2. 间断点的分类与判别 ;

1. 连续函数的三个等价定义 ;

第一类间断点

第二类间断点 :

间断点

可去间断点

跳跃间断点

无穷间断点 , 振荡间断点 .

0 0( ), ( )f x f x （ 存在）

0 0( ) ( )f x f x （ ）

0 0( ) ( )f x f x （ ）

.0 0( ), ( )f x f x 至少一个不存在

复习

基本初等函数在定义域内连续

连续函数的四则运算结果仍连续

单调连续函数的反函数单调连续

复合函数的连续性 ( 两个定理 )

初等函数在定义区间内连续

说明 : 分段函数在界点处是否连续需讨论其左、右 连续性 .

利用函数的连续性求极限

定义域与定义区间的区别

常用等价无穷小 : ( 0)x

1 ~xe 1 ~xa

ln(1 ) ~x log (1 ) ~a x

1

(1 ) 1 ~nx (1 ) 1 ~x

2

~ sin ~ tan ~ arcsin ~ arctan

11 cos ~ .

2

x x x x x

x x

,x ln ;x a

,x log ;ax e

,x

n.x

第十节闭区间上连续函数性质

一、有界性与最值定理

二、零点定理与介值定理

一、有界性与最值定理

定义

0( ) ( ),f x f x使得 都有 则称 为函数函数 在区间 I 上有定义，如果有( )f x 0x I

x I 0( )f x

在区间 I 上的

( )f x

最小值 .最大值 .

0( ) ( ),f x f x

函数 y=sgn x 在区间 (- +) 内，

( , ) , 在 上 min 1;y

(0, ) ,在 上 max min 1.y y

max 1,y

例如 ,

无最大值和最小值

xo

y

1

1

2

2

也无最大值和最小值

并非任何函数都有最大值和最小值应注意的问题 :

, ( 0, 1)y x x

1 , 0 1

( ) 1 , 1

3 , 1 2

x x

f x x

x x

xo

y1

1

注意 : 若函数在开区间上连续 ,

结论不一定成立 .

定理 1.

1 2

或在闭区间内有间断 点 ,

最大值和最小值 .

在闭区间上连续的函数在该区间上一定有

即 : 设 ( ) [ , ] ,f x C a b

使得

则

1 2, [ , ] ,a b

1( ) min ( )a x b

f f x

2( ) max ( )a x b

f f x

x

y

a b

( )y f x

O

m

M

由定理 1 可知有证:

推论 在闭区间上连续的函数在该区间上有界 .

b x

y

a

( )y f x

O

( ) [ , ] ,f x C a b设

[ , ]max ( ) ,x a b

M f x

[ , ]min ( )x a b

m f x

[ , ] ,x a b 故

( ) ,m f x M 有

上有界 .( ) [ , ]f x a b因此 在

二、零点定理与介值定理

定义：

( ) 0f ，如果 则称 为函数 的零点 .

( )f x

定理 2 ( 零点定理 )则至少有一点

且使得

( ) [ , ] ,f x C a b ( ) ( ) 0f a f b

) ,( ,a b ( ) 0 .f 若

x

y

a

b

)(xfy

O

b x

y

a

)(xfy

O

若连续曲线弧 的两个端点位于 轴的不同侧，x)(xf

x则曲线弧与 轴至少有一个交点。

x

y

ab

)(xfy

O

注意：若连续曲线弧的两个端点位于 轴的同侧， 则结论不一定成立。

x

例 1. 方程 在区间 内至少有一个根3 24 1 0x x (0,1)

证明 设 3 24 1,( )f x x x 则 [ , .) 1]( 0f Cx

由于 1 0, (1)(0) 2 0,ff

根据零点定理

( ) 0,f x 即 3 24 1 0.xx

从而方程 3 24 1 0xx 在区间 内至少有一个根(0,1)

在 内至少有一点 ，使得 (0,1) x

例 1. 方程 在区间 内至少有一个根3 24 1 0x x (0,1)

可用此法求近似根 .

0 1 x

二分法

34

12

取 的中点，[0,1]2

,1

x ( )1

20,

1

8f

1 0, (1)(0) 2 0,ff

内必有方程的根；

则 (1

2,1)

取 的中点，1[ ,1]2

,4

3x

( 03

4) ,f 内必有方程的

根；则 (

1

2,3

4) 如此继续

定理 3. ( 介值定理 )设 且则对 A 与 B 之间的任一数 C ,有一点 使得

至少( ) .f C ( , ) ,a b

( ) , ,f b B A B

( ) [ , ] ,f x C a b ( ) ,f a A

C

x

A

b

y

a

( )y f x

B

O

证 : 作辅助函数

且

使得

即 ( ) .f C

故由零点定理知 , 至少有一点 ( , ) ,a b

( ) 0,

( ) ( )a b ( )( )A C B C 0

( ) ( )x f x C

则 ( ) [ , ] ,x C a b

推论 : 在闭区间上的连续函数 必取得介于最小值与

最大值之间的任何值 .

C

x

A

b

y

a

( )y f x

B

O

定理 3. ( 介值定理 )设 且则对 A 与 B 之间的任一数 C ,有一点 使得

至少( ) .f C ( , ) ,a b

( ) , ,f b B A B

( ) [ , ] ,f x C a b ( ) ,f a A

定理 2 ( 零点定理 )则至少有一点

且使得

( ) [ , ] ,f x C a b ( ) ( ) 0f a f b

) ,( ,a b ( ) 0 .f 若

证

由零点定理 ,

( , ),a b 使得 ( ) ( ) 0,F f

( ) .f 即

例 2 设函数 在区间 上连续，且

证明 使得

( )f x [ , ]a b ( ) ,f a a

( ) .f b b ( , ),a b ( ) .f

( ) ( ) ,F x f x x 令 则 在 上连续，( )F x [ , ]a b

( ) ( )F a f a a 而

( ) ( )F b f b b 0,

0,

必 使得1 2 1 2, ( , ) , ,x x a b x x 1 2[ , ],x x

1 2( ) ( ) ( ) .f f x f x

例 3. 设 在 [a, b] 上连续 , 且恒为正 , 试证明 :

证 令 21 2( ) ( ) ( ) ( ),F x f x f x f x 则 ( ) [ , ].F x C a b

1 2( ) ( )F x F x 1 2( ) ( )f x f x 21 2[ ( ) ( )]f x f x 0

1 2( ) ( )f x f x当 时 , 取 2 ,x 1x 或 则有

1 2( ) ( ) ( )f f x f x

当 时 ,1 2( ) ( )f x f x ( ) 0,f x 1 2( ) ( ) 0,F x F x

故由零点定理知 , 1 2[ , ],x x 使得 ( ) 0.F 即

1 2( ) ( ) ( ) .f f x f x

( )f x

提示 :

则

( ) [0, 2 ] ,f x C a (0) (2 ) ,f f a 证明至少存在[0, ],a 使

练习 .

一点 ( ) ( ).f f a

易证 (0) ( ) 0a

注意分析 的情况 . (0) ( )=0a

令 ( ) ( ) ( ) ,x f x a f x

( ) [0, ],x C a

至少有一个不超过 4 的正根。

证：

证明

且显然 ,

3 1xx e 例 4.

令 3( ) 1xf x x e

在闭区间 上连续，( )f x [0,4]

(0)f 3 1e 0

(4)f 4 34 1e 3 0e

根据零点定理 ,

原命题得证 .

内至少存在一点在开区间 (0 , 4)

(0 ,4) , ( ) 0,f 使得

例 5. 证明奇次多项式

证：

至少存在一个实根 .

2 1 20 1 2 1( ) n n

nP x a x a x a

( ) ( , )P x C

2 1 2 110 2 1

( ) ( )n nn

aaP x x a

x x

不妨设 0 0a

lim ( ) , lim ( )x x

P x P x

0, ( ) 0, ( ) 0r P r P r 使

( , ), ( ) 0.c r r P c 使根据零点定理

例 6.

证 : ( ) [ , ],f x C a b

( ) [ , ]f x a b M 在 上有最大值 ,m及最小值

( ) ( )mf c nf d ( )m n M

[ , ],a b 存在 使得 ( ) ( )( )

mf c nf df

m n

( ) ( ) ( ) ( ) .mf c nf d m n f

( )m n m 故

( ) ( )mf c nf dm M

m n

即

由介值定理 ,

( ) [ , ],f x C a b设 且 a c d b , 证明 :

必有一点 [ , ],a b 使得 ( ) ( ) ( ) ( ) .mf c nf d m n f

练习 . 设 且 至少有一点 使得证明 :

( ) [ , ],f x C a b1 2 na x x x b

[ , ],a b

1 2( ) ( ) ( )( ) nf x f x f x

fn

证 : 由于 在 上连续 , 故必在 上 ( )f x [ , ]a b [ , ]a b

取得最大值和最小值 .

( 3)n

1

[ , ] [ , ]

( ) ( ) min ( ) max ( )n

x a b x a b

f x f xf x f x

n

由介值定理知结论成立 .

由于

提示 : 建立坐标系如图 .

xO

y

因

故由介值定理可知 :

0 ( , ) , 0( ) .

2

AS 使

( )S

任给一张面积为 A 的纸片 ( 如图 ),

证明必可将它一刀剪为面积相等的两片 .

例 7.

则面积函数 ( ) [ , ]S C

( ) 0,S ( )S A

内容小结

4. 当 0)()( bfaf 时 , ,),( ba 使 .0)( f时必存在

在)(.1 xf ],[ ba 上有界 ;

上达到最大值与最小值 ;在)(.2 xf ],[ ba

上可取最大与最小值之间的任何值 ;

在)(.3 xf ],[ ba

( ) [ , ],f x C a b设 则

思考题 下述命题是否正确？

则 在 内必有零点 .

且( )f x

( ) ( ) 0.f a f b ( , )a b( )f x

若 在 上有定义， [ , ]a b 在 内连续， ( , )a b

思考题解答 不正确 .

例 函数, 0 1

( )2, 0

e xf x

x

在 内连续， (0,1)

(0) (1) 2 0.f e 但 在 内无零点 . (0, 1)( )f x

提高题 1. 设 且

至少有一点 使得

证明 :( ) [0,1],f x C (0) (1),f f

0 [0,1],x 0 0

1( ) ( ).

3f x f x

证 : 令 1( ) ( ) ( ),

3g x f x f x 则 2

( ) [0, ].3

g x C

0 0

2 [0, ], ( ) 0,

3x g x 若 使 则命题得证 .

否则，在 2[0, ] , ( ) 0 ( ) 0.

3g x g x 上 必有 或

2[0, ], ( ) 0.

3x g x 有不妨设

1( ) ( ) ( ),

3g x f x f x

2[0, ], ( ) 0.

3x g x 有

1(0) (0) ( ) 0

3g f f

1 1 2( ) ( ) ( ) 03 3 3

g f f

2 2( ) ( ) (1) 03 3

g f f

(0) (1)f f

与题设 矛盾！(0) (1)f f 0 0

2[0, ], ( ) 0.

3x g x 故 使

0 0 0

1[0, 1], ( ) ( ).

3x f x f x 即 使

2. 研究方程 的实根解：

3 9 1 0x x 3( ) 9 1f x x x 令

( 3) 1 0,f 试算： ( 2) 9 0f

从而方程在 内有一实根 1x( 3, 2)

( 1) 7 0,f (0) 1 0f

从而方程在 内有一实根 2x( 1,0)

(3) 1 0,f (4) 27 0f

从而方程在 内有一实根 3x(3,4)

根据代数基本定理三次多项式最多有三个实根 ,

故 为方程的全部实根 .1 2 3, ,x x x

3. 证明方程

证：

至少有两个实根 .

则 在开区间 内分别连续 .( )f x (1, 2) (2, 3)和

5 7 160

1 2 3x x x

5 7 16( )

1 2 3f x

x x x

令

1 1

5 7 16lim ( ) lim( )

1 2 3x xf x

x x x

2 2

5 7 16lim ( ) lim( )

1 2 3x xf x

x x x

利用无穷大量的定义可以证明，存在闭区间[ , ] (1, 2),a b ( ) 0, ( ) 0.f a f b 使得

根据零点定理， 1 1[ , ], ( ) 0.x a b f x 使得

5 7 16, : 0

1 2 3x x x

即 方程 在区间 [a, b] 上，

从而在区间 (1,2) 内至少有一个实根 .

同理可证 5 7 16: 0

1 2 3x x x

方程

在区间 (2,3) 内至少有一个实根 .

综上，方程至少有两个实根 .

作 业

• P74 ： 2 ， 3, 5.

作业提交时间： 2012 年 10 月 22 日上午8:00