2. razred srednje razni zadaci
DESCRIPTION
eksponencijalne, logaritamske i kvadratne jednadžbe, graf kvadratne funkcije, zadaci, postupci i rješenjaTRANSCRIPT
2. razred POPRAVNI ISPIT 2011 Stranica 1
Za pomoć u matematici [email protected]
1. Odredi x i y iz jednakosti 2x + y – yi = 1 + i.
2. Zadan je kompleksni broj z = –1 – 3i.
a) prikaži z u kompleksnoj ravnini, b) odredi |z|, c) odredi –z, d) odredi z�.
3. Riješi jednadžbu:
a) ��� + 5 = 0 b) x� = x c)
�� �+
�� � + 1 = 0
d) x� − 8 = 0 e) x� + 3x� + 2 = 0 f) √2x − x + 4 = 0
g) x + y = 5
x� + y� = 0
4. Dana je jednadžba 2�px − 1� = p�2x − 1��p ≠ 0 odredi p ako je:
a) korijeni su jednaki, b) jedan korijen je jednak 0,
c) rješenja nisu realna d) zbroj rješenja jednadžbe jednak je 1.
5. Napiši kvadratnu jednadžbu ako je zadano rješenje x� = −2 − 3�. 6. Skrati razlomak
��� ���� �� � .
7. Nacrtaj graf funkcije �!� = −x� + x + 2 i ispitaj tijek.
8. Riješi nejednadžbe:
a) 4x� ≤ 1 b) −x� ≥ x c) 4x − x� > 0
4x� − 9 ≤ 0 .
9. Nacrtaj grafova funkcija:
a) �x� = 3� b) f�x� = log� x
10. Riješi jednadžbu:
a) 2� = 20 b) )��*� � • )��*
�, = �-
�
c) 5�.� − 5� � = 24 d) log x + log�x − 3� = 1
e) log� x + log�/ x + 4 = 0 f) log03 + 2 log�x + 1�1 = 0
g) log��2� − 7� = 3 .
11. Riješi nejednadžbe:
a) )��*� 3
, < 16 • 2�� � b) log36� ��� ≥ 0
12. Duljina osnovnih bridova uspravne prizme u omjeru su 9:10:17, njezina visina
je 10 cm, oplošje je 2.392 cm2. Odredi obujam.
13. Izračunaj obujam pravilne četverostrane piramide kojoj je duljina brida 10 cm,
a duljina bočnog brida 15 cm.
2. razred POPRAVNI ISPIT 2011
1. 2x + y – yi = 1 + i
2x + y = 1
–y = 1
–y = 1 /: (–1)
y = –1
2x – 1 = 1
2x = 1 + 1
2x = 2 /: 2
x = 1
2. z = –1 – 3i
a)
b) |z| = 7– 1– 3�7 = c) –z = – 9– 1– 3�: = d) z� = �−1 − 3��� =
3. a) ��� + 5 = 0/• 5
x� + 25 = 0
x� = −25
x�,� = =√−25 x�,� = =5�
c) �
� �+�
� �+ 1 = 0/ 2�y − 3� + 3�y − 2� 2y − 6 + 3y − 6 + y y� + 6 = 0
y� = −6
y�,� = =√−6
y�,� = =�√6
POPRAVNI ISPIT 2011
Za pomoć u matematici [email protected]
7 >�−1�� + �−3�� = √1 + 9 = √10
: = 1 + 3� � = 1 + 6� − 9 = −8 + 6�
b) x� = x
x� − x = 0
x�x − 1� = 0
25 x� = 0 x� − 1 x�
/• �y − 2��y − 3� uvjeti: y – 2 ≠ 0
� + �y − 2��y − 3� = 0 y ≠ 2
y� − 2y − 3y + 6 = 0 y – 3 ≠ 0
y ≠ 3
Stranica 2
1 = 0
� = 1
≠ 0
≠ 2
≠ 0
≠ 3
2. razred POPRAVNI ISPIT 2011 Stranica 3
Za pomoć u matematici [email protected]
d) x� − 8 = 0 ?@ − A@ = �? − A��?B + ?A + AB�
�x − 2��x� + 2x + 4� = 0
x – 2 = 0 x� + 2x + 4 = 0
x� = 2 x�,� = C=√C� �DE�D
x�,� = �=√� �-�
x�,� = �=√ ���
x�,� = �=F√���
x�,� = �=F√�•��
x�,� = �=�F√��
x�,� = �9 �=F√�:�
x�,� = −1 = �√3
e) x� + 3x� + 2 = 0 x� = t t� + 3t + 2 = 0
t�,� = C=√C� �DE�D
t�,� = �=√� H�
t�,� = �=√�� x� = −1
t�,� = �=�� x�,� = =√−1
t� = �.�� x�,� = =�
t� = −1 x� = −2
t� = � �� x�,� = =√−2
t� = −2 x�,� = =�√2
f) √2x − x + 4 = 0
√2x = x − 4/2
9√2x:� = �x − 4��
2x = x� − 8x + 16
x� − 8x + 16 − 2x = 0
x� − 10x + 16 = 0
x�,� = C=√C� �DE�D x� = �I.-
�
x�,� = �I=√�II -�� x� = 8
x�,� = �I=√�-� x� = �I -
�
x�,� = �I=-� x� = 2
2. razred POPRAVNI ISPIT 2011 Stranica 4
Za pomoć u matematici [email protected]
g) x + y = 5 => y = –x + 5
x� + y� = 0
x� + �−x + 5�� = 0
x� + x� − 10x + 25 = 0
2x� − 10x + 25 = 0
x�,� = C=√C� �DE�D
x�,� = �I=√�II �II�
x�,� = 5
y = –x + 5
y = –5 + 5
y�,� = 0
4, 2�px − 1� = p�2x − 1��p ≠ 0
2px − 2 = p�4x� − 4x + 1� 2px − 2 = 4px� − 4px + p
4px� − 4px + p − 2px + 2 = 0
4px� − 6px + p + 2 = 0
a = 4p b = –6p c = p + 2
a) D = 0 diskriminanta J = AB − K?L �−6p�� − 4 • 4p • �p + 2� = 0
36p� − 16p� − 32p = 0
20p� − 32p = 0
4p�5p − 8� = 0
4p = 0 nije rješenje zbog uvjeta p ≠ 0
5p – 8 = 0
5p = 8 /: 8
p = H�
b) x� = 0
4 • p • 0� − 6 • p • 0 + p + 2 = 0 p + 2 = 0
p = –2
c) D < 0
�−6p�� − 4 • 4p • �p + 2� < 0
36p� − 16p� − 32p < 0
20p� − 32p < 0
4p�5p − 8� < 0
– ∞ 0 H� +∞
p ∊⟨0, H�⟩
4p – + +
5p - 8 – – +
+ – +
2. razred POPRAVNI ISPIT 2011 Stranica 5
Za pomoć u matematici [email protected]
d� x� + x� = 1 Vietoveformule:x� + x� = − [\
4px� − 6px + p + 2 = 0 x� • x� = ]\
a = 4p b = –6p c = p + 2
− [
\ = 1 − �^
-^ = 1 nemarješenja5. x� = −2 − 3� x� = −2 + 3� ?�d − de��d − dB� = f 9x − �−2 − 3��:9x − �−2 + 3��: = 0 �x − 2 + 3���x − 2 − 3�� = 0 9�x − 2� + 3�:9�x − 2� − 3�: = 0 razlikakvadrata �x − 2�� − �3��� = 0 a� − b� = �a + b��a − b� x� − 4x + 4 + 9 = 0 dB − Kd + e@ = f 6. ��� �
��� �� � = 4x� − 1 = �2x − 1��2x + 1� 2x� − 9x − 5 = 0 x�,� = C=√C� �DE
�D x�,� = �=√H�.�I
� x�,� = �=√���
� x�,� = �=��
� x� = �.��
� x� = � ���
x� = �I� x� = − �
� x� = 5 x� = − �
� ?�d − de��d − dB� = f �x − 5� • 2 )x − �
�* = 0 �x − 5��2x − 1� = 0 ��� �
��� �� � =�2x−1��2x+1��x−5��2x−1� = 2x+1
x−5
2. razred POPRAVNI ISPIT 2011
7. �!� = −x� + x + 2
Tjeme
T�xI, yI�
T)�� ,��*
Nul-točke
−x� + x + 2 = 0
x�,� = C=√C� �DE�D
x�,� = �=√�.H �
x�,� = �=√� �
x�,� = �=� �
x� = �.� � x� = �
x� = −1 x� = 2
Tijek funkcije
x –∞ ��
f(x) ��
8. a) 4x� ≤ 1
4x� − 1 ≤ 0
�2x + 1��2x − 1� –∞ − �
�
2x + 1 –
2x – 1 –
+
x ∊i− �� ,
��j
b) −x� ≥ x
−x� − x ≥ 0
−x�x + 1� ≥ 0
–∞ –1 0 +
x + 1 –
–x +
–
x ∊0−1,01
POPRAVNI ISPIT 2011
Za pomoć u matematici [email protected]
xI = − [�\ yI = �\] [�
�\
xI = − � � yI = H �
�
xI = �� yI = �
�
� �
+∞
� ≤ 0
�� +∞
+ +
– +
– +
1 0 +∞
+ +
+ –
+ –
Stranica 6
2. razred POPRAVNI ISPIT 2011
c) 4x − x� > 0
4x� − 9 ≤ 0
4x − x� > 0
x(4 – x ) > 0
–∞ 0 4 +
x –
4 – x +
–
x1 ∊⟨0,4⟩
4x� − 9 ≤ 0
�2x + 3��2x − 3� ≤ 0
–∞ − ��
2x + 3 –
2x – 3 –
+
x� ∊i− �� ,
��j
x ∊i0, ��j
9. a) �x� = 3�
x –2 –1 0 1
f(x) 19
13 1 3
POPRAVNI ISPIT 2011
Za pomoć u matematici [email protected]
0 4 +∞
+ +
+ –
+ –
�� +∞
+ +
– +
– +
2 3
9 27
.
Stranica 7
2. razred POPRAVNI ISPIT 2011
b) f�x� = log� x
x 19
13 1 3
f(x) –2 –1 0 1
10. a) 2� = 20
x = log� 20
x = 4,3219
b) )��*� � • )��*
�, = �-
�
k)��* �l
� �• )��*
�,
)��* �.� • )��*
�, = )
)��* �.�.�
, = )��*�
−x + 1 + �� = 2/•
x� − x − 2 = −2x x� − x − 2 + 2x = x� + x − 2 = 0
x�,� = C=√C� �DE�D
x�,� = �=√�.H�
POPRAVNI ISPIT 2011
Za pomoć u matematici [email protected]
9
2
�-
) *�, = )��*
�
)��*�
) *
• �−x� x�,� = �=√��
x x�,� = �=��
= 0 x� = �.��
x� = ��
DE x� = 1
Stranica 8
x� = � ��
x� = ��
x� = −2
2. razred POPRAVNI ISPIT 2011 Stranica 9
Za pomoć u matematici [email protected]
c) 5�.� − 5� � = 24
5 • 5� − �� • 5� = 24/• 5
25 • 5� − 5� = 120
24 • 5� = 120/: 24
5� = 5 x = 1
d) log x + log�x − 3� = 1
log x�x − 3� = log 10
x�x − 3� = 10
x� − 3x − 10 = 0
x�,� = C=√C� �DE�D
x�,� = �=√�.�I�
x�,� = �=√���
x�,� = �=/�
x� = �./� x� = � /
�
x� = 5 x� = −2
e) log� x + log�/ x + 4 = 0
log� x + log�m x + 4 = 0
log� x + �� log� x + 4 = 0/• 3
3 log� x + log� x + 12 = 0
4 log� x + 12 = 0/: 4
log� x + 3 = 0
log� x = −3
log� x = log� 3 �
x = 3 �
x = ��/
f) log03 + 2 log�x + 1�1 = 0
log03 + 2 log�x + 1�1 = log 1
3 + 2 log�x + 1� = 1
2 log�x + 1� = 1 − 3
2 log�x + 1� = −2/: 2
log�x + 1� = −1
log�x + 1� = log10 � x + 1 = 0,1
x = 0,1 – 1
x = –0,9
2. razred POPRAVNI ISPIT 2011 Stranica 10
Za pomoć u matematici [email protected]
g) log��2� − 7� = 3
2� − 7 = 2�
2� − 7 = 8
2� = 8 + 7
2� = 15
x = log� 15
x = 3,9069
11. a) )��*� 3
, < 16 • 2�� �
�2 ��� 3, < 2� • 2�� �
2�, � < 2�� �.�
2�, � < 2��.�
�� − 2 < 2! + 1
�� − 2 − 2x − 1 < 0/• !
2 − 2x − 2x� − x < 0
−2x� − 3x + 2 < 0
x�,� = C=√C� �DE�D
x�,� = �=√�.�- �
x�,� = �=√�� �
x�,� = �=� �
x� = �.� � x� = � �
�
x� = −2 x� = ��
b) log36� �n� ≥ 0 uvjet: 1 – 2x >0
log36� �n� ≥ log3
61 –2x > –1 /: �−2�
� �n� ≤ 1 x < �
�
� �n� − 1 ≤ 0
� �n �
� ≤ 0
�� �
� ≤ 0
−2x − 3 ≤ 0
–2x ≤ 3/: �−2� x ≥ − �
�
x ∊ i− �� , o
��⟩o
2. razred POPRAVNI ISPIT 2011
12. a : b : c = 9 : 10 : 17
c = 10 cm
O = 2.592 cm2
V = ?
a = 9k
b = 10k
c = 17k
O = 2B + P
s= \.[.]� = �q.�Iq.�/q
� B = >s�s− a��s− b�� B = >18k�18k − 9k�� B = √18k • 9k • 8k • k B = √1296k�
B = 36k�
P = �a + b + c� • u
P = �9k + 10k + 17k� P = 36k • 10
P = 360k
2B + P = O
2 • 36k� + 360k = 2.592 72k� + 360k − 2.592 k� + 5k − 36 = 0
k�,� = C=√C� �DE�D
k�,� = �=√��.����
k�,� = �=√�-��
k�,� = �=���
k� = �.���
k� = 4
a = 9 • 4
a = 36 cm
b = 10 • 4
b = 40 cm
c = 17 • 4
c = 68 cm
B = 36 • 4
B = 144 cm2
POPRAVNI ISPIT 2011
Za pomoć u matematici [email protected]
q = �-q� = 18k
��s− c� ��18k − 10k��18k − 17k� k
� • 10
592
= 0
k� = � ���
k� = −9 ne vrijedi
V = B • v
V = 144 • 10
V = 1.440 cm3
Stranica 11
2. razred POPRAVNI ISPIT 2011
13. a = 10 cm
b = 15 cm
V = ?
d = a√2
u� = b� − )v�*�
u� = b� − )\√�� *�
u� = b� − �\��
u� = b� − \��
u� = 225 − 50
u� = 175
u = 5√7 cm
V = w•x�
V = \�•x�
V = �II•�√/�
V = �II√/� cm
3
POPRAVNI ISPIT 2011
Za pomoć u matematici [email protected]
Stranica 12