2. interes simple y compuesto_2016-0

8/18/2019 2. Interes Simple y Compuesto_2016-0

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Interés Simple


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• ¿Qué es interés simple?• ¿Cuáles son las fórmulas para hallar las

distintas variables?• ¿Cuál es la fórmula en caso de que la tasasea variable en el tiempo?

• ¿Cómo se halla el tiempo aproximado yexacto?

• ¿Qué son las ecuaciones de valor a interéssimple?


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Interés simple

fórmulas

M = C + I

... (3)

... (4)

Si asumimos varios períodos y despejamos I de laexpresión (2), y M de la expresión (1), tendremos que:Si asumimos varios períodos y despejamos I de laexpresión (2), y M de la expresión (1), tendremos que:

I = C x j x n


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Interés simple

fórmulasReemplazando (3) en (4) :Reemplazando (3) en (4) :

M = C x ( 1 + j x n )Elementos• M = Monto a interés simple ( valor futuro ).• C = apital ( valor presente ).• n = !la"o en n#mero de a$os.• j = %asa de interés por período, & por a$o.


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Interés simple tasa

variable (d)' u nto es el monto que retiraríamos el 1 de di*iem+re, sí el

1- 1 invertimos S-.1 , . al 2& para los dos primeros +imestres y un plus de 1& en *ada dos +imestres su*esivos.

Datos: = 1 ,

n = 1 a$o = / +imestre

0 = 2& +imestre 1 y 2 0 = & +imestre y 0 = & +imestre y /

Soluci n:M = 1! """ (1 + (("#"$%$) + ("#"&%$) +("#"'%$))M = 1! """ (1 + ("#"' + "#" + "#" ))M = 1* *""#""

I = 1! """ % "#1 = $ *""

M = C(1 +((j 1 x n 1)+(j $ x n $)+ , +(j n x n n))


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Interés simple :

ecuaciones de valorSe trata de reempla"ar un *on0unto de o+li a*iones de pa os porotro equivalente en otro momento. Sur en *uando las*ondi*iones ini*iales de tasas y-o tiempos no pueden ser

*umplidas teniéndose que ne o*iar nuevas alternativas de pa o,opera*ión que re*i+e el nom+re de re3inan*ia*ión de deudas

4os valores de la situa*ión ini*ial son llevados a un mismo punto

en el tiempo (3e*5a 3o*al) y son i ualados a los valores a la nuevasitua*ión de pa o en ese momento del tiempo. !ermite despe0ar elvalor de las in*ó nitas (tiempo o monto por pa ar).


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Ejemplo

6d. tiene dos o+li a*iones en la si uientes *ondi*iones.a) 2 al 2& mensual para ser pa ado dentro de días.

+) al & mensual para ser pa ado dentro de 12 días

7l ver la imposi+ilidad de *umplir *on la primera o+li a*ión,de*ide proponerle al a*reedor pa arle las dos deudas a los díasdel ven*imiento de la primera deuda.

8l a*reedor a*epta e3e*tuar la opera*ión al 2. & de interés mensual.

' u nto es el importe de la nueva o+li a*ión si la 3e*5a 3o*al es elde pa o9


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2,040 3,360

Solución

0 2 3 41

j = $#!- mensual

$"'" (1 + "#"$!) + && ".(1+"#"$!%$) = /

fechafocal

Importe a pagar en la = 5291

0plicaci n com inadade f rmulas de valor

futuro 2 valor presente

XS Deudas = S agos !en la 2"

$"31 + &$"" = /


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Ejercicios…1) allar el interés !enerado por un capital "#$1% %%%$%%

depositado al 1$&' de interés trimestral durante tres a(os$) ¿Cuál es el capital* impuesto al +' trimestral durante 1%

meses* produce un monto de "#$1+ %%$%%?+) ¿Cuál es el capital que impuesto al ,' anual durante un a(o*

dos meses y & d-as ha producido un interés de "#$+ . &$%%?,) ¿/ qué tasa de interés anual ha sido colocado "#$& %%%$%%

que se ha convertido en "#$& . &$%% al cabo de tres a(os?&) ¿Qué tiempo fue depositado un capital de "#$1. &%%$%%

que al 0nali ar el periodo se convirtió en "#$12 %%%$%% auna tasa de ,$ 3&' anual?


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• ¿Qué es interés simple?

• ¿Cuáles son las fórmulaspara hallar las distintasvariables?

• ¿Cuál es la fórmula en casode que la tasa sea variableen el tiempo?

• ¿Cómo se halla el tiempoaproximado y exacto?

• ¿Qué son las ecuaciones devalor a interés simple?

Es calculado so+re el capitalinicial por ello en cada intervalo de tiempo es i4ual#

M = C(1 + jn)I = Cjn

M = C(1+((j 1 x n 1)+,+(j n x n n))

7$o / días, mes días

7$o / días, mes se #n el mes

7pli*a*ión *om+inada de 3órmulasde valor 3uturo y valor presente


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Tarea…/. ' u l es la tasa de interés a la que se 5a *ontratado una opera*ión 3inan*iera

de S-.1 . que 5a produ*ido un interés de S-. 2 . en 1 meses9;. u l es el interés simple y el monto total, si se re*i+e un préstamo por S-.

1 , a una tasa nominal del 1 &, pa aderos en dos a$os.. ? a %ino para ser devuelto al *a+o de 2. a$os, a >-

de intereses semestral. Si el interés total es 2 :apital ( ) = !restamista:

%iempo (t) = @@@@@@@@@@@.%asa (0) =Anterés (A) = !restatario:

uota (B) =Monto (M) = @@@@@@@@@@@.


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… Tarea …C. ' u l 3ue nuestra inversión ini*ial, si 5emos o+tenido +ene3i*ios

de S-. , después de meses, a interés simple y *on el 2 & detasa anual9

1 . ' u nto es el monto que retiraríamos dentro de a$os, sí 5oyinvertimos S-. , al ;& para el primer a$o *on in*rementosdel 1& para los próximos tres a$os.

11. al*ular el interés a tiempo exa*to y aproximado de un préstamode S-. / por un a$o, tasa de interés 1 & por a$o exa*to.

12. 8n la 3e*5a otor amos un préstamo por S-. , para ser*o+rado después de a$os a S-. ;, . Deseamos sa+er: a) 8linterés y +) 4a tasa de interés periódi*a y lo+al del préstamo.


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… Tarea …1 . '6d. !restamista *uanto invirtió si *o+ró S-. , después de

1 meses y 1 días al 2 & de tasa anual91 . ' u nto es el monto que retiraríamos dentro de 1 meses, sí

5oy invertimos S-. , al & para el primer semestre *onin*rementos del . & en *ada su*esivo semestre.1 . al*ular el interés a tiempo exa*to y aproximado de un

préstamo de S-. / por un a$o, si la tasa de interés es 1 & por a$o *omer*ial.

1/. Ealle el tiempo en a$os, si un *apital de S-.2 . una ve"trans*urrido el periodo se *onvirtió en S-.21 C . a una tasade 2. ; & mensual.


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… Tarea …1;. ' u l es la tasa de interés anual, si un *omer*iante o3re*e un televisor D

de 2? a S-.1 . al *ontado y al *rédito & de ini*ial y una *uotade S-./ C . dentro de 1 meses9

1 . ' u nto es el monto que retiraríamos el 1 de di*iem+re, sí 5oyinvertimos S-.1 , . al & para el primer semestre y un plus de 1&en *ada su*esivo semestre que permane"*a.

1C. al*ular el interés a tiempo exa*to y aproximado de un préstamo de S-. otor ado 5oy, pa adero dentro de *in*o meses, a la tasa de interés

de 2& por mes *omer*ial, so+re el *apital ini*ial.2 . Ealle el tiempo en semestres, si un *apital de S-. . una ve"

trans*urrido el periodo se *onvirtió en S-. / . a una tasa de 2&mensual.


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… Tarea …21. ' u l es la tasa de interés mensual, si un *omer*iante o3re*e un

automóvil a S-. . al *ontado y al *rédito 2 & de ini*ial y una*uota de S-. . en / días9

22. ' u nto es el monto que retiraríamos el 1 de di*iem+re, sí 5oyinvertimos S-.1 , . al & para el primer semestre y un plus de2& en *ada su*esivo semestre que permane"*a.

2 . al*ular el interés a tiempo exa*to y aproximado de un préstamo deS-. C otor ado 5oy, pa adero en dos *uotas +imensuales i uales,

a la tasa de interés de 2& por mes *omer*ial, so+re el *apital ini*ial.2 . Ealle el tiempo, si un *apital de S-./ . una ve" trans*urrido el

periodo se *onvirtió en S-.// ///. a una tasa de 2. & mensual.


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… Tarea …2 . 6d. 7deuda S-. pa ado dentro de días y pa adero

dentro de 12 días. De*ide proponerle al a*reedor pa arle lasdos deudas dentro de / días. 8l a*reedor a*epta, *on la

*ondi*ión de que 1ra. deuda enera 2. & de interés mensual yla 2da. deuda el 2& de interés mensual, y una penalidad por

pa o anti*ipado de 2&. ' u nto es el importe de la nuevao+li a*ión9

2/. Ealle el monto que retiraríamos el 1 de di*iem+re, sí el 1- ;invertimos S-.1 , . al 1& mensual para los dos primerosmeses y un plus de . & en *ada dos meses su*esivos.


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Interés compuesto

Valiente P. Ramírez Huerta4ocente


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•¿Qué es interés compuesto?•¿Cuáles son las fórmulas para hallar

las distintas variables?•¿Cuál es la fórmula en caso de que latasa sea variable en el tiempo?

•¿Qué son las ecuaciones de valor ainterés compuesto?


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Interés compuesto

8s el inter5s 4anado por un capital ? en un pla"o de n?per6odos *onsiderando que los intereses por cada per6odo sea7aden autom ti*amente al capital de tal 3orma que tam i5n 4anan intereses en el período si uiente.

#1

#2

#n

$1 2 n


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Ejemplo"i un capital de "#$1% %%%$%% se

invierte al &' por periodo* durante

die periodos8eriodo Capital Inter5s Monto1 1" """#"" . 1 , .2 1 , . . 11, .

1 , . . 11, .1 , . . 12, .

1 , . . 12, ./ 1 , . . 1 , .; 1 , . . 1 , .

1 , . . 1 , .C 1 , . . 1 , .

1 1 , . . 1! """#""

9otal ! """#""

8eriodo Capital Inter5s Monto1 1" """#"" . 1 , .2 1 , . 2 . 11, 2 .

11, 2 . 1.2 11, ;/.211, ;/.2 ; . 1 12,1 . /

12,1 . / / ;.; 12,;/2. 2/ 12,;/2. 2 / .1 1 , .C/; 1 , .C/ /; . 1 , ;1.

1 , ;1. ; . 1 ,;; .C 1 ,;; . ; .; 1 , 1 .2

1 1 , 1 .2 ;; .// 1 $ #3!

9otal $ #3!

Inter%s compuestoInter%s s&mple


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Interés compuesto

FórmulasSi asumimos varios períodos para hallar el interés,tendremos la siguiente fórmula:

Si asumimos varios períodos para hallar el interés,tendremos la siguiente fórmula:

I = # '!1 ( & "n )1* ... (4)

I Intereses generados por unidad de tiempo.! !apital i "asa de interés por cada periodon n#mero de periodos de capitali$ación


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Interés compuesto

Fórmulas

... (%)& !(' i ) n

onde:•

M = Monto a interés compuesto (valor futuro).• C = Capital (valor presente).• n = Plazo en número de años.• i = Tasa de interés por período ! por año.

&ientras *ue para calcular el monto (valor futuro) sehallar+ con la siguiente fórmula:

&ientras *ue para calcular el monto (valor futuro) sehallar+ con la siguiente fórmula:


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Interés compuesto

fórmulasMonto cuando la tasa es

variable

M = C((1 + i 1 )n1 (1 + i $ )n$ (1 + i & )n& , (1 + n n) n&)


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Interés compuesto

tasa variable (d)' u nto es el monto que retiraríamos el 1 de di*iem+re, sí el1- 1 invertimos S-.1 , . al 2& e3e*tivo +imestral para los

dos primeros +imestres y un plus de 1& en *ada dos +imestres

su*esivos.

Datos: = 1 ,

n = 1 a$o = / +imestre

i = 2& +imestre 1 y 2i = & +imestre y i = & +imestre y /

Soluci n:M = 1! """ ((1+ "#"$) $ (1+"#"&) $ (1+"#"') $)M = 1! """ ((1#"'"' )(1#" "3)(1#" 1 ))M = 1! """ (1#13& $*$"!&* )M = 1* 3"*#'1

I = 1! """ % "#13& $*$"!&* = $ 3"*#'1

M = C((1 + i 1 )n1(1 + i $ )n$ (1 + i & )n& , (1 + n n) n&)


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Interés compuesto:

ecuaciones de valor• Se trata de reempla"ar un *on0unto de o+li a*iones de pa os por

otro equivalente en otro momento, de+ido a que las *ondi*iones

ini*iales de tasas y-o tiempos no pueden ser *umplidas y por lotanto ne o*iar nuevas alternativas de pa o.

• 4os valores de la situa*ión ini*ial son llevados a un mismo puntoen el tiempo (3e*5a 3o*al) y son i ualados a los valores a lanueva situa*ión de pa o.


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Ejemplo ecuaciones de valor

6d. tiene dos o+li a*iones en la si uientes *ondi*iones.a) 2 al 2& e3e*tivo mensual para ser pa ado dentro de días.

+) al & e3e*tivo mensual para ser pa ado dentro de 12 días

7l ver la imposi+ilidad de *umplir *on la primera o+li a*ión, de*ide proponerle al a*reedor pa arle las dos deudas a los días delven*imiento de la primera deuda.

8l a*reedor a*epta e3e*tuar la opera*ión al 2. & e3e*tivo mensual de

interés.' u nto es el importe de la nueva o+li a*ión si la 3e*5a 3o*al es el de

pa o9 ' y si la 3e*5a 3o*al es el ven*imiento de deuda 19


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2,040 3,3+6 53

Solución

0 2 3 41

i = $#!- mensual

$"'" (1#"$!)+ &&* #!&.(1+"#"$!) $ = /

fechafocal

Importe a pagar en la = 5304 -3



.S Deudas = S agos !en la 2"

($"31 + &$1 &) = /


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2,040 3,3+6 53

Solución

si la ff es 1

0 2 3 41

i = $#!- mensual

$"'" + &&* #!&.(1+"#"$!) & = /.(1#"$!)

Importe a pagar en 2 = 5304 -3



.S Deudas = S agos !en la 1"

$"'" + &1&!#'' = /.1#"$!


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Flor Dennís tiene dos o+li a*iones en la si uientes *ondi*iones.a) 2 para ser pa ado dentro de días.

+) pa ado dentro de 12 días

7l ver la imposi+ilidad de *umplir *on la primera o+li a*ión, de*ide proponerle al a*reedor pa arle S-.2 al ven*imiento de la primeradeuda y *an*elarle en / días.

8l a*reedor a*epta e3e*tuar la opera*ión al 2& e3e*tivo mensual de

interés.' u nto es el importe para *an*elar la deuda9 onsidere *omo 3e*5a3o*al 5oy.


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2 500 3 500

Solución

si la ff es

0 2 3 41

i = $- mensual

$!"" .(1#"$) + &!"".(1#"$) ' = $""".1#"$ + /.(1#"$) $

Importe a pagar en 2 = 3-+4 10

0plicaci n com inada

de f rmulas de valorfuturo 2 valor presente

. S Deudas = S agos !en la "

$'!"#3 + &$&' = 1 3 "#* + /.1#"'"'

$ """


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2 500 3 500

Solución

si la ff es !

0 2 3 41

i = $- mensual

$!"" (1#"$) & + &!"" = $"""(1#"$) & + /(1#"$) $

Importe a pagar en 2 = 3-+4 10

0plicaci n com inada

de f rmulas de valorfuturo 2 valor presente

.Deudas = S agos !en la "

$ !"$ + &!"" = $ 1$$#'$ + /1#"'"'

$ """


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Ejercicio

8n rela*ión al e0emplo anterior. Ealle el importe para *an*elar ladeuda *onsidere *omo 3e*5a 3o*al:a) Día

+) Día /*) Día C

ompare y reda*te una *on*lusión


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allar tiempo Goemí tiene o+li a*iones: S-.2 , S-. y S- *onven*imiento en 1 , / y días respe*tivamente.

Si desea 5a*e un #ni*o pa o . 8l a*reedor e3e*t#a laopera*ión al & e3e*tivo mensual de interés.

Ealle el día que de+e 5a*erse el pa o.


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25 000 30 000 35 000

Solución

si la ff es

0 12 1- 246

i = &- mensual

$! """ (1#"&) ; + &" """(1#"&) ;1$ + &! """(1#"&) ;1 = " """(1#"&) ;n

0 +-1+165 =1 03 )n

-0000

S Deudas = S agos !en l

$" 3&*#11 + $1 "'1#'" + $" !! # 1 = " """ (1#"&) ;n

n

/og 0 +-1+165 = )nlog1 03/og 0 +-1+165 log1 03 = )n

)- 33 =)n

8 m, 10días

D a 250


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Ejercicio

8n rela*ión al e0emplo anterior. Ealle el día de pa o para *an*elar ladeuda *on S-.1 , *onsidere *omo 3e*5a 3o*al:a) Día

+) Día 1*) Día /

Si el momento ? es 5oy, en*uentre la 3e*5a en que de+e e3e*tuare el

pa arse.

ompare y reda*te una *on*lusión respe*to al * l*ulo de día a pa ar


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Ejercicios1) Eallar el interés enerado por un *apital S-.1 depositado al /& de interés

anual *onverti+le trimestral durante tres a$os.2) ' u l es el *apital, impuesto al & e3e*tivo trimestral durante 1 meses, produ*e

un monto de S-.1 2 9

) '*u l es el *apital que impuesto al & e3e*tivo anual durante un a$o, dos meses y días 5a produ*ido un interés de S-. ;2 9) '7 qué tasa de interés *apitali"a+le anualmente 5a sido impuesto un *apital de S-.

. que se 5a *onvertido en S-. ;2 al *a+o de tres a$os9) ' u l es la tasa de interés *onverti+le anualmente a la que se 5a *ontratado una

opera*ión 3inan*iera de S-.1 que 5a produ*ido un interés de S-. 2 en 1meses9

/) 'Hué tiempo 3ue depositado un *apital de S-.1; que al 3inali"ar el periodo se*onvirtió en S-.1C a una tasa de .2 & *apitali"a+le anualmente9


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Tarea…;. 'Hué tiempo se depositó S-.2; que al 3inali"ar el periodo se *onvirtió

en S-. C . a una tasa de & e3e*tivo anual9. u l es el interés *ompuesto y el monto, si se re*i+e un préstamo por S-.

1 , a una tasa nominal del 1 &, *apitali"a+le semestralmente,

pa aderos en dos a$os.3# 9inito entre a S-. J? a Silvia para ser devuelto al *a+o de 2. a$os, al 12&

de intereses anual *apitali"a+le semestralmente. Si el interés total es 2 :apital ( ) = !restamista:

%iempo (t) = @@@@@@@@@@@.

%asa (i) =Anterés (A) = !restatario:uota (B) =

Monto (M) = @@@@@@@@@@@.


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… Tarea …1 .' u l 3ue nuestra inversión ini*ial, si 5emos o+tenido +ene3i*ios de S-.

, después de meses, a interés *ompuesto y *on el 2 & de tasa anual,*apitali"a+le mensualmente9

11.' u nto es el monto que retiraríamos dentro de a$os, sí 5oy invertimosS-. , al ;& para el primer a$o *on in*rementos del 1& para los

próximos tres a$os, *apitali"a+le anualmente.12. al*ular el interés a tiempo exa*to y aproximado de un préstamo de S-. /

por un a$o, tasa de interés 1 & por a$o exa*to.

1 .8n la 3e*5a otor amos un préstamo por S-. , para ser *o+radodespués de a$os a S-. ;, . Deseamos sa+er: a) 8l interés y +) 4a tasade interés periódi*a y lo+al del préstamo, si se *apitali"a mensualmente.


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… Tarea …1 . '6d. !restamista *uanto invirtió si *o+ró S-. , después de 1

meses y 1 días al 2 & e3e*tivo anual91 . ' u nto es el monto que retiraríamos dentro de 1 meses, sí 5oy

invertimos S-. , al & para el primer semestre *on in*rementosdel . & en *ada su*esivo semestre, *apitali"a+le semestralmente.

1/. al*ular el interés a tiempo exa*to y aproximado de un préstamode S-. / por un a$o, si la tasa de interés es 1 & por a$o*omer*ial.

1;. Ealle el tiempo en a$os, si un *apital de S-.2 . una ve"trans*urrido el periodo se *onvirtió en S-.21 C . a una tasae3e*tiva de 2. ; & mensual.


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… Tarea …1 .' u l es la tasa de interés e3e*tivo anual, si un *omer*iante o3re*e un

televisor D de 2? a S-.1 al *ontado y al *rédito & de ini*ial yuna *uota de S-./ C dentro de 1 meses9

1C.' u nto es el monto que retiraríamos el 1 de di*iem+re, sí 5oyinvertimos S-.1 , al & para el primer semestre y un plus de 1& en*ada su*esivo semestre que permane"*a.

2 . al*ular el interés a tiempo exa*to y aproximado de un préstamo de S-. otor ado 5oy, pa adero en *in*o *uotas mensuales i uales, a la

tasa de interés de 2& e3e*tivo por mes *omer*ial, so+re el *apital ini*ial.21.Ealle el tiempo en semestres, si un *apital de S-. una ve"

trans*urrido el periodo se *onvirtió en S-. / a una tasa de 2&mensual, *apitali"a+le semestralmente.


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… Tarea …22.' u l es la tasa de interés mensual, si un *omer*iante o3re*e un

automóvil a S-. al *ontado y al *rédito 2 & de ini*ial y dos*uotas de S-.22 en y / días respe*tivamente.9

2 .' u nto es el monto que retiraríamos el 1 de di*iem+re, sí 5oyinvertimos S-.1 , al & e3e*tivo para el primer semestre y un plus de2& en *ada su*esivo semestre que permane"*a.

2 . al*ular el interés a tiempo exa*to y aproximado de un préstamo de S-.C otor ado 5oy, pa adero en dos *uotas +imensuales i uales, a latasa de interés de 2& e3e*tivo por mes *omer*ial, so+re el *apital ini*ial.

2 .Ealle el tiempo, si un *apital de S-./ una ve" trans*urrido el periodo se *onvirtió en S-.// /// a una tasa de 2. & mensual.

apitali"a+le trimestralmente.


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… Tarea …2/. 6d. 7deuda S-. pa ado dentro de días y pa adero

dentro de 12 días. De*ide proponerle al a*reedor pa arle lasdos deudas dentro de / días. 8l a*reedor a*epta, *on la

*ondi*ión de que 1ra. deuda enera 2. & de interés e3e*tivomensual y la 2da. deuda el 2& de des*uento e3e*tivo mensual,y una penalidad por pa o anti*ipado de 2&. ' u nto es elimporte de la nueva o+li a*ión9

2;. Ealle el monto que retiraríamos el 1 de di*iem+re, sí el 1- ;invertimos S-.1 , . al 1& e3e*tivo mensual para los dos

primeros meses y un plus de . & e3e*tivo mensual en *adados meses su*esivos.


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=>racias

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