Kuala Lumpur,Malezija,

1996

450 m

CentarXon Henkok

îkago, SAD,1969

539 m

TV torawOstankino

Moskva,Rusija,1967

508 m

Tajpej 101Tajpej,Tajvan,2004

468 m

TV torawPerl

[angaj, Kina,1995

421 m

oblakoder Jin Mao

[angaj, Kina,1997

555 m

Toraw CNToronto,Kanada,

1975



2. Najvi{a zgrada na Balkanu je Poslovni centar U{}e. Visoka je 134 mi ima 25 spratova. Prose~na visina jednog sprata ove zgrade je:

• mawa od 5 m

• 5 m

• ve}a od 5 m.

Podvuci odgovor koji smatra{ ta~nim.

Zapadna kapija Beograda je od najvi{e zgrade na Balkanu ni`aza 19 m. Izra~unaj wenu visinu.

.............................................................................................................................

Beogra|anka je gra|ena po~etkom sedamdesetih godina i dugo je bilanajvi{a zgrada u ovom regionu. Wena visina iznosi jednu desetinu

kilometra. Izra~unaj wenu visinu u metrima.

.........................................................................................................................................................

Isto~na kapija Beograda ima 28 spratova.Prose~na visina jednog wenog sprata je oko 3 m.Kolika je pribli`na visina te zgrade?

..................................................................................................

Pore|aj ove zgrade po visini, od najni`e do najvi{e, i napi{i wihove nazive.

....................................................................................................................................................................

U narednom poglavqu obnovi}emo ono {to ste ve} u~ilio prirodnim brojevima.



Kako se broj 1 112 102 zapisuje re~ima?

Zaokru`i slovo ispred ta~nog odgovora.

a) sto jedanaest hiqada dve hiqade sto dva

b) milion sto dvanaest hiqada sto dvanaestv) sto jedanaest hiqada dvesta dva

g) milion sto dvanaest hiqada sto dva.

1

Nastavi zapo~eto povezivawe.2

Upi{i na linije prethodnika i sledbenika broja 1100.

................, 1 100, ................3

Skup brojeva {1, 2, 3, 4, 5, 6...} naziva se skup prirodnih brojeva. Ozna~ava se sa N .

Ako se skupu prirodnih brojeva doda broj 0, dobija se skup brojeva {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6...},koji se ozna~ava sa N

0 .

KADA NE[TO BROJI[ ILI

PREBROJAVA[, PRVI BROJ

KOJI ]E[ UPOTREBITI JE 1.

sedamdeset pet hiqada pet stotina ~etiri754

7504

750504

75504

7500504

7050504

sedamsto pedeset hiqada pet stotina ~etiri

sedam hiqada pet stotina ~etiri

sedamsto pedeset ~etiri

sedam miliona petsto hiqada pet stotina ~etiri

Broj 1 je najmawi prirodni broj. Ne postoji najve}i prirodni broj.

Svaki prirodni broj ima svog sledbenika. To je broj za jedan ve}i.Svaki prirodni broj, osim jedinice, ima svog prethodnika. To je broj za jedan mawi.

Do sada ste u~ili da brojite, ~itate, zapisujete i upore|ujete prirodne brojeve. Savladaliste i operacije s prirodnim brojevima: sabirawe, oduzimawe, mno`ewe i deqewe.

Na narednim stranama obnovi}ete gradivo iz prethodnih razreda.

[TA ZNAMO O PRIRODNIM BROJEVIMA



U prazna poqa upi{iprethodnike i sledbenikekao {to je zapo~eto.

4

Koje se sve cifre mogu upisati u prazno poqe tako da vaì 3 34 < 3 345?

Odgovor: Mogu se upisati cifre...........................

5

nejedna~ina ~itamo je re{ewe nejedna~ine u skupu N

x < 3 x je mawi od 3 1, 2

x ≤ 3 x je mawi ili jednak 3 1, 2, 3

x > 3 x je ve}i od 3 4, 5, 6, 7,...

x ≥ 3 x je ve}i ili jednak 3 3, 4, 5, 6, 7,...

Skup prirodnih brojeva je ure|en. To zna~i da se za svaka dva prirodna broja moè

odrediti koji je mawi, to jest koji je ve}i.

256 257 258

3 000

20 011

Na brojevnoj polupravoj odredi sve ta~ke koje odgovaraju brojevima do 8.6

0 1 5 8

Za grafi~ko predstavqawe prirodnih brojeva koristi se brojevna poluprava.

1 2 3 4 5

Takmi~e se korwa~a i zec. Na osnovucrteà izra~unaj i odgovori:

a) Koliko jedini~nih duì ima od starta do ciqa? ................

b) Ako jednoj jedini~noj duì na crteù odgovara 3 m u prirodi, koliko metara iznosi

rastojawe od korwa~e do zeca? ................

v) Korwa~i treba 2 minuta da pre|e 1 m. Koliko najmawe minuta treba da spava zec

da bi ga korwa~a stigla? ................

7

0 1 2 ciq



Na grafikonu su prikazani odgovori posetilaca zoolo{kog vrta na pitawe o tome koju bi`ivotiwu voleli da imaju kao ku}nog qubimca.

Na osnovu grafikona popunitabelu kao {to je zapo~eto.

8

Deci iz jednog obdani{ta postavqeno je

pitawe o tome koliko {oqa mleka popijuu toku jednog dana. Rezultati ispitivawadati su u tabeli. Dovr{i crtawe grafikona.

broj popijenih{oqa mleka

broj dece

0 6

1 15

2 133 10

4 5

5 3

6 1

9

Na grafikonu je dato vreme koje je Milena potro{ila za izradu doma}ih zadataka u tokupro{le nedeqe.

a) Ako je za izradu doma}eg zadatka iz matematike Milena potro

2 sata, koliko je ukupno vremena te nedeqe potro{ila za izradoma}ih zadataka? ................................................

b) Proceni koji je deo vremena Milena potro{ila za izradu domzadataka iz matematike, geografije i istorije zajedno. Zaokruta~an odgovor.

• ukupnog vremena • ukupnog vremena • ukupnog vr25

34

35

10

10

2345678910

11

m a ~ k a p a

s

p a p a

g a j

r i b i

c e

k o r w

a ~ a h r

~ a k z e c

12345

6789

10111213141516

ku}ni qubimac broj glasova

ma~ka 8

pas

papagaj

ribice

korwa~a

hr~ak

zec

0 1 2 3 4 5 6

brojdece

brojm

geografija

istorija matematika

engleski jezik

srpski jezik



U prazno poqe upi{i znak T ako je jednakostta~na, a ako nije ta~na, upi{i znak ⊥.

11

275 + 25 = 25 + 275

275 – 25 = 25 – 275

275 ⋅ 25 = 25 ⋅ 275

275 : 25 = 25 : 275

SVOJSTVO KOMUTACIJE

Za bilo koje prirodne brojevea i b vaì:

a + b = b + aa ⋅ b = b ⋅ a

OVA SVOJSTVA

NAZIVALI SMO

ZAMENA MESTA

SABIRAKA I ZAMENA

MESTA ÎNILACA.

Poveì linijom izraze koji imaju istu vrednost.12

(42 ⋅ 16) ⋅ 10

(155 + 101) + 54(100 – 101) – 54

42 ⋅ (16 ⋅ 10)

240 : (60 : 2) (240 : 60) : 2

155 + (101 + 54)

100 – (101 –54)

SVOJSTVO ASOCIJACIJE

Za bilo koje prirodne brojevea, b i c vaì:

(a + b) + c = a + (b + c)(a ⋅ b) ⋅ c = a ⋅ (b ⋅ c)

OVA SVOJSTVA NAZIVALI

ZDRU@IVAWE SABIRA

I ZDRU@IVAWE ÎNILA

Izra~unaj.

52 250 : 25 – 15 ⋅ 101 + 18 = ................................................................................................................

13

Dopi{i zagrade tako da dobije{ ta~an rezultat.

a) 200 + 100 : 4 + 16 = 205

b) 200 + 100 : 4 + 16 = 91

v) 200 + 100 : 4 + 16 = 15

14

Brojevni izraz je sastavqen od brojeva, ra~unskih operacija i zagrada.

Svaki brojevni izraz ima svoju vrednost, koju dobijamo kada se izvr{e sve ra~unskeoperacije koje se pojavquju u izrazu.

U BROJEVNOM IZRAZU P

RAÛNA[ ⋅ I :, A ZATIM ZAGRADE MEWAJU REDO

(PRIORITET) RAÛNSK

OPERACIJA.



izraz a + b a – b a ⋅ b a : b

naziv izraza zbir razlika proizvod koli~nik

asabirak umawenik ~inilac deqenik

b sabirak umawilac ~inilac delilac

Zapi{i izraz pomo}u znakova operacija.

a) Dvostruki zbir brojeva 23 i 46 zapisuje se ..............................................................

b) Razlika broja 1 200 i dvostrukog broja 120 zapisuje se .....................................................................

v) Proizvod broja 24 i zbira brojeva 1 230 i 349 zapisuje se ..............................................................

g) Zbir broja 567 i proizvoda brojeva 120 i 20 zapisuje se ..................................................................

16

Izra~unaj koli~nik zbira brojeva 51 i 37 i razlike brojeva 96 i 85. .....................17

ZADATAK MO@E[ POSTUPNO

DA RE[AVA[.

1. KORAK: IZRAÛNAJ ZBIR.

2. KORAK: IZRAÛNAJ RAZLIKU.

3. KORAK: IZRAÛNAJ KOLI^NIK.

OVA SVOJSTVA

NAZVALI SMO

MNO@EWE ZBIRA

BROJEM. POKU[AJ

OVO PRAVILO DA

PRIMENI[ U

ZADATKU 15 V).

SVOJSTVO DISTRIBUCIJE

Za bilo koje prirodne brojeve vaì:a ⋅ t + b ⋅ t = (a + b) ⋅ t

a ⋅ t + b ⋅ t + c ⋅ t = (a + b + c) ⋅ t

Pravilo moè{ da primeni{ za 4, 5 ili vi{e sabiraka.

Dat je zbir 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12 + 13 + 14.

a) Kolika je wegova vrednost?

Vrednost zbira je ...................

b) Ako svaki sabirak datog zbira pove}a{ za 5, kolika je vrednost tako dobijenog zbira?


v) Ako svaki sabirak datog zbira pove}a{ dva puta, kolika je vrednost tako dobijenog zbira


15



Popuni tabelu.18

b 1 10 100 1 000 100 000

b + 2 ⋅ (b + 1)

Popuni tabelu.19

a 5 4 2

b 2 8 2

2 ⋅ a + b

Izra~unaj vrednost izraza 2 ⋅ ( x + 4)kao {to je zapo~eto.

x = 12, 2 ⋅ (12 + 4) = ...........................................

x = 21, .......................................................................

x = 100,.......................................................................

20Izraz 2 ⋅ ( x + 4) naziva se izraz sa promenqivoVrednost izraza sa promenqivom zavisiod vrednosti promenqive i za wega pravimo

tablicu vrednosti:

x 1 2 3 4 5 ...

2 ⋅ ( x + 4) 10 12 14 16 18

Odredi povr{ine i obime datih pravougaonika.21

crvenia = 6, b = 4

plavia = 8, b = 2

`utia = 3, b = 7

povr{inaa ⋅ b

obim2 ⋅ a + 2 ⋅ b

6

48

2

3

7

Da bi popunio album, Petar treba da zalepi 300 sli~ica. Kesica koja sadr`i pet sli~icaprodaje se po ceni od 20 dinara. Ako se u jednoj kesici nalazi po jedan duplikat, koliko je

najmawe novca Petru potrebno da bi popunio album?

Odgovor: .......................................................................

22

DUPLIK

SU JEDN

PRIME

(ISTE SLI



SKUPOVI

Stvari ili pojave svakodnevno grupi{emo ili svrstavamo po nekoj zajedni~koj osobini.

Predmete koje u~i{ u {koli ~esto deli{ na lake i te{ke, izdvaja{ one koji su ti zanimqivi.U jelovnicima su jela svrstana u predjela, glavna jela, deserte, salate i sli~no. U~enici jedne

{kole podeqeni su u razrede i odeqewa. Stanovnike na Zemqi moèmo grupisati po starosnom

dobu, po zemqama u kojima ìve, po obrazovawu, interesovawima i tako daqe. Nebeska telaSun~evog sistema delimo na: planete, satelite, asteroide, komete i meteore.

Kao {to vidite, postoji mnogo na~ina da se qudi, predmeti i pojave grupi{u. Mo`da nisteto o~ekivali, ali se u takvim situacijama koristi matematika.

LISICA

IZUZETNO JE PRILAGODQIVA.NASTAWUJE SKORO SVA

PRIRODNA STANI[TA,

OD SEVERNOG POLA

DO PUSTIWA.

VUK

WEGOVA VRSTA NEKADA JE BILA VEOMA

RASPROSTRAWENA. @IVI U ÔPORU,

KOJI SE NAJÊ[]E SASTOJI ODRODITEQA I WIHOVIH POTOMAKA.

KADA POSTANU SNA@NI I SPRETNI,

MLADI VUKOVI NAPU[TAJU ÔPOR

I ODLAZE U POTRAGU ZA VLASTITOM

TERITORIJOM.

PAS

OD DALEKIH PREISTORIJSKIHVREMENA @IVI S QUDIMA, NAJÊ[]E

KAO KU]NI QUBIMAC, ALI I KAO

ÛVARKU]A, PAS OVÂR, SPASILAC,

POLICIJSKI PAS I TAKO DAQE.

PO POREKLU I GRA\I, DOMA]I PAS

SPADA U MESOJEDE.

BELI MEDVED

@IVI NA SEVERNOM POLU. VRLO JE SPRETAN,PA MO@E DA SE POPNE UZ STRME LEDENE STENE

I DA PRESKOÎ VE]E RASPUKLINE U LEDU.

ODLIÂN JE PLIVA^. NAJKRUPNIJI JE MESOJED

NA NA[OJ PLANETI.

RAKUN

@IVI NA SEVERNOAMERI^KOM KONTINENTU.

VEOMA JE PRILAGODQIV I @IVI U

BLIZINI NASEQENIH MESTA (KRADE

@IVINU I SLI^NO). POZNAT JE KAO

VELIKI ÎSTUNAC JER HRANU PRE JELA

POTAPA U VODU.



1. Za ìvotiwe sa slika kaza}emo da su u skupu S .

S = {pas, lisica, vuk, beli medved, mrki medved, rakun, veliki panda, koala}

a) Na osnovu teksta i slika ìvotiwa napi{i nazive onih koje su u skupu:

• P – skupu medveda; P = { ................................................................................................................................................}

• M – skupu onih koje u ishrani koriste meso; M = { ............................................................................................

....................................................................................................................................................................................................}

• B – skupu onih koje u ishrani koriste biqke; B = { ............................................................................................

....................................................................................................................................................................................................}

b) Da li si nazive nekih ìvotiwa napisao i u skupu M i u skupu B ?

DA NE

Ako si zaokruìo DA, napi{i nazive tih ìvotiwa u skupu I .

I = { ............................................................................................}

v) Koje ìvotiwe jedu samo biqnu hranu?

K = { ............................................................................................}

g) Koje ìvotiwe jedu samo meso? .........................................................................................................................................

d) Kako moèmo da ih delimo po na~inu ishrane? .......................................................................................................

MRKI MEDVED

REDAK JE I NASTAWUJE UGLAVNOM

PRIRODNE REZERVATE, KAO [TO JE

KOD NAS PLANINA TARA.

VELIKI PANDA

NASTAWUJE PLANINSKE DELOVE

CENTRALNE KINE. SPADA U VEOMA

UGRO@ENE VRSTE. RAZLOG TOME

LE@I I U NAÎNU WEGOVE ISHRANE

– HRANI SE ISKQUÎVO BAMBUSOVIM

MLADICAMA, KOJIH JE SVE MAWE.

KOALA

OVAJ TORBAR @IVI ISKQUÎVO

U AUSTRALIJI. @IVOT PROVODI

U KRO[WAMA VISOKOG DRVE]A

EUKALIPTUSA, ÎJE LI[]E JE

WEGOVA JEDINA HRANA.

U narednom poglavqu nau~i}ete ne{to vi{e o skupovima i mo}i}ete da re{avate ovakve zadatke pomo}u skupovnih operacija.



SKUP, OBELE@AVAWE SKUPA, ELEMENTI SKUPA

Po~ela je {kolska godina.Treba pospremiti radni sto.

O skupovima ste u~ili u prethodnim razredima. Izdvajawem i grupisawem nekih objekata

formira se skup. Objekti mogu biti predmeti, bi}a, brojevi, slova, geometrijske figure..Skupovi se ~esto koriste u matematici, drugim naukama i u svakodnevnom ìvotu.

2

1

Na osnovu slike navedi sportove s loptom. ...............................................................................................

Koji su od brojeva napisanih na balonu:

a) parni brojevi prve desetice .................................................

b) mawi od 8, a ve}i od 3 .............................................................

v) neparni brojevi druge desetice ..........................................

g) brojevi koje moè{ da podeli{ sa 3? .................................

Napi{i nazive predmeta s radnog stola koji

pripadaju:

a) {kolskom priboru ..............................................

.....................................................................................

b) igra~kama ...............................................................

v) priboru za jelo ....................................................

2 7

42511

21 156

93

U prethodnim primerima izdvojeni su predmeti,

sportovi i brojevi i na taj na~in napravqeni su:• skup {kolskog pribora

• skup igra~aka

• skup pribora za jelo

• skup sportova s loptom

• skupovi brojeva.

3

PET JE NEPARAN

BROJ, A ÊTIRI

JE PARAN BROJ.



4 Skup igra~aka iz primera 1 zapisuje se A = {lopta, auto, lutka}. Dopuni re~enice.

Auto, ...................... i ...................... su elementi skupa A .

[estar nije element skupa A .

Skup A ima......................

elementa.

5 Skup parnih brojeva prve desetice zapisuje{ B = {2, 4, 6, 8}.Dopuni re~enice.

Broj 2 je............................................

skupa B , {to zapisuje{ 2 ∈B .

Broj 7 .................................................skupa B , {to zapisuje{ 7 ∉B .

6 Neka je C skup koji ~ine tri reke u Srbiji~ija imena po~iwu slovom T. Neka je D skupkoji ~ine ~etiri grada u Srbiji ~ija imena

po~iwu slovom K. Napi{i te skupove.

C = ...............................................................................

D = ...............................................................................

...............................................................................

7 Dati su skupovi M = {b, c, d} i S = {a, b}. U prazna poqa upi{iznak T ako je re~enica ta~na, a znak ⊥ ako nije ta~na.

Oznaka T ~ita se ta~no, a oznaka ⊥ ~ita se neta~no.

SKUPOVI M I S ODRE\ENI SU

NABRAJAWEM ELEMEN

b ∈M d ∉S c ∈S b ∈S a ∈M

B = {2, 4, 6, 8}Za zapis skupa koristi se velika zagrada.Naziv skupa

Elemente skupa razdvajamo zarezom.

Skupovi su naj~e{}e obele`eni velikim slovima latinice A , B , C …Na primer: A = {1, 2, 3}, B = {a, b}.

Objekti koji ~ine skup nazivaju se elementi ili ~lanovi skupa.Na primer: brojevi 1, 2 i 3 su elementi skupa A .

Re~enica Broj 1 je element skupa A u matematici se zapisuje 1 ∈ A .Oznaka ∈~ita se je element ili pripada.

Re~enica Broj 4 nije element skupa A u matematici se zapisuje 4 ∉ A .

Oznaka ∉~ita se nije element ili ne pripada.



VENOV DIJAGRAM I ZADAVAWE SKUPA

Na slici izdvoj zatvorenom linijom skuposnovnih boja. Koje si boje izdvojio?

........................., ........................., ..........................

1

Dat je skup A = {,,,}

Pored svake ta~ke u oblastizatvorene linije nacrtaj jedanelement skupa A .

Dopuni re~enicu.

Ovakav crte` skupa A naziva se

............................. ...............................................

3 Prikaì Venovim dijagramom s

a) A

= {1, 5, 6, 9} b)V

= {F, E,

4

Skup B zadat je Venovim dijagramom na slici.Zapi{i skup B nabrajawem elemenata.

B = {..................................}

2

2 4

68

Venov dijagram je grafi~ki prikaz u kojem se:

• skup predstavqa zatvorenom linijom

• svaki element upisuje u wenu unutra{wost.

u e

ai

o

B

A

SUNÊVA SVETLOST S

E SASTOJI

OD [EST BOJA: TRI O

SNOVNE

– CRVENE, PLAVE I @

UTE – I T

IZVEDENE – QUBIÂ

STE, ZELE

I NARANXASTE.

TE BOJE PONEKAD SE

MOGU

VIDETI NA NEBU POS

LE KI[E

OVA POJAVA NAZIVA SE DUGA

U NAUCI SE DUGA NAZ

IVA SPE

1

3

2B

elemenskupa

ime skupa

zatvorena

linija

B

Ovakav prikaz skupa naziva se Venov dijagram.

Skup B ~ine svi parni brojevi prve desetice. B = {2, 4, 6, 8}Taj skup moè se prikazati i ovako:



a) Koriste}i prethodnu definiciju, pro~itaj i dopuni re~enicu.

A = {n⏐n ∈N i n < 6}Skup A je skup svih elemenata n koji .....................................................................................................................

b) Napi{i skup A nabrajawem elemenata.

A = ........................................................

v) Nacrtaj Venov dijagram skupa A .

5

a) Koriste}i prethodnu definiciju, pro~itaj i dopuni re~enicu.

B = { x ⏐ x ∈N , x > 11 i x < 16}

....................................................................................................................................... koji (takvih da) su prirodnibrojevi ve}i od 11 i mawi od 16.

b) Napi{i skup B nabrajawem elemenata.

B = ......................................................

v) Nacrtaj Venov dijagram skupa B .

6

Dosad smo nau~ili nekoliko na~ina zadavawa skupova:

1. nabrajawem elemenata – na primer: A = {1, 5, 6, 9}, V = {a, m, p}

2. zapisivawem zajedni~ke osobine – na primer:• skup C ~ine svi prirodni brojevi mawi od 4

• skup D ~ine nazivi godi{wih doba

3. grafi~ki – pomo}u Venovog dijagrama, na primer:b

a v

M

A = osobina{ } x ⏐

Skup A je skup svih elemenata x koji (takvih da) imaju osobinu

U matematici se re~enica: Skup A ~ine svi prirodni brojevi mawi od 4,

mo`e skra}eno zapisati i ovako: A = { x ⏐ x ∈ N i x < 4}.

Zapis A = { x ⏐osobina} pravilno se ~ita:



Skupovi A i B su jednaki ako svaki element skupa A pripada skupu B i svaki element

skupa B pripada skupu A . Pi{emo A = B .

Dati su skupovi A = {1, 2} i B = {2, 1}. Na liniji napi{i odgovaraju}i simbol, ∈ ili ∉.

1....... A , 2....... A , 1.......B , 2.......B .

Da li skupovi A i B imaju iste elemente? ...........

Da li su skupovi A i B jednaki? ...........

4

Dati su skupovi A = {1, 2} i B = {1, 1, 2}

Da li skupovi A i B imaju iste elemente? ...........

Da li su skupovi A i B jednaki? ...........

Koliko elemenata ima skup B ? ...........

5

a) Neka skup A ~ine slova re~i GITARA,a skup B slova re~i TIGAR.

A = ................................... B = ...................................

Da li su skupovi A i V jednaki? ............

Koliko elemenata ima skup A? ............

Koliko elemenata ima skup V? ............

b) Prika`i Venovim dijagramom skup A .6

Da li su skupovi A i B jednaki?

a) A = {5, 6, 9}, B = {6, 9} ............

b) A = {a, n, p}, B = {a, m, p} ............

7

• Redosled navo|ewa elemenata u skupu nije bitan. Elementi skupa mogu se navoditiproizvoqnim redom. Na primer: {a, b, c} = {a, c, b} = {b, a, c}

• Svaki element skupa navodi se samo jednom. Na primer: {1, 3, 5, 3, 7} = {1, 3, 5, 7}

• Broj elemenata skupa je broj wegovih razli~itih elemenata. Na primer: broj elemenataskupa A = {0, 1, 2} je tri.

a) Navedi ~lanove skupova S , P , R .

Skup S ~ine cifre broja 8 356. S = .........................................

Skup P ~ine cifre broja 6 483. P = .........................................

Skup R ~ine cifre broja 5 368. R = .........................................

b) Na linije upi{i = ili ≠ tako da dobije{ ta~na tvr|ewa.

S ....... P , S ....... R , P ....... R .

8

SKUPOVI A I B NISU JEDNAK

AKO NEKI ELEMENT IZ SKUPA

NE PRIPADA SKUPU B , ODNOSN

AKO NEKI ELEMENT IZ SKUPA

NE PRIPADA SKUPU A .PI[EMO A ≠ B .



a) Skup A ~ine svi prirodni brojevi ve}i od 150i mawi od 200. To se moè zapisati ovako:

A = {151, 152, 153, ..., 199}

Koliko elemenata ima skup A ? ..........

b) Skup B ~ine svi prirodni brojevi ve}i od 150.

To se moè zapisati ovako:

B = {151, 152, 153, ... }

Koliko elemenata ima skup B ? .................................................

10

Kona~ni skupovi su skupovi ~iji se elementi mogu prebrojati, a beskona~niskupovi oni ~iji se elementi ne mogu prebrojati.

Kada skup ima veliki broj elemenata, za zapisivawe wegovih elemenata ~estose koristi znak …, bilo da je skup kona~an, bilo da je beskona~an.

Ako skup ima jedan element, kaèmo da je jedno~lan, ako ima dva elementa,kaèmo da je dvo~lan, a ako ima tri elementa, kaèmo da je tro~lan itd.

Koriste}i znak ..., ispi{i date skupove.

Skup B ~ine svi prirodni brojevi ve}i od 1 100, a mawi od 1 500. B = ........................................

Skup C ~ine svi prirodni brojevi {este stotine. C = ...........................................

Skup D ~ine svi prirodni brojevi mawi od 1 000. D = ...........................................

Skup A ~ine svi prirodni brojevi ve}i od 53. A = ...........................................

11

ELEMENTE SKUPA A MO@E[ DA PREBROJI[,

A ELEMENTE SKUPA B NE MO@E[.

SKUP A JE KONAÂN

SKUP, A SKUP B BESKONAÂN.

9 a) Elementi skupa A su samoglasnici. A = {......, ......, ......, ......, ......}

Koliko elemenata ima skup A ? ........

b) Skup B ~ine jednocifreni prirodni brojevi. B = ...........................................

Koliko ih ima? ........

MUZI^KI SASTAV KOJI IM

A TRI ^LANA

(TRO^LANI SKUP) NAZIVA

SE TRIO.



Dati su izrazi:

a) 6 – 2 b) 4 + 2 v) 3 ⋅ 2 g) 9 – 1 d) 8 – 4 |) 4 ⋅ 2

Vrednosti izraza pod a), b) i g) ~ine skup K . Napi{i wegove elemente.

K = .................................

Vrednosti izraza pod v), d) i |) ~ine skup V . Napi{i wegove elemente.

V = .................................

Da li su ti skupovi jednaki? .............

U svakom od skupova A i B nedostaje po jedan element. Dopi{i ih tako da skupovi A i B

budu jednaki.

A = {e, 1, ........., 55} B = {m, ........., 1, e}

Pored svake jednakosti upi{i re~ TA^NO ako je jednakost ta~na ili re~ NETA^NO ako jednakost

nije ta~na i objasni za{to je tako.

Koliko elemenata ima svaki od datih skupova?

A = {10} ............. B = {21, 12} .............

C = {11, 1001, 101, 1} ............. D = {0} .............

{34, 43} = {43, 34} TA^NO redosled navo|ewa elemenata nije bitan

{m, m} = {m}

{a, b, c} = {a, c}

{1, 2, 3, 4, 5} = {4, 3, 1, 5, 2}

{3, 3, c, 5, 5} = {5, 3, c}

{43} = {34}

VE@BAWE

1

2

3

4SKUP {0} NIJE PRAZA

SKUP JER JE 0 WEGOV

ELEMENT.



Koliko elementa ima:a) skup B , koji ~ine svi prirodni brojevi ve}i od 150, a mawi od 167 ................................

b) skup C , koji ~ine svi prirodni brojevi {este stotine ................................

v) skup D , koji ~ine svi prirodni brojevi mawi od 1 000 ................................

g) skup A , koji ~ine svi prirodni brojevi ve}i od 53? ......................................

XON VEN JE BIO ENGLESKI

MATEMATIÂR.

PRVI JE UPOTREBIO GRAF

I^KI PRIKAZ

SKUPOVA KOJI KORISTIM

O I DANAS.

U SPOMEN NA WEGOV RAD

NA UNIVERZITETU U KEMB

RIXU

NAPRAVQEN JE PRIKAZANI VITRA@

.

NA SVAKOJ OD OVIH ZASTAVA

NALAZI SE CRVENO POQE.

NA NEKIMA OD WIH POSTOJE TRI

BOJE. NA NEKIMA SE NALAZI KRUG.

Dati su skupovi A = {2, 4, 6 , 8, 10} i B = {4, 5 ,6}.Pored svakog iskaza napi{i da li je TAÂN (T) ili NETAÂN (⊥).

Svaki element iz skupa A je paran broj. ...............................

Svaki element iz skupa A je mawi od 9. ...............................

Svaki element iz skupa B je paran broj. ...............................

Svaki element iz skupa B je mawi od 9. ...............................

Neki elementi iz skupa A deqivi su sa 4. ...............................

Neki elementi iz skupa A ve}i su od 10. ...............................

Neki elementi iz skupa B deqivi su sa 2. ...............................

6

7

Vlada je napisao brojeve 2, 3 021, 15, 5, 23, 45, 5 567, 81. Odlu~io je da ih rasporedi u skup jednocifrenih, dvocifrenih, trocifrenih i ~etvorocifrenih brojeva. Pomozi mu da svakupi{e u odgovaraju}i dijagram.

jednocifrenibrojevi

dvocifrenibrojevi

trocifrenibrojevi

~etvorocifrebrojevi

5

BROJ ELEMENATA

PRAZNOG SKUPA JE NULA.



a) Zapi{i skup L koji ~ine nazivi muzi~kih instrumenata

sa slike.

L = {........................................................................................................}

b) Dovr{i Venovdijagram skupa L.

v) Zapi{i skup A koji ~ine nazivi `i~anih instrumenatasa slike.

A = {.........................................................

g) U Venovom prikazu skupa Lzatvorenom linijom izdvoj

elemente skupa A .

Skup A ~ine sva slova re~i MAK, a skup B sva slova re~i KAMEN. Ispi{i elemente ta dva skupa.

A = {.................} B = {.................................}

Nacrtaj Venov dijagram skupa B , a zatim zatvorenom linijomizdvoj elemente skupa A .

Da li svaki element skupa A pripada skupu B ? .............

Da li svaki element skupa B pripada skupu A ? .............

Zaokru`i ta~no tvr|ewe. A ⊂ B B ⊂ A

PODSKUP

gitaraviolina

harmonika

1

Skup A je podskup skupa B ako svaki element skupa A pripada i skupu B .Re~enicu Skup A je podskup skupa B kra}e zapisujemo A ⊂ B . Ako A nije podskup skupa B ,onda se to zapisuje A ⊄ B .

GRAFI^KI PRIKAZ

Ako skupovi A i B nisu prazni i A ⊂ B ,tada se linija koja odvaja elemente

skupa A nalazi unutar zatvorene linijekoja predstavqa skup B .

A

B

B

2

SVI ELEMENTI SKUPA

PRIPADAJU SKUPU LSKUP A JE PODSKUP SKU

AKO @ELI[ DA NAGLAS

JE NEKI SKUP C NEPRA

WEGOV VENOV DIJAG

MO@E[ PRIKAZATI OV

C



Dat je skup A = {4, 5, 6}. Odrediwegove podskupove koji imaju dva~lana.

A 1

= ........................

A 2 = ........................

A 3

= ........................

3

Dat je skup A = {1, 3, 5}. Ispi{i sve wegove podskupove koji imaju:

0 elemenata ........................................................

1 element ........................................................... (jedno~lani podskupovi)

2 elementa ........................................................... (dvo~lani podskupovi)

3 elementa ........................................................... (tro~lani podskupovi)

5

Posmatraju}i Venove dijagrame,zaokru`i ta~na tvr|ewa.

A ⊂ B C ⊂ A

B ⊂ A B ⊂ C

C ⊂ D D ⊂ A

6

Svi podskupovi skupa T = {8, m, 2} su:

∅, {8}, .........., .........., {8, m}, .............., .............. i {8, m, 2}

7

8

9

Skup slova re~i BIOSKOP je A = {..................

a skup slova re~i KOKOS je B = {.....................

Zaokru`i sva ta~na tvr|ewa.

4

A ⊂ B A = B B ⊂ A

A ≠ B A ⊄ B B ⊄ A

63

2

5

4

1B

D

C

A

Svi dvo~lani podskupovi skupa C su: {2, 3}, {2, 5}, {2, 6}, {3, 5}, {3, 6}, {5, 6}

Napi{i skup C nabrajawem wegovih elemenata. C = ...............................................................................

Napi{i sve ostale podskupove tog skupa. .......................................................................................................

.............................................................................................................................................................................................

∅

{3}

4

Koje tvr|ewe je ta~no?

Upotrebi re~i „da“ ili „ne“ kao {to je zapo~eto.

3 ∈K 4 ∉K ∅ ∈K {3} ⊂ K {} ⊂ K {3} ∈ K

ne K

TRO^LANI SKUP

IMA 8 PODSKUPOVA.

Prazan skup je podskup svakog skupa (kra}e se pi{e ∅ ⊂ A ).

Svaki skup je podskup samog sebe (kra}e se pi{e A ⊂ A ).



Elementi skupa Z su nazivi

listopadnog drve}a. Ako nazivdrveta pripada skupu Z , napi{iu tabeli, a ako ne pripada,napi{i ×, kao {to je zapo~eto.

hrast

jela ×

breza

lipa

bukva

omorika

bor

1

Napi{i skup D ~iji su elementi parni brojevi

druge desetice. .............................................................

Zaokruì slovo ispred ta~nih re~enica.

a) Broj 14 je element skupa D .

b) Broj 26 je element skupa D .

v) Broj 8 nije element skupa D .

g) Broj 20 nije element skupa D .

d) Broj 21 nije element skupa D .

3

Na osnovu Venovog dijagramazaokruì ta~na tvr|ewa u tabeli.

4 Za svaki od datih brojeva odredi skup cifarai broj ~lanova tog skupa kao {to je zapo~eto.

a) 4 322 A = {4, 3, .....} Skup A ima ........ element

b) 1 200 B = ...................... Skup B ........

v) 2 433 C = ...................... ........

g) 20 002 D = .................... ........

d) 1 111 E = ...................... ........

|) 2 100 F = ...................... ........

Koji su skupovi jednaki? ...... = ......, ...... = ......

5

a) Izdvoj crvenom linijom skuponih meseci ~iji nazivipo~iwu slovom j.

b) Izdvoj linijom druge boje skup

letwih meseci.

2

m

dp

n

k

tS

ARI[ JE JEDINI

LISTOPADNI ÊTINA

R.

ARI[ DOSTI@E STAR

OST

OD 600-700 GODINA.

PODNOSI NISKE

TEMPERATURE I SNEG.

j a n u a

rf e b r u a r

m a r t

a p r i l

m a j

j u n

j u l

a v g u

s t

septembar

oktobarnovembar

d e c e m b a r

m ∈S d ∉S n ∈S

t ∈S p ∉S k ∉S

VE@BAWE



Skupove A i B dopuni elementima tako da budu jednaki.

A = {3, 6, a, ....., .....}, B = {1, ....., 6, ....., s}

6

Re~ LETWIKOVAC ima.........

slova, a re~ MATEMATIKA ima.........

slova.

a) Napi{i skup slova re~i LETWIKOVAC. ...................................................................................

Broj elemenata tog skupa je ..........

b) Napi{i skup slova re~i MATEMATIKA. ...................................................................................

Broj elemenata tog skupa je ..........

Da li skupovi slova tih re~i imaju isti broj elemenata? .........

7

Napi{i elemente skupova.

M = { x ⎜ x ∈N i x < 2} =...................

P = { x ⎜ x ∈N i x < 1} = ....................

R = { x ⎜ x ∈N i x > 1 348, x < 1 352} =.....................................

L = { x ⎜ x ∈N i x >18} = ..................................................

8

Nastavi kao {to je zapo~eto.

M = {6, 7, 8 ...} = { x ⎜ x ∈N i x >5}

P = {12, 13, 14 ...} = { x ⎜ x ∈N ............................}

S = {12, 13, 14} = ...................................................................

9

Na osnovu slike zaokru`i slovoispred ta~nog tvr|ewa.

a) 17 ⊂ M

b) {21,17} ⊂ P

v) {16,18} ⊂ M

g) {15,17, 21} ⊂ P

11

Dat je skup A = {r, o, s, a}.

a) Podskupovi skupa A koji imaju dva ~lana su:

A 1 = {r, o}, A 2 = {r, ......}, A 3 = {r, ......}, A 4 = {o, ......}, A 5 = ................, A 6 = ................

b) Podskupovi skupa A koji imaju tri ~lana su:

.......................................................................................................................................................................................

Koliko ima tro~lanih podskupova datog skupa? ................

12

Dopuni Venov dijagram skupova

K = {M, A, T, I, [} i S = {I, [}.10

M

I

15K

S

17

21

16

18



B

Teodora je ro|ena 19. 10. 1993. godine.

a) Neka je A skup cifara dana, B skup

cifara meseca i C skup cifaragodine Teodorinog ro|ewa. Napi{iwihove elemente.

A = .........................

B = .........................

C = .........................

b) Koliko elemenata ima skup B ? .........

v) Koliko elemenata ima skup C ? .........

g) Koji je od navedenih skupova

podskup skupa C ? .........

13

Skup B zadat je osobinom:

Skup B ~ine svi prirodni brojevi mawi od 16, a ve}i od 11.

a) Napi{i skup B nabrajawem elemenata.

B = {12, .............................................

b) Nacrtaj Venov dijagram skupa B .

v) Nastavi zapo~eti zapis skupa B .

B = { x ⎜..................................................

g) Koliko elemenata ima skup B ?

.................................................................

15

Dat je skup A = { x ⎜ x ∈N i x < 3}.

a) Napi{i skup A nabrajawem elemenata.

A = .............................................

b) Napi{i skup A navo|ewem osobinekoju imaju wegovi elementi.

Skup A ~ine .....................................................

................................................................................

v) Nacrtaj Venov dijagram skupa A .

14

Dat je Venov dijagram skupova C i D .

a) Elementi skupa C su: .........................................

Elementi skupa D su: .........................................

b) Pored ta~ne re~enice napi{i u tabeli znak T,a znak ⊥ pored neta~ne re~enice.

16

Slovo I pripada skupu D .

Slovo E pripada skupu D .

Slovo A pripada skupu C i slovo A

pripada skupu D .

Slovo R pripada skupu C i skupu D .

Slovo K pripada skupu D .

R

E

V

A

I

K

M

D C



PRESEK SKUPOVA

Nikola i Awa razgledaju izlog u kojem su izloène majice. Nikoli se dopadaju majicenaranxaste, plave i zelene boje, a Awi crvene, naranxaste i plave boje.

I Nikoli i Awi dopadaju se majice ............................... i ............................... boje.

1

Majstor Mile i majstor Cole montiraju policu za kwige.Na slici je alat koji oni koriste.

Majstor Mile kaè: Ja koristim {rafciger, ~eki} i bu{ilicu.

Majstor Cole kaè: Ja koristim kle{ta, ~eki} i bu{ilicu.

Zatvorenom linijom izdvoj skup M , alata koji koristi majstor Mile.

Zatvorenom linijom izdvoj skup C , alata koji koristi majstor Cole.

Navedi skup A ~iji su elementi nazivi alata koji koristeoba majstora.

............................................................................................................................

2

Presek skupova A i B je skup svih elemenata koji pripadaju i skupu A i skupu B .

Taj skup ozna~avamo sa A ∩ B . Elementi koji pripadaju skupu A i skupu B nazivajuse zajedni~ki elementi.

Presek je skupovna operacija.

Na primer:

A = {1, 2, 3, 4}

B= {2, 4, 5}

A ∩ B = {2, 4}

A B

A B

GRAFI^KI PRIKAZ

Ako A ∩ B nije prazan skup, tada se Venovidijagrami ta dva skupa crtaju tako da se delompoklapaju, kao {to je dato na slici. Osen~enideo predstavqa skup A ∩ B .

521

3 4

SKUP A NAZIVAMO PRESEK

SKUPOVA M I C . TAJ SKUP

ÎNE ZAJEDNI^KI ELEMENTI

SKUPOVA M I C .

ZA OPIS PRESEKA DATIH

SKUPOVA KORISTI SE

VEZNIK I .



U slede}oj tabeli prikazan je Igorov raspored ~asova u petom razredu.

a) Napi{i skupove predmeta koje Igor ima:ponedeqkom P = {....................................................................................................................................................................

utorkom U = {...........................................................................................................................................................................

sredom S = {..............................................................................................................................................................................

~etvrtkom C = {........................................................................................................................................................................

petkom K = {..............................................................................................................................................................................

Koji su skupovi jednaki?.....................................................................................................................................................

b) Napi{i skup predmeta koje Igor ima i utorkom i ~etvrtkom. .....................................................................

v) Napi{i elemente preseka skupova S i K . ..............................................................................................................

g) Napi{i elemente skupa P ∩ U .

P ∩ U = ..................................................................................................................................................................................

3

ponedeqak utorak sreda ~etvrtak petak

1. matematika srpski srpski engleski nema~ki

2. engleski matematika geografija biologija matematika

3. fizi~ko istorija tehni~ko matematika srpski

4. biologija nema~ki tehni~ko muzi~ko fizi~ko

5. srpski likovno engleski srpski engleski

6. muzi~ko likovno fizi~ko

Skupovi A i B dati su Venovim dijagramom.

Odredi elemente slede}ih skupova:

A = {................................................................................

B = {................................................................................

A ∩ B = {.......................................................................

4

p

8

1

t

5u

A B

ZA PI

ELEMENATA

KORISTI SK

MAT.,



Dati su skupovi C = {a, b, c, d} i D = {e, d, m}.Upi{i wihove elemente u Venov dijagram.

5

Na osnovu slike dopuni re~enice.

Skupu E pripadaju: vaqak, ..........................., piramida i ............................

Skupu M pripadaju: ........................... i ............................

Preseku skupova E i M pripadaju: ........................... i ............................

[ta je skup M u odnosu na skup E ? ............................

6

REDOSLED KORAKA PRI CRTAWU VENOVOG DIJAGRAMASKUPOVA KOJI IMAJU NEPRAZAN PRESEK

Na primer: A = {2, 3, 8} i B = {3, 4, 8, 9}

1. korakElementi skupa A ∩ B = {3, 8}upisuju se u zajedni~ki deoskupova A i B .

2. korakElement 2 upisuje se u skup A ,a ne u skup A ∩ B .

3. korakElementi 4 i 9 upisuu skup B , a ne u skup

3

8

32

8

32

8

4

9

C D

E

M

7

Izvr{i nazna~ene skupovne operacije.

a) {1, 2} ∩ {2, 3, 4} = ...........................................

b) {5, 6, 7, 8} ∩ {6, 7, 8, 9} ∩ {4, 5, 6, 7} = ....................................................................................

8

A B A B A

Skup A ~ine svi brojevi mawi od 20 koje moè{ da podeli{ sa 2 bez ostatka,a skup B svi brojevi mawi od 20 koje moè{ da podeli{ sa 3 bez ostatka.

a) Ispi{i elemente tih skupova.

A = {.................................................... B = {................................................

b) Odredi elemente skupa A ∩ B .

A ∩ B = {...........................................

v) Prikaì skupove A i B Venovim dijagramom.



A B

A B

Na primer:

A = {1, 2, 3, 4} B = {2, 4, 5}

A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5}

A ∩ B = {2, 4}

524

1

3

GRAFI^KI PRIKAZ

Osen~eni deo Venovog dijagramapredstavqa skup A ∪ B .

UNIJA SKUPOVA

Mama je napravila spisak ku}nih poslovakoje obavqaju Pera i Vera.

Koje sve ku}ne poslove obavqaju deca? ................................................................................................................

................................................................................................................................................................................................

1

Elementi skupa A su slova re~i SREDA, a skupa B slova re~i DAN.Napi{i elemente tih skupova.

A = ...................................... B = ......................................

Napi{i skup S ~iji su elementi sva slova koja se koriste da bi senapisale obe re~i.

S = ......................................

2

Unija skupova A i B je skup svih elemenata koji pripadaju skupu A ili skupu B .Taj skup ozna~avamo sa A ∪ B . Svi elementi skupa A pripadaju uniji i svielementi skupa B pripadaju uniji.

Unija je skupovna operacija.

- baca ;ubre - kupuje hleb- usisava- sre;uje igra[ke

- sre;uje igra[ke - usisava- bri/e pra/inu

SKUP S NAZIVAMO

UNIJA SKUPOVA A I

ZA OPIS UNI

SKUPOVA KO

VEZNIK



^lanovi skupova P , U , S , C , K su odeqewa u kojima nastavnik biologije ima ~asove ponedequtorkom, sredom, ~etvrtkom i petkom.

a) Napi{i skup odeqewa u kojima nastavnik ima ~asove prva dva dana u nedeqi.

........................................................................................................................................................................................

b) Napi{i elemente unije skupova S i K .........................................................................................................

v) Napi{i elemente skupa P ∪ S .

P ∪ S = ............................................................................................................................................................................

3

Dati su skupovi A = {11, 20, 21, 22} i K = {10, 20, 22}. Napi{i elemente skupa A ∪ K .

A ∪ K = ...........................................................

4

Na osnovu dijagrama napi{i elemente skupova.

M = .................................................................

R = ..................................................................

M ∪ R = ...........................................................

5

Napi{i elemente skupova E i F ako je:

E ∪ F = {1, 2, 3, 4}

1 ∈E , 1 ∈F ,

2 ∈E ∩ F ,

3 ∈E , 3 ∉F ,

4 ∉E .

E = ............................

F = ............................

6 Izvr{i nazna~ene operacije.

{1, 2} ∩ {1, 2} = .............................

{1, 2} ∪ {1, 2} = .............................

{1, 2} ∪ ∅ = ....................................

{1, 2} ∩ ∅ = ....................................

7


1. V1 / VII

2VII

1V

5

2. V2 / V

1V

3VII

3

3. / V3

V2

VII5

VII4

4. VII1

VII4

VII3 / /

5. VII2

V5 / V

4 /

6. V4

VII5 / / /

M R

1 7a

o

ADATKE OVOG

TIPA LAK[E

[ RE[AVATI

KO KORISTI[

VENOV

DIJAGRAM.



E F

G

C Q

R

C

D

Za bilo koji skup A odredi:

a) A ∪ A = .....................

b) A ∪ ∅ = ....................

v) A ∩ A = .....................

g) A ∩ ∅ = .....................

8

Dovr{i Venov dijagram i upi{i elemente skupova.

a) T = {4, m, 9}, S = {m, e, 3} b) T = {4, m, 9}, R = {e, 3} v) T = {4, m, 9}, P = {m, 9}

10

Na slici osen~i skup:

a) C ∪ D

11

Na slici osen~i skup:12

Na osnovu slike odredi elemente skupova.

A ∪ B = ....................................................

A ∪ C = ....................................................

B ∪ C = ....................................................

9 A B

C

T T T S

5

32

67 4

1

b) C ∩ D

a) C ∩ Q ∩ R b) (E ∩ F ) ∪ G

C

D

VENOVI DIJAGRAMI TI MOGU POMO]I

U UÊWU DRUGIH PREDMETA.

KADA TREBA DA UOÎ[ I ZAPAMTI[ NEKE

SLI^NOSTI I RAZLIKE, DOBRO

JE DA KORISTI[ VENOV DIJAGRAM.

NA PRIMER, ODGOVOR NA PITAWE O TOME KOJ

SU OSOBINE MILO[A VOJINOVI]A I CARA

DU[ANA POMENUTE U PESMI @ E N I DB A

DU [ AN O V A SLI^NE, A KOJE RAZLIÎTE,

MO@E[ PRIKAZATI NA SLEDE]I NAÎN.

hrabar

duhovit

mudar

poyrtvovanneoprezan

lakoveran

ose]ajan

ponosan

Milo/Vojinovi]

car

Du/an



RAZLIKA SKUPOVA

Jelena na pla`i koristi: nao~are za sunce, peramasku za rowewe, du{ek i loptu.Mihailo na pla`i koristi: ka~ket, loptu, du{eki vodeni pi{toq.

Koje predmete koristi samo Jelena?

..................................................................................................

Koje predmete koristi samo Mihailo?

..................................................................................................

1

Dati su skupovi A = {R, I, B, A} i B = {R, A, K}.

Napi{i skup C ~iji su elementi slova koja

pripadaju skupu A , a ne pripadaju skupu B .

C = ............................

2

Razlika skupova A i B je skup svih elemenata koji pripadaju skupu A , a ne pripadaju skup

Taj skup ozna~avamo sa A \ B .

Razlika skupova je skupovna operacija.

Na primer:

A = {1, 2, 3, 4} B = {2, 4, 5}

A \ B = {1, 3}

B \ A = {5}

A B

A B

A B

GRAFI^KI PRIKAZ

Osen~eni deo predstavqa skup A \ B .

1

3

2

45

1

3

2

45

SKUP C NAZIVA SE

RAZLIKA SKUPA A I SKUPA B .

ZA OPIS

RAZLIKE DA

SKUPOV

KORISTI

RE^CA N



Dati su skupovi A = {2, 3, 8} i B = {2, 4, 8, 9}.

a) Odredi skupove A \ B i B \ A .

A \ B = .................................... B \ A = ....................................

b) Obrazlo`i za{to je 3∈ A

\B

. ............................................................................................................................v) Zapi{i re~ima matemati~ku re~enicu pod a).

............................................................................................................................................................................................

3

Dati su skupovi C = {11, r, 20, s} i D = {r, 20, a}. Napi{i elemente skupova C \ D i D \ C .

C \ D = ....................................... D \ C = ........................

4

Skupovi P , U , S , C , K odre|eni su predmetima koje Igor ima ponedeqkom, utorkom,sredom, ~etvrtkom i petkom.

a) Napi{i skup predmeta koje Igor ima ponedeqkom, a nema petkom.

..............................................................................................................................................

b) Napi{i elemente razlike skupova K i P . ...........................................................

v) Napi{i elemente skupa S \ C .

S \ C = {.............................................................................

5

Skupovi A i B dati su Venovim dijagramom.

Napi{i elemente skupova.

A \ B = {............................................................................

B \ A = {............................................................................

A ∩ B = {..........................................................................

6


1. matematika srpski srpski engleski nema~ki

2. engleski matematika geografija biologija matematika

3. fizi~ko istorija tehni~ko matematika srpski

4. biologija nema~ki tehni~ko muzi~ko fizi~ko

5. srpski likovno engleski srpski engleski

6. muzi~ko likovno fizi~ko

A B maj

april jun

julavgust

Na osnovu slike napi{i elemente skupova.

A = ............................................

B = ............................................

A \ B = .......................................

B \ A = .......................................

7

A B

1

3

4

7 5



a) Nacrtaj Venov dijagram skupova A i B ako zna{ da je:

A ∩ B = {R, A}

A \ B = {U, @}

B \ A = {N, C, I, S}

b) Napi{i elemente skupova A i B .

A = ....................................... B = .......................................

v) Od elemenata skupa A moè{ da sastavi{ naziv jednog cveta. Kog? ........................................

g) Od elemenata skupa B moè{ da sastavi{ naziv jednog cveta. Kog? ........................................

8

Dovr{i Venov dijagram i upi{i elemente skupova.

a) T = {a, m, 2}, S = {m, e, 2, 3} b) M = {4, m}, R = {e, 4, m, 3} v) L = {4, m, 9}, P = {m

9

T S R P

a) Prikaì Venovim dijagramom skupove B i M iz zadatka 1 na strani 15.Za nazive ìvotiwa moè{ da koristi{ skra}enice.

b) Odredi elemente skupa B ∩ M = {.......................................................................

Opi{i re~ima elemente ovog skupa. ............................................................................................................

........................................................................................................................................................................................

v) Odredi elemente skupa B \ M = {.......................................................................

Opi{i re~ima elemente ovog skupa. ............................................................................................................

........................................................................................................................................................................................

g) Odredi elemente skupa M \ B = {.......................................................................

Opi{i re~ima elemente ovog skupa. .............................................................................................................

.........................................................................................................................................................................................

10

PRESEK, UNIJA I RAZLI

SU SKUPOVNE OPERACI



C V

9 6

Jovana je za svoj ro|endan napravila ~okoladnu i vo}nu tortu. Pozvala je 20 svojih prijateqa.Svako od wih probao je najmawe jednu tortu. ^okoladnu tortu probalo je wih 15, a obe torte wih 6

Koliko je wenih prijateqa probalo vo}nu tortu?

Nastavi da re{ava{ zadatak kao {to je zapo~eto.

Odgovor: ......................................................

13

^

C – ~okoladna torta

V – vo}na torta

^

11 Na osnovu slike odredi elemente skupova.

12 Dati su skupovi A = {2, 3, 4, 5, 6, 7}, B = {4, 6, 8, 9, 10} i C = {1, 2, 3, 4, 5}.

Dopuni zapo~eti Venov dijagram skupova A , B , C .

A ∩ B ∩ C = {4}

A ∩ C = {2, 3, 4, 5}

A ∩ B = ......................

B ∩ C = ......................

a) A = .............................................

B = .............................................

C = .............................................

b) A ∩ B = .........................................

B ∩ C = .........................................

C ∩ A = .........................................

v) A ∪ B = .....................................

B ∪ C = .....................................

C ∪ A = .....................................

g) ( A ∩ B ) ∩ C = ...................................

( A ∪B ) ∩ C = ...................................

A B

C

ra

n

s

z

t

e

A B

C

432 5

d) A \ (B ∩ C ) = .............................

C \ ( A ∩ B ) = .............................

(C ∩ A ) \ B = .............................

OVAJ ZADATAK MO@E[

RE[ITI I PRIMENOM VENO

DIJAGRAMA, TAKO [TO ]E

UMESTO NAVO\EWA ELEMEN

SKUPOVA, KAO [TO SI DO S

RADIO, NAPISATI WIHOV BR

REDOSLED KORAKA PRI CRTAWU VENOVOG DIJAGRAMA TRI SKUPA

1. korak Odredi presek skupova A , B i C i wegove elemente upi{i u odgovaraju}i

deo Venovog dijagrama.

2. korak Odredi preseke svaka dva skupa i u odgovaraju}e delove Venovog dijagrama

upi{i wihove preostale elemente.

3. korak Dodaj one elemente koji su preostali u skupovima.



VE@BAWE

Zapi{i slede}e skupove.

a) Elementi skupa A su slova re~i MIKI. A = ...................................

b) Elementi skupa B su slova re~i [IQA. B = ...................................

v) A ∩ B =...................................

Skupovi su zadati Venovim dijagramom.Zaokru`i slovo ispred ta~no odre|enih skupova A i B .

a) A = {p, s} B = {t, u, v}

b) A = {p, s, z, r} B = {t, u, v}

v) A = {z, r} B = {z, r, u, v}

g) A = {p, s, z, r} B = {z, r, u, t, v}

Na osnovu Venovog dijagrama odredipresek skupova A i B .

Skupove K = {d , 2 , 4 , b , 6 , c} i L = {6 , a , c , 8 , 2 , 1}Marija je predstavila Venovim dijagramom.

Dopi{i elemente koji nedostaju slede}im skupovima.

K = {a , ......, ......, 3}

L = {......, c, ......, ......}

K ∪ L = {......, ......, ......, ......, 3, 4}

K ∩ L = {5, v}

Marija je zaboravila da upi{e neke elemente.Dovr{i zapo~eto upisivawe elemenata i pomozi joj da ispravno popuni Venov dijagram.

a) b) v)

A B

A

K

A B

B

p

s

3 1 A 1

2

34

3

2

4

24

48

1d

b a

z

r

t

u

v

A ∩ B =....................................... ..................................................... .............................................

1

2

3

4

5



Skupovi S i T predstavqeni su Venovim dijagramom.Zaokru`i slovo ispred unije skupova S i T .

a) {3, 2} b) {5, 6} v) {1} g) {5, 6, 1, 3, 2} d) {5, 6, 1, 3, 5,6 }

Izvr{i nazna~enu operaciju.

a) {E, B, O} ∪ {D, A, R, G} = {.........................................................

b) {S, I, M, K, A} ∪ {M, I, L, K, A} = ..........................................................

a) Dati su skupovi

E = { x ⎜ x ∈N i 3 < x < 7} i M = { x ⎜ x ∈N i 2 ≤ x < 7}.

Napi{i skupove nabrajawem elemenata.

E = ................................. M = .................................

b) Prika`i skupove Venovim dijagramom

Odredi elemente skupova A , B i A ∩ B

ako je dato:

A ∪ B = {[, K, O, L, A}

A \ B = {[}

B \ A = {A, K}

A = .......................................

B = .......................................

A ∩ B = .................................

Skupovi su dati opisno.

S = { x ⎜ x ∈N O

i x ≤ 4}

P = { x ⎜ x ∈N i x < 4}

Napi{i skupove nabrajawem elemenata.

a) S = ...........................................

b) P = ...........................................

v) S ∪ P = ....................................

g) S ∩ P = .....................................

d) S \ P = .......................................

|) P \ S = .......................................

S T

3

2

5

61

Dati su skupovi A = {a, b, c, d, e}, A \ B = {b, d}, B \ A = {f}.Odredi elemente skupa B .

B = .................................

Odredi i napi{i elemente skupova ako je:

A – skup dvocifrenih brojeva ~iji je zbir cifara 4

B – skup dvocifrenih brojeva ~iji je proizvod cifara 2.

a) A = ....................................................... b) B = .............................................

v) A ∪ B = ................................................. g) A ∩ B = .......................................

d) A \ B = ................................................... |) B \ A = ........................................

AKO TI JE

LAK[E – CRT

ZBIR CIFARA BROJA 35 J

3 + 5 = 8,

A PROIZVOD CIFARA JE

3 ⋅ 5 = 15.

56

8

9

12

10

11

57



Za bilo koji skup B odredi:

a) B \ B = ................ b) B \ ∅ = ................ v) ∅ \ B = ................

Na osnovu Venovog dijagrama upi{i u prazna poqa

da za ta~ne re~enice ili ne za neta~ne.

Pored svakog zapisa za dati osen~eni skupupi{i odgovaraju}i simbol: T ili ⊥.

a) (M \ P ) ∪ N .......

b) (M ∪ N ) \ P .......

v) (N \ P ) ∪ M .......

g) (M \ P ) ∪ (N \ P ) .......

Zapi{i osen~eni skup pomo}u skupovnih operacija.

a) .......................................... b) .......................................... v) ..........................................

S P

M

5

7 23

4

1

9

8

1 ∈M

3 ∉P

9 ∈P ∩ S

{2, 5} ⊂ S

∅ ⊄ M

2 ∈P ∩ S ∩ M

A B

C

A

M N

P

B

C

A B

C

Na slici je Venov dijagram skupova M , P i S .

Osen~eni skup je:

a) M ∩ P

b) M \ (P ∩ S )

v) (P ∪ M ) \ S

g) (P ∩ M ) \ S

d) M \ S


S

M P

13

14

15

16

17



U sportskoj hali sreli su se Aca, Bane, Filip, Igor i Stefan.Svaki od wih trenira ko{arku ili odbojku, a neki od wih treniraju oba sporta. Ako zna{ da:• Filip trenira ko{arku, ali ne trenira odbojku• Aca trenira ko{arku i odbojku

• Stefan trenira odbojku, ali ne trenira ko{arku

•Igor ide na treninge i sa Stefanom i sa Filipom

• Bane ne trenira isti sport kao Stefan,rasporedi de~ake u odgovaraju}e skupove i odgovori na slede}a pitawa.

Da li svaki de~ak trenira i ko{arku i odbojku? .............................

Koji de~aci treniraju ko{arku, a ne treniraju odbojku?

..................................................................................................................

Koji de~aci treniraju samo jedan sport?

..................................................................................................................

Autobus sa u~enicima V1

kasnio je u hotel u kojem je trebalo

da u~enici ve~eraju i no}e. Za ve~eru su mogli da dobijupqeskavicu u lepiwi i pitu od jabuka. Ve~erali su sviu~enici V

1. Petnaest u~enika naru~ilo je pqeskavicuu lepiwi i pitu od jabuka. Pqeskavicu u lepiwi naru~ilasu 23 u~enika, a pitu od jabuka 20 u~enika. Koliko u~enika

ima u tom odeqewu?

Odgovor: U tom odeqewu ima ........... u~enika.

ko{arka odbojka

Od sto nastavnika u jednoj osnovnoj {koli 15 ne pije

ni kafu ni ~aj. Samo kafu pije wih 45, a samo ~aj pijewih 20. Koliko nastavnika u toj {koli pije i kafu i ~aj?

..................................................................................................................

pojam element skupa podskuppresekskupova

unijaskupova

razlikaskupova

oznaka x ∈ S , y ∉ S A ⊂ B A ∩ B A ∪ B A \ B

Venovdijagram

S

x

y B

A

A B A B A B

ZAPAMTI

18

19

20



I TO JE MATEMATIKA

1 De{ifruj re~.

...............................................

je slovo koje se pojavquje i u re~i MOST i u re~i PESAK.

je slovo kojeg nema u re~i SAMBA, a ima ga u re~i MASKA.

je slovo kojeg nema u re~i BAKA, a ima ga u re~i BUKA.

je slovo koje se pojavquje i u re~i KOPQE i u re~i [APA.

2 U tabeli prona|i {to vi{e pojmova koje sinau~io u radu sa skupovima. Ispi{i ih.

...............................................

...............................................

...............................................

...............................................

...............................................

3 Re{i ukr{tenicu.

1. Kolekcija objekata izdvojenih na osnovu nekeosobine naziva se...

2. Za grafi~ko predstavqawe skupa koristimodijagram koji se naziva...

3. Objekat koji pripada skupu naziva se ~lanili...

4. Elementi koji pripadaju i skupu A i skupu B

obrazuju nov skup, koji se naziva...

5. Ako se napravi skup elemenata koji pripadaju

skupu A ili skupu B , dobija se nov skup, kojise naziva...

P R I P A D A U

P R E U J S N ^

Z N E K N I D L

A ^ M S A I O A

E L U K E P J N

R A Z L I K A A

1

4

2

5

3

RE^ KOJU SI DE[IFROV

NAPISANA JE HIJEROGLI

HIJEROGLIFI SU

STAROEGIPATSKO PISMO

SAÎWENO OD RAZLIÎT

SLIKA, OD KOJIH SVAKA

PREDSTAVQA PREDMET,

POJAM ILI GLAS.

FRANCUSKI NAU^NIK

@AN-FRANSOA [AMPOL

PRVI JE ODGONETNUO

WIHOVO ZNAÊWE.

IAKO SADA MO@EMO

DA RASTUMAÎMO

[TA JE

HIJEROGLIFIMA

NAPISANO,

NEMOGU]E JE

ZNATI KAKO JE

TAJ JEZIK

ZVUÂO.




Igor ima 9 sli~ica. Na svakoj sli~ici nalazi se ime, naziv glavnog grada i zastava jednedràve. Pomozi Igoru da re{i slede}e zadatke.

Japan

(Tokio)

Srbija

(Beograd)

Italija

(Rim)

Nema~ka

(Berlin)

Kina

(Peking)

Rusija

(Moskva)

Poqska

(Var{ava)

Francuska

(Pariz)

Ma|arska

(Budimpe{ta)

MO@E[ D

SAMO POÊ

ZA NAZIV

Odredi skup dràva:

1) na ~ijim se zastavama nalazi plava boja

....................................................................................................................................................................................................................

2) na ~ijim se zastavama nalaze ta~no tri boje

....................................................................................................................................................................................................................

3) sa glavnim gradovima ~ija imena po~iwu na slovo B ..................................................................................................

4) na ~ijim se zastavama nalazi zelena boja .........................................................................................................................

5) na ~ijim se zastavama nalazi ùta boja .............................................................................................................................

6) na ~ijim se zastavama nalaze zelena ili ùta boja ......................................................................................................

....................................................................................................................................................................................................................

7) koje su u Evropi ............................................................................................................................................................................

8) koje nisu u Evropi .......................................................................................................................................................................

9) koje se nalaze u Evropi i na ~ijim zastavama postoje zelena poqa

....................................................................................................................................................................................................................

10) kroz koje proti~e Dunav. ........................................................................................................................................................

Ako ne zna{ odgovore na pitawa pod 7, 8, 10, potraì kartu Evrope u geografskom atlasu.

Neke od ovih zadataka mogao si da re{i{ primewuju}i skupovne operacije presek, uniju

ili razliku. Prona|i ih i upi{i broj zadatka.

Presek: ..............................

Unija: ..................................

Razlika: .............................



Posmatraj mapu i odgovor

na pitawa.

1. U kojem se parku nalazehram Svetog Save,

spomenik Kara|or|u

i Biblioteka Srbije?

...............................................

2. Kojom je geometrijskomfigurom prikazano zelostrvo na Slaviji?

...............................................

Re~ geometrija nastala je od gr~kih re~i gea (zemqa) i metrein(meriti). Te re~i opisuju na~in na koji su qudi prvi put prakti~primenili geometriju. U drevnom Egiptu, u kojem je reka Nilperiodi~no plavila obale, geometrija je kori{}ena da bi se ponodredile me|e wiva, premerila poqa i konstruisale gra|evine.

Takva primena geometrije do savr{enstva je razvijena u staromEgiptu, Asiriji i Vavilonu. Gr~ki matemati~ari sakupili su svata znawa i sistematizovali ih. Tales iz Mileta, koji je `iveooko 600. godine pre nove ere, jedan je od za~etnika geometrije.Mnoga velika dostignu}a u umetnosti, nauci i tehnici ne bi bilostvarena bez geometrije.

NA MAPI JE PRIKAZAN DEO

BEOGRADA. U TOM DELU GRADA

NALAZE SE NEKI OD WEGOVIH

NAJZNA^AJNIJIH KULTURNO-

ISTORIJSKIH SPOMENIKA:

NARODNA BIBLIOTEKA SRBIJE (1)

HRAM SVETOG SAVE (2), SPOMENIKKARA\OR\U (3), CRKVA SVETOG

MARKA (4) I SKUP[TINA (5).

K R A Q A M I L A N A

M A S A R I K O V A

M I [

A R S K A

K R U N S K A

K R U N S K A

K R U N S K A

K R U N S K A

K R U N S K A

W E G O [

E V A

W E G O [

E V A

W E G O [

E V A

W E G O [

E V

A

A N D R I

] E VV E N A C

W I N A

B I R ̂ A N I N O V A

K N E Z

A M I

L O [ A

R E S A V S K A

U L E V A R K R A Q A A L E K S A N D R A

B U L E V A R K R A Q A A L E K S A N D R A

B U L E V A R K R A Q A A L E K S A N D R A

B U

K R A Q I C E M A R I J E

R U Z V E L

S V E T O Z

A R A M A

R K O V

I ] A

S V E T O Z

A R A M A

R K O V

I ] A

K R A Q

A M I

L U T I N A

P R O T E

M A T E

J E

P R O T E

M A T E J E

A L E K

S E N E N

A D O V I

] A

S M I Q

A N I ]

E V A

M O L E R O

V A K R

A Q A M I

L U T I N A

I L U T

I N A

S V E T O G S A V E

K N E G I

W E Z O

R K E

K N E G I W

E Z O R K E

K N E G I W

E Z O R K E

OHRIDSK A

K RU [EDOLSK A

M O L E

R O V A

D E L I

G R A D S K A

K A T I ] E V A

T I R [ O V A

T I R [ O V A

P A S T E R O V A

P AT R I J AR H A V AR N AV E

MA^VANSK A

SOK OLSK A

M U TA P O

VA

M U T A P O V

A

N E V E S I W

S K A

K U R S U L I N

A

K U R S U L I N

A

P E T R O

G R A

V I [ K

A

K A L E N I

] E V A

T

O P

M A K S I M A

G O R K O G

B A B A

V I [ W

I N A

MA LA J N

I ̂KA

M A K E N Z I J E V A

M A K E N Z I J E V A

A V A L S K

A

CARA NIKOLA JA I

ORLOVI ]A PAVLA

S I M E M I

L O [ E V I ]

A I V

A N A \

A J EB

. S T A N K O V I ] A

S T O J AN A P R O T I ]A

S K E R LI ]E V A

]A S TA R I

J E G

N E B O J [ I N A

B U L E V A R O S L O B O \ E W A

B U L E V A R O S L O B O \ E W A

B E O G R A D S K

A

P R O T E M A

T E J E

B R A ] E N E D I ] A

K U M A N

O V S K

A

M O L E R O

V A

H A X I

P R O

D A N O

V A

H A X I \ E R I N A

G O L S V O

R D I J E V

A

T R N S

K

M L

R E S A V S K A

V S K A T A K

T A K O

V S K A

I N S K A

S TA N O

JA G LA

VA [A

I L I J E G A

R A [ A N I N A

I L I

J E G A

R A [ A N I N A

M I R

O ̂ K A

S T A R I N E

N O V A K A

K N E Z A D

A N I L A

K N E Z A D

A N I L A

S V E T O G S A

V E

K A R N

E G I J E V

A

K R A Q I C E M A R I J E

Slika 1


KARA\OR\EV PARK

TA[MAJDAN

12

3

4

5



3. a) Navedi jednu od ulica koje povezuju Kara|or|ev park i Slaviju. .................................................

b) Ako 1 cm na mapi predstavqa 100 m u prirodi, koliko je pribli`no metara udaqenhram Svetog Save od Slavije? (koristi lewir) .......................................................

4. a) Ako od hrama Svetog Save krene{ ulicom Svetog Save, nastavi{ ulicom Kwegiwe Zorke

do Krunske, skrene{ levo i nastavi{ Krunskom do Resavske, skrene{ desno, a zatim ide{Resavskom ulicom, sti}i }e{ do jednog od ve}ih beogradskih parkova. Napi{i wegovo ime.

.......................................................

b) Na mapi olovkom ozna~i put kojim si se kretao. Koristi lewir.

v) Taj put si predstavio:

• izlomqenom linijom • krivom linijom • pravom linijom

Podvuci odgovor koji smatra{ ta~nim.

5. Hram Svetog Save i crkva Svetog Marka nalaze se:

a) sa iste strane Bulevara kraqa Aleksandra

b) na razli~itim stranama Bulevara kraqa Aleksandra

v) na Bulevaru kraqa Aleksandra.


6. Skup{tina (5) se nalazi na raskrsnici ............................................................................................

DOK STE POSMATRALI MAPU NA SLICI 1,

ZAPRAVO STE SE BAVILI GEOMETRIJOM.

ULICE NA MAPI, KAO I PROSTOR IZME\U

WIH, PREDSTAVQENE SU: KRIVIM I PRAVIM

LINIJAMA, KRUGOVIMA, TROUGLOVIMA,

^ETVOROUGLOVIMA, [TO SE MNOGO JASNIJE

VIDI NA SLICI 2.

ZGRADA NARODNE SKUP[TINE

Slika 2

Na narednim stranama pro{iri}ete svoja znawa o geometrijskimfigurama. U~i}ete o pravoj, polupravoj, du`i, mnogouglu, kru`nici.



TA^KA, PRAVA, RAVAN, PROSTOR

Ta~ka je osnovni geometrijski objekat.

Ta~ka nema duìnu, {irinu i visinu.

Ta~ke se obeleàvaju velikim slovima latinice A, B, C...

Ta~ka se na crteù predstavqa ovako:

• A × C B.

Linija je geometrijski objekat.

Linija moè biti kriva ili prava.

Prave linije crtaju se uz pomo} lewira.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

LINIJA

JE SKUP

TAÂKA.

Na crteìma su prikazani neki geometrijski objekti o kojima ste u~ili u prethodnimrazredima. U prazno poqe pored svakog crteà upi{i odgovaraju}i naziv, kao {to je zapo~e

1

otvorena kriva linija

Pravu liniju koju moèmo neograni~eno da produàvamo koriste}i lewirnazivamo prava.

Prave se obeleàvaju malim pisanim slovima latinice a, b, c, d...

Ta~ka A pripada pravoj p i to se zapisuje A ∈ p.Ta~ka C ne pripada pravoj p i to se zapisuje C ∉ p.

C A p

ZAMISLI DA SE TA^KA

KRE]E I DA ZA SOBOM

OSTAVQA TRAG. NA TAJ

NAÎN DOBIJA SE LINIJA.



Dve razli~ite ta~ke, E i F , odre|uju jednu pravu m.

Na osnovu crteà upi{i odgovaraju}i znak, ∈ ili ∉.2

Na slici su date prave a i b. Ucrtaj ta~ke M, N, S i P tako da vaì:

M ∉ a i M ∉ b

N ∈ a i N ∉ b

S ∈ a i S ∈ bP ∉ a i P ∈ b

3

Prave a i b se seku. Na|i i obeleì wihovu zajedni~ku ta~ku.4

Na osnovu crteà poveìpitawa sa odgovorima.5

Na crteù ne moè{ da prikaè{ celu pravu, ve} crta{ samo wen deo.

Pravu moè{ da produùje{ koliko ho}e{ koriste}i lewir.

Neka prave m i n imaju zajedni~ku ta~ku A.Tada se kaè da se prave m i n seku u ta~ki A.

C A B

D

p

q

E F

Am

n

b

a

bb

ba

a a

A......p B......p C......p D......p

A......q B......q C......q D......q

DC

A

Koliko razli~itih pravih koje sadrèta~ke A i C moè{ da nacrta{?

Koliko razli~itih pravih moè{ da

nacrta{ kroz ta~ku A?

Koliko razli~itih pravih koje sadrèsve ta~ke, A, C i D, moè{ da nacrta{?

m

nijednu

jednu

dve

bezbroj



Posmatraj jednu stranicu lista papira. Zamisli da taj list postaje sve ve}i i ve}i

da je veliki kao pod u~ionice, kao odbojka{ki teren, kao stadion, aerodrom i jo{mnogo, mnogo ve}i. Tako bismo dobili ravan. Cela ravan ne moè da se nacrta, kao{to ne moè da se nacrta ni cela prava, ali moè da se nacrta jedan deo ravni.Taj deo naziva se model ravni, a u wemu moè{ da crta{ model prave.

MODELI RAVNI

Ravan je geometrijski objekat.

Obeleàva se malim gr~kim slovima

α , β , γ ..., kao na crteù.

α

RAVNA POVR[

JE DEO RAVNI.

RAVAN JE

SKUP TAÂKA.

Ispod slike svakog geometrijskog objekta napi{i od kojih se povr{i sastoji,

ravnih ili krivih.

Navedi nekoliko ravnih povr{i iz tvoje okoline.

.........................................................................................................................................................................................

6

.................................. .................................. .................................. ..................................

α

B

A

Ta~ka A pripada ravni αi to se zapisuje A ∈α.

Ta~ka B ne pripada ravni αi to se zapisuje B ∉α.



Nau~ili ste da kroz dve razli~ite ta~ke, E i F ,moè{ da nacrta{ jednu pravu. Nacrtaj je.

Koliko ravni sadrì tu pravu? ............................

7

Na slici je crte` kocke. Kvadrat ABCD pripada ravni α.

a) Koja temena kocke pripadaju ravni α? .......................

b) Koja temena kocke ne pripadaju ravni α? .......................

v) Sva temena kocke pripadaju:

• pravoj • ravni • prostoru

Zaokruì ta~an odgovor.

8

E F

A B

C

E F

GH

D

α

α

BC

D

A

Tri razli~ite ta~ke koje ne pripadaju jednoj pravojodre|uju jednu ravan.

1, 2 ... 100 ..

KWIGA IMA

STRANA, ALI

IMA VI[

E

F

RAVAN α I TA^KA D VAN RAVNI α PRIPADA

SKUPU TAÂKA KOJI NAZIVAMO PROSTOR

TO JE GEOMETRIJSKI OBJEKAT.



Prava p ravni α odre|uje dve poluravni.

Zajedni~ki deo te dve poluravni je prava p.

52

POLURAVAN, POLUPRAVA, DU@

Data prava i date ta~ke pripadaju istoj ravni. Dopuni re~enice.

S jedne strane prave p su ta~ke A, C, ...................................

Ta~ke C i B su sa raznih strana prave p.

Ta~ke F i E su sa ................................................................... prave p.

Ta~ke F i B su sa ................................................................... prave p.

1

Ta~ke A, B, N, P i M pripadaju pravoj a, kao {to je prikazano na crte`u. Upi{i u prazno

poqe tabele znak T ako je iskaz ta~an ili ⊥ ako iskaz nije ta~an.3

U ravni α date su prave p, q i ta~ka A.

a) Oboj poluravan pα ~ija je grani~naprava p i kojoj pripada ta~ka A.

b) Oboj poluravan qα ~ija je grani~naprava q i kojoj pripada ta~ka A.

2

A

D

B

E p

F C

p

poluravan p

α

p

α

p

αq

a

A p

αq

A

A B N P M Ta~ke A i B su s jedne strane ta~ke N.

Ta~ka M je sa iste strane ta~ke B kao i ta~ka A.

S jedne strane ta~ke P su ta~ke B, N, M.

Ta~ka N je izme|u ta~aka B i P.

Prava p ravni α deli tu ravan na dva dela.

Poluravan je deo ravni α s jedne strane

prave p, zajedno sa pravom p.

Obele`avamo je pα.

Prava p naziva se grani~na prava poluravni.



Ta~ka O prave p deli tu pravu na dva dela.

Poluprava je deo prave p s jedne strane ta~ke Ozajedno sa ta~kom O.

Obele`avamo je Op.

Ta~ka O naziva se po~etna ta~ka poluprave.

A

BC

CB B

Nacrtaj ta~ke B i C koje pripadaju datoj pravoj a i koje se u odnosu na ta~ku A nalaze sa:

a) iste strane b) raznih strana

4

Data je prava p i na woj dve razli~ite ta~ke, B i C.

a) Koliko na pravoj p ima razli~itih polupravih s po~etnom ta~kom B? ..........

b) Koliko na pravoj p ima razli~itih polupravih s po~etnom ta~kom C? ..........

v) Koliko ukupno na datoj pravoj p ima polupravih ~ije su po~etne ta~ke B i C? ..........

5

A

a

A

a

B C

p

Ta~ka O koja pripada pravoj p odre|uje na toj pravojdve poluprave, Op

1i Op

2.

Zajedni~ka ta~ka polupravih Op1 i Op

2 je ta~ka O.

p

c

c

b

Zaokru`i DA ako date poluprave imaju zajedni~ku ta~ku ili NE ako nemaju zajedni~ku ta~ku.6

DA NE DA NE DA NE

c

b

O p

p

Op

p1

p2

O

POLUPR

DA PR

KOLI

SAMO

STRANE

L



Du` je deo prave p izme|u ta~aka A i B,zajedno s ta~kama A i B.

Obeleàva se AB ili BA.

Ta~ke A i B nazivaju se krajwe ta~ke duì.

54

Na slici su prava c i ta~ke E i F koje joj pripadaju. U prazno poqe tabeleupi{i znak T ako je iskaz ta~an ili ⊥ ako iskaz nije ta~an.

7

Napi{i sve duì odre|ene datim

ta~kama na crteù.

.......................................................................

Koliko ih ima? ..........

8

Dve duì mogu da imaju zajedni~ku ta~ku, zajedni~ku du` ili da nemaju

zajedni~kih ta~aka. Poveì svaku sliku na kojoj su prikazane duì AB i DC sa odgovaraju}im tvr|ewem, kao {to je zapo~eto.

9

Ec1

c2

cF

Ta~ka F pripada polupravoj Ec2.

Ta~ka F pripada polupravoj Ec1.

Poluprave Ec1 i Fc2 ~ine pravu c.

Poluprave Ec2

i Fc1

imaju

zajedni~kih ta~aka.

TA^KE KOJE

PRIPADAJU ISTOJ

PRAVOJ NAZIVAMO

KOLINEARNE TA^KE.

AB

p

du` AB

Date duì nemaju zajedni~kih ta~aka.

Date duì imaju zajedni~ku ta~ku C.

Date duì imaju zajedni~ku du` DB.

Date duì nemaju zajedni~kih ta~aka.

Date duì imaju zajedni~ku ta~ku E.

Date duì imaju zajedni~ku du` AC.

E A

C

D B

AB

A

B

B

B

A DC

C AD

DC

C

D

A

CB

D

p

ZAJEDNI^KI DEO POLUPRAVIH Ec2 I Fc1

PRIKAZANIH NA SLICI JESTE DU@ EF.



VE@BAWE

Maja, Oqa i Lara idu u istu {kolu. Na mapi grada ozna~ene su zgrade u kojima stanujui {kola u koju idu. Ako se ulice na mapi predstave pravim linijama, a zgrade ta~kama,dobija se slede}i crte`.

Popuni tabele kao {to je zapo~eto.

Na osnovu crteà dopuni tvr|ewe.

O ∈ ......

[kola se nalazi u Pu{kinovoj ulici. Napi{i ∈ ili ∉ tako da dobije{ ta~no tvr|ewe.

[....... p [.......s [.......q.

Koje ulice ~ine raskrsnicu na kojoj se nalazi Majina zgrada? .................................... i ...............................

Koja ta~ka je prese~na ta~ka pravih q i r ? .............

1

Na crteù obeleì sa M presekpravih a i b, sa P presek praviha i c, sa Q presek pravih b i c.

2

Pu{kinova ulica

[KOLA

Gogoqeva ulicaMajinazgrada

Oqinazgrada

T o l s t o j e v a u l i c a

[ a n t i } e v a u l i c a

Larinazgrada

[

MO

Ls

r

q p

c

b a

ta~ka zgrada

M Majina

O

L

[

prava ulica

Tolstojeva

[anti}eva

Pu{kinova

Gogoqeva

RASKR

JE PR

DVE U



Nacrtaj prave koje sadrè stranice AB, DC, AD i BC pravougaonika ABCDi obeleì ih tim redom sa m, n, p, q.

a) Koje su prave paralelne?

..................................................................

b) Koje su prave normalne?

..................................................................

3

Koriste}i pribor za geometriju – trougao i lewir – nacrtaj i obeleì:

a) pravu b tako da je a⏐⏐b i A ∈b b) pravu c tako da je a ⊥ c i A ∈c

4

Nacrtaj pravu c i obeleì zajedni~ke ta~ke s pravama a i b ako vaì:

a) c⏐⏐

a b) c⏐⏐

b v) prava c se~e prave a i b

5

OVAKO SE CRTAJU

NORMALNE PRAVE.

ZAPIS m⏐⏐n ZNAÎ DA SU PRAVE m I n PARALELN

ZAPIS m ⊥ p ZNAÎ DA SU PRAVE m I p NORMALN

a

ab

ab

b

a

ab

c

a

A B

CD

A

A

a

A

A

OVAKO SE CRTAJU

PARALELNE PRAVE.

PARALELNE PRAVE m I n PRIPADAJU

JEDNOJ RAVNI I NEMAJU

ZAJEDNI^KIH TAÂKA.



Koliko poluravni odre|uju:

a) dve prave koje se seku? ........... b) dve paralelne prave? ...........

6

Koliko je polupravih odre|eno datimpravama ako je wihova ta~ka preseka

po~etna ta~ka tih polupravih?........

7 Date su ta~ke A, B, C, D i E u jednoj ravni.Nacrtaj poluprave Aa, Bb i Cc tako daB ∈ Aa, D ∈Bb i E ∈Cc. Obeleì zajedni~keta~ke tih polupravih.

8

Ta~ka M i prave a i b pripadaju istoj ravni. Nacrtaj prave p i q tako da:

a) M ∈p, p⏐⏐a, M ∈q, q⏐⏐b b) M ∈p, p ⊥ a, M ∈q, q ⊥ b

9

c a

b CE

A

M

O a

b

M

O a

b

B

D

a b

ab

Date su ~etiri ta~ke, A, B, C i D, u jednoj ravni.Nacrtaj sve duì ~ije su krajwe ta~ke A, B, C ili D.

Koje su to duì? .................................................................

Kojim duìma pripada ta~ka D? ......................................

Koje dve duì nemaju zajedni~ku ta~ku?

.................................................................................

10 A B

C D



Nacrtaj razli~ite duì AB i CD tako da:

a) nemaju zajedni~kih ta~aka b) imaju jednu zajedni~ku ta~ku v) imaju zajedni~ku du`

13

a) Na osnovu crteà navedi koliko je duì odre|eno ta~kama

preseka datih pravih..........

b) Nacrtaj pravu d koja se~e sve tri date prave i obeleì preseke.

Napi{i koliko je najvi{e duì odre|eno ta~kama preseka ove~etiri prave.

.........

14

U ravni α date su ta~ke A i B.

a) Spoj ta~ke A i B linijom koriste}i lewir.

Kako se naziva dobijeni geometrijski objekat? ..................

b) Produì dobijenu liniju preko ta~ke B koriste}i lewir.

Kako se naziva dobijeni geometrijski objekat? ........................................

v) Nastavi da produàva{ prethodno dobijenu liniju preko ta~ke A.

Kako se naziva dobijeni geometrijski objekat? ......................

g) Nacrtaj u ravni α ta~ku C koja ne pripada dobijenoj liniji. Oboj ta~ke

ravni α koje su sa iste strane te linije kao i ta~ka C.

Kako se naziva dobijeni geometrijski objekat? .........................................

15

ba

α

A

B

R

P Q

PRAVA KOJA

SADR@I TA^KE

A I B ÊSTO SE

NAZIVA PRAVA A

Date su ta~ke A, B i C koje pripadaju pravoj d.

a) Koliko ima duì ~ije su krajwe ta~ke date ta~ke? ........Napi{i ih.

......................................

b) Koliko ima polupravih ~ije su po~etne ta~ke date ta~ke? ........

11

Ta~ke D, E, F , G i H pripadaju pravoj d.Koliko je duì odre|eno tim ta~kama?


a) 4 b) 5 v) 10 g) 20

12

A B C

D E F G H



Na osnovu crte`a popuni tabelu.3

Na osnovu crte`a odgovori na pitawa.4

C

A

B D E

F H

G

linija ABCD EFGH

temena

stranice

susedne stranice

Izlomqena linija ~ije svako teme pripada dvema susednim stranicama jeste zatvorena izlomqena linija. Ozna~ava se navo|ewem wenih temena.

Prosta izlomqena linija je izlomqena linija ~ijenesusedne stranice nemaju zajedni~kih ta~aka.Na primer:

prosta otvorenaizlomqena linija MNPQ

prosta zatvorenaizlomqena linija ABCD

LINIJA ABCDJE OTVORENA

IZLOMQENA LINIJ

LINIJA EFGHJE ZATVORENA

IZLOMQENA LINIJ

A

B

F

PQ

R

M

N

O

L

K

S

T

I J

GH

CD

E

PN

M Q

Mnogougaona linija je prosta zatvorena izlomqena linija.

A B

D C

a) Koje su linije zatvorene? .....................................

b) Koje su linije otvorene? ......................................

v) Koliko temena ima linija FGHIJ? ............

Koliko temena ima linija PQRST ? ............

g) Koliko stranica ima linija FGHIJ? ............

Koliko stranica ima linija PQRST? ............

d) Kod kojih linija nesusedne stranice imajuzajedni~ke ta~ke? ........................................

LINIJA ABCD

NIJE PROSTA. WENENESUSEDNE STRANICE

AB I CD IMAJU

ZAJEDNI^KU TA^KU.

A

D

B

C



Koje linije su mnogougaone linije? Zapi{i ih. ....................................................................................................5

Nacrtaj i obeleì mnogougaonu liniju:

a) od tri duì b) od ~etiri duì v) od {est duì

6

Na svakoj od slika data je kriva linija.

Napi{i slova kojima su ozna~ene:

• otvorene linije .....................

• zatvorene linije .....................

• proste linije .....................

• izlomqene linije .....................

• mnogougaone linije .....................

7

A D T

S

R

Q

PB C

E

J

O

K

HI

G

M

N

Linija je prosta ako iz bilo koje wene ta~ke olovku moèmo pomerati po linijisamo na jedan na~in ili na dva na~ina.

Y X

U V

a c db e f

LINIJA NA CRTE@U NIJE PROSTA.

OLOVKU IZ OZNAÊNE TA^KE

MO@E[ DA POMERA[ PO LINIJI

NA TRI NAÎNA.



OBLAST, UGAO, MNOGOUGAO

• Oboj plavom bojom na karti Vojvodinepodru~je izme|u Dunava i Tise kojem pripad

grad Vrbas.

• Oboj zelenom bojom podru~je izme|u Dunava

i Tise kojem pripada grad Zrewanin.

• Oboj crvenom bojom podru~je izme|u Dunavai Save kojem pripada grad Ruma.

• Koji se gradovi na karti nalaze sa one straDunava i Tise na kojoj je Zrewanin?

..........................................................................................

• Da li mo`e{ da ide{ iz Zrewaninau Vrbas a da ne pre|e{ granicu oblasti? ....

1

DEO RAVNI OBOJEN ISTOM

BOJOM JE JEDNA OBLAST.

Prava p i ta~ke A, B, C, D, E i F su u ravni α.

a) Koje se od datih ta~aka nalaze sa iste strane prave p kao ta~ka A? ............

b) Koje se od datih ta~aka nalaze sa iste strane prave p kao ta~ka B? ............

2

α

AC

DE

B

F p

T i s a

D u n a v

S a v a

SUBOTICA

NOVI SAD

BEOGRAD

Sombor

Vrbas

SremskaMitrovica

Vr{ac

Ruma

Kikinda

Zrewanin

OBOJENA

PODRU^JA NAZIVAJU

SE OBLASTI, A REKE

SU GRANICE TIH

OBLASTI.

ZREWANIN I VRBAS

SU U RAZLI^ITIM

OBLASTIMA.

Prava p u prethodnom zadatku razdvojila je ravan α na dve oblasti.

Prava p je granica tih oblasti.

Te oblasti nemaju zajedni~ke ta~ke.



A

D

GE

F

Poluprave Ap i Aq i ta~ke B, C, D, E, M i S pripadaju istoj ravni.

Oboj zelenom bojom deo ravni ograni~en polupravama Ap i Aq kojem pripada ta~ka M.

Oboj `utom bojom deo ravni ograni~en polupravama Ap i Aq kojem pripada ta~ka S.

a) Koje se od datih ta~aka nalaze sa iste strane ugaone linije kao ta~ka M? ............

a) Koje se od datih ta~aka nalaze sa iste strane ugaone linije kao ta~ka S? ............

3

Ucrtaj ta~ke A, B, C, D, E, F , G tako

da A, E i D pripadaju oblasti ugla,C i G ugaonoj liniji, a da B i F ne pripadaju uglu.

4 Koje od datih ta~aka pripadaju

osen~enom uglu na crte`u? .............................

5

MD

E

BC

A

S

q

p

Poluprave Ap i Aq u prethodnom zadatku razdvojile su ravan α na dve oblastikoje nemaju zajedni~ke ta~ke.

Te poluprave ~ine granicu tih oblasti.

Ugaonu liniju ~ine dve poluprave sa zajedni~kimpo~etkom.

Oblast ugla je deo ravni ograni~en ugaonom linijom.Jedna ugaona linija u ravni odre|uje dve oblasti koje

nemaju zajedni~ke ta~ke.

Ugao je deo ravni koji ~ine ugaona linija i jednaod tih oblasti.

O a

b

teme

kraci ugla

oblastugla

O a

b

x

y

S

B



Svaka prosta zatvorena linija u ravni odre|uje dveoblasti koje se nazivaju unutra{wa oblast i spoqa{waoblast. Ta linija naziva se granica.

64

Ku}e na slici nalaze se izvan parka.

Fontana je u unutra{wosti parka.

Nacrtaj plavom bojom liniju koja je granica parka.

Da li je nacrtana plava linija prosta?.......

Spoj de~aka i klupu linijom tako da ne prese~e{

granicu.

Spoj de~aka i jednu zgradu. Da li si presekao

granicu? .......

Na crteù je pet izlomqenih linija.

Zapi{i proste zatvorene izlomqene linije. .................................................................................................

Kako se te linije nazivaju? ........................................................

Svaka od tih linija odre|uje jednu unutra{wu oblast. Oboj te oblasti.

7

A B

C

M

H

G I

O

V

U

T

X

Z

K

L

N

P

Q

RS

D

E

F

granica

A

BC

DEMnogougao ABCDE

teme

stranica

Mnogougao ~ine mnogougaona linijai wena unutra{wa oblast.

6

s p oqa{wa o b l a s t

u n u tra{ w a

o blas t

DEÂK I KLUPA PRIPADAJU ISTOJ OBLASTI,

A DEÂK I ZGRADA PRIPADAJU

RAZLIÎTIM OBLASTIMA.



U svaku sliku upi{i broj stranica, a ispod slike naziv datog mnogougla, kao {to je zapo~eto.8

Nacrtaj pravu koja sadr`i ta~ku M i ~iji je zajedni~ki deo s datim trouglom:

a) prazan skup b) ta~ka v) du`

9

U zavisnosti od broja stranica, mnogouglovi imaju i posebne nazive: trougao, ~etvorougao,

petougao, {estougao, sedmougao…

trougao.......................... .......................... .......................... ....................................................

osmougao..........................

Do sada smo u~ili o geometrijskim objektima u ravni; to su: prava, ravan, poluprava,poluravan, du`, izlomqena linija, mnogougaona linija, ugaona linija, ugao, mnogougao.

A B

C

M

A B

C

M

A B

C

M

Pet ta~aka u ravni su temena izlomqene linije. Nacrtaj:

Zaokru`i mnogougaonu liniju.

a) prostu otvorenuizlomqenu liniju

b) prostu zatvorenuizlomqenu liniju

v) otvorenuizlomqenu liniju

koja nije prosta

g) zatvorenuizlomqenu liniju

koja nije prosta

10

K

L N

M

P

K

L N

M

P

K

L N

M

P

K

L N

M

P

3 8



VE@BAWE

Na crteù je data izlomqena linija ABCDE u jednoj ravni.

Obeleì ta~ke u kojima se seku nesusedne stranice.

Koliko ima takvih ta~aka? ..................

1

Ta~ke K, L, M, N, P, S su temena izlomqene linije. Nacrtaj:

Zaokruì mnogougaonu liniju.

2

Dopuni crte`:

a) tako da dobije{ petougao ABCDE b) tako da dobije{ osmougao ABCDEFGH3

Na osnovu crteà u prazno poqe tabele upi{i znak T ili ⊥ kao {to je zapo~eto.4

A

C

E

BD

A

B

C A

B

C

a) prostu otvorenuizlomqenu liniju

b) prostu zatvorenuizlomqenu liniju

v) otvorenu izlomqenuliniju koja nijeprosta

g) zatvorenu izlliniju koja nprosta

K

S L

N

M

P

K

S L

N

M

P

K

S L

N

M

P

K

S L

P

∈ Oa Ob oblasti ugla aOb

A ⊥ T

B

C

D

EDO

F

C

B

A

E

a

b



Nacrtaj i obele`i ta~ke E, F , G kojepripadaju kracima ugla, ta~ke K, L, Mkoje pripadaju oblasti ugla i ta~keN i P koje ne pripadaju uglu na slici.

5

Koliko oblasti u ravni odre|uju:

• jedna poluprava..................

• jedna prava ..................

• dve poluprave sa zajedni~kim po~etkom? ..................

7

Nacrtaj trougao tako da presek s datim trouglom bude:

Oboj preseke.

8

Oboj razli~itim bojama oblasti koje

nemaju zajedni~ke ta~ke, a granice tihoblasti odre|ene su polupravamaBc, Bb i pravom a na slici.

Koliko ima oblasti? ..................

6

a) ta~ka b) du` v) trougao

g) ~etvorougao d) petougao |) {estougao

AB

C

AB

C

AB

C

AB

C

AB

C

AB

C

O a

b

b

a

c

B



Zamisli svakodnevicu

bez predmeta kru`nogoblika. Kako biizgledala vo`wabicikla ~iji suto~kovi kockasti?

Navedi jo{ tri predmeta koja koristi{,a koja su kru`nog oblika.

......................................................................................

1

Nacrtaj duì AB i CD. Izmeri wihove duìne. ⏐ AB⏐ = ..........cm ⏐CD⏐ = ..........cm.2

Uzmi metalni nov~i}, stavi ga na papiri opcrtaj. Dobio si liniju l. Savij papirtako da se delovi linije potpuno poklope,

a zatim ra{iri papir. Ponovi postupak jo{ jedanput. Na papiru su sada tragovidve prave koje se seku i koje seku nacrtanuliniju l. Ta~ku preseka pravih ozna~i sa A.Svaka od pravih se~e liniju l u dve ta~ke.

Obeleì ih sa B, C, D, E.

a) Izmeri i zapi{i. ⏐ AB⏐= ..........mm, ⏐ AD⏐= ..........mm, ⏐ AC⏐= ..........mm, ⏐ AE⏐= .......

b) Nacrtaj proizvoqnu ta~ku M na liniji l, izmeri i zapi{i. ⏐ AM⏐ = ..........mm.

Rastojawe svake ta~ke nacrtane linije l od ta~ke A je ..........mm.

3

TOÂK JE JEDAN OD IZUMA KOJI SU

U NAJVE]OJ MERI UTICALI NA RAZV

CIVILIZACIJE. PRVI TOÂK NAPRAV

JE OD JEDNOG KOMADA DRVETA.

TI TO^KOVI BILI SU VEOMA TE[KI,

A S VREMENOM JE SA TO^KOVA UKLA

SVE VI[E DRVETA - DOK NIJE

NAPRAVQEN TOÂK S PRE^KAMA, KAK

SE I DANAS KORISTI. TAJ TOÂK SE

POJAVIO OKO 2000. GODINE

PRE NOVE ERE. ZANIMQIVO JE

TO [TO STARI EGIP]ANI NISU

ZNALI ZA TOÂK IAKO SU

DOBRO POZNAVALI

MATEMATIKU I ASTRONOMIJU.

KRU@NICA, KRUG

AB

CD

Rastojawe izme|u ta~aka A i B je duìna duì AB.

Duìnu duì AB ozna~avamo sa ⏐ AB⏐ ili malim

latini~nim pisanim slovom a, b...

Duì jednakih duìna su podudarne. A

a ⏐ A B ⏐ B

DU@INE DU@I AB I CD

SU JEDNAKE: ⏐ AB⏐= ⏐CD⏐

DU@I SU PODUDARNE: AB CD

LINIJU l NAZIVAMO

KRU@NICA,

A IZMERENU DU@INU

POLUPRE^NIK

KRU@NICE.



OZNAKA r PO

OD LATINSK

r adius, [TO

POLUPRE^NI

Kru`nica k je zatvorena kriva linija u ravni ~ijesu ta~ke jednako udaqene od date ta~ke O te ravni.

Krug K ~ine kru`nica i wena unutra{wa oblast.

Data ta~ka O naziva se centar kru`nice (kruga).

Rastojawe od bilo koje ta~ke kru`nice do centra

jeste polupre~nik kru`nice (kruga).

k r u `ni c a

O O

r

polu-pre~nik

centar

r

kru g

Kru`nica k sa centrom O i polupre~nikom r zapisuje se kao k(O, r ).Krug K sa centrom O i polupre~nikom r zapisuje se kao K(O, r ).

Nacrtaj kru`nicu sa centrom u ta~ki O i:

a) polupre~nikom r b) polupre~nikom od 20mm

4

Nacrtaj kru`nicu k1( A, ⏐ AB⏐) i kru`nicu k2(B, ⏐ AB⏐).

Obeleì zajedni~ke ta~ke kru`nica k1 i k

2.

5

Izmeri polupre~nik, obeleìodgovaraju}e geometrijske objektei zapi{i kao {to je zapo~eto.

k1( A, 1 cm) k

2(S, ...........) ....................

6 7

O O

A

A

S

k1

k3

O

E

B

AF

C

B

D

Dat je krug K i ta~ke A, B, C, D, E i F u ravni.Spoj te ta~ke sa centrom O i na liniji

upi{i odgovaraju}i znak, >, < ili =.

⏐OA⏐.........⏐OB⏐, ⏐OA⏐.........⏐OC⏐, ⏐OA⏐.........⏐OD

⏐OA

⏐.........

⏐OE⏐,⏐OA

⏐.........

⏐OF ⏐

OVAKO SE CRTA

KRU@NICA ÎJI

JE CENTAR TA^KA OI NA KOJOJ

JE TA^KA S.

O

TA^KE U RAVN

RASTOJAWE O

KRUGA O J

POLUPRE^NI

MAWE OD

PRIPADAJU

S



KRU@NI LUK, TETIVA

Na slici je prikazana mapa ostrva,a dva grada na obali ozna~ena su sa P i R.

Kojom bojom je obojen najkra}i putod mesta P do mesta R?

...........................

Kojom bojom je obojen najkra}i putobalom od mesta P do mesta R?

...............................

1

CRVENOMI QUBIÂSTO

BOJOM OBOJENI

KRU@NI LUKOV

A BRAON

BOJOM TETIVA

• Tetiva je du` ~ije krajwe ta~ke pripadajukru`nici.

• Kru`ni luk je deo kru`nice izme|u wenedve ta~ke, ukqu~uju}i i te dve ta~ke.

k r u ` ni l

u k

O

O

B

A

E

C

k

k r u ̀ ni l u k

te t i va

Kru`ni luk kru`nice k odre|en

ta~kama A i B obeleàva se sa .

Ta~ke A i B na kru`nici k odre|uju

dva luka.

Dogovor je da se

zapis odnosi

na mawi luk.

AB

AB

A

BB

A

Nacrtaj i izmeri tetive AC, AB i AE.

Najkra}a tetiva je .........., a najduà tetiva je ...........

2

Dobro pogledaj sliku i odgovori.

a) Koja ta~ka je centar kruga? ...............

b) Koje ta~ke pripadaju kru`nici? ..............................

v) Koje ta~ke pripadaju krugu? .......................................

g) Koja du` je pre~nik kru`nice? ...............

d) Koje duì su tetive kru`nice? ...............

3

⏐ AC⏐= ..........mm

⏐ AB⏐= ..........mm

⏐ AE⏐= ..........mm

S A

B p re ~ n i k

S

M

B

A

F

CD

E OZNAKA d

POTIÊ OD GR^KE

REÎ diamet ar ,

[TO ZNAÎ

PRE^NIK.

DIJAMETRALAN

ZNAÎ SUPROTAN

Pre~nik kru`nice je tetiva koja

sadrì centar kru`nice.

Pre~nik je najduà tetiva.

êsto se obeleàva sa d ili 2r .TETIVA ABJE PRE^NIK

KRU@NICE.

P

R



Nacrtaj kru`nicu k1(G, 22mm). Obeleì preseke nacrtanih kru`nica sa A i B.

Za koju su kru`nicu duì GA i GB tetive? ..........

Da li je ⏐GA⏐ = ⏐GB⏐? ..........

4

Date su kru`nica k(O, r ) i ta~ke A, B i C.

Nacrtaj tetive odre|ene datim ta~kama.

To su: CB, ..........................

Kako se naziva tetiva CB? ................................

6Nacrtaj krug K(O, 20mm) i ta~ku Mna wegovoj kru`nici. Nacrtaj tetivuMN tako da je⏐MN⏐= 25mm.

Koliko takvih tetiva moè{ danacrta{? ..........

5

Majstor Bane treba da na metalnoj plo~i napravi dva kru`na otvora polupre~nika15 cm. Pomozi mu da na crteù odredi centre krugova i izra~una wihovo rastojawe.Obeleì centar prvog kruga sa A, a drugog sa B.

Rastojawe izme|u centara krugova je: ...............

7

O

k

G

O

O

B A

Ck

8 0

c m

2 5

c m

2 5

c m

130cm

25 cm

POSTUPAK KOJIM SI DOBIO

GA I GB MO@E TI POMO]

CRTA[ TETIVE ODRE\ENE D



KRU@NICA I PRAVA

1

Obeleì zajedni~ke ta~kepravih a, b, c, d i kru`nice k.

Koje prave su se~ice? ..........

Koja prava je tangenta? ..........

2

Nacrtaj ta~ke A, B, C tako da A ∈ k, B ∈ K,B ∉ k, C ∉ K. Nacrtaj prave a, b, i c kojesadrè redom ta~ke A i B, B i C, B i O.

Nacrtaj proizvoqnu pravu d kroz ta~ku B.Koliko zajedni~kih ta~aka imaju k i d? ..........

Koliko pravih u ravni kru`nice moè{da nacrta{ kroz ta~ku B?

....................................

Kako se te prave nazivaju?....................................

OC

D

k

s

O

k

t

O

k

m

E

O

c

a

b

d

• Prava i kru`nica imaju najvi{e dve zajedni~ke ta~ke.• Se~ica je prava koja sa kru`nicom ima dve zajedni~ke ta~ke.

• Tangenta je prava koja pripada ravni kru`nice i sa womima samo jednu zajedni~ku ta~ku.

O

M

O

k

k

3

Nacrtaj polupravu Oa koja sadrì ta~ku M.Nacrtaj pravu t tako da M ∈ t i t ⊥ Oa.

Koliko zajedni~kih ta~aka imaju

prava t i kru`nica k? .....................

4

• Tangenta dodiruje kru`nicu. Zajedni~ku ta~ku nazivamo dodirna ta~ka.• Tangenta je normalna na dodirni polupre~nik.

U ZADATKU 1 PRAVA sJE SEÎCA KRU@NICE.

PRAVA t JE TANGENTA

KRU@NICE.

KROZ TA^KU K

PRIPADA

UNUTRA[W

OBLASTI KRU

MO@E[ D

NACRTA[ SA

SEÎCU.

PRAVA t JE TANGENTA

KRU@NICE k.

Na liniji ispod crteà napi{i {ta je zajedni~ko za kru`nicu k i pravu:

a) s b) t v) m

....................................... ....................................... .......................................



CD

a

A

Nacrtaj pravougaonik ABCD u kvadratnoj mreì ako je ⏐ AB⏐= 4 cm i ⏐BC⏐= 3 cm.5

Nacrtaj pravu m koja sadrì ta~ku A tako da je m ⊥ a.Prese~nu ta~ku pravih a i m ozna~i sa B.

a) Proceni i napi{i koja jeod duì AB, AC, AD najkra}a. ...............

b) Proveri merewem.

6

a) Nacrtaj kru`nicu k(O, 2 cm) i tri

paralelne prave a, b, c, udaqene odcentra redom 1 cm, 2 cm i 3 cm.

b) Na crteù obeleì zajedni~ke ta~kekru`nice k i pravih a, b i c.

9

Nacrtaj tangente t 1 i t

2 kru`nice k redomu ta~kama A i B.

U kakvom su poloàju prave t 1 i t

2?

........................................................................

8

Ovako odre|uje{ rastojawe od ta~ke T do prave p:

• Povuci normalu kroz ta~ku T na pravu p i obeleì prese~nu ta~ku sa S.

• Duìna duì TS je rastojawe od T do prave p. S

T

p

Koliko je rastojawe od ta~ke D do stranice AB? .............

Koliko je rastojawe od ta~ke A do stranice BC? ..............

Koliko je rastojawe izme|u ta~aka B i D? ...............

O A

k

B

O

b

a

c

Odredi rastojawa od centra kruga do pravih a, b, c.

Od koje je prave centar najudaqeniji? ...............

Kojoj je pravoj centar najbliì? ...............

Od koje je prave centar udaqen za polupre~nik? ...............

7 RASTOJAWE OD

CENTRA KRUGA

DO TANGENTE

JEDNAKO JE

POLUPRE^NIKU

RASTOJAWE OD TA^

DO PRAVE AB JE DU

DU@I AD.

RASTOJAWE IZME\

TANGENTI t 1

I t 2

J

PRE^NIK KRU@NICE



VE@BAWE

Izmeri duìne datih duì u milimetrimai zapi{i ih.

Koja du` ima najve}u duìnu? ..........

Koja du` ima najmawu duìnu? .......... ⏐ AB⏐= .......... ⏐CD⏐= .......... ⏐EF ⏐

1

Date su duì AB, CD i poluprava Ox . Nacrtaj kru`nicu k1(O,⏐ AB⏐) i k

2(O,⏐CD⏐).Ozna~i sa E i F preseke poluprave Ox s kru`nicama k

1

i k2

.

Da li je ta~ki O blià ta~ka E ili ta~ka F

Upi{i znak > ili < tako da dobije{ ta~no

tvr|ewe: ⏐OE⏐..........⏐OF ⏐.

Da li je AB OE? ..........

Da li je CD OF ? ..........

Da li si mogao da odredi{ ta~ke E i F ,

a da ne crta{ cele kru`nice? ..........

3

a) Uporedi duìne datih duì koriste}i

postupak iz prethodnog zadatka.

b) Upi{i duìne tih duì tako da dobije{ta~ne nejednakosti.

⏐MN⏐ < ............ < ............ < ............

4

Na osnovu slike dopuni slede}a tvr|ewa.

Zajedni~ki geometrijski objekat za kru`nice k1

i k2 je ........................

Zajedni~ki geometrijski objekat za krugove k1

i k2 je ........................

5

Na osnovu slike napi{i na linijiznak ∈ ili ∉ tako da dobije{ ta~an iskaz.

B .......... K E .......... k O .......... k

G .......... K S .......... K A .......... k

2

O S

E

G

B k

A

O

A

B

E F

CD

M

N

CD

AB

x

O x

C

A

B

D

E

O2

k2 k

1

OVAJ POSTUPAK MO@E[DA KORISTI[ KADA

UPORE\UJE[ DU@I.

O1

A



Nacrtaj k(O, 15mm). U ravni kru`niceizaberi ta~ku A tako da je ⏐OA⏐ = 35mm.Nacrtaj k

1( A, 2 cm).

Obeleì zajedni~ke ta~kekru`nica k i k

1.

6

Nacrtaj kru`nice k1(O, 15mm),

k2(O, 20mm) i k

3(O, 25mm).9 10

a) Popuni tabelu kao {to je zapo~eto

b) Koliko je rastojawe izme|u centar

kru`nica k2

i k3? ..............

8

O

Nacrtaj du` EF , ⏐EF ⏐= 2 cm, a zatim nacrtajkru`nice k

1(E, 15mm) i k2(F , 20mm).

Obeleì zajedni~ke ta~ke kru`nica k1 i k

2

sa A i B.

Zaokruì zajedni~ku tetivu kru`nica k1

i k

EF AB EA EB FA FB

7

F

polupre~nik pre~nik

K1 15 mm

K2

K3O

1

K1

K2

K3

O2

O3

O

Proceni koja je ta~ka najblià ta~ki A. ...........

Proceni koja je ta~ka najudaqenija od ta~ke A. .......

Proveri svoj odgovor koriste}i {estar.

C

E

D

B A

KRU@NICE KOJE IMAJU ISTI

CENTAR NAZIVAMO

KONCENTRI^NE KRU@NICE.



Marko, Petar i Stanko su ispred protivni~kog ko{a.

Ko je najudaqeniji od ko{a? ........................

Ko je najbliì ko{u? ........................

11

Nacrtaj k(E, 25mm) i ta~ku M, M ∈ k.Nacrtaj tetive MN i MP tako da je⏐MN⏐ = 30mm, a ⏐MP⏐ = 30mm.

13

Na osnovu slike nastavi zapo~eto povezivawe.15

Nacrtaj kru`nicu k(O, 2 cm) i tetivu AB du3 cm. Odaberi ta~ku M ∈ AB. Spoj ta~ku M scentrom O. Dobijenu du` produì preko M

preseka sa kru`nicom i tu ta~ku ozna~i sa

Da li je⏐OL⏐ > ⏐OM⏐? ...........

14

Na osnovu slike odgovori na pitawa.

a) Koja je tetiva najkra}a? ...........

b) Koja je tetiva najduà? ...........

12

M P S

OB

A

C F D

E

G H I J

E

O

MNcentar

tetiva

polupre~nik

pre~nik

teme

kru`ni luk

A

NB

⏐ AB⏐

⏐MB⏐

A

k

BN

M

RASTOJAWE IZCENTRA KRU

I BILO KOJE

NA TETIVI MA

OD POLUPRE^

ILI JEDNA

POLUPRE^N



Prave a i b su normalne.Nacrtaj pravu c, c⏐⏐a na rastojawu od 15mm.Koliko takvih pravih moè{ da nacrta{? .........

17

Kroz ta~ku P nacrtaj se~ice a i bi tangentu t date kru`nice k.

Obeleì presek pravih i kru`nice.

[ta je presek kruga K i pravih a i b?

.............................................................................

19

Nacrtaj pravu c, c⏐⏐a na rastojawu od 25mm

i pravu d, d⏐⏐a na rastojawu od 2 cm.18

Prave a i b su paralelne. Prava c jenormalna na pravu a. Na slici obeleìzajedni~ku ta~ku pravih c i a sa Mi zajedni~ku ta~ku pravih c i b sa N.Koriste}i pribor, proveri da li je prava

c normalna i na pravu b.

Dopuni jednakost. ⏐MN⏐ = .............

16

a

b

ac

b

a

b

O

P

O

Koliko je rastojawe

izme|u pravih c i d?

............. ili .............

Nacrtaj pravu m koja je od ta~ke O udaqena25mm. Nacrtaj kru`nicu k(O, 25mm).

Dopuni re~enicu.

Prava m je ......................... kru`nice k.

20

⏐MN⏐ JE RASTOJ

IZME\U PARALEL

PRAVIH a I b.

PRAVE c I dDA CRTA[ S

STRANE PRAV

SA RAZNIH

PRAVE



ZAPAMTI

p

O A

A

A

B

C

D

E

F

B b α

O

p

q

k r a k

u g l a

k r a k u g l a

oblastugla

teme ugla

centar

temena

susestr

oblastmnogougla

A

B

C

D

E

F G

O O

polu-pre~nik

r r

t

O o b

l a s

t k r u

g a

s e ~ i c a

ta~ka A

izlomqena linija ABCDEF

kru`nica k(O, r) krug K(O, r) se~ica s i tange

i tetiva AB

ugaona linija, ugao pOq mnogougaona linijai mnogougao ABCDEF

du` AB prava a

a

poluprava Op poluravan

kru`ni luk AB

k r u

̀ni l u k

O

te t i va

B

At a n g e n t a



I TO JE MATEMATIKA

Pod treba poplo~ati plo~icamakao {to je zapo~eto.

a) Oboj odgovaraju}im bojama plo~ice oblika

osmougla i kvadrata na celom podu.

Koliko treba plo~ica oblika kvadrata? ..............

Koliko treba celih plo~ica oblika

osmougla? ..............

1

b) Koliko treba ùtih plo~ica? ..............

Koliko treba zelenih plo~ica? ..............

Koliko treba sivih plo~ica? ..............

Na slici je 12 razli~itih figura (mnogouglova). Svaka od wih sastavqena je od pet jednakihkvadrata. Od wih moè{ da sklapa{ druge figure, na primer pravougaonik.

2

Koristi iste figure i popuni kvadratnu mreù kao {to je zapo~eto.

ISKORISTI PRI

NA KRAJU KWI



DEQIVOSTBrojeve koristimo da bismo brojali, merili, upore|ivali, da bismo odredili poloàj nekih mesOni se koriste svakodnevno i u najrazli~itijim situacijama – od obavqawa najjednostavnijekupovine do sloènih nau~nih istraìvawa.

Prirodni brojevi imaju zanimqive osobine o kojima mo`da niste razmi{qali. Na primer, nekibrojevi se mogu podeliti sa mnogo drugih brojeva, dok drugi imaju mali broj delilaca. U ovom

poglavqu nau~i}ete ne{to vi{e o osobinama brojeva.

ATLETIKA JE JEDNA

OD NAJRAZNOVRSNIJIH

SPORTSKIH GRANA.

ONA OBUHVATA TRKA^KE,

BACA^KE I SKAKA^KE

DISCIPLINE. ZBOG SVOJE

SVEOBUHVATNOSTI NAZIVA

SE KRAQICOM SPORTOVA.

DA BI SE NA NEKOM STADIONU MOGLO ODR@ATI ZVANI^NO ATLETSKO TAKMIÊWE, ON MORA IMATI:

• TRKALI[TE PODEQENO NA OSAM KRU@NIH ATLETSKIH STAZA (DU@INA JEDNOG KRUGA ATLETSKE STAZE IZNOSI 400 m)

• DEO ZA SKOKOVE I BACA^KE DISCIPLINE

• VODENU PREPREKU ZA STIPLÊZ.

1

2

3

4

5

6

7

8

1

2

3

4

5

6

7

8

1. Koliko celih krugova pre|e trka~

na atletskoj stazi ako pretr~i:

a) 800 m ............... b) 1 500 m ...............

v) 3 000 m ............... g) 5 000 m? ...............

2. Koliko kilometara pretr~i trka~ u trci na:

a) 10 000 m ............... km

b) 42 000 m? ............... km

VERA NIKOLI] JE JEDINA NA[A

ATLETIÂRKA KOJA JE USPELA

DA OBORI SVETSKI REKORD U TRCI

NA 800 m – 20. 7. 1968. GODINEU LONDONU OSTVARILA JE REZULTAT

2 MINUTA I 5 STOTINKI.

3. Mirko je na treningu bacio kladivo {est puta.Ukupna teìna koju je tog dana bacio iznosila

je 43 kg i 560 g. Kolika je teìna kladiva?

Teìna kladiva je ....... kg ....... g.

U OVOJ DISCIPLINI IVAN

GUBIJAN JE NA OLIMPIJSKIM

IGRAMA U MELBURNU 1956.

GODINE OSVOJIO 2. MESTO.



NA OVOM STADIONU U ATINI 1896.

GODINE ODR@ANE SU PRVE OLIMPIJSKE

IGRE SAVREMENOG DOBA. NA ISTOM

STADIONU 394. GODINE ODR@ANA

JE POSLEDWA ANTI^KA OLIMPIJADA.

MARATON JE TRKA NA 42 km I 195 m. NAZIV JE DOBILA

PO LEGENDI O GR^KOM VOJNIKU KOJI JE TRÂO OD GRADA

MARATONA DO SPARTE DA BI SAOP[TIO VEST O POBEDI.

TA TRKA OD TAKMIÂRA ZAHTEVA VELIKU IZDR@QIVOST

I POSEBNU FIZI^KU PRIPREMU.

STIPLÊZ JE TRKA NA 3 000 M, KOJA PODRAZUMEVA

28 PRESKOKA PREKO PREPREKA I SEDAM PRESKOKA

PREKO VODENE PREPREKE. PRELASCI PREKO VODENE

PREPREKE SU NAJRIZI^NIJI I NAJSPEKTAKULARNIJI

TRENUCI U TRCI.

4. U trci stipl~ez u jednom krugu treba presko~iti ~etiri prepreke i jednu vodenu prepreku.Prepreke se nalaze na jednakom rastojawu jedna od druge. Koliko je rastojawe izme|u svakedve prepreke?

Odgovor: ....................................................................................................................................

NA OLIMPIJADI U MELBURNU 1956. GODINE FRAWO MIHALI]

OSVOJIO JE SREBRNU MEDAQU U MARATONU, [TO JE JO[ UVEK

JEDAN OD NAJVE]IH USPEHA NA[IH ATLETIÂRA.

ATLETIÂRKA OLIVERA JEVTI] POBEDILA JE

NA BEOGRADSKOM MARATONU 2007. GODINE.

vodena prepreka Tre}a preprekatre}a prepreka

startna linija

druga prepreka

~etvrta prepreka linija ciqa prva prepreka

U narednom poglavqu nau~i}ete neke osobine brojeva,pa }ete znati kako da:

• primenite pravila deqivosti

• odredite najve}i zajedni~ki delilac i sadràlac

• razlikujete proste i sloène brojeve.



Zapi{i ciframa broj koji je:

a) za osam ve}i od pet hiqada dvesta tri ............................................................................................

b) za jedan mawi od dvesta trideset devet hiqada ............................................................................

v) neposredni sledbenik broja trideset tri hiqade .......................................................................

g) neposredni prethodnik broja milion i ~etiri hiqade .............................................................

Odredi mesnu vrednost cifre 5 u slede}im brojevima:

35 281 ................................. 523 197 ................................. 1 326 757 .................................

2

Ako cifru desetice u broju 2 150 pove}a{ za 3, taj broj se:

a) pove}ao za 3 b) pove}ao 3 puta v) pove}ao za 30 g) pove}ao 30 puta


3

U jeziku matematike za sastavqawe razli~itih brojeva koriste se cifre.

Na primer, cifrom 3 zapisuje se broj tri, a broj trideset tri zapisuje sepomo}u dve cifre 3.U zavisnosti od mesta na kojem se nalaze, cifre imaju razli~ite vrednosti.To su mesne vrednosti cifara.

Na primer, brojevi 304 825 i 4 508 320 mogu se prikazati u tabeli mesnihvrednosti:

U broju 304 825 cifra 4 nalazi se na mestu jedinica hiqada i imamesnu vrednost 4 000, dok se u broju 4 508 320 cifra 4 nalazi

na mestu jedinica miliona i ima mesnu vrednost 4 000 000.

ZA PISAWE BROJEVA DANAS KORISTIMO CIFRE 0, 1, 2

, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

SISTEM ZAPISA BROJEVA SA DESET CIFARA

NAZIVA SE DEKADNI

BROJEVNI SISTEM.

SMATRA SE DA SU CIFRE POREKLOM IZ INDI

JE. U EVROPU SU IH

PRENELI TRGOVCI S MEDITERANA, KAO I ARA

PI U SVOJIM OSVAJA^KIM

POHODIMA.

OSIM TIH CIFARA, KOJE SE NAZIVAJU ARAPSKIM, ZA PISA

WE BROJEVA

KORISTE SE I RIMSKE CIFRE.

[TA JO[ ZNAMO O PRIRODNIM BROJEVIMA

1

AKO SE SLOVIMA

U NEKIM RE^IMA

ZAMENE MESTA – RE

]E PROMENITI

ZNA^EWE.

NA PRIMER:

SOK I KOS, PUT I TU

REPA I PERA.

d e s

e t i c e

h i q

a d a

s t o

t i n e

h i q

a d a

j e d i n i c e

m i l

i o n a

j e d i n i c e

h i q

a d a

s t o t i n e

d e s e t i c e

j e d i n i c e

3 0 4 8 2 5

4 5 0 8 3 2 0



Kada u broju 2 345 zameni{ cifru jedinica hiqada i cifru desetica,

dobija{ broj:

a) druge hiqade

b) tre}e hiqade

v) ~etvrte hiqade

g) pete hiqade.


4

Na linijama ispod svakog broja napi{i wegov dvocifreni zavr{etak.6

a) Napi{i jedan petocifreni broj ~iji je dvocifreni zavr{etak 77. .......................

b) Napi{i neki ~etvorocifreni broj ~iji je dvocifreni zavr{etak 5. .......................

7

Popuni tabelu.

broj 143 20 000 1 111 118 450 002 234 567

zbir cifara

proizvod

cifara

8

5

Posledwe dve cifre nekog broja ~ine wegov dvocifreni zavr{etak.On se ~ita i pi{e kao odgovaraju}i broj. Na primer:

Odgovore napi{i rimskim ciframa.Kom veku pripada:

a) 900. godina .........................

b) 1499. godina.......................

v) 1501. godina .......................

g) 2007. godina ........................

d) 1389. godina? .......................

Koja se poznata bitka odigrala 1389. godine

......................................................................................

154 000 0

154 010 10

154 001 1

154 020 20

154 002 2

154 067 67

23 143 13 240 302 1 000 024 824 23 400 35 000

............ ............ ............ ............ ............ ............ ............

DVAD

ZAVR[A

GODINO

PO^I

GO

ZBIR CIF

BROJA 72

7 + 2 =

PROIZVOD C

BROJA 72

7 @ 2 = 1



U TRCI NA 2 000 m VESLAÎ U PROSEKU NAPRAVE OD 32 DO 40

ZAVESLAJA U MINUTU.

U KATEGORIJI DVOJAC S KORMILAREM NA SVETSKOM PRVENSTVU

2006. GODINE U ITONU (ENGLESKA) NA[ TIM JE OSVOJIO

ZLATNU MEDAQU.

1 a) Koliko je posada u~estvovalo na takmi~ewu u veslawu ako se prijavilo:

• 76 takmi~ara u kategoriji dvojac bez kormilara .........................

• 64 takmi~ara u kategoriji ~etverac bez kormilara .........................

• 108 takmi~ara u kategoriji osmerac? .........................

b) Ako se prijavi 96 takmi~ara, u kojoj se kategoriji oni ne mogu takmi~iti?

Zaokruì broj ispred ta~nog odgovora.

1) osmeraca 2) ~etveraca 3) dvojaca

2 U odeqewu ima 23 u~enika. Nastavnik matematike èli da organizuje kviz.Ekipe ~ine po 4 u~enika, a odre|uju se izvla~ewem imena iz {e{ira.

a) Koliko najvi{e ekipa moè da u~estvuje u ovom kvizu? .........................

b) Koliko u~enika iz odeqewa nije raspore|eno ni u jednu ekipu? .........................

Ti u~enici }e biti voditeqi kviza.

3 a) Sko~ko pravi samo skokove duìne 3 jedini~ne duì.

Odgovori na pitawa, dovr{i crte` i dopuni jednakosti.

Da li Sko~ko moè da sko~i na broj 12? ............ 12 = ...... @ 3

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

48 = 4 @ ....... + 0 35 = 9 @ ....... + 8 102 = ..................... 281 = .....................

b) Koliko je skokova Sko~ko napravio? ............

v) Da li Sko~ko moè da sko~i na broj 14? ........... 14 = ...... @ 3 + ......

Izvr{i deqewa i dopuni jednakosti.

48 : 4 = ............... 35 : 9 = ............... 102 : 3 = ............... 281 : 18 = ...............

4

DEQIVOST U SKUPU No

ÊTVERAC BEZ KO

ÎNI POSADA OD

^LANA. SVE POSADE

S KORMILAREM ILI

A SAMO OSMERAC

IMA KORMILARA

POSADA OD D

^LANOVA

BROJ 12 JE DEQIV

BROJEM 3.

BROJ 14 NIJE DEQIV

BROJEM 3. DEQEWEM

BROJA 14 BROJEM 3DOBIJA SE OSTATAK 2.



5 Nastavi kao {to je zapo~eto.

a) 124 : 3 = 41

12431

b) 4 592 : 3 = ...........v) 2 004 : 3 = ...........

376 : 12 = 31

–361612

4

deqenik

Koli~nik i ostatak pri deqewu dva broja odre|uju se na slede}i na~in:

delilac koli~nik

ostatak

Na osnovu prethodnog postupka deqewa, broj 376 mo`emo zapisati ovako:

376 = 12 @ 31 + 4

1245 : 15 = 83–120

45–45

0

deqenik delilac koli~nik

ostatak

Na osnovu prethodnog postupka deqewa, broj 1 245 mo`e se zapisati ovako:

1 245 = 15 @ 83

Broj 1 245 je deqiv brojem 15 jer je ostatak 0.

Deqewe broja a brojem b jeste odre|ivawe brojeva k i r tako da jea = b @ k + r i r < b (a, k, r ∈N

0, b ∈N).

a = b @

k + r

deqenik

koli~nikdelilac

ostatak

Broj a je deqiv brojem b ako je u jednakosti a = b @ k + r ostatak r = 0, to jest a = b @ k.

PRI DEQEWU SA 3

OSTATAK MO@E BIT0, 1, 2, TO JEST

OSTATAK JE UVEK

MAWI OD DELIOCA



6 U prazna poqa upi{i T ako je tvr|eweta~no ili ⊥ ako je tvr|ewe neta~no.

8 Odredi koli~nik i ostatak i zapi{i u obliku jednakosti a = k @ b + r .

a) 214 : 50 b) 372 : 6 v) 1 434 : 36

.............................. .............................. ..............................

7 Dopuni zapo~ete re~enice.

• Broj 42 je deqiv brojem 7 jer je 42 = ..... @ .....

• Broj 7 je .............................. broja 42.

• Zapi{i pomo}u simbola ⏐ re~enicu:

Broj 42 je deqiv sa 7. ..............................

Re~enicu Broj b je delilac broja a kra}e zapisujemo b⏐a. Ona zna~i jo{ i:

• broj a je deqiv brojem b • broj b je ~inilac broja a

• broj b se sadrì u broju a • broj a je sadràlac broja b.

Na primer, re~enicu Broj 8 je delilac broja 56 kra}e zapisujemo 8⏐56.Ona zna~i jo{ i:

• broj 56 je deqiv brojem 8 • broj 8 je ~inilac broja 56

• broj 8 se sadrì u broju 56 • broj 56 je sadràlac broja 8.

• Broj 0 ne pripada skupu prirodnih brojeva.

• Proizvod nule i bilo kojeg broja je nula, to jest 0 @ b = 0.

• Broj nula je deqiv svim prirodnim brojevima, to jest 0 : b = 0, gde je b ∈N.

• Nulom ne moèmo da delimo.

5⏐15

8⏐24

4⏐14

20⏐10

9 Kada podeli{ 58 sa 7, dobi}e{ ostatak 2. Zaokruì slovo ispred ta~nog zapisa.

a) 58 = 8 @ 2 + 7 b) 58 = 7 @ 2 + 8 v) 58 = 7 @ 8 + 2 g) 58 = 7 @ 8 – 2



13 Popuni tabelu ako je: a deqenik, b delilac, k koli~nik, r ostatak.

14 Koji broj treba podeliti brojem 23da bi se dobio koli~nik 10 i ostatak 22?

Traèni broj je: ..............................

JEDAN OD NAJVA@NIJIH REZULTATA INDIJSKE MATEMA

TIKE BILO JE

UVO\EWE SIMBOLA ZA NULU. TAJ PRONALAZAK OMOGU

]IO JE RAZVOJ

DANA[WEG BROJEVNOG SISTEMA.

U POÊTKU SE ZA NULU UPOTREBQAVALA RE^ S U W A ( S U N Y A), [TO ZNAÎ

PRAZNINA, DA BI KASNIJE BILA ZAMEWENA TA^KOM (@).

SIMBOL ZA NULU – „0“ – POJAVIO SE U INDIJI U IX VE

KU. POREKLO

ZNAKA JE NEPOZNATO. MOGU]E JE DA SIMBOL ZA NULU

POTIÊ

OD GR^KOG SLOVA O - O M I K R O N – KOJE JE POÊTNO SL

OVO REÎ

O U DE N (O U D E N ), [TO ZNAÎ NI[TA.

a b k r a = b @ k + r

42 5 8 2 42 = 5@

8 + 2

112 9 4

13 77 0

0 2006

10 Jovana je kupila 90 bombona za svoj ro|endan.U odeqewu ima 22 drugara i svakom je dala isti

broj bombona.

a) Koliko je najvi{e bombona dobio svako od wih? ...........

b) Koliko je bombona ostalo Jovani? ...........

11 Nikola kupuje patike ~ija je cena 5 750 dinara,u nov~aniku ima samo nov~anice od 500 dinara.Koliko mu je najmawe nov~anica od 500 dinara

potrebno da bi kupio patike?

Nikoli treba najmawe ............ nov~anica.

12 Vlada na svom mobilnom telefonu ima kredit od 136 dinara. Slawe poruke ko{ta tri dina

a) Koliko najvi{e poruka Vlada moè da po{aqe? ............

Koliki mu kredit u tom slu~aju ostaje? ...............................

b) Koliko se dana Vlada dopisivao ako je dnevno

u proseku slao pet poruka? ................................................

KADA

ODELI[ DVABROJA

I DOBIJE[

STATAK NULA,

AKQUÛJE[

A SU BROJEVI

DEQIVI.

88



VE@BAWE

U prazna poqa upi{i T ako je tvr|ewe

ta~no ili ⊥ ako je tvr|ewe neta~no.1

Odredi brojeve koji nedostaju u formuli a = b @ k + r kao {to je zapo~eto.

a) a = 37, b = 9 b) a = 55, b = 5 v) b = 200, k= 4, r = 0 g) b = 7, k = 4, r = 3

37 = 9 @ 4 + 1 55 = .......................... ................................... ...................................

3

a) Zaokruì brojeve koji su delioci broja 8.

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8

b) Napi{i sve delioce broja 15. .................................................

4

Napi{i sve delioce:

• broja 17 .................................................

• broja 20 .................................................

Koliko delilaca ima broj 20? .........

5

Broj 8 je delilac broja 96.


Broj 36 je sadràlac broja 9.


Broj 7 se sadrì u broju 77.

Ispitaj deqewem ta~nost tvr|ewa i naliniji napi{i odgovaraju}i znak, T ili ⊥

a) 3⏐27 .......

b) 81⏐243.......

v) 53⏐253 .......

g) 7⏐91 .......

d) 100⏐10 .......

2

SVI DELIOCI BROJA 1

SU BROJEVI MAWI OD

ILI JEDNAKI BROJU 1

SVAKI BROJ JE

DEQIV SA 1 I SA

SAMIM SOBOM.

37 : 9 = 4– 36

1



Skup svih delilaca nekog broja, na primer broja 48, mo`e se odrediti i na ovaj na~in:

1. korak 1 i 48 su delioci broja 48, 48 = 1 @ 48 {1, 48}

2. korak 2 i 24 su delioci broja 48, 48 = 2 @ 24 {1, 2, 24, 48}

3. korak 3 i 16 su delioci broja 48, 48 = 3@

16 {1, 2, 3, 16, 24, 48}4. korak 4 i 12 su delioci broja 48, 48 = 4 @ 12 {1, 2, 3, 4, 12, 16, 24, 48}

5. korak 5 nije delilac broja 48

6. korak 6 i 8 su delioci broja 48, 48 = 6 @ 8 {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48}

7. korak 7 nije delilac broja 48

8. korak 8 i 6 su delioci broja 48, 48 = 8 @ 6.

Kako smo brojeve 6 i 8 ve} zapisali kao delioce broja 48, postupak odre|ivawa svihdelilaca broja 48 je zavr{en.

Napi{i skup svih delilaca broja:a) 12 ...............................................................

b) 42 ...............................................................

v) 56 ...............................................................

g) 102 .............................................................

6

a) Popuni tabelu kao {to je zapo~eto.

b) Broj koji je jednak zbiru svojih delilaca, ne ra~unaju}i sam taj broj, nazivamo savr{en bKoji su od datih brojeva savr{eni? ...................................

broj skup svih delilaca broja zbir svih delilaca datog broja izuzev wega sam

6 1, 2, 3, 6 1 + 2 + 3 = 6

12

28

128

496

7



Moma `eli da kupi fotoaparat ~ija je cena 10 000 dinara.Ako u nov~aniku ima sedam nov~anica od 1 000 dinara,

koliko mu je za tu kupovinu jo{ potrebno nov~anica od:

a) 500 dinara...........................................................

b) 200 dinara ...........................................................

v) 100 dinara? ...........................................................

1

Koji su od brojeva 20, 23, 200, 450, 3 000, 4 302, 12 300, 66 000, 810 008 deqivi sa:

10 ...................................................................................................................

100 ..................................................................................................................

1 000? ................................................................................................................

Napi{i posledwu cifru u zapisu brojeva deqivih sa deset. ........

Napi{i posledwe dve cifre u zapisu brojeva deqivih sa sto. ........

Napi{i posledwe tri cifre u zapisu brojeva deqivih sa hiqadu. ........

2

Koje su dekadne jedinice delioci datih brojeva? Popuni tabelu kao {to je zapo~eto.

3

Kojim je dekadnim jedinicama deqiv broj:

1 710 .......... 100 800 ........................... 2 310 .......... 3 505 000 ........................... 203? ........................

4

DEKADN

JEDINICE

10, 100, 1 0

10 000

BROJ JE D

SA 10 00

SE ZAVR

SA NAJM

^ETIRI N

Prirodni broj je deqiv s dekadnom jedinicom ako se zavr{avasa najmawe onoliko nula koliko ih ima dekadna jedinica.

dekadna jedinica

broj10 100 1 000 10 000

1 500 da da ne ne

420

753 000

90

760 000

60 600 600

DEQIVOST DEKADNIM JEDINICAMA.DEQIVOST SA 2 I SA 5

BROJ 203 NIJE DEQIV SA 10 JER MU POSLEDWA CIFRA NIJE NU

BROJ 1 710 NIJE DEQIV SA 100 JER MU POSLEDWE DVE CIFRE NISU



Broj je deqiv sa 2 ako je wegova posledwa cifra 0, 2, 4, 6 ili 8.

92

a) Koriste}i svaku od cifara 0, 2 i 5, napi{i najmawi petocifreni broj deqiv brojem 100. ..

b) Koriste}i svaku od cifara 0, 2 i 5, napi{i najve}i petocifreni broj deqiv brojem 100. ....

5

a) Deqewem proveri koji su od datih brojeva deqivi sa 2, pa ih zaokruì.

b) Posledwe cifre kod zaokruènih brojeva su: .............................

6

Zaokruì ta~na tvr|ewa. 2⏐455 10⏐9 000 2⏐22 250⏐10

100⏐6 700 2⏐784 3 456⏐2 1000⏐7 505 000

8

Napi{i skup svih cifara koje mogu da zamene u datom ~etvorocifrenom broju tako da va

a) 2⏐532 ∈{......, ......, ......, ......, ......}

b) 2⏐532 ∈{..............................................................}

v) 2⏐532 ∈{..............................................................}

9

10

a) Napi{i skup svih brojeva deqivih sa 2 koji zadovoqavaju nejednakosti:

• 304 < m < 314 A = { ...................................................................}

• 4 195 < m ≤ 4 202 B = ......................................................................

b) Odredi A ∪ B . ...............................................................................................

v) Koji od brojeva iz skupa A ∪ B je:

• deqiv sa 10 .....................................................

•deqiv sa 100? ..................................................

7

62 73

23556

6924

9830

47321

BROJ DEQIV

SA 2 JE PARAN

BROJ.

BROJ KOJI

NIJE DEQIV

SA 2 JE

NEPARAN BROJ.

U samoposluzi je 300 kesica bombona od 250 g prepakovanou kese od 500 g. Koliko je kesa od 500 g potrebno da bi seprepakovale sve bombone?

Odgovor:......................................



a) Deqewem proveri koji suod datih brojeva deqivi

sa 5 i zaokruì ih.

11

Zaokruì brojeve deqive sa 5.

172 1 455 21 347 1 000 33 333 97 980 7 645 76 554

12

Dat je skup A = {23, 32, 340, 35, 66, 1 005, 80, 112, 85}. Napi{i elemente skupa:

a) D , koji ~ine svi brojevi iz skupa A deqivi sa 2. ...................................................................................

b)P

, koji ~ine svi brojevi iz skupa A

deqivi sa 5. ...................................................................................

v) C , koji ~ine svi brojevi iz skupa A deqivi sa 10. .................................................................................

g) D ∩ P ........................................

13

Koje sve cifre mogu da stoje umesto u datom ~etvorocifrenom broju tako da:

a) broj 235 bude deqiv i sa 2 i sa 5 ...........................

b) broj 235 bude deqiv sa 5, a da ne bude deqiv sa 2 ...........................

v) broj 235 bude deqiv sa 2, a da ne bude deqiv sa 5 ...........................

g) broj 235 ne bude deqiv ni sa 2, ni sa 5? ...........................

14

b) Koristi rezultat pod a) i popuni tabelu kao{to je zapo~eto.

broj deqiv sa 5posledwacifra u

zapisu broja

ostatak prideqewu sa 5

321 da / ne 1 1

32 da / ne

53 da / ne

24 da / ne

65 da / ne

76 da / ne

47 da / ne

98 da / ne

69 da / ne

230 da / ne

65 76230

53 6924

98

32

47321

Broj je deqiv brojem 5 ako mu je cifra jedinica 0 ili 5.

Ako je broj deqiv sa 2 i 5, onda je deqiv i sa 10.

Vaì i obrnuto. Svaki broj deqiv sa 10 deqiv jei sa 2 i sa 5.

b r o j e

v i d eqivi s a 2 b ro j

evi de q i v i s a

5

brojevi deqivi sa 10

OSTATAK PRI

DEQEWU SA 5

MO@E BITI

0, 1, 2, 3 ILI 4.



2

94


DEQIVOST SA 3 I SA 9

U tabeli su prikazani rezultati na{eg poznatog

ko{arka{a Pe|e Stojakovi}a koje je on ostvariou NBA ligi u sezoni 2003–2004. godine.

Koliko je puta Pe|a pogodio ko{ da bi ostvario:

a) 850 poena iz dvojki b) 720 poena iz trojki?

.......................................................... ..........................................................

v) Koliko je ukupno puta Pe|a pogodio ko{ u toj sezoni? ...................................................................

1

Pe|a Stojakovi}, SEZONA 2003–2004

poeni ostvareni iz slobodnih bacawa 392

poeni ostvareni iz igre – dvojke 850

poeni ostvareni iz trojki 720

a) Podeli.

b) Koristi rezultate koje si dobio pod a) i popuni tabelu kao {to je zapo~eto.

303 : 3 = 1.......

3

121: 3 = ....... 432 : 3 = ....... 87 : 3 = ....... 98 : 3 = .......

broj deqivost broja sa 3 zbir cifara broja deqivost zbira cifara broja s

303 da / ne 3 + 0 +3 = 6 da / ne

121 da / ne 1 + 2 +1 = 4 da / ne432 da / ne da / ne

87 da / ne da / ne

98 da / ne da / ne

NEKA KO[ARKA[KA PRAVILA:

- LINIJA ZA SLOBODNA BACAWA NALAZI SE 5 m

12 cm OD KO[A; POGODAK S TE LINIJE

DONOSI JEDAN POEN.

- DA BI POSTIGAO TAKOZVANU TROJ

KU, IGRA^ NBA LIGE TREBA DA UBACI LOPTU

U KO[ S RASTOJAWA OD 7 m 24 cm OD KO[A ILI VE]EG. POGODAK OSTVAREN U

IGRI

(S RASTOJAWA MAWEG OD 7 m 24 cm OD KO[A), TAKOZVANA DVOJKA, DONOSI

DVA POENA.

- NA KO[ARKA[KIM TERENIMA U EVROPI JE LINIJA ZA TROJKU UDAQENA OD KO[A 6 m 25 cm.

28m



3 Prona|i brojeve deqive sa 3. Po~ev{i

od najmaweg, redom spoj ta~ke ozna~ene

tim brojevima. Dobi}e{ jedan mnogougao.

Koji? ........................................

4 a) Podeli.

5

6 a) U tabeli zaokru`i brojeve deqive sa 3.

b) Koji su od zaokru`enih brojeva deqivi i sa 9?

Napi{i ih. ...........................

21 343

10 003

4 351

3 273 1 377

975

851

675

392324

b) Koristi rezultate koje si dobio pod a) i popuni tabelu kao {to je zapo~eto.

1 405 : 9 = 1 .......– 9

5

9 864 : 9 = ....... 216 : 9 = ....... 97 : 9 = .......

broj deqivost broja sa 9 zbir cifara broja deqivost zbira cifara broja sa 9

1 405 da / ne 1 + 4 +5 = 10 da / ne

9 864 da / ne da / ne

216 da / ne da / ne

97 da / ne da / ne


9 921 3 472 10 101

7 550 52 296 10 602

5 076 60 304 5 217

BRO

NIJE D

JER

CIF

DEQ

Napi{i tri ~etvorocifrena broja deqiva sa 9. ..........................., ..........................., ...........................

BROJ

DE

JER

CIFA

DEQ

Broj deqiv sa 9 deqiv je i sa 3.Postoje brojevi deqivi sa 3 koji nisu deqivi sa 9.Skup brojeva deqivih sa 9 jeste podskup skupa brojeva deqivih sa 3.

b r o j e

v i deqi v i

s a 3

brojevideqivi sa 9



7

10 Napi{i skup svih cifara koje mogu zameniti tako da ~etvorocifreni broj 300 bude de

a) sa 2 b) sa 3 v) sa 5 g) sa 9

............................... ............................... ............................... ...............................

d) i sa 2 i sa 3 |) i sa 2 i sa 9 e) i sa 3 i sa 5 `) i sa 5 i sa 9

............................... ............................... ............................... ...............................

Dati su brojevi:

151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 1

171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189

a) Zaokruì ùtom bojom brojeve deqive sa 3.

b) Precrtaj crvenom bojom brojeve deqive sa 5.

Dopuni re~enicu.

U nizu datih brojeva precrtao si svaki ........................... broj,po~ev{i od prvog broja deqivog sa pet.

v) Koji su od datih brojeva deqivi i sa 3 i sa 5? ...............................

8 Odredi skup svih cifara x i y tako dapetocifreni broj:

a) 32 1 xx bude deqiv sa 3 x ∈ { ...........................}

b) 84 y 2 y bude deqiv sa 9 y ∈ { ...........................}

9 a) Upi{i odgovaraju}e brojeve iz skupa{95, 315, 59, 1 710, 102, 3 552, 903}u Venov dijagram.

b) Objasni za{to u neke delove Venovog dijagrne moè da se upi{e nijedan broj.

.........................................................................................

.........................................................................................

.........................................................................................

......................................................................................... b r o

j e v i

d e q i v

i sa 3 bro j e v i d

e

q i v i

s a

9

n e p a r n i bro j e v

i

U NIZU DATIH BROJEVA

ZAOKRU@EN JE SVAKI TRE]I

BROJ, POÊV[I OD PRVOG

BROJA DEQIVOG SA 3.

ZAOKRU@ENI BROJEVI SU

SADR@AOCI BROJA TRI.

PROÎTAJ TEKST U PLAVOM OKVIR

NA PRETHODNOJ STRANI.

BROJ DEQ

I SA 2 I S

DEQIV

SA 6.



Jovan je ro|en 29. 2. 2004. godine. Po koji put }e Jovan 2016. godine proslaviti svojro|endan ako ga slavi svake prestupne godine? Zaokruì slovo ispred ta~nog odgovora.

a) 2 b) 3 v) 4 g) 12

1

2

DEQIVOST SA 4

a) Zaokruì sve brojeve u tabeli koji su deqivi sa 4.

b) Napi{i tri dvocifrena broja koja nisu deqiva sa 4.

.................................................................

3 Popuni tabelu kao {to je zapo~eto.

broj Da li je broj deqiv sa 4?dvocifreni

zavr{etak brojaDa li je dvocifreni zavr{etak

deqiv sa 4?

104 104 : 4 = 26

–8

24

–24

0

da /ne 4 da / ne

226 226 : 4 = .......... da / ne da / ne

1096 da / ne da / ne

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60

61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80

81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100

BROJ 36 JE DEQIV SA 2. WEGOV

KOLI^NIK 18 TAKO\E JE DEQIV

SA 2, PA JE BROJ 36 DEQIV SA 4

NA TAJ NAÎN MO@E DA SEPROVERI DEQIVOST SA 4 BILO

KOG BROJA.

BROJ 100 JE DEQIV SA

WEGOV DVOCIFRENI

ZAVR[ETAK 00 JE IST

[TO I BROJ 0 KOJI JE

DEQIV SA 4.



SVAKA ÊTVRTA GODINA JE PRESTUPNA. U

TOJ GODINI FEBRUAR IMA 29 DANA.

POSLEDWA PRESTUPNA GODINA JE BILA

2008, A NAREDNA JE 2012. GODINA.

ZANIMQIVO JE TO [TO SU ME\U GODINAM

A KOJIMA SE ZAVR[AVAJU VEKOVI

PRESTUPNE SAMO ONE GODINE KOJE SU D

EQIVE BROJEM 400.

NA PRIMER: 1900. GODINA NIJE PRESTUP

NA, DOK JE 2000. PRESTUPNA GODINA.

4Zaokruì brojeve deqive sa 4.

4 116 71 004 443 108 788 500 453 270

5Napi{i skup svih cifara koje mogu da zamene u datom ~etvorocifrenom broju tako da:

6Odredi sve dvocifrene zavr{etke ab u broju 123ab

tako da on bude deqiv sa 4 i da je 62 < ab ≤ 80.

Odgovor: .......................................

7Odredi sve cifre a i b u petocifrenom broju 57 a4b tako da on bude deqivi sa 3 i sa 4. Dovr{i zapo~eto re{avawe zadatka.

1. korak Odredi cifru b tako da traèni broj bude deqiv sa 4.

2. korak Odredi cifru a tako da broj bude deqiv i sa 3.

5 + 7 + a + 4 + 0 = 16 + a 5 + 7 + a + 4 + 4 = 20 + a ................................................

57a4b

b = 0

b = 4

b = 8

Ispi{i sve dobijene brojeve. 57 240, ............................................................................................................

.............................................................................................................................................................................................

a) 4⏐342 ∈ .......................................

b) 4⏐520 ∈ .......................................

v) 4⏐176 ∈ .......................................

g) 4⏐30 ∈ .......................................

Broj je deqiv sa 4 ako je wegov dvocifreni zavr{etak broj deqiv sa 4.

57 a40

a = 2

a = 5

a = .....

57 a44

a = .....

a = .....

a = .....

................

................

................

................

57 a48

443 NIJE DEQIV

JER WEGOV

DVOCIFRENI

ZAVR[ETAK 43 N

DEQIV SA 4.

P

1 4 1 1 1 8 2 5 2 6 2 7 2 8 2 9

1 9 2 0 2 1 2 2 2 3

1 2 1 3 1 4 1 5 1 6

5 6 7 8 9 2 3 1 0 1 7 2 4

U S { P S N

‘ 0 8 F E B



VE@BAWE

Dat je skup A = {48, 65, 104, 164, 215, 240, 277, 310, 602, 745}. Napi{i skupove:

a) B = { x ⏐ x ∈ A i x je deqiv sa 2} ..................................................................................................................................

b) C = { x ⏐ x ∈ A i x je deqiv sa 5} ..................................................................................................................................

v) D = { x ⏐ x ∈ A i 10⏐ x } ......................................................................................................................................................

g) Zaokruì broj ispred ta~nog odgovora.

1) C ⊂ D 2) B ⊂ D 3) D ⊂ C

1

Dopuni re~enicu.

a) Svaki broj deqiv sa 10 deqiv je i sa

...............................................................................

b) Svaki broj deqiv sa 100 deqiv je i sa

...............................................................................

2

Napi{i najmawi ~etvorocifreni broj koji je

deqiv sa 9 i koji po~iwe cifrom 6.

Traèni broj je: ................................................

6

Napi{i najve}i petocifreni broj kojipo~iwe cifrom 4, ~ije se ostale cifremogu ponavqati i koji je deqiv sa 9.

Traèni broj je: .....................................

7

U {estocifrenom broju 15 x 31 y odredi sve cifre x i y tako da dobijeni broj bude deqivi sa 2 i sa 5.

x ∈ { .................................................................. y ∈ { ..................................................................

5

3 Odredi sve vrednosti cifre ctako da dati broj bude deqiv sa 4.

a) 2 7c0 .................................

b) 50 63c ...............................

4Napi{i najmawi trocifreni broj i najve}i~etvorocifreni broj koji su deqivi sa 3i ~ije su sve cifre razli~ite.

Trocifreni broj ..........................................................

êtvorocifreni broj ................................................

NULA JE DEQIVA

SVAKIM BROJEM.



Izra~unaj koli~nik k i ostatak r pri deqewu broja 87 658 brojem 3.

k = .............................., r = ....................

8

a) Koliki je ostatak pri deqewu brojeva3 647 021 i 20 010 122 sa 3? Primenipravilo o zbiru wihovih cifara

dato u okviru.

• 3 647 021 ...................................

• 20 010 122 ................................

b) Odredi ostatke pri deqewuistih brojeva brojem 9. Koristi

prethodni postupak.

• 3 647 021 ...............................

• 20 010 122 ...............................

9

Ostatak broja 87 658 pri deqewu sa 3 mo`e se

na}i i na drugi na~in.

1. korak 8 + 7 + 6 + 5 + 8 = 34

2. korak 34 : 3 = 11

– 33

1

Ostatak pri deqewu broja 87 658 sa 3 je 1.

Ostatak broja pri deqewu sa 3 isti je kao

i ostatak zbira wegovih cifara pri deqewu sa

10Upi{i bar jedan broj u svaki deoVenovog dijagrama.

11

Dobijeni brojevi su:

.................................................................

b

r o

j e v i d e q i v

i sa 4 sa d r ̀ a o c i

b r o

j a

3

p a r

n i b r o j e vi d e q

i v i

s a 5

OSTATAK PRI

DEQEWU SA 9

MO@E BITI:

, 1, 2, 3, 4, 5,

6, 7 I 8.

SETI SE

KORAKA IZ

7. ZADATKA

A STRANI 98.

U petocifrenom broju 10 a8b odredi svecifre a i b tako da dobijeni brojevi bududeqivi i sa 9 i sa 5.



PRE VI[E OD TRIDES

E T GODINA NAU^NICI

SU SE ZAPI TALI KAKAV

BI TO BIO U N I V E R Z A

L N I

J E Z I K U Î TAVOM SVE

MIRU KOJI BI MOGLA

DA SHVA TE VANZEMAQ

SKA IN TELIGEN TNA BI

]A.

ZAKQUÎLI SU DA TO

MORAJU BI TI BROJEV

I.

SVE [ TO NAS OKRU@UJE, Î TAV SVE

T OKO NAS, MO@E SE I

ZRAZI TI POMO ]U BRO

JEVA.

JEDAN OD ÛVENIH NI

ZOVA BROJEVA: 1, 1, 2,

3, 5, 8, 13, 21… NAZIVA SE FIBONAÎJEV

NIZ.

PRAVILO PO KOJEM S

E BROJEVI U WEMU RE

\AJU PRILI^NO JE JE

DNOS TAVNO: SVAKI SLEDE ]I

DOBIJA SE SABIRAWE

M PRE THODNA DVA. NA

PRIMER: 1 + 1 = 2, 2 +

3 = 5, 3 + 5 = 8, 8 + 13

= 21…

SADA MO@E[ SAM DA

DODAJE[ NOVE ^LAN

OVE FIBONAÎJEVOM

NIZU.

AKO PA@QIVO IZBRO

JIMO QUSPE NA JEDNOJ OD [

I[ARKINIH

SPIRALA, DOBI ]EMO N

EKI OD BROJEVA IZ FI

BONAÎJEVOG

NIZA, NA PRIMER: 8,

13 ILI 21. I SUNCOKRE

T JE „POZNAVALAC“

MA TEMA TIKE. BROJEV

I WEGOVIH SEMENIH P

LODOVA

ODGOVARAJU ^LANOVI

MA FIBONAÎJEVOG N

IZA:

55, 89, 144 I TD.

OD SVIH NIZOVA BROJ

EVA NEKAKO „NAJNEPRI

RODNIJI“

JE: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17…

, JER DO SADA NIJE P

RONA \ENA

NIJEDNA POJAVA U PR

IRODI KOJU BISMO M

OGLI DA

OPI[EMO TIM NIZO

M. ZA TO SU NAU^NICI

IZABRALI

BA[ TE BROJEVE KAO PORUKU ZEM

QANA. SIGNALIMA

SU MO ]NIM RADIO- TE

LESKOPIMA POSLA TI DALEKO

U SVEMIR. JO[ UVEK

ÊKAMO I OSLU[KUJ

EMO

ODGOVOR NA NA[U PO

RUKU.

PROSTI I SLO@ENI BROJEVI.RASTAVQAWE BROJEVA NA PROSTE ÎNIOCE

1 Kojim brojevima moè{ podeliti broj 11? .................................

2 Popuni tabelu kao {to je zapo~eto.

Od datih brojeva napi{i one koji imaju:

a) samo dva delioca

.................................

b) vi{e od dva delioca.

.................................

broj delioci brojabroj

delilaca

1 1 1

2 1,2 2

3 2

4 1, 2, 4

8 4

12

19

24

BROJEVE

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17…

NAZIVAMO PROSTI

BROJEVI.

BROJ 3 JE PROST B

A 12 JE SLO@EN BR



3 Na liniji pored svakog broja napi{i slovo P ako je broj prost ili slovo S ako je broj sloè

9 ........ 21 ........ 97 ........ 19 ........ 121 ........ 61 ........ 224 ........

Prost broj je prirodni broj koji ima samo dva delioca: 1 i sam taj broj.Sloèn broj je prirodni broj koji ima vi{e od dva delioca.

Broj 1 ne ubrajamo ni u proste ni u sloène brojeve.

4 Zaokruì proste brojeve.

6 Od 6 plo~ica oblika kvadrata moè{ sastaviti samo dva pravougaonika

razli~itih stranica.

Broj 6 je napisan u oblikuproizvoda na dva na~ina:

6 = 1 @ ........

6 = ........ @ ........

5 Napi{i proste brojeve mawe od 20.

........, ........, ........, ........,

........, ........, ........, ........

13 33235

475

23 26 69

Pravougaonici obeleèni slovima A i B,kao i pravougaonici obeleèni slovimaC i D, jednakih su stranica i povr{ina,

ali su u razli~itim poloàjima.

6 = 3@

2 6 = 2@

36 = 1@

6

6 = 6 @ 1

6 = 6 @ 1

6 = 2 @ 3 A

B

C D

SETI SE PRAVILA

DEQIVOSTI.

JEDINI PARAN

PROST BROJ JE 2.



8 Nastavi zapo~eto povezivawe.

10 Napi{i u obliku proizvoda prostih brojeva:

a) broj 42 b) broj 315 v) broj 196 g) broj 243

42 = 2 @ .............. ............................. ............................. .............................

9 Zaokru`i slova ispred brojeva koji sunapisani kao proizvodi prostih ~inilaca.

a) 121 = 11 @ 11

b) 27 = 3 @ 9

v) 35 = 5 @ 7

g) 17 = 1 @ 17

42

36

81

56

48

2 @ 2 @ 2 @ 7

2 @ 2 @ 2 @ 6

2 @ 3 @ 7

2 @ 2 @ 3 @ 3

Kada se neki broj rastavqa na proste ~inioce, na primer

broj 30, mogu se koristiti slede}i koraci:1. korak Broj 30 je deqiv sa 2.

30 = 2 @ 15

2. korak Broj 15 nije prost broj i deqiv je i sa 3 i sa 5.30 = 2 @ 3 @ 5

3. korak Brojevi 2, 3, 5 su prosti brojevi.

Kra}i zapis prethodnog

postupka:

30 = 2 @ 3 @ 5

30

15

5

1

2

3

5

4 2 2 3 1 5 3

1 0 5 3

3 5

7

1

Od 12 plo~ica oblika kvadrata sastavi sve pravougaonike razli~itih stranica.Nacrtaj svaki takav pravougaonik, kao u primeru 6.

Napi{i broj 12 u obliku proizvoda prostih brojeva. 12 = ........ @ ........ @ ........

Broj 12 napi{i u obliku proizvoda.

12 = ........ @ ........ 12 = ........ @ ........ 12 = ........ @ ........

7

PROSTE KOJIMA D

BROJ MO@E

BILO KOJ

REDOSLED

U PROI

NIJE



Pored svakog broja napisano je

onoliko praznih poqa koliko datibroj ima delilaca. Popuni ih.

a) 997

b) 998

v) 999

104

11 Rastavi broj 210 na proste ~inioce.

210 = ............................................

Svaki broj moè se rastaviti na proste ~inioci na ovaj na~in:

1. korak 210 = 21 @ 10

2. korak 210 = 7 @ 3 @ 2 @

210

21 10

7 3 2 5

Skup svih delilaca nekog broja, na primer broja 140, moè se odrediti

i na slede}i na~in.

1. korak Rastavqamo broj 140

na proste ~inioce.

140

70

35

7

1

2

2

5

7

2. korak Skup svih delilaca broja 140 ~ine:

• prosti brojevi 2, 5, 7

• brojevi dobijeni kao proizvod dva ~inioc2 @ 2 = 4 2 @ 5 = 10 2 @ 7 = 14 5 @ 7

• brojevi dobijeni kao proizvod tri ~inioc2 @ 2 @ 5 = 20 2 @ 5 @ 7 = 70

3. korak Traèni skup je:{1, 2, 5, 7, 4, 10, 14, 28, 35, 20, 70, 140}

12 a) Broj 75 rastavi na proizvod prostih ~inilaca.

75 = ............................................

b) Napi{i skup D svih delilaca broja 75.

D = ............................................

13

PODSETI SE:

SVAKI BROJ

JE DEQIV

SA 1 I SA SAMIM

SOBOM.



ZAJEDNI^KI DELILACI NAJVE]I ZAJEDNI^KI DELILAC

1 Majstor Vlasta koristi cigle visine 21 cm, a majstor Zvonko koristi cigle visine 14 cm.Jedan pored drugog zidaju zidove. Koliko redova cigala treba da nani`e Vlasta, a kolikoZvonko, da bi visine wihovih zidova bile jednake?

2 a) Dovr{i zapo~eto rastavqawe brojeva8 i 12 na proste ~inioce.

8 = ........ @ ........ @ ........ 12 = ........ @ ........ @ ........

b) Dopuni skupove D 8 i D 12 svih delilaca brojeva

8 i 12.

• D 8 = {1, ......., 4, .......} D 12 = {1, ......., ......., 4, .......,12

• Napi{i skup D svih zajedni~kih delilaca brojev

8 i 12.D = {......., ......., .......}

• Najve}i broj iz skupa D je ........

Vlasta je nanizao ........... reda. Zvonko je nanizao ........... reda.

8

1

2

2

2

12

1

2

2

3

Najve}i broj iz skupa D naziva se najve}i zajedni~ki delilacbrojeva 8 i 12 i zapisuje NZD (8, 12) = 4.

Najve}i zajedni~ki delilac mo`e se odrediti i pomo}u skra}enogpostupka prikazanog na brojevima 24 i 36.

Oznaka NZD zna~i:

24 = 2 @ 2 @ 2 @ 3 36 = 2 @ 2 @ 3 @ 3 NZD (8, 12) = 2 @ 2 @ 3 = 12

24

12

6

31

2

2

2

3

36

18

9

31

2

2

3

3

24, 36

12, 18

6, 9

2, 3

2

2

3

Najve}i zajedni~ki delilac za dva prirodna broja ili vi{e wih jeste najve}i brojkojim je deqiv svaki od datih brojeva.

BROJEVI

DELE I

I BRO

N – na jve}i

Z – za jedni~ki

D – delilac



3 Koji je najve}i zajedni~ki delilac brojeva:

4 Odredi:

a) NZD (96, 64) = ..........

b) NZD (25, 36) = ........

5 Koji je najve}i zajedni~ki delilac datih brojeva? Zaokru`i slovo ispred brojeva koji suuzajamno prosti.

6 Odredi:

a) NZD (8, 12, 20)

7 Dve vre}e jabuka, jednu od 36 kg sorte deli{es i drugu od 42 kg sorte jonatan, treba

prepakovati u mawe, jednake vre}e tako da u svakoj budu jabuke iste sorte. Izra~unajnajve}u koli~inu jabuka koju treba staviti u svaku mawu vre}u.

U svaku vre}u treba staviti ........ kg jabuka.

NZD (8, 12, 20) = ........

a) 9 i 8 b) 46 i 69 v) 111 i 123

NZD (9, 8) = ........ NZD (46, 69) = ........ NZD (111, 123) = ........

a) 12 i 16

b) 75 i 60

NZD (12, 16) = ........ @ ........ = ........

NZD (75, 60) = ........ @ ........ = ........

12, 16

6, 8

2

2

75, 60

15, 20

5

Dva broja su uzajamno prosta ako jewihov najve}i zajedni~ki delilac

broj 1.Na primer: 9 i 16 su uzajamnoprosti jer je NZD (9, 16) = 1.

b) NZD (45, 75, 60)

NZD (45, 75, 60) = ........

NEKE PROBLEMSKE

ZADATKE MO@E[ DA

RE[AVA[ PRIMENOM

NAJVE]EG ZAJEDNI^KOG

DELIOCA.



Najmawi broj iz skupa S naziva se najmawi zajedni~kisadràlac brojeva 6 i 8 i zapisuje se NZS (6, 8) = 24.

Najmawi zajedni~ki sadràlac moè se odrediti skra}enimpostupkom prikazanim za brojeve 12 i 18.

ZAJEDNI^KI SADR@ALACI NAJMAWI ZAJEDNI^KI SADR@ALAC

1 a) Vera trenira ma~evawe svakog ~etvrtogdana u mesecu po~ev{i od 4. u mesecu.

2 Odredi:

a) skup S 6, ~iji su elementi prvih devet sadràlaca broja 6.

S 6 = {...............................................................................................................

b) skup S 8, ~iji su elementi prvih devet sadràlaca broja 8.

S 8 = {...............................................................................................................

v) odredi skup S zajedni~kih sadràlaca brojeva 6 i 8.

S = {.................................................................................................................

g) najmawi broj iz skupa S je ...........

pon. ut. sr. ~et. pet. sub. ned.

1 2 3 4 5

6 7 8 9 10 11 12

13 14 15 16 17 18 19

20 21 22 23 24 25 26

27 28 29 30 31

1 2 3

4 5 6

7 8 9

10 11 12

13 14 1516 17 18

19 20 21

22 23 24

25 26 27

28 29 30

31 32 33

34 35 36

37 38 39

Zaokruì dane kojima Vera ima treninge.

12 = 2 @ 3 @ 2 18 = 2 @ 3 @ 3 NZS (2, 18) = 2 @ 3 @ 2 @ 3 = 36

12

6

2

1

2

3

2

18

9

3

1

2

3

3

12, 18

6, 9

2, 3

1, 31

2

3

2

3

Najmawi zajedni~ki sadràlac za dva prirodna broja ili vi{e prirodnih brojeva jeste najmawi broj u kojem se dati brojevi sadrè.

PRVIH SEDAM SADR@ALACA

BROJA 5 SU:

1 @ 5, 2 @ 5, 3 @ 5, 4 @ 5,

5 @ 5, 6 @ 5, 7 @ 5

BROJEVI 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28…

SU SADR@AOCI BROJA 4.

BROJEVI

SADR@ANI

BROJEVIMA

b) Popuni deo listi}a za lototako {to }e{ precrtatisvaki broj koji moè{podeliti sa 5.

Oznaka NZS zna~i:

N – na jmawi

Z – za jedni~ki

S – sadràlac



3 Izra~unaj najmawi zajedni~ki sadràlacza brojeve:

6 Zaokruì slovo ispred ta~nog tvr|ew

a) NZS (6, 10) = 30

b) NZS (12, 10, 20) = 240

5

7 Dve neonske reklame na restoranuukqu~uju se istovremeno. Jedna trepne

na svakih 9 sekundi, a druga na svakih15. Koliko }e sekundi pro}i dok obereklame ne trepnu istovremeno?

Obe reklame }e istovremeno trepnutiza

............sekundi.

NZS (24, 42) = ............

4 Odredi:

a) NZS (13, 17) b) NZS (100, 12

a) 25 i 30 b) 42 i 63

NZS (25, 30) = ............ NZS (42, 63) = ............

25, 30

5, 6

5

2

42, 63

14, 21

3

7

NZS (4, 12, 20) = ............

............................

.

Najmawi zajedni~ki sadràlac uzajamno

prostih brojeva je wihov proizvod.Na primer, brojevi 9 i 16 su uzajamno prosti.

NZS (9, 16) = 9@

16 = 144

NEKE PROBLE

ZADATKE MO

DA RE[I

PRIMENO

NAJMAWE

ZAJEDNI^K

SADR@AOC

Odredi:

a) NZS (24, 42)

b) NZS (4, 12, 20)

.....................................



VE@BAWE

Odredi najve}i zajedni~ki delilac brojeva:

a) 20, 30 b) 18, 24 v) 15, 50, 75

NZD (20, 30) = ........... NZD (18, 24) = ........... NZD (15, 50, 75) = ...........

1

Odredi najmawi zajedni~ki sadràlac brojeva:

a) 9, 36 b) 18, 24 v) 7, 12, 28

NZS (9, 36) = ........... NZS (18, 24) = ........... NZS (7, 12, 28) = ...........

2

Odredi NZS i NZD brojeva:

a) 11, 13 b) 150, 600 v) 70, 105, 140

NZS (11, 13) = ........... NZS (150, 600) = ........... NZS (70, 105, 140) = ...........

NZD (11, 13) = ........... NZD (150, 600) = ........... NZD (70, 105, 140) = ...........

3

Zaokruì slovo ispred ta~nog tvr|ewa.

a) NZD (7, 49) = 7 b) NZD (28, 35) = 28

4 Zaokruì slovo ispred ta~nog tvr|ewa.

a) NZS (4, 8) = 32 b) NZS (5, 7, 9) = 315

5



Izra~unaj NZD i NZS zanajve}i dvocifrenii najve}i trocifreni broj.

NZD (............, ............) = ............

NZS (............, ............) = ............

6

a) Odredi NZD (42, 63).

NZD (42, 63) = ............

7

Jelena ima dva vunena konca duìne 132 cm i 168 cm. Treba da ih ise~e na jednake delove najve}e mogu}e duìne kako bi napravila rese na svom {alu.

a) Kolika je duìna jedne rese? .....................................

b) Koliko resa Jelena moè ise}i od konca duìne 132 cm? .....................................

v) Koliko resa Jelena moè ise}i od konca duìne 168 cm? .....................................

g) Koliko je ukupno resa Jelena isekla? .....................................

9

1. KORAK: ODRE\IVAWEMNZD (132, 168) DOBI]E[ NAJVE]U

DU@INU RESE NA KOJU MO@E[ SE]

OBA KONCA.

2. KORAK: POGLEDAJ KAKO JE URA\E

ZADATAK 7 B) NA OVOJ STRANI.

DOBI]E[ REZULTAT POD B) I V)

3. KORAK: SABERI REZULTATE

DOBIJENE POD B) I V).

b) Popuni prazna poqa koriste}i {emu pod a).

• 42 = NZD (42, 63) @

• 63 = NZD (42, 63) @

a) Odredi NZS (25, 45).

NZS (25, 45) = ............

8 b) Popuni prazna poqa koriste}i {emu pod a).

• NZS (25, 45) = 25 @

• NZS (25, 45) = 45 @



Xak crvenog krompira od 45 kg i xak belog od 60 kg treba prepakovati u mawe, jednake kese ne me{aju}i vrste krompira.

a) Izra~unaj najve}u koli~inu krompira koju mo`e{ staviti u svaku kesu.

b) Koliko je takvih kesa dobijeno ovim prepakivawem?

a) U svaku kesu treba staviti .....................................kg krompira.

b) Dobijeno je ..................................... kesa.

10

Petar i Aca istovremeno startuju u vo`wi bicikla na kru`noj stazi u parku.Petar obi|e stazu za 8 minuta, a Aca za 6 minuta.

a) Koliko minuta treba da pro|e da bi se Petar i Aca ponovo sreli na mestu s kojeg su po{li?

...........................................................................................................

b) Koliko je krugova obi{ao Petar, a koliko Aca, pre nego {to su se ponovo sreli?

...........................................................................................................

11

Obim predweg to~ka traktora je 225 cm, a zadweg 375 cm. Koliku najmawu du`inu puta

treba da pre|e vozilo da bi se oba to~ka okrenula ceo broj puta?.....................................

12

1. KORAK: ODRE\IVAWEM NZS (8, 6)

DOBI]E[ VREME DO PRVOG PONOVNO

PETROVOG I ACINOG SUSRETA NA MES

S KOJEG SU PO[LI.

2. KORAK: POGLEDAJ KAKO JE URA\E

ZADATAK 8 B) NA PRETHODNOJ STRAN

DOBI]E[ REZULTAT POD B).

60 kg 45



Na liniji napi{i sve vrednosti cifre x trocifrenog broja 28 x tako da taj brojbude deqiv sa:

a) 2 b) 3 v) 4 g) 5

..................................... ..................................... ..................................... .....................................

13

Odredi najve}i ~etvorocifreni brojs razli~itim ciframa koji je deqivbrojevima 9, 2 i 5.

Najve}i tra`eni broj je ...............

14

Nastavi da povezuje{ kao {to je zapo~eto.

NZD (100, 1 000)

NZD (10 000, 1 000)

NZD (10, 100)

NZD (10 000, 100 000)

10

100

1 000

10 000

100 000

16

Nastavi da povezuje{ kao {to je zapo~eto.17

Ana, Milica i Milena treniraju odbojku.Prvi zajedni~ki trening imale su 3. septembra.Ana trenira svakog ~etvrtog dana, Milica

svakog drugog dana, a Milena svakog tre}egdana. Koliko }e puta u septembru sve tritrenirati zajedno? Navedi datume.

.............................................................................................

18

Zvezdice u sedmocifrenom broju3732 zameni istom cifromtako da broj bude deqiv sa 3.

Koje sve cifre mo`e{ napisati umesto

.................................

15

NZS (100, 1 000)

NZS (10 000, 1 000)

NZS (10, 100)

NZS (10 000, 100 000)

100 000

10 000

1 000

100

10

NZS (10, 100) = 100

JER JE BROJ 100

SADR@ALAC

BROJA 10.

po ut sr ~e pe su

1

3 4 5 6 7 8

10 11 12 13 14 15

17 18 19 20 21 22

24 25 26 27 28 29

NZD (10, 100) = 10

JER JE BROJ 10

DELILAC

BROJA 100.



Kola~ je ispe~en u plehu duìne 56 cm i {irine 48 cm.Treba ga ise}i na najve}e mogu}e komade kvadratnog oblika.Koliko je komada kola~a ise~eno?

Ise~eno je ..................................... komada kola~a.

19

Tri autobusa kre}u se razli~itim mar{rutama, a polaze

sa iste po~etne stanice. Prvi pre|e put od po~etne dokrajwe stanice i nazad za 1 h, drugi za 1 h 15 min, a tre}iza 2 h. S po~etne stanice u 5 h po{la su sva tri autobusa.

U koliko sati su sva tri autobusa ponovo po{lasa po~etne stanice?

..............................................................

20

Pretpostavimo da u nekom udaqenom delu univerzuma postoji zvezda sa 4 planete koje kruèoko we. Prva planeta napravi jedan krug oko zvezde za tri zemaqske godine. Drugoj planetiza to je potrebno 5 zemaqskih godina, tre}oj 8, a ~etvrtoj 12. Pretpostavimo da u jednomtrenutku sve planete zauzmu poloàj kao na slici. Posle koliko godina }e planete prvi put

ponovo zauzeti taj poloàj?

21

JUPITER JE NAJVE]A PLANETA SUNÊVOG SISTEMA

I, PREMA NAJNOVIJIM ISTRA@IVAWIM

A, OKO

WEGA KRU@E 63 MESECA.

ÊTIRI NAJVE]A JUPITEROVA MESECA O

TKRIO JE

SLAVNI ITALIJANSKI NAU^NIK GALILE

O GALILEJ

PRE SKORO ÊTIRI STOTINE GODINA.

GALILEJEVI MESECI DOBILI SU IMEN

A PO

GR^KIM BO@ANSTVIMA: GANIMED, KALI

STO, IO,

EVROPA (SNIMCI SVEMIRSKE SONDE G A

L I L E O ).

Isti poloàj sve planete ponovo }e zauzeti posle ................ godina.

OVAKAV

PLANETA

SE KONJ



PRIMENA DEQIVOSTI – VE@BAWE

114

Napi{i dva uzastopna sadràoca broja 53izme|u kojih se nalazi broj 250.

Na liniji napi{i sve prirodne brojeve mawe od 20 koji se mogu izraziti u obliku proizvoddva prosta broja.

Napi{i skup cifara koje moè{ stavitiumesto u trocifrenom broju 18 takoda vaì 12⏐18.

∈ {........................................................................

Odredi:

a) NZD (60, 84) b) NZS (60, 84)

........................ ........................

Iz skupa {1, 2, 3, 6, 8, 9,12, 15, 16, 24, 26,32, 33, 48} izdvoj skup delilaca broja 96.

Odgovor: ..............................................................

Odgovor: ..........................................................................................................................................................................

Skup delilaca broja 96 je: .................................

.........................................................................................

Dobijeni brojevi: 47 250, ........................

..............................................................................

Najmawi zajedni~ki sadràlac moè seodrediti, ako je poznat NZD, kori{}ewem jednakosti:

a ⋅ b = NZD (a, b) ⋅ NZS (a, b).

Na primer, za brojeve 60 i 84 primeni slede}postupak:

1. korak Odredi NZD (60, 84).

2. korak NZS (60, 84) = (60 @ 84) : NZD (60, 84

Odredi cifre koje mogu da zamene x iu petocifrenom broju 47 x 5 y tako da bdeqiv sa 15.

1

2

3

4

6

5



a) Odredi x tako da je NZD (6, x ) = 6 i x < 40. ......................................................................................

b) Odredi x tako da je NZS (45, x ) = 45.....................................................................................................

Kojim najve}im brojem treba podeliti

brojeve 103 i 124 da bi ostaci redombili 3 i 4?

............................

Koji je najmawi broj, razli~it

od jedinice, koji pri deqewu sa15 i 18 ima ostatak 1?

............................

Odredi tri uzastopna prirodnabroja ~iji je proizvod 210.

.........................................................

Odredi tri uzastopna neparnabroja ~iji je proizvod 315.

.........................................................

CVR^CI SU

ÎJI @IVO

CIKLUS TRA

GODINU IL

VE]I DEO

PROVODE P

ZEMQOM.

IAKO CVR^

[TETOÎN

ZAJEDNI^

POJAVQI

JE PRAVA

Jedna populacija cvr~aka izlazi iz zemqe svakih13 godina, a druga svakih 17 godina.

a) Koliko godina pro|e izme|u dva zajedni~kapojavqivawa tih populacija cvr~aka iznad zemqe?

............................................................................................................

b) Da li jedan ~ovek moè da vidi dva puta tu pojavu?

...........................................................................................................

TRI UZAS

PRIRODNA

SU: 2, 3

• TRI UZAST

NEPARNA BROJA S

• TRI UZASTOPN

BROJA SU: 4,

7

9

10

12

11

8



Igor i Du{ko treniraju tr~awe na 10 000 m. Igor pretr~i jedan krug za 75 sekundi, a Du{koza 80 sekundi.

a) Ako startuju istovremeno, posle koliko }e minuta opet zajedno pre}i startnu liniju? ......

b) Koliko }e krugova pretr~ati Igor, a koliko Du{ko, do prvog ponovnog susreta na startu?

Igor: .................. Du{ko: ..................

v) Da li }e pre prvog susreta na startu Igor jo{ jednom presti}i Du{ka? ..................

g) Zaokruì odgovor koji predstavqa pribli`no vreme trajawa trke.

• mawe od 30 minuta • ta~no 30 minuta • vi{e od 30 minuta

JEDAN KRUG STAZE ZA

FORMULU 1 U MA\ARSKOJ

IZNOSI 4 381 m. UKUPNO

SE VOZI 70 KRUGOVA,

[TO JE OTPRILIKE 306

Na trci formule 1 dva bolida su startovala

istovremeno. Prvi jedan krug pre|e za 80 sekundi,a drugi za 90 sekundi.

a) Posle koliko sekundi su se oba bolida

prvi put sustigla na mestu s kojeg su po{la? ......................

b) Koliko je to minuta? ..............................

\or|e ima podlogu za slagawe kockica. Podloga je oblika pravougaonika {irine 12 cmi duìne 20 cm.

a) Zaokruì brojeve ispred vrste kockica kojima \or|e moè da pokrije celu podlogu.

b) \or|e èli da prekrije plo~u kockicama kvadratne osnove.

• Kolika je najve}a mogu}a stranica jedne takve kockice? ..............• Koliko je takvih kockica potrebno? ..............

POGLEDA

U UVODNO

PRIMERU N

STRANI 80 KO

JE DU@IN

JEDNOG KRU

ATLETSKE ST

1)

2)

3)

4)

13

14

15



Na primer:

24 = 2 @ 2 @ 2 @ 3

18 = 2 @ 3 @ 3

NZS (24, 18) = 2 @ 3 @ 2 @ 2 @ 3 = 72

72 = 24 @ 3 72 = 18 @ 4

ZAPAMTI

ÎNILAC (DELILAC)

• broj koji deli dati brojbez ostatka

Na primer, ~inioci(delioci) broja 24 su:

1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24

NZD

• najve}i zajedni~kidelilac

Na primer:

24 = 2 @ 2 @ 2 @ 3

18 = 2 @ 3 @ 3

NZD (24, 18) = 2 @ 3 = 6

24 = 6 @ 4 18 = 6 @ 3

NZS

• najmawi zajedni~ki sadràlac

SADR@ALAC

• broj koji sadrì dati broj (koji je deqiv datim brojem)

24 je sadràlac za brojeve:1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24.

Svaki broj ima mnogo sadràlaca.Na primer, sadràoci broja 3 su:

3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24...

SLO@EN BROJima vi{e od dva ~inioca(delioca)

Broj se moè rastavitina PROSTE ~inioce:24 = 2 @ 2 @ 2 @ 3

PROST BROJ ima samodva ~inioca (delioca):

jedinicu i sam taj broj.

UZAJAMNO PROSTIBROJEVI

NZD dva uzajamno prostabroja je 1;NZS dva uzajamno prostabroja je wihov proizvod.

24

1 @ 24 2 @ 12 3 @ 8 6 @ 4

PRAVILA DEQIVOSTIbroj je deqiv sa

2 3 4 5 9 10

posledwa cifra broja je 0 ☺ ☺ ☺

posledwa cifra broja je 2, 4, 6 ili 8 ☺

posledwa cifra broja je 5 ☺

dvocifreni zavr{etak broja je deqiv sa 4 ☺ ☺

zbir cifara broja je deqiv sa 3 ☺

zbir cifara broja je deqiv sa 9 ☺ ☺



I TO JE MATEMATIKA

1 Na gomili se nalazi 100 ètona. Dva igra~a naizmeni~no uzimaju bar jedan,a najvi{e pet ètona. Pobe|uje onaj igra~ koji posledwi uzme ètone.Koji igra~ ima pobedni~ku strategiju ako na gomili ima 100 ètona?

..........................Koliko ètona uzima prvi put?..........................

Ako ne moè{ da odgovori{ na prethodna pitawa, odigraj igru sa 10 ètona,kao {to su to uradili Vesna i Jovan.Vesna igra prva.

Prvi na~in1. Vesna uzima jedan èton.

2. Jovan uzima ...........................

3. Vesna uzima ...........................

4. Jovan uzima ...........................

Da li Jovan moè da obezbedi pobedu? ..........................

Koliko ètona Jovan ne sme da uzme? ..........................

Drugi na~in

Vesna uzima dva ètona.


Tre}i na~in

Vesna uzima tri ètona.


êtvrti na~in

Vesna uzima ~etiri ètona.


Neka Vesna i Jovan igraju ovu igru ako na stolu ima 20, 18 ili 50 ètona.

Kako Vesna ili Jovan mogu da obezbede pobedu? Poku{aj da odgovori{ na ovo pitawe.

....................................................................................................................................................

....................................................................................................................................................

....................................................................................................................................................

OSTAC

DEQ

SA 6

1, 2, 3

SLAVNI MATEMATIÂR XORX POQA NAPISAO JE KWIGU K AK O R E [ I T I

M AT E M AT I ̂ K I Z ADAT AK . ON PREDLA@E DA, AKO NE MO@E[ ODMAH DA URADI[

ZADATAK, PROBA[ DA RE[I[ NEKI SLIÂN, JEDNOSTAVNIJI ZADATAK.

TAKO ]E[ LAK[E UOÎTI PRAVILO, POSTUPAK ZA RE[AVAWE.

U SLEDE]IM ZADACIMA OPISANE SU DVE MATEMATI^KE IGRE. ODIGRAJ IH

I POKU[AJ DA IZGRADI[ POBEDNI^KU STRATEGIJU. IGRA^ IMA POBEDNI^KU

STRATEGIJU AKO MO@E DA ISPLANIRA REDOSLED KORAKA TAKO DA UVEK

POBE\UJE BEZ OBZIRA NA TO KAKO IGRA WEGOV PROTIVN

IK.



2 Na prva tri poqa trake nalazi se po jedan èton. Traka ima, na primer, 20 poqa. Jednim potezomdozvoqeno je premestiti bilo koji èton na proizvoqno slobodno poqe udesno, ali se drugiètoni ne smeju preskakati. Igraju dva igra~a i gubi onaj koji ne moè da povu~e potez.

Luka je na svoj dvanaesti ro|endan pozvao 30 drugova i drugarica. Pripremio je, izme|u ostalog,

i 30 plasti~nih ~a{a, prevrnute ih pore|ao na sto i na svakoj napisao jedan broj od 1 do 30 redom.

Wegovi drugari su se dogovorili dase malo na{ale. Prvi gost je prevrnuosvih 30 ~a{a na drugu stranu.

Drugi gost je svaku drugu ~a{u

okrenuo naopako – vratio ih jeu prvobitni poloàj.

Tre}i je svakoj tre}oj ~a{ipromenio poloàj – okrenuoih je na drugu stranu.

I tako su prevrtali ~a{e, ~etvrti svaku ~etvrtu, peti svaku petu ... dok se nije izre|alo svih 30 gostiju

Koje ~a{e ne}e biti okrenute onako kako ih je Luka postavio? ..............................

Da je bilo 100 ~a{a i 100 gostiju, koje bi ~a{e ostale neprevrnute? ..............................

• Ako ne zna{ da odgovori{ na ova pitawa, poslu{aj savet Xorxa Poqe i prvo re{i slede}e zadatke.

1. Moè{ da dovr{i{ crtawe niza za 10 ~a{a i prvih 10 gostiju.

2. Ako ti je lak{e, moè{ da napravi{ eksperiment i proba{ to sa 10 ~a{a.

[ta si zakqu~io? Koje su ~a{e ostale neprevrnute? ..................................Za{to? .............................................................................................................................

3. Probaj da izvede{ zakqu~ak za 20 ~a{a.

U kom poloàju je na kraju ~a{a broj 18? ..............................U kom poloàju je na kraju ~a{a broj 16? ..............................

4. Napi{i svoj zakqu~ak. ........................................................................................................................................................

............................................................................................................................................................................................................

PRVA MOGU]NOST:

PRVI POTEZ PRVOG IGRA

JESTE DA POMERI TRE]

@ETON ZA JEDNO POQ

UDESNO. KO MO@E DA POB

DRUGA MOGU]NOST:

PRVI POTEZ PRVOG IGRA

JESTE DA POMERI TRE

@ETON NA KRAJ TRAKE

DA LI JE SADA PRVI IG

U PREDNOSTI?

Opi{i pobedni~ku strategiju.

...........................................................................................................................................................

...........................................................................................................................................................

...........................................................................................................................................................


DA BI ODGOVORIO

4. PITAWE, NAPI[I DELIOCE BROJA 1

KOLIKO IH IMA? KOJ

SVE DELIOCI BROJ

I KOLIKO IH IMA

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

1 2 3 4 5 6 7 8 9 0

1 2 3 4 5 6 7 8 9 1

1 2 3 4 5 6 7 8 9 1

?

. . .



2. Na crteù su prikazani {tapovi i wihove senke u isto vreme

na razli~itim mestima na Zemqi.

Na osnovu crteà odgovori na pitawa.

a) Kakav ugao grade {tapovi s ravnom podlogom? ..........................

b) Kakvi su osen~eni uglovi? Zaokruì ta~an odgovor.

• o{tri • pravi • tupi

v) Na kojoj slici je najve}i od osen~enih uglova? ..........

g) Na kojoj slici je najmawi od osen~enih uglova? ..........

MATEMATIÂR ERATOSTEN @IVEO JE U EGIPTU PRE VI[E

OD 2 200 GODINA. UOÎO JE VA@NU POJAVU: [TAPOVI

POSTAVQENI U ISTO VREME NA RAZLIÎTA MESTA

NA ZEMQI BACAJU RAZLIÎTU SENKU. NA OSNOVU

TOG ZAPA@AWA, VERUJU]I DA JE ZEMQA OKRUGLA

I PRIMEWUJU]I SVOJE ZNAWE O UGLU, DO[AO JE

DO ZAKQU^KA DA JE ZEMQIN OBIM 40 000

KILOMETARA. DANAS ZNAMO DA JE WEGOV REZULTAT

BIO VRLO BLIZU TA^NE VREDNOSTI.

SUNÊV SAT ILI GNOMON JE JEDNA OD

NAJSTARIJIH SPRAVA ZA MEREWE VREMENA.

QUDI SU VREME ODRE\IVALI PREMA

DU@INI SENKE [TAPA. [TAP SE POSTAVQA

POD UGLOM KOJI ODGOVARA GEOGRAFSKOJ

DU@INI MESTA NA KOJEM SE NALAZI.

U narednom poglavqu nau~i}ete da:

• merite uglove

• postoji jo{ vrsta uglova (komplementni, suplementni, unakrsni…)

• upore|ujete, sabirate i oduzimate uglove, konstruktivno

i ra~unski.

slika 1 slika 2 slika 3 slika 4



OBELE@AVAWE UGLOVA. VRSTE UGLOVA

Crte` prikazuje deo plana grada oko jedne

raskrsnice.

Koliko uglova uo~ava{? ...........

Jedan od wih je prav.

Obeleì sa A teme pravog ugla i prevuci wegove

krake crvenom bojom.

Osen~i oblasti

o{trih uglova.

1

Nastavi da obeleàva{ i zapisuje{ uglove kao {to je zapo~eto.3

Nacrtaj i osen~i oblast ugla:

a) AFC kojem pripadata~ka B

b) EFB kojem pripadajuta~ke G i A

v) DEF kojem ne pripadata~ka A

4

ZAPISIVAWE UGLA

• Koristimo oznaku i ozna~ene krake ugla,

ta~ke na kracima, teme ugla.

•Koristimo i slova gr~kog alfabetα, β, γ , δ...

O

O

O

x

y

xOy AOB O

O x

y

xOy

O

AO.... m.... ....

A

B

M

m

.... A ....

A

A

A

F B

EDC

A

F G

B

EDC

A

F GB

ED

C

α

GR^KA SLOVA ÎTA

α – ALFA

β – BETA

γ – GAMA

δ – DELTA

Ugaonu liniju ~ine dve poluprave sa zajedni~kim po~etkom.Jedna ugaona linija u ravni odre|uje dve oblasti koje nemaju zajedni~kih ta~aka.

Ugao je deo ravni koji ~ine ugaona linija i jedna od tih oblasti.

U prazna poqa upi{i

odgovaraju}e nazive.

Pogledaj definiciju uglana strani 63.

2

O

y

x



O x

y

Ugao je konveksan ako bilo koje dve ta~ke

koje pripadaju uglu odre|uju du` kojatako|e pripada tom uglu.

Ugao je nekonveksan ako neke dve ta~ke koje

pripadaju uglu ode|uju du` koja ne pripadatom uglu.

Koji je ugao od datih konveksan, a koji nekonveksan?Ispod svakog ugla na slici upi{i odgovaraju}u re~.

5

Napi{i pored svakog crteà da li je xOy o{tar, prav ili tup.6

Da li su svi osen~eni uglovi konveksni? .......

Koliko ima uglova koji su:

a) pravi .......

b) o{tri .......

v) tupi?.......

7

O x

y

O x

y

UGAONA

U RAVNI OD

UGLA, JEDA

I JEDAN NE

UKOLIKO U

DRUGAÎJE

PODRAZUME

RADI O KO

UG

Obeleì temena svih osen~enih uglova.

Konveksni su: .................................

Nekonveksni su: .................................

8

I MNOGOUGAO

BUDE KONVE

NEKONVEKSAN

U ZADATKU 7 JE

A PETOUGAO U

NEKONVE



Centralni ugao kruga jeste ugao ~ije je temecentar kruga, a kraci su odre|eni polupre~nicima.

Svakom centralnom uglu odgovara jedna tetiva datogkruga i jedan luk.

Odgovaraju}i luk uvek pripada oblasti ugla.

CENTRALNI UGAO, KRU@NI LUK, TETIVA.PRENO[EWE UGLA

Nosa~ brisa~a, kre}u}i se po povr{i automobilskog stakla,

opisuje geometrijsku figuru.

Zamisli da brisa~ pripada polupravoj, kao na slici 2.

Ta poluprava kre}e se sa brisa~em i opisuje figuru.

Kako se naziva ta figura? ......................

Ta~ka B je tim kretawem do{la u poloàj B1.

Kako se naziva figura koju predstavqa put od ta~ke B do B1?

...........................................................................................

1

Nacrtaj kru`nicu k(O, r ).

Obeleì na slici sa A i B prese~ne ta~ke kru`nice k

i krakova ugla xOy .[ta je zajedni~ki deo kru`nice k i datog ugla? ......................

Nacrtaj du` AB. Kako se naziva ta du`? ......................

2

a) Obeleì na slici redom sa A, B, C i D preseke

polupravih Oa, Ob, Oc i Od i date kru`nice.

b) Nacrtaj na slici odgovaraju}e tetive

i popuni tabelu.

ugao luk tetiva

aOb AB )

CD

BD )

3Nacrtaj, obeleì i zapi{i centralneuglove ~iji su lukovi obojeni crvenom,plavom i ùtom bojom na crteù.

...............................................................................

4

O

x

y

r

bB

A

a

d

ka

b

c

O

O

AKO JE U

KONVEKS

ODGOVARA

TETIV

PRIPAD

OBLASTI U

B1

B

Slika 1

Slika 2



Napi{i koji su od osen~enihuglova centralni.

.....................................................................

5

Nacrtaj na listu papira dve kru`nice k1(O, 3 cm) i k

2( A, 3 cm) koje nemaju zajedni~kih ta~a

i tetive MN prvog i PQ drugog kruga tako da je ⏐MN⏐ = ⏐PQ⏐. Izreì, a zatim preklopi uglMON i PAQ. Da li se oni potpuno preklapaju? ...........

9

Nacrtaj tetivu AB datog krugatako da je AB = 3 cm. Nacrtajcentralni ugao tog kruga kojem

odgovara ta tetiva.

6

Nacrtaj na listu papira kru`nicu k(O,4 cm). Nacrtaj tetive AB i BC tako da je

AB = BC = 4 cm. Nacrtaj i obeleì uglove AOB i BOC. Presavij papir po kraku OB.Da li su se kraci OA i OC poklopili? ...........

Da li su se lukovi AB i BC poklopili? ...........

7

Izmeri polupre~nik i tetive datog krugai precrtaj datu sliku na papir. Izreì uglove AOB i EOF . Preklopi krake OB i OE, a zatimi te uglove, kao {to je prikazano na slici desno.

Da li su se kraci OA i OF poklopili? ...........

Da li su se lukovi AB i EF poklopili? ...........

8

Dva centralna ugla (oba konveksna ili oba nekonveksna) jednog kruga ili krugova jednakih

polupre~nika podudarna su ako su im jednaki odgovaraju}i lukovi (jednake odgovaraju}e tetive)

AB CD

AB CD

AOB COD

) )

OA SC

AB CD

AB CD

AOB CSD

) )

AO

PODSETI S

KAKO DA

NACRTA[ TET

DATE DU@I

I POGLEDA

STRANU 71

ZADATAK 4

UGLOVI

AOB I BOCSU PODUDARNI.



Dati su ugao xOy i poluprava Ma. Konstrui{i

ugao aMb podudaran s uglom x Oy .

1. korakIzaberi proizvoqan polupre~nik r .Nacrtaj kru`nice k(O, r ) i k

1(M, r ).

Obeleì ta~ke preseka P, Q i A.

KONSTRUKCIJA UGLA KOJI JE PODUDARANDATOM UGLU

2. korakNacrtaj kru`nicu k

2( A, r = PQ).

3. korakObeleì sa B presek kru`nica k

1 i k2.

Poluprava Mb koja sadrì ta~ku B je drugikrak traènog ugla.

Ugao aMb podudaran je uglu x Oy ,{to se zapisuje aMb x Oy.

a) Nacrtaj i izmeri tetivedatih uglova, a zatimpopuni tabelu.

b) U prazna poqa upi{i

odgovaraju}i simbol,T ili ⊥.

10Koriste}i {estar i lewir, proverida li su dati uglovi podudarni.

Odgovor: ............

11ugao tetiva u mm

α

β

γ

δ

ϕ

α = β

β = δ

γ = β

δ = ϕ

ϕ = β

PODSETI SE KAKO KONSTRUI[E[ DU@

CD PODUDARNU S DU@I AB.

PROVERI MEREWEM:

• JEDNAKOST POLUPRE^

DATIH KRU@NICA

• JEDNAKOST TETIVA.



Konstrui{i mAn tako da jemAn = pOq.

12

Konstrui{i polupravu My tako da je aOb xMy .

a) b)

14

Uporedi polupre~nike datih krugova i uporedi odgovaraju}e tetive datog ugla.Dopuni nejednakosti.

Polupre~nici: ⏐OA⏐ < ........... < ...........

Tetive: ........... < ........... < ⏐EF ⏐Kako se nazivaju krugovi na crteù? .......................................

Dopuni re~enicu.

Za isti centralni ugao ve}em polupre~niku odgovara

...................... tetiva.

15

Avion je poleteo iz Sidneja ka ostrvuTonga, udaqenom od Sidneja 3 500 km.Zbog kvara na instrumentima skrenuo je s kursa za ugao α. Obeleì na

crteù mesto na koje }e sleteti poslepre|enih 3 500 km. Koristi razmerniks karte i izmeri koliko je to mestoudaqeno od Tonge.

.................................................................................

.................................................................................

16

Pravi uglovi su podudarni.Proveri to na slede}em crteù.

13

ODGOVARAJU

TETIVA NE

PRIPADA

NEKONVEKSNUGLU.

b

O a

M

x

M

b

a

O

Nova

Kaledonija

Sidnej

0 500 1000 km

Fixi

Valos i Futuna

Tonga

Pogo

α



PRAVA U RAVNI ODRE\UJE

DVA OPRU@ENA UGLA.

VE@BAWE

Napi{i sve uglove razli~ite od opruènihkoriste}i ta~ke date na wihovim kracima,kao {to je zapo~eto.

ABC, .......................................................................

.......................................................................................

Prebroj o{tre, prave, tupe i opruène uglove u slede}im slovima i poveì svakuvrstu ugla sa odgovaraju}im brojem.

Zapi{i uglove datog petougla.

.............................................................

.............................................................

Obeleì lukovima sve konveksne uglovekoje odre|uju poluprave na slici. Kolikoih ima? ............

A F GB

E

D

C

c

b

a

d

A

o{tri uglovi 3

4

5

6

7

pravi uglovi

tupi uglovi

opruèni uglovi

1

3

4 Na osnovu crteà zapi{i sve o{tre i tupe uglove

kao {to je zapo~eto:

a) O{tri uglovi su:

DAB, ..............................................................................................

b) Tupi uglovi su:

DBC, ..............................................................................................

5

2

Osen~eni uglovi na slici jesu uglovi trougla.Zapisujemo ih BAC, ABC, BCA.

Trougao pripada svakom od tih uglova. A

A A

B

B

C

C

D

D

E

B

C



Na crteù je ⏐MN⏐ = ⏐EF ⏐.Da li su centralni uglovi α i β podudarni? ...........

Obrazloì odgovor. .............................................................

........................................................................................................

........................................................................................................

6

O

M

N

α A

E

F

β

Uglovi α i β su centralni uglovi datih krugova.

Da li su uglovi α i β podudarni? ..............

Obrazloì odgovor. .............................................................

........................................................................................................

........................................................................................................

7

a) Nacrtaj ugao AMC tako da je AMC AMB.

b) Nacrtaj ugao APQ tako da je APQ AMB.

8

Dovr{i crtawe druge ku}ice zaptice tako da uglovi izme|u krova

i zidova ku}ica budu podudarnisa uglovima na prvoj ku}ici.

9

Proveri da li su uglovi α i β podudarni koriste}i {estar, a zatim zaokruì ispodsvake slike odgovaraju}u re~ – DA ili NE.

DA NE DA NE DA NE DA NE

10

α β

α β

α

β

α

β

PODSETI SE

KADA SU

DVA UGLA

PODUDARNA.



UPORE\IVAWE UGLOVA

Ta~ka B opisuje kru`ni luk dok se vrataotvaraju.

Na kojoj je slici ve}i luk? ............................

Na kojoj je slici ve}i ugao? ............................

1

O{tar ugao ozna~i sa α, tup ugao sa β i prav ugao sa γ .

Koji je ugao najve}i? ....... Koji je ugao najmawi? .......

2

U prazno poqe upi{i DA ako je tvr|eweta~no ili NE ako tvr|ewe nije ta~no.

3Dat je ugao na slici. U oblasti datogugla nacrtaj poluprave Oc i Od tako da xOc < xOd.

4

xOy < xOt

xOt < yOt

yOs < yOt

tOs < yOs

[TO VI[E

OTVARAMO VRAT

UGAO POSTAJE VE

BB

a) b)

Na crte`u se oblast ugla ozna~avasen~ewem ili lukom.

Prav ugao mo`e se ozna~iti lukomi ta~kom u oblasti ugla.

Ako dva ugla imaju zajedni~ki krak, mawi je onaj ~iji krak pripada oblasti drugog ugla.



Od dva centralna ugla jednog kruga ili krugova jednakih polupre~nikave}i je onaj kojem odgovara ve}i luk (tetiva). Vaì i obrnuto, to jestve}em luku (tetivi) odgovara ve}i centralni ugao.

⏐ AB⏐>⏐CD⏐

AB > CD

AOB > COD

) )

⏐OA⏐=⏐SC⏐

⏐ AB⏐>⏐CD⏐

AB > CD

AOB > CSD

) )

Uporedi tetive odgovaraju}ih uglova i upi{i

u prazna poqa > ili < tako da tvr|ewe bude ta~no.

⏐NM⏐ ⏐NT ⏐ ⏐MT ⏐ ⏐NM⏐

NSM NST MST NSM

7 SETI SE KAKO SE UPORE\UJU DU

Nacrtaj na listu papira kru`nicu k(O, 4 cm). Nacrtaj tetive AB i BC tako da je⏐ AB⏐= 4 ci⏐BC⏐= 3 cm. Nacrtaj i obeleì uglove AOB i BOC. Presavij papir po kraku OB.

Da li su se kraci OA i OC poklopili? ..............

Da li su se ta~ke A i C poklopile? ..............

Da li je AB > BC? ..............

Dopuni re~enicu: AOB je .............. od BOC.

) )

5

Nacrtaj na listu papira kru`nice k1(O, 4 cm) i k

2( A, 4 cm) i tetive MN prvog i PQ drugokruga tako da je MN < PQ. Izreì uglove MON i PAQ, a zatim preklopi.

Da li se oni potpuno preklapaju? ......... Da li se lukovi poklapaju? .........

Koji luk je mawi? ......... Koji je ugao mawi? .........

6



UPORE\IVAWE ZADATIH UGLOVA

1. korakCrtamo kru`nice sa centrima

u ta~kama O i S istih polupre~nika.

2. korakCrtamo polupravu St tako da aSt xOy .

Na osnovu slike je aSt < aSb, to jest xOy < aSb.

SETI S

CRTAJU

UGLOVI

STR

Uporedi uglove koriste}i {estar. Koji je ugao ve}i?a) .............. b) ..............

8

Koji je ugao ve}i?

U prazno poqe upi{i > ili < .

α β

9

αβ

ZA[TO ORAO SKUPI KRILA

KAD

MUWEVITO SLE ]E S VISIN

E

DA BI ULOVIO MI[A?

ZA[TO KORMORAN SKUPI K

RILA

KAD ZAGWURI LOVE ]I RIB

U?

K A D P T I C A S K U P I K R I L A , U G A O

K O J I O N A P R A V E J E M A W I . O N D A

J E O T P O R V A Z D U H A I L I V O D E

M A W I , A P T I C A J E Z A T O B R @ A .

α βα

β



3 Konstrui{i ugao xOy jednak razliciuglova α i β.

4

Nacrtaj ugao β tako da je:

a) β = 2 ⋅ α b) β = 3 ⋅ α5

Dopuni dati ugao odgovaraju}im uglom do:

a) pravog ugla i osen~i ga b) opru`enog ugla i osen~i ga.

Zapi{i osen~eni ugao pomo}u pravog

ugla i datog. .................................................

Zapi{i osen~eni ugao pomo}u opru`enog

ugla i datog. .................................................

6

Za uglove α, β i γ nacrtaj:

a) α + β b) β – α v) β + γ + α g) 2 ⋅ β – α

7

α

β

αα

α

β

γ

α

β

O x O x

Konstrui{i krak Oy tako da ugao xOy bude jednak zbiru uglova α i β.



VE@BAWE

Uporedi par~i}e pice koriste}i praviloza upore|ivawe centralnih uglova.Odgovori na pitawa.

Ko je pojeo najmawe par~e? ...............................

Ko je pojeo najve}e par~e? ................................

1

Uporedi osen~ene uglove na crte`ui u wihove oblasti upi{i odgovaraju}ebrojeve od 1 do 4, po~ev{i od najve}eg.

3

5

Napi{i vrstu svakog ozna~enog ugla na s

α ..................... β .....................

γ ..................... δ .....................

Najmawi je ......... Najve}i je .........

Ozna~i lukom ugao: a) α + β b) γ + β

4

Nacrtaj kru`nicu k(O, 25 mm) i teti AB i AC tako da je⏐ AB⏐= 3 cm i⏐ AC⏐Uporedi uglove AOB i AOC.

Ve}i je................................

2

Ana

Nina

Marko

< < < < < <

Uporedi uglove i u prazna poqa upi{i uglove tako da nejednakosti budu ta~ne.

a) b)

PRVO PROVERI

DA LI SU

POLUPRE^NICI

LUKOVA

JEDNAKI.



Ozna~i lukom ugao:

a) γ + β b) α + β + γ v) α + β + γ + δ8

Nacrtaj poluprave Ox i Oy tako da jeaOx = α + β i aOy = α + 2 ⋅ β

69

6

Nacrtaj polupravu Ms tako da jePMS = PMO – MOQ

10

7

U~enici jedne {kole izja{wavali su se o tome koji im je sport omiqen – odbojka,ko{arka, vaterpolo ili atletika. Rezultati glasawa prikazani su na grafikonu.Pore|aj nazive sportova po~ev{i od najpopularnijeg.

................................................................................................................

Proceni i u oblast najmaweg ugla upi{i broj 1, u oblast slede}eg broj 2, zatim broj 3i tako redom. Nacrtaj lukove i proveri merewem du`ina odgovaraju}ih tetiva da lisu brojevi ispravno upisani.

NAJPOPULARN

SPORTU ODGO

NAJVE]I UG

odbojka

vaterpoloko{arka

atletika



Nacrtaj opruèn ugao ABC i prav ugao MON. Konstrui{i: a) wihov zbir; b) wihovu razliku.612

Kakav se ugao dobija kada se:

a) pravom uglu doda o{tar ugao .....................

b) opruènom uglu doda o{tar ugao .....................

v) od pravog ugla oduzme o{tar ugao .....................

g) od opruènog ugla oduzme o{tar ugao .....................

d) od opruènog ugla oduzme tup ugao? .....................

613

BI]E TI

LAK[E DA

ODGOVORI[

KO NACRTA[

SKICE.

Nacrtaj polupravu Ox tako da je aOx = α – β.

a) b)

611

Nacrtaj polupravu Sy tako da je xSy = α + β + γ .614

S x

a) b)

S x



MEREWE UGLOVA

U oblasti uglova koji su ozna~enicrvenim, plavim i qubi~astim lukom

upi{i wihove mere.

2

Nacrtaj na papiru ugao podudaran uglu α i izreì ga.

Prekrivaj ugao β uglom α kao {to je prikazano na crteù dole.

Koliko se puta ugao α sadrì u uglu β?

Napi{i na liniji odgovaraju}i broj.

β = ......α.

Prekrivaj ugao γ uglom α i napi{i na linijiodgovaraju}i broj.

γ = ......α.

1

Dogovor je da jedinica mere za ugao bude stepen. Jedan stepen je sto osamdesetideo opruènog ugla. Ozna~avamo ga: 1°.

Svako merewe jeste upore|ivawe s veli~inom koju nazivamo jedinica mere.

Tako su jedinice mere za duìnu: m, cm, km…; za masu: kg, g, t…;

za vreme: sat, minut, godina…

U OVOM

ZADATKU

UGLOM αMERIMO

UGLOVE β I γ .

αβ



Izmeri ugao α.

α = ...........

3

Pribor za merewe ugla je uglomer.

Ugao x Oy ima meru 45°,

{to se zapisuje xOy = 45°.

aMb = 120°

y

x O

M a

b

45°

120°

α

RADI PRECIZNIJEG MERE

PRODU@I KRAKE UGLA.

Izmeri date uglove i upi{i mere u wihove oblasti.4

Nacrtaj uglove α, β, δ, γ i φ tako da je α = 42°, β = 90°, δ = 115°, γ = 148° i φ = 200°.5



RE^ S T E P E N IMA VI[E ZNAÊW

A (VIDI U R E ̂ N I K U M AT

I CE S R P S K E ).

STEPEN JE JEDINICA KOJ

A SE KORISTI ZA MEREWE UGLOVA.

STEPEN CELZIJUSOVE SKA

LE JE JEDINICA ZA MERE

WE TEMPERATURE.

KADA KA@EMO DA JE TEM

PERATURA 5°, ZNAMO DA J

E PRILI^NO HLADNO.

KOLIKA JE TEMPERATURA T

VOG TELA KADA SI ZDRAV

?

RE^ STEPEN KORISTI SE U

MATEMATICI DA BI SE OZ

NAÎLO MNO@EWE

BROJA SAMIM SOBOM. NA

PRIMER, PROIZVOD 4 ⋅ 4 ⋅ 4 ⋅ 4 ⋅ 4

ZAPISUJE SE KAO 4

5 I ÎTA SE: PETI STEPEN BR

OJA ÊTIRI.

Jedna p~ela poletela je prema cvetu iz ta~ke A, a druga iz ta~ke B. Obe su s pravca skrenuleza 10°. Koriste}i pribor, nacrtaj polupravu koja ozna~ava pravac kretawa p~ele.

Objasni za{to je jedna p~ela sletela na cvet, a druga nije. ....................................................................

.............................................................................................................................................................................................

6

Kolika je mera centralnog ugla kru`nice~iji je luk osmina te kru`nice?

.................

7

Mera centralnog ugla je 12°. Koji je deokru`nice luk tog ugla?

................................

8

Mera pravog ugla je 90°, opruènog 180°, a punog 360°.Mera o{trog ugla mawa je od 90°, a mera tupog je izme|u 90° i 180°.

POGLEDAJ ZADATAK 15

NA STRANI 128.

0

A B



JEDNA OD NAJSTARIJIH CIVILIZACIJA

RAZVILA SE PRE VI[E OD 4 000

GODINA U MESOPOTAMIJI, U GRADU VAVI

LONU.

VAVILONSKI SVE[TENICI PROUÂVALI

SU POLO@AJ ZVEZDA NA NEBU

I USPELI SU DA NAPRAVE PRILI^NO PRE

CIZAN KALENDAR. GODINU SU DELILI

NA MESECE, MESECE NA NEDEQE, NEDEQ

E NA DANE, A DANE NA SATE. OD WIH

POTIÊ I PODELA SATA, KAO I PODELA

UGAONOG STEPENA NA 60 MINUTA.

TAKO\E SU ODREDILI DA SE OBRTAWEM

PUNOG KRUGA OKO JEDNE TA^KE DOBIJA

UGAO OD 360°. JEDAN OD RAZLOGA MOGLO

JE BITI TO [TO JE U OSNOVI

VAVILONSKOG BROJEVNOG SISTEMA BIO B

ROJ 60, A NE 10, KAO KOD NAS.

Izra~unaj ugao koji opi{e velika kazaqka za:

a) 15 minuta .............. b) 20 minuta .............. v) 5 minuta ..............

g) 30 minuta .............. d) jedan sat ..............

9

Koliko stepeni i minuta ima u:

a) 256’ ..............

b) 1 080’ ..............

v) 7 200“ ..............

10

Zapi{i u minutima.

a) 5° = ..............

b) 2°13’ = ..............

v) 120“ = ..............

11

Obrtawem poluprave oko wenog po~etka nastajeugao.

Ako se kraci ugla poklapaju i oblast je prazanskup, kaè se da je wegova mera 0°.

Jedinice za merewe uglamawe od stepena suminut i sekund.

Oznaka za minut je ‘

Oznaka za sekund je “

1° = 60’

1’ = 60“

1° = 3 600“

9 3

6

12

KAD SKEJT

KA@E DA S

OKRENUO

ZA 720°,

TO ZNAÎ

DA SE OKREN

ZA DVA PU

KRUGA.



SABIRAWE I ODUZIMAWE UGLOVA – KORI[]EWEMERE UGLA

Posmatraj kretawe velike kazaqke na satu.Koliki ugao u stepenima opi{e velika kazaqka:

a) od osam sati do osam sati i petnaest minuta ..............

b) od osam sati i petnaest minuta do osam sati i dvadeset pet minuta..............

v) od osam sati do osam sati i dvadeset pet minuta? ..............

1

Izra~unaj.

a) 33° + 57° = ..............

b) 12°2’ + 23°43’ = ..............

v) 44°37’ + 67°45’ = ..............

2

Izra~unaj i dopuni jednakost.

a) 14°7’ + 67°45’ = .......° .......’

b) 144°33’ + 67°45’ = .......° .......’

3

Izra~unaj.

12° 43’ 15“+ 122° 11’ 6“

43° 7’ 55“

..................................

112° 43’ 15“+ 22° 31’

15° 17’ 5“

..................................

26° 4’ 45“+ 102° 11’ 16“

6° 7’ 28“

..................................

4

Izra~unaj.

a) 83° – 57° = ...........

b) 32° – 23°43’ = ...........

v) 94°37’ – 67°45’ = ...........

5

Mere uglova sabiraju se tako {to se sabirajustepeni sa stepenima, minuti sa minutima, sekunsa sekundama, a rezultat se zatim pretvara u ve}e jedinice.

Na primer:

72°23’+ 12°48’84°71’ = 85°11’

Kod oduzimawa mera uglova postupase sli~no kao kod sabirawa. Kada je to

potrebno, pozajmquje se od ve}e jedinicei pretvara u mawu. Na primer:

122°11’ 121°71’– 43°37’ – 43°37’

78°34’⇒

71’ = 1° 11 ’

12 12

3

4567

8

9

1011 12 1

2

3

4567

8

9

1011 12

678

9

1011



Ako je α = 106°11’, β = 33°31’i δ = 46°45’, izra~unaj:

a) δ + α + β = ..............

b) α – (δ – β) = ..............

6

Nacrtaj uglove α i β tako da je α = 68° i β = 56°. Konstrui{i wihov zbir, a zatim merewem

tog ugla proveri ta~nost konstrukcije.8

Izmeri uglove trougla na crte`u, a zatim saberi dobijene mere.

[ta zakqu~uje{? .....................................................................................................................................................................

α = .......... β = .......... γ = ..........

α + β + γ = ..........

α = .......... α = .......... α = ..........

α = .......... β = .......... γ = ..........

α + β + γ = ..........

α = .......... β = .......... γ = .......

α + β + γ = ..........

a)

40°

110°46°

108°64°

9

Izra~unaj ugao α.10

Neka je α = 133°24’ i β = 42°34’.Izra~unaj.

a) 3 ⋅ β = ..............

b) α – 2 ⋅ β = ..............

7

b) v)

a) b) v)

2 ⋅ (42°34’) = 84°68’ = 85°

α β

γ α

αα

α α

β γ αβ

γ



VE@BAWE

a) Konstrui{i ugao mAn podudaran sa uglom α.

b) Proveri ta~nost konstrukcije merewem oba ugla. α = .......... mAn = ..........

1

Koliki su konveksni uglovi izme|u kazaqki na satu?2

Koliki ugao opi{e mala kazaqka sata za:

a) 1 sat ...........

b) 3 sata ...........

v) pola sata ...........

g) tre}inu dana? ...........

3

Nacrtaj ugao β, obeleì ga i izra~unaj wegovu meru tako da dati ugao dopuwava do:

a) pravog ugla b) opruènog ugla v) punog ugla4

Nacrtaj ugao xOy = 50° i polupravu Oz

u oblasti datog ugla i Ot van oblasti datogugla tako da je xOz = 35° i xOt = 26°,a zatim dopuni jednakosti.

yOz = .......... yOt = .......... tOz = ..........

5

α

................................ ................................ ................................ ................................ .......................

β = .......... β = .......... β = ..

A m

PODUDARNI UGLOVI IMAJU

ISTE MERE.

ÊSTO UMESTO:

xOy mSt , PI[EMO:

xOy = mSt .

12 12

3

4567

8

9

1011 12 1

2

3

4567

8

9

1011 12 1

2

3

4567

8

9

1011 12 1

2

3

4567

8

9

1011 12 1

5678

9

1011



Proceni i zaokruì slovo ispred crteà koji prikazuje dva jednaka ugla.Zatim proveri merewem.

6

Proceni koji od nacrtanih uglova ima meru najbliù 30°, 60°, 90°, 120°, 150°, 180°, 270° ili 360Upi{i na liniju procenu za svaki ugao, a zatim proveri merewem.

7

Ako je α = 6°, β = 300’, δ = 2 400“, φ = 5°59’, γ = 4°10’, koji je ugao najve}i, a koji najmawi?

Najmawi ugao je ...........

Najve}i ugao je ...........

8

Zbir uglova 29°66’ + 50°51’ je:a) 79°17’

b) 79°57’

v) 80°17’

g) 80°57’


9

Nacrtaj uglove α = 65° i β = 38°. Konstrui{i uglove γ i δ tako da je γ = α – β i δ = β + 2 ⋅ α.11

Razlika uglova 58°4’ – 46°55’ je:a) 11°9’

b) 11°49’

b) 12°49’

g) 12°9’


10

.......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... ..........

a) b) v)

α α

αβ

β β



Nacrtaj ugao od 57°, a zatim konstrui{iugao {est puta ve}i.

Za koliko stepeni je dobijeni ugao ve}i odopru`enog ugla? ..........

12

U~enici jednog odeqewa odgovorili su na pitawa o tomekoji im je napitak omiqen. Rezultati ankete prikazanisu na crte`u. Pore|aj napitke redom, po~ev{i od onog

za koji se odlu~ilo najvi{e u~enika najvi{e.

..................................................................................................................

14

Ozna~i na slici strelicom pravac kretawa bicikliste ako se on okrenuo za:

a) 90° b) 180° v) 360°

15

a) Na kojoj slici je prikazana:

• o{tra krivina ....................

• blaga krivina? .....................

b) Kakav ugao – o{tar ili tup – napravipe{ak promenom pravca kretawaidu}i ulicom:

• na slici 1 ....................

• na slici 2? ....................

16

Neka je α = 144°24’ i β = 42°4’.

Izra~unaj meru ugla:

a) 2 ⋅ β = ................

b) α – 3 ⋅ β = ................

13

Slika 1

Slika 2



KOMPLEMENTNI I SUPLEMENTNI UGLOVI

Izmeri uglove α i β i dopuni jednakosti.

α = .........

β = .........

α + β = .........

α = .........

β = .........

α + β = .........

a) b)

1

Izra~unaj zbir uglova α i β ako je:

a) α = 50° β = 40° b) α = 22°30’ β = 67°30’ v) α = 44°15’10“ β = 45°44’50“

α + β = ......... α + β = ......... α + β = .........

2

Izra~unaj zbir uglova α i β ako je:

a) α = 140° β = 40° b) α = 112°30’ β = 67°30’ v) α = 54°15’10“ β = 125°44’50“

α + β = ......... α + β = ......... α + β = .........

3

Izra~unaj komplementni ugao α1 i suplementni ugao α2 uglu α = 15°47’.

α1

= ......................

α2 = ......................

4

Pove`i parove komplementnih uglova.5 Suplementan ugao uglu α = 38°42’ je:

a) 51°18’

b) 51°58’

v) 141°58’

g) 141°18’


6

Ako je zbir dva ugla 90°, oni su komplementni.

Ako je zbir dva ugla 180°, oni su suplementni.

49°15’ 33°

21°49’

34°37’

40°45’

55°23’

68°11’

57°

UGL

SU KOM

UGL

SU SU

90° – 10°10’ = 89°60’ – 10



SUSEDNI, UPOREDNI I UNAKRSNI UGLOVI

Napi{i uglove ozna~ene lukovima na crteù. .................................................

Napi{i one uglove ~ije oblasti nemaju zajedni~ke ta~ke. ................................

Koji je ugao zbir ta dva ugla? ............

1

Da li je ugao aOc o{tar, prav, tup ili opruèn? ........................

Dopuni jednakost.

aOb + bOc = ..................

2

Na svakoj slici ozna~ena su dva ugla.

(1) (2) (3) (4) (5)

a) Na kojim crteìma dati uglovi imaju zajedni~ki krak? ..................

b) Na kojim crteìma oblasti uglova nemaju zajedni~kih ta~aka? ..................

v) Na kojim crteìma dva kraka datih uglova ~ine pravu? ..................

g) Na kojim su crteìma prikazani susedni uglovi? ..................

d) Na kom su crteù prikazani uporedni uglovi? ..................

3

Nacrtaj uglove α = 50° i β = 70° tako da:a) budu susedni b) ne budu susedni i da imaju zajedni~ki krak

4

Uglovi α i β su susedni ako imaju zajedni~ki krak,a wihove oblasti nemaju zajedni~kih ta~aka.

Uglovi α i β su uporedni ako su susednii wihov zbir je opruèn ugao.



Nacrtaj uporedni ugao datom uglu αi ozna~i ga sa β. Na koliko na~ina

to mo`e{ da uradi{? .............

5

Izra~unaj ugao α koji je osam puta ve}i od svog uporednog ugla.7

Nacrtaj prav ugao α i wemu uporedni uga

Izmeri ugao β. .............

Da li su uglovi α i β jednaki? .............

α = .............

6

α

Izmeri date uglove odre|ene pravama koje se seku. α = ............. β = ............. γ = ............. δ = ..

Koji uglovi su jednaki? ............. .............

Napi{i sve parove uporednih uglova. ....................................

....................................

Kraci uglova α i γ se dopuwavaju do pravih ...... i .......

8

Koji su od ozna~enih uglova unakrsni, a koji uporedni?

Unakrsni: α1

i α3, ...........................................................

Uporedni: α1 i α

2, ..........................................................

.....................................................................................................

9

α γ β

δa b

Dve prave koje se seku u ta~ki O odre|uju ~etiri poluprave obele`ene na slici.

Unakrsni uglovi su uglovi:

• ~ije je teme ta~ka O

• ~iji su kraci razli~ite poluprave datih pravih

• ~ije oblasti nemaju zajedni~kih ta~aka.

Unakrsni uglovi na slici su: aOx i bOy ili bOx i aOy .

Unakrsni uglovi su podudarni.

Prav ugao je podudaran svom uporednom uglu.

α1

α3

α2α4 β2β1

β4 β

3



VE@BAWE

êtvorougao ABCD je pravougaonik. Koristi uglomer i od ozna~enih uglova napi{i sve parove:

a) komplementnih uglova

.......................................................................................................................

.......................................................................................................................

b) suplementnih uglova

.......................................................................................................................

Dopuni re~enice.

Ako su dva jednaka ugla komplementna, onda je mera svakog od wih ........... stepeni.

Ako su dva jednaka ugla suplementna, onda je mera svakog od wih ........... stepeni.

Izra~unaj meru ugla α koji je:

a) tri puta mawi od svog komplementa b) za 25° mawi od svog suplementa.

α = ........... α = ...........

Zaokruì slovo ispred mere ugla koji je suplementan svojoj petini.a) 30° b) 36° v) 144° g) 150°

Zaokruì slovo ispred slike na kojoj su prikazani susedni uglovi α i β.

Napi{i sve parove unakrsnih uglova kao {to je zapo~eto.

α1 i α4, α2 i α5, ..........................................................................

.........................................................................................................................

a) b) v) g)

1

2

3

4

5

6

αβ

α1 α2

α4α5α6

β1

β2β

3

β4α

3

γ 1 γ 2

γ 3 γ 4

A B

D C



Napi{i sve konveksne uglove koji su susedni

uglu yOz . ..........................................................................

Izra~unaj ugao α.

α = ...........

Izra~unaj uglove α, β, δ i γ izme|u

staza u parku na slici.

Izra~unaj zbir obele`enih uglova.

Odgovor: ..........................................

α = ........ β = ........ γ = ........ δ = ........

a) Izra~unaj unakrsne uglove ako je wzbir 150°.

Odgovor:..........................................

b) Izra~unaj ugao ako je zbir wegova

uporedna ugla jednak 80°.

Napi{i sve parove uporednih uglova

...........................................................................

Odgovor: ..........................................

γ β32°

142°

68° δα

7

9 10

11

13

12

8

Mera ugla ozna~enog lukom na crte`u je 300°. Izra~unaj unakrsne uglovei upi{i mere u wihove oblasti.



RE^ T R AN S V E R Z AL A U SAOB

RA ]AJNOJ TERMINOLOGIJ

I OZNAÂVA

PUT KOJI PRESECA DRUGE

PUTNE PRAVCE.

PLANINARI TRANSVERZALO

M NAZIVAJU OZNAÊNE PL

ANINARSKE

STAZE KOJE POVEZUJU KON

TROLNE TA^KE. ZNAK KOJI

KORISTE

ZA OBELE@AVAWE STAZA

PRIKAZAN JE NA SLICI.

KOD NAS JE POZNATA

FRU[KOGORSKA TRANSVERZ

ALA.

TRANSVERZALA JE U MATEM

ATICI

PRAVA KOJA SEÊ DVE PRAV

E

ILI VI[E WIH.

UGLOVI NA TRANSVERZALI

Izra~unaj ozna~ene uglove na slici.

α1 = ............, α2 = ............, α3 = ............,

β1

=............

, β2

=............

, β3

=............

.

1

Na crteù su paralelne prave a i b i α2 = 60°.

Izmeri β2.

β2 = ............

Izra~unaj ozna~ene uglove na slici.

α1 = ............, α3 = ............, α4 = ............,

β1 = ............, β3 = ............, β4 = .............

Koji su uglovi jednaki uglu α1? .................................................................

Koji su uglovi jednaki uglu α2? .................................................................

Koji su uglovi suplementni sa uglom α1? ..............................................

Koji su uglovi suplementni sa uglom α2? ..............................................

2

Prava c na crteù jeste transverzala za prave a i b.

Uglovi ~ije su oblasti osen~ene na slici

nazivaju se uglovi na transverzali.Ako je a⏐⏐b, uglovi osen~eni istom bojomme|usobno su jednaki, a uglovi osen~enirazli~itim bojama me|usobno su suplementni.

Vaì i obrnuto: ako su jednaki uglovi osen~eniistom bojom, prave su paralelne.

SETI SE OSOBIN

UPOREDNIH

I OSOBINE

UNAKRSNIH UGLOα1

α1

β1

α2

α2

α3

α3α4

β2

β3

β4

β1 β2

β3



Izra~unaj uglove ozna~ene lukovima na crteù i upi{i mere u wihove oblasti ako prave:

a) a i b jesu paralelne b) m i n nisu paralelne.3

Na crteù su dva para paralelnihpravih.

Zapi{i ih. ......⏐⏐...... i......⏐⏐......

Obeleì na crteù sa α sve uglovepodudarne uglu ~iji je luk obojenu ùto.

Obeleì na crteù sa β sve uglovepodudarne uglu ~iji je luk obojenu plavo.

4

Zaokruì slovo ispred svakog crteà na kojem su prave p i q paralelne.5

Ako je t ⏐⏐s, izra~unaj mere uglova α i β.

α = ........... α = ...........β = ...........

6

a) b) v) g)

Ako je p⏐⏐q, izra~unaj meru ugla α.7

SVI O[TRI UGLOVI

NA TRANSVERZALI KOD

PARALELNIH PRAVIH SU

ME\USOBNO JEDNAKI. I S

TUPI UGLOVI SU ME\USO

JEDNAKI. U TOM SLUÂJ

SVAKI O[TAR UGAO JE

SUPLEMENTAN SA SVAKI

TUPIM UGLOM.



a) b) v) g) d)

UGLOVI S PARALELNIM KRACIMA

Dat je o{tar ugao xOy i poluprava Ma⏐⏐Ox .

a) Nacrtaj polupravu Mb⏐⏐Oy tako da ugaoaMb bude o{tar.

b) Nacrtaj polupravu Mb⏐⏐Oy tako da ugaoaMb bude tup.

Izmeri uglove.

xOy = ........... aMb = ...........

Izmeri uglove.

xOy = ........... aMb = ...........

1

2

3Zaokruì slovo ispred svakog crteà na kojem su prikazani uglovi s paralelnim kracima.

Uglovi s paralelnim kracima su jednaki ako su oba

ugla o{tra ili oba tupa.

Uglovi s paralelnim kracima

su suplementni ako je jedan ugaoo{tar, a drugi tup.

Ox ⏐⏐Sa, Oy ⏐⏐Sb

xOy = aSb

Ox ⏐⏐Sa, Oy ⏐⏐Sb

x Oy + aSb = 180°

Dati su uglovi aOb i xSy s paralelnim kracima, Oa⏐⏐Sx i Ob⏐⏐Sy . Krak Sx je produèn

u pravu x , a krak Ob u pravu b. Produì i druga dva kraka tako da dobije{ odgovaraju}e prave.

Obeleì ta~ku M tako da je M = x ∩ b.

Ozna~i lukom o{tar ugao xMb.

Za koje paralelne prave je prava x transverzala? .................

Za koje paralelne prave je prava b transverzala? .................

Da li su uglovi ozna~eni lucima podudarni? ..........................

Za{to? .......................................................................................................

PODSETI SE

NA TRANSV



4 Nacrtaj drugi krak Pt ugla sPt tako da uglovi sPt i aOb budu jednaki.

a) b) v)

5 Nacrtaj drugi krak Pt ugla sPt tako da uglovi sPt i aOb budu suplementni.

6 Nacrtaj ugao β ~ije je teme ta~ka M, a kraci paralelni sa odgovaraju}im kracima ugla α, ta

a) α = β b) α + β = 180° v) α = β g) α + β = 180°

7 Neka je AB⏐⏐CD, BC⏐⏐ AD ~etvorougla ABCD.

Napi{i koji su od ozna~enih uglova:

a) jednaki .....................................................................

b) suplementni ...........................................................

.......................................................................................

8 Neka je na crte`u AB⏐⏐CD.

Napi{i koji su od ozna~enih uglova

a) jednaki ...................................................

b) suplementni .........................................

....................................................................

Na koliko na~ina to mo`e{ da nacrta{? ...........

a) b) v)

A B

CD

A B

CD

PODRAZUMEVAMO DA SU KRACI

PARALELNI I ONDA KADA

PRIPADAJU ISTOJ PRAVOJ.



Obeleì lukom svaki ugao na crteù koji je jednak uglu α ako zna{ da je a⏐⏐b⏐⏐c i p⏐⏐q.

Koliko ih ima? ...........

Prave e i f su paralelne. Koliki je zbiruglova α i β?Zaokruì slovo ispred ta~nog odgovora.

a) 235°

b) 145°

v) 125°

g) 55°

Nacrtaj pravu q tako da B ∈q i q⏐⏐p.Izra~unaj mere uglova koje odre|uju praveq i c i upi{i ih u wihove oblasti.

Prave d i f su paralelne. Koji su odobeleènih uglova na slici jednakiuglu α, a koji uglu β?

Uglu α jednaki su uglovi: ........................

Uglu β jednaki su uglovi: ........................

VE@BAWE

Konstrukcija prave q koja sadrì ta~ku A i paralelna je datoj pravoj p kori{}ewem:

a) lewira i {estara b) lewira i uglomera

1) 2)

3) 4)

A

pt M

t Mt M

A

p

A

p

A

p

q

1) 2)

3) 4)

A

pt M

t MM

A

p

A

p

A

p

q

70°

70°

SETI

KORIS

TROUG

NACRTAO

PRAVE

PRAVPROIZVO

KROZ T

1 2

3 4

α1

α4α3

α2

β1

γ

β4 β3

β2



Koje su prave na crteù paralelne?Zaokruì slovo ispred ta~nog odgovora.

a) a⏐⏐b

b) d⏐⏐

c

v) a⏐⏐d

g) c⏐⏐b

Prave a i b su paralelne. Izra~unaj ugao α.

Na crteìma su prikazani uglovi s paralelnim kracima. Napi{i koji su kraci paralelni,kao {to je zapo~eto.

Nacrtaj i ozna~i lukom sve uglove jednake uglu α ~ije je teme ta~ka B,a kraci paralelni kracima ugla α.

Nacrtaj dva ugla s paralelnim kracimatako da wihov presek bude ~etvorougaoako su ti uglovi:

a) o{tri b) tupi

AC⏐⏐EF , ................ AC⏐⏐ AC, ................ ................ , ................

Date su prave a i b i wihova transverzPrave a i b su paralelne ako vaì jedn

a) α = β

b) α + β =180°

v) α + γ = 180°

g) β = α

Zaokruì slovo ispred ta~nog odgovor

α = ........... α = ...........

a) b)

5

7

8

9 10

6



I TO JE MATEMATIKA

1Za odre|ivawe poloàja ta~ke na ovom crteù koristi{dva broja.

Na primer, ta~ka A nalazi se u preseku kru`nicepolupre~nika 3 i kraka ugla od 45°, pa je wen poloàjodre|en parom: 3, 45°.

Poloàj ta~ke B odre|en je parom: ................; ta~ke C: .................

Ucrtaj ta~ku D ~iji je poloàj odre|en parom: 2,225°.

2Odigraj slede}u matemati~ku igru.

Materijal za igru: Napravi na papiru jedan od modela kao na crteù.

Broj igra~a: 2

Pravila igre:

1. Prvi igra~ izabere ta~ku u kojoj se kru`nica i prava seku i kaè poloàj te ta~ke. Drugiigra~ proverava da li je to ta~no, a ako jeste, prvi igra~ obeleàva ta~ku sa X . Ako je pogne moè da je obeleì i igru nastavqa drugi igra~.

2. Drugi igra~ kaè koji je poloàj wegove izabrane ta~ke i, ako je ta~an, ozna~ava ta~ku sa

3. Igra~i tako naizmeni~no govore poloàje ta~aka i obeleàvaju ih. Igra~ koji prvi ozna~

~etiri ta~ke redom, bilo na pravoj bilo na kru`nici, pobe|uje.

Razmisli o pobedni~koj strategiji za ovu igru.

model 1 model 2

180°

210°

240°270°

300°

330°

150°

120°90°

60°

90°

45°

0°

135°

180°

225°

30°

0°

C

O

B

A

MRE@A DATA NA PRETHODNOM CRTE@U

NAZIVA SE POLARNI KOORDINATNI S

ISTEM.

MRE@U ÎNE KONCENTRI^NE KRU@NICE ÎJI JE CENTA

R TA^KA O

I POLUPRAVE S POÊTKOM U TA^KI O.

U RE[AVAWU NEKIH REALNIH PROBLE

MA KORISTI SE SISTEM VRLO SLIÂN

POLARNOM KOORDINATNOM SISTEMU.

POGLEDAJ PRIMER O RADARU I NAVIG

ACIJI

NA UVODNIM STRANAMA OVE OBLASTI.

270°

315°Poloàj bilo koje ta~ke odre|en je wenim rastojawemod centra i odgovaraju}im centralnim uglom. Rastojaweod centra odre|uje kru`nica kojoj pripada ta ta~ka,

a centralni ugao je ugao ~iji je jedan krak uvek datapoluprava Ox , a drugi poluprava kojoj pripada data ta~ka.

90°

45°

0°

135°

180° 1 2 3 1 2 3

225°

270°

315°

1 2 3

Ox JE BROJEVNA POLUPRAVA.

VEROVATNO SE NE

ZABAVQA[ S DRUG

IGRAJU]I IKS-O

(UPISUJE[ X IL

U TABELU).

OVA MATEMATI^KA

SLI^NA JE IKS-O




KADA NA ÂSOVIMA GEOGRAFIJE NAU^

I[ NE[TO O MERIDIJANIMA, PARALEL

AMA, GEOGRAFSKOJ

[IRINI I DU@INI, MO@E[ DA URAD

I[ OVAJ ZADATAK. SETI SE DA SU GEO

GRAFSKA [IRINA

I DU@INA UDAQENOSTI PO MERIDIJA

NU, ODNOSNO EKVATORU, I DA SE IZRA

@AVAJU U STEPENIMA.

U MATEMATICI UÎ[ DA SE RASTOJAW

A MERE KILOMETRIMA, A UGLOVI STEP

ENIMA. ZA[TO

SE UDAQENOSTI OD EKVATORA I OD GR

INIÂ IZRA@AVAJU U STEPENIMA? GE

OGRAFSKA [IRINA

I DU@INA ZAPRAVO SU UGLOVI. TI UG

LOVI SU NEVIDQIVI, A WIHOVO TEM

E

JE U SREDI[TU ZEMQE. SLIKA ]E TI POMO]I DA IH ZAMISLI

[.

Geografskaduìna je ugao β.

Geografska{irina je ugao α.

1Pro~itaj na geografskoj karti Srbije i upi{i geografsku duìnu i {irinu u stepenima:

a) • Leskovca ................ • Kragujevca ................

b) Koja se paralela i koji meridijan seku u Deliblatskoj pe{~ari? ................

v) Proceni geografsku {irinu i duìnu u stepenima i minutama za Beograd. ................

2 Lovac ide iz svog {atora prvo 1 km na jug, zatim 1 km na istok. Onda je ulovio medveda,

poneo ga i nastavio na sever. Posle 1 km stigao je u svoj {ator. Koje je boje medved? ................

Da bi odgovorio na ovo pitawe, uzmi globus i probaj da se kre}e{ zadatim pravcima izraznih ta~aka na Zemqi. Probaj i na Severnom i Ju`nom polu.

3

4Ako je u Beogradu 13 ~asova, koliko je sati u:

• Wujorku ................ • Moskvi? ................

ZEMQA JE PODEQENA NA 24 ÂSOVNE

ZONE.

SVI ÂSOVNICI UNUTAR JEDNE ZONE P

ODE[

SU TAKO DA POKAZUJU ISTO VREME.

OD NULTOG MERIDIJANA DO MERIDIJ

ANA

OD 15° ZAPADNE GEOGRAFSKE DU@INE

NALAZ

SE JEDNA ZONA, A ZATIM OD 15° DO 30

° DRU

I TAKO DAQE.

IZME\U DVE SUSEDNE ZONE VREME SE

RAZLIKUJE ZA JEDAN SAT. KADA SE KR

E]EMO

KROZ ZONE NA ZAPAD, ODUZIMAMO PO

JEDA

SAT ZA SVAKU ZONU, A KADA IDEMO NA

ISTO

DODAJEMO PO JEDAN SAT.

NA PRIMER, KADA JE U NA[OJ ZEMQI

11 SA

U LONDONU JE 10 SATI, A U ISTANBUL

U 12 S

GRANICE ZONA NISU PRAVE, VE] SU

PRILAGO\ENE GRANICAMA DR@AVA.

Zemqa se oko svoje ose okrene za 24 sata,

dakle za to vreme napravi pun krug (360°).

Moèmo da uspostavimo vezu izme|u mernih

jedinica za vreme i za ugao.

Koliki ugao pre|e Zemqa za 1 sat?

.............................................................................................

Za koje vreme se Zemqa okrene za 1°?

.............................................................................................

POLO@AJ OZNA

JE 80 STEPEN

GEOGRAFSKE

I 70 STEPENI

GEOGRAFSKE

NA

@IA N

BE

90°

80° 60° 40° 20°

β0°

10°

80° 90°

20°

30°

40°

50°

60°

70°

α

0°

grini~kimeridijan

ekvator

grini~kimeridijan

ekvator



REZULTATI I UPUTSTVA

SKUP PRIRODNIH BROJEVA

[ta znamo o prirodnim brojevima

1. g)

2. sedamdesetpet hiqada pet stotina ~etiri (75 504)

sedamsto pedeset hiqada pet stotina ~etiri (750 504)

sedam hiqada pet stotina ~etiri (7 504)sedam miliona petsto hiqada pet stotina ~etiri (7 500 504)

3. 1 099, 1 101

4. prvi red: 2 999, 3 001; drugi red: 20 009, 20 010

5. 4, 3, 2, 1, 0

6.

7. a) 9 b) 18 m v) 36 minuta

8. broj glasova redom: 10, 2, 4, 3, 3, 1

9.

10. a) 8 sati b) ukupnog vremena

11. T, ⊥, T, ⊥12. (42 ⋅ 16) ⋅ 10 = 42 ⋅ (16 ⋅ 10)

(155 + 101) + 54 = 155 + (101 + 54)

13. 593

14. a) 200 + 100 : (4 + 16) = 205

b) (200 + 100) : 4 + 16 = 91

v) (200 + 100) : (4 + 16) = 1515. a) 90 b) 135 v) 180

16. a) 2 ⋅ (23 + 46) b) 1 200 – 2 ⋅ 120

v) 24 ⋅ (1 230 + 349) g) 567 + 120 ⋅ 20

17. 8

18. 5, 32, 302, 3 002, 300 002

19. 12, 16, 6

20. 32, 50, 208

21. prvi red: 24, 16, 21; drugi red: 20, 20, 20

22. 1 500 dinara

SKUPOVI

Skup, obele`avawe skupa, elementi skupa

1. a) olovka, {estar, trougao b) lutka, auto, lopta

v) tawir, ka{ika

2. ko{arka, fudbal, odbojka

3. a) 2, 4, 6 b) 4, 6, 7 v) 11, 15, g) 3, 6, 9, 15, 21

4. lopta i lutka; 3

5. element; nije element

6. ima vi{e re{ewa

7. T, T, ⊥, T, ⊥

Venov dijagram i zadavawe skupa

1. crvena, plava, `uta

2. a, i, e, o, u

4. a) b) sli~no kao pod a)

5. a) su prirodni brojevi i mawi od 6 b) {1, 2, 3, 4, 56. a) Skup B je skup svih elemenata x b) {12, 13, 14, 15

Prazan skup. Jednakost skupova. Broj elemenata skupa

1. a) {Ma|arska, Rumunija, Bugarska, Makedonija, Al

Crna Gora, Bosna i Hercegovina, Hrvatska} b) {Ma

Makedonija} v) ∅2. A = {Jovana, Senka} B = {Vesna, Ivana}

C = ∅ D = {Milena, Goca}

3. A = {K, O, S} B = {S, O, K}

4. skupovi A i B su jednaki

5. da; da; 2

6. a) A = {G, I, T, A, R} B = {T, I, G, A, R}

7. a) ne b) ne

8. a) S = {3, 5, 6, 8} P = {3, 4, 6, 8} R = {3, 5, 6, 8} b)

9. a) a, e, i, o, u b) {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}

10. a) 49 b) bezbroj

11. {1 101, 1 102, …, 1 499} {501, 502, …, 600} {1, 2, …

{54, 55, 56, …}

Ve`bawe – strana 23

1. K = {4, 6, 8} V = {6, 4, 8}; da

2. m, 55

3. TA^NO – isti element je naveden dva put

NETA^NO – b pripada prvom skupu, a ne pripada d

TA^NO – redosled navo|ewa elemenata nije bitan

TA^NO – isti elementi su navedeni dva puta

NETA^NO – brojevi 43 i 34 su razli~iti iako su nistim ciframa

4. 1, 2, 4, 1

5.

6. a) 16 b) 100 v) 999 g) bezbroj

7. T, ⊥, ⊥, T, T, ⊥, T

Podskup

1. a) gitara, frula, violina, harmonika, truba

v) violina, gitara

2. A = {M, A, K} B = {K, A, M, E, N}; da; ne; A ⊂ B

3. {4, 5} {4, 6} {5, 6}4. A = {B, I, O, S, K, P} B = {K, O, S}; B ⊂ A , A ≠ B , A

5. 0 elemenata: ∅; 1 element: {1} {3} {5}; 2 elementa: {

{1, 5} {3, 5}; 3 elementa: {1, 3, 5}

6. C ⊂ A , B ⊂ A , D ⊂ A

7. {m} {2} {8, 2} {m, 2}

8. C = {2, 3, 6, 5}

∅ {2} {3} {6} {5} {2, 3, 6} {2, 3, 5} {2, 6, 5} {3, 6, 5} {2

9. ne, da, ne, da, da

3 02

515

23

8145

25

1 5

69

34

12345678

910111213141516

0 1 2 3 4 5 6

0 1 2 3 4 5 6 7 8




1.,,, ,

2. a) januar, jun, jul b) jun, jul, avgust

3. D = {12, 14, 16, 18, 20}; a) v) d)

4. m ∈ S , k ∉ S

5. a) A = {4, 3, 2} b) B = {1, 2, 0} v) C = {2, 4, 3} g) D = {2, 0}

d)E

={1

}e)

F =

{1, 2, 0

}; A

=C

,B

=F

6. A = {3, 6, a, 1, c} B = {1, 3, 6, a, c}

7. a) {L, E, T, W, I, K, O, V, A, C} b) {M, A, T, E, I, K}

8. M = {1} R = {1 349, 1 350, 1 351} P = ∅ L = {19, 20, 21…}

9. na primer: P = { x ⎜ x ∈N i x >11}

S = { x ⎜ x ∈N i x > 11 i x < 15}

10.

11. v)

12. a) A 1 = {r, o}, A 2 = {r, s}, A 3 = {r, a}, A 4 = {o, s},

A 5 = {o, a} A 6 = {s, a} b) {r, o, s} {r, o, a} {r, s, a} {o, s, a}

13. a) A = {1, 9} B = {1, 0} C = {1, 9, 3} b) 2 v) 3 g) A

14. a) A = {1, 2} b) prirodni brojevi mawi od 3

15. a) 13, 14, 15 v) x ∈N i x > 11 i x < 16 g) 4

16. a) C = {E, R, V, A} D = {A, I, M, K} b) T, ⊥, T, ⊥, T

Presek skupova

1. naranxaste i plave

2. A = {~eki}, bu{ilica}

3. b) srp, mat v) srp, eng g) {mat, srp}

4. A = {8, 1, P, T, 5} B = {T, 5, U} A ∩ B = {T, 5}

5. uputstvo: upi{i slovo d u zajedni~ki deo skupova C i D

6. E = {vaqak, lopta, piramida, kocka} M = {kocka, piramida}

E ∩ M = {kocka, piramida} M ⊂ E 7. v)

8. a) {2} b) {6, 7}

Unija skupova

2. A = {S, R, E, D, A} B = {D, A, N} S = {S, R, E, D, A, N}

3. v) {V1, V

2, VII

1, VII

2, V

4, VII

3}

4. 11, 20, 21, 22, 10

5. M = {1, 7} R = {7, a, o} M ∪ R = {1, 7, a, o}

6. E = {1, 2, 3} F = {1, 2, 4}

7.{1, 2

} {1, 2

} {1, 2

} ∅8. a) A b) A v) A g) ∅9. A ∪ B = {1, 2, 3, 5, 7, 4, 6} A ∪ C = {1, 2, 3, 5, 7}

B ∪ C = {1, 2, 3, 4, 6, 7}

10. a) b) v)

11. a) osen~i ceo skup D b) osen~i samo skup C

12. a) b)

Razlika skupova

1. Jelena: masku, peraja, nao~are; Mihajlo: ka~ket, pi{toq

2. {I, B}

3. a) A \ B = {3} B \ A = {4, 9}

4. C \ D = {11, s} D \ C = {a}

5. a) {bio, muz} b) {nem} v) {geo, teh}

6. A \ B = {maj, april} B \ A = {avgust} A ∩ B = { jun, jul}

7. A = {1, 3, 4, 7} B = {4, 7, 5} A \ B = {1, 3} B \ A = {5}

8. a)

10. b) {rakun, mrki medved} Presek skupova ~ine sva{tojedi.v) {velika panda, koala} Razliku skupova ~ine biqojedi.

g) {lisica, vuk, pas, beli medved} Razliku skupova ~ine

mesojedi.

11. a) {r, a, n, s} {a, n, s, t, e} {s, z} b) {a, n, s} {s} {s}

v) {r, a, n, s, t, e} {a, n, s, t, e, z} {a, n, s, r, z} g) {s} {s}

d) {r, a, n} {z} ∅12.

13. 11


1. a) {M, I, K} b) {[, I, Q, A} v) {I}

2. g)

3. a) {2} b) {3, 4} v) ∅4. u presek skupova upi{i 2, c, 6

5. K = {a, 5, v, 3} L = {5, c, v, 4}

6. g)

7. a) {E, B, O, D, A, R, G} b) {S, I, M, K, A, L}

8. a) {4, 5, 6} {2, 3, 4, 5, 6}

9. a) {0, 1, 2, 3, 4} b) {1, 2, 3} v) {0, 1, 2, 3, 4} g) {1, 2, 3}

d) {0, 4} |) ∅

10.{[, O, L

} {O, L, A, K

} {O, L

}

11. {a, c, e, f}

12. a) {13, 31, 22, 40} b) { 12, 21} v) {13, 31, 22, 40, 12, 21}

g) ∅ d) {13, 31, 22, 40} |) {12, 21}

13. a) ∅ b) B v) ∅14. da, ne, da, da, ne, ne

15. ⊥, T, ⊥, T

16. a) ( A ∪ B ) ∩ C b) C \ ( A ∩ B ) v) ( A ∪ C ) \ B

17. g)

2

7 6

4

1

89

10

53

A B

C

U

@

RA

N

I

A B

C

S

E F

G

C Q

R

9

4m

T

P 9

4m

3

e

T R 9

4m

3

e

T S

24

810

612

18

3

915

16

A B

14

M

I

K

S T

A[



18. ne; de~aci koji treniraju ko{arku, a ne treniraju odbojku

su Filip i Bane; de~aci koji treniraju samo jedan sport su

Filip, Stefan i Bane

19. 28

20. 20

I to je matematika – strana 44

1. SKUP

2. pripada, ~lan, unija, razlika, presek

3. 1) skup 2) Venov 3) element 4) presek 5) unija

Istraìva~ki zadatak – strana 45

1. 1) Srbija, Rusija, Francuska 2) Italija, Nema~ka, Rusija,

Francuska, Ma|arska 3) Srbija, Nema~ka, Ma|arska

4) Italija, Ma|arska 5) Nema~ka, Srbija, Kina

6) Italija, Ma|arska, Srbija, Kina, Nema~ka 7) Srbija,

Nema~ka, Italija, Rusija, Poqska, Francuska, Ma|arska

8) Japan, Kina 9) Italija, Ma|arska 10) Srbija, Nema~ka,

Ma|arska; presek: 9), unija: 6), razlika: 8)


Ta~ka, prava, ravan, prostor

1. prava, du`, otvorena izlomqena linija, zatvorena kriva

linija, kvadrat

2. A ∈ p B ∉ p C ∈ p D ∉ p A ∉ q B ∈ q C ∈ q D ∉ q

3. na primer:

4.

5. Koliko razli~itih pravih koje sadrè ta~ke A i C

moè{ da nacrta{? – jednu;

Koliko razli~itih pravih moè{ da nacrta{ kroz ta~ku

A? – bezbroj;

Koliko razli~itih pravih koje sadrè sve ta~ke, A, C i D,

moè{ da nacrta{? – nijednu

6. ravnih, ravnih, ravnih i krivih, krivih

7. bezbroj

8. a) A, B, C, D b) E, F , G, H v) prostoru

Poluravan, poluprava, du`

1. D i E; raznih strana; iste strane

2.

3. T, ⊥, ⊥, T

4.

5. a) 2 b) 2 v) 4

6. DA, NE, DA

7. T, ⊥, ⊥, T

8. AC, AB, AD, CB, CD, BD; 6

9. prva slika – imaju zajedni~ku ta~ku E; druga slika

zajedni~kih ta~aka; ~etvrta slika – imaju zajedni

du` AC; peta slika – imaju zajedni~ku ta~ku C


1. prva tabela redom: Oqina, Larina, {kole

druga tabela redom: q, p, s, r

3. a) m⏐⏐n, p⏐⏐q b) m ⊥ p, m ⊥ q, n ⊥ p, n ⊥ q

5. na primer:

a) b)

v)

6. a) 4 b) 4

7. 6

9. a) b)

10. duì su: AB, AC, AD, BC, BD, CD; ta~ka D pripada: CD

zajedni~ku ta~ku nemaju duì AB i CD kao i duì A

11. a) 3, AB, AC, BC b) 6

12. v)

13. na primer:

a) b)

v)

14. a) 3 b) 12

15. a) du` b) poluprava v) prava g) poluravan

Izlomqena linija

1. a) LB, BA, AM b) OA, AM, MC, C[, izlomqenu linij

2. v) g) d)

AC

BD

B

A M

C

D A

B C

D

O

q

M

O a

pqb

a

cb

Q

P

a

c

b

Na

cb M

b) A

B

C

a

a) A

BC

a

p

αq

Ab)p

αq

Aa)

b

aC

b

a CC

b

a

SP

MN

ba



7. zajedni~ka tetiva: AB

8. a) polupre~nik: 15 mm, 5 mm, 20 mm;

pre~nik: 30 mm, 10 mm, 40 mm

10. najbli`a B, najudaqenija E11. najudaqeniji je Steva, a najbli`i je Marko

12. a) IJ b) AB

13. pogledaj zadatke 4 i 5 na strani 71

14. da15. MN – tetiva, – kru`ni luk,⏐ AB⏐– polupre~nik,

⏐MB⏐– pre~nik

16.⏐MN⏐= 1 cm

17. dve prave

18. 45 mm ili 5 mm

19. izlomqena linija od dve tetive

20. tangenta


1. a) 25, 23 b) 32, 48, 48

2.

DEQIVOST

[ta jo{ znamo o prirodnim brojevima

1. a) 5 211 b) 238 999 v) 33 001 g) 1 003 999

2. 5 000, 500 000, 50

3. v)

4. g)5. a) IX b) XV v) XVI g) XXI d) XIV, Kosovska bitka

6. 43, 40, 2, 24, 24, 0, 0

7. na primer: a) 25 377 b) 5 305

8. prvi red: 8, 2, 14, 11, 27 drugi red: 12, 0, 8, 0, 5 040

9. a) 111, 102, 120, 201, 210, 300 b) 113, 131, 311

10. a) 100 028 b) 92 028

11.

Deqivost u skupu N0

1. a) • 38 • 16 • 12 b) 1

2. a) 5 b) 3

3. a) da, 12 = 4 ⋅ 3 b) 4 v) ne, 14 = 4 ⋅ 3 + 2

4. 48 = 4 ⋅ 12 + 0 35 = 9 ⋅ 3 + 8 102 = 3 ⋅ 34 + 0

281 = 18 ⋅ 15 + 11

5. b) koli~nik 1 530, ostatak 2 v) koli~nik 668, osta

6. T, T, ⊥, ⊥7. • 7 ⋅ 6 • delilac (~inilac) • 7⏐42

8. a) 214 = 50 ⋅ 4 + 14 b) 372 = 6 ⋅ 62 v) 1 434 = 36 ⋅9. v)

10. a) 4 b) 2

11. 12

12. a) 45, 1 b) 9

13. drugi red: 12, 112 = 12 ⋅ 9 + 4

tre}i red: 1 001, 1 001 = 13 ⋅ 77

~etvrti red: 0, 0, 0 = 2 006 ⋅ 0

14. 252


1. T, ⊥, T, ⊥, T

2. T, T, ⊥, T, ⊥3. 55 = 5 ⋅ 11 + 0 800 = 200 ⋅ 4 + 0 31 = 7 ⋅ 4 + 3

4. a) 1, 2, 4, 8 b) 1, 3, 5, 15

5. • 1, 17 • 1, 2, 4, 5, 10, 20

6. a) {1, 2, 3, 4, 6, 12} b) {1, 2, 3, 6, 7, 14, 21, 42}

v) {1, 2, 4, 7, 8, 14, 28, 56} g) {1, 2, 3, 6, 17, 34, 51, 7. a) drugi stubac: 1 + 2 + 3 + 4 + 6 = 16

1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28

1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 = 127

1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 31 + 62 + 124 + 248 = 496

b) 6, 28, 496

Deqivost dekadnim jedinicama. Deqivost sa 2 i sa 5

1. a) 6 b) 15 v) 30

2. deqivi sa 10: 20, 200, 450, 3 000, 12 300, 66 000

deqivi sa 100: 200, 3 000, 12 300, 66 000

deqivi sa 1 000: 3 000, 66 000

3. prvi stubac: da, da, da, da, da

drugi stubac: ne, da, ne, da, datre}i stubac: ne, da, ne, da, ne

~etvrti stubac: ne, ne, ne, da, ne

4. 1 710 je deqiv sa 10; 100 800 je deqiv sa 10 i 100;

2 310 je deqiv sa 10; 3 505 000 je deqiv sa 10, 100

203 nije deqiv nijednom dekadnom jedinicom

5. a) 20 500 b) 55 200

6. a) 62, 56, 24, 98, 30 b) 0, 2, 4, 6, 8

7. a) A = {306, 308, 310, 312} B = {4 196, 4 198, 4 200

b) {306, 308, 310, 312, 4 196, 4 198, 4 200, 4 202}

v) • 310, 4 200 • 4 200

8. 10⏐9 000 2⏐22 100⏐6 700 2⏐784 1 000⏐7

9. a) 0, 2, 4, 6, 8 b) 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9

v) 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9

10. 150

11. a) 65, 230 b) prvi stubac: ne, ne, ne, da, ne, ne, ne

drugi stubac: 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0

tre}i stubac: 2, 3, 4, 0, 1, 2, 3, 4, 0

12. 1 455, 1 000, 97 980, 7 645

13. a) D = {32, 340, 66, 80, 112} b) P = {340, 35, 1 005

v) C = {340, 80} g) D ∩ P = C

14. a) 0 b) 5 v) 2, 4, 6, 8 g) 1, 3, 7

1

22

53

84

35

96

5 47

18

19

210

6 011

2 012

9 913

014

115

016

817

1 0 018

0

a

cb

NB



Deqivost sa 3 i sa 9

1. a) 425 b) 240 v) 1 057

2. b) tre}i red: da, 4 + 3 + 2 = 9, da

~etvrti red: da, 8 + 7 = 15, da

peti red: ne, 9 + 8 = 17, ne

3. deqivi sa 3: 324, 675, 975, 1 377, 3 273; dobijen je petougao

4. b) drugi red: da, 9 + 8 + 6 + 4 = 27, da

tre}i red: da, 2 + 1 + 6 = 9, da

~etvrti red: ne, 9 + 7 = 16, ne

5. na primer: 3 330, 9 000, 2 304

6. a) 9 921, 10 101, 52 296, 10 602, 5 076, 5 217

b) 10 602, 5 076

7. a) 153, 156, 159, 162, 165, 168, 171, 174, 177, 180, 183,

186, 189 b) 155, 160, 165, 170, 175, 180, 185 v) 165, 180

8. a) 0, 3, 6, 9 b) 2

9. a) b) Svaki broj deqiv sa 9

deqiv je i sa 3.

10. a) {0, 2, 4, 6, 8} b) {0, 3, 6, 9} v) {0, 5} g) {6} d) {0, 6}

|) {6} e) {0} `) ∅

Deqivost sa 4

1. b)

2. a) 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, 44, 48, 52, 56, 60, 64,

68, 72, 76, 80, 84, 88, 92, 96, 100 b) na primer: 21, 22, 23

3. drugi red: koli~nik 56 i ostatak 2, ne, 26, netre}i red: koli~nik 274 i ostatak 0, da, 96, da

4. 4 116, 71 004, 108 788, 500

5. a) {1, 3, 5, 7, 9} b) {0, 4, 8} v) {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 }

g) {0, 4, 8}

6. 64, 68, 72, 76, 80

7. za b = 0 a je: 2, 5, 8; za b = 4 a je: 1, 4, 7; za b = 8 a je 0, 3, 6, 9

brojevi su: 57 240, 57 540, 57 840, 57 144, 57 444, 57 744,

57 048, 57 348, 57 648, 57 948


1. a) {48, 104, 164, 240, 310, 602} b) {65, 215, 240, 310, 745}

v) {240, 310} g) 3)

2. a) 2 i sa 5 b) 2, 4, 5, 10, 20, 25, 503. 102, 9 876

4. a) 0, 2, 4, 6, 8 b) 2, 6

5. x ∈ {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 } y ∈ {0}

6. 6 003

7. 49 995

8. k = 29 219 r = 1

9. a) • r = 2 • r = 2 b) • r = 5 • r = 8

10. 10 080, 10 980, 10 485

11. na primer:

Prosti i sloèni brojevi.

Rastavqawe brojeva na proste ~inioce

1. 1, 11

2. a) 2, 3, 19 b) 4, 8, 12, 24

3. S, S, P, P, S, P, S

4. 5, 13, 47, 23

5. 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19

6. 6 = 1 ⋅ 6, 6 = 2 ⋅ 3

7. 12 = 1 ⋅ 12, 12 = 2 ⋅ 6, 12 = 3 ⋅ 4, 12 = 2 ⋅ 2 ⋅ 3

8. 36 = 2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 3, 56 = 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 7, 48 = 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 6

9. a) v) g)10. a) 42 = 2 ⋅ 3 ⋅ 7 b) 315 = 3 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 7 v) 196 = 2 ⋅ 2 ⋅ 7 ⋅ 7

g) 243 = 3 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3

11. 2 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 7

12. a) 3 ⋅ 5 ⋅ 5 b) {1, 3, 5, 15, 25, 75}

13. a) 1, 997 b) 1, 2, 499, 998 v) 1, 3, 9, 27, 37, 111, 333, 999

Zajedni~ki delilac i najve}i zajedni~ki delilac

1. 2 reda, 3 reda

2. a) 8 = 2 ⋅ 2 ⋅ 2, 12 = 2 ⋅ 2 ⋅ 3 b) • {1, 2, 4, 8} {1, 2, 3, 4, 6, 12

• {1, 2, 4} • 4

3. a) 2 ⋅ 2 = 4 b) 5 ⋅ 3 = 15

4. a) 32 b) 1

5. a) 1 b) 23 v) 3; uzajamno prosti brojevi su 9 i 8

6. a) 45 b) 157. 6

Zajedni~ki sadràlac i najmawi zajedni~ki sadràlac

1. a) 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28 b) 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35

2. a) 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54

b) 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56, 64, 72

v) 24, 48, 72, 96, … g) 24

3. a) 150 b) 126

4. a) NZS (13, 17) = 221 b) NZS (100, 120) = 600

5. a) 168 b) 60

6. a)

7. 45

Ve`bawe – strana 1091. a) 10 b) 6 v) 5

2. a) 36 b) 72 v) 84

3. a) NZS (11, 13) = 143 NZD (11, 13) = 1

b) NZS (150, 600) = 600 NZD (150, 600) = 150

v) NZS (70, 105, 140) = 420 NZD (70, 105, 140) = 35

4. a)

5. b)

6. 9, 10 989

b r o

j e v i d e q i v

i sa 4 sad r ̀ a o c i

b r o

j a

3

p a

r n i b r o j e vi d e q

i v i

s a

5

8 12

60

30

10

20

6

b

r o

j e v i d e q i v

i sa 3 bro j e v i d

e q

i v i

s

a 9

n e p a r n i bro j e v

i

1710

315

903

102

3 552

9559



7. a) 21 b) • 2 • 3

8. a) 225 b) • 9 • 5

9. a) 12 cm b) 11 v) 14 g) 25

10. a) 15 b) 7

11. a) 24 minuta b) Petar je obi{ao 3 kruga, a Aca 4.

12. 1 125 cm

13. a) 0, 2, 4, 6, 8 b) 2, 5, 8 v) 0, 4, 8 g) 0, 5

14. 9 81015. 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9

16. NZD (100, 1 000) – 100, NZD (10 000, 1 000) – 1 000,

NZD (10 000, 100 000) – 10 000

17. NZS (100, 1 000) – 1 000, NZS (10 000, 1 000) – 10 000,

NZS (10 000, 100 000) – 100 000

18. tri puta: 3. IX, 15. IX, 27. IX

19. 42

20. u 15 ~asova

21. 120

Primena deqivosti – ve`bawe

1. 212 i 265

2. {1, 2, 3, 6, 8, 12, 16, 24, 32, 48}

3. 4, 6, 9, 10, 14, 154. 0, 6

5. 47 250, 47 550, 47 850, 47 055, 47 355, 47 655, 47 955

6. a) 12 b) 420

7. a) x ∈ {6, 12, 18, 24, 30, 36} b) x ∈ {1, 3, 5, 9, 15, 45}

8. 210 = 5 ⋅ 6 ⋅ 7

9. 315 = 5 ⋅ 7 ⋅ 9

10. 91

11. 20

12. a) 221

13. a) 1, 2, 3 b) • 4 cm • 15

14. a) 720 sekundi b) 12 minuta

15. a) 20 min. b) Igor: 16 Du{ko: 15 v) da g) vi{e od 30 min.

I to je matematika – strana 1181. Pobedni~ku strategiju ima prvi igra~ ako uzme prvi put

4 ètona.

2. Pobedni~ku strategiju ima onaj igra~ koji pomeri èton na

posledwe poqe.


za 30 ~a{a – neprevrnute su sa brojevima: 4, 9, 16, 25

za 100 ~a{a – neprevrnute su sa brojevima: 4, 9, 16, 25, 36,

49, 64, 81, 100

UGAO

Obeleàvawe uglova. Vrste uglova

1. Na crteù je 10 uglova.

2. kraci ugla, teme ugla, oblast ugla

3.

4. a) b)

v)

5. konveksan, konveksan, nekonveksan, nekonveksan,

nekonveksan, konveksan

6. prav, o{tar, tup

7. a) 2 b) 1 v) 2

8.

konveksni su: A, C, D;

nekonveksni su: B, E

9. 12, 4, 5

10. pravi uglovi su: E, I, Ko{tri uglovi su: A, D, L, Otupi uglovi su: B, C, G, H, J

opruèni uglovi su: F , Mpuni uglovi su: N, P

Centralni ugao, kru`ni luk, tetiva. Preno{ewe ugla

1. ugao, kru`ni luk

2. kru`ni luk AB, tetiva

3. prvi red: AB; drugi red: cOd, CD; tre}i red: bO4.

5. BOC, COE, BOE7. da, da

8. da, da

9. da

10. a) 13, 8, 8, 13, 13 b) ⊥, ⊥, T, T, ⊥11. da

12. uputstvo: pogledaj plavi okvir na strani 127



15. ⏐OA⏐ < ⏐OC⏐ < ⏐OE⏐; ⏐ AB⏐ < ⏐CD⏐ < ⏐EF ⏐; konce

krugovi; ve}em polupre~niku odgovara ve}a tetiva

16. Slete}e na ostrvo Valos i Futuna koje je od Tonge

500 km.


1. CBG, BFD, BFE, DFG, DFE EFG2. 6

O

f

a

bc

aOb, cOd, eOf d

e

)

)

A

B

C

D

E

A

F GB

ED

C

A

F

GB

EDC

A

F B

EDC

O

O AOM mOx

M

m

x a

aAb

A

A

b



3. o{tri ulgovi – 7, pravi uglovi – 3, tupi uglovi – 4,

opruèni uglovi – 6

4. ABC, BCD, CDE, DEA, EAB

5. a) ABD, ACD, BDC, ADB b) ADC

6. ne, polupre~nici kru`nica nisu jednaki

7. ne, ovim uglovima odgovara ista tetiva, ali su

polupre~nici kru`nica razli~iti8.

9. uputstvo: prenesi o{tre uglove izme|u krova i zidova ku}ice

10. DA, DA, NE, DA

Upore|ivawe uglova

1. na slici b), na slici b)

2. β, α

3. DA, NE, NE, DA4. na primer:

5. ne, ne, da, ve}i

6. ne, ne, MN, MON

7. ⏐NM⏐<⏐NT ⏐ ⏐MT ⏐>⏐NM⏐NSM < NST MST > NSM

8. a) β b) α9. >

Sabirawe i oduzimawe uglova

1. ne, da



5. uputstvo: a) β = α + α b) β = α + α + α

6. uputstvo: a)nacrtaj normalu na Ox

b) dopuni krak Ox do prave

7. uputstvo za a) i b): pogledaj plavi okvir na strani 134

v) g)


1. Marko, Nina

2. AOC

3.

4. α o{tar β o{tar γ tup δ opruèn

Najmawi je β. Najve}i je δ.5. a) α < γ < β b) ϕ < β < γ < δ < α6. odbojka, ko{arka, atletika, vaterpolo

7. 1, 4, 5, 6, 3, 2

9.

10.

11. b)

13. a) tup b) nekonveksan v) o{tar g) tup d) o{tar

14. a) xSy je opruèn ugao b) xSy je pun ugao15. zbir uglova je pun ugao

16. a) zbir uglova je opruèn ugao

Merewe uglova

1. 2, 3

3. 28°

4. 86°, 110°, 30°, 120°, 65°

6. Za isti centralni ugao ve}em polupre~niku odgovara

ve}a tetiva.

7. 45°

8. trideseti deo

9. a) 90° b) 120° v) 30° g) 180° d) 360°

10. a) 4° 16’ b) 18° v) 2°11. a) 300’ b) 133’ v) 2’

Sabirawe i oduzimawe uglova – kori{}ewe mere ugla

1. a) 90° b) 60° v) 150°

2. a) 90° b) 35°45’ v) 112°22’

3. a) 81°52’ b) 212°18’

4. 178°2’16“, 150°31’20“, 134°23’29“

5. a) 26° b) 8°17’ v) 26°52’

1 2

3 4

2 ⋅ β – α

α + β + γ

α

β

γ

)

c

d



6. a) 186°27’ b) 92° 57’

7. a) 127° 42’ b) 48°16’

8. α + β = 124°

9. a) α = 90°, β = 45°, γ = 45°, α + β + γ = 180°

b) α = 50°, β = 65°, γ = 65°, α + β + γ = 180°

v) α = 60°, β = 60°, γ = 60°, α + β + γ = 180°

Zbir uglova u trouglovima je 180°.

10. a) 50° b) 140° v) 36°


1. b) α = 64°, mAn = 64°

2. 150°, 90°, 150°, 60°, 180°

3. a) 30° b) 90° v) 15° g) 240°

4. a) 24° b) 114° v) 294°

5. yOz = 15°, yOt = 76°, tOz = 61°

6. v)

7. 180°, 90°, 120°, 60°, 270°, 360°, 150°, 30°

8. najmawi ugao je δ, a najve}i α9. g)

10. a)

11. γ = 27°, δ = 168°12. 162°

13. a) 84°8’ b) 18°12’

14. limunada, mleko, sok, ~aj, voda

16. a) • slika 2 • slika 1 b) • tup • o{tar

Komplementni i suplementni uglovi

1. a) α = 38°, β = 52°, α + β = 90°

b) α = 140°, β = 40°, α + β = 180°

2. a) 90° b) 90° v) 90°

3. a) 180° b) 180° v) 180°

4. α1 = 74°13’, α2 = 164°13’

5. 49°15’ – 40°45’, 55°23’ – 34°37’, 68°11’ – 21°49’, 57° – 33°

6. g)

7. a) i g)8. a) α = 53°, β = 127°, γ = 53°, δ = 127°

parovi suplementnih uglova su: α i β, α i δ, δ i γ , β i γ b) α = 53°, β = 127°, γ = 116°, δ = 64°

parovi suplementnih uglova su: α i β, δ i γ v) α = 90°, β = 80°, γ = 100°, δ = 90°

parovi suplementnih uglova su: α i δ, β i γ 9. 60°; suplementni

10. 62°, 118°

11. α = 45°, β = 135°

12. α = 37°, β = 53°

Susedni, uporedni i unakrsni uglovi

1. aOb, bOc, aOc; uglovi ~ije oblasti nemaju zajedni~kih

ta~aka: aOb, bOc; wihov zbir je aOc

2. opru`en; aOb + bOc = aOc

3. a) 2, 4, 5 b) 1, 2, 5 v) 1, 5 g) 2, 5 d) 5

4. a) b)

7. 160°

8. α = 35°, β = 145°, γ = 35°, δ = 145°; α = γ , β = δ;

parovi uporednih uglova su: α i β, α i δ, γ i β, γ i10. unakrsni: α1 i α3, α4 i α2

uporedni: α1i α2

, α1i α4

, α2i α3

, α3i α4

, β1i β2

,


1. a) ACD i ACB, BAC i CAD, ACD i CAD,

ACB i BAC

b) ADC i ABC2. 45°, 90°

3. a) 22°30’ b) 77°30’

4. g)

5. b)

6. α3 i α6, γ 1 i γ 3, γ 2 i γ 4, β1 i β3, β2 i β4

7. zOt , zOm, zOx , xOy 8. DSA i ASC, DSB i BSC

9.

10. a) 75° b) 140°

11. 71°

12. 180°

13. 112°, 38°, 58°, 142°

Uglovi na transverzali

1. 120°, 60°, 120°, 70°, 110°, 110°

2. β2 = 60°, α1 = 120°, α3 = 120°, α4 = 60°, β1 = 120°,

β3 = 120°, β4 = 60°

jednaki uglu α1: α3

, β1, β3

; jednaki uglu α2: α4

, β2, β

suplementni sa uglom α1: α2, α4, β2, β4; suplementn

sa uglom α2: α1, α3, β1, β3

3. a) b)

4. a⏐⏐b i c⏐⏐d

5. b) i g)

6. 55°, 70°

7. 10°

Uglovi sa paralelnim kracima

1. a) b)

57°, 57° 57°, 123°

1 0 8 °

1 2 5 ° 55°

1 0 8 °

72°

1 0 8 °

60°

120°

120°

60°



2. x je transverzala za y i b; b je transverzala za a i x

uglovi ozna~eni lucima su podudarni jer su uglovi

na transverzali za paralelne prave

3. a), g) i d)

4. a) b)

v)

5. a) b)

v)

6. a) b)

v) g)

7. a) DAB i DCB, ADC i ABC

b) BAD i ADC, BAD i ABC, DCB i ADC,

DCB i ABC8. a) BAC i ACD b) BAD i ADC, ABC i DCB


1. 11

2. α2i α4

su jednaki uglu α; β1i β3

su jednaki uglu β3. v)

4. to su uglovi od 45° i 135°

5. v)

6. b)

7. a) 61° b) 75°

8. prva slika: AB⏐⏐ED; druga slika: AB⏐⏐CD;

tre}a slika: AB⏐⏐CE, AD⏐⏐CD

10. a) b)


1. 2,45°; 1,90°


1. a) • 22° isto~ne geografske du`ine i 43° severne

geografske {irine

• 21° isto~ne geografske du`ine i 44° severne

geografske {irine

b) paralela: 45°, meridijan: 21°

v) 44°45’, 20°30’

2. Kada lovac krene iz ta~ke koja ozna~ava severni pol

1 km na jug, zatim 1 km na istok i 1 km na sever,

vrati}e se u ta~ku iz koje je po{ao.

3. 15°; 4 minuta4. • 7 h • 15 h



SADR@AJ

SKUP PRIRODNIH BROJEVA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

[ta znamo o prirodnim brojevima . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

SKUPOVI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

Skup, obeleàvawe skupa, elementi skupa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1Venov dijagram i zadavawe skupa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1Prazan skup. Jednakost skupova. Broj elemenata skupa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2Ve`bawe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

Podskup . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2Ve`bawe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2Presek skupova . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3Unija skupova . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3Razlika skupova . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

Ve`bawe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4Zapamti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4I to je matematika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

Istraìva~ki zadatak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

GEOMETRIJSKI OBJEKTI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

Ta~ka, prava, ravan, prostor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4Poluravan, poluprava, du` . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5Ve`bawe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

Izlomqena linija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5Oblast, ugao, mnogougao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6Ve`bawe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6Kru`nica, krug . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6Kru`ni luk, tetiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

Kru`nica i prava . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7Ve`bawe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7Zapamti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7I to je matematika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

DEQIVOST . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

[ta jo{ znamo o prirodnim brojevima . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8Deqivost u skupu N0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8Ve`bawe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

Deqivost dekadnim jedinicama. Deqivost sa 2 i sa 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9Deqivost sa 3 i sa 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9Deqivost sa 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

Ve`bawe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9Prosti i sloèni brojevi. Rastavqawe brojeva na proste ~inioce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

Zajedni~ki delilac i najve}i zajedni~ki delilac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10Zajedni~ki sadràlac i najmawi zajedni~ki sadràlac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10Ve`bawe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10Primena deqivosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11



Zapamti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117I to je matematika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118Istraìva~ki zadatak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

UGAO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

Obeleàvawe uglova. Vrste uglova . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122Centralni ugao, kru`ni luk, tetiva. Preno{ewe ugla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

Ve`bawe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129Upore|ivawe uglova . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131Sabirawe i oduzimawe uglova . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134Ve`bawe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136Merewe uglova . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140

Sabirawe i oduzimawe uglova – kori{}ewe mere ugla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144Ve`bawe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146Komplementni i suplementni uglovi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149Susedni, uporedni i unakrsni uglovi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151

Ve`bawe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153Uglovi na transverzali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155Uglovi sa paralelnim kracima . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157Ve`bawe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159Zapamti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161I to je matematika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162

Istraìva~ki zadatak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163

REZULTATI I UPUTSTVA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164



autori

ilustrovao

recenzenti

urednik

lektor

grafi~ko oblikovawe

priprema za {tampu

izdava~

Mirjana Stojsavqevi} Radovanovi}, Qiqana Vukovi}, Jagoda Ran~i}

Du{an Pavli}

dr Zorana Lu`anin, vanredni profesor, Prirodnomatemati~ki fakultet u Novom Sad

Gordana Nikoli}, nastavnica, O[ „Du{ko Radovi}“ u Beogradu

Svjetlana Petrovi}

Ivana Igwatovi}

Du{an Pavli}

Qiqana Pavkov

Kreativni centarGradi{tanska 8

Beograd

Tel /faks: 011/ 38 20 464 38 20 483 24 40 659

MATEMATIKAuxbenik za peti razred osnovne {kole – 1. deoprvo izdawe

5 razred - kc - udzbenik 1

Documents