เอกสารประกอบการเรยนวชาคณตศาสตร 2 (ค31102)

ชนมธยมศกษาปท 4 ภาคเรยนท 2 ปการศกษา 2560

เรอง ความสมพนธ

ชอ-นามสกล ……………………………………………………………………………

ชน ม.4 หอง……………………….. เลขท …………………………..

โรงเรยนสาธตมหาวทยาลยราชภฏสวนสนนทา

วชาคณตศาสตร 2 ชนมธยมศกษาปท 4 เรอง ความสมพนธและฟงกชน

1

ความสมพนธ (Relation)

1. คอนดบ (Ordered pairs)

คอนดบหมายถง……………………………………………………………………………………………………………………………………

บทนยาม คอนดบ a , b เขยนแทนดวย………………………….

และจะเรยก a วา………………………………………………..…….. และจะเรยก b วา…………………………………..

1.1 การเทากนของคอนดบ

บทนยาม (a,b) = (c,d) กตอเมอ a c และ b d

(a,b) (c,d) กตอเมอ a c และ b d

ตวอยางท 1 จงหาคาตวแปรในแตละขอตอไปน

1. (4,a) (b, 2) 2. (5x, y 1) ( 30, 3)

1.2 ผลคณคารทเซยน (Cartesian Product)

บทนยาม ผลคณคารทเซยนของ A และ B คอเซตของคอนดบ (a,b) ทงหมด

โดยท a เปนสมาชกของ A เขยนแทนดวย a A

โดยท b เปนสมาชกของ B เขยนแทนดวย b B

ผลคณคารทเชยนของ A และ B เขยนแทนดวย A B อานวา “เอคณบ” หรอ “A cross B”

ดงนน A B = {(a,b) |a A และ b B}

ตวอยางท 2 ให A {2,3,4} และ B {a,b} จงหา

1. A B = ………………………………………………………………………………………………………………………………….

2. B A = ………………………………………………………………………………………………………………………………….

3. B B = ………………………………………………………………………………………………………………………………….

วชาคณตศาสตร 2 ชนมธยมศกษาปท 4 เรอง ความสมพนธและฟงกชน

2

ตวอยางท 3 ให A {3,5} และ B จงหา A B และ B A

วธท า A B = ………………………………………………………………………………………………………………………………….

B A = ………………………………………………………………………………………………………………………………….

การเขยนแทนผลคณคารทเชยน นอกจากจะเขยนแบบแจกแจงสมาชกแลวยงสามารถเขยนแทนไดดวย

แผนภาพของเซต ให ให A {2,3,4} และ B {a,b}

โดย A B เขยนแทนดวยแผนภาพ ดงน

A

B ดงนน A B = …………………………………………………………

…………………………………………………………………………………..

ขอสงเกต ถา A และ B มสมาชก a และ b ตว ตามล าดบ A B มสมาชกเทากบ ab ตว

ตวอยางท 4 จงหา A B เมอก าหนด A และ B ดงน

1. A { 3, 2, 1} และ B {1,2,3}

2. A และ B { 6, 4, 2}

วชาคณตศาสตร 2 ชนมธยมศกษาปท 4 เรอง ความสมพนธและฟงกชน

3

1.3 ความสมพนธ (Relations)

ความสมพนธ คอ เซตของคอนดบและเปนสบเซตของผลคณคารทเซยนระหวางเซต 2 เซต

เชน

มากกวา

ก าหนดให A และ B มความสมพนธแบบ “มากกวา” จาก A ไป B

จะได x, y ทสมพนธกน โดยท x A และ y B และ x y

ซงแจกแจงเปนคอนดบไดดงนคอ A B = ……………………………………………………….…………………………..……………

น าคอนดบทไดมาเขยนในรปเซต จะเรยกเซตนวา เซตของความสมพนธแบบมากกวา จาก A ไป B เขยนแทนดวย r

ดงนน r = …………………………………………………………………………………………………………………………………………..

จะเหนวา A B มสมาชก………………ค และ r มสมาชก……………………………..ค

จะเหนวา ความสมพนธ r เปนสบเซตของ A B เทานน กลาวคอ r A B

ถา r A B เรยก r วา ……………………………………………………………………………….

ถา r A A เรยก r วา ……………………………………………………………………………….

ดงนน ความสมพนธ r กคอเซต สามารถเขยนได 3 แบบคอ แบบบรรยาย แบบแจกแจงสมาชก แบบบอกเงอนไข

ตวอยางท 5 ให A {2,3,4} และ B {1,5} ถา r คอความสมพนธ “นอยกวา” จาก A ไป B

จงเขยนความสมพนธ r

ตวอยางท 6 ให A {2,3,4} และ B {5,6,8,9} ถา r คอความสมพนธ “หารลงตว” จาก A ไป B จงเขยน

ความสมพนธ r

วชาคณตศาสตร 2 ชนมธยมศกษาปท 4 เรอง ความสมพนธและฟงกชน

4

ตวอยางท 7 ให A {1,2,3} และ B {2,4,8} จงหาความสมพนธเมอก าหนดให

1r คอ ความสมพนธใน A แบบ “เทากบ” และ 2r คอ ความสมพนธจากB ไป A แบบ “เปนสองเทา”

ตวอยางท 8 จงเขยนความสมพนธตอไปนแบบแจกแจงสมาชก

ก าหนดให A { 4, 3, 2, 1,0,1,2,3,4} และ B {0,1,2,3,4,5}

1. 1r = 2{(x, y) A B | y x }

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

2. 2r = {(x, y) B A || x | | y | 4}

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

3. 3r = {(x, y) A A | x y 3}

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

4. 3r = {(x, y) B B | x y 3}

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

ตวอยางท 9 จงเขยนความสมพนธตอไปนแบบแจกแจงสมาชก

1. 1r = x{(x, y) I I | y }

2

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

2. 2r = {(x, y) N I | x | y |}

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

1. 3r = 2 2{(x, y) I I | x y 4}

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

หมายเหต 1. เซตทไมสามารถเขยนแจกแจงสมาชกไดหมด มกจะไมเขยนในรปแจกแจงสมาชก

2. ในกรณทเซต A และ B เปนเซตของจ านวนจรง อาจเขยนความสมพนธโดยละไวในฐานทเขาใจวา r

เปนจ านวนจรง คอ 2r {(x, y) | y x } หรอ r {(x,y) | y | x |}

วชาคณตศาสตร 2 ชนมธยมศกษาปท 4 เรอง ความสมพนธและฟงกชน

5

2. โดเมนและเรนจ (Domain and Range)

บทนยาม ให r เปนความสมพนธจาก A ไป B

โดเมนของ r คอ……………………………………………………………………………….เขยนแทนดวย…………………

เรนจของ r คอ……………………………………………………………………………….เขยนแทนดวย…………………

จะเหนวา rD A และ rR B และสามารถเขยน rD และ rR ในรปเซตแบบบอกเงอนไขไดคอ

rD = {x | (x, y) r} และ rR = {y | (x, y) r}

เชน 1r {(1,2),(2,2),(3,2),(4,2)}

จะได rD = ……………………………………………………….. และ rR = …………………………………………………………….

2r {( 1,4),(0,5),(2,4),(a,b)} จะได rD = ……………………………………………………….. และ rR = …………………………………………………………….

การหาโดเมนและเรนจ

1. ถา r เปนแบบแจกแจงสมาชกหรอสมารถแจกแจงสมาชกได ควรแจกแจงสมาชกกอน โดยจด y = เทอมของx

จะท าใหการแจกแจงคอนดบ (x, y) ไดงายขน แลวน าสมาชกตวหนาตอบเปนโดเมนและสมาชกตวหลงตอบเปนเรนจ

ตวอยางท 10 จงหาโดเมนและเรนจของความสมพนธตอไปน

1. ให A {1,2,3,4,5} และ 2r {(x, y)| y x ,x A}

จะไดวา r …………………………………………………………………………………….……

จะได rD = ……………………………………………………….. และ rR = …………………………………………………………….

2. ให A { 2, 1,0,1,2} และ r {(x,y) A A| y x 1}

จะไดวา r …………………………………………………………………………………….……

จะได rD = ……………………………………………………….. และ rR = …………………………………………………………….

3. ให r {(x,y) I I| y | x |}

จะไดวา r …………………………………………………………………………………….……

จะได rD = ……………………………………………………….. และ rR = …………………………………………………………….

4. ให s {(x, y) I I | y x}

จะไดวา s …………………………………………………………………………………….……

จะได sD = ……………………………………………………….. และ sR = …………………………………………………………….

วชาคณตศาสตร 2 ชนมธยมศกษาปท 4 เรอง ความสมพนธและฟงกชน

6

การหาโดเมนและเรนจ (ตอ)

2. ถา r เปนความสมพนธใน R ซงไมสามารถแจกแจงสมาชกได การหาโดเมนและเรนจท าได 2 วธ

การหาโดเมน (ดคา x ) ใหจด y อยในเทอมของ x กอน แลวพจารณาคาของ x ทท าให y เปนจรงตามเงอนไน

น าคา x เหลานนมาตอบเปนโดเมน

การหาเรนจ (ดคา y ) ใหจด x อยในเทอมของ y กอน แลวพจารณาคาของ y ทท าให x เปนจรงตามเงอนไน

น าคา y เหลานนมาตอบเปนเรนจ

การหาในรป สมการอยในรป r {(x, y) | x c} จะไดวา rD = {c} และ rR =

สมการอยในรป r {(x, y) | y c} จะไดวา rD = และ rR = {c}

ตวอยางท 11 จงหาโดเมนและเรนจของความสมพนธ

1. 1r {(x, y) | x 3 0} 2. 3r {(x, y) | 3x 5 0}

การหาในรป สมการอยในรปสมการสองตวแปร

ถา y เปนสมาการพหนามทมก าลงเปนจ านวนบวก แลวสมการ y จะหาคาไดในทกๆคาของ x (x )

ถา x เปนจ านวนจรงใดใด (x ) จะหาคา y ไดเสมอ เชน

ถา y เปนจ านวนจรงใดใด (y ) จะหาคา x ไดเสมอ เชน

ตวอยางท 12 ให 1r {(x, y) | y 2x 5} จงหาโดเมนและเรนจของ r

วชาคณตศาสตร 2 ชนมธยมศกษาปท 4 เรอง ความสมพนธและฟงกชน

7

การหาในรป ในรปเศษสวน สมการ Ay

B จะหาคาไดเสมอ กตอเมอ B 0

เชน 4y

x 3

สมการนจะเปนจรงในทกคาของ x ยกเวน x = …………………….

5x

y 7

สมการนจะเปนจรงในทกคาของ y ยกเวน y = ……………………

ตวอยางท 13 ให 2x 1r (x, y) | y

5x 3

จงหาโดเมนและเรนจของความสมพนธ r

วธท า

การหาในรป ถา y | x a | แลวสมการจะหาคาไดเสมอ ในทกคาของจ านวนจรง x

ตวอยางท 14 ให r (x, y) | y x 2 3 จงหาโดเมนและเรนจของความสมพนธ

วชาคณตศาสตร 2 ชนมธยมศกษาปท 4 เรอง ความสมพนธและฟงกชน

8

การหาในรป ถา y a และ y จะหาคาไดเสมอ กตอเมอ a 0

ตวอยางท 15 ให r (x, y) | y x 3 จงหาโดเมนและเรนจของความสมพนธ

ตวอยางท 16 ให r (x, y) | y 2x 3 5 จงหาโดเมนและเรนจของความสมพนธ

การหาในรป ถา 2y a และ y จะหาคาไดเสมอ กตอเมอ 2a 0

ตวอยางท 17 ให 2r (x, y) | y x 4 จงหาโดเมนและเรนจของความสมพนธ

ตวอยางท 18 ให 2 2r (x, y) | y x y 16 จงหาโดเมนและเรนจของความสมพนธ

วชาคณตศาสตร 2 ชนมธยมศกษาปท 4 เรอง ความสมพนธและฟงกชน

9

การหาโดเมนและเรนจโดยใชกราฟ

ขนตอนการหาโดเมนและเรนจโดยใชกราฟ

1. น าความสมพนธทก าหนดให มาเขยนกราฟ

2. - พจารณาคา x ทใชในการเขยนกราฟ ตอบเปนโดเมน

- พจารณาคา y ทใชในการเขยนกราฟ ตอบเปนเรนจ

ตวอยางท 19 จงหาโดเมนและเรนจโดยจากกราฟตอไปน

1. 2.

3. 4.

5. 6.

วชาคณตศาสตร 2 ชนมธยมศกษาปท 4 เรอง ความสมพนธและฟงกชน

10

กราฟของความสมพนธ

บทนยาม ให เปนเซตของจ านวนจรง r เปนสบเซตของ

กราฟของความสมพนธ r คอ เซตของจดบนระนาบโดยทแตละจดทนสมาชกของความสมพนธ r

1. กราฟทเปนจด เมอความสมพนธสามารถเขยนแจกแจงสมาชกไดแลวน าคอนดบไปเขยนกราฟ

ตวอยางท จงเขยนกราฟของ r {( 3, 5),( 1,3),(0,4),(1,3),(3, 5)}

2. กราฟเปนเสน

2.1 กราฟเสนตรง เมอความสมพนธม x หรอ y เปนก าลงหนง

ตวอยางท 20 จงเขยนกราฟของความสมพนธตอไปน

1. r {(x, y) R R | y 4} 2. r {(x, y) R R | x 2y 6}

3. r {(x, y) |1 x 4} 4. r {(x, y) R R | x y 4 และ y 2}

วชาคณตศาสตร 2 ชนมธยมศกษาปท 4 เรอง ความสมพนธและฟงกชน

11

2.2 กราฟเสนโคง เมอความสมพนธม x หรอ y เปนก าลงสอง

ตวอยางท 21 จงเขยนกราฟของความสมพนธตอไปน

1. 2r {(x, y) R R | y x 3} 2. 2r {(x, y) R R | x (y 1) 2}

3. r {(x, y) | y x 5} 4. 2 2r {(x, y) | x 4 y }

3. กราฟคาสมบรณ

ตวอยางท 22 จงเขยนกราฟของความสมพนธตอไปน

1. r {(x, y) | y x } 2. r {(x, y) | y x }

3. r {(x, y) | y x 2 } 4. r {(x, y) | y x 2 3}