425256.tutic drazen disertacija

1

SVEUILITE U ZAGREBU

GEODETSKI FAKULTET

Draen Tuti

STEREOGRAFSKA I DRUGE KONFORMNE PROJEKCIJE

ZA HRVATSKU

Doktorska disertacija

Zagreb, 2008

2

I. Autor

Ime i prezime Draen Tuti

Datum i mjesto roenja: 29. lipnja 1973., Zagreb

Sadanje zaposlenje: Znanstveni novak asistent na Geodetskom fakultetu Sveuilita u Zagrebu

II. Doktorska disertacija

Naslov: Stereografska i druge konformne projekcije za Hrvatsku

Broj stranica: 112

Broj slika: 34

Broj tablica: 23

Broj bibliografskih podataka: 57

Ustanova i mjesto gdje je rad izraen: Sveuilite u Zagrebu, Geodetski fakultet

Znanstveno podruje: Tehnike znanosti

Znanstveno polje: Geodezija

Znanstvena grana: Kartografija

Mentor: prof. dr. sc. Miljenko Lapaine

Oznaka i redni broj rada:

III. Ocjena i obrana

Datum prijave teme: 5. prosinca 2007.

Datum sjednice Fakultetskog vijea na kojoj je disertacija prihvaena:

29. sijenja 2009.

Sastav povjerenstva za ocjenu disertacije: prof. dr. sc. Miljenko Lapaine

prof. emeritus Nedjeljko Franula

doc. dr. sc. Duan Petrovi, Univerza v Ljubljani, Fakulteta za gradbenitvo in geodezijo

Datum obrane disertacije:

Sastav povjerenstva za obranu disertacije:

3

SADRAJ

1. UVOD........................................................................................................................... 11

2. DOSADANJI RADOVI............................................................................................ 14

2.1. Konformne projekcije u kartografiji ...................................................................... 14

2.2. Konformne projekcije za Hrvatsku........................................................................ 17

2.3. Najpovoljnije konformne kartografske projekcije ................................................. 22

3. PODRUJE HRVATSKE ......................................................................................... 27

3.1. Praktino rjeenje za aproksimaciju podruja Hrvatske elipsoidnim trapezima ... 31

4. KRITERIJI ZA PROCJENU I IZBOR PROJEKCIJE ......................................... 32

4.1. Airy/Jordanov kriterij za konformne projekcije .................................................... 32

4.2. Kriterij najmanje najvee apsolutne linearne deformacije..................................... 33

5. METODOLOGIJA ZA NALAENJE OPTIMALNIH VARIJANTI .................. 35

5.1. Primjena MATLAB-a za nalaenje optimalnih varijanti......................................... 35

5.2. Praktini postupak za izradu karata deformacija ................................................... 38

6. MERCATOROVA PROJEKCIJA ........................................................................... 43

6.1. Optimalne varijante Mercatorove projekcije ......................................................... 43

6.1.1. Optimalna Mercatorova projekcija po Airy/Jordanovu kriteriju ....................... 44

6.1.2. Optimalna Mercatorova projekcija po kriteriju najmanje 45 najvee apsolutne linearne deformacije................................................................... 47

7. LAMBERTOVA KONFORMNA KONUSNA PROJEKCIJA.............................. 47

7.1. Neke postojee varijante Lambertove konformne konusne projekcije za prikaz Hrvatske ...................................................................................................................... 47

7.2. Optimalne varijante Lambertove konusne konformne projekcije ......................... 50

7.2.1. Optimalna Lambertova konformna konusna projekcija po Airy/Jordanovu kriteriju..................................................................................................................... 52

7.2.2. Optimalna Lambertova konformna konusna projekcija po kriteriju najmanje najvee apsolutne linearne deformacije................................................................... 53

8. GAUSS-KRGEROVA PROJEKCIJA................................................................... 55

8.1. Neke postojee varijante Gauss-Krgerove projekcije za prikaz Hrvatske........... 55

8.2. Optimalne varijante Gauss-Krgerove projekcije ................................................. 57

8.2.1. Optimalna Gauss-Krgerova projekcija po Airy/Jordanovu kriteriju ............... 58

4

8.2.2. Optimalna Gauss-Krgerova projekcija po kriteriju najmanje najvee apsolutne linearne deformacije................................................................................ 59

9. STEREOGRAFSKA PROJEKCIJA ROTACIJSKOG ELIPSOIDA .................. 61

9.1. Optimalne varijante stereografske projekcije rotacijskog elipsoida ...................... 61

9.1.1. Optimalna stereografska projekcija po Airy/Jordanovu kriteriju ...................... 62

9.1.2. Optimalna stereografska projekcija po kriteriju najmanje najvee apsolutne linearne deformacije ................................................................................................ 63

10. LAGRANGEOVA PROJEKCIJA.......................................................................... 65

10.1. Optimalne varijante Lagrangeove projekcije....................................................... 65

10.1.1. Optimalna Lagrangeova projekcija po Airy/Jordanovu kriteriju..................... 68

10.1.2. Optimalna Lagrangeova projekcija po kriteriju najmanje najvee apsolutne linearne deformacije ................................................................................................ 69

11. KONFORMNE POLINOMNE PROJEKCIJE .................................................... 71

11.1. Optimalne konformne polinomne projekcije 1. stupnja ...................................... 72


11.2.1. Optimalna konformna polinomna projekcija 2. stupnja Airy/Jordanovu kriteriju........................................................................................... 74

11.2.2. Optimalna konformna polinomna projekcija 2. stupnja kriteriju najmanje najvee apsolutne linearne deformacije..................................... 75










5




11.6.3. Optimalna konformna polinomna projekcija 6. stupnja kriteriju najmanje najvee apsolutne linearne deformacije za kopneno podruje Hrvatske ................................................................................. 92

11.7. Optimalne konformne polinomne projekcije od 7. do 10. stupnja ..................... 95

12. ZAKLJUAK ......................................................................................................... 100

LITERATURA.............................................................................................................. 104

SAETAK ..................................................................................................................... 108

SUMMARY ................................................................................................................... 110

IVOTOPIS .................................................................................................................. 112

6

POPIS SLIKA

Slika 3.1. Podaci kojima je definirano podruje Hrvatske....................................................... 28

Slika 3.2. Aproksimacija zadanog podruja Hrvatske elipsoidnim trapezima veliine 1 po geografskoj duini i irini............................................................................ 29

Slika 3.3. Aproksimacija zadanog podruja Hrvatske elipsoidnim trapezima veliine 2' po geografskoj duini i irini............................................................................. 30

Slika 6.1. Raspored i veliina deformacija u optimalnoj Mercatorovoj projekciji po Airy/Jordanovu kriteriju. Paralela koja se preslikava bez deformacija '18440 = . ........ 45

Slika 6.2. Raspored i veliina deformacija u optimalnoj Mercatorovoj projekciji po kriteriju najmanje najvee apsolutne linearne deformacije. Paralela koja se preslikava bez deformacija '14440 = . ................................................. 46

Slika 7.1. Raspored i veliina deformacija u Lambertovoj konformnoj konusnoj projekciji sa standardnim paralelama '30381 = i '00492 = ...................................... 48

Slika 7.2. Raspored i veliina deformacija u Lambertovoj konformnoj konusnoj projekciji sa standardnim paralelama '05431 = i '55452 = ...................................... 49

Slika 7.3. Raspored i veliina deformacija u Lambertovoj konformnoj konusnoj projekciji sa standardnim paralelama '20421 = i '50452 = ..................................... 50

Slika 7.4. Raspored i veliina deformacija u optimalnoj Lambertovoj konformnoj konusnoj projekciji po Airy/Jordanovu kriteriju. Standardne paralele '53421 = i '20452 = ... 53

Slika 8.1. Raspored i veliina deformacija u dvije zone Gauss-Krgerove projekcije sa srednjim meridijanima = 150 i = 180 . Linearno mjerilo na srednjem meridijanu 9999.00 =c . ..................................................................................... 56

Slika 8.2. Raspored i veliina deformacija u Gauss-Krgerovoj projekcije sa srednjim meridijanom '30160 = . Linearno mjerilo na srednjem meridijanu 9999.00 =c . ......... 57

Slika 8.3. Raspored i veliina deformacija u optimalnoj Gauss-Krgerovoj projekciji po Airy/Jordanovu kriteriju. Srednji meridijan '04160 = i linearno mjerilo na srednjem meridijanu 999841.00 =c .............................................................................. 59

Slika 8.4. Raspored i veliina deformacija u optimalnoj Gauss-Krgerovoj projekciji po kriteriju najmanje najvee apsolutne linearne deformacije. Srednji meridijan

'13160 = i linearno mjerilo na srednjem meridijanu 999603.00 =c ............................. 60 Slika 9.1. Raspored i veliina deformacija u optimalnoj stereografskoj projekciji po

Airy/Jordanovu kriteriju. Pol projekcije na '14440 = , '33160 = i linearno mjerilo u polu 999797.00 =c . ............................................................................. 63

7

Slika 9.2. Raspored i veliina deformacija u optimalnoj stereografskoj projekciji po kriteriju najmanje najvee apsolutne linearne deformacije. Pol projekcije na

'58430 = , '19160 = i linearno mjerilo u polu 0.9997270 =c . ................................. 64 Slika 10.1. Oblici izokola u Lagrangeovoj projekciji u ovisnosti o vrijednosti

parametra k uz = 450 , = 160 i 10 =c . ..................................................................... 67 Slika 10.2. Raspored i veliina deformacija u optimalnoj Lagrangeovoj projekciji po

Airy/Jordanovu kriteriju. Sredite projekcije na '13440 = , '36160 = , linearno mjerilo u sreditu 0.9997950 =c i koeficijent 0.990949=k . ............................ 69

Slika 10.3. Raspored i veliina deformacija u optimalnoj Lagrangeovoj projekciji po kriteriju najmanje najvee apsolutne linearne deformacije. Sredite projekcije na '01440 = ,

'14160 = , linearno mjerilo u sreditu 0.9997270 =c i koeficijent 1.028226=k . ....... 70 Slika 11.1. Raspored i veliina deformacija u optimalnoj konformnoj polinomnoj

projekciji 2. stupnja po Airy/Jordanovu kriteriju. Koeficijenti 61 104.59474=a , 6

2 10597881 = .a i 32 102.07707=b . ......................................................................... 75 Slika 11.2. Raspored i veliina deformacija u optimalnoj konformnoj polinomnoj

projekciji 2. stupnja po kriteriju najmanje najvee apsolutne linearne deformacije. Koeficijenti 61 104.59365=a , 62 101.59604=a i 32 104.21594=b . .................... 76

Slika 11.3. Raspored i veliina deformacija u optimalnoj konformnoj polinomnoj projekciji 3. stupnja po Airy/Jordanovu kriteriju. Koeficijenti 61 104.59468=a ,

62 101.60251=a , 32 109.61478=b , 53 102.05344=a i 43 108.14867=b . ..... 78

Slika 11.4. Raspored i veliina deformacija u optimalnoj konformnoj polinomnoj projekciji 3. stupnja po kriteriju najmanje najvee apsolutne linearne deformacije. Koeficijenti

61 104.59457=a , 62 101.60363=a , 42 101.31501=b , 53 102.31432=a i

43 109.6598.9=b . ......................................................................................................... 79


62 101.60233=a , 32 104.97068=b , 53 101.30868=a , 43 108.45032=b ,

64 101.19404=a i 64 101.45752=b ............................................................................. 81


61 104.59479=a , 62 101.60295=a , 32 108.12737=b , 53 101.23727=a ,

43 106.30751=b , 64 101.08739=a i 64 101.26497=b . ......................................... 83


8

62 101.60273=a , 32 104.37379=b , 53 101.34363=a , 43 108.50200=b ,

64 101.18477=a , 64 101.59488=b , 65 101.67331=a i 65 103.81873=b . ...... 85


61 104.59478=a , 62 101.60171=a , 32 108.07938=b , 53 101.04915=a ,

43 109.18204=b , 64 101.27829=a , 64 101.32636=b , 65 103.44667=a i

65 103.93009=b . .......................................................................................................... 87


62 101.60038=a , 32 101.76780=b , 43 106.19324=a , 43 104.51810=b ,

64 101.53766=a , 54 109.41033=b , 65 107.17668=a , 75 101.04285=b ,

86 102.76147=a i 86 101.33392=b . ...................................................................... 90


61 104.59494=a , 62 101.60169=a , 32 103.22059=b , 53 101.00654=a ,

43 105.00156=b , 64 101.33864=a , 54 108.44430=b , 65 108.39268=a ,

65 108.08407=b , 86 102.40452=a i 86 101.06635=b . ...................................... 92

Slika 11.11. Raspored i veliina deformacija u optimalnoj konformnoj polinomnoj projekciji 6. stupnja samo kopnenog podruja Hrvatske po kriteriju najmanje najvee apsolutne linearne deformacije. Koeficijenti 61 104.59513=a , 62 101.60219=a ,

32 10.612587 =b , 43 106.08740=a , 43 109.90294=b , 64 101.22968=a ,

64 101.36948=b , 75 1032256.1 =a , 65 108.88260=b , 86 102.46185=a i

76 1087950.5 =b .............................................................................................................. 94

Slika 11.12. Vrijednost kriterija u odnosu na stupanj konformne polinomne projekcije......... 95

Slika 11.13. Raspored i veliina deformacija u optimalnoj konformnoj polinomnoj projekciji 10. stupnja po Airy/Jordanovu kriteriju. 044000.0=E . ................................... 97

Slika 11.14. Raspored i veliina deformacija u optimalnoj konformnoj polinomnoj projekciji 10. stupnja po kriteriju najmanje najvee apsolutne linearne deformacije.

151000.0max =d . ............................................................................................................... 98 Slika 11.15. Raspored i veliina deformacija u optimalnoj konformnoj polinomnoj projekciji

10. stupnja po kriteriju najmanje najvee apsolutne linearne deformacije za kopneno podrue Hrvatske. 000086.0max =d . ................................................................................. 99

9

POPIS TABLICA

Tablica 6.1. Vrijednosti kriterija te paralela koja se preslikava bez deformacija u Mercatorovoj projekciji za koju se postie minimum Airy/Jordanova kriterija............... 44

Tablica 6.2. Vrijednosti kriterija te paralela koja se preslikava bez deformacija u Mercatorovoj projekciji za koju se postie najmanja najvea apsolutna linearna deformacija ....................................................................................................................... 46

Tablica 7.1. Vrijednosti kriterija i standardne paralele Lambertove konformne konusne projekcije za koju se postie minimum Airy/Jordanova kriterija ..................................... 52

Tablica 7.2. Vrijednosti kriterija i standardne paralele Lambertove konformne konusne projekcije za koju se postie najmanja najvea apsolutna linearna deformacija.............. 54

Slika 7.5. Raspored i veliina deformacija u optimalnoj Lambertovoj konformnoj konusnoj projekciji po kriteriju najmanje najvee apsolutne linearne deformacije. Standardne paralele '21421 = i '50452 = .................................................................................. 54

Tablica 8.1. Vrijednosti kriterija, te srednji meridijan i linearno mjerilo na srednjem meridijanu Gauss-Krgerove projekcije za koju se postie minimum Airy/Jordanova kriterija.................................................................................................... 58

Tablica 8.2. Vrijednosti kriterija, te srednji meridijan i linearno mjerilo na srednjem meridijanu Gauss-Krgerove projekcije za koju se postie najmanja najvea apsolutna linearna deformacija ......................................................................................... 60

Tablica 9.1. Vrijednosti kriterija, te pol projekcije i linearno mjerilo u polu stereografske projekcije za koju se postie minimum Airy/Jordanova kriterija ..................................... 62

Tablica 9.2. Vrijednosti kriterija, te pol projekcije i linearno mjerilo u polu stereografske projekcije za koju se postie najmanja najvea apsolutna linearna deformacija.............. 64

Tablica 10.1. Vrijednosti eksponenta k u Lagrangeovoj projekciji i opis oblika izokola okolini toke ),( 00 .......................................................................................... 66

Tablica 10.2. Vrijednosti kriterija, te sredite projekcije, linearno mjerilo u sreditu i koeficijent k Lagrangeove projekcije za koju se postie minimum Airy/Jordanova kriterija.................................................................................................... 68

Tablica 10.3. Vrijednosti kriterija, te sredite projekcije, linearno mjerilo u sreditu i koeficijent k Lagrangeove projekcije za koju se postie najmanja najvea apsolutna linearna deformacija ......................................................................................... 70

Tablica 11.1. Vrijednosti kriterija i koeficijenata u konformnoj polinomnoj projekciji 2. stupnja za koju se postie minimum Airy/Jordanova kriterija ..................................... 74

Tablica 11.2. Vrijednosti kriterija i koeficijenata u konformnoj polinomnoj projekciji 2. stupnja za koju se postie najmanja najvea apsolutna linearna deformacija .............. 76

10









Tablica 11.11. Vrijednosti kriterija i koeficijenata u konformnoj polinomnoj projekciji 6. stupnja samo kopnenog podruja Hrvatske za koju se postie najmanja najvea apsolutna linearna deformacija ......................................................................................... 93

Tablica 11.12. Najmanje vrijednosti kriterija za polinomne projekcije od 7. do 10. stupnja. . 95

Tablica 12.1. Usporedba vrijednosti kriterija za sve istraene projekcije.............................. 101

11

1. UVOD

1.1. Hipoteza

Podruje Hrvatske definiram kao uniju dravnog teritorija (ukljuujui teritorijalno more) i epikontinentalnog morskog pojasa. Tako definirano podruje je nepravilno, te se za potrebe raunanja aproksimira pravilnom mreom elipsoidnih trapeza veliine 2' po geografskoj duini i irini. Detaljni opis definicije podruja nalazi se u treem poglavlju.

Za ocjenu konformnih projekcija za definirano podruje upotrijebit u dva analitika kriterija, Airy/Jordanov kriterij za konformne projekcije i kriterij najmanje najvee apsolutne linearne deformacije. Optimalnim projekcijama smatrat u one koje imaju najmanju vrijednost kriterija. Vrijednosti tih kriterija upotrijebit e se za analizu i usporedbu postojeih i novih optimalnih projekcija. Stroga formulacija kriterija nalazi se u etvrtom poglavlju.

Uz navedeno pretpostavljam i pokuat u dokazati u disertaciji:

1. Za razmatrano podruje uspravna Mercatorova projekcija nije povoljna jer ima znatno vee linearne deformacije od ostalih razmatranih projekcija.

2. Lambertova konformna uspravna konusna projekcija moe dati prihvatljiv raspored deformacija i vrijednosti deformacija uz pretpostavku odgovarajueg izbora parametara.

3. Gauss-Krgerova projekcija (Lapaine 2000, NN 2004, 2004a) usporediva je po veliini deformacija s varijantom Lambertove konformne konusne projekcije (Lapaine 2000, NN 2004). Ta varijanta Gauss-Krgerove projekcije blia je optimalnoj varijanti po Airy/Jordanovu kriteriju nego optimalnoj varijanti po kriteriju najvee apsolutne linearne deformacije.

4. Optimalne varijante stereografske projekcije daju vrlo povoljan raspored deformacija i manji iznos deformacija u odnosu na prethodne projekcije.

5. U Lagrangeovoj projekciji mogue je postii razliite rasporede deformacija. Ona u specijalnom sluaju predstavlja Mercatorovu projekciju, Lambertovu konformnu konusnu ili stereografsku projekciju. Moe imati raspored deformacija slian onome u Gauss-Krgerovoj projekciji i jo neke druge oblike rasporeda deformacija u kojima su izokole hiperbole. Raspored deformacija je uglavnom simetrian u odnosu na meridijan i paralelu kroz pol Lagrangeove projekcije. Dakle, nalaenjem optimalne varijante Lagrangeove projekcije za neko podruje moe se dobiti odgovor na pitanje iz koje skupine "standardnih" konformnih projekcija (cilindrine, konusne, stereografske, poprene cilindrine) se moe dobiti povoljna varijanta.

6. Za podruje Hrvatske optimalne varijante Lagrangeove projekcije gotovo su jednake optimalnim varijantama stereografske projekcije. Razlika je praktiki zanemariva i te dvije projekcije mogu se smatrati jednakima po zadanim kriterijima za podruje Hrvatske.

12

7. Konformne projekcije izraene polinomima geografske duine i izometrijske irine mogu dati najpovoljniju raspodjelu linearnih deformacija. Sve vei stupanj polinoma dovodi do sve duih i nezgrapnijih formula za pisanje, iako njihova implementacija u raunalu zbog odreene pravilnosti ne bi trebala biti poseban problem.

1.2. Tema disertacije

Konformne kartografske projekcije osobito su vane zbog primjene za potrebe dravnih izmjera, topografsko i katastarsko kartiranje, navigaciju u pomorstvu i zrakoplovstvu te vojne potrebe. Tako rairena primjena ponajprije je proizala iz injenice da u konformnim projekcijama linearno mjerilo u nekoj toki ne ovisi o azimutu za razliku od svih nekonformnih kartografskih projekcija u kojima osim o poloaju toke, linearno mjerilo ovisi i o promatranom smjeru (azimutu) u nekoj toki.

Stereografska projekcija sfere otkrivena je i primijenjena u astronomiji vjerojatno jo u doba starih Grka i Egipana. Iako je jedna od najstarijih poznatih kartografskih projekcija, njezino svojstvo konformnosti se pokazuje tek krajem 17. stoljea. Prekretnicu za upotrebu konformnih projekcija predstavlja otkrie Mercatorove projekcije u 16. stoljeu, koja omoguuje neposredno oitanje smjera plovidbe s karte.

Danas vjerojatno nema drave koja za potrebe slubene kartografije ne upotrebljava neku konformnu projekciju. Kartiranje itave Zemlje u krupnijim mjerilima temelji se na dvije konformne projekcije i to poprenoj Mercatorovoj i polarnoj stereografskoj projekciji.

Hrvatska, i zemlje kojih je Hrvatska bila sastavnica, upotrebljavale su, a i danas upotrebljavaju nekoliko konformnih projekcija. To je u prvom redu Gauss-Krgerova projekcija meridijanskih zona, projekcija koja je izabrana jo 1924. godine za podruje tadanje Kraljevine SHS, a poslije II. svjetskog rata i u cijelosti primjenjena za slubenu kartografiju tadanje Jugoslavije. Nakon osamostaljenja 1991. godine Hrvatska je nastavila slubenu upotrebu te projekcije, odnosno dviju zapadnih zona. Studijom (Lapaine 2000) predloena, a zakonodavnim aktom (NN 2004, 2004a) prihvaena, od 2010. godine slubena e biti Gauss-Krgerova projekcija s jednim koordinatnim sustavom (vidi poglavlje 8). Druga konformna projekcija koja se upotrebljava za slubenu kartografiju je Lambertova konformna konusna projekcija. Ona se upotrebljava za potrebe pregledne slubene kartografije (mjerila sitnija od 1:500 000), zrakoplovnu navigaciju i vojne pregledne karte (vidi poglavlje 7). Uspravna cilindrina konformna ili Mercatorova projekcija upotrebljava se za pomorske karte Jadranskoga mora. Upotreba projekcijskog sustava UTM predviena je u vojsci, kao dio usklaivanja s NATO standardima.

U ovoj disertaciji analiziram neke postojee i nalazim nove optimalne konformne projekcije za podruje Hrvatske. Za sve su projekcije dane potrebne formule, brojane vrijednosti zadanih kriterija i kartografski prikaz veliine i rasporeda deformacija, tako da je mogua njihova usporedba. Ovo je prvi rad koji na sistematiziran nain prikazuje vei broj poznatih i novih konformnih projekcija po jedinstvenim kriterijima za podruje Hrvatske. Od postojeih projekcija za Hrvatsku analiziraju se postojee varijante Lambertove konformne

13

konusne i Gauss-Krgerove projekcije. Za te dvije projekcije daju se po dvije nove, optimalne varijante prema zadanim kriterijima. Daju se i dvije nove optimalne varijante Mercatorove projekcije.

Od projekcija koje do sada nisu primjenjivane niti analizirane za podruje Hrvatske, daju se po dvije optimalne varijante stereografske, Lagrangeove i 9 polinomnih konformnih projekcija od 2. do 10. stupnja. Za 6. i 10. stupanj polinomnih konformnih projekcija daje se i optimalna varijanta za kopneno podruje Hrvatske. Sveukupno, definirano je 30 novih konformnih projekcija, te analizirano 5 postojeih.

Naravno, ovaj rad je nastavak na radove brojnih drugih autora. Temelje teorije konformnog preslikavanja dali su Lambert i Gauss. Kriterijima za ocjenu deformacija i optimiranjem kartografskih projekcija bavili su se brojni autori. Neto je manji broj istraivanja projekcija za Hrvatsku. U drugom poglavlju dan je pregled vanijih dosadanjih radova iz podruja konformnog preslikavanja u kartografiji, zatim radova koji su se bavili kartografskim projekcijama za podruje Hrvatske (i zemalja kojih je Hrvatska bila sastavnica). Na kraju je dan pregled radova koji su se bavili optimalnim projekcijama za neko geografsko podruje. Na temelju tih istraivanja izabran je pristup nalaenju optimalnih konformnih projekcija za Hrvatsku.

U treem poglavlju opisuje se podruje Hrvatske koje je definirano za nalaenje novih i analizu postojeih projekcija. Za podruje od interesa uzet je dravni teritorij (kopno i teritorijalno more) te podruje epikontinentalnog pojasa na kojemu Hrvatska ima gospodarski interes. S obzirom da je takvo podruje jako nepravilno upotrijebljena je aproksimacija mreom elipsoidnih trapeza veliine 2' po geografskoj duini i irini.

U etvrtom poglavlju definirani su kriteriji za ocjenu deformacija projekcije. Prvi kriterij je tzv. Airy/Jordanov kriterij za konformne projekcije koji daje ocjenu deformacija na cijelom zadanom podruju kao minimum sume kvadrata linearne deformacije. Drugi je kriterij najmanje najvee apsolutne linearne deformacije, kriterij uobiajen prilikom izbora kartografske projekcije jer odraava tenju da se neko podruje preslika sa to manjim deformacijama.

U petom poglavlju opisana je metodologija za nalaenje novih optimalnih projekcija po zadanim kriterijima. Upotrijebljena je metoda simpleksa koju su predloili Nelder i Mead za nalaenje minimuma funkcije. Upotrijebljeno je okruenje MATLAB-a za praktina raunanja.

Poglavlja 6. do 11. posveena su pojedinim projekcijama. Nakon kratkog uvoda o pojedinoj projekciji, daju se neke postojee varijante te projekcije za podruje Hrvatske, ako takve postoje, zatim slijede formule potrebne za nalaenje optimalnih varijanti tih projekcija. Na kraju pojedinog poglavlja daju se nove optimalne varijante tih projekcija po kriteriju Airy/Jordana i po kriteriju najmanje najvee apsolutne linearne deformacije. Za svaku optimalnu projekciju daju se numerike vrijednosti i karta s veliinom i rasporedom deformacija u toj projekciji. Izuzetak ine polinomne projekcije 7. do 10. stupnja za koje se daje samo vrijednost kriterija, a numerike vrijednosti se nalaze na CD-u koji je dio ovoga

14

rada. Za polinomne projekcije 10. stupnja daju se i karte s veliinom i rasporedom linearnih deformacija.

U dvanaestom poglavlju, u zakljuku, daje se tablini pregled svih projekcija i vrijednosti kriterija s osvrtom na dobivene rezultate.

Novi rezultati ovoga rada su prvenstveno nove konformne kartografske projekcije za Hrvatsku. U smislu postavljenih kriterija dobivene su bolje konformne projekcije od postojeih. Primjerice, kod nekih optimalnih projekcija najmanje vrijednosti kriterija dostiu samo 20% vrijednosti istih kriterija u postojeim projekcijama. Meutim, kako je to u zakljuku navedeno, mogunosti za nalaenje jo optimalnijih konformnih projekcija za Hrvatsku ipak ima.

15

2. DOSADANJI RADOVI

Radovi iz podruja kartografskih projekcija su vrlo brojni. Primjerice, jedna od najopsenijih bibliografija iz podruja kartografskih projekcija (Snyder i Stewart 1997) broji nemalo 3000 bibliografskih jedinica. U ovom pregledu dosadanjih radova najprije se navode vaniji radovi koji se bave openito konformnim preslikavanjem Zemljinog modela u ravninu, a koji predstavljaju temelje teorije i upotrebe konformnih projekcija. Slijede oni radovi koji su bili dostupni i koji su se na bilo koji nain bavili konformnim projekcijama za podruje Hrvatske. Podruje Hrvatske se u veoj ili manjoj mjeri u prolosti mijenjalo, te zbog injenice da je Hrvatska bila dijelom razliitih zajednica zemalja, radovi koji su se bavili konformnim projekcijama tih zajednica zemalja takoer su razmotreni. Na kraju ovog pregleda navedeni su radovi koji se bave optimiranjem, odnosno traenjem najpovoljnijih kartografskih projekcija za neko podruje.

2.1. Konformne projekcije u kartografiji

Konformno preslikavanje, tj. preslikavanje koje ima svojstvo da uva kutove, ne susree se samo u kartografiji ve i u drugim znanstvenim disciplinama, npr. matematici, raunalnoj znanosti, medicini, mineralogiji itd. Ovdje se daje pregled vanijih radova iz podruja konformnog preslikavanja usredotoen na primjenu u kartografiji.

Jedna od najstarijih poznatih konformnih kartografskih projekcija je stereografska projekcija sfere. Moe se dobiti geometrijskim projiciranjem sfere iz toke na sferi na ravninu okomitu na spojnicu projekcijskog sredita i sredita sfere. Poznavanje te projekcije, zajedno s ortografskom i gnomonskom projekcijom, koje nisu konformne, pripisuje se staroegipatskim i starogrkim astronomima. Stereografska projekcija sfere je vjerojatno i najstarija poznata konformna projekcija iako je to njezino svojstvo vjerojatno prvi pokazao Edmond Halley tek krajem 17. stoljea. Osim konformnosti istie se i svojstvo stereografske projekcije da svaku krunicu na sferi preslikava u krunicu u ravnini, a poznavanje tog svojstva pripisuje se ve i Ptolomeju (Snyder 1993).

Gotovo svaki udbenik ili monografija o kartografskim projekcijama prikazuje stereografsku projekciju sfere, primjerice Bori (1955b), Franula (2004), Jordan i dr. (1958), Kavrajskij (1960), Snyder i Voxland (1989), Snyder (1993).

Kad se govori o stereografskoj projekciji rotacijskog elipsoida treba rei da njezina definicija nije jedinstvena. Kavrajskij (1960) predlae da se stereografskom projekcijom rotacijskog elipsoida moe smatrati svaka projekcija koja za specijalni sluaj kada rotacijski elipsoid prelazi u sferu, daje poznate zakonitosti stereografske projekcije za sferu.

Stereografska projekcija rotacijskog elipsoida razmatra se poetkom 19. stoljea. U (Leybourn 1819) nalazi se geometrijski dokaz da geometrijska stereografska projekcija iz pola rotacijskog elipsoida svaki presjek ravnine i rotacijskog elipsoida preslikava u krunicu.

16

Kavrajskij (1960) spominje da je isti problem jo 1805. godine zadao A.-M. Legendre svojim studentima.

Lagrange (1779) izvodei svoju projekciju iz uvjeta da se meridijani i paralele rotacijske plohe preslikavaju kao krunice, odnosno kruni lukovi, pokazuje da je stereografska projekcija samo jedan specijalni sluaj takvog rjeenja. Naime, ako se u formule Lagrangeove projekcije za tzv. eksponent projekcije izabere 1 i kao rotacijska ploha uzme sfera dobije se poznata stereografska projekcija sfere. Lagrange utvruje da se uzimanjem u obzir spljotenosti stereografska projekcija sfere s pomou njegovih formula poopuje i na rotacijski elipsoid.

Gauss (1828) takoer analizira stereografsku projekciju elipsoida i to na dva naina. Jedan je u obliku dvostrukog preslikavanja, najprije elipsoida na sferu, a potom sfere u ravninu, a drugi je direktno preslikavanje elipsoida u ravninu. Krger (1922) na temelju Gaussove ostavtine daje detaljne izvode stereografske projekcije kako je to zamislio Gauss. Kod dvostrukog preslikavanja, za preslikavanje elipsoida na sferu, geografska duina na elipsoidu i sferi su jednake, a polumjer sfere jednak je polumjeru prvog vertikala u promatranoj toki u kojoj se poklapaju i paralele na elipsoidu i sferi. Taj je oblik Gauss predloio 1822 (Eggert 1936). Prema Eggertu (1936) Gauss je 1844. predloio i drugi nain gdje su geografska duina na elipsoidu i sferi su proporcionalni, za polumjer sfere uzima se srednji polumjer zakrivljenosti u promatranoj toki, a preostale konstante izvode se iz uvjeta da su linearne deformacije u okolini izabrane toke treeg reda. Takav nain primjenjen je kod stereografske projekcije Nizozemske.

Rousillhe (1922) izvodi svoju varijantu stereografske projekcije. Kree od zakonitosti preslikavanja meridijana u ravninu kakva je u stereografskoj projekciji sfere. Tu zakonitost razvija u red do lanova 5. stupnja. U tom redu umjesto duljine luka meridijana na sferi uvrtava duljinu luka meridijana na rotacijskom elipsoidu. Dodaje uvjet konformnosti i polumjer sfere kao srednji polumjer u izabranoj toki.

Hristow (1937) izvodi nove formule na temelju ideje Rousillha te uoava da redovi koje je izveo Rousillhe nisu strogo konformni.

Kavrajskij (1960) daje raspravu o stereografskoj projekciji elipsoida. Stereografskom projekcijom elipsoida smatra svako poopenje koje za specijalni sluaj sfere daje zakonitosti stereografske projekcije sfere. Najprije analizira uspravnu perspektivnu projekciju rotacijskog elipsoida koja ima svojstvo ouvanja krunica, meutim takvo preslikavanje nije konformno pa ga smatra nezanimljivim za primjenu u kartografiji. Drugi nain je onaj koji je predloio Gauss i detaljno analizirao Krger (1922), ali isto tako i Adams 1919. godine. Kavrajskij pokazuje da je takvo preslikavanje jednako onome u Lagrangeovoj projekciji kad je tzv. eksponent Lagrangeove projekcije jednak jedinici. Zatim, kao primjer druge varijante navodi preslikavanje kakvo je predloio Rousillhe. Tree stereografsko preslikavanje rotacijskog elipsoida je ono koje je primijenjeno u Nizozemskoj, odnosno kada se elipsoid preslikava na sferu uz uvjet da su deformacije treeg i vieg reda, a onda se sfera preslikava u ravninu po zakonu stereografske projekcije. Prema Eggertu (1936) takvo preslikavanje predloio je

17

Gauss 1844. godine. Kavrajskij pokazuje da je takvo preslikavanje jednako onome od

Lagrangea samo je sada eksponent Lagrangeove projekcije jednak 042 cos'1 e+ . U toj

formuli 'e je drugi ekscentricitet rotacijskog elipsoida 2222 /)(' bbae = , 0 je geografska irina pola Lagrangeove projekcije, a a i b su velika i mala poluos rotacijskog elipsoida. Osim toga pokazuje da su u tom sluaju izokole krivulje bliske krunicama. Navodi i dva pristupa koja je predloio Laborde 1932. godine. Prvi pristup ne zadovoljava uvjet da se za sferu dobije stereografska projekcija sfere, a drugi je identian pristupu kakav je primijenjen u Nizozemskoj.

J. H. Lambert (1772) na suvremen, analitiki nain postavlja i rjeava zadatak preslikavanja jedne plohe na drugu, posebno sfere i elipsoida. On je pronalaza konformne konusne projekcije, krune projekcije (kasnije je Lagrange poopio to preslikavanje na bilo koje rotacijske plohe (Snyder 1993)), poprene cilindrine konformne projekcije za sferu, odnosno poprene Mercatorove projekcije sfere (poopenje za elipsoid dao je Gauss), uspravne i poprene cilindrine ekvivalentne projekcije za sferu, azimutalne ekvivalentne projekcije za sferu i konusne ekvivalentne projekcije (kasnije poopenje dao je Albers). U svom radu iz 1772. najprije izvodi navedene projekcije za sferu, a zatim razmatra rotacijski elipsoid te u tom dijelu daje i formule Mercatorove projekcije za elipsoid, polarne stereografske projekcije za elipsoid te konformne konusne projekcije za elipsoid. Na kraju predlae preslikavanje elipsoida u krunoj projekciji.

Gauss je 1825. objavio rjeenje openitog zadatka konformnog preslikavanja jedne plohe na drugu. U tzv. hannoverskoj izmjeri upotrijebio je preslikavanje elipsoida u ravninu koje se danas naziva Gauss-Krgerova projekcija (Lapaine i Kuvedi 2007). Rije je o poprenoj Mercatorovoj projekciji primijenjenoj na rotacijski elipsoid. Krger je dao formule za praktinu primjenu tog preslikavanja. Gauss je istraivao i tzv. dvostruka preslikavanja, najprije elipsoida na sferu i potom sfere u ravninu. Konformno preslikavanje elipsoida na sferu kod kojeg se u nekoj toki pojavljuju samo linearne deformacije treeg i vieg reda nosi naziv po Gaussu (Kavrajski 1960). Gauss-Krgerova projekcija, odnosno poprena Mercatorova projekcija, danas se primjenjuje za kartiranje cijelog svijeta u obliku sustava UTM-a, a brojne drave tu projekciju upotrebljavaju kao slubenu.

Od Gaussovih vremena do danas objavljeno je mnogo radova, lanaka i monografija o kartografskim projekcijama pa tako i konformnim projekcijama iji opseg prelazi mogunosti ovoga pregleda. Temelje konformnog preslikavanja na suvremen nain u teoriji kartografskih projekcija postavili su navedeni autori (Tobler 1972).

Tissot (1881) uvodi elipsu deformacija u razmatranja deformacija u kartografskim projekcijama. Tom elipsom omoguena je analiza i vizualizacija promjene mjerila u nekoj toki u razliitim smjerovima, a naziva se Tissotovom indikatrisom. U konformnim projekcijama Tissotove indikatrise su krunice jer linearno mjerilo ne ovisi o smjeru.

Lapaine (1996) u disertaciji Preslikavanja u teoriji kartografskih projekcija, izmeu ostalog, bavi se i konformnim preslikavanjima izraenima s pomou kompleksnih varijabli.

18

Poopuje konformnu parametrizaciju plohe te daje poopenje Cauchy-Riemannovih uvjeta za konformno preslikavanje na bilo koje plohe.

2.2. Konformne projekcije za Hrvatsku

U Prijedlogu slubenih kartografskih projekcija Republike Hrvatske (Lapaine 2000), prvom radu u suvremenoj Hrvatskoj povijesti nakon osamostaljenja, koji se na opsean nain bavi pregledom i prijedlogom kartografskih projekcija za Hrvatsku, stoji da povijest kartografskih projekcija, pa tako i konformnih projekcija, nije do tada sastavljena. U tom radu, autor studije daje pregled vlastitih istraivanja povijesti kartografskih projekcija za Hrvatsku zajedno sa saecima izabranih radova i popisom bibliografskih jedinica.

Od tada do danas nije objavljen rad koji bi jo sveobuhvatnije prikazao povijest kartografskih projekcija za Hrvatsku, pa e se ovdje dati pregled pojedinanih dostupnih radova.

U prvom broju Glasila geometara Kraljevstva Srba, Hrvata i Slovenaca iz 1919 to ga je izdalo tada osnovano Drutvo Geometara Kraljevine SHS u prvom lanku V. Filkuka, profesor na Geodetskom teaju u Zagrebu, objavljuje lanak u nastavcima Projekcije zemaljske izmjere u Hrvatskoj i Slavoniji (Filkuka, 1919). U prvom nastavku, nakon kratkog uvoda o obliku i modelima Zemlje te mjerenjima i svoenjima mjerenja na izabrani Zemljini model, govori o prednostima konformnih projekcija za potrebe izmjere te utvruje da su sve tada aktualne hrvatsko-slavonske izmjere u konformnim projekcijama. Slijedi izvod kojim se zadaje konformno preslikavanje plohe na plohu po uzoru na Gaussov rad iz 1822. U drugom nastavku opu formulaciju konformnog preslikavanja primjenuje na preslikavanje elipsoida na sferu takoer po Gaussu. Zavrava postavljanjem uvjeta za konformno preslikavanje sfere u ravninu i spominje dvije takve projekcije u upotrebi, stereografsku i projekciju na valjak (cilindrinu projekciju). U treem nastavku izvodi stereografsku projekciju sfere, te daje geografsku irinu pola stereografske projekcije u upotrebi, a koji se nalazio na "Gellertovom brijegu". Tom je projekcijom definiran "stari budimpetanski sustav". Nakon rasprave o primjeni te stereografske projekcije daje formule uspravne i kose Mercatorove projekcije sfere. U upotrebi su bila tri projekcijska sustava temeljena na kosoj Mercatorovoj projekciji uvedena zbog toga da deformacija ne prelazi 1:10 000. Kako se vidi, a i sam V. Filkuka tvrdi, u to se doba pogodnim smatralo dvostruko preslikavanje, najprije elipsoida na sferu, na kojoj su se izvodila izjednaenja triangulacijske mree, pa sfere u ravninu u kojoj je izvrena detaljna izmjera. Filkuka spominje i direktno preslikavanje elipsoida u ravninu koje je primjenio Gauss za tzv. hannoversku izmjeru.

U Glasilu geometara br. 4, 5 i 6., str. 69-72. u Zapisniku Odborske sjednice obdravane dne 22. lipnja 1919. u Zagrebu stoji da V. Filkuka iznosi prijedlog za rjeenje nekih pitanja koja se mogu usvojiti i prije nego li tek osnovano Drutvo geometara Kraljevine SHS usvoji organizaciju ukupnoga geodetskog rada. U tom prijedlogu pod tokom Ia. stoji: "Za projekciju zemaljske izmjere ima se upotrijebiti konformna projekcija na valjak sa irinom pojasa od jedan i pol stupnja na zapad i istok od osi X. Pripravne radnje za ovu projekciju

19

imao bi obaviti vojni triangularni ured". Filkuka zapravo predlae uvoenje Gauss-Krugerove projekcije meridijanskih zona.

U (SGU 1953) stoji da je pitanje izbora projekcije i koordinatnih sustava bilo pokrenuto 1921. godine od strane tadanjeg generalnog direktora katastra S. Radojkovia. Razradu tog pitanja povjerio je A. Faschingu.

A. Fasching (1922) objavljuje lanak u Geodetskom glasniku pod nazivom Konformna azimutalna (stereografska) projekcija s podnaslovom jest za kruna podruja sa promjerom do 600 km ujedno i projekcija minimalne mogue deformacije. Fasching je u to doba bio suradnik Generalne direkcije katastra Kraljevine SHS i poznata su njegova zalaganja za upotrebu stereografske projekcije za topografsku izmjeru (SGU 1953). U tom radu tvrdnju navedenu u naslovu i podnaslovu pokazuje na temelju usporedbe linearnih deformacija u Tissotovoj kompenzativnoj projekciji kada granina elipsa prelazi u krunicu i linearnih deformacija u stereografskoj projekciji sfere. Takoer usporeuje deformacije u krunom podruju promjera 600 km izmeu stereografske i cilindrine projekcije te utvruje da su deformacije u tom sluaju priblino dvostruko manje u stereografskoj nego u cilindrinoj projekciji.

Kritiki gledano, Fasching potkrepljuje prednost stereografske projekcije na temelju pretpostavke da se preslikava kruno podruje. Naime, uzme li se u obzir ebievljev teorem za najbolju konformnu projekciju, koji govori da je najbolja konformna projekcija nekog podruja ona koja ima na rubu tog podruja konstantno linearno mjerilo, te injenica da su linije jednakih deformacija kod stereografske projekcije sfere krunice, tada se moe zakljuiti i bez usporedbe, da je za kruna podruja stereografska projekcija najbolja. Dakle, niti jedna druga konformna projekcija strogo kruno podruje ne moe preslikati s manjim deformacijama od stereografske. Tissotova kompenzativna projekcija e za isto podruje imati manje linearne defromacije, ali ona nije konformna projekcija. Dakle, Faschingova tvrdnja za stereografsku projekciju moe se preformulirati u stereografska projekcija jest za strogo kruna podruja ujedno i konformna projekcija s najmanjim mogunim deformacijama. U tom sluaju promjer krunog podruja nije bitan.

U (SGU 1953) posljednje poglavlje, str. 193-255., posveeno je tijeku rasprave i donoenja odluke o izboru projekcije koje je zapoelo 1921. godine, a konana odluka donesena 1924. U tom poglavlju citirani su brojni arhivski dokumenti i lanci iz tog doba. Tu su sadrani i dijelovi referata, rasprava i lanaka A. Faschinga o pitanju izbora projekcije. U tim raspravama Fasching daje prikaz do tada ve usvojenih kartografskih projekcija u susjednim zemljama. Utvruje da se podruje Kraljevine SHS ne moe preslikati u jedan koordinatni sustav te kolike su najmanje deformacije u tom sluaju. Predlae upotrebu stereografske projekcije i to u dva ili tri koordinatna sustava. Pri tome za najveu doputenu deformaciju zadaje 1:5000. Fasching je 1923. godine tiskao brouru naziva Das rationelle Koordinatensystem zur Berechnung grosserer Triangulierungen (u prijevodu Racionalni koordinatni sustavi za raunanje veih triangulacija). Tu se ponovo zalae za upotrebu stereografske projekcije za potrebe raunanja triangulacije. Prikazan je i prijedlog Rousillha za upotrebu stereografske projekcije za potrebe triangulacije i izmjere. Rousillhe se zalagao za

20

najmanji broj koordinatnih sustava, tonije jedan koordinatni sustav za podruje Francuske, odnosno kruno podruje polumjera 560 km. Detaljna izmjera bi u tom sluaju morala voditi rauna o deformacijama projekcije, odnosno mjerenje i odreivanje duina i povrina u katastru moralo bi uzimati u obzir deformacije projekcije (u onim podrujima gdje je deformacija vea od doputene). Roussilhe predlae i 8 projekcijskih sustava stereografske projekcije za podruje Europe. U poglavlju je dan prijevod prijedloga sporazuma izmeu Austrougarske i Njemake iz prosinca 1917. u kojemu se predlae uvoenje Gauss-Krgerove projekcije meridijanskih zona irine 3 za te dvije zemlje s namjerom da se nastoji upotrebu te projekcije proiriti i na susjedne zemlje srednje Europe. O prijedlogu se u Njemakoj ponovo raspravljalo 1922. godine kada je i definitivno usvojen. Austrija je u to doba ve uvela Gauss-Krgerovu projekciju. Daje se i prikaz rasprave o izboru projekcije u ehoslovakoj gdje se razmatrala dvostruka kosa konformna cilindrina projekcija i Lambertova konformna konusna projekcija u jednoj i dvije zone. U Kraljevini SHS se 1923. godine, nakon smrti S. Radojkovia, direktora Generalne direkcije katastra koji je i pokrenuo pitanje izbora projekcija, te naputanja slube od strane A. Faschinga (Abakumov i dr., 1928) nastavilo ispitivanje izbora projekcije. Trigonometrijski odsjek direkcije pristupio je podrobnijem ispitivanju sljedeih projekcija: stereografske projekcije kako ju je predloio A. Fasching, stereografske projekcije po prijedlogu Rousillha, dvostruke Gauss-Schreiberove projekcije, Gauss-Krgerove projekcije i kose cilindrine projekcije za ehoslovaku. Nakon sastavljanja izvjetaja za svaku projekciju i praktinih raunanja, posebno redukcija pravaca i duina, materijale je prouilo povjerenstvo Vojno-geografskog instituta. To je povjerenstvo predloilo Gauss-Krgerovu projekciju. Kosa konformna cilindrina projekcija odbaena je zbog sloenosti raunanja, a stereografska zbog veeg broja koordinatnih sustava nego to ih zahtjeva Gauss-Krgerova za istu tonost od 1:10 000. Gauss-Schreiberova odbaena je jer se radi o dvostrukom preslikavanju to se smatralo nedostatkom. Na kraju poglavlja dan je nacrt rjeenja ministra financija od 17. 11. 1924. u kojem se propisuje uvoenje Gauss-Krgerove projekcije kao slubene projekcije. Projekcija je zadana s tri koordinatna sustava, srednji meridijani 15, 18 i 21, upotrebljava se Besselov elipsoid, greenwichki poetni meridijan, a ravninske koordinate se zapisuju po prijedlogu Baumgartena, odnosno apscise se mjere od ekvatora, a ordinatama se dodaje konstanta 500 000.

U Geometarskom glasniku iz 1928. i 1929. objavljen je niz lanaka pod naslovom Projekcija novog katastarskog premera u Kraljevini SHS (Abakumov i dr. 1928,1929). Niz zapoinje kratkim uvodom o nunosti kartografskih projekcija i zahtjevima koji se na njih postavljaju u katastru. Posebno se istie zahtjev da se raunanje povrina na planovima i obrada geodetskih mjerenja u detaljnoj izmjeri moe izvesti bez voenja rauna o deformacijama projekcije. Slijedi prikaz usvajanja Gauss-Krgerove projekcije u Njemakoj, a potom i u Kraljevini SHS. U sljedeim nastavcima daje se izvod osnovnih jednadbi Gauss-Krgerove projekcije, ispitivanje slike triangulacijske stranice (geodetske linije), konvergencija meridijana i linearno mjerilo. To nije kraj niza, ali u sljedeim brojevima Geometarskog glasnika niz se nije nastavio objavljivati.

21

U asopisu Hrvatska dravna izmjera, slubenog glasnika Odsjeka za Dravnu izmjeru Nezavisne Drave Hrvatske, broj 5 iz 1942. godine, objavljen je lanak N. Abakumova pod naslovom Gauss-Krgerova projekcija u primjeni na podruje Nezavisne Drave Hrvatske (Abakumov 1942). U toj kratkoj raspravi, autor postavlja pitanje projekcije za teritorij tadanje drave koji se u smjeru istok-zapad protezao od otprilike 1430' do 2030'. Autor razmatra postojeu varijantu Gauss-Krgerove projekcije s 3 zone i srednjim meridijanima na 15, 18 i 21 i zakljuuje da su za promatrano podruje potrebne sve tri zone. Razmatra rjeenje da se manji dio, koji spada u najistoniju zonu, prikazuje u srednjoj zoni uz upotrebu zasebnog linearnog modula kako bi se deformacije svele na doputene. Zatim daje mogunost da se izaberu dvije zone sa srednjim meridijanima na 16 i 19, ali smatra to loim rjeenjem zbog odustajanja od usvojene podjele u drugim dravama, posebice u Njemakoj. Na kraju neto detaljnije razmatra jednu zonu irine 6 sa srednjim meridijanom na 1725'.9. Naglaava potrebu uvoenja nekoliko linearnih modula kako bi se deformacije odrale ispod 0.0001. Kao mogunost spominje i uvoenje pomonog linearnog modula tako da se srednji meridijan podruja koje se mjeri preslikava bez deformacija. Kao prednost naglaava izradu karata u jednom koordinatnom sustavu. Ispituje maksimalne deformacije te utvruje da bi one iznosile 0.28 mm u mjerilu karte to smatra manjim od grafike tonosti karte te time i zanemarivim.

Bori (1955a) na temelju diplomskog rada K. Stojanoskoga (1955) raspravlja o Tissotovoj kompenzativnoj projekciji za podruje FNR Jugoslavije. U tom radu daje pogrene rezultate kako je to primjetio Lapaine (2000). Bori smatra Tissotovu kompenzativnu projekciju posebno vanom jer ona, kako on kae, daje odgovor na pitanje s kojim se najmanjim linearnim deformacijama moe preslikati neko podruje. Bori (1955b) daje i priblino grafiko odreivanje povoljne Lagrangeove projekcije za podruje FNR Jugoslavije.

Lapaine (2000) u ve spomenutoj studiji Prijedlog slubenih kartografskih projekcija Republike Hrvatske daje pregled povijesnih istraivanja kartografskih projekcija u svijetu i u Hrvatskoj. Poseban pregled se bavi projekcijama koje se upotrebljavaju u zrakoplovstvu, pomorstvu, vojsci, dravnoj izmjeri u Hrvatskoj, ali i drugim europskim zemljama. U posebnom poglavlju bavi se Tissotovom projekcijom za Hrvatsku te zakljuuje da ne postoji niti jedna projekcija u kojoj bi se Republika Hrvatska mogla kartirati u jednom koordinatnom sustavu, a da deformacija duljina bude manja od 0.00024, odnosno 2.4 dm/km. U posebnom poglavlju istrauje i predlae izbor projekcije za topografske, pomorske, zrakoplovne i vojne karte. Za topografske karte ispituje postojeu Gauss-Krgerovu projekcije u dvije zone, zatim tu projekciju u jednom koordinatnom sustavu sa srednjim meridijanom na 1630' i tri varijante linearnog mjerila od 0.9999, 0.9997 i 0.9996 te UTM projekciju koja takoer obuhvaa Hrvatsku u dvije zone. Zatim istrauje Lambertovu konformnu konusnu projekciju u jednoj i dvije zone. Konano za potrebe topografske i katastarske izmjere i kartiranje, zrakoplovne karte u mjerima krupnijima od 1:300 000 i pomorske karte u mjerilima krupnijim od 1:50 000 predlae jedan koordinatni sustav Gauss-Krgerove projekcije sa srednjim meridijanom na 1630' i linearnim mjerilom na srednjem meridijanu 0.9999. Alternativni prijedlog koji osigurava deformacije manje od 0.0001 je Lambertova konformna konusna projekcija u dvije zone. Za vojnu kartografiju predlae UTM, a Lambertovu konformnu

22

konusnu sa standardnim paralelama '05431 = i '55452 = za topografske, zrakoplovne i vojne karte mjerila 1:500 000 i sitnija. Studija zavrava prijedlogom postupnog uvoenja novih projekcija u upotrebu, a priloeni su joj bibliografija, saeci vanijih radova, prijevod Tissotovog rada o kompenzativnoj projekciji, pregled slubenih kartografskih projekcija u europskim zemljama i izbor standardnih paralela za Lambertovu konformnu konusnu projekciju.

Bori (1955a) i Lapaine (2000) na temelju primjene Tissotove kompenzativne projekcije zakljuuju o najmanjim moguim deformacijama u kojima se podruje drave moe preslikati. Ta je tvrdnja tona za podruje granine elipse, a ne stvarnog podruja drave. to se podruje drave moe uspjenije aproksimirati elipsom to je ta tvrdnja ispravnija. Za podruja koja su nepravilna, a podruje Hrvatske je jedan takav primjer, istraivanje Tissotove kompenzativne projekcije daje samo djelomian odgovor na pitanje o najmanjim moguim deformacijama.

U (NN 2004, 2004a) definiraju se novi slubeni projekcijski koordinatni sustavi. U tom zakonskom aktu usvojene su projekcije predloene u studiji (Lapaine 2000) i to Gauss-Krgerova projekcija sa srednjim meridijanom 1630' i linearnim mjerilom na srednjem meridijanu od 0.9999 te Lambertova konformna konusna projekcija sa standardnim paralelama '05431 = i '55452 = . Za vojne potrebe propisuje se projekcijski sustav UTM. Za novi geodetski datum utvruje se ETRS89 s elipsoidom GRS80. Predvieni rok za prelazak na nove projekcije je 2010. godina.

Lapaine (2006), i u skraenom obliku (Lapaine i Tuti 2007), daju formule za raunanja u novoj kartografskoj projekciji za Hrvatsku, odnosno novoj Gauss-Krgerovoj projekciji. Sve formule izvedene su uz zahtjev da je osigurana tonost rezultata na 15 znaajnih znamenki. Daju se i primjeri upotrebe nove projekcije u katastru.

Rajakovi (2007) istrauje uspravne konusne projekcije i to konformnu, ekvivalentnu i ekvidistantnu s primjenom na podruje Hrvatske. Daje rezultate razliitih varijanti i to posebno za podruje Hrvatske s epikontinentalnim morskim pojasom i bez njega. U tom radu prvi se puta pod podrujem Hrvatske razmatra i epikontinentalni pojas.

Rajakovi (2008) istrauje najbolju konformnu konusnu projekciju za Hrvatsku ukljuujui i epikontinentalni morski pojas. Daje 8 razliitih varijanti, a novost je da je jedna od njih izvedena na temelju minimuma Airy/Jordanova kriterija za podruje elipsoidnog trapeza koji opisuje podruje Hrvatske. Upotreba tog kriterija za izbor projekcije za Hrvatsku se tada prvi put susree u literaturi. U tom radu utvruju se i koordinate najjunije toke Hrvatske na temelju vaeih sporazuma. Kao najbolju uspravnu konformnu konusnu projekciju Rajakovi predlae varijantu sa standardnim paralelama '20421 = i

'50452 = . Tuti i Lapaine (2008) istrauju stereografsku projekciju s primjenom na podruje

Hrvatske. To je prvi rad koji se bavi stereografskom projekcijom za Hrvatsku. Za podruje je uzet dravni teritorij (kopno i teritorijalne vode), a kao kriterij za izbor parametara

23

upotrebljavaju Airy/Jordanov kriterij. Novost u tom radu je da je taj kriterij izraunan za razliite aproksimacije podruja Hrvatske elipsoidnim trapezima. Rjeenje je naeno numerikim postupkom primjenom raunala. Rezultati tog rada, posebno istraivanje razliitih gustoa elipsoidnih trapeza za aproksimaciju podruja i njihov utjecaj na vrijednosti parametara projekcije, upotrijebljeni su i u ovoj disertaciji.

2.3. Najpovoljnije konformne kartografske projekcije

Povijest izbora najpovoljnije kartografske projekcije u najopenitijem smislu zapoinje sa samim kartografskim projekcijama. Kartografi su uvijek teili zadano podruje prikazati u ravnini sa to je mogue manjim deformacijama. Pristupi tom problemu su razliiti, od grafikih metoda, preko analitikih do numerikih uz upotrebu raunala. Primjerice ve je Lagrange (1779) na poetku ere analitikog pristupa kartografskim projekcijama, u radu u kojemu izvodi svoju projekciju, istraio izbor parametara projekcije koji e dati to manju promjenu linearnog mjerila u okolini neke toke. Za te svrhe zadaje uvjet da je linearno mjerilo u izabanoj toki jednako jedinici, a da su prva i druga derivacija linearnog mjerila u toj toki jednake nuli.

Kad se govori o najpovoljnijim konformnim kartografskim projekcijama nezaobilazno je spomenuti teorem ebieva (1856) koji govori da za neko podruje omeeno krivuljom koja je zadana dvaput derivabilnom funkcijom, postoji jedna najpovoljnija konformna kartografska projekcija u smislu da ima najmanji odnos najveeg i najmanjeg linearnog mjerila. Takva projekcija ima svojstvo da je linearno mjerilo na granici tog podruja konstantno. Sam ebiev nije dokazao taj teorem, ali ga je dokazao Grave 1896. Jednostavan dokaz tog teorema daje Milnor (1969). Primjena ebievljevog teorema za geografska podruja oteana je injenicom da su granice takvih podruja najee vrlo sloene, pa se primjena uglavnom svodi na pojednostavljeni oblik podruja, kao npr. u Franki (1982).

Monografija Small-scale Map Projection Design (Canters 2002) velikim dijelom bavi se optimiranjem kartografskih projekcija za sitna mjerila, uglavnom za karte svijeta i kontinenata. Canters daje i teoretska razmatranja pa tako optimizacije dijeli na modifikacije sa ciljem smanjenja linearnih deformacija i na, kako ih on naziva, transformacije. Meutim, naglaava ta takva podjela nije uvijek stroga. Pod prvim pojmom podrazumijeva izbor vrijednosti parametara projekcije, a pod drugim reprojiciranje ve dobivenih ravninskih koordinata u novu ravninu. Kao primjere izbora vrijednosti navodi promjenu rasporeda linearnih deformacija izborom standardnih paralela kod konusnih projekcija, azimutalnih i cilindrinih projekcija. Istie da je taj postupak kod konformnih projekcija posebno jednostavan jer se svodi na mnoenje faktorom manjim od jedinice. Sljedei nain optimizacije koji navodi, a koji se prvenstveno odnosi na pseudocilindrine i pseudokonusne projekcije, ali i ostale projekcije, sastoji se od mnoenja geografskih koordinata brojem manjim od 1, ime se itava Zemlja preslika u manje podruje u ravnini, a zatim se takva ravnina afinom transformacijom povea u veliinu izvornog mjerila. Takvu metodu predloio je i formulirao Karl Simeon, a poznate su Wagnerove primjene te metode. Canters daje i detaljni prikaz te metode i nekoliko primjera. Zatim navodi metodu nalaenja povoljnih

24

projekcija iz klase polinomnih projekcija, odnosno projekcija ije su ravninske koordinate polinomne funkcije geografskih koordinata. Navodi ruskog kartografa N. A. Urmayeva kao jednog od prvih koji je razvijao takve projekcije, a Urmayev je vjerojatno i prvi koji je rijeio inverzni problem kartografskih projekcija, odnosno na temelju zadanih vrijednosti linearnog mjerila u zadanim tokama, formulirao je jednadbe kartografske projekcije. Navodi i druge autore koji su se bavili polinomnim projekcijama: Ginzburg, Baetsl, Canters i Laskowski. Bavi se i zadavanjem geometrijskih uvjeta za polinomne projekcije i to uvjetima simetrije, razmakom meridijana i paralela, odnosa mjerila na osima, oblikom meridijana i paralela te duljinom linije u koju se preslikava pol.

Canters (2002) posebno poglavlje posveuje polinomnim transformacijama ravninskih koordinata u novu ravninu. Navodi da je u posljednih 20 godina takav pristup esto upotrijebljen za smanjivanje linearnih deformacija u standardnim konformnim projekcijama. Manje je istraivanja posveeno ostalim projekcijama. U dijelu koji se bavi kompleksnim polinomima koji se primjenuju za modifikaciju konformnih projekcija navodi primjere radova Driencourta i Labordea iz 1932. koji su optimirali projekciju za Madagaskar. Kao poetnu projekciju uzeli su Mercatorovu i primijenili polinom 3. stupnja. Miller je 1953. optimirao projekciju za podruje Europe i Afrike. Kao polaznu projekciju izabrao je kosu stereografsku i primjenio transformaciju polinomom 3. stupnja. Lee je 1974. godine na isti nain odredio povoljnju projekciju za Tihi ocean. Navodi i druge autore, npr. Reillyija (1973) koji je oblikovao povoljnu projekciju za Novi Zeland, krenuvi od Mercatorove projekcije koja je reprojicirana polinomom 6. stupnja ili Snydera koji je kosu stereografsku projekciju reprojicirao polinomom 10. stupnja kako bi dobio povoljnu projekciju za svih 50 drava SAD-a. Navodi i primjer atlasa Oxford Hammond Atlas of the World iz 1993 u kojemu su sve karte kontinenata izraene u optimalnim konformnim projekcijama.

Canters u poglavlju gdje se bavi izvedbom projekcija s relativno malim deformacijama upotrebljava za rjeavanje zadatka metodu simpleksa koju su razvili Nelder i Mead (1965). Navodi radove Petersa (1975, 1978) koji je jo prije njega upotrijebio tu metodu za nalaenje optimalnih projekcija. Metoda Neldera i Meada za nalaenje minimuma funkcije je metoda koja ne zahtijeva raunanje derivacije funkcije ve samo vrijednosti funkcije. Canters istrauje svojstva te metode za nalaenje povoljnih kartografskih projekcija i utvruje sljedea svojstva: uvoenjem velikih vrijednosti funkcije za nepoeljne sluajeve vrijednosti parametara omoguuje da metoda trai minimum izvan domene za koju se pojavljuju nepoeljni sluajevi; za manji broj parametara preporuuje sustavno pretraivanje domene vrijednosti parametara te primjenu metode simpleksa za one vrijednosti za koje se uoi da daju male vrijednosti funkcije; za vei broj parametara sustavno pretraivanje bilo bi prezahtjevno, a metoda simpleksa e uglavnom dati malu vrijednost kriterija koja nuno ne mora biti i najmanja. Na kraju zakljuuje da ta metoda daje nove varijante postojeih projekcija s manjim deformacija nego su to polazne varijante te da je i "slijepa" (bez dodatnih ispitivanja) upotreba te metode vrlo povoljna za automatizirano iznalaenje povoljnih projekcija. Canters zavrava poglavlje s itavim nizom optimiranih projekcija svijeta i kontinenata.

25

Franula (1971) se u disertaciji Najpovoljnije projekcije u atlasnoj kartografiji bavi izborom i traenjem optimalnih projekcija za karte sitnih mjerila, odnosno karata svijeta. Upotrijebivi kriterije Airyja i Airy/Kavrajskog usporedio je desetak tada primjenjivanih projekcija za karte svijeta. Neke povoljnije od njih je optimirao po zadanim kriterijima. Daje vrijednosti kriterija i parametre projekcija zajedno s kartama deformacija. Takoer daje preporuke za izbor projekcije za karte svijeta koje govore da treba uzeti uvjetne projekcije koje pol preslikavaju kao duinu krau od ekvatora s krivolinijskim meridijanima i paralelama.

Reilly (1973) opisuje postupak iznalaenja povoljne konformne projekcije za Novi Zeland. Najprije analizira maksimalne deformacije u postojeoj poprenoj Mercatorovoj projekciji koje dostiu 20 dm/km. Umjesto da krene od uvjeta oblika izokola u ravnini, kao to je to izveo Miller (1953), Reilly minimizira linearne deformacije na zadanom podruju bez uvjetovanja oblika izokola. Zadaje i analizira kompleksne polinome izometrijskih koordinata na elipsoidu, ali se odluuje za primjenu kompleksnih polinoma ravninskih koordinata dobivenih Mercatorovom projekcijom. Podruje Novog Zelanda aproksimira s 228 toaka razmaknutih 0.5 po geografskoj duini i irini. Zadaje ishodite koje je priblino u sreditu podruja, te uvjet da je konvergencija meridijana u ishoditu jednaka nuli. Upotrebljava Airyev kriterij za raunanje karaktera deformacija, a za dijelove povrine uzima sferne trapeze kojima su sredita u zadanih 228 toaka. Rauna polinome od 4. do 12 stupnja, a vrijednosti parametara odreuje linearizacijom izraza za mjerilo, deriviranjem Airyevog kriterija kojeg svodi na sustav linearnih jednadbi i primjenjuje rekurzivni postupak, tako da je za svaku sljedeu iteraciju poetna vrijednost parametara jednaka rjeenju iz prethodne iteracije. Tvrdi da polinom 6. stupnja daje povoljan raspored i veliinu deformacija, te da polinomi vieg stupnja svoju sloenost ne opravdavaju znaajno manjim vrijednostima deformacija. Dobivene maksimalne deformacije ne prelaze 4 dm/km. Reilly ne daje numeriko rjeenje, tj. izraunane koeficijente ve daje samo kartu s izokolama.

Franki (1982) istrauje optimalne projekcije za podruje Kanade. S obzirom na to da se itavo podruje Kanade moe prikazati samo na kartama sitnog mjerila, Franki kao model Zemlje uzima sferu. Kao kriterij za deformacije upotrebljava Airy/Kavrajskijev kriterij. Podruje Kanade aproksimira s oko 75 elipsoidnih trapeza, odnosno toaka u kojima rauna vrijednost kriterija kao sumu. Osim parametara pojedine projekcije uvodi i dodatna dva parametra za kosu normalnu kartografsku mreu. To znai da se za svaku projekciju nalazi i optimalan kosi poloaj zajedno s parametrima projekcije. Traenje najmanje vrijednosti kriterija svodi na metodu najmanjih kvadrata nelinearne funkcije koju pak rjeava metodom linearizacije i iteracijskim postupkom. Autor navodi da je u vie navrata konvergenciju rjeenja morao traiti putem metode pokuaja i pogreaka, a za taj zadatak napisao je vlastite programe. Trai optimalne vrijednosti konusnih, cilindrinih i azimutalnih konformnih, ekvivalentnih i ekvidistantnih projekcija, te modificiranih ekvivalentnih projekcija. Nalazi i optimalnu konformnu projekciju po ebievu, koristei polinome kao funkcije izometrijskih koordinata. Rjeenje nalazi metodom najmanjih kvadrata linearnog sustava jednadbi zadanog u 31 toki na granici podruja. Ispituje polinome do 7. stupnja te utvruje da se polinomom 6.

26

stupnja postiu povoljne vrijednosti. Kao optimalnu projekciju za Kanadu predlae kosu konusnu ekvidistantnu projekciju te daje konane vrijednosti parametara.

Snyder (1987) u posebnom poglavlju ukratko opisuje tzv. modificirane stereografske konformne projekcije. Daje pregled upotrebe polinoma kompleksne varijable za iznalaenje optimalnih kartografskih projekcija. Spominje Driencourta i Labordea kao prve koji su 1932. godine predloili upotrebu polinoma kompleksne varijable. Zatim navodi Millera i njegovu ovalnu projekciju za Europu i Afriku iz 1953. i Leeja i njegovu projekciju za Tihi ocean iz 1974. Svi ti autori koristili su stupanj polinoma do treeg. Reilly (1973) i Snyder upotrijebili su polinome 6. i 10. stupnja za svoje optimalne projekcije. Autor daje nekoliko karata s izokolama i koeficijente vlastitih projekcija za podruje Aljaske, te 50 i 48 amerikih drava.

Nestorov (1996) trai optimalne konformne projekcije za podruje bive SFR Jugoslavije. Za kriterije ocjene deformacija koristi niz kriterija u smislu veliine deformacije te Airyjev i Airy/Kavrajskijev kriterij za ocjenu deformacija unutar cijelog zadanog podruja. Postavljeni zadatak rjeava aproksimacijom podruja sa 134 elipsoidna trapeza veliine 30'. Nove projekcije trai iz klase tzv. simetrinih i nesimetrinih ebievljevih projekcija s pomou polinoma stupnja od 1. do 10. Postavlja izmeu 24 i 60 toaka na rub podruja, a zatim rauna razliite varijante mijenjajui faktor mjerila za neki mali konstantni iznos. Iz tako dobivenog velikog broja parametara sortiranjem po vrijednosti kriterija nalazi najbolju varijantu. Dobiveni rezultati koji se odnose na tzv. nesimetrine projekcije, a koje bi morale biti povoljnije od simetrinih s obzirom na to da je promatrano podruje nesimetrino, nisu opravdani. Naime, Nestorov zakljuuje da su simetrine bolje od nesimetrinih gdje i sam uvia kontradiktornost u odnosu na prethodna istraivanja, ali ne ispituje uzrok koji je do takvih pogrenih rezultata doveo.

Gonzlez Lpez (1995) upotrebljava polinome kompleksne varijable za nalaenje konformnih projekcija za ile i Sredozemno more. Nakon izvoda formula i postavljanja zadatka, optimalne projekcije trai na temelju dva kriterija i to Airy/Kavrajskijevog kriterija za cijelo zadano podruje i ebievljevog kriterija koji zahtijeva konstantnu vrijednost logaritma linearnog mjerila na krivulji koja opisuje podruje. Rjeenje trai linearizacijom sustava i primjenom metode najmanjih kvadrata. Za podruje ilea kree od Mercatorove projekcije i primjenjuje transformaciju polinomima 5. stupnja, a za podruje Sredozemnog mora kree od Lambertove konformne konsune projekcije i primjenjuje polinome 8. stupnja. Daje samo karte tih podruja u dobivenim projekcijama i karte izokola, bez parametara dobivenih projekcija i bez vrijednosti kriterija. Takoer, nije opisano na koji je nain izvedena aproksimacija podruja.

Ovdje je dan pregled radova koji su se uglavnom bavili optimalnim kartografskim projekcijama za odreena geografska podruja, a upotrebljavali su numerika rjeenja. Meutim, optimalnim projekcijama bavili su se i drugi autori, ali na drugi, analitiki nain. Ve je spomenut Lagrange (1779) koji je za svoju projekciju traio optimalne vrijednosti parametara uz postavljene uvjete u jednoj toki u kojoj deformacije trebaju biti treeg i vieg reda. Na slian je nain Gauss (1828) postavio uvjete kod preslikavanja rotacijskog elipsoida na sferu, tj. da su linearne deformacije u izabranoj toki treeg i vieg reda. Tissot (1887)

27

izvodi svoju tzv. kompenzativnu projekciju uz uvjete da su deformacije kutova treega reda, a deformacije duljina drugoga reda. La Hire i Parent iznalaze perspektivne azimutalne projekcije koje imaju povoljnije deformacije od uobiajenih perspektivnih projekcija (Snyder 1993). Airy (1861) predlae azimutalnu projekciju na temelju minimuma kriterija kojeg je on i predloio. Rije je o kriteriju koji deformacije u toki ocjenjuje kao polovicu sume kvadrata deformacija po glavnim pravcima. Prema Snyderu (1993) Airy je napravio pogreku u izvodima koju su godinu dana kasnije ispravili James i Clarke. Za standardne projekcije (konusne, cilindrine i azimutalne) izveden je vei broj postupaka i parametara koji za zadano podruje daju povoljne linearne deformacije (Kavrajski 1960, Bori 1955b, Franula 2004).

28

3. PODRUJE HRVATSKE

Optimizacija kartografskih projekcija obavlja se za unaprijed zadano pravilno ili nepravilno podruje na Zemljinom elipsoidu ili sferi. To moe biti podruje itave Zemlje kao npr. u (Franula 1971, Canters 2002), kontinenata kao u (Miller 1953) ili podruje neke drave, npr. (Reilly 1973, Franki 1982, Snyder 1984, Gonzlez-Lpez 1995, Tuti i Lapaine 2008).

Hrvatska je drava koja osim kopnenog dijela kao sastavni dio dravnog teritorija ima i teritorijalno more. Osim toga gospodarska prava i interesi Hrvatske prostiru se i na podruje epikontinentalnoga morskog pojasa.

Slubene podatke o koordinatama graninih toaka odrava i izdaje Dravna geodetska uprava Republike Hrvatske. Dijelovi granica, u vrijeme pisanja ovoga rada, jo uvijek nisu pravno nedvosmisleno utvreni sa susjednim zemljama.

Za potrebe ovoga rada nije nuno imati precizne koordinate svih graninih toaka. Izbor kartografske projekcije za neko podruje ne ovisi u znaajnoj mjeri o tonosti koordinata granice tog podruja, ve ponajprije o obliku i veliini tog podruja. Zbog toga je za potrebe ovoga rada dravna granica preuzeta iz karte Euro Global Map (EGM) u mjerilu 1:1 000 000 to ju je izdala Dravna geodetska uprava. Iz te karte uzeti su i podaci o obalnoj crti kopna i otoka. Karta se izdaje u digitalnom obliku, u formatu programskog paketa ArcInfo (format E00), a koordinate su geografske na elipsoidu GRS80.

Podaci o granici epikontinentalnog pojasa preuzeti su iz Slubenog lista SFRJ, Meunarodni ugovori i drugi sporazumi, br. 28/1970. S obzirom na to da su tamo dane geografske koordinate na Besselovu elipsoidu obavljena je transformacija na elispoid GRS80. Koordinate za toku broj 43 granice epikontinentalnog pojasa umjesto iz tog sporazuma preuzete su iz (Rajakovi 2008) gdje su koordinate te toke odreene na temelju Protokola izmeu Vlade Republike Hrvatske i Savezne Vlade Savezne Republike Jugoslavije o privremenom reimu uz junu granicu izmeu dviju drava iz 2002. godine.

Slika 3.1 prikazuje izabrane podatke koji su uzeti za definiciju podruja Hrvatske.

29

Slika 3.1. Podaci kojima je definirano podruje Hrvatske

Na taj nain definirano podruje je vrlo nepravilno. Pojednostavljenje granice podruja je mogue izborom manjeg broja karakteristinih ili prijelomnih toaka. Takvo pojednostavljenje je upotrijebio Franki (1982) za podruje Kanade.

Druga mogunost je aproksimacija podruja pravilnom mreom sfernih ili elipsoidnih trapeza (Reilly 1973, Franki 1982, Tuti i Lapaine 2008). Postavlja se pitanje koliko gusta treba biti mrea elipsoidnih trapeza? Ako su elipsoidni trapezi relativno veliki aproksimirano podruje moe se uvelike razlikovati od polaznog podruja kao to se vidi na slici 3.2 gdje su za aproksimaciju podruja Hrvatske upotrijebljeni elipsoidni trapezi veliine 1 po geografskoj duini i irini. S druge strane, relativno mala veliina elipsoidnih trapeza dovodi do bolje aproksimacije podruja, ali i velikog broja takvih elipsoidnih trapeza to automatski dovodi do znatnog poveanja opsega raunanja.

30

Slika 3.2. Aproksimacija zadanog podruja Hrvatske elipsoidnim trapezima veliine 1 po geografskoj duini i irini

Na temelju istraivanja u (Tuti i Lapaine 2008) moe se zakljuiti da je veliina elipsoidnih trapeza od 2' optimalna aproksimacija. Parametri projekcija do traene tonosti dobiveni na temelju takve mree neznatno se razlikuju od onih dobivenih na temelju mree definirane veliinom elipsoidnih trapeza od 1' po geografskoj duini i irini. Slika 3.3 prikazuje zadano podruje Hrvatske aproksimirano mreom elipsoidnih trapeza veliine 2' po geografskoj duini i irini. U takvoj aproksimaciji ukupno je 11 934 elipsoidna trapeza.

31

Slika 3.3. Aproksimacija zadanog podruja Hrvatske elipsoidnim trapezima veliine 2' po geografskoj duini i irini

Na geografskim irinama oko 45, gdje se prostire podruje Hrvatske elipsoidni trapezi su izdueni u smjeru sjever-jug. Naime polumjer zakrivljenosti paralele na toj irini je priblino cosR , a polumjer zakrivljenosti meridijana priblino R (ako elipsoid zamijenimo sferom). To znai da je omjer visine i irine elipsoidnih trapeza priblino 2 .

32

3.1. Praktino rjeenje za aproksimaciju podruja Hrvatske elipsoidnim trapezima

Podaci o granicama i obali (u geogafskim koordinatama) uitani su AutoCAD Map. Podaci su ureeni tako da podruje kopna, teritorijalnog mora i epikontinetalnog pojasa bude prikazano jednim poligonom. Taj je poligon ispisan u formatu ESRI Shape i uitan u GRASS GIS. Taj vektorski sloj nazvan je podrucje. Za radno podruje u GRASS-u zadane su granice: sjeverna 47, juna 41, zapadna 12 i istona 20. Za razluivost radnog podruja izabrana je vrijednost od 2'. Naredba u GRASS-u za postavljanje radnog podruja glasi:

g.region n=47N s=41N w=12E e=20E res=0:02 p Na taj nain radno podruje je podijeljeno na 180 redaka i 240 stupaca. Naredbom

v.mkgrid generirana je pravilna mrea poligona naziva mreza jednake razluivosti kao i razluivost radnog podruja te jednakog protezanja kao i radno podruje. Na taj nain generirano je 43200 poligona koji predstavljaju elipsoidne trapeze. Naredba kojom se to postie glasi:

v.mkgrid map=mreza grid=180,240 position=region Kako bi izdvojili samo one elipsoidne trapeze koji sijeku podruje Hrvatske ili su unutar

njega, zadanog unaprijed pripremljenim poligonom, upotrijebljena je naredba v.select koja omoguuje upravo takav izbor. Sintaksa te naredbe je sljedea:

v.select ainput=mreza binput=podrucje output=mreza_2minute operator=overlap

Rezultirajui vektorski sloj mreza_2minute (vidi sl. 3.3) ispisan je u tekstualnu datoteku tako da su ispisani centroidi onih poligona koji sijeku podruje Hrvatske ili su unutar njega. Sintaksa u GRASS-u za taj zadatak je sljedea:

v.out.ascii input=mreza_2minute output=mreza_2minute.txt format=point

Tako pripremljena datoteka mreza_2minute.txt upotrijebljena je kasnije za sva potrebna raunanja po podruju Hrvatske. Datoteka je priloena ovoj disertaciji na pripadajuem CD-u.

Osim tog podruja iznimno je u poglavlju 11. promatrano i samo kopneno podruje Republike Hrvatske. Popis centroida dobiven je na isti nain s tom razlikom da je u naredbi v.select pod binput upotrijebljen vektorski sloj koji sadri poligone kopna i otoka (kopno) Hrvatske iz podataka karte Euro Global Map u mjerilu 1:1 000 000. Primjeeno je da na toj karti nije ucrtana hrid Jabuka, pa je taj nedostatak ispravljen dodavanjem toke u popis. Taj popis sastoji se od 6914 toaka.

Svi spomenuti podaci nalaze se na CD-u koji je u prilogu ovoga rada.

33

4. KRITERIJI ZA PROCJENU I IZBOR PROJEKCIJA

Kriterija za ocjenu svojstava projekcija teoretski ima beskonano mnogo. Za kriterije po kojima e se optimirati i usporeivati projekcije u ovom radu izabrani su Airy/Jordanov kriterij i kriterij najmanje najvee apsolutne linearne deformacije. Oba kriterija uobiajena su u kartografskoj praksi (vidi poglavlje 2). Prvi kriterij omoguuje izbor varijante projekcije koja daje povoljan raspored i veliinu linearnih deformacija u odnosu na itavo podruje. Tonije, tim kriterijem mogue je minimizirati sumu kvadrata linearne deformacije na cijelom podruju. Drugi kriterij omoguuje izbor takve projekcije koja e dati na zadanom podruju najmanju najveu linearnu deformaciju, uvjet koji se esto zadaje kod izbora projekcije.

4.1. Airy/Jordanov kriterij za konformne projekcije

Airyeva ocjena deformacija na nekom podruju glasi (Franula 2004):

( ) ( )[ ] +=A

A dAbaAE 222 11

211 gdje su a i b mjerila u glavnim pravcima, A je povrina

promatranog podruja, a dA diferencijal povrine.

Jordanova ocjena deformacija na nekom podruju glasi (Franula 2004):

( ) =A

J dAdcAE

2

0

22 1211 gdje je c mjerilo u toki kao funkcija od azimuta smjera

u kojem se promatra mjerilo te A povrina promatranog podruja i dA diferencijal povrine.

Kako je to pokazano u (Nestorov 1996, Rajakovi 2008), u konformnim projekcijama za koje je mjerilo u nekoj toki u svim pravcima jednako te dvije ocjene postaju jednake pa ih se moe nazvati Airy/Jordanovom ocjenom za konformne projekcije. Uvrtavanjem bac == u Airyevu ocjenu s jedne strane, odnosno zbog ( ) ( )22

0

2 1121 = cdc

za .konstc = u

Jordanovoj ocjeni s druge strane, dobije se formula za Airy/Jordanovu ocjenu za konformne projekcije:

( ) =A

dAcA

E 22 11 .

Integral u ovoj formuli za nepravilna podruja rijetko je mogue rijeiti analitiki. Zbog toga e se integral zamijeniti sumom. Tada Airy/Jordanova ocjena glasi (Tuti i Lapaine 2008):

( )=

=n

iii

ii

AcA

E1

22 11 , gdje je iA jedan (mali) dio podruja, a ic linearno

mjerilo u nekoj toki tog dijela podruja.

34

Uzme li se za iA podruje elipsoidnog trapeza kojemu je sredite u toki i i i , a veliina po geografskoj duini mu je i po geografskoj irini povrina takvog podruja moe se odrediti po formuli (Franula 2004):

2

2

21

22

2

sin1sin1

lnsin1

sin2

+

++

=i

i

e

i

i

i

ii e

ee

bA ,

gdje je b mala poluos rotacijskog elipsoida i e prvi ekscenticitet. Linearno mjerilo ic u tom

sluaju neka se rauna u toki ( )ii , . Na taj nain definirano je odreivanje vrijednosti Airy/Jordanove ocjene za konformne

projekcije na nekom zadanom podruju aproksimiranom pravilnom mreom elipsoidnih trapeza.

Ako se za izabranu projekciju nae skup vrijednosti parametra te projekcije { }npppP ,,, 21 K= za koji se postie najmanja vrijednost Airy/Jordanove ocjene, tj.

( )=

=n

iii

ii

PPAc

AE

1

22 11minmin , (4.1)

varijantu izabrane projekcije odreenu skupom vrijednosti parametara P nazvat emo optimalnom projekcijom po Airy/Jordanovu kriteriju.

4.2. Kriterij najmanje najvee apsolutne linearne deformacije za konformne projekcije

Najvea apsolutna linearna deformacija na nekom podruju A definirana je sljedeom formulom:

1maxmax = cd A .

Za nepravilna podruja i projekcije sa sloenim rasporedom deformacija strogo nalaenje 1max c

A nije uvijek mogue. Zbog toga je podruje A potrebno aproksimirati konanim

skupom toaka { }niT ii K1),,( == u kojima se rauna linearno mjerilo i trai najvea apsolutna linearna deformacija, odnosno:

1maxmax = iT cd .

Kako je navedeno u 3. poglavlju u ovome radu podruje A aproksimira se mreom elipsoidnih trapeza veliine 2'. Sredita tih trapeza ine skup T u ovome radu.

35

Ako se za izabranu projekciju nae skup vrijednosti parametra te projekcije { }npppP ,,, 21 K= za koji se postie najmanja najvea apsolutna linearna deformacija, tj.

1maxminmin max = iTPP cd (4.2)

varijantu izabrane projekcije odreenu skupom vrijednosti parametara P nazvat emo optimalnom projekcijom po kriteriju najmanje najvee linearne deformacije.

36

5. METODOLOGIJA ZA NALAENJE OPTIMALNIH VARIJANTI

Za nalaenje optimalnih varijanti izabranih kartografskih projekcija, odnosno nalaenja vrijednosti zadanih formulama (4.1) i (4.2), upotrijebljen je numeriki pristup. U radu (Tuti i Lapaine 2008) za isti zadatak upotrijebljena je metoda pretraivanja konstantnim korakom, odnosno za svaki parametar iz skupa P zadana je najmanja i najvea vrijednost i korak, te je iz svih izraunanih vrijednosti izabrana ona najmanja. Takva metoda je raunski vrlo zahtjevna, posebno ako se za korak izabere relativno mala vrijednost i ako je broj parametara vei. Mogue je da je broj raunanja toliki da ga je i nemogue rjeiti u nekom razumnom roku.

Drugi nain koji je testiran sastojao se u upotrebi programskog paketa Mathematica 5.1. Njezina funkcija NMinimize namijenjena je za rjeavanje takvih problema. Problem, odnosno funkciju za koju treba nai minimum najbolje je definirati u eksternoj funkciji napisanoj npr. u programskom jeziku C++. Takva se funkcija s pomou alata MathLink povee s aktivnim dokumentom u Mathematici i upotrijebi unutar funkcije NMinimize. Funkcija NMinimize daje na izbor nekoliko metoda za pronalaenje minimuma, a izmeu ostalog i metodu po Nelderu i Meadu (1965). Takav pristup je u fazi testiranja davao dobre rezultate, a nedostatak mu je to je za svaku promjenu funkcije za koju se trai minimum potrebno napisati odgovarajui program u C++, prevesti taj kd u izvrni i povezati s Mathematicom. U sluaju kada je potrebno nai minimum za vei broj funkcija takav pristup je dugotrajniji.

Trei nain, koji je testiran te konano i primijenjen za nalaenje optimalnih varijanti u ovoj disertaciji, je upotreba programa MATLAB. MATLAB omoguuje rjeavanje postavljenog zadatka u cijelosti unutar vlastitog okruenja, te se pokazao kao izuzetno fleksibilno i brzo okruenje. Geodetski fakultet posjeduje licence za oba programa Mathematica i MATLAB.

S obzirom na to da se trai minimum funkcije koja je zadana na nepravilnom geografskom podruju, te da derivacija funkcije u sluaju kriterija najmanje najvee apsolutne linearne deformacije ne postoji, metoda po Nelderu i Meadu koja omoguuje traenje minimuma funkcije samo na temelju raunanja njezine vrijednosti posebno je pogodna. Istu metodu upotrijebio je Canters (2002) i zakljuio da je takva metoda dobar izbor. Analogne rezultate pokazala je i primjena u ovome radu.

5.1. Primjena MATLAB-a za nalaenje optimalnih varijanti

MATLAB je visoko produktivni jezik za tehnika raunanja. Integrira raunanje, vizualizaciju i programiranje u jednostavnom okruenju u kojemu se problemi i rjeenja izraavaju uobiajenom matematikim zapisom (MathWorks 2007).

MATLAB ima dobre upute za upotrebu koje je potrebno prouiti prije rada. Osnovni zadaci koje je potrebno rijeiti za dobivanje optimalnih kartografskih projekcija su sljedei.

1. uitati podatke o tokama mree koje su unutar podruja

37

2. izraunati konstantne veliine

3. definirati funkciju koja rauna vrijednost kriterija za ulazne parametre

4. pozvati funkciju za pronalaenje najmanje vrijednosti kriterija

U nastavku dajem poblii opis rjeenja svakog od tih zadataka. Uitavanje podataka koji su u obliku tekstualne tablice dobiveni iz GRASS-a (vidi 3.1) obavlja se sljedeim naredbama:

load mreza_2minute_kopno.txt; mreza=mreza_2minute_kopno.txt;

Na taj nain dobije se varijabla mreza koja je matrica s 3 stupca i 11934 redak

425256.tutic drazen disertacija

Documents