3.elsd.ssru.ac.th/nampung_ch/pluginfile.php/142/course/summary/แผนการ... ·...

แผนการจดการเรยนรท 1

หนวยการเรยนรท 1 ความสมพนธและฟงกชน เรอง คอนดบ

วชาคณตศาสตร 2 ชอรายวชา ค 31102 กลมสาระการเรยนร คณตศาสตร

ชน มธยมศกษาปท 4 ภาคเรยนท 2 ปการศกษา 2559 เวลา 2 คาบ

อาจารยผสอน อาจารยชฉกาจ ชเลศ

มาตรฐานการเรยนร

ค 4.1 เขาใจและวเคราะหแบบรป(pattern) ความสมพนธ และฟงกชนตางๆ

ค 4.2 ใชนพจน สมการ อสมการ กราฟและตวแบบเชงคณตศาสตร (Mathematical model)

อนๆแทนสถานการณตางๆ ตลอดจนแปลความหมายและน าใชแกปญหา

ค 6.2 มความสามารถในการแกปญหา การใหเหตผล การสอสาร การสอ ความหมายทาง

คณตศาสตร และการน าเสนอ การเชอมโยงความรตาง ๆ ทางคณตศาสตรและเชอมโยงคณตศาสตรกบ

ศาสตรอน ๆ และมความคดรเรมสรางสรรค

ตวชวด

ค 4.2 ม.4-6/4 สรางความสมพนธหรอฟงกชนจากสถานการณ หรอปญหาและน าไปใชในการ

แกปญหา

จดประสงคการเรยนร

1. ดานความร

นกเรยนสามารถ

1.1 บอกความหมายของคอนดบและเขาใจการเทากนของคอนดบ

1.2 เขยนผลคณคารทเซยนของเซต 2 เซตทก าหนดใหได

2. ดานทกษะกระบวนการ


2.1 มทกษะในการแกปญหาและใหเหตผลได

2.2 มการสอสาร สอความหมายทางคณตศาสตร และการน าเสนอ

2.3 มทกษะการคดแปลความและการประยกต

3. ดานคณลกษณะ

นกเรยนตองเปนผท

3.1 มความรบผดชอบ

3.2 มระเบยบวนย

3.3 ใฝเรยนรและมงในการท างาน

สาระการเรยนร

ความสมพนธของคอนดบและผลคณคารทเซยน

กจกรรมการเรยนร

ขนน า

ครน าเขาสบทเรยนโดยการตงค าถามกระตนใหนกเรยนตอบเพอทบทวนความรเกยวกบคอนดบ

และการเทากนของคอนดบ

ขนสอน

1. ครสอนเกยวกบความหมายของคอนดบวา คอนดบ (Ordered pairs) หมายถง การเปนคและการม

ล าดบ (,) เชน (1, –1) (2, –2) (3, –3) (4, –4) (5, –5) 2. โดยครจะแนะน าใหนกเรยนรจกคอนดบโดยจากบทนยามวา บทนยาม คอนดบ a , b เขยนแทนดวย (a,b) และจะเรยก a วา สมาชกตวหนา และจะเรยก b วา สมาชกตวหลง เชน (4, 0) อานวา คอนดบสศนย ม 4 เปนสมาชกตวหนา และ0 เปนสมาชกตวหลง

และจากตวอยางกอนหนา ซงคอนดบแตละคจะประกอบดวยสมาชกตวหนาและสมาชกตวหลง ดงนน คอนดบทง 5 คอนดบขางตน ม 1, 2, 3, 4, 5 เปนสมาชกตวหนา และ –1, –2, –3, –4, –5 เปนสมาชกตวหลง จากนน ครยกตวอยางคอนดบอก 3-4 คอนดบ ใหนกเรยนอานและบอกสมาชกตวหนาและสมาชกตวหลง ตามตวอยางขางตน 3. ครอธบายถงการเทากนของคอนดบ บทนยาม (a,b) = (c,d) กตอเมอ a c และ b d (a,b) (c,d) กตอเมอ a c และ b d

ครอธบายบทนยามการเทากนของคอนดบและยกตวอยางและยกตวอยางเพมเตม 1) {5, 6} เทากบ {6, 5} หรอไม (เทากน เพราะเซตทงสองมสมาชกตวเดยวกน) 2) (5, 6) เทากบ (6, 5) หรอไม

(ไมเทากน เพราะคอนดบ (5, 6) ม 5 เปนสมาชกตวหนา และ 6 เปนสมาชกตวหลง แตคอนดบ (6, 5) ม 6 เปนสมาชกตวหนา และ 5 เปนสมาชกตวหลง คอนดบทงสองจงเปนคนละคอนดบกน) 4. ครยกตวอยางการเทากนของคอนดบ โดยการหาคาตวแปรตอไปน

ตวอยาง จงหาคาตวแปรในแตละขอตอไปน

1. (4,a) (b, 2)

วธท า จากบทนยามการเทากนของคอนดบ จะไดวา 4 = b และ a = 2

2. (5x, y 1) ( 30, 3)

วธท า จากบทนยามการเทากนของคอนดบ จะไดวา 5x = 30 ดงนน x = 6

และ y 1 = 3 ดงนน y = 2

5. ครอธบายถงผลคณคารทเซยน โดยนยามตอไปน

บทนยาม ผลคณคารทเซยนของ A และ B คอเซตของคอนดบ (a,b) ทงหมด

โดยท a เปนสมาชกของ A เขยนแทนดวย a A

โดยท b เปนสมาชกของ B เขยนแทนดวย b B

ผลคณคารทเชยนของ A และ B เขยนแทนดวย A B อานวา “เอคณบ” หรอ “A cross B”

ดงนน A B = {(a,b) |a A และ b B}

โดยครสรปใหนกเรยนเขาใจงายๆคอ ตวหนาเปนสมาชกของเซต A และ ตวหลงเปนสมาชกของเซต B

6. ครยกตวอยางผลคณคารทเซยนเพมเตม โดยครเขยนเซต 2 เซต ตอไปนบนกระดาน

A x, y และ B 2, 4, 9 แลวใหนกเรยนเขยนคอนดบโดยใหสมาชกตวหนาเปนสมาชก

ของเซต A และสมาชกตวหลงเปนสมาชกของเซต B จะไดคอนดบทงหมดดงน

x, 2 , x, 4 , x, 9 , y, 2 , y, 4 ,( ) y, 9 เขยนเซตของคอนดบทง 6 คอนดบขางตนไดเปน

x, 2 , x, 4 , x, 9 , y, 2 , y, 4 ,( ) y, 9

เรยกเซตนวา ผลคณคารทเซยนของเซต A และ B เขยนแทนดวย A B 7. ครยกตวอยางเพมเตมโดยใหนกเรยนท าเองเพอฝกความเขาใจ

8. ครยกตวอยางผลคณคารทเซยนในรปแบบอนๆ เชน

ตวอยาง ให A {3,5} และ B จงหา A B , B A , A A และ B B

วธท า A B = A =

B A = B =

A A = {(3,5)(3,3)(5,5)(5,3)}

B B = =

9. ครอธบายนกเรยนเกยวกบการเขยนผลคณคารทเซยนโดยใชแผนภาพ การเขยนแทนผลคณคารท

เชยน นอกจากจะเขยนแบบแจกแจงสมาชกแลวยงสามารถเขยนแทนไดดวยแผนภาพของเซต ให ให

A {2,3,4} และ B {a,b} โดย A B เขยนแทนดวยแผนภาพ ดงน

A B A B = {(2,a), (2,b),(3,a), (3,b),(4,a), (4,b)}

2 a

3 b

4

10. โดยครไดใหขอสงเกตนกเรยนไววา ถา A และ B มสมาชก a และ b ตว ตามล าดบ A B มสมาชก

เทากบ ab ตว และครยกตวอยางใหนกเรยนเพมเตม

ตวอยางท 4 จงหา A B เมอก าหนด A และ B ดงน

1) A { 3, 2, 1} และ B {1,2,3}

วธท า A B = {( 3,1),( 3,2),( 3,3),( 2,1),( 2,2),( 2,3),( 1,1),( 1,2),( 1,3)}

โดย A B จะมจ านวนคอนดบ 9 คอนดบ เพราะวา n(A) n(B) = 3 3 = 9

ขนสรป

11. ครและนกเรยนรวมกนสรปตามประเดนทเรยนมาในวนน คอ การเทากนของคอนดบ การหาผลคณ

คารทเซยน และการหาจ านวนสมาชกของผลคณคารทเซยน และสามารถสรปเปนขอสงเกตตางๆไดดงน

ขอสงเกต 1. A×B ≠ B×A เมอ A ≠ B

2. จ านวนสมาชกของ A×B เทากบผลคณของจ านวนสมาชกในเซต A และเซต B

กลาวคอ n(A×B) = n(A)×n(B)

3. A×B = กตอเมอ A = หรอ B =

4. ถา A×B = A×C และ A ≠ แลว B = C

5. ถา A เปนเซตอนนต และ B ≠ แลว A×B เปนเซตอนนต

สอ/อปกรณ/แหลงการเรยนร 1. หนงสอเรยนรายวชาคณตศาสตรพนฐาน เลม 1 ชนมธยมศกษาปท 4-6 กลมสาระการเรยนร คณตศาสตร ตามหลกสตรแกนกลางการศกษาขนพนฐาน พทธศกราช 2251 จดท าโดย สสวท. 2. เอกสารประกอบการเรยนคณตศาสตร 1 เรอง ความสมพนธและฟงกชน 3. Workbook discovering mathematics เลม 4 จดท าโดย สถาบน PDCA Education

การวดและประเมนผล

ลงชอ ผสอน ลงชอ ผสอน ( นางสาวฐนดา เรองตระกล ) ( อาจารยชฉกาจ ชเลศ) นกศกษาฝกประสบการณวชาชพ อาจารยพเลยง

เปาหมาย หลกฐาน เครองมอวด เกณฑการประเมน สาระส าคญ คอนดบ

-แบบฝกหดในเอกสารประกอบการเรยน -แบบฝกหดในหนงสอเรยนและแบบฝกหดใน Workbook


- ตรวจสอบความถกตอง และความเขาใจ - ความถกตองของแบบฝกหดไมต ากวา 70%

คณลกษณะอนพงประสงค - ใฝเรยนรและมงมนในการท างาน - ตรงตอเวลา

- การเขาเรยน - การสงงาน

- การเขาเรยน - การมสวนรวมกนในชนเรยน

- เขาเรยนตรงตอเวลา - มความกระตอรอรนในการเรยน

สมรรถนะ - การแกปญหา - การใหเหตผล - ความสามารถในการสอสาร การสอความ



- ตรวจสอบความถกตองและความเขาใจ - ความถกตองของแบบฝกหดไมต ากวา 70%

บนทกหลงการสอน

ผลการสอน

………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………

ปญหาและอปสรรค

………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………

ขอเสนอแนะ

………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………

ลงชอ ………………………………………………….. ผสอน

(อาจารยชฉกาจ ชเลศ)

ความเหนของหวหนากลมสาระการเรยนร

………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………

ลงชอ …………………………………………..…………………..

(อาจารยน าผง ชเลศ)

หวหนากลมสาระการเรยนรคณตศาสตร

ความเหนของรองผอ านวยการโรงเรยนฝายวชาการ

………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………

ลงชอ …………………………………………………………….. (อาจารย ดร. สดารตน ศรมา) รองผอ านวยการฝายวชาการ


หนวยการเรยนรท 1 ความสมพนธและฟงกชน เรอง ความสมพนธ











ตวชวด


แกปญหา




1.1 บอกความหมายและเขาใจความหมายของความสมพนธ

1.2 สามารถเขยนความสมพนธในรปแบบตางๆได

1.3 สามารถหาโดเมนและเรนจของความสมพนธได

1.4 มความคดรวบยอดเกยวกบการหาโดเมนและเรนจของความสมพนธ












ความสมพนธในรปแบบตางๆและการหาโดเมนและเรนจ

กจกรรมการเรยนร

ขนน า

ครน าเขาสบทเรยนโดยการตงค าถามกระตนใหนกเรยนเขาใจวาค าวาความสมพนธคออะไร

ขนสอน

1. ครอธบายวานกเรยนไดเรยนรมาแลววา เราสามารถเขยนคอนดบแสดงความสมพนธระหวางสมาชกตวหนาและสมาชกตวหลงได เราจงกลาวไดวา ความสมพนธเปนเซตซงสมาชกในเซตเปนคอนดบ นนคอ ความสมพนธเปนสบเซตของผลคณคารทเซยนระหวางเซตสองเซต 2. ครอธบายถงหลกการของความสมพนธ ให A 1,2,3 และ B 1,0,2 โดยนกเรยนตองหาผลคณคารทเซยนกอน ดงน A B = {(1, 1),(1,0),(1,2),(2, 1),(2,0),(2,2),(3, 1),(3,0),(3,2)} และ ก าหนดให A และ B มความสมพนธแบบ “มากกวา” จาก A ไป B จะได x, y ทสมพนธกน โดยท x A และ y B และ x y จากนน น าคอนดบทไดมาเขยนในรปเซต จะเรยกเซตนวา เซตของความสมพนธแบบมากกวา จาก A ไป B เขยนแทนดวย r ดงนน r = {(1, 1),(1,0),(2, 1),(2,0),(3, 1),(3,0),(3,2)}

3. ครยกตวอยางของความสมพนธเพมเตมดงน ตวอยาง ก าหนดเซต A = {6, 3} และ B = {2, 12, 16} จะได A×B = {(6, 2), (6, 12), (6, 16), (3, 2), (3, 12), (3, 16)} 1) ถาให 1r คอความสมพนธ เปนสามเทา จาก A ไป B

นนคอ 1r คอเซตของคอนดบทสมาชกตวหนาเปนสามเทาของสมาชกตวหลง ดงนน 1r = {(6, 2)}

2) ถาให 2r คอความสมพนธ หารลงตว จาก A ไป B นนคอ 2r คอเซตของคอนดบทสมาชกตวหนาหารสมาชกตวหลงลงตว ดงนน 2r = {(6, 12), (3, 12)} 3) ถาให 3r คอความสมพนธ นอยกวา จาก A ไป B นนคอ 3r คอเซตของคอนดบทสมาชกตวหนานอยกวาสมาชกตวหลง ดงนน 3r = {(6, 12), (6, 16), (3, 12), (3, 16)} 4) ถาให 4r คอความสมพนธ มากกวา จาก A ไป B นนคอ 4r คอเซตของคอนดบทสมาชกตวหนามากกวาสมาชกตวหลง ดงนน 4r = {(6, 2), (3, 2)} 5) ถาให 5r คอความสมพนธ เปนครงหนง จาก A ไป B นนคอ 5r คอเซตของคอนดบทสมาชกตวหนาเปนครงหนงของสมาชกตวหลง ดงนน 5r = {(6, 12)} 6) ถาให 6r คอความสมพนธ เปนตวประกอบ จาก A ไป B นนคอ 6r คอเซตของคอนดบทสมาชกตวหนาเปนตวประกอบของสมาชกตวหลง ดงนน 6r = {(6, 12), (3, 12)} 4. โดยการเขยนความสมพนธนนเราสามารถเขยนไดหลายแบบ ดงนน ความสมพนธ r กคอเซต สามารถ

เขยนได 3 แบบคอ แบบบรรยาย แบบแจกแจงสมาชก แบบบอกเงอนไข จากนนครยกตวอยางการ

เขยนความสมพนธแบบแจกแจงสมาชก

ตวอยาง จงเขยนความสมพนธตอไปนแบบแจกแจงสมาชก

ก าหนดให A { 4, 3, 2, 1,0,1,2,3,4} และ B {0,1,2,3,4,5}

1. 1r = 2{(x, y) A B | y x }

ตอบ {( 2,4),(2,4),( 1,1),(1,1),(0,0)}

2. 2r = {(x, y) A A | x y 3}

ตอบ {( 1,4),(0,3),(1,2),(2,1),(3,0),(4, 1)}

5. จากนนครยกตวอยางความสมพนธโดยทคอนดบ x และ y อยในระบบจ านวนจรง

ตวอยาง จงเขยนความสมพนธตอไปนแบบแจกแจงสมาชก

1. 1r = x{(x, y) I I | y }

2

ตอบ {( 2, 1),( 4, 2),( 6, 3),( 8, 4),...}

2. 2r = 2 2{(x, y) I I | x y 4}

ตอบ {(0,2),(2,0),(0, 2),( 2,0)}

6. ครสรปการเขยนความสมพนธไวนนคอ

1. เซตทไมสามารถเขยนแจกแจงสมาชกไดหมด มกจะไมเขยนในรปแจกแจงสมาชก

2. ในกรณทเซต A และ B เปนเซตของจ านวนจรง อาจเขยนความสมพนธ 2r {(x, y) R R | y x } และ r {(x,y) R R | y | x |} โดยละไวในฐานทเขาใจวา

r เปนจ านวนจรง คอ 2r {(x, y) | y x } หรอ r {(x,y) | y | x |}

โดเมนและเรนจ (Domain and Range)

7. ครอธบายเกยวกบการหาโดเมนและเรนจโดยบทนยาม

โดเมนและเรนจ (Domain and Range)

บทนยาม ให r เปนความสมพนธจาก A ไป B

โดเมนของ r คอ เซตของสมาชกตวหนาของคอนดบ r เขยนแทนดวย rD

เรนจของ r คอเซตของสมาชกตวหลงของคอนดบ r เขยนแทนดวย rR

8. ครสรปเกยวกบความสมพนธของโดเมนและเรนจซงจะเหนวา rD A และ rR B

และสามารถเขยน rD และ rR ในรปเซตแบบบอกเงอนไขไดคอ rD = {x | (x, y) r} และ

rR = {y | (x, y) r}

9. ครใหนกเรยนพจารณาเซตของสมาชกตวหนาและเซตของสมาชกตวหลงในคอนดบของ

ความสมพนธตอไปน 1r {(4, 7), (5, 10)} และ 7)}(5,6),{(4,r2

ครสมถามนกเรยนใหบอกสมาชกตวหนาและสมาชกตวหลงของ 1r และ 2r

จะไดวา สมาชกตวหนาของคอนดบใน 1r ไดแก 4, 5

สมาชกตวหลงของคอนดบใน 1r ไดแก 7, 10

สมาชกตวหนาของคอนดบใน 2r ไดแก 4, 5

สมาชกตวหลงของคอนดบใน 2r ไดแก 6, 7

10. ครอธบายตวอยางเพมเตมเกยวกบการหาโดเมนและเรนจ ท ารวมกบนกเรยน

ตวอยาง ก าหนด A 1, 2, 3, 4, 5 และ 2 r {(x, y) A A y x }

จงหาโดเมนและเรนจของ r

วธท า จาก 2y x

เมอ x 1 จะได 2y 1 = 1




เมอ x 5 จะได 2y 5 = 25 ดงนน r {(1,1),(2,4),(3,9),(4,16),(5,25)} จะได rD = {1,2,3,4,5} และ rR = {1,4,9,16,25}

ตวอยาง ก าหนดให A 3, 4, 5 และ B 4, 5, 6, 7, 8, 9

1r {(a, b) A B b 2a}

1}2xyAAy){(x,r2 1) จงเขยน 1r และ 2r แบบแจกแจงสมาชก

2) จงหาโดเมนและเรนจของ 1r และ 2r

วธท า จาก b 2a เมอ a = 3 จะได b = 2×3 = 6 เมอ a = 4 จะได b = 2×4 = 8 เมอ a = 5 จะได b = 2×5 = 10 แต 10 ไมเปนสมาชกของ B ดงนน 1r = {(3, 6), (4, 8)}

จะได 1rD = 3, 4

1rR = 6, 8 จาก y 2x –1 เมอ x = 3 จะได y = 2(3) –1= 5 เมอ x = 4 จะได y = 2(4) –1= 7 เมอ x = 5 จะได y = 2(5) –1= 9

ดงนน 2r = {(3, 5), (4, 7), (5, 9)}

จะได 2rD = 3, 4, 5

2rR = 5, 7, 9 ขนสรป

11. ครและนกเรยนรวมกนสรปตามประเดนดงน ความหมายของโดเมนและเรนจ และ วธหาโดเมน

และเรนจของความสมพนธ

12. ครสงการบานนกเรยนใน worksheet 1 พรอมก าหนดวนสง




เปาหมาย หลกฐาน เครองมอวด เกณฑการประเมน สาระส าคญ ความสมพนธ














………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………


………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………


………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………

ลงชอ ………………………………………………….. ผสอน



………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………

ลงชอ …………………………………………..…………………..




………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………



หนวยการเรยนรท 1 ความสมพนธและฟงกชน เรอง โดเมนและเรนจ











ตวชวด


แกปญหา




1.1 สามารถเขยนโดเมนและเรนจในรปแบบตางๆได

1.2 สามารถหาโดเมนและเรนจของความสมพนธได

1.3 มความคดรวบยอดเกยวกบการหาโดเมนและเรนจของความสมพนธ












การหาโดเมนและเรนจในรปแบบตางๆ

ขนน า

ครทบทวนการหาโดเมนและเรนจทไดเรยนไปในคาบกอนหนาน วาเซตทเปนสมาชกตวหนาของค

อนดบเรยกวา โดเมนของความสมพนธ และเซตของสมาชกตวหลงของคอนดบ เรยกวา เรนจของ

ความสมพนธ โดยมนยาม ดงน โดเมนของความสมพนธ r คอเซตของสมาชกตวหนาของคอนดบใน r

เขยนแทนดวย rD โดยท r}y)(x,{xDr

เรนจของความพนธ r คอเซตของสมาชกตวหลงของคอนดบใน r เขยนแทนดวย

rR โดยท r}y)(x,{yR r

ขนสอน

1. ครอธบายวานกเรยนไดเรยนรมาแลววา เราสามารถหาโดเมนและเรนจไดโดยมหลกการหาตอไปน

ถา r เปนความสมพนธใน R ซงไมสามารถแจกแจงสมาชกได การหาโดเมนและเรนจท าได 2 วธ

การหาโดเมน (ดคา x ) ใหจด y อยในเทอมของ x กอน แลวพจารณาคาของ x ทท าให y เปนจรงตาม

เงอนไข น าคา x เหลานนมาตอบเปนโดเมน

การหาเรนจ (ดคา y ) ใหจด x อยในเทอมของ y กอน แลวพจารณาคาของ y ทท าให x เปนจรงตาม

เงอนไข น าคา y เหลานนมาตอบเปนเรนจ

2. ครยกตวอยางการหาโดเมนและเรนจในรปสมการตวแปรเดยว

สมการอยในรป r {(x, y) | x c} จะไดวา rD = {c} และ rR =

สมการอยในรป r {(x, y) | y c} จะไดวา rD = และ rR = {c}

ตวอยาง จงหาโดเมนและเรนจของความสมพนธ

1. 1r {(x, y) | x 3 0}

วธท า เราสามารถจดรปใหมไดดงน 1r {(x, y) | x 3}

ดงนนม rD = 3 และ rR =

2. 2r {(x, y) | 3x 5 0}

วธท า เราสามารถจดรปใหมไดดงน 2

5r {(x, y) | x }

3

ดงนนม rD = 5{ }

3 และ rR =

3. ครยกตวอยางเพมเตมในการหาโดเมนและเรนจในรสมการทม 2 ตวแปร ถา y เปนสมาการพหนามทมก าลงเปนจ านวนบวก แลวสมการ y จะหาคาไดในทกๆคาของ x (x ) ถา x เปนจ านวนจรงใดใด (x ) จะหาคา y ไดเสมอ ถา y เปนจ านวนจรงใดใด (y ) จะหาคา x ไดเสมอ ตวอยาง ให 1r {(x, y) | y 2x 5} จงหาโดเมนและเรนจของ r

วธท า หาโดเมน : โดยเราตองเขยน y ในเทอมของ x นนคอ y 2x 5 จะไดวา ไมวา x จะเปนจ านวนใดใดกตามจะสามารถหาคา y ไดเสมอ ดงนน rD = {x | x R} = R หาเรนจ : โดยเราตองเขยน x ในเทอมของ y นนคอ

y 2x 5 จดรปใหมจะไดวา y 5x

2

จะไดวา ไมวา y จะเปนจ านวนใดใดกตามจะสามารถหาคา x ไดเสมอ ดงนน rR = {y | y R} = R

4. การหาโดเมนและเรนจในรปเศษสวน สมการ Ay

B จะหาคาไดเสมอ กตอเมอ B 0

ตวอยาง ก าหนดให r =

13x1yRRyx, )( จงหา rD และ rR

วธท า หาโดเมน : จาก 13x1y

สมการนเปนจรงทกคา x ยกเวน 3x 1 = 0 จะได 1x =3

นนคอ โดเมนคอคาของ x ทกคา ยกเวน 31x

ดงนน rD =

31xRx

หาเรนจ : ไมวา x จะมคาเปนจ านวนจรงใดๆ คาของ y ไมมโอกาสเปน 0 เลย

ดงนน rR = {y R y 0}

ตวอยาง ให 2x 1r (x, y) | y

5x 3

จงหาโดเมนและเรนจของความสมพนธ r

วธท า หาโดเมน : โดยเราตองเขยน y ในเทอมของ x นนคอ 2x 1y

5x 3

จะไดวา สมการนจะเปนจรงในทกๆคา x ยกเวน 5x 3 0 นนคอ 3x

5

ดงนน rD = {x | x R ยกเวน 3x }

5 หรอ rD = 3

R { }5

หาเรนจ : โดยเราตองเขยน x ในเทอมของ y นนคอ

2x 1y

5x 3

จดรปสมการใหมจะไดวา

y(5x 3) = 2x 1 5xy 3y = 2x 1 5xy 2x = 1 3y

x(5y 2) = 1 3y ดงนน x = 1 3y

5y 2

จะไดวา สมการนจะเปนจรงในทกๆคา y ยกเวน 5y 2 0 นนคอ 2y

5

ดงนน rR = {x | x R ยกเวน 2y }

5 หรอ rR = 2

R { }5

5. ครยกตวอยางการหาในรป ถา y a และ y จะหาคาไดเสมอ กตอเมอ a 0

ตวอยาง ให r (x, y) | y x 3 จงหาโดเมนและเรนจของความสมพนธ

วธท า หาโดเมน : โดยเราตองเขยน y ในเทอมของ x นนคอ y x 3 จะสามารถหาคา x ไดเสมอเมอสมการในรากตองมากกวาหรอเทากบศนย ดงนน จะไดวา x 3 0

x 3 ดงนน rD = [3, )

หาเรนจ : โดยเราตองเขยน x ในเทอมของ y นนคอจาก y x 3

จากเงอนไข y x 3 จดรปใหมจะไดวา 2x y 3 ดงนนจะไดวาจะสามารถหาคา y ไดทท าให x เปนจรง นนคอ y 0 ดงนน rR = (0, ) ในการหาเรนจหรอนอกจากวธจดรป x ในเทอมของ y นนจะมอกวธคอการใชเงอนไขของราก

จะไดวา จาก y x 3 จากเงอนไขของรากทสอง จะไดวา สมการในรากตองมากกวาหรอเทากบศนย นนคอ x 3 0

x 3 0 y 0 ดงนน rR = (0, )

ตวอยาง ก าหนดให r = { 16x3yRRy)(x, 2 } จงหา rD และ rR

วธท า จาก r { 16x3yRRy)(x, 2 }

หาโดเมน : จะเหนวา 016x2 เสมอ หรอ 04)4)(x(x จะได 4x หรอ 4x

ดงนน rD = { 4xx หรอ 4x }

หาเรนจ : เนองจาก 016x2 ท าให 316x3 2

จะได 316x3y 2 ดงนน rR = {y y 3}

7. ครยกตวอยางการหาในรป ถา 2y a และ y จะหาคาไดเสมอ กตอเมอ 2a 0

ตวอยาง ให 2r (x, y) | y x 4 จงหาโดเมนและเรนจของความสมพนธ

วธท า หาโดเมน : โดยเราตองเขยน y ในเทอมของ x นนคอ 2y x 4 จะสามารถหาคา x ไดเสมอเมอตวแปรยกก าลงสองคาตองมากกวาหรอเทากบศนย ดงนน จะไดวาเราสามารถหาคา y ไดในทกๆ x ดงนน rD = R

หาเรนจ : โดยเราตองเขยน x ในเทอมของ y นนคอจาก 2y x 4

จากเงอนไข 2y x 4 จดรปใหมจะไดวา x y 4 ดงนนจะไดวาจากเงอนไข y 4 0

y 4 ดงนน rR = [ 4, ) 8. ครยกตวอยางการหาโดเมนและเรนจโดยการใชกราฟโดยมขนตอนการหาดงน

ขนตอนการหาโดเมนและเรนจโดยใชกราฟ

1. น าความสมพนธทก าหนดให มาเขยนกราฟ

2. - พจารณาคา x ทใชในการเขยนกราฟ ตอบเปนโดเมน

- พจารณาคา y ทใชในการเขยนกราฟ ตอบเปนเรนจ

ตวอยาง จงหาโดเมนและเรนจโดยจากกราฟตอไปน

1. พจารณาคา x ทใชในการเขยนกราฟ ตอบเปนโดเมน

โดยดทแกน x วา x มคาตงแต ( , )

ดงนน rD = ( , )

พจารณาคา y ทใชในการเขยนกราฟ ตอบเปนเรนจ

โดยดทแกน y วา y มคาทจด 3

ดงนน rR = 3


โดยกราฟนเปนกราฟแบบจด มจดทแกน x คอ

3, 2,1,2,5 ดงนน rD = { 3, 2,1,2,5}


โดยกราฟนเปนกราฟแบบจด มจดทแกน y คอ 5,0,1,4

ดงนน rR = { 5,0,1,4}


โดยดทแกน x วา x มคาตงแต ( , )

ดงนน rD = ( , )


โดยดทแกน y วา y มคาตงแต ( , )

ดงนน rR = ( , )

ขนสรป

11. ครและนกเรยนรวมกนสรปตามประเดนในการหาโดเมนและเรนจในหลายรปแบบวามเงอนไข

และลกษณะการหาในรปแบบตางๆไดอยางไร

12. โดยครสงการบานนกเรยนในพรอมก าหนดวนสง




เปาหมาย หลกฐาน เครองมอวด เกณฑการประเมน สาระส าคญ โดเมนและเรนจ














………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………


………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………


………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………

ลงชอ ………………………………………………….. ผสอน



………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………

ลงชอ …………………………………………..…………………..




………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………



หนวยการเรยนรท 1 ความสมพนธและฟงกชน เรอง ตวผกผนของความสมพนธ











ตวชวด


แกปญหา




1.1 สามารถหาตวผกผนของความสมพนธได

1.2 สามารถหาโดเมนและเรนจตวผกผนของความสมพนธได

1.3 มความคดรวบยอดเกยวกบตวผกผนของความสมพนธ

1.4 สามารถวาดกราฟอนเวอรสได












การหาตวผกผนของอนเวอรสและกราฟอนเวอรส

ขนน า

ครทบทวนการหาโดเมนและเรนจทไดเรยนไปในคาบกอนหนาน วาเซตทเปนสมาชกตวหนาของค

อนดบเรยกวา โดเมนของความสมพนธ และเซตของสมาชกตวหลงของคอนดบ เรยกวา เรนจของ

ความสมพนธ

ขนสอน

1. ครกลาวถงค าวาตวผกผนวามความหมายวาอยางไรโดยใหนกเรยนชวยกนคดและตอบความหมาย

จากนนครอธบายวาตวผกผนคอความสมพนธซงเกดจากการสลบทของสมาชกตวหนาและสมาชกตวหลงในแตละ

คอนดบทเปนสมาชกของ r โดยเขยนแทนดวย 1r

เชน r {(1,2),(3,5),(6,8)} จะไดวา 1r {(2,1),(5,3),(8,6)}

2. ครบอกขอสงเกตเพมเตมเกยวกบตวผกผน ดงน

1) สามารถเขยน 1r ในรปเซตแบบบอกเงอนไขไดดงน 1r {(y,x) | (x, y) r}

2) ถา r เปนความสมพนธจาก A ไป B แลว 1r เปนความสมพนธจาก B ไป A

3) เนองจาก r และ 1r เกดจากการสลบทกนของตวหนากบตวหลงของคอนดบ

เกดเปนความสมพนธ rD 1rR และ rR 1

rD

3. ครยกตวอยางโจทยคอนดบของการหาตวผกผนและหาโดเมนและเรนจของตวผกผน

ตวอยาง จงหาอนเวอรสของพรอมกบโดเมนและเรนจของอนเวอรส

1) 1r {(1,2),(3,4),(5,6)}

ตอบ 11r {(2,1),(4,3),(6,5)}

2) 2r {( 3, 10),( 2,5),( 1,0),(1, 5),(2,10)}

ตอบ 12r {( 10, 3),(5, 2),(0, 1),( 5,1),(10,2)}

4. ครอธบายวธการหาอนเวอรสในรปของเซตแบบบอกเงอนไข

การหาอนเวอรสมาในรปแบบบอกเงอนไข

การหา 1r แบบบอกเงอนไขสามารถท าได 2 วธ

1) โดยการสลบทคอนดบ แตคงเงอนไขเดมไว

เชน r {(x, y) A B | y 2x 3} จะไดโดเมนคอ R เรนจคอ R

1r {(y,x) B A | y 2x 3} จะไดโดเมนคอ R เรนจคอ R

2) โดยการคงทคอนดบไว แตสลบทตวแปรในเงอนไขแทน

เชน r {(x, y) A B | y 2x 3}

1r {(x, y) B A | x 2y 3}

จดใหมจะไดวา 1 x 3r {(x, y) B A | y }

2

5. ครใหนกเรยนลองท าตวอยางเพอทดสอบความเขาใจในการหาอนเวอรส

ตวอยาง ก าหนด r {(x, y) R R | y 5x 4} จงพจารณาอนเวอรสของ r วาถกหรอผด

………………ถก…………………1) 1r {(y,x) R R | y 5x 4}

………………..ถก………………2) 1r {(x, y) R R | x 5y 4}

………………..ถก………………3) 1 x 4r {(x, y) R R | y }

5

6. ครยกตวอยางความสมพนธในรปแบบบอกเงอนไขหาอนเวอรสของพรอมกบโดเมนและเรนจของอนเวอรส

ตวอยาง จงหาอนเวอรสของความสมพนธตอไปนพรอมทงหาโดเมนและเรนจ

1) 1r {(x,y) | y 2x 4}

วธท า การหาอนเวอรส เปลยน (x, y) (y,x)

จะไดวา 11r {(y,x) | y 2x 4} หรอ 1

1r {(x, y) | x 2y 4}

จดรปสมการใหมใหสมการอยในรป y = เทอม x จะไดวา 11

x 4r {(x, y) | y }

2

จะไดวา 1rD = R และ 1

rR = R

2) 2

3 2xr {(x, y) | y }

3x 5

วธท า 12

3 2xr {(y,x) | y }

3x 5

หรอ 1

2

3 2yr {(x, y) | x }

3y 5

จดรปสมการใหมใหสมการอยในรป y = เทอม x

จะไดวา x = 3 2y

3y 5

x (3y 5) = 3 2y

3x y 5x = 3 2y

3x y 2y = 3 5x

y(3y 2) = 3 5x

y = 3 5x

3y 2

ดงนน จะไดวา 12

3 5xr {(x, y) | y }

3x 2

หาโดเมน ( x ) จดรป y = เทอม x จะไดวา

เนองจากโจทยประเภทเศษสวน ตวสวนตองไมเทากบศนย

ดงนน 3y 2 0

2y

3 ดงนน 1

rD = R 2

3

หาเรนจ ( y ) จดรป x = เทอม y จะไดวา 12

3 2yr {(x, y) | x }

3y 5

เนองจากโจทยประเภทเศษสวน ตวสวนตองไมเทากบศนย

ดงนน 3y 5 0

5y

3 ดงนน 1

rR = R 5

3

3) 3r {(x, y) | y x 1}

วธท า 13r {(y,x) | y x 1} หรอ 1

3r {(x, y) | x y 1}

จดรปสมการใหม 1 23r {(x, y) | x y 1}

หาโดเมน ( x ) จดรป y = เทอม x จะไดวา 1 23r {(x, y) | y x 1}

เนองจากโจทยอยในรปราก ดงนนคาในรากตองมากกวาหรอเทากบศนย

จะไดวา 2x 0

x 0

ดงนน 1rD = [0, )

หาเรนจ ( y ) จดรป x = เทอม y จะไดวา 13r {(x, y) | x y 1}

เนองจากโจทยอยในรปราก ดงนนคาในรากตองมากกวาหรอเทากบศนย

จะไดวา y 1 0

y 0 1 y 1

ดงนน 1rR = [1, )

4) 6r {(x,y) | x | y | 1}

วธท า 16r {(y,x) | x | y | 1} หรอ 1

6r {(x, y) | y | x | 1}

หาโดเมน จะไดวา 1rD = R และ 1

rR = R

7. ครใหนกเรยนท าตวอยางเพมเตมในหองเรยนดวยตนเอง เพอเพมความเขาใจโดยครคอยก ากบดแล

8. ครอธบายวาตวผกผนคอการสลบคอนดบ (x, y) (y,x) ดงนนจะไดวา x y

โดยใหนกเรยนลองวาดกราฟอนเวอรสโดยการสะทอนกบเสน x y

ตวอยาง จงเขยนกราฟอนเวอรสของ r ลงบนแกน xy รวมกบกราฟ r

1) 2)

3) 4)

ขนสรป

10. ครและนกเรยนรวมกนสรปตามประเดนและความหมายของตวผกผนและทบทวนการหาโดเมน

และเรนจ




เปาหมาย หลกฐาน เครองมอวด เกณฑการประเมน สาระส าคญ ตวผกผนของความสมพนธ














………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………


………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………


………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………

ลงชอ ………………………………………………….. ผสอน



………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………

ลงชอ …………………………………………..…………………..




………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………



หนวยการเรยนรท 1 ความสมพนธและฟงกชน เรอง ความหมายของฟงกชน











ตวชวด


แกปญหา




1.1 สามารถหาเขาใจความหมายของฟงกชนได

1.2 สามารถหาไดวาความสมพนธนเปนฟงกชนหรอไมเปนฟงกชน

1.3 มความคดรวบยอดเกยวกบความหมายของฟงกชน












เขาใจความหมายของฟงกชนและสามารถหาฟงกชนได

ขนน า

ครอธบายนกเรยนวาทผานมาเราเรยนความสมพนธ โดยตอจากนเราจะเรยนเกยวกบฟงกชนโดย

ฟงกชนคออะไร ครตงค าถามความหมายของฟงกชนวาฟงกชนมความหมายอยางไร โดยใชการตงค าถาม

เพอใหนกเรยนเกดความคด

ขนสอน

1. ครบอกความหมายของฟงกชนวาคออะไร ฟงกชน คอ ความสมพนธทมสมาชกในโดเมนแตละตว

จบคกบสมาชกในเรนจของความสมพนธเพยงตวเดยวเทานน โดยครบอกนกเรยนงายๆวาคอ

ตวหนาไมซ าจะเปนฟงกชน

x y x

เปนฟงกชน ไมเปนฟงชน

1

2

y

y

2. ครยกตวอยางการเปนหรอไมเปนฟงกชนโดยใชการวาดรปเพอใหนกเรยนเขาใจมากขน

ตวอยาง 1 ก าหนดให 1r {(0,3),(1,1),(2,1),(3,4)} และ 2r {(0,1),(1,1),(1,2),(0,4)}

จาก 1 2r , r เขยนแผนภาพแสดงการจบคไดดงน

1r

0

1

2

3

3

1

4 2r

0

1

1

2

4

rD rR rD rR 1r เปนฟงกชน 2r ไมเปนฟงกชน

3. ครยกตวอยางคอนดบตอไปนเพอพจารณาวาเปนฟงกชนหรอไม

ตวอยาง จงพจารณาความสมพนธตอไปนวาเปนฟงกชนหรอไม

1) a {(4,5),(6,8),(7,0)} 2) b {(5,6),(5,7),(5,8)}

ตอบ เปนฟงกชน ตอบ ไมเปนฟงกชน

3) c {(3,6),(5,4),(3,0)} 4) d {(4,6),(9,6),(5,1)}

ตอบ ไมเปนฟงกชน ตอบ เปนฟงกชน

4. ครสอนนกเรยนพจารณาการเปนฟงกชนโดยใชกราฟ มวธการดงน

ลากเสนตรงตงฉากกบแกน x (ขนานกบแกน y) แลวใหตดกราฟ ถา

- ตดกราฟเพยง 1 จด เปนฟงกชน

- ตดกราฟตงแต 2 จดขนไป ไมเปนฟงกชน

5. ครยกตวอยางกราฟ เพอใหนกเรยนไดลองพจารณาความเปนฟงกชน

1) พจารณากราฟโดยการลากกราฟตงฉากกบแกน x

ถาตดกราฟเพยง 1 จด

ดงนน เปนฟงกชน



ดงนน เปนฟงกชน



ดงนน ไมเปนฟงกชน

5. การพจารณาฟงกชนในเซตแบบบอกเงอนไข ดงน

ตวอยาง ความสมพนธในขอใดเปนฟงกชน

1) 1r {(x, y) | y 3x 1}

วธท า การเปนฟงกชนเปนไดกเมอคา x หนงคาจะท าใหเกดคา y เพยงคาเดยว

ดงนนลองแทนคา x = 1 จะไดวา y = 3(1) 1 4

x = 2 จะไดวา y = 3(2) 1 7

ซงจะเหนวา x หนงคาจะท าใหเกดคา y เพยงคาเดยว

ดงนน 1r {(x, y) | y 3x 1} เปนฟงกชน

2) 22r {(x, y) | y x}

วธท า การเปนฟงกชนเปนไดกเมอคา x หนงคาจะท าใหเกดคา y เพยงคาเดยว

ดงนนลองแทนคา x = 4 จะไดวา y = 2

x = 9 จะไดวา y = 3

ซงจะเหนวา x หนงคาจะท าใหเกดคา y สองคาเดยว

ดงนน 22r {(x, y) | y x} ไมเปนฟงกชน

6. ครใหนกเรยนท าตวอยางทเหลอในเอกสารประกอบการสอนเพอใหนกเรยนเกดการเรยนรดวยตนเอง

และเขาใจมากขน โดยครคอยก ากบดแล

7. จากนนครบอกนกเรยนถงฟงกชนเปนความหมายหนงทางคณตศาสตร โดยมสญลกษณคอ

ถา f เปนฟงกชน และ x, y f แลวเราจะเขยนสญลกษณนวา y f (x)

โดยเราจะเรยก y วา คาฟงกชนของ x ภายใตฟงกชน f

8. ครยกตวอยางการหาคาของฟงกชน ดงน

ตวอยาง ให f (x) 2x 1 จงหาคาของฟงกชน f (3),f(0) และ f ( 4)

วธท า เนองจากโจทยตองการหา f (3),f(0) และ f ( 4)

จาก f (x) 2x 1

จะไดวา f (3) 2(3) 1 = 7

f (0) 2(0) 1 = 1

f ( 4) = 2( 4) 1 = 7

9. ครใหนกเรยนท าตวอยางเพมเตมเพอใหนกเรยนเขาใจและท าไดดวยตนเอง

ขนสรป

10. ครและนกเรยนรวมกนสรปเกยวกบฟงกชนวามความหมายและลกษณะอยางไร และมวธการพจารณา

ความเปนฟงกชนดวยวธใดไดบาง และรวมกนทบทวนและสรปความหมาย




เปาหมาย หลกฐาน เครองมอวด เกณฑการประเมน สาระส าคญ ความหมายฟงกชนและการพจารณาฟงกชน














………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………


………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………


………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………

ลงชอ ………………………………………………….. ผสอน



………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………

ลงชอ …………………………………………..…………………..




………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………



หนวยการเรยนรท 1 ความสมพนธและฟงกชน เรอง ชนดของฟงกชน











ตวชวด


แกปญหา




1.1 สามารถหาเขาใจชนดของฟงกชนวามกประเภท

1.2 สามารถวาดกราฟฟงกชนเชงเสนได

1.3 มความคดรวบยอดเกยวกบชนดของฟงกชน












เขาใจความหมายของชนดของฟงกชนวามกชนด คอ ฟงกชนเชงเสน , ฟงกชนก าลงสอง ,

ฟงกชนเอกซโพแนนเชยล , ฟงกชนคาสมบรณและฟงกชนขนบนได

ขนน า

ครอธบายนกเรยนวาทผานมาไดเรยนเกยวกบชนดของฟงกชนวามชนดอะไรบางคอ ฟงกชน

เชงเสน , ฟงกชนก าลงสอง , ฟงกชนเอกซโพแนนเชยล , ฟงกชนคาสมบรณและฟงกชนขนบนได

ขนสอน

1. ครอธบายฟงกชนตวแรกใหกบนกเรยนคอ ฟงกชนเชงเสน โดยฟงกชนเชงเสนจะอยในรป

ฟงกชนเชงเสน คอ ฟงกชนทอยในรป y ax b เมอ a,b เปนจ านวนจรง และ a 0 กราฟของ

ฟงกชนเชงเสน จะเปนกราฟเสนตรง

2. จากนนครสอนนกเรยนวาดกราฟ โดยการหาจดตดแกน x และ จดตวแกน y

โดยมวธการหาคอ หาจดตดแกน x ให y=0 และ หาจดตดแกน y ให x=0

3. เมอนกเรยนไดทราบวธการหาแลวนน ครจงยกตวอยางใหนกเรยนไดลองท าการวาดกราฟน วาม

ลกษณะเปนเสนตรงหรอไม

4. ครยกตวอยางตอไปน เพอใหนกเรยนไดลองคนหาและตรวจสอบ

ตวอยางท จงเขยนกราฟของ y x 2

หาจดตดแกน x โดยการแทน y=0 จะไดวา 0 x 2

ดงนน x 2 จดตดแกน x คอ (2,0)

หาจดตดแกน y โดยการแทน x = 0 จะไดวา y 0 2

ดงนน y 2 จดตดแกน y คอ (0, 2)

5. โดยครลองใหนกเรยนลองท าตวอยางถดไปดวยตนเอง เพอทดสอบความเขาใจฟงกชนเชงเสน

6. หลงจากทนกเรยนเขาใจและสามารถวาดกราฟฟงกชนเชงเสนไดแลว ครจงสอบถามนกเรยนวา เนองจาก

ฟงกชนเชงเสนมรปทวไปคอ y ax b โดยครลองถามนกเรยนวาถา a 0 จะเกดอะไรขน

โดยนกเรยนจะตอบพรอมกนวา จะได y b

7. ครสอบถามนกเรยนวา y b จะมหนาตาอยางไร โดยครยกตวอยาง สมมตให y 2 โดยใหนกเรยน

ลองใชวธการวาดกราฟในการคนหาค าตอบ หลงจากใหนกเรยนไดลองท า ครจงอธบายนกเรยนวา ถา

y b เราจะเรยกวาฟงกชนคงตว และครสรปใหนกเรยนทราบวากราฟจะเปนกราฟขนานแกน x เสมอ

ผานจด (0,b)

8. ครลองท าตวอยางตอไปพรอมกบนกเรยนอกครง เพอชวยนกเรยนทยงท าไมได

ตวอยาง จงเขยนกราฟของ y 3

วธท า จะไดวา กราฟจะขนานแกน x ท -3

จดตดแกน y ทจด (0, 3)

x 2 0 y 0 -2

(2,0)

(0, 2)

(0, 3)

9. ครยกตวอยางเพมเตมเกยวกบลกษณะของกราฟโดยวาดกราฟอยในระนานเดยวกน

1) 1y x และ 2y 4x

วธท า จาก 1y x จะท ากราฟวาดกราฟโดยใชตาราง

จะไดวา

และ จาก 2y 4x จะท ากราฟวาดกราฟโดยใชตาราง

จะไดวา

2) 1y x และ 2y 4x

วธท า จาก 1y x จะท ากราฟวาดกราฟโดยใชตาราง

จะไดวา

และ จาก 2y 4x จะท ากราฟวาดกราฟโดยใชตาราง

จะไดวา

10.จากตวอยางทผานมา ครไดลองใหนกเรยนสงเกตกราฟทวาดมลกษณะอยางไร และอะไรทสงเกตไดบาง

x -1 0 1 2 Y -1 0 1 2

x -1 0 1 2 Y -4 0 4 8

x -1 0 1 2 Y 1 0 -1 -2

x -1 0 1 2 Y 4 0 -4 -8

1y x 2y 4x

1y x

2y 4x

1y x

11. โดยครจะท าการถามนกเรยน แลวใหนกเรยนชวยกนสรปตอไปน

จากตวอยาง เราสามารถสรปไดวา

กรณ a 0 เมอ a มากขน เสนตรงจะเบนเขาหาแกน y

เมอ a นอยลง เสนตรงจะเบนเขาหาแกน x

กรณ a 0 เมอ a ตดลบมากขน เสนตรงจะเบนเขาหาแกน y

เมอ a ตดลบนอยลง เสนตรงจะเบนเขาหาแกน x

12. ครและนกเรยนรวมกนสรปฟงกชนเชงเสนวามรปทวไปและมลกษณะกราฟอยางไร

13. ครแนะน าฟงกชนอกชนดใหนกเรยนไดรจกคอ ฟงกชนก าลงสอง ฟงกชนก าลงสอง เปนฟงกชนทอยรป 2y ax bx c เมอ a,b,c เปนจ านวนจรงใดใด และ a 0

14. ครใหนกเรยนลองนกความรเกา โดยใหนกเรยนลองคาดเดาวาฟงกชนก าลงสองจะมลกษณะอยางไร

จากนนครจะอธบายใหนกเรยนทราบ ซงลกษณะกราฟของฟงกชนนจะมลกษณะเปนเสนโคงหงายหรอคว า

ขนอยกบคา a โดย

15. จากนน ครย านกเรยนวากราฟชนดนมชอวา กราฟพาราโบลา โดยจะเปนลกษณะกราฟหงายหรอคว า

นนใหขนอยกบคา a โดยครมเทคนคการจ าใหนกเรยนคอ

a บวก แปะยม ซงกราฟจะมลกษณะเปนหนายม (กราฟหงาย)

a ลบ อาซมโศก ซงกราฟจะมลกษณะเปนหนาบง (กราฟคว า)

และท าการสรปใหนกเรยนอกครง

จากรปจะเหนวา ถา a 0 กราฟเปนเสนโคงหงายขน

ถา a 0 กราฟเปนเสนโคงคว าลง

16. ครบอกสวนประกอบและชอเรยกของพาราโบลา ดงน

กราฟของฟงชนก าลงสองในรปนมชอเรยกวา พาราโบลา

และเรยกจดยอดของพาราโบลา คอ จดวกกลบ

ถากราฟพาราโบลาหงาย จะมจดวกกลบทเปน จดสงสดและคาต าสด

ถากราฟพาราโบลาคว า จะมจดวกกลบทเปน จดสงสดและคาต าสด

17. ครและนกเรยนรวมกนวาดกราฟพาราโบลา โดยใชตารางแทนคาในการวาดกราฟ

ตวอยาง จงเขยนกราฟของฟงกชนก าลงสองตอไปนพรอมทงหาจดวกกลบและจดสงสดหรอจดต าสดของกราฟ

1) 2y x

จดวกกลบ คอ (0,0)

จดต าสดคอ (0,0)

2) 21y x

2

จดวกกลบ คอ (0,0)

จดต าสดคอ (0,0)

x y -3 9 -2 4 -1 1 0 0 1 1 2 4 3 9

x y -2 -2 -1 1

2

0 0 1 1

2

2 -2

18. นอกจากวธวาดกราฟดวยตารางแลว ยงมอกวธหนงในการวาดกราฟ คอการใชสตรทวไปของพาราโบลา

แลวหาจด h, k เปนจดวกกลบ คอ 2y a(x h) k , a 0 จากนนครใหตวอยางนกเรยน

เพมเตมเพอใหนกเรยนเขาใจ

ตวอยาง จงหาจดสงสดหรอต าสดของกราฟของฟงกชน 2y (x 3) 3

วธท า จากสตรรปทวไปของพาราโบลา 2y a(x h) k

และจากโจทย 2y (x 3) 3 จะไดวา a 1 , h 3 และ k 3

และเนองจาก a = 1 ซงมากกวา 0 จะได พาราโบลาหงาย

จะไดวา จดวกกลบ คอ 3,3 ทเปนจดต าสด ดงนน จดต าสด คอ 3,3

สามารถวาดกราฟไดดงน

3,3

ตวอยาง จงเขยนกราฟฟงกชนก าลงสองตอไปนพรอมทงหาจดวกกลบและจดสงสดหรอจดต าสดของกราฟ

1) 2y x 1


เทยบกบโจทย 2y x 1 จะไดวา h, k = 0, 1

และเนองจาก a = 1 ซงมากกวา 0 จะได พาราโบลาหงาย


จะไดวา จดวกกลบ คอ 0, 1

จดต าสด คอ 0, 1

0, 1

2) 2y x 1


เทยบกบโจทย 2y x 1 จะไดวา h, k = 0, 1

และเนองจาก a = -1 ซงนอยกวา 0 จะได พาราโบลาคว า


จะไดวา จดวกกลบ คอ 0, 1

จดต าสด คอ 0, 1

19. ครใหนกเรยนลองท าแบบฝกหดการวาดพาราโบลาในตวอยางถดไปดวยตนเอง โดยครจะขอตวแทน

ออกมาท าหนาหอง และใหนกเรยนเปนผตรวจดดวยวาเพอนมจดทคดผดพลาดหรอไม

20. เมอนกเรยนสามารถเขาใจการวาดกราฟพาราโบลาโดยการหาจด h, k ไดแลว ครจงยกตวอยางเพมเตม

เพอจะวดความเขาใจนกเรยนในการวเคราะหโจทยทซบซอนมากขน

ตวอยาง จงเขยนกราฟของฟงกชนตอไปนในระนาบเดยวกน

1) 21y x , 2

2y x 1 , 23y x 2 และ 2

4y x 3


เนองจากทกสมการนน a = 1 ซงมากกวา 0 จะได พาราโบลาหงาย

เทยบกบ 21y x จะไดวา h, k = 0,0

เทยบกบ 22y x 1 จะไดวา h, k = 0,1




0, 1

0,3

0,0

0,1

0,2

2) 21y (x 1) , 2

2y (x 2) และ 23y (x 3)


เนองจากทกสมการนน a = 1 ซงมากกวา 0 จะได พาราโบลาหงาย

เทยบกบ 21y (x 1) จะไดวา h, k = 1,0




21. ครใหนกเรยนท าตวอยางเพมเตมเพอใหนกเรยนเขาใจและท าไดดวยตนเอง

ขนสรป

22. ครและนกเรยนรวมกนสรปเกยวกบฟงกชนทงสองชนดทไดเรยนวนนมอะไรบางและทบทวนสตรทง

สองชนดวามลกษณะอยางไร

23. ครสงการบานนกเรยนในหนงสอแบบฝกหดของ สสวท.


0,3 2,0 3,0



เปาหมาย หลกฐาน เครองมอวด เกณฑการประเมน สาระส าคญ ชนดของฟงกชน (ฟงกชนคงตวมพาราโบลา)














………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………


………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………


………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………

ลงชอ ………………………………………………….. ผสอน



………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………

ลงชอ …………………………………………..…………………..




………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………



หนวยการเรยนรท 1 ความสมพนธและฟงกชน เรอง ชนดของฟงกชน (ตอ)











ตวชวด


แกปญหา




1.1 สามารถหาเขาใจชนดของฟงกชนวามกประเภท

1.2 สามารถวาดกราฟฟงกชนพาราโบลาได


1.4 สามารถน าพาราโบลาไปใชในการแกสมการและอสมการได














ขนน า

จากคาบทแลวนกเรยนไดเรยนฟงกชนเชงเสนและฟงกชนพาราโบลา โดยครทบทวนนกเรยน

โดยการถามและทบทวนสตรในแตละชนด และเกรนน านกเรยนถงฟงกชนทจะเรยนในวนนคอฟงกชนการน า

พาราโบลาไปใชในการแกสมการและอสมการ

ขนสอน

1. ครทบทวนฟงกชนพาราโบลาใหนกเรยนทมสตรรปทวไปของพาราโบลา 2y a(x h) k

โดยเขาอยในรปทไมไดอยในรปฟงกชนทสามารถหาไดทนท

2. จากนนครใหนกเรยนสรางรปใหอยทวไปโดยตองทบทวนสตรก าลงสองสมบรณ2 2 2(a b) a 2ab b


1) 2y x 2x 15

วธท า เนองจากโจทยไมอยในรปทสามารถหาจด (h, k) ได ดงนนจงตองจดรปใหม

จาก 2y x 2x 15

และจาก 2 2 2(a b) a 2ab b

2y (x 2x 1) 15 1

2y (x 1) 16 ดงนน จด (h,k) = (1, 16)

ดงนนสามารถวาดกราฟไดดงน

(1, 16)

3. นอกเหนอจากวธท าใหเปนก าลงสองสมบรณยงสามารถใชสตรหาในรปแบบนได

เมอสมการอยในรป 2y ax bx c จะไดวา จดวกกลบ คอ b b( ,f( ))

2a 2a โดยครยกตวอยางโดย

การใชสตรใหนกเรยนทราบ


2) 2y 2x 4x 16

วธท า เนองจากโจทยไมอยในรปทสามารถหาจด (h, k) ได ดงนนจงตองจดรปใหม

โดยจากสตร (h,k) = b b( ,f( ))

2a 2a

จากโจทย 2y 2x 4x 16 จะไดวา a 2,b 4,c 16

หา h จะไดวา bh

2a = 4

2(2) = 1

หา k จะไดวา bf( )

2a = f ( 1) 22x 4x 16

= 22( 1) 4( 1) 16

= 2 4 16 = 18

ดงนน (h,k) = ( 1, 18)


( 1, 18)

4. ตอมาครไดอธบายใหถงการน าไปใชของพาราโบลาคอการแกค าตอบของสมการและอสมการ

5. จากนนครบอกนกเรยนถงวธการน ากราฟพาราโบลาในการใช

การแกสมการโดยใชกราฟ

ถากราฟตดแกน x จะมค าตอบของสมการทเปนจ านวนจรง

ถากราฟไมตดแกน x จะไมมค าตอบของสมการทเปนจ านวนจรง

ถาพาราโบลาตดแกน x 2 จดจะมค าตอบของสมการทเปนจ านวนจรง 2 ค าตอบ

ครลองยกตวอยางเพมเตมเพอใหนกเรยนไดใชพาราโบลาในการหาค าตอบ

ตวอยาง จงหาค าตอบของสมการ 22x 2 0 โดยใชกราฟและจดตวแกน x และ y

วธท า สมมต 2y 2x 2

จาก 2y a(x h) k จะได (h,k) = (0, 2)

วาดกราฟไดดงน

จะเหนวา กราฟตดแกน x 2 จด

ดงนนค าตอบของสมการม 2 ค าตอบ

หาจดตดแกน x ให y = 0

จะได 22x 2 0

22x 2

2 2x

2

จะได x 1,1

ค าตอบของสมการคอ x 1,1

ตวอยาง จงหาค าตอบของ 2(x 4) 0

วธท า สมมต 2y (x 4)

จาก 2y a(x h) k จะได (h,k) = ( 4,0)

จะเหนวา กราฟตดแกน x เพยงหนงจด ดงนนค าตอบของสมการม 1 ค าตอบ

หาจดตดแกน x ให y = 0 จะไดวา

x y -2 4 -1 0 0 -2 1 0 2 4

จะไดวา

2(x 4) 0 (x 4)(x 4) 0 เพราะฉะนน x 4

ดงนน ค าตอบของสมการคอ x 4

6. ครยกตวอยางโจทยใหนกเรยนท าเพมเตมเกยวกบพาราโบลา

ตวอยาง จงหาค าตอบของ 2f (x) x 6x 8 และจงหา

1) โดเมนและเรนจของฟงกชน f 2) จดวกกลบของกราฟ

3) จดวกกลบของกราฟเปนจดทฟงกชนมคาสงสดหรอต าสดและมคาเทาใด

4) จดทกราฟตดแกน x

วธท า จากสมการทวไปของพาราโบลาคอ 2y a(x h) k

จากโจทย 2f (x) x 6x 8

เนองจากโจทยไมอยในรปทสามารถหาจด h,k ได ดงนนจงตองจดรปใหม


2a 2a

จากโจทย 2f (x) x 6x 8 จะไดวา a 1,b 6,c 8


2a = 6

2( 1)

= 3


2a = f ( 3) = 2x 6x 8

= 2( 3) 6( 3) 8

= 9 18 8 = 1

ดงนน (h,k) = ( 3,1)

ดงนนเราสามารถหาวาดกราฟไดดงน ( 3,1)

1) โดเมนและเรนจของฟงกชน f

จากกราฟพาราโบลา จะไดวา fD {x | x R} และ

fR {y | y R และ y 1} หรอ fR ( ,1]

2) จดวกกลบของกราฟ (h,k) = ( 3,1)

3) จดวกกลบของกราฟเปนจดทฟงกชนมคาสงสดหรอต าสดและมคาเทาใด

เนองจากกราฟเปนกราฟหงาย ดงนนจงเปนจดต าสด ( 3,1)

4) จดทกราฟตดแกน x

จากกราฟพบวากราฟตดแกน x ท 2 จด ดงนนจะไดวา

โดยหาจดตดแกน x ให y = 0 จะไดวา 2x 6x 8 0

คณ (-1) ตลอดสมการ

2x 6x 8 0 (x 2)(x 4) 0 ดงนน x 2 หรอ x 4

ค าตอบของสมการคอ x 2 หรอ x 4

7. เมอนกเรยนสามารถเขาใจการใชกราฟพาราโบลาหาค าตอบของสมการไดแลวนน จากนนครจงลองให

นกเรยนไดลองหาอสมการโดยใชกราฟเชนกน

การแกอสมการโดยใชกราฟ

ตวอยาง จงแกอสมการ 2x 9 โดยใชกราฟ

วธท า จาก 2x 9 จะไดวา 2x 9 0

เนองจากหาสมการโดยใชกราฟ เราจงสมมต 2y x 9

ดงนน จะได (h,k) = (0, 9) โดยท y 0

เนองจาก a =1 ซงมากกวา 0 ดงนน จงไดเปนพาราโบลาหงาย

เราสามารถวาดกราฟพาราโบลาได (0, 9)

จะพบวา กราฟตดแกน x สองจด ดงนนvสมการม 2 ค าตอบ


2x 9 0 (x 3)(x 3) 0 + __ +

สามารถวาดเสนจ านวนไดคอ -3 3

พจารณาคาท y 0 จะไดวา 3 x 3

ดงนนเซตค าตอบของอสมการคอ ( 3,3)

ตวอยาง จงแกอสมการ 2x 2x 3 0 โดยใชกราฟ

วธท า จาก 2x 2x 3 0

เนองจากหาสมการโดยใชกราฟ เราจงสมมต 2y x 2x 3

เนองจากโจทยไมอยในรปทสามารถหาจด h,k ได ดงนนจงตองจดรปใหม


2a 2a

จากโจทย 2y x 2x 3 จะไดวา a 1,b 2,c 3


2a = 2

2(1)

= 1


2a = f (1) = 2x 2x 3

= 2(1) 2(1) 3

= 1 5 = 4

ดงนน (h,k) = (1, 4)

ดงนน จะได (h,k) = (1, 4) โดยท y 0

เนองจาก a =1 ซงมากกวา 0 ดงนน จงไดเปนพาราโบลาหงาย

เราสามารถวาดกราฟพาราโบลาได ดงน

จะพบวา กราฟตดแกน x สองจด ดงนนvสมการม 2 ค าตอบ


2x 2x 3 0 (x 3)(x 1) 0 + __ +

สามารถวาดเสนจ านวนไดคอ -1 3

พจารณาคาท y 0 จะไดวา 1 x 3

ดงนนเซตค าตอบของอสมการคอ [ 1,3]

8. ครใหนกเรยนท าแบบฝกหดทเหลอดวยตนเอง เพอทดสอบความเขาใจและมาสงครรายคนเพอใหคร

ตรวจสอบความถกตอง

ขนสรป

9. ครและนกเรยนรวมกนสรปเกยวกบฟงกชนทไดเรยนวนนมอะไรบางและทบทวนสตรชนดวามลกษณะ

อยางไรและมการน าพาราโบลาไปใชในการแกสมการและอสมการไดอยางไร





เปาหมาย หลกฐาน เครองมอวด เกณฑการประเมน สาระส าคญ ชนดของฟงกชน (การแกสมการแลพอสมการดวยพาราโบลา)














………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………


………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………


………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………

ลงชอ ………………………………………………….. ผสอน



………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………

ลงชอ …………………………………………..…………………..




………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………














ตวชวด


แกปญหา




1.1 สามารถหาเขาใจชนดของฟงกชนในหลายๆรปแบบ

1.2 สามารถวาดกราฟฟงกชนเอกโพแนนเชยลและคาสมบรณได















ขนน า

จากคาบทแลวนกเรยนไดเรยนฟงกชนเชงเสนและฟงกชนพาราโบลา โดยครทบทวนนกเรยน

โดยการถามและทบทวนสตรในแตละชนด และเกรนน านกเรยนถงฟงกชนทจะเรยนในวนนคอฟงกชน

ฟงกชนเอกซโพแนนเชยลและฟงกชนคาสมบรณ

ขนสอน

1. ครกลาวถงฟงกชนอกชนดหนงคอ ฟงกชนเอกซโพแนนเชยล โดยใชค าถามกระตนนกเรยนวา กราฟนเคย

ไดยนมาหรอไมหรอทายสหนาตาจะเปนยงไง

2. ครแนะน ารวมถงใหรปทวไปของฟงกชนเอกซโพแนนเชยล รปทวไปของฟงกชนเอกซโพแนนเชยล คอ xy a เมอ a 0 และ a 1 กราฟของฟงกชนจะมลกษณะดงตวอยางตอไปน โดยฟงกชนนจะอยใน

รปเลขยกก าลง

3. จากนนครจงลองยกตวอยางเพอใหนกเรยนไดวาดพลอตจดทกราฟ เพอท านายลกษณะของกราฟ

ตวอยาง จงเขยนกราฟของฟงกชนเอกซโพแนนเชยล xy 2

วธท า

x y

3 1

8

2 2 1 1

2

0 1 1 2 2 4 3 8

ตวอยาง จงเขยนกราฟของฟงกชนเอกซโพแนนเชยล x

1y

2

วธท า

x y

3 8

2 4 1 2 0 1 1 1

2

2 1

4

3 1

8

4. จากกราฟฟงกชนเอกซโพแนนเชยลจากสองตวอยางทผานมาท าใหนกเรยนหาขอสรปไดดงน

จากตวอยางทผานมาจะไดวา ถา a 1 และเมอ x มคาเพมขน คา y กเพมตามไป

แลวเรากลาวไดวากราฟเอกโพแนนเชยลนเปนฟงกชนเพม( increasing function)

เมอ 1 2x x แลว 1 2f (x ) f (x )

ถา 0 a 1 และเมอ x มคาเพมขน คา y จะลดลง

แลวเรากลาวไดวากราฟเอกโพแนนเชยลนเปนฟงกชนลด ( decreasing function)

เมอ 1 2x x แลว 1 2f (x ) f (x )

จากตวอยางทงสองจะไดวา กราฟฟงกชน xy a เมอ a 0 และ a 1 กราฟจะตดแกน y ทจด

(0,1) เสมอ

เพราะ 0a 1 แตกราฟจะไมตดแกน x เพยงแตมคาเขาใกล 0 หรอมคาเขาใกลแกน x เทานน

5. เมอนกเรยนทราบหนาตาของกราฟเอกโพแนนเชยลแลวนน ครจงแนะน าวธการหาฟงกชนเอกโพแนน

เชยลโดยการใชรปทวไป เมอจดไมไดผานจด (0,1) เสมอไป

โดยรปทวไปของฟงกชนเอกโพแนนเชยลคอ x hy k a จากนนครลองยกตวอยางเพมเตมเพอให

นกเรยนไดใชสตรทวไปของฟงกชนเอกโพแนนเชยล

ตวอยาง จงวาดกราฟของ xy 2 1

วธท า จดสมการเทยบกบสตรทวไปของฟงกชนเอกโพแนนเชยล x hy k a

จากโจทย xy 1 2 ดงนนจะได (h,k) (0, 1) ไดเปนเสนสมผสกราฟ

โดยกราฟจะมหนาตาเหมอน xy 2 เพยงยายแกนไปอยท (h,k) (0, 1)

เนองจากกราฟ ฟงกชนเอกโพแนนเชยลจะตดแกน y เสมอ

ดงนนจงหาจดตดแกน y โดยให x 0 จะไดวา y 1 1 0 จะไดคอนดบท (0,0)

(0, 1)

โดย rD R และ rR ( 1, )

ตวอยาง จงวาดกราฟของ (x 1)

1y

3

วธท า จดสมการเทยบกบสตรทวไปของฟงกชนเอกโพแนนเชยล x hy k a

จากโจทย (x 1)

1y

3

ดงนนจะได (h,k) (1,0) ไดเปนเสนสมผสกราฟ

โดยกราฟจะมหนาตาเหมอน 1y

3 เพยงยายแกนไปอยท (h,k) (1,0)

เนองจากกราฟ ฟงกชนเอกโพแนนเชยลจะตดแกน y เสมอ

ดงนนจงหาจดตดแกน y โดยให x 0 จะไดวา 1

1y 3

3

จะไดคอนดบท (3,0)

(3,0)

(0, 1)

โดย rD R และ rR (0, )

6. ครลองใหนกเรยนออกมาท าหนาหอง โดยการขออาสาสมครขอละ 2 คนเพอใหเกดการชวยกนคดและคนหา

ค าตอบ และใหนกเรยนทเหลอชวยกนเชคจดทเพอนท าผดพลาดตรงไหนบาง โดยครคอยก ากบดแล

7. ครใหนกเรยนท าแบบฝกหดทเหลอดวยตนเอง เพอทดสอบความเขาใจและมาสงครรายคนเพอใหคร

ตรวจสอบความถกตอง

ขนสรป

8. ครและนกเรยนรวมกนสรปเกยวกบฟงกชนทไดเรยนวนนมอะไรบางและสามรถหาฟงกชนเอกโพแนน

เชยลนไดอยางไรบางและมลกษณะกราฟหนาตาอยางไร


สอ/อปกรณ/แหลงการเรยนร

1. หนงสอเรยนรายวชาคณตศาสตรพนฐาน เลม 1 ชนมธยมศกษาปท 4-6 กลมสาระการเรยนร

คณตศาสตร ตามหลกสตรแกนกลางการศกษาขนพนฐาน พทธศกราช 2251 จดท าโดย สสวท.

2. เอกสารประกอบการเรยนคณตศาสตร 1 เรอง ความสมพนธและฟงกชน

3. Workbook discovering mathematics เลม 4 จดท าโดย สถาบน PDCA Education



เปาหมาย หลกฐาน เครองมอวด เกณฑการประเมน สาระส าคญ ชนดของฟงกชน (ฟงกชนเอกโพแนนเชยล)














………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………


………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………


………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………

ลงชอ ………………………………………………….. ผสอน



………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………

ลงชอ …………………………………………..…………………..




………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………














ตวชวด


แกปญหา




1.1 สามารถหาเขาใจชนดของฟงกชนในหลายๆรปแบบ

1.2 สามารถวาดกราฟฟงกชนคาสมบรณได















ขนน า

จากคาบทแลวนกเรยนไดเรยนฟงกชนเอกโพแนนเชยล โดยครทบทวนนกเรยนโดยการถาม

และทบทวนสตรในแตละชนด และเกรนน านกเรยนถงฟงกชนทจะเรยนในวนนคอฟงกชนคาสมบรณ

ขนสอน

1. ครกลาวถงฟงกชนอกชนดหนงคอ ฟงกชนคาสมบรณโดยใชค าถามกระตนนกเรยนวา กราฟนเคยไดยนมา

หรอไมหรอทายสหนาตาของกราฟจะเปนลกษณะใด

2. ครไดใหบทนยามของฟงกชนคาสมบรณ รปทวไปของฟงกชนคาสมบรณคอ y k | x h | โดยท a

และ c เปนจ านวนจรง และใหนกเรยนไดลองวาดกราฟ เพอคาดเดาลกษณะกราฟ

ตวอยาง จงเขยนกราฟของ y | x |

วธท า จะไดวาจด (h,k) = (0,0)

โดเมนคอ R

เรนจคอ ( ,1]

3. เมอนกเรยนทราบหนาตาของฟงกชนคาสมบรณแลวนนครจงใหนกเรยนลองพจารณาคา (h,k)

แลวลองยายแกนจาก (0,0) ไปยง (h,k) แลวพจารณาวาคาสมบรณนนเปนหงายหรอคว า

โดยครยกตวอยางโดยการหาจด (h,k) แลวยายแกน

ตวอยาง จงเขยนกราฟของ y | x 1|

วธท า โดยเทยบจากสตรของคาสมบรณ y k | x h | จะไดวาจด (h,k) = (1,0)


เรนจคอ [0, )

ตวอยาง จงเขยนกราฟของ y | x | 1

วธท า โดยเทยบจากสตรของคาสมบรณ y k | x h | จะไดวาจด (h,k) = (0,1)


เรนจคอ [1, )

x y

2 2

1 1

0 0

1 1

2 2

4. เมอนกเรยนทราบรปแบบทวไปและกราฟของฟงกชนคาสมบรณแลวนน ตอไปครจะใหนกเรยนน ากราฟ

ของฟงกชนคาสมบรณไปใชในการแกสมการ

ตวอยาง จงหาคา x ทท าให | x 1| 3 โดยใชกราฟ

วธท า เราจะท าการแกสมการโดย สมมตให 1y | x 1| และ 2y 3

โดยท ากราฟวาดกราฟ 1y | x 1| และ 2y 3 ลงในกราฟ

โดยเทยบจากสตรของคาสมบรณ y k | x h | จะไดวาจด (h,k) = (1,0)

2y 3 3 1y | x 1|

2 (1,0) 4

สงเกตวา กราฟทงสองตดกน 2 จด ดงนนสมการจะม 2 ค าตอบ

จะไดวา 1y = 2y เมอ x 2 หรอ x 4

ดงนน เซตค าตอบของอสมการคอ { 2,4}

ตวอยาง จงหาคา x ทท าให | x 1| 2 0 โดยใชกราฟ

วธท า จดรปของสมการ | x 1| 2

เราจะท าการแกสมการโดย สมมตให 1y | x 1| และ 2y 2

โดยท ากราฟวาดกราฟ 1y | x 1| และ 2y 2 ลงในกราฟ

โดยเทยบจากสตรของคาสมบรณ y k | x h | จะไดวาจด (h,k) = ( 1,0)

x 1y 2y -2 3 3 -1 2 3 0 1 3 1 0 3 2 1 3 3 2 3 4 3 3

3 ( 1,0) 1

จะเหนวา 1y = 2y เมอ x 3 และ x 1

ดงนนเซตค าตอบของสมการคอ { 3,1}

5. หลงจากนครท าการสรปการหาเกยวกบฟงกชนคาสมบรณและการหาสมการคาสมบรณ

6. ครใหการบานนกเรยนเพมเตมเพอใหนกเรยนวดความเขาใจทมากขน

7. ครขนฟงกชนใหมคอฟงกชนขนบนได หมายถง ฟงกชนทมคาคงตวเปนชวงๆมากกวาสองชวงซงกราฟจะ

มลกษณะคลายขนบนได

8. ครยกตวอยางฟงกชนขนบนไดประกอบเพอใหนกเรยนเรมเขาใจมากขน

ตวอยาง งานการกศลงานหนง ไดก าหนดราคาบตรเขาชมงานดงน เดกอายต ากวา 5 ป เขาชมฟร ผทมอาย

ตงแต 5 ถง 12 ป ราคาบตรละ 10 บาท และผทมอายเกน 12 ปขนไป ราคาบตรละ 20 บาท

จงเขยนฟงกชนแสดงความสมพนธระหวางอายกบบตรราคาเขาชม พรอมทงเขยนกราฟของฟงกชน

วธท า เขยนฟงกชนในรป f (x)

โดยให x คออาย และ f (x) คอ อตราคาเขางาน

จะสามารถเขยน f (x) ไดดงน

f (x) = 0 ; 0 x 5

10 ; 5 x 12

20 ; x 12

x 1y 2y -3 2 2 -2 1 2 -1 0 2 0 1 2 1 2 2 2 3 2 3 4 2

จากฟงกชน เราสามารถเขยนกราฟไดดงน

9. ครลองใหนกเรยนท าแบบฝกหดตอไปดวยตนเอง เพอใหนกเรยนไดน าความรไปลองปรบใชโดยตนเอง

โดยครคอยก ากบดแล แลวเฉลยในตอนทาย

ขนสรป

10. ครและนกเรยนรวมกนสรปเกยวกบฟงกชนทไดเรยนวนนมอะไรบางและสามรถหาฟงกชนคาสมบรณ

และฟงกชนขนบนไดนไดอยางไรบางและมลกษณะกราฟหนาตาอยางไร

11. ครสงการบานนกเรยนเรองฟงกชนคาสมบรณและและฟงกชนขนบนได






x อาย

อตราคาเขางาน

5 10 15 90

20

10



เปาหมาย หลกฐาน เครองมอวด เกณฑการประเมน สาระส าคญ ชนดของฟงกชน (ฟงกชนคาสมบรณและฟงกชนขนบนได)














………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………


………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………


………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………

ลงชอ ………………………………………………….. ผสอน



………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………

ลงชอ …………………………………………..…………………..




………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………



หนวยการเรยนรท 1 ความสมพนธและฟงกชน เรอง การใหเหตผลแบบอปนย











ตวชวด


แกปญหา




1.1 ใหเหตผลโดยใชวธการใหเหตผลแบบอปนย

1.2 น าการใหเหตผลแบบอปนย ใชคนหาความสมพนธของสงตาง ๆ ทางคณตศาสตร






2.4 ใหเหตผลทางคณตศาสตรเกยวกบการใหเหตผลแบบอปนยได







การใหเหตผล คอ กระบวนการซงน าเอาขอความหรอปรากฎการณตางๆทเปนเหตหร

ขอก าหนดอาจจะหลายอยางมาวเคราะหและแจกแจงแสดงความสมพนธหรอความตอเนองเพอ

ท าใหเกดขอความใหม หรอปรากฎการณใหมซงเรยกวา ขอสรป หรอ ผล

การใหเหตผลทางคณตศาสตรทส าคญมอย 2 วธ ไดแก การใหเหตผลแบบอปนย และการ

ใหเหตผลแบบนรนย

การใหเหตผลแบบอปนย หมายถง วธการสรปผลในการคนหาความจรงจากการสงเกต

หรอการทดลองหลายครงจากกรณยอยๆ แลวน ามาสรปเปนความรแบบทวไป

ขนน า

ครท าการกระตนนกเรยนถงการใหเหตผลคออะไร ในชวตประจ าวนทกวนนนเราตองมการให

เหตผล ดงนนการใหเหตผลจงมความส าคญในการใชในชวตประจ าวนทวไป โดยครตงค าถามกระตน

ความคดนกเรยน ซงประเดนค าถามมดงน

- นกเรยนคดวาการใหเหตผลทางคณตศาสตรมกประเภท อะไรบาง (2 ประเภท คอการให

เหตผลแบบอปนย และการใหเหตผลแบบนรนย)

ขนสอน

1. ครอธบายความหมายของการใหเหตผลแบบอปนย และการใหเหตผลแบบนรนยพรอมทง

ยกตวอยางและอธบายประกอบเปรยบเทยบเพอใหนกเรยนเขาใจชดเจนมากขน

2. นกเรยนชวยกนพจารณาขอความทก าหนดใหในตวอยางซงเปนตวอยางทแสดงถงการให

เหตผลแบบอปนย

ตวอยาง เราพบวา ทกเชาพระอาทตยจะขนทางทศตะวนออก และตอนเยนพระอาทตยจะตกทาง

ทศตะวนตก จงใหขอสรปวา พระอาทตยขนทางทศตะวนออก และตกทางทศตะวนตก

ตวอยาง ลลาพบวา ทกครงทคณแมไปซอกวยเตยวผดไทยจะม ตนกยชายมาดวยทกครง

จงสรปวา กวยเตยวผดไทยตองมตนกยชาย

ตวอยาง นาตาชา พบวา ทกครงทท าความดจะมความสบายใจ จงสรปผลวาการท าความดจะท า

ใหเกดความสบายใจ

3. ครใหนกเรยนพจารณาความสมพนธในตวอยางท 4-5

ตวอยาง ใหนกเรยนพจารณาความสมพนธของเลขตางๆ

ครกลาวกบนกเรยนวา ตวเลขทอยในชองสดทายจะถกหรอผด ไมส าคญ แตกระบวนการคดเพอ

จะตอบวาชองสดทายคอ 23 ผานกระบวนการในการสงเกตจากแบบรปทเกดขน และกระบวนการคดท

จะตอบวาชองสดทายเปน 23 คอการใหเหตผลแบบอปนย

3 7 11 15

3

19 ?

ตวอยาง ในการศกษารปแบบของจ านวนทสวยงาม Professor Lalbhai D. Patel ซงท าการศกษา

รปแบบของจ านวนทมผสรางเอาไวหลายพนป และไดสรางรปแบบทสวยงามเพมเตมขน

มากมาย ดงเชน

11x11 = 121 11111x11 = 122221

111x11 = 1221 111111x11 = 1222221

1111x11 = 12221 1111111x11 = 12222221

จากการทดลองและสงเกตสามารถสรปเปนกรณทวไปเกยวกบการคณ 111...1 ดวย 11 ดงน

111 … 1 x 11 = 122 … 21

ม 1 อย n ตว ม 2 อย n – 1 ตว

5. ครอธบายเกยวกบ การผลสรปทไดจากการใหเหตผลแบบอปนยนนจะนาเชอถอมากนอยแค

ไหนขนอยกบ จ านวนขอมล ลกษณะของขอมล

การสรปผลโดยการใหเหตผลแบบอปนยนนบางครงผลสรปของแตละคนอาจจะไมเหมอนกน

เพราะผลทไดจากการสงเกตตองขนกบพนฐานและประสบการณของผสงเกตแตละคน เชน

จงพจารณาการเรยงล าดบของจ านวนตอไปน 2, 4, 6, ... จงหาจ านวนทเรยงตอมาอก 2 จ านวน

ซงค าตอบทเปนไดอาจเปนดงน

ค าตอบทหนง สงเกตการเรยงของ 2 , 4 , 6 วาเปนการเรยงของจ านวนค ดงนน อก 2 จ านวน

ถดไปคอ 8 , 10

ค าตอบทสอง สงเกตการเรยงของ 2, 4, 6 วา สองจ านวนหนาบวกกน จะไดจ านวนถดไป เชน 6

ไดมาจาก 2+4 แสดงวา จ านวนทถดจาก 6 ไป คอ 4 + 6 = 10

จ านวนทถดจาก 10 ไป คอ 6 + 10 = 16

ดงนน อก 2 จ านวนถดไป คอ 10 , 16

ค าตอบทสาม สงเกตการเรยงของ 2, 4, 6 วาจ านวนถดไปตองเกดจาก 2 จ านวนหนาคณกน แลวลบดวย 2

เชน 6 เกดจาก (2 x 4) – 2

แสดงวา จ านวนถดจาก 6 ไป เกดจาก (4 x 6) – 2 = 22

จ านวนถดจาก 22 ไป เกดจาก (6 x 22) – 2 = 130

ดงนน อก 2 จ านวนถดไป คอ 22 , 130

นอกจากตวอยางดงกลาวแลว ยงสามารถค าตอบแบบอนไดอกมากมาย

6. นกเรยนชวยกนพจารณาขอความทก าหนดใหในตวอยางท 1-3 ซงเปนตวอยางทแสดงถงการ

ใหเหตผลแบบอปนย

ตวอยาง จงใชเหตผลแบบอปนย สรปผลเกยวกบผลบวกของจ านวนคสองจ านวน

0 + 2 = 2 (จ านวนค) 6 + 8 = 14 (จ านวนค)

2 + 4 = 6 (จ านวนค) 8 + 10 = 18 (จ านวนค)

4 + 6 = 10 (จ านวนค) 10 + 12 = 22 (จ านวนค)

สรป ผลบวกของจ านวนคสองจ านวนเปนจ านวนค

ตวอยาง จงหาพจนทอยถดไปอก 3 พจน

1) 1, 3, 5, 7, 9, ...

2) 2, 4, 8, 16, 32, ...

วธท า 1) จากการสงเกต พบวา แตละพจนมผลตางอย 2 (3 – 1 = 2, 5 – 3 = 2, 9 - 7 = 2)

ดงนน อก 3 จ านวน คอ 11, 13, 15

2) จากการสงเกต พบวา แตละพจนจะมการไลล าดบขนไป ถาลองสงเกตด จะอยในรปแบบ

2n โดยท n เปนจ านวนเตมบวกทเรมตงแต 1

ดงนน พจนท 6 คอ 26=64 , พจนท 7 คอ 128 และพจนท 8 คอ 256 หรออาจมองในอกแงหนง เรา

จะพบวา จ านวนแตละจ านวนจะเพมขนเรอย ๆ 2 เทากได

ตวอยาง จงหาวา ผลคณของจ านวนนบสองจ านวนทเปนจ านวนค จะเปนจ านวนคหรอจ านวนค โดยการ

ใหเหตผลแบบอปนย

วธท า เราจะลองหาผลคณของจ านวนนบเปนจ านวนคหลาย ๆ จ านวนดงน

1 3 3 3 5 15 5 7 35 7 9 63

1 5 5 3 7 21 5 9 45 7 11 77

1 7 7 3 9

27 5 11 55 7 13 91

1 9 9 3 11 33 5 13 65 7 15 105

จากการหาผลคณดงกลาว โดยการอปนย จะพบวา ผลคณทไดเปนจ านวนค

สรป ผลคณของจ านวนนบสองจ านวนทเปนจ านวนค จะเปนจ านวนค โดยการใหเหตผลแบบอปนย

7. ครอธบายหลกการของเกาส คอ นกคณตศาสตรชาวเยอรมนชอ คารล ฟรดช เกาส ไดหา

ผลบวกของจ านวนตงแต 1 ถง 100 ซงเทากบ 5,050 โดยใชวธการดงน

1 + 2 + 3 + …… + 98 + 99 + 100

เกาสสงเกตจ านวน101 มทงหมด 50 จ านวน ดงนนเขาจงหาค าตอบโดยหาผลคณ

ของ 50 × 101 = 5,050

101

101

101

8. ครใหตวอยางเพมเตมเกยวกบการใชการศกษาแบบรปแลวท าการตอบค าถามตางๆ

ตวอยาง พจารณาแบบรปของสมการทอยในรปของเศษสวนตอไปน

1) 1

1 2 = 1 1

1 2

2) 1

2 3 = 1 1

2 3

3) 1

3 4 = 1 1

3 4

4) 1

4 5 = 1 1

4 5

1. จงหา a และ b เมอ 1

11 12 = 1 1

a b

ตอบ จะไดวา a 11 และ b 12

2. จงหา c และ d เมอ 1

380 = 1 1

c d

ตอบ จะไดวา 380 คอ 19 20

ดงนน จะไดวา c 11 และ d 12

3. จงหา a และ b ในรปของ n เมอ 1

n(n 1) = 1 1

a b

ตอบ จะไดวา a n และ b n 1

4. จงหาผลลพธ 1 1 1 1...

1 2 2 3 3 4 90 100

วธท า จากแบบรปเราสามารถกระจายคาตางๆมาไดดงน

= 1 1 1 1 1 1 1 1

2 2 2 3 3 4 90 100

= 11

100

= 100 1

100

= 99

100

8. นกเรยนท าใบงานตวอยางในเอกสารประกอบการเรยน เรองการใหเหตผลแบบอปนย และคร

คอยก ากบดแล

ขนสรป

9. ครใหนกเรยนสรปการใหเหตผลแบบอปนยและหลกการของเกาสในการหาผลบวกตงแต 1

ถงพจนท n

10. ครสงการบานนกเรยนเกยวกบการใหเหตผลแบบอปนย








………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………


………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………


………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………

ลงชอ ………………………………………………….. ผสอน



………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………

ลงชอ …………………………………………..…………………..




………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………



หนวยการเรยนรท 1 ความสมพนธและฟงกชน เรอง การใหเหตผลแบบนรนย











ตวชวด


แกปญหา




1.1 ใหเหตผลโดยใชวธการใหเหตผลแบบนรนย

1.2 น าการใหเหตผลแบบนรนย ใชคนหาความสมพนธของสงตาง ๆ ทางคณตศาสตร






2.4 ใหเหตผลทางคณตศาสตรเกยวกบการใหเหตผลแบบนรนยได







การใหเหตผลแบบนรนย (Deductive Reasoning)

การใหเหตผลแบบนรนยเปนการน าความรพนฐานซงอาจเปนความเชอ ขอตกลง กฎ หรอ

บทนยาม ซงเปนสงทรมากอนและยอมรบวาเปนจรง เพอหาเหตผลน าไปสขอสรป การใหเหตผลแบบ

นรนย ประกอบดวยสวนส าคญ 2 สวน คอ

1) เหตหรอสมมตฐาน ซงหมายถง ขอสรปทไดจากเหตหรอสมมตฐาน เปนจรงโดยไมตองพสจน

ไดแก ค าอนยาม บทนยาม สจพจน ทฤษฎบททพสจนแลว กฎหรอสมบตตางๆ

2) ผลหรอผลสรป ซงหมายถง ขอสรปทไดจากเหตหรอสมมตฐาน

ขนน า

1. ทบทวนความรเกยวกบการใหเหตผลแบบอปนย โดยใชการถาม-ตอบ

2. ครถามนกเรยนวา การใหเหตผลแบบนรนยคออะไร (เปนการน าความรพนฐานซงอาจเปน

ความเชอ ขอตกลง กฎ หรอบทนยาม ซงเปนสงทรมากอนและยอมรบวาเปนจรง เพอหาเหตผล

น าไปสขอสรป)

3. สมนกเรยน 2 - 3 คน น าเสนอตวอยางการใหเหตผลแบบอปนยทครใหท าหนาชนเรยน

โดยครอธบายและแนะน าเพมเตม

- การใหเหตผลแบบอปนย และการใหเหตผลแบบนรนยแตกตางกนอยางไร (การใหเหตผล

แบบอปนย เปนวธการสรปผลจากกรณยอยๆ แลวน ามาสรปเปนความรแบบทวไป สวนการใหเหตผลแบบ

นรนยเปนการน าความรพนฐานซงอาจเกดจากความเชอ ขอตกลง กฎ หรอบทนยามซงเปนทรมากอนและ

ยอมรบวาเปนจรงมาประกอบเพอน าไปสขอสรป)

ขนสอน

1. ครตงค าถามกระตนความคดของนกเรยน ดงน

การใหเหตผลแบบนรนยนน ผลหรอขอสรปจะถกตอง เมอใด ยอมรบวาเหตเปนจรงทกขอการสรป

สมเหตสมผล

การใหเหตผลแบบนรนย หมายถง วธการสรปผลในการคนหาความจรงของเหตการณยอยๆโดย

อางองจากเหตผลใหญหรอสมมตฐานทวไปทเรายอมรบวาเปนจรงในขณะนน โดยน าความรพนฐาน ซง

อาจเปนความเชอ ขอตกลง กฎหรอบทนยาม ซงเปนสงทรมากอนและยอมรบความจรงนนมาเปนเหต

แลวจงคอยน ามาวเคราะหเพอเขาสบทสรปทเปนผล ดงนน

2. ครอธบายการตรวจสอบความสมเหตสมผลของการใหเหตผลแบบนรนย โดยการใชแผนภาพ

เวนน – ออยเลอรทกชนด

3. ครยกตวอยางเกยวกบการใหเหตผลแบบนรนยเพอใหนกเรยนเขาใจมากยงขน

ตวอยาง เหต 1) จ านวนคหมายถงจ านวนทหารดวย 2 ลงตว

2) 6 หารดวย 2 ลงตว

ผล 6 เปนจ านวนค

ตวอยาง เหต 1) สตวเลยงลกดวยนมเปนสตวเลอดอน

2) สนขเลยงลกดวยนม

ผล สนขเปนสตวเลอดอน

ตวอยาง เหต 1) นกเรยน ม.4 ทกคนแตงกายถกระเบยบ

2) สมชายเปนนกเรยนม.4

ผล สมชายแตงกายถกระเบยบ

4. ครอธบายตอวา การใหเหตผลแบบนรนยนน ผลหรอขอสรปจะถกตอง กตอเมอ

1) ยอมรบวาเหตเปนจรงทกขอ

2) การสรปผลสมเหตสมผล

5. ครใหนกเรยนท าใบงานท 2 เรองการใหเหตผลแบบนรนย เพอตรวจสอบความเขาใจของนกเรยน6.

เมอนกเรยนท าแบบฝกหดในใบงานเสรจแลว ครและนกเรยนรวมกนเฉลยแบบฝกหด

6. ครยกตวอยางท 1 และ 2 เกยวกบการใหเหตผลแบบนรนย และสอนการหาคาความสมเหตสมผล

ตวอยาง จงตรวจสอบวาการใหเหตผลนสมเหตสมผลหรอไม

เหต 1) คนไทยทกคนเปนคนด

2) เจมสเปนเดกไทย

วธท า เขยนแผนภาพเวนน-ออยเลอรไดดงน

คนด

คนไทย

เจมส เดกไทย

ดงนนขอสรปตอบ สมเหตสมผล

ผล เจมสเปนคนด

ตวอยาง จงตรวจสอบวาการใหเหตผลนสมเหตสมผลหรอไม

เหต 1) คนแกทกคนมสขภาพด

2) คนมสขภาพดบางคนเปนคนชางพด

3) สมชายเปนคนแกและเปนคนชางพด

ผล สมชายเปนคนมสขภาพด


คนแก คนชางพด

คนสขภาพด

ดงนนขอสรปตอบ สมเหตสมผล

ตวอยาง จงตรวจสอบวาขอความนสมเหตสมผลหรอไม

เหต 1. ผลไมบางชนดเปนผลไมทคนกนได

2. ผลไมทคนกนไดบางชนดเปนผลไมไทย

ผล มผลไมบางชนดเปนผลไมไทย


ผลไม ผลไมทคนไทยกนได

สมชาย

จากเหตขอ 1 และ ขอ 2 มาเขยนรวมกน สามารถเขยนเปนแผนภาพไดหลายกรณดงน

กรณท 1

ผลไม ผลไมทคนไทยกนได ผลไมไทย

กรณท 2

ผลไม ผลไมทคนไทยกนได

ผลไมไทย

จากกรณท 1 พบวา ไมสมเหตสมผล

ตวอยาง จงตรวจสอบวาขอความนสมเหตสมผลหรอไม

เหต 1. กบทกตวเปนปลา

2. ปลาทกตวเปนเตา

ผล กบทกตวเปนเตา


เตา

ปลา

กบ

โดยผลจากขอสรป สอดคลองกบแผนภาพ ดงนน สมเหตสมผล

แมวาโลกความจรงทางโลกจะไมเปนจรงกตาม

7. ครใหนกเรยนท าแบบฝกหดเพมเตม เรองการใหเหตผลแบบนรนย เพอตรวจสอบความเขาใจ

ของนกเรยน

8. เมอนกเรยนท าแบบฝกหดในใบงานเสรจแลว ครและนกเรยนรวมกนเฉลยแบบฝกหด

ขนสรป

9. ครตงค าถามกระตนความคดนกเรยนเรองการใหเหตผลแบบนรนย

- การใหเหตผลแบบนรนย หมายถงอะไร (เปนการน าความรพนฐานซงอาจเปนความเชอ

ขอตกลง กฎ หรอบทนยาม ซงเปนสงทรมากอนและยอมรบวาเปนจรง มาประกอบเพอน าไปสขอสรป)

- การใชแผนภาพเพอตรวจสอบความสมเหตสมผล ถาทกกรณแสดงผลตามทสรปจะไดวา

ผลสรปเปนอยางไร (ขอสรปสมเหตสมผล)

- การใชแผนภาพเพอตรวจสอบความสมเหตสมผล ถามบางกรณทไมสอดคลองกบผลสรปจะ

ไดวาผลสรปเปนอยางไร (ผลสรปไมสมเหตสมผล)






………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………


………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………


………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………

ลงชอ ………………………………………………….. ผสอน



………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………

ลงชอ …………………………………………..…………………..




………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………


3.elsd.ssru.ac.th/nampung_ch/pluginfile.php/142/course/summary/แผนการ... ·...

Documents