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Prof. Dr. Wandinger 2. Kinetik des Massenpunkts Dynamik 2.3-1
3. Impuls und Drall
● Die Integration der Bewegungsgleichung entlang der Bahn führte auf die Begriffe Arbeit und Energie.
● Die Integration der Bewegungsgleichung bezüglich der Zeit führt auf die Begriffe Kraftstoß und Impuls.
● Wie bei konservativen Systemen die Energie eine Erhal-tungsgröße ist, so ist bei Systemen, auf die keine resultie-rende äußere Kraft wirkt, der Impuls eine Erhaltungsgrö-ße.
● Die Suche nach einer weiteren Erhaltungsgröße für Sys-teme, auf die kein resultierendes äußeres Moment wirkt, führt auf den Begriff des Dralls.
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Prof. Dr. Wandinger 2. Kinetik des Massenpunkts Dynamik 2.3-2
3. Impuls und Drall
3.1 Impuls
3.2 Drall
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Prof. Dr. Wandinger 2. Kinetik des Massenpunkts Dynamik 2.3-3
3.1 Impuls
● Impuls eines Massenpunktes:
– Das Newtonsche Grundgesetz lautet:
– Integration über die Zeit ergibt
– Die Größe
wird als Impuls des Massenpunkts bezeichnet.
m a=m d vdt
=F
∫t A
tB
m d vdt
dt=m vB−m vA=∫t A
t B
F dt
p=m v
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Prof. Dr. Wandinger 2. Kinetik des Massenpunkts Dynamik 2.3-4
3.1 Impuls
– Das Newtonsche Grundgesetz besagt, dass die zeitliche Änderung des Impulses gleich der resultierenden äußeren Kraft ist:
– Es wird daher auch als Impulssatz bezeichnet.
– Die Gleichung
wird als integrierter Impulssatz bezeichnet.
p=F
m vB−m vA=∫t A
tB
F dt
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Prof. Dr. Wandinger 2. Kinetik des Massenpunkts Dynamik 2.3-5
3.1 Impuls
– Die Größe
heißt Kraftstoß. Sie hat die Einheit Ns.
– Wenn keine Kräfte auf den Massenpunkt wirken, ist der Kraftstoß null.
– Dann gilt der Impulserhaltungssatz:
● Wenn keine Kräfte auf einen Massenpunkt einwirken, ändert sich sein Impuls nicht. Sein Impuls bleibt erhalten.
F=∫t A
t B
F dt
m vB=m vA
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Prof. Dr. Wandinger 2. Kinetik des Massenpunkts Dynamik 2.3-6
3.1 Impuls
● Beispiel: Bremsendes Fahrzeug
– Ein Fahrzeug fährt mit konstanter Geschwindig-keit v eine geneigte Stra-ße hinunter.
– Der Fahrer tritt heftig auf die Bremse, so dass das Fahrzeug mit blockierten Rädern rutscht.
– Nach welcher Zeit kommt das Fahrzeug zum Still-stand?
α
vs
α
G
N
R
s
n
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Prof. Dr. Wandinger 2. Kinetik des Massenpunkts Dynamik 2.3-7
3.1 Impuls
– Kräfte in Fahrtrichtung:● Gewichtskraft:
● Reibungskraft:
– Zeitpunkt tA: Bremsbeginn
● Impuls:
– Zeitpunkt tB: Bremsende
● Impuls:
Gs=mgsin
R=mg cos
pA=mv
pB=0
pB−pA=GS−R tB−t A
– Integrierter Impulssatz in Fahrtrichtung:
– Ergebnis:
t B−t A=pB−pA
GS−R
=−mv
m gsin −m g cos
=v
g cos −sin
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3.1 Impuls
● Impuls eines Systems von Massenpunkten:
– Der Gesamtimpuls eines Massenpunktsystems ist definiert durch
– Mit der Definition des Schwerpunktes folgt:
– Unter Berücksichtigung des Schwerpunktsatzes folgt durch zeitliche Differenziation des Gesamtimpulses:
p=∑i
pi=∑i
m i vi=∑i
m i r i
∑i
mi r i=m rS=m vS p=m vS
p=F
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Prof. Dr. Wandinger 2. Kinetik des Massenpunkts Dynamik 2.3-9
3.1 Impuls
– Wie bei einem einzelnen Massenpunkt lautet der integrierte Impulssatz für den Schwerpunkt:
– Wenn die Resultierende der äußeren Kräfte null ist, dann bleibt der Gesamtimpuls eines Systems von Massenpunk-ten konstant:
m vSB−m vSA=∫t A
t B
F dt= F
m vSB=m vSA
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Prof. Dr. Wandinger 2. Kinetik des Massenpunkts Dynamik 2.3-10
3.1 Impuls
● Beispiel: Stufentrennung einer Rakete
A: vorher B: nachher
2
1
2
1
vA
v2B
v1B
m2
m1
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Prof. Dr. Wandinger 2. Kinetik des Massenpunkts Dynamik 2.3-11
3.1 Impuls
– Aufgabenstellung:● Die 2. Stufe einer Rakete wird von der 1. Stufe abgetrennt.● Unmittelbar vor der Stufentrennung hat die Rakete die Ge-
schwindigkeit vA.
● Unmittelbar nach der Stufentrennung gilt: v2B = v
1B + Δv
● Bekannt sind die Massen m1 und m
2, die Geschwindigkeit v
A
sowie die Trennungsgeschwindigkeit Δv.
● Gesucht sind die Geschwindigkeiten v1B und v
2B.
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Prof. Dr. Wandinger 2. Kinetik des Massenpunkts Dynamik 2.3-12
3.1 Impuls
– Lösung:● Die Zeit der Stufentrennung ist so kurz, dass der Kraftstoß
von äußeren Kräften während dieser Zeit vernachlässigt wer-den kann.
● Dann gilt der Impulserhaltungssatz:
● Mit folgt:
● Auflösen ergibt:
m1m2 vA=m1v1Bm2 v2B
v2B=v1Bv
m1m2 vA=m1v1Bm2 v1B v =m1m2 v1Bm2v
v1B=vA−m2
m1m2
v , v2B=vAm1
m1m2
v
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Prof. Dr. Wandinger 2. Kinetik des Massenpunkts Dynamik 2.3-13
3.1 Impuls
– Zahlenwerte für Trennung der Oberstufe von der Hauptstufe der Ariane 5:
● m1 = 14t (Leermasse der Hauptstufe)
● m2 = 18t (Vollmasse der Oberstufe + Nutzlast)
● vA = 6800m/s, Δv = 1m/s
v1B=6800m /s−18
1418⋅1m / s=6799,4m / s
v2B=6800m /s14
1418⋅1m / s=6800,4m / s
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Prof. Dr. Wandinger 2. Kinetik des Massenpunkts Dynamik 2.3-14
3.2 Drall
● Der Impuls ändert sich nicht, wenn die Summe der äuße-ren Kräfte null ist. In diesem Fall ist der Impuls eine so genannte Erhaltungsgröße.
● Es wird nun eine weitere Erhaltungsgröße gesucht für den Fall, dass das resultierende Moment der äußeren Kräfte bezüglich eines geeignet gewählten Bezugspunkts null ist.
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3.2 Drall
● Ebene Bewegung:
– Definitionen:● Sei B ein ortsfester
Punkt.● Moment bezüglich B:
● Drall bezüglich B:
M B=xP F y−yP F x
LB=xP p y−yP px
=xP mvy−yP mvx
=m xP vy−yP vx
Fx
Fy
vx
vy
x
x
y
y
xP
xP
yP
yP
B
B
MB
LB
P
P
m
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Prof. Dr. Wandinger 2. Kinetik des Massenpunkts Dynamik 2.3-16
3.2 Drall
– Zeitliche Änderung des Dralls:
– Drallsatz für die ebene Bewegung:
● Die zeitliche Änderung des Dralls bezüglich eines beliebigen ortsfesten Bezugspunkts B ist gleich dem Moment der am Massenpunkt angreifenden Kraft bezüglich des gleichen Be-zugspunkts B.
LB=m ddt xP v y−yP v x =m xP v y− yP v x xP m v y−yP m vx
=m v x v y−v y v x xP F y−yP F x=MB
LB=M B
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Prof. Dr. Wandinger 2. Kinetik des Massenpunkts Dynamik 2.3-17
3.2 Drall
– Drallerhaltungssatz für die ebene Bewegung:● Wenn das Moment der an einem Massenpunkt angreifenden
Kraft bezüglich eines beliebigen ortsfesten Bezugspunkts B verschwindet, dann ändert sich der Drall bezüglich dieses Bezugspunkts nicht:
– Der Drall wird auch als Drehimpuls oder Impulsmoment be-zeichnet.
M B=0 LB t A=LB t B
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Prof. Dr. Wandinger 2. Kinetik des Massenpunkts Dynamik 2.3-18
3.2 Drall
● Räumliche Bewegung:
– Definitionen:● Sei B ein ortsfester Punkt.● Moment bezüglich B:
● Drall bezüglich B:
LB=rBP× p=rBP×m v
M B=rBP×F
F
v
B
B
MB
LB
P
P
m
rBP
rBP
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Prof. Dr. Wandinger 2. Kinetik des Massenpunkts Dynamik 2.3-19
3.2 Drall
r
vrN
LB
B
m
– Eigenschaften:● Der Drallvektor steht
senkrecht auf der von den Vektoren r und v aufgespannten Ebene.
● Seine Richtung ergibt sich aus der Rechte-Hand-Regel.
● Sein Betrag ist
LB=mr N v
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Prof. Dr. Wandinger 2. Kinetik des Massenpunkts Dynamik 2.3-20
3.2 Drall
● Im Zeitintervall dt überstreicht der Ortsvektor die Fläche
● Für den Betrag des Dralls gilt also:
● Die Größe
wird als Flächengeschwindigkeit bezeichnet.
r
v dt
dA
B
dA=12∣r×vdt∣
LB=2mdAdt
dAdt
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Prof. Dr. Wandinger 2. Kinetik des Massenpunkts Dynamik 2.3-21
3.2 Drall
– Zeitliche Änderung des Dralls:
– Drallsatz:
● Die zeitliche Änderung des Dralls bezüglich eines beliebigen ortsfesten Bezugspunkts B ist gleich dem Moment der am Massenpunkt angreifenden Kraft bezüglich des gleichen Be-zugspunkts B.
LB=ddt rBP× p = rBP× prBP× p=v×m vrBP×F=M B
LB=MB
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Prof. Dr. Wandinger 2. Kinetik des Massenpunkts Dynamik 2.3-22
3.2 Drall
– Drallerhaltungssatz:● Wenn das Moment der an einem Massenpunkt angreifenden
Kraft bezüglich eines beliebigen ortsfesten Bezugspunkts B verschwindet, dann ändert sich der Drall bezüglich dieses Bezugspunkts nicht:
M B=0 LB t A=LB tB
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Prof. Dr. Wandinger 2. Kinetik des Massenpunkts Dynamik 2.3-23
3.2 Drall
● Beispiel: Geradlinige Bewegung
– Ein Massenpunkt, auf den keine Kräfte einwirken, führt eine geradlinige Bewegung mit konstanter Geschwindigkeit aus.
– Da das Moment verschwindet, muss der Drall zeitlich kon-stant sein.
v
rrN
B
m
LB=r×m v=rN×m v
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Prof. Dr. Wandinger 2. Kinetik des Massenpunkts Dynamik 2.3-24
3.2 Drall
● Beispiel: Kreisbewegung
– Der Geschwindigkeitsvek-tor steht senkrecht auf dem Ortsvektor.
– Der Drallvektor bezüglich des Kreismittelpunkts steht senkrecht auf der Kreisbahn.
– Er hat den Betrag
LB=mr v=mr r =mr2
B
m
r
v
LB
– Die Größewird als Massenträg-heitsmoment der Punkt-masse bezüglich Punkt B bezeichnet.
J B=mr 2
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Prof. Dr. Wandinger 2. Kinetik des Massenpunkts Dynamik 2.3-25
3.2 Drall
– Der Drallsatz lautet:
– Beispiel: Pendel● Moment:
● Drall:
● Drallsatz:
LB=J B =J B =M B
L
m
mg
φB
LB=mL2
M B=−L sin mg
LB=mL2=−mg L sin
gL
sin =0
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Prof. Dr. Wandinger 2. Kinetik des Massenpunkts Dynamik 2.3-26
3.2 Drall
● Beispiel: 2. Keplersches Gesetz:
Perihel
Aphelr
pr
a
vp
vaF
Sonne
Erde
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Prof. Dr. Wandinger 2. Kinetik des Massenpunkts Dynamik 2.3-27
3.2 Drall
– Die Wirkungslinie der Anziehungskraft zwischen der Sonne und einem Planeten geht durch den Mittelpunkt der Sonne.
– Das Moment dieser Kraft in Bezug auf den Mittelpunkt der Sonne verschwindet daher.
– Deshalb ist der Drall des Planeten auf seiner Bahn um die Sonne konstant.
– Damit ist auch die Flächengeschwindigkeit konstant.
– Daraus folgt unmittelbar das 2. Keplersche Gesetz:
In gleichen Zeiten überstreicht der Fahrstrahl gleiche Flächen.
In gleichen Zeiten überstreicht der Fahrstrahl gleiche Flächen.
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Prof. Dr. Wandinger 2. Kinetik des Massenpunkts Dynamik 2.3-28
3.2 Drall
– Im Perihel und im Aphel ist der Geschwindigkeitsvektor senkrecht zum Ortsvektor.
– Für die Geschwindigkeiten folgt daraus:
– Zahlenwerte:
● Für die Erde ist rp = 147,1∙106km und r
a = 152,1∙106km.
● Damit gilt für die Geschwindigkeiten:
mr p v p=mra va
v p
va=
r a
r p
v p
va=
152,1147,2
=1,033
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Prof. Dr. Wandinger 2. Kinetik des Massenpunkts Dynamik 2.3-29
3.2 Drall
● Massenpunktsysteme:
– Für ein System von Massenpunkten ist der Drall in Bezug auf einen ortsfesten Bezugspunkt B definiert durch
– Die Summe erstreckt sich über alle Massenpunkte des Sys-tems.
– Für die zeitliche Ableitung des Dralls gilt zunächst
LB=∑i
r i×mi v i=∑i
r i× pi
LB=∑i
r i× pi∑i
r i× pi
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Prof. Dr. Wandinger 2. Kinetik des Massenpunkts Dynamik 2.3-30
3.2 Drall
– Die erste Summe berechnet sich zu
– Mit dem Impulssatz für die einzelnen Massen folgt für die zweite Summe:
F1
F2
F12
F21m
1
m2
Br
1
r2
∑i
r i× pi=∑i
v i×m i v i=0
∑i
r i× pi=∑i
r i×F i∑j
F ij=∑
ir i×F i∑
i∑
jr i×F ij
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Prof. Dr. Wandinger 2. Kinetik des Massenpunkts Dynamik 2.3-31
3.2 Drall
– Zu jeder inneren Kraft Fij gibt es eine entgegengesetzt
gleich große Kraft Fji, die die gleiche Wirkungslinie hat.
– Die Summe der Momente der inneren Kräfte ist daher null.
– Also gilt:
– Dabei ist MB das resultierende Moment der äußeren Kräfte.
– Damit ist die Gültigkeit des Drallsatzes für Massenpunkt-systeme gezeigt.
∑i
r i× pi=∑i
r i×F i=M B
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Prof. Dr. Wandinger 2. Kinetik des Massenpunkts Dynamik 2.3-32
3.2 Drall
– Drallsatz für ein Massenpunktsystem:
● Die zeitliche Änderung des Dralls eines Massenpunktsystems in Bezug auf einen ortsfesten Bezugspunkt B ist gleich dem resultierenden Moment der äußeren Kräfte bezüglich dessel-ben Punktes.
– Drallerhaltungssatz für ein Massenpunktsystem:● Wenn das resultierende Moment der äußeren Kräfte ver-
schwindet, dann ist der Drall konstant.
LB=MB
M B=0 LB t A=LB tB
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Prof. Dr. Wandinger 2. Kinetik des Massenpunkts Dynamik 2.3-33
3.2 Drall
● Beispiel:
– Zwei Massenpunkte der Masse m sind verschiebbar auf einer starren Stange an-gebracht, die sich um die z-Achse dreht.
– Wie ändert sich die Winkel-geschwindigkeit, wenn der Abstand der Massen von r
A
auf rB verändert wird?
r
r
m
m
O
ω
mg
mg
z
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Prof. Dr. Wandinger 2. Kinetik des Massenpunkts Dynamik 2.3-34
3.2 Drall
– Zustand A:
– Zustand B:
– Das Moment der äußeren Kräfte um die z-Achse ist null.
– Drallerhaltungssatz:
– Winkelgeschwindigkeiten:
– Arbeit der inneren Kräfte:● Die Arbeit der äußeren
Kräfte ist null.● Damit lautet der Arbeits-
satz:
LOzA=2mr A2A
LOzB=2mrB2B
LOzA=LOzB
2 mr A2 A=2mr B
2 B
r A
r B 2
=B
A
EBK−E A
K=W AB
I
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3.2 Drall
● Kinetische Energie im Zustand A:
● Arbeitssatz:
● Kinetische Energie im Zustand B:
EAK=
12
mv1 A2
12
mv2 A2
=mA2 r A
2
EBK=
12
mv1B2
12
mv2B2
=mB2 r B
2
W ABI =m r B
2B
2−r A
2A
2
=mr A2A
2 rB2B
2
r A2 A
2 −1=mr A2A
2 [ r B2
r A2 r A
r B 4
−1]=mr A
2A
2 [ r A
rB 2
−1]=E AK [ r A
rB 2
−1]
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Prof. Dr. Wandinger 2. Kinetik des Massenpunkts Dynamik 2.3-36
3.2 Drall
● Drall bezüglich eines be-weglichen Bezugspunkts B: LB= r× pr× p
r=rP−rB
r= rP− rB=v−vB
p=m v p=F
LB=v−vB ×m vr×F=−vB× pMB
– Für die zeitliche Ableitung des Dralls gilt:
– Aus folgt nun:
– Mit und folgt weiter:
v
B
LB P
mrvB
rB
rP
O
LB=r× p
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Prof. Dr. Wandinger 2. Kinetik des Massenpunkts Dynamik 2.3-37
3.2 Drall
– Damit lautet der Drallsatz bezüglich eines beweglichen Be-zugspunkts:
– Für ein System von Massenpunkten gilt entsprechend:
– Dabei ist der Gesamtimpuls des Massenpunkt-systems.
LBvB× p=M B
LBvB× pS=M B
pS=m vS
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Prof. Dr. Wandinger 2. Kinetik des Massenpunkts Dynamik 2.3-38
3.2 Drall
– Wird als Bezugspunkt der Schwerpunkt S gewählt, dann vereinfacht sich der Drallsatz des Massenpunktsystems zu
● Dynamisches Gleichgewicht für ein System von Massen-punkten:
– Resultierende Trägheitskraft:● Die resultierende Trägheitskraft berechnet sich zu
LS=M S
FT=−∑m i ai=−∑ mi rPi=−m rS=−m aS
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Prof. Dr. Wandinger 2. Kinetik des Massenpunkts Dynamik 2.3-39
3.2 Drall
● Die resultierende Trägheitskraft wird mit der Beschleunigung a
S des Schwerpunkts berechnet.
● Aus dem Schwerpunktsatz folgt das dynamische Kräfte-gleichgewicht:
– Resultierendes Moment:● Das Moment der Trägheitskräfte um den Schwerpunkt be-
rechnet sich zu
FTF=0
MST=∑ r i×−mi ai =−∑ r i× pi
=−∑ddt r i× pi ∑ r i× pi
=−LS∑ vi−vS × pi
=−LS∑ vi× pi−vS×∑ pi=−LS
mi
S
ri
ai
P
O
rPi
rS
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Prof. Dr. Wandinger 2. Kinetik des Massenpunkts Dynamik 2.3-40
3.2 Drall
● Aus dem Drallsatz folgt das dynamische Momentengleichge-wicht:
● Bei einer Translation des Massenpunktsystems haben alle Massenpunkte die gleiche Beschleunigung. Dann gilt für das Moment der Trägheitskräfte
wegen für den Schwerpunkt.
– Ergebnis:● Die resultierende d'Alembertsche Trägheitskraft wird mit der
Beschleunigung des Schwerpunkts berechnet.
MSTMS=0
MST=−∑i
r i×mi ai=−∑im i r i×a=0
∑m i r i=0
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Prof. Dr. Wandinger 2. Kinetik des Massenpunkts Dynamik 2.3-41
3.2 Drall
● Im Allgemeinen erzeugen die Trägheitskräfte ein Moment um den Schwerpunkt.
● Bei einer reinen Translationsbewegung ist das Moment der Trägheitskräfte bezüglich des Schwerpunkts null. In diesem Fall greift die d'Alembertsche Trägheitskraft im Schwerpunkt an.
– Beispiel:
L
L
S
m
m
x
z
ω
a2
a1
α
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Prof. Dr. Wandinger 2. Kinetik des Massenpunkts Dynamik 2.3-42
3.2 Drall
● Zwei durch eine masselose starre Stange verbundene Mas-sen drehen sich mit der konstanten Winkelgeschwindigkeit ω um den Schwerpunkt.
● Da der Schwerpunkt in Ruhe ist, ist die resultierende d'Alem-bertsche Trägheitskraft null.
● Für die Ortsvektoren gilt:
● Die Beschleunigungen sind die Zentripetalbeschleunigungen:
r1=L cosexsinez , r2=−L cos exsin ez
a1=−2 L cos ex , a2=
2 L cos ex
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Prof. Dr. Wandinger 2. Kinetik des Massenpunkts Dynamik 2.3-43
3.2 Drall
● Das Moment der Trägheitskräfte berechnet sich zu
● Dieses Zentrifugalmoment versucht, die Massen waagerecht auszurichten.
MST=−r1×m a1−r2×m a2
=−L cos exsin ez ×−2 L cos m ex
L cos exsin ez ×2 L cos m ex
=22 L2m cossiney=2 L2m sin 2e y