2. razred srednje razni zadaci

12
2. razred POPRAVNI ISPIT 2011 Stranica 1 Za pomoć u matematici [email protected] 1. Odredi x i y iz jednakosti 2x + y – yi = 1 + i. 2. Zadan je kompleksni broj z = –1 – 3i. a) prikaži z u kompleksnoj ravnini, b) odredi |z|, c) odredi –z, d) odredi z . 3. Riješi jednadžbu: a) +5=0 b) x =x c) + +1=0 d) x −8=0 e) x +3x +2=0 f) √2x −x+4=0 g) x + y = 5 x +y =0 4. Dana je jednadžba 2px−1=p2x−1 p≠0 odredi p ako je: a) korijeni su jednaki, b) jedan korijen je jednak 0, c) rješenja nisu realna d) zbroj rješenja jednadžbe jednak je 1. 5. Napiši kvadratnu jednadžbu ako je zadano rješenje x =−2−3 . 6. Skrati razlomak . 7. Nacrtaj graf funkcije =−x +x+2 i ispitaj tijek. 8. Riješi nejednadžbe: a) 4x ≤1 b) −x ≥x c) 4x−x >0 4x −9≤0 . 9. Nacrtaj grafova funkcija: a) x=3 b) fx = log x 10. Riješi jednadžbu: a) 2 =20 b) = c) 5 −5 = 24 d) logx+logx−3=1 e) log x+log x+4=0 f) log3+2logx+1=0 g) log 2 −7=3 . 11. Riješi nejednadžbe: a) <16•2 b) log ≥0 12. Duljina osnovnih bridova uspravne prizme u omjeru su 9:10:17, njezina visina je 10 cm, oplošje je 2.392 cm 2 . Odredi obujam. 13. Izračunaj obujam pravilne četverostrane piramide kojoj je duljina brida 10 cm, a duljina bočnog brida 15 cm.

Upload: zdravko-lezaic

Post on 10-Mar-2016

244 views

Category:

Documents


13 download

DESCRIPTION

eksponencijalne, logaritamske i kvadratne jednadžbe, graf kvadratne funkcije, zadaci, postupci i rješenja

TRANSCRIPT

Page 1: 2. razred srednje razni zadaci

2. razred POPRAVNI ISPIT 2011 Stranica 1

Za pomoć u matematici [email protected]

1. Odredi x i y iz jednakosti 2x + y – yi = 1 + i.

2. Zadan je kompleksni broj z = –1 – 3i.

a) prikaži z u kompleksnoj ravnini, b) odredi |z|, c) odredi –z, d) odredi z�.

3. Riješi jednadžbu:

a) ��� + 5 = 0 b) x� = x c)

�� �+

�� � + 1 = 0

d) x� − 8 = 0 e) x� + 3x� + 2 = 0 f) √2x − x + 4 = 0

g) x + y = 5

x� + y� = 0

4. Dana je jednadžba 2�px − 1� = p�2x − 1��p ≠ 0 odredi p ako je:

a) korijeni su jednaki, b) jedan korijen je jednak 0,

c) rješenja nisu realna d) zbroj rješenja jednadžbe jednak je 1.

5. Napiši kvadratnu jednadžbu ako je zadano rješenje x� = −2 − 3�. 6. Skrati razlomak

��� ���� �� � .

7. Nacrtaj graf funkcije �!� = −x� + x + 2 i ispitaj tijek.

8. Riješi nejednadžbe:

a) 4x� ≤ 1 b) −x� ≥ x c) 4x − x� > 0

4x� − 9 ≤ 0 .

9. Nacrtaj grafova funkcija:

a) �x� = 3� b) f�x� = log� x

10. Riješi jednadžbu:

a) 2� = 20 b) )��*� � • )��*

�, = �-

c) 5�.� − 5� � = 24 d) log x + log�x − 3� = 1

e) log� x + log�/ x + 4 = 0 f) log03 + 2 log�x + 1�1 = 0

g) log��2� − 7� = 3 .

11. Riješi nejednadžbe:

a) )��*� 3

, < 16 • 2�� � b) log36� ��� ≥ 0

12. Duljina osnovnih bridova uspravne prizme u omjeru su 9:10:17, njezina visina

je 10 cm, oplošje je 2.392 cm2. Odredi obujam.

13. Izračunaj obujam pravilne četverostrane piramide kojoj je duljina brida 10 cm,

a duljina bočnog brida 15 cm.

Page 2: 2. razred srednje razni zadaci

2. razred POPRAVNI ISPIT 2011

1. 2x + y – yi = 1 + i

2x + y = 1

–y = 1

–y = 1 /: (–1)

y = –1

2x – 1 = 1

2x = 1 + 1

2x = 2 /: 2

x = 1

2. z = –1 – 3i

a)

b) |z| = 7– 1– 3�7 = c) –z = – 9– 1– 3�: = d) z� = �−1 − 3��� =

3. a) ��� + 5 = 0/• 5

x� + 25 = 0

x� = −25

x�,� = =√−25 x�,� = =5�

c) �

� �+�

� �+ 1 = 0/ 2�y − 3� + 3�y − 2� 2y − 6 + 3y − 6 + y y� + 6 = 0

y� = −6

y�,� = =√−6

y�,� = =�√6

POPRAVNI ISPIT 2011

Za pomoć u matematici [email protected]

7 >�−1�� + �−3�� = √1 + 9 = √10

: = 1 + 3� � = 1 + 6� − 9 = −8 + 6�

b) x� = x

x� − x = 0

x�x − 1� = 0

25 x� = 0 x� − 1 x�

/• �y − 2��y − 3� uvjeti: y – 2 ≠ 0

� + �y − 2��y − 3� = 0 y ≠ 2

y� − 2y − 3y + 6 = 0 y – 3 ≠ 0

y ≠ 3

Stranica 2

[email protected]

1 = 0

� = 1

≠ 0

≠ 2

≠ 0

≠ 3

Page 3: 2. razred srednje razni zadaci

2. razred POPRAVNI ISPIT 2011 Stranica 3

Za pomoć u matematici [email protected]

d) x� − 8 = 0 ?@ − A@ = �? − A��?B + ?A + AB�

�x − 2��x� + 2x + 4� = 0

x – 2 = 0 x� + 2x + 4 = 0

x� = 2 x�,� = C=√C� �DE�D

x�,� = �=√� �-�

x�,� = �=√ ���

x�,� = �=F√���

x�,� = �=F√�•��

x�,� = �=�F√��

x�,� = �9 �=F√�:�

x�,� = −1 = �√3

e) x� + 3x� + 2 = 0 x� = t t� + 3t + 2 = 0

t�,� = C=√C� �DE�D

t�,� = �=√� H�

t�,� = �=√�� x� = −1

t�,� = �=�� x�,� = =√−1

t� = �.�� x�,� = =�

t� = −1 x� = −2

t� = � �� x�,� = =√−2

t� = −2 x�,� = =�√2

f) √2x − x + 4 = 0

√2x = x − 4/2

9√2x:� = �x − 4��

2x = x� − 8x + 16

x� − 8x + 16 − 2x = 0

x� − 10x + 16 = 0

x�,� = C=√C� �DE�D x� = �I.-

x�,� = �I=√�II -�� x� = 8

x�,� = �I=√�-� x� = �I -

x�,� = �I=-� x� = 2

Page 4: 2. razred srednje razni zadaci

2. razred POPRAVNI ISPIT 2011 Stranica 4

Za pomoć u matematici [email protected]

g) x + y = 5 => y = –x + 5

x� + y� = 0

x� + �−x + 5�� = 0

x� + x� − 10x + 25 = 0

2x� − 10x + 25 = 0

x�,� = C=√C� �DE�D

x�,� = �I=√�II �II�

x�,� = 5

y = –x + 5

y = –5 + 5

y�,� = 0

4, 2�px − 1� = p�2x − 1��p ≠ 0

2px − 2 = p�4x� − 4x + 1� 2px − 2 = 4px� − 4px + p

4px� − 4px + p − 2px + 2 = 0

4px� − 6px + p + 2 = 0

a = 4p b = –6p c = p + 2

a) D = 0 diskriminanta J = AB − K?L �−6p�� − 4 • 4p • �p + 2� = 0

36p� − 16p� − 32p = 0

20p� − 32p = 0

4p�5p − 8� = 0

4p = 0 nije rješenje zbog uvjeta p ≠ 0

5p – 8 = 0

5p = 8 /: 8

p = H�

b) x� = 0

4 • p • 0� − 6 • p • 0 + p + 2 = 0 p + 2 = 0

p = –2

c) D < 0

�−6p�� − 4 • 4p • �p + 2� < 0

36p� − 16p� − 32p < 0

20p� − 32p < 0

4p�5p − 8� < 0

– ∞ 0 H� +∞

p ∊⟨0, H�⟩

4p – + +

5p - 8 – – +

+ – +

Page 5: 2. razred srednje razni zadaci

2. razred POPRAVNI ISPIT 2011 Stranica 5

Za pomoć u matematici [email protected]

d� x� + x� = 1 Vietoveformule:x� + x� = − [\

4px� − 6px + p + 2 = 0 x� • x� = ]\

a = 4p b = –6p c = p + 2

− [

\ = 1 − �^

-^ = 1 nemarješenja5. x� = −2 − 3� x� = −2 + 3� ?�d − de��d − dB� = f 9x − �−2 − 3��:9x − �−2 + 3��: = 0 �x − 2 + 3���x − 2 − 3�� = 0 9�x − 2� + 3�:9�x − 2� − 3�: = 0 razlikakvadrata �x − 2�� − �3��� = 0 a� − b� = �a + b��a − b� x� − 4x + 4 + 9 = 0 dB − Kd + e@ = f 6. ��� �

��� �� � = 4x� − 1 = �2x − 1��2x + 1� 2x� − 9x − 5 = 0 x�,� = C=√C� �DE

�D x�,� = �=√H�.�I

� x�,� = �=√���

� x�,� = �=��

� x� = �.��

� x� = � ���

x� = �I� x� = − �

� x� = 5 x� = − �

� ?�d − de��d − dB� = f �x − 5� • 2 )x − �

�* = 0 �x − 5��2x − 1� = 0 ��� �

��� �� � =�2x−1��2x+1��x−5��2x−1� = 2x+1

x−5

Page 6: 2. razred srednje razni zadaci

2. razred POPRAVNI ISPIT 2011

7. �!� = −x� + x + 2

Tjeme

T�xI, yI�

T)�� ,��*

Nul-točke

−x� + x + 2 = 0

x�,� = C=√C� �DE�D

x�,� = �=√�.H �

x�,� = �=√� �

x�,� = �=� �

x� = �.� � x� = �

x� = −1 x� = 2

Tijek funkcije

x –∞ ��

f(x) ��

8. a) 4x� ≤ 1

4x� − 1 ≤ 0

�2x + 1��2x − 1� –∞ − �

2x + 1 –

2x – 1 –

+

x ∊i− �� ,

��j

b) −x� ≥ x

−x� − x ≥ 0

−x�x + 1� ≥ 0

–∞ –1 0 +

x + 1 –

–x +

x ∊0−1,01

POPRAVNI ISPIT 2011

Za pomoć u matematici [email protected]

xI = − [�\ yI = �\] [�

�\

xI = − � � yI = H �

xI = �� yI = �

� �

+∞

� ≤ 0

�� +∞

+ +

– +

– +

1 0 +∞

+ +

+ –

+ –

Stranica 6

[email protected]

Page 7: 2. razred srednje razni zadaci

2. razred POPRAVNI ISPIT 2011

c) 4x − x� > 0

4x� − 9 ≤ 0

4x − x� > 0

x(4 – x ) > 0

–∞ 0 4 +

x –

4 – x +

x1 ∊⟨0,4⟩

4x� − 9 ≤ 0

�2x + 3��2x − 3� ≤ 0

–∞ − ��

2x + 3 –

2x – 3 –

+

x� ∊i− �� ,

��j

x ∊i0, ��j

9. a) �x� = 3�

x –2 –1 0 1

f(x) 19

13 1 3

POPRAVNI ISPIT 2011

Za pomoć u matematici [email protected]

0 4 +∞

+ +

+ –

+ –

�� +∞

+ +

– +

– +

2 3

9 27

.

Stranica 7

[email protected]

Page 8: 2. razred srednje razni zadaci

2. razred POPRAVNI ISPIT 2011

b) f�x� = log� x

x 19

13 1 3

f(x) –2 –1 0 1

10. a) 2� = 20

x = log� 20

x = 4,3219

b) )��*� � • )��*

�, = �-

k)��* �l

� �• )��*

�,

)��* �.� • )��*

�, = )

)��* �.�.�

, = )��*�

−x + 1 + �� = 2/•

x� − x − 2 = −2x x� − x − 2 + 2x = x� + x − 2 = 0

x�,� = C=√C� �DE�D

x�,� = �=√�.H�

POPRAVNI ISPIT 2011

Za pomoć u matematici [email protected]

9

2

�-

) *�, = )��*

)��*�

) *

• �−x� x�,� = �=√��

x x�,� = �=��

= 0 x� = �.��

x� = ��

DE x� = 1

Stranica 8

[email protected]

x� = � ��

x� = ��

x� = −2

Page 9: 2. razred srednje razni zadaci

2. razred POPRAVNI ISPIT 2011 Stranica 9

Za pomoć u matematici [email protected]

c) 5�.� − 5� � = 24

5 • 5� − �� • 5� = 24/• 5

25 • 5� − 5� = 120

24 • 5� = 120/: 24

5� = 5 x = 1

d) log x + log�x − 3� = 1

log x�x − 3� = log 10

x�x − 3� = 10

x� − 3x − 10 = 0

x�,� = C=√C� �DE�D

x�,� = �=√�.�I�

x�,� = �=√���

x�,� = �=/�

x� = �./� x� = � /

x� = 5 x� = −2

e) log� x + log�/ x + 4 = 0

log� x + log�m x + 4 = 0

log� x + �� log� x + 4 = 0/• 3

3 log� x + log� x + 12 = 0

4 log� x + 12 = 0/: 4

log� x + 3 = 0

log� x = −3

log� x = log� 3 �

x = 3 �

x = ��/

f) log03 + 2 log�x + 1�1 = 0

log03 + 2 log�x + 1�1 = log 1

3 + 2 log�x + 1� = 1

2 log�x + 1� = 1 − 3

2 log�x + 1� = −2/: 2

log�x + 1� = −1

log�x + 1� = log10 � x + 1 = 0,1

x = 0,1 – 1

x = –0,9

Page 10: 2. razred srednje razni zadaci

2. razred POPRAVNI ISPIT 2011 Stranica 10

Za pomoć u matematici [email protected]

g) log��2� − 7� = 3

2� − 7 = 2�

2� − 7 = 8

2� = 8 + 7

2� = 15

x = log� 15

x = 3,9069

11. a) )��*� 3

, < 16 • 2�� �

�2 ��� 3, < 2� • 2�� �

2�, � < 2�� �.�

2�, � < 2��.�

�� − 2 < 2! + 1

�� − 2 − 2x − 1 < 0/• !

2 − 2x − 2x� − x < 0

−2x� − 3x + 2 < 0

x�,� = C=√C� �DE�D

x�,� = �=√�.�- �

x�,� = �=√�� �

x�,� = �=� �

x� = �.� � x� = � �

x� = −2 x� = ��

b) log36� �n� ≥ 0 uvjet: 1 – 2x >0

log36� �n� ≥ log3

61 –2x > –1 /: �−2�

� �n� ≤ 1 x < �

� �n� − 1 ≤ 0

� �n �

� ≤ 0

�� �

� ≤ 0

−2x − 3 ≤ 0

–2x ≤ 3/: �−2� x ≥ − �

x ∊ i− �� , o

��⟩o

Page 11: 2. razred srednje razni zadaci

2. razred POPRAVNI ISPIT 2011

12. a : b : c = 9 : 10 : 17

c = 10 cm

O = 2.592 cm2

V = ?

a = 9k

b = 10k

c = 17k

O = 2B + P

s= \.[.]� = �q.�Iq.�/q

� B = >s�s− a��s− b�� B = >18k�18k − 9k�� B = √18k • 9k • 8k • k B = √1296k�

B = 36k�

P = �a + b + c� • u

P = �9k + 10k + 17k� P = 36k • 10

P = 360k

2B + P = O

2 • 36k� + 360k = 2.592 72k� + 360k − 2.592 k� + 5k − 36 = 0

k�,� = C=√C� �DE�D

k�,� = �=√��.����

k�,� = �=√�-��

k�,� = �=���

k� = �.���

k� = 4

a = 9 • 4

a = 36 cm

b = 10 • 4

b = 40 cm

c = 17 • 4

c = 68 cm

B = 36 • 4

B = 144 cm2

POPRAVNI ISPIT 2011

Za pomoć u matematici [email protected]

q = �-q� = 18k

��s− c� ��18k − 10k��18k − 17k� k

� • 10

592

= 0

k� = � ���

k� = −9 ne vrijedi

V = B • v

V = 144 • 10

V = 1.440 cm3

Stranica 11

[email protected]

Page 12: 2. razred srednje razni zadaci

2. razred POPRAVNI ISPIT 2011

13. a = 10 cm

b = 15 cm

V = ?

d = a√2

u� = b� − )v�*�

u� = b� − )\√�� *�

u� = b� − �\��

u� = b� − \��

u� = 225 − 50

u� = 175

u = 5√7 cm

V = w•x�

V = \�•x�

V = �II•�√/�

V = �II√/� cm

3

POPRAVNI ISPIT 2011

Za pomoć u matematici [email protected]

Stranica 12

[email protected]