4.hidrodinamika - gfosweb.gfos.hrgfosweb.gfos.hr/portal/images/stories/studij/sveucilisni... ·...
TRANSCRIPT
4.HIDRODINAMIKA
•
proučava gibanje tekućina zajedno s uzrocima
zbog kojih gibanje nastaje, a to su
SILE•
proučava zavisnost sila i kretanja nastalog pod djelovanjem tih sila
•
osnovni element –
djelić
volumena ili elementarna čestica infinitezimalnih dimenzija nebitnog oblika, a ne molekula
SILE
•
1.
VOLUMENSKE ( vanjske
) –
koje su rezultat mase na koju djeluju i od koje potječu. Djeluju unutar volumena na svaki dio njegove mase. Rezultat položaja mase u polju sila (integracija preko volumena)
•
2.
POVRŠINSKE ( unutarnje)
– rezultat kontakta između pojedinih materijalnih čestica međusobno, te djelovanja čestica i podloge (stijenke) –integracija preko površine
VOLUMENSKE SILE•
1.
SILA TEŽINE
–
zbog
djelovanja sile teže (djelovanja Zemlje)
FG
= -∫ρgdV ( negativan predznak)
• 2.
SILA INERCIJE
(TROMOSTI) – akceleracijsko djelovanje
sile sadržano u inercijskoj reakciji tvari na koju sila djeluje
•
m dv/dt =ma=∑Fi
=FI
POVRŠINSKE SILE•
1.
SILA TLAKA
(normalna) –
rezultat djelovanja kapljevine na promatrane presječne površine
•
FN
= -∫pdA ( negativan predznak )
•
2.
POSMIČNA SILA
– rezultat trenja kapljevine i
stijenke
•
FT
= ∫τdA
SILE NA KAPLJEVINUVOLUMENSKE
POVRŠINSKE
TEŽINA TROMOST
TLAK TRENJE
FG
+FI
+FN
+FT
=∑Fi
=0
•
ako je promatrana kapljevina u stanju dinamičke ravnoteže zbroj vanjskih sila mora biti jednak 0
•
SILE U SLUČAJU MIROVANJA (hidrostatski problem)?
OSNOVNE DINAMIČKE JEDNADŽBE STRUJANJA KAPLJEVINE:
•
a)
ZAKON ODRŽANJA KOLIČINE GIBANJA
•
b)
BERNOULLIJEVA JEDNADŽBA (1738)
A.)Zakon održanja količine gibanja•
količine gibanja= masa x brzina
•
svaki djelić
volumena ima svoju količinu gibanja
•
2.Newtonov zakon: promjena količine gibanja = impuls djelujućih sila
1.
član= ukupna promjena količine gibanja
(lijevo)2. član= lokalna promjena, odnosno promjena količine
gibanja po volumenu3. član = konvekcijska promjena, promjena količine gibanja
po površini
∫∫ ==Vm
vdVvdmK ρ
∑∫ ∫ =+= FdAvnvvdVtdt
dK
V A
)(ρρδδ
PRIMJENA:PRETPOSTAVKE:•
1.idealna tekućina
•
2. stacionarni tok•
3. ρ= const.
•
1.
PROTOK KOLIČINE GIBANJA ( flux mase)
•
2.
SILE –
unutarnje i vanjske ( volumenske i površinske)
•
3.
Po
= sila koja djeluje na plašt kao rezultat djelovanja sila unutar cijevi
oPGnApnApnvAvnvAv ++−−=− + 22211122221111 )()( ρρ
0222111222111 =++−−− oPGnApnApnvQnvQ ρρ
GRAFOANALITIČKI?
PRIMJER:
•
Iz cijevi promjera Do=250mm istječe mlaz brzinom vo i udara u zid pod kutem Θ=30o.Odredite reakciju zida na mlaz (FR
), odnosno tlak mlaza na zid. Protok iznosi Q=0,15m3/s
JEDNADŽBA KRETANJA IDEALNE TEKUĆINE
Eulerova jednadžba + sile inercije ( prema d′Alambertu)
ρ= gustoća ( masa jedinice volumena)
•
dxdydz
=volumen•
ρdxdydz
=masa
•
u,v,w= komponente vektora brzine
•
du/dt, dv/dt, dw/dt
= akceleracija
•
produkt mase i akceleracije = sila tromosti ( inercije)
dtdwdxdydz
dtdvdxdydz
dtdudxdydz
ρ
ρ
ρ
−
−
−
DEFINICIJA:
Gradijent ( promjena ) tlaka tekućine u
nekom smjeru jednak je
produktu gustoće i komponente akceleracije vanjskih sila u istom smjeru.
(OPĆA DIF. JEDNADŽBA HIDROSTATIKE)
Zzp
Yyp
Xxp
=
=
=
δδ
ρ
δδ
ρ
δδ
ρ
1
1
1
-ako gornje izraze uvrstimo u jednadžbe hidrostatike:
•
za os x:
01
10
=+−
−=−+−
dtduX
xp
dxdydzdtdtdxdydzXdxdydzdxdydz
xp
δδ
ρ
ρρρ
δδ
•
EULEROVE DIFERENCIJALNE JEDNADŽBE KRETANJA TEKUĆINE-
implicitni oblik
dtduX
xp
−=δδ
ρ1
dtdvY
yp
−=δδ
ρ1
dtdwZ
zp
−=δδ
ρ1
ρ= const.-
nema općeg rješenja –
4 nepoznanice, moguće je uz
određene pretpostavke:
•
1. STACIONARNO STRUJANJE•
2. matematičke transformacije ( 1. jednadžbu pomnožimo s dx, 2. s dy, a 3. s dz i sumiramo jednadžbe )
0)(21
0)(21
)(21
0)(1
)()(1
2
222
2
=−−++
=++−−++
=
=++−−++
=
=
=
++−++=++
WdpZdzYdyXdx
wvudpZdzYdyXdx
ududu
wdwvdvudupZdzYdyXdx
wdtdz
vdtdy
udtdx
dtdzdw
dtdydv
dtdxduZdzYdyXdxdz
zpdy
ypdx
xp
ρδρδ
δρ
δδ
δδ
δδ
ρ
-za strujnu cijev na koju djeluje samo gravitacija i u normalnom koordinatnom sustavu:
X=0, Y=0,
Z=-g
EULEROV INTEGRAL-
odnosno izvod Bernoullijeve jednadžbe primjenom Eulerovog integrala
.2
:int0)(21
2
2
constg
Wgpz
gegriranjemWdpgdz
=++
−=−−−
ρ
ρδ
2.IZVOD BERNOULLIJEVE JEDNADŽBE (1738)-
primjenom zakona održanja
količine gibanja
•
fiktivna strujna
cijev ili konačni element neke cijevi
•
stacionarno ili postupno promjenjivo strujanje
•
p1
A1
sila tlaka na ulazu ( uzvodni profil)•
p2
A2
sila tlaka na izlazu ( nizvodn profil)•
p1
+p2
/2 (A1
-A2
)
komponenta ukupne sile tlaka na plašt cijevi u smjeru strujanja
•
F
ukupna sila trenja na plašt•
ρQv1
količina gibanja na ulazu•
ρQv2
količina gibanja na izlazu•
G(FG
)
sila gravitacije•
G sinα
komponenta koja izaziva promjenu količine
gibanja ( u smjeru toka)
0sin)(2
2121
112221 =−−++
−−− − FGAAppApApQvQv αρρ
FGAAppApApQvQv ++++
+−=− αρρ sin)(2
2121
112221
gAF
gv
gpz
gv
gpz
gAFzz
gvv
gp
gp
gAFzzgAvvvvAApAp
vvAvAQ
gLAG
FLzzGvvQAApAAp
Lzz
sr
sr
ρρρ
ρρρ
ρρρ
ρ
ρ
α
+++=++
=−−−−
+−
=−−−−+
+−
+==
Δ=
=−Δ−
−−++
−−
Δ=
−
22
02
:0)())(2
(
2
0)(22
sin
2
22
222
211
1
122121
121221
21
21
1221
212
211
12
GUBICI
BERNOULLIJEVA JEDNADŽBA ZA IDEALNU TEKUĆINU
•
oblik jednadžbe za idealnu tekućinu ( stacionarno strujanje nestlačive
kapljevine)
Hg
vg
pzg
vg
pz =++=++22
222
2
211
1ρρ
•
z1
,z2
= geodetska visina, visina težišta poprečnog presjeka u odnosu na neku horizontalnu ravninu (m)
•
p1
/ρg, p2
/ρg = hp
= pijezometarska ili tlačna visina = visina pijezometarskog tlaka koju pokazuje visina stupca tekućine u pijezometarskoj cijevi ( m)
•
v12/2g, v2
2/2g
= brzinska visina = visina s koje bi tijelo da pada imalo brzinu v
(m)
•
H= HIDRODINAMIČKI TLAK ili UKUPNA SPECIFIČNA ENERGIJA
•
pijezometarska i brzinska visina mogu se odrediti pomoću pijezometarske i Pitotove cijevi
-
suma ti visina je konstantna=H bez obzira koju strujnu cijev promatramo
•
SMISAO BERNOULLIJEVE JEDNADŽBE•
= konstantnost potencijalne energije (z+p/ρg) i kinetičke energije ( v2/2g), pa Bernoullijeva jednadžba predstavlja ZAKON ODRŽANJA ENERGIJE
→ jedinica mase
tekućine ima kod stacionarnog strujanja const. energiju duž
cijele strujne cijevi
•
kod idealne tekućine linije energije je const.
BERNOULLIJEVA JEDNADŽBA ZA REALNU
TEKUĆINU
-
stacionarno strujanje nestlačive kapljevine
-
kod
realne
tekućine
uzimaju
se u obzir sile
otpora
pri
kojima
se dio
energije
troši
na
svladavanje
tog otpora
- mehanička
energija
duž
toka
ne
ostaje stalna
i
jedan
dio
se bespovratno
pretvara
( disipira
) u toplinsku
energiju
•
OBLIK JEDNADŽBE ZA REALNU TEKUĆINU
Hgv
gpz
gv
gpz Δ+++=++
22
2222
2
2111
1α
ρα
ρ
•
α1,2
= Coriolisov
koeficijent
ili
koeficijent kinetičke
energije
koji
pokazuje
odnos
stvarne
kinetičke
energije
mase
fluida
koji protječe
poprečnim
presjekom
u jedinici
vremena
i kinetičke
energije
određene
iz uvjeta
da
su
brzine
u svim
točkama
presjeka
jednake
( srednja
brzina)
•
-kod
strujanja
u cijevima
α=1,0, a kod strujanja
otvorenim
vodotocima
α=1,1
(najčešće)
•
ΔH= dio
specifične
energije
utrošen
na svladavanje
HIDRODINAMIČKIH OTPORA
strujanju
kapljevine.
13
3
≥=∫
Av
dAvAα
PRAKTIČNA PRIMJENA BERNOULLIJEVE JEDNADŽBE
1.
CIJEV POD TLAKOM•
d=const, Q=const ⇒
v=const.v1
=v2
Hg
pzg
pz Δ++=+ρρ
22
11
)()( 22
11
gpz
gpzH
ρρ+−+=Δ
-
gubitak
tlaka
= razlika
pijezometarskih visina
u presjecima
-
ako
je cijev
horizontalna
z1
=z2
⇒ direktno
očitavanje
pijezometara
2. OTVORENI VODOTOK
•
ako je strujanje jednoliko⇒ v= const.
•
Io
=Ie
=Ip
=I
•
p1
=p2
=pa•
atmosferski tlak djeluje
na površini
vodotoka-u pijezometrima se voda podiže do razine vode u vodotoku
-linija vodnog lica
= pijezometarska linija
3. VENTURIJEV VODOMJER
•
Za mjerenje količine vode ( gubici se zanemaruju –
idealna t.)•
z1
=z2
–
cijev je horizontalna•
h= razlika očitanja u pijezometrima
•
Jednadžba kontinuiteta A1
v1
=A2
v2
gp
gph
ρρ21
−=1
24
;22 4
2
1
211
22
2
−⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
=−=
dd
ghdQg
vg
vh π
REŽIMI KRETANJA REALNE TEKUĆINE
•
-
tijekom kretanja realne tekućine javljaju se različiti otpori ( ovisno o viskoznosti)
•
-
BOUSSINESQ (1868) –
brzina čestica uz stijenku cijevi ili korita vodotoka=0
•
-
REYNOLDS ( 1883) –
svojstva i veličina otpora ovisi o režimu kretanja tekućine
•
-
PRANDTL ( 1904) –
2 područja u kojima se javljaju 2 režima tečenja
•
a)
GRANIČNI SLOJ-
tanki sloj uz stijenku•
b)
JEZGRA TEČENJA
–
dio vodene mase
unutar graničnog sloja
•
- ako je strujanje LAMINARNO –
slojevito, u
njemu nema izražene jezgre tečenja•
-
ako je strujanje TURBULENTNO –
s jezgrom
tečenja i graničnim slojem
REYNOLDSOVI POKUSI (1883)
•
1.
pri malim brzinama ulaz crvene boje neće se miješati s vodom
–strujnica je pravac
paralelan sa stijenkom cijevi( LAMINARNO STRUJANJE)
•
2. Povećanjem brzine strujnica ( otvaranjem S2 ) zadržava kontinuitet, ali gibanje postaje valovito-PRIJELAZNO STRUJANJE
•
3.
daljnjim
otvaranjem slavine
S2 ova pojava će ostati takva do određenog trenutka kada se karakter strujanja mijenja i počinje miješanje vode i boje (TURBULENTNO STRUJANJE)
a)
Stabilno strujanje kod malih brzinab)
Poremećaj zbog povećanje brzine-deformacija strujnica
c)
Na suženim dijelovima tlak pada zbog povećanja brzined)
Ako su sile viskoznosti veće od sila inercije strujanje će se stabilizirati, ako nisu javljaju se vrtlozi koji se pronose, remete tok i izmjenjuju količinu energije-
TURBULENTNO STRUJANJE
•
laminarni režim –
uvjetovan silama trenja•
turbulentni režim -
uvjetovan silama inercije
-
dimenzionalna analiza:
•
režim strujanja ovisi o kinematičkom koeficijentu viskoznosti, brzini strujanja i profilu cijevi
parametar onalnibezdimenziRe 2 =
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
==
sm
msm
vDυ
•
-
za Re ≈
2000 ( 2320)
– tečenje će biti laminarno
•
-
za Re > 2000 ( 2320)
– tečenje će biti turbulentno
•
-
približna kritična brzina pri kojoj se događa prijelaz iz laminarnog u turbulentno tečenje
PRIMJER: D=100 mm, vk
=0,02-0,012 m/s•
-
u cijevima je brzina oko 1,0 m/s što znači da je vrlo teško
postići laminarno strujanje, u vodotocima još
teže•
-
u strujanju PODZEMNIH VODA ili vrlo viskoznih tekućina
)/(2000 smD
vkυ
=
TURBULENTNO TEČENJE•
dolazi do jakog miješanja čestica i formiranja 2 područja
•
u GRANIČNOM SLOJU
–
brzina raste od 0 do neke vrijednosti na granici graničnog sloja i turbulentne jezgre i raste s viskoznošću
•
GRANIČNI SLOJ= područje strujanja tekućine u blizini podloge
-
po Prandlu:
vodotokotvoreni za Re
2R
cijev za Re
=
=
δ
δ d-
-u turbulentnoj jezgri brzina pulsira, dok je kod laminarnog u nekoj točki brzina konstantna → gubitak energije je veći kod turbulentnog tečenja
•
U cijevima
•
U otvorenim koritima
RAZVOJ GRANIČNOG SLOJA DUŽ
PLOČE
12
34 5
6
•
1.
strujnice su paralelne, brzina jednolika
•
2.
razvoj laminarnog graničnog sloja neovisno o režimu strujanja-odmicanje strujnica od ploće
•
3.daljnjim širenjem gr. sloja počinje se razvijati turbulencija ( povećanjem Re
do kritične
vrijednosti) i laminarno strujanje postaje nestabilno
•
4.zona turbulentnog toka postaje sve šira, a laminarnog sve uža-
pronošenje virova i u
područje bliže podlozi-izravnavanje profila brzina
•
5.
debljina graničnog sloja se ustaljuje, a formira se tanki sloj s velikim unutarnjim trenjem, velikih gradijenata brzina i pretežito laminarnim strujanjem –
viskozni podsloj
•
6.
vrlo kratko područje prijelaza iz laminarnog u turbulentni tok
•
Opisani razvoj graničnog sloja uzrokuje pojavu tangencijalnih naprezanja τo kojeg određuje gradijent brzina ili promjena količine gibanja)
cf = koeficijent otpora trenja ( nije const. već
se mijenja duž
ploče ovisno o razvoju graničnog
sloja)-
sila otpora trenja dobije se integriranjem tangencijalnih naprezanja po površini
•
Darcy-Weisbachov koeficijent otpora trenja λ=4cf
2
2o
fovc ρτ =
•
-
u realnosti –
kretanje preko hrapave podloge
•
LAMINARNO STRUJANJE –
nema pulsacije brzine i nema miješanja slojeva
•
- veličina hrapavosti ne utječe na režim strujanja graničnog sloja, manji dio miruje između izbočina, a veći dio klizi preko tako formiranog sloja
Re644
Re16
==
=
f
f
c
c
λ
-
-
kod okruglih cijevi :
VRIJEDI ZA Re ≤
2320 λ=f(Re)
•
TURBULENTNO STRUJANJE –
fizička hrpavost može dvojako utjecati
•
a)
apsolutna hrapavost ε•
debljina viskoznog podsloja δ′
•
ε < δ′
•
TUBULENTNO GLATKI REŽIM ( hidraulički glatka površina)
λ=f(Re)•
λ=0,316 Re –1/4
•
b)
apsolutna hrapavost ε•
debljina viskoznog podsloja δ′
•
ε
> δ′
•
TURBULENTNO HRAPAVI REŽIM ( hidraulički hrapava površina)
-veličina otpora ovisi isključivo o hrapavosti površineRe>4000λ=f(ε/D)
ε/D = relativna hrapavost
•
c)
TURBULENTNO PRIJELAZNI REŽIM
λ=f(Re, ε/d)
2320<Re<4000
•
ISTRAŽIVANJA NIKURADSE-a-za različite hrapavosti
•
(Moodyjev dijagram)
3,3
TEČENJE POD TLAKOM U ZATVORENIM PROFILIMA
•
-
kod zatvorenih profila tečenje može biti stacionarno i nestacionarno; tlačno i sa slobodnom vodnom površinom ( vodovodi, tlačne cijevi HE, hidrotehnički tuneli
•
-
ključni parametri Q, H i d
•
-
kod REALNIH tekućina javljaju se HIDRODINAMIČKI GUBICI
•
1.
LINIJSKI ( OTPOR TRENJA, OTPOR POVRŠINE) –
uslijed hidrauličkih otpora
koji se javljaju duž
cijevi
•
OVISE O: •
1.
hrapavosti stijenke (ε)
•
2.
brzini strujanja (v)•
3.
poprečnom presjeku (D)
•
4.
dužini cijevi (L)
JED.OVA WEISBACH2
2/ 22
gv
RLc
AgvLOc
gAFH f
fTtr
Δ=
Δ==Δ
ρρ
ρ
2
224
4
21
22
vvv
gv
DL
gv
DLcH
DR
ftr
+=
==Δ
=
λ
ZA OKRUGLE CIJEVI:
λ=4cf
•
-
ako je stacionarno i jednoliko strujanje ( const.D i const. Q)
–
može biti laminarno ili turbulentno što ovisi o srednjoj profilskoj brzini ( v, D i ν
) –
odnosno Reynoldsovom broju)
MOODYjev DIJAGRAM
TURBULENTNO HRAPAVI REŽIM
TURBULENTNO GLATKI REŽIM
TUBULENTNO PRIJELAZNI REŽIM
2.
LOKALNI GUBICI (OTPOR OBLIKA)
–
nastaju uslijed promjene
profila cijevi, loma cijevi ili bilo koje druge prepreke tečenju, odnosno lokalnih pojava koje narušavaju oblik tečenja
•
Gubici ovise o hidrodinamičkom oblikovanju•
Kontrakcija mlaza-pijezometarska linija naglo opada
•
Pojava podtlaka-moguća kavitacija
•
Hidrodinamičko oblikovanje ulaza•
Značajno manji gubici
•
Ne dolazi do odvajanja graničnog sloja
NAGLO PROŠIRENJE
•
Odvajanje graničnog sloja( )
gv
gv
AA
gv
vvH
gvvH
e
e
221
21
22
12
12
2
12
12
1
2
212
ζ−=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −−=Δ
−−=Δ
NAGLO SUŽENJE
( )
ekontrakcij koef.
221
21
2
2
22
22
22
22
2
2
22
=
−=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −−=Δ
−−=Δ
=
εε
ζ
AAg
vg
vAA
gv
vvH
gvvH
c
c
ce
ce
UKUPNI GUBICI TLAKA NA CIJEVI
•
Primjer: Odredite brzinu, protok, energetsku i pijezometarsku liniju za sustav na slici. Strujanje se odvija od posude A s konstantnim tlakom, prema posudi B u kojoj je potlak ( što se vidi iz pijezometarskih očitanja)