2. hidrostatika, uvod hidrodinamika

HIDRAULIKA Dr Snežana Dragićević

1

HIDROSTATIKA UVOD

Hidrostatika je oblast Hidraulike u kojoj se prou~avaju zakoni mirovanja te~nosti kao i dejstvo mirne te~nosti na potpuno ili delimi~no potopljena ~vrsta tela. Budu}i da se te~nost nalazi u stanju mirovanja, to se u njoj ne mogu javiti sile viskoznosti pa se te~nost u miru pona{a kao da je savr{ena. Zato, na te~nost u mirovanju mogu da deluju od povr{inskih sila samo sile pritiska, pri ~emu je elementarna pritisna sila AdpPd

rr⋅−=

Ova sila deluje na svaku povr{inicu Adr

povr{ine A koja opkoljava zapreminu V. êsto se povr{ina A naziva spolja{njom povr{inom posmatrane zapremine V te~nosti. U hidrostatici se pod spolja{njom povr{inom te~nosti smatra ne samo povr{ina koja razdvaja te~nost od gasne sredine ili ~vrste povr{ine, ve} i povr{ina koja opkoljava zami{ljeno izdvojenu zapreminu te~nosti iz ukupne zapremine te~nosti. Sile pritiska postoje u te~nosti bilo da ona miraje bilo da se kre}e. Zato se pritisak u mirnoj te~nosti naziva HIDROSTATI^KIM PRITISKOM. Te~nost u mirovanju izloèna je dejstvu i zapreminskih sila i to uvek dejstvu sile Zemljine teè. U specijalnim slu~ajevima te~nost moè biti izloèna i dejstvu sila inercije, na primer za vreme relativnog mirovanja.

1.1. HIDROSTATI^KI PRITISAK I NJEGOVA SVOJSTVA Sila izazvana hidrostati~kim pritiskom ima dva va`na svojstva:

a) ona deluje uvek u pravcu normale na povr{inu, i b) ima istu vrednost bez obzira kako je povr{inica Ad

r orijentisana, jer hidrostati~ki

pritisak ima istu vrednost u svim pravcima koji prolaze kroz teì{te povr{inice Adr

. Prvo svojstvo je o~igledno. Kad bi sila pritiska Pd

r delovala pod nekim uglom prema

normali nr na pritisnutu povr{inicu Adr

, tada bi se ona mogla razloìti na normalnu i tangentnu komponentu. Tangentna komponenta bi izazvala kretanje deli}a te~nosti i ona, dakle, ne bi mirovala. Prema tome, te~nost u miru pritiska okva{enu povr{inu samo normalnom silom ~iji intenzitet, zavisi od prirode te~nosti, veli~ine povr{ine i dubine potopljenosti njenog teì{ta.

Slika 1. Elementarna pritisna sila Drugo svojstvo nije o~igledno i zato }e se dokazati. Ovo drugo svojstvo pritisne sile ~esto se naziva OSNOVNOM TEOREMOM HIDROSTATIKE. Obi~no se dokaz izvodi za tri razli~ita pravca, mada se kroz proizvoljnu ta~ku u mirnoj te~nosti moè postaviti bezbroj ravnih povr{ina pod razli~itim uglovima u odnosu na jedan unapred izabran pravac.


2

Da bi se ovo svojstvo dokazalo, posmatra}e se elementarna zapremina te~nosti u obliku tetraedra MBED sa ivicama dx, dy i dz koje su paralelne koordinatnim osama usvojenog koordinatnog sistema (slika 2.).

Slika 2. Dokaz karakteristike hidristati~kog pritiska Masa te~nosti u tetraedru je:

ρdxdydz61dm ⋅=

Budu}i da se neizmereno mali uo~eni tetraedar koji je izdvojen iz ukupne te~nosti, nalazi u stanju mirovanja, to za isti vaè uslovi ravnoteè: 0F0;F;0F ZYX =∑=∑=∑ Na svaku od povr{inica tetraedra deluje okolna te~nost povr{inskim pritisnim silama. Na povr{inice MED, MBD i MBE deluju redom sile:

dydz,21pdApdP XXXX ⋅=⋅=

dxdz,21pdApdP YYYY ⋅=⋅=

dxdy,21pdApdP ZZZZ ⋅=⋅=

a na kosu povr{inicu BED sila nnn dApdP = , gde su pX, pY, pZ, i pn - hidrostati~ki pritisci na ovim povr{inama. Smatra se da se vrednost pritiska ne menja po odgovaraju}oj povr{inici, jer su one neizmerno male. Na posmatrani tetraedar deluje i zapreminska sila, koja iznosi

dxdydzFρ61dmF

rr= ,

gde je Fr

rezultuju}a zapreminska sila koja deluje na jedinicu mase te~nosti i ~ije su projekcije X, Y, Z.

Zato jedna~ina ravnoteè ovih sila, na primer, u pravcu ose Oy glasi:

C.ρYdxdydz61y)cos(n,dApdApF nnYYY =+−=∑

Kako je


3

y),cos(n,dAdxdy21dA nY ==

bi}e

0ρYdy31pp nY =+− .

Ako se predpostavi da se tetraedar MBED smanjuje i da teì ta~ki M, onda }e i masa te~nosti u njemu teìti nuli, pa }e se u tom slu~aju dobiti da je 0pp nY =− ili nY pp = . Ravnote`ne jedna~ine u pravcu druge dve ose dovele bi do relacija: nX pp = i nZ pp = te se kona~no moè napisati da je .pp pp nzYX === Po{to su dimenzije dx, dy, dz tetraedra usvojene proizvoljno, to je i nagib povr{inice BED proizvoljan pa je, prema tome, i pritisak u ta~ki M (s obzirom na grani~ni proces) isti u svim pravcima iz kojih se dolazi u ta~ku M. Dakle, bi}e: p,pp pp nzYX ==== ~ime je drugo svojstvo hidrostati~kog pritiska dokazano.

1.2. JEDNAÎNE MIROVANJA TE^NOSTI Da bi se izvele jedna~ine mirovanja te~nosti u op{tem slu~aju, posmatra}e se uslovi ravnoteè elementarne zapremine te~nosti u obliku paralelopipeda ivica dx, dy i dz, koji je izdvojen iz proizvoljne kona~ne zapremine te~nosti, koja se nalazi u stanju mirovanja (slika 3.). Da bi te~nost u paralelopipedu bila u stanju mirovanja, mora da budu zadovoljeni uslovi ravnoteè svih sila u pravcu koordinatnih osa: 0F0;F;0F ZYX =∑=∑=∑ . (Jedna~ine momenta su zadovoljene, jer je paralelopiped neizmerno mali).

Slika. 3. Ravnoteà deli}a te~nosti Na bo~nu stranu BCDE paralelopipeda deluje okolna te~nost elementarnom pritisnom silom dzdxpdP ⋅⋅= , gde je p - srednji hidrostati~ki pritisak na ovoj strani paralelopipeda (pritisak r je konstantan po povr{ini BCDE jer je ona neizmerno mala). Sila pritiska okolne te~nosti koja deluje na bo~nu stranu B’C’D’E’paralelopipeda iznosi


4

dzdxpdP '' ⋅⋅= gde je p’ - srednji hidrostati~ki pritisak na ovoj strani.

Kako je p=p(x,y,z), to se pri prelasku sa jedne bo~ne strane na drugu pritisak promeni samo zbog pomeranja u pravcu y pse za dy. Zato se moè napisati da je

dy,yppp'∂∂

+=

te je sila pritiska na ovoj povr{inici

dz.dx dy)ypp(dP'

∂∂

+=

Na paralelopiped deluje i ukupna zapreminska sila

dxdydzFρdmF ⋅⋅=rr

, te jedna~ina ravnoteè paralelopipeda u pravcu ose y glasi: dxdydzYdPdPFY ⋅⋅+−=∑ ρ'

tj. ,0 dzdx dy)ypp( =⋅⋅+∂∂

+−⋅⋅ dxdydzYdzdxp ρ

odakle se, posle sre|ivanja, dolazi do jedna~ine

0yp

ρ1Y =∂∂

− .

Iz uslova ravnoteè u pravcu druge dve ose dobile bi se analogne jedna~ine; tako

da jedna~ine mirovanja te~nosti glase:

0,xp

ρ1X =∂∂

−

0,yp

ρ1Y =∂∂

−

0.zp

ρ1Z =∂∂

−

Ove jedna~ine nazivaju se Ojlerovim (Buler) jedna~inama za te~nost u mirovanju. Izvedene tri skalarne diferencijalne jedna~ine mogu da se napi{u i u obliku jedne vektorske jedna~ine

gradρ1F − p=0 ,

koja predstavlja Ojlerovu vektorsku jedna~inu za te~nost u stanju mirovanja. U njoj je gradijent pritiska p odre|en kao

grad p = kzpj

ypi

xp rrr

∂∂

+∂∂

+∂∂

Navedene jedna~ine vaè i za gas pri ~emu ρ zavisi od x, y,z.


5

1.3. OSNOVNA JEDNAÎNA HIDROSTATIKE Ojlerove jedna~ine predstavljaju sistem od tri parcijalne diferencijalne jedna~ine. Za prakti~nu primenu, pogodno je da se umesto sistema koristi samo jedna ekvivalentna

jedna~ina, koja ne bi sadràvala parcijalne izvode zp,

yp,

xp

∂∂

∂∂

∂∂

. Zato se prva jedna~ina

sistema mnoì diferencijalom dx, druga sa dy, a tre}a sa dz i novodobijene jedna~ine saberu. Dobija se da je:

0dzzpdy

ypdx

xp1ZdYdXd ZYX =⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

+∂∂

ρ−++

gde izraz u zagradi predstavlja totalni prira{taj dp pritiska p(x,y,z). Dakle, kako je

dzzpdy

ypdx

xpdp

∂∂

+∂∂

+∂∂

=

to se prethodna jedna~ina moè napisati u obliku ( ).ZdYdXddp ZYX ++ρ= Jedna~ina predstavlja OSNOVNU HIDROSTATI^KU JEDNAÎNU, kojoj se pokoravaju i te~nosti i gasovi u miru. Iz ove jedna~ine, kao i iz Ojlerovih jedna~ina, jasno se vidi da pritisak p i gustina r „upravljaju ravnoteòm“ te~nosti i gasova. Dobijena jedna~ina je diferencijalna jedna~ina, ~ijim se re{avanjem odre|uje zavisnost p=p(x,y,z), odnosno njenim re{avanjem se nalazi polje pritiska u te~nosti koja miruje. Ova se jedna~ina primenjuje za re{avanje skoro svih problema hidrostatike, pa se zato i zove osnovnom jedna~inom hidrostatike. Po{to je u jedna~ini dp totalni diferencijal, to za slu~aj mirovanja te~nosti (ρ=const) i izraz u zgradi na desnoj strani mora da je totalni diferencijal neke funkcije U(x,y,z), pa vaì jednakost dUZdYdXd ZYX =++

iz koje, s obzirom na izraz za totalni diferencijal dzzUdy

yUdx

xUdU

∂∂

+∂∂

+∂∂

= , funkcije

U(x,y,z) dalje sleduju relacije:

xUX∂∂

= , yUY∂∂

= , zUZ∂∂

= .

Na osnovu ovih jedna~ina, zaklju~uje se da spolja{nje sile u ovom slu~aju imaju potencijal, pri ~emu se funkcija U(x,y,z) naziva funkcijom sile. Kao {to je poznato iz teorijske mehanike funkcija sile odre|ena je izrazom U(x,y,z)=-ep , u kome je ep - potencijalna energija jedinice mase te~nosti. Prema tome, te~nost se moè nalaziti u stanju mirovanja samo kad spolja{nje sile imaju potencijal (to su konzervativne sile). Na osnovu ovoga, jedna~ina moè da se napi{e i u obliku dUdp ρ= , odakle sleduje da na povr{inama U(x,y,z)=const i pritisak p ima konstantnu vrednost. Ovo zna~i da se povr{ine istog pritiska poklapaju sa povr{inama istog potencijala. Poznato je, da u tom slu~aju, sila )z,y,x(F

r stoji normalno na povr{ini istog potencijala, odnosno na

povr{ini istog pritiska.


6

1.4. MIROVANJE TE^NOSTI U POLJU ZEMLJINE TE@E

Posmatra se sud sa te~no{}u (slika 4.) koji miruje u polju Zemljine teè. U ta~ki M0, na visini z0, od proizvoljno izabrane horizontalne ravni O - O poznata je vrednost pritiska po. U proizvoljno izabranoj ta~ki M na visini z pritisak }e biti p.

Slika 4. Te~nost u polju zemljine teè

Na svaku jedinicu mase te~nosti u sudu deluje samo sila Zemljine teè, te je za

slu~aj da je osa z usmerena vertikalno navi{e: X=0, Y=0, Z=-g. Ako se ove vrednosti kao projekcije zapreminske sile po jedinici mase uvrste u osnovnu jedna~inu hidrostatike dobi}e se dp= -ρgdz Iz ove diferencijalne jedna~ine neposredno sleduje da su horizontalne ravni istovremeno i ravni jednakog pritiska, jer je za z=const i p=const zbog dp=0, odnosno dz=0. Integracijom iste jedna~ine nalazi se zavisnost pritiska od „dubine“ p= -ρgz + C , pri ~emu se, na osnovu poznate vrednosti pritiska u ta~ki Mo, odre|uje vrednost konstante C kao C= po+ ρgzo. Sa ovim je p= po+ ρg(zo-z) Deljenjem ove jedna~ine sa ρg dobije se da je

oo zg

pzgp

+ρ

=+ρ

,

odakle se zaklju~uje da je za sve ta~ke te~nosti u mirovanju

SHconstzgp

==+ρ

.

U prethodnim jedna~inama veli~ine po/ρg i p/ρg imaju dimenziju duìna pa se zbog

toga nazivaju PIJEZOMETARSKIM VISINAMA. ^lanovi z i zo su GEODEZIJSKE VISINE ili VISINE POLO@AJA. Na osnovu poslednje jedna~ine moè se re}i da je U SVIM TA^KAMA TE^NOSTI, KOJA MIRUJE U POLJU ZEMLJINE TE@E, ZBIR PIJEZOMETARSKE I GEODEZIJSKE VISINE KONSTANTAN. Vrednost ove konstante obeleèna je sa HS i ~esto se naziva HIDROSTATI^KIM NAPOROM.


7

Ta~ka Mo se obi~no uzima na slobodnoj povr{ini te~nosti, jer je na njoj po=pa, gde je pa atmosferski pritisak. U tom slu~aju, razlika zo-z predstavlja dubinu h proizvoljne ta~ke M, pa se prethodna jedna~ina moè napisati i u obliku p=pa + ρgh koji se najvi{e i koristi u hidrostatici. U ovoj jedna~ini ~lan ρgh predstavlja pritisak stuba te~nosti visine h. U ta~kama na ve}oj dubini vlada i ve}i pritisak.

1.4.1. DIJAGRAM HIDROSTATI^KOG PRITISKA Prethodna jedna~ina omogu}ava da se u pojedinim prakti~nim problemima moè nacrtati dijagram hidrostati~kog pritiska na raznim povr{inama koje su pritisnute te~nostima. Na slikama 5 i 6 prikazano je nekoliko karakteristi~nih slu~ajeva rasporeda hidrostati~kog pritiska pri ~emu odgovaraju}i dijagrami predstavljaju ili apsolutni pritisak ili samo pritisak stuba te~nosti (vrednost ~lana ρgh).

Slika 5. Neki karakteristi~ni slu~ajevi rasporeda hidrostati~kog pritiska

Slika 6. Dijagrami rasporeda hidrostati~kog pritiska

1.4.2. GRANI^NA POVR[INA IZME\U TE^NOSTI KOJE SE NE ME[AJU Ako se u sudu (slika.7) nalaze, na primer, dve te~nosti koje se ne me{aju, i razli~itih su gustina ρ1 i ρ2, tada }e se one rasporediti jedna iznad druge (slika odgovara slu~aju ρ1<ρ2). Povr{ina koja ih deli naziva sa grani~nom povr{inom. Pri prelasku iz ta~ke M u obli`nju ta~ku M1 du` grani~ne povr{ine, moè se za gornju te~nost napisati jedna~ina ravnoteè dp=-ρ1gdz, a za donju dp=-ρ2gdz, odakle je njihovim izjedna~avanjem

g(ρ1-ρ2)dz=0.


8

Slika 7. Odre|ivanje grani~ne povr{ine izme|u te~nosti koje se ne me{aju

Kako je u ovom slu~aju ρ1≠ ρ2, to mora da bude dz=o, odnosno z=const. Prema tome, grani~na povr{ina izme|u dve te~nosti koje se ne me{aju a miruju u polju Zemljine teè predstavlja horizontalnu ravan.

1.4.3. PASKALOV ZAKON

Ako se u mirnoj te~nosti (slika 8.) uo~e dve ta~ke M1 i M2, da dubinama N1 i N2, u kojima su pritisci p1=pa+ρgH1 , p2=pa+ρgH2 , tada njihova razlika iznosi p2-p1= ρg(H2-H1).

Slika 8. [ema za dokaz Paskalovog zakona

Neka se na bilo koji na~in promeni, na primer, pove}a pritisak u ta~ki M1 za 1pδ , ali tako da se ravnoteà te~nosti ne naru{i. Logi~no je pretpostaviti da }e ova promena pritiska izazvati promenu pritiska i u ta~ki M2 za 2pδ . Po{to je te~nost ostala u stanju mirovanja, to posle ovih promena vaì hidrostati~ka jedna~ina. (p2+ 2pδ )-(p1+ 1pδ )=ρg(H2-H1) . S obzirom na prethodnu jedna~inu, mora biti 1pδ = 2pδ , te se zaklju~uje, da }e se ista promena pritiska javiti i u ta~ki M2. Prethodna jednakost predstavlja Paskalov (Pascal) zakon koji glasi: SVAKA PROMENA PRITISKA U BILO KOJOJ TA^KI TE^NOSTI U STANJU MIROVANJA PRENOSI SE PODJEDNAKO U SVE TA^KE PROSTORA KOJI TA TE^NOST ZAUZIMA. Paskalov zakon je vrlo zna~ajan u Hidraulici, jer se na njemu zasniva rad nekih hidrauli~nih ma{ina, na primer, hidrauli~nih presa.

1.5. RELATIVNO MIROVANJE TE^NOSTI


9

Ako te~nost miruje u odnosu na zidove suda u kojem se nalazi, ali se istovremeno zajedno sa sudom kre}e u prostoru, onda se kaè da te~nost relativno miruje. U inènjerskoj praksi se ~esto javljaju slu~ajevi relativnog mirovanja te~nosti: prevoz te~nosti u auto i vagon-cisternama, centrifugiranje itd. Pri analizi relativnog mirovanja te~nosti primenjuje se, tako|e, osnovna jedna~ina hidrostatike, ali se osim sile Zemljine teè, mora uzeti u obzir i inercijska sila prenosnog kretanja te~nosti (sa sudom).

1.5.1. TRANSLATORNO KRETANJE SUDA SA TE^NO[]U Sud sa te~no{}u (slika 9.) kre}e se translatorno konstantnim ubrzanjem, ar =const. U tom slu~aju na masu te~nosti u sudu deluje pored sile Zemljine teè m gr i sila inercije - m ar , usmerena suprotno od smera vektora ubrzanja ar . Zato je tada rezultuju}a zapreminska sila, ra~unata po jedinici mase te~nosti, odre|ena vektorskim zbirom inercijske sile - a i ubrzanja Zemljine teè gr . Dakle, sile gr i ar odre|uju relativnu ravnoteù te~nosti u sudu.

Slika 9. Relativna ravnoteà - translatorno kretanje suda sa te~no{}u

Kako su u ovom slu~aju, za usvojeni koordinatni sistem, projekcije sile Fr

: X=0; Y= -a; Z= -g, to se osnovna jedna~ina hidrostatike ( )ZdzYdyXdxdp ++ρ= , u ovom slu~aju svodi na slede}i oblik: ( )gdzadydp −−ρ= . Kada se ova diferencijalna jedna~ina integrali nalazi se polje pritiska u obliku funkcije

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+ρ−= y

gazgpp a ,

pri ~emu je konstanta integracije odre|ena iz uslova da je za x=y=z=0 pritisak atmosferski, tj. p=pa, po{to se koordinatni po~etak nalazi na slobodnoj povr{ini. Dobijena jedna~ina sluì za odre|ivanje pritiska u te~nosti koja se zajedno sa sudom kre}e translatorno konstantnim ubrzanjem. Ona, dakle, vaì za sve ta~ke, pa i za ta~ke na slobodnoj povr{ini gde je p=pa. Ako se ovaj uslov iskoristi, onda se iz lako nalazi jedna~ina slobodne povr{ine te~nosti u ovom slu~aju, i ona glasi

ygaz −= ,

gde je


10

gatg −=β ,

nagib slobodne povr{ine prema horizontalnoj ravni. Iz izraza za nagib slobodne povr{ine te~nosti, jasno se vidi da je uslov a=const

neophodan da bi te~nost mirovala u odnosu na sud. Ako bi, me|utim, bilo a≠const, te~nost ne bi mirovala u odnosu na sud, ve} bi slobodna povr{ina stalno menjala svoj poloàj a time i celokupna ta~nost. Na osnovu izraza za nagib, tako|e, sleduje da je

gatg)180(tgtg −=α−=α−=β ,

odakle je

gatg =β ,

pa se zaklju~uje da je slobodna povr{ina upravna na pravcu rezultuju}e sile Fr

. Ovo vaì i za sve ostale povr{ine istog pritiska.

1.5.2. JEDNOLIKO OBRTANJE SUDA SA TE^NO[]U Ako se cilindri~ni sud pre~nika D=2R, prethodno napunjen te~no{}u gustine r do visine N, obr}e konstantnom ugaonom brzinom ϖ

r= const, na primer, oko vertikalne ose,

tada }e se, posle izvesnog vremena, sva te~nost u sudu obrtati zajedno sa sudom. Me|utim, najpre }e se, prilikom dovo|enja suda u obrtno kretanje, obrtati zajedno sa sudom samo deli}i te~nosti neposredno uz zidove suda, da bi se potom, usled dejstva unutra{njeg trenja, obrtala i ostala masa te~nosti u sudu. Prema tome, i u ovom slu~aju te~nost relativno miruje u odnosu na sud. Na te~nost u ovom slu~aju, pored Zemljine teè, deluje i centrifugalna sila, koja je horizontalna. Kako centrifugalna sila po jedinici mase te~nosti iznosi r 2ϖ , gde je r udaljenje posmatrane ta~ke od ose obrtawa (r2=x2+y2); to su, za usvojeni koordinatni sistem prema slici 10, projekcije rezultuju}e sile F

r:

;xX 2ϖ= ;yY 2ϖ= .gZ −=

Slika 10. Obrtanje suda sa te~no{}u


11

Sa ovim vrednostima projekcija, osnovna jedna~ina hidrostatike dobija oblik )gdzydyxdx(dp 22 −ϖ+ϖρ= , odakle se, posle integracije, nalazi raspored pritiska u te~nosti kao

gz)yx(2

pdp 222

a ρ−+ρϖ

+= .

Integralska konstanta odre|ena je i ovom prilikom iz uslova da je u koordinatnom po~etku p=pa, jer se on i ovom prilikom nalazi na slobodnoj povr{ini. Po{to je na slobodnoj povr{ini te~nosti p=pa, to je njen oblik odre|en jedna~inom

22

222

rg2

)yx(g2

z ϖ=+

ϖ= ,

{to predstavlja, jedna~inu obrtnog paraboloida. U dobijenoj jedna~ini za raspored pritiska, ~lan

22222 r21)yx(

21p ρϖ=+ρϖ=Δ ϖ

predstavlja pove}anje pritiska usled dejstva centrifugalne sile pri obrtanju, u odnosu na hidrostati~ki pritisak pri aspolutnom mirovanju. Budu}i da je ovo pove}anje srazmerno kvadratu rastojanja od ose obrtanja te~nosti i kvadratu ugaone brzine, onda mo`e da ima vrlo veliku vrednost. Zato se ovo saznanje vrlo ~esto koristi u tehni~koj praksi kao, na primer, pri centrifugalnom livenju (prilikom izrade be{avnih cevi), kod centrifugalnih pumpi; za ubrzano razdvajanje dveju te~nosti (kod septaratora), itd. Analizom jedna~ine zaklju~uje se da je neophodno da ugaona brzina obrtanja suda bude konstantna, jer }e samo u tom slu~aju te~nosti mirovati u odnosu na sud. Ako se, uz predpostavku da za vreme obrtanja suda nije do{lo do prelivanja te~nosti preko njegovih ivica, izjedna~e zapremine te~nosti koje odgovaraju sudu pre i za vreme obrtanja,

R2

o22 HR

21HRHR π+π=π ,

do}i }e se do relacije

Ro H21HH += ,

pri ~emu je, za zapreminu paraboloida kori{}en poznati obrazac, po kome je zapremina paraboloida jednaka polovini zapremine cilindra u kome je paraboloid upisan. Dobijena relacija pokazuje da se te~nost u sredini suda spustila za onoliko za koliko se popela uz zidove suda. 1.6. PRITISAK TE^NOSTI NA RAVNE POVR[INE

Posmatra}emo dejstvo te~nosti na povr{inu A koja le`i u ravni kosog zida nekog rezervoara, koji sa horizontalom zaklapa ugao α. Te~nost deluje na povr{inu zida rezervoara samo sa jedne strane, a sa druge strane je atmosferski pritisak. Iznad te~nosti, tako|e, vlada atmosferski pritisak pa. U proizvoljnoj ta~ki M povr{ine A (slika 11.) nadpritisak ima vrednost gzpp a ρ=− , pa na elementarnu povr{inu dA, koja obuhvata ta~ku M, deluje elementarna sila pritiska te~nosti ⋅ρ= gzdp da .


12

Slika 11. Pritisak te~nosti na ravnu povr{inu

Svaka od elementarnih sila pritiska Pdr

normalna je na odgovaraju}oj povr{inici dA povr{ine A. Kako su normale u svim ta~kama ravne povr{ine me|usobno paralelne, to skup sila Pd

r predstavlja sistem paralelnih sila, pa }e i rezultuju}a sila ovog sistema biti

upravna na povr{inu A, sa smerom ka povr{ini - smer unutra{nje normale. Po{to je u ovom slu~aju odre|en i pravac i smer rezultuju}e sile potrebno je jo{ samo na}i intezitet i napadnu ta~ku. Pogodnije je da se koordinate napadne ta~ke ove sile odre|uju prema osama u i v u samoj ravni povr{ine A. Tada osa u predstavlja presek ravni u kojoj leì povr{ina A sa slobodnom povr{inom te~nosti, a osa v je normalna na osu u. Pri tome vaì relacija α⋅= sinvz gde z ozna~ava dubinu na kojoj ta~ka M leì u odnosu na slobodnu povr{inu te~nosti. Sila pritiska te~nosti na povr{inu A, dakle, iznosi ∫ ∫αρ=ρ=

A A

vdAsinggzdAP

Ovaj drugi integral u izrazu za silu predstavlja stati~ki moment povr{ine A prema osi u i jednak je AvvdA C

A

=∫

gde je vc - rastojanje teì{ta C povr{ine A od ose u. Prema tome, sila pritiska te~nosti na ravnu povr{inu iznosi ApAgzAsingvP CCC =ρ=αρ= .

Dakle, SILA PRITISKA NA RAVNU POVR[INU JEDNAKA JE PROIZVODU IZ

PRITISKA TE^NOSTI U TE@I[TU C POVR[INE I SAME POVR[INE. Pritisak te~nosti u najvi{oj ta~ki V povr{ine A iznosi pB= Bgzρ , a u najniòj ta~ki E je

pE= Egzρ . O~igledno je da je pE>pB jer je zE>zB, pa je dijagram pritiska te~nosti du` bilo kog pravca po povr{ini A paralelnog osi v oblika trapeznog kontinualnog optere}enja. Zato sila pritiska P

r, kao rezultanta ovog optere}enja, ne deluje u teì{tu C povr{ine A, ve} ispod

teì{ta, na primer, u ta~ki D. Za odre|ivanje poloàja D napadne ta~ke sile P

r, koristi se Varinjonova teorema

prema kojoj je moment rezultante za neku osu (ta~ku, ravan) jednak zbiru momenta komponenti za istu tu osu (ta~ku, ravan). Ako se ova teorema primeni za osu u bi}e: ∫∫ αρ==⋅

A

2

AD dAvsingvdPvP ,

odakle je traèno rastojanje


13

C

U

A

2

CD Av

IdAvAv

1v == ∫ ,

jer integral u ovom izrazu predstavlja moment inercije povr{ine A prema osi u koji se posredstvom [tajnerove teoreme moè napisati kao 2

CCU AvII += , gde je Ic - moment inercije povr{ine A za teì{nu osu ξ , paralelnu osi u. Sa ovim se kona~no dobija da je

C

CCD Av

Ivv += .

Iz izraza se vidi da napadna ta~ka pritisne sile uvek leì ispod teì{ta C povr{ine A. Razlika u dubinama,

C

CC

___

AvIvCD =Δ= ,

je sve manja {to je teì{te povr{ine A na ve}oj dubini ispod slobodne povr{ine te~nosti. Razume se, ta~ke D i C se poklapaju kad je pritisnuta povr{ina horizontalna. Na osnovu izvedenih izraza, tako|e, sleduje da vrednost sile pritiska P

r te~nosti i

poloàj vD njene napadne ta~ke ne zavise od ugla α nagiba povr{ine A prema slobodnoj povr{ini. Naime, ni{ta se ne bi promenilo kad bi se ravan povr{ine A okrenula oko teì{ne ose ξ , za neki proizvoljni ugao. Za slu~aj da povr{ina A leì u vertikalnoj ravni, tada se ose v i z poklapaju, te je

C

CCD Az

Izz += .

Pritisak te~nosti na horizontalna dna sudova predstavlja specijalni slu~aj (slika 12). Tada je

dAghdP ⋅ρ= .

Slika 12. Pritisak te~nosti na horizontalna dna sudova

Kako je visina h ista za sve elemente dA povr{ine A dna sudova i kako je A isto za sve oblike sudova, to je sila pritiska te~nosti na dno bilo kog suda ghAP ρ= . Iz ovog izraza sledi da sila pritiska na dno sudova istih povr{ina ne zavisi od oblika suda. Ovaj stav predstavlja poznat Paskalov hidrostati~ki paradoks. 1.7. PRITISAK TE^NOSTI NA KRIVE POVR[INE Rezervoari za ~uvanje ili transport te~nosti naj~e{}e se, s obzirom na stabilnost konstrukcije, izvode u obliku cilindra kru`nog ili elipsastog popre~nog preseka ili su sfernog oblika. Dakle, povr{ine ovih rezervoara su krive povr{ine. Tako|e se spolja{nje strane raznih pregrada - brana izvode kao krive povr{ine razli~itih oblika. Zbog toga je i potrebno utvrditii dejstvo ta~nosti na krive povr{ine.


14

Neka je neka kriva povr{ina A (koja, na primer, predstavlja deo omota~a nekog rezervoara) izloèna dejstvu te~nosti sa jedne strane, dok je sa druge strane atmosferski pritisak (slika 13). I na slobodnoj povr{ini te~nosti vlada atmosferski pritisak.

Slika 13. Dejstvo te~nosti na krivu povr{inu

Na elementarnu povr{inu dA povr{ine A, koja obuhvata ta~ku M na dubini z, deluje sila pritiska te~nosti AgzdAd)pp(Pd a

rrrρ−=−−= .

Ona je normalna na povr{inicu dA a deluje u pravcu unutra{nje normale. Kako kod krive povr{ine normale na pojedine elementarne povr{ine dA nisu paralelne niti su istog smera, to ni sile Pd

r nisu me|u sobom paralelne pa se za odre|ivanje ukupne pritisne sile

mora koristiti vektorski ra~un. Da bi se odredila ukupna sila pritiska te~nost na povr{inu A, projektova}e se prvo elementarna sila pritiska Pd

r na pravce koordinatnih osa usvojenog koordinatnog sistema

0xyz. Projekcije ove sile iznose: αρ= cosgzdAdPx βρ= cosgzdAdP y

χρ= cosgzdAdPz gde su α, β, i γ uglovi koje gradi unutra{nja normala na povr{inici dA sa kdA koordinatnim osama. Kako je dalje xdAcosdA =α ,

ydAcosdA =β

zdAcosdA =χ gde su dAx, dAy, dAz projekcije povr{ine dA na odgovaraju}e koordinatne ravni, to se dobija kona~no xx gzdAdP ρ= yy gzdAdP ρ=

zz gzdAdP ρ= . Ovi obrasci su isti po obliku sa izrazom kojim je odre|en intenzitet elementarne sile pritiska na ravnu povr{inu. Zato se, po{to {to su dAx i dAy ravne povr{ine, mogu odmah napisati obrasci za izra~unavanje projekcija Px i Py kao. XCXX AgzP ρ= , YCYY AgzP ρ= , u kojima su zcx i zcy rastojanja teì{ta projekcija Ax i Ay povr{ine A od slobodne povr{ine. I obrazac za odre|ivanje inteziteta elementarne sile moè da se koristi za nalaènje napadnih ta~aka Dx i Dy sila XP

r i YPr

, ali u odnosu na projekciju Ax i Ay, povr{ine A. Vertikalna projekcija sile pritiska te~nosti iznosi ∫ρ=

ZAzZ zdAgP


15

Budu}i da Az predstavlja, prema slici 13. , elementarnu zapreminu te~nosti iznad povr{inice dA do njene projekcije na slobodnu povr{inu, to je

gVPZ ρ= . U ovom izrazu, V predstavlja zapreminu te~nosti izme}u krive povr{ine A i njene projekcije Az na slobodnoj povr{ini. Sila Pz deluje u teì{tu zapremine V i usmerena je naniè ako je zapremina V ispunjena te~no{}u, odnosno navi{e ako zapremina V nije ispunjena te~no{}u. Komponente xP

r, yPr

i zPr

ne seku se uvek u jednoj ta~ki, te za svo|enje ovih sila na

rezultantu vaè poznati principi statike krutog tela.

1.7.1. PRITISAK TE^NOSTI NA ZIDOVE CEVI Posmatrajmo vertikalnu cev (slika. 14) u kojoj te~nosti miruje

Slika 14. Dejstvo te~nosti na zidove cevi

Na uo~eni elementarni deo cevi, izme|u dva bliska preseka na rastojanju dz, deluje elementarna horizontalna sila pritiska te~nosti pDdzgzdAdP XX =ρ= , gde je D - unutra{nji pre~nik cevi, a P - pritisak te~nosti u cevi na dubini z od slobodne povr{ine. Ovoj sili se suprotstavlja sila otpora zidova cevi (na istezanje), dz2dF2 Cw σδ= . Izjedna~avanjem ovih sila, dolazi se do obrasca za izra~unavanje najmanje debljine zida cevi.

σ

=δ2pD

C ,

koji je poznat kao Mariotova (Mariotte) formula. U ovoj formuli σ predstavlja dozvoljeni napon na istezanje materijala cevi. Prethodni obrazac koristi se za prora~un debljine zida cevi i u slu~aju kada kroz nju struji te~nost. Samo se tada pod p podrazumeva maksimalni pritisak koji se javlja u toj cevi, odnosno u posmatranoj deonici cevovoda. Ovako izra~unata debljina zida cevi obi~no se uve}ava za iznose koji uzimaju u obzir koroziju cevi, na~in njene izrade i uslove pod kojima se one eksploati{u.


16

1.8. ARHIMEDOV ZAKON, PLIVANJE TELA Na svaku uo~enu povr{inicu dA povr{ine A deluje, kao {to je ve} re~eno, elementarna sila pritiska dP=pdA i to sa smerom ka povr{inici koju te~nost kvasi. Ako se u te~nosti nalazi neko telo zapremine V onda okolna te~nost, tako|e, deluje pritisnom silom dP=pdA na svaku povr{inicu dA povr{ine A potopljenog tela ili njegovog dela. Od interesa je da se odredi ukupna sila pritiska kojom te~nost deluje na potpuno potopljeno telo. Ta }e se sila odrediti za telo proizvoljnog oblika zapremine V, koje je potpuno potopljeno u te~nosti gustine r (slika.15). Budu}i da je pritisak u svim ta~kama mirne te~nosti na istoj dubini jednak, to je ukupno horizontalno dejstvo te~nosti na ovo telo jednako nuli; odnosno horizontalne sile se uzajamno poni{tavaju.

Slika 15. Dejstvo te~nosti na potpuno potopljeno telo Na donji deo tela (ispod zami{ljene prese~ne ravni AB) deluje te~nost vertikalnom silom, koja iznosi BEA'B'AA

'z gVP ρ=

i usmerena je navi{e. Na gornji deo tela, te~nost deluje silom. BNA'B'AA

''z gVP ρ= ,

koja je usmerena naniè. Razlika ovih sila gv)VV(gPP BNA'B'AABEA'B'AA

''z

'z ρ=−ρ=−

predstavlja ukupno dejstvo te~nosti na potopljeno telo. Dakle, na potopljeno telo zapremine V te~nost deluje rezultuju}om silom pritiska gVP ρ= , koja je, kao {to se vidi, jednaka proizvodu iz zapremine tela, gustine te~nosti i ubrzanja Zemljine teè. Ova se sila ~esto naziva SILOM POTISKA ili ARHIMEDOVOM SILOM, jer je gornju teoremu prvi iskazao Arhimed re~ima: „Svako telo potopljeno u te~nosti trpi silu koja je jednaka teìni telom istisnute te~nosti“. Potisak trpe sva tela potopljena u te~nosti ili u gasnoj sredini (vazdu{ni baloni). Napadna ta~ka ove sile leì u teì{tu D zapremine potopljenog tela. Na potopqeno telo deluje i sila G

r Zemljine teè, koja je, tako|e, vertikalna i

usmerena naniè, a napadna ta~ka joj je u teì{tu C tela. Prava linija koja spaja ta~ke D i C zove se OSOM PLIVANJA. Zavisno od veli~ina ovih sila mogu da nastupe slede}a tri slu~aja:

a) G = P; telo lebdi u te~nosti na onoj dubini na kojoj ga postavimo (uslov je const=ρ )

b) G > P; telo tone sve do neke prepreke, i


17

c) G < P; telo izronjava sve dotle dok se sila kojom te~nost deluje na deo tela koji je potopljen u te~nosti ne izjedna~i sa silom G. Tada se kaè da telo pliva na povr{ini te~nosti.

Za ravnoteù potpuno potopljenog tela u te~nosti, pored jednakosti G=P, potrebno je jo{ da napadna ta~ka D potiska i teì{te C tela leè na istoj vertikali. U protivnom bi se pojavio spreg koji bi okretao telo sve dok se ta~ke D i C ne na|u na istoj vertikali. Da bi ova ravnoteà bila STABILNA potrebno je da centar potiska D leì iznad teì{ta C tela, jer samo u tom slu~aju, pri izvo|enju tela iz ravnote`nog poloàja, novonastali spreg sila P

r i

Gr

vra}a telo u po~etni poloàj.

Uslovi za stabilnost pri plivanju delimi~no potopljenih tela (razni plovni objekti: ~amci, brodovi i sl.) mnogo su sloèniji.


18

2. OSNOVNI HIDRAULI^NI POJMOVI

Kao {to je ve} re~eno, te~nost se u Hidromehanici pa samim tim i u Hidraulici posmatra kao neprekidna lako deformabilna sredina. Pri tome se kinematika te~nosti bitno razlikuje od kinematike krutog tela, jer se te~nost sastoji iz neizmerno velikog broja deli}a koji se kre}u jedan u odnosu na drugi, po razli~itim putanjama i, strogo gledaju}i, svaki po svom zakonu. âk se i na osnovu vizuelnog posmatranja te~nosti za vreme kretanja moè zaklju~iti da je proces kretanja ta~nosti vrlo sloèn, tako da ni do dan danas mnogi problemi u vezi sa kretganjem te~nosti (a pogotovu gasova) nisu u potpunosti obja{njeni niti re{eni. Zbog toga se prou~avanje kretanja te~nosti obavlja, uglavnom, uz izvesne predpostavke koje olak{avaju analizu pogotovu sa matemati~ke ta~ke gledi{ta. Razumljivo je da je kretanje te~nosti uslovljeno spolja{njim i unutra{njim silama koje deluju na te~nost za vreme kretanja.

Pored pritiska p i gustine ρ , koji odre|uju stanje mirovanja, pri kretanju te~nosti pojavljuje se i brzina vr kao veli~ina koja karakteri{e dinami~ko stanje te~nosti. S obzirom na pretpostavku o neprekidnosti prostora koju te~nost ispunjava pri preme{tanju deli}a te~nosti iz jedne u obli`nju sasvim blisku ta~ku, brzina i pritisak }e se izmeniti za sasvim malu vrednost. Prema tome brzina i pritisak se smatraju neprekidnim funkcijama koordinata (i vremena ako se menjaju u istoj ta~ki u toku vremena). Zato se prou~avanje kretanja ta~nosti svodi na odre|ivanje vektora brzine )t,z,y,x(vv rr

= , ili njenih projekcija

)t,z,y,x(vv xx = , )t,z,y,x(vv yy = , )t,z,y,x(vv zz = ,

i pritiska )t,z,y,x(pp = . Zbog toga je neophodno raspolagati istim brojom odgovaraju}ih jedna~ina.

Hidromehanika raspolaè ovim jedna~inama, kojima je, uz po~etne i grani~ne uslove, definisano izotermsko kretanje te~nosti. To su vrlo sloène jedna~ine i mogu se re{iti samo u malom broju slu~ajeva. Zbog neophodnosti re{avanja mnogobrojnih prakti~nih problema, u Hidraulici se ne prou~ava kretanje pojedinih deli}a te~nosti, niti se nalazi ta~an raspored brzine u prostoru, ve} se posmatra kretanje te~nosti kao celine, uglavnom u jednom pravcu koji se naziva GLAVNI PRAVAC KRETANJA. Kretanja u ostalim pravcima se zanemaruju. Pri tome se ra~una sa srednjim vrednostima svih fizi~kih veli~ina koje karakteri{u kretanje te~nosti. 2.1. VRSTE KRETANJA TE^NOSTI

Podela kretanja te~nosti na pojedine vrste moè da se izvr{i na razne na~ine, zavisno od toga u odnosu na {ta se vr{i ta podela. Pre svega, kretanje te~nosti u odnosu na vreme moè da bude ustaljeno (stacionarno) ili neustaljeno (nestacionarno). Ako se u posmatranoj ta~ki prostora, u kome se te~nost kre}e, brzina vr (i prisak p) menja u toku vremena, tj. vr ne zavisi samo od koordinata ta~ke ve} i od vremena, onda se takvo kretanje te~nosti naziva NEUSTALJENIM KRETANJEM. Ovo zna~i, da }e mesto deli}a u nekoj proizvoljnoj ta~ki M1, u kojoj je on imao brzinu 1vr i pritisak p1, zauzeti u slede}em trenutku vremena neki drugi deli} druge brzine 2vr i pritiska p2. Kretanje kod koga se u svakoj ta~ki (strujnog) prostora brzina, pritisak i ostale fizi~ke veli~ine ne menjaju u toku vremena, mada u raznim ta~kama imaju razli~ite vrednosti, naziva se USTALJENIM KRETANJEM. U tom slu~aju je


19

)z,y,x(vv rr= ; )z,y,x(pp = .

O~igledan primer ustaljenog i neustaljenog kretanja pruà isticanje te~nosti iz suda kroz otvor na dnu pri stalnom (ustaljenom) i promenljivom (neustaljenom) nivou te~nosti u njemu. Na osnovu izraza vidi se da brzina vr zavisi od koordinata, tj. od poloàja ta~ke u prostoru. No, brzina moè da zavisi i od vremena. Zato se prostor u kome se posmatra brzina naziva poljem vektora brzine ili STRUJNIM POLJEM. Ovo polje je vektorno, jer je brzina vektor. Polje pritiska je skalarno, jer je pritisak skalarna veli~ina. Kod neustaljenog strujanja, polje vektora brzine je promenljivo polje; za slu~aj ustaljenog strujanja ovo polje se ne menja. Ustaljeno strujanje moè da bude: jednoliko (ravnomerno) i nejednoliko (neravnomerno). Kod JEDNOLIKOG STRUJANJA polje vektora brzine ne menja se du` strujnog toka. Naime, u odgovaraju}im ta~kama bilo koja dva upravna preseka na strujni tok, brzina ima istu vrednost, mada se brzine u raznim ta~kama istog preseka me|u sobom razlikuju. Ovo zna~i da se ni proto~ni presek ne sme menjati du` strujnog toka, tj. du` glavnog pravca strujanja. Pri tome je i srednja brzina strujanja nepromenjena du` toka, a ubrzanje deli}a te~nosti jednako je nuli. Strujanje u kanalima jednake dubine i nepromennjivog preseka, kao i strujanje kroz prave cevi konstrantnog popre~nog preseka ako se i hrapavost ne menja du` cevi primeri su jednolikog kretanja te~nosti. NEJEDNOLIKO STRUJANJE se odlikuje promenljivom srednjom brzinom, odnosno promenljivim popre~nim presecima strujnog toka du` cevi. Strujanje kroz konusne cevi predstavlja, na primer, nejednoliko kretanje te~nosti. U odnosu na sile koje izazivaju kretanje te~nosti, ono moè da bude: kretanje sa slobodnom povr{inom (otvoreni tok) i kretanje bez slobodne povr{ine (naporno kretanje). Kretanje u otvorenim tokovima (reke i kanali) je primer prve vrste strujanja. Ovakvo kretanje se moè ostvariti i u cevima, ako te~nost ne ispunjava cev potpuno, kao {to je to slu~aj kod kanalizacijskih cevovoda. Ovo se kretanje ostvaruje pod dejstvom sile Zemljine teè. Kod STRUJANJA SA SLOBODNOM POVR[INOM pritisak te~nosti je na njenoj povr{ini konstantan du` toka i iznosi p=pa. Strujanje pri kome je te~nost ograni~ena ~vrstim povr{inama sa svih strana i gde te~nost potpuno ispunjava zatvoreni strujni prostor, predstavlja STRUJANJE BEZ SLOBODNE POVR[INE. U tom slu~aju se pritisak te~nosti menja du` toka i, zavisno od slu~aja, moè da bude ve}i ili manji od atmosferskog. Ovakvo kretanje te~nosti nastaje kao posledica razlike u pritiscima, koja je rezultat razlike u visnama po~etnog i krajnjeg preseka strujnog toka (vodotoranj i cevni razvod), ili je, {to je naj~e{}e, rezultat rada strujne ma{ine (hidrauli~ke pumpe). U cevovodima, hidrauli~nim pumpama i drugim hidrauli~nim komponentama ostvaruju se naporna strujanja, koje su i predmet prou~avanja tzv. ma{inske Hidraulike. Beznaporna strujanja prou~avaju se u tzv. otvorenoj, gra|evinskoj Hidraulici - Hidrotehnici, i ovde se razmatraju samo najprostoji slu~ajevi (na primer, prelivi). 2.2. POJAM O VLAKNASTOM KRETANJU TE^NOSTI Ako se na slobodnu povr{inu te~nosti uspe sitan prah aluminijuma, onda se golim okom moè videti da se ~estice praha kre}u i to skupa sa deli}ima te~nosti. Pri tome ~estice praha opisuju svoje putanje, koje se poklapaju sa putanjama deli}a te~nosti na


20

povr{ini. Mo`e se zaklju~iti da se i deli}i te~nosti u njenoj unutra{njosti, tako|e, kre}u i to svaki po svojoj putanji, kao i to da se cela posmatrana masa te~nosti kre}e. PUTANJA ili TRAJEKTORIJA nekog deli}a te~nosti predstavlja geometrijsko mesto niza ta~aka uzastopnih polo`aja koje taj deli} zauzima pri kretanju kroz strujni prostor. Pored putanje, u geometrijske karakteristike strujnog toka spada i strujnica. STRUJNICA ili STRUJNA LINIJA (slika.16) je kriva linija u ~ijim se ta~kama pripadaju}i vektor brzine poklapa sa pravcem tangente na tu liniju u posmatranom trenutku vremena.

Slika 16. Strujnice

Iz navedenih diferencija sleduje razlika izme}u putanje i strujnice. Strujnicu sa~injavaju razni deli}i te~nosti, pri ~emu skup strujnica posmatranog strujanja karakteri{e pravac i smer strujnog toka u datom trenutku vremena. Dakle, strujnice daju bolju predstavu o strujnom polju. Samo se pri ustaljenom strujanju strujnica poklapa sa trajektorijom a ne menja svoj oblik tokom vremena. Ako se u te~nosti koja struji uo~i elementarna povr{ina dA, koju opkoljava zatvorena linija (Slika.17) i ako se kroz sve ta~ke te linije povuku strujnice, tada skup povu~enih linija ~ini cilindri~nu povr{inu koja prestavlja omota~ STRUJNOG VLAKNA (elementarne strujne cevi).

Slika 17. Strujno vlakno Strujno vlakno pri ustaljenom strujanju ima slede}a svojstva:

1. Oblik strujnog vlakna je postojan, jer se i oblik strujnica koje ga ~ine ne menja vremenom.

2. Deli}i te~nosti jednog strujnog vlakna ne mogu da pre|u u susedno strujno vlakno. Omota~ strujnog vlakna pona{a se, dakle, kao nepropustljiva ~vrsta povr{ina, a samo strujno vlakno predstavlja samostalni elementarni tok te~nosti.

3. Zbog veoma malog popre~nog preseka dA strujnog vlakna smatra se da brzina vr ima istu vrednost u svim ta~kama tog preseka dA. Ona je normalna na odgovaraju}em preseku, jer je tangentna na strujnicama. Razume se, brzina se menja od preseka do preseka du` jednog strujnog vlakna, kao i pri prelasku sa jednog na drugo vlakno.

Ako se u struji te~nosti (Slika 18.) uo~i kona~na povr{ina A, ~iji rub ~ini zatvorena kriva L, i ako se kroz sve ta~ke krive L povuku strujnice, dobi}e se STRUJNA CEV. Presek A strujne cevi jednak je zbiru elementarnih preseka dA strujnih vlakana koja ~ine strujnu cev.


21

Slika 18. Strujna cev

I omota~ strujne cevi se pona{a kao nepropustljiva ~vrsta povr{ina, odnosno kao stvarna tehni~ka cev. Zbog toga se u Hidraulici pretpostavlja da se tokovi kona~nih razmera mogu posmatrati kao skup veoma velikog broja strujnih vlakana neizmerno malih preseka. Drugim re~ima, strujna cev, kroz koju proti~e neka te~nost, sastoji se iz bezbroj strujnih vlakana.

2.3. OSNOVNE KARAKTERISTIKE TOKA TE^NOSTI Pod osnovnim karakteristikama strujnog toka te~nosti i Hidraulici podrazumevaju

se: ìvi presek, protok, srednja brzina, okva{eni obim i hidrauli~ni radijus. 2.3.1 @IVI PRESEK Pri prou~avanju kretanja te~nosti uvodi se pojam ìvog preseka strujnog toka. To je

povr{ina u ~ijoj se svakoj ta~ki strujne linije poklapaju sa odgovaraju}om normalom. U op{tem slu~aju to je kriva povr{ina. Samo je u slu~aju kretanja te~nosti sa paralelnim strujnicama, proto~ni presek ravna povr{ina. U tom slu~aju moè se re}i da je ìvi presek, ustvari, popre~ni presek strujne cevi upravan na glavnom pravcu kretanja i naziva se i proto~nim presekom.

2.3.2 PROTOK Jedna od osnovnih hidrauli~nih veli~ina jeste PROTOK te~nosti. To je koli~ina

te~nosti koja protekne kroz ìvi presek strujnog vlakna ili strujne cevi u jedinici vremena. Zavisno od jedinica u kojima se ta koli~ina te~nosti izraàva, razlikuje se zapremiinski i maseni protok.

Na osnovu definicije protoka sleduje da je, za strujno vlakno, elementarni zapreminski protok dat izrazom ,vdAdQ = s/m3

odnosno elementarni protok mase ,vdAdQm ρ= 3m/kg gde je vr -brzina te~nosti u preseku dA (slika 17.) strujnog vlakna, koja je upravna

na preseku dA, a ρ je gustina te~nosti. Iz same predstave o vlaknastom kretanju te~nosti, sleduje da je protok kroz strujnu

cev jednak zbiru protoka kroz strujna vlakna koja ~ine tu strujnu cev. Zato je zapreminski protok odnosno protok te~nosti odre|en izrazom

∫=A

vdAQ

Poznato je da se brzina strujanja te~nosti menja od svoje najmanje vrednosti, na primer na dnu kanala, preko maksimalne vrednosti do brzine na povr{ini te~nosti u kanalu ili koritu reke. Tako|e je poznato i to da se brzina te~nosti koja struji kroz neku cev uve}ava od zida cevi ka njenoj osi. Dakle, brzina strujanja te~nosti menja se od vlakna do vlakna u istoj strujnoj cevi (Slika 20). Promena brzine vr po preseku A strujne cevi


22

odre|ena je zakonom te promene da bi se izra~unao izraz potrebno je poznavati oblik funkcije v=v(A). Kako se ta brzina obi~no ne zna uvodi se pojam srednje brzine kretanja te~nosti.

Slika 20. Promena brzine kretanja te~nosti po preseku strujne cevi

2.3.3 SREDNJA BRZINA Srednja brzina vr kretanja te~nosti je zami{ljena brzina, kojom bi trebao da se kre}e

svaki deli} te~nosti u posmatranom ìvinom preseku strujne cevi, da bi se ostvario isti protok Q kao i sa stvarnom brzinom koja se menja od ta~ke do ta~ke preseka A. Prema tome, postoji jednakost ∫==

As dA)A(vQAv ,

odnosno

AQvs = ,

Neka je v’ pozitivno ili negativno odstupanje stvarne brzine V od srednje brzine Vs u pojedinim ta~kama preseka A strujne cevi. Onda vaì jednakost 0vv'v s ><−= Ako se prethodna jednakost pomnoì sa elementom dA povr{ine i obavi integracija po ~itavom preseku A, dobi}e se AvdAvdAv s

AA

3 −= ∫∫ ,

odakle je 0dAv

A

3 =∫

Dakle, kako je ostupanje v’ u nekim ta~kama preseka A pozitivno, a u nekim negativno, to se tzv. sekundarni protoci poni{tavaju.

2.3.4. OKVA[ENI OBIM Okva{eni obim O predstavlja duìnu obima popre~nog preseka toka te~nosti koja je

u dodiru sa ~vrstim povr{inama, na primer, povr{inama zidova kanala ili cevi. To je naime, duìna obima popre~nog preseka kanala ili cevi koju te~nost kvasi.


23

Slika 21. Okva{eni obim

Pri napornom kretanju ovlaèni obim se poklapa sa geometrijskim obimom ìvog preseka; dok se kod slobodnih ova dva obima razlikuju, jer u okva{eni obim ne ulazi deo obima koji te~nost ne okva{uje. Zato je za pravougaoni popre~ni presek, okva{eni obim 0= 2h + b gde je h - dubina te~nosti u kanalu, a b - {irina kanala. 2.3.5 HIDRAULI^KI RADIJUS U Hidraulici se ~esto koristi pojam hidrauli~kog radijusa koji se defini{e kao odnos povr{ine ìvog preseka i okva{enog obima, tj.

.OAR h =

Kod strujnog toka pravougaonog popre~nog preseka (slika 21), hidrauli~ki radijus iznosi

,h2b

bhR h +=

dok bi kod napornog cevovoda, istog proto~nog preseka bio

,)ba(2

abR h +=

gde je a visina ìvog preseka. Kod napornog cevovoda kru`nog popre~nog preseka hidrauli~ni radijus je

4D

D4/DR

2

h =ππ

=

odakle je hR4D = Potrebno je ista}i da hidrauli~ki radijus Rh ne odre|uje ni oblik ni veli~inu proto~nog preseka struje te~nosti, ve} sli~nost pona{anja raznih preseka strujnih tokova u hidrauli~kom smislu. Tako kanal pravougaonog preseka dimenzija h=2 m i b=4 m (sl 22a) i cev pre~nika D=4 m (Slika 21) imaju isti hidrauli~ni radijus Rh mada su im povr{ine popre~nih preseka razli~ite i iznose A1=8 m2 i A2=12,56 m2. Tako|e treba ista}i da se hidrauli~ki radijus primenjuje pri prora~unu kretanja te~nosti kroz cevovode kad god proto~ni presek cevi nije kru`nog oblika ili kada te~nost delimi~no ispunjava cev (Slika 21).

2.3. LAMINARNO I TURBULENTNO KRETANJE TE^NOSTI

Posmatranjem kretanja te~nosti u kanalima i rekama mogu se zapaziti dva na~ina kretanja te~nosti: jedno je mirno i pravilno, a drugo haoti~no. Prvo kretanje se naziva laminarnim, a drugo turbulentnim.

LAMINARNO (slojevito) kretanje je takvo kretanje kod koga se strujnice ne me{aju i odre|ene su oblikom protoka kroz koji te~nost struji. Na primer, kod pravolinijske cevi konstantnog popre~nog preseka one su paralelne osi cevi: tj. strujnice su prave linije.


24

Slobodna povr{ina te~nosti, ako postoji ravna je. Kod ovakvog strujanja nema popre~nog strujanja te~nosti, BRZINA I PRITISAK NE PULSIRAJU. Laminarno kretanje je, dakle, kretanje koje odaje utisak potpune pravilnosti, to je kretanje u slojevima, odakle mu dolazi naziv (od latinske re~i lamina-sloj). Za drugu vrstu kretanja zapaà se da je uzburkano i haoti~no; na slobodnoj povr{ini te~nosti (ako postoji) javljaju se ispup~enja i udubljenja, koja su vidljiva i koja nemaju stalan oblik; ~as se pojave ~as nestanu. Osim uzdu`nog kretanja te~nosti, postoji i kretanje popre~no na pravac glavnog toka, kao i kru`no kretanje posebnih zapremina te~nosti, uz intezivno me{anje deli}a te~nosti (deli}i te~nosti iz jednog sloja prelaze u susedne slojeve ometaju}i ove u njihovom kretanju). BRZINA I PRITISAK PULSIRAJU za vreme strujanja. Ovo kretanje ostavlja utisak potpune nepravilnosti i zato se naziva TURBULENTNIM KRETANJEM (od latinske re~i turbulentus-nepravilan). Oba na~ina kretanja te~nosti mogu da se ostvare u cevima i kanalima. Laminarno kretanje se ostvaruje obi~no kad se radi o viskoznijim te~nostima, na primer, kretanje sirove nafte u naftovodima i teìh naftinih derivata, raznih ulja itd. Strujanje vode kroz cevi malog pre~nika - kapilare je, tako|e, po pravilu turbulentno. Me|utim, strujanje vode u cevima ve}eg pre~nika - kapilare je, tako|e, laminarno. Me|utim, strujanje vode u cevima ve}eg pritiska, kanalima i rekama je po pravilu turbulentno. I kretanje vazduha i drugih gasova kroz cevovode je turbulentno. Navedene razlike izme|u ova dva reìma kretanja odavno su uo~ili Senvenan (Saint-Venant), Poazej (Poiseuille) i Hagen (Hagen). Mendeljejev je u svom radu #O soprotvilenim ìdkostei i o vozduhoplavanii# ukazao na postojanje dva reìma kretanja te~nosti. On je do{ao i do zaklju~ka da otpor usled trenja, pri kretanju te~nosti, bitno zavisi od reìma kretanja. Mendeljejev je utvrdio #da je pri opitima sprovedenim u kapilarnim cev~icama, usporavaju}a sila trenja proporcionalna prvom stepenu brzine, a u {irokim cevima skoro kvadratu brzine#. Mnogobrojni eksperimentalni rezultati, dobijeni kasnije, potvdili su da brzina kretanja te~nosti, zavisno od reìma strujanja, na razli~ite na~ine uti~e na otpor usled trenja. Zato je i jasno da se hidrodinami~ki prora~uni, na primer, prilikom strujanja kroz cevi, razlikuju za ova dva reìma. Otuda se dalje zaklju~uje da je potrebno da se postavi kriterijum za utvr|ivanje reìma kretanja te~nosti. Taj kriterijum postavio je 1883. god. Engleski fizi~ar Rejnolds (Reynolds) vr{e}i oglede sa cevima razli~itog pre~nika, kroz koje je proticala te~nost raznim brzinama. Ovaj ogled Rejnolds je izveo na vrlo jednostavnoj instalaciji prikazanoj na slici 23. Ona se sastoji iz rezervoara sa vodom, staklene cevi pre~nika D i suda II sa obojenom vodom koja se kroz kapilaru dovodi u cev pre~nika D. Pri relativno malim brzinama kretanja vode kroz cev (slika 23a), Rejnolds je primetio da se jasno vidi obojena strujnica (ta~nije strujno vlakno) te~nosti koja isti~e iz suda II kroz kapilaru. To zna~i da se strujnice ne me{aju, da su me|usobno paralelne i da je, strujanje laminarno. Pri postepenom pove}anju brzine vode u staklenoj cevi, {to se postiè otvaranjem ventila V1, slika strujanja se u po~etku ne menja. Ali, pri nekoj odre|enoj brzini nastaje nagla promena. Obojena strujnica najpre po~inje da podrhtava, zatim se rastura da bi se na kraju sva te~nost u cevi D obojila (slika 22), Uspostavilo se, dakle, turbulentno strujanje. Pri smanjivanju brzine, strujanje ponovo prelazi u laminarno. Naravno, ovde se misli na srednju brzinu koja je ranije definisana.


25

Slika 22. Ure|aj za utvr|ivanje reìma strujanja Postepenim pove}anjem brzine te~nosti u staklenoj cevi Rejnolds je opazio da prelaz iz laminarnog u turbulentno kretanje nastaje pri odre}enoj srednjoj brzini strujanja, koju je on nazvao KRITI^NOM BRZINOM. Docnije se pokazalo da se, pri pa`ljivom vr{enju ogleda, moè laminarno strujanje da odrì i pri ve}im brzinama strujanja od kriti~ne, koju je Rejnolds utvrdio. No, takvo strujanje je nestabilno i pri najmanjem potresu prelazi u turbulentno. Prelaz turbulentnog strujanja u laminarno uvek se odigrava pri istoj brzini, tako da se ispod odre|ene brzine nikako ne moè posti}i turbulentno strujanje. Za kriti~nu brzinu se zato uzima najmanja brzina pri kojoj nastaje prelaz iz jednog u drugi reìm strujanja. Vr{e}i oglede sa raznim pre~nicima cevi, Rejnolds je otkrio da je kriti~na brzina proporcionalna koeficijentu kinemati~ke viskoznosti te~nosti i obrnuto proporcionalna pre~niku cevi, tj. da je

Dvkvkr = .

Bezrazmerni koeficijent k isti je za sve te~nosti i gasove i za sve pre~nike cevi. To zna~i da se prelaz iz laminarnog u turblentno kretanje odigrava pri odre|enim vrednostima kriti~ne brzine, pre~nika i kinemati~ke viskoznosti, odnosno pri istom koeficijentu k koji iznosi

vDvk kr=

Koeficijent k je ~ist broj, koji, kako su pokazali ogledi za cevi kru`nog preseka, ima vrednost 2320. Kao priznanje Rejnoldsu, ovaj broj je nazvan KRITI^NIM REJNOLDSOVIM BROJEM:

.2320vDvR kr*

e ==

Za svako posmatrano kretanje moè da se napi{e stvarni Rejnoldsov broj:

v

vDR e = ,

~ija je vrednost manja ili ve}a od Re zavisno od toga da li je v ve}e ili manje od vkr. Kako je kod laminarnog kretanja v<vkr, to je u ovom slu~aju *

ee RR < . Ako je v>vkr,

tada je *ee RR > i kretanje je turbulentno (ili je pod odre|enim specijalnim uslovima,

laminarno ali nestabilno, tzv. Prelazna oblast). Prema tome, ako je *

ee RR < kretanje gasa ili te~nosti je laminarno, a ako je *

ee RR > kretanje je turbulentno. Ovi uslovi predstavljaju REJNOLDSOV KRITERIJUM ZA ODRE\IVANJE RE@IMA KRETANJA te~nosti i gasova u cevima. Ovaj se kriterijum i danas koristi kako pri


26

teorijskim istra`ivanjima (Mehanika fluida, Teorija grani~nog sloja), tako i kod prakti~nih prora~una u Hidraulici. Vrednost Rekr=2320 odgovara cevima kru`nog preseka. Za slu~aj da te~nost struji kroz cevi proizvoljnog proto~nog preseka, (pri ~emu ona delimi~no ili potpuno ispunjava presek cevi), kao i pri kretanju te~nosti u kanalima; umesto pre~nika D upotrebljava se EKVIVALENTNI PRE^NIK odre|en hidrauli~nim radijusom kao: De= 4Rh . U tom slu~aju je

vR4v

vvDR he

e ==

ili

v

vR4

R'R hee ==

Ako se i ovde za kriti~nu vrednost Rejnoldsovog broja usvoji *eR =2320, tada je za preseke

proizvoljnog oblika broj *eR merodavan za utvr|ivanje re`ima kretanja. Za vRh/v<580

kretanje je laminarno. Kada je vRh/v>580, kretanje je turbulentno. Napominje se jo{ jednom, da je u najve}em broju prakti~nih slu~ajeva kretanje vode, benzina, kerozina i vazduha turbulentno. Samo je kretanje veoma viskoznih te~nosti (ulja za podmazivanje, nafte, mazuta i sl.), uglavnom, laminarno.

2. hidrostatika, uvod hidrodinamika

Documents