3. razred 4. zadaci
DESCRIPTION
koordinatni sustav, trigonometrija, pravac, kružnica, elipsa, hiperbola, zadaci, postupci, formule i rješenjaTRANSCRIPT
Za pomoć u matematici [email protected]
1 3. razred 4. KONTROLNA ZADAĆA - pitanja
4. KONTROLNA ZADAĆA - pitanja
1. Odredite kut α trokuta ABC ako je: A (-1,2), B (3,3) i C (1,5).
2. Odredite jednadžbu pravca koji je okomit na pravac s jednadžbom x – 3y + 1 = 0 i prolazi sjecištem pravaca s jednadžbama 3x – 2y – 6 = 0 i 7x + y + 3 = 0.
3. Grafički riješi sustav jednadžbi: a) 2x + y = 8 b) x – 3y = 5 x + 3y = 9 -x + 3y = 4
4. Napišite jednadžbu kružnice koja prolazi točkama A (-1,7), B (2,6) i C (-5,-1).
5. Napišite jednadžbe tangenata na kružnicu ( x + 1 )2 + ( y – 7 )2 = 25 koje su okomite na pravac 3x + 4y + 2 = 0.
6. Kolika je duljina one tetive elipse 2x2 + y2 = 36 što je sadrži pravac 2x – y – 9 = 0.
7. Odredite jednadžbu tangente hiperbole x2 – 5y2 = 20 u točki T (10,4) te hiperbole.
8. Nađite vrijednost preostalih trigonometrijskih funkcija ako je zadana:
a) sin x = �� i x ∈ (�� , π) b) tg x = 2 i x ∈ (�, �� )
9. Odredite točnu vrijednost:
a) cos 75° b) sin 105°
10. U pravokutnom trokutu hipotenuza je 7 cm, a jedan njegov kut 35°. Odredite duljinu kateta.
3. razred
4. KONTROLNA ZADAĆA
1. A ( -1 , 2 ) B ( 3 , 3 ) C ( 1 , 5 ) α = ?
y – yA = ��A����� ( x – xA) jednadžba pravca kroz 2. točke
y – 2 = ���� (x�1� y – 2 =
y – 2 = �� ( x + 1) y – 2 =
y – 2 = �� x� �� y – 2 =
�
y = �� x� �� + 2 y =
� x�
y = �� x� �� y =
� x�
tg α = � k��k���k�k�� kut između dva pravca
tgα=�
���!�� �∙�!
� = � #$�!
�� %� = � &
!��%� =
α = 42° 16' 25“ 2.
x – 3y + 1 = 0 => -3y = -x – 1 / : (-3) => y =
3x – 2y – 6 = 0 7x + y + 3 = 0 / · 2 3x – 2y – 6 = 0 14x + 2y + 6 = 0 17x = 0 uvjet okomitosti x = 0
3x – 2y – 6 = 0 k = ' 3 · 0 – 2y – 6 = 0 k = -
-2y = 6 / : (-2) k = -3
y = -3 y = -3x T( 0,-3)
Za pomoć u matematici [email protected]
4. KONTROLNA ZADAĆA - rješenja
4. KONTROLNA ZADAĆA - rješenja
jednadžba pravca kroz 2. točke
2 = (����� (x�1�
� ( x + 1 ) � x� �
� � + 2
� )�
kut između dva pravca
� � = �*�� = 0,90909
3) => y = � x� �
okomitosti
' �k�
��
3
3x – 3
2
3. razred
3. a) 2x + y = 8 x + 3y = 9 y = - 2x + 8 3y = -x + 9 / : 3
y = - � x + 3
Rješenje je T ( 3 , 2 ). b) x – 3y = 5 -x + 3y = 4 -3y = -x + 5 / : (-3)
y = � x- (
3y = x + 4 / : 3
y = � x� �
k� = k�
Sustav jednadžbi nema rješenja jer su pravci paralelni.
Za pomoć u matematici [email protected]
4. KONTROLNA ZADAĆA - rješenja
Sustav jednadžbi nema rješenja jer su pravci paralelni.
3
3. razred
4. A ( -1 , 7 ) B ( 2 , 6 ) C ( -5 , -1 ) ( x – p )2 ( -1 – p )2 + ( 7 – q )2 = r2 ( 2 – p )2 + ( 6 – q )2 = r2 ( -5 – p )2 + ( -1 – q )2 = r2 ( -1 – p )2 + ( 7 – q )2 = ( 2 – p )2 + ( 6 1 + 2p + p2 + 49 – 14q + q2 = 4 – 4p + 2p – 14q + 4p + 12q = 4 + 36 – 1 – 49 6p – 2q = -10
( -5 – p )2 + ( -1 – q )2 = ( 2 – p )2 + ( 6 25 + 10p + p2 + 1 + 2q + q2 = 4 – 4p + 10p + 2q + 4p + 12q = 4 + 36 – 25 – 14p + 14q = 14 / : 14 p + q = 1 6p – 2q = -10 p + q = 1 / · 2 6p – 2q = -10 2p + 2q = 2 -1 + q = 1 ( 8p = -8 / : 8 q = 1 + 1 5 p = -1 q = 2 r = 5 5. ( x + 1 )2 + ( y – 7 )2 = 25 3x + 4y + 2 = 0
r2 ( 1 + k2) = ( q – kp – l)2
4y = - 3x – 2 / : 4
y = � x- ��
k0 = - �k k0 = -
� ! k0 =
�
25 ( 1 + ( � )2 ) = ( 7 -
� · ( -1) – l )2
25 ( 1 + �,� ) = (
�( – l )2
�(∗�(� = (
�( – l )2
�( – l = ±
�(
l1 = �( -
�(
l1 = 0
- l2 = - �( -
�(
- l2 = - (* / · ( -1)
l2 = (*
Za pomoć u matematici [email protected]
4. KONTROLNA ZADAĆA - rješenja
+ ( y – q )2 = r2
+ ( 6 – q )2 p + p2 + 36 – 12q + q2 49
+ ( 6 – q )2 p + p2 + 36 – 12q + q2 – 1
1 + q = 1 (-1 + 1 )2 + ( 7 – 2 )2 = r2 8 / : 8 q = 1 + 1 52 = r2 1 q = 2 r = 5 ( x + 1)2 + ( y – 2 )
y = � x y =
� x +
(*
4
2 )2 = 25
3. razred
6. 2x2 + y2 = 36 2x – y – 9 = 0 -y = -2x + 9 / · ( -1) y = 2x – 9 2x2 + y2 = 36 2x2 + ( 2x – 9 )2 = 36 2x2 + 4x2 – 36x + 81 – 36 = 0 6x2 – 36x + 45 = 0 / : 3 2x2 – 12x + 15 = 0
x1,2 = �./√.���12�1 y1= 2 (
x1,2 = ��/√������*� y1= 6 + √
x1,2 = ��/√��� y1= - 3 +
x1,2 = 3 / √,� y2= 2 ( 3
y2= 6 - √ y2= - 3 -
A (3 + √,� , - 3 + √6 ) B (3 - √,� , -
AB5555 = 6(x� 'x��� �(y� 'y���
= √6 � 24 = √30 7.
x2 – 5y2 = 20 x2 – 5y2 = 20
T ( 10 , 4 ) x��*'y
�� = 1
a2k2 – b2 = l2 uvjet tangente
20k2 – 4 = l2
20k2 – 4 = ( -10k + 4 )2 20k2 – 4 = 100k2 – 80k + 16 100k2 – 80k + 16- 20k2 + 4 = 0 80k2 – 80k + 20 = 0 / : 20 4k2 – 4k + 1 = 0
k1,2 = �./√.���12�1 l = -10k + 4
k1,2 = �/√�,��,< l = -10 ·
k = �� l = -5 + 4
l = - 1
y = �� x – 1
Za pomoć u matematici [email protected]
4. KONTROLNA ZADAĆA - rješenja
3 + √,� - 9 )
√6 - 9 )
3 + √6
3 - √,� - 9 )
√6 - 9 )
√6
- 3 - √6 )
= =(3- √,� ' 3- √,� �� �('3 '√6 � 3 '√
= 20 4 = 10k + l
1 l = -10k + 4
80k + 16
10k + 4
· �� + 4
5 + 4
5
√6�� =
3. razred
8. a)
sin x = �� i x ∈ (�� , ��
cos x = - √1 ' sin�x = '=1 ' tg x =
ABC xDEA x =
��
�√ �= ' �√
ctg x = �tgx = �
�√ ='√3
b)
tg x = 2 i x ∈ (�, �� �
tg x = ABCxDEA x
sin x = tg x · cos x
sin x = tg x · √1 ' sin�x /2 sin2 x = tg2 x ( 1 – sin2 x ) sin2 x = tg2 x – tg2 x · sin2 x sin2 x + tg2 x · sin2 x = tg2 x sin2 x ( 1 + tg2 x ) = tg2 x
sin2 x = tg�x
��tg�x
sin2 x = �
���
sin2 x = �(
sin x = ' �√(
sin x = ' �√((
9. a) cos 75° = cos ( 45° + 30°) = cos 45°
= √�� ∙ √� '√�� ∙ �� =√,� ' sin 105° = sin ( 60° + 45° ) = sin 60°
= √� ∙ √�� ��� ∙ √�� = √,�
Za pomoć u matematici [email protected]
4. KONTROLNA ZADAĆA - rješenja
�� ='=� ='√�
='√
cos x = - √1 ' sin�x
cos x = - =1 ' �(
cos x = - =�(
cos x = ' √(( ctg x = tgx
ctg x =
cos 75° = cos ( 45° + 30°) = cos 45° · cos 30° - sin 45° · sin 30° =
'√�� =√,�√��
sin 60° · cos 45° + cos 60° · sin 45° =
,�√�� =√,�√��
6
�tgx
ctg x = �2
Za pomoć u matematici [email protected]
7 3. razred 4. KONTROLNA ZADAĆA - rješenja
10. B c = 7 cm α = 35° a c
sin α = ac
a = sin α · c C α A a = sin 35° · 7 b a = 0,57358 · 7
a = 4,01 cm
cos α = bc
b = c · cos α b = 7 · cos 35° b = 7 · 0,81915
b = 5,37 cm