2. Równania różniczkowe pierwszego rzędu

2.1. Równanie o zmiennych rozdzielonych

Def. 74 Równanie postaci (albo równoważnie - h(y)dy=f(x)dx) nazywamy

r. r. o zmiennych rozdzielonych)(

)(

yg

xf

dx

dy

Rozwiązanie otrzymamy całkując obie strony równania

PrzykładRozwiązać równanie y’ =e-ycos2x przy warunku początkowym y(0)=0Mamy f(x)=cos2x, g(y)=ey Rozdzielamy zmienne eydy=cos2xdxCałka szczególna przy warunku początkowym y(0)=0

Inny sposób obliczenia całki szczególnej: znajdujemy całkę ogólnąi wyznaczamy stałą C z war. pocz.:

Cdxxfdyyg )()(

Tw. 60 Jeżeli f(x) ciągła w przedziale (a, b) a g(x) ciągła w przedziale (c, d) i różna od zera, to powyższy wzórprzedstawia całkę ogólną r.r. o stałych rozdzielonych. Ponadto przez każdy punkt tego prostokąta przechodzidokładnie jedna krzywa całkowa, którą można wyznaczyć ze wzoru

x

x

y

y

dttfdttg00

)()(

2

2sin1ln

2

2sin1

2

2sin2cos

00

00

xy

xe

tetdtdte y

xyt

xyt

Cx

e y 2

2sin

2

2sin1ln1

2

2sin101

2

02sin0 xy

xeCCCe y

2.2. Równania dające się sprowadzić do równania o zmiennych rozdzielonych

2.2.1. Równanie jednorodneNiech f(u) będzie funkcją ciągłą w przedziale (a, b) taką, że f(u) ≠ u

Równanie o niewiadomej y(x) nazywa się równaniem różniczkowym jednorodnym

Równanie jednorodne można sprowadzić do równania o zmiennych rozdzielonych za pomocą podstawienia u(x)=y/x

x

yf

dx

dy

PrzykładZnaleźć całkę ogólną równania

Najpierw trzeba sprawdzić, czy jest to równanie jednorodne. Wykonując wskazane dzielenie

otrzymamy . Podstawmy za y/x u(x) czyli

x

yx

dx

dy

x

y

dx

dy1

CxxxyCxux

dxdu

dx

duxxu

dx

duxxu

dx

duxxu

dx

xxud

dx

dyxxuy

lnln1)(1)(

)()]([

i )(

2.2.2. Równanie y’=f(ax+by+c)Jeżeli b≠0, równanie y’=f(ax+by+c) można sprowadzić do równania o zmiennych rozdzielonych za pomocą podstawienia u(x)=ax+by+c

PrzykładZnaleźć całkę szczególną równania y’=(4x+y+7)2 przy warunku y(0)=-5

Podstawiamy u(x)=4x+y+7. Stąd y=u-4x-7 i

Teraz z warunku początkowego wyznaczamy stałą całkowania C

I ostatecznie szukana całka szczególna74)4/2(2

4/22725

74)2(2)2(274

)2(222

1

21

22

1

444

4 '

12222

xxtgy

CtgCtgC

xCxtgyCxtgyx

CxtguCxu

arctgdxu

ud

dxu

duu

dx

duu

dx

du

dx

du

dx

dyy

2.2.3. Równanie

Równanie takie można sprowadzić do równania jednorodnego lub do równania o zmiennych rozdzielonych

1. Jeżeli wyznacznik stosuje się podstawienia

gdzie stałe h i k wyznacza się z układu równań

Po takim podstawieniu równanie przyjmie postać (równanie jednorodne)

2. Jeżeli wyznacznik wówczas

Podstawiając otrzymamy równanie o zmiennych rozdzielonych

222

111'cybxa

cybxafy

022

11 ba

baW y-kηhxξ i

0

0

222

111

ckbha

ckbha

22

11

ba

ba

fd

d

022

11 ba

baW

2

1

2

1

b

b

a

a

ybxaz 22

2

122 cz

czfba

dx

dz

PrzykładZnaleźć całkę ogólną równania

Zachodzi przypadek 1. Rozwiązujemy układ równań

Układ ma jedno rozwiązanie h=3, k=-1

Podstawiamy co daje

Jest to równanie jednorodne, żeby je rozwiązać podstawiamy

W ten sposób otrzymujemy równanie o zmiennych rozdzielonych

Po scałkowaniu

Podstawiamy teraz

co daje ostateczne rozwiązanie

4

2

yx

yx

dx

dy

0211

11

W

04

02

kh

kh

1 i 3 yηxξ

1

1

d

d

u

d

duuu

u

12

12

222

12 )12(lnln12ln5,0 CuuCuu

3

1 i 3

x

yuxξ

Cyxyxyx 842 22

2.3. Równanie liniowe

Def. 75Równanie o niewiadomej y(x), gdzie p(x) i f(x) są to dane funkcje, ciągłe w pewnym przedziale (a, b) nazywa się równaniem różniczkowym liniowym pierwszego rzędu.

Równanie takie nazywa się jednorodnym, gdy f(x)=0 i niejednorodnym w przeciwnym przyp.

)()( xfyxpdx

dy

2.3.1. Równanie liniowe jednorodne

Jest to równanie o zmiennych rozdzielonych. Jednym z rozwiązań jestJeżeli y(x)≠0, można rozdzielić zmienne

0)( yxpdx

dy

0)( xy

dxxpeCydxxpC

yCdxxpydxxp

y

dy )(

11 )(lnln)(ln)(

Tw. 61 Jeżeli p(x) ciągła w przedziale (a, b), to powyższy wzór przedstawia całkę ogólną równania liniowego jednorodnego. Ponadto przez każdy punkt przechodzi dokładnie jedna krzywa całkowa tego równania.

PrzykładZnaleźć całkę szczególną równania y’-y ctgx=0 przy warunku y(π /2)=2

xCCeCey

xx

xdxctgxdxdxxp

xdxxp sin

sinlnsin

cos)(

sinln)(

2.3.2. Równanie liniowe jednorodne o stałych współczynnikach

Jest to przypadek szczególny równania liniowego jednorodnego, w którym p(x)=k (stała).

y’ +ky=0

Rozwiązanie tego równania otrzymamy z rozwiązania równania liniowego jednorodnego

Teraz z warunku początkowego wyznaczamy stałą całkowania C.Ale najpierw trzeba zobaczyć, czemu jest równy . Nasz warunek początkowyjest podany dla x= π /2. Dla 0<x<π , zatem w tym przedzialecałka ogólna naszego równania y = C sinx

2 = C sinπ/2 = Cczyli C=2

i ostatecznie szukana całka szczególnay = 2 sinx

xsin

xx sinsin

kxkdxdxxp CeCeCey )(

2.3.3. Równanie liniowe niejednorodne

Rozwiązuje się w oparciu o rozwiązanie równania jednorodnego jedną z dwóch metod:1. Uzmienniania stałej2. Przewidywań

2.3.3.1. Metoda uzmienniania stałej

Polega ona na tym, że w rozwiązaniu równania jednorodnego stałą C zastępuje się nieznaną funkcją C(x), którą dobiera się tak, by wzór

przedstawiał rozwiązanie ogólne równania niejednorodnego.

Jak to zrobić?Można zróżniczkować powyższy wzór:

Wstawiając oba te wzory do równania różniczkowego niejednorodnego otrzyma się

Po uporządkowaniu

czyli

a stąd

Udowodniliśmy zatem

dxxpexCy )()(

Tw. 62 Jeżeli p(x) i f(x) ciągłe w przedziale (a, b), to całka ogólna równania liniowego niejednorodnego wyraża się wzorem

Ponadto przez każdy punkt przechodzi dokładnie jedna krzywa całkowa tego równania.

dxexfeeCxy dxxpdxxpdxxp )()()(1 )()(

dxxpdxxp expxCexCdx

dy )()(' )]()[()(

)()()()]()[()( )()()(' xfexCxpexpxCexC dxxpdxxpdxxp

)()( )(' xfexC dxxp

dxxpexfxC )(' )()(

1)()()( CdxexfxC dxxp

PrzykładZnaleźć całkę szczególną równania y’-y ctgx=sin2x przy warunku y(-π /2)=1.Mamy zatem p(x)=-ctg x i

f(x)= sin2xMożna skorzystać z tw. 62, ale łatwiej jest wykorzystać obliczone poprzednio rozwiązanierównania jednorodnego i obliczyć C(x) jak w dowodzie tego twierdzenia.

Przyjmijmy zatem y = C(x) sin x. Różniczkując otrzymamy y’ = C’(x) sin x + C(x) cos x

a wstawiając y i y’ do równania wyjściowego dostaniemy C’(x) sin x + C(x) cos x – ctg x C(x) sin x= sin2x

Stąd C’(x) = sin xwięc C(x) = -cos x + C1

Zatem ostatecznie y(x) = C(x) sin x = -cos x sin x + C1 sin x = -0,5 sin 2x + C1 sin x

Z warunku początkowego 1=-0,5 sin(- π) + C1 sin (-π /2)= - C1

C1 =-1

i rozwiązaniem szczególnym jesty(x) = -(0,5 sin 2x + sin x)

Tw. 63 Całka ogólna równania liniowego niejednorodnego jest sumą całki ogólnej równania jednorodnego i jakiejkolwiek całki szczególnej równania niejednorodnego.

2.3.3.2. Metoda przewidywań

Oparta jest o tw. 63.Wystarczy odgadnąć jakąkolwiek całkę szczególną równania niejednorodnego.

Zakres zastosowań:1. Równanie jest równaniem o stałych współczynnikach tzn. p(x)=k i2. Funkcja f(x) jest jednej z poniższych postaci:

a. Wielomian Wn(x)b. Funkcja typu a1sinωx + a2cosωxc. Funkcji postaci a ebxy gdy b różne od –kd. Suma lub iloczyn funkcji tych trzech typów

Całkę szczególną przewidujemy w tej samej postaci co f(x) zachowując odpowiednio:a. Stopień wielomianu nb. Liczbę ωc. Liczbę b

Pozostałe stałe (współczynniki wielomianu, stałe a1, a2 i a) wyznaczmy z równania.

Przykład 1Znaleźć całkę ogólną równania

y’+4y =x3 Równanie jest o stałych współczynnikach (p(x)=4), a f(x)= x3 jest wielomianem, zatem można próbować rozwiązać to równanie metodą przewidywań.f(x) jest wielomianem stopnia 3, zatem odgadywana całka szczególna y1 też będzie wielomianem stopnia 3 czyli

y1 =Ax3 +B x2 +C x+Dy1 musi spełniać równanie y’+4y =x3 Liczymy y1’=3A x2 +2B x+CWstawiając do równania otrzymamy

3A x2 +2B x+C+4[Ax3 +B x2 +C x+D]= x3

Po uporządkowaniu 4Ax3 +(3A+4B)x2 +(2B+4C) x+(C+4D)= x3

Porównując współczynniki przy odpowiednich potęgach zmiennej x otrzymamy:4A=13A+4B=02B+4C=0C+4D=0

Po rozwiązaniu tego układu równań liniowychA=1/4; B=-3/16; C=3/32; D=-3/128i całką szczególną jest y1 = 1/4 x3 -3/16 x2 + 3/32 x -3/128Całką ogólną równania jednorodnego jest y=Ce-4x

zatem całką ogólną równania jest (zgodnie z tw. 63) y=Ce-4x + 1/4 x3 -3/16 x2 + 3/32 x -3/128

Przykład 2Znaleźć całkę szczególną równania

y’+2y =xex spełniającą warunek początkowy y(0)=2

Równanie jest o stałych współczynnikach (p(x)=4), a f(x)= xex jest iloczynem wielomianu stopnia 1 i f. wykładniczej zatem można próbować rozwiązać to równanie metodą przewidywań.Odgadywana całka szczególna y1 też będzie iloczynem wielomianu stopnia 1 i funkcji wykładniczej czyli

y1 =(A x+B) ex

y1 musi spełniać równanie y’+2y =xex Liczymy y1’=Aex + (A x+B) ex

Wstawiając do równania otrzymamy Aex + (A x+B) ex +2(A x+B) ex =xex

Po podzieleniu przez ex i uporządkowaniu otrzymamy 3Ax+(A+3B)=x

Porównując współczynniki przy odpowiednich potęgach zmiennej x otrzymamy:3A=1A+3B=0

Po rozwiązaniu tego układu równań liniowych A=1/3; B=-1/9i całką szczególną jest y1 = 1/3 (x-1/3) ex

Całką ogólną równania jednorodnego jest y=Ce-2x

zatem całką ogólną równania jest (zgodnie z tw. 63) y=Ce-2x + 1/3 (x-1/3) ex

Uwzględniając warunek początkowy y(0)=2 mamy 2=C e0 +1/3(0-1/3) e0 =C-1/9Stąd C=19/9 i ostatecznie szukane rozwiązanie y=19/9e-2x + 1/3 (x-1/3) ex

Tw. 64 Suma całki szczególnej równania

I całki szczególnej równania

Jest całką szczególną równania. )()()(

)()(

)()(

21

2

1

xfxfyxpdx

dy

xfyxpdx

dy

xfyxpdx

dy

Twierdzenie przydatne, gdy prawa strona jest sumą funkcji różnych dopuszczalnych typów

Porównanie metod rozwiązywania równań liniowych niejednorodnych

1. Metoda uzmienniania stałej:Uniwersalna, może być zawsze stosowana, ale często mozolna

2. Metoda przewidywań:Prostsza, zwykle mniej obliczeń, ale bardzo ograniczony zakres zastosowań

3. Równania różniczkowe drugiego rzędu

3.1. Równania sprowadzalne do równań różniczkowych pierwszego rzędu

PrzykładZnaleźć całkę ogólną i całkę szczególną przy warunkach pocz. y(0)=2, y’(0)=1 równania

y’’=y’ lny’

Po podstawieniu y’=u; y’’=u’ dostaniemyu’=u ln u

Jest to równanie pierwszego rzędu o zmiennych rozdzielonych, więc da się rozwiązać.Rozwiązaniem jest ln u=Cex

Stąd ln y’=Cex

y’ =eCex =(eC )ex =(C1 ) ex

Z warunku y’(0)=1 można wyznaczyć stałą C1 1 =(C1 ) e0 =C1

Stąd

Z warunku y(0)=2 mamy 2=0+ C2 i ostatecznie y=x+2

21)( CdxCyxe

3.1.1. Równanie typu F(x, y’, y’’)=0Nie występuje w nim zmienna y(x)

Równanie takie można sprowadzić do równania pierwszego rzędu za pomocą podstawienia u(x)=y’

bo y’’=u’ i otrzymujemy równanie F(x, u, u’)=0

22221 11)( CxCdxCdxCdxCyxx ee

PrzykładZnaleźć całkę ogólną równania

1+(y’)2=2yy’

Po podstawieniu y’=u(y); y’’=u’y’=u’u dostaniemy 1+u 2 = 2yuu’

Jest to równanie pierwszego rzędu o zmiennych rozdzielonych, więc da się rozwiązać.

3.1.2. Równanie typu F(y, y’, y’’)=0Nie występuje w nim zmienna x

Równanie takie można sprowadzić do równania pierwszego rzędu za pomocą podstawienia y’=u(y)

bo y’’=u’y’=u’u i otrzymujemy równanie F(y, u, uu’)=0

1'

1

lnlnlnln

ln)1ln(

1

2

1

21

11

2

2

yCyu

uyC

yCCyCy

Cyu

y

dy

u

udu

Jest to ponownie równanie o zmiennych rozdzielonych, więc da się rozwiązać.

12

1

22

1

21111

111

111

11

1

gdzie ,1

)(4

eostateczni i

) ()14( , 12

2 2 ,2

zatem

2

12 i

12mamy 1 acPodstawiaj

1

C

CC

CxC

Cy

CxCyCCxCyC

CxCzdxCdzdxdzC

dzCyC

dy

yC

dyCdzzyC

dxyC

dy

3.2. Równanie liniowe

Def. 75aRównanie y’’+p(x)y’+q(x)y=f(x), gdzie p(x), q(x) i f(x) są to dane funkcje, ciągłe w pewnym przedziale (a, b) nazywa się równaniem różniczkowym liniowym drugiego rzędu.

Równanie takie, podobnie jak liniowe równanie pierwszego rzędu, rozwiązuje się rozwiązując najpierw odpowiadające mu równanie jednorodne y’’+p(x)y’+q(x)y=0

3.2.1. Równanie liniowe jednorodney’’+p(x)y’+q(x)y=0

Def. 76Dwie całki y1(x) i y2(x) równania liniowego jednorodnego nazywamy układem podstawowym całek tego równania, jeżeli wrońskianJózef Maria Wroński (1778-1853)

0)(')('

)()(

21

21 xyxy

xyxy

Tw. 65 Jeżeli dwie całki y1(x) i y2(x) równania liniowego jednorodnego stanowią układ podstawowy całek tego równania, to rozwiązanie ogólne tego równania przedstawia wzór

y=C1y1(x)+C2y2(x)

Nie istnieje ogólna metoda znajdowania układu całek podstawowychdla dowolnych funkcji p(x) i q(x). Potrafimy rozwiązać równanie liniowe jednorodne tylko w szczególnych przypadkach

z których najważniejszym jest

3.2.2. Równanie liniowe jednorodne o stałych współczynnikachy’’+py’+qy=0 (p, q – stałe)

Rozwiązanie zależy od pierwiastków tzw. równania charakterystycznego dla naszego równania różniczkowego

r2+pr+q=0

Rozwiązanie zależy od wyróżnika tego równania Δ= p2-4q

Rozwiązanie ogólne tego równania przedstawia wzór

Przypadek A – Δ>0Równanie charakterystyczne ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste

)22

,22

( 22 212,1

pr

pr

pr

eCeCy xrxr 2121

Przypadek B – Δ=0Równanie charakterystyczne ma jeden pierwiastek rzeczywisty (podwójny)Rozwiązanie ogólne tego równania przedstawia wzór

xreCxCy 0)( 21 20

pr

Przypadek C – Δ<0Równanie charakterystyczne nie ma pierwiastków rzeczywistych – ma dwa

pierwiastki zespolone sprzężone

2

4

2 ;

2

,

2

21

pqp

irir

Rozwiązanie ogólne tego równania przedstawia wzór

xCxCey x )cossin( 21

PrzykładZnaleźć całkę szczególną równania

y’’+4y’+5y =0 Spełniające warunki początkowe y(0)=0, y’(0)=1Równanie charakterystyczne tego równania różniczkowego

r2 +4x+5=0 Δ=16-20<0

Przypadek CCałka ogólna tego równania

gdzie

Zatem y=e-2x(C1sin x + C2cos x)Do uwzględnienia war. pocz. trzeba policzyć pochodną y

y’=-2e-2x(C1sin x + C2cos x)+e-2x(C1cos x - C2sin x)Dostajemy układ równań 0=e0(C1sin 0 + C2cos 0)=C2

1=-2e0(C1sin 0 + C2cos 0)+e0(C1cos 0 - C2sin 0)=-2C2 +C1

Stąd C2 = 0; C1 =1

i ostatecznie y=e-2xsin x

xCxCey x )cossin( 21

12

1620

2

4 ;2

2

2

pqp

3.2.3. Równanie liniowe rzędu drugiego niejednorodney’’+p(x)y’+q(x)y=f(x)

otrzymuje się z rozwiązania równania jednorodnego tymi samymi metodami, co równanie liniowe niejednorodne rzędu pierwszego, tj.

1. Uzmienniania stałej2. Przewidywań i wykorzystując tw. 63 i 64

3.3. Równanie Eulera

x2y’’+xpy’+qy=0 (p, q – stałe)

Równanie Eulera można sprowadzić do równania różniczkowego liniowego o stałych współczynnikach przez podstawienie x=eu

0)1(2

2

qydu

dyp

du

yd

PrzykładZnaleźć całkę ogólną równania

x2 y’’+xy’-y =0 Po podstawieniu x=eu

otrzymuje się

Rozwiązaniem tego równania jest y=C1eu + C2e-u= C1x + C2/x

02

2

ydu

yd

4. Równania różniczkowe n-tego rzędu

4.1. Równanie liniowey(n) +pn-1(x)y(n-1) + ... +p2 (x)y’’+p1(x)y’+ p0(x) y=f(x)

Rozwiązuje się tak samo, jak równanie liniowe rzędu drugiego tj. rozwiązując najpierw odpowiednie równanie jednorodne, a potem otrzymując z niego rozwiązanie równania niejednorodnego metodą uzmienniania stałej lub przewidywań.

Def. 76 i tw. 65 stosuje się analogicznie:

Def. 76an całek y1(x), y2(x), ... yn(x) równania liniowego jednorodnego nazywamy układem podstawowym całek tego równania, jeżeli wrońskian

0

)()()(

)(')(')('

)()()(

)1()1(2

)1(1

21

21

xyxyxy

xyxyxy

xyxyxy

nn

nn

n

n

Tw. 65a Jeżeli całki y1(x), y2(x), ... yn(x) równania liniowego jednorodnego stanowią układ podstawowy całek tego równania, to rozwiązanie ogólne tego równania przedstawia wzór

y=C1y1(x)+C2y2(x)+ ... + Cnyn(x)

Nie istnieje ogólna metoda znajdowania układu całek podstawowych

4.1.1. Równanie liniowe o stałych współczynnikachy(n) +pn-1y(n-1) + ... +p2 y’’+p1y’+ p0y=f(x) (pn-1, ... p2, p1, p0 – stałe)

Najpierw rozwiązujemy odpowiednie równanie jednorodne. Jego rozwiązanie zależy od pierwiastków równania charakterystycznego dla naszego równania różniczkowego

rn+ pn-1rn-1+ p2 r2 +p1r +p0=0

Przypadek A – równanie charakterystyczne ma n różnych pierwiastków rzeczywistych

Rozwiązanie ogólne równania jednorodnego w tym przypadku przedstawia wzór

eCeCeCy xrn

xrxr n 2121

Analogicznie postępujemy w innych przypadkach

IV. Równania różnicowe

1. Ciągi liczbowe a funkcje

1.1. Sposoby przedstawiania ciągów liczbowych

Ciąg Znany opis ciągu Inny opis ciągu

2,2 }2{ ,...16,8,4,2

1,2 }12{ ,...7,5,3,1

, }{ ,...,,,

11

11

11

yyyy

yyyny

ayyyayaaaa

nnn

n

nnn

nnn

1.2. Ciąg liczbowy jako funkcja

Ciąg liczbowy możemy uważać za funkcję, której wartość określona jest tylko dla wybranych (całkowitych) wartości argumentu, czyli funkcję, której dziedziną jest zbiór liczb naturalnych – D={N}

Wiele pojęć dla funkcji (pochodna, różniczka, całka, równanie różniczkowe) ma swoje odpowiedniki dla ciągów.

2)1( ,12' 2

0)0( ,4' 4

)( ),,(' )(

23

00

yxyxy

yyxy

yxyyxfyxfy

1.3. Różnica Δ

Różnicę wyrazu yn możemy uważać za odpowiednik pochodnej funkcji w punkcie x0 =n, a nowy ciąg różnic – jako odpowiednik (funkcji) pochodnej danej funkcji f(x).

Odpowiednikiem drugiej pochodnej będzie druga różnica ciągu yn

Def. 77Wyrażenie yn+1- yn nazywamy różnicą wyrazu yn, i oznaczamy Δ yn =yn+1- yn

PrzykładDany jest ciąg 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, ... czyli yn ={n2}

Δ y1 = y2- y1 = 4-1=3 Δ y2 = y3- y2 = 9-4=5 Δ y3 = y4- y3 = 16-9=7 Δ y4 = y5- y4 = 25-16=9

Otrzymujemy nowy ciąg (ciąg różnic) Δ y1 , Δ y2 , Δ y3 , Δ y4 ,...3, 5, 7, 9, ... czyli Δ yn ={2n+1}

Przykład poprzedni Δ (Δ y1)= Δ y2- Δ y1 = 5-3=2 Δ (Δ y2)= Δ y3- Δ y2 = 7-5=2 Δ (Δ y3 )= Δy4- Δ y3 = 9-7=2 itp.

Czyli otrzymujemy ciąg drugich różnic Δ2yn= {2}

Def. 77aWyrażenie Δk yn

= Δ (Δk-1 yn) nazywamy k-tą różnicą wyrazu yn. Δ2 yn

= Δ (Δyn)

Δ3 yn = Δ (Δ2yn)

Δ4 yn = Δ (Δ3yn) itp

Ponieważ różnicę możemy uważać za odpowiednik pochodnej funkcji, to własności różnicy są podobne do własności pochodnej, w szczególności:

Δ (yn + zn )= Δyn+ Δzn

Δ (cyn)= cΔyn

Δ (yn zn )= yn+1 Δzn+zn Δyn

1

nn

nnnn

n

n

zz

yyyz

z

y

Def. 78 operatora Δ-1

Δ (Δ-1 yn)= yn

Łatwo wykazać, że:

Analogia z sumowaniem, a dla funkcji ciągłych – z operacją odwrotną do różniczkowania czyli całkowaniem

1

1

1n

kkn yCy

Równanie różnicowe to zależność między różnicami pewnego ciągu w jednym lub kilku punktach

Każdą różnicę można wyrazić poprzez wyrazy ciągu:Δ yn =yn+1- yn Δ2 yn

= Δ (Δyn) = Δ(yn+1- yn)= Δyn+1- Δyn= (yn+2- yn+1)- (yn+1-yn )= yn+2- 2yn+1+ yn

itp., w szczególności Δk yn można wyrazić przez yn , yn+1 , yn+2 , ..., yn+k

zatem w równaniu różnicowym zamiast różnic można wstawić odpowiednie wyrazy ciągu

2. Równania różnicowe

PrzykładyΔyn+1 -n2 Δ2yn-1=1 (Δ2yn )2-yn+2 +3=0

Przykładyyn+2 - yn+1 -n2 (yn+1 - 2yn +yn-1 ) =1 (yn+1 - 2yn +yn-1 )

2-yn+2 +3=0

Def. 79 (równania różnicowego)Równaniem różnicowym k-tego rzędu nazywamy równanie

F(n, yn , yn+1

, yn+2 , … yn+k)=0

w którym niewiadomą jest ciąg yn

Por. def. 70 równania różniczkowego!!!!

Podobnie jak dla równań różniczkowych możemy poszukiwać dla równania różnicowego1. rozwiązania ogólnego2. rozwiązania szczególnego

Rozwiązanie ogólne równania różnicowego rzędu pierwszego zawiera jedną dowolną stałą C,a równania rzędu k – k dowolnych niezależnych stałych.

Aby znaleźć rozwiązanie szczególne równania różnicowego, należy podać (podobnie jak dla równania różniczkowego), odpowiednie warunki początkowe (brzegowe).

Przykładyn+1 =(n+1) yn

Rozwiązaniem ogólnym jest yn=Cn! (C- dowolna stała)Jeżeli znamy warunek brzegowy y2 =6, to C=3 i yn=3n!

Tw. 66 (por. def. Zagadnienia Cauchy’ego dla równania różniczkowego)Równanie różnicowe k-tego rzędu F(n, yn

, yn+1 , yn+2

, … yn+k)=0wraz z k niezależnymi dodatkowymi warunkami umożliwiającymi wyznaczenie k wartości ciągu yn ma jednoznaczne rozwiązanie

3. Równania różnicowe liniowe

Równaniem różnicowym liniowym k-tego rzędu nazywamy równanie postaci:yn+k+pk-1(n) yn+k-1 + ... +p2 (n) yn+2+p1(n) yn+1+ p0(n) yn=f(n)

3.1. Równania o stałych współczynnikach

yn+k+pk-1yn+k-1 + ... +p2 yn+2+p1yn+1+ p0 yn=f(n) (pk-1, ... p2, p1, p0 – stałe)

Gdy f(n)=0 – równanie jednorodne; dla dowolnego f(n) – równanie niejednorodne.

3.1.1. Równanie liniowe o stałych współczynnikach jednorodneRównanie pierwszego rzędu

yn+1+ pyn=0

yn+1=-pyn

Rozwiązanie ogólneyn=C(-p)n

Rozwiązanie szczególne przy warunku yk=ayk=C(-p)k=a

Stąd C(-p)k=a (-p)-k czyli yn=a(-p)n-k

Przykładyn+1 -3 yn =0

Rozwiązaniem ogólnym jest yn=C 3n (C- dowolna stała)Jeżeli znamy warunek brzegowy y1 =6, to C=2 i yn= 2 3n

Równanie drugiego rzęduyn+2+ pyn+1+ qyn=0

Rozwiązanie zależy od pierwiastków tzw. równania charakterystycznego dla naszego równania różnicowego

r2+pr+q=0a te pierwiastki zależą z kolei od wyróżnika tego równania Δ= p2-4q

Przypadek A – Δ>0Równanie charakterystyczne ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste Rozwiązanie ogólne tego równania przedstawia wzór

Przypadek B – Δ=0Równanie charakterystyczne ma jeden pierwiastek rzeczywisty (podwójny)Rozwiązanie ogólne tego równania przedstawia wzór

Przypadek C – Δ<0Równanie charakterystyczne nie ma pierwiastków rzeczywistych

Rozwiązanie ogólne tego równania przedstawia wzór

rCrCy nnn 2211

222,1

pr

20

pr

CnCry nn )( 210

p

pqarctg

parctg

nCnCqyn

n

2

212

42

2 gdzie

)cossin(

Przykład

Rozwiązać równanie yn+2 - 7yn+1 +10 yn =0

Równanie charakterystyczne r2-7r+10=0Δ= 49-40=9 => r1 =2, r2 =5

Rozwiązaniem ogólnym jest yn=C1 2n + C2 5n (C1, C2 - dowolne stałe)

Jeżeli znamy warunki brzegowe y1 =12, y2 =54 to y1 = C1 21 + C2 51 =12 y2 = C1 22 + C2 52 = 54,

stąd C1=1, C2 =1 i yn= 2n +2 5n

Równania wyższego rzędu

Rozwiązuje się analogicznie przez wyznaczenie pierwiastków równania charakterystycznego dla naszego równania różnicowego rk+ pk-1rk-1+ p2 r2 +p1r +p0=0

Np. gdy równanie charakterystyczne ma wszystkie różne pierwiastki rzeczywiste, to rozwiązanie ogólne tego równania przedstawia wzór

rCrCrCy nkk

nnn ...2211

3.1.2. Równanie liniowe o stałych współczynnikach niejednorodne

Rozwiązuje się tak samo jak równania różniczkowe korzystając z Tw. 63a Rozwiązanie ogólne równania liniowego niejednorodnego jest sumą rozwiązania ogólnego równania jednorodnego i jakiegokolwiek rozwiązania szczególnego równania niejednorodnego.Rozwiązanie szczególne znajduje się metodą przewidywań

Przykład

Rozwiązać równanie yn+2 - 7yn+1 +10 yn =n-1

Rozwiązaniem ogólnym jest yn=C1 2n + C2 5n (C1, C2 - dowolne stałe)

Rozwiązanie szczególne przewidujemy w postaci yn=an+ba(n+2)+b-7[a(n+1)+b]+10(an+b)=n-14an+4b+2a-7a+10b=n-1

Porównując współczynniki przy odpowiednich potęgach n4a=1-5a+14b=-1

Stąd a=1/4, b=1/56

Rozwiązanie szczególne równania niejednorodnego yn=n/4+1/56

Ponieważ rozwiązaniem ogólnym równania jednorodnego jest yn=C1 2n + C2 5n

to rozwiązaniem ogólnym równania niejednorodnego jest yn=C1 2n + C2 5n +n/4+1/56

3.2. Równania o współczynnikach zależnych od n

3.2.1. Równanie pierwszego rzędu

Równanie jednorodneyn+1- p(n)yn=0

yn+1=p(n)yn

Rozwiązanie ogólne tego równania przedstawia wzóryn=Cp(1)p(2)...p(n-1)

PrzykładRozwiązać równanie yn+1 -n yn =0Rozwiązaniem ogólnym jest yn=C.1.2.3...(n-1)=C(n-1)!

Równanie niejednorodneyn+1- p(n)yn=f(n)

Rozwiązanie ogólne tego równania przedstawia wzór

PrzykładRozwiązać równanie yn+1 -n yn =1

Rozwiązaniem ogólnym jest

gdzie C- dowolna stała

kppp

kfCnpppy

n

kn

1

1 )(...)2()1(

)()1(...)2()1(

k

Cnyn

kn

1

1 !

1)!1(

4. Równania różnicowe nielinioweŁatwo rozwiązuje równania sprowadzalne do równań liniowych

PrzykładRozwiązać równanie

nzz

zy

nyy

nn

n

nn

nn

n

43y otrzymujem

ącPodstawiaj

43

1

2

221

KONIEC