rachunek predykatów pierwszego rzędu

Wstep Twierdzenia Prawa Rachunku Predykatów Postscriptum

Sztuczna Inteligencja i Systemy EkspertoweRachunek Predykatów Pierwszego Rzedu

Aleksander Pohl

Wyzsza Szkoła Zarzadzania i Bankowosci

10 marzec 2009

Aleksander Pohl WSZiB

Rachunek Predykatów Pierwszego Rzedu


Plan prezentacji

Wstep

Twierdzenia

Prawa Rachunku Predykatów

Postscriptum




Rachunek Predykatów Pierwszego Rzedu◮ Klasyczny rachunek logiczny to system logiczny, na

który składaja sie rachunek zdan oraz rachunekpredykatów pierwszego rzedu (czyli rachunekkwantyfikatorów ). Klasyczny rachunek logiczny w pełniwystarcza do przeprowadzenia zdecydowanej wiekszoscirozumowan matematycznych.

◮ Tautologia to definicja, twierdzenie lub zdanie warunkowe,które jest uniwersalnie prawdziwe w kazdej niepustejdziedzinie (np. Zachodzi p lub nie p)

◮ Term to wyrazenie składajace sie ze zmiennych orazsymboli funkcyjnych o dowolnej liczbie argumentów(w tym o zerowej liczbie argumentów, czyli stałych)z pewnego ustalonego zbioru.





◮ Rachunek predykatów pierwszego rzedu (ang. firstorder predicate calculus) to system logiczny, w którymkwantyfikatory moga mówic tylko o obiektach, nie zas o ichzbiorach. Tak wiec nie moga wystepowac kwantyfikatorytypu dla kazdej funkcji X na Y. . . istnieje własnosc p, takaze. . . czy dla kazdego podzbioru X zbioru Z. . .

◮ Rachunek ten nazywa sie tez po prostu rachunkiemkwantyfikatorów .





System rachunku predykatów pierwszego rzedu składa sie z:◮ 1, “a“, π – stałych◮ a, b, c, x , y , z – zmiennych◮ f (x), g(x , y) – funkcji n-argumentowych dla pewnego

n naturalnego◮ has(x , y) – relacji n-argumentowych dla pewnego

n naturalnego◮ ∨ ∧ ¬ ⇒ – symboli logicznych (takich jak alternatywa,

koniunkcja, negacja czy implikacja)◮ ∀ ∃ – kwantyfikatora ogólnego i egzystencjalnego




Rachunki wyzszych rzedów

Rachunek drugiego rzedu:◮ ∀F : F (x) ∨ ¬F (x)

◮ W ogólnym wypadku nie jest równowazny rachunkowipierwszego rzedu

◮ Nie istnieje dobry model dowodów dla rachunków drugiegorzedu – nie uzywany przez logików

◮ W teorii złozonosci definiujemy klasy problemówrachunkiem drugiego rzedu

W rachunkach wyzszych rzedów predykaty staja sieparametrami




Plan prezentacji

Wstep

Twierdzenia


Postscriptum




Rachunek Predykatów Pierwszego Rzedu –twierdzenia

Wazniejsze twierdzenia:◮ twierdzenie o zwartosci◮ twierdzenie Herbranda◮ twierdzenie Craiga




Twierdzenie o zwartosci

Twierdzenie o zwarto sci (ang. compactness theorem) totwierdzenie mówiace, ze nieskonczony zbiór zdan rachunkupredykatów pierwszego rzedu jest spełnialny (istnieje jegomodel – czyli zbiór obiektów matematycznych, które gospełniaja), jesli tylko kazdy jego skonczony podzbiór jestspełnialny.

Równowaznie, jesli taki zbiór jest sprzeczny, to istnieje jegoskonczony podzbiór, który jest sprzeczny.




Twierdzenie Herbranda

Rozwiniecie Herbranda dla formuły rachunku predykatówpierwszego rzedu, to formuła, w której:

◮ wszystkie kwantyfikatory ogólne (takze zmienne wolne)∀x : φ(x) zostały zastapione przez koniunkcjeφ(x1) ∧ φ(x2) ∧ . . . ∧ φ(xn),

◮ wszystkie kwantyfikatory egzystencjalne ∃x : φ(x) przezalternatywy φ(x1) ∨ φ(x2) ∨ . . . ∨ φ(xn),

◮ gdzie x1, x2, . . . , xn to pewien podzbiór skonczonyuniwersum Herbranda (które zawiera wszystkie zamknietetermy złozone ze stałych i symboli funkcyjnychwystepujacych w formule).




Twierdzenie Herbranda

◮ Formuła jest tautologia , gdy kazde jej rozwiniecieHerbranda jest tautologia.

◮ Formuła nie jest tautologia , gdy któres jej rozwiniecieHerbranda nie jest tautologia.




Twierdzenie Craiga

Twierdzenie Craiga mówi, ze:◮ dla kazdego zdania rachunku predykatów pierwszego

rzedu postaci X ⇒ Y bedacego tautologia◮ istnieje interpolant, czyli taka formuła Z , ze:

◮ X ⇒ Z i Z ⇒ Y sa tautologiami i◮ w Z nie wystepuje zadna relacja ani symbol funkcyjny

(w tym stała), która nie wystepuje jednoczesnie w X i Y .




Problem rozstrzygalnosci

◮ Teoria T w jezyku L jest rozstrzygalna, jesli istniejealgorytm, który dla kazdego zdania X napisanego w jezykuL rozstrzyga, czy T dowodzi X .

◮ Rachunek predykatów pierwszego rzedu jestnierozstrzygalny (w przeciwienstwie do rachunku zdan),ale nadaje sie do komputerowej analizy (co juzniekoniecznie mozna powiedziec o rachunku predykatówwyzszych rzedów, które dopuszczaja kwantyfikowanie pozbiorach).




Nierozstrzygalnosc Problemu Stopu

def f(g)if(zatrzyma_sie(g))nieskonczona_petla

elsereturn

endend




Nierozstrzygalnosc Problemu Stopu

Sprawdzamy f(f):◮ jesli sie zatrzyma , to zatrzyma_sie(f) zwróciło false,

czyli f nie moze sie zatrzymac – sprzecznosc◮ jesli sie nie zatrzyma , to

◮ albo zatrzyma_sie(f) nie zatrzymało sie – wadliezatrzyma_sie,

◮ albo f powinno wykonac return – sprzecznosc




Plan prezentacji

Wstep

Twierdzenia


Postscriptum




Definicje

◮ A – wyrazenie◮ x – zmienna◮ t – term◮ Sx

t A – instancjacja A, t instancja x◮ ∀x : φ(x) – kwantyfikator uniwersalny◮ ∃x : φ(x) – kwantyfikator egzystencjalny




Prawa Klasycznego Rachunku Zdan

◮ (X ⇒ Y ∧ ¬Y ) ⇒ ¬X – kontrapozycja, Modus Tolens◮ ((X ⇒ Y ) ∧ X ) ⇒ Y – dedukcja, twierdzenie o odrywaniu,

Modus Ponens




Prawa dla kwantyfikatorów

∀x : φ(x) ⇒ Sxt φ instancjacja uniwersalna

φ ⇒ ∀x : φ(x) generalizacja uniwersalna

Sxt φ ⇒ ∃x : φ(x) generalizacja egzystencjalna

∃x : φ(x) ⇒ Sxaφ instancjacja egzystencjalna




Formuły równowaznosci (1)

∃x : A ⇔ A dla x wolnej w A

∀x : A ⇔ A dla x wolnej w A

∃x : A ⇔ Sxt A ∨ ∃x : A dla dowolnego t

∀x : A ⇔ Sxt A ∧ ∀x : A dla dowolnego t





∃x : A ⇔ ∃y : Sxy A dla x wolnej w A

∃x : A ∧ B ⇔ A ∧ ∃x : B dla x wolnej w A

¬∀x : A ⇔ ∃x : ¬A

¬∃x : A ⇔ ∀x : ¬A





∃x ∃y : P(x , y) ⇔ ∃y ∃x : P(x , y)

∀x ∀y : P(x , y) ⇔ ∀y ∀x : P(x , y)

∀x : A(x) ∧ ∀x : B(x) ⇔ ∀x : (A(x) ∧ B(x))

∃x : A(x) ∨ ∃x : B(x) ⇔ ∃x : (A(x) ∨ B(x))




Formuły wnioskowania

∃x ∀y : P(x , y) ⇒ ∀y ∃x : P(x , y)

∃x : P(x) ∧ ∀x : Q(x) ⇒ ∃x : (P(x) ∧ Q(x))

∀x : P(x) ∨ ∀x : Q(x) ⇒ ∀x : (P(x) ∨ Q(x))

∃x : P(x) ∧ ∃x : Q(x) ⇐ ∃x : (P(x) ∧ Q(x))




Aksjomatyczna teoria liczba naturalnych Peano (1889)

◮ 0 jest liczba naturalna◮ s(n) – nastepnik liczby n◮ Jesli n jest liczba naturalna to s(n) jest liczba naturalna◮ ∀n : s(n) 6= 0◮ s(n) = s(m) ⇒ n = m




Aksjomatyczna teoria liczba naturalnych – cd.

◮ Suma:◮ ∀n : n + 0 = n◮ ∀n ∀m : (m + s(n)) = s(m + n)

◮ Iloczyn:◮ ∀n : (n ∗ 0 = 0)◮ ∀n ∀m : (n ∗ s(m) = n ∗ m + n)

◮ Indukcja◮ P(0) ∧ ∀n : (P(n) ⇒ P(s(n))) ⇒ ∀n : P(s(n))




Rekurencja

◮ G-ciag dla predykatu binarnego G(x , y)x = s(y) ⇒ G(x , y) – zachodzi

◮ Domena jest dobrze okreslona ze wzgledu na G jesliwszystkie G-ciagi sa skonczone

◮ Dowód rekurencyjny:◮ Wybieramy predykat G i dowodzimy, ze wszystkie G-ciagi

sa skonczone◮ Jesli x jest elementem minimalnym, to dowodzimy, ze P(x)

zachodzi◮ Dla dowolnego x zakładamy, ze P(y) zachodzi dla

wszystkich y , takich, ze G(x , y) zachodzi◮ Udowadniamy, ze P(x) zachodzi◮ Wniosek: ∀x : P(x)




Plan prezentacji

Wstep

Twierdzenia


Postscriptum




Materiały zródłowe

◮ W.K. Grassman, J.P. Tremblay „Logic and DiscreteMathematics – A Computer Science Perspective”

◮ Slajdy zostały przygotowane za zgodadr. Michała Korzyckiego na podstawie jego wykładu.




Dziekuje!



rachunek predykatów pierwszego rzędu

Education