MATEMATIKAuxbenik za {esti razred osnovne {kole

prvi deo

Mirjana Stojsavqevi}-Radovanovi}, Qiqana Vukovi}

Jagoda Ran~i}, Zorica Jon~i}

UVOD U TEME

Celi brojevi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6–8

Trougao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60–61

CELI BROJEVI

Pojam negativnog celog broja. Skup celih brojeva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9–11

Brojevna prava . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12–16

Suprotni brojevi. Apsolutna vrednost celog broja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17–21

Upore|ivawe celih brojeva . . . . . . . . . . . . . . . . 22–24

Sabirawe celih brojeva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25–33

Oduzimawe celih brojeva . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34–36

Mno`ewe celih brojeva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40–49

Izrazi sa celim brojevima . . . . . . . . . . . . . . . . . 50–53

Deqewe celih brojeva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54–57

TROUGAO

Trougao, elementi, obele`avawe . . . . . . . . . . 62–64

Odnos stranica trougla. Vrste trouglova prema stranicama . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65–69

Unutra{wi uglovi trougla. Zbir unutra{wih uglova trougla. Vrste trouglova prema uglovima . . . . . . . . 70–73

Spoqa{wi uglovi trougla . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74–76

Odnos stranica i uglova trougla . . . . . . . . . . 77–82

Konstrukcije uglova od 30°, 60°, 120° . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83–85

Podudarnost trouglova. Osnovna pravila o podudarnosti trouglova . . . 88–101

Odre|enost i konstrukcija trougla . . . . 102–107

Opisana i upisana kru`nica trougla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108–113

Te`i{ne du`i i te`i{te, visine i ortocentar trougla . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114–119

I TO JE MATEMATIKA . . . . . . . . . . . 37, 58, 86, 120

ISTRA@IVA^KI ZADATAK . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

ZAPAMTI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39, 59, 87, 121

REZULTATI I UPUTSTVA . . . . . . . . . . . . . . . . 122–126

[TA SADR@I OVA KWIGA

4

VODI^

Kratak test za proveru prethodno usvojenih znawa1, 2, 3, KRENI…

Kqu~ni pojmovi

Obrada novog gradiva

Definicije i pravila

Dodatna obja{wewa definicija i pravila

Provera usvojenosti novog gradiva

Kratak pregled obra|enih pojmovai pravila u poglavqu uxbenika

Re{eni zadaci koji poma`u u razumevawu gradivaPRIMER

Proveri {ta zna{

ZAPAMTI

5

Povezivawe s ranije usvojenim znawima

Mala pomo} za re{avawe zadataka

Znawa iz matematike primewenau raznim oblastima

Matemati~ke igre i razni logi~ki zadaci

Razli~ite informacije i zanimqivosti iz istorije i svakodnevnog `ivota koje su povezanes matemati~kim zadacima

Podseti se

Da ti ka`em

ISTRA@IVA^KI ZADATAK

I TO JE MATEMATIKA

6

CELI BROJEVI

Pojam negativnog broja pojavquje se u starokineskoj kwizi o matemati~kimve{tinama oko 200. godine pre nove ere. Negativni brojevi zapisivani sucrnom bojom, a pozitivni brojevi crvenom bojom. Danas negativne brojevepi{emo tako {to prirodnim brojevima dodajemo znak „–”.

Negativni brojevi po~iwu da se koriste u Evropitokom XVI i XVII veka. Italijanski matemati~arLeonardo Fibona~i jo{ je u XII veku, re{avaju}ifinansijske probleme, gubitak prikazivao negativnim brojem, a dobitak pozitivnim brojem.

U ovom poglavqu u~i}e{:

• {ta su to negativni i celi brojevi, kako se zapisuju i upore|uju• {ta su suprotni brojevi i apsolutna vrednost brojeva • da ra~una{ sa celim brojevima – da ih sabira{, oduzima{, mno`i{ i deli{.

Simbol za nulu pojavio se u

Indiji u IX veku.Wegovo poreklo jeneizvesno. Ne zna sepouzdano da li je 0asocijacija na prazankru`i} ili na prvoslovo gr~ke re~i ouden(ni{ta), koja po~iweslovom O (omikron).

Iz istorije matematike

–6 –5 –4 –3 –2 –1 1 2 3 4 5 6

Leonardo Fibona~i

(1175–1240)

\erolamo Kardano

(1501–1576)

Rene Dekart

(1596–1650)

Francuski matemati~arRene Dekart uveo je u savremenu matematikunegativne brojeve.

Italijanski matemati~ar Kardano u kwizi Ars Magna prvi je formulisao jed-

nostavne zakone s negativnim brojevima.Koristio je simbol „m:” za negativan broj.

Za broj –5 pisao je m:5.

7

Evo nekoliko primera iz kojih se vidi da se negativni brojevi koriste u svakodnevnom `ivotu.

U liftu je brojem –1 ozna~en

prvi nivo ispod prizemqa.

Trenutna temperatura u zamrziva~u

iznosi minus dvadeset stepeni Celzijusa.

Sni`ewe cena 50% Temperatura u Beogradu 18. 2. 2009. bila je sedam s tepeni

ispod nule.

Po izve{taju sa ovog ra~una, vlasnik

je du`an banci 15 615 dinara i 71 paru .

8

1, 2, 3, KRENI…

$ Popuni tabelu.

% Re{i jedna~ine.

a) x + 17 = 33 b) 2 ⋅ x – 17 = 33

& Dat je skup {19, 9, 109, 99}.a) Napi{i najmawi i najve}i broj iz datog skupa.

b) Pore|aj brojeve iz skupa od najmaweg do najve}eg.

' Data je brojevna poluprava i na woj

je obele`ena ta~ka M.

Koji je broj pridru`en ta~ki M? Zaokru`i slovo ispred ta~nog odgovora.

a) 7 b) 8 v) 14 g) 16

! Napi{i i izra~unaj zbir, razliku, proizvod i koli~nik brojeva 21 i 3.

" Kojim izrazom zapisuje{ re~enicu: Broju 24 dodaj koli~nik brojeva 18 i 6?

Zaokru`i slovo ispred ta~nog odgovora.

a) (24 + 18) : 6 b) 24 + 18 : 6 v) 24 : 6 + 18

# Izra~unaj.

a) 40 – 28 : 4

b) (18 + 12) : 6 – 5

v) 156 ⋅ 0 ⋅ 2008

a 5 10 13

a + 1

13 – a

2 ⋅ a + 5

100 – a ⋅ 4

0 2

xM

( Napi{i prirodne brojeve:a) koji su mawi od 4

b) koji su ve}i od 2 i mawi od 5 ili jednaki broju 5

v) koji nisu mawi od 3.

9

POJAM NEGATIVNOG CELOG BROJA.SKUP CELIH BROJEVA

• ceo broj

• pozitivan broj

• negativan broj

! Na karti Srbije obele`eni su neki gradovi

i zapisana je dnevna temperatura vazduha

koja je u wima izmerena u martu.

Koriste}i kartu, odgovori na slede}a pitawa.

a) U kojim je gradovima temperatura iznad nule?

b) Kolika je temperatura u Vaqevu i Leskovcu?

v) U kojim je gradovima temperatura ispod nule?

Da ti ka`em

• 5°C jestetemperatura iznadnule i ~ita se: petstepeni Celzijusa.

• –3°C jestetemperaturaispod nule i ~itase: minus tristepena Celzijusa.

Sombor–8°C

Novi Sad–6°C

Beograd–2°C

Vaqevo0°C

Ni{1°C

Kraqevo2°C

Vrawe2°C

Zaje~ar–3°C

Leskovac0°C

U svakodnevnom `ivotu brojeve koristimo da bismo ne{to prebrojali,da bismo zapisali izmerenu veli~inu, iskazali koli~inu, numerisaliobjekte i sli~no.

Evo nekih primera kori{}ewa vrste brojeva koju nismo do sada u~ili.

• Kada je temperatura vazduha sedam stepeni ispod nule, zapisujemo: –7°C.

• Ozna~enu temperaturu u zamrziva~u –4°C ~itamo: ~etiri stepena ispod nule.

• U liftu zgrade prvi nivo ispod zemqe ozna~avamo sa –1.

Brojeve –7, –4 i –1 iz navedenih primera nazivamo negativnim celimbrojevima. ^itamo ih: minus sedam, minus ~etiri i minus jedan.Negativni celi brojevi jesu brojevi koji nastaju kada se ispred svakogprirodnog broja napi{e znak „–“.

Prirodne brojeve nazivamo i pozitivni celi brojevi. Mo`emo ih zapisati i tako {to }emo ispred svakog broja staviti znak „+“. Na primer: broj 8 mo`emo da napi{emo kao +8, broj 56 kao +56, a 401 kao +401; ~itamo ih : plus osam, plus pedeset {est i plus ~etiristo jedan.

Znak „+“ ili „–“ ispred broja nazivamo predznak broja ili znak broja.

O CELIM BROJEVIMA

10

" Zapi{i re~ima slede}e cele brojeve, kao {to je zapo~eto.

a) –8 minus osam b) 45 v) –103

# Zapi{i slede}e brojeve.

a) minus pedeset b) plus osamdeset osam v) minus osamdeset osam

$ a) Svaki od brojeva:19, –4, 5, 0, 62, –71, –101 i 490

upi{i u odgovaraju}i skup.

b) Koji broj nije napisan ni u jednom skupu? p

oz

itivni celi brojevi neg

ativni celi brojevi

Osim veli~ina koje se izra`avaju pozitivnim ili negativnim brojevima, postoje veli~ine koje se izra`avaju nulom. Na primer:• Voda se ledi na 0°C.

• U liftu je nivo na kojem se nalazi ulaz u zgradu ozna~en brojem 0.

• Nadmorska visina odre|uje se u odnosu na nivo mora, koji, po dogovoru, predstavqa nulti nivo.

Broj nula je ceo broj koji nije ni pozitivan ni negativan.

Kada skup prirodnih brojeva N pro{irimo nulom, dobijamoskup koji ozna~avamo sa N0.

Sli~no tome, skup prirodnih brojeva pro{irujemo nulom i negativnim celim brojevima i dobijamo skup celih brojeva Z.

Za skupove N, N0 i Z va`i:N ⊂ N0 i N0 ⊂ ZPomenuti skupovi mogu se prikazati Venovim dijagramom.

N N0 Z

Z–

Z– ∪ {0} ∪ Z+ = Z

Z0

Z+

SKUP CELIH BROJEVA

0 m

Skup celih pozitivnih brojeva ozna~avamo sa Z+.

Z+ = {1, 2, 3, 4, 5…}

Skup celih pozitivnih brojeva Z+ jednak je skupu prirodnih brojeva N.

Z+ = NSkup negativnih celih brojeva ozna~avamo sa Z–.

Z– = {… –5, –4, –3, –2, –1}

Skup celih brojeva jeste skup koji ~ine svi negativni celi brojevi,nula i svi pozitivni celi brojevi. Ozna~avamo ga sa Z.

Z = {… –5, –4, –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, 4, 5… }

11

% Dati su brojevi: –20, 10, 40, 0, –50, –30 i +60. Napi{i koji od wih pripada skupu:a) Z+ b) Z– v) Z.

' Koliku temperaturu pokazuje svaki termometar sa slike?

) Do sada je u Srbiji:a) najni`a izmerena temperatura bila u Karajuki}a Bunarima na Pe{terskoj

visoravni 13. 1. 1985. godine; iznosila je 39 s tepeni Celzijusa ispod nule

b) najvi{a izmerena temperatura bila u Smederevskoj Palanci 24. 7. 2007.

godine; iznosila je 45 stepeni Celzijusa iznad nule.

Zapi{i izmerene temperature kao cele brojeve.

& Koja su tvr|ewa ta~na?

79 ∈Z –41 ∈Z– 0 ∉Z –93 ∈Z+ 16 ∈Z– 0 ∈N0 500 ∈Z+

( Dat je skup T = {27°C, 36°C, –7°C, –2°C, 28°C, –13°C, 39°C, 0°C, –5°C, +1°C}.Napi{i brojeve iz tog skupa koji predstavqaju uobi~ajene:

a) letwe temperature

b) zimske temperature.

! Napi{i:a) deset pozitivnih brojeva b) deset negativnih brojevav) pet trocifrenih pozitivnih brojeva g) pet dvocifrenih negativnih brojeva.

" Dat je skup S = {7, –8, +11, 0, –4, –9, 8, +2, –2, –5, 1}.a) Prika`i skup S Venovim dijagramom.

b) Izdvoj Venovim dijagramom podskup pozitivnih celih brojeva P.

v) Izdvoj Venovim dijagramom podskup negativnih celih brojeva G.

g) Napi{i elemente skupova P i G.

# Za svaki od datih brojeva, 17, +56, 0, –48, –203, napi{i da li pripada ili ne pripada

skupu N i Z, koriste}i simbole ∈ili ∉.

$ Napi{i sve dvocifrene cele brojeve koji se zapisuju ciframa 3 i 8.

Podseti se

N0 = {0, 1, 2, 3, 4…}

°C °C °C

Proveri {ta zna{

12

BROJEVNA PRAVA.UPORE\IVAWE CELIH BROJEVA

! Na prvom crte`u skala termometra prikazuje temperaturu vazduha od nula stepeni Celzijusa.

a) Kolika je temperatura prikazana na drugom crte`u?

b) Oboj skalu na tre}em crte`u tako da prikazuje temperaturu od 5 stepeni.

v) Oboj skalu na ~etvrtom crte`u tako da prikazuje temperaturu od minus tri s tepena

i napi{i temperaturu.

g) Kolika je najni`a, a kolika najvi{a prikazana temperatura?

" Odredi koordinate ta~aka M, N i K.

# Obele`i na brojevnoj polupravoj slede}e ta~ke: T(6), R(12), S(1), V(15) i H(9).

0 1 2 3 4 5 6 7 8

xMN KO

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

x

• brojevna prava

• ve}i broj

• mawi broj

U petom razredu u~ili smo da prirodne brojeve i nulu prikazujemona brojevnoj polupravoj.

Po~etna ta~ka O brojevne poluprave Ox naziva se koordinatni po~etak.

Du` OA je jedini~na du`.

Ta~ki B pridru`en je broj 3. Broj 3 je koordinata ta~ke B, {to se zapisuje: B(3).Rastojawe izme|u ta~aka O i B jeste du`ina du`i OB.

Du`inu du`i prikazane na brojevnoj polupravoj mo`emo izraziti brojem jedini~nih du`i. Du`ina du`i OB iznosi tri jedini~ne du`i.

0 1 2 3 4 5 6

xBAO

BROJEVNA POLUPRAVA

13

$ Koliko su jedini~nih du`i date ta~ke A, B i C udaqene od nule?

% Obele`i na brojevnoj polupravoj ta~ke P(6), R(1) i S(3).

& Ozna~i na brojevnoj polupravoj broj 225.

Objasni svoj postupak.

xB CA

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17

xO

0 1

x

0 100 200 300 400 500

Da ti ka`em

Pri re{avawu zadataka 5 i 6 koristi lewir ili{estar.

Broj 0 nije ni pozitivan ninegativan broj.

Data je brojevna poluprava Ox.

Prvi korak Dopunimo brojevnu polupravu Ox do prave x. Desno od nule prikazani

su pozitivni celi brojevi.

Drugi korak Jedini~ne du`i nadovezujemo jednu na drugu od k oordinatnog po~etka ulevo.

Tre}i korak Krajevima jedini~nih du`i koje se nalaze levo od koordinatnog po~etka

redom pridru`ujemo brojeve –1, –2, –3… kao {to je prikazano na crte`u.

Na brojevnoj pravoj desno od nule predstavqamo pozitivne cele brojeve,

a levo od nule negativne cele brojeve.

0 1 2 3 4 5 6 7 8

xO

0 1 2 3 4

x

0–1–2–3… –4 1 2 3 4 …

x

0 1 2 3 4

x

negativni celi brojevi

nula

pozitivni celi brojevi

PRIKAZIVAWE CELIH BROJEVA NA BROJEVNOJ PRAVOJ

Da ti ka`em

14

' Obele`i na brojevnoj pravoj ta~ke A(–5), B(–9), C(4) i D(–7).

( Napi{i koordinate ta~aka prikazanih na datim brojevnim pravama.

• Svaki pozitivan ceo broj ve}i je od nule.

• Svaki negativan ceo broj mawi je od nule.

• Svaki negativan ceo broj mawi je od svak og pozitivnog celog broja.

–9 –8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 6 7

x

–4 –2 0 4

A x

–10 –5 0 5

C x

–9 –3 0 3

B x

–200 –100 100 200

O x

Nau~ili smo da upore|ujemo brojeve iz skupa N0. Za dva razli~ita brojaprikazana na brojevnoj polupravoj va`i da je mawi onaj k oji je s leve strane,odnosno da je od dva broja ve}i onaj k oji je s desne strane.

Na primer:

Za bilo koja dva razli~ita broja m i n iz N0 va`i da je m < n ili m > n. Zato ka`emo da je skup N0 ure|en skup.

Skup Z dobili smo pro{irivawem skupa N0. Svojstvo ure|enosti brojeva koje va`i u skupu N0 va`i i u skupu Z.

Za svaka dva razli~ita cela broja prikazana na brojevnoj pravoj va`i da je mawi onaj koji je s leve strane, odnosno da je od dva broja ve}i onaj koji je s desne strane.

Na primer:

Broj –4 je levo od broja 3, zna~i : –4 < 3.Broj –2 je levo od 0, zna~i : –2 < 0.Broj –7 je levo od –4, zna~i: –7 < –4.

Za bilo koja dva razli~ita broja a i b iz skupa Z tako|e va`i da je a < bili a > b. Dakle, skup Z je ure|en skup.

–7 –4 –2 0 3

x

2 < 4, 4 < 6, 12 > 8, 3 > 0

UPORE\IVAWE CELIH BROJEVA KORI[]EWEM BROJEVNE PRAVE

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

x

15

) Prika`i date brojeve na brojevnoj pravoj, uporedi ih i napi{i odgovaraju}u nejednak ost.

* Napi{i sve brojeve prikazane na brojevnoj pravoj k oji su:

a) mawi od –1 b) ve}i od –2.

+ a) Na datoj brojevnoj pravoj prika`i brojeve –200, –199 i –197.

, Napi{i ceo broj koji se nalazi izme|u:a) 13 i 15 b) –1 i 1 v) –5 i –3 g) –2 i 0 d) –20 i –18.

b) Uporedi brojeve i napi{i odgovaraju}u nejednakost:

–200 i –197, –199 i –201, –196 i 0.

a) 4, 5 b) –8, 1 v) 3, –3 g) 2, 0

d) –4, 0 |) –3, –1 e) –1, –2 `) –7, –5

–4 –3 –2 –1 0 1 2

x

–201 –196

x

- U tabeli su dati celi brojevi i brojevi

koji se nalaze izme|u wih. Dopuni

tabelu kao {to je zapo~eto.

dati brojevi brojevi izme|u datih

–15 i –9 –14, –13, –12, –11, –10

8 i 12

0 i 4

–2 i 2

–9 i –5

–3, –2, –1, 0

. Zaokru`i:a) najmawi broj: 17, 56, 71, 65 b) najve}i broj: 17, 56, 71, 65

v) najmawi broj: –2, –12, –4, –24 g) najve}i broj: –2, –12, –4, –24.

/ Zaokru`i slova ispred onih brojeva koji su pore|ani od najmaweg do najve}eg.

a) 5, 6, 7, 8

b) 8, 7, 6, 5

v) –5, –6, –7, –8

g) –8, –7, –6, –5

d) –5, –6, 7, 8

|) –6, –5, 7, 8

Da ti ka`em

Crtawe brojevneprave mo`e ti pomo}i dare{i{ zadatke.

16

: a) Napi{i koordinate za ta~ke A, B i C.

b) Obele`i na brojevnoj pravoj ta~ku D(–200).v) Pore|aj od najmaweg do najve}eg brojeve: 150, 50, – 50, –200, –150 i 0.

–50 0 50 100

xB A C

! a) Nacrtaj brojevnu pravu i odredi ta~ke A(–3), B(0), C(4), D(–5). b) Napi{i koliko jedini~nih du`i imaju du`i AB, AC, BD i CD.

" Uporedi cele brojeve i upi{i umesto * znak > ili < tako da dobije{ ta~ne nejednakosti.

9 * 14 –9 * –14 0 * 7 0 * –6 –17 * –23 32 * 25

# Date brojeve pore|aj od najmaweg do najve}eg.

a) 8, 9, 26, 15 b) –5, –10, –4, –12 v) 19, –9, –19, 0, 9

$ Date brojeve pore|aj od najve}eg do najmaweg.

a) 11, 1, 22, 2, 111, 222 b) –17, –7, –77, –1, –71 v) 0, –6, 66, 6, –66

Merewe temperature

Celzijusova skala zasniva se na podeli na 100 jednakih delova izme|u ta~ke mr`wewa vode (0°C) i ta~ke kqu~awa vode (100°C).Farenhajtova skala zasniva se na podeli na 180 jednakih delova izme|u ta~ke mr`wewa vode (32°F) i ta~ke kqu~awa vode (212°F). Va`i da je 0°F pribli`no –18°C i 100°F pribli`no 38°C.

Kelvin je osnovna jedinica u SI sistemu

(o tom sistemu mernih jedinica u~i{ vi{e u fizici). Raspon od jednog kelvina je 1°C.Najni`a mogu}a temperatura u svemiru je 0 Ki naziva se apsolutna nula. Ta~ka mr`wewa vode je oko 273 K. Va`i:

273 K = 0°C0 K = –273°C

Temperatura je fizi~ka osobina koja predstavqa stepen zagrejanosti nekog tela. Na primer,telesna temperatura na{eg organizma iznosi ne{to ispod 37°C. Temperatura vode, vazduha i `ivih bi}a meri se pomo}u termometra i toplomera.

Jedinice za merewe temperature su: stepen Celzijusa (°C), kelvin (K) i stepen Farenhajta (°F).

Proveri {ta zna{

17

SUPROTNI BROJEVI.APSOLUTNA VREDNOST CELOG BROJA

! Plava i crvena ekipa takmi~e se u po tezawu u`eta. Na po~etku takmi~ewa zastavica je na nuli.

a) Ako je du`ina jedini~ne du`i 1 m, koliko je metara prvi ~lan plave ekipe udaqen od nule

na po~etku takmi~ewa?

Koliko je metara prvi ~lan crvene ekipe udaqen od nule?

b) Koliko je metara prvi ~lan plave ekipe udaqen od nule na drugoj slici?

Koliko je metara prvi ~lan crvene ekipe udaqen od nule?

Koja je ekipa u prednosti? • crvena • plava • nijedna

v) Koliko je metara prvi ~lan plave ekipe udaqen od nule na tre}oj slici?

Koliko je metara prvi ~lan crvene ekipe udaqen od nule?

Koja je ekipa u prednosti? • crvena • plava • nijedna

–6 –5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 6

x

–6 –5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 6

x

–6 –5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 6

x

" Prika`i na brojevnoj pravoj ta~ke M i N, jednako udaqene od ta~ke O(0), kao {to je zapo~eto.

a)

b)

–2 –1 0 1 2

xM N

–2–3 –1 0 1 2 3

xN

–2–3–4 –1 0 1 2 3 4

xM

• suprotni brojevi

• apsolutna vrednostbroja

Da ti ka`em

Koordinate ta~aka M i Nsu suprotni brojevi.

18

# Odredi i obele`i na brojevnoj pravoj brojeve supro tne brojevima 2, 5 i 8.

$ Odredi i obele`i na brojevnoj pravoj brojeve supro tne brojevima –7, –4 i –1.

% Popuni tabelu.

0 2 5 8

x

–1–4–7

x

Broj 2 –6 0

Suprotan broj 5 –4

& Napi{i dva razli~ita broja koja su na brojevnoj pravoj

pridru`ena ta~kama udaqenim od koordinatnog po~etka:

a) sedam jedini~nih du`i

b) deset jedini~nih du`i

v) sedamdeset jednu jedini~nu du`.

Dva cela broja me|usobno su suprotna ako su im pridru`ene ta~ke na brojevnoj pravoj koje se nalaze:• sa raznih strana ta~ke O(0)• na jednakom rastojawu od ta~ke O(0). Na primer:

Na crte`u se ta~ke A i B nalaze sa raznih strana ta~ke Oi udaqene su od we za tri jedini~ne du`i. Wihove k oordinate,brojevi –3 i 3, jesu suprotni brojevi.

Neka je n ∈N. Suprotan broj broju n jeste broj –n. Suprotan broj broju –n jeste broj n. Suprotan broj nuli jeste nula.

–3 0 3

xA B

SUPROTNI BROJEVI

19

SUPROTNI BROJEVI

' Koji je broj suprotan broju –9? Koji je odgovor ta~an?

a) –(+9) b) +(–9) v) –(–9)

( Datom broju u zagradi odredi suprotan broj kao {to je zapo~eto.

a) –(+7) = –7 b) –(+23) v) –(–9)g) –(–14) d) –(20) |) –(0)

Za svaki broj a ∈Z brojevi a i –a jesu suprotni brojevi.

–a 0 ax

) Obele`i na brojevnoj pravoj ta~ke A i B. Ako je du`ina jedini~ne du`i 1 cm,

koliko je rastojawe od ta~aka A i B do koordinatnog po~etka?

a) A (+4), B (–2)

b) A (–5), B (+5)

x

0

x

0

Da ti ka`em

oznaka za suprotanbroj –(–5)

–(+5)

Pozitivne brojevemo`e{ da pi{e{sa predznakom +ili bez predznaka.

Rastojawe od ta~ke Ado ta~ke O jeste du`ina du`i OA.

Suprotan broj broju a dobija se kada ispred tog broja napi{emo znak „–“.

Ako je a = +5, onda je wegov suprotan broj –a = –(+5). Znamo da je broju +5 suprotan broj –5, {to zna~i da je:

–(+5) = –5

Ako je a = –7, onda je wegov suprotan broj –a = –(–7). Znamo da je broju –7 suprotan broj +7, {to zna~i da je:

–(–7) = +7 = 7

U zapisima –(+5) i –(–7) zagrada razdvaja dva predznaka koja su napisanajedan za drugim.

ODRE\IVAWE SUPROTNIH BROJEVA

20

Suprotni brojevi a i –a imaju jednake apsolutne vrednosti.

|a| = |–a|Na primer:

Za ta~ke A(–4) i B(4) va`i da su rastojawa od ta~ke O do svakeod wih jednaka i iznose 4 jedini~ne du`i. Zapisujemo :

|–4| = |4| = 4

b) Odredi apsolutne vrednosti brojeva: –6, –1, 5, 8, 105, –72.

–9 –8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 6 7 8

x

–2–3A(–4)

|–4| |4|–1 0 1 2 3 B(4)

x

* a) Odredi i obele`i na brojevnoj pravoj ta~ke kojima su pridru`eni slede}i brojevi:–6, –1, +5 i 8.

Da ti ka`em

Oznaka | | koristise za apsolutnuvrednost broja.

APSOLUTNA VREDNOST SUPROTNIH BROJEVA

Rastojawe od ta~ke A(a) do koordinatnog po~etka O(0) nazivase apsolutna vrednost celog broja a i obele`ava se sa |a|. Na primer:

–2–3B(–4)

|–4| |3|

–1 O(0) 1 2 A(3)

x

APSOLUTNA VREDNOST CELOG BROJA

Rastojawe od ta~ke A(3) do ta~ke O iznosi 3 jedini~ne du`i. To rastojawe nazivamo apsolutna vrednost broja 3.

Zapisujemo:|3| = 3

Rastojawe od ta~ke B(–4) do ta~ke O iznosi 4 jedini~ne du`i. To rastojawe nazivamo apsolutna vrednost broja –4.

Zapisujemo:|–4| = 4

Apsolutna vrednost broja razli~itog od nule jeste pozitivan broj. Dakle, apsolutna vrednost pozitivnog broja je pozitivan broj i apsolutna vrednost negativnog broja je pozitivan broj.Apsolutna vrednost nule je nula.

|0| = 0

21

|a| =

a, kada je a > 0

0, kada je a = 0

–a, kada je a < 0

, Popuni tabelu kao

{to je zapo~eto.

+ Zaokru`i brojeve koji imaju jednake apsolutne vrednosti.

a) –8, –6, –5, 1, 6, 7 b) –52, 34, –25, –43, 52 v) 101, –103, 102, –104, 103, –105

Koriste}i datu definiciju, odredi |a| ako je: a) a = 5 b) a = –5 v) a = 0.

a) |a| = |5| = 5, zato {to je 5 > 0

b) |a| = |–5| = –(–5) = 5, zato {to je –5 < 0

v) |a| = |0| = 0

- Koje su jednakosti ta~ne?

a) |+37| = 37 b) |+37| = –37 v) |–37| = –37 g) |–37| = –(–37) d) |–37| = –(+37)

a 6 –6 0 +27

–a –6 14 –32

|a| 6

|–a| 6

Apsolutna vrednost broja a, za a ∈Z, defini{e se na slede}i na~in :

Prethodnu definiciju mo`emo re~ima iskazati na slede}i na~in :• Apsolutna vrednost pozitivnog broja jednaka je tom broju.

• Apsolutna vrednost broja nula je nula.

• Apsolutna vrednost negativnog broja jednaka je wegovom suprotnom broju.

! Neka je broj m ∈{34, 21, –55, 76, 0, –98}. Tabelom prika`i brojeve m, suprotne brojeve –m,

apsolutne vrednosti |m| i |–m| kao u zadatku 12 na ovoj strani.

" Prika`i na brojevnoj pravoj ta~ke kojima su pridru`eni brojevi:a) 9 i –9 b) ~ija je apsolutna vrednost 6.

# Izra~unaj.

a) –(–82) b) –(+111) v) +(+25) g) |–15| d) |+91| |) |74| e) |–91|

APSOLUTNA VREDNOST BROJA

PRIMER

Proveri {ta zna{

22

APSOLUTNA VREDNOST BROJA.UPORE\IVAWE CELIH BROJEVA

! Na crte`ima su date zimske temperature nekih gradova merene istog dana u isto vreme.

" a) Predstavi slede}e brojeve na brojevnoj pravoj : –3, 2, –2, i –1.

# Koja je ta~ka najbli`a koordinatnom po~etku,a koja je najdaqa?

a) A(72), K(27), M(2), S(7)b) T(–72), J(–27), V(–2), N(–7)

b) Pore|aj date brojeve od najmaweg do najve}eg.

v) Odredi apsolutne vrednosti datih brojeva.

a) U kom je gradu temperatura najvi{a?

b) U kom je gradu temperatura najni`a?

Be~

–16°CLondon

–17°CBeograd

–13°C

0 1

x

U prethodnim razredima nau~ili smo da upore|ujemo pozitivne brojeve.Upore|ivawe negativnih brojeva mo`emo da svedemo na upore|ivawe pozitivnihtako {to }emo da odredimo wihove apsolutne vrednosti i uporedimo ih.

Kada brojeve predstavimo na brojevnoj pravoj, od dva negativna broja mawi je onaj koji je daqe od koordinatnog po~etka. To zna~i da je wegova apsolutnavrednost ve}a od apsolutne vrednosti broja s kojim ga upore|ujemo.

a < 0, b < 0, a < b

|a| > |b| a

|a||b|

b 0

x

Pravilo za upore|ivawe dva negativna broja glasi :• Od dva negativna broja mawi je onaj ~ija je apsolutna vrednos t ve}a.

Podseti se

Rastojawe od ta~ke do koordinatnogpo~etka jeste apsolutna vrednostodgovaraju}eg broja.

• upore|ivawenegativnih brojeva

Da ti ka`em

Najvi{a temperatura je najve}i broj, a najni`a je najmawi broj.

Pariz

–11°C

UPORE\IVAWE NEGATIVNIH BROJEVA

23

$ a) Odredi apsolutne vrednosti za brojeve:

–19, –27, –35.

b) Uporedi i napi{i odgovaraju}u nejednakost:

|–19| i |–27| |–27| i |–35| |–35| i |–19|–19 i –27 –27 i –35 –35 i –19.

% Koriste}i apsolutnu vrednost, uporedi slede}e brojeve i napi{i odgovaraju}u nejednak ost.

a) –11, –12

b) –54, –45

' Zaokru`i najve}i broj.

–66 –69 –16 –19 –61

( Zaokru`i najmawi broj.

3 8 –11 0 –2 4 –3

) Uporedi brojeve i napi{i odgovaraju}u nejednakost:

a) 4 i 5 9 i 0 17 i 12

b) –1 i –3 0 i –7 –8 i –2.

& a) Popuni tabelu.

x –250 –320 –125

|x|

Uporedi brojeve –6 i –8.

Prvi korak Odredimo wihove apsolutne vrednosti:|–6| = 6 |–8| = 8

Drugi korak Uporedimo apsolutne vrednosti:|–6| < |–8|, zato {to je 6 < 8

Tre}i korak Zakqu~ujemo:–6 > –8

Podseti se

Svaki negativan ceo brojmawi je od svakog pozitivnogcelog broja i od nule.Pogledaj stranu 14.

PRIMER

Da ti ka`em

Pravilo za upore|ivawe dva negativna broja mo`emo danapi{emo i ovako:Od dva negativna broja ve}i je onaj~ija je apsolutna vrednost mawa.

b) Koji je broj iz prvog reda tabele :

• najmawi

• najve}i?

24

Ako se me|u datim brojevima nalaze i pozitivni i negativni brojevi, a treba ih napisati u opadaju}emporetku, uradi to prvo za pozitivnebrojeve, a zatim za negativne.

* Dati su brojevi: –10, –1, 1, 0, –112.

a) Napi{i najmawi broj. b) Napi{i najve}i broj.

+ Dati su brojevi: 3, –2, –5, 1, 0.

a) Izdvoj negativne brojeve i napi{i ih u pore tku od maweg ka ve}em.

b) Izdvoj pozitivne brojeve i napi{i ih u pore tku od maweg ka ve}em.

v) Sve date brojeve napi{i u poretku od najmaweg do najve}eg.

, Zaokru`i slova ispred onih brojevakoji su u rastu}em poretku.

a) 9, 10, 11, 12

b) 12, 11, 10, 9

v) –9, –10, –11, –12

g) –12, –11, –10, –9

d) –9, –10, 11, 12

|) –10, –9, 11, 12

- Napi{i date brojeve u opadaju}em poretku.

a) 82, 28, 22, 88

b) –11, –31, –13, –33

v) 4, –14, –44, 14, 0

! a) Odredi apsolutne vrednosti brojeva –59, –68, –47 i –73.

b) Pore|aj date brojeve od najve}eg do najmaweg.

" Dati su brojevi: 120, –212, –142, –204, 142. Napi{i:a) najmawi broj b) najve}i broj

v) date brojeve u rastu}em poretku g) date brojeve u opadaju}em poretku.

# Napi{i u rastu}em poretku sve cele brojeve koji su izme|u –8 i 8.

Da ti ka`em

Za brojeve koji su pore|ani od najmaweg donajve}eg ka`e se da su u rastu}em poretku.Npr.: –5, –2, 4, 9, 10. Za brojeve koji su pore|ani od najve}eg do najmaweg ka`e se da su u opadaju}em pore tku.Npr.: 10, 9, 4, –2, –5.

Proveri {ta zna{

Nau~ili smo da upore|ujemo cele brojeve kori{}ewem brojevne prave. Od dva broja ve}i je onaj koji je desno od drugog na brojevnoj pravoj.

• Broj 0 ve}i je od svakog negativnog broja i mawi od svakog pozitivnog broja.

• Svaki pozitivan broj ve}i je od bilo k og negativnog broja.

• Od dva negativna broja ve}i je onaj ~ija je apsolutna vrednos t mawa zato {to jena brojevnoj pravoj on bli`i nuli.

…–4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4… x

PRAVILA ZA UPORE\IVAWE DVA CELA BROJA

SABIRAWE CELIH BROJEVA

! U jednoj zgradi postoje pet spratova, prizemqe

i gara`e na prvom i drugom nivou ispod zemqe.

Neboj{a se parkirao u gara`i na drugom nivou

i liftom se popeo ~etiri nivoa do svog stana.

Na kom spratu `ivi Neboj{a?

Zaokru`i slovo ispred ta~nog odgovora.

a) na ~etvrtom spratu

b) na tre}em spratu

v) na drugom spratu

Podseti se

4 + 3 = 7

sabirci

zbir

vrednost zbira

• zbir dva cela brojaistog znaka

• zbir dva cela brojarazli~itog znaka

Da ti ka`em

–4 + (–3)

zagrada razdvaja znake „+” i „–”

Znak „+” je znak za sabirawe, a „–” predznakza negativan broj.

+3+4+5

+2+10-1-2

Pokaza}emo na brojevnoj pravoj kako se sabiraju dva cela broja.

Svaki sabirak ozna~i}emo strelicom nadesno ako je sabirak pozitivan ili nalevo ako je sabirak negativan.Polazimo uvek od koordinatnog po~etka. Na strelicu koja ozna~ava prvi sabirak nadovezujemo strelicu koja ozna~ava drugi sabirak.

Kraj druge strelice pokazuje broj na brojevnoj pravoj kojipredstavqa zbir datih brojeva.

Predstavimo na brojevnoj pravoj zbir dva pozitivna broja,na primer zbir brojeva 4 i 3.

Predstavimo na brojevnoj pravoj zbir dva negativnabroja, na primer zbir brojeva –4 i (–3).

–3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 6 7 8

x

–8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3

x

4 + 3 = 7

+4 +3

–4–3

–4 + (–3) = –7

SABIRAWE CELIH BROJEVA ISTOG ZNAKA

25

26

–10–20–30 0 10 20 30 40 50 60 70

x" Izra~unaj koriste}i brojevnu pravu.

# Izra~unaj kao {to je zapo~eto.

a) –5 + (–9) = –(5 + 9) = –14 b) –12 + (–45)v) –15 + (–10) g) –11 + (–17)

$ Izra~unaj.

a) –7 + (–8) b) –20 + (–4)v) 30 + 40 g) 7 + 5

d) 3 + 4 + 6 |) –3 + (–4) + (–6)

a) 10 + 50

–50–60–70 –40 –30 –20 –10 0 10 20 30

xb) –10 + (–50)

–7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 6

xv) –1 + (–5)

–7–8 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5

xg) –6 + (–2)

Kada sabiramo dva cela broja istog znaka,sabiramo wihove apsolutne vrednosti i zadr`avamo u rezultatu znak sabiraka.

ZBIR DVA CELA BROJA ISTOG ZNAKA

• Zbir dva pozitivna broja: +a + (+b) = a + b, za a, b ∈N• Zbir dva negativna broja: –a + (–b) = –(a + b), za a, b ∈N

Da ti ka`em

Predznak pozitivnog brojamo`e{ da izostavi{.

+6 + (+5) = 6 + 5

Zbir dva pozitivna broja je pozitivan broj.

Zbir dva negativna broja je negativan broj.

Izra~unaj. a) +6 + (+5) b) –3 + (–9)a) +6 + (+5) = 6 + 5

= 11

b) –3 + (–9)= –(3 + 9)= –12

sabirawe pozitivnih celih brojevajeste sabirawe prirodnih brojeva

sabiramo brojeve 3 i 9i zadr`avamo znak „–“

PRIMER

27

% Saberi brojeve koriste}i brojevnu pravu.

a) 3 + (–2)

b) –4 + 2

–6 –5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 6

x

–6 –5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 6

x

–6 –5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 6

x

–6 –5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 6

x

Neka su brojevi a, b ∈N.

• Ako je a > b, va`i: a + (–b) = a – b–a + b = –(a – b)

• Ako je a < b, va`i: a + (–b) = –(b – a)–a + b = b – a

ZBIR DVA CELA BROJA RAZLI^ITOG ZNAKA

v) 4 + (–6)

g) –2 + 6

Prika`imo na brojevnoj pravoj sabirawe dva cela broja razli~it ogznaka. Kao i do sada, za pozitivan sabirak k oristimo strelicu usmerenu nadesno, a za negativan sabirak strelicu usmerenu nalevo.

Predstavimo na brojevnoj pravoj zbir pozitivnog i negativnog broja,na primer zbir brojeva 5 i –3.

Predstavimo na brojevnoj pravoj zbir negativnog i pozitivnog broja,na primer zbir brojeva –5 i 3.

5 + (–3) = 2

–5 + 3 = –2

+5

–3

–7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 6

x

–5+3

–7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 6

x

SABIRAWE CELIH BROJEVA RAZLI^ITOG ZNAKA

28

Kada sabiramo dva cela broja razli~itog znaka, oduzimamood ve}e apsolutne vrednosti mawu i zadr`avamo u rezultatuznak broja ~ija je apsolutna vrednost ve}a.

& Izra~unaj kao {to je zapo~eto.

a) 9 + (–6) = 9 – 6 = 3 b) –7 + 4 = –(7 – 4) = –3

v) –17 + 20 g) 19 + (–22)

' Izra~unaj.

a) 20 + (–4)b) –10 + 3

v) –30 + 40

g) 8 + (–12)

( Izra~unaj.

a) 13 + (–50) b) –1 + (–21) v) –36 + 40 g) –23 + (–13)d) –100 + (–39) |) 65 + (–64) e) 56 + 14 `) –9 + (–9)

) Koji zbir ima vrednost –8? Zaokru`i slovo ispred ta~nog odgovora.

a) –12 + (–4) b) –11 + 3 v) –5 + 3 g) 9 + (–1)

* Koji zbir NEMA vrednost –3? Zaokru`i slovo ispred ta~nog odgovora.

a) –4 + 1 b) –2 + (–1) v) 7 + (–10) g) 6 + (–3)

+ Koji zbir brojeva je nula? Zaokru`i slova ispred ta~nih odgovora.

a) –8 + (–8) b) –8 + 8 v) 8 + (– 8) g) 8 + 8

Da ti ka`em

Primeri sabirawa dva cela broja:5 + 4 = 9–5 + (–4) = –95 + (–4) = 1–5 + 4 = –1

Izra~unaj. a) 6 + (–5) b) –8 + 3 v) 2 + (–9) g) –4 + 7

a) 6 + (–5) = 6 – 5 = 1

b) –8 + 3 = –(8 – 3)= –5

v) 2 + (–9) = –(9 – 2)= –7

g) –4 + 7 = 7 – 4 = 3

kako je 6 > 5, rezultat je pozitivan i ra~unamo razliku 6 – 5

kako je 8 > 3, rezultat je negativan i ra~unamo razliku 8 – 3

kako je 9 > 2, rezultat je negativan i ra~unamo razliku 9 – 2

kako je 7 > 4, rezultat je pozitivan i ra~unamo razliku 7 – 4

PRIMER

29

, Izra~unaj.

a) 2 + 0 b) 0 + 7

v) –9 + 0 g) 0 + (–5)

Zbir dva suprotna broja a i –a je nula.

a + (–a) = 0 ili –a + a = 0

Na primer:

3 + (–3) = 0 –2 + 2 = 0

–2–3 –1 0 1 2 3

x

–2–3 –1 0 1 2 3

x

- Popuni tabelu.

. Jutarwa temperatura jednog dana u januaru je –11°S. Kolika je temperatura u podneako je porasla za:

a) 3°S b) 11°S v) 13°S?

/ Porodica Vasi} duguje Elektrodistribuciji 1 200 dinara za struju.Kakvo }e biti wihovo stawe na ra~unu ako uplate:

a) 1 000 dinara

b) 1 200 dinara

v) 2 000 dinara?

a 19 –6 7 18 5 –6 –20 –4 –7 0

b 8 –15 –13 –9 9 6 0 4 –5 –19

a + b

" Izra~unaj.

13 + 58, –28 + (–17), –46 + (–46), –51 + 9, 60 + (–4), –18 + 3, 16 + (–178)

Podseti se

Zbir nule i bilo kog prirodnog broja jeste taj broj.Isto va`i i za cele brojeve : zbir nule i bilo kogcelog broja jeste taj ceo broj.

! Koriste}i brojevnu pravu, izra~unaj slede}e zbirove:

–8 + (–1), –4 + (–4), –5 + 9, 6 + (–4), –8 + 3, 6 + (–8).

Da ti ka`em

Ako Vasi}i duguju novac, stawe nawihovom ra~unuizrazi negativnimbrojem.

ZBIR DVA SUPROTNA BROJA

Proveri {ta zna{

30

SVOJSTVA OPERACIJE SABIRAWA• svojstvo komutacije

• svojstvo asocijacije

• zbir suprotnih brojeva

• zbir celog broja i nule

U skupu N prirodnih brojeva za operaciju sabirawa va`e svojstvo komutacije

(zamena mesta sabiraka) i svojstvo asocijacije (zdru`ivawe sabiraka). Ta svojstva se prenose i na skup Z celih brojeva.

Primer 1Prika`imo na brojevnoj pravoj zbir 4 + (–6) = –2

Vrednosti zbirova u primeru 1 i primeru 2 su jednak e. Zbir se ne mewa ako sabircizamene mesta: 4 + (–6) = –6 + 4

SVOJSTVO KOMUTACIJE

Primer 2Prika`imo na brojevnoj pravoj zbir –6 + 4 = –2

–3 –2 –1 0 1 2 3 4 5

x

–7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0 1

x

SVOJSTVO KOMUTACIJE I SVOJSTVO ASOCIJACIJE

! Dejan na ra~unu u banci ima 12 000 din. K upio je deo za ra~unar

koji ko{ta 15 000 din. i zadu`io se. Nina je uplatila 12 000 din.

na svoj ra~un da bi smawila dug, jer je weno dugovawe bilo

15 000 din. Ko sada ima ve}i dug na ra~unu? Koji je odgovor ta~an?

a) Dejan

b) Nina

v) imaju isti dug

Wihovo stawe na ra~unu mo`e{ da izra~una{ na slede}i na~in :Dejan: 12 000 + (–15 000)Nina: –15 000 + 12 000

31

Da ti ka`em

Prvo ra~una{ vrednostizraza koji je u zagradi.

Vrednosti zbirova u primeru 3 i u primeru 4 su jednak e. Kada ra~unamo zbirtri sabirka, svejedno je kojim redom zdru`ujemo sabirke i mo`emo da pi{emo:(–6 + 3) + 2 = –6 + (3 + 2)Kada sabiramo vi{e celih brojeva, mo`emo da ih zdru`ujemo bilo k ojim redom, {to zna~i da mo`emo da pi{emo izraz i bez zagrade. Na primer :

− + −( )( ) + −( ) = − + − + −( )( ) = − + −( ) + −( )6 9 4 6 9 4 6 9 4

Primer 3Prika`imo na brojevnoj pravoj zbir

(–6 + 3) + 2

Prvo izra~unamo: –6 + 3 = –3, a zatim:–3 + 2 = –1

(–6 + 3) + 2 = –1

svojstvo komutacije

SVOJSTVO ASOCIJACIJE

Primer 4Prika`imo na brojevnoj pravoj zbir –6 + (3 + 2)

–6 –5 –4 –3 –2 –1 0 1 2

x

–3 –2 –1 0 1 2 3 4 5

x

Prvo izra~unamo: 3 + 2 = 5, a zatim :5 + (–6) = –1–6 + (3 + 2) = –6 + 5 = 5 + (–6) = –1

" a) Izra~unaj.

b) Kakvi su rezultati u svakoj koloni? Objasni svoj odgovor.

7 + (–15) –8 + 8 –6 + 0

–15 + 7 8 + (–8) 0 + (–6)

# Izra~unaj pod b) kao {to je ura|eno pod a).

a) –6 + (–4 + 5) = –6 + 1 = –5 (–6 + (–4)) + 5 = –10 + 5 = –5

b) –11 + (11 + 49) (–11 + 11) + 49

v) Koje je svojstvo kori{}eno u ovim primerima?

32

' Na osnovu teksta sastavi izraz i izra~unaj wegovu vrednost.

a) Zbiru brojeva –74 i 24 dodaj 50. .

b) Broju 62 dodaj zbir brojeva –25 i 25.

$ Zaokru`i slovo ispred ta~ne jednakosti.

a) –13 + 19 = –19 + 13

b) –13 + (–19) = 19 + 13

v) 13 + (–19) = 19 + 13

g) –13 + 19 = 19 + (–13)

% Zaokru`i slovo ispred ta~ne jednakosti.

a) 17 2 8 17 2 8+ − +( ) = + −( )( ) + −( )

& Izra~unaj.

a) –180 + 180

b) 0 + (–2 136)v) –7 + 7 + (–4)

U skupu celih brojeva za svaka tri broja a, b i c va`i:

• svojstvo komutacije za sabirawe

a + b = b + a

• svojstvo asocijacije za sabirawe

a + (b + c) = (a + b) + c

• zbir dva suprotna broja je nula

a + (–a) = –a + a = 0

• ako je jedan sabirak nula, zbir je jednak drugom sabirku

a + 0 = 0 + a = a

Ka`emo da je 0 neutralan element sabirawa jer ne uti~e na vrednost zbira.

SVOJSTVA OPERACIJE SABIRAWA

Da ti ka`em

Pogledaj na str. 29 tekst Zbir dvasuprotna brojai zadatak 12.

b) –11 + (4 + 7) = (–11 + 4) + ( –7)v) − + −( )( ) + = − + − +( )6 3 3 6 3 3

g) 19 9 1 19 9 1+ −( )( ) + −( ) = + − +( )

33

Prvi na~in

Sabiramo dva po dva sabirka redom :4 + 7 + (–8) + 5 + (–2)= 11 + (–8) + 5 + (–2)

= 3 + 5 + (–2)= 8 + (–2)

= 6

) Izra~unaj vrednost zbira na dva na~ina.

19 + (–27) + 41 + (–23)

* Izra~unaj.

(–10 + 4 + 6) + (–8 + 3 + 5)

+ Izra~unaj zdru`uju}i suprotne sabirke, kao {to je zapo~eto.

8 + 6 + (–9) + 9 + (–6) = 8 + (–9 + 9) + (6 + (–6))

, Koriste}i svojstvo da je zbir suprotnih brojeva 0, izra~unaj:

a) –2 + (–1) + 0 + 1 + 2

b) zbir svih celih brojeva od –50 do 51.

Zbir 4 + 7 + (–8) + 5 + (–2) mo`emo da izra~unamo na vi{e na~inakori{}ewem svojstava sabirawa.

! Izra~unaj.

a) –89 + 89 b) 223 + 96 + (–223)v) 405 + (–37) + 55 + (–63) g) –49 + (–71) + 64 + 126 + 120

" Na osnovu teksta sastavi izraz i izra~unaj wegovu vrednost.

a) Zbiru brojeva –202 i –101 dodaj 303.

b) Broju –1 000 dodaj zbir brojeva 256 i –56.

v) Zbiru brojeva –43, 27 i –35 dodaj zbir brojeva 35, 23 i –17.

Podseti se

–9 + 9 = 0

6 + (–6) = 0

PRIMER

Da ti ka`em

Svejedno je da li prvosabira{ pozitivne ili negativne brojeve.

Sabirke mo`e{da zapi{e{ bilokojim redom.

Proveri {ta zna{

( Zbir brojeva –39, 57 i –11 izra~unaj na dva na~ina, kao {to je zapo~eto.

Prvi na~in Drugi na~in

–39 + 57 + (–11) = 18 + (–11) –39 + (–11) + 57 = –50 + 57

Drugi na~inPrimewujemo svojstvaasocijacije i komutacije i sabiramo sve pozitivne, a zatim sve negativne sabirke:4 + 7 + (–8) + 5 + (–2)=

= 16 + (–10)= 6

4 7 5 8 2+ +( ) + − + −( )( )

34

ODUZIMAWE CELIH BROJEVA

18 h 24 h12 h

Podseti se

5 – 3 = 2

umawenik

umawilac

razlika

• razlika dva cela broja

Poka`imo kako mo`emo da napi{emo izraz kojim smo izra~unali temperaturu u 18 h i u 24 h u prethodnom zadatku.

Da bismo izra~unali temperaturu u 18 sati, mo`emo da pos tupimo na dva na~ina.

Prvi na~in Ra~unamo razliku temperatura od 5°C i 3°C i pi{emo:5 – 3 = 2

Drugi na~in Ra~unamo zbir temperatura od 5°C i –3°C i pi{emo:5 + (–3) = 2

Vidimo da je: 5 – 3 = 5 + (–3) = 2

Isto postupamo da bismo odredili temperaturu u 24 sata.

Prvi na~in Ra~unamo razliku temperatura od 2°C i 6°C i pi{emo:2 – 6 = –4

Drugi na~in Ra~unamo zbir temperatura od 2°C i –6°C i pi{emo:2 + (–6) = –4

Vidimo da je: 2 – 6 = 2 + (–6) = –4

Brojevi 3 i –3, kao i brojevi 6 i –6, jesu suprotni brojevi. Na osnovuovih primera mo`emo da primetimo da oduzimawe celog broja daje isti rezultat kao i sabirawe wemu suprotnog broja.

vrednost od –4°C mo`emo da pro~itamo s termometra

! a) U 12 h izmerena je temperatura od 5°C. Do 18 h temperatura

je opala za 3°C, a do 24 h opala je za jo{ 6°C. Oboj skale na drugom

i tre}em termometru tako da pokazuju temperature u 18 h i 24 h.

b) Za koliko je stepeni temperatura izmerena u podne ve}a od pono}ne temperature?

ODUZIMAWE CELIH BROJEVA

35

RAZLIKA DVA CELA BROJA

Isto postupamo pri ra~unawu razlike izmerenih temperatura u 12 h i 24 h.5 – (–4) = 5 + 4 = 9

Ovu jednakost mo`emo da iska`emo re~ima:Kada od broja 5 oduzmemo broj –4, dobijamo isti rezultat kao kada broj 5saberemo s brojem suprotnim broju –4, to jest s brojem 4.

Za a, b ∈Z va`i da je:a – b = a + (–b)

Razlika dva cela broja a i b jednaka je zbiru broja a i broja suprotnog broju b.

Izra~unajmo razliku brojeva: a) 4 i 6 b) 4 i –6 v) –4 i 6.

a) 4 – 6 = 4 + (–6)= –2

b) 4 – (–6) = 4 + 6= 10

v) –4 – 6 = –4 + (–6)= –10

" Izra~unaj kao {to je zapo~eto.

a) 4 – 7 = 4 + (–7) b) 4 – (–7) = 4 + 7

v) –4 – 7 = – 4 + (–7) g) –4 – (–7) = –4 + 7

d) 7 – 4 = 7 + (–4) |) 7 – (–4) = 7 + 4

e) –7 – 4 = –7 + (–4) `) –7 – (–4) = –7 + 4

Podseti se

Brojevi 7 i –7, kao i brojevi 4 i –4, jesusuprotni brojevi.

oduzeti 6 zna~i dodati –6

izra~unat zbir

oduzeti –6 zna~i dodati 6

izra~unat zbir

oduzeti 6 zna~i dodati –6

izra~unat zbir

# Oduzimawe svedi na sabirawe i izra~unaj.

a) 8 – (–1) b) 4 – (–4)v) –6 – (–6) g) 2 – 9

d) –1 – 5 |) 7 – 6

PRIMER

U skupu prirodnih brojeva N uvek mo`emo da saberemo bilo koja dva prirodna broja,a mo`emo da oduzmemo samo mawi broj od ve}eg .

U skupu celih brojeva Z mo`emo da izra~unamo zbir i razliku bilo k oja dva broja. To je zato {to u skupu Z oduzimamo tako {to datom broju dodajemo suprotan broj.

Ka`emo da su sabirawe i oduzimawe uvek izvodqive operacije u skupu Z.

36

$ Izra~unaj.

a) 16 – 12 b) 13 – 19 v) –21 – 17 g) –15 – (–11) d) –23 – (–28)

% Popuni tabelu.

& Izra~unaj.

a) 0 + 2 –3 + 0 4 – 0

b) 0 – 5 0 – (–6) –1 – 0

' Oduzimawe svedi na sabirawe i izra~unaj.

a) 2 – (–5) + (–4)b) 10 + (–5) – (–8)v) –0 + (–20) – (–30)

( Zapi{i i izra~unaj razliku brojeva:

a) 11 i 8 b) 8 i 11

v) –11 i 8 g) –11 i –8

d) 8 i –11 |) –8 i –11.

) Izra~unaj.

a) –14 + 15 b) –12 – 19

v) 16 – 21 g) 150 – 225

a 18 –7 –9 15 5 –5

a – 9

a – (–9)

! Izra~unaj.

a) 1 – 5 b) 7 – 5 v) –2 – 1 g) –5 – (–8) d) –8 – (–3) |) –9 – 4 e) 10 – (–3)

" Zapi{i i izra~unaj razliku brojeva.

a) –6 i 9 b) –10 i –20 v) 5 i 18 g) 7 i –25 d) 0 i –6 |) –52 i 14 e) –18 i –2

# Izra~unaj.

a) –10 + 25 + 15 b) 10 – 25 + 15 v) 10 – 25 – 15 g) –10 – 25 + 15

Podseti se

–3 + 5 = 2

–5 + 3 = –2

3 – 5 = –2

–5 – 3 = –8

Da ti ka`em

Ako je umawilac nula,razlika je jednakaumaweniku.

Ako je umawenik nula,razlika je broj suprotanumawiocu.

Proveri {ta zna{

37

! U igri natezawa konopca:• ~etiri {estaka mogu da povuku kao pet petaka• tri petaka i dva {estaka mogu da povuku kao jedno magare.Ako su s jedne strane magare i jedan petak, a s druge {est {estaka, ko je ja~i?

" Sastavi magi~ni kvadrat akose zna da je zbir po vrstama,kolonama i dijagonalama –3.

# Popuni magi~ni kvadrat ~iji su elementi :a) –15, –12, –9, –6, –3, 0, 3, 6, 9

b) –8, –7, –6, –5, –4, –3, –2, –1, 0.

$ a) Popuni prazna poqa magi~nog kvadrata tako da karakteristi~ni zbir bude –6.

b) Celim brojevima od –4 do 11 popuni prazna poqa magi~nog kvadrata.

I TO JE MATEMATIKA

–3

–1 –5

6 3

–5 0

–3 2

5 4

–2 8

5 6

4 2

–4

a)

a)

b)

b)

Da ti ka`em

Zbir po vrstama, kolonamai dijagonalama nazivamokarakteristi~ni zbir.

Karakteristi~an zbir dobija{ tako {tosabere{ date brojeve i zbir podeli{ sa 3.

Poku{aj da od datih brojeva sastavi{ osam zbirova od po tri sabirka, jednakihkarakteristi~nom zbiru.

Sabirak koji se pojavi u ~etiri zbiraupi{i u centralno poqe.

Sabirke koji se pojave u tri zbira upi{iu uglove kvadrata.

38

ISTRA@IVA^KI ZADATAK

Re~ kviz je engleskog porekla i zna~i ispit. Kviz je ispitivawe ne~ijeg znawa, kao i takmi~eweu znawu i ve{tini iz razli~itih oblasti. Pitawa, zadaci ili igre u kvizu mogu ti k oristiti da proveri{ svoje znawe iz neke oblasti, da se zabavi{ i ispita{ drugove u odeqew u ili ~lanove porodice.

Predla`emo ti deset pitawa i pravila za bodovawe, a ti mo`e{ sas taviti svoju varijantu.

! Koji je od navedenih brojeva najbli`i

nuli?

a) –1 b) 2 v) –3

" Zbir suprotnih brojeva –8 i +8 je:a) –16 b) 0 v) +16

# Apsolutna vrednost broja –5 je:a) 5 b) –5 v) 0

& Broj –7 je ve}i od broja –8 za:a) –15 b) –1 v) +1

$ Razlika brojeva 2 i –3 je:a) –5 b) –1 v) +5

% Mawi broj od –17 je:a) 1 b) –20 v) –10

' Zbir svih celih brojeva od –5 do 6 je:a) 6 b) 1 v) –11

( Najve}i negativan jednocifren ceo

broj je:a) 1 b) –1 v) –9

) Temperatura vazduha u 7 h je –3°C. Ako je

svakog sata temperatura rasla za jedan

stepen, u koliko je sati izmereno 0°C?

a) u 4 h b) u 8 h v) u 10 h

* Ivan se sa tre}eg sprata spustio liftom ~etiri

nivoa. Lift se zaustavio:a) u podrumu b) u prizemqu v) na prvom spratu

Matemati~ki kviz

Pravila za bodovawe

Za ta~an odgovor takmi~ari dobijaju predlo`en broj bodova iz tabele, na primer 2 boda.Ukoliko pogre{no odgovore, dobijaju odgovaraju}i broj negativnih bodova, na primer –2 boda.Na kraju kviza treba sabrati bodove (pozitivne i negativne) i proglasiti pobednika.

Osvojeni bodovi tako|e se mogu prikazati tabelom.Sastavi tabelu sa imenima takmi~ara ili timova,kolonama za broj osvojenih bodova za svaki zadatak,kao i kolonom za ukupan broj bodova. Dobijene podatkeza ukupan broj bodova mo`e{ prikazati i grafik onom,kao u zadatku 7 na strani 16 u zbirci.

zadatak 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

bodovi 2 1 2 3 3 4 4 2 3 3

B CA

39

Z = {… –4, –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, 4…}

Skup celih brojeva

0–1–2–3… –4 1 2 3 4 …

x

negativni celi brojevi pozitivni celi brojevi

Suprotni brojevi su:–2 i 2, –1 i 1, –3 i 3…

Broj 0:• ve}i je od svakog negativnog broja • mawi je od svakog pozitivnog broja.

• Svaki negativan broj mawi je od bilo kog pozitivnog broja.

• Od dva negativna broja ve}i je onaj~ija je apsolutna vrednost mawa.

Apsolutna vrednost broja prikazanog na brojevnojpravoj predstavqa rastojawe od tog broja do nule.

|–2| = |2| = 2

Zbir dva cela broja

• istog znaka ra~una se tako {to se saberuwihove apsolutne vrednosti i u rezultatuzadr`i znak sabiraka

• razli~itog znaka ra~una se tako {to se od ve}e apsolutne vrednosti oduzme mawa i u rezultatu zadr`i znak sabirka ve}e apsolutne vrednosti

9 + (–3) = 6–9 + 3 = –6

9 – (–3) = 12–9 – 3 = –12

9 – 3 = 6–9 – (–3) = –6

9 + 3 = 12–9 + (–3) = –12

Sabirawe i oduzimawe celih brojeva

ZAPAMTI

Razlika dva cela broja

• ra~una se tako {to se prvi broj saberesa suprotnom vredno{}u drugog

40

MNO@EWE CELIH BROJEVA

! Diri`abl se za 1 minut popne na visinu od 20 m iznad zemqe.Koliko }e se metara podi}i za 3 minuta? Prika`i na grafik onu.

" Keson (korpa za ispitivawe morskog dna) za 1 minut spusti se na dubinu

od 40 m ispod nivoa mora. Koliko }e se metara spustiti za 3 minuta?

Prika`i na grafikonu.

# Nastavi da ra~una{ kao {to je zapo~eto.

a) 3 ⋅ 4 = 4 + 4 + 4

b) 3 ⋅ (–4) = (–4) + (–4) + (–4)v) 4 ⋅ (–2)g) 2 ⋅ (–6)

• proizvod pozitivnogi negativnog broja

• proizvod dvanegativna broja

80

60

40

20

0

0

–20

–40

–60

–80

–100

–120

3 ⋅ 20 m = 60 m

3 ⋅ (–40 m) = –120 m

Podseti se

4 ⋅ 3 = 12

~inioci

proizvod

vrednostproizvoda

Da ti ka`em

Kada sabira{ vi{e jednakihsabiraka, bilo da su oni pozitivni, bilo da su negativni, mo`e{ dakoristi{ operaciju mno`ewa za kra}e zapisivawe.

Zagrada razdvaja predznak broja od znakara~unske operacije.

55 44 22 1

166 33

2

35-6

14

2

+36+51 4

41

Poka`imo na brojevnoj pravoj kako se mno`e dva cela broja.

a) Izra~unavawe proizvoda 4 ⋅ 2

Brojem 4 mno`imo broj 2 tako {to broj 2 sabiramo ~etiri puta.

b) Izra~unavawe proizvoda –4 ⋅ 2

Brojevi 4 i –4 jesu suprotni brojevi, pa su i vrednosti proizvoda 4 ⋅ 2 i –4 ⋅ 2 suprotni brojevi.

Da bismo proizvod –4 ⋅ 2 predstavili na brojevnoj pravoj, koristimo crte` pod a)i odre|ujemo broj suprotan broju 8.

v) Izra~unavawe proizvoda 4 ⋅ (–2)Brojem 4 mno`imo broj –2 tako {to broj –2 sabiramo ~etiri puta.

g) Izra~unavawe proizvoda –4 ⋅ (–2)Brojevi 4 i –4 su suprotni brojevi, pa su i vrednosti proizvoda 4 ⋅ (–2) i –4 ⋅ (–2)suprotni brojevi.

Da bismo proizvod –4 ⋅ (–2) predstavili na brojevnoj pravoj, koristimo crte` pod v)i odre|ujemo broj suprotan broju –8.

$ Prika`i proizvode na brojevnoj pravoj i izra~unaj wihovu vrednos t.

a) 2 ⋅ 3 b) –2 ⋅ 3

v) 2 ⋅ (–3) g) –2 ⋅ (–3)

0 2 4

+2 +2 +2 +2

6 8

–8 –6 –4 –2 0 2 4

+2 +2 +2 +2

6 8

–8 –6 –4

–2 –2 –2 –2

–2 0

–8 –6 –4 –2 0 2 4

–2 –2 –2 –2

6 8

Na osnovu prethodnih primera zakqu~ujemo:• proizvod dva pozitivna ili dva negativna broja jes te pozitivan broj

• proizvod pozitivnog i negativnog broja jeste negativan broj.

–8 –6 –4 –2 0 2 4 6 8 –8 –6 –4 –2 0 2 4 6 8

–8 –6 –4 –2 0 2 4 6 8 –8 –6 –4 –2 0 2 4 6 8

4 ⋅ 2 = 8

–4 ⋅ 2 = –8

4 ⋅ (–2) = –8

–4 ⋅ (–2) = 8

PREDSTAVQAWE PROIZVODA CELIH BROJEVA NA BROJEVNOJ PRAVOJ

42

• Proizvod dva pozitivna cela broja: +a ⋅ (+b) = a ⋅ b, za a, b ∈N

• Proizvod dva negativna cela broja: –a ⋅ (–b) = +(a ⋅ b), za a, b ∈N

• Proizvod jednog pozitivnog i jednog negativnog celog broja: +a ⋅ (–b) = –(a ⋅ b)

–a ⋅ (+b) = –(a ⋅ b), za a, b ∈N

• Proizvod celog broja i nule: 0 ⋅ c = c ⋅ 0 = 0, za c ∈Z

Za odre|ivawe znakaproizvoda mo`e{ dakoristi{ i slede}utabelu.

& Izra~unaj.

a) –9 ⋅ 5 b) –10 ⋅ (–4) v) 1 ⋅ (–11) g) –1 ⋅ (–11)d) –1 ⋅ 1 |) –5 ⋅ (–2) e) 0 ⋅ 3 `) 0 ⋅ (–3)

' Izra~unaj.

a) 4 ⋅ (–6) b) –20 ⋅ 1 v) –19 ⋅ (–1) g) –5 ⋅ 100

d) –1 ⋅ (–9) |) –25 ⋅ (–4) e) 16 ⋅ (–2) `) –3 ⋅ 4

⋅ + –

+ + –

– – +

% Pomno`i kao {to je zapo~eto.

a) 7 ⋅ (–8) = –(7 ⋅ 8) = – 56

b) –7 ⋅ 8

v) (–7) ⋅ (–8)g) 7 ⋅ 8

PROIZVOD DVA CELA BROJA

a) +6 ⋅ (+5) = 6 ⋅ 5 = 30

b) –2 ⋅ (–9) = +(2 ⋅ 9) = 18

mno`imo pozitivne, to jest prirodne brojeve

mno`imo prirodne brojeve 2 i 9, a znak proizvoda je „+“

v) +3 ⋅ (–7) = 3 ⋅ (–7) = –(3 ⋅ 7) = –21 mno`imo prirodne brojeve 3 i 7, a znak proizvoda je „–“

g) –4 ⋅ (+8) = –(4 ⋅ 8) = –32 mno`imo prirodne brojeve 4 i 8, a znak proizvoda je „–“

d) 0 ⋅ (–5) = 0 proizvod nule i celog broja jeste nula

Da ti ka`em

Predznak pozitivnog brojamo`e{ izostaviti zato {to je pozitivan ceo brojprirodan broj.

PRIMER

Izra~unaj.a) +6 ⋅ (+5) b) –2 ⋅ (–9) v) +3 ⋅ (–7) g) –4 ⋅ (+8) d) 0 ⋅ (–5)

43

( Temperatura je u 1 sat posle pono}i bila 0° C. U toku no}i svakog sata opadala je za 2°C.

Kolika je temperatura bila u 6 sati ujutru?

) Podmornica za jednu sekundu zaroni 2 m. Na kojoj }e dubini podmornicabiti posle jednog minuta? Dubinu mora izrazi kao negativan broj.

* Izra~unaj.

a) 20 ⋅ (–4) ⋅ (–3) b) –5 ⋅ (–7) ⋅ 2

v) –4 ⋅ (–10) ⋅ (–6) g) –9 ⋅ 3 ⋅ (–3)

Podseti se

1 minut = 60 sekundi

! a) 33 ⋅ (–11) b) –18 ⋅ (–4) v) –17 ⋅ (–15)g) 5 ⋅ (–2) d) –8 ⋅ 17 |) –13 ⋅ 5

e) 0 ⋅ 5 `) 0 ⋅ (–6) z) –7 ⋅ 0

i) –1 ⋅ (–13) ⋅ (–5) j) –12 ⋅ 0 ⋅ (–3)

Negativni brojevi

Proizvod dva cela broja ra~unamo tako {to pomno`imowihove apsolutne vrednosti, a rezultat ima znak:„+“ ako su ti brojevi istog znaka ili

„–“ ako su ti brojevi razli~itog znaka.

Da ti ka`em

Vi{e ~inilacamo`e{ da mno`i{redom. Pomno`iprva dva ~inioca,a zatim dobijenirezultat pomno`itre}im.

Proveri {ta zna{

Da bi objasnili pravila koja se koriste zara~unawe s negativnim brojevima, nau~nicisu poku{ali da prona|u neke primere izsvakodnevnog `ivota. Da bi qudima pribli`ili pravila koja va`e za mno`ewecelih brojeva, odabrali su primer prijateqstva. Prijatequ je dodeqen znak +, a neprijatequ znak –. Pravila za mno`ewedva pozitivna broja, pozitivnog i negativnogbroja, kao i dva negativna broja, formulisali su na slede}i na~in.

PRIJATEQ MOG PRIJATEQA JE MOJ PRIJATEQ!

NEPRIJATEQ MOG PRIJATEQA JE MOJ NEPRIJATEQ!

NEPRIJATEQ MOG NEPRIJATEQA JE MOJ PRIJATEQ!

44

MNO@EWE CELIH BROJEVA. KVADRAT CELOG BROJA

• kvadrat broja

! Slika na kutiji za CD kvadratnog

je oblika, stranice 12 cm.

Koliku povr{inu zauzima slika?

" Izra~unaj.

a) 9 ⋅ 9 b) (–7) ⋅ (–7) v) (–11) ⋅ (–11)

$ a) Izra~unaj kvadrate prvih deset prirodnih brojeva i popuni tabelu.Kvadrati me|usobnosuprotnih brojevasu jednaki.

KVADRAT CELOG BROJA

Proizvod dva ista cela broja naziva se kvadrat tog broja i zapisuje se:a ⋅ a = a2

Kvadrat celog broja je pozitivan broj ili broj jednak nuli.

Za svako a ∈Z va`i:a2 ≥ 0

a –10 5 –9 15 –8 0

a ⋅ a –10 ⋅ (–10)a2 (–10)2

rezultat 100

a 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

a2 1 4

b) Izra~unaj kvadrate slede}ih negativnih brojeva i popuni tabelu .

a –1 –2 –3 –4 –5 –6 –7 –8 –9 –10

a2 1 4

Izra~unaj. a) 122 b) (–2)2

a) 122 = 12 ⋅ 12 = 144

b) (–2)2 = –2 ⋅ (–2) = 4

Da ti ka`em

Povr{ina kvadratastranice a je P = a ⋅ a.

PRIMER

# Zapi{i proizvode kao kvadrate celih brojeva i izra~unaj ih kao {t o je zapo~eto.

45

% Izra~unaj kao {to je zapo~eto.

a) (–13)2 = (–13) ⋅ (–13)b) (–15)2

v) (–20)2

& Izra~unaj kao {to je zapo~eto.

a) –22 = –2 ⋅ 2 = –4 b) –62 v) –102 g) –12

' Izra~unaj.

a) –112 b) –72 v) –82

g) (–12)2 d) –142 |) –302

( Koliko je –92? Zaokru`i slovo ispred ta~nog odgovora.

a) –18 b) +18 v) –81 g) 81

) U tabeli zaokru`i DA ako je jednakost ta~na ili NE ako jednakost nije ta~na.

* Izra~unaj kao {to je zapo~eto.

a) 3 ⋅ (–2)2 = 3 ⋅ 4 b) (–3)2 ⋅ (–10) = 9 ⋅ (–10)v) (–5)2 ⋅ (–10)2 g) 4 ⋅ (–5) ⋅ (–1)2

d) –62 ⋅ (–4) |) –12 ⋅ (–72)

+ Uporedi i napi{i odgovaraju}u nejednakost ili jednakost:

a) –72 i (–7)2 b) (–10)2 i –102 v) (–10)2 i –10 ⋅ (–10).

Izra~unaj (–5)2 i –52.

(–5)2 = – 5 ⋅ (–5) = 25 i –52 = –5 ⋅ 5= –25

–32 = 9 (–1)2 = 2 –62 = –36 (–2)2 = –4 (–4)2 = 16

DA NE DA NE DA NE DA NE DA NE

! Izra~unaj kvadrate brojeva: 11, 12, 13, 14, 15, –11, –12, –13, –14, –15.

" Izra~unaj. a) –9 ⋅ (–3)2 b) 6 ⋅ (–8) ⋅ (–1)2 v) (–7)2 ⋅ (–10)2.

# Uporedi: a) –112 i (–11)2 b) –42 i (–4)2 v) 122 i (–12)2.

Da ti ka`em

Primeti:(–5)2 ≠ –52

Prvo izra~unaj kvadrat broja.

Proveri {ta zna{

PRIMER

46

$ Popuni tabele kao {to je zapo~eto.

a)

b)

v)

a b c (a ⋅ b) ⋅ c a ⋅ ( b ⋅ c)–2 3 –9 (–2 ⋅ 3) ⋅ (–9) = –6 ⋅ (–9) = 54 − ⋅ ⋅ −( )( ) = − ⋅ −( ) =2 3 9 2 27 54

6 –5 4

–8 –2 –10

a b a ⋅ b b ⋅ a

–9 3 –9 ⋅ 3 = –27 3 ⋅ (–9) = –27

6 –7

–8 –2

a b c (a + b) ⋅ c a ⋅ c + b ⋅ c

–5 3 –2 (–5 + 3) ⋅ (–2) = –2 ⋅ (–2) = 4 (–5) ⋅ (–2) + 3 ⋅ (–2) = 10 + (–6) = 4

6 –7 4

–8 –2 –9

SVOJSTVA OPERACIJE MNO@EWA

! U datom proizvodu zameni mesta ~iniocima i izra~unaj

vrednost proizvoda.

5 ⋅ 6

" Promeni mesto zagrade tako da 7 mno`i{ s proizvodom

brojeva 2 i 5 i izra~unaj.

(7 ⋅ 2) ⋅ 5

# Zapi{i izraz tako da, umesto jednog, izvr{i{ dva mno`ewa

i izra~unaj.

4 ⋅ (8 + 3)

• svojstvo komutacije

• svojstvo asocijacije

• svojstvo distribucije

• mno`ewe celog brojabrojevima 1, –1 i 0

U sve tri tabele posledwe dve kolonesu jednake. Svojstva komutacije,asocijacije i distribucije pro{irujuse sa skupa prirodnih brojeva na skupcelih brojeva.

SVOJSTVA KOMUTACIJE, ASOCIJACIJE I DISTRIBUCIJE

Za svaka tri cela broja a, b i c va`i:• svojstvo komutacije za mno`ewe a ⋅ b = b ⋅ a

• svojstvo asocijacije za mno`ewe (a ⋅ b) ⋅ c = a ⋅ (b ⋅ c)• svojstvo distribucije mno`ewa prema sabirawu a ⋅ (b + c) = a ⋅ b + a ⋅ c

Da ti ka`em

U prvom zadatku koristi{svojstvo komutacije, u drugom asocijacije, a u tre}em distribucije.

47

⋅ –3 5 –2

–3 9 –15

5 –15

–2

% a) Popuni tabelu kao

{to je zapo~eto.

b) Zapi{i proizvode iz tabele ~ije su vrednosti jednake.

v) Zaokru`i ta~an odgovor. Proizvodi su jednaki zato {to va`i svojstvo:• komutacije • asocijacije • distribucije mno`ewa prema sabirawu

& Koriste}i svojstvo asocijacije, izra~unaj vrednost proizvoda.

a) –15 ⋅ (–2 ⋅ 6) b) 25 ⋅ (–4 ⋅ 17)v) (28 ⋅ (–5)) ⋅ (–2) g) (–7 ⋅ 2) ⋅ (–5)

' Izra~unaj na dva na~ina, kao {to je zapo~eto.

Prvi na~in Drugi na~in

a) 5 ⋅ (–2) + 5 ⋅ (–3) = –10 – 15 = –25 5 ⋅ (–2) + 5 ⋅ (–3) = 5 ⋅ (–2 – 3) = 5 ⋅ (–5) = –25

b) –6 ⋅ 5 + (–6) ⋅ 4 –6 ⋅ 5 + (–6) ⋅ 4

v) 3 ⋅ (–7) + 3 ⋅ (–3) 3 ⋅ (–7) + 3 ⋅ (–3)

( Izra~unaj slede}e proizvode koriste}i svojstvo distribucije mno`ewa prema sabirawu.

a) –8 ⋅ (–5 + 2) b) – 10 ⋅ (–5 + (–5 ))

) Zapi{i izraz i izra~unaj wegovu vrednost.

a) Zbir brojeva 12 i –5 pomno`i sa –2.

b) Brojem –6 pomno`i zbir brojeva 3 i –10.

Kada mno`imo vi{e ~inilaca, mo`emo da ih mno`imo bilo k ojim redom. Koriste}isvojstva komutacije i asocijacije, mo`emo da zdru`ujemo ~inioce na vi{e na~ina.

MNO@EWE CELOG BROJA BROJEVIMA 1, –1 I 0

Pored navedenih svojstava, u skupu celih brojeva operacija mno`ewa ima jo{ nek e osobine.

• Proizvod celog broja a i broja 1 jeste dati ceo broj a. Ka`emo da je broj 1 neutralan element mno`ewa jer ne uti~e na vrednost proizvoda. Na primer:

50 ⋅ 1 = 50 –40 ⋅ 1 = –40 –10 ⋅ (–5) ⋅ 1 = 50

• Proizvod celog broja a i broja (–1) jeste suprotan broj broju a. Na primer:796 ⋅ (–1) = –796 –324 ⋅ (–1) = 324 (–1) ⋅ 101 = –101

• Proizvod celog broja a i broja 0 jeste broj 0. Na primer:200 ⋅ 0 = 0 –529 ⋅ 0 = 0

48

MNO@EWE CELOG BROJA BROJEVIMA 1, –1 I 0

Za svaki ceo broj a va`i:a ⋅ 1 = 1 ⋅ a = aa ⋅ (–1) = –1 ⋅ a = –aa ⋅ 0 = 0 ⋅ a = 0

* a) Izra~unaj.

A = –(–8) B = (–1) ⋅ (–8)b) [ta je ta~no: A < B ili A > B ili A = B?

+ Popuni tabelu.

, Izra~unaj.

a) –24 ⋅ (–17) ⋅ 0 b) 131 ⋅ 0 ⋅ (–2 341) v) 0 ⋅ 38 ⋅ (–99)

- Izra~unaj.

a) (–1) ⋅ (–347) b) – (–29) ⋅ 1 v) – (–11) ⋅ (–1) g) 25 ⋅ 0 ⋅ (–1)

. Uporedi proizvode i napi{i odgovaraju}u nejednakost:

a) 4 ⋅ (–2) i 4 ⋅ (–4) b) –3 ⋅ 6 i –3 ⋅ 7

v) –5 ⋅ (–7) i –5 ⋅ (–8) g) 3 ⋅ (–2) ⋅ (–1) i –3 ⋅ (–2).

/ Izra~unaj vrednosti proizvoda i popuni tabelu.

Minus ispred zagrade ima istu ulogu kao i mno`ewe brojem –1. Na primer:

–(–2) = –1 ⋅ (–2)

a –4 5 –12 33 0

–a 4 7

(–1) ⋅ a

a –4 –3 –2 –1 0 1 2 3

5 ⋅ a

Da ti ka`em

Kada se a pove}ava, pove}ava se i vrednostproizvoda 5 ⋅ a.

49

Kada mno`imo paran broj negativnih ~inilaca, vrednost proizvodaje pozitivan broj. Kada mno`imo neparan broj negativnih ~inilaca,vrednost proizvoda je negativan broj.

: Izra~unaj vrednosti proizvoda i popuni tabelu.

; Popuni tabelu kao {to je zapo~eto.

< Kako je 2 ⋅ 5 ⋅ 3 ⋅ 4 = 120, izra~unaj slede}e proizvode.

(–5) ⋅ 2 ⋅ (–3) ⋅ 4 5 ⋅ (–2) ⋅ (–3) ⋅ (–4)(–5) ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 4 (–2) ⋅ (–3) ⋅ (–4) ⋅ (–5)

= Uporedi proizvode i napi{i odgovaraju}u nejednakost:

a) 8 ⋅ (–7) i 14 ⋅ 4 b) –11 ⋅ 6 i 12 ⋅ (–6) v) – 4 ⋅ 3 i – 4 ⋅ 3 ⋅ 0 ⋅ 1.

a –4 –3 –2 –1 0 1 2 3

–5 ⋅ a

proizvodvrednost

proizvodabroj negativnih

~inilacaznak proizvoda

–5 ⋅ (–4) 20 2 +

–5 ⋅ (–4) ⋅ (–3) –60

–5 ⋅ (–4) ⋅ (–3) ⋅ (–2)–5 ⋅ (–4) ⋅ (–3) ⋅ (–2) ⋅ (–1)

! Izra~unaj na dva na~ina.

a) –3 ⋅ 2 + (–3) ⋅ (–5) b) –2 ⋅ 10 + (–2) ⋅ (–5) v) –4 ⋅ (7 – 3)

" a) Zbir brojeva –1 i –8 pomno`i brojem –2.

b) Brojem –20 pomno`i zbir brojeva –11 i –8.

# Kako je 4 ⋅ 3 ⋅ 10 ⋅ 2 = 240, izra~unaj slede}e proizvode.

a) 4 ⋅ (–3) ⋅ 10 ⋅ (–2) b) (–4) ⋅ (–3) ⋅ 10 ⋅ (–2)v) –4 ⋅ 3 ⋅ 10 ⋅ 2 g) (–4) ⋅ (–3) ⋅ (–10) ⋅ (–2)

Da ti ka`em

Kada se a pove}ava,vrednost proizvoda –5 ⋅ a se smawuje.

Proveri {ta zna{

50

IZRAZI SA CELIM BROJEVIMA

! U kvizu iz matematike u~estvuju ~etiri ekipe najboqih matemati~ara iz svakog odeqewa

{estog razreda: VI1, VI2, VI3 i VI4. Rade po 10 zadataka. Za svaki ta~no ura|en zadatak ekipa

dobija 5 bodova, a za neta~an 3 negativna boda. Popuni tabelu kao {t o je zapo~eto.

• brojevni izraz

• prioritet ra~unskihoperacija

broj ta~nihzadataka (T)

broj neta~nihzadataka (N)

T ⋅ 5 N ⋅ (–3)ukupan broj

bodova

VI1 6 4 6 ⋅ 5 = 30 4 ⋅ (–3) = –12 18

VI2 5 5 5 ⋅ 5 = 5 ⋅ (–3) =

VI3 7 3

VI4 4 6

a) Koje je odeqewe osvojilo najvi{e bodova?

b) Koje je mesto zauzelo VI2?

v) Koliko negativnih bodova ima VI3?

U prethodnim razredima u~ili smo da je brojevni izraz sas tavqen od brojeva, ra~unskih operacija i zagrada.

Svaki brojevni izraz ima svoju vrednost, koju dobijamo kada se izvr{e sve ra~unske operacije koje se pojavquju u izrazu.

Ra~unske operacije mno`ewa i deqewa imaju prednost nad operacijamasabirawa i oduzimawa. Ka`emo da operacije mno`ewa i deqewa imaju pri-oritet u odnosu na operacije sabirawa i oduzimawa.

Zagrade imaju najve}i prioritet. To zna~i da se prvo ra~una izraz u zagradi.

Ove godine, pored navedenih ra~unskih operacija, uve{}emo u brojevniizraz i apsolutnu vrednost broja, koja je istog prioriteta kao zagrada.

Izra~unaj. a) –10 ⋅ (–12 – 8) b) 42 – 2 ⋅ (–7)

a) –10 ⋅ (–12 – 8) = –10 ⋅ (–20)= 200

b) 42 – 2 ⋅ (–7) = 42 – (–14)= 42 + 14

= 56

prvo je izra~unat izraz u zagradi, to jest –12 – 8 = –20

prvo je izra~unat proizvod 2 ⋅ (–7) = –14

izra~unat je proizvod

oduzeti broj zna~i dodati suprotan broj

izra~unat je zbir

OVO JEBOZA!

PRIORITET RA^UNSKIH OPERACIJA U BROJEVNIM IZRAZIMA

PRIMER

51

" Izra~unaj.

a) (–7 + 5) ⋅ 8 b) – 3 ⋅ (–6 + 8)v) –15 ⋅ (–1 – 5) g) (23 – 8) ⋅ (–11)d) (–14 + 5) ⋅ 7 |) –1 ⋅ (–62 – 38)

# Izra~unaj slede}e brojevne izraze.

a) –2 ⋅ 5 + 4 b) 11 ⋅ (–10) – 6

v) 2 + (–4) ⋅ 6 g) 7 – 2 ⋅ (–9)d) –4 ⋅ 5 + 13 |) 1 ⋅ (–10) – 25

e) 82 + (–9) ⋅ 11 `) 72 – 20 ⋅ (–5)

$ Zaokru`i slovo ispred ta~nog odgovora. Vrednost izraza –2 + 2 ⋅ (–4) je:

a) 0 b) 6 v) –10 g) 16

% Svakom izrazu pridru`i odgovaraju}u brojevnu vrednost, kao {to je zapo~eto.

& Ako je A = –18, popuni tabelu.

(–2) ⋅ 3 – 1

7 –5 –4 –3 3 4 –7 5

1 – 2 ⋅ (–3) –2 ⋅ (3 – 1) (1 – 2) ⋅ (–3)

2 ⋅ A 2 ⋅ A – 3 2 ⋅ A + 5 –2 ⋅ A –2 ⋅ A + 9 –2 ⋅ A – 8 –2 ⋅ A ⋅ 5

Podseti se

Izrazi u prvomredu tabele jesuprimeri izrazas promenqivom.

' Popuni tabelu kao {to je zapo~eto.

Ako je a = –4, onda je –a = 4.a – a 3 ⋅ a –3 ⋅ a 3 ⋅ (–a) –3 ⋅ (–a)

12 –12 36 –36 –36 36

–4

15

–16

–3

Da ti ka`em

Prvo ra~unajizraz u zagradi.

Operacijamno`ewa je ve}eg prioriteta od sabirawa i oduzimawa.

52

) Izra~unaj.

a) –5 ⋅ (–6) + (–15) ⋅ 3

b) 16 ⋅ (–4) – 32 ⋅ (–2)

prvo je izra~unat kvadrat broja –2

zatim je izra~unat proizvod

izra~unata je razlika

prvo je izra~unata razlika u zagradi, to jest 6 – 7

zatim je izra~unat kvadrat broja –1

izra~unat je proizvod

izra~unat je zbir

Izra~unaj. a) (–2)2 ⋅ 3 – 12 b) (6 – 7)2 ⋅ (–4) + 3

a) (–2)2 ⋅ 3 – 12 = 4 ⋅ 3 – 12

= 12 – 12

= 0

b) (6 – 7)2 ⋅ (–4) + 3 = (–1)2 ⋅ (–4) + 3

= 1 ⋅ (–4) + 3

= –4 + 3

= –1

prvo su izra~unate apsolutne vrednosti brojeva –15 i –9

izra~unat je proizvod 3 ⋅ 9

izra~unata je razlika

prvo je izra~unat zbir unutar apsolutne vrednosti, to jest –2 + 10

izra~unata je apsolutna vrednost broja 8

izra~unat je proizvod

Izra~unaj. a) |–15| – 3 ⋅ |–9| b) |–2 + 10| ⋅ (–5)

a) |–15| – 3 ⋅ |–9| = 15 – 3 ⋅ 9

= 15 – 27

= –12

b) |–2 + 10| ⋅ (–5) = |8| ⋅ (–5)= 8 ⋅ (–5)= –40

* Izra~unaj.

a) 14 – (–5)2 ⋅ 2

b) 2 ⋅ (–3)2 + (–4)2

v) (–6 +1)2 ⋅ 2 – (–9)g) –1 ⋅ (–8 + 7)2 + 1

( U slede}im zadacima na osnovu teksta zapi{i brojevni izraz, a zatim izra~unaj wegovu vrednos t.

a) Zbir brojeva –5 i 13 pomno`i brojem –4.

b) Od proizvoda brojeva –8 i –3 oduzmi broj –10.

v) Broj 12 oduzmi od proizvoda brojeva –15 i 6.

PRIMER

Da ti ka`em

Prvo izra~unaj proizvode,a zatim ih saberi.

53

- Test iz matematike sastoji se od 20 zadataka. Za svaki ta~an zadatak dobija se +5 bodova, za neta~an –2 boda, a za zaokru`en odgovor ne znam 0 bodova. Popuni tabelu do kraja.Koliko poena ima u~enik koji je najboqe uradio test?

+ Izra~unaj.

a) |–2| + |7| – 3 ⋅ |–5|b) –8 – |–3 ⋅ 12|v) –58 ⋅ |–16 – 4|g) |6 ⋅ (–9)| + |–4| + 2

, Izra~unaj.

a) (–2)2 ⋅ |–2|b) (–12 + |–7|) ⋅ (–8)2

v) –9 ⋅ |–3 – 6| – (–9)2

imeta~ni

zadacineta~nizadaci

ne zna odgovore

odgovaraju}i izraz broj

bodova

Sawa 12 5 3 12 ⋅ 5 + 5 ⋅ (–2) + 3 ⋅ 0 50

Vlada 7 4 9

Ivana 8 6 6

Nenad 16 0 4

! Popuni tabelu kao {to je zapo~eto.

" Na osnovu teksta zapi{i brojevni izraz, a zatim izra~unaj wegovu vrednos t.

a) Razliku brojeva 20 i –15 pomno`i brojem –2.

b) Broj –100 pomno`i zbirom brojeva –12 i 8

# Izra~unaj.

a) 12 ⋅ |–3| + (10 – 12)2 ⋅ 2 b) –6 ⋅ (–4) – |–6| ⋅ |–4| + 6 ⋅ 4

m –1 5 11 –10 8 0 –5

3 ⋅ (–m) –6 –3

Proveri {ta zna{

54

DEQEWE CELIH BROJEVA• koli~nik pozitivnog

i negativnog broja

• koli~nik dva negativna broja

! Odeqenski stare{ina je u VI1 zbog nediscipline uveo slede}a pravila:• Svako ko je opomenut za vreme ~asa dobija 2 negativna poena.

• Onaj koji na kraju nedeqe ima najvi{e negativnih poena bi}e redar naredne nedeqe.

U toku prve nedeqe Maja je opomenuta 11 puta, a Dark o je zaradio –20 poena.

Koliko je negativnih poena zaradila Maja?

Koliko je puta Darko bio opomenut?

Ko }e biti redar?

12 : 4 = 3

deqenik delilac vrednostkoli~nika

" Izra~unaj kao {to je zapo~eto.

a) 5 ⋅ 4 = 20 b) –8 ⋅ 3 = –24 v) –6 ⋅ (–2)20 : 5 = 4 –24 : 3 = –8 12 : (–6)20 : 4 –24 : (–8) 12 : (–2)

DEQEWE CELIH BROJEVA

Mno`ewe i deqewe su inverzne (obrnute) ra~unske operacije.Prika`imo to na slede}oj {emi.

Mno`ewe brojem 4 vodi nas od broja 3 do broja 12, a deqewe brojem 4vra}a nas od broja 12 do broja 3.

3 12

4

4

Veza izme|u operacije mno`ewa i operacije deqewa pro{iruje se sa skupa prirodnihbrojeva na skup celih brojeva.

Ovu {emu mo`emo da koristimo za odre|ivawe koli~nika dva cela broja.

⋅

:

–3 –12

4

4

⋅

:3 –12

–4

–4

⋅

:–3 12

–4

⋅

:

Da ti ka`em

Kad zna{ tablicumno`ewa, zna{ i tablicudeqewa. Operacijemno`ewa i deqewaobrnute su jedna u odnosuna drugu.

–4

55

# Koriste}i {emu, zapi{i jednakosti sa odgovaraju}om ra~unskom operacijom, kao {to je zapo~eto.

–5

4⋅

:–15

–3⋅

:–5 15

⋅

:5

–4

⋅

:

Pravilo za odre|ivawe znaka koli~nika dva cela broja isto je kao i pravilo za odre|ivawe znaka proizvoda.• Koli~nik dva pozitivna ili dva negativna broja jes te pozitivan broj. • Koli~nik pozitivnog i negativnog celog broja jeste negativan broj.

–5 ⋅ 4 = –20

–20 : 4 = –5

• Koli~nik dva pozitivna cela broja: +a : (+b) = a : b, za a, b ∈N

• Koli~nik dva negativna cela broja: –a : (–b) = +(a : b), za a, b ∈N• Koli~nik jednog pozitivnog i jednog

negativnog celog broja: +a : (–b) = –(a : b)–a : (+b) = –(a : b), za a, b ∈N

• Koli~nik nule i celog broja: 0 : c = 0, za c ∈Z

KOLI^NIK DVA CELA BROJA

Izra~unaj.a) +30 : (+5) b) –18 : (–9) v) +21 : (–7) g) –32 : (+8) d) 0 : (–5)

a) +30 : (+5) = 30 : 5 = 6

b) –18 : (–9) = + (18 : 9) = 2

delimo pozitivne, to jest prirodne brojeve

delimo prirodne brojeve 18 i 9, a znak koli~nika je „+“

v) +21 : (–7) = –(21 : 7) = –3 delimo prirodne brojeve 21 i 7, a znak koli~nika je „ –“

g) –32 : (+8) = –(32 : 8) = –4 delimo prirodne brojeve 32 i 8, a znak koli~nika je „ –“

d) 0 : (–5) = 0 koli~nik nule i celog broja je nula

PRIMER

56

% Koliki je koli~nik brojeva 55 i –5? Zaokru`i slovo ispred ta~nog odgovora.

a) 10 b) 11 v) –11 g) –1

& Kolika je vrednost koli~nika –102 : (–2)?

Zaokru`i slovo ispred ta~nog odgovora.

a) –11 b) 51 v) –51 g) 11

' Popuni tabelu.

x –2 6 –18 4 –9 27

–324 : x

NEKA SVOJSTVA DEQEWA CELIH BROJEVA

Za svaki ceo broj x va`i:• Kada se ceo broj podeli jedinicom, dobija se taj broj.

x : 1 = x

Na primer: –42 : 1 = –42

• Kada se ceo broj, razli~it od nule, podeli samim sobom, dobija se broj 1.x : x = 1

Na primer: –42 : (–42) = 1

• Kada se ceo broj podeli sa –1, dobija se broj supro tan datom broju.x : (–1) = –x

Na primer: –42 : (–1) = 42

• Kada se nula podeli celim brojem, razli~itim od nule, dobija se broj 0.0 : x = 0, x ≠ 0

Na primer: 0 : (–42) = 0

• Deqewe nulom nije definisano.

$ Podeli slede}e brojeve kao {to je zapo~eto.

a) (–16) : 4 = –(16 : 4) = –4 b) 25 : 5 v) –100 : (–10)g) 40 : (–5) d) –120 : (–8) |) 22 : (–11)e) 0 : 15 `) 0 : (–3)

Podseti se

Ako je x = –42 va`i:–x = 42

Da ti ka`em

: + –

+ + –– – +

Za odre|ivawe znakakoli~nika mo`e{ dakoristi{ i slede}utabelu.

57

) Izra~unaj.

a) (15 – 17) : (– 1)b) (257 – 257) : 351

v) (36 – 39) : (36 – 39)g) – 56 : (44 – 100)

* Ako je A = –50, popuni tabelu.

+ Saberi brojeve –8 i –2, pa dobijeni zbir podeli sa 5.

A : 1 A : A A : (–1) 0 : A A : 2 A : (–2) 100 : A –200 : (–A)

! Izra~unaj.

a) –22 : (–11) b) 132 : (–4) v) –1050 : (–50)

" Ako je A = 25, izra~unaj : A : A, A : 1, A : (–1), 0 : A, 50 : (–A).

# Pomno`i brojeve –17 i –6, pa dobijeni proizvod podeli sa 3.

Koli~nik dva cela broja ra~unamo tako {to podelimowihove apsolutne vrednosti, a rezultat ima znak:„+“ ako su ti brojevi istog znaka ili

„–“ ako su ti brojevi razli~itog znaka.

Proveri {ta zna{

$ Izra~unaj.

a) (–25 + 3) : (–5 – 6) b) 40 : (–8 + 4) v) (–72 : 9) : (–8)

( Izra~unaj.

a) –1 234 : 1

b) –376 : (–1)v) –423 : (–423)g) 0 : (–2 431)

58

U~iti svoje dete znawu ne treba silom, nego igrom.Platon

Na staroegipatskim pergamentima mo`emo na}i i zapise dru{tvenih igara. Crte`i na k ojima su prikazani igra~i prona|eni su u grobnicama egipatskih faraona. U Nacionalnom muzeju u Kairu nalaze se divni primerci tabli i figura za igru sli~nu igri dame. U Tutankamonovoj grobnici tako|e su prona|ene zanimqive igre.Poznata je izreka: Donde si ~ovek dok je u tebi de te, a dete si dok god zna{ da se igra{ .

Igra sabirawa

Za igru sabirawa celih brojeva potrebni su tabla, dva `etona i kockica.Tablu mo`e{ napraviti od kartona i obele`iti je kao na crte`u.

I TO JE MATEMATIKA

–15 –14 –13 –12 –11 –10 –9 –8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

Igra mno`ewa

Za igru mno`ewa celih brojeva potrebne su kockica i tabla koja se koristi u igri sabirawa i jo{ jedna k ockica. Na tristrane druge kockice zalepi zvezdice sa znakom minus, a napreostale tri strane zvezdice sa znakom plus, kao na crte`u.

Zalepi nalepnice sa brojevima 1, 2, 3, –1, –2 i –3 na kockicu kojukoristi{ za druge igrice ili sam napravi svoju k ockicu.Ako nema{ `etone, mogu ti poslu`iti i dugmi}i razli~itih boja ili figurice za Ne quti se, ~ove~e!

Pravila igrePostavite `etone na nulto poqe. Igra~i bacaju kockicu naizmeni~no po jedanput.Ako dobije pozitivan broj, igra~ pomera `eton udesno za jedno, dva ili tripoqa, a ako dobije negativan broj, za odgovaraju}i broj poqa ulevo.Pobednik je igra~ ~iji `eton prvi stane na poqe broj 15, a gubi igra~ k ojiprvi stane na poqe broj –15.

Pravila igrePostavite `etone na nulto poqe. Igra~i bacaju obe kockice naizmeni~no po jedanput. Ako dobije{ zvezdicu plus, dobijenibroj na drugoj kockici (1, 2, 3, –1, –2 ili –3 ) mno`i{ sa +2;ako dobije{ zvezdicu minus, mno`i{ broj sa druge k ockice sa–2. @eton pomera{ za dobijeni rezultat udesno ili ulevo, u zavisnos ti od znaka rezultata mno`ewa. Pobednik se progla{ava po pravilu pre thodne igre.Slede}a tabela mo`e ti poslu`iti kao primer izvo|ewa k oraka u igri.

59

rezultat bacawaprve kockice

rezultat bacawadruge kockice

brojevni izraz pomerawe `etona

zvezdica plus broj 3 2 ⋅ 3 = 6 {est poqa udesno

zvezdica minus broj 3 –2 ⋅ 3 = –6 {est poqa ulevo

zvezdica plus broj –3 2 ⋅ (–3) = –6 {est poqa ulevo

zvezdica minus broj –3 –2 ⋅ (–3) = 6 {est poqa udesno

Proizvod dva cela broja

ra~una se tako {to se pomno`e wihoveapsolutne vrednosti i rezultatu dodeli znak:„+“, ako su brojevi istog znaka

„–“, ako su brojevi razli~itog znaka

Koli~nik dva cela broja

ra~una se tako {to se podele wihoveapsolutne vrednosti i rezultatudodeli znak:„+“, ako su brojevi istog znaka

„–“, ako su brojevi razli~itog znaka

8 ⋅ 4 = 32–8 ⋅ (–4) = 32

8 ⋅ (–4) = –32–8 ⋅ 4 = –32

8 : 4 = 2–8 : (–4) = 2

8 : (–4) = –2–8 : 4 = –2

Igra „iks-oks“ s brojevima

Za ovu igru potrebna je tabla sa deset brojeva. Igra~i izaberu svoj znak : X ili O. Svakiigra~ naizmeni~no zaokru`uje ili precrtava po jedan broj i mo`e da odigra tri po teza.Svaki broj mo`e da se precrta ili zaokru`i samo jednom. Pobednik je onaj igra~ k ojiprvi izabere tri broja ~iji je zbir –15.

0 –1 –2 –3 –4 –5 –6 –7 –8 –9

Mno`ewe i deqewe celih brojeva

ZAPAMTI

60

TROUGAO

Gledali ste sigurno neki filmo vitezovima. Wihovo oru`je bile su strele. Vrh strele je, gledano s jednestrane, u obliku trougla.

Slu{ali ste mnoge pri~e o piramidama. Wihove strane su u obliku trougla.

Na mnogim fasadama nalaze se ukrasi u obliku trougla.

U ovom poglavqu u~i}e{:

• o odnosu stranica i uglova trougla• o tome koliki je zbir unutra{wih i spoqa{wih uglova trougla• o vrstama trougla • o podudarnosti trouglova• da konstrui{e{ trougao• o zna~ajnim ta~kama trougla.

Trougao je, pored pravougaonika, jedna od prvih geome trijskih figura koje ste upoznali.

6

Gotovo je nemogu}e zamisliti kako bi se odvijao saobra}aj bez saobra}ajnih znakova.

Egipatska piramida

Staklena piramida u Parizu

Fasada u PraguSkup{tina Srbije

61

1, 2, 3, KRENI…

! a) Izmeri date du`i i du`inu izrazi u milime trima.

b) Uporedi du`i i napi{i odgovaraju}e nejednakosti:

a i c, a i b, c i b.

" Kojoj vrsti uglova pripadaju dati uglovi (prav, o{tar, tup, opru`en ili pun ugao)?

# Koje je tvr|ewe ta~no?

a) Mera pravog ugla mawa je od 90°.

b) Mera svakog tupog ugla ve}a je od 180°.

v) Mera opru`enog ugla je 180°.

g) Mera svakog o{trog ugla ve}a je od 90°.

$ Izra~unaj ugao α.

a) b)

% Prave a, b i c su paralelne. Izra~unaj uglove ϕ i δ.

& Na kom je crte`u prava s simetrala du`i AB?

a) b) v) g)

' Prava s je simetrala �xOy i prava m je simetrala

�xOs. Ako je �xOm = 25°, izra~unaj �xOs i �xOy.

a

b

c

158° α 34°55°α

36°

ϕ

δ

c

b

a

x

y s

m

O

A BM

sA

B

Ms

A

B

M

sA B

M

s

62

TROUGAO, ELEMENTI, OBELE@AVAWE

! Na zastavama mo`e{ uo~iti razli~ite trouglove – neki su obojenijednom bojom, a neki u vi{e boja. Za svaku zas tavu odredi koliko ima trouglova koji su obojeni jednom bojom.

" Obele`i temena mnogouglova kao {to je zapo~eto.

a) ~etvorougao

ABCDb) trougao

ABC

v) petougao

MNPQRg) {estougao

ABCDEF

Gvajana ^e{ka Republika

Jamajka Sej{elskaostrva

Antigva i Barbuda

A

B

C

D

Deo ravni ograni~en zatvorenom izlomqenom linijom od tridu`i, zajedno s tom linijom, jeste trougao.

Zajedni~ke ta~ke du`i nazivamo temena trougla.

Na primer:Temena trougla na slici obele`ena su slovima A, B i C.

Trougao s temenima A, B i C zapisujemo ΔABC.

TROUGAO

A B

C

• trougao

• stranice trougla

• uglovi trougla

Podseti se

Mnogougao sa tristranice je trougao,sa ~etiri stranice ~etvorougao, sa petstranica petougao.

63

Osnovni elementi trougla su stranice i uglovi trougla.

Temena trougla obele`avamo velikim latini~kim slovima, a du`ine naspramnih stranica odgovaraju}im malim latini~kim slovima.

• Stranice ΔABC na slici su AB, BC i CA.Du`ine stranica AB, BC, CA trougla ABC obele`avamo

i slovima c, a, b. Pri tome se a nalazi naspram temena A,

b naspram temena B i c naspram temena C.

• Konveksni uglovi �CAB, �ABC i �BCA jesu uglovi trougla.

Uglove trougla ABC ~esto obele`avamo i gr~kim slovima

α, β, γ, tako {to sa α ozna~avamo ugao kod temena A,

sa β ugao kod temena B i sa γ ugao kod temena C.

Navedene uglove nazivamo unutra{wi uglovi trougla.

A

A B

C

M

# a) Koliko se trouglova nalazi na slici?

jedan dva tri ~etiri

Koji je odgovor ta~an?

b) Zapi{i sve trouglove uo~ene na slici.

$ Nacrtaj trouglove MNP, MNS, NQR i PRS.

% Odaberi ~etiri ta~ke na pravoj a i obele`iih slovima E, F, G i H. Nacrtaj sve trouglove~ije je jedno teme ta~ka O, a druga dva temenasu izabrane ta~ke. Koliko ih ima?

& Dovr{i obele`avawe temena trougla, odgovaraju}ih stranica

i uglova slovima A, B, C, a, b, c, α, β, γ.

M

N

S

R

O

a

P

Q

β

a γ β

γ

a) b) v)

OSNOVNI ELEMENTI TROUGLA

64

! Nacrtaj proizvoqni trougao i obele`i wegova temena.

" Nacrtaj trougao i napi{i wegove elemente.

Za pisawe re~i koristi se niz simbola koji ~ine pismo. Tako, na primer, govorimo o latini~kom pismu,}irili~kom pismu i sl. Jedno od najstarijih pisamajeste gr~ko pismo. Ono se koristi jo{ od IX veka prena{e ere. To je pismo u kojem svaki simbol predstavqaodre|eni glas i smatra se najstarijim pismom koje je,uz mawe ili ve}e izmene, jo{ uvek u upo trebi.

Gr~ko pismo broji 24 slova. Wegova slova koriste seza ozna~avawe raznih veli~ina i jedinica umatematici, fizici, astronomiji i drugim naukama.

Umesto re~i pismo ~esto ka`emo alfabet. Re~ alfabetnastala je od prva dva gr~ka slova – alfa i beta.

Gr~ki alfabet

M N

P' Odgovori na osnovu slike.

Koja je stranica naspram temena M?

Koja je stranica naspram temena N?

Koja je stranica naspram temena P?

( Odgovori na osnovu slike.

Koja je stranica naspram ugla ψ?

Koja je stranica naspram ugla ϕ?

Koja je stranica naspram ugla θ? E F

G

θ

ψ

ϕ

Da ti ka`em

Naspram temena Mje stranica PN.

Proveri {ta zna{

α β γ δ ε ζalfa beta gama delta epsilon zeta

η θ ι κ λ μeta teta jota ka lambda mi

ν ξ ο π ρ σni ksi omikron pi ro sigma

τ υ ϕ χ ψ ωtau ipsilon fi hi psi omega

Mala slova gr~kog alfabeta

Dve du`i ili dva ugla su podudarna ak o postojikretawe kojim se mogu potpuno preklopiti. Na primer du`i AB i CD su podudarne jer su osnosimetri~ne u odnosu na pravu s. Sli~no tome, i uglovi �aOs i �sOb su podudarni jer su osnosimetri~ni u odnosu na pravu s.

Podudarne du`i ili podudarni uglovi imaju jednake mere.

Zbog toga }emo nadaqe za podudarne du`i, na primer AB i CD, re}i da su jednakedu`i i zapisati AB = CD. Isto tako, za podudarne uglove, na primer �aOs i �sOb,re}i }emo da su jednaki uglovi i zapisati �aOs = �sOb.

65

ODNOS STRANICA TROUGLA.VRSTE TROUGLOVA PREMA STRANICAMA

Prvi poku{aj

Drugi poku{aj

Tre}i poku{aj

" Marko, Petar i \or|e slobodno vreme ~esto provode zajedno.

a) Koliki bi put pre{ao Marko ako bi:• prvo svratio po Petra, pa oti{ao do \or|a

• i{ao pravo kod \or|a?

Koji je put du`i?

b) Koliki bi put pre{ao Petar ako bi:• prvo svratio po \or|a, pa oti{ao do Marka

• i{ao pravo kod Marka?

Koji je put du`i?

Petar

Marko

70 m

104 m

90 m

\or|e

Tri du`i razli~itih du`ina uvek mo`emo pore|atiu poretku od najmawe ka najve}oj.

Stranice trougla su du`i. Pokaza}emo da je du`inasvake stranice trougla mawa od zbira du`ina druge dve.

Za stranice trougla ABC na slici va`i a < b i b < c.

Proveri koriste}i {estar.

! Pera je tri puta poku{ao da sastavi trougao prelamaju}i

slam~icu kao {to je prikazano na crte`ima. U kom je

poku{aju uspeo?

• pravilo zbirastranica trougla

• pravilo razlikestranica trougla

• jednakostrani~nitrougao

• jednakokraki trougao

• nejednakostrani~nitrougao

A B

C

ab

c

ODNOS STRANICA TROUGLA

66

• Poka`imo sada da je najve}a stranica trougla, stranica c,mawa od zbira druge dve stranice, to jest c < b + a.

Odredimo ta~ku D na stranici AB tako da je AD = AC.Tada je:AD + DB = AB

Odredimo ta~ku E na stranici AB tako da je BE = BC.Tada je:AE + EB = AB

Odre|ivawem ta~aka D i E na stranici AB dobijamo:AE + ED = AD, odnosno AE + ED = ACED + DB = BE, odnosno ED + DB = BC

Koriste}i prethodne jednakosti, dobijamo:AE + ED + ED + DB = AC + BC, odnosno:AE + ED + DB + ED = AC + BC

Kako je AE + ED + DB = AB, dobijamo:AB + ED = AC + BC, odakle sledi:AB < AC + BCPosledwu nejednakost mo`emo zapisati:c < b + a

PRAVILO ZBIRA STRANICA TROUGLA

Du`ina svake stranice trougla mawa je od zbira du`ina drugedve stranice trougla.

Va`i i obrnuto – ako za tri du`i va`i da je svaka mawa od zbiradruge dve, onda te tri du`i mogu biti s tranice trougla.

• Kako je stranica a mawa od b, to je ona mawa i od zbira s tranica b i c,to jest a < b + c.

• Sli~no tome, stranica b mawa je od c, odnosno stranica b mawa je odzbira stranica c i a, to jest b < c + a.

a) Ispitaj da li du`i a = 4 cm, b = 3 cm i c = 5 cm mogu biti stranice trougla.

Sabiramo svake dve du`i. Tre}u du` poredimo s dobijenim zbirom.

Crtamo du` AB du`ine 5 cm.

b) Crtamo trougao ~ije su du`ine stranica date u zadatku pod a).

Crtamo luk sa centrom u ta~ki A,polupre~nika 3 cm, a zatim luk sa centrom u ta~ki B, polupre~nika 4 cm.

Zajedni~ku ta~ku lukova obele`imosa C i crtamo trougao ABC.

a + b = 4 cm + 3 cm = 7 cm

5 cm < 7 cm

Zakqu~ujemo da je:c < a + b

Na osnovu pravila o zbiru stranica trougla zakqu~ujemo da date du`i a, b i cmogu biti stranice trougla.

a + c = 4 cm + 5 cm = 9 cm

3 cm < 9 cm

Zakqu~ujemo da je:b < a + c

b + c = 3 cm + 5 cm = 8 cm

4 cm < 8 cm

Zakqu~ujemo da je:a < b + c

Tri du`i ne mogu biti stranice trougla ako du`ina bar jedneod wih nije mawa od zbira du`ina druge dve du`i.

# Koriste}i pravilo zbira, ispitaj da li date du`i mogu biti s tranice trougla.

a) a = 12 cm, b = 9 cm, c = 6 cmb) a = 11 cm, b = 13 cm, c = 25 cm

PRIMER

A B

A B

$ Du`ine dve stranice trougla su 10 cm i 16 cm.

Da li du`ina tre}e stranice mo`e biti:a) 14 cm b) 26 cm?

Da ti ka`em

Ako je du`ina jedne du`i jednakazbiru du`ina druge dve du`i, tedu`i ne mogu biti stranice trougla.

67

68

& Objasni za{to du`i du`ina 10 cm, 12 cm i 6 cm mogu biti stranice trougla.

' Objasni za{to du`i du`ina 19 cm, 12 cm i 6 cm ne mogu biti stranice trougla.

( Obim trougla je 12 cm. Da li du`ina

jedne stranice mo`e biti 8 cm?

Du`ina svake stranice trougla ve}a je od razlike du`ina druge dve stranice tog trougla.

Va`i i obrnuto – ako za tri du`i va`i da je du`ina svak e ve}a od razlikedu`ina druge dve, onda te tri du`i mogu biti s tranice trougla.

PRAVILO RAZLIKE STRANICA TROUGLA

Koriste}i pravilo razlike stranica trougla, utvrdi da du`i a = 23 cm, b = 12 cm, c = 18 cm mogu biti stranice trougla.

Da bismo re{ili ovaj zadatak, potrebno je da prvo izra~unamo razlike du`inasvake dve date du`i. Zatim du`inu tre}e du`i uporedimo s dobijenom razlik om. Kada govorimo o razlici dve stranice trougla, mislimo na razliku du`ina ve}e i mawe stranice.

Na osnovu pravila o razlici stranica trougla zakqu~ujemo da date du`i a, b i c mogubiti stranice trougla.

a – b = 23 cm – 12 cm = 11 cm18 cm > 11 cm

Zakqu~ujemo da je:c > a – b

a – c = 23 cm – 18 cm = 5 cm12 cm > 5 cm

Zakqu~ujemo da je:b > a – c

c – b = 18 cm – 12 cm = 6 cm23 cm > 6 cm

Zakqu~ujemo da je:a > c – b

Du`i ne mogu biti stranice trougla ako du`ina bar jedne du`inije ve}a od razlike du`ina druge dve du`i.

PRIMER

Podseti se

Obim trougla je zbirdu`ina wegovih stranica.

% Izra~unaj razliku du`ina svake dve stranice

trougla ako je e = 35 mm, f = 52 mm i d = 45 mm.

Zatim du`inu tre}e stranice uporedi

s dobijenom razlikom.

69

) Merni brojevi stranica trougla

su prirodni brojevi. Ako je

obim trougla 12 cm i jedna

stranica 4 cm, kolike mogu biti

du`ine druge dve stranice,

izra`ene u centimetrima?

Prvi korakIzra~unaj zbir druge dve stranice trougla: 12 cm – 4 cm = 8 cm

Drugi korakOdredi sve slu~ajeve u kojima je zbir dva prirodna broja jednak 8.

Tre}i korakPrimeni pravilo o odnosu stranica trougla.

Da ti ka`em

Trougao kod koga su sve stranice jednakih du`inanaziva se jednakostrani~ni trougao.

Trougao koji nema stranice jednakih du`ina nazivase nejednakostrani~ni trougao.

Trougao kod koga su dve stranice jednakih du`inanaziva se jednakokraki trougao. Jednake stranicetrougla nazivaju se kraci, a tre}a, razli~ita stranica, naziva se osnovica trougla.

krak

osnovica

VRSTE TROUGLOVA PREMA STRANICAMA

0 Napi{i u trouglu broj 1 ako je jednakostrani~an, broj 2 ako je jednakokrak ili broj 3

ako je trougao nejednakostrani~an. Koristi {estar da uporedi{ stranice.

! Poka`i da date du`i mogu biti stranice trougla.

a) 50 cm, 55 cm, 100 cm b) 35 cm, 65 cm, 35 cm v) 2 cm, 100 cm, 101 cm

" Poka`i da date du`i ne mogu biti s tranice trougla.

a) 40 cm, 55 cm, 100 cm b) 30 cm, 65 cm, 30 cm v) 1 cm, 100 cm, 101 cm

# Obim jednakokrakog trougla je 24 cm.

a) Da li du`ina osnovice mo`e biti 12 cm? b) Da li du`ina kraka mo`e biti 2 cm?

v) Da li du`ina osnovice mo`e biti 2 cm? g) Da li du`ina kraka mo`e biti 5 cm?

Obrazlo`i odgovor na svako pitawe.

Proveri {ta zna{

70

UNUTRA[WI UGLOVI TROUGLA.ZBIR UNUTRA[WIH UGLOVA.VRSTE TROUGLOVA PREMA UGLOVIMA

! ^etvorougao ABCD je kvadrat. Napi{i mereuglova α, β i γ i izra~unaj wihov zbir.

" Koriste}i uglomer, izmeri uglovetrougla ABC i izra~unaj wihov zbir.

A B

C

# U prilogu na kraju kwige osen~eni

su unutra{wi uglovi trougla.

Iseci delove trougla i saberi

uglove kao {to je prikazano na

crte`u.

Kakav ugao ~ini dobijeni zbir? Zaokru`i slovo ispred ta~nog odgovora.

a) prav b) tup v) opru`en g) pun

Zbir unutra{wih uglova trougla je opru`en ugao.

ZBIR UNUTRA[WIH UGLOVA TROUGLA

• zbir unutra{wihuglova trougla

• o{trougli trougao

• pravougli trougao

• tupougli trougao

Mera opru`enog ugla je 180°.

Da ti ka`em

Du` DB pripada osi simetrije kvadrata.

71

$ Koji uglovi mogu biti uglovi trougla? Zaokru`i slovo ispred ta~nog odgovora.

a) 30°, 60°, 60° b) 85°, 15°, 90° v) 20°, 100°, 60°

& Data su dva unutra{wa ugla trougla. Izra~unaj tre}i.

a) 54°, 64° b) 90°, 15° v) 130°, 22°

Poka`imo na primeru datog trougla ABC da je zbir unutra{wihuglova trougla jednak 180°.

Crtamo polupravu Ax koja sadr`i ta~ku Bi pravu s, paralelnu pravoj AC kroz ta~ku B.

Prava BC je transverzala za paralelne prave AC i s. Uglovi ACB i CBEjesu uglovi na transverzali BC, pa je �ACB=�CBE.

Sli~no tome, prava AB je transverzala za paralelne prave AC i s, pa je �CAF=�EBF.Zbir uglova ABC, CBE i EBF je opru`en ugao, to jest�CAB + �ABC + �BCA = 180°, odnosno α + β + γ = 180°.

180° – (45° + 67°)= 180° – 112°= 68°

Podseti se

Uglovi na transverzali cza paralelne prave a i b

Prav ugao na crte`uozna~avamo:

% Izra~unaj tre}i ugao trougla kao {to je ura|eno pod a).

ZBIR UNUTRA[WIH UGLOVA TROUGLA

a) b) v)

72

' Posmatraj sliku i izra~unaj meru �E.

( Napi{i brojeve onih trouglova koji su:

a) o{trougli b) pravougli v) tupougli.

) Neka je p||q i A∈p i B∈p. Odredi ta~ku C na pravoj q tako da trougao ABC bude:

a) o{trougli b) pravougli v) tupougli

Trougao kod koga su svi uglovi o{trinaziva se o{trougli trougao.

Trougao kod koga je jedan ugao tupnaziva se tupougli trougao.

Trougao kod koga je jedan ugao prav naziva se pravougli trougao.

Stranica pravouglog trougla nasprampravog ugla naziva se hipotenuza.

Stranice koje pripadaju kracima pravogugla nazivaju se katete.

α β

γ

α

α

β

β

γ

c

b

a

katete

hipotenuza

q

p A B

q

p A B

q

p A B

Podseti se

Unakrsni uglovisu jednaki.

Mera pravog ugla je 90°,mera o{trog ugla jemawa od 90°, a tupogugla ve}a od 90°.

VRSTE TROUGLOVA PREMA UGLOVIMA

73

Bermudski trougao je naziv za deoAtlantskog okeana izme|u Bermude,Floride i Portorika. To je mesto na kojem je nestao veći broj brodova i aviona. Procewuje se da se do sada u Bermudskom trouglu izgubilo oko 8 000 qudi. Re~ je o velikomprostoru s mnogim ostrvima koja su me|usobno sli~na, pa je lako izgubiti orijentaciju.

Bermudski trougao

! Izra~unaj tre}i ugao trougla ako su mere dva ugla:a) 33° i 66° b) 108° i 12° v) 90° i 46°30’ g) 50°15’ i 66°26’

" Izra~unaj tre}i ugao pravouglog trougla ako je jedan ugao:a) 15° b) 2° v) 34° g) 56°42’

# Kojoj vrsti trougla, prema uglovima, pripada trougao kod koga je zbir dva ugla:a) 90° b) 66°?

Proveri {ta zna{

+ Izra~unaj tre}i ugao trougla ABC. Kojoj vrsti trouglova,

prema uglovima, pripada trougao ABC?

a) α = 80° β = 37°

b) β = 25° γ = 65°

v) α = 43° γ = 15°20’

Zbir o{trih uglovapravouglog trouglaje 90°.

Majami

Florida

Kuba

Bermuda

San Huan

Portoriko

Da ti ka`em

Podseti se

1° = 60’

180° – 15°30’ ra~una{:179°60’ – 15°30’ = 164°30’

* Izra~unaj drugi o{tar ugao pravouglog trougla.

a) b) v)

74

SPOQA[WI UGLOVI TROUGLA

! Tri prave a, b i c se seku. Izra~unaj obele`eneuglove na slici ako je α = 89° i β = 65°.

" Izra~unaj spoqa{we uglove trougla.

• spoqa{wi ugaotrougla

• zbir spoqa{wihuglova trougla

Spoqa{wi ugao trougla kod jednog temenamo`e{ da nacrta{ na dva na~ina.

Spoqa{wi ugao trougla jeste ugao koji je uporedan unutra{wem uglu.

Uglovi α1, β1 i γ1 su spoqa{wi uglovi trougla ABCna slici, a α, β i γ su unutra{wi.

Ugao α1 je uporedan uglu α, {to zna~i α1 + α = 180°.

Ugao β1 je uporedan uglu β, {to zna~i β1 + β = 180°.

Ugao γ1 je uporedan uglu γ, {to zna~i γ1 + γ = 180°.

SPOQA[WI UGAO TROUGLA

α1

α1α α

Podseti se

Vrste uglova po polo`aju:

Kojoj vrsti uglova po polo`aju pripadaju uglovi γ1 i γ2?

α β

α β

α α

susedni

uporedni

unakrsni

Da ti ka`em

Spoqa{wi ugaotrougla mawi jeod 180°.

75

Poka`imo da je zbir spoqa{wih uglova jednog trougla jednak 360°.

Posmatrajmo trougao ABC na slici. Unutra{wi uglovi tog trouglaobele`eni su sa α, β i γ, a odgovaraju}i spoqa{wi uglovi sa α1, β1 i γ1.

Crtamo polupravu Cx, paralelnu s polupravom AB.

Poluprava CA je transverzala za paralelne poluprave Cx i AB,{to zna~i da je �xCA = α1.

Isto tako, poluprava By je transverzala za paralelne poluprave Cx i AB, {to zna~i da je �yCx = β1.

Iz jednakosti �xCA + �yCx + �ACy = 360° sledi da je: α1 + β1 + γ1 = 360°.

ZBIR SPOQA[WIH UGLOVA TROUGLA

$ Iskoristi prilog na kraju kwige, iseci delove osen~enih uglovai saberi uglove kao {to je prikazano na crte`u.

Kakav ugao ~ini dobijeni zbir? Zaokru`i slovo ispred ta~nog odgovora.a) prav b) tup v) opru`en g) pun

Zbir spoqa{wih uglova trougla je pun ugao.

ZBIR SPOQA[WIH UGLOVA TROUGLA Podseti se

Mera punog ugla je 360°.

Prvo izra~unajunutra{wi ugaokod temena F.

# Izra~unaj unutra{we i spoqa{we uglove trougla. Da ti ka`em

% Koja tri ugla mogu biti spoqa{wi uglovi jednog trougla?

Zaokru`i slovo ispred ta~nog odgovora.

a) 120°, 10°, 150° b) 110°, 150°, 120° v) 140°, 100°, 120° g) 90°, 90°, 180°

& Izra~unaj ugao ϕ.

ϕ

76

' Izra~unaj uglove na slici.

( Unutra{wi ugao kod temena A trougla ABC je 18°, a spoqa{wi ugao kod temena C je 111°.Izra~unaj unutra{wi i spoqa{wi ugao kod temena B.

) Izra~unaj ugao θ.

γ1

α1 α1

γ1β1

γ

γ αββ

β1

γ

Ugao β1 je spoqa{wi ugao ΔABC na slici, odnosno:β1 + β = 180°

Mo`e se re}i da je β dopuwen sa β1 do 180°.

Tako|e, poznato je da je zbir unutra{wih uglova trougla

α + γ + β = 180°

Ka`e se da je β dopuwen zbirom α + γ do 180°.

To zna~i da se ugao β mo`e dopuniti do 180° ili sa β1 ili sa α + γ.Dakle:

β1 = α + γ

Iz ove jednakosti mo`emo zakqu~iti i da je spoqa{wi ugao trouglave}i od unutra{weg, wemu nesusednog ugla:

β1 > α i β1 > γ

SPOQA[WI UGAO TROUGLA JEDNAK JE ZBIRU DVA UNUTRA[WA,WEMU NESUSEDNA UGLA

a) b) v)

a) b) v)

! Neka je α1 spoqa{wi i β unutra{wi ugao trougla ABC i neka je α1 = 118° i β = 42°.

Izra~unaj sve preostale unutra{we i spoqa{we uglove.

" Zbir spoqa{wih uglova pravouglog trougla kod temena o{trih unutra{wih uglova

jednak je 270°. Objasni.

Proveri {ta zna{

77

ODNOS STRANICA I UGLOVA U JEDNAKOKRAKOM TROUGLU

! a) Izmeri stranice iizra~unaj ozna~eneuglove trouglova nacrte`u.

b) Koji trougao ima jednake izmerene stranice?

Koji trougao ima dva jednaka ugla?

• uglovi jednakokrakogtrougla

• uglovi jednakostrani~nogtrougla

U prethodnoj {kolskoj godini u~ili smo o osnoj simetriji. Pri tom smo nau~ili da su osno si metri~ne du`i me|usobno jednake.Tako|e smo nau~ili {ta je simetrala du`i i koja su wena svojstva. Poka`imo sada, koriste}i znawe o simetri~nim du`ima i simetrali du`i, da jednakokraki trougao ima dva jednaka unutra{wa ugla.

Neka je prava s simetrala du`i AB na slici.

Odaberimo neku ta~ku C na simetrali si spojmo je sa ta~kama A i B. Zamisli da pre-savijamo dobijeni crte` po pravoj s.

Ta~ke A i B }e se poklopiti jer su simetri~neta~ke u odnosu na pravu s.

Po{to ta~ka C pripada simetrali s, sledi da }e se i du`i CA i CB poklopiti, a tako|e i ozna~eni uglovi CAB i CBA.

Na osnovu toga sledi da su du`i CA i CB jednake i da su uglovi CAB i CBA jednaki.

Dakle, trougao ABC je jednakokraki trougao.

Jednaki uglovi CAB i CBA nalaze se naspramjednakih stranica CB i CA jednakokrakogtrougla ABC.

UGLOVI JEDNAKOKRAKOG TROUGLA

Podseti se

Prava je simetrala du`i akosadr`i sredi{te te du`i i normalna je na tu du`.

Svaka ta~ka simetrale du`i jednako je udaqena od krajwih ta~akate du`i.

78

" Obele`i slovom θjednake uglovetrougla na slici.

# Na slici slovom a obele`i jednakestranice.

Naspram jednakih stranica trougla nalaze se jednaki uglovi.

Va`i i obrnuto – naspram jednakih uglova trougla nalaze se jednak e stranice.

ODNOS STRANICA I UGLOVA JEDNAKOKRAKOG TROUGLA

a) Koji su uglovi trougla na slici jednaki?

Stranice AC i BC trougla ABC su jednake. Ugao CAB nalazi se naspram stranice BC, a ugao CBA naspram stranice AC.

Na osnovu odnosa stranica i uglova jednakokrakog trouglazakqu~ujemo da su uglovi CAB i CBA jednaki, to jest:

�CAB = �CBA

b) Koje su stranice trougla na slici jednake?

Uglovi kod temena F i G trougla EFG su jednaki. Naspram �Gnalazi se stranica EF, a naspram �F stranica EG.

Na osnovu svojstva o odnosu stranica i uglova jednakokrakogtrougla zakqu~ujemo da su stranice EF i EG jednake, to jest:

EF = EG

Ugao izme|u krakova nazivamo ugao pri vrhu jednakokrakogtrougla. Uglove koje grade krak i osnovica nazivamo uglovi-ma na osnovici jednakokrakog trougla.

Uglovi na osnovici jednakokrakog trougla su jednaki.

Trougao koji ima dva jednaka ugla jeste jednakokrakitrougao.

Sli~no tome, unutra{wi uglovi jednakostrani~nog trougla su jednaki.

Mera svakog ugla jednakostrani~nog trougla je 60°.

I obrnuto, trougao koji ima tri jednaka ugla jeste jednakostrani~ni trougao.

krak

osnovica

60°

60° 60°

a a

a

ugao na osnovici

A

G

45°

45°

ϕ

ϕ

E

Q

M

P

mm

F

B

C

5 cm

5 cm

krak

PRIMER

α α

γ ugao pri vrhu

UGLOVI JEDNAKOKRAKOG I UGLOVI JEDNAKOSTRANI^NOG TROUGLA

79

$ Uglovi α, β i γ jesu unutra{wi uglovi trougla. Popuni tabelu kao {t o je zapo~eto.

% Koliki su uglovi jednakokrakogtrougla na slici?

& Izra~unaj ugao α.

' Ta~ka O je centar kru`nice na slici. Kojoj vrsti trouglova, prema stranicama, pripada trougao CDO?

Izra~unaj ugao COD.

Izra~unaj ugao α trougla na slici.

Trougao na slici ima dve jednake stranice. Na osnovu odnosa stranicai uglova trougla uglovi naspram tih stranica su jednaki. Kako je zbiruglova u trouglu 180°, dobijamo:α + α + 76° = 180°

2α = 180° – 76°α = 104° : 2

α = 52°

m m

A B

O

C

D

C

76°

α

α

γ

α 50° 20° 45°

β 80° 120° 60°

γ 50° 90° 60°

vrsta trougla, prema stranicama jednakokraki

vrsta trougla, prema uglovima o{trougli

30°

a a

c

α

! Izra~unaj ugao pri vrhu jednakokrakog trougla ako je ugao na osnovici: a) 15° b) 56° v) 45°20’.

Kojoj vrsti trouglova, prema uglovima, pripada svaki od wih?

" Izra~unaj ugao na osnovici jednakokrakog trougla ako je ugao pri vrhu: a) 20° b) 82° v) 106°.

# Izra~unaj unutra{we uglove jednakokrakog trougla ako je spoqa{wi ugao na osnovici 140°.

$ Spoqa{wi ugao pri vrhu jednakokrakog trougla je 80°. Izra~unaj unutra{we uglove trougla.

37°

PRIMER

Proveri {ta zna{

80

! Neka je prava s simetrala ugla γ trougla na slici. Koristi trougao iz priloga i presavij ga po pravoj s, kao {to je prikazano na fotografiji.

" a) Izmeri stranice trougla u milimetrima.

Izmeri unutra{we uglove trougla u stepenima.

b) Koja je stranica ve}a, a ili b?

Koji je ugao ve}i, α ili β?

Koja je stranica ve}a, b ili c?

Koji je ugao ve}i, β ili γ?

ODNOS STRANICA I UGLOVA TROUGLA

ab

c

γ

α β

ab

b

M B

P

cα β

αβ

Stranica b preklopi}e deo stranice a.Objasni.

Posmatraj posledwi crte` i objasniza{to je ugao α ve}i od ugla β.

A

a

c

b

ab

b > a

β > α

B

C

α

γ

β

Naspram ve}e stranice trougla nalazi se ve}i ugao trougla.

Va`i i obrnuto – naspram ve}eg ugla trougla nalazi se ve}a stranica.

ODNOS STRANICA I UGLOVA TROUGLA

α β

Da ti ka`em

Ugao α je spoqa{wiugao trougla MBPi jednak je zbirudva unutra{wa nesusedna ugla.

• odnos stranica i uglova nejednako -strani~nog trougla

γ2

γ2

81

# Uporedi stranice EF i FD trougla EFD.

$ Uporedi uglove kod temena C i Dtrougla BCD.

a) Pore|aj uglove trougla od najmawegka najve}em.

Poredimo prvo du`ine stranica datog trougla.

DF < EF i EF < DE

Na osnovu pravila o odnosu stranica i uglovatrougla, koje glasi da se naspram ve}e stranicetrougla nalazi ve}i ugao, zakqu~ujemo:�E < �D i �D < �F

To zna~i da je poredak uglova :�E, �D, �F

b) Izra~unaj tre}i ugao, a zatim pore|ajstranice datog trougla od najmawe do najve}e.

PRIMER

Prvo ra~unamo �C.

�C = 180° – (56° + 72°) = 52°

Poredimo uglove datog trougla.

�C < �D i �D < �B

Na osnovu odnosa stranica i uglova trouglazakqu~ujemo:BD < BC i BC < DC

Zna~i da je poredak stranica:BD, BC, DC.

OVO JEBOZA!

D E

F

58 mm

45 mm30 mm

82

( Ne mere}i stranice trougla,pore|aj ih od najmawe ka najve}oj.

) Ne mere}i uglove datog trougla,pore|aj ih od najmaweg ka najve}em.

! Nacrtaj tupougli trougao i obele`i wegova temena. Koja je stranica najve}a? Objasni.

" Pore|aj od najmawe ka najve}oj stranice trougla ABC ako je:a) α = 45° β = 65° b) α = 79° β = 95°.

# Pore|aj od najmaweg ka najve}em uglove trougla ABC ako je:a) a = 12 cm, b = 14 cm, c = 20 cm b) a = 20,2 cm, b = 30,8 cm, c = 15,6 cm.

& Koja je stranica datog trougla najve}a?

Koja je stranica datog trougla najmawa?

' Koji je ugao najve}i?

Koji je ugao najmawi?

Da ti ka`em

Prvo izra~unajtre}i ugao.

% a) Nacrtaj pravougli trougao i obele`i wegova temena. Koja je stranica najve}a? b) Nacrtaj tupougli trougao i obele`i wegova temena. Koja je stranica najve}a?

Proveri {ta zna{

E

F

D

83

! a) Konstrui{i simetralu ugla xOy.

b) Koliko je stepeni mera polovine opru`enog ugla?

" Konstrui{i ugao od 45°.

# Prav ugao xOy podeqen je polupravama Om, On i Op na ~etiri jednaka ugla. Napi{i mere uglova:�xOm , �xOn, �xOp, �mOy.

$ a) Nacrtaj jednakostrani~ni trougao stranice 4 cm i obele`i wegova temena sa A, B, C.

b) Koliko stepeni ima svaki unutra{wi ugao?

Podseti se

Konstrukcija simetrale ugla

45° : 2 = 22°30’

• konstrukcija ugla od 60°

KONSTRUKCIJE UGLOVA OD 30°, 60°, 120°

s

Prvo konstrui{i prav ugao, a zatimkonstrui{i wegovu simetralu.

Da ti ka`em

Drugi korak

Konstrui{emo, zatim, luk l1sa centrom A polupre~nika r.Presek lukova l i l1obele`avamo sa B.

PRIMER

Konstrui{i ugao od 60°.

Prvi korak

Crtamo polupravu Ox i luk lsa centrom O polupre~nika r.Presek poluprave i lukaobele`avamo sa A.

Za konstrukciju uglova koriste se samo lewir i {estar.

84

% Opru`eni ugao podeli na trijednaka dela. Obele`i lukomugao ~ija je mera 120°.

& Konstrui{i ugao �aMb = 30°.

' Ugao od 60° podeli na ~etiri jednaka dela.Obele`i lukom ugao od 15°.

( Konstrui{i ugao β = 120°.

Podeli pun ugao na {est jednakih delova.

Prvi korak

Konstrui{emo ugao od 60°.

Drugi korak

Nadovezujemo uglove po 60°.

Tre}i korak

Pun ugao podeqen je na {estuglova po 60°.

PRIMER

Prvo konstrui{i �aMx = 60°.

120° = 60° + 60°

Prvo ugao od 60° podeli na dva jednaka ugla, a zatim i svaki od dobijenih uglova podeli nadva jednaka ugla.

180° = 60° + 60° + 60°

Tre}i korak

Crtamo polupravu sa po~etkomu ta~ki O, koja sadr`i ta~ku B,i obele`avamo je sa Oy. Meraugla xOy je 60°.

Trougao OAB je jednakostrani~ni trougao.

Da ti ka`em

85

Da ti ka`em

Prvo pun ugaopodeli na {estjednakih delova, a zatim svaki odwih na dva jednakadela.

O x

) a) Pun ugao podeli na 12 podudarnih uglova.b) Obele`i lukom ugao ~ija je mera 150°.v) Obele`i lukom ugao od 210°.

Tre}i korak

Delimo ugao od 60°na dva jednaka dela.

^etvrti korak

Ozna~avamo lukomugao od 75°.

! Konstrui{i ugao od: a) 150° b) 165°.

" Konstrui{i ugao od: a) 105° b) 52°30’.

# Konstrui{i ugao od: a) 22°30’ b) 67°30’.

$ Konstrui{i ugao od: a) 225° b) 300°.

Konstrui{i ugao od 75°.

Prvi korak

Polazimo od pravog ugla i konstrui{emo ugao od 45°.

Drugi korak

Nadovezujemo ugao od 60°na ugao od 45°.

PRIMER

Ugao od 75° mo`e{ da konstrui{e{ i na drugi na~in:(90° + 60°) : 2 =150° : 2 = 75°ili60° + 15° = 75°

Proveri {ta zna{

86

I TO JE MATEMATIKA

Prekrivawe ravne povr{i geometrijskim figurama nazivamo poplo~avawem. Jo{ su Stari Egip}ani,Persijanci, Stari Grci i Rimqani na taj na~in ukra{avali podove i zidove, a poplo~avawe jeprimewivano i u Kini, Japanu i drugim starim civilizacijama. Na mnogim crte`ima uo~avaju segeometrijske figure koje se sa odre|enom pravilno{}u ponavqaju, stvaraju}i mnogo raznihsimetri~nih slika. Primeri poplo~avawa mogu se videti na ulicama i trgovima, kao i na mnogimdrugim mestima. Na taj na~in napravqeni podovi pokazuju da matematika i umetnost imaju mnogotoga zajedni~kog.

Primeri poplo~avawa jednim oblikom

Poplo~avawe podrazumeva prekrivawe ravne povr{ine mnogouglovima bez praznina, s tim{to se oni ne preklapaju i imaju jedno zajedni~k o teme. Tu ta~ku nazivamo ~vorna ta~ka.Zbir uglova mnogouglova kod ~vorne ta~ke jednak je 360°.

Primeri poplo~avawa sa dva oblika

Kada koristimo dve vrste mnogouglova, vodimo ra~una o tome da je zbir uglova kod ~vorne ta~ke 360°.

Primer 3

Poplo~avawe jednakostrani~nim trouglom i kvadratom

Kvadrati i jednakostrani~ni trouglovi mogu se slo`iti kao na slikama.

Primer 1

Poplo~avawe jednakostrani~nim trouglovima

Trouglovi se postavqaju tako da {est trouglovaima jedno zajedni~ko teme, kao na slici.

Primer 2

Poplo~avawe kvadratima

! Koriste}i oblik iz prethodnog primera,dopuni zapo~eti crte`.

" Koriste}i oblik iz prethodnog primera, u svesci nacrtaj figuru prikazanu na slici.

6 ⋅ 60° = 360°

4 ⋅ 90° = 360°

87

ZAPAMTI

Trougao

Stranice trougla ABC su:AB, BC, CA.Za stranice trougla va`i:c < a + b, b < a + c, a < b + c

jednakostrani~ni

jednakokraki

o{trougli

Osnovni elementi trougla jesu stranice i uglovi.

tupougli

pravougli

Unutra{wi uglovitrougla ABC su: α, β i γ.

α + β + γ = 180°

Vrste trouglova

nejednakostrani~ni

prema stranicama prema uglovima

Stranice i uglovi trougla

Naspram ve}e stranicetrougla nalazi se ve}i ugao.

a > b, α > β

Naspram jednakih stranicatrougla nalaze se jednakiuglovi.

a = b, α = β

hipotenuza

katete

α < 90°, β < 90°, γ < 90°

α < 90°, β < 90°, γ = 90°

α < 90°, β > 90°, γ < 90°

Spoqa{wi uglovi trougla ABC su: α1, β1 i γ1.

α1 + β1 + γ1 = 360°

88

PODUDARNOST TROUGLOVA – UVOD

! Izre`i trougao A iz priloga. Poku{aj da trouglove ozna~ene brojevima preklopi{

tim trouglom. Koji si trougao potpuno preklopio?

" Kvadrat ABCD podeqen je pravom AC na dva trougla: ABC i ADC. Koristi kvadrat

iz priloga i presavij ga po pravoj AC. Napi{i koje }e se stranice i koji uglovi

trouglova ABC i ADC poklopiti.

• podudarnost trouglova

• odgovaraju}e stranice i odgovaraju}i uglovi dva podudarna trougla

Da ti ka`em

Trouglovi ABC i DACsu podudarni.

S kojom se stranicom poklapa stranica AB?

S kojom se stranicom poklapa stranica BC?

S kojom se stranicom poklapa stranica CA?

S kojim se uglom poklapa ugao α?

S kojim se uglom poklapa ugao β?

S kojim se uglom poklapa ugao γ?

Da li }e se trouglovi ABC i ADC potpuno poklopiti?

89

# Trougao ABC na slici je jednakokraki trougao i poluprava Csje simetrala ugla kod temena C. Sli~no kao u prethodnom zadatku,zamisli da presavija{ dati trougao po polupravoj Cs. Napi{i koje }e se du`i i koji uglovi potpuno poklopiti.

Na crte`u su prikazani osnosimetri~ni trougloviABC i EFD prema pravoj s.

Zamislimo da dati crte` presavijamo po pravoj s.Tada }e se poklopiti temena A i E, C i D, B i F,stranice koje ta temena odre|uju i odgovaraju}iuglovi izme|u wih.

To zna~i da }e se trouglovi potpuno preklopiti.

Tada ka`emo da su trouglovi ABC i EFDpodudarni, {to zapisujemo:ΔABC ΔEFD.

U petom razredu nau~ili smo da su simetri~ne du`i jednake. Du`i AC i ED su simetri~ne, {to zna~i da je AC = ED. Isto tako, du`i CB i DF su simetri~ne, {to zna~i da je CB = DF. Na kraju, i du`i AB i EF su simetri~ne, odakle sledi da je AB = EF.

Uglovi naspram wih tako|e su jednaki:�BAC = �FED, �CBA = �DFE i �ACB = �EDF.

Posmatrawem ova dva trougla zakqu~ujemo da senaspram jednakih stranica nalaze jednaki uglovi. I obrnuto, naspram jednakih uglova nalaze se jednake stranice. Zato }emo jednake stranice dva podudarna trougla nazvati odgovaraju}e stranice, a jednake uglove odgovaraju}i uglovi.

Zakqu~ujemo da podudarni trouglovi ABC i EFD imaju me|usobno jednake stranice i jednake odgovaraju}e uglove.

SIMETRI^NOST I PODUDARNOST

Da ti ka`em

Trouglovi ADC i BDCsu podudarni.

OVO NE}EBITI TE?KO.

90

U prilogu prona|i pravougaonik prikazan na prvoj slici i izre`i ga. Du` koja spaja dva naspramna temena deli pravougaonik na dva trougla. Ti trouglovi su obele`eni slovima A i B. Oni su pravougli i imaju me|usobno jednake stranice. Tako|e imaju jednake odgovaraju}e o{tre uglove kao uglove na transverzali, to jest α = ϕ i β = θ.

Izre`imo te trouglove kao {to je prikazano na drugoj slici.

Stavimo trougao A ispod trougla B, kao {t o je prikazano na tre}oj slici.

Kada trougao A prevrnemo, dove{}emo ga u polo`aj k oji je prikazan na ~etvrtojslici. Iz tog polo`aja trouglove A i B mo`emo po tpuno poklopiti.

Zakqu~ujemo da dva trougla koja imaju me|usobno jednake stranice i jednake odgovaraju}e uglove mo`emo potpuno poklopiti, {to zna~i da su ti trouglovi podudarni.

KRETAWE I PODUDARNOST

Da ti ka`em

Naspramne stranicepravougaonika suparalelne i jednake.

Dva trougla su podudarna ako postoji kretawe kojim se mogudovesti do potpunog preklapawa.

Podudarni trouglovi imaju me|usobno jednake odgovaraju}estranice i jednake odgovaraju}e uglove.

PODUDARNOST TROUGLOVA

91

$ Trouglovi ABC i DEF su podudarni. Napi{i parove odgovaraju}ih

temena, stranica i uglova datih trouglova, kao {to je zapo~eto.

% Trouglovi na slici su podudarni. Na osnovu merewa odgovaraju}ih elemenata drugog trougla,

stranica ili uglova, obele`i wegova temena sa A1, B1 i C1 ako se zna da su ona odgovaraju}a

temena temenima A, B, C prvog trougla.

Dva trougla su podudarna ako su stranice i uglovi jednog trouglajednaki odgovaraju}im stranicama i uglovima drugog trougla.

AC = A1C1

AB = A1B1

BC = B1C1

α = α1

β = β1

γ = γ1

ΔABC ΔA1B1C1

trougao temena stranice uglovi

ΔABC B A C CA BC AB �ABC �CAB �ACB

ΔDEF D FD �FDE

" Nacrtaj trougao ABC i pravu s koja:a) sadr`i teme B i ne se~e tre}u stranicu b) sadr`i stranicu AB.

Nacrtaj osnosimetri~ni trougao A1B1C1 prema trouglu ABC. Koje stranice

su jednake i koji su uglovi jednaki?

! Nacrtaj pravougaonik i du`i koje spajaju naspramna temena. Dobi}e{ ~etiri

trougla. Izre`i te trouglove. Poka`i preklapawem da su po dva trougla

podudarna.

Da ti ka`em

Kada prona|e{ odgovaraju}e stranice, mo`e{ da ihobele`i{ crticama.

Proveri {ta zna{

92

OSNOVNA PRAVILA O PODUDARNOSTITROUGLOVA – PRAVILO SSS

• pravilo o podudarnostitrouglova – SSS

! Nata{a ho}e da napravi trougaonu maramu.

Mama joj je dala model od papira. Nata{a je

postavila model na tkaninu i prekopirala

ga, kao {to je prikazano na slici. Zatim je

pa`qivo makazama izrezala trougao od

tkanine.

Da li trouglovi imaju me|usobno jednake stranice?

Da li je trougao od hartije podudaran s trouglom od tkanine?

PRAVILO O PODUDARNOSTI TROUGLOVA

Nau~ili smo u prethodnoj lekciji da su dva trougla podudarna kada su im jednake odgovaraju}e stranice i jednaki odgovaraju}i uglovi.

Postavqa se pitawe o tome koliko najmawe jednakihodgovaraju}ih osnovnih elemenata treba da imaju dva trougla da bismo bili sigurni da su trouglovi podudarni.

Prona|imo odgovor na to pitawe prakti~nim proverama.

• Posmatrajmo trouglove na crte`u. Od osnovnih elemenataoni imaju jednaku samo po jednu stranicu.

Izre`imo crveni trougao iz priloga i poku{ajmo da wim preklopimo druga dva trougla.Vidimo da se nijedan od wih ne mo`e po tpuno preklopiti.

Na osnovu toga zakqu~ujemo da druga dva trougla nisu podudarna s prvim trouglom.

Podseti se

Osnovni elementitrougla su stranicei uglovi.

93

Dva trougla su podudarna ako su stranice jednog trouglajednake odgovaraju}im stranicama drugog trougla.

Ovo pravilo o podudarnosti trouglova ~esto kra}e nazivamoSSS i ~itamo: Stranica, stranica, stranica.

AB = DE

AC = DF

BC = EF

ΔABC ΔDEF

PRAVILO O PODUDARNOSTI TROUGLOVA – SSS

" Koji je trougao podudaran s datim trouglom ABC? Zaokru`i slovo ispred ta~nog odgovora.

• Istim crvenim trouglom iz priloga poku{ajmo da preklopimo naranxas ti i `utitrougao na slici. Od osnovnih elemenata oni imaju jednak e samo po dve stranice. Na isti na~in kao u prethodnom primeru mo`emo da zakqu~imo da crveni trougao nije podudaran ni s jednim od wih.

• Posmatrajmo tri trougla na crte`u. Vidimo da oni imaju me|usobno jednake stranice.

Koriste}i isti crveni trougao iz priloga, primenimo postupak iz prethodnih primera.Vidimo da se dati trouglovi potpuno preklapaju, to jest poklopi}e se jednake stranice i odgovaraju}i uglovi.

Zakqu~ujemo da su trouglovi podudarni ako imaju me|usobno jednake stranice.

a) b) v)

94

Ako je AC = BD i BC = AD, doka`i da su trouglovi ABC i BAD na crte`u podudarni.

Na osnovu podataka u zadatku i datog crte`a dobijamo:AC = BDAB = ABBC = AD

Na osnovu ovih jednakosti sledi, po pravilu SSS:ΔABC ΔBAD

zajedni~ka stranica

# Na osnovu podudarnosti trouglova ABC i BAD iz prethodnog primera,napi{i odgovaraju}e jednake uglove.

$ Na kru`nici datoj na slici tetiveAB i CD su jednake. Doka`i da sutrouglovi OAB i OCD podudarni.

• Da bi dva trougla bila podudarna, potrebno je da su tri wihovaodgovaraju}a osnovna elementa jednaka. Pravila o podudarnosti nam govore koji su to elementi.

• Postupak pronala`ewa jednakih elemenata i primenu pravilapodudarnosti trouglova nazivamo dokazom podudarnosti trouglova.

• Kada se primenom pravila doka`e podudarnost dva trougla, to zna~i da ti trouglovi imaju jednake preostale odgovaraju}eosnovne elemente.

! Trouglovi ABC i DEF su podudarni: (AB = DE, BC = EF, AC = DF).Napi{i parove odgovaraju}ih jednakih uglova.

" Nacrtaj pravougaonik ABCD i du` BD. Koriste}i pravilo SSS, doka`i podudarnost

trouglova ABD i CDB.

# Doka`i da prava koja sadr`i vrh i sredi{te osnovice jednakokrakog trougla

deli taj trougao na dva podudarna trougla.

PRIMER

Da ti ka`em

Napi{i parove odgovaraju}ih jednakihstranica i primeni pravilo SSS.

Proveri {ta zna{

95

• pravilo o podudarnostitrouglova – USU

! Stranica BC trougla ABC paralelna je stranici DEtrougla ADE.

Da li trouglovi imaju me|usobno jednake uglove?

Da li su odgovaraju}e stranice jednake?

Da li su trouglovi podudarni?

OSNOVNA PRAVILA O PODUDARNOSTITROUGLOVA – PRAVILO USU

PRAVILO O PODUDARNOSTI TROUGLOVA

Razmotrimo sada slu~aj kada dva trougla imaju jednaku po jednu stranicu i jednaka po dva ugla.

U narednom tekstu za ugao trougla ~iji jedan krak sadr`i s tranicutrougla koristi}emo naziv ugao koji je nalegao na tu stranicu.

Posmatrajmo prva dva trougla na crte`u. Jedna stranica i nalegliuglovi na wu prvog trougla jednaki su stranici i odgovaraju}imuglovima drugog trougla.

Izre`imo zeleni trougao iz priloga i poku{ajmo da po tpuno preklopimo drugi trougao tako {to }emo prvo preklopiti jednakestranice, a zatim i uglove. Vidimo da se ti trouglovi po tpuno poklapaju, {to zna~i da su podudarni.

Me|utim, ako poku{amo da zelenim trouglom preklopimo tre}itrougao, vide}emo da to nije mogu}e, {to zna~i da ti trouglovi nisu podudarni.

Zakqu~ujemo da su podudarna samo ona dva trougla k oja imaju jednaku po jednu stranicu i jednaka po dva ugla nalegla na w u.

Da ti ka`em

Trouglovi kojiimaju me|usobnojednake uglove ne moraju da budupodudarni.

Uglovi α i β suuglovi nalegli na stranicu c.

α β

96

" Trouglovi DEF i STR su podudarni.Napi{i parove jednakih istranica i jednakih uglova.

# Koja dva trougla su podudarna?

Dva trougla su podudarna ako su stranica i nalegli uglovi na wu jednogtrougla jednaki stranici i odgovaraju}im uglovima drugog trougla.

Ovo pravilo o podudarnosti trouglova ~esto kra}e nazivamo USUi ~itamo: Ugao, stranica, ugao.

AB = DE �CAB = �FDE�ABC = �DEF

ΔABC ΔDEF

PRAVILO O PODUDARNOSTI TROUGLOVA – USU

Da ti ka`em

Stranice DE i STtrouglova EFD i RSTsu jednake i wihovadu`ina je m.

a)

b)

v)

97

$ Na osnovu podudarnosti trouglova BED i SAC iz prethodnog primera,napi{i odgovaraju}e jednake stranice.

% Jednakokraki trouglovi na slicisu podudarni. Doka`i.

& Objasni za{to su du`iAD i CD jednake.

Doka`i da su trouglovi BED i SACna slici podudarni.

Prvo izra~unajmo tre}i ugao ΔBED.�BED = 180° – (37° + 33°)�BED = 110°

Za date trouglove va`i:ED = AC�BED = �SAC�EDB = �ACS

Na osnovu ovih jednakosti primenom pravila USUzakqu~ujemo da su trouglovi BED i SAC podudarni, {to zapisujemo: ΔBED ΔSAC.

! Da li su podudarna dva jednakokraka trougla koja imaju osnovice po 3 cmi po jedan ugao na osnovici od 80°? Za{t o?

" Doka`i da su podudarna dva pravougla trougla ~ije su hipo tenuze 4 cmi o{tri uglovi 35°.

Da ti ka`em

Izra~unaj uglove na osnovicama jednakokrakih trouglova.

Prvo doka`i podudarnost trouglova primenompravila USU.

Proveri {ta zna{

PRIMER

uglovi po 110°

uglovi po 33°

stranice po 8 cm

98

• pravilo o podudarnostitrouglova – SUS

• pravilo o podudarnostitrouglova – SSU

! Koji su osnovni elementi trouglova ABE i ABD jednaki?

Da li su trouglovi podudarni?

OSNOVNA PRAVILA O PODUDARNOSTITROUGLOVA – PRAVILA SUS I SSU

Ugao α zahva}en je stranicama c i b.

PRAVILO O PODUDARNOSTI TROUGLOVA

Posmatrajmo trouglove na crte`u. Vidimo da trouglovi imaju jednake po dve stranice i jednak po jedan ugao.

Izre`imo `uti trougao iz priloga. Poku{ajmo da wim potpuno preklopimo drugi trougao tako {to }emo prvo preklopiti jednake stranice, a zatim i uglove. Vidimo da se ti trouglovi potpuno poklapaju, {to zna~i da su podudarni.

Poku{ajmo da izrezanim trouglom preklopimo i tre}i trougao. Vidimo da se ti trouglovi ne mogu po tpuno preklopiti, {to zna~i da nisu podudarni.

Zakqu~ujemo da su podudarni samo oni trouglovi k oji imaju jednake po dve stranice i jednake uglove zahva}ene wima.

Ugao zahva}en dvema stranicama trougla jeste ugao ~iji kraci sadr`e te stranice.

Da ti ka`em

Trouglovi koji imaju jednaku po jednu stranicu i jednak po jedan ugao ne moraju biti podudarni.

α

99

" Koji je od datih trouglova podudaran sa trouglom ABC?

Dva trougla su podudarna ako su dve stranice i ugao zahva}en wima jednog trouglajednaki odgovaraju}im stranicama i odgovaraju}em uglu drugog trougla.

Ovo pravilo o podudarnosti trouglova ~esto kra}e nazivamo SUS i ~itamo :Stranica, ugao, stranica.

AB = DE AC = DF�CAB = �FDE

ΔABC ΔDEF

PRAVILO O PODUDARNOSTI TROUGLOVA – SUS

Simetrala ugla pri vrhu jednakokrakog trougla deli taj trougao na dva podudarna trougla. Doka`i.

Trougao ACB je jednakokraki trougao. Wegovi kraci su AC i BCi osnovica AB. Neka Cs simetrala ugla ACB se~e osnovicu ABu ta~ki D.

Za trouglove ADC i BDC va`i:

AC = BC

CD = CD

�ACD = �BCD

Na osnovu ove tri jednakosti, primewuju}i pravilo o podudarnosti trouglova (SUS), zakqu~ujemo da va`i:

ΔADC ΔBDC

CD je simetrala �C

zajedni~ka stranica

kraci trougla ACB

PRIMER

100

PRAVILO O PODUDARNOSTI TROUGLOVA

Razmotri}emo sada jo{ jedan slu~aj kada dva trougla imaju jednak e po dve stranice i jednak po jedan ugao koji se nalazi naspram jedne od tih s tranica.

Posmatrajmo trouglove na slici.

Izre`imo qubi~asti trougao iz priloga. Poku{ajmo da wim po tpuno preklopimodrugi trougao tako {to }emo prvo preklopiti jednake stranice, a zatim i uglove.Vidimo da se ti trouglovi potpuno preklapaju, {to zna~i da su podudarni.

Poku{ajmo sada da istim trouglom potpuno preklopimo tre}i trougao. Vidimo da to nije mogu}e. Dakle prvi i tre}i trougao nisu podudarni.

Zakqu~ujemo da su dva trougla podudarna ako imaju jednake po dve stranice i jednak po jedan ugao koji se nalazi naspram ve}e od datih s tranica.

b) Da li su du`i AE i DC paralelne?

# Na osnovu podudarnosti trouglova ADC i BDC iz prethodnog primera, napi{i ~emu je jednako: AD, �ADC, �CAD.

Kolika je mera ugla ADC?

Da li je simetrala ugla pri vrhu jednakokrakog trougla istovremeno i simetrala osnovice?

Prave su paralelne ako su uglovi na transverzalijednaki.

Da ti ka`em

Ugao podudaransvom uporednomuglu jeste pravugao.

$ Ta~ka B je sredi{te du`i AD i CE.

a) Du`i AE i DC su jednake. Za{to?

101

ta~ka A je sredi{te du`i EB

uglovi od 90°

Dva trougla su podudarna ako su dve stranice i ugao naspram ve}e od wih jednogtrougla jednaki odgovaraju}im stranicama i odgovaraju}em uglu drugog trougla.

Ovo pravilo o podudarnosti trouglova ~esto kra}e nazivamo SSU i ~itamo :Stranica, stranica, ugao.

PRAVILO O PODUDARNOSTI TROUGLOVA – SSU

% Koja su dva trougla na slici podudarna?

! Neka je ta~ka M sredi{te stranice AB kvadrata ABCD. Du`i MD i MCsu jednake. Za{to?

" Dve prave seku se u u ta~ki A. Na jednoj pravoj obele`i razli~ite ta~ke B i C,

a na drugoj P i R, tako da je AB = AC i AP = AR. Du`i BP i CR su jednake. Za{to?

PRIMER

1 2 3 4 5

Ta~ka A je sredi{te du`i EB na slici i AD = AC i ugloviDEA i CBA su pravi. Doka`i da je DE = CB.

AD = AC

EA = BA

�DEA = �CBA

AD > EA

Na osnovu pravila o podudarnosti trouglova SSU sledi:

ΔDEA ΔCBA,

odnosno DE = CB, kao tre}i par odgovaraju}ih stranica.

Proveri {ta zna{

AB = DE AB > AC AC = DF�ACB = �DFE

ΔABC ΔDEF

102

ODRE\ENOST I KONSTRUKCIJATROUGLA

• odre|enost trougla

• analiza zadatka

• izvo|ewe konstrukcijetrougla

! Nacrtaj trougao ABC prema podacima sa crte`a.

" Nacrtaj jednakokraki trougao ~iji sukraci b = 3,5 cm i osnovica a = 5 cm.

Podseti se

1. Nacrtaj du` AB, du`ine 4,5 cm.

2. Nacrtaj kru`ni luk sa centrom u ta~ki A,polupre~nika 3,5 cm.

3. Zatim nacrtaj kru`ni luk sa centrom u ta~ki B,polupre~nika 4 cm.

4. Teme C je zajedni~ka ta~ka nacrtanih lukova.

U prethodnim zadacima tre}e teme C dobija{ kada nacrta{ dve kru`nice, jednu sa centrom u ta~ki Ai polupre~nikom jednakim datoj stranici b i drugu sa centrom u ta~ki B i polupre~nikom jednakim stranici a.

Zajedni~ke ta~ke tih kru`nica su ta~ke C i C1, kao {to jeprikazano na crte`u. Trouglovi ΔABC i ΔABC1 su podudarni na osnovu pravila SSS. Za konstrukciju tre}eg temena tra`enogtrougla dovoqno je da konstrui{e{ jednu od ta~aka, C ili C1.

Da ti ka`em

Skica trougla sa datim podacimamo`e ti pomo}i da re{i{ zadatak.

C1

ODRE\ENOST TROUGLA

Trouglovi su podudarni ako imaju:• me|usobno jednake sve tri stranice• jednaku po jednu stranicu i jednaka po dva nalegla ugla• jednake po dve stranice i jednak ugao koji one obrazuju• jednake po dve stranice i jednak ugao koji se nalazi naspram ve}e od wih.

Trougao je jednozna~no odre|en ako su mu poznati slede}i osnovni elementi :

U ovoj lekciji nau~i}emo kako da nacrtamo trougao ako su mu zadati navedeni elementi.Postupak crtawa trougla u kojem se koriste lewir i {estar nazivamo konstrukcija trougla.

Konstrui{i trougao ABC ako su dati stranica c i uglovi α i β.

• Analiza zadatka

Crtamo skicu trougla ABC i ozna~avamo date elemente. Uglovi α i β jesu uglovi nalegli na stranicu c.

PRIMER

Crtamo prvo zadate elemente trougla.

• Izvo|ewe konstrukcijePodseti se

Konstrukcija du`i jednake datoj du`i

Konstrukcija ugla jednakog datom uglu

Konstrui{emo uglove�BAy = α i �ABz = β kao {to je prikazano na crte`u. Presek polupravih Ay i Bzodre|uje ta~ku C.

Crtamo pravu xi konstrui{emodu` AB du`ine c.

sve tri stranice jedna stranica i dva nalegla ugla

dve stranice i ugao izme|u wih

dve stranice i ugaonaspram ve}e od wih

Zakqu~ujemo da je trougao ABC jednozna~no odre|enna osnovu pravila USU o podudarnosti trouglova.

103

104

• Analiza zadatka jeste pronala`ewe na~ina na koji se zadatak re{ava. U analizi zadatka pretpostavqamo da je zadatak ve} re{en, to jest crta se skica trougla sa obele`enim datim elementima.

• Konstrukcija se izvodi na osnovu analize. Polazi se od datih podataka i pomo}u lewira i {estara, to jest povla~ewem linija i kru`nica, precizno se crta trougao.

# Konstrui{i trougao ABC ako je c = 6 cm, α = 45° i β = 60°.

$ Konstrui{i jednakokraki trougao ako jeosnovica 5 cm i ugao na osnovici 30°.

% Konstrui{i pravougli trougao ako jehipotenuza 5 cm i jedan o{tar ugao 30°.

Analiza zadatka Izvo|ewe konstrukcije

Analiza zadatka

Da ti ka`em

Konstruisana je du` ABdu`ine 6 cm i �BAx = 45°.Nastavi zapo~etu konstrukciju:1. Konstrui{i �ABy = 60°

(pogledaj stranu 83).2. Zajedni~ka ta~ka

polupravih Ax i Byjeste ta~ka C.

Primeni postupak iz prethodnog zadatka.

Prvo konstrui{i drugi o{tar ugao α, α = 90° – 30°. O{tri uglovi pravouglog trougla su uglovi naleglina hipotenuzu. Ponovi postupak iz re{enog primera.

Analiza zadatka

105

Konstrui{i trougao ABC ako su date stranice c i b i ugao α.

• Analiza zadatka

Crtamo skicu trougla ABC i ozna~avamo zadate elemente.Zadati elementi jesu dve stranice i ugao zahva}en wima.

ΔABC je jednozna~no odre|en na osnovu pravila SUS.

Crtamo date elemente trougla.

Konstrui{emo ugao xAytako da je �xAy = α.

Na kraku Ax odre|ujemo ta~ku B tako da jedu`ina du`i AB jednaka c i na kraku Ayta~ku C tako da je du`ina du`i AC jednaka b.

Spajamo ta~ke B i C. Tra`eni trougao je trougao ABC.

• Izvo|ewe konstrukcije

PRIMER

& Konstrui{i trougao ABC ako je c = 4 cm, a = 3 cm i β = 60°.

Analiza zadatka

Da ti ka`em

1. Konstrui{i �xBy = 60°. 2. Odredi ta~ku C na kraku By tako da je BC du`ine 3 cm

i ta~ku A na kraku Bx tako da je AB du`ine 4 cm.3. Spoj ta~ke A i C.

106

Analiza zadatka

' Konstrui{i pravougli trougao ako su katete a = 4 cm i b = 5 cm.

Konstrui{i trougao ABC ako su date stranice c i b, c > b, i ugao γ.

• Analiza zadatka

Konstrui{emo �xCy = γ

ΔABC je jednozna~noodre|en na osnovupravila SSU.

• Izvo|ewe konstrukcije

Konstrui{emo kru`nicu sa centrom u ta~ki Apolupre~nika c. Zajedni~kuta~ku te kru`nice i kraka Cyobele`avamo slovom B.

PRIMER

Da ti ka`em

Na str. 103 pogledajtekst Odre|enosttrougla i ~etvrticrte`.

Dati elementi:

Odre|ejemo ta~ku A ∈Cxtako da je CA du`ine b.

107

( Konstrui{i trougao ABC ako je b = 3 cm, a = 4 cm i α = 60°.

) Konstrui{i pravougli trougao ako je hipotenuza 5 cm i jedna kateta 4 cm.

Analiza zadatka Izvo|ewe konstrukcije

Analiza zadatka

! Konstrui{i trougao ABC ako je:a) a = 3 cm, b = 4 cm i c = 4,5 cmb) a = 5 cm, b = 7 cm i γ = 60°

v) c = 4 cm, α = 30° i β = 75°.

" Konstrui{i jednakokraki trougao ako je:a) osnovica 4 cm i ugao na osnovici 45°

b) krak 5 cm i spoqa{wi ugao 60°.

# Konstrui{i pravougli trougao ako je:a) kateta 4 cm i hipotenuza 4,5 cmb) jedan o{tar ugao 60° i naspramna kateta 13 cm.

Da ti ka`em

Konstruisan je �xAy = 60°.1. Konstrui{i ta~ku C∈Ay tako

da je AC du`ine 3 cm.2. Konstrui{i luk sa centrom

u ta~ki C, polupre~nika 4 cm.3. Zajedni~ku ta~ku luka i kraka

Ax obele`i slovom B.

Mo`e{ prvo da konstrui{e{ prav ugao.

Proveri {ta zna{

UF,TE?KO JE...

108

• opisana kru`nicatrougla

• centar opisanekru`nice trougla

! Odredi ta~ku M na liniji l, jednako udaqenuod ta~aka A i B.

" Prava sb je simetrala stranice AC trougla ABC na slici.Nacrtaj simetralu sc stranice AB. Wihov presek obele`islovom O. Izmeri u milimetrima du`i OA, OB, OC.

OPISANA KRU@NICA TROUGLA

Podseti se

Konstrukcija simetrale du`i

Da li su te du`i jednake?

OPISANA KRU@NICA TROUGLA

Ta~ke A, B i C kru`nice k sa centrom u ta~ki Ojesu temena trougla ABC.

Za kru`nicu k ka`emo da je opisana kru`nicatrougla ABC. Ka`emo i da je trougao ABC upisan u kru`nicu k.

Temena A, B i C trougla ABC jednako su udaqena od ta~ke O jer su du`i OA, OB i OC polupre~nici te kru`nice.

Da ti ka`em

Svaka ta~ka simetrale du`ijednako je udaqena od krajwih ta~aka te du`i.

AC = BC

l

B

A

109

# Na kom je crte`u kru`nica k opisana kru`nica datog trougla?

$ Konstrui{i centaropisanog krugao{trouglog trougla,a zatim konstrui{iopisanu kru`nicu.

CENTAR OPISANE KRU@NICE TROUGLA

Neka je kru`nica k opisana kru`nica trougla ABC.

Na osnovu svojstva da svaka ta~ka koja je jednako udaqena od krajwih ta~aka du`i pripada simetrali te du`i zakqu~ujemo:• Iz jednakosti OA = OB sledi da ta~ka O pripada

simetrali sc stranice AB trougla ABC.

• Iz jednakosti OA = OC sledi da ta~ka O pripada simetrali sb stranice AC trougla ABC.

• Na kraju, i iz jednakosti OB = OC sledi da ta~ka O pripada i simetrali sa stranice BC trougla ABC.

To zna~i da simetrale sc, sb i sa stranica trougla ABC imaju jednuzajedni~ku ta~ku O. Ta ta~ka je centar opisane kru`nice k. Svakitrougao ima samo jednu opisanu kru`nicu.

Opisana kru`nica trougla jeste kru`nica koja sadr`i temena tog trougla.

Simetrale stranica jednog trougla seku se u jednoj ta~ki.

Ta ta~ka je centar opisane kru`nice.

OPISANA KRU@NICA TROUGLA

Da ti ka`em

Prvi korakKonstrui{i simetrale dve stranicetrougla DEF i wihov presek obele`islovom O.

Drugi korak Konstrui{i kru`nicu k sa centrom uta~ki O i polupre~nikom OD, OE ili OF.

a) b) v) g)

110

% Konstrui{i centar opisanog krugatupouglog trougla, a zatimkonstrui{i kru`nicu.

& Konstrui{i centar opisanog krugapravouglog trougla, a zatimkonstrui{i kru`nicu.

• Centar opisanog kruga o{trouglog trougla nalazi se u trouglu (vidi zadatak 4).

• Centar opisanog kruga tupouglog trouglanalazi se van trougla (vidi zadatak 5).

• Centar opisanog kruga pravouglog trouglajeste sredi{te hipotenuze (vidi zadatak 6).

! Konstrui{i trougao ABC, a zatim konstrui{i opisanu kru`nicu, ako je:a) a = 4 cm, b = 5 cm, c = 6 cm b) c = 3 cm, b = 5 cm, β = 120° v) a = 6 cm, γ = 90°, β = 30°.

" Konstrui{i opisanu kru`nicu jednakokrakog trougla ako je:a) osnovica a = 5 cm i krak b = 4 cm b) osnovica 4 cm i ugao na osnovici α = 67°30’.

# Konstrui{i opisanu kru`nicu jednakostrani~nog trougla stranice a = 4 cm.

Proveri {ta zna{

Za konstrukciju centra opisane kru`nice dovoqno je da konstrui{e{ simetrale dve stranice datog trougla.

111

UPISANA KRU@NICA TROUGLA• upisana kru`nica

trougla

• centar upisane kru`nicetrougla

! Na kojoj ta~ki na putu c treba sazidati hoteltako da bude jednako udaqen od puteva a i b?Zaokru`i slovo ispred ta~nog odgovora.

" Konstrui{i simetralu ugla na slici.

# Prava s je simetrala �A trougla ABC. Konstrui{isimetralu �B i wihov presek obele`i slovom S.Nacrtaj i izmeri u milimetrima rastojawa od ta~ke Sdo stranica trougla.

Podseti se

Du` SP je rastojawe od ta~ke Sdo prave c.

Svaka ta~ka simetrale sugla jednako je udaqena od oba kraka ugla.MQ = MP

a) u zajedni~koj ta~ki M prave c i simetrale du`i BCb) u zajedni~koj ta~ki P prave c i simetrale ugla izme|u

pravih a i bv) u sredi{tu Q du`i AB

Konstrukcija simetrale uglaa) b)

112

Podseti se

Tangenta kru`nice je prava kojadodiruje kru`nicu.

Ona je normalna na polupre~nik u ta~ki dodira.

UPISANA KRU@NICA TROUGLA

Na slici su kru`nica k sa centromu ta~ki S i wene ta~ke M, P i Q.Neka su prave t1, t2 i t3 tangentekru`nice u ta~kama Q, M i P.Zajedni~ke ta~ke tih tangenti jesu temena trougla ABC.

Za kru`nicu k ka`emo da je upisana kru`nica trougla ABC.

Ka`emo i da je trougao ABC opisanoko kru`nice k.

Rastojawa od ta~ke S do stranicaAB, BC i CA jesu du`i SP, SQ i SM,~ije su du`ine jednakepolupre~niku kru`nice k.

CENTAR UPISANE KRU@NICE

Neka je kru`nica k upisana kru`nica trougla ABC.

Na osnovu svojstva da svaka ta~ka koja je jednako udaqena od oba kraka jednog ugla pripada simetrali tog ugla zakqu~ujemo:• Iz jednakosti SM = SP sledi da ta~ka S pripada

simetrali sα ugla α trougla ABC.

• Iz jednakosti SP = SQ sledi da ta~ka S pripada simetrali sβ ugla β trougla ABC.

• Na kraju, iz jednakosti SM = SQ sledi da ta~ka Spripada i simetrali sγ ugla γ trougla ABC.

To zna~i da simetrale sα, sβ i sγ uglova α, β i γ trougla ABC imaju jednu zajedni~ku ta~ku S. Ta ta~ka je centar upisane kru`nice k.

Svaki trougao ima samo jednu upisanu kru`nicu.

$ Na kom je crte`u kru`nica k upisana kru`nica datog trougla?

a) b) v) g)

113

Upisana kru`nica trougla jeste kru`nica koja dodirujestranice trougla.

Simetrale uglova jednog trougla seku se u jednoj ta~ki.

Ta ta~ka je centar upisane kru`nice.

UPISANA KRU@NICA TROUGLA

% Ta~ka S je centar upisanog kruga trougla ABC.Konstrui{i polupre~nik upisane kru`nice,a zatim upi{i kru`nicu.

& Nacrtaj tupougli trougao, konstrui{i centar upisane kru`nice,odredi polupre~nik i upi{i kru`nicu.

' Nacrtaj pravougli trougao, a zatim upi{i kru`nicu.

• Za konstruisawe centra upisane kru`nice dovoqno je da k onstrui{e{simetrale dva unutra{wa ugla.

• Centar upisane kru`nice bilo kog trougla pripada trouglu.

! Nacrtaj jednakokraki trougao, a zatim konstrui{i

opisanu i upisanu kru`nicu.

" Nacrtaj jednakostrani~ni trougao, a zatim konstrui{i

opisanu i upisanu kru`nicu.

Proveri {ta zna{

Da ti ka`em

Polupre~nik upisane kru`nice konstrui{e{ tako {to }e{ konstruisati rastojawe od ta~ke Sdo bilo koje stranice trougla ABC.

Du` SP je rastojawe od ta~ke S do prave c.

114

TE@I[TE TROUGLA

! Izre`i od kartona proizvoqan trougao. Na jedan kraj konca pri~vrsti

mali teg (gumicu ili ne{to sli~no). Drugi kraj konca i jedno teme

trougla uhvati tako da trougao slobodno visi, kao {to je prikazano

na slici. Obele`i zajedni~ku ta~ku konca i naspramne stranice.

Izmeri delove te stranice. Da li su jednaki?

Isti eksperiment ponovi za jo{ jedno teme.

" Konstrui{i sredi{te date du`i i obele`i ga slovom S.

a) b)

Postavi trougao na sto i nacrtaj du`i koje spajaju temena i naspramne

obele`ene ta~ke. Kroz prese~nu ta~ku tih du`i provuci konac

i podigni trougao ili prisloni prst ruke. Kakav }e polo`aj zauzeti

trougao u odnosu na ravan klupe?

• te`i{na du` trougla

• te`i{te trougla

Podseti se

Konstrukcija sredi{ta O du`i AB

TE@I[NA DU@ TROUGLA

Neka je ta~ka A1 sredi{te stranice BCtrougla ABC. Du` AA1 nazivamo te`i{nadu` trougla ABC. Te`i{na du` AA1

odgovara stranici a i obele`ava se ta.

Trougao ABC ima jo{ dve te`i{ne du`i, BB1 i CC1, odnosno tb i tc. Ta~ke B1 i C1

jesu sredi{ta stranica AC i AB.

115

# Konstrui{i te`i{nu du` datogtrougla koja sadr`i teme B.

% Nacrtaj te`i{ne du`i datog trougla koje odgovarajutemenima A i B. Wihov presek obele`i sa T. Presekpoluprave CT i stranice AB obele`i sa C1. Koristi{estar i proveri da li su du`i AC1 i BC1 jednake.Da li je CC1 te`i{na du`?

$ Konstrui{i te`i{nu du` datogtrougla koja odgovara stranici a.

TE@I[TE TROUGLA

Na slici je ΔABC i wegove te`i{ne du`iAA1, BB1 i CC1. Te te`i{ne du`i imaju jednuzajedni~ku ta~ku koja je obele`ena slovom T.

Ta~ka T naziva se te`i{te trougla. Svaki trougao ima samo jedno te`i{te.

Te`i{na du` trougla jeste du` koja spaja temetrougla i sredi{te naspramne stranice.

TE@I[NA DU@ TROUGLA

Te`i{ne du`i seku se u jednoj ta~ki. Tu ta~ku nazivamo te`i{te trougla.

TE@I[TE TROUGLA

Da ti ka`em

Prvo konstrui{i sredi{te B1 stranice AC.

116

& Konstrui{i te`i{ta pravouglog trougla ABC i tupouglog trougla DEF.

' Konstrui{i, redom, sredi{ta A1, B1 i C1 stranica BC, AC i AB i nacrtaj sredwe linijetrougla na slici. Kolike su du`ine sredwih linija?

Te`i{te bilo kog trougla pripada trouglu.

SREDWA LINIJA TROUGLA

Sredwa linija trougla jeste du` koja spaja sredi{tadve stranice trougla.

Trougao ima tri sredwe linije.

Sredwa linija trougla paralelna je naspramnojstranici i jednaka je polovini te stranice.

A1B1 || AB A1B1 = AB12

! Nacrtaj jednakokraki trougao i konstrui{i wegovo te`i{te.

" Nacrtaj jednakostrani~ni trougao i konstrui{i wegovo te`i{te.

# Nacrtaj trougao ABC i wegove sredwe linije.

a)b)

Da ti ka`em

Za odre|ivawete`i{ta dovoqnoje da nacrta{ dvete`i{ne du`i.

Proveri {ta zna{

117

• visina trougla

• ortocentar trougla

• zna~ajne ta~ke trougla

! Koja du` predstavqa rastojawe od ta~ke M do prave a?

• MC

• MD

• ME

• MF

# Konstrui{i visinu datog trougla kojasadr`i teme A.

ORTOCENTAR TROUGLA

VISINA TROUGLA

Neka prava n sadr`i ta~ku C i neka je normalna na stranicuAB trougla ABC. Zajedni~ku ta~ku prave n i stranice ABobele`imo sa D. Ta~ku D nazivamo jo{ i podno`je normale nna stranici AB. Du` CD nazivamo visina trougla ABC.

Du`inu visine CD obele`avamo sa hc jer odgovara stranici c.

Trougao ABC ima tri visine, ha, hb i hc, to jest visine kojeodgovaraju stranicama trougla ABC.

Da ti ka`em

Pogledaj uputstvo uz zadatak 3 na strani 111.

Prvo konstrui{i pravu kojasadr`i ta~ku C i normalnaje na pravu AB. Podseti seove konstrukcije i pogledajuputstvo uz zadatak 5 nastrani 113.

Nacrtaj pravu ABi na wu normaluiz ta~ke C.

Prvo konstrui{i pravu koja sadr`i ta~kuA i normalna je na BC.

$ Konstrui{i visinu datogtrougla koja sadr`i teme C.

" Konstrui{i i zatim izmeri u milimetrima rastojawe od temena C do naspramne stranice trougla ABC.

118

Visina trougla jeste du` ~ije su krajwe ta~ke teme trougla i podno`je normalespu{tene iz tog temena na pravu odre|enu naspramnom stranicom.

Visina trougla jednaka je rastojawu od temena trougla do naspramne stranice.

VISINA TROUGLA

Prave kojima pripadaju visine trougla seku se u jednoj ta~ki.

Tu ta~ku nazivamo ortocentar trougla.

ORTOCENTAR TROUGLA

% Du`i ha i hb su visine trougla ABC na slici. Wihov presekobele`i sa H. Presek poluprave CH i stranice AB obele`isa D. Proveri merewem �CDA.

Da li je du` CD visina trougla?

& Konstrui{i ortocentar o{trouglogtrougla na slici.

' Konstrui{i ortocentar tupouglogtrougla na slici.

ORTOCENTAR TROUGLA

Na slici su ΔABC i wegove visine AD, BE i CF, to jest ha, hb i hc. Te visine imaju jednu zajedni~kuta~ku koja je obele`ena slovom H. Ta~ka H nazivase ortocentar trougla ABC. Svaki trougao imasamo jedan ortocentar.

Da ti ka`em

Za konstrukcijuortocentradovoqno je dakonstrui{e{dve visine.

119

Zna~ajne ta~ke trougla jesu centar opisane kru`nice, centar upisane kru`nice,te`i{te i ortocentar.

ZNA^AJNE TA^KE TROUGLA

( Nacrtaj pravougli trougao. Koja je ta~ka ortocentar trougla?

Ortocentar o{trouglogtrougla pripada oblastitrougla (vidi zadatak 6).

Ortocentar tupouglogtrougla ne pripadatrouglu (vidi zadatak 7).

Ortocentar pravouglogtrougla je teme pravog ugla(vidi zadatak 8).

Ocentar opisane

kru`nice

Scentar upisane

kru`nice

Tte`i{te trougla

Hortocentar trougla

! Nacrtaj jednakokraki trougao i konstrui{i wegov ortocentar.

" Nacrtaj jednakostrani~ni trougao i konstrui{i wegov ortocentar.

Proveri {ta zna{

120

I TO JE MATEMATIKA

! Odaberi proizvoqan jednakostrani~ni trougao. Du`inu wegove stranice ozna~i sa 1. Sastavi figure kao {to je prikazano na crte`u.

a) Uo~i pravilo i nacrtaj slede}u, {estu figuru.

b) Koliko trouglova stranice 1 ima u woj?

v) Nacrtaj sedmu figuru. Koliko trouglova stranice 1 ima u woj? Koliki je obim te figure?

g) Ako figure ozna~imo redom brojevima 1, 2, 3, 4… koje su od wih jednakostrani~ni trouglovi?

" Svakoj figuri na slici pridru`eni su brojevi ta~aka raspore|enih po s tranicama trougla.

Uo~i pravilo i nacrtaj slede}i raspored ta~aka i napi{i koliko ih ima.

Koliko ta~aka }e imati sedmi raspored?

# Dopuwavawem jednakostrani~nog trougla stranice 1 sa jo{ tri wemu podudarna trougla mo`emodobiti jednakostrani~ni trougao stranice 2 (pogledaj sliku u prvom zadatku). U slede}em k orakudobijeni trougao stranice 2 dopunimo sa tri wemu podudarna trougla do trougla s tranice 4.Formirajmo slede}i trougao na isti na~in. Dopunimo trougao stranice 4 do trougla stranice 8.Dobijene trouglove obojmo kao {to je prikazano na slikama.

Koliko se qubi~astih trouglova nalazi na tre}oj slici?

Koliko se qubi~astih trouglova nalazi na ~etvrtoj slici?

Koliko se crvenih trouglova nalazi na tre}oj slici?

Koliko se crvenih trouglova nalazi na ~etvrtoj slici?

Primewuju}i pravilo po kojem su formirane figure na slici, odgovori na pitawa.

a) Kolika je stranica slede}eg trougla?

b) Koliko ima plavih trouglova?

v) Koliko ima crvenih trouglova?

1 3 6 10

Da ti ka`em

Brojeve 1, 3, 6, 10…nazivamo trougaonimbrojevima.

121

ZAPAMTI

Podudarnost trouglova

Dva trougla su podudarna ako suim jednake odgovaraju}e stranicei jednaki odgovaraju}i uglovi.

Zna~ajne ta~ke trougla

Pravila o podudarnosti trouglova

(SSS) (USU) (SUS) (SSU)

AB = A1B1 α = α1

BC = B1C1 β = β1

AC = A1C1 γ = γ1

ΔABC ΔA1B1C1

BA

C

c

b

B1

C1

A1c1

b1

a

a

1

a = a1 b = b1 c = c1

ΔABC ΔA1B1C1

α βB

C

Ac

α1

β1

B1

C1A1

c1

c = c1 α = α1 β = β1

ΔABC ΔA1B1C1

αAB

C

c

b

B1

α1

c1

b1C1

A1

α = α1 b = b1 c = c1

ΔABC ΔA1B1C1

c

b

BA

Cγ

c1

b1

B1

C1A1 γ1

c = c1 b = b1 γ = γ1

c > b

ΔABC ΔA1B1C1

Centar O opisanekru`nice trougla je presek simetralastranica.

Centar S upisanekru`nice trougla je presek simetralaunutra{wih uglova.

Te`i{te T trougla je

presek te`i{nih du`i.Ortocentar H trougla

je presek visina.

C

γ

α βA B

C1

γ1

α1β1

A1 B1

122

REZULTATI I UPUTSTVA

CELI BROJEVI

1,2,3 kreni – strana 8

1. 24, 18, 63, 7

2. b)

3. a) 33 b) 0 v) 0

4. prvi red: 6, 11, 14 drugi red : 8, 3, 0

tre}i red: 15, 25, 31 ~e tvrti red: 80, 60, 485. a) 16 b) 25

6. a) 9, 109 b) 9, 19, 99, 109

7. v)

8. a) 1, 2, 3 b) 3, 4, 5 v) 3, 4, 5…

Pojam negativnog celog broja. Skup celih brojeva – strana 9

1. a) Kraqevo, Ni{, Vrawe b) 0°C v) Sombor, Novi Sad,Beograd, Zaje~ar

2. b) ~etrdeset pet v) minus sto tri

3. a) –50 b) +88 v) –88

4. a) pozitivni celi: 5, 19, 62, 490

negativni celi: –4, –71, –101 b) 05. a) 10, 40, 60 b) –20, –50, –30

v) –20, 10, 40, 0, –50, –30, 60

6. 79 ∈Z –41 ∈Z– 0 ∈N0 500 ∈Z+

7. 0°C 10°C –5°C8. a) 27°C, 36°C, 28°C, 39°C

b) –7°C, –2°C, –13°C, 0°C, –5°C, +1°C9. a) –39°C b) 45°C

Proveri {ta zna{ – strana 11

2. g) P = {7, 8, 11, 2, 1} G = {–9, –8, –5, –4, –2}3. 17 ∈N 17 ∈Z 56 ∈N 56 ∈Z 0 ∉N 0 ∈Z –48 ∉N

–48 ∈Z –203 ∉N –203 ∈Z4. –88, –83, –38, –33, 33, 38, 83, 88

Brojevna prava. Upore|ivawe celih brojeva – strana 12

1. a) +2°C g) –3°C, +5°C2. M(7) N(2) K(5)4. 5, 8, 16

6. Interval od 200 do 300 podeli na dva dela,

sredi{wa ta~ka ima koordinatu 250, zatim podeli

interval od 200 do 250 na dva dela, sredi{wa ta~ka

ima koordinatu 225.

8. A(2) B(–6) C(10) O(0) 9. a) 4 < 5 b) –8 < 1 v) 3 > –3 g) 2 > 0 d) –4 < 0 |) –3 < –1

e) –1 > –2 `) –7 < –5

10. a) –4, –3, –2 b) –1, 0, 1, 2

11. b) –200 < –197, –199 > –201, –196 < 0

12. a) 14 b) 0 v) –4 g) –1 d) –19

13. drugi red: 9, 10, 11 tre}i red : 1, 2, 3

~etvrti red: –1, 0, 1 pe ti red: –8, –7, –6

{esti red: –4 i 1 14. a) 17 b) 71 v) –24 g) –2

15. a), g), |)

16. a) A(0), B(–100), C(150) v) –200, –150, –50, 0, 50,150

Proveri {ta zna{ – strana 16

1. b) 3, 7, 5, 9

2. <, >, <, >, >, >

3. a) 8, 9, 15, 26 b) –12, –10, –5, –4 v) –19, –9, 0, 9, 19

4. a) 222, 111, 22, 11, 2, 1 b) –1, –7, –17, –71, –77

v) 66, 6, 0, –6, –66

Suprotni brojevi. Apsolutna vrednost celog broja – strana 17

1. a) 2 m, 2 m b) 3 m, 1 m, plava v) 1 m, 5 m, crvena

2. a) M(–3) b) N(4)

3. Suprotni brojevi datim redom su: –2, –5, –8

4. Suprotni brojevi datim redom su: 7, 4, 1

5. prvi red: –5, 4 drugi red: –2, 6, 06. a) –7, 7 b) –10, 10 v) –71, 71

7. v)

8. b) –23 v) 9 g) 14 d) –20 |) 0

9. a) 4, 2 b) 5, 5

10. b) 6, 1, 5, 8, 105, 72

11. a) –6 i 6 b) –52 i 52 v) –103 i 103

12. prvi red: –14, 32

drugi red: 6, 0, –27

tre}i i ~etvrti red: 6, 14, 0, 27, 3213. a), g)

Proveri {ta zna{ – strana 21

1. drugi red: –34, –21, 55, –76, 0, 98

tre}i i ~etvrti red: 34, 21, 55, 76, 0, 982. b) 6 i –6

3. a) 82 b) –111 v) 25 g) 15 d) 91 |) 74 e) 91

Apsolutna vrednost broja. Upore|ivawe celih brojeva

– strana 22

1. a) u Parizu b) u Londonu

2. b) –3, –2, –1, 2 v) 3, 2, 2, 1

3. a) M najbli`a, A najdaqa b) V najbli`a, T najdaqa

4. a) 19, 27, 35 b) ⏐–19⏐ < ⏐–27⏐, ⏐–27⏐ < ⏐–35⏐,

⏐–35⏐ > ⏐–19⏐, –19 > –27, –27 > –35, –35 < –195. a) –11 > –12 b) –54 < –45

6. a) 250, 320, 125 b) –320, –125

7. –16

8. –11

9. a) 4 < 5, 9 > 0, 17 > 12 b) –1 > –3, 0 > –7, –8 < –2

10. a) –112 b) 1

11. a) –5, –2 b) 1, 3 v) –5, –2, 0, 1, 3

12. a), g), |)

13. a) 88, 82, 28, 22 b) –11, –13, –31, –33

v) 14, 4, 0, –14, –44

Proveri {ta zna{ – strana 24

1. a) 59, 68, 47, 73 b) –47, –59, –68, –73

2. a) –212 b) 142 v) –212, –204, –142, 120, 142

g) 142, 120, –142, –204, –212

123

3. –7, –6, –5, –4, –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7

Sabirawe celih brojeva – strana 25

1. v)

2. a) 60 b) –60 v) –6 g) –8

3. b) –57 v) –25 g) –28

4. a) –15 b) –24 v) 70 g) 12 d) 13 |) –13

5. a) 1 b) –2 v) –2 g) 4

6. v) 3 g) –3

7. a) 16 b) –7 v) 10 g) –4

8. a) –37 b) –22 v) 4 g) –36 d) –139 |) 1 e) 70 `) –18

9. b)

10. g)

11. b), v)

12. a) 2 b) 7 v) –9 g) –5

13. tre}i red: 27, –21, –6, 9, 14, 0, –20, 0, –12, –19

14. a) –8°C b) 0°C v) 2°C15. a) –200 din. b) 0 din. v) +800 din.

Proveri {ta zna{ – strana 29

1. –9, –8, 4, 2, –5, –2

2. 71, –45, –92, –42, 56, –15, –162

Svojstva operacije sabirawa – strana 30

1. v), –3000, –3000

2. a) prvi i drugi red: –8, 0, –6b) Jednaki, za sabirawe va`i svojstvo komutacije.

3. b) 49, 49 v) svojstvo asocijacije

4. g)

5. v)

6. a) 0 b) –2 136 v) –4

7. a) 0 b) 62

8. 7

9. 10

10. 0

11. 8

12. a) 0 b) 51

Proveri {ta zna{ – strana 33

1. a) 0 b) 96 v) 360 g) 190

2. a) 0 b) –800 v) –10

Oduzimawe celih brojeva – strana 34

1. b) za 9°C2. a) –3 b) 11 v) –11 g) 3 d) 3 |) 11 e) –11 `) –3

3. a) 9 b) 8 v) 0 g) –7 d) –6 |) 1

4. a) 4 b) –6 v) –38 g) –4 d) 5

5. drugi red: 9, –16, –18, 6, –4, –14

tre}i red: 27, 2, 0, 24, 14, 46. a) 2, –3, 4 b) –5, 6, –1

7. a) 3 b) 13 v) 10

8. a) 3 b) –3 v) –19 g) –3 d) 19 |) 3

9. a) 1 b) –31 v) –5 g) –75

Proveri {ta zna{ – strana 36

1. a) –4 b) 2 v) –3 g) 3 d) –5 |) –13 e) 13

2. a) –15 b) 10 v) –13 g) 32 d) 6 |) –66 e) –16

3. a) 30 b) 0 v) –30 g) –20

I to je matematika – strana 37

1. 6 {estaka

2. prvi red: –2, 2 drugi red : 3 tre}i red : –4, 1, 03. a) prvi red: –6, –9, 6 drugi red : 9, –3, –15

tre}i red –12, 3, 0

b) prvi red: –7, 0, –5 drugi red : –2, –4, –6tre}i red: –3, –8, –1

4. a) prvi red: –7, –8 drugi red : 1, –2tre}i red: –1, –4 ~etvrti red: –6, –9

b) prvi red: 11, –3 drugi red : 0, 3tre}i red: 1, 7 ~etvrti red: –1, 10, 9

Istra`iva~ki zadatak – strana 38Matemati~ki kviz1. a) 2. b) 3. a) 4. v) 5. b) 6. v) 7. a) 8. b) 9. v) 10. a)

Mno`ewe celih brojeva – strana 40

3. a) 12 b) –12 v) –8 g) –124. a) 6 b) –6 v) –6 g) 65. a) –56 b) –56 v) 56 g) 566. a) –45 b) 40 v) –11 g) 11 d) –1 |) 10 e) 0 `) 07. a) –24 b) –20 v) 19 g) –500 d) 9 |) 100 e) –32

`) –12

8. –10°C9. –120 m10. a) 240 b) 70 v) –240 g) 81

Proveri {ta zna{ – strana 43

1. a) –363 b) 72 v) 255 g) –10 d) –136 |) –65 e) 0`) 0 z) 0 i) –65 j) 0

Mno`ewe celih brojeva. Kvadrat celog broja – s trana 44

1. 144 cm2

2. a) 81 b) 49 v) 121

3. prvi red: 5 ⋅ 5, –9 ⋅ (–9), 15 ⋅ 15, –8 ⋅ (–8), 0 ⋅ 0

drugi red: 52, (–9)2, 152, (–8)2, 02

tre}i red: 25, 81, 225, 64, 04. a) 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100

b) 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 1005. a) 169 b) 225 v) 400 6. b) –36 v) –100 g) –17. a) –121 b) –49 v) –64 g) 144 d) –196 |) –900 8. v)9. NE, NE, DA, NE, DA10. a) 12 b) –90 v) 2 500 g) –20 d) 144 |) 4911. a) –72 < (–7)2 b) (–10)2 > –102 v) (–10)2 = –10 ⋅ (–10)

Proveri {ta zna{ – strana 45

1. 121, 144, 169, 196, 225, 121, 144, 169, 196, 2252. a) –81 b) –48 v) 4 900

3. a) –112 < (–11)2 b) –42 < (–4)2 v) 122 = (–12)2

Svojstva operacije mno`ewa – strana 46

1. 302. 703. 44

5. a) prvi red: 6 drugi red : 25, –10 tre}i red : 6, –10, 4b) –2 ⋅ (–3) = –3 ⋅ (–2), 5 ⋅ (–2) = –2 ⋅ 5

v) komutacije

124

6. a) 180 b) –1 700 v) 280 g) 707. b) –54 v) –308. a) 24 b) 100

9. a) b)

10. a) A = 8, B = 8 b) A = B

11. prvi red: –7 drugi red : –5, 12, –33, 0tre}i red: 4, –5, 7, 12, –33, 0

12. a) 0 b) 0 v) 013. a) 347 b) 29 v) –11 g) 0

14. a) 4 ⋅ (–2) > 4 ⋅ (–4) b) –3 ⋅ 6 > –3 ⋅ 7 v) –5 ⋅ (–7) < –5 ⋅ (–8) g) 3 ⋅ (–2) ⋅ (–1) = –3 ⋅ (–2)

15. –20, –15, –10, –5, 0, 5, 10, 1516. 20, 15, 10, 5, 0, –5, –10, –15

17. drugi red: 3, – tre}i red: 120, 4, +~etvrti red: –120, 5, –

18. prvi red: 120, –120 drugi red : –120, 12019. a) 8 ⋅ (–7) < 14 ⋅ 4 b) –11 ⋅ 6 > 12 ⋅ (–6) v) –4 ⋅ 3 < –4 ⋅ 3 ⋅ 0 ⋅ 1

Proveri {ta zna{ – strana 49

1. a) 9 b) –10 v) –162. a) 18 b) 3803. a) 240 b) –240 v) –240 g) 240

Izrazi sa celim brojevima – strana 50

1. drugi red: 25, –15, 10tre}i red: 7 ⋅ 5 = 35, 3 ⋅ (–3) = –9, 26~etvrti red: 4 ⋅ 5 = 20, 6 ⋅ (–3) = –18, 2a) VI3 b) tre}e v) 9

2. a) –16 b) –6 v) 90 g) –165 d) –63 |) 100 3. a) –6 b) –116 v) –22 g) 25 d) –7 |) –35

e) –17 `) 172 4. v)

5. prvi izraz: –7 tre}i izraz : –4 ~etvrti izraz: 36. –36, –39, –31, 36, 45, 28, 180

7. drugi red: 4, –12, 12, 12, –12 tre}i red: –15, 45, –45, –45, 45~etvrti red: 16, –48, 48, 48, –48peti red: 3, –9, 9, 9, –9

8. a) –32 b) 34 v) –1029. a) –15 b) 010. a) –36 b) 34 v) 59 g) 011. a) –6 b) –44 v) –1 160 g) 6012. a) 8 b) –320 v) –162

13. broj bodova: Vlada 27, Ivana 28, Nenad 80

Proveri {ta zna{ – strana 53

1. –21, –39, 24, –30, –6, 92. a) –70 b) 4003. a) 44 b) 24

Deqewe celih brojeva – strana 54

1. 22, 10, Maja2. a) 5 b) 3 v) 12, –2, –64. b) 5 v) 10 g) –8 d) 15 |) –2 e) 0 `) 05. v)6. b)7. 162, –54, 18, –81, 36, –128. a) –1 234 b) 376 v) 1 g) 0

9. a) 2 b) 0 v) 1 g) 1

10. –50, 1, 50, 0, –25, 25, –2, –4

11. –2

Proveri {ta zna{ – strana 57

1. a) 2 b) –33 v) 21

2. 1, 25, –25, 0, –2

3. 34

4. a) 2 b) –10 v) 1

TROUGAO

1, 2, 3, kreni… – strana 61

1. b) a < c, a > b, c > b2. prav, o{tar, pun, opru`en, tup

3. v)

4. a) 22° b) 91°

5. ϕ = 36° δ = 144°6. v)

7. �xOs = 50° �xOy = 100°

Trougao, elementi, obele`avawe – strana 62

3. a) tri b) ΔAMC, ΔABC, ΔMBC5. 6 trouglova

6. Pro~itaj osnovni tekst na str. 63.

7. NP, MP, MN8. EF, EG, FG

Odnos stranica trougla. Vrste trouglova prema stranicama

– strana 65

2. a) 160 m, 104 m, prvi b) 194 m, 70 m, prvi

3. Uputstvo: primeni pravilo zbira stranica trougla – re{en primer na str. 67.

4. a) mo`e b) ne mo`e

5. f – e = 52 mm – 35 mm = 17 mm, d > 17 mmf – d = 52 mm – 45 mm = 7 mm, e > 7 mmd – e = 45 mm – 35 mm = 10 mm, f > 10 mm

6. 10 cm > 12 cm – 6 cm, 12 cm > 10 cm – 6 cm,

6 cm > 12 cm – 10 cm7. 6 cm < 19 cm – 12 cm

Jedna stranica je mawa od razlike druge dve.

8. Ne mo`e, jer bi zbir dve stranice bio mawi od tre}e.

Zbir dve stranice je 12 cm – 8 cm = 4 cm.

9. 3 cm, 5 cm ili 4 cm, 4 cm10. 2, 2, 3, 1, 3, 1, 3

Proveri {ta zna{ – strana 69

1. Pogledaj re{ene primere (str. 67 i 68).

2. Pogledaj zadatak 3 (str. 67) ili zadatak 7 (str. 68).

3. Pogledaj zadatke 8 i 9 (str. 68 i 69).

Unutra{wi uglovi trougla. Zbir unutra{wih uglova.

Vrste trouglova prema uglovima – strana 70

3. v)

4. v)

5. b) 54° v) 28°

6. a) 62° b) 75° v) 28°

7. �E = 105°8. a) 1, 4, 9 b) 2, 7, 8, 10 v) 3, 5, 6, 11

− ⋅ + −( )( ) =6 3 10 4212 5 2 14+ −( )( ) ⋅ −( ) = −

125

9. Na primer:a) b) v)

10. 21°, 45°, 49°

11. a) γ = 63°, o{trougli b) α = 90°, pravougliv) β = 121°40’, tupougli

Proveri {ta zna{ – strana 73

1. a) 81° b) 60° v) 43°30’ g) 63°19’2. a) 75° b) 88° v) 56° g) 33°18’3. a) pravougli b) tupougli

Spoqa{wi uglovi trougla – strana 74

1. α1 = 91° α2 = 91° β1 = 115° β2 = 115° γ = 26°

γ1 = 154° γ2 = 154°

2. Spoqa{wi ugao kod temena C je 88°, a kod temena B je 123°.3.

4. g)5. v)

6. ϕ = 87° 7. a) α1 = 112° β1 = 137° γ = 69° γ1 = 111°

b) α1 = 147° β = 80° γ = 67° γ1 = 113°

v) α = 21° γ = 117° β = 42° β1 = 138°

8. Za re{avawe zadataka mo`e{ da nacrta{ skicu trougla,to jest da nacrta{ trougao koriste}i samo olovku.

Obele`i trougao, upi{i odgovaraju}e mere.

β = 93° β1 = 87°

9. a) θ = 54° b) θ = 53° v) θ = 46°

Proveri {ta zna{ – strana 76

1. Pogledaj zadatak 7 na str. 76.

2. Uputstvo: spoqa{wi ugao pravouglog trougla kod temena pravog ugla je prav.

Odnos stranica i uglova u jednakokrakom trouglu – strana 77

5. α = 30°, γ = 120°6. α = 24°7. jednakokraki, �COD = 106°

Proveri {ta zna{ – strana 79

1. Pogledaj zadatak 5 (str. 79).2. Pogledaj re{en primer (str. 79).3. Prvo izra~unaj unutra{wi ugao na osnovici. 4. Prvo izra~unaj unutra{wi ugao pri vrhu.

Odnos stranica i uglova trougla – strana 80

1. Prave koje sadr`e stranice a i b jesu osnosimetri~ne

i b < a. Ugao α je ve}i od wemu nesusednog unutra{weg

ugla β trougla MBP.

3. EF < FD 4. �C < �D5. a) hipotenuza b) naspram tupog ugla

6. KM, LM7. �D, �F8. FD, DE, EF9. β, γ, α

Proveri {ta zna{ – strana 82

1. Pogledaj zadatak 5 (str. 82).2. Pogledaj re{en primer (str. 81) i zadatak 8 (str. 82).3. Pogledaj re{en primer (str. 81) i zadatak 9 (str. 82).

Konstrukcije uglova od 30°, 60°, 120° – s trana 83

3. �xOm = 22°30’ �xOn = 45° �xOp = 67°30’�mOy = 67°30’

4. b) 60°5. Koristi prethodno re{en primer.6. Prvo konstrui{i ugao od 60°, a zatim wegovu sime tralu.7. Pogledaj prethodni zadatak.8.

9. Mera punog ugla je 360°, {to zna~i da pun ugao trebapodeliti na 12 uglova po 30°.

Proveri {ta zna{ – strana 85

Uputstvo:1. 150° = 90° + 60° 165° = 180° – 15°

2. 105° = (180° + 30°) : 2 52° 30’ = 105° : 2 3. 22°30’ = 45° : 2 67°30’ = (90° : 4) ⋅ 34. 225° = 180° + 45° 300° = 360° – 60°

Podudarnost trouglova – uvod – strana 88

1. 4

2. AD, DC, CA, θ, δ, ϕ, da4. F, E, EF, DE, �EFD, �FEDProveri {ta zna{ – strana 91

2. a)

Osnovna pravila o podudarnosti trogulova – pravilo SSS – strana 92

2. b)

3. �CAB = �DBA, �ABC = �BAD, �BCA = �ADB4. Trouglovi OAB i OCD imaju jednake osnovice i jednake

krake, pa se mo`e primeniti pravilo o podudarnos ti trouglova SSS.

Proveri {ta zna{ – strana 94

1. Pogledaj zadatak 4 (str. 91).2. Primeni postupak iz re{enog primera (str. 94).

Osnovna pravila o podudarnosti trouglova – pravilo USU – strana 95

2. DF = SR, EF = TR, �DEF = �STR, �DFE = �SRT3. b)

126

4. BE = SA, BD = SC5. �A = �B = 70°, �D = �E = 70° (primeni pravilo USU)

6. �ABD = 180° – (75° + 60°) = 45°. Iz podudarnos ti

trouglova ABD i CBD sledi AD = CD.

Proveri {ta zna{ – strana 97

1. Pogledaj zadatak 5, str. 97.

2. Primeni postupak iz re{enog primera, str. 97.

Osnovna pravila o podudarnosti trouglova

– pravila SUS i SSU – strana 98

2. ΔGHL3. AD = BD, �ADC = �BDC, �CAD = �CBD4. a) Zato {to je ΔABE ΔDBC, po pravilu SUS.

b) da

5. trouglovi s brojevima 2 i 5

Proveri {ta zna{ – strana 101

1. Doka`i da je ΔDAM ΔCBM. Primeni pravilo SUS.

2. Doka`i da je ΔPBA ΔRCA.

Odre|enost i konstrukcija trougla – strana 102

4.

7. Primeni postupak iz re{enog primera i zadatka 6

(str. 105).

9. Primeni postupak iz re{enog primera i zadatka 8

(str. 106 i 107).

Proveri {ta zna{ – strana 107

1. a) Primeni postupak iz zadatka 1 na str. 102.

b) Primeni postupak iz re{enog primera i zadatka 6

(str. 105).

v) Primeni postupak iz re{enog primera (str. 103)

i zadatka 3 (str. 104).

2. a) Primeni postupak iz zadatka 4 (str. 104).

b) Prvo konstrui{i ugao pri vrhu γ = 180° – 60°, a zatimprimeni postupak iz re{enog primera (str. 105).

3. a) Primeni postupak iz re{enog primera (str. 106)

i zadatka 9 (str. 107).

b) Nalegli uglovi na datu katetu su 90° i 90° – 60°. Primeni

postupak iz re{enog primera (str. 103).

Opisana kru`nica trougla – strana 108

5.

6.

Proveri {ta zna{ – strana 110

1. Da bi odredio centar opisane kru`nice, dovoqno je dakonstrui{e{ presek simetrala dve stranice trougla.

2. Prvo konstrui{i trougao, a zatim centar opisanekru`nice.

Upisana kru`nica trougla – strana 111

3. Ta~ka koja pripada simetrali ugla jednako je udaqena od krakova ugla.

4. g)6.

7.

Proveri {ta zna{ – strana 113

1. Konstrui{i simetralu osnovice i simetralu kraka da odredi{ centar opisane kru`nice. Konstrui{i simetralu ugla pri vrhu i simetralu jednog ugla na osnovici da odredi{ centar upisane kru`nice.Simetrala osnovice i simetrala ugla pri vrhu se poklapaju.

2. Centar opisane i centar upisane kru`nice se poklapaju .

Te`i{te trougla – strana 114

5. da

7. a) A1B1 = 2,5 cm, A1C1 = 2 cm, B1C1 = 1,5 cm

b) A1B1 = 1,8 cm, A1C1 = 1,8 cm, B1C1 = 1,8 cm

Ortocentar – strana 117

4.

5. �CDA = 90°, da7.

8. Teme pravog ugla je ortocentar pravouglog trougla.

I TO JE MATEMATIKA – strana 120

1. b) 12 v) 16 g) 1, 4, 7, 10, 13…2. 15, 283. 4, 13, 9, 27

a) 16 b) 40 v) 81

127

SADR@AJ

[ta sadr`i ova kwiga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3Vodi~ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

CELI BROJEVI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61, 2, 3, kreni ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8Pojam negativnog celog broja. Skup celih brojeva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9Brojevna prava. Upore|ivawe celih brojeva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12Suprotni brojevi. Apsolutna vrednost celog broja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17Apsolutna vrednost broja. Upore|ivawe celih brojeva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22Sabirawe celih brojeva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25Svojstva operacije sabirawa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30Oduzimawe celih brojeva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34I to je matematika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37Istra`iva~ki zadatak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38Zapamti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39Mno`ewe celih brojeva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40Mno`ewe celih brojeva. Kvadrat celog broja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44Svojstva operacije mno`ewa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46Izrazi sa celim brojevima . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50Deqewe celih brojeva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54I to je matematika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58Zapamti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

TROUGAO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 601, 2, 3, kreni ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61Trougao, elementi, obele`avawe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62Odnos stranica trougla. Vrste trouglova prema stranicama . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65Unutra{wi uglovi trougla. Zbir unutra{wih uglova. Vrste trouglova prema uglovima . . . . . . . . . . 70Spoqa{wi uglovi trougla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74Odnos stranica i uglova u jednakokrakom trouglu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77Odnos stranica i uglova trougla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80Konstrukcije uglova od 30°, 60°, 120° . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83I to je matematika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86Zapamti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87Podudarnost trouglova – uvod . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88Osnovna pravila o podudarnosti trouglova – pravilo SSS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92Osnovna pravila o podudarnosti trouglova – pravilo USU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95Osnovna pravila o podudarnosti trouglova – pravila SUS i SSU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98Odre|enost i konstrukcija trougla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102Opisana kru`nica trougla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108Upisana kru`nica trougla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111Te`i{te trougla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114Ortocentar trougla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117I to je matematika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120Zapamti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121Rezultati i uputstva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

autori

ilustrovao

recenzenti

urednik

lektor

grafi~ko oblikovawe

priprema za {tampu

izdava~

za izdava~a

{tampa

tira`

copyright

Mirjana Stojsavqevi}-Radovanovi}, Qiqana Vukovi}, Jagoda Ran~i}, Zorica Jon~i}

Du{an Pavli}

dr Zorana Lu`anin, redovni profesor, Prirodno-matemati~ki fakultet u Novom Sadu

dr Zoran Lu~i}, vanredni profesor, Matemati~ki fakultet u Beogradu

dr Dragica Pavlovi}-Babi}, docent, Filozofski fakultet u Beogradu

Gordana Nikoli}, profesor, O[ „ Du{ko Radovi}“ u Beogradu

Vesna Stanojevi}, nastavnik, O[ „ 1300 kaplara“ u Beogradu

Svjetlana Petrovi}

Ivana Igwatovi}

Du{an Pavli}

Qiqana Pavkov

Kreativni centar

Gradi{tanska 8

Beograd

Tel./faks: 011/ 38 20 464, 38 20 483, 24 40 659

www.kreativnicentar.rs

mr Qiqana Marinkovi}

Publikum

7.000

© Kreativni centar 2010

MATEMATIKAuxbenik za {esti razred osnovne {kole – 1. deoprvo izdawe

Ministar prosvete Republike Srbije odobrio je izdavawe i upotrebu ovog

uxbenika u okviru uxbeni~kog kompleta za matematiku u {estom razredu

osnovne {kole re{ewem broj 650-02-00190/2010-06 od 22. 07. 2010.

CIP – Katalogizacija u publikacijiNarodna biblioteka Srbije, Beograd

37.016:51(075.2)

MATEMATIKA : uxbenik za {esti razredosnovne {kole. #Deo #1 / MirjanaStojsavqevi}-Radovanovi} … [i dr.] ;[ilustrovao Du{an Pavli}]. – 1. izd. –Beograd : Kreativni centar, 2010 (Beograd :Publikum). – 127 str. : ilustr. ; 27 cm. –(Kreativna {kola)

Tira` 7.000.

ISBN 978-86-7781-786-21. Stojsavqevi}-Radovanovi}, Mirjana[autor]

COBISS.SR-ID 177618444