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month1nameenero,febrero,marzo,abril,mayo,junio,julio,agosto,septiembre,octubre,noviembre,diciembreucmonth1nameEnero,Febrero,Marzo,Abril,Mayo,Junio,Julio,Agosto,Septiembre,Octubre,Noviembre,DiciembreFebruary 24, 2015

Problemario

1

Calculo en Varias Variables

Prof. Edixon Rojas, Herbert Duenas Edward BecerraDepartamento de Matematicas

Universidad Nacional de ColombiaSede Bogota

https://sites.google.com/site/edixonr/emrojass@unal.edu.co, haduenasr@unal.edu.co,esbecerrar@unal.edu.co

Contents

Espacios Vectoriales: Operaciones Vectoriales, Proyecciones, Normas, Rectas y Planos1 Superficies Cuadricas,Funciones, Lımites, Continuidad9 Derivadas: Parciales, de Orden Superior, Direccionales, Diferenciales, Vec-tor Gradiente17 Aplicaciones de la Derivada: Maximos y Mınimos, Multiplicadores de Lagrange27 Integrales:Dobles, Triples, Cambios de Variable30 Calculo Vectorial37 Respuestas Ejercicios Seleccionados40

Espacios Vectoriales: Operaciones Vectoriales,Proyecciones, Normas, Rectas y Planos

1. 1. Escriba en forma explıcita:

1. El neutro para la suma de R3.

2. El inverso aditivo de (1, 2,−3, 5) ∈ R4.

3. El inverso aditivo del inverso aditivo de un vector v ∈ R3.

4. El vector suma de (1, 1, 1) con (3, 2, 2) en R3.

5. La propiedad conmutativa para la suma de vectores en R3.

6. El vector suma de (8, 9, 3, 5) con el inverso aditivo de (2, 7, 5, 4).

7. El vector suma de (a, b, c, d, e) ∈ R5 con el inverso aditivo.

8. 3 veces el vector (2, 1, 1) de R3.

9. −5 veces el vector (1, 1, 1, 1, 1) de R5.

10. La propiedad asociativa para la suma de vectores en R4.

1

11. El inverso aditivo de 4 veces el vector (2, 4,−7) ∈ R3.

12. La suma de (2, 5, 5, 4) con 4 veces el vector (−1,−2,−1,−1) en R4.

13 El vector 3(1, 1, 8) + 4[(−2, 3, 0) + 5(1, 0, 1)] de R3.

14. El vector −(2, 0, 2) + 3{(3, 2, 2)− 3[−(1, 2, 1) + 7(0, 1, 0)]} de R3.

15. El vector (2, 1, 0, 0)− 2(1, 1, 1, 1) de R4multiplicado por el escalar −5.

16. El inverso aditivo del vector −(1, 4, 2, 3) + 2(3, 2, 1, 1)en R4 multiplicado por −6.

17. El vector de R4 que sumado al vector (3, 2, 0, 0) de por resultado el vector (1, 1, 2, 1).

18. El vector de R3 que sumado con el inverso aditivo del vector (1,−4, 6) de por resultado el vector3(3, 4, 2).

2. Completar los calculos:

1. (−21, 23)− (?, 6) = (25, ?).

2. (8a,−2b, 13c) = (52, 12, 11) + 12 (?, ?, ?).

3. (2, 3, 5)− 4ı+ 3 = (?, ?, ?).

3. Calcular ||−→u ||, ||−→v || y −→u .−→v de:

1. −→u = 15ı− 2+ 4k ; −→v = πı+ 3− k.

2. −→u = 2− ı ; −→v = −+ ı.

3. −→u = 5ı− + 2k ; −→v = ı+ − k.

4. −→u = −ı+ 2− 3k ; −→v = −ı− 3+ 4k

4. 1. Halle un vector (x, y) ∈ R2 que sea ortogonal a (1, 2).

2. Halle un vector (x, y) ∈ R2 que sea ortogonal a (1, 2) y a (−3,−6).

3. Halle un vector (x, y) ∈ R2 que sea ortogonal a (1, 2), (−3,−6) y a (2, 4).

4. Halle un vector (x, y) ∈ R2 que sea ortogonal a (1, 2) y (3, 5).

5. 1. Halle un vector (x, y, z) ∈ R3 que sea ortogonal a (3, 1, 1).

2

2. Halle un vector (x, y, z) ∈ R3 que sea ortogonal a (3, 1, 1) y a (6, 2, 2).

3. Halle un vector (x, y, z) ∈ R3 que sea ortogonal a (3, 1, 1) y a (2, 1, 5).

4. Halle un vector (x, y, z) ∈ R3 que sea ortogonal a (3, 1, 1) y (2, 1, 5) y a (1, 0, 0).

6. En cada uno de los siguientes ıtemes, encuentre el vector −→u = Proy→x. Verifique en cada caso que elvector obtenido es ortogonal a −→y −−→u .

1. −→x = (2, 5) ; −→y = (3, 4).

2. −→x = (1, 0) ; −→y = (4, 5).

3. −→x = (4, 2) ; −→y = (2, 1).

4. −→x = (2, 1, 0) ; −→y = (1, 0, 1).

5. −→x = (1, 1, 1, 2) ; −→y = (0, 2, 0, 3).

7. Sea −→v el vector de R3 cuyo punto inicial esta en (1, 3, 7) y cuyo punto final esta en (4, 5, 7). Hallar laproyeccion ortogonal del vector (1, 2, 1)sobre −→v .

8. Use el concepto de proyeccion de un vector sobre otro para calcular el area del triangulo cuyos verticesson:

1. A = (0, 0) ; B = (5, 3) ; C = (7, 8).

2. A = (0, 0) ; B = (9, 1) ; C = (5, 4).

3. A = (−2,−3) ; B = (3, 2) ; C = (−1, 5).

4. A = (1, 2, 3) ; B = (2, 5, 3) ; C = (−2, 0, 0).

9 Verifique la desigualdad triangular con los vectores:

1. −→x = (0, 5) ; −→y = (1, 7).

2. −→x = (2, 1,−2) ; −→y = (3, 1, 2).

3. −→x = (−2, 0, 2, 1) ; −→y = (0, 0, 3, 7).

10. Sean −→x ,−→y dos vectores en R3. Demuestre que∣∣∣||−→x || − ||−→y ||∣∣∣ ≤ ||−→x −−→y ||(sugerencia: ||x|| = ||(x− y) + y|| ≤ ||x− y||+ ||y||) de donde se obtiene ||x|| − ||y|| ≤ ||x− y||. De lamisma manera se obtiene que ||y|| − ||x|| ≥ ||x− y||.

3

11. Sean −→u y −→v dos vectores en R3. Demuestre que

||−→u +−→v ||2 + ||−→u −−→v ||2 = 2(||−→u ||2 + ||−→v ||2

)(Identidad de Polarizacion).

1. Determinar la proyeccion de A sobre B si−→A = (1, 2, 3) y

−→B = (1, 2, 2).

2. a. Sean−→A = (6, 3,−2) y a, b, c los angulos que forma con los vectores coordenados unitarios ı, , k,

respectivamente. Calcular cos a, cos b, cos c. Estos se llaman los cosenos directores de−→A .

b. Hallar todos los vectores de V3 de longitud 1 paralelos a−→A .

3. Demostrar que el angulo que forman−→A = (1, 2, 1)y

−→B = (2, 1,−1) es el doble del que forman

−→C = (1, 4, 1) y

−→D = (2, 5, 5).

4. Determinar vectorialmente los cosenos de los angulos del triangulo en el espacio de 3 dimensiones cuyosvertices son los puntos (2,−1, 1), (1,−3,−5) y (3,−4,−4).

5. Tres vectores−→A,−→B,−→C de R3 satisfacen las propiedades siguientes:

||−→A || = ||

−→C || = 5 , ||

−→B || = 1 , ||

−→A −

−→B +

−→C || = ||

−→A +

−→B +

−→C ||

si el angulo que forman−→A y

−→B es π/8, hallar el que forman

−→B y

−→C .

6. Dados tres vectores no nulos−→A,−→B,−→C de R3. Supongase que el angulo que forman

−→A y

−→C es igual al

que forman−→B y

−→C . Demostrar que

−→C es ortogonal al vector ||

−→B ||−→A − ||

−→A ||−→B .

7. Dados dos vectores−→A = (cos θ,− sin θ) y

−→B = (sin θ, cos θ) de R2

a. Demostrar que−→A y

−→B son vectores ortogonales de longitud 1

b. Hallar todos los vectores (x, y) en R2 tales que (x, y) = x−→A+y

−→B . Asegurarse de que se consideran

todos los posibles valores de θ.

8. Si θ es el angulo que forman los vectores no nulos−→A y

−→B de R3 demostrar que

||−→A −

−→B ||2 = ||

−→A ||2 + ||

−→B ||2 − 2||

−→A || ||

−→B || cos θ.

9. Supongamos que en R2 definimos el producto escalar de dos vectores−→A = (a1, a2) y

−→B = (b1, b2) con

la formula −→A ·−→B = 2a1b1 + a2b2 + a1b2 + a2b1

Demostrar que son validas todas las propiedades de producto escalar.

10. Sean ı y los vectores coordenados unitarios de R2. Hallar en c/c escalares x e y tales que x(ı−)+y(ı+)es igual a

4

1. −ı2.

3. 3ı− 5

4. 7ı+ 5

11. Si−→A = (1, 2),

−→B = (2,−4) y

−→C = (2,−3) son tres vectores de R2, hallar unos escalares x e y tales que

−→C = x

−→A + y

−→B .

12. Si−→A = (2,−1, 1),

−→B = (1, 2,−1) y

−→C = (2,−11, 7) son tres vectores de R3, hallar escalares x e y tales

que−→C = x

−→A + y

−→B . ¿Que ocurre si

−→C = (2, 11, 7)?

13. Sean ı, , k los vectores coordenados unitarios de R3. Demostrar que los cuatro vectores ı, , k, ı+ + kson L.D., pero que tres cualquiera de ellos son L.I.

14. Sean ı y los vectores coordenados unitarios de R2 y S = {ı, ı+ }

a. Demostrar que S es L.I.

b. Expresar 3ı− 4 como C.L. de ı e ı+

15. Calcular el valor de

a.

∣∣∣∣∣ 2 −1 04 3 23 0 1

∣∣∣∣∣ b.

∣∣∣∣∣ 36 18 1745 24 203 5 −2

∣∣∣∣∣c.

∣∣∣∣∣ 1 4 94 9 169 16 25

∣∣∣∣∣ d.

∣∣∣∣∣ 2 3 57 11 1317 19 23

∣∣∣∣∣16. Calcular el valor de −→a ×

−→b , donde −→a = ı− 2+ k,

−→b = 2ı+ + k.

17. Calcular a · (−→a ×−→c ) donde −→a y−→b son como en el ejercicio anterior y −→c = 3ı− + 2k.

18. Un triangulo tiene vertices (0, 0, 0), (1, 1, 1) y (0,−2, 3). Hallar su area.

19. ¿ Cual es el volumen del paralelepıpedo con lados 2ı+ − k, 5ı− 3k e ı− 2+ k?

20. Determinese los volumenes de los paralelepıpedos de aristas:

1.) 3ı, 4, 8k 2.) 3ı+ 4, ı+ k, 2+ 4k

3.) (2,−3, 4), (1, 1, 1), (1,−4, 7) 4.) (1, 0, 0), (8, 7, 0), (8,−4, 3)

5.) (2, 6,−4), (3, 2, 7), (2, 4, 3) 6.) (2,−1,−3), (4, 1, 4), (0, 1, 2)

5

21. Una recta ` en R2 contiene los dos puntos P (−3, 1) y Q(1, 1). Determinar cuales de los siguientespuntos estan en `.

a.) (0, 0) b.) (0, 1) c.) (1, 2)d.) (2, 1) e.) (−2, 1)

22. Hallar una recta que pasa por (−1,−1,−1) en la direccion de

23. Hallar una recta que pasa por (0, 2, 1) en la direccion de 2ı− k

24. Hallar una recta que pasa por

1. (−1,−1,−1) y (1,−1, 2)

2. (−5, 0, 4) y (6,−3, 2)

25. Una recta ` contiene a los dos puntos P = (−3, 1, 1) y Q = (1, 2, 7). Determinar cuales de los siguientespuntos estan en `.

1.) (−7, 0, 5) 2.) (−7, 0,−5) 3.) (−11, 1, 11)4.) (−11, 1, 11) 5.) (−1, 32 , 4) 6.) (− 5

3 ,43 , 3)

7.) (−1, 32 ,−4)

26. En cada caso determinar si los tres puntos P,Q,R estan en una recta.

1. P = (2, 1, 1) , Q = (4, 1,−1) , R = (3,−1, 1)

2. P = (2, 2, 3) , Q = (−2, 3, 1) , R = (−6, 4, 1)

3. P = (2, 1, 1) , Q = (−2, 3, 1) , R = (5,−1, 1)

27. Una recta pasa por le punto P = (1, 1, 1) y es paralela al vector−→A = (1, 2, 3). Otra recta pasa por

Q = (2, 1, 0) y es paralela al vector−→B = (3, 8, 13). Demostrar que las dos rectas se cortan y determinar

su punto de interseccion.

28. Hallar los puntos de interseccion de la recta

` :

x = 3 + 2ty = z + 8tz = −2 + t

con los planos coordenados

29. Mostrar que no existen puntos (x, y, z) que satisfagan 2x − 3y + z − 2 = 0 y que esten sobre sobre larecta x− 2 = y + 2 = z + 1

30. Mostrar que todo punto sobre la recta ` :

x = 1 + 2ty = −1 + 3tz = 2 + t

satisface 5x− 3y − z − 6 = 0

31. Hallar el plano generado por

6

1. −→v1 = (2, 7, 0) , −→v2 = (0, 2, 7)

2. −→v1 = (3,−1, 1) , −→v2 = (0, 3, 4)

32. Hallar una ecuacion del plano que:

1. Es perpendicular a −→v = (1, 1, 1) y pasa por (1, 0, 0)

2. Es perpendicular a −→v = (1, 2, 3) y pasa por (1, 1, 1)

3. Es perpendicular a ` :

x = 3 + 5ty = −1z = 1 + 2t

y pasa por (5,−1, 0)

4. Es perpendicular a ` :

x = −ty = 7− 2tz = 1 + 3t

y pasa por (2, 4,−1)

33. Hallar una ecuacion del plano que pasa por P y es perpendicular a la recta `

1. P = (2,−1, 3) ` :

x = 1 + 3ty = −2− 2tz = 2 + 4t

2. P = (1, 2,−3) ` :

x = ty = −2− 2tz = 1 + 3t

34. Hallar la ecuacion de la recta que pasa por el punto (1,−2,−3) y es perpendicular al plano 3x − y −2z + 4 = 0

35. Hallar una ecuacion para el plano que contiene dos rectas (paralelas)

`1 :

x = 2ty = 1 + 3tz = −2− t

`2 :

x = 2 + 2ty = −1 + 3tz = −t

36. Hallar la distancia del punto (2, 1,−1) al plano x− 2y + 2z + 5 = 0

37. Hallar una ecuacion del plano que contiene la recta ` :

x = −1 + 3ty = 1 + 2tz = 2 + 4t

y es perpendicular al plano

2x+ y − 3z + 4 = 0

38. Hallar una ecuacion del plano que pasa por (3, 2,−1)y (1,−1, 2) y es paralelo a la recta ` :

x = 1 + 3ty = −1 + 2tz = −2t

39. Sea ` la interseccion de los planos 3x+ y − 4z = 5 y 2x+ 3y − z = 4. si Π es el plano x− 2y + 3z = 1encuentre ` ∩Π.

40. Detemınese la interseccion de los planos:

7

1.7x+ 2y − 8z = 0

y + z = 0

2.3x− 2y + 5z = 24x+ 5y + z = −6

3.12x− 5y + 7z = 13

9x+ y − 3z = 5

4.9x+ 12y + 3z = −712x+ 16y + 4z = 9

8

Superficies Cuadricas, Funciones, Lımites,Continuidad

1. Identificar las superficies siguientes:1. x2 + 4y2 − 16z2 = 0 2. x2 + 4y2 + 16z2 − 12 = 03. x− 4y2 = 0 4. x2 − 4y2 − 2z = 05. 5x2 + 2y2 − 6z2 − 10 = 0 6. 2x2 + 4y2 − 1 = 07. x2 + y2 + z2 − 4 = 0 8. 5x2 + 2y2 − 6z2 + 10 = 09. x2 + 2y2 − 4z = 0 10. 2x2 − 3y2 − 6 = 011. x− y2 + 2z2 = 0 12. x− y2 − 6z2 = 013. x2 + 4y2 + 16z2 = 64 14. 12x2 + 9y2 − 36z2 = 3615. x2 + y2 + z2 − 4 = 0 16. x2 + 4y2 − 16z2 = 017. 5x2 + 2y2 − 6z2 = 60z + 150 18. 4x2 − 9y2 − z2 = 3619. 4x2 − 9y2 − z2 = 36 20. x2 + 4z2 = 421. x2 − 4y2 = 0 22. x− z2 = 123. y2 − z2 = 16 24. y2 − z2 = 125. x2 + y2 − 4z2 = 0 26. x2 + 4z2 − 4z = 027. x2 + y2 + 4x− 4y = z − 13 28. x = y2 + 4z2 + 129. z2 − x2 − 4y2 + 2x− 8y − 4z = 0 30. x2 = 4y2 + z2 − 4x+ 6y + 931. 4x2 + 36y2 + 9z2 = 36 32. 25x2 + 16y2 = 400z33. 16x2 + 9y2 + 16z2 = 144 34. 16y2 + 9z2 = 8x

35. 4x2 − 9y2 + 36z2 = 36 36. − x2

9 + y2

4 + z2

25 = 1

37. 4x2 − 9y2 + 36z2 = 36 38. x2

9 −y2

4 −z2

25 = 139. 4x2 − 9y2 + 36z2 = 36 40. 4x2 − 9y2 = 72z41. 4x2 − 9y2 + 36z2 = 0 42. 4x2 + 9y2 + z2 − 2z = 3543. 9x2 + 4z2 = 12y 44. z = xy

2. Hacer el grafico aproximado de la region acotada por las superficies dadas:

1. x2 + y2 + z2 = 25 ; x2 + y2 = 9

2. 2x2 + 3z2 = 4y ; 2x− 4y − 6z + 172 = 0

3. 4x2 + 9y2 = z ; 8x− 18y + z = 23

4. x2 + y2 + z2 = 4 ; x2 + y2 = 3z

5. x2 + y2 = 4 ; x2 + 2z = 4

6. 4x+ 3y = 12 ; x2

4 + z3 = 1 ;x = 0, , y = 0, z = 0

7. x2 + y2 + z2 = 1 ; z2 = x2 + y2

8. y2 = x ; y = z, x = 1, , z = 1

3. Graficar los siguientes conjuntos1. A = {(x, y) : xy > 0}2. A = {(x, y) : x > 0, y > 0, y < 2− x}3. A = {(x, y) : x2 + y2 > 1}4. A = {(x, y) : 2 < x < 4, 2 < y ≤ 5}5. A = {(x, y) : x ≥ 0, y ≤ 0, x2 + y2 ≤ 1}6. A = {(x, y) : x ≤ 0, y ≥ 0, y ≥ x2}

4. Dada la Funcion f : R2 → R, f(x, y) = x2 + y2, halle

1. f(1, 0), f(0, 1), f(1, 1)

9

2. ¿Cuales puntos (x, y) ∈ R2 son tales que f(x, y) = 0?

3. ¿ A donde manda la funcion f los puntos (x, y) del circulo unitario x2 + y2 = 1

5. Sea f : R2 → R tal que f(x, y) = x+ y. Halle:

1. f(2, 3), f(x, 1), f(1, y), f(x−1, y−1)

2. ¿Cuales puntos (x, y) ∈ R2 son tales que f(x, y) = K?

3. ¿A donde manda f los puntos de la recta y = x?

4. ¿A donde manda f los puntos de la recta y = −x?

6. Sea f. = R2 → R tal que f(x+ y, x− y) = x2 + y2, determine

1. f(2, 5), f(x, 3), f(5, y), f(x, y)

2. ¿A donde manda f los puntos de la recta y = x?

3. ¿A donde manda f los puntos de la recta y = −x?

7. Sea f : U ⊂ R2 → R tal que f(x − y, yx ) = y2 − x2. Determine f(x, y) ¿Cual es el dominio U de estafuncion?

8. Sea f : R3 → R; f(x, y, z) = e−(x2+y2+z2). Calcule

1. f(0, 0, 0), f(±1,±1,±1)

2. ¿A donde manda f los puntos de la esfera unitaria x2 + y2 + z2 = 1?

3. ¿Que pasa con los valores de f cuando ||(x, y, z)|| → +∞?

9. Considere la funcion f : R2 → R : f(x, y) = sgn(x − y2) donde la funcion sgn (signo) esta dadapor:

sgn(x) =

1, si x > 00, si x = 0−1, si x < 0

Describa el conjunto de puntos (x, y) ∈ R2 tales que:

a. f(x, y) > 0 ; b. f(x, y) = 0 ; c. f(x, y < 0)

10. Sea f : R2 → R : f(x, y) = 3x2 − 4xy + 5y2, calcular:

a. f(0, 1), f(1, 0), f(−2, 1), f(1 + h, 0), f(0, 1− k), f(x, x), f(−y, y)

b. Simplificar para h 6= 0 la expresion :f(x0 + h, y0)− f(x0, y0)

h

c. Simplificar para k 6= 0 la expresion :f(x0, y0 + k)− f(x0, y0)

k

11. Determinar las curvas de nivel y las graficas de las funciones siguientes:

a. f : R2 −→ R, (x, y) 7→ x− y + 2

b. f : R2 −→ R, (x, y) 7→ x2 + 4y2

c. f : R2 −→ R, (x, y) 7→ xy

12. Determinar las superficies de nivel y una seccion de la grafica de cada funcion.

10

a. f : R3 −→ R, (x, y, z) 7→ −x2 − y2 − z2

b. f : R3 −→ R, (x, y, z) 7→ 4x2 + 4y2 + 9z2

c. f : R3 −→ R, (x, y, z) 7→ x2 + y2

13. Describir las curvas de nivel de la funcion:

f : R2 −→ R, (x, y) 7→

2xy

x2 + y2, si (x, y) 6= (0, 0)

0, si (x, y) = (0, 0)

14. Supongase que f : R2\{0} −→ R esta dada en coordenadas polares mediante f(r, θ) =cos 2θ

r2. Esbozar

algunas curvas de nivel respecto a los ejes xy.

15. Hallar una ecuacion de la superficie de nivel de f que contenga al punto P.

a. f(x, y, z) = x2 + 4y2 − z2; P = (2,−1, 3)

b. f(x, y, z) = z2y + x; P = (1, 4,−2)

16. Si el voltaje V en el punto P = (x, y, z) es dado por V = 6/(x2 + 4y2 + 9z2)1/2.

a. Describir las superficies equipotencial.

b. Hallar una ecuacion de la superficie equipotencial v = 120.

17. De acuerdo a la ley de gravitacion universal de Newton, si una partıcula de masa m0 esta en el origende un sistema xyz de coordenadas, entonces la magnitud F de la fuerza externa en una partıcula demasa m localizada en el punto (x, y, z) esta dada por

F =Gm0m

x2 + y2 + z2,

donde G es la constante de gravitacion universal. ¿Cuantas variables independientes estan presentes?.Si mo y m son constantes, describa las superficies de nivel de la funcion resultante de x, y, z. ¿Cual esel significado fısico de estas curvas de nivel?.

18. De acuerdo a la ley del gas ideal, la presion P , el volumen V y la temperatura T de un gas reducidoesta dado por la formula PV = kT para una constante k. Exprese P como una funcion de V y T , ydescriba las curvas de nivel asociadas con esta funcion. ¿Cual es el significado fısico de estas curvas denivel?.

19. Una planta de incineracion de basura se construira al servicio de dos ciudades, cada ciudad quieremaximizar su distancia da la planta pero por razones economicas la suma da la distancia de cadaciudad a la planta no puede exceder M kilometros. Pruebe que las curvas de nivel pera la localizacionde la planta son elıpticas.

20. Sea f(x, y) =

x3 + xy

x2 + y2, si (x, y) 6= (0, 0)

0, si (x, y) = (0, 0)Para h 6= 0 simplificar

I(h) = 1h

[f(0 + h, 0)− f(0, 0)

].

11

21. Esbozar la grafica de f

1. f(x, y) =√

1− x2 − y2 2. f(x, y) = 4− x2 − 4y2 3. f(x, y) = x2 − y2 − 1

4. f(x, y) = 16

√9x2 + 4y2 5. f(x, y) = 6− 2x− 3y 6. f(x, y) =

√72 + 4x2 − 9y2

7. f(x, y) =√y2 − 4x2 − 16 8. f(x, y) =

√x2 + 4y2 + 25

22. En cada uno de los ejercicios describa el dominio de la funcion z = f(x, y) dada y haga un esquema enel que represente este dominio en el plano xy.

1. f(x, y) =x+ y

x− y2. f(x, y) =

√x+ y

3. f(x, y) =1√x+ y

4. f(x, y) =√x+√y

5. f(x, y) = 1√x

+ 1√y 6. f(x, y) =

√xy

7. f(x, y) =√x√y 8. f(x, y) =

√x+√y

9. f(x, y) =√x2 + y2 10. f(x, y) =

√x2 − y2

11. f(x, y) =√x2 + y2 − 4 12. f(x, y) = ln (x+ y − 1)

13. f(x, y) = ln (1 + 2x2 + 4y4) 14. f(x, y) =1√

ln (1 + 2x2 + 4y2)

15. f(x, y) =√

ln (1 + x+ y) 16. f(x, y) = ln (y ln (1 + x+ y))

17. f(x, y) =√

1− x2 − 5y4 18. f(x, y) =1√x2 − y

19. f(x, y) =√

25− x2 − y2 20. f(x, y) =1√

22 − x2 − y2

21. f(x, y) =√x2 − 5 22. f(x, y) =

√x+ y

x− y

23. f(x, y) =y√

x2 − x24. f(x, y) =

√x− x2y

25. f(x, y) =√

64− x2 + ln (y2 − 25) 26. f(x, y) = arccos (x+ y)

27. f(x, y) = arcsinx+ arccos y +√y − x2 28. f(x, y) = arcsin( yx )

29. f(x, y) = arcsin (x2 + y) 30. f(x, y) = arctan(1 + x2

1 + y2)

31. f(x, y) = arcsiny − 1

x32. f(x, y) =

1

9− x2 − y2

12

33. f(x, y) =1√

x2 − 2x+ y234. f(x, y) = ln (1− y2 − x)

35. f(x, y) =

√y2 − 2x+ 2

x36. f(x, y) =

1√2x2 + 2y2 − 6x+ 10y + 7

23. Sea f : R2 → R tal que f(x, y) = 4y. Se sabe que lim(x,y)→(1,2)

f(x, y) = 8 dado ε = 0.1, halle δ > 0 tal

que||(x, y)− (1, 2)|| < δ =⇒ |f(x, y)− 8| < ε

24. Sea f : R2 → R tal que f(x, y) = −3x. Se sabe que

lim(x,y)→(3,z)

f(x, y) = −9.

Dado ε = 0.4, halle δ > 0 tal que

||(x, y)− (3, z)|| < δ =⇒ |f(x, y) + 9| < ε

25. Sea f : R2 → R tal que f(x, y) = 5x− 2y. Se sabe que lim(x,y)→(1,1)

f(x, y) = 3, dado ε = 0.2, halle δ > 0

tal que||(x, y)− (1, 1)|| < δ =⇒ |f(x, y)− 3| < ε

26. Para cada una de las funciones siguientes, demuestre que el lim(x,y)→(0,0)

f(x, y) no existe

1. f(x, y) =x2 − y2

x2 + y22. f(x, y) =

x2y

x3 + y33. f(x, y) =

xy2

y4 + x2

4. f(x, y) =2xy4

x5 + 6y55. f(x, y) =

x3y2

x6 + y46. f(x, y) =

x4y

x8 + y2

7. f(x, y) =8x3y2

x9y38. f(x, y) =

y3x

y6 + x2

27. Calcular los siguientes lımites.

1. lim(x,y)→(0,1)

x3y 2. lim(x,y)→(0,1)

exy

3. limx→0

sin2 x

x4. lim

x→0

sin2 x

x2

5. lim(x,y)→(0,0)

(x2 + y2 + 3) 6. lim(x,y)→(0,0)

xy

x2 + y2 + 2

7. lim(x,y)→(0,0)

exy

x+ 18. lim

(x,y)→(0,0)

cosx− 1− (x2/2)

x4 + y4

9. lim(x,y)→(0,0)

(x− y)2

x2 + y210. lim

(x,y)→(0,0)

x2 − 2

3 + xy

13

11. lim(x,y)→(2,1)

4− x2− y

12. lim(x,y)→(0,0)

x4 − y4

x2 + y2

13. lim(x,y)→(1,2)

xy − yx2 − x+ 2xy − 2y

14. lim(x,y)→(0,0)

3x3 − 2x2y + 3y2x− 2y3

x2 + y2

15. lim(x,y,z)→(2,3,1)

y2 − 4y + 3

x2z(y − 3)

28. Para cada una de la funciones f(x, y) dadas de 1− 4

a. Diga donde estan definidas.

b. Demuestre que los lımites

limx→0

(limy→0

f(x, y))

y limy→0

(limx→0

f(x, y))

(llamados lımites iterados) existen y valen cero.¿Puede concluir de aquı que el lımite lim

(x,y)→(0,0)f(x, y)existe y vale 0?

c. Demuestre que lim(x,y)→(0,0)

f(x, y) = 0 si (x, y) se acerca a (0, 0) por las rectas del tipo y = kx

¿Puede concluir de aquı que tal lımite existe y vale 0?

d. Demuestre que lim(x,y)→(0,0)

f(x, y) = 0 si (x, y) se acerca a (0, 0) por la parabola del tipo y = kx2

¿Puede concluir de aquı que tal lımite existe y vale 0?

e. Use la definicion de lımite para demostrar que el lımite de f(x, y) cuando (x, y) tiende a (0, 0)efectivamente existe y vale 0.

1. f(x, y) =y3

x2 + y22. f(x, y) =

3x3y2

x2 + y2

3. f(x, y) =7x2y2

2x2 + 2y24. f(x, y) =

x3y4

x4 + y4

29. Use coordenadas polares para hallar el lımite, si este existe

a. lim(x,y)→(0,0)

xy2

x2 + y2b. lim

(x,y)→(0,0)

x3 − y3

x2 + y2

c. lim(x,y)→(0,0)

x2 + y2

(x2 + y2)d. lim

(x,y)→(0,0)

(x2 + y2)

x2 + y2

30. Pruebe que el lımite no existe

1. lim(x,y)→(0,0)

2x2 − y2

x2 + 2y22. lim

(x,y)→(1,2)

xy − 2x− y + 2

x2 + y2 − 2x− 4y + 5

3. lim(x,y)→(2,1)

x2 − 4x+ 4

xy − 2y − x+ 24. lim

(x,y,z)→(0,0,0)

xy + yz + xz

x2 + y2 + z2

5. lim(x,y,z)→(0,0,0)

2x2 + 3y2 + z2

x2 + y2 + z26. lim

(x,y,z)→(0,0,0)

x3 + y3 + z3

xyz

7. lim(x,y)→(,z)

(x+ y + z − 3)5

z3(x− 2)(y − 1)

14

31. Probar que lim(x,y)→(0,0)

xy

xy= 1

32. Mostrar que f es continua en x0, si y solo si, limx→x0

||f(x)− f(x0)|| = 0.

33. Si f : Rn −→ R y g : Rn −→ R son continuas, mostrar que las funciones

f2g : Rn −→ Rx 7→ (f(x))2g(x)

yf2 + g : Rn −→ Rx 7→ (f(x))2 + g(x).

Son continuas .

34. Probar que f : R2 −→ R, (x, y) 7→ 4ex + x+ (xy)4 es continua.

35. Diga en donde la funcion dada es continua, justificando en cada caso su respuesta con los resultadosgenerales sobre continuidad.

1. f(x, y) = ln (x+ y − 1) 2. f(x, y) =xy

x2 − y2

3. f(x, y) =√xe√

1−y2 4. f(x, y) =√

25− x2 − y2

5. f(x, y) =1

x2 + y2 − z26. f(x, y) =

√xy tan z

7. f(x, y, z) =√x− z ln yz 8. f(x, y, z) =

√4− x2 − y2 − z2

9. f(x, y) = x2 + 4xy + 5y2 − 7x+ 9y − 10 10. f(x, y) =x2 − y2

x2 + y2

11. f(x, y) =x2 + y2

x2 − y212. f(x, y) =

2x+ 3y5

x2 + y2 + 1

13. f(x, y) = sinx+ sin y 14. f(x, y) =sinx

sin y

15. f(x, y) =

x3y2

x4 + 3y4, si (x, y) 6= (0, 0)

1, si (x, y) = (0, 0)16. f(x, y) =

{x4−3y4x4+5y4 , si (x, y) 6= (0, 0)

0, si (x, y) = (0, 0)

17. f(x, y) =

6x3y3

x4 + 7y4, si (x, y) 6= (0, 0)

0, si (x, y) = (0, 0)18. f(x, y) =

{ xyx2+y2 , si (x, y) 6= (0, 0)

0, si (x, y) = (0, 0)

19. f(x, y) =

xy2

x2 + y4, si (x, y) 6= (0, 0)

0, si (x, y) = (0, 0)

36. En los ejercicios del 1− 5 se da una funcion f(x, y) que no esta definida en (0, 0) . ¿Es posible definirel valor de f(0, 0) de tal modo que f sea continua en este punto?. Explique.

15

1. f(x, y) =3x2y

x4 + y42. f(x, y) =

3x2y2

x4 + y2

3. f(x, y) =5x2y2

x3 + y64. f(x, y) =

3x2y8

x8 + y8

5. f(x, y) =x− yx+ y

16

Derivadas: Parciales, de Orden Superior,Direccionales, Diferenciales, Vector Gradiente

1. Hallar por definicion las derivadas parciales de:

1. f(x, y) = x4y5 2. f(x, y) = 3y2(x2)− tan2(x)

3. f(x, y) = ln( yx ) + 3 ln(xy ) 4. f(x, y, z) =√xy(z)

5. f(x, y, z) = 3

√xy+z2

zy + z cos5(z4) 6. f(x, y, z) = e(xyz)2

2. Obtenga todas las derivadas parciales de las siguientes funciones:

1. f(x, y) = (4x2y4 − 3x2 + 8y3)3 2. f(x, y) = ( yx ) + arccos(xy )

3. f(x, y) =x+ y

x− y4. f(x, y) = x+ y + xy + x

y + yx

5. f(x, y) = xy + yx 6. f(x, y) = xx + yy + xyyx

7. f(x, y) = (2x+ 3y)x + (2x+ 3y)y 8. f(x, y) =1

ln2(1 + x2 + y2)

9. f(x, y) = (2y)x + 2y 10. f(x, y) = x ln(y)− y ln(x)

11. f(x, y) = arccos(√x2 + y2) 12. f(x, y) = arctan(2x+ 3(x))y

13. f(x, y) = ln(1− (x2 + y2)1/2

1 + (x2 + y2)1/2

)14. f(x, y, z) = ln

(1− (x2 + y2 + z2)1/2

1 + (x2 + y2 + z2)1/2

)15. f(x, y, z) = xy + xz + yx + yz + zx + zy 16. f(x, y, z) = xyz + xz cos y + yz tanx

17. f(x, y, z) = x2y2z42(x) cos3(y) tan4(z) 18. f(x, y, z) = ln(xy + x

z + yz + y

x + zx + z

y

)19. f(x, y) = x cos(x) cos(y) 20. f(x, y) = (x2 + y2) log(x2 + y2)

3. Sea f(x, y, z) = x(y/z) +xz/y + yz/x + yx/z + zx/y + zy/xcalcular las derivadas parciales de esta funcionen el punto (1, 1, 1)

4. Sea f(x1, x2, . . . , xn) = ln(x1x2 . . . xn). Calcule

n∑i=1

∂f

∂xi(1, . . . , 1)

5. Sea f(x, y) = 3x2y4 − 12x6 + 2xy5. Verifique que

x∂f

∂x+ y

∂f

∂y= 6f(x, y)

17

6. Considere la funcionf(x1, . . . , xn) = x1

x2+ x2

x3+ · · ·+ xn−1

xn

Demuestre que:

n∑i=1

xi∂f

∂xi= 0.

7. 1. Calcule la pendiente de la recta tangente a la curva de interseccion de la superficie z = x3y+ 5y2

con el plano x = 2, en el punto en el que y = 1.

2. Calcule la pendiente de la recta tangente a la curva de interseccion de la superficie z = x2 + y3xcon el plano z = 2 en el punto en el que x = 2.

8. Sea g una funcion real diferenciable de una sola variable real. En los siguientes ejercicios determinesus derivadas parciales.

1. f(x, y) = g(xy) 2. f(x, y) = g(3x2 + 7y2)

3. f(x, y) = g2(x+ y) 4. f(x, y) = g(x+ y2) + g(x2 + y)

5. f(x, y) = g(3x3y4)g(3x3 + y4) 6. f(x, y) = ln(4 + g2(ax+ by + c))

9. Sea z = φ(xy) una funcion real de variable real, diferenciable en R. Demuestre que la funcion dadasatisface la expresion indicada.

1. f(x, y) = x2φ(x2y), x∂f

∂x− 2y

∂f

∂y= 2z

2. f(x, y) = yφ(x+ y), y(∂f∂x− ∂f

∂x

)= z

3. f(x, y) = x2φ(3x+ y2), 2xy∂f

∂x− 3x

∂f

∂y= 4yz

4. f(x, y) = xφ(xy3), 3x∂f

∂x− y ∂f

∂y= 3z

5. f(x, y) = ex+yφ(xey), x∂f

∂x− ∂f

∂y= z(x− 1).

10. Una funcion de x e y es armonica si∂2f

∂x2+∂2f

∂y2= 0.

Pruebe que las siguientes funciones son armonicas

1. f(x, y) = ln(√x2 + y2) 2. f(x, y) = arctan( yx )

3. f(x, y) = cosxy + x cosh y 4. f(x, y) = e−x cos y + e−y cosx

11. La ley del gas ideal se puede establecer com PV = knT , donde n es el numero de moles del gas, V esel volumen, T es la temperatura, P es la presion, y k es una constante. Pruebe que

∂V

∂T

∂T

∂P

∂P

∂V= −1

18

12. Pruebe que v satisface la ecuacion de onda∂2V

∂T 2= a2

∂2V

∂x2

1. v = (akt)(kx)

2. v = (x− at)4 + cos(x+ at)

13. Pruebe que las funciones u y v satisfacen las ecuaciones de Cauchy-Riemann ux = vy y uy = −vx.

1. u(x, y) = x2 + y2 ; v(x, y) = 2xy

2. u(x, y) =y

x2 + y2; v(x, y) =

x

x2 + y2

3. u(x, y) = ex cos y ; v(x, y) = exy

4. u(x, y) = cosx cosh y + xy ; v(x, y) = cosx cosh y − xy

14. Suponga que el potencial electrico V en el punto (x, y, z) es dado por V = 100/(x2 + y2 + z2), dondeV esta dado en voltios y x, y y z en pulgadas. Halle la tasa de cambio instantanea de V con respectoa la distancia (2,−1, 1) en la direccion de

1. el eje x

2. el eje y

3. el eje z

15. El analisis de cierto circuito electrico envuelve la formula I = V/√R2 + L2ω2, donde I es la corriente,

V es el voltaje, R es la resistencia, L la inductancia, y ω una costante positiva.

Hallar e interpretar∂I

∂Ry∂I

∂L.

16. En un cierto campo electrostatico el potencial es u = [(x− 1)2 + y2 + (z + 2)2]−1/2. Encontrar la tasade cambio de u en las direcciones x, y, z positivas, respectivamente, en el punto (2,−2, 4).

17. Al recoger cierta cosecha agrıcola, se encuentra que, dentro de cierto lımite, el rendimiento z en uni-

dades por acre esta dado por la formula z = 50(3x− 2x2

y ) donde x es el numero de plantas que creceny 100y es el numero de horas-hombre gastadas en el cuidado de la plantacion.a.) Trazar en una grafica el valor de z en terminos de y para x = 2. Discutir los significados de lasderivadas parciales de z con respecto a x e y, respectivamente, evaluadas en x = y = 2.b.) Si 200 horas-hombre de trabajo por acre es la disponibilidad. ¿Cuantas plantas por unidad cua-drada de terreno deben plantarse para obtener un rendimiento maximo?.

18. Verificar la regla de la cadena para ∂h∂x donde h(x, y) = f(u(x, y), v(x, y)) y f(u, v) = u2+v2

u2−v2 , u(x, y) =

e−x−y, v(x, y) = exy.

19

19. Sea f : R3 −→ R diferenciable. Probar que∇fg = f∇g + g∇f.

20. Sea f : R3 −→ R, diferenciable, haciendo la sustitucionx = r cos θφ y = θφ z = r cosφ

(coordenadas esfericas) en f(x, y, z), calcular∂f

∂r,∂f

∂θ,∂f

∂φ.

21. Use la regla de la cadena para los siguientes ejercicios:

1. El radio r y la altitud h de un cilindro circular crece a una tasa de 0.01 pulgadas/min y0.02 pulgadas/min, respectivamente.Halle la tasa en la cual el volumen es creciente con el tiempo cuando r = 4 pulgadas y h = 7pulgadas.

2. Si el radio de la base es r y h la altitud de un cilindro circular cambian a una tasa drdt y dh

dt ,

respectivamente, halle una formula para dVdt , donde V es le volumen del cilindro.

3. Si n resistencias R1, R2, . . . , Rn estan conectadas en paralelo, entonces la resistencia total R estadada por

1

R=

n∑k=1

1

Rk.

Pruebe que para k = 1, . . . , n∂R

∂Rk=( RRk

)2.

4. Una funcion f de dos variables es homogenea de grado n si f(tx, ty) = nf(x, y) para todo t talque (tx, ty) esta en el domino de f . Pruebe que, para tal funciones, xf(x, y)+yf(x, y) = nf(x, y).

22. Halle la derivada direccional de f(x, y) en la direccion ~v por definicion.

1. f(x, y) = xy2; ~v = (√22 ,√22 )

2. f(x, y) =√xy; ~v = (

√32 ,

12 )

3. f(x, y) = ln(2(x4y)); ~v = (1, 0)

4. f(x, y) = y2 cos3(xy); ~v = (0, 1)

5. f(x, y, z) = xyz; ~v = ( 23 ,

23 ,−

13 )

6. f(x, y, z) = x2yz; ~v = (0,−√32 ,−

12 )

23. Calcule la derivada direccional de la funcion f en la direccion del vector ~v.

20

1. f(x, y) = 3x− 2y; ~v = (1/√

2, 1/√

2)

2. f(x, y) = 3x− 2y; ~v = (−1/√

2,−1/√

2)

3. f(x, y) = xy2 + x2y; ~v = (1, 0)

4. f(x, y) = x3√

1 + 3 tan6(x2 + x102); ~v = (0, 1)

5. f(x, y, z) = z(y3) cos(x5 + tan(y3)); ~v = (0, 0, 1)

6. f(x, y, z) = xyz; ~v = ( 13 ,−

23 ,−

23 )

7. f(x, y, z, u) = xyzu; ~v = ( 13 ,−

23 ,−

23 , 0).

24. En los siguientes ejercicios, calcule la derivada direccional de la funcion dada en la direccion del vectorindicado.1. f(x, y) = ax+ by, en un punto P = (x0, y0), en la direccion ~u = (2, 3)

2. f(x, y) = x2 + y2, en el origen, en la direccion ~u = (a, b)

3. f(x, y) = e−(x3+y3), en el origen, en la direccion ~u = (a, b)

4. f(x, y) =√

1− x2 − y2, en el origen, en la direccion ~u = (a, b)

5. f(x, y) = x(y), en el punto P = (1, π), en la direccion ~u = (−2, 3)

6. f(x, y, z) = xyz

, en el punto P = (1, 1, 1) en la direccion ~u = (2,−3, 1)

7. f(x, y, z) = 6− x2 − y2 − z2, en el punto P = (1, 2, 0) en la direccion ~u = (0, 0, 28)

25. Calcule la derivada direccional de f(x, y) = 5x2y3 en el punto P = (1, 1)

a. en la direccion del vector que va de P al punto (3,−2).

b. en la direccion del vector que va de P al origen.

c. en la direccion del vector tangente al cırculo x2 + y2 = 2 en P .

d. en la direccion del vector P .

26. Calcule la derivada direccional de la funcion f(x, y) = x(y) en el punto (3, 0) en la direccion del vectortan a la parabola y = x2 en el punto (1, 1).

27. En los siguientes ejercicios:

a. Halle la derivada direccional de f en P en la direccion de P a Q.

21

b. Halle un vector unitario en la direccion en la cual f crece mas rapidamente a P , y halle la tasade cambio de f en dicha direccion.

c. Halle un vector unitario en la direccion en la cual f decrece mas rapidamente a P , y halle la tasade cambio de f en dicha direccion.

1. f(x, y) = x2e−2y, P = (2, 0) Q = (0, 0)

2. f(x, y) = (2x− y), P = (−π3 ,pi6 ) Q = (0, 0)

3. f(x, y, z) =√x2 + y2 + z2, P = (−2, 3, 1) Q = (0,−5, 4)

4. f(x, y, z) = −xy− y

z, P = (0,−1, 2) Q = (3, 1,−4)

28. El potencial electrico V en (x, y, z) es v = x2 + 4y2 + 9z2.

1. Halle la tasa de cambio de V en P = (2,−1, 3) en la direccion de P al origen.

2. Halle la direccion que produce la maxima tasa de cambio.

3. ¿Cual es la maxima tasa de cambio en P

29. determine el vector gradiente de las siguientes funciones en los puntos indicados.

1. f(x, y) = 3x2y + cos(xy) en el punto P = (1, 1)

2. f(x, y) = xy en el punto P = (2, 2)

3. f(x, y) = arctan(x+ y

x− y

)en el punto (0, 1)

4. f(x, y, z) = ((x))(cos(y))(tan(z)) en el punto P = (π/4, π/4, π/4)

30. Calcule el angulo entre los gradientes de la funcion

1. f(x, y) = 3x2 + y2 en los puntos (2, 1) y (1, 2).

2. f(x, y, z) = xy2z3 en los puntos (1, 1, 1) y (1,−1,−1).

3. f(x, y) = xy y g(x, y) = x2 − y2 en el punto (2, 1).

4. f(x, y, z) = x4 + 3y4z y g(x, y, z) = x− 3y − 2z en el punto (1, 2, 1).

22

31. Sea f : U ⊆ R2 −→ R diferenciable en el abierto U ⊆ R2. Y sea P ∈ U , suponga que ∂f∂~u (P ) = 3,

∂f∂~v (P ) = 2, donde ~u = (1/

√2,−1/

√2), ~v = (

√3/2, 1/2). Calcule las derivadas parciales de f en P .

32. Sea f : U ⊆ R2 −→ R diferenciable en el abierto U ⊆ R2. Y sea P ∈ U , suponga que ∂f∂~u (P ) = a,

∂f∂~v (P ) = b, donde los vectores unitarios ~u = (x1, y1), ~v = (x2, y2) son L.I. Demuestre que las derivadasparciales de f en P son.

∂f

∂x(P ) =

ay2 − by1x1y2 − x2y1

;∂f

∂y(P ) =

bx1 − ax2x1y2 − x2y1

33. En cada uno de los ejercicios determine un vector normal a su grafica en el punto indicado.

1. f(x, y) = 1 en un punto cualquiera P = (x0, y0).

2. f(x, y) = −128π2 en un punto cualquiera P = (x0, y0).

3. f(x, y) = x+ 125 en un punto cualquiera P = (x0, y0).

4. f(x, y) = xy en un punto cualquiera P = (x0, y0).

5. f(x, y) = (x) + (y) en el punto P = (0, 0).

6. f(x, y) = ey cos(x) en un punto P = (0, 1).

7. f(x, y) = 2x2 + 5y3 en un punto P = (2,−1).

8. f(x, y) = ln(2 + x+ y) en un punto P = (0, 0).

9. f(x, y) = ((x) cos(x)) en el punto P = (π, π).

34. Determine la ecuacion del plano tangente a la grafica de la funcion dada en el punto P .

1. f(x, y) = 3x+ 8y − 10; P = (x0, y0).

2. f(x, y) = x3 + 8y3; P = (0, 0).

3. f(x, y) = xy; P = (2, 1).

4. f(x, y) = (x2 + y2)e−(x2+y2); P = (0, 0).

35. Determine la ecuacion del plano tangente a la superficie en P .

1. z2 + 3z − x2 − y2 − 2 = 0; P = (1, 1, 1)2. x− y2 − z2 = 0; P = (0, 0, 0)3. x2 + y2 + z2 − 4x− 8y − 16z + 54 = 0; P = (1, 2, 3)

23

36. Hallar los puntos en el hiperboloide de dos hojas x2 − 2y2 − 4z2 = 16 en cual el plano tangente esparalelo al plano 4x− 2y + 4z = 5

37. Pruebe que la suma de los cuadrados de x, y, z, intersectado de todos los planos tangente a la graficade la ecuacion x2/3 + y2/3 + z2/3 = a2/3 es la constante a2.

38. Obtenga la diferencial de la funcion dada:

1. f(x) =3 (x2) 2. f(x, y) = x tan(y)3. f(x, y, z) = ax+ by + cz + d

39. Calcule aproximadamente el incremento de la funcion f(x, y) = xy cuando x pasa de x1 = 3 a x2 = 3.1y la y pasa de y1 = 2 a y2 = 1.9

40. Calcule aproximadamente el incremento de la funcion f(x, y) = x2−y23x+2y cuando el punto (x, y) de su

dominio pasa de (2, 1) a (2 · 05, 1 · 1).

41. Calcular aproximadamente el valor:

1.√

(2.13)(1.98) 2. ln((3.1)2 − 8) 3. ln(√

4.15 +√

9.08− 4)

4. arctan(√

0.2 + 0.98) 5. 3.1√

(4.9)2 + 2.1

42. Calcular las derivadas parciales de 2do orden de la funcion dada:

1. f(x, y) = x(y) + y(x) 2. f(x, y) = xy

3. f(x, y) = arctan(xy) 4. f(x, y) = ln(x+ y)

43. Demuestre en cada caso que las funciones dadas satisfacen ∂2f∂x2 + ∂2f

∂y2 = 0 (llamada ecuacion de Laplace)

1. f(x, y) = x3 − 3xy2 2. f(x, y) = ex(cos(y) + (y))

3. f(x, y) = ex(x cos(y)− y cos(y)) 4. f(x, y) = ex2−y2(cos(2xy) + (2xy))

5. f(x, y) = ln( 1√

x2 + y2

)44. Constate que la funcion z = (x2 + y2) satisface la ecuacion

y∂2f

∂x2− x ∂2f

∂y∂x− ∂z

∂y= 0

45. Costate que la ecuacion u = (x− at)2 + (x+ at)3 satisface la ecuacion

∂2u

∂u2= a2

∂2f

∂x2.

24

46. Sea g una funcion real de variable real, dos veces derivable y f(x, y) tiene derivadas parciales de 2do

orden. Demuestre:

∂2

∂x2(g ◦ f)(p) = g′(f(p))

∂2f

∂x2(p) + g′′(p)

(∂f∂x

(p))2

∂2

∂y2(g ◦ f)(p) = g′(f(p))

∂2f

∂y2(p) + g′′(p)

(∂f∂y

(p))2

∂2

∂x∂y(g ◦ f)(p) = g′(f(p))

∂2f

∂x∂y(p) + g′′(p)

∂f

∂x(p)

∂f

∂y(p)

47. Aplique los resultados obtenidos en el ejercicio anterior para calcular las derivadas de 2do orden de lasfunciones

1. f(x, y) = g(2x+ 3y) 1. f(x, y) = xg(xy)3. f(x, y) = (x2 + y2)g(x2 + y2) 4. f(x, y) = g(g(x) + g(y))

48. Sea z = g(x2 + y2), donde g es una funcion real de variable real, dos veces derivable. Demuestre que

y∂2z

∂x2− x ∂2z

∂y∂x− ∂z

∂y= 0.

(Observe que el ejercicio 28 es caso particular de este).

49. Sea u = φ(x−at)+ψ(x+at), donde φ y ψ son dos funciones reales de variable real, 2-veces derivables.Demuestre que u = f(x, t) es solucion de:

∂2u

∂t2= a2

∂2z

∂x2.

50. Sea z = xφ(x + y) + yψ(x − y), donde φ y ψ son funciones reales de variable real, 2-veces derivable.Demuestre que:

∂2z

∂x2+∂2z

∂y2= 2

∂2f

∂x∂y.

51. Determinar la formula de Taylor de 2do orden para la funcion y el punto dado.

1. f(x, y) = (x+ y)2 en P = (0, 0)

2. f(x, y) =1

x2 + y2 + 1en P=(0,0)

3. f(x, y) = ex+y en P = (0, 0)

4. f(x, y) = (xy) + cos(xy) en P = (0, 0)

5. f(x, y) = e(x−1)2

cos(y) en P = (0, 0)

52. Calcular∂z

∂xy∂z

∂ysi.

z =u2 + v2

u2 − v2; u = ex−y, v = exy

25

53. Las ecuaciones u = f(x, y, z), x = x(r, s, t) , y = y(r, s, t) , z = z(r, s, t), define u como funcion der, s, t : u = F (r, s, t), supongamos que x = r2 + s2 + t2, y = r2 − x2 − t2 y z = r2 − s2 + t2. Calcular∂F

∂t

54. Sean f : R2 −→ R2 : f(x, y) =(ex+2y, (y+2x)

)y g : R3 −→ R2 : g(u, v, w) = (u+2v2+3w2, 2v−u2),

calcular Dh(1,−1, 1) donde h = f ◦ g.

55. z = f(x, y) = x2 − y2, x = r cos(θ), y = r(θ), hallar∂z

∂r.

56. u = exyz cos(xyz); x = r2 + t2, y = t2 + r, z = r + t, hallar∂u

∂r,∂u

∂t.

26

Aplicaciones de la Derivada: Maximos yMınimos, Multiplicadores de Lagrange

1. Se da F (x, y) = 0; donde F satisface el Teorema de la funcion implıcita y y = f(x). Obtenga laderivada de la funcion y = f(x) en el punto dado.

1. F (x, y) = x2y + 3x2 − 2y2 − 2y = 0 P = (1, 1)

2. F (x, y) = x+ cos y + 2y − π = 0 P = (0, π2 )

3. F (x, y) = y ln(x2 + y2)− 2xy = 0 P = (0, 1)

4. F (x, y) = xex + yey − 2x− 2y = 0 P = (0, 0)

5. F (x, y) = xy + yx − 2xy = 0 P = (2, 2)

2. Se da F (x1, x2, y); donde F satisface el T.F.I. y y = f(x1, x2). Obtenga las derivadas parciales de yen el punto dado.

1. F (x1, x2, y) = x21x2 + x1 − 3x2 + y = 0 P = (0, 0, 0)

2. F (x1, x2, y) = x1 ln(1 + x2) + ye4y = 0 P = (0, 0, 0)

3. F (x1, x2, y) = y arctan(1− y2) + 3x1 + 5y − 8x32 = 0 P = (1, 1, 1)

4. F (x1, x2, y) = x1(x2 + ey) + 5y − 2 = 0 P = (1, 1, 0)

5. F (x1, x2, y) = x1x2yey ln y − 3x1 + 3x2 = 0 P = (1, 1, 1)

3. Sea y = f(x) una funcion dos veces diferenciable definida implıcitamente por F (x, y) = 0. Demuestreque:

y′′(x) =

∂2F

∂x2

(∂F∂y

)2− 2

∂2F

∂x∂y.∂F

∂x.∂F

∂y+∂2F

∂y2

(∂F∂x

)2(∂F∂y

)3 .

4. Determine la derivada direccional da la funcion z = f(x, y) definida implıcitamente por x tan(y)−zez =0 en el punto P = (0, π4 , 0) en la direccion del vector ~u = (2, 1).

5. determine la derivada direccional de la funcion u = f(x, y, z) definida implıcitamente por u + yeu +x+ 3z = 0 en el origen de coordenadas en la direccion del vector ~v = (−1,−1,−1).

6. Hallar la direccion de mayor crecimiento de la funcion z = F (x, y) dada implıcitamente por arctan(x+y + z) + 3xyz + z = 0 en el origen de coordenadas.

7. Sea z = f(x, y) definida implıcitamente por la expresion F (x, y, z) = 0. Calcule las derivadas parcialesde 2do orden de f .

27

1. x2 − 3z + 8yz3 = 0

2. (xy) + z + (z) = 0

3. xex + yey + zez − 3e = 0

en el punto (1, 1, 1).

8. El sistema

{u− v = x+ yu+ v = x− y define funciones implıcitas u = u(x, y); v = v(x, y); x = x(u, v);

y = y(u, v), las cuales se pueden hacer explıcitas. Obtenga las derivadas parciales de estas funciones.Compruebe que

∂(u, v)

∂(x, y).∂(x, y)

∂(u, v)= 1

9. Considere las funciones u = u(x, y); v = v(x, y) definidas explıcitamente por las expresiones eu + ev =x+ye, ueu+vev = xye. Calcule las derivadas parciales ∂u

∂x , ∂v∂x , ∂u∂y , ∂v∂y , para u = 0, v = 1, x = 1, y = 1.

10. Si ω es una funcion de x, y, z y t mientras que x, y, z son funciones de t. Pruebe que:

dω

dt=∂ω

∂x

dx

dt+∂ω

∂y

dy

dt+∂ω

∂z

dz

dt

11. Si ω = f(x, y) y y = g(x, y), pruebe que:

∂ω

∂x

∣∣∣z

=∂ω

∂x

∣∣∣y

=∂ω

∂y

∣∣∣z

12. En el n-espacio, xi = fi(t), i = 1, 2, . . . , n son las ecuaciones parametricas de una curva. Suponga quexi0 = fi(t) i = 1, 2, . . . , n y que f ′i(t0) no son todos cero. Pruebe que si la linea tangente esta definidapor la posicion limitada de una linea secante, las ecuaciones de la linea tangente pueden ser escritaspor xi = xi0 + uf ′i(t0) donde u es el parametro.

13. Encuentre los puntos crıticos de la funcion dada:1. f(x, y) = 3x+ 8y − 2xy + 4 2. f(x, y) = x2 + x+ y2 + 1

3. f(x, y) = x2 + 2x+ y2 − 4y + 10 4. f(x, y) = 2x3 + 3x2 + 6x+ y3 + 3y + 12

5. f(x, y) = x2y − x2 − 3xy + 3x+ 2y − 2 6. f(x, y) = x2y2 + x2 − 5xy2 − 5x+ 6y2 + 6

7. f(x, y) = (x− y)ex+2y 8. f(x, y) = x cos y

14. Determine la naturaleza de los puntos crıticos de las funciones dadas:

28

1. f(x, y) = 2x2 + 3y2 + xy − 5x+ 6y − 27 2. f(x, y) = xy + x+ y + 1

3. f(x, y) = x2y2 + 2x+ 2y + 1 4. f(x, y) = x3 + y3 − 3x− 3y − 2

5. f(x, y) = x4 + 3y3 − 2x2 − 3y − 1 6. f(x, y) = xe−(x2+y2)

7. f(x, y) = ye−(x2+y2) 8. f(x, y) = x ln y

9. f(x, y) = x ln y − x 10. f(x, y) = (y2 − 1) lnx− x.

15. Determine los extremos relativos de la funcion f(x, y) con la restriccion g(x, y).

1. f(x, y) = 2x− y , g(x, y) = 3x2 + 2y2 − 332 = 0

2. f(x, y) = x+ 3y , g(x, y) = 2x2 + y2 − 38 = 0

3. f(x, y) = 3x− 7y , g(x, y) = 4x2 + 3y2 − 8923 = 0

4. f(x, y) = −2x− 5y , g(x, y) = 3x2 + y2 − 237 = 0

5. f(x, y) = x+ 2y , g(x, y) = x2 + y2 − 5 = 0

16. Determine el valor maximo que puede tomar el producto de dos numeros positivos, si la suma de estosdebe ser 20.

17. Determine el valor maximo que puede tomar el producto de tres numeros positivos, si la suma de estosdebe ser 20.

18. Determine los extremos de la funcion f(x, y) = x2y2, si (x, y) se encuentra en el circulo unitariox2 + y2 = 1.

19. Halle los extremos de la funcion f(x, y) = x2y, si (x, y) se encuentra en la elipse 2x2 + y2 = 3.

20. Halle los extremos de la funcion f(x, y) = x2 + 8y, si (x, y) se encuentra en la elipse x2 + 4y2 = 5.

References

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