5. composici on de funciones de varias variables y .composici on de funciones de varias variables

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  • Universidad Nacional de La Plata Facultad de Ciencias Exactas

    ANALISIS MATEMATICO II (CiBEx)

    (2015 Segundo Semestre)

    GUIA Nro. 3: FUNCIONES ESCALARES DE VARIAS VARIABLES

    (Parte B)

    5. Composicion de funciones de varias variables y reglas de la cadena

    En Analisis I se considero la composicion de una funcion de 1 variable con otra funcion tambien de

    1 variable: la composicion de x(u) con f(x) es la funcion F (u) = (f x)(u) = f (x(u)), que depende de lavariable u 1. Al momento de derivar una funcion compuesta (siempre que las funciones que se componen

    sean derivables), podemos utilizar la regla de la cadena:

    dF

    du=df

    dx

    dx

    du

    o, escrito de otra forma:

    F (u) = f (x(u))x(u)

    En el contexto de las funciones de varias variables, tambien podemos hacer composiciones pero ahora las

    opciones son diversas. Veamos diferentes formas de composicion entre funciones de varias variables, y las

    reglas de derivacion correspondientes en cada caso.

    5.1. Composicion de funciones de varias variables

    Consideremos la siguiente situacion: en cierta region plana, se conoce la temperatura en funcion de la

    posicion, T (x, y). Si una persona camina por esa region siguiendo una curva tal que sus coordenadas son

    x(t) e y(t), que temperatura medira en funcion del tiempo? [recuerde el comentario al final de la Seccion 1

    de esta Gua 3, donde nos preguntamos cuanto vale una funcion f si la evaluamos en los puntos de una curva

    parametrica arbitraria C : ~r(t) contenida en el dominio de la funcion: lo denotamos f(~r(t)) ]. La persona

    que quiere medir la temperatura a medida que se mueve debe calcular T (x, y) para x = x(t) e y = y(t),

    esto es la funcion compuesta: T (t) = T (x(t), y(t)), que resulta ser finalmente una (nueva) funcion de unasola variable independiente (t, en este caso). A esta situacion la llamaremos caso 2 1 (se combina unafuncion de 2 variables con otras de 1 variable), y la podemos simbolizar mediante el siguiente diagrama (que

    nos ayudara a identificar cuales son las variables independientes finalmente):

    T (t) = T (x(t), y(t)) : T

    x

    y

    t

    donde cada lnea se lee de izquierda a derecha como depende de. Ejemplo: para T (x, y) = 2x2+y2

    , donde

    x(t) = et, y(t) = et, la composicion da T (t) = 2e2t+e2t =

    1cosh(2t) .

    1La composicion esta bien definida para los valores de u en el dominio de x, tales que x(u) esta en el dominio de f . Ejemplo:

    para f(x) =x, x 0, y x(u) = u 3, u R, la composicion F (u) = f(x(u)) =

    u 3 tiene dominio u 3 0, o sea u 3.

    3-34

  • Consideremos ahora el resultado de evaluar una funcion de 3 variables f(x, y, z) donde cada variable de-

    pende a su vez de otra: x = x(u), y = y(u) y z = z(u). Lo llamaremos caso 3 1, y lo simbolizamosdiagramaticamente como

    F(u) = f(x(u), y(u), z(u)) : f

    x

    y

    z

    u

    Vemos que la funcion compuesta depende finalmente de 1 variable independiente, y tiene como dominio

    natural todos los valores de u permitidos por la composicion (salvo que se diga otra cosa, consideraremos los

    dominios naturales de cada funcion). Ejemplo: para f(x, y, z) = ln(x y + z), donde x(u) = u2, y(u) = 2u,z(u) = 1, la composicion da F(u) = ln(u2 2u+ 1) = 2 ln |u 1|.

    Siguiendo la misma idea, genere un diagrama para el caso n 1 para algun n > 3. Ejemplifique.

    Pasemos ahora a otra clase de situacion: el resultado de evaluar una funcion f(x) de 1 variable que depende

    a su vez de otras 2, x = x(u, v). Lo llamaremos caso 1 2, y lo simbolizamos como

    F(u, v) = f(x(u, v)) : f x

    u

    v

    Un ejemplo de esta situacion lo encontramos en la conversion a grados Fahrenheit de la temperatura dada en

    grados Celsius para una placa bidimensional: TF (TC) = 32 +95TC donde TC = TC(x, y), resulta finalmente

    TF (x, y).

    Con la misma idea, como sera el caso 1m para algun m > 2? Arme el diagrama, e identifique la o lasvariables independientes de la funcion compuesta; de un ejemplo.

    Una situacion mas general, el caso nm, sera el resultado de evaluar una funcion f(x1, x2, . . . , xn) dondecada xi = xi(u1, u2, . . . , um); la funcion compuesta depende de m variables independientes.

    Hay otras combinaciones posibles, por supuesto: por ejemplo f(x, y, z) donde x = x(u, v, t), y = y(v, w), y

    z = z(u, v, w) termina dando una funcion compuesta F(u, v, w, t) de 4 variables independientes. Arme eldiagrama para este caso.

    Por que insistir en cuales son las variables independientes de la funcion compuesta? Entre otras cosas,

    porque vamos a calcular la variacion de la funcion compuesta, esto es, derivarla respecto de sus variables.

    5.2. Reglas de la cadena para derivar funciones compuestas de varias variables

    Supondremos que todas las funciones involucradas a continuacion son diferenciables. Daremos las reglas de

    derivacion como propiedades que pueden ser demostradas.

    Para empezar, veamos el caso 2 1 de la funcion compuesta F(u) = f(x(u), y(u)).Es claro que cuando la variable independiente u cambie, la funcion F(u) cambiara. Mirando lo que figura ala derecha del signo igual, notamos que un cambio en u provoca que la variable intermedia x cambie, por

    lo que va a cambiar f parcialmente; y ademas un cambio en u provoca que la variable intermedia y cambie,

    por lo que tambien va a cambiar f parcialmente. Entonces, de manera similar a la regla de la cadena para

    una funcion de 1 variable, se puede probar que aqu la regla de derivacion resulta:

    3-35

  • REGLA DE LA CADENA (2 1)

    Si F(u) : f

    x

    y

    u , entoncesdFdu

    =f

    x

    dx

    du+f

    y

    dy

    du

    o, escrito de otra forma:

    F (u) = fx(x(u), y(u))x(u) + fy(x(u), y(u)) y(u)

    El diagrama que dibujamos nos ayuda a recordar la regla, si asignamos a cada lnea la frase derivada

    respecto de; observamos que hay una contribucion pasando por x y otra pasando por y, que se suman

    para dar el cambio global de F .Notar que hemos tenido cuidado en escribir derivadas parciales o totales, segun corresponda.

    EJEMPLO 20: Sea f(x, y) = x2 + xy3, donde x = x(u) = cosu e y = y(u) = eu.

    a) Derivar F(u) = f(x(u), y(u)) respecto de u, aplicando la regla de la cadena.b) Hallar explcitamente la funcion compuesta F(u), y derivarla.c) Discutir ambos resultados.

    a) Aplicando la regla de la cadena, el resultado es: dFdu = [2x(u) + y(u)3] ( senu) + [3x(u) y(u)2] eu,

    donde faltara incorporar las funciones x(u) e y(u) para obtener el resultado en terminos de la varia-

    ble u.

    b) La funcion compuesta resulta explcitamente F(u) = f(x(u), y(u)) = (cosu)2 + (cosu)(eu)3 =cos2 u+cosu e3u. Derivando directamente esta expresion, se tiene: F (u) = 2 cosu senusenu e3u+3 cosu e3u, para cualquier u R.

    c) Se puede verificar (hagalo) que si en el inciso a) se escriben las variables intermedias x e y en

    terminos de u, se obtiene exactamente el mismo resultado que en b).

    La diferencia es que en a), usando la regla de la cadena, aun sin haber hallado la expresion para F(u)fue posible obtener F (u) (esto puede ser una ventaja para tratar con algunos problemas; encontrare-mos una situacion similar mas adelante para derivar funciones definidas en forma implcita).

    EJEMPLO 21: En el problema de tiro oblicuo del Ejemplo 8-b) de la Gua 2, se quiere calcular la

    distancia (en lnea recta) desde el punto de lanzamiento hasta la posicion del objeto en cada instante,

    y calcular su variacion para t = 99,8 s. Ver Figura 8.

    La funcion a evaluar es d(x, y) =x2 + y2, donde a su vez x e y dependen del tiempo en la forma

    dada por las ecuaciones del tiro oblicuo, en este caso: x(t) = 5

    3 t, y(t) = 5t 4,9t2. La distanciacompuesta es finalmente una (nueva) funcion del tiempo, que llamamos D(t) = d (x(t), y(t)).

    Usando la regla de la cadena, tenemos

    D(t) =x(t)

    [x(t)]2 + [y(t)]2x(t) +

    y(t)[x(t)]2 + [y(t)]2

    y(t) =1

    D(t)[x(t) 5

    3 + y(t) (5 9,8t)]

    para cualquier valor de la (unica) variable independiente t entre t0 = 0s y tF =109,8s.

    3-36

  • Figura 8: Tiro oblicuo

    Si queremos evaluar en un instante t dado, debemos conocer el valor de las variables intermedias x(t) e

    y(t) en dicho instante. En este caso: x( 99,8) =45

    39,8 m, y(

    99,8) =

    4,59,8 m, con lo cual D(

    99,8) =

    4,5

    3019,8 m

    (esto es casi el alcance del tiro oblicuo, recordar que choca contra el piso en el instante tF =109,8 s).

    Luego, reemplazando estos valores en la expresion hallada para D, la variacion instantanea de D a

    los 99,8 segundos resulta

    D(

    9

    9,8

    )=

    146301

    m/s

    Notar que este calculo lo realizamos usando la regla de la cadena, sin necesidad de hallar explcitamente

    la expresion en terminos de t para la nueva funcion D, dada por la composicion; de hecho, solamente

    necesitamos los valores de x, y y D en el propio instante 99,8 .

    De manera similar al caso anterior, la regla de la cadena para el caso 3 1 de la funcion compuestaF(u) = f(x(u), y(u), z(u)) es:

    REGLA DE LA CADENA (3 1)

    Si F(u) : f

    x

    y

    z

    u, entoncesdFdu

    =f

    x

    dx

    du+f

    y

    dy

    du+f

    z

    dz

    du

    o, escrito de otra forma:

    F (u) = fx(x(u), y(u), z(u))x(u) + fy(x(u), y(u), z(u)) y(u) + fz(x(u), y(u), z(u)) z(u).

    Nuevamente, el diagrama que dibujamos nos ayuda a recordar la regla: ahora se deriva pasando por x,

    por y y por z.

    REGLA DE LA CADENA (n 1):Escriba la regla general para cualquier n (tome algun n > 3).

    Pasemos ahora al caso 1 2 de