3. razred 1. zadaci

Za pomoć u matematici [email protected]

1 3. razred 1. KONTROLNA ZADAĆA - pitanja

1. KONTROLNA ZADAĆA - pitanja

1. Odredite jednadžbu pravca koji prolazi točkom T (-1, -2) i siječe pravac s jednadžbom y=2x+1 u točki s apscisom m=3.

2. Odredite jednadžbu pravca koji je usporedan s pravcem s jednadžbom 2x – 3y + 7 = 0 i prolazi sjecištem pravaca s jednadžbama 3x – 2y – 6 = 0 i -2x + y + 4 = 0.

3. Odredite kut među pravcima: a) 3x – 2y + 4 = 0 i x + y + 1 = 0

b) ��+�� = 1 i x + y – 2 = 0

4. Odredite duljinu tetive koja na kružnici x2 + y2 – 4x + 6y – 12 = 0 odsjeca pravac 3x + y + 2 = 0.

5. Napišite jednadžbe tangenata na kružnicu (x + 2)2 + (y – 2)2 = 13 koje su usporedne s pravcem 4x + 3y + 3 = 0.

6. Odredite jednadžbu tangente parabole y2 = 2x u točki T (2, -2) te parabole. 7. Odredite jednadžbu tangenata t1 i t2 iz točke T (1, -4) na hiperbolu 16x2 – 25y2 = 400. 8. Odredite jednadžbu tangenata t1 i t2 iz točke T (-3, 3) na elipsu 9x2 + 16y2 = 144. 9. Riješi grafički sustave nejednadžbi:

a) 3x – 4y – 12 > 0 b) x + y – 5 ≤ 0 x + 2y - 6 < 0 3x + 2y + 3 ≥ 0

10. Odredite vrijednost izraza:

a) sin2x + √3sinx + cosx za x = �π

�

b) (sinx – cosx)2 + sinx cosx – sinx – cosx za x = π

�

11. Riješite jednadžbe na intervalu [ π2 ,0 ) a) sinx =

��

b) tg(x + π

� ) = 1

12. Zadan je trokut sa stranicama 5 cm i 8 cm te kutom među njima 30°. Odredite mu površinu.


2 3. razred 1. KONTROLNA ZADAĆA - rješenja

1. KONTROLNA ZADAĆA - rješenja

1. A (-1,-2) B (3,y) y = 2x + 1 y = 2 · 3 + 1 y = 6 + 1 y = 7 jednadžba pravca kroz 2. točke

y – y1 = �� (x – x1 )

y + 2 = �� ( x + 1 )

y + 2 = �� ( x + 1 )

y + 2 = �� x +

��

y = �� x +

�� – 2 y=2x+1

y = �� x +

�� y =

�� x +

��

2. 3x – 2y – 6 = 0 -2x + y + 4 = 0 / · 2 y=2x-4

3x – 2y – 6 = 0 -4x + 2y + 8 = 0 - x + 2 = 0 - x = - 2 / · (-2) x = 2 -2x + y + 4 = 0 -2 · 2 + y + 4 = 0 T(2,0) -4 + y + 4 = 0 y=

�� x +��

y = 0 T (2,0) y =

�� x -

��

2x – 3y + 7 = 0

-3y = -2x – 7 / : (-3) y= �� x–3

y = �� x +��

y – 0 = �� ( x – 2 )

y = �� x -

��



3. a) 3x - 2y + 4 = 0 x + y + 1 = 0 -2y = -3x – 4/ : (-2)

y = �� x + 2

y = -x – 1 y=-x-1

k1 = �� α

k2 = –1

tg α = | �� | kut između 2 pravca y = �� x + 2

tg α = |��

�� |

tg α = |��

�� |

tg α = 5 α = 78° 41' 24''

b) ��+�� = 1

x + y – 2 = 0

�� = − x

3+1 /·2

y = − 23x + 2

y = -x + 2

k1 = - ��

k2 = –1 α

tg α = | �� | y =- �� x + 2

tg α = |��

�� | y = -x + 2

tg α = |��

| tg α =

�

tg α = 0,2

α = 11° 18' 36''



4. x2 + y2 – 4x + 6y – 12 = 0 3x + y + 2 = 0 => y = –3x – 2 ( x – 2 )2 + ( y + 3 )2 – 25 = 0 y= –3x–2 ( x – 2 )2 + ( –3x – 2 + 3 )2 – 25 = 0 ( x – 2 )2 + ( –3x + 1 )2 – 25 = 0 x2 – 4x + 4 + 9x2 – 6x + 1 – 25 = 0

10x2 – 10x – 20 = 0 / :10 x2 – x – 2 = 0

x�,� =��±√�� !�

x�,� = �±√��

x�,� = �±√��

x�,� = �±��

x� = �� x� = ��

x1 = 2 x2 = –1 y1 = –3 · 2 – 2 y2 = –3 · ( –1 ) – 2 y1 = –6 – 2 y2 = 3 – 2 y1 = –8 y2 = 1 A (2,-8) udaljenost između dvije točke B (-1,1)

|AB|= %(x� −x�)� +(y� −y�)� = %(−1 − 2)� +(1 + 8)� = %(−3)� +9� = √9 + 81 = √90

|AB|= 3√10

5. ( x + 2 )2 + ( y – 3 )2 = 13 4x + 3y + 3 = 0 . 3y = –4x – 3 / :3

y = − 43x − 1 k = − 4

3 r2( 1 + k2 ) = ( q – kp – l )

13( 1 + �+� ) = ( 2 -

�� · (-2) – l )2 y = − 4

3 x + √�� – ��

��∗�

� = ( 2− �� – l )2

��∗� � = ( − �

� – l )2

− �� – l = ±-��∙�

� y=− 43 x–1

− �� – l1 =

√�� y = − 4

3 x – √�� –

��

– l1 = √�� +

�� /· (-1)

l1 = – √�� –

�� l2 =

√�� –

��

y = − 43 x –

√�� –

�� y = − 4

3 x + √�� – ��

3. razred

6. T (2,-2) y2 = 2x jednadžba tangente na paraboluyy1 = p ( x + x1 ) y (–2) = 1( x + 2 ) –2y = x + 2 / : (-2)

y = − 12 x – 1

7. T (1,-4) 16x2 – 25y2 = 400 16x2 – 25y2 = 400 / : 400 �� − ��+ = 1

-4 = 1 · k + l => l = – k – 4 a2k2 – b2 = l2 uvjet tangente 25k2 – 16 = ( –k – 4 )2 25k2 – 16 = k2 + 8k + 16 25k2 – 16 – k2 – 8k – 16 = 0 24k2 – 8k – 32 = 0 / : 8 3k2 – k – 4 = 0

k�,� =��±√�� !�

k�,� = �±√��+

k�,� = �±√��+

k�,� = �±�+

k� = ��+ k� = � k� = �� k� = –

l1 = − 43 – 4 l2 = 1 –

l1 = − 163 l2 = –3

y = �� x -

�+� y = –x



jednadžba tangente na parabolu

y = −

�� − ��+ = 1

y = �� x -

�+�

��+

–1

– 4

3

x – 3

[email protected]

5

− 12 x – 1

y=-x-3

3. razred

8. T (-3,3) 9x2 + 16y2 = 144 9x2 + 16y2 = 144 / : 144

��++�� = 1

3 = -3k + l => l = 3k + 3 a2k2 + b2 = l2 uvjet tangente 16k2 + 9 = ( 3k + 3 )2 16k2 + 9 = 9k2 + 18k + 9 16k2 – 9k2 – 18k = 0 7k2 – 18k = 0 k ( 7k – 18 ) = 0 y =

��

k1 = 0 l1 = 3

7k2 – 18 = 0 l2 = 3 ·

7k2 = 18 / : 7 l2 = ��

k2 = �� l2 =

� �

9.

a) 3x – 4y – 12 > 0 x + 2y – 6 < 0

-4y = -3x + 12 / : (-4)

y = �� x – 3

2y = –x + 6 / : 2

y = – �� x + 3

b) x + y – 5 ≤ 0 3x + 2y + 3 ≥ 0 y = – x + 5 2y = –3x – 3 / : 2

y = – �� x –

��



�� x +

� �

· �� + 3

� + 3

� y = 3 y =

�� x +

� �

y = – �� x + 3

y =

�� x–3

y = – x + 5

y = – 12 x –

12

[email protected]

6

��++�� = 1



10. a) sin2x + √3 sin x + cos x = x = �π

�

= (√�� )� +√3 ∙ √�� −�� = sin �π

� = sin π

� = √��

= �� +

�� -

�� =

��+�� =

�� cos

�π

� = – cos π

� = − ��

b) ( sin x – cos x )2 + sin x cos x – sin x cos x = x = π

�

= (− √�� +√�� )� +3−√�� 4 3−√�� 4 −3−√�� 4 −3−√�� 4 = sin

π

� = – sin π

� = −√��

= 0 + �� +

√�� +

√�� =

�� +

�√�� =

�� + √2 cos

π

� = – cos π

� = −√��

11. a) sin x = �� ( 0, 2π )

sin x1 = sin ( π

� + 2kπ ) �� = sin (

π

� + 2kπ )

x1 = π

� + 2kπ �� =sin (

�π

� + 2kπ )

sin x2 = sin ( �π

� + 2kπ )

x2 = �π

� + 2kπ

b)

tg ( x + π

� ) = 1 ( 0, 2π )

tg ( x + π

� ) = tg (π� + kπ ) 1 = tg (π� + kπ )

x + π

� = π

� + kπ

x = – π

� + π

� + kπ

x = ��π��π

�� + kπ

x = − π

�� + kπ

5= 21672 + kπ

12. c = 8 b = 5 α = 30°

P = �∙9:;<� = !∙9:;=

� = �!∙9:;>� površina trokuta

P = �!•9:;�@°� = •�•��

� = 10

3. razred 1. zadaci

Documents