6 razred - kreativni centar - udzbenik (2)

8/13/2019 6 Razred - Kreativni Centar - Udzbenik (2)

http://slidepdf.com/reader/full/6-razred-kreativni-centar-udzbenik-2 1/140



MATEMATIKAuxbenik za {esti razred osnovne {kole

drugi deo

Mirjana Stojsavqevi}-Radovanovi}, Qiqana Vukovi}Jagoda Ran~i}, Zorica Jon~i}

[TA SADR@I OVA KWIGA

UVOD U TEME

Racionalni brojevi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4– 5êtvorougao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 – 69Povr{ina ~etvorougla i trougla . . . . . . 104 –105

RACIONALNI BROJEVISkup racionalnih brojeva – skup Q . . . . . . . . 6– 11Prikazivawe racionalnih brojeva

na brojevnoj pravoj . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 – 15Upore|ivawe racionalnih brojeva . . . . . . . 16 –19Sabirawe i oduzimawe racionalnih

brojeva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 –31Mnoèwe racionalnih brojeva . . . . . . . . . . . 34 –41Deqewe racionalnih brojeva . . . . . . . . . . . . . 42 –47Jedna~ine oblika a x = b, x : a = b,

a : x = b, a x + b = c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 – 53Nejedna~ine oblika a x > b, a x < b,

x : a > b, x : a < b, a x + b > ci a x + b < c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 –63

Procenat i primena . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 –66

ÊTVOROUGAOêtvorougao. Elementi ~etvorougla . . . . . . 70 –73Zbir unutra{wih uglova ~etvorougla.

Zbir spoqa{wih uglova ~etvorougla . . 74 –76

Pojam centralne simetrije . . . . . . . . . . . . . . . . 77 –79

Paralelogram. Vrste paralelograma.Konstrukcija paralelograma . . . . . . . . . . . 80 –89Trapez. Vrste trapeza. Konstrukcije

trapeza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 –99Deltoid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 –101

POVR[INA TROUGLA I ÊTVOROUGLAPojam povr{ina ravnih figura.

Jednakost povr{ina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 –107Povr{ina pravougaonika . . . . . . . . . . . . . . . 111 –113Povr{ina paralelograma . . . . . . . . . . . . . . . 114 –115Povr{ina trougla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 –117Povr{ina trapeza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 –119Povr{ina ~etvorougla s normalnim

dijagonalama . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120 –121

I TO JE MATEMATIKA . . . . . . . . . . 32, 66, 102, 122

ISTRA@IVA^KI ZADATAK . . . . . . . . . . . . . . . 48, 123

ZAPAMTI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33, 67, 103, 124

REZULTATI I UPUTSTVA . . . . . . . . . . . . . . . . 125–132



4

RACIONALNI BROJEVI

Na~in na koji su se brojevi zapisivali moè se pratiti kroz is torijupo~ev od matematike drevnog Egipta, Vavilona, drevne Gr~ke, isto~nihcivilizacija – indijske, arapske, kineske – matematike sredweg veka,pa do dana{wih dana.

Staroegipatski matemati~ari koristili su, izuzev razlomka i ,

samo jedini~ne razlomke. To su razlomci koji u brojiocu imaju

jedinicu : , , …112

15

13

34

23

Razlomci su zapisivani tako {to se pored niza hijeroglifaza oznaku broja crtao hijeroglif u obliku usana.

O staroegipatskoj matematici saznajemo najvi{e iz Moskovskog i Ahmesovog papirusa .

Jedan zadatak na Ahmesovom papirusu glasi : Ako zbir nepoznatog broja nekih stvari i wihovesedmine iznosi 19, koliki je broj stvari?Danas odgovor na to pitawe dobijamo re{avaju}i jedna~inu . Weno re{ewe je . 133

8 x x + =1

7 19

U ovom poglavqu nau~i}e{ :

• {ta su to racionalni brojevi• kako se zapisuju, upore|uju, predstavqaju na brojevnoj pravoj• da ra~una{ sa racionalnim brojevima – da ih sabira{, oduzima{, mnoì{ i deli{.

Iz istorije matematike

broj 1 10 100 1 000 10 000 100 000 1 000 000

hijeroglif276

1249

12

14

Stari Egip}ani koristili su simbole iz prirode i ìvota za pisaweprirodnih brojeva.

Sve ostale razlomke izraàvalisu kao zbir jedini~nih razlomaka.Na primer :

45

12

15

110= + +



1 2 3 KRENI…

! Zaokruì mawi broj. 34

12

" Zaokruì ve}i broj. 54,504 54,54

# Zaokruì najmawi broj. 1 15

1 5 54

,

$ 13

23+

U zadacima od 4 do 10 izra~unaj izraz i zaokruì slovo ispred ta~nog rezultata.

a) 1 b) v) 39

36

% 34

23

a) b) v) 298

12

& 54

53

:

' 1 + 0,11a) 0,12 b) 0,21 v) 1,11

( 5,19 – 3,2a) 2,17 b) 1,99 v) 2,99

) 1,2 6a) 0,72 b) 7,2 v) 72

* 0,26 : 0,2a) 13 b) 1,3 v) 0,13

+ Izra~unaj.

1 12

12

2+

, Izra~unaj.a) 1 0 75 4

5−( ),

a) b) v) 34

2012

112

b) 100 0 1 5 12 −, :

OVO NE}EBITI TE?KO.



6

U petom razredu upoznali smo se sa skupom razlomaka. Pored t oga {to smo nau~ili da razlomke upore|ujemo, sabiramo, oduzimamo, mnoìmo i delimo, nau~ili smo i da ihpredstavqamo na brojevnoj polupravoj.Na primer :

6

SUPROTAN BROJ POZITIVNOMRACIONALNOM BROJU.SKUP RACIONALNIH BROJEVA – SKUP Q

• pozitivni razlomci• negativni razlomci• suprotni razlomci• skup racionalnih

brojeva

! Na kojoj su od prikazanih brojevnih pravih ta~kama T i P pridruènisuprotni brojevi? Zaokruì slovo ispred tog crteà.

– 2 – 1 0 1 2 3 4 5 x T P

a)

– 2 – 1 0 1 2 3 4 5 x T P

b)

– 2 – 1 0 1 2 3 4 5 x T P

0 1 2 3

x

v)

Podseti se

Brojevi 3 i – 3 jesusuprotni brojevi.

Nau~ili smo da svaki pozitivan ceo broj moèmo zapisati tak o {to }emo ispred wega

napisati znak „+“ . Na isti na~in moèmo napisati i svaki pozitivan razlomak.Na primer :

Brojevi , , … jesu pozitivni razlomci.176

1 25

12

Kao {to svakom pozitivnom celom broju pridruùjemo suprotan broj, tako i svakom pozitivnom razlomku pridruùjemo suprotan razlomak. Suprotne razlomke moèmo predstaviti na brojevnoj pravoj.Na primer :

Ta~ke pridruène me|usobno suprotnim razlomcima, na primer : i , i , nalazese sa raznih strana ta~ke O(0) i na istom su rastojawu od we.

Brojevi , … jesu negativni razlomci.

Svaki negativni razlomak, kao i svaki negativan ceo broj, zapisujemo tak o {to ispred wegapi{emo znak „ – “.

−134− 1

2

−134

134− 1

212

POZITIVNI I NEGATIVNI RAZLOMCI

12

1 13

176

– 2 – 1 0 1 2 3

x

−134 −

12

12 1

34

, , …1 25

1 25= +17

6176= +1

212= +



" Iz skupa izdvoj podskup negativnih razlomaka.4 112

7 56

23

35

2 49

, , , , ,− − −{ }

# Upi{i znak ili tako da dobije{ ta~no tvr|ewe.

a) .......... Q + b) –37 .......... Q v) .......... Q – g) .......... Q d) .......... Q + |) ..........−229−22

95 2

3117

67

$ Dat je skup A = .

a) Napi{i podskup negativnih racionalnih brojeva.

b) Napi{i podskup pozitivnih racionalnih brojeva.

v) Koji su brojevi iz skupa A me|usobno suprotni? Napi{i ih.

% Koji broj je suprotan broju ? Zaokruì slovo ispred ta~nog odgovora.5

6

& Popuni prazna poqa u tabeli.

Skup pozitivnih racionalnih brojeva ~ine

svi pozitivni razlomci. Obeleàvamo ga sa Q +.Skup negativnih racionalnih brojeva ~inesvi negativni razlomci. Obeleàvamo ga sa Q – .Skup racionalnih brojeva jeste skup koji ~ine svi pozitivni racionalni brojevi, nula i svi negativniracionalni brojevi. Ozna~avamo ga sa Q .

Q = Q – {0} Q +

SKUP RACIONALNIH BROJEVA

Definicija suprotnih brojeva u skupu Z vaì i u skupu Q .Za svaki broj a Q brojevi a i – a su suprotni brojevi.

SUPROTNI BROJEVI

Q 0

Q – Q +

broj + 611 −5

3 2 5

9 −16

suprotanbroj

Da ti kaèm

Suprotan broj pozitivnombroju jeste negativan broSuprotan broj negativnobroju jeste pozitivan bro

a) b) v) 65−6

5−56

–a 0 a x



8

' Zaokruì slovo ispred crteà na kojem su ta~kama A i B pridruèni suprotni brojevi.

( Svakom od datih brojeva napi{i suprotan broj.

1 0,5 – 12,45 −29

3 57−3

2

) Zaokruì slovo ispred ta~ne jednakosti.

a) – 4 = b) – 4 = v) – 4 = −328−8

4− 832

* Zapi{i dati broj u obliku razlomka ~iji je imenilac 3.

a) 9 b) – 30 v) – 5 g) 0

+ Date brojeve napi{i u obliku razlomaka.

0,9 – 1,01 – 3,75 – 2,125

a)

b)

v)

– 2 – 1 0 1 2 3 x

23

32

B A

– 2 – 10 1 2 3

x

−23 32

B A

– 2 – 1 0 1 2 3 x

−32

32

B A

Svi brojevi koji se mogu napisati u obliku razlomka pripadaju skupu Q .

Na primer :

0,5 = –1,2 = – 5,14 =

Skupu racionalnih brojeva pripadaju prirodni i celi brojevi jer se mogunapisati u obliku razlomka.

0 01

02

03= = =− = − = − = −2 2

142

84

7 71

142

213= = =

−1210

−5 14100

12

! Dati su brojevi:

; –0,05; 4; ; – 101; . Prepi{i negativne racionalne brojeve.135−2

79

54

" Napi{i suprotne brojeve datim brojevima. 7 – 25,7 0,032 59−3 2

5245

# Napi{i tri pozitivna racionalna broja mawa od 5.

$ Napi{i tri negativna racionalna broja.

% Brojeve 3; – 5,8; –1,45 napi{i u obliku razlomaka.

Proveri {ta zna{

HE, HE, HZNA M !



SKUP RACIONALNIH BROJEVA • racionalan broj je koli~nik dvacela broja

! U prazna poqa upi{i ili tako da dobije{ ta~na tvr|ewa.

– 12 ........... N ........... Z ........... Q ........... Q – ........... Q + 0........... Q 4

2−3 34

12

343

" U tabeli zaokruì DA ako su suprotni brojevi ta~no odre|eni, a ako nisu, zaokruì NE.

$ Ako je p = i q = – 0,6, izra~unaj :

a) –p b) –q v) – (–p) g) – (–q)

89

% Decimalni broj – 1,2 napisan u obliku razlomka je :

a) b) v) g)

Zaokruì slovo ispred ta~nog odgovora.

−1 150−1 1

5− 12100− 1

2

& Od datih brojeva zaokruì onaj koji je jednak .

a) – 2,5 b) – 2,15 v) – 2,2 g) – 2,02

−2 15

' Poveì suprotne brojeve.

broj 0,75 −2 12

1,2 – 45

suprotan broj +34 +5

2 −56

1353

DA NE DA NE DA NE DA NE

Podset

– (– 2– (+2

( Poveì jednake brojeve.

45

32 −27

362

02 − 8

10

– 3 – 1,5 9 0

−1110 − 3

10 −135

– 2,6 – 1,1

– 2,75

−35 −11

4

− 610

– 0,3

# Izra~unaj.

a) b) – (– 0,34 ) v) – (+12,6 ) g) − +( )7 19− −( )2

3



10

U prvom poglavqu ovog uxbenika upoznali smo se sa skupom celih brojeva. Nau~ili smoda ra~unamo sa celim brojevima : da ih sabiramo, oduzimamo, mnoìmo i delimo.Zbir, razlika i proizvod celih brojeva, kao i prirodnih, uvek je ceo broj. Problem nastaje kod deqewa. Koli~nik dva cela broja moè biti ceo broj. K ada rezultat deqewa

nije ceo broj, moèmo ga zapisati u obliku racionalnog broja.Na primer :

8 : (– 2) = – 4 5 : (–2) =

Za a N 0 , b N vaè jednakosti :

• Pokaìmo da vaì jednakost .

Svaki razlomak moèmo napisati kao koli~nik brojioca i imenioca = –a : b.

Prema pravilu deqewa celih brojeva, vaì :

–a : b = – (a : b), odnosno – (a : b) = . Zakqu~ujemo da je .

• Moèmo pokazati da je na sli~an na~in :

= a : (–b) i a : (–b) = – (a : b), to jest – (a : b) = . Zakqu~ujemo da je .

• Kada delimo dva negativna broja, moèmo formirati niz jednakosti :

= –a : (–b) = + (a : b) = a : b =

2−

b−−b

ab

ab− = −a

b−ab−

ab

ab− = −

− = −ab

ab−a

b

ab−

− = −ab

ab

−− =a

bab

ab

ab− = −− = −a

bab

RACIONALAN BROJ KAO KOLI^NIK DVA CELA BROJA

Formule : −− =a

bab

ab

ab− = −− = −a

bab

primewujemo na slede}i na~in :−− =6

565

65

65− = −− = −6

565

) U tabeli zaokruì DA ako je jednakost ta~na ili NE ako jednakost nije ta~na.

0 Zapi{i koli~nik u obliku racionalnog broja, kao {to je zapo~eto.

a) b) v) – 4 : 5 g) (– 4) : (– 5)

3 : 2 12 : (– 7) – 7 : 8 – 7 : (– 2)

4 5 45

45

: −( ) = − = −4 5 45

: =

− =59

59

− = −3

232

47

47− = − −

− = −115

115

− = −14

14 − = − −( )2

32

3

DA NE DA NE DA NE DA NE DA NE DA NE



+ Odredi znak razlomka i napi{i odgovaraju}u jednakost kao {to je zapo~eto.

a) b) v) g) − −82

−53

12−

−− =4

949

, Ako broj pripada nekom od navedenih skupova, u prazno poqe tabele upi{i , kao {to je zapo~eto.

- Svaki od datih brojeva upi{i u odgovaraju}ideo Venovog dijagrama.

3,7 0 15 56 –2 135−4

91217

. Koje je tvr|ewe ta~no?• Prirodni brojevi su racionalni brojevi.• Celi brojevi nisu racionalni brojevi.• Negativni razlomci ne pripadaju skupu racionalnih brojeva.• Skup racionalnih brojeva jeste unija skupa pozitivnih i negativnih razlomaka.

/ Zaokru`i slovo ispred ta~no prikazanog Venovog dijagrama skupova N , Z , Q .

– 7 59 0 409,9 −7 1

9 – 0,078 11 000

N

Z +

Z –

Z

Q +

Q –

Q

r a c i o n a l n i b r o je v i

c e l i b r o je vi

p r i r o d n i b r o je v i

Z N Q Q Z N N Z Q N Q Z

a) b) v) g)

! Napi{i suprotne brojeve datim brojevima. 10,2 – 0,17 132−1 7

11−59

" Ako je ; b = – 100,7; , odredi : –a ; –b ; –c .c = −5 13a = 9

5

$ Zapi{i koli~nik u obliku racionalnog broja. a) – 1 : 10 b) 5 : (– 7) v) – 3 : (– 4)

# Koji od datih brojeva pripadaju skupu Z – , Q – ili Q +? – 5 0 3,4 53,8−2 35

47

Proveri {ta zna{

12

−32

32

PRIKAZIVAWE RACIONALNIHBROJEVA NA BROJEVNOJ PRAVOJ

• racionalni brojevi nabrojevnoj pravoj

• apsolutna vrednostracionalnog broja

! Na vremenskoj lenti pribli`no obeleì godinu slede}ih pronalazaka, kao {t o je zapo~eto.1454. god. Gutenberg je izumeo {tamparsku presu.1565. god. Konrad von Gesner, {vajcarski doktor, izmislio je grafitnu olovku.1656. god. Matemati~ar Kristijan Hajgens konstruisao je prvi sat s klatnom.

Tada je to bio izuzetno precizan sat – kasnio je ili ùrio samopet minuta na dan.

1938. god. Xorx Biro napravio je prvu hemijsku olovku.

" Odredi koordinate ta~aka A, B, C, D.

# Obeleì ta~ke , B i C na brojevnoj polupravoj.1 12( )10

4( ) A 38( )

$ Izme|u kojih se uzastopnih celih brojeva nalaze brojevi:

; ; ; ; ; ?Napi{i odgovaraju}e nejednakosti kao {to je zapo~eto.

32 −

32 −

14

114 −

114

14

– 1 0

0 1 2 3

1 2

x

x

A BC D

– 3 – 2 – 1 0 1

x

2 3

Broj je ve}i od 1, a mawi od 2, t o jest .

Suprotan broj broju je i on je ve}i od – 2,

a mawi od – 1, to jest – .

32

< − < −2 32

1

−32

1 32

2< <32

– 2 – 1 0 1 2

32

−32 − 1

414

2 < < 3; –3 < < –2−114

114

1400 1450 1500 1550 1600 1650 1700 1750 1800 1850 1900 1950 2000 2050

−114

114

{tamparska presa grafitna olovka sat s klatnom hemijska olovka

% a) Prikaì na brojevnoj pravoj brojeve : , , .

b) Koristi {estar, pa na istoj brojevnoj pravoj prikaì brojeve : , , .

v) Odredi uzastopne cele brojeve izme|u kojih se nalaze brojevi : ; ; .

72

1 12

12

− 12 −1 1

2 −72

−1 12 − 1

2 −72

56

0– 1– 2– 3– 4– 5 1 2 3 4 5

Odredimo, na primer, ta~ku na brojevnoj pravoj.

Duìna jedini~ne duì na datoj brojevnoj pravoj je 21 mm .

Prvi na~in

Odredimo prvo ta~ku . Ona se na brojevnoj pravoj

nalazi izme|u ta~aka O(0) i A(1) jer je .

Koordinate ta~aka B i C, brojevi i , jesu suprotni

brojevi.

Drugi na~inTa~ka B nalazi se izme|u ta~aka A1 (– 1) i O(0) jer je

.

Du` A1O delimo na tri jednaka dela.Odbrojavamo dva dela po~ev{i od ta~ke O nalevo.

Koordinata ta~ke B je .

Kao i broj , tako i svaki racionalan broj moèmo

da predstavimo na brojevnoj pravoj.

−23

−23

− < − <1 23

0

−23

23

0 23

1< <

23( )

B −( )23

PRIKAZIVAWE RACIONALNIH BROJEVA NA BROJEVNOJ PRAVOJ

– 1 0

O AC

123

– 1 0

O AB

B A1

C

123−2

3

– 1 0 1O

−23

Da ti kaèm

Moè{ da koristosobine suprotnbrojeva.

& Dati su brojevi : , , , , , . Izme|u kojih se uzastopnih celih brojeva nalazi

svaki od wih? Upi{i ih u odgovaraju}a prazna poqa, kao {to je zapo~eto.

−115−21

6114−7

8−1 45

56



14

Da ti kaèm

' Na brojevnoj pravoj (duìna jedini~ne duì je 2,4 cm ) odredi i obeleì ta~ke :

a)

b)

v) −56

R −

( )3

8

M −( )12

( Na brojevnoj pravoj odredi i obeleì ta~ku . T −( )2 12

) Na brojevnoj pravoj prikaì brojeve : , , , .−114−3 1

4−74−3

4

* a) Na brojevnoj pravoj obeleì ta~ke pridruène brojevima – 5,5 i 0,8.

+ a) Odredi ta~ke , B(–1,6 ), na brojevnoj pravoj:C −94

A 14

b) Koliko se celih brojeva nalazi izme|u – 5,5 i 0,8?

b) Koordinate ta~aka A1, B1 i C1 jesu suprotni brojevi koordinatama ta~aka A, B i C.Odredi i obeleì ta~ke A1, B1 i C1 na brojevnoj pravoj.

– 2

– 2

– 2 – 1 0 1 2

– 1 0 1 2

– 1 0 1 2

– 1– 2– 3– 4 0 1 2 3 4

0– 1– 2– 3 1 2 3

– 1– 2– 3 1

D C

0 1

Ta~ka na brojevnoj pravoj

nalazi se izme|u ta~aka D(– 3) i C(– 2)

T −( )2 12



, Izra~unaj apsolutne vrednosti brojeva :

1,4 – 1,4 – 34,7 .175−2 5

8− 12

- Popuni tabelu.

• Apsolutna vrednost svakog racionalnog broja razli~itog od broja 0 jestepozitivan broj.

• Suprotni brojevi imaju jednake apsolutne vrednosti, jer su ta~ke ~ije sukoordinate suprotni brojevi jednako udaqene od koordinatnog po~etka.Na primer :

APSOLUTNA VREDNOST RACIONALNOG BROJA

– 3 – 2 – 1 1 1,50 2

x

−2 34

|1,5 | = 1,5|1,5 | B A

0−32

32

a 1,2 3 25

–a 5

63,25

|a |

! a) Na brojevnoj pravoj odredi i obele`i ta~ke : , , , .

b) Koje ta~ke imaju za koordinate suprotne brojeve?

D −( )116

C −( )32

B 1 56( ) A 2

3( )

" Odredi izme|u kojih se celih brojeva nalaze brojevi:

, , .−132−

89

43

# Na brojevnoj pravoj prika`i brojeve : 0,8; ; – 1,5; .−2410−4

5

$ a) Izra~unaj |– 3,5 | i |+8 |.b) Koliko se celih brojeva nalazi izme|u |– 3,5 | i |+8 |?

Proveri {ta zna{

| |= 2 34−2 3

4

x

• Apsolutna vrednost racionalnog broja q je, kao i kod celog broja,rastojawe od ta~ke s koordinatom q do koordinatnog po~etka.Na primer :

| |−2 34

| |=

| | = 3

2

3

2−3

2

16

• ve}i racionalan broj• mawi racionalan broj

! U tabeli su date najvi{e i najniè dnevne temperature u Beogradu , izmereneu tre}oj nedeqi novembra. Temperature su izraène u ° C.

" Na osnovu crteà u prazna poqa upi{i znak > ili < tak o da dobije{ ta~ne nejednakosti.

$ Uporedi brojeve i napi{i odgovaraju}u nejednakost.

a) 0 i – 22 b) i 0 v) i g) i .−114

23

67−16

74 1

2

# a) Na brojevnoj pravoj obeleì ta~ke koje odgovaraju brojevima :

3,5; – 1; 0; – 3; 4.

a) Kog je dana zabeleèna najnià temperatura?

b) Kog je dana zabeleèna najvi{a temperatura?

UPORE\IVAWE RACIONALNIHBROJEVA

PON. UT. SRE. ÊT. PET. SUB. NED.

najnià temperatura 3,2 2,6 – 0,4 – 2,8 – 5,2 – 4 – 2,4

najvi{a temperatura 6,4 8 5,8 3,2 0 – 1,4 2

– 3 –2 – 1 10 2 – 5 –4 – 3 – 1– 2 0

– 4 – 3 – 2 0–1 1 – 1 0− 12

12

– 2 1

10

0 – 4

– 41

20− 1

2

Podseti se

Svaki pozitivanbroj i nula ve}isu od bilo kognegativnog broja.

– 5 < – 3Ta~ka koja je pridruènabroju – 5 na brojevnojpravoj nalazi se levo odta~ke koja je pridruènabroju – 3.

– 5 –4 – 3

b) Date brojeve napi{i u poretku od najve}eg do najmaweg.

& Koriste}i brojevnu pravu, uporedi brojeve i zaokruì ve}i :

a) i

b) i – 1

v) – 1,5 i – 3

−74

114−2 1

2

' Prikaì brojeve na brojevnoj pravoj, uporedi ih i napi{i odgovaraju}u nejednak ost.

a) – 2,3 i –1,9

b) – 0,4 i – 0,7

% a) Prikaì brojeve iz skupa A na brojevnoj pravoj. Duìna jedini~ne duì je 1,5 c= − − −{ }3 73

73

15

, , ,

b) Upi{i odgovaraju}e brojeve iz skupa A tako da nejednakosti budu ta~ne.

2 <........

– 3 <........

< – 2 – 1 <........

< 0

Za svaka dva racionalna broja a i b vaì samo jedno tvr|ewe :

a b.Na crteìma su obeleène ta~ke A(a) i B(b), gde su brojevi a i b wihove koordinate.

Broj a je mawi od broja bako je ta~ka A(a) na brojevnoj pravoj levood ta~ke B(b).

Na primer : − < −32

23 Na primer :

12

24= Na primer : − > −1

334

Broj a je jednak broju bako im na brojevnojpravoj odgovara istata~ka.

Broj a je ve}i od broja bako je ta~ka A(a) na brojevnoj pravoj desnood ta~ke B(b).

UPORE\IVAWE RACIONALNIH BROJEVA KORI[]EWEM BROJEVNE PRAVE

ba

0

– 3 – 2 – 1 0 1 2 3 4

– 3 – 2 – 1 0 1 2 3 4

– 3 – 2 – 1 0 1 2 3 4

–3 – 2 – 1 0 1 2

–3 – 2 – 1 0 1 2

– 2

A(a) B(b)

a = ba b

A(a) = B(b)

b a

A(a)B(b)

−32 −

23– 1

10=

2

4

1

2 0– 1 −13−

34

A −( )32 B −( )2

3 B −( )34 A −( )1

3= B 24( ) A 1

2( )

– 2– 3– 4 – 1 0 1 2 3 4

18

U petom razredu nau~ili smo da upore|ujemo pozitivne racionalnebrojeve.Upore|ivawe negativnih racionalnih brojeva mo`emo svesti naupore|ivawe pozitivnih tako {to }emo odrediti wihove apsolutne

vrednosti i uporediti ih, kao {to smo nau~ili kod upore|ivawa negativnih celih brojeva.

• Od dva negativna racionalna broja mawi je onaj ~ija je apsolutna vrednos t ve}a.• Svaki negativan racionalan broj mawi je od svak og pozitivnog racionalnog broja.• Svaki negativan racionalan broj mawi je od nule. S vaki pozitivan racionalan broj

ve}i je od nule.

a b 0

( Uporedi i napi{i odgovaraju}e nejednakosti :

a) |– 1,5 | i |– 10,2 | b) |– 1,2 | i |– 0,8 | v) |– 4,8 | i |– 4,5 | g) |– 7,35 | i |– 7,29 |– 1,5 i – 10,2 – 1,2 i – 0,8 – 4,8 i – 4,5 – 7,35 i – 7,29.

) Uporedi brojeve i napi{i odgovaraju}e nejednakosti :

a) – 251,01 i 0 b) – 21,8 i – 21,96 v) – 0,359 i – 0,395

PRAVILA ZA UPORE\IVAWE DVA RACIONALNA BROJA

P RIMER

P RIMER

|a ||b|

prvi korak

drugi korak

tre}i korak

a < 0, b < 0 i |a| > |b|a −19

59

−19

19

59<

−59−1

9

−1 1

5−32−

59−

19

OVO NE}EBITI TE?KO.

Uporedi brojeve – 5,2 i –4,8.

Prvi korak Odre|ujemo wihove apsolutne vrednosti : |– 5,2 | = 5,2 i |– 4,8 | = 4,8

Drugi korak Upore|ujemo apsolutne vrednosti : |– 5,2 | > |– 4,8 |, zato {to je 5,2 > 4,8

Tre}i korak Zakqu~ujemo : – 5,2 < – 4,8

b) | | i | |

| |> | |−1 15

= 1 15= 3

2

−32

1510

1210>

− < −32 1 15

1 15

65

1210= =3

21510=

−1 15−3

2

* Zaokruì DA ako je nejednakost ta~na ili NE ako je nejednakost neta~na.

+ Zaokruì slovo ispred niza brojeva koji su pore|ani od najmaweg ka najve}em.a) , , ,

b) , , ,

v) , , , 411− 3

11− 511− 6

11

− 611− 5

114

11− 311

− 611− 5

11− 311

411

- Zaokruì ve}i broj.

a) – 1,5 b) – 0,25 −15

32

prvi korak

drugi korak

tre}i korak

− > −14

1 − < −911

1011 − > −13

818 − > −2 1

2

DA NE DA NE DA NE DA NE

! a) Na brojevnoj pravoj obeleì ta~ke koje odgovaraju brojevima :

, , , , ,

b) Date brojeve pore|aj od najmaweg do najve}eg.v) Koji su od datih brojeva me|usobno suprotni? Napi{i ih.

−2 1

3

2

61 1

6−1

3−7

6

2

3

" Koji je broj ve}i :

a) ili b) – 0,34 ili 0 v) ili g) ili ?−3 56 −9

2 −65−13

413−1 1

2

Da ti kaèm

Razlomke nejednak imenilacaupore|ujemo tako{to ih prvo svedemna isti imenilac.

Decimalni brojmoè{ napisatiu obliku razlom

Proveri {ta zna{

, Uporedi brojeve :

a) i b) i v) i .−297−4 2

5−175−2 2

3−58−3

4



20

! Ako ta~no re{i{ zadatke i u prazna poqa upi{e{odgovaraju}a slova iz kqu~a, dobi}e{ re~.

a) – 81 + 98

b) 24 – 31

v) – 97 – 20

g) 156 – 163

d) – 56 + 29

|) – 14 – 33

" Nastavi da ra~una{ kao {to je zapo~eto.

a) – 5,8 + (–3,1 ) = – (5,8 +3,1 ) = – 8,9 b) – 12,5 + (– 8,7 ) v) – 0,4 + (– 4,64 ) g) – 4,12 + (– 0,12

• zbir dva decimalnabroja istog znaka

• zbir dva decimalnabroja razli~itogznaka

• razlika dvadecimalna broja

R I Z F A K

– 17 – 7 – 117 17 – 47 – 27

To moèmo da zapi{emo koriste}i formule.• Zbir dva pozitivna racionalna broja :

+ p + (+q) = p + q, za p, q Q +

• Zbir dva negativna racionalna broja :

– p + (–q) = – (p + q), za p, q Q +

ZBIR DVA RACIONALNA BROJA ISTOG ZNAKA

Kada sabiramo dva racionalna broja istog znaka, sabiramo wihoveapsolutne vrednosti i u rezultatu zadràvamo znak sabiraka.

U skupu racionalnih brojeva, kao i u skupu celih brojeva, vaì :

• zbir dva pozitivna racionalna broja je pozitivan broj• zbir dva negativna racionalna broja je negativan broj.

Izra~unaj.– 3,2 + (– 15,1 )

– 3,2 + (– 15,1 ) = – (3,2 + 15,1 )= – 18,3

P RIMER

sabiramo brojeve 3,2 i 15,1i zadràvamo znak „ – “

Da ti kaèm

Moè{ da sabira{i potpisivawem.

3,2+ 15,1

18,3

SABIRAWE I ODUZIMAWE RACIONALNIHBROJEVA – DECIMALNI ZAPIS

Neka su brojevi p, q Q + .

• Ako je p > q, vaì :

p + (– q) = p – q–q + p = p – q

ZBIR DVA RACIONALNA BROJA RAZLIÎTOG ZNAKA

Kada sabiramo dva racionalna broja razli~itog znaka, oduzimamo od ve}e apsolutnevrednosti mawu i u rezultatu zadràvamo znak broja ~ija je apsolutna vrednos t ve}a.

# Koja je jednakost ta~na?a) – 12 + (– 15,6 ) = 27,6 b) – 5,7 + (– 2,4 ) = – 7,11 v) – 17 + (– 2,8 ) = – 19,8

$ Izra~unaj.a) 78,21 + 21 b) – 56 + (– 34,44 ) v) – 7,78 + (– 2,12 )

% Nastavi da ra~una{ kao {to je zapo~eto.

a) – 11,5 + 9 = – (11,5 – 9) = –2,5 b) 0,2 + (– 1,2 ) v) – 34,6 + 15,2 g) 4,1 + (– 5,7 )

kako je 2,8 > 0,6, rezultat je pozitivani ra~unamo razliku 2,8 – 0,6

kako je 0,5 > 0,3, rezultat je pozitivani ra~unamo razliku 0,5 – 0,3

kako je 8,5 > 5,2, rezultat je negativani ra~unamo razliku 8,5 – 5,2

kako je 18,5 > 15,2, rezultat je negativan

i ra~unamo razliku 18,5 – 15,2

Da ti kaèm

Moè{ da oduzimai potpisivawem.

2,8– 0,6

2,2

Izra~unaj. a) 2,8 + (– 0,6 ) b) – 0,3 + 0,5 v) 5,2 + (– 8,5 ) g) – 18,5 + 15,2

P RIMER

• Ako je p < q, vaì :

p + (–q) = – (q – p)–q + p = – (q – p)

a) 2,8 + (– 0,6 ) = 2,8 – 0,6= 2,2

b) – 0,3 + 0,5 = 0,5 – 0,3= 0,2

v) 5,2 + (– 8,5 ) = – (8,5 – 5,2 )= – 3,3

g) –

18,5 + 15,2 =– (

18,5–

15,2)= –3,3

& Stawe na Nadinom teku}em ra~unu je – 2 837,58 dinara. Nada je uplatila3 000 dinara. Koliko je stawe na wenom ra~unu posle uplate?

' Izra~unaj.

a) – 2,3 + 5 b) 7,1 + (–4,9 ) v) 13,45 + (– 2,5 ) g) – 145 + 45,5 d) 40 + (– 37,8 )



22

+ Popuni prazna poqa u tabeli.

, Nastavi da ra~una{ kao {to je zapo~eto.

a) – 11,7 – 3,5 = – 11,7 + (– 3,5 ) = – (11,7 + 3,5 ) = – 15,2

b) 3,1 – 5,8 = 3,1 + (– 5,8 )v) – 9,4 – 0,6

) Nastavi da povezuje{ kao {to je zapo~eto.

* Zbir brojeva – 45,5 + (–5) je :

a) – 40,5 b) – 45,55 v) – 50,55 g) – 50,5

Koji je odgovor ta~an?

4,8 + 0,5

– 5,3 –4,13 5,3 – 4,3 4,3

– 4,8 + 0,5 –4,8 + (– 0,5 ) 4,8 + (– 0,5 )

a 5,7 – 0,83 5,05 – 8 13,901

b 0,3 10,45 – 7,7 – 15,2 – 13,901

a + b

Za p, q Q va`i da je :

p – q = p + (– q)

Na primer :

– 8,8 – 1,1= – 8,8 + (– 1,1 ) = – (8,8 + 1,1 ) = – 9,9

Racionalne brojeve p i q oduzimamo tako {to broju pdodajemo suprotnu vrednost broja q.

RAZLIKA DVA RACIONALNA BROJA

( Popuni prazna poqa u tabeli.

a 3,2 0 – 11,9 2,8

a + (– 2,8 )

Podseti se

Zbir dva suprotna broja je broj 0.Zbir nule i bilo kog broja jestetaj broj.

- Razlika 23,7 – 30,7 jeste broj :

a) +7 b) – 7 v) – 54,4 g) 54,4


. Izra~unaj.

a) 125 – 100,5 b) 4,2 – 3,7 v) – 20,1 – (– 0,1 ) g) – 1 – (– 0,9 )

/ Nastavi da povezuje{ kao {to je zapo~eto.

: Popuni prazna poqa u tabeli.

< Najve}a dnevna temperatura izmerena u novembru u gradu Bademovcu je – 9,4° C.Do pono}i se temperatura spustila jo{ za 6,8° C. Kolika je temperatura bilau Bademovcu u pono}?

; Najvi{a ta~ka na Zemqi je vrh Sagarmata na planini Mont Everest. Nalazi se na nadmorskojvisini od 8,848 km . Najni`a ta~ka je nivo Mrtvog mora, koji se nalazi na najdmorskoj visiniod – 0,418 km . Kolika je razlika u visini izme|u najvi{e i najni`e ta~ke na Zemqi?

– 2,2 – 10,8

13,2 – 28 – 13 28 0 – 13,2

– 3,5 + 3,5 –20,6 – 7,4 – 24,8 + 38 45,9 – 59,1

a 6 – 0,08 – 13,5 – 8,8 0,01

b 0,7 0,48 17,7 – 1,2 – 0,01

a – b



24

= Na osnovu meteorolo{kog izve{taja izra~unajtemperature u Novom Sadu, Subotici, Zrewaninu,Kragujevcu i Ni{u.

Temperatura u Beogradu je – 5,2° C.U Novom Sadu je nià za 1° C nego u Beogradu.

U Subotici je za 2,6° C nià nego u Novom Sadu.U Zrewaninu je za 1,8° C vi{a nego u Subotici.U Kragujevcu je za 3,4° C vi{a nego u Zrewaninu.U Ni{u je za 2° C vi{a nego u Beogradu.

Upi{i podatke u grafikon kao {to je zapo~eto.

> U tabeli je prikazano kretawe evra u dinarskoj protivvrednostiod 7. 12. do 12. 12. 2008. godine. U tabeli znak „ – “ zna~i da je

prethodna vrednost evra opala, a „+“ da je vrednost porasla.

0

– 2

–4

– 6

– 8

– 10

B e o g r

a d

– 5,2° C

dani vrednost evra promena vrednosti evra

nedeqa 89,4884 nema promene

ponedeqak 86,2667 – 3,2217

utorak – 1,5082

sreda – 0,7447

~etvrtak +1,267

petak +0,7666

a) Kolika je bila vrednost evra u ~etvrtak?

b) Kog je dana u nedeqi evro imao najve}u vrednos t u dinarima?

! Izra~unaj.a) 2,3 + 1,1 b) – 2,3 + 1,1 v) 2,3 – 1,1 g) – 2,3 – 1,1

" Izra~unaj.a) 45,7 – 45,7 b) – 9,9 – 9,9 v) – 4,5 + 4,5 g) +112,3 + 112,3

" Izra~unaj.a) 7 – 5,7 b) – 3,81 – 10 v) – 90 + 2,7 g) 40,3 – 12,8

Da ti kaèm

Za re{avawe ovogzadatka moè{ koristiti digitron.

Proveri {ta zna{



! U kineskom restoranu kuvarMao Tao skuvao je l supe. Koliko

jo{ supe Mao Tao treba da dodada bi pripremio jelo po receptu?

a) l b) l v) 2l12

14

12

• zbir i razlikarazlomaka istihimenilaca

• zbir i razlikarazlomaka razli~itihimenilaca

SABIRAWE I ODUZIMAWERACIONALNIH BROJEVA– ZAPIS OBLIKA

PI LETINA S KIKI RIKI JEM

• 300 g pile } eg belog mesa• 1 glavica crnog luka

• l pile]e supe

• dl soja sosa• 2 do 3 ka/ike uqa

• 50 g kikirikija

110

34

U petom razredu nau~ili smo da sabiramo pozitivne razlomke. Ista pravila vaèi za racionalne brojeve.• Racionalne brojeve u obliku razlomaka jednakih imenilaca sabiramo ili

oduzimamo tako {to imenioce prepi{emo, a sabiramo ili oduzimamo brojioce.

• Racionalne brojeve razli~itih imenilaca sabiramo ili oduzimamo tako{to ih pro{irivawem dovodimo na jednake imenioce, a zatim dobijene brojioce sabiramo ili oduzimamo.

Brojioce sabiramo ili oduzimamo po pravilima koja vaè za sabirawei oduzimawe celih brojeva.

ab

cb

a cb+ = + a

bcb

a cb− = −

" Nastavi da ra~una{ kao {to je zapo~eto.

a)

b)

v)

g) − + −( )59

79

− +23

73

− + −( ) = − + − = − + −( ) = =14

–4–1

434

14

34

1 3

4

25

45

25

45

2 45

25

25+ −( ) = + − = + −( ) = − = −

ab

Da ti kaèm

Rezultat moè{napisati i u oblikume{ovitog broja.

− = −45

45

SABIRAWE I ODUZIMAWE RACIONALNIH BROJEVA ZADATIHU OBLIKU RAZLOMAKA

(a, b, c Z , b ≠ 0)



26

# Saberi razlomke.

a) b) v) g) − + −45

35

23

13+ −− +9

757

16

76+

$ Izra~unaj.

a) b) v) 4 12+ −( )− + −( )1

3 3− +2 3

5

% Izra~unaj.

a) b) v) −( ) + −( )2 13

3 23

1 27

57+ −( )3 1

212+

& Nastavi da ra~una{ kao {to je zapo~eto.

a) b) v) 1

2

3

5+ −

( )− + = − +3

4

2

3

9

12

8

12

3

4

5

8

6

8

5

8+ = + = 11

8

' Koliki je zbir brojeva ?

a) b) 0 v)

Koji odgovor je ta~an?

− +25

410

−45

810

Podseti se

− = −2 105

Da ti ka`em

Prvo me{oviti brojpretvori u razlomak.

312 =

( Izra~unaj.

a) b) v) g) − +72

5− + −( )2 12

610

35+ −( )− +1 1

2

) Izra~unaj.

a) b) v) g)− + −2 12

3 13

− +1 23

2 16− +2 1 2

7 − +4 26

3 13

* Izra~unaj.

a) b) v) g) − + + −( )5 23

56− + + −( )1

2 2 3

4− + + −( )137

57

27

311

511

911+ −( ) +

+ Izra~unaj kao {to je zapo~eto.

a) b) v) 56

16

5 16− − = − −( )− − = − −4

535

4 35

59

79

5 7 –29 9− = − = 2–

9=

, Izra~unaj.

a) b) v) g) d)5 12− −( )− −3 2

313− −7

959

56

13− −( ) − −2 1

423



- Pretvori decimalne brojeve u razlomke i izra~unaj.

a) b) − − −( )23

1 5,− −0 2 35

,

. Izra~unaj.

a) b) v)

g) d) |) − + −( )4 1 1 56

,4 3 1 35

, + −( )− +3 5 4 38

,

2 2 1 4

5, − −

( )− + −

( )4 1 1

2− −1 1

4

2

3

Da ti ka`em

U zadatku pod |) decimalni broj zapi{iu obliku razlomka.

/ Broju – 5,3 dodaj broj . Koji izraz odgovara tekstu?

a) b) v)− + −( )5 3 34

, − +5 3 34

,5 3 34

, −

−34

: Od broja 4,7 oduzmi broj . Koji izraz odgovara tekstu?

a) b) v)

−35

− −35 4 7, 4 7

35, − −( )4 7

35, −

; Od velikog koluta sira parmezana prodata je lokalnom restoranu, piceriji, 14

13

a jo{ lokalnom stanovni{tvu. Koji je deo sira ostao neprodat?13

! Izra~unaj.

a) b) v) g) 59

39− −( )− −59 39− +59 395

939+ −( )

" Izra~unaj.

a) b) v) g) − +4 2 67− − −( )1 1

6 1 4

5− +1 1

223

98

54−

# Izra~unaj.

a) b) v) g) d)− −34

0 25,3 6 4 12

, − − −2 12

1 47 − +3 5

6 2 1

8 − −179

2 34

Proveri {ta zna{

Italijanski grad Parma poznat je po proizvodwi sirazvanog parmezan . To je kvalitetan tvrdi sir izuzetno

jakog ukusa.Ovaj sir obi~no se isporu~uje u velikim kolutovimakoji mogu biti te{ki i do 100 kg.

Parmezan



28

SVOJSTVA OPERACIJE SABIRAWA

! Popuni prazna poqa u tabeli kao {to je zapo~eto.

" Nastavi da povezuje{ kao {to je zapo~eto.

• svojstvo komutacije• svojstvo asocijacije

• zbir suprotnihbrojeva

• zbir racionalnogbroja i nule

+ – 3,5 0 − 1

21

3,5 0 3,5

0

− 12

1

Zbir dva racionalna broja je racionalan broj.Za sabirawe racionalnih brojeva va`e ista svojstvakao i za sabirawe celih brojeva :

• svojstvo komutacije (zakon komutacije)p + q = q + p, za p, q Q

•

svojstvo asocijacije (zakon asocijacije)p + (q + r ) = (p + q) + r , za p, q, r Q

• zbir suprotnih brojeva je nulap + (–p) = –p + p = 0 , za p Q

• zbir racionalnog broja p i nule jeste broj pp + 0 = 0 + p = p, za p Q

SVOJSTVA OPERACIJE SABIRAWA

– 2,2 + 0,8− + −( )3 2 45,

2 14 0 6− , − + −( )4

5 3 1

545

115+ −( ) −( ) +9

435 − +0 125 1

2,

0 6 2 14, + −( ) 0 5 18, + −( )

OVO NE}EBITI TE?KO.

Da ti ka`em

0 125 125100

18

, = =



# Izra~unaj koriste}i svojstvo asocijacije, kao {to je zapo~eto.

a)

b) − + − +( )3 8 1 2 6 79

, ,

52

12

4 9 52

12

4 9+ + −( )( ) = +( ) + −( ), ,

$ Koje su jednakosti ta~ne?a)

b)

v)

g) 1 2 0 65

, + =

− + = −34

0 0 25,

56

56

0− −( ) =−( ) + =3

2 1 5 0,

% Izra~unaj koriste}i svojstvo komutacije i asocijacije.

a)

b)

v) 713

7 7 1 113

310+ + −( ) +,

− + −( ) + −( )( )3 375 1 625 0 5, , ,

− + +32

4 13

23

& Izra~unaj.

a) 5,3 + (– 0,2 ) + (– 4,6 ) – (– 1,7 )

b)

v)

g) − + − +2 7 1 13

3 26

0 7, ,

0 4 19

15

23

49

, − + − −− + −( ) + −( ) + +( )

13 1

23

38

52

' Proveri da li je ta~no :

–a + (b – c) = b – (a + c) za a = , b = – 0,2, c = 4.−34

! Izra~unaj koriste}i svojstva komutacije i asocijacije.

a) b) (– 7,25 + 0,4 ) + 8,25 v)

g) d) |)− − −( ) + −( ) +310

2 58

320

15

− + − + −135

0 25 710

74

0 2, ,14

2 56

34

16+ −( ) − −( ) + −( )

− + − +4 6 25

78

,12

2 12

5+ + −( )

Da ti ka`em

Mo`e{ koristitisvojstva komutacii asocijacije.

Proveri {ta zna{



30

! U tabeli zaokruì odgovaraju}u re~, kao {to je zapo~eto.

" Broj je re{ewe jedna~ine :

a) b) v)


x + =58

1 x − =58

158

1− = x

38

# Linijom poveì jedna~inu s wenim re{ewem.

• re{ewe jedna~ine• nepoznati sabirak

• nepoznati umawenik• nepoznati umawilac

JEDNAÎNE U VEZI SA SABIRAWEMI ODUZIMAWEM

4 – a c – 27,5 = 5 – b + 312 3 = d (3 + x ) – 0,3 = 33

IZRAZ IZRAZ IZRAZ IZRAZ IZRAZ

JEDNAÎNA JEDNAÎNA JEDNAÎNA JEDNAÎNA JEDNAÎNA

Nau~ili smo u petom razredu {ta su jedna~ine i {ta sure{ewa jedna~ina. Podsetimo se :

• u izrazu malim slovom latinice, na primer : x , y , z …,ozna~avamo promenqivu koja, ako se druga~ije ne naglasi,uzima vrednosti iz skupa racionalnih brojeva

• jednakost s promenqivom nazivamo jedna~ina; promenqivau jedna~ini naziva se i nepoznata

• re{ewe jedna~ine je svaki broj koji, kada zameni nepoznatu u jedna~ini, daje ta~nu brojevnu jednakost.

2 – x = 2

–4 –2 0 2 4

x + 2 = – 2 x – 2 = 2

PROMENQIVA IZRAZ JEDNAÎNA RE[EWE JEDNAÎNE

Da ti kaèm

x je promenqiva

je izraz

je jedna~ina

je brojevni izraz3 712

56

2 34− =

x − =56

2 34

x − 56



$ Re{i jedna~inu.

a) y – 4 = 1 b) z + 11 = – 9 v) – 5 + x = 4 g) 3 – a = 7

% Re{i jedna~inu i proveri re{ewe.

a) 23 + x = – 40 b) – 10 + x = – 44 v) y – 15 = – 3 g) 53 – y = – 20

Postupak odre|ivawa re{ewa jedna~ine u skupu celih brojeva, odnosnoracionalnih brojeva, isti je kao u skupu prirodnih brojeva.

Nepoznati sabirak odre|uje se tako {to se od zbira oduzme poznati sabirak.

Na primer :

y + 8 = 1 y = 1 – 8 y = – 7Nepoznati umawenik odre|uje se tako {to se sabiraju umawilac i razlika.Na primer :

x – 5 = – 7 x = – 7 + 5 x = – 2

Nepoznati umawilac odre|uje se tako {to se od umawenika oduzima razlika.Na primer :

12 – z = – 9 z = 12 – (–9) z = 21

& Re{i jedna~inu.

a) 2,5 + x = – 4 b) v) g) − − =43

56 y − + =1 7 3

10, y x − = −13

412

! Re{i jedna~ine.

a) x + 3 = – 5 b) – 17 + y = 4 v) z + = −16

2

x – 10 = – 8 y – 19 = – 7 5 7 52

, − = − z

x – 7 = 4 23 – y = – 10 34

32= − z

Proveri {ta zna{

RE[AVAWE JEDNA^INA S NEPOZNATIM SABIRKOMUMAWENIKOM I UMAWIOCEM



32

I TO JE MATEMATIKA

! Tri prijateqa Andrej, Nikola i Sr|an treba da podele sedam punih tegli s medom,sedam dopola punih tegli s medom i sedam praznih tegli, tak o da svako od wih dobijeisti broj tegli i istu koli~inu meda. Jednostavno }e podeliti tegle – svakom po sedam.Problem je kako da podele med, jer je uslov da ne o tvaraju tegle i ne presipaju mediz jedne tegle u drugu. Kako su podelili med?

Ideje za ove zadatke uzete su iz kwige ^ovek koji je brojao autora Malba Tahana.U woj su dati primeri starih arabqanskih problema kojima su se bavilimatemati~ari u davnim vremenima.

" Tri drugarice Seka, Sawa i Juca izvele su drugaricuNedu iz Ni{a na sladoled. Nisu dozvolile da Nedaplati, ve} su ra~un od 250 dinara podelile wih trii svaka je dala po 100 dinara. Konobar je vratio50 dinara. Seka, Sawa i Juca uzele su po 10 dinarakusura, a preostalih 20 dinara dale su konobaru. Nedase zamislila i postavila pitawe : „Svaka od vas dala jepo 90 dinara i ~astile ste konobara sa 20 dinara, {toukupno iznosi 290 dinara. Ko je zadr`ao 10 dinara?“

#Nata je imala pun xep ~okoladica. Prvo je srela Anu i dala joj

svih ~okoladica i jo{ pola od jedne. Zatim je srela Nik olu

i wemu je dala preostalih ~okoladica i jo{ pola od jedne.

Na kraju je dala Vladi ~okoladica koje su preostale i jo{ pola

od jedne i xep je bio prazan. Koliko je ~okoladica imala Nata?

12

12

12



ZAPAMTI

Svaki broj koji moè da se napi{e u obliku razlomka

pripada skupu racionalnih brojeva.

Skup racionalnih brojeva

Suprotni brojevi

Za svaki broj a Q brojevi a i –a su suprotni brojevi.

Upore|ivawe racionalnih brojeva

• Svaki negativan broj mawi je od nule ili bilo k og pozitivnog broja.• Od dva negativna broja ve}i je onaj ~ija je apsolutna vrednos t mawa.

–a 0 a x

Zbir dva racionalna broja

• istog znaka ra~una se tako {to se saberuwihove apsolutne vrednosti i rezultatzadrì znak sabiraka

• razli~itog znaka ra~una se tako {tose od ve}e apsolutne vrednosti oduzmemawa i rezultat zadrì znak sabirkave}e apsolutne vrednosti

Razlika dva racionalna broja

• ra~una se tako {to se prvi broj saberesa suprotnom vredno{}u drugog

0,7 + 2,2 = 2,9– 4,5 + (– 21,3 ) = – 25,825

45

65+ =

− + −( ) = − + −( ) = −23

56

46

56

96

– 0,6 + 2,8 = 2,25,2 + (– 8,5 ) = – 3,3

− + =25

45

25

23

56

46

56

16+ −( ) = + −( ) = −

– 0,6 – (– 2,8 ) = 2,25,2 – 8,5 = – 3,3

− − −( ) =25

45

25

23

56

46

56

16− = − = −

0,7 – (– 2,2 ) = 2,9

– 4,5 – 21,3 = – 25,825

45

65− −( ) =

− − = − − = −23

56

46

56

96

Sabirawe i oduzimawe racionalnih brojeva



34

MNO@EWE RACIONALNIH BROJEVA– DECIMALNI ZAPIS

• proizvod dva decimalnabroja istog znaka

• proizvod dva decimalnabroja razli~itog znaka

• proizvod decimalnog brojai nule! Jednog zimskog dana temperatura vazduha opadala je svakog

sata za 3,7° C. Kolika je bila temperatura posle tri sataako je po~etna temperatura bila 0° C? Zaokruì slovo ispred ta~nog odgovora.a) – 3,7° C b) – 6,7° C v) – 9,1° C g) – 11,1° C

" Zaokruì slovo P ako je vrednost proizvoda pozitivanbroj ili slovo N ako je vrednost proizvoda negativan broj.

– 736 295 736 295 – 8 690 (– 273 ) 4901 (– 842 )

P N P N P N P N

Podseti se

• Proizvod dva cela brojaistog znaka je pozitivan.

• Proizvod dva cela broja

razli~itog znaka je negativan.

U skupu racionalnih brojeva, kao i u skupu celih brojeva, za brojeve dateu decimalnom zapisu vaì :

• proizvod dva racionalna broja istog znaka je pozitivan racionalni broj+p (+ q) = p q, za p, q Q +

–p (–q ) = p q, za p, q Q +

• proizvod dva racionalna broja razli~itog znaka je negativan racionalni broj+ p (–q) = – (p q), za p, q Q +

–p (+q) = – (p q), za p, q Q +

• proizvod racionalnog broja i nule je nulap 0 = 0, za p Q

Dva racionalna broja data u decimalnom zapisu mnoìmo tak o {to odredimoznak proizvoda, a zatim pomnoìmo pozitivne racionalne brojeve.

PROIZVOD DVA RACIONALNA BROJA U DECIMALNOM ZAPISU

Zadatak moè{ dare{i{ i sabirawem– 3,7 + (– 3,7 ) + (– 3,7

Da ti kaèm



& Izra~unaj.

a) 0,3 (–0,5 ) b) – 1,4 0,4 v) –0,06 (– 0,7 )g) – 4 1,1 d) – 3 (– 1,2 ) |) 0,8 (–0,1 )

$ Proizvod brojeva –0,033 i 3 je :

a) 0,099 b) –0,099 v) 0,99 g) –0,99Koji odgovor je ta~an?

# Kako je 17 324 = 5 508, izra~unaj :

a) 17 3,24 b) – 17 32,4

v) 0,17 (–324 ) g) – 1,7 (– 324 )d) 1,7 32,4 |) – 1,7 (– 3,24 )

% Popuni tabelu.

Podseti se

0,24 3,1 = 0,744

Izra~unaj. a) 1,23 (– 2) b) – 0, 24 (– 3,1 )

a) 1,23 (– 2) = – (1,23 2)= – 2,46

b) – 0,24 (– 3,1 ) = + (0,24 3,1 )= 0,744

znak proizvoda je „ – “ i mnoìmopozitivne brojeve 1,23 i 2

znak proizvoda je „+“ i mnoìmo

pozitivne brojeve 0,24 i 3,1

a 9,823 1,56 0,4 – 0,77 – 0,002

10 a

a (– 100 )

2 decimale1 decimala

3 de

Ako pogleda{ zadatak 1 u zbircina strani 75, podseti}e{ se kakose decimalan broj mnoìdekadnom jedinicom.

0,01 (–0,003) = –0,00003

P RIMER

Da ti kaèm

' Izra~unaj.

a) 12 4,6

b) 7,1 0,82

v) – 31 (–0,9 )

( Izra~unaj.

a) –0,2 (–0,004 )b) 1 ,4 (–0,0001 )v) 0,00003 (–18 ) 2 decimale 5 d3 decimale

24 31 = 744



36

Da ti kaèm

+ Izra~unaj.

a) 1,3 (– 5) (–0,2 )

b) –0,8 (–1,4 ) (–0,7 )v) – 2,53 3,1 0 (–1,6 )

! Zbir istih sabiraka napi{i kao proizvod i izra~unaj ga.a) –0,1 + (–0,1 ) + (–0,1 ) + (–0,1 ) + (–0,1 ) + (–0,1 )b) –0,2 + (–0,2 ) + (–0,2 )v) –1,3 +

(–1,3

)+

(–1,3

)+

(–1,3

)" Izra~unaj.

a) 23 (–0,09 ) b) –37 (–1,108 ) v) –0,03 (–52 ) g) 12,042 (–71 )

# Ako je y {0,2; –0,02 }, izra~unaj :

a) 20 y b) y (–10 ) v) 1,1 y .

* Izra~unaj.

a) 0,5 od 300

b) 7,2 od – 1 000

v) 0,03 od – 200

g) 1,06 od 500

) Izra~unaj.

a) –3,6 0,05

b) –1,5 (–0,008 )v) –0,25 (–0,22 )

0,5 od 100 ra~unamotako {to pomnoìmo0,5 i 100.

Proveri {ta zna{

Podseti se

0,06 (–0,5 ) = –0,030 = –0,03

Pravilo za mnoèwe dva racionalna broja data u decimalnom zapisu :

Prvi korak Odre|ujemo znak proizvoda :

„+“, ako su oba broja istog znaka, ili„– “, ako su oba broja razli~itog znaka.

Drugi korak Mnoìmo apsolutne vrednosti ~inilaca.Rezultat ima onoliko decimala koliko ih ukupno imajuoba ~inioca.



MNO@EWE RACIONALNIH BROJEVA– ZAPIS OBLIKA

• proizvod dva razlomkaistog znaka

• proizvod dva razlomkarazli~itog znaka

• proizvod razlomka i nule

ab

• Proizvod dva razlomka istog znaka je pozitivan broj.

, za a , b, c, d N

, za a , b, c, d N

• Proizvod dva razlomka razli~itog znaka je negativan broj.

, za a , b, c, d N

, za a , b, c, d N

• Proizvod razlomka i nule je broj nula.

, za a, b Z , b ≠ 0

Dva razlomka mnoìmo tako {to odre|ujemo znak proizvoda,a zatim mnoìmo pozitivne razlomke.

ab =0 0

+ −( ) = − ( )ab

cd

ab

cd

− +( ) = − ( )ab

cd

ab

cd

− −( ) = + ( )ab

cd

ab

cd

+ +( ) = + ( )ab

cd

ab

cd

abROIZVOD DVA RACIONALNA BROJA OBLIKA

Da ti kaèm

Zadatak moè{ da re{i{na vi{e na~ina.Na primer :

(480 000 : 4) 3 ili 4834

Podseti se

Dva pozitivna razlomkamnoìmo tako {to pomnoìmo wihovebrojioce i pomnoìmo wihove imenioce.Na primer :

! Gospodin Pavli} je kupio nov automobil. Zaduìo se u banci

480 000 dinara. Do maja treba da uplati duga.

Koliko novca gospodin Pavli} treba da uplati do maja?Zaokruì slovo ispred ta~nog odgovora.a) 480 000 din.b) 360 000 din.v) 160 000 din.g) 120 000 din.

34

2

3

5

7

2 5

3 7

10

21 = =



38

# Izra~unaj.

a)

b)

v) − −( )6 15

531

− −( )1 14

38

− −( )49

23

$ Izra~unaj.

a) b) v) g) − −413

26( )− 5 1123

0− −( )12 79

4 58

' Izra~unaj.

a) b) − −( )45

5 12− 1 1

213

% Izra~unaj.

a) b) v) − −( )3 37

2 316

1 19

1 45− −( )1 1

2 2 3

4

& Izra~unaj i popuni tabelu.

x 310

− 722 − 4

23 6 −49

137

y 56

221 −23

5 −56 −9

4 −2 110

x y

! Razlomak pomnoì sa : a) 5 b) – 20 v) g) d) .−137

3 13− 5

4212

" Izra~unaj. a) b) v) g)− 4 1 14

1225

1516 −( ) 7 2

9 3 6

13 −( )− −3 12

3 12

# Ako , izra~unaj : a) b) v) .m − −{ }27 611

12

1 13

, , , − 1 12

mm −( )13 −( ) 1

3 3 m

Proveri {ta zna{

Minus ispred me{ovitog broja jeste predznak za ceo taj broj.

− = −1 12

32

Pre nego {to pomnoì{ razlomke, moè{ da ih skrati{.

52

43

5 21 3 =

2

1

" Izra~unaj kao {to je zapo~eto.

a) b) v) 23

57 −( )− 23

57− −( ) = + ( ) =2

357

23

57

1021

Prvo odredi znak proizvoda,a onda pomnoì i . 5

723

Da ti kaèm

4 41= − = −12 12

1



SVOJSTVA OPERACIJE MNO@EWARACIONALNIH BROJEVA

• svojstvo komutacije• svojstvo asocijacije• svojstvo distribucije• mnoèwe racionalnog

broja brojevima 1, – 1

! Izra~unaj.

a) 0 3,691 b) –0,72 0

v) 1 8,08 g) –1,293 1

d) –1 45,18 |) –0,009 (–1)

" a) Izra~unaj.

(–100 0,26 ) 0,2

–100 ( 0,26 0,2 )

b) Da li su vrednosti svih proizvoda pod a) jednake?

Obrazloì odgovor.

0 2 100 0 26, , −( )( )

# Popuni prazna poqa tako da dobije{ ta~nu jednakost.

a) –0,9 0,14 = ............... (–0,9 ) b) 32

45

32

7100( )( ) −( ) = − ( )( )

Za mnoèwe racionalnih brojeva vaè ista svojstvakao i za mnoèwe celih brojeva :

•

svojstvo komutacije (zakon komutacije)p q = q p, za p, q Q

• svojstvo asocijacije (zakon asocijacije)(p q) r = p (q r ), za p, q, r Q

• svojstvo distribucije mnoèwa prema sabirawu (zakon distribucije)p (q + r ) = p q + p r (p + q) r = p r + q r , za p, q, r Q

• za svaki racionalan broj p vaì :

p 0 = 0 p = 0p 1 = 1 p = pp (–1) = (–1) p = –p

SVOJSTVA OPERACIJE MNO@EWA U SKUPU RACIONALNIH BROJEVA

...... ......



40

% Koliki je proizvod slede}ih brojeva : –0,75; ; 0; 1 i – 1?34

& Odredi m tako da dobije{ ta~nu jednakost.

a) –23,86 m 765,09 = 0b)

v) –63,25 m + (–36,75 ) m = 0

m −( ) −( ) = −49

74

79

' Izra~unaj –100 (–0,03 + 0,4 ) na dva na~ina.

a) 0b) 1v) 1

g)


34

Primeni svojstvo distribucije.5 7 + 5 3 = 5 (7 + 3

) Koriste}i operaciju mnoèwa samo jednom, izra~unaj.

a)

b) − + −( )135

1 14

135

8 75,

6 23

6 56 +

* Koliko ukupno te~nosti stane u deset fla{a od l i deset fla{a od 0,5 l?34

+ Koliki put je pre{ao turista ako je 210 minutape{a~io brzinom 3,25 , a sata brzinom 2,75 ? km

h3 1

2kmh

( Izra~unaj.

a)

b) − −( )38

0 75 14

,

23

34

35 + −( )

Da ti kaèm

Prvi na~inPrvo izra~unaj zbir u zagradi, a zatim pomnoì.

Drugi na~inPrimeni svojstvo distribucije.–100 (–0,03 + 0,4 ) = –100 (–0,03 ) + (–100 ) 0

210 minuta izrazi u satima.

$ Izra~unaj koriste}i svojstva komutacije i asocijacije.

a) –25 0,009 40

b)

v) 45

125 1625

18 −( ) −( )

− −( ) −( )78

9115

87



êsto se kaè :

Ako je ispred zagrade mmewa se stawe.

Ako je ispred zagrade vzagrada se bri{e.Uo~i da vaì :

–(–2,37 + 1,5 ) = 2,37 –+ (–2,37 + 1,5 ) = –2,37 +

Koristi svojstvo distribucije.

, Izra~unaj.

a)

b) – (–8,34 – 7,95 )

v) − −( )2 65 1725

,

− − +( )411

1311

- Ako je x + y = –4,5, izra~unaj :

a) 3 x + 3 y

b) –2 x + (–2) y

v) 12

12 + x y

. Ako je a b = , izra~unaj :

a) –5 a b b) a b (–2,5 )

v) g) a 0,4 b (–2,5 )a b 1 14

45

Izra~unaj.– (– 2,37 + 1,5 )Prvi na~in– (–2,37 + 1,5 ) = –(–0,87 )

= 0,87Drugi na~in

– (–2,37 + 1,5 ) = –1 (–2,37 + 1,5 )= –1 (–2,37 ) + (–1) 1,5

= 2,37 + (–1,5 )= 0,87

izra~unata je vrednost izraza u zagradi

suprotna vrednost broja – 0,87

minus ispred zagrade je isto {toi mnoèwe zagrade brojem – 1

izra~unati su proizvodi

izra~unat je zbir

primeweno je svojstvo distribucije,svaki sabirak mnoìmo brojem – 1

! Izra~unaj.

a) 13,87 (–47,098 ) 0 (–9,52 ) b) v) –3,5 0,2 (–14 )27

78

34

43 −( )" Ako je a = 8,5; b = – i c = –2,4, izra~unaj :

a) –1 a b) a b c v) b c (–1) g) (a + b) c.

12

# Izra~unaj (m + n) k i m k + n k ako je :

a) m = 56,26 n = –6,26 k = –0,02 b) m = n = 0,4 k = .−53−7

5

Da ti kaèm

P RIMER

Proveri {ta zna{



42

DEQEWE RACIONALNIH BROJEVA– DECIMALNI ZAPIS

• koli~nik dva decimalnabroja istog znaka

• koli~nik dva decimalnabroja razli~itog znaka

• koli~nik nulei decimalnog broja

" Poveì kao {to je zapo~eto.

48 : 16 – 54 : 18 –64 : ( –16 ) 72 : (– 18 )

– 3 3 –4 4

Podseti se

Koli~nik dva cela brojaistog znaka je pozitivan.

Koli~nik dva celabroja razli~itog znaka je negativan.

U skupu racionalnih brojeva, kao i u skupu celih brojeva,za brojeve u decimalnom zapisu vaì :

• koli~nik dva racionalna broja istog znaka je pozitivanracionalni broj

+p : (+ q) = p : q, za p, q Q +

–p : (–q) = p : q, za p, q Q +

• koli~nik dva racionalna broja razli~itog znaka je negativan racionalni broj

+p : (–q) = – (p : q), za p, q Q +

–p : (+ q) = – (p : q), za p, q Q +

• koli~nik nule i racionalnog broja je nula

0 : q = 0 za q Q , q ≠0

Dva racionalna broja data u decimalnom zapisu delimo tako {to odredimoznak koli~nika, a zatim podelimo pozitivne racionalne brojeve.

KOLI^NIK DVA RACIONALNA BROJA U DECIMALNOM ZAPISU

! Od materijala duìne 5,55 metara

mogu se sa{iti tri sukwe jednakeduìne. Koliko je metara potrebnoda se sa{ije jedna takva sukwa?

Nulom ne sme da se deli.Koli~nik racionalnih brojeva p : q moè{ dara~una{ za q ≠0.

Da ti kaèm



# Izra~unaj.a) 1,035 : (– 3) b) –2,24 : ( –16 ) v) –21,98 : ( –7)

$ Izra~unaj.a) –6 : 8 b) –72 : 25

% Podeli broj –8 brojem –6.

Izra~unaj koli~nik brojeva : a) 4,32 i (–3) b) –0,07 i 2.

delimo pozitivne decimalne brojeve – podelimo cele,upisujemo koli~nik, prepisujemo zarez

ostatak 1 pretvaramo u 10 desetih, dodajemo 3 desetai nastavqamo da delimo

ostatak 1 pretvaramo u 10 stotih, dodajemo 2 stotai nastavqamo da delimo

ostatak je nula, proces deqewa je zavr{en

4,32 : 3 = 1,44a) Prvo odredimo znakkoli~nika.4,32 : (–3) = – (4,32 : 3)

4,32 : (–3) = – 1,44

delimo pozitivne decimalne brojeve – podelimocele, upisujemo koli~nik i prepisujemo zarez

delimo 0 desetih

delimo 7 stotih

ostatak 1 stoti pretvaramo u 10 hiqaditihi nastavqamo da delimo

ostatak je nula, proces deqewa je zavr{en

0,07 : 2 = 0,035

Izra~unaj.– 10,23 : (–0,3 )

pro{irujemo deqenik i delilac sa 10, tako da delilacpostane ceo broj

odre|ujemo znak koli~nika i nastavqamo da delimopozitivne brojeve

nastavqamo proces deqewa kao u prethodnom re{enomprimeru pod a)

– 10,23 : (–0,3 ) = 10,23 : 0,3

=(10,23 10

) :

(0,3 10

)= 102,3 : 3 = 34,1

Podseti se

6 = 6,0 = 6,00 = 6,000 =

1 : 3 = 0,3333…Ovaj broj ima bezbroj decimalaNekada pi{emo :

1 : 3 ≈ 0,3Ka`emo da je 0,3 pribli`navrednost koli~nika 1 : 3.

P RIMER

P RIMER

– 912

– 123

– 30

–313

–1212– 12

0

–00

– 07

– 610

– 100

b) Prvo odredimo znakkoli~nika.–0,07 : 2 = – (0,07 : 2)

–0,07 : 2 = –0,035



44

& Nastavi da deli{ kao {to je zapo~eto.a) – 2,35 : 0,5 = –4,7 b) 40 : (– 0,8 ) v) 18,4 : (– 0,04 )

' Popuni tabelu.

( Izra~unaj.

a) 0,056 : 0,8b) 6,565 : (– 0,13 )v) – 3,84 : 0,012

g) –3,864 : ( –2,3 )

) Koji koli~nik ima vrednost 0,125?a) –0,3375 : (– 2,7 )b) –0,3375 : 2,7v) –0,3375 : 0,27

g) –0,3375 : ( –0,27 )

10 10

– 23,5 : 5 = – 4,7

Deqenik i delilacpro{irujemo istom dekadnom jedinicom takoda delilac budeceo broj.

m – 3,96 – 3,96 – 3,96 – 3,96 – 3,96

n 6 – 0,06 11 – 1,1 0,011

m : n

! a) 7,8 : (–2) b) – 9,7 : (–2) v) – 0,3 : 15 g) 0,144 : (– 6)d) – 4,4 : 220 |) 0,063 : (– 35) e) 8 : 16 `) 24 : (– 96 )z) – 5 : 125 i) – 24 : (– 60 ) j) 40 : (– 32 ) k) – 39 : 130

" a) 4,5 : 9 b) 4,5 : (– 0,9 ) v) – 4,5 : (– 0,09 ) g) – 4,5 : 0,0009

# a) – 7,54 : 2,6 b) 0,14 : (– 0,35 ) v) – 4,06 : (– 0,007 )g) 5,8 : (– 0,25 ) d) 0,002 : 0,25 |) – 66,6 : 0,333e) – 1,004 : (–0,08 ) `) 0,009 : (–0,15 )

Izra~unaj koli~nike.

Proveri {ta zna{

Da ti ka`em

HE, HE, HE.ZNA M !!!



RECIPROÂN RACIONALAN BROJ.DEQEWE RACIONALNIH BROJEVA– ZAPIS OBLIKA

• recipro~an broj• koli~nik dva razlomka

istog znaka• koli~nik dva razlomka

razli~itog znaka• koli~nik nule i razlomka

! a) Pomnoì :

b) Da li je vrednost svih proizvoda pod a) jednaka?Ako je odgovor DA, napi{i broj koji je vrednost tih proizvoda.

150

50 1 13

34

27

3 5 ,23

32

" Koji je broj recipro~an broju ? Zaokruì slovo ispred ta~nog odgovora.

a) b) v) g) −65

65 −5

656

−56

# Proizvod broja i broja je :

a) – 1 b) 1 v)


2 436

−214−

49

$ Popuni tabelu.

% Koji su brojevi recipro~ni?

Zaokruì slovo ispred ta~nog odgovora.a) 2,5 i 4b) 0,4 i 2,5v) 0,5 i 20g) 0,2 i 0,5

ab

Podseti se da za svaki pozitivan razlomak postoji wemuab

recipro~an razlomak , takav da je vrednost wihovog

proizvoda 1. Isto vaì i ako je razlomak negativan.Za svaki racionalan broj vaì :

, za a, b Z , a ≠0, b ≠0ab

ba = 1

ba

RECIPROÂN BROJ

broj −98 −2

7 –5 −1 1

2

recipro~an broj

Pomnoì brojevei proveri da li im

je proizvod jednbroju 1.

Da ti kaèm

& Koji su brojevi recipro~ni sami sebi?Koji broj nema recipro~an broj?



46

' Popuni tabelu.

broj 111

– 1,1 – 11 0,11 −1 111

recipro~anbroj

Za odre|ivawe znaka koli~nika dva razlomka vaè ista pravilakao i za odre|ivawe znaka proizvoda dva razlomka :

• koli~nik dva racionalna broja istog znaka je pozitivan broj

, za a, b, c, d N

, za a, b, c, d N

• koli~nik dva racionalna broja razli~itog znaka je negativan broj

, za a, b, c, d N

, za a, b, c, d N

• koli~nik nule i racionalnog broja je broj 0

, za a , b Z i a, b ≠ 0

Dva razlomka delimo tako {to odredimo znak koli~nika, a zatimpodelimo pozitivne razlomke.

0 0: ab =

+ −( ) = −( )ab

cd

ab

cd

: :

− +( ) = −( )ab

cd

ab

cd

: :

− −( ) = +( )ab

cd

ab

cd

: :

+ +( ) = +( )ab

cd

ab

cd

: :

KOLI^NIK DVA RACIONALNA BROJA OBLIKAab

Podseti se

Pozitivne razlomkedeli{ tako {to prvirazlomak pomnoì{recipro~nom vredno{}u drugog.Na primer :

( Robu teìne kg treba spakovati u paketi}e teìne kg.

Koliko takvih paketi}a moè{ da napravi{?

18

2 12

) Izra~unaj vrednost koli~nika kao {to je zapo~eto.

a)

b)

v)

−49

53

:

815

45

: −( )

− −( ) = + ( ) =35

27

35

72

2110

:

Zadatak moè{ da re{i{ra~unawem koli~nika ovihrazlomaka.

Decimalni brojzapi{i u oblikurazlomka.

Da ti kaèm

Prvo odredi znak rezultata,a zatim podeli razlomke.

23

57

23

75

1415

: = =



* Izra~unaj koli~nik kao {to je zapo~eto.

a)

b)

v)

− −( )1 17

:

− −( )==2 3

8 2

38

: : − −( )=2 8

3163

•

2 1 1

2: −

( )+ Izra~unaj.

a)

b)

v) −2 210

11:

713

14:

59

4: −( )

, Koli~nik brojeva i je :13−1

5a) b) v) g) 3

5−3

5

1

15− 1

15

Podseti se :

- Izra~unaj.

a)

b)

v)

1 111

322

:

− −( )1 12

2 12

:

− 916

38

:

! Napi{i brojeve recipro~ne datim brojevima.–4 0,3 – 6,9 –1 –0,253 3

7−1235

57

" Izra~unaj.

a) − −( )2519

50:813

16: −( )− −( )1 23

:10 310

: −( )b)

v) −7 45

1 310

:− −( )5 14

3 12

:2 14

3 18

: −( )− −( )18

199

13:− 4

172

51:7

829

:

Recipro~an broj broju –4 je

Odredi prvo recipro~nu vrednost broja . 1

3

U zadacima pod g) i d) me{ovitibroj pretvori u razlomakpre nego {to ga pomno`i{ recipro~nom vredno{}u.

Da ti ka`em

Proveri {ta zna{

. Izra~unaj.

a)

b)

v) − − −( )

34

27

23

: :

−( ) −( )35

32

310

: :

2 12

14

: :

( ) −( )



48

ISTRA@IVA^KI ZADATAK

Dopunimo tabelu iz zadatka 1 na strani 16 jo{ jednim redom, u kojem je izra~unataprose~na dnevna temperatura. Sve temperature izraène su u Celzijusovim stepenima.

Predstavimo podatke iz tabele na grafikonu. Prethodno zaokruìmo temperaturena ceo broj Celzijusovih stepeni.

Izaberi jednu nedequ i beleì temperature u svom gradu svak og dana u 10 ~asova i u 22 ~asa.a) Predstavi tabelom dobijene temperature.b) Izra~unaj prose~nu dnevnu temperaturu.v) Predstavi grafikonom rezultate dobijene pod a) i b).g) Izra~unaj prose~nu temperaturu u toj nedeqi u 10 ~asova. Rezultat zaokruì na dve decimale.d) Izra~unaj prose~nu temperaturu u toj nedeqi u 22 ~asa. Rezultat zaokruì na dve decimale.|) Kog je dana temperatura bila najnià? Kog je dana temperatura bila najvi{a?e) Kog je dana razlika izme|u temperatura u 10 i u 22 ~asa bila najve}a?

pon. ut. sre. ~et pet. sub. ned.najnià temperatura 3,2 2,6 – 0,4 – 2,8 – 5,2 – 4 – 2,4

najvi{a temperatura 6,4 8 5,8 3,2 0 – 1,4 2

prose~na temperatura 4,8 5,3 2,7 0,2 – 2,6 – 2,7 – 0,2

pon. ut. sre. ~et pet. sub. ned.

najnià temperatura 3 3 0 – 3 – 5 – 4 – 2

najvi{a temperatura 6 8 6 3 0 – 1 2prose~na temperatura 5 5 3 0 – 3 – 3 0

temp.u °C

dani u nedeqi

najnià temperaturaprose~na temperaturanajvi{a temperatura8

7654

3210

–1–2–3–4–5

pon. ut. sre. ~et. pet. sub. ned.



! Bojan je za ro|endan dobio kutiju s delovima za pravqewe mak ete aviona.Prema datom nacrtu, duìna trupa je m . Letvice koje se nalaze1

2

• nepoznati ~inilac• nepoznati deqenikJEDNAÎNE OBLIKA a x = b, x : a = b

Da ti kaèm

Broj potrebnih letvica moè{da izra~una{ i re{avawem jedna~ine

. Nepoznati broj x predstav

broj potrebnih letvica.

18

12 = x

u kutiji duga~ke su m . Koliko je takvih letvica potrebno spojiti da bise dobila letvica duìne trupa? Zaokruì slovo ispred ta~nog odgovora.a) 2 b) 4 v) 6 g) 8

18

U petom razredu nau~ili smo da se re{ewe jedna~ine u k ojoj je ~inilacnepoznat odre|uje tako {to se proizvod podeli poznatim ~iniocem.Na primer :

2 x = 6 x = 6 : 2 x = 3

Jedna~inu smo re{avali samo u skupu pozitivnih racionalnihbrojeva, {to zna~i da su poznati ~inilac, nepoznati ~inilac iproizvod bili u skupu pozitivnih razlomaka. Sada moèmo dare{avamo jedna~ine u skupu racionalnih brojeva koriste}i istopravilo.Nepoznati ~inilac se ra~una tako {to se vrednost proizvodapodeli poznatim ~iniocem.Na primer :

– 2 x = 16 x = 16 : (– 2) x = – 8

Provera : – 2 (–8 ) = 16

RE[AVAWE JEDNAÎNE OBLIKA a x = b , a ≠ 0

Podseti se

2 x = 6poznati

~inilac nepoznati~inilac

proi

" Re{i jedna~inu i proveri dobijeno re{ewe.a) – 16 x = – 48 b) a (– 7) = 21 v) – 9 s = – 72

# Re{i jedna~inu.a) v 0,6 = –1,8 b) – 54 = t (– 2,7 ) v) 0,36 p = – 7,2



50

$ Koji su deo torte podelile Vera i wenih sedam drugaricaako je svaka dobila po torte? Zaokruì slovo ispredta~nog odgovora.

116

Da ti kaèm

U petom razredu nau~ili smo da re{avamo jedna~inu u kojoj je nepoznat deqenik i rekli smo da se re{ewe te jedna~ineodre|uje tako {to se pomnoè delilac i koli~nik.Na primer :

x : 2 = 8 x = 8 2 x = 16

Isto pravilo koristimo i kada re{avamo jedna~inus nepoznatim deqenikom u skupu racionalnih brojeva.Na primer :

x : 6 = – 5

x =

–5 6

x = – 30Provera : – 30 : 6 = –5

RE[AVAWE JEDNAÎNE OBLIKA x : a = b , a ≠ 0

Podseti se

x : 2 = 8nepoznatideqenik

delilackoli~nik

a) torte

b) tortev) torte

g) celu tortu

18

14

12

Da je 16 devoj~ica dobilo po torte, da li bi ostalo jo{ torte?116

Odgovor na pitawe moè{da dobije{ i re{avaju}i jedna~inu :

x : 8 =

Nepoznati broj x predstavqadeo torte koji su podelile Verai wenih sedam drugarica.

116

% Re{i jedna~inu.a) m : (– 6 ) = 11 b) a : (– 12 ) = 0,5 v) x : 2

5 4= −

! Re{i jedna~inu. a) b) v) − = −13

34

g− = −29

18 x 3 158 = − y

" Re{i jedna~inu. a) b) v) n : −( ) = −53

3 9,76

2 4: = − x ,− =0 64 25

, a

Proveri {ta zna{

& Re{i jedna~inu.

a) b) t : (– 0,2 ) = 5,6 v) g) – 18 = n : 3,6− = − 425

25 m3

412 = − z



! Ma{a je donela u {kolu ~etiri jabuke ipodelila ih sa drugaricama. Ako je svakaod wih dobila po jednu polovinu jabuke,koliko je bilo devoj~ica? Zaokruìslovo ispred ta~nog odgovora.a) 12 b) 8 v) 16 g) 2

• nepoznati delilacJEDNAÎNE OBLIKA a : x = b

Nau~ili smo u petom razredu da se re{ewe jedna~ine u kojoj je nepoznatdelilac odre|uje tako {to se deqenik podeli koli~nikom. Na primer :

15 : x = 5 x = 15 : 5 x = 3

Koriste}i isti postupak, jedna~inu u kojoj je delilac nepoznatsada moèmo da re{imo i u skupu racionalnih brojeva. Na primer :

16 : x = – 2 x = 16 : (– 2) x = –8

Provera : 16 : (–8) = –2

RE[AVAWE JEDNAÎNE OBLIKA a : x = b , b ≠ 0 i x ≠ 0

Podseti se

15 : x = 5deqenik

nepoznatidelilac

koli

Da ti kaèm

Na postavqeno pitawe moè{da odgovori{ i re{avaju}i

jedna~inu :

gde je nepoznati delilac brojdevoj~ica koje su dobile popolovinu jabuke.

4 12

: x =

" Re{i jedna~inu i proveri dobijeno re{ewe.a) – 81 : a = –27 b) v) 14,2 : t = – 0,23

8 1 1

4: x =

# Re{i jedna~inu.

a) b) v) x : ,−( ) = −0 5 101 14

5 = − x −( ) =1 2 56

, : x

$ Na osnovu zadatog teksta sastavi jedna~inu i re{i je.

a) S kojim brojem treba podeliti broj da bi se dobio broj 12?

b) Ako je nekog broja , izra~unaj nepoznati broj.−45

710

−25

Da ti kaèm

nepoznatog broja

zapisuje{ : .710 x

710

! Re{i jedna~inu.

a) b) v) g) d) − =3 5 52

, : x x : −( ) = −5 110

x : 27

67= − x − =2

5 0 25,5

83

16: x = −

Proveri {ta zna{



52

Sloèna jedna~ina oblika a x + b = c, a ≠0 re{ava se u dva koraka.Prvi korak a x je nepoznati sabirak, pa ga ra~unamo tak o {to od

zbira oduzmemo poznati sabirak :

a x = c – bDrugi korak x je nepoznati ~inilac, pa ga ra~unamo tak o {to vrednost

proizvoda podelimo s poznatim ~iniocem :

x = (c – b) : a

RE[AVAWE JEDNAÎNE OBLIKA a x b = c , a ≠ 0

3 x je nepoznati sabirak

od zbira oduzimamo poznati sabirak

x je nepoznati ~inilac

proizvod delimo poznatim ~iniocem

3 12

5 + = − x

3 12

5 + = − x

3 5 12 = − − x

3 102

12 = − − x

3 112 = − x

x = −112

3:

x = − 112

13

x = −116

P RIMER

" Da li je broj – 2 re{ewe jedna~ine ?− +( ) − −( ) =23

2 13

3 0 x

Zadatak moè{ da re{i{ tako{to }e{ x zameniti brojem – 2.Ako je jednakost ta~na, onda jeodgovor da, u protivnom broj –nije re{ewe jedna~ine.

Re{i jedna~inu.

JEDNAÎNE OBLIKA a x + b = c

Da ti kaèm

Zadatak moè{ da re{i{i postavqaju}i jedna~inu :

7 x + 100 = 1500gde je sa x predstavqenIvanov dnevni xeparac.

• re{ewe jedna~ineoblika a x + b = cu skupu racionalnihbrojeva.

! Ivan je dobio 1 500 dinara xeparca za nedequdana. Od te sume morao je da odvoji 100 dinarada vrati dug mla|oj sestri. Koliko je dnevno

smeo da potro{i u toku sedam dana ako je èleoda ravnomerno rasporedi xeparac? Zaokruìslovo ispred ta~nog odgovora.a) 150 din. b) 70 din. v) 200 din. g) 220 din.



$ Re{i jedna~inu i proveri dobijeno re{ewe.

a) b) – 3,3 + 2,5 s = – 4,84 23

6 + = −a

Ako u jedna~ini– 0,4 x – 2,7 = 5,3izraz – 0,4 x posmatra{kao umawenik, tada je– 0,4 x = 5,3 + 2,7.Dobijena jedna~ina je istakao i jedna~ina dobijenau tre}em koraku.

Re{i jedna~inu.– 0,4 x – 2,7 = 5,3

U~ili smo da oduzeti neki broj zna~i dodati wegov

suprotan broj. Jedna~inu – 0,4 x – 2,7 = 5,3 moèmoda zapi{emo i re{imo na slede}i na~in :

–0,4 x + (– 2,7 ) = 5,3– 0,4 x = 5,3 – (– 2,7 )– 0,4 x = 5,3 + 2,7– 0,4 x = 8

x = 8 : (– 0,4 ) x = 80 : (– 4) x = – 20

– 0,4 x je nepoznati sabirak

od zbira oduzimamo poznati sabirak

x je nepoznati ~inilac

proizvod delimo poznatim ~iniocem

P RIMER

# Sastavi jedna~inu oblika a x + b = cza date brojeve a, b i c.

a b c a x + b = c

−34

45

– 0,3

2,1 − 12 5

−27 3,6 4

7

Da ti kaèm

% Re{i jedna~inu.

a)

b) – 3 b – 8 = 5,2

v) − − =1 2 45

4, c

12

12 3 − = − x

Da ti kaèm

a) Nepoznati sabirak u jedna~ini je , a poznati sabirak –

b) Nepoznati sabirak u jedna~ini je –3 b, a poznati sabirak

v) 1,2 c = 1,2 c

12 x

! Ako je a = – 2, b = 4 i c = – 0,8, sastavi jedna~inu a x + b = c i re{i je.

# Da li je – 0,2 re{ewe jedna~ine – 4 x + (5 – 4,2 : 2) = 1,2?

" Re{i jedna~inu. a) 14 x – 3,2 = 15 b) v) 1 34

0 2 3 8+ = −, , x 1 25

56

415 x − = −

Proveri {ta zna{

& Ako od nekog broja oduzmemo 1,2, dobi}emo broj – 4.

Koji je to broj?

25

54

! Koliko najmawe puta Sa{a trebada presko~i po 3 stepenika dabi bio boqi od Milana, koji jeza isto vreme presko~io ukupno32 stepenika? Zaokruì slovoispred ta~nog odgovora.a) 9 b) 10 v) 11

" Re{i nejedna~inu.34

52

x >

NEJEDNAÎNE OBLIKA a x > b, a x 32. Najmawi prirodanbroj iz skupa re{ewa nejedna~ine jesteodgovor na postavqeno pitawe.

U petom razredu re{ewe nejedna~ineodre|ivali smo u skupu pozitivnihracionalnih brojeva, a sada re{ewatraìmo u skupu racionalnih brojeva.To je razlog zbog kojeg se re{ewa poda) i b) razlikuju.

Broj nije re{ewe datenejedna~ine. Na brojevnojpravoj to ozna~avamo praznim kruì}em.

45

Nejedna~inu re{i u skupu :

a) pozitivnih racionalnih brojeva b) racionalnih brojeva.Re{ewe prikaì na brojevnoj pravoj.

56

23

x <

56

23

x <56

23

x =

x = 23

56

:

x = 2365

x = 45

x < 45

prvo re{avamo jedna~inu

re{ewe jedna~ine je broj 45

re{ewe nejedna~ine jesu svi brojevi mawi od ,jer se vrednost proizvoda smawuje kada sejedan od ~inilaca smawuje

45

a) b)

0 145

0 145

P RIMER

• re{ewe nejedna~inea x > b i a x < bza a > 0

• re{ewe nejedna~inea x > b i a x < bza a < 0

Podseti se

Prvo re{ava{ jedna~inu , a zatim odre|uje{ re{ewenejedna~ine znaju}i da se vrednost proizvoda pove}ava kadase jedan od ~inilaca pove}ava.

34

52

x =

Re{ewe nejedna~ine je skup svih onih racionalnih brojeva k oji,kada zamene promenqivu u nejedna~ini, daju ta~nu nejednakost.Re{imo sada nejedna~ine 3 x > – 6 i 3 x < – 6.

3 x > – 6

3 x = – 6 x = – 6 : 3 x = – 2 x > – 2

Do re{ewa nejedna~ine do{li smo znaju}i da se vrednos tproizvoda 3 x pove}ava kada se jedan od ~inilaca pove}ava.Re{ewe nejedna~ine 3 x > – 6 jesu svi brojevi ve}i od –2,{to moèmo predstaviti i na brojevnoj pravoj.

# Re{i nejedna~inu i re{ewe predstavi na brojevnoj pravoj.

Da ti kaèm• Proizvod x 32 se pove}a

kada se x pove}ava.• Proizvod 13 x se smawuje

se x smawuje.


re{ewe jedna~ine je broj – 2

re{ewe nejedna~ine su svi brojevi ve}i od – 2

Na isti na~in re{avamo nejedna~inu :

3 x < – 6Kako znamo da se vrednost proizvoda 3 x smawuje kada se jedanod ~inilaca smawuje, data nejedna~ina svodi se na nejedna~inu

x < – 2. To zna~i da su wena re{ewa svi brojevi mawi od –2,{to moèmo predstaviti i na brojevnoj pravoj.

Svaka nejedna~ina oblika ax > b ili ax < b, gde je a > 0,re{ava se na isti na~in kao u datim primerima.

RE[AVAWE NEJEDNAÎNE OBLIKA a x > b i a x 0

10– 1

10– 1

10– 1

a) x 32 > – 96

b) 13 x < – 52

v) 25

52

x > −

56

$ a) Popuni tabelu kao {to je zapo~eto.

b) Kako se mewa vrednost proizvoda 2 x kada se x pove}ava? Zaokruì ta~an odgovor.• pove}ava se • smawuje se • ne mewa se

v) Kako se mewa vrednost proizvoda – 2 x kada se x pove}ava? Zaokruì ta~an odgovor.• pove}ava se • smawuje se • ne mewa se

x –3 –2 – 1 0 1 2 3

2 x –6

– 2 x 6

Re{imo nejedna~ine – 5 x > 15 i – 5 x < 15.– 5 x > 15– 5 x = 15

x = 15 :

(– 5

) x = –3 x < – 3

Do re{ewa nejedna~ine do{li smo znaju}i da se vrednos tproizvoda –5 x pove}ava kada se x smawuje.Re{ewe nejedna~ine – 5 x > 15 jesu svi brojevi mawi od – 3,{to moèmo predstaviti i na brojevnoj pravoj.


– 5 x < 15Kako znamo da se vrednost proizvoda – 5 x pove}ava kada se jedan od ~inilaca smawuje,data nejedna~ina svodi se na nejedna~inu x > – 3, {to zna~i da su wena re{ewa svibrojevi ve}i od –3, {to moèmo predstaviti i na brojevnoj pravoj.

Svaka nejedna~ina oblika ax > b ili ax b i a x 8 – 4 x > 8

( Re{i nejedna~inu i re{ewe predstavi na brojevnoj pravoj.

a) 0,5 x ≤ – 2

b) 25

6 x ≥ −

& Re{i nejedna~inu i re{ewe predstavi na brojevnoj pravoj.

Da ti kaèm

• Proizvod – 3 x se pove}kada se x smawuje.

• Proizvod – 6 x se smaw kada se x pove}ava.

10– 1

10– 1

10– 1

20– 2

50– 5

a) – 3 x > – 15

b) – 6 x < 18

v) − >12

2 x

• Nejedna~ina ax > b, a > 0 svodi se na nejedna~inu . x ba>

• Nejedna~ina ax > b, a < 0 svodi se na nejedna~inu . x ba<

Re{ewe nejedna~ine x ≤5 svaki broj mawi od 5 ili jednak 5. Na brojevnoj pravoj nazna~avamo punim kruì}em

' Zaokruì nejedna~inu ~ije je re{ewepredstavqeno na brojevnoj pravoj.

! Re{i nejedna~inu i dobijeno re{ewe predstavi na brojevnoj pravoj.

a)

b) x 2,5 < 3,5

v) 0 4 65

, x > −

2 13

215

x >

" Re{i nejedna~inu. a) – 8 x ≤ – 4 b) – 30 x > – 6

Podseti se

Proveri {ta zna{

–x ≥1 –x ≥ – 1 –x ≤1 –x ≤ – 1

58

! Petorica drugara kupila su kesu klikera.Koliko je najmawe bilo klikera u kesi ako

je svaki od wih dobio vi{e od 8 klik era?Zaokruì slovo ispred ta~nog odgovora.a) 48b) 41v) 45

" Re{i nejedna~inu i re{ewepredstavi na brojevnoj pravoj.

x : 12

6≥

# Re{i nejedna~inu i re{ewepredstavi na brojevnoj pravoj.

x : 23

92<

• re{ewe nejedna~ineoblika x : a > bi x : a 0

• re{ewe nejedna~ineoblika x : a > bi x : a b, x : a < b

Da ti kaèm

Zadatak moè{ da re{i{i re{avaju}i nejedna~inu

x : 5 ≥9. Najmawi prirodnibroj iz skupa re{ewa

nejedna~ine jeste re{ewe.

Prvo re{ava{ jedna~inu , a zatim x : 12

6=odre|uje{ re{ewe nejedna~ine ,znaju}i da se vrednost koli~nika pove}ava kada se nepoznati deqenik pove}ava.

x : 12

6≥

Podseti se

1 2 3 4 50– 1– 2– 3–4

Prvo re{ava{ jedna~inu = , 92 x : 2

3a zatim odre|uje{ re{ewenejedna~ine , znaju}ida se vrednost koli~nikasmawuje kada se nepoznatideqenik smawuje.

x : 23

92<

1 2 3 4 5 6 70– 1–2– 3– 4

% Re{i nejedna~inu i re{ewe predstavi na brojevnoj pravoj.

a) x : 3,5 ≤ – 2

b) x : 4 > – 1,5

$ Da li – 2,1 pripada skupu re{ewa nejedna~ine x : 4 ≥ – 1?• da • ne

Da ti kaèm

U skup re{ewa nejedna~ineu zadatku pod a)ukqu~i i re{eweodgovaraju}e jedna~ine.

U petom razredu nau~ili smo da re{avamo nejedna~ine oblika x : a > b i x : a < b,gde su a i b pozitivni racionalni brojevi, kao u zadacima 2 i 3.Re{imo sada nejedna~ine x : 3 > – 2 i x : 3 < – 2.

x : 3 > – 2 x : 3 = – 2 x = – 2 3 x = – 6 x > – 6

Do re{ewa nejedna~ine do{li smo znaju}i da se vrednos t koli~nikapove}ava kada se deqenik pove}ava.Re{ewe nejedna~ine x : 3 > – 2 jesu svi brojevi ve}i od – 6, {to moèmo predstaviti i na brojevnoj pravoj.


x : 3 < – 2Kako znamo da se vrednost koli~nika x : 3 smawuje kada se deqenik smawuje,data nejedna~ina svodi se na nejedna~inu x < – 6. To zna~i da su wena re{ewasvi brojevi mawi od – 6, {to moèmo predstaviti i na brojevnoj pravoj.

Svaka nejedna~ina oblika x : a > b ili x : a < b, gde je a > 0,re{ava se na isti na~in kao u datim primerima.

RE[AVAWE NEJEDNAÎNE OBLIKA x : a > b i x : a 0


re{ewe jedna~ine je – 6


20– 2

20– 2

60

& Odredi najve}i ceo broj koji je re{ewe nejedna~ine x : 1,2 < – 1,4.

' a) Popuni tabelu kao {to je zapo~eto.

b) Kako se mewa vrednost koli~nika x : 2 kada se x pove}ava? Zaokruì ta~an odgovor.• pove}ava se • smawuje se • ne mewa se

v) Kako se mewa vrednost koli~nika x : (– 2) kada se x pove}ava? Zaokruì ta~an odgovor.• pove}ava se • smawuje se • ne mewa se

x –3 – 2 – 1 0 1 2 3

x : 2 –1,5 x : (– 2) 1,5

Re{imo nejedna~ine x : (– 3) > – 2 i x : (– 3) < – 2. x : (–3) > – 2 x : (–3) = –2 x = – 2 (– 3) x = 6 x < 6

Do re{ewa nejedna~ine do{li smo znaju}i da se vrednos t koli~nika x : (– 3)pove}ava kada se deqenik smawuje.Re{ewe nejedna~ine x : (– 3) > – 2 jesu svi brojevi mawi od 6, {t o moèmo predstaviti i na brojevnoj pravoj.


x : (–3) < – 2Kako znamo da se vrednost koli~nika x : (– 3) smawuje kada se deqenikpove}ava, re{ewa date nejedna~ine jesu svi brojevi ve}i od 6, {t o moèmopredstaviti i na brojevnoj pravoj.

Svaka nejedna~ina oblika x : a > b ili x : a < b, gde je a < 0,re{ava se na isti na~in kao u datim primerima.

RE[AVAWE NEJEDNAÎNE OBLIKAx : a > b

ix : a < b

zaa < 0


re{ewe jedna~ine je 6

re{ewe nejedna~ine su svi brojevi mawi od 6

Da ti ka`em

• Koli~nik x : (– 0,5 ) sesmawuje kada se x pove}

• Koli~nik x : (– 2,4 ) se

pove}ava kada se x smaw

( Re{i nejedna~inu i re{ewa predstavi na brojevnoj pravoj.

a) x : (– 0,5 ) ≤4

* Pove`i po dve nejedna~ine koje imaju isti skup re{ewa.

0– 1– 2– 3– 4 1 2 3 4

0– 1– 2– 3– 4 1 2 3 4

• Nejedna~ina x : a > b, a > 0 svodi se na nejedna~inu x > a b.• Nejedna~ina x : a > b, a < 0 svodi se na nejedna~inu x < a b.

x : 2 < 4 x : (– 2) < 4 x : 2 > 4 x : 2 < 4 x : (– 2) > 4

x > – 8 x < 8 x < – 8 x : 2 < 4 x > 8

! Koliko je novca mogla da potro{i Milica ako je tokom 10 dana letovawadnevno tro{ila mawe od 500 dinara?

" Re{i nejedna~inu i re{ewa predstavi na brojevnoj pravoj.

a) x : (–0 ,4) ≤7 b) x : (– 7) > 1,2 v)

g) x : 15 ≥0,2 d) x : −( ) >45

10

x : −( ) ≤ −83

14

) Odredi sve prirodne brojeve koji su re{ewa date nejedna~ine.

x : −( ) ≥ −57

143

Proveri {ta zna{

b) x : (– 2,4 ) ≥ – 1

62

! Miqa je krenula u kwiàru da kupi4 sveske i marker. Marker ko{ta

150 dinara. Koliko Miqa najvi{emoè da plati za jednu svesku akoima 1 350 dinara? Zaokruì slovo ispred ta~nog odgovora.a) 250 b) 325 v) 300 g) 350

" Zaokruì sve one brojeve koji su re{ewa nejedna~ine .

0 – 1 – 2,5 4 – 2 1

3 14

2 x + ≤ −

# Re{i nejedna~inu 2 x – 1 ≤5 u skupu prirodnih brojeva.

$ Re{i nejedna~inu.a) 5 x + 7 > – 23 b) 3 x + 8 < – 5

• re{ewe nejedna~ineoblika a x + b > ci a x + b < za a > 0

• re{ewe nejedna~ineoblika a x + b > ci a x + b < za a < 0

NEJEDNAÎNE OBLIKAa x + b > c, a x + b < c

Da ti kaèm

Zadatak moè{ da re{i{ i re{avaju}i nejedna~inu :

4 x + 150 ≤1350Najve}i prirodni broj iz skupa re{ewa nejedna~ine

jeste odgovor na postavqeno pitawe.

Da ti kaèm

Vrednost zbira 3 x + se smawuje kada sesabirak 3 x smawuje.

Re{imo nejedna~inu 4 x + 6 > – 10.4 x + 6 > – 104 x + 6 = –104 x = – 10 – 64 x = – 16

x = – 16 : 4 x = – 4 x > – 4

Do re{ewa nejedna~ine do{li smo znaju}i da se vrednos tzbira 4 x + 6 pove}ava kada se sabirak 4 x pove}ava.Re{ewe nejedna~ine 4 x + 6 > – 10 jesu svi brojevi ve}i od – 4,

{to moèmo predstaviti i na brojevnoj pravoj.

RE[AVAWE NEJEDNAÎNA a x c > b a > 0

prvo re{avamo jedna~inu u kojoj je 4 x nepoznati sabirak

sada re{avamo jedna~inu u kojoj je x nepoznati ~inilac

re{ewe jedna~ine je – 4


Prvo re{i jedna~inu2 x – 1 = 3

% Re{i nejedna~inu 2 x – 5 ≤ – 3 i re{ewepredstavi na brojevnoj pravoj.

Ne zaboravi da je oduzimawe dodavawesuprotnog broja, pa nejedna~inu 2 x – 5 ≤ moè{ zapisati i kao 2 x + (– 5) ≤ – 3.

Na primer :

– 4 x + 6 > – 10– 4 x + 6 = – 10– 4 x = – 10 – 6– 4 x = – 16

x = – 16 : (– 4) x = 4 x < 4

Do re{ewa nejedna~ine do{li smo znaju}i da se vrednos t zbira– 4 x + 6 pove}ava kada se sabirak –4 x pove}ava, a – 4 x sepove}ava kada se x smawuje.Re{ewe nejedna~ine – 4 x + 6 > – 10 jesu svi brojevi mawi od 4,{to moèmo predstaviti i na brojevnoj pravoj.

RE[AVAWE NEJEDNAÎNA a x c > b a < 0

prvo re{avamo jedna~inu u kojoj je – 4 x nepoznati sabirak

sada re{avamo jedna~inu u kojoj je nepoznati ~inilac

re{ewe jedna~ine je broj 4

re{ewe nejedna~ine su svi brojevi mawi od 4

& Re{i nejedna~inu i re{ewa predstavi na brojevnoj pravoj.

a) – 3 x + 12 > 9 b) v) – 0,4 x + 2,7 ≥3,512 4 5 x − < −

' Re{i nejedna~inu.

a) – 2,4 x + 0,3 > – 0,18 b) v) –x – 7 ≥ – 523

34

1 x − ≤ −

! Koji su brojevi iz skupa {0, – 1, 2, – 3, 1, 3 } re{ewa nejedna~ine – 3,5 x – 2,1 > – 1,2?

# Odredi najve}i ceo broj koji je re{ewe nejedna~ine –6 x – 3,8 > – 2,6.

" Re{i nejedna~inu i re{ewa predstavi na brojevnoj pravoj.

a) – 5 x + 2,5 > –1,5 b) v) 1 19

13

29 x − ≥ −− + ≤ −2

5 1 3

10 x

Proveri {ta zna{



64

% Napi{i u obliku procenta.

a) b) v) g) 112

910

14

35

& Napi{i u obliku procenta.

a) 0,9 b) 0,4

v) 1,5 g) 0,485

Razlomak pro{iri

tako da imenilacbude 100.

0 731 7311000

731 101000 10

73 1100

73 1, ::

,, %= = = =

Da ti kaèm

17100

17= %2100

2= %

PROCENAT • zapis razlomkau obliku procenta

! Izrazi razlomkom obojeni deo figure.

# Napi{i u obliku procenta.

a) b) v)75100

34100

11100

$ Napi{i u obliku procenta.a) 0,09 b) 0,03 v) 0,25 g) 0,4

Neke od informacija k oje svakodnevno moèmo da ~ujemo na televiziji,

radiju ili da pro~itamo u {tampi vezane su za procente.Na primer : Vla`nost vazduha je 82% , Novak \okovi} je prvi servispogodio sa 65% , Benzin je pojeftinio za 3%, a struja je poskupela za 8% …

U petom razredu nau~ili smo da se procentom izraàva deo od 100,to jest procentni zapis broja je 1% .1

100

" Napi{i u obliku razlomka.

a) 3% b) 10% v) 21%

g) 87% d) 9% |) 19%

PROCENAT



( Napi{i u obliku nesvodqivog razlomka.

a) 5% b) 75% v) 25% g) 50% d) 1,5%

) Zapisano u obliku decimalnog broja, 25,3% je :

a) 25,3 b) 2,53 v) 0,253 g) 0,0253


+ Nina je na treningu od 32 poku{aja 8 puta ubacila trojku .

a) Izrazi razlomkom wenu uspe{nost u poga|awu trojke.

b) Dobijeni rezultat pod a) izrazi u obliku procenta.

Prvo podeli brojilac razlomkaimeniocem. Tako dobijeni decimalnibroj napi{i u obliku procenta.

41 3 41 3100

413 10100 10

4131000

0 , % , ,= = = =

* Napi{i obliku procenta.

a)

b) 716

38

' Maja je isplanirala kako da u bakinoj ba{ti na selu zasadi lek ovito biqe.

a) Izrazi u obliku procenta koji je deo ba{te zasa|en :

• nanom • kamilicom i koprivom

b) Koje je lekovito biqe zasa|eno u najve}em delu ba{te?

v) Koja je lekovita biqka zasa|ena u 10% ba{te?

hajdu~ka trava

kopriva

kantarion

nana

kamilica

lavanda

1 m2

Da ti ka`em



66

, Od 365 dana u godini 180 provede{ u {k oli. Koliko je to procenata?Zaokruì slovo ispred ta~nog odgovora.

a) mawe od 50% b) 50% v) vi{e od 50%

- Izra~unaj :

a) 5% od 15 b) 20% od 45 000 v) 95% od 2 000 g) 1,2% od 100.

. Prilikom mlevewa p{enice oko 30% otpada na mekiwe.

Koliko se kilograma mekiwa dobije od 100 kg p{enice?

/ Punomasni sir sadrì 45% mle~ne masno}e. Kolikograma mle~ne masno}e ima u jednom kilogramu tog sira?

Da ti kaèm

Izra~unati 25 %od broja 1 000 zna~iizra~unati vrednost

proizvoda :

25 1000 25100

10% =

Zadaci za svesku

! Napi{i u obliku procenta : , , , . 58

65

34

12

" Napi{i u obliku procenta : 0,13; 1,2; 0,07; 0,0125; 0,004.

# Napi{i u obliku nesvodqivog razlomka : 20%; 14%; 22,5%; 8,25%.

$ Izra~unaj.a) 32% od 160 b) 7,5% od 5 000 v) 0,8% od 800

I TO JE MATEMATIKARe~ anketa poti~e od latinske re~i enquirere , {to zna~i istraìvati . Anketa je nazivza sve postupke pomo}u kojih se prikupqaju i analiziraju podaci o razli~itim s tavovima,interesovawima i mi{qewima.Prilikom anketirawa pitawa se mogu postavqati pismeno, pomo}u pripremqenog upitnika,usmeno, putem intervjua, preko telefona itd.

! Anketirano je 1 000 slu~ajnih prolaznika povodom reklame o novom ~ok oladnom keksu.Rezultati ankete prikazani su na grafikonu.a) Koliko je u~esnika ankete gledalo reklamu?b) Koliko wih nije probalo keks?v) Koliko je wih zadovoqno ukusom keksa?

1 000 u~esnika ankete

80% je gledalo reklamu20%gledrekl

60% je probalo keks40% nije probalo

keks

20% je zadovoqnoukusom keksa

80% nije zadovoqno ukusom keksa



ZAPAMTI

Proizvod dva racionalna broja

ra~una se tako {to se pomno`e wihoveapsolutne vrednosti i rezultatudodeli znak :

„+“ ako su brojevi istog znaka

Jedan procenat je stoti deo celog.

„–“ ako su brojevi razli~itog znaka

Koli~nik dva racionalna broja

ra~una se tako {to se podele wihoveapsolutne vrednosti i rezultatudodeli znak :

„+“ ako su brojevi istog znaka

7,08 0,4 = 2,832–7,08 (–0,4 ) = 2,83223

45

815 =

− −( ) =23 45 815

7,08 : 0,4 = 70,8 : 4 = 17,7–7,08 : (–0,4 ) = 17,723

45

23

54

56

: = =

− −( ) =23

45

56

:

–3,72 1,2 = –4,4643,72 (–1,2 ) = –4,464

− = −12

37

314

12

37

314 −( ) = −

„–“ ako su brojevi razli~itog znaka

–3,72 : 1,2 = –37,2 : 12 = –3,13,72 : (–1,2 ) = –3,1

− = − = −12

37

12

73

76

:

12

37

76

: −( ) = −

1 1100

0 01% ,= =

Mno`ewe i deqewe racionalnih brojeva

Procenat



68

^ETVOROUGAO

U ovom poglavqu u~i}e{ o :

• ~etvorouglu, wegovim osobinama, zbiru uglova ~etvorougla• vrstama ~etvorougla : paralelogramu, trapezu i deltoidu.

Geometrija drevnog EgiptaGeometrijska znawa Starih Egip}ana i Vavilonaca bila su uglavnomiskustvenog porekla. Ona su im bila potrebna da bi odre|ivali me|ei povr{ine wiva koje je reka Nil stalno plavila, kao i da bi gradilibrodove, hramove i palate. Jedno od malobrojnih sa~uvanih dela iz t og

doba jeste papirus koji je napisao Ahmes (1680–1620. godine pre nove ere).

Geometrija anti~kih GrkaOve veli~anstvene gra|evine, kojimase i danas divimo, poti~u iz anti~keGr~ke (600– 400. godine pre nove ere).Wihovim graditeqima su bila potrebnavelika znawa iz geometrije.

Iz istorije geometrije

Pitagora sa Samosa(569–475. godine pre nove ere)smatra se prvim matemati~arem koji je na ~isto logi~kom principu izvodio matemati~kezakqu~ke. Wemu se pripisujudokazi mnogih teorema, a jednu od wih – o t omeda je zbir uglova u trouglu 180° – nau~ili smoi primewivali u toku ove {kolske godine.

Euklid(330–275. godine

pre nove ere)`iveo je i radiou Aleksandriji,gde je stvorio

svoju poznatumatemati~ku {kolu. Napisao jebrojna dela, od kojih je najpoznatijeElementi . Mnoge generacijematemati~ara u~ile su iz te kwige.Elementi su vekovima smatrani jednimod najsavr{enijih matemati~kih dela.

Tales iz Mileta(624–547. godine pre nove ere) smatran

je jednim od sedmorice mudraca s tarogveka. Grcima je preneo matemati~ka

znawa Starih Egip}ana.



1 2 3 KRENI…

! Koliki je ugao trougla ABC na slici?a) 45°b) 57°

v) 27°g) 32°

" Izra~unaj ugao na slici.

# Koja tvr|ewa su ta~na?a) Svaki jednakokraki trougao ima sva tri ugla jednaka.b) Jednakostrani~ni trougao ima jednake uglove.

v) Svaki pravougli trougao ima dva jednaka ugla.g) Ugao jednakokrakog trougla na osnovici uvek je o{tar.d) Zbir o{trih uglova pravouglog trougla je 90°.

$ Koje pravilo koristi{ da dokaè{ da su trouglovina slici podudarni?a) SSSb) USUv) SUSg) SSU

% Koja je du` rastojawe izme|u paralelnihpravih a i b na slici?a) ABb) CDv) EF g) GH

& Na crteìma su prikazane zna~ajne ta~ke trougla. Ozna~i svaku odgovaraju}im slovom :

O, S, H, T . Poveì svaki crte` sa odgovaraju}im pojmom.

ortocentar centar upisanekru`nice

centar opisanekru`nice

teì{te



70

ÊTVOROUGAO.ELEMENTI ÊTVOROUGLA

! Napi{i slova kojima su obeleèni :

a) ~etvorouglovi

b) konveksni ~etvorouglovi

v) nekonveksan ~etvorugao

" Dopuni crte` tako da dobije{ ~etvorougao ABCDkoji je :

• ~etvorougao• temena• stranice• unutra{wi uglovi• spoqa{wi uglovi• dijagonale

Konveksni ~etvorougao

U {estom razredu u~i}emo samo o konveksnim ~etvorouglovima.

Nekonveksni ~etvorougao

etvorougao je deo ravni ograni~en prostomzatvorenom izlomqenom linijom od ~etiriduì, zajedno s tom linijom. Zajedni~ke ta~keduì nazivamo temena ~etvorougla, a te duì

stranice.

ÊTVOROUGAO – STRANICE ÊTVOROUGLA

b) nekonveksana) konveksan

Podseti se

Prosta izlomqena

linija

Izlomqena linijakoja nije prosta

PN

M Q

A

DB

C

A

A

B

C D B

A

B

C

D

stranica

teme



# Na osnovu slike popuni tabele kao {to je zapo~eto.

$ Kad kaèmo ~etvorougao ABCD, na koji ~etvorougao na slici mislimo?Zaokruì slovo ispred ta~nog odgovora.

% Temena ~etvorougla ABCDna slici obeleì slovima

A, B, C i D kao {to je zapo~eto.

êtvorougao ~ija su temena A, B, C i D, kao na slici, zapisujemo ABCD. Stranice ABCD su : AB, BC, CD i DA.

Susedna temena ~etvorougla jesu krajwe ta~ke jedne stranice.Svako teme ima dva susedna temena i jedno naspramno teme.

Na primer : za teme A susedna temena su B i D,a naspramno je C.

Dve stranice ~etvorougla su susedne ako imaju zajedni~ko teme.Svaka stranica ~etvorougla ima dve susedne stranice i jednunaspramnu stranicu.

Na primer : za stranicu AB susedne stranice su BC i DA,a naspramna je CD.

êsto duìne stranica ~etvorougla obeleàvamo malim pisan-im slovima latinice. Na primer : a , b, c, d, kao na crteù.

Obeleìti ~etvorougao ABCDzna~i da slovi A, B, C i D, redom,obeleì{ susedna temena.

teme naspramnoteme

susednatemena

C E D, F

D

E

F

stranica naspramnastranica

susednestranice

DE FC DC, EF

a)

a) b)

b) v)

Da ti kaèm

C

D

E

F



72

Uglove ~ija su temena istovremeno i temena~etvorougla, a kraci sadrè susedne stranice,nazivamo unutra{wi uglovi ~etvorougla.

Na primer, unutra{wi uglovi ~etvorougla

ABCD su:

DAB, ABC, BCD i CDAi ~esto ih, redom, obeleàvamo i sa α, β, γ i δ.

Isto kao i kod trougla, spoqa{wi ugao ~etvorougla je onaj ugao koji je uporedan unutra{wem uglu.

Na primer : uglovi α1, β1, γ 1 i δ1 jesu spoqa{wiuglovi, a wima uporedni α, β, γ i δ jesu un-utra{wi uglovi ~etvorougla ABCD na slici.

UGLOVI ÊTVOROUGLA

Podseti se

Zbir uporednih uglova je 180°.

' a) Obeleì lukom unutra{we uglove ~etvorouglana slici i zapi{i ih.

Spoqa{wi ugao ~etvorougla kod jednog temena moè{ da nacrta{

na dva na~ina:

b) Svakom uglu nacrataj odgovaraju}i spoqa{wi ugao i obeleì ga luk om.

Da ti kaèm

& Za svaki crte` zapi{i odgovaraju}i ~etvorougao.

A

B

G

H

N

M

D

C

C

D

A

B

M

P

E F



Dijagonala je du` ~ije su krajwe ta~ke naspramnatemena ~etvorougla. Svaki ~etvorougao ima dve dijagonale.

Dijagonale ~etvorougla ABCDna slici

jesu duì AC i BD.êsto duìne dijagonala obeleàvamo sa d1 i d2.

DIJAGONALE ÊTVOROUGLA

( Nacrtaj dijagonale ~etvorouglaSMPQ i zapi{i ih.

) Nacrtaj i zapi{i ~etvorougao ~ijesu dijagonale date duì.

0 Nacrtaj i obeleì tri ~etvorouglasa zajedni~kom stranicom AB.

+ Nacrtaj i zapi{i sve ~etvorouglove~ija su temena date ta~ke.

A A

B

B C

D

E

! Nacrtaj i obeleì proizvoqan ~etvorougao MNPQ .

" Nacrtaj proizvoqan ~etvorougao RSPQ.a) Koja je stranica naspramna stranici RS?b) Koja su temena susedna temena temenu P? Koje teme je naspramno temenu P?

# Nacrtaj proizvoqan ~etvorougao ABCD. Nacrtaj wegove dijagonale i napi{ikoje su to duì.

Proveri {ta zna{

Da ti kaèm

Od 5 ta~ak izaberi 4, ta{to }e{ jednizostavitita~ku A, jeB itd.

d1

d2

P

R S

M



74

ZBIR UNUTRA[WIH UGLOVAÊTVOROUGLA. ZBIR SPOQA[WIHUGLOVA ÊTVOROUGLA

! a) Koliki je zbir unutra{wih uglova kvadrata?

# Izreì od taweg kartona ~etvorougao i oboj uglove kao na crteù. Pa`qivo izreìdelove uglova i nadoveì ih tako da im poklopi{ temena i dva po dva kraka.

• zbir unutra{wihuglova ~etvorougla

• zbir spoqa{wihuglova ~etvorougla

b) Nacrtaj spoqa{we uglove kvadrata i napi{i koliki je wihov zbir.

Kakav }e{ ugao dobiti?Zaokruì ta~an odgovor.• o{tar• prav• opruèn• pun

b) Nacrtaj spoqa{we uglove pravougaonika i napi{i koliki je wihov zbir.

A B

CD

A B

CD

" a) Koliki je zbir unutra{wih uglova pravougaonika?

Zbir unutra{wih uglova ~etvorougla je pun ugao.Mera punog ugla je 360 °.

ZBIR UNUTRA[WIH UGLOVA ÊTVOROUGLA



& Nacrtaj na tawem kartonu ~etvorougaoi wegove spoqa{we uglove kao {to

je prikazano na crteù. Pa`qivoizreì delove spoqa{wih uglovai nadoveì ih tako da im poklopi{temena i dva po dva kraka.

Kakav }e{ ugao dobiti?

$ Izra~unaj ugao α.

% Izra~unaj uglove kod temena A i C~etvorougla ABCDna slici.

Zbir spoqa{wih uglova ~etvorougla je 360 °.

ZBIR SPOQA[WIH UGLOVA ÊTVOROUGLA

Dijagonala AC ~etvorougla ABCD deli unutra{wi ugao α nauglove α’ i α“, {to zna~i da je α = α’ + α“. Ista dijagonaladeli i ugao γ na uglove γ ’ i γ “, {to zna~i da je γ = γ ’ + γ “.

Sabirawem uglova trouglova ABC i ACD, a znaju}i da je

zbir uglova u trouglu jednak 180°, dobijamo:

(α’ + δ + γ ’)+ ( γ “ + β + α“) = 180° + 180°

α’ + α“ + β + γ ’ + γ “ + δ = 360°

α + β + γ + δ = 360°

Zbir unutra{wih uglova ~etvorougla je 360°.

ZBIR UNUTRA[WIH UGLOVA U ÊTVOROUGLU

a) b)



76

Kada dopunimo svaki unutra{wi ugao α, β, γ i δ ~etvorougla ABCDna slici spoqa{wim uglovima α1, β1, γ 1 i δ1, dobijamo :

α1+ α = 180°, β1 + β = 180°, γ 1 + γ = 180°, δ1 + δ = 180°

Odatle sledi da je :

α1 + α + β1 + β + γ 1 + γ + δ1 + δ = 4 180°α1 + β1 + γ 1 + δ1 + α + β + γ + δ = 720°

Kako je α + β + γ + δ = 360°, iz prethodne jednakosti sledi :

α1 + β1 + γ 1 + δ1 = 360°

ZBIR SPOQA[WIH UGLOVA ÊTVOROUGLA

B

αα 1C

D

A

ββ1

δδ1

γ γ 1

' a) Izra~unaj nepoznati spoqa{wi ugao~etvorougla na slici.

( Izra~unaj nepoznate unutra{we uglove sa slike.

) Neka su α, β, γ i δ unutra{wi uglovi ~etvorougla i neka su α1, β1, γ 1i δ1 odgovaraju}i spoqa{wi uglovi. Izra~unaj ostale uglove ako je :

a) α = 78°, β = 105°, γ 1 = 68°b) β1 = 35°, γ 1 = 96°, δ = 120°.

b) Izra~unaj unutra{we uglove~etvorougla.

Skica ~etvorouglamoè ti pomo}ida re{i{ zadatak.

Da ti kaèm

! Ako su unutra{wi uglovi ~etvorougla α = 39°, β = 72° i γ = 156°,izra~unaj wegov ~etvrti unutra{wi ugao δ.

" Ako su spoqa{wi uglovi ~etvorougla α1 = 103°, β1 = 97° i γ 1 = 145°, izra~unaj wegov ~etvrtispoqa{wi ugao δ1. Za svaki spoqa{wi ugao izra~unaj odgovaraju}i unutra{wi ugao.

Proveri {ta zna{

γ



POJAM CENTRALNE SIMETRIJE

! Da li su trouglovi na slici podudarni?

Da li postoji prava po kojoj, presavijawem kvadratnemreè, moè{ da preklopi{ trouglove na slici?Da li ta~ke A, C i D pripadaju jednoj pravoj?Proveri pomo}u lewira.

Da li je ta~ka C sredi{te duì AD?

Izreì od papira model trouglova kao na crteù.Prona|i u wihovoj ravni jedno kretawe kojim ihmoè{ preklopiti.

" Na kom su crteù date olovke centralnosimetri~ne? Zaokruì slovo ispred ta~nog odgovora.a) b) v) g)

• centralna simetrija• centralnosimetri~ne ta~ke• centralnosimetri~ne duì• centralna simetri~nost jedne figure

Koristimo izrezane podudarne trouglove iz zadatka 1. Preklopimo ihi pri~vrstimo ~iodom po jedno wihovo teme tako da se trouglovi moguslobodno okretati oko ~iode. Plavi trougao zadrìmo u jednom poloàju, a crveni okre}imo oko pri~vr{}ene ta~ke. Na drugoj slicividimo razli~ite poloàje crvenog trougla u toku okretawa.Zaustavimo kretawe trougla u trenutku kada po dve stranice dvatrougla budu pripadale istoj pravoj, kao {to je prikazano na tre}ojslici. Tada za trouglove kaèmo da su centralnosime tri~ni ilisimetri~ni u odnosu na ta~ku, u ovom slu~aju na teme trougla. Tu ta~ku

nazivamo centar simetrije.

CENTRALNA SIMETRIJA



78

Konstrui{emo ta~ku simetri~nu datoj.

Za ta~ke A i B kaèmo da su centralnosimetri~ne u odnosu na ta~ku S.Ta~ku S nazivamo centar simetrije.

Centralna simetrija odre|ena je ta~kom koju nazivamo centar simetrije.

Date su ta~ka A i ta~ka S.

CENTRALNOSIMETRI^NE TA^KE

Dve centralnosimetri~ne duìparalelne su i jednake.

Duì AB i A1B1 su centralno -simetri~ne.Centar simetrije je ta~ka O.Duì AB i A1B1 su podudarne.

CENTRALNOSIMETRI^NE DU@I

Crtamo polupravu AS. Konstrui{emo ta~ku B takoda B SA i AS = BS.

# Konstrui{i du` A1B1, simetri~nu datoj duì ABu odnosu na datu ta~ku S.

$ Konstrui{i trougao A1B1C1, simetri~an trouglu ABC,ako je centar simetrije :

a) teme B b) ta~ka E.

Da ti kaèm

Iz podudarnosti trouglova

AOBi

A1OB1sledi :

AB = A1B1 i AB || A1B1

Dva centralnosimetri~natrougla su podudarna.

Prvo nacrtaj polupravu AS,

a zatim na woj odredi ta~ku A1tako da je AS = SA1. Isti postupak primeni i za ta~ku B

A

B = B1

C



Za figuru kaèmo da je centralnosimetri~na u odnosu na neku ta~ku S ako svaka wena ta~ka ima simetri~nu ta~ku koja pripada toj figuri u odnosu na datu ta~ku S.

Primeri centralnosimetri~nih figuraPored osnosimetri~nih figura, koje su simetri~ne u odnosu na pravu,sre}emo se i s figurama koje su simetri~ne u odnosu na ta~ku.Tu ta~ku nazivamo centar simetrije.Evo nekoliko primera centralnosimetri~nih figura.

CENTRALNA SIMETRI^NOST JEDNE FIGURE

% Dve strelice su centralnosimetri~ne. Nacrtaj ta~ku koja je centar simetrije.

& Odredi du` simetri~nu datoj duì AB u odnosu na sredi{te S.

' Slovo Z je centralnosimetri~no. Centar simetrije ozna~en je ta~kom. Koja su jo{ slovacentralnosimetri~na? Ozna~i ta~kom wihove centre simetrije.

Ta~ke A i B su simetri~u odnosu na S. Du` A

je centralnosimetri~nafigura.

Da ti kaèm

a) b) v)

" Nacrtaj ~etvorougao ABCD. Konstrui{i centralnosimetri~an~etvorouga o A1B1C1D1 ako je centar simetrije :

a) teme C b) sredi{te stranice BC v) zajedni~ka ta~ka simetrala uglova α i β.

! Da li je figura na slici osnosimetri~na? Da li je centralnosimetri~na?

Proveri {ta zna{



80

VRSTE ÊTVOROUGLOVA.PARALELOGRAM

! U figurama TANGRAMA uo~i dva ~etvorougla; jedan je obojen u crveno, a drugi u plavo.

" U tabelu upi{i slova kojima su obeleèni~etvorouglovi koji :

Kako se naziva crveni ~etvorougao?

Koristi pribor za geometriju i ispitaj paralelnoststranica plavog ~etvorougla. Da li su wegove naspramnestranice paralelne?

• vrste ~etvorouglova• paralelogram• svojstvo stranica paralelograma• svojstva uglova paralelograma• svojstvo dijagonala paralelograma• visine paralelograma

imaju dva para paralelnihstranica

imaju samo jedan par paralelnih stranica

nemaju paralelnih stranica

Prema paralelnosti naspramnih stranica ~etvorouglove delimo na :

• paralelograme – to su~etvorouglovi koji imajudva para paralelnihstranica

• trapeze – to su ~etvorouglovi kojiimaju samo jedan parparalelnih stranica

• ~etvorouglove kojinemaju paralelnihstranica.

VRSTE ÊTVOROUGLOVA PREMA PARALELNOSTI STRANICA

AB || DC i BC || AD AB || DC



Dokaìmo da paralelogram ABCD na slici ima :

• jednake naspramne stranice ( AB = CD, AD = CB)• jednake naspramne uglove ( DAB = BCD, ABC = CDA)• susedne uglove suplementne ( DAB+ ABC = 180°).Dokaìmo da su trouglovi ABD i CDB podudarni.Na osnovu jednakosti :

BD = BD ADB = CBD ABD = CDB

sledi da su trouglovi ABD i BCD podudarni (pravilo USU),{to zna~i :

AB = CD, BC = DA i DAB= BCDKako su prave AD i BC paralelne, a prava AB wihova transverzala, sledi da su uglovi DAB i ABC suplementni.Na isti na~in moèmo pokazati da su svaka dva susedna uglaparalelograma suplementna.

# Na crteù uo~i i zapi{i paralelogram i sve trapeze.

$ a) Dopuni crte` tako da dobije{ paralelogram ABCD.

SVOJSTVA PARALELOGRAMA – STRANICE I UGLOVI

b) Koristi {estar i ispitaj jednakost stranica AB i CD, a zatim i stranica BC i DA.

v) Koristi {estar i ispitaj jednakost uglova DAB i BCD, a zatim i uglova ABC i CDA.

uglovi na transverzali BD AD || BC

zajedni~ka stranica

uglovi na transverzali BD AB || CD

êsto stranice i uglove paralelograma obeleàvamo i na slede}i na~in :

Uglovi ~iji je zbir 180su suplementni.

Podseti se

Ovako se crtaju paralelne prave.

A



82

% êtvorougao EFGH je paralelogram. Napi{i parove jednakih uglova i parove jednakih s tranica.

& Jedan unutra{wi ugao paralelograma je 33°.Izra~unaj ostale unutra{we uglove. Nacrtajskicu paralelograma.

' Zbir dva spoqa{wa ugla paralelograma je 120°. Izra~unaj uglove paralelograma.Nacrtaj skicu.

( Izra~unaj uglove paralelograma ABCD na slici.

) Koristi {estar i uporedi duì AO i OC,kao i BO i OD. Da li su jednake?

Du` DE je visinaparalelograma ABCD kojaodgovara stranici AB.

Visina paralelograma je du` normalna na pravekoje sadrè naspramne stranice paralelograma.Wene krajwe ta~ke pripadaju tim pravama.

Visina paralelograma jednaka je rastojawu izme|uparalelnih stranica.

U svakom paralelogramu mogu se iz jednog temenapovu}i dve visine. Wihove duìne naj~e{}eobeleàvamo sa ha i hb, kao {to je prikazanona crteù.

VISINA PARALELOGRAMA

Zbir dva spoqa{wa susednaugla paralelograma je 180°.

Da ti kaèm

visina ha odgovarastranici a

visina hb odgovarastranici b



Dokaìmo da se dijagonale paralelograma ABCD polove.

Neka se dijagonale paralelograma seku u ta~ki O.

Prvo dokaìmo podudarnost trouglova AOD i COB. AD = CB

DAO = BCOODA = OBC

Dakle, na osnovu pravila USU trouglovi AOD i COBsu podudarni, odakle sledi :

AO = CO i BO = DO

SVOJSTVO DIJAGONALA PARALELOGRAMA

naspramne stranice

uglovi na transverzali AC AD || BC

uglovi na transverzali BD AB || DC

Paralelogram je centralnosimetri~na figura.Centar simetrije je zajedni~ka ta~ka dijagonala.

êtvorougao je paralelogram ako vaì jedno od slede}ih tvr|ewa :

1. Dve naspramne stranice su jednake i paralelne.2. Naspramne stranice su jednake.3. Naspramni uglovi su jednaki.4. Susedni uglovi su suplementni.5. Dijagonale se polove.

Naspramne stranice paralelograma su jednake.Naspramni uglovi su jednaki.Susedni uglovi su suplementni.Dijagonale paralelograma se polove.

OSNOVNA SVOJSTVA PARALELOGRAMA

! Nacrtaj i obeleì proizvoqan paralelogram.a) Na osnovu crteà napi{i parove jednakih stranica i parove jednakih uglova.b) Nacrtaj dijagonale paralelograma.

" Jedan spoqa{wi ugao paralelograma je 115°. Izra~unaj ostale uglove paralelograma.

# 3bir dva spoqa{wa ugla paralelograma je 150°. Izra~unaj os tale uglove paralelograma.

Proveri {ta zna{

Kada se kaè da su naspramstranice i naspramni uglovi jednaki , misli se na oba paranaspramnih stranica i uglovaparalelograma.

Da ti kaèm



84

! Dva jednakokraka trougla koja imaju zajedni~kuosnovicu obrazuju ~etvorougao kao na slici.

" Paralelogram ABCD ima jednake stranice.

a) Koliki je ugao izme|u dijagonala? Izmeri ga.b) Prekopiraj ovaj paralelogram na papir i presavij ga po jednoj

dijagonali. Da li }e se delovi paralelograma poklopiti?

Na isti na~in presavij paralelogram po drugoj dijagonali.

Da li }e se delovi paralelograma poklopiti?

• vrste paralelograma• romb• normalnost dijagonala romba• upisana kru`nica romba• pravougaonik• jednakost dijagonala pravougaonika• opisana kru`nica pravougaonika• kvadrat• normalnost i jednakost dijagonala

kvadrata• upisana i opisana kru`nica kvadrata

VRSTE PARALELOGRAMA– ROMB, PRAVOUGAONIK,KVADRAT

Da li je taj ~etvorougao paralelogram. Objasni.Koliki su wegovi uglovi?Da li su stranice tog ~etvorougla jednake?

Romb je paralelogram s jednakim stranicama.

SVOJSTVA ROMBA• Dijagonale su simetrale uglova romba i me|usobno

su normalne.

Nau~ili smo da je prava koja sadr`i vrh jednakokrakogtrougla i sredi{te osnovice osa simetrije tog trougla.

ROMB

UF ,TE? K O J E...



Trougao ABD je jednakokraki trougao ( AB = AD),a ta~ka O je sredi{te osnovice BD, {to zna~i da jeprava AO simetrala duì BD, to jest AO BD. Na isti na~in zakqu~ujemo da je prava CO simetrala duì BD. Zakqu~ujemoda je AC BD.

To zna~i da je prava AC osa simetrije datog romba.

Zakqu~ujemo i da je prava BD osa simetrije datog romba.• Romb je osnosimetri~na figura i ima dve ose simetrije.

To su prave kojima pripadaju wegove dijagonale. Dijagonaledele romb na ~etiri podudarna trougla.

• U romb se moè upisati kru`nica. Centar upisane kru`nice je zajedni~ka ta~ka dijagonala romba, a polupre~nik je jednakrastojawu od centra do svake stranice i jednak je polovinivisine romba.

• Kako je romb paralelogram, to zna~i da sva svojstva

paralelograma vaè i za romb.

$ Dijagonala romba obrazujesa stranicom ugao od 20°.Koliki su uglovi romba?

# Spoqa{wi ugao romba je 100°. Nacrtaj skicu i izra~unaj uglove romba.

% Ako je jedan ugao paralelograma prav, onda su sviuglovi pravi. Objasni.

& Dat je pravougaonik ABCDna slici. Dokaì da su wegovedijagonale jednake.

Naspramni uglovi paralelogramasu jednaki, a susedni suplementni.

Da ti kaèm

Podseti se

Pravougaonik je ~etvorougaokod koga su svi uglovi pravii naspramne stranice jednake.



86

' Nacrtaj u kvadratnoj mreì :

a) proizvoqan pravougaonik,a zatim mu opi{i kru`nicu

b) proizvoqan kvadrat, a zatimmu opi{i i upi{i kru`nicu.

Pravougaonik je paralelogram ~iji su uglovi pravi.

Kvadrat je paralelogram s jednakim stranicama i jednakimuglovima.

SVOJSTVA PRAVOUGAONIKA

Dijagonale pravougaonika su jednake.

Oko pravougaonika se moè opisati kru`nica.Centar opisane kru`nice je ta~ka preseka dijagonala,a polupre~nik je jednak polovini dijagonale.

SVOJSTVA KVADRATA

Dijagonale kvadrata su jednake i polove se podpravim uglom.

U kvadrat se moè upisati kru`nica.

Oko kvadrata se moè opisati kru`nica.

Centar opisane i upisane kru`nice je zajedni~kata~ka dijagonala.

Polupre~nik opisane kru`nice je polovina dijagonale,a polupre~nik upisane kru`nice je polovina stranicekvadrata.

PRAVOUGLI PARALELOGRAM – PRAVOUGAONIK

! Izra~unaj uglove romba ako je zbir dva ugla 150°20’.

" Nacrtaj pravougaonik stranica 5 cm i 3 cm , a zatim mu opi{i kru`nicu.

# Nacrtaj kvadrat stranice 4 cm , a zatim mu opi{i i upi{i kru`nicu .

Podseti se

Pravougaonik ima dve ose simetrije.

To su simetrale wegovih stranica.

Kvadrat ima ~etiri ose simetrije.To su simetrale wegovih stranicai simetrale wegovih uglova.

Proveri {ta zna{



KONSTRUKCIJA PARALELOGRAMA

! Nacrtaj pravu m, koja sadrì teme B i paralelna je sa AC.

Nacrtaj pravu p, koja sadrì teme C i paralelna je sa AB.

Zajedni~ku ta~ku pravih m i n obeleì sa D.Da li je ~etvorougao ABDC paralelogram?

Da li paralelogram moè uvek da se konstrui{eako su poznata tri wegova temena?

• odre|enost paralelograma• analiza zadatka• izvo|ewe konstrukcije

paralelograma

Nau~ili smo kako se konstrui{e trougao kada su dati we-

govi osnovni elementi.êtvorougao ABCD je dijagonalom BD podeqen na trouglove

ABD i DBC. Za konstrukciju trougla ABD potrebna su triwegova elementa, o ~emu govore pravila o podudarnostitrouglova.

Ta~ke A, B i D istovremeno su i temena traènog ~etvor-ougla. êtvrto teme C paralelograma ABCD jednozna~no jeodre|eno presekom prave koja sadrì teme D i paralelna

je sa AB i prave koja sadrì teme B i paralelna je sa AD.

To zna~i da je za konstrukciju paralelograma ABCD

potrebno isto onoliko podataka koliko i za konstrukcijutrougla ABD.

ODRE\ENOST I KONSTRUKCIJA PARALELOGRAMA

Podseti se

Priseti se konstrukcijetrouglova i pogledaj tekstOdre|enost trougla nastrani 103 u prvoj kwizi.

Konstrui{i paralelogram ABCDako je stranica AB duìne 4,5 cm , AD duìne 3,5 cm i DAB = 45°.

• Analiza zadatka

Crtamo skicu paralelograma ABCDs datim elementima.

Zadatak se svodi na konstrukcijutrougla ABD.

P RIMER



88

" Konstrui{i paralelogram ABCD ako je :

a = 4,5 cm , b = 3,5 cm i d1 = 6,5 cmPre konstrukcije nacrtaj skicu paralelogramakoji treba da konstrui{e{. To je analiza zadatka.

Da ti kaèm

Konstrui{i paralelogram ABCDako je AB duìne 4 cm ,duà dijagonala AC duìne 6 cm i ugao α = 60°.

• Analiza zadatka

Ugao ABC je suplementan uglu DAB,

pa je ABC = 120°.Zadatak se svodi na konstrukcijutrougla ABC.

Konstrui{emo pravu x tako da je x || AB i pravu y tako da je y || AD.Presek pravih x i y jeste ta~ka C,~etvrto teme paralelograma.

P RIMER

• Izvo|ewe konstrukcije

Prvo konstrui{emo trougao ABD.



# Konstrui{i romb ako je a = 4 cmi ve}a dijagonala d1 = 6 cm .

$ Konstrui{i romb ako su dijagonaled1 = 4 cm i d2 = 6 cm .

Svaka dijagonala romba je simetrala druge dijagonale.

Da ti ka`em


Konstrui{emo prvo trougao ABC.

Crtamo kroz ta~ku C pravu x , paralelnu stranici AB, zatim kroz ta~ku A pravu y ,paralelnu stranici BC. Presek pravih

x i y je ta~ka D.

! Konstrui{i paralelogram ako je : a = 4,5 cm , b = 3,5 cm i β = 150°.

" Konstrui{i paralelogram ako je a = 4 cm , α = 60°i mawa dijagonala 6 cm .

# Konstrui{i pravougaonik ako je dijagonala d = 6 cmi jedna stranica a = 4 cm .

$ Konstrui{i romb ako je a = 4 cm i α = 60°.

Proveri {ta zna{



90

TRAPEZ. SVOJSTVA TRAPEZA.SREDWA LINIJA TRAPEZA

! Napi{i slova kojima su obeleèni trapezi. ...............................................

" Prava s se~e paralelne stranice paralelograma na slici.

Kojoj vrsti ~etvorouglova pripada ~etvorougao AMPD?

A ~etvorougao MBCP?

# Nacrtaj dva proizvoqna trapeza ABCD i ABEF ako je data wihova osnovica AB.

a) b)

• trapez• osnovice• kraci• uglovi• sredwa linija• visina

Trapez je ~etvorougao koji ima samo jedan parparalelnih naspramnih stranica.

Paralelne stranice nazivamo osnovice trapeza,a druge dve kraci trapeza.

Osnovice trapeza ABCDna slici su AB i DC,a kraci AD i BC.

êsto stranice trapeza obeleàvamo kao nacrteù, gde su a i b duìne osnovica, a c1 i c2duìne krakova.

Duìne dijagonala trapeza u tom slu~ajuobeleàvamo sa d1 i d2.

TRAPEZ



$ Prave a i b su paralelne.a) Izra~unaj obeleène uglove na slici.b) Koji su od ozna~enih uglova suplementni?

% Izra~unaj uglove trapeza.

& Prave a , b i m su paralelne. Ako je ta~ka Csredi{te duì AB, koristi {estar i utvrdida li je ta~ka E sredi{te duì DF i ta~ka Psredi{te duì MQ.

Koristi svojstva unakrsnih i suplementnihuglova, kao i uglova na transverzali.

Unutra{wi uglovi trapeza na istom kraku su suplementni.

Osnovice trapeza su AB i DC. Uglovi DAB i ADC jesu uglovi na transverzali. Kako je jedan o{tar,

a drugi tup, oni su suplementni :

DAB + ADC = 180°

Isto vaì i za uglove ABC i DCB:

ABC + DCB = 180°

SVOJSTVA TRAPEZA

Sredwa linija trapeza je du` koja spajasredi{ta krakova trapeza. Na crteù je to du` EF .

Wenu duìnu obeleàvamo sa m.

Sredwa linija trapeza paralelna je osnovicamatrapeza i jednaka polovini wihovog zbira.

SREDWA LINIJA TRAPEZA

m a b= +2

EF || AB

Da ti kaèm



92

' a) Nacrtaj pravu p, paralelnu stranici AB trougla ABC,na rastojawu od 2 cm . Obeleì sa P i Q zajedni~keta~ke prave p i stranica AC i BC. Da li je ~etvorougao

ABQP trapez?

b) Spusti normalu na AB iz P. Podno`je normale ozna~isa S. Kolika je duìna duì PS?

( Obeleì osnovice i krake trapeza na crteù pod a).• Nacrtaj i obeleì visinu trapeza na crteù pod b).• Nacrtaj i obeleì sredwu linuju trapeza na crteù pod v).

) Uglovi izme|u visina i krakova trapeza su 30° i 55°.Izra~unaj unutra{we uglove trapeza.

Visina trapeza je du` normalna na prave koje sadrè osnovicetrapeza. Wene krajwe ta~ke pripadaju tim pravama.

Visina trapeza jednaka je rastojawu izme|u osnovicatrapeza.

Duìnu visine trapeza obeleàvamo sa h.

VISINA TRAPEZA

A B

C

a) b) v)

! a) Konstrui{i paralelogram ako je a = 3 cm, b = 4 cm i α = 45°.b) Nacrtaj pravu p, paralelnu stranici a, tako da prese~e stranicu b i pravu q, koja

se~e stranice a, a nije paralelna sa b. Koliko ima trapeza na dobijenoj slici?

" Izra~unaj unutra{we uglove trapeza ako su uglovi na jednoj osnovici α = 67° i β = 94°.

Proveri {ta zna{



VRSTE TRAPEZA.JEDNAKOKRAKI TRAPEZ

! Neka je prava p paralelna stranici BC trougla ABC na slici.Obeleì sa M i P zajedni~ke ta~ke prave p i stranica AB i AC.

" Kojim su slovima obeleèni :

pravougli trapezi, jednakokraki trapezi i oni trapezi koji nisu ni pravougli ni jednakokraki?

• pravougli trapez• jednakokraki trapez• dijagonale jednakokrakog

trapeza• uglovi jednakokrakog trapeza

a) Kojoj vrsti ~etvorouglova pripada ~etvorougao BCPM?Ako je ABC pravougli trougao, kojoj vrsti uglova pripadaju uglovi~etvorougla BCPM?Popuni tabelu kao {to je zapo~eto.

b) Kojoj vrsti ~etvorouglova pripada ~etvorougao BCPM?Ako je ABC jednakokraki trougao, da li su duìBM i CP jednake?

C P M B

prav

PRAVOUGLI TRAPEZ

Pravougli trapez je trapez ~iji je jedan krak normalan na osnovice.

JEDNAKOKRAKI TRAPEZ

Jednakokraki trapez je trapez~iji su kraci jednaki.

VRSTE TRAPEZA

AB || CD, AD AB

AB || CD, AD = BC

a || b



94

# Dopuni crte` tako da dobije{ jednakokraki trapez ako je :

a) du` AB duà osnovica b) du` GE kra}a osnovica v) du` MP krak.

$ Neka je ABC jednakokraki trougao ( AC = BC). Neka prava ssadrì vrh C trougla i paralelna je pravoj AB. Neka jeprava p paralelna kraku BC i s pravom AB ima zajedni~kuta~ku D, a sa pravom s zajedni~ku ta~ku E.

a) Da li je ~etvorougao BDECparalelogram?

b) Da li je trapez ADEC jednakokraki trapez?

v) Da li su uglovi CABi EDA jednaki?

g) Da li su uglovi DEC i ACE jednaki?

% Izra~unaj uglove jednakokrakog trapeza ako je α = 45°.

• Uglovi jednakokrakog trapeza na jednoj osnovici su jednaki.

DAB = CBA

ADC = BCD• Dijagonale jednakokrakog trapeza su jednake.

Na osnovu podudarnosti trouglova ABD i BAC(SUS)sledi da su duì AC i BD jednake.

• Vaì i obrnuto. Trapez kod kojeg su uglovi na jednoj osnovici jednaki jeste jednakokraki trapez. Trapez kodkojeg su dijagonale jednake jeste jednakokraki trapez.

& Zbir dva ugla jednakokrakog tapeza je 160°.Izra~unaj uglove tog trapeza.

Da ti kaèm

Koji su uglovi trapeza suplemenetni? Pogledaj tekstSvojstva trapeza na str. 91.

SVOJSTVA JEDNAKOKRAKOG TRAPEZA – UGLOVI I DIJAGONALE



( Nacrtaj u kvadratnoj mreì na papiru jednakokraki trapez,kao na slici. Konstrui{i simetralu s osnovice a. Proverida li je s simetrala i osnovice b. Ako trapez presavije{ popravoj s, da li }e se temena A i B, C i D poklopiti?

' Neka su DE i CF visine jednakokrakog trapeza.a) Dokaì da su duì AE i BF jednake.b) Ako je AB duìne 6 cm i CD duìne 4 cm ,

kolika je duìna AE?

SIMETRI^NOST JEDNAKOKRAKOG TRAPEZA

Jednakokraki trapez je osnosimetri~ni ~etvorougao.Osa simetrije je simetrala osnovica.

JEDNAKOKRAKI TRAPEZ I KRU@NICA

Oko jednakokrakog trapeza moè se opisati kru`nica.Simetrale oba kraka i simetrala osnovica seku seu jednoj ta~ki. Ta ta~ka je centar opisane kru`nice

jednakokrakog trapeza.

JEDNAKOKRAKI TRAPEZ – OPISANA KRU@NICA

! Nacrtaj pravougaonik ABCD i ta~ke E i F na stranici DC tako da je ta~ka E izme|uta~aka D i F i DE = FC. Dokaì da je ~etvorougao ABFE jednakokraki trapez.

" Izra~unaj unutra{we uglove jednakokrakog trapeza ako je :

a) unutra{wi ugao 117°15’ b) spoqa{wi ugao 98°.

# Zbir dva ugla trapeza je 250°. Izra~unaj uglove trapeza ak o je on :

a) pravougli trapez b) jednakokraki trapez.

Da ti kaèm

Dokaì podudarno AED i B

Proveri {ta zna{



96

OSNOVNE KONSTRUKCIJE TRAPEZA

! a) Date su paralelne prave a i b i ta~ke A i B koje pripadaju pravoj a.

Odaberi proizvoqne ta~ke C i D napravoj b tako da dobije{ ~etvorougao ABCD. Kojoj vrsti ~etvrouglovapripada ~etvorougao ABCD?

b) Data je du` EF i ta~ka G.Nacrtaj pravu m, koja sadrì ta~ku Gi paralelna je sa EF . Nacrtaj kroz F proizvoqnu pravu p, koja nije

paralelna sa EG. Zajedni~ku ta~kupravih m i p obeleì sa S.Da li je ~etvorougao EFSG trapez?

• odre|enost trapeza• analiza zadatka• izvo|ewe konstrukcije

trapeza

Nacrtajmo dijagonale AC i BD trapeza ABCD.Posmatrajmo trouglove ABC i ABD. Za konstrukcijutrougla ABD potrebna su tri wegova elementa.Ta~ke A, B i D istovremeno su i temena traènogtrapeza. Ostaje da se konstrui{e ~etvrto teme Ctrapeza ABCD ili tre}e teme trougla ABC. Znamoda teme C pripada pravoj koja sadrì ta~kuD i paralelna je pravoj AB.

Potreban je jo{ jedan podatak o trapezu da bi~etvrto, teme C, bilo odre|eno. To zna~i da je zakonstrukciju trapeza ABCDpotrebno znati jedanpodatak vi{e nego za konstrukciju trougla ABD.

ODRE\ENOST I KONSTRUKCIJA TRAPEZA

Podseti se

Priseti se konstrukcije trouglova i pogledaj tekstOdre|enost trougla nastrani 103 u prvoj kwizi.

b

a A B

E F

G



" Konstrui{i trapez ako je duà osnovica 5 cm ,uglovi na woj 45° i 90° i kra}i krak 2 cm .

Analiza

Konstrui{i trapez ako su osnovice 5 cm i 3 cm , a jedan krak 3 cmi ugao izme|u tog kraka i duè osnovice 60°.• Analiza zadatka

Pretpostavimo da je zadatak re{en.Neka je ABCD traèni trapez.


Konstrui{emo trougao ABD.

Kroz teme D konstrui{emo pravu s, paralelnu stranici AB. Konstrui{imota~ku C na pravoj s tako da je DCduìne 3 cm . Spajawem ta~aka B i C dobili smo trapez ABCD.

P RIMER

Da ti kaèm

Ovaj trapez je pravougli trapez. Prvokonstrui{i pravougli trougao ABC



98

Konstrui{i trapez ako su osnovice 5 cm i 2 cm , a kraci 3 cm i 4 cm .

• Analiza zadatka

Pretpostavimo da je ABCD traèni trapez.Kada se kroz ta~ku D nacrta prava DE, paralelna sa BC, dobija se paralelogramEBCD. Kako su naspramne stranice paralelograma jednake, sledi da je EBduìne 2 cm , odnosno AE duìne 3 cm .

Kroz teme D konstrui{imo pravu s, paralelnu stranici AB.Konstrui{emo ta~ku C na pravoj s tako da je DC duìne 2 cm .Konstrui{emo pravu p kroz C, paralelnu sa DE. Prave p i AEodre|uju teme B.

# Konstrui{i jednakokraki trapez ako su osnovice 6 cm i 3 cm i krak 4 cm .

Jednakokraki trapez je odre|en ako su poznata tri razli~itapodatka o wemu. Isto vaì i za pravougli trapez.

P RIMER

• Izvo|ewe konstrukcijeKonstrui{emo trougao AED.



Da ti kaèm

$ Konstrui{i jednakokraki trapez ako su osnoviceduìne 4 cm i 3 cm i dijagonala 5 cm .

• Analiza

% Konstrui{i pravougli trapez ako je kra}a osnovica 3,5 cm ,kra}a dijagonala 4 cm i ugao 150°.

• Analiza

& Nacrtaj tri nekolinearne ta~ke A, B i C.Konstrui{i jednakokraki trapez ABCDako je du` AB osnovica trapeza.

Na pravoj AB odre|ujemo ta~ku Etako da je BE duìne 3 cm .

Ta~ke A, B i C su temena trapeza. To zna~i dasu za konstrukciju trapeza dati osnovicakrak BC i ugao ABC.

Prvo konstrui{i jednakokraki trougao

Prvo konstrui{i trougao

! Konstrui{i trapez ako su dati ve}a osnovica 6 cm , kra}a dijagonala 5 cmi uglovi 60° i 45°.

" Konstrui{i jednakokraki trapez ako je mawa osnovica 2 cm , krak 3 cm i ugao 45°.

# Konstrui{i pravougli trapez ako su :

a) kra}i krak 3 cm , o{tar ugao 45° i kra}a dijagonala 5 cmb) dijagonale 5 cm i 4 cm i duà osnovica 4 cm .

Proveri {ta zna{



100

DELTOID

! Temenu B trougla ABC konstrui{i simetri~nu ta~ku Du odnosu na pravu s. Nacrtaj ~etvorougao ABCD.Koje su stranice tog ~etvorougla jednake?

Koji su uglovi tog ~etvorougla jednaki?

Da li je prava s osa simetrije tog ~etvorougla?

" Kojim su slovima obeleèni deltoidi na slici?

# Dopuni svaki crte` da bi se dobio deltoid ako su duì :

a) AB i BC stranice b) EM i PF dijagonale v) KLstranica i LM dijagonala.

• deltoid• susedne stranice

deltoida• dijagonale• osa simetrije• upisana kru`nica

Deltoid je ~etvorougao koji ima dva para jednakihsusednih stranica.

Za deltoid ABCDna slici vaì :

AB = AD i CB = CD.

Kod deltoida razlikujemo dve vrste temena :

• temena koja su zajedni~ke ta~ke jednakih stranica;za deltoid ABCD to su temena A i C.

• temena koja su zajedni~ke ta~ke razli~itih stranica;

za deltoid ABCD to su temena B i D.

DELTOID



$ êtvorougao ABCD na slici je deltoid. Zajedni~ka ta~ka dijagonala je ta~ka O.a) Da li su trouglovi ACD i ACB podudarni?

Napi{i parove odgovaraju}ih jednakih uglova.

b) Da li su trouglovi ABO i ADO podudarni?Napi{i parove odgovaraju}ih jednakih stranica i uglova.

% Izra~unaj uglove deltoida na slici.

& Na slici je deltoid ABCD.Konstrui{i upisanu kru`nicu.

Dijagonala deltoida koja spaja temena kojasu zajedni~ke ta~ke jednakih stranica jestesimetrala druge dijagonale.

Deltoid je osnosimetri~ni ~etvorougao.Osa simetrije je dijagonala koja spaja

temena koja su zajedni~ke ta~ke jednakihstranica. Za deltoid ABCDosa simetrije je prava AC.

Simetrale uglova deltoida seku se u jednojta~ki. U deltoid se moè upisati kru`nica.

SVOJSTVA DELTOIDA

a) b)

! Izra~unaj uglove deltoida ako su uglovi izme|u jednakih stranica :

a) 45° i 120° b) 100° i 110° v) 80° i 72°.

" Nacrtaj jedan deltoid, pa mu upi{i kru`nicu. Koristi kvadratnu mreù u svesci.

Proveri {ta zna{



102

Roxer Penrouz je 1973. godine pokazao da se od rombova prikazanihna slici mogu sastaviti razli~ite figure.

Ti rombovi imaju uglove 72°, 108°, 72°, 108° i 36°, 144°, 36°, 144°.Ovi rombovi imaju nazive „zmaj“ i „strela“.

Sa takvim rombovima mogu se napraviti oblici kao na slici.

! Koriste}i oblike „zmaja“ i „strele“ moè{ prekritiravnu povr{ ili napraviti razne figure kao na slikama.

" Izreì od taweg kartona nekolikorombova, „zmajeva“ i „strela“sastavi simetri~ne figure po svom

izboru. Moè{ da koristi{ kartonu boji da bi se dobile lep{e slik e.

„zmaj“ „strela“

I TO JE MATEMATIKA

Da ti kaèm

Prvo nacrtaj mreù koju ~ine ovi rombovi.

a) Koliko osa simetrije ima svaka figura na slici? Nacrtaj ih.

b) Koja figura je centralno simetri~na?

36° 72°



ZAPAMTI

êtvorougao

Zbir unutra{wih uglovaα + β + γ + δ = 360°

Zbir spoqa{wih uglovaα1 + β1 + γ 1 + δ1 = 360°

êtvorougao kod kojeg su naspramnestranice paralelne jeste paralelogram.

• naspramne stranicesu jednake

• naspramni uglovi su jednaki• susedni uglovi su suplementni

• dijagonale se polove

Paralelogram

ROMB• stranice su jednake• dijagonale su simetrale uglova

romba• dijagonale su normalne

PRAVOUGLI TRAPEZ• jedan krak je normalan

na osnovice

JEDNAKOKRAKI TRAPEZ• kraci su jednaki• uglovi na osnovici su jednaki• dijagonale su jednake

KVADRAT• sve stranice i svi uglovi

su jednaki• dijagonale su normalne, jednake i simetralesu uglova kvadrata

Trapez

êtvorougao koji ima samo jedan parparalelnih stranica je trapez.

Deltoid

êtvorougao sa dvapara jednakih susednihstranica je deltoid.• dijagonale

su normalne

• uglovi na jednom kraku su suplementni

PRAVOUGAONIK• uglovi su jednaki• dijagonale su jednake



104

POVR[INA ÊTVOROUGLA I TROUGLA

Qudi su od davnih vremena imali potrebu da ne{to mere, na primer : dubinu reke,duìnu kopqa, visinu stene itd. Prve duìnske jedinice mere bile su povezane

s qudskim telom : {irina prsta, {ake, duìna stope, lakta, koraka itd. Kada jebilo potrebno izmeriti ve}e duìne ili rastojawa, merne jedinice zasnivalesu se na dometu strele ili na rastojawu koje se moè prepe{a~iti za jedan dan.

Iz ovog poglavqa nau~i}e{ da izra~una{ povr{inu :

• paralelograma• trapeza• trougla• deltoida.

Daqi razvoj dru{tva i nauke, kao i sve razvijenija razmena dobara, nametnuo je nastanakdva najva`nija merna sistema, koja su i danas u upotrebi. To su anglosaksonski sistem,koji je nastao iz svih prethodnih sistema mera, i me|unarodni sistem ili SI sistem

(Sisteme International ), zasnovan na nau~noj osnovi i danas zas tupqen u celom svetu.Osnovna jedinica za duìnu u SI sistemu jeste metar , isprva definisan kao jedan ~etrdesetomilioniti deo meridijana koji prolazi kroz Pariz.

Prve sisteme mera stvorili su Grci i Egip}ani.

U Egiptu je najva`nija jedinica za duìnu bio kraqevskilakat (0,524 metra).U anti~koj Gr~koj osnovna mera za duìnu naziva se pod

(stopa ). Wena duìna zavisila je od grada u k ojem je nastalai varirala je izme|u 0,3083 i 0,2970 me tara.

Veliki nedostatak tih sistema bio je u tome {to su se mere razlikovale od zemqe do zemqe ili ~ak od grada do grada.

Razlike u mernim jedinicama oteàvale surazmenu robe. Rimqani, koji su osvojili ceotada poznati svet, prvi su uspeli da uvedu

jedinstven sistem mera.

Ovaj sistem mera ostao je u upotrebi i tokom~itavog sredweg veka. S vremenom su se ponovo pojavile lokalne razlike, pa je, na primer,

engleski palac (in~ ) iznosio 25,4 mm , dok je jedan be~ki palac (col ) iznosio 27 mm .



1 2 3 KRENI…

! Izrazi :

a) 4 m u centimetrima

b) 4 dm u milimetrima

v) 4 m u decimetrima

g) 4 cm u milimetrima.

" Ispod ta~nog tvr|ewa zaokruì slovo , a pored neta~nog .

# Uobi~ajeno je da se veli~ina ekrana televizora ili monit oraizraàva duìnom dijagonale. Ako monitor ima 17 in~a,kolika je duìna wegove dijagonale u centimetrima?

$ Izrazi :

5 a u kvadratnim kilometrima5 dm 2 u kvadratnim metrima5 m2 u kvadratnim kilometrima5 cm2 u kvadratnim decimetrima.

% Povr{ina krila nevidqivog aviona F-117 iznosi 780 kvadratnihstopa. Koliko je to kvadratnih metara?

& Povr{ina pravougaonika P = 72 cm2,a stranica a = 12 cm . Izra~unaj stranicu b.

' Obim kvadrata je O = 92 cm .Izra~unaj povr{inu kvadrata.

2 cm = 0,2 dm 20 dm = 0,2 m 2 mm = 0,2 cm 2 cm = 0,02 mm 2 mm = 0,02 dm

Da ti kaèm

1 in = 2,54 cm

Pogledaj tabelu uzbirci na strani 84.

1 kvadratna stopa ≈ 0,



106

POJAM POVR[INA RAVNIH FIGURA.JEDNAKOST POVR[INA

! Na satelitskom snimku Zemqemoè se uo~iti poqe oblika :

a) trouglab) kvadratav) deltoidag) pravougaonikad) trapezaKoji je odgovor ta~an?

" a) Kojim je brojem obeleèn trougao

podudaran trouglu obojenom u crveno?b) Povr{ine podudarnih trouglova su :

• razli~ite • jednakeZaokruì ta~an odgovor.

# a) Na crteù je prikazano kako se razlagawem (rasecawem) kvadratamoè sastaviti trougao tako da wegova povr{ina bude jednakapovr{ini datog kvadrata.

b) Na tawem kartonu nacrtaj kvadrat,raseci ga i sastavi delove takoda dobije{ pravougaonik povr{ine

jednake datom kvadratu. Nacrtaj dobijeni pravougaonik.

• povr{ina figure• jednakost povr{ina

figura

Na slici u prethodnom primeru prikazan je deo Panonske nizije.Jasno vidimo me|e, to jest granice wiva i poqa. Wive i poqa suome|eni da bi svaki vlasnik znao gde se nalaze granice wegovogposeda. Veli~ina svake wive ili poqa predstavqa wihovupovr{inu. Kao {to se poqa i wive razlikuju po obliku i veli~ini,tako i figure u ravni razlikujemo po obliku i veli~ini. Veli~inafigure u ravni predstavqa wenu povr{inu.

POJAM POVR[INE

1 2 3 4



$ Na tawem kartonu nacrtaj trougao podudarandatom. Raseci ga na dva dela i od dobijenihdelova sastavi :

a) kvadratb) paralelogram.

% Zaokruì slovo ispred slike na kojoj trapez ABCD i trougao AED imaju jednake povr{ine.

& U kvadratnoj mreì nacrtaj trougao iparalelogram tako da povr{ina svakog od wihbude jednaka povr{ini datog pravougaonika.

Podudarne figure imaju jednake povr{ine. Ako se neka figura razloì na dveili vi{e figura, onda je zbir povr{ina wenih delova jednak povr{ini te figure.

JEDNAKOST POVR[INA

A

B CD

! Nacrtaj u kvadratnoj mreì paralelogram. Wegovim razlagawem sastavi pravougaonik.

" Nacrtaj u kvadratnoj mreì trougao. Wegovim razlagawem sas tavi trapez.

a) b) v)

Proveri {ta zna{

Da ti kaèm

Povr{ine trouglai kvadrata su jednake.Povr{ine trouglai paralelograma su jednake

Zadatak ivi{e re{e

' Trougao ABC razloèn je na dva trougla, ABD i ADC,kao {to je prikazano na crteù.Od tih trouglova moè{ da sas tavi{ :

a) pravougaonikb) paralelogramv) jednakokraki trougao ~ija je osnovica razli~ita odosnovice dat og trougla.Nacrtaj ih u mreì.



108

JEDINICE MERE ZA DU@INUI POVR[INU

! Neka je povr{ina kvadrata obojenog u crveno 1.Kolika je povr{ina svake figure u kvadratnoj mreì?

• jedinice mereza duìnu

• jedinice mereza povr{inu

Povr{inu figure naj~e{}e ozna~avamo slovom P.Povr{ina figure je nenegativan broj, to jest P ≥0.Postoji figura ~ija je povr{ina 1.

Osnovna jedinica za duìnu je metar. Ozna~ava se latin~kim slovom m .U svakodnevnom ìvotu koristimo ve}e i mawe jedinice od metra.Na primer: milimetrima izraàvamo debqinu mine za olovku, cen-timetrima visinu vodostaja na rekama, kilometrima rastojawe izme|udva grada. Da bismo jedinice za duìnu pravilno koristili, neophodno

je da se podsetimo odnosa izme|u wih.

1 mm 1 cm 1 dm 1 m 1 km

1 km = 1 000 m 1 m = 10 dm 1 dm = 10 cm 1 cm = 10 mm

1 m = 100 cm 1 dm = 100 mm

1 m = 1 000 mm

JEDINICE MERE ZA DU@INU I POVR[INU

10 10 10 1000

Da ti kaèm

U ovom zadatku za kvadrat obojen u crveno kaèmo da

je jedini~ni kvadrat jer jeizabran kao jedinica mere.



" Izrazi u metrima:1 cm , 1 dm , 1 mm.

# Izrazi u m2:1 dm 2, 1 cm2, 1 mm 2.

$ Petar je visok 180 cm . Kolika je wegova visina izraèna u metrima?a) 1,08 m b) 1,8 m v) 0,18 m

% Svoju visinu izrazi u:a) metrima b) decimetrima v) centimetrima.

Osnovna jedinica za povr{inu je kvadratni metar. Ozna~ava se m2.Kvadratni metar je povr{ina kvadrata stranice 1 m .

Koristimo mawe i ve}e jedinice za povr{inu od kvadratnog me tra. Na primer,kvadratnim metrima izraàvamo povr{inu stana, arima povr{inu vrtova,kvadratnim kilometrima povr{inu dràva, a kvadratnim centimetrimapovr{inu lista sveske. Podsetimo se nekih odnosa izme|u jedinica za povr{inu .

1 km2 = 100 ha 1 ha = 100 a 1 a = 100 m2 1 m2 = 100 dm 2

1 ha = 10 000 m2 1 m2 = 10 000 cm 2

1 m2 = 1 000 000 mm 2

1 mm 2 1 cm 2 1 dm 2 1 m2 1 a

100 100 100 100

1 ha

100

1 km2

100

1 dm 2

1 m2

1 m

1 m

1 dm

1 dm{ {

Na osnovu ovih slika moè{da zakqu~i{ kakav je odnospovr{ina korice tvojekwige i veli~ine kvadratapovr{ine 1 m2.

Da ti kaèm



110

& Atleti~ar na treningu u proseku pretr~i 25 krugova po 400 m . Koliko kilometaraatleti~ar pretr~i u toku treninga?

' Povr{ina ekrana na monitoru Cecinog kompjutera je 540 cm 2. Izrazi tu povr{inu u :

a) kvadratnim decimetrima b) kvadratnim metrima.

( Stadion Marakana u Brazilu jedan je od najpoznatijih u svetu. Povr{ina fudbalskogterena u okviru tog stadiona je 8 250 m2. Izrazi tu povr{inu u arima.

) U prazno poqe upi{i ako je jednakost ta~na ili ako je jednakost neta~na.

* Nastavi da povezuje{ kao {to je zapo~eto.

+ Izrazi :

a) 28 m2 u kvadratnim decimetrima

b) 120 cm2 u kvadratnim metrima

v) 960 mm 2 u kvadratnim centimetrima

g) 2 km2 u kvadratnim metrima.

7 dm = 0,7 m 25 m = 0,25 km 440 cm = 4,4 dm 70 mm = 0,7 m 3 m = 0,003 km

4 km2 4 ha 4 a 4 m2 4 dm 2 4 cm2

40 000 mm 2 40 000 a 400 mm 2 400 dm 2 400 m2 400 a

! Izrazi u metrima :

25 mm 5 dm 17 cm

" Izrazi u m2:

75 cm 2 4 dm 2 255 mm 2

Proveri {ta zna{



• povr{inapravougaonika

• povr{ina kvadrata

! Pravougaonik sa slike razloì na jedini~nekvadrate povr{ine 1 cm2, kao {to je zapo~eto.

POVR[INA PRAVOUGAONIKA

Kolika je :

a) duìna stranice AB

b) duìna stranice BC

v) povr{ina pravougaonika?

Izra~unajmo povr{inu pravougaonika stranicaa = 4 cm i b = 3 cm .

Pravougaonik razlaèmo na dvanaest kvadratastranice 1 cm . Povr{ina pravougaonika jednaka

je zbiru povr{ina 12 takvih kvadrata, t o jestP = 12 cm2.

U jednom redu pravougaonika nalaze se 4 jedini~nakvadrata, a ceo pravougaonik sadrì tri redapo ~etiri jedini~na kvadrata, pa zakqu~ujemo

da povr{inu pravougaonika moèmo izra~unatii ovako :

P = 4 cm 3 cm

P = 12 cm2


1 cm2

a = 4 cm

b = 3 cm

A B

D CDa ti kaèm

Kada zapisuje{ duìnuduì, obim, povr{inu,itd., ne zaboravi dapored mernog brojanapi{e{ i jedinicumere.Na primer :

a = 3 cm , O = 154 cm ,

P = 18 dm2



112

" Izra~unaj povr{inu pravougaonika sa slike.

$ Stranice pravougaonika su a = 12 cm i b = 1,5 dm .Izra~unaj povr{inu pravougaonika.

a) b) v)

70 mm2 cm

2,8 cm3,5 cm

40 mm

Kada ra~una{ povr{inupravougaonika, neophodno je dastranice izrazi{ u istoj mernoj

jedinici, to jest :

a = 12 cm i b = 15 cm ili

a = 1,2 dm i b = 1,5 dm

% a) Izra~unaj stranicu b pravougaonika ako je P = 60 cm2 i a = 12 cm .

b) Izra~unaj stranicu a pravougaonika ako je P = 7,2 dm 2 i b = 30 cm .

Povr{ina prvougaonika jednaka je proizvoduduìna wegovih susednih stranica.

P = a b


a

b

a

a

Kvadrat je pravougaonik ~ije su sve straniceiste duìne.Povr{ina kvadrata je :

P = a a ili P = a2

cm3 12

# Izra~unaj povr{inu kvadrata ako je stranica :

a) a = 1,5 dm b) a = m .34

Da ti kaèm

Kada u tekstu pi{e stranica a ,misli se na duìnu te stranice.



114

• povr{inaparalelograma

! Kojim je brojem ozna~enparalelogram ~ija jepovr{ina jednaka povr{ini paralelograma obeleènogslovom A?

" Paralelogram u kvadratnoj mreì razloèn je na trougao i trapez kao{to je prikazano na crteù. Od tih figura sastavqen je pravougaonik.

a) Kolika je povr{ina pravougaonika ako je povr{ina jedini~nog kvadrata 1 cm2?b) Kolika je povr{ina paralelograma?

POVR[INA PARALELOGRAMA

A

1 2 3 4

Neka je ABCDproizvoqan paralelogram i duì DD1 i CC1wegove visine, {to zna~i da je D1C1CD pravougaonik.Trouglovi AD1D i C1BC podudarni su po pravilu SSU.Iz toga sledi da je AD1 = C1B. Zakqu~ujemo da je AB = C1D1.

Pokaìmo da paralelogram ABCD i pravougaonik D1C1CDimaju jednake povr{ine.

Du` DD1 razlaè paralelogram ABCDna trougao AD1D povr{ine P1 i trapez D1BCDpovr{ine P2, a du` BC razlaè pravougaonikD1C1CD na trapez D1BCD povr{ine P2i trougao BC1C povr{ine P1, pa zakqu~ujemoda paralelogram i pravougaonik imaju

jednake povr{ine.

Povr{ina pravougaonika jednaka je proizvodu duìna susednih stranicaDC i DD1. Povr{ina paralelograma jednaka je istom proizvodu.


A D1 C1B

CD

P1 P1

P2 P2

Da ti kaèm

Pogledaj stranu107 i seti se kadasu povr{inefigura jednake.



Povr{ina paralelograma jednaka jeproizvodu du`ina wegove stranicei odgovaraju}e visine.


Romb je paralelogram ~ije su sve stranice jednake.Povr{ina romba je :

P = a h

P = a ha P = b hb

# Izra~unaj povr{inu paralelograma na slici.

$ Izra~unaj povr{inu romba ako je stranica a = 2 dm i visina ha = 8,2 cm .

a)

b)

v)

% Izra~unaj povr{inu paralelograma ako je stranica i visina hb = 1 dm .b = 3 12

cm

& Povr{ina paralelograma je P = 52 dm 2, a stranica b = 10 dm . Kolika je visina hb?

! Izra~unaj povr{inu paralelograma ako je dato :

a) a = 5 cm , ha = 4,2 cm b) b = 1,5 dm , hb = 4 cm .

# Povr{ina paralelograma je P = 5,2 dm 2, visina ha = 13 cm .Izra~unaj stranicu a paralelograma.

" Povr{ina romba je P = 15 cm2, a stranica a = cm . Izra~inaj visinu romba.2 12

Proveri {ta zna{

OVO J EBOZA!



116

• povr{inatrougla

! Ako je povr{ina jednog kvadrata u kvadratnoj mreì 1 cm2 :

a) kolika je povr{ina svakog ~etvorougla sa slikeb) kolika je povr{ina svakog trougla sa slike?

POVR[INA TROUGLA

Neka je ABCD proizvoqan paralelogram.

Dijagonala BD razlaè paralelogram na dva trougla, ABD i CDB.Trouglovi ABD i CDB su podudarni po pravilu SSS. Kako podudarni trouglovi imaju jednake povr{ine, zakqu~ujemo da

je povr{ina trougla jednaka polovini povr{ine paralelograma.

Nau~ili smo da je povr{ina paralelograma jednaka proizvoduduìna stranice AB i visine DE, pa je povr{ina trougla jednakapolovini tog proizvoda.

POVR[INA TROUGLA

Povr{ina trougla jednaka je polovini proizvoda duìna jedne wegove s tranice

i odgovaraju}e visine.

POVR[INA TROUGLA

P =a ha

2P =

b hb

2P =

c hc

2



" Izra~unaj povr{inu trougla na slici.

# Izra~unaj povr{inu trougla ako su date duìne stranice i odgovaraju}e visine.a) a = 5 cm , ha = 2,4 cm b) b = 8,8 dm , hb = 0,6 dm v) c = 12,5 cm , hc = 44 mm

a) b) v)

$ Izra~unaj povr{inu pravouglog trougla ako su date :

a) katete a = 0,7 dm i b = 12 cmb) hipotenuza c = 1 dm i visina koja odgovara hipotenuzi hc= 2,5 cm .

% Povr{ina trougla je P = 42 cm2 i hb = 0,5 dm . Izra~unaj stranicu b.

& Povr{ina pravouglog trougla je 900 mm 2, a jedna kateta je 4,5 cm . Kolika je druga kateta?

Kod pravouglog trougla visina koja odgovara jednoj kateti jeste druga kateta, to jest b je ha.

P a b= 2

Povr{ina trougla je P = 27 cm 2. Kolika je visina ha ako je stranica a = 9 cm?

re{avamo jedna~inu u kojoj je nepoznat ~inilac ha

re{avamo jedna~inu u kojoj je nepoznat deqenik 9 cm ha(9 cm ha) : 2 = 27 cm 2

9 cm ha = 2 27 cm 2

9 cm ha = 54 cm2

ha = 54 cm2 : 9 cmha = 6 cm

92

27 2cmcm=ha

! Izra~unaj povr{inu trougla ako je c = 15 cm , hc= 8 cm .

# Povr{ina pravouglog trougla je 56 cm2, a hipotenuza je 1,4 dm .Izra~unaj visinu koja odgovara hipotenuzi.

" Izra~unaj povr{inu trougla ako je stranica 0,45 m i odgovaraju}a visina 20 cm .

a

bc

P RIMER

Proveri {ta zna{

Razlomak moèmo

zapisati kao koli~nik

Da ti kaèm

92

9 cm

cm= ( ha



118

• povr{inatrapeza

! • Izra~unaj povr{inu ~etvorougla sa slike.• Nacrtani ~etvorougao je :

a) pravougonik b) kvadrat v) rombg) trapez


POVR[INA TRAPEZA

A

1cm 2

B

CD

Neka je ABCD proizvoqan trapez i ta~ka E sredi{te kraka BC.Prava DE se~e produètak osnovice AB u ta~ki F .

Trouglovi DEC i FEB su podudarni po pravilu USU. Pokaìmo da trapez ABCDi trougao AFD imaju jednake povr{ine.

Prava DF razlaè trapez ABCDna ~etvorougao ABEDpovr{ine P1 i trougao DECpovr{ine P2. Prava BC razlaè trougao AFD na ~etvorougao ABEDpovr{ine P1i trougao FEB povr{ine P2, pa zakqu~ujemo da trapez i trougao imaju jednake povr{ine.

Povr{ina trougla AFD jednaka je polovini proizvoda duìna s tranica AF i visine DD1.

Iz podudarnosti trouglova DEC i FEB sledi :

AF = AB + DC

Povr{ina trapeza ra~una se tako {to se zbir duìna osnovica trapezapomnoì duìnom visine i dobijeni proizvod podeli brojem 2.

POVR[INA TRAPEZA

Neka su i osnovice i h visina trapeza.Povr{ina trapeza je :

POVR[INA TRAPEZA

P =a b h

2



" Izra~unaj povr{inu trapeza sa slike.

# Izra~unaj povr{inu trapeza ako su poznate osnovice i visina.

a) a = 1 dm , b = 4 cm , h = 6 cm b) a = 68 cm , b = 44 cm , h = 2,5 dm

$ Izra~unaj sredwu liniju i povr{inutrapeza ako je :

a) a = 15 cm , b = 7 cm i h = 5 cmb) a = 7 cm , b = 3,5 cm i h = 2,8 cm.1

2

% Izra~unaj povr{inu trapeza sa slike.

! Izra~unaj povr{inu trapeza ako je:

a) a = 16 cm , b = 9 cm i h = 12 cm .b) a = 24 cm , b = 0,8 dm i h = 1,3 dm .

" Izra~unaj povr{inu trapeza ako je sredwalinija m = 12,5 cm i visina h = 8 cm .

Sredwa linija trapeza paralelna je osnovicama i jednaka polovinizbira osnovica :

Povr{inu trapeza mo`e{izra~unati i na slede}i na~in :

P = m h

m a b= +2

Proveri {ta zna{

Da ti ka`em

a) b) v) g)



120

POVR[INA ÊTVOROUGLAS NORMALNIM DIJAGONALAMA

! Kolika je povr{ina ~etvorougla EFGHna crteù?

Kolika je povr{ina ~etvorougla ABCDna crteù?

Dijagonale AC i DB ~etvorougla ABCDna crteù pod a) i b) su :

• paralelne• normalne• nisu ni paralelne ni normalne.


A

BD

E F

GH C

A

BD

E F

GH Ca) b)

Neka je ABCDproizvoqan ~etvorougao s normalnim dijagonalama AC i BD.

Paralelogram SPQR odre|en je pravama koje sadrètemena ~etvorougla ABCD i paralelne su wegovim dijagonalama.

Paralelogram DOCS je pravougaonik jer ima jedan pravugao, ugao kod temena O. Na isti na~in zakqu~ujemo da suparalelogrami COBR, DPAO , OAQB pravougaonici.

Tako|e, paralelogram SPQR je pravougaonik.

Povr{ina ~etvorougla ABCD jednaka je polovini povr{inepravougaonika SPQR.

Povr{ina pravougaonika jednaka je proizvodu duìna susednihstranica PQ i SP, pa je povr{ina ~etvorougla ABCD jednakapolovini tog proizvoda.

POVR[INA ÊTVOROUGLA S NORMALNIM DIJAGONALAMA

• povr{ina~etvorouglas normalnimdijagonalama

Da ti kaèm

Ako je jedan ugaoparalelograma prav, onda su svi uglovi pravi,to jest paralelogram jepravougaonik. Pogledajzadatak 5 na strani 85.

}

1 cm }

1 cm



" Izra~unaj povr{inu ~etvorougla sa slike.a) d1 = 4,8 cm , d2= 9,6 cm b) d1 = 1,8 dm , d2 = 0,5 dm v) d1 = 8,6 cm , d2 = 8,6 cm

Povr{ina ~etvorougla s normalnimdijagonalama jednaka je poloviniproizvoda duìna wegovih dijagonala.

POVR[INA ÊTVOROUGLA S NORMALNIM DIJAGONALAMA

Dijagonale romba seku se pod pravimuglom, pa povr{inu romba moè{izra~unati i ovako :

Dijagonale kvadrata su jednake i sekuse pod pravim uglom, pa povr{inukvadrata moè{ izra~unati i ovako :

P d d= 1 2

2 P d=2

2

P =d1 d2

2

$ Povr{ina deltoida je P = 42 cm2, a dijagonala d1 = 6 cm . Izra~unaj dijagonalu d2.

# Izra~unaj povr{inu :

a) deltoida, ako je d1 = 7 cm , d2= 6,4 cmb) romba, ako je d1 = 1,4 dm , d2 = 0,9 dmv) kvadrata, ako je d = 11 cm .

% Povr{ina romba je 35,5 dm 2, a jedna dijagonala je 5 dm . Izra~unaj drugu dijagonalu.

! Izra~unaj povr{inu deltoida ako je :

d1 = 52 mm , d2 = 1 dm .

" Izra~unaj povr{inu deltoida ~ije su dijagonale , d2 = 16 cm .d134= dm

# Povr{ina deltoida je P = 20 cm 2, a dijagonala d1 = 8 cm .Izra~unaj dijagonalu d2.

Proveri {ta zna{



122

I TO JE MATEMATIKA

Tangram je drevna kineska igra – slagalica. Komplet za ovu igru sastojise od sedam odvojenih geometrijskih figura koje se nazivaju tanovi .Ciq igre jeste da se slagawem svih sedam delova, bez preklapawa,

formira silueta ~oveka, ìvotiwe ili nekog predmeta.

! Veliki kvadrat je podeqen na devet mawihkvadrata. Stranice dva mawa kvadrata su2 cm i 4 cm , kao {to je obeleèno na slici.Izra~unaj obim i povr{inu velikog kvadrata.

" Odredi odnos povr{ina :

a) trougla i kvadrata b) paralelograma i kvadrata v) trapeza i kvadrata

# Odredi odnos povr{ina figura

obeleènih brojevima:

a) 4 i 5b) 2 i 4v) 6 i 1

4 cm

2 cm

1

2

34

56

7



ISTRA@IVA^KI ZADATAK

Mo`da }e{ jednog dana poèleti da svom ili nekomdrugom psu iz susedstva napravi{ ku}icu sli~nu ovoj.

U ovom zadatku predlaèmo ti da napravi{ maketu ku}ice za psa.• Na osnovu crteà, na tawem kartonu nacrtaj delove od kojih

se ku}ica sastoji, u razmeri 1 : 10.• Izra~unaj povr{inu makete ku}ice.• Pri isecawu delova ku}ice mora{ ostavqati rubove,

pomo}u kojih }e{ lak{e zalepiti delove ku}ice,kao {to je prikazano na crteù.

70 cm

30 cm

35 cm

42 cm

60 cm

80 cm120 cm



124

ZAPAMTI

Povr{ina paralelograma

Povr{ina trouglaPovr{ina trougla jednaka

je polovini povr{ine paralelograma.

Dijagonale rombasu normalne.

Dijagonale kvadratasu normalne.

P = a ha

P a ha= 2

Povr{ina pravougaonikaPravougaonik je pravougli

paralelogram, to jest b = ha.

Povr{ina romba

P = a h

P = a b

P d d= 1 2

2Povr{ina pravouglog trouglaPovr{ina pravouglog trougla

jednaka je polovinipovr{ine pravougaonika.

P a b= 2

P d d= 2

Povr{ina kvadrataKvadrat je pravougaonik ~ije

su sve stranice jednake,to jest b = a.

P = a a

Povr{ina trapezaPovr{ina trapeza jednaka

je povr{ini trougla ~ija jestranica a + b i visina jednaka visini trapeza.

P a b h= +( )2

Povr{ina deltoidaDijagonale deltoida

su normalne.

P d d= 1 2

2



REZULTATI I UPUTSTVA

RACIONALNI BROJEVI

1, 2, 3 kreni… – strana 5

1.

2. 54, 54

3.

4. a)5. b)6. v)7. v)8. b)9. b)10. b)

11.

12. a) b) 0

Suprotan broj pozitivnom racionalnom broju.Skup racionalnih brojeva – skup Q – strana 6

1. v)

2.

3. , , , , ,

4. a) b) 2, v)

5. a)

6.7. v)

8. –1; ; –0,5; ; 12,45;

9. v)

10. a) b) v) g)

11. , , ,

Proveri {ta zna{ – strana 8

1. –0,05; ; –101

2. –7; 25,7; ; –0,032; ;

3. Na primer :

4. Na primer : , ,

5. , ,

Skup racionalnih brojeva – strana 9

1. , , , , ,2. NE, DA, NE, DA

3. a) b) 0,34 v) –12,6 g)

4. a) b) 0,6 v) g) –0,6

5. v)6. v)

7. –3 i ; i ; –1,5 i ; 9 i ; 0 i

8. ; ; ; ;

9. NE, DA, DA, NE, DA, NE10. a) b) v) g)

11. b) v) g) = 4

13.

14. Prirodni brojevi su racionalni brojevi.15. v)


1. –10,2; ; ; 0,17;

2. ; 100,7;

3. –5 Z – –5; Q – ; 3,4; 53,8 Q +

4. a) b) v)

Prikazivawe racionalnih brojeva na brojevnoj pravoj– strana 12

2. A(–1), B(3), C , D

3.

12

115

2 12

15

− − −{ }112

23

2 49

, ,

−53

1 23

,1 23− − − −5

359

2 13

1 45

, , ,

−259

16,−

611

53, ,

29−3 5

732

03−15

3−903

273

−178−15

4−101100

910

−2 79

−59

3 25−24

5

2 23

42

1 12

, ,

−3 12−4

5−154

−2920−29

531

−719

23

89−8

9

02−27

332− 8

1045

62

− = −114

2 75,− = −1 1 1110

,− = −2 6 135

,− = −35

610

− = −0 3 310

,

45

72

, − −45

78

, −127

32

82−5

3− 12

34−5

7− 110

34( )

47−2 3

5

5 13−9

5

r a c i o n a l n i b r o je v i

c e l i b r o je vi

p r i r o d n i b r o je v i

15 56–2

0

3,7

135−4

9 1217

−132

1 711

59

0 1 A 2 3 x

C B

126

4. , ,

, ,

5. b) Pro~itaj komentar na strani 16.

v) , ,

7. a)b)

v)

9. Pro~itaj tekst Prikazivawe racionalnih brojevana brojevnoj pravoj na str. 13.

10. a) Pro~itaj tekst Prikazivawe racionalnih brojevana brojevnoj pravoj na s tr. 13.

b) 611. a) Pro~itaj tekst Prikazivawe racionalnih brojeva

na brojevnoj pravoj na str. 13.b) Pro~itaj komentar na str. 12.

12. ; 1,4; 1,4; ; 34,7;

13. prvi red : ; –3,25; drugi red : –1,2; ;

tre}i red : 1,2; ; 3,25;


1. a) Za jedini~nu du` moè{ da izabere{ du` duìne 3 cm.b) B i D

2. 1 < < 2 –1 < < 0 –7 < < –6

4. a) 3,5; 8 b) 4

Upore|ivawe racionalnih brojeva – strana 161. a) u petak b) u ut orak

2. –2 < 1 0 > –4 > –4 < 0

3. b) –3; –1; 0; 3,5; 4

4. a) 0 > –22 b) > 0 v) < g) >

5. b)

6. a) b) –1 v) –1,5

7. a) –2,3 < –1,9 b) –0,4 > –0,7

8. a) –1,5 < –10,2 ; –1,5 > –10,2b) –1,2 > –0,8 ; –1,2 < –0,8v) –4,8 > –4,5 ; –4,8 < –4,5g) –7,35 > –7,29 ; –7,35 < –7,29

9. a) –251,01 < 0 b) –21,8 > –21,96 v) –0,359 > –0,39510. DA, NE, NE, NE11. v)

12. a) < b) > v) <

13. a) b)


1. a) Za jedini~nu du` izaberi du` ~ija je duìnadeqiva sa 6.

b) v)

2. a) b) 0 v) g)

Sabirawe i oduzimawe racionalnih brojeva – decimalnizapis – strana 20

1. FIZIKA2. b) –21,2 v) –5,04 g) –4,243. v)4. a) 99,21 b) –90,44 v) –9,95. b) –1 v) –19,4 g) –1,66. 162,42 dinara7. a) 2,7 b) 2,2 v) 10,95 g) –99,5 d) 2,28. 0,4; –2,8; –14,7; 09. –4,8 + 0,5 = –4,3; –4,8 + (–0,5) = –5,3; 4,8 + (–0,5) = 4,310. g)11. 6; 9,62; –2,65; –23,2; 012. b) –2,7 v) –1013. b)14. a) 24,5 b) 0,5 v) –20 g) –0,115. –2,2 – 10,8 = –13; –20,6 – 7,4 = –28;

–24,8 + 38 = 13,2; 45,9 – 59,1 = –13,216. 5,3; –0,56; –31,2; –7,6; 0,0217. 9,266 km18. –16,2 °C19. Temperatura u Novom Sadu je –6,2 °C; u S ubotici –8,8

u Zrewaninu –7 °C; u Kragujevcu –3,6 °C i Ni{u –3,2 °C20. vrednost evra : 84,7585; 84,0138; 85,2808; 86,0474

a) 85,2808 b) u nedequProveri {ta zna{ – strana 24

1. a) 3,4 b) –1,2 v) 1,2 g) –3,42. a) 0 b) –19,8 v) 0 g) 224,63. a) 1,3 b) –13,81 v) –87,3 g) 27,5

Sabirawe i oduzimawe racionalnih brojeva

– zapis oblika – strana 25

1. b)

2. v) g)

3. a) b) v) g)

4. a) b) v)

5. a) 4 b) v) –6

6. b) v)

7. b)

–2 – 1 0 1 2

S

175

2 58

12

3 25

56

3 25

56

−6 12−8

943

− 12− 1

2

73

73

15

, , − −

114

−297−4 2

5−175−2 2

3−58−3

4

−15

32

−76

1 16

,− − −2 13

76

13

26

23

1 16

, , , , ,

−65−3 5

613

0 14

1< <1 32

2< <2 114

3< <

− < − <1 14

0− < − < −2 32

1− < − < −3 114

2

− < − < −4 72

3− < − <1 12

0− < − < −2 1 12

1

210–1–2

M

–2 – 1 0 1 2

R

4 12

−1 67

1 67

23

−114

ab

−113

1 23

−125

13−

471

13

3 12−3 1

3−1 25

47

− 110− 1

12



8. a) b) 0 v) g) d) –1

9. a) b) v) g) –1

10. a) b) –1 v) g)

11. b) v) 1

12. a) b) –4 v) g) d)

13. a) b)

14. a) b) v) 4 g) d) |)

15. a)16. v)

17.


1. a) b) v) g)

2. a) b) v) g)

3. a) b) –1 v) g) d)

Svojstva operacije sabirawa – strana 28

1. prvi red : 3; 4,5 drugi red : –3,5; 0; ; 1

tre}i red : –4; ; –1; ~etvrti red : –2,5; 1; ; 2

2. ; ;

3. a) –1,9 b)4. a), g)

5. a) b) –5,5 v)

6. a) 2,2 b) v) g) –4

7. da


1. a) –2 b) 1,4 v) g) –2 d) |) –0,5

Jedna~ine u vezi sa sabirawem i oduzimawem – s trana 30

1. jedna~ina, izraz, jedna~ina, jedna~ina2. v)3. re{ewe jedna~ine 2 – x = 2 je broj 0;

re{ewe jedna~ine x + 2 = –2 je broj –4;re{ewe jedna~ine x – 2 = 2 je broj 4

4. a) 5 b) –20 v) 9 g) –45. a) –63 b) –34 v) 12 g) 73

6. a) –6,5 b) v) 2 g)


1. a) –8, 11, 2 b) 21, 33, 12 v)

I to je matematika – strana 32

1. Na primer :

Andrej i Nik ola po 3 pune i 3 prazne tegle i po jednudopola punu teglu.Sr|an jednu punu i jednu praznu teglu i 5 dopola punihtegli.

2. 3 90 = 270 250 + 20 = 2703. Nata je Vladi dala jednu ~okoladicu, Nikoli dve,

a Ani ~e tiri ~okoladice.

Mno`ewe racionalnih brojeva – decimalni zapis– strana 34

1. g)2. N, P, P, N3. a) 55,08 b) –550,8 v) –55,08 g) 550,8

d) 55,08 |) 5,5084. b)

5. prvi red : 98,23; 15,6; 4; –7,7; –0,02drugi red : –982,3; –156; –40; 77; 0,2

6. a) –0,15 b) –0,56 v) 0,042 g) –4,4 d) 3,6 |) –0,087. a) 55,2 b) 5,822 v) 27,98. a) 0,0008 b) –0,00014 v) –0,000549. a) –0,18 b) 0,012 v) 0,05510. a) 150 b) –7 200 v) –6 g) 53011. a) 1,3 b) –0,784 v) 0


1. a) –0,6 b) –0,6 v) –5,22. a) –2,07 b) 40,996 v) 1,56 g) –854,9823. a) 4; –0,4 b) –2; 0,2 v) 0,22; –0,022

Mno`ewe racionalnih brojeva – zapis oblika – strana 37

1. b)

2. b) v)

3. a) b) v) 1

4. a) b) v) 0 g) 8

5. a) b) 2 v)

6. , , , –5, 1, –3

7. a) b) 2


1. a) b) –10 v) g) d)

2. a) b) –5 v) g) –25− 920

494

1 12−2 1

2− 12

−5 16

34

711

−125

5 12−1 1

3 −2 1112

1 16

56−4

5

−5 1415

2 710

78−5 1

2−1 1112

112

89−

89−

29

29

−1 17

1930−5

6−18

− 910 −4 19

36−11724−4 1

14

12

12− 1

2

−5 56

12−5

7

ab

−1021−10

21

1532

827

283

52

152

338

45− 1

3314

−16

−57

53− 5

8452

− + = + −( )2 2 0 8 45

115

, ,0 6 2 14

94

35

, + −( ) = −( ) +17

9

7 613

3 12

−2845

18

2 38−4 1

8

−2 16

1 14

−2 16

2 14

8 2; ; ,



128

3. a) 9, , ,

b) , , ,v) 27, , ,

Svojstva operacije mnoèwa racionalnih brojeva– strana 391. a) 0 b) 0 v) 8,08 g) –1,293 d) –45,18 |) 0,009

2. a) –5,2b) da, za mnoèwe u skupu Z vaè svojstva asocijacijei komutacije

3. a) 0,14 b) ,

4. a) –9 b) v) 8

5. a)6. a) m = 0 b) m = –1 v) m = 07. –37

8. a) b)

9. a) 9 b) –1610. 12,5 l11. 21 km

12. a) b) 16,29 v) –1,97

13. a) –13,5 b) 9 v) –2,2514. a) –4 b) –2 v) 1 g) –0,8


1. a) 0 b) v) 2,8

2. a) –8,5 b) 10,2 v) –1,2 g) –19,2

3. a) –1 b)

Deqewe racionalnih brojeva – decimalni zapis – s trana 42

1. 1,85 m2. –54 : 18 = –3; –64 : (–16) = 4; 72 : (–18) = –43. a) –0,345 b) 0,14 v) 3,144. a) –0,75 b) –2,885. 1,3333… ≈1,36. b) –50 v) –4607. –0,66; 66; –0,36; 3,6; –3608. a) 0,07 b) –50,5 v) –320 g) 1,689. a)

Proveri {ta zna{ – strana 441. a) –3,9 b) 4,85 v) –0,02

g) –0,024 d) –0,02 |) –0,0018

e) 0,5 `) –0,25 z) –0,04i) 0,4 j) –1,25 k) –0,3

2. a) 0,5 b) –5 v) 50 g) –5 0003. a) –2,9 b) –0,4 v) 580

g) –23,2 d) 0,008 |) –200e) 12,55 `) –0,06

Recipro~an racionalan broj. Deqewe racionalnih brojeva

– zapis – strana 45

1. a) 1, 1, 1, 1b) da

2. g)3. b)

4. , , ,5. b)6. Brojevi 1 i –1 recipro~ni su sami sebi.

Broj 0 nema recipro~an broj.0

7. 11, , , ,

8. 20

9. b) v)

10. b) 7 v)

11. a) b) v)

12. v)

13. a) b) 8 v)

14. a) –16 b) v)


1. , , , , , , –1, –4

2. a) , , ,

b) , –6,

v) , , –6

Jedna~ine oblika a x = b, x : a = b – strana 491. b)2. a) x = 3 b) a = –3 v) s = 83. a) –3 b) 20 v) –204. a)

5. a) –66 b) –6 v)

6. a) b) –1,12 v) g) –64,8


1. a) b) 81 v)

2. a) –0,625 b) –2,8 v) 6,5

Jedna~ine oblika a : x = b – strana 511. b)2. a) a = 3 b) v) t = –71

−45− 7

100

−9115

− 316

110

− 911

−78

53

ab

−23−

15−

72−

89

−1112

10011− 1

11−1011

−23− 4

15

−43

−1

5

1

26− 5

36

35−3

2

−74

43

724−10

69−3512

103− 1

475

138− 1

2632−100

32619

6316

32−18

25

−85

25−2

3

49−5

8

49−1

6

3. a) –4 b) v) 5

4. a) b)


1. a) b) –0,625 v)

g) d) –1,4

Jedna~ine oblika a x + b = c – strana 521. v)2. da

4. a) b) –0,6

5. a) 18 b) –4,4 v) –46. –7

Proveri {ta zna{ – strana 531. 2,4

2. a) 1,3 b) v) –27,75

3. nije

Nejedna~ine oblika a x > b, a x –3

b) x < –4

v)

5. 4 x > 8 4 x < 8

–4 x > 8 –4 x < 8

6. a) x < 5 b) x > –3 v) x < –47. – x ≤18. a) x ≤–4

b) x ≥–15


1. a) b) x < 1,4 v) x > –3

2. a) b)

Nejedna~ine oblika x : a > b, x : a –6

6. –2

8. a) x ≥–2

b) x ≤2,4

9. 1, 2, 3

10. x : 2 < 4 i x < 8, x : (–2) < 4 i x > –8, x : 2 > 4 i x > 8, x : (–2) > 4 i x < –8


1. x < 5 000

2. a) x ≥–2,8 b) x < –8,4 v)g) x ≥3 d) x < –8

Nejedna~ine oblika a x + b > c, a x + b < c – strana 62

1. v)2. –1; –2,5; –23. 1, 2, 3

4. a) x > –6 b)

5. x ≤1

6. a) x < 1

b) x < –2

v) x ≤–2

7. a) x < 0,2 b) v) x ≤–2

53

1742

x > 103

x > −254

x > 95

x < 15 x ≥ 1

2

x ≥ 23

− 130

12

−1249−10

3

−3625

−87

x < −133

x ≤ −38

130


1. –1, –3

2. a) b) v)

3. –1

Procenat – strana 64

1. a) b) v)

2. a) b) v) g) d) |)

3. a) 11% b) 75% v) 34%4. a) 9% b) 3% v) 25% d) 40%5. a) 60% b) 25% v) 90% d) 150%6. a) 90% b) 40% v) 150% d) 48,5%7. a) 27%, 33%

b) kamilicomv) kantarionom

8. a) b) v) g) d)

9. v)10. a) 37,5% b) 43,75%11. 25%12. a)13. a) 0,75 b) 9 000 v) 1 900 d) 1,214. 30 kg15. 450 g


1. 50%; 75%; 120%; 62,5%2. 13%; 120%; 7%; 1,25%; 0,4%

3. , , ,

4. a) 51,2 b) 375 v) 6,4


1. v) 96

ÊTVOROUGAO1, 2, 3, kreni… – strana 69

1. v)2. = 152°3. b), g), d)4. SUS5. b)6. S – centar upisane kru`nice, H – ortocentar,

O – centar opisane kru`nice, T – teì{te

êtvorougao. Elementi ~etvorougla – strana 701. a) B, G, D, \, @, I b) B, G, \, @, I v) D4. v)6. ABGH, MNCD, ACDB, PMEF 7. CDE, DEF , EFC8. MQ i PS9. ~etvorougao RSMP11. ABCD, ABDE, ABCE, BCDE, ACDE


2. a) PQ b) Susedna temena su S i Q, a naspramno teme je

Zbir unutra{wih uglova ~etvorougla. Zbir spoqa{wih uglova ~etvorougla – strana 74

4. a) α = 60° b) α = 76°5. A = 55°, C = 50°7. a) = 90° b) 56°, 80°, 90°, 134°

8. γ = 157°, α = 53°9. a) γ = 112°, α1 = 102°, β1 = 75°, δ = 65°, δ1 = 115°b) β = 145°, γ = 84°, δ1 = 60°, α = 11°, α1 = 169°


1. Pogledaj zadatak 4, str. 75.2. Pogledaj zadatak 7, str. 76.

Pojam centralne simetrije – strana 771. da, ne, da, da2. v)5.

6. Ta~ki A centralnosimetri~na ta~ka u odnosuna sredi{te S jeste ta~ka B, i obrnuto. Svaka du`

je centralnosimetri~na u odnosu na sredi{te.7. H, S, N, O

Vrste ~etvorougla. Paralelogram – strana 801. kvadrat, da2. prvi red : B, V; drugi red : A, \, E; tre}i red : D, G3. paralelogram : EGFC, trapezi : BGFC i EGDC5. E = G, F = H, EF = HG, EH = FG6. 33°, 147°, 33°, 147°7. Kako je zbir dva uzastopna spoqa{wa ugla uvek jednak

180°, to zna~i da je zbir naspramnih spoqa{wih uglova

jednak 120°. Kako su oni jednaki, zna~i da je svaki 60°.8. A = 50°, B = 130°, C = 50°, D = 130°9. da


1. Pogledaj zadatak 5 na str. 82.2. Pogledaj zadatak 6 na str. 82.3. Pogledaj zadatak 7 na str. 82.

Vrste paralelograma, romb, pravougaonik, kvadrat– strana 841. Da. Naspramne stranice dobijenog ~etvorougla su jednake.

Uglovi ~etvorougla su : 130°, 50°, 130°, 50°.2. b) da, da

3. Unutra{wi uglovi romba su : 80°, 100°, 80°, 100°.4. Unutra{wi uglovi romba su : 40°, 140°, 40°, 140°.5. Ako je jedan ugao paralelograma prav, onda je i naspramni

ugao prav. Druga dva ugla su jednaka i tak o|e prava.6. Primenom pravila SUS dokaì podudarnost trouglova

ABC i BAD.7. a) Centar opisane kru`nice je presek dijagonala

pravougaonika, a polupre~nik je jednak polovini dijagonale.

x ≥ 110 x ≥ 13

4 x < 45

1

4

3

4

1

219

1009

10087

10021

1001

103

100

3200

12

14

34

120

33400

2251000

940=7

5015



b) Centar upisane kru`nice je presek dijagonala kvadrata, a polupre~nik je jednak polovini s tranice.


1. 2α = 150°20’, α = 75°10’, β = 104°50’2. Nacrtaj dijagonale pravougaonika. Wihov presek

je centar opisane kru`nice.3. Presek dijagonala je centar upisane i opisane kru`nice.

Konstrukcija paralelograma – 87

1. da, da2. Konstrui{i prvo trougao ABC, a zatim primeni pos tupak

iz re{enog primera na str. 87.3. Prvo konstrui{i jednakokraki trougao ~iji su kraci

po 4 cm i osnovica 6 cm .4. Prvo konstrui{i duì duìna 4 cm i 6 cm, koje se

polove pod pravim uglom.


1. Pogledaj re{en primer na str. 87.2. Pogledaj re{en primer na str. 88.3. Prvo konstrui{i pravougli trougao ~ija je hipotenuza

6 cm i jedna kateta 4 cm .4. Jednakokraki trougao ~iji su kraci 4 cm i ugao izme|u

wih 60° jeste jednakostrani~ni trougao, pa prvo wega konstrui{i.

Trapez. Svojstva trapeza. Sredwa linija trapeza– strana 90

1. A, G, \, E2. trapezima, trapezima4. a) α = 40°, β = 110°, γ = 70°, δ = 140°

b) suplementni su : α i δ, β i γ 5. β= 50°, δ = 108°7. a) da9. α = 60°, β = 35°, γ = 145°, δ = 120°


1. b) 62. Uglovi na dugoj osnovici su 113° i 86°.

Vrste trapeza. Jednakokraki trapez – strana 93

1. a) trapezima, tabela : prav, tup, o{tar b) trapezima, da2. pravougli trapezi : B, G, \

jednakokraki trapezi : A, Dni pravougli, ni jednakokraki : V, E

4. a) da b) da v) da g) da5. 45°, 45°, 135°, 135°6. Uglovi na jednom kraku jednakokrakog trapeza su

suplementni. Zbir dva ugla na jednoj osnovici je 160°,{to zna~i da je jedan ugao na osnovici 80°. Prema t ome,uglovi trapeza su : 80°, 80°, 100°, 100°.

7. a) Primeni pravilo SSU da dokaè{ da su trouglovi AED i BFC podudarni.

b) (6 cm – 4 cm) : 2 = 1 cm . Duìna duì AE je 1 cm .8. da


1. Primeni pravilo SUS da dokaè{ da su trouglovi AED i BFC podudarni.

2. a) 62°45’, 62°45’, 117°15’, 117°15’ b) 98°, 98°, 82°, 82°3. a) 90°, 90°, 20°, 160° b) 125°, 125°, 55°, 55°

Osnovne konstrukcije trapeza – strana 96

1. a) trapezima ili paralelogramima b) jes te

3. Primeni postupak iz re{enog primera na str. 98.Proveri {ta zna{ – strana 99

1. Nacrtaj du` AB duìne 6 cm . Konstrui{i sa istestrane duì AB uglove xAB= 60° i ABy = 45°.Kra}a dijagonala je naspram maweg ugla na osnovici.

2. Prvo konstrui{i trougaostranica 3 cm i 2 cmi ugao izme|u wih180° – 45° = 135°.

3. a) Prvo konstrui{ipravougli trougao

~ija je jedna kateta3 cm i o{tar ugao 45°.b) Prvo konstrui{i

pravougli trougao~ija je hipotenuza 5 cmi jedna kateta 4 cm .

Deltoid – strana 100

1. AB = AD, BC = CD, B = D, jeste2. G, E, @4. a) Trouglovi ACD i ACB su podudarni po pravilu SSS,

ABC = ADC, CAB= CAD, BCA= DCA.5. a) δ = 112°, γ= 106° b) β = 128°, δ= 128°6. Nacrtaj simetrale dva unutra{wa ugla. Ta~ka wihovog

preseka je centar upisane kru`nice.


1. a) 97°30’ b) 75° v) 104°2. Pogledaj zadatak 3 na str. 100 i zadatak 6 na str. 101.

POVR[INA TROUGLA I ÊTVOROUGLA1,2,3, kreni… – strana 105

1. a) 400 cm b) 400 mm v) 40 dm g) 40 mm2. , , , ,3. 43,18 cm4. a) 0,0005 km2 b) 0,05 m2 v) 0,000005 km 2; g) 0,05 dm 2

5. 70,2 m2

6. 6 cm7. 529 cm2

Pojam povr{ina ravnih figura. Jednakost povr{ina– strana 106

1. a), g), d)2. a) 2 b) jednake5. b)



132

6.

7.

Jedinice mere za du`inu i povr{inu – strana 1081. 7 6 8 82. 0,01 m 0,1 m 0,001 m3. 0,01 m2 0,0001 m2 0,000001 m2

4. b)6. 10 km7. a) 5,4 dm 2 b) 0,054 m2

8. 82,5 a9. , , , ,10. 4 km2 = 40 000 a 4 ha = 400 a 4 m2 = 400 dm 2

4 dm 2 = 40 000 mm 2 4 cm2 = 400 mm 2

11. a) 2 800 b) 0,012 v) 9,6 g) 2 000 000


1. 0,025 m 0,5 m 0,17 m2. 0,0075 m2 0,04 m2 0,000255 m2

Povr{ina pravougaonika – strana 111

2. a) 2 800 mm 2 b) 7 cm2 v) 9,8 cm2

3. a) 2,25 dm 2 b) m2

4. 180 cm2

5. a) 5 cm b) 2,4 dm6. a) 4 cm b) 32 cm

7. a) 1,8 dm b) 3,24 dm2

8. cm2


1. 200 cm2

2. dm 2

3. 67,24 cm2

4. 62 cm

Povr{ina paralelograma – strana 114

1. 22. a) 28 cm2 b) 28 cm2

3. a) 37,5 cm2

b) 15 cm2

v) 7,56 cm2

4. 164 cm2

5. 35 cm2

6. 5,2 dm


1. 21 cm2 b) 60 cm2

2. 6 cm3. 4 dm

Povr{ina trougla – strana 116

1. a) 8 cm2; 16 cm2; 15 cm2; 24 cm2

b) 4 cm2; 8 cm2; 7,5 cm2; 12 cm2

2. a) 90 cm2 b) 25,5 cm2 v) 9 cm2

3. a) 6 cm2 b) 2,64 dm 2 v) 2 750 mm 2

4. a) 42 cm2 b) 12,5 cm2

5. 16,8 cm6. 40 mm


1. 60 cm2

2. 450 cm2

3. 8 cm

Povr{ina trapeza – strana 118

1.12 cm2 g)2. a) 144 cm2 b) 111 cm2 v) 14,25 cm2 g) 98,7 cm2

3. a) 42 cm2 b) 1 400 cm2

4. a) P = 55 cm2 b) P = 15,4 cm2

5. 59,4 dm 2


1. a) 150 cm2 b) 208 cm2

2. 100 cm2

Povr{ina ~etvorougla s normalnim dijagonalama– strana 120

1. EFGH: a) 42 b) 48 ABCD: a) 21 b) 24Dijagonale ~etvorougla ABCD su normalne.

2. a) 23,04 cm2 b) 0,45 dm 2 v) 36,98 cm2

3. a) 22,4 cm2 b) 0,63 dm 2 v) 60,5 cm2

4. 14 cm5. 14,2 dm

Proveri {ta zna{ – strana 1211. 0,26 dm 2

2. 60 cm2

3. 5 cm


1. O = 56 cm P = 196 cm2

2. a) 1 : 4 b) 1 : 8 v) 3 : 16

3. a) 2 : 1 b) 2 : 1 v) 1 : 2

A

B CD

916

814

14

SADR@AJ

[ta sadrì ova kwiga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

RACIONALNI BROJEVI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41, 2, 3, kreni ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5Suprotan broj pozitivnom racionalnom broju. Skup racionalnih brojeva – skup Q . . . . . . . . . . . . . . 6Skup racionalnih brojeva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9Prikazivawe racionalnih brojeva na brojevnoj pravoj . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12Upore\ivawe racionalnih brojeva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16Sabirawe i oduzimawe racionalnih brojeva – decimalni zapis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20Sabirawe i oduzimawe racionalnih brojeva – zapis oblika a–

b . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

Svojstva operacije sabirawa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28Jedna~ine u vezi sa sabirawem i oduzimawem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30I to je matematika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

Zapamti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33Mnoèwe racionalnih brojeva – decimalni zapis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34Mnoèwe racionalnih brojeva – zapis oblika a–

b . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

Svojstva operacije mnoèwa racionalnih brojeva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39Deqewe racionalnih brojeva – decimalni zapis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42Recipro~an racionalan broj. Deqewe racionalnih brojeva – zapis oblika a–

b . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

Istraìva~ki zadatak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48Jedna~ine oblika a x = b, x : a = b . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49Jedna~ine oblika a : x = b . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51Jedna~ine oblika a x + b = c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52Nejedna~ine oblika a x > b, a x b, x : a c, a x + b < c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62Procenat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64I to je matematika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66Zapamti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

ÊTVOROUGAO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 681, 2, 3, kreni ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69êtvorougao. Elementi ~etvorougla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70Zbir unutra{wih uglova ~etvorougla. Zbir spoqa{wih uglova ~etvorougla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74Pojam centralne simetrije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77Vrste ~etvorouglova. Paralelogram . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80Vrste paralelograma – romb, pravougaonik, kvadrat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84Konstrukcija paralelograma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87Trapez. Svojstva trapeza. Sredwa linija trapeza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90Vrste trapeza. Jednakokraki trapez . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93



Osnovne konstrukcije trapeza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96Deltoid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100I to je matematika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102Zapamti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

POVR[INA ÊTVOROUGLA I TROUGLA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1041, 2, 3, kreni ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105Pojam povr{ina ravnih figura. Jednakost povr{ina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106Jedinice mere za duìnu i povr{inu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108Povr{ina pravougaonika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111Povr{ina paralelograma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114Povr{ina trougla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116Povr{ina trapeza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118Povr{ina ~etvorougla s normalnim dijagonalama . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120I to je matematika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122Istraìva~ki zadatak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

Zapamti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124REZULTATI I UPUTSTVA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125



autori

ilustrovao

recenzenti

urednik

lektor

grafi~ko oblikovawe

priprema za {tampu

izdava~

za izdava~a

{tampa

tira`copyright

Mirjana Stojsavqevi}-Radovanovi}, Qiqana Vukovi}, Jagoda Ran~i}, Zorica Jon~i}

Du{an Pavli}

dr Zorana Lu`anin, redovni profesor, Prirodno-matemati~ki fakultet u Novom Sadu dr Zoran Lu~i}, vanredni profesor, Matemati~ki fakulte t u Beogradu dr Dragica Pavlovi}-Babi}, docent, Filozofski fakultet u Beogradu Gordana Nikoli}, profesor, O[ „ Du{ko Radovi}“ u Beogradu Vesna Stanojevi}, nastavnik, O[ „1300 kaplara“ u Beogradu

Svjetlana Petrovi}

Ivana Igwatovi}

Du{an Pavli}

Qiqana Pavkov

Kreativni centarGradi{tanska 8BeogradTel./faks : 011/ 38 20 464, 38 20 483, 24 40 659www.kreativnicentar.rs

mr Qiqana Marinkovi}

Publikum

7.000

© Kreativni centar 2010

MATEMATIKAuxbenik za {esti razred osnovne {kole – 2. deoprvo izdawe

Ministar prosvete Republike Srbije odobrio je izdavawe i upotrebu ovoguxbenika u okviru uxbeni~kog kompleta za matematiku u {es tom razreduosnovne {kole re{ewem broj 650-02-00190/2010-06 od 22. 07. 2010.

CIP – Katalogizacija u publikacijiNarodna biblioteka Srbije, Beograd

37.016:51(075.2)

MATEMATIKA : uxbenik za {esti razredosnovne {kole. #Deo #2 / MirjanaStojsavqevi}-Radovanovi} … [i dr. ] ;[ilustrovao Du{an Pavli} ]. – 1. izd. –Beograd : Kreativni centar, 2010 (Beograd :Publikum). – 133 str. : ilustr. ; 27 cm . –(Kreativna {kola)

Tira` 7.000.ISBN 978-86-7781-787-91. Stojsavqevi}-Radovanovi}, Mirjana[autor ]

COBISS.SR-ID 177628684

6 razred - kreativni centar - udzbenik (2)

Documents